Van Symmetrie Bezeten Andr´e C.M. Ran
1
Inleiding
Meneer de rector, dames en heren. Een inaugurele oratie markeert het begin van een carri¨ere als hoogleraar. Men wordt dan onder meer geacht een beeld te schetsen van het vakgebied, en plannen voor de toekomst te ontvouwen. Nu heb ik al 22 jaar onderzoek en onderwijs achter de rug, en heb normaal gesproken nog 20 jaar in de academische wereld voor de boeg. Precies in het midden dus, en voor mijn eigen gevoel niet het begin van een carri¨ere. In dit uur zal ik dan ook hier en daar wel eens achterom kijken ook, en niet alleen vooruit. Ik wil u het komende uurtje meenemen op een uitstapje langs mijn werkzaamheden. Daar gaat het tenslotte vanmiddag allemaal om. Die werkzaamheden wil ik van verschillende kanten bekijken, er zitten verschillende facetten aan, die elk op hun beurt ook weer verschillende kanten hebben. Noodzakelijkerwijs zal ik hier en daar wel even wat wiskunde moeten doen, maar ik hoop dat zulks u niet zal afschrikken. Later zal het dan misschien weer makkelijk zijn de draad op te pakken. Een veel terugkerend figuurtje zal het volgende plaatje zijn
1
Zo u ziet, dat figuurtje kun je van verschillende kanten bekijken, en het blijft dan toch hetzelfde. Met een duur woord gezegd: zo’n figuurtje noemen we ”symmetrisch”. Symmetrie is een mooie eigenschap voor een figuur. We vinden symmetrische plaatjes meestal mooi, intrigerend. In dit verband wil ik u een kleine anecdote vertellen uit mijn prille jeugd. U kent allemaal wel het effect dat je krijgt als je een spiegel haaks op je lijf zet en dan gekke bewegingen gaat maken met de hand en voet die in de spiegel worden weerkaatst. Het ziet er voor een toeschouwer dan net uit of je met beide handen en voeten dezelfde capriolen uithaalt: het ziet eruit alsof je een symmetrisch trekpoppetje bent. Ik zal een jaar of vijf zijn geweest toen mijn grote broer me dat effect liet zien in een winkelruit bij ons in het dorp. Het intrigeerde me bijzonder, en ik zal hem wel de kop suf hebben gezeurd om het te herhalen. Ook toen al was ik van symmetrie bezeten. Dat symmetrie later zo’n rode draad door mijn werk heen zou zijn heeft hij, noch ik, toen al kunnen bedenken. Toch broer: bedankt dat je me ge¨ıntroduceerd hebt in de wondere wereld van symmetrie. Hier is weer het plaatje dat ik zonet liet zien O
O
O
De drie O’s in de hoeken staan voor: onderzoek, onderwijs en organisatie. Dat zijn de drie onderdelen waaruit mijn dagelijkse bezigheden op de VU bestaan. Onderwijs en onderzoek zijn daarbij de primaire taken, organisatie een secundaire.
2
2
Onderzoek
Onderzoek eerst maar eens. Dat ik dat als eerste wil bespreken, en ook als langste, geeft ook een beetje aan waar je als wetenschapper je prioriteiten legt. Overigens moet daarbij onmiddelijk gezegd worden dat universitair wetenschappelijk personeel een belangrijke prioriteit bij onderwijs zou moeten leggen, en dat ook meestal doet. Er is nog een reden om onderzoek als eerste te nemen. Voor niet-vakgenoten is onderzoek in de wiskunde altijd een beetje mysterieus. Want wat doen die wiskundigen nu eigenlijk? Ze zitten wat na te denken, en krabbelen onbegrijpelijke symbolen op papier of op een schoolbord, ze praten met elkaar in jargon waar je als leek geen touw aan vast kunt knopen, en dan schrijven ze artikelen die alleen hun naaste vakbroeders echt kunnen begrijpen. En als je ze vraagt waar het goed voor is, dan krijg je een vaag antwoord dat neerkomt op: ”dat begrijp je misschien niet, maar ’t is wel erg nuttig”. Onderzoek doe ik op verschillende deelgebieden van de wiskunde. Net als bijna alle andere wetenschappen, is Wiskunde in de vorige eeuw een veel te groot vakgebied geworden om het mogelijk te maken dat ´e´en persoon dat nog in totaliteit overziet. Daarom is het des te belangrijker om toch tenminste enigszins over de grenzen van een specialisme heen te kunnen kijken. Ik doe m’n best. Mijn belangstelling ligt op drie deelterreinen van de wiskunde, die men aanduidt als: matrixtheorie, lineaire analyse en systeemtheorie. MT
LA
MT = MATRIXTHEORIE LA = LINEAIRE ANALYSE ST = SYSTEEMTHEORIE ST
Dat klinkt allemaal heel theoretisch, en dat is het natuurlijk ook. Toch zijn het onderdelen van de wiskunde die van groot practisch belang zijn in onze huidige maatschappij. Ik wil dat niet voor alle drie terreinen laten zien, maar ik zal me beperken tot een aantal voorbeelden van toepassingen van de 3
systeemtheorie. Maar voordat ik dat doe, wil ik een klein beetje uitweiden over matrixtheorie.
2.1
Matrixtheorie
Allereerst: wat is een matrix? In veel (tamelijk slechte) boeken wordt als antwoord gegeven dat een matrix een blok getallen is. Op zichzelf is dat wel juist, al is het lang niet het hele verhaal. Maar voor mijn doel tijdens 2 3 4 dit uurtje moet het maar zo: een matrix is dus zoiets als: 5 6 7 of 8 9 10 1 2 3 2 3 of 2 4 5 . 3 6 3 5 6 Die kromme haakjes zetten we om het blok getallen om aan te duiden dat we het als geheel moeten zien, als ”matrix” en niet als wat anders.Het tweede en derde voorbeeld zijn symmetrische matrices, als je ze spiegelt in de diagonaal van linksboven naar rechtsonder, dan krijg je hetzelfde object terug. Dat soort matrices is een interessante klasse van objecten, en ze spelen een belangrijke rol in mijn onderzoek, al vanaf mijn afstudeerwerk. Feitelijk is zo’n blok getallen een verkorte notatie voor een afbeelding. Voor de niet wiskundigen onder u moet ik dat maar even uitleggen. Dat doe ik door me te beperken tot het platte vlak. Daarin leggen we een assenkruis zoals op het volgende plaatje. y
x
Een punt in het vlak wordt dan bepaald door twee getallen, de zogenaamde coordinaten. In de links-rechts richting is de afstand tot de verticale as de zogenaamde x-coordinaat, in de boven-beneden richting is de afstand tot de horizontale lijn de zogenaamde y-coordinaat van het punt. 4
Bekijk nu de afbeelding die aan een punt met de coordinaten (x, y) in het ene vlak het punt met de coordinaten (2x + 3y, 4x + 5y) in het andere vlak toevoegt, zoals bijvoorbeeld in dit plaatje. Deze afbeeldingvan het ene 2 3 vlak naar het andere kunnen we simpel noteren met de matrix : de 4 5 2 3 x 2x + 3y matrix codeert als het ware voor de afbeelding → . 4 5 y 4x + 5y
4X+5Y
Y X
2X+3Y Zo hoort bij elke matrix een afbeelding. Het is misschien goed om even te zeggen dat niet bij elke afbeelding ook een matrix hoort, alleen bij zogenaamde lineaire afbeeldingen. Op de preciese definitie ga ik hier niet in. Op deze manier zijn veel ”mooie” afbeeldingen ook in een matrix te representeren. Zo is bijvoorbeeld de draaiing over een hoek van 120 graden √ ! 1 1 − −2 3 gegeven door de matrix 1 √2 . 1 3 − 2 2 Keren we even terug naar ons plaatje van de gelijkzijdige driehoek, en kiezen we het snijpunt van ons assenstelsel precies in het zwaartepunt van die driehoek dan zien we dat deze draaiing de driehoek op zichzelf laat. Je kunt nu de collectie van alle matrices bekijken die deze figuur op zichzelf afbeelden. Die collectie heeft dan weer een bepaalde wiskundige structuur (het is een groep). Het bestuderen van zulke collecties van matrices speelt een rol in de kristallografie en de materiaalkunde.
5
Er is een fraai resultaat in de matrix theorie dat ons vertelt dat elke afbeelding die hoort bij een matrix te zien is als het achtereenvolgens uitvoeren van twee ”mooie” afbeeldingen. De eerste is een draaiing of een spiegeling van het vlak, de tweede is een afbeelding die hoort bij een symmetrische matrix. Dit resultaat staat bekend als de polaire decompositie. Uitbreidingen van dit resultaat naar de analoge situatie in ruimten met een zogenaamd indefiniet inproduct zijn de laatste jaren onderwerp van onderzoek geweest dat door mij gedaan is in samenwerking met Leiba Rodman en Cor van der Mee. Verrassenderwijze heeft dat weer toepassingen in bijvoorbeeld de theorie van gepolariseerd licht. Keren we even terug naar symmetrische matrices. Symmetrische matrices hebben een bijzondere eigenschap. Die licht ik weer alleen even toe aan de hand van twee bij twee matrices: dan is de bijbehorende afbeelding van het platte vlak op zichzelf te zien als de samenstelling van een draaiing of spiegeling gevolgd door een afbeelding die de x-coordinaat met een zekere factor oprekt, en de y-coordinaat met een (eventueel andere) factor oprekt, gevolgd door het ongedaan maken van de eerste draaiing of spiegeling. Die oprekfactoren noemen we in de wiskunde de eigenwaarden van de matrix. Voor niet-symmetrische matrices kunnen dat ook zogenaamde complexe getallen zijn. We hebben het tot nu toe gehad over matrices, en daarbij als voorbeeld 6
gekeken naar afbeeldingen van het vlak op zichzelf. Het vlak is een tweedimensionale ruimte, en daarbij kunnen we ons heel goed iets voorstellen. Ook in drie dimensies kan ons voorstellingsvermogen nog wel uit de voeten. In meer dimensies wordt dat ingewikkelder, maar toch is het voor veel toepassingen erg belangrijk om met heel grote matrices, die dus horen bij afbeeldingen op hoog-dimensionale ruimten, te kunnen werken. Nog erger wordt het als we ook naar oneindig-dimensionale ruimten willen kijken. En dat is in de wiskunde dagelijkse kost. Als voorbeeld voor degenen die een wiskundige achtergrond hebben: de verzameling van continue functies op een interval is een oneindig dimensionale ruimte. Het gekke is dat ook het spraakgebruik verandert. In plaats van ”matrix” zeggen we meestal ”operator” als het gaat om een lineaire afbeelding op een oneindig dimensionale ruimte. En in plaats van de eigenwaarden van een symmetrische matrix, spreken we dan van de spectrale maat van een symmetrische operator. Een ver reikende generalisatie van het resultaat dat ik zojuist noemde voor symmetrische matrices naar symmetrische operatoren op een oneindig dimensionale Hilbert ruimte staat bekend als de spectraalstelling. Voor het geval van symmetrische matrices is het resultaat erg belangrijk, vooral omdat er echt alles aan uitgerekend kan worden. Dat is zelfs voor heel grote matrices al routine die op PC’s van nu simpel kan worden uitgevoerd. Voor echt oneindig dimensionale operatoren is dat minder simpel. Alleen voor bepaalde klassen van symmetrische operatoren kan er echt wat uitgerekend worden. Ik kom daar straks nog op terug als ik wat zal zeggen over het samenspel tussen lineaire analyse en systeemtheorie.
2.2
Systeemtheorie
Maar nu eerst de systeemtheorie en toepassingen daarvan. Systeemtheorie houdt zich bezig met de wiskundige theorie van automatisch meten en regelen. Als eerste voorbeeld kijken we eens naar een modern vliegtuig.
7
Zelfs relatief kleine vliegtuigen zoals mijn zwager er een bouwt beschikken tegenwoordig over een geavanceerde automatische piloot. Dat is een computer waar allerlei gegevens over vliegsnelheid, vlieghoogte, en toestand van het vliegtuig worden ingevoerd (dat gebeurt automatisch, via meetinstrumentjes op allerlei plaatsen in het vliegtuig), en aan de hand daarvan wordt weer van alles geregeld om het vliegtuig horizontaal en op koers te houden: bijvoorbeeld worden de stand van de flappen aan de vleugels en de stand van hoogte-en rolroeren aangepast. Daarmee laat het vliegtuig zich volautomatisch vliegen. Alleen opstijgen en landen doet de piloot nog zelf handmatig, en ook dat laatste is eigenlijk niet eens nodig.
systeem
regelaar
Het hele idee hierachter berust op het concept van terugkoppeling. Dat betekent dat wat gemeten wordt gebruikt wordt om te regelen: als er afwijkingen worden geconstateerd van een gewenste toestand, dan wordt er actie ondernomen om weer in die gewenste toestand te raken. Een concreet voorbeeld maakt dat misschien duidelijker: veronderstel dat het vliegtuig door een plotselinge hevige windvlaag wat uit koers geraakt is. Dat wordt door de 8
automatische piloot gemeten aan de hand van bijvoorbeeld een GPS-signaal. De automatische piloot berekent dan hoeveel er moet worden bijgestuurd, en voert die bijsturing ook automatisch uit. Maar tijdens dat bijsturen treedt weer een windvlaag op, en de automatische piloot moet dan de oorspronkelijk uitgerekende bijsturing weer wat aanpassen. Dat leidt tot een voortdurend proces van meten en regelen, die kringloop wordt voortdurend doorlopen. Een tweede voorbeeld van toepassingen van de systeemtheorie is de Eurpose Robot Arm (ERA). Dat is een robotarm die gebruikt zal worden op het international ruimte station dat momenteel in aanbouw is.
De ERA wordt hier in Nederland gebouwd bij Fokker Space. Ook het Nederlands Lucht- en Ruimtevaartlaboratorium is nauw betrokken bij het ontwikkelen van programatuur voor de besturing van ERA. Besturing van robotarmen is een gecompliceerde zaak. Elk van de zeven gewrichten in de robotarm wordt bestuurd door een elektromotor. Met die zeven gewrichten onstaat een geheel dat alle mogelijke bewegingen kan maken. Stroom door de elektromotor veroorzaakt een verandering van de hoek van het gewricht. Voor elke geplande beweging van de robotarm moet elk gewricht een precies voorgeschreven traject volgen. Door storingen van buitenaf en ruis in de signalen ontstaan vrijwel altijd kleine afwijkingen. Aan de hand van die afwijkingen moet het systeem automatisch bijsturen: weer treedt ook hier een proces van meten en regelen op. In de afgelopen anderhalf jaar hebben twee afstudeerders van mij gewerkt aan fout-detectie en isolatie voor het ellebooggewricht van de ERA, onder leiding van mensen van het NLR en de VU. Zo is ook de VU, zij het op bescheiden wijze, betrokken bij dit grootschalige project. Een derde voorbeeld, dat wat dichter bij huis ligt, verduidelijkt het idee van meten en regelen waarschijnlijk nog meer. Nog maar 15 jaar geleden hadden we allemaal een eenvoudige thermostaat op de centrale verwarming: een simpele draaiknop waarop alleen de gewenste temperatuur kon worden ingesteld. Zie de eerste foto hieronder. Die 9
draaiknop was gekoppeld aan een spiraaltje dat gemaakt was van twee stripjes van verschillende soorten metaal die tegen elkaar aangeplakt waren. Dat ziet u op de tweede foto hieronder. Zoals u weet zet metaal uit als het warm wordt, en krimpt als het koud wordt, en de ene soort metaal zet meer uit en krimpt meer dan de andere. Door de verschillen in krimp bij afkoeling van de twee soorten metaal zorgde dat spiraaltje er voor dat er een contactje werd gesloten, waardoor een zwak electrisch stroompje ging lopen naar de verwarmingsketel als het te koud werd. Daardoor ging de ketel branden om de kamer op te warmen. Als het warm genoeg was dan onderbrak het spiraaltje doordat het uitgezet was, automatisch de stroom naar de ketel, die dus ophield met branden. Een prachtig voorbeeld van een automatische terugkoppeling. Het vergde alleen ’s ochtends vroeg actie van de heer of vrouw des huizes om een zwengel aan de thermostaat te geven.
Tegenwoordig is het normaal om in plaats van zo’n eenvoudige thermostaat er een te hebben waarop men per uur en per dag de gewenste temperatuur kan inprogrammeren, zodat de actie van de heer des huizes nu alleen bestaat uit het zo eens per jaar herprogrammeren van de thermostaat. Het gaat hier nog steeds om een proces van meten en regelen, maar het is heel wat geavanceerder. Bij de meest luxe uitvoeringen van dit soort thermostaten is ook optimalisatie van de regeling ingebouwd. Dat wil zeggen dat er naar gestreefd wordt de gewenste temperatuur te bereiken met een zo zuinig mogelijk energieverbruik. 10
In dit soort toepassingen is het belangrijk dat de processen die geregeld moeten worden goed te beschrijven zijn met behulp van wiskundige vergelijkingen. Die wiskundige vergelijkingen noemen we samen een wiskundig model voor het proces. Zo hebben we dus een wiskundig model voor het hele vliegtuig in de automatische piloot zitten. De modellen waar ik op doel zijn eindig dimensionale, tijdsonafhankelijke lineaire stelsels differentiaalvergelijkingen. Dat is een hele mond vol, maar laat zich makkelijker in wiskundige formules uitdrukken: het is een model van de vorm x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t)
systeem
u
y
Hier zijn A, B, C en D matrices, x, u en y zijn functies met waarden in een meerdimensionale ruimte (zogenaamde vectorfuncties). De functie u is de sturingsvariabele, en y de gemeten variabele. Een simpel geval doet zich voor als de gemeten variabele gelijk is aan de variabele x. Terugkoppelingsregelingen kunnen dan simpelweg van de vorm systeem v
u = Fx + v
x
u
F
zijn, zogenaamde toestandsterugkoppelingen. Hoofddoel van terugkoppelingsregelingen is stabilisatie van het systeem. Dat betekent dat we willen bereiken dat bij het ontbreken van sturing de toestand netjes naar nul gaat op de (liefst niet zo lange) duur. Daarnaast kunnen allerlei nevendoeleinden worden nagestreefd. Dat is bijvoorbeeld het geval in zogenaamde lineair-kwadratische optimale regelingen. Daarbij gaat het om het minimaliseren van een kostfunctie van de vorm Z ∞ x(t)T Qx(t) + uT (t)Ru(t) dt 0
over alle stabiliserende sturingsfuncties u(t). Hier zijn R en Q symmetrische matrices (en positief definiet). Deze kostfunctie bevat een term met u(t). Daarbij moeten we bijvoorbeeld denken aan de hoeveelheid energie die de sturingsfunctie kost. Er is ook een term met x(t). Daarbij moeten we denken aan de afwijking van de gewenste situatie, die we ook in de kosten 11
laten meewegen. De matrices Q en R beschrijven hoe we deze twee termen ten opzichte van elkaar wegen. Die twee matrices kan de ontwerper van de regeling kiezen. Er is een verrassend verband met symmetrische matrices. Om dit soort optimale regeling te vinden is het nodig dat de volgende vergelijking wordt opgelost, XBR−1 B T X − XA − AT X − Q = 0. Zo u ziet zit er een zekere symmetrie in deze matrix, vooral als we ons herinneren dat Q en R symmetrisch zijn (en daarmee ook R−1 ). A en B zijn ook gegeven matrices. Verder staat AT voor de matrix die men uit de matrix A verkrijgt door hem te spiegelen in de diagonaal van linksboven naar rechtsonder. De matrix X moeten we vinden,en wel zo dat X symmetrisch is. De optimale regeling is dan gegeven door de formule u(t) = −R−1 B T Xx(t). Het is dus een toestandsterugkoppeling. Dat lijkt een heel mooi resultaat: we krijgen een optimale regeling op een heel simpele manier. Het is ook een mooi resultaat.Toch zijn er nadelen aan verbonden. Het gedrag van het geregelde systeem wordt beschreven door de matrix A − BR−1 B T X, om precies te zijn door de eigenwaarden van deze matrix. En die hangen natuurlijk wel van Q en R af, maar hoe precies is niet echt goed te voorspellen. Er kunnen zich verschillende niet helemaal gewenste verschijnselen voordoen. Het kan zich voordoen dat een systeem veel te langzaam naar de evenwichtssituatie terugkeert, zoals in het eerste plaatje hieronder. Voor een automatische piloot betekent dat bijvoorbeeld dat het toestel veel langer dan nodig uit de gewenste koers is. (In termen van de eigenwaarden: dit treedt op als een eigenwaarde te dicht bij de imaginaire as ligt.) Het kan ook voorkomen dat het systeem veel te snel terugkeert naar de evenwichtssituatie, zoals in het tweede plaatje hieronder. Voor een automatische piloot betekent dat dat het vliegtuig een plotselinge ruk terug krijgt, waarbij veel te grote versnellingen optreden. En dat is oncomfortabel voor de passagiers. (In termen van de eigenwaarden: dit treedt op als een eigenwaarde te ver van de imaginaire as ligt.) Er kan ook een patroon van heen en weer slingeringen ontstaan die maar langzaam uitdoven, zoals in het derde plaatje hieronder. Ook niet bepaald comfortabel voor passagiers die in een vliegtuig zitten met een dergelijke regeling in de automatische piloot. (In termen van de eigenwaarden: dit treedt op als een eigenwaarde relatief dicht bij de imaginaire as liggen en ver van de reele as.) 12
1
1
1
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0
0
0
−0.2
−0.2
−0.2
−0.4
−0.4
−0.4
−0.6
−0.6
−0.6
−0.8
−0.8
−1
0
5
−1
10
−0.8
0
5
−1
10
0
5
10
Al met al maakt dat duidelijk dat ontwerpspecificaties van de regeling meestal gegeven zijn in termen van gedrag dat wiskundig beschreven kan worden met behulp van de eigenwaarden van het geregelde systeem. Het is op zichzelf niet zo’n probleem dat te bereiken. Wel als dat gekoppeld wordt aan de verwachting dat een en ander bereikt wordt met een optimale regeling van het lineair-kwadratische type. Dan krijgt men, na keuze van Q en R immers voorgeschoteld wat het boven geschetste algorithme oplevert. Dat kan men alleen veranderen door Q en/of R aan te passen. De vraag rijst dan ook of men, gegeven de gewenste locatie van de eigenwaarden, een Q en R kan vinden zo dat het geregelde systeem die eigenwaarden heeft. Dat is een interessant probleem, dat in deze algemeenheid bij mijn weten nog niet is opgelost. Een oplossing voor het geval van 1-dimensionale sturingsvariabele wordt beschreven in het afstudeerwerk dat Gerhard Reitmayr onder mijn begeleiding gedaan heeft. Als voorbeeld neem ik even een simpel systeem:
x˙ 1 (t) x˙ 2 (t)
=
0 1 √ −4 − 10
x1 (t) x2 (t)
+
0 u(t). 1
Ter herinnering nog even de kost functie die we willen minimaliseren over alle stabiliserende sturingsfuncties: Z
∞
x(t)T Qx(t) + uT (t)Ru(t) dt
0
De kostfunctie wordt dan beschreven via een positief getal R, dat we voor het gemak 1 nemen, (dat kun je altijd zo schalen) en via een matrix Q = q1 q 2 , die we positief semidefiniet willen hebben. q2 q 3 Laat nu ook twee complexe getallen gegeven zijn, die ofwel allebei reeel zijn, ofwel elkaars complex toegevoegde.Zulke getallen kunnen we ook representeren als een punt in het vlak. Dan bestaat er een Q zo dat deze getallen 13
de eigenwaarden van het geregelde systeem zijn als en alleen als de getallen van de vorm x+iy zijn, waar het punt (x, y) ligt in het gebied dat beschreven wordt door x2 + y 2 ≥ 4 en x2 − y 2 ≥ 1. Een plaatje geeft dat misschien beter aan. 2.5 2 1.5 1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2 −2.5 −3
−2
−1
0
1
2
3
Het geval waar we meer sturingsvariabelen toelaten is niet zo duidelijk. Daar ligt nog werk voor de toekomst. Aardig is in dit verband mischien te vermelden dat een nauw verwant probleem al in 1964 werd bestudeerd door Kalman, ´e´en van de grondleggers van de moderne toestandsruimte methode in de systeemtheorie. Het soort symmetrische matrix vergelijkingen dat we boven zagen heeft veel van mijn onderzoek gemotiveerd, en doet dat nog steeds. Even ter herinnering: het ging over de symmetrische matrix vergelijking XBR−1 B T X − XA − AT X − Q = 0. Deze vergelijking komt onder andere voor in het werk dat ik samen met mijn vorige promovendus, Dirk Temme, heb gedaan. Samen met mijn huidige aio, Martine Reurings, doe ik onderzoek aan meer algemene matrixvergelijkingen die symmetrische matrices als oplossing hebben: X + AT F(X)A = Q. Hier is A een willekeurige matrix, Q is symmetrisch en F is een afbeelding die op symmetrische matrices werkt en weer symmetrische matrices oplevert. Zo u ziet, van symmetrie bezeten zijn is nog besmettelijk ook.
2.3
Systeemtheorie en lineaire analyse
Het samenspel van resultaten uit de systeemtheorie en de lineaire analyse kan tot verrassende resultaten leiden. Bij elk systeem hoort een operator 14
die de sturingsfunctie afbeeldt op de meetfunctie (de input op de output). Dat noemen we de input-output operator. Systemen kunnen dan worden bestudeerd via hun input-output operatoren. Omgekeerd kunnen klassen van operatoren worden bestudeerd door ze te zien als input-output operatoren van systemen. Bij dat laatste is de centrale observatie dat op deze wijze bepaalde operatoren op een oneindig dimensionale ruimte kunnen worden gerepresenteerd via eindig dimensionale systemen. Dat dit een belangrijke stap is, is duidelijk. Immers, dan heb je een representatie in matrices, en dus kan er echt gerekend worden. Daardoor lenen problemen rondom zulke operatoren zich voor expliciete berekeningen. Er zijn veel concrete voorbeelden van dit wederzijds versterken van systeemtheorie en lineaire analyse. Zonder op details in te gaan noem ik even een voorbeeld waar ontwikkelingen in de systeemtheorie hebben gesteund op de lineaire analyse. In de jaren tachtig en negentig is een theorie ontwikkeld voor het ontwerpen van robuuste regelaars. Dat zijn terugkoppelingsregelaars die goed blijven functioneren ook als het systeem wat afwijkt van het systeem waarvoor de regelaar eigenlijk ontworpen is. Bovendien blijven ze goed werken onder allerlei storingen op de metingen. Bij de ontwikkeling van de theorie hiervoor heeft gereedschap uit de analyse een belangrijke rol gespeeld. Maar de systeemtheoretische toepassing vereiste wel een stevige verdere ontwikkeling van dat gereedschap. Ook het omgekeerde komt voor. Oplossingen van systeemtheoretische problemen zeggen vaak iets over dingen die in de lineaire analyse bestudeerd worden. Zo geeft een stelling uit de systeemtheorie, het zogenaamde ”Bounded Real Lemma” de mogelijkheid tot het bepalen van de norm van een bepaald soort operatoren. De norm van een operator is een soort maat voor hoe groot hij is. (Om precies te zijn: van een bepaalde klasse van integraaloperatoren.) Ik kom hier ook even terug op de al eerder genoemde spectraalstelling voor symmetrische operatoren. Voor symmetrische operatoren speelt de zogenaamde spectrale maat de rol die eigenwaarden spelen voor symmetrische matrices. Voor een klasse van integraaloperatoren (symmetrische WienerHopf operatoren waarvoor het symbool een rationale functie is), f→
Z
0
∞
k(t − s)f (s) ds,
kan met behulp van systeemtheoretische stellingen en begrippen de spectrale maat van de operator geheel in termen van matrices worden uitgerekend. Een en ander is uitgevoerd in het proefschrift van mijn eerste aio, Rob Vreugden15
hil, en het is bij mijn weten een van de zeer weinige voorbeelden waar voor een klasse van (niet-compacte) symmetrische operatoren de spectrale maat echt expliciet kan worden uitgerekend. Een onderzoeksonderwerp, waaraan al in het kader van het afstudeerproject van Martine Reurings enig werk is gedaan, betreft de verdere bestudering van een nauw verwante klasse van integraaloperatoren (namelijk die met semi-separabele kern op een eindig of oneindig interval). Door Gohberg en Kaashoek is bewezen dat deze te zien zijn als input-output operatoren van een bepaald soort systemen (tijdsvari¨erende systemen met randvoorwaarden). Deze visie maakt het mogelijk systeemtheoretische resultaten en idee¨en te gebruiken om zulke integraaloperatoren te bestuderen. Er is al gekeken naar de vraag hoe de norm te bepalen (voor het geval van het eindige interval). Mogelijke vragen die nog beantwoord moeten worden: wanneer zijn zulke operatoren symmetrisch? Hoe zijn positieve operatoren concreet en expliciet symmetrisch te factorizeren? Hoe de norm te bepalen voor zulke operatoren op de halfrechte? Wat is de spectrale maat voor het symmetrische geval?
2.4
Nog een keer: systeemtheorie
Systeemtheorie is een wiskundige tak van sport waarin Nederland een naam hoog te houden heeft. Dat blijkt onder meer uit het volgende feit: alle toptijdschriften op het vakgebied hebben Nederlanders in hun redactie. De drie technische universiteiten hadden tot voor kort alle drie een grote en goede groep wiskundigen die zich specialiseerden in de systeemtheorie. Ook de Rijksuniversiteit Groningen heeft een kleine, maar zeer invloedrijke groep, en tenslotte deed de groep rond Kaashoek hier aan de VU ook deels onderzoek in de systeemtheorie. Op het moment lijkt het erop dat op verschillende plaatsen leerstoelen systeemtheorie bij wiskunde-afdelingen zullen verdwijnen. Weliswaar wordt dat enigszins gecompenseerd doordat er bij ander afdelingen op de technische universiteiten, vanuit de toepassingen, weer wel leerstoelen speciaal voor de systeemtheorie worden ingesteld. Dat neemt niet weg dat de bestudering van de systeemtheorie als wiskundige discipline daarmee wel in het gedrang komt. Ik ben dan ook blij dat de VU tegen die stroom ingaat en met de benoeming van collega van Schuppen en mijzelf een kleine groep in de systeemtheorie wil handhaven. Zoals al duidelijk zal zijn wordt systeemtheorie ook vanuit toepassingen in de werktuigbouwkunde en de electrotechniek bestudeerd. Verder is er een link 16
met andere, niet technische gebieden: in de econometrie worden wiskundige modellen bestudeerd die vanuit de systeemtheorie zijn gemotiveerd. Gezien de veelvuldigheid waarmee terugkoppelingsmechanismen ook in de biologie en de geneeskunde worden geobserveerd is het eigenlijk verbazingwekkend dat systeemtheorie nog geen grote rol speelt in de bestudering van dergelijke mechanismen in de cel, in het lichaam en op populatieniveau. Daar lijkt voor de toekomst nog een braakliggend terrein te zijn, waarop onderzoek erg vruchtbaar zou kunnen zijn. Het succes van de systeemtheorie in de technische toepassingen lijkt me vooral te verklaren uit het feit dat er gewerkt wordt met relatief simpele modellen, waar veel theorie voor bestaat (en die is makkelijker te ontwikkelen voor simpele modellen dan voor ingewikkelde), waar ook goed aan kan worden gerekend, en die toch vaak een voldoende nauwkeurige benadering van de werkelijkheid geven om bruikbaar te zijn. De wiskundige modellen die voorkomen in de economische en levenswetenschappelijke toepassingen zijn noodzakelijkerwijs veel gecompliceerder dan de simpele modellen die ik zojuist de revue liet passeren. Ze zijn meestal niet lineair en er zijn vaak vertragingseffecten. Dat verklaart wellicht meteen waarom de systeemtheorie hier nog niet zo ver is doorgedrongen: de theorie is voor dit soort modellen een stukje minder ver gevorderd. Daarbij komt dat simpele modellen voor dit soort toepassingen vaak slecht aansluiten bij de praktijk.
17
3
Onderwijs
De tweede ”O”: onderwijs. Dat is een belangrijk en heel leuk deel van mijn werk. Ik vind het een voorrecht om met jonge enthousiaste mensen te werken. Ondanks alle discussie over ”leren leren”, ”computerondersteund onderwijs”, ”afstandsonderwijs”, ”tele-leren”, ”zelfontdekkend leren”, en wat er verder allemaal aan onderwijskundige hype over ons is uitgestort in de afgelopen decennia, geloof ik nog steeds dat er geen efficientere wijze van kennisoverdracht is dan wanneer een (overigens niet al te groot) aantal goed gemotiveerde leerlingen een goed voorbereid verhaal van een enthousiaste docent aanhoren, daarbij gesteund door de beschikbaarheid van een goed boek. Om vervolgens tot kennisverwerving bij de studenten te komen dient zulks dan gevolgd te worden door een werkcollege dat toegesneden is op het onderwerp en op het niveau van de studenten, en dat evenzeer goed begeleid wordt. Dat is het ideaal, en daarnaar moeten we streven. Gelukkig is dat meestal ook de situatie zoals die zich binnen onze faculteit voordoet. Daarmee wil ik niet zeggen dat hier geen aandacht is voor onderwijskundige vernieuwingen, integendeel. Maar voor zover het zich in mijn waarnemingsveld afspeelt wordt daarmee verstandig omgegaan. Wat betreft het middelbaar onderwijs in de wiskunde: veel collegas voor mij hebben daarover al het een en ander gezegd, en mijn opinie voegt niet echt iets nieuws toe aan het debat, dacht ik zo. Ook al omdat ik er niet zo veel kennis van heb. Immers, ik zie alleen maar het eindproduct. Laat ik daar dan in ieder geval wel iets over zeggen. Onlangs gaf ik les aan een klein groepje scheikunde studenten. Het ideaalbeeld doet zich daarbij wel voor: deze studenten zijn goed gemotiveerd, werken hard en zijn in het onderwerp geinteresseerd. Wat wil je als docent nog meer. In een van de eerste lessen hadden we even nodig wat sin2 x + cos2 x was. Zoals de meeste van u bekend is komt hier 1 uit. Toen ik er naar vroeg bleef het angstwekkend stil. Nadat ik dan maar verteld had dat er 1 uitkwam, en gevraagd had of dat welbekend was, kwam als aarzelend antwoord: ”Ja, dat was een van die formules. Die staan op mijn formuleblad.” Daarna heb ik toch maar even uitgelegd wat dit met de stelling van Pythagoras en de definitie van de cosinus en de sinus van een hoek te maken heeft.
18
1
sin x
x cos x
Dat bracht licht in de hersentjes, maar ook verbazing: ”Zo hebben we dat nog nooit gehad.” Eerlijk gezegd kan ik me dat niet voorstellen. Wat is nu de moraal van het verhaal? Mijns inziens wordt er tegenwoordig veel geleund op het geheugen van de grafische rekenmachine en/of op het formuleblad. Het niet meer domweg uit het hoofd leren van allerlei formules en algorithmen, en het niet meer domweg doen van 20 sommen van hetzelfde type zou tijd moeten vrijmaken voor meer begrip. Ik beweer dat dat begrip juist vaak komt door het veelvuldig oefenen, wiskunde is tenslotte iets dat je leert door het te doen, en het grondig bekijken van de afleiding van formules, die daarmee vrijwel automatisch ook uit het hoofd geleerd zijn. Bovendien is het een van de kernen van de wiskunde dat we door manipulatie met formules tot inzicht komen. Om die manipulatie succesvol te kunnen doen verlopen is het vaak nodig een arsenaal aan ”bekende formules” in het geheugen boven de oog- oor lijn te hebben opgeslagen, en niet bijvoorbeeld in het geheugen van de rekenmachine. Uit dat laatste geheugen komt namelijk zelden tot nooit nog een zinvolle combinatie van twee formules te voorschijn, terwijl het juist tot de kern van het wiskundig denken en handelen behoort dat uit het menselijk geheugen vaak een onverwachte combinatie van bekende zaken tot een verrassend resultaat leidt. Ik wil hier ook iets meer algemeens zeggen over onderwijs. In allerlei officiele stukken wordt Nederland afgeschilderd als producent van hoogwaardige technologie, als kennisexporterend land, en wordt de Nederlandse samenleving gekenschetst als een ”kennissamenleving”. Om die pretentie ook maar enigszins waar te maken is onderwijs van hoge kwaliteit een eerste vereiste. Daarover is men het ook in de politiek wel eens, overigens zonder de daarbij behorende kosten echt te willen dragen. Ik ben er minder van overtuigd dat men in politieke kringen ook doordrongen is van het feit dat voor het waarmaken van die pretenties ook kwalitatief hoogstaand onderzoek op allerlei terreinen noodzakelijk is. Met name als het gaat over die ”hoogwaardige technologie” is de link met systeemtheorie voor exact en/of technisch opgeleide 19
mensen direct duidelijk, maar voor mensen met een andere achtergrond is dat wellicht niet zo direct het geval. Meer in het algemeen dient hier aandacht te zijn voor de precaire situatie van de wiskunde in Nederland. Ondanks het langzaam weer stijgende aantal studenten zijn er nog steeds veel te weinig jonge mensen die wiskunde komen studeren om aan de vraag naar hoog opgeleide wiskundigen vanuit het bedrijfsleven te kunnen voldoen. Laat staan dat er dan veel hoog opgeleide wiskunde docenten voor de klas komen te staan. En zonder goede en hoog opgeleide wiskundedocenten zitten we hier in Nederland ook snel zonder goede fysici, chemici en technici. Dan kan het zijn dat Nederland binnen korte tijd van kennisexporteur tot kennisimporteur wordt. Voorboden daarvan kan men al zien: veel nieuwe aio’s in wiskunde, maar ook in de informatica en de technische vakken komen al uit het buitenland, veel postdocs idem. Al dat jonge talent kan in het bedrijfsleven makkelijk aan de slag, hier in Nederland of elders. Maar als dat jonge talent een academische carri¨ere ambieert volgt een lange leidensweg van de ene tijdelijke positie naar de andere, vaak via verschillende periodes in het buitenland. Door gebrek aan financi¨ele middelen voor de academische wereld, met name waar het onderzoek betreft, raakt op deze wijze veel talent gefrusteerd, of gaat verloren voor de Nederlandse samenleving.
20
4
Organisatie
Tenslotte de derde ”O”: organisatie. Daarover zal ik kort zijn, ook al omdat het wat tijdsbeslag betreft in de regel de kleinste van de drie taken van een academicus is. Ook is het de taak waarvoor men in het algemeen het minst enthousiast is: het moet domweg gebeuren, maar niemand staat te dringen om dit soort taken op zich te nemen. Toch heeft de job die ik nu heb een redelijk omvangrijke organisatorische taak en wel ten behoeve van de studierichting Bedrijfswiskunde en Informatica. Die studierichting noemen we hier vaak kortweg BWI, en het is een opleiding die bestaat uit ongeveer even grote delen wiskunde, informatica en (bedrijfs) economie/econometrie. B
W
I
Momenteel ligt de wiskundige focus van deze opleiding bij de statistiek en bij de besliskunde, ook al omdat de opleiding mikt op afstuderenden die in de financi¨ele wereld of anderszins in de dienstverlening komen te werken. Toch zullen in de toekomst BWI studenten ook in het technisch-industri¨ele complex komen te werken. Dan moeten ze in staat zijn te communiceren met technici van divers pluimage. Daarbij helpt het dat het basisvak systeemtheorie als onderdeel in hun curriculum is opgenomen. Mogelijk dat in de nieuwe vijfjarige structuur van de opleiding er ruimte kan ontstaan voor meer diverse specialisaties, waaronder bijvoorbeeld ´e´en die meer mikt op werken in het technisch-industri¨ele complex. Daarbij zou een duidelijke rol voor systeemtheorie en analyse zijn weggelegd.
21
5
Dankwoord
Tenslotte kom ik aan een gebruikelijk deel van dit soort toespraken: het bedanken van allerlei mensen. Dat genoegen zal ik me niet laten ontgaan. Allereerst wil ik mijn directe collegas, de faculteit, en het CvB van de VU danken voor het in mij gestelde vertrouwen, dat blijkt uit mijn aanstelling. De Stichting Het Vrije Universiteitsfonds wil ik danken voor het mogelijk maken van de aanstelling. De leden van het curatorium van de leerstoel dank ik hartelijk voor hun berijdwilligheid in dat curatorium zitting te nemen. Ik heb het geluk gehad een aantal uitmuntende leermeesters te hebben gehad. Allereerst op de middelbare school, waar ik zes jaar les had van Jan Vlaming. Beste Jan, ik heb me pas achteraf gerealiseerd hoeveel ik al bij jou geleerd heb. Veel zaken die tegenwoordig pas in het universitair onderwijs ter sprake komen wist jij al helder te maken voor kinderen die veel jonger waren. Daarbij heb ik ook echt wiskunde van je geleerd: je stond op precisie, aandacht voor juist gebruik van de logica, en helderheid van betoog. Op de universiteit heb ik van veel mensen les gehad. Zonder anderen te kort te willen doen noem ik er daarvan maar twee. Ik heb veel te danken aan Maarten Maurice en Rien Kaashoek. Maarten is ons helaas te vroeg ontvallen. Ik voel dat persoonlijk nog steeds als een gemis. Wat ik tot hem zou hebben willen zeggen kan helaas dus niet meer, en ik zal dat ook voor me houden. Beste Rien, je hebt me begeleid van jong studentje tot hoogleraar. Wat ik van je geleerd heb op wiskundig gebied vult dikke boeken, maar is op zichzelf niet het belangrijkste. Ook het feit dat ik qua presentatie veel van je geleerd heb is niet het belangrijkste. Wat ik het meest waardeerde is de sfeer die je wist (en nog steeds weet) te cre¨eeren in de analyse groep. Een sfeer van openheid, persoonlijke betrokkenheid en gelijkwaardigheid maakt werken in de groep tot een plezier. Ik hoop dat je me blijft toestaan je deur plat te lopen met allerlei vragen. Ik ga nu even over op de engelse taal. By great good fortune there are two people present in this room who where also here for my PhD defense 17 years ago: Israel Gohberg and Leiba Rodman. They had already played an important role in my career then, and have ever since continued to do so. Dear Israel, as you did with so many people, you have made also a long lasting impact on my career. Just to illustrate this to the general audience: it was a question of Israel that started the collaboration between me and Leiba. Out of this question, a very short 22
one indeed: ”what about stability”, came, by latest count 23 papers. Dear Israel, I hope we can continue to meet and discuss mathematics for many years to come. Dear Leiba, our collaboration originated some 20 years ago here at the VU. From the very beginning of our collaboration you took me on equal terms, a fact that was, and is highly appreciated. We have written together well over 30 papers, some of the earlier ones are up untill today quoted quite frequently in papers of others. It is always a great pleasure to work with you, and I hope we will keep on doing so in the long future. Zonder steun van het thuisfront is het niet mogelijk een carri¨ere in de wetenschap te hebben. Eerst werd dat thuisfront gevormd door mijn ouders, zussen en broer aan de Beatrixlaan in Den Burg op Texel. Ik heb daar rijkelijk steun gehad in alles wat ik deed. Zo werd bijvoorbeeld de beslissing om te gaan promoveren, in plaats van leraar te worden, genomen tijdens discussies met mijn moeder en broer, onder andere tijdens de afwas. Ik heb nog steeds geen hekel aan afwassen. Mijn vader bemoeide zich er wat minder mee, maar had wel een uitgesproken mening over mijn carri¨ere. Hij was weliswaar een man van weinig woorden, maar onder het vogeltjes kijken, wat we samen nogal eens deden, kwam dat wel naar buiten. Later verschoof dat thuisfront naar het eigen gezin. Daarbij heb ik het geluk dat ik getrouwd ben met een vrouw die heel goed weet wat wetenschappelijk onderzoek is, en die het zelf ook gedaan heeft. Heel veel avonden gaan naar de wiskunde, veel uren in de weekenden idem, en de vele weken per jaar dat ik buitenslands ben ook. Clasien, je accepteert het allemaal zonder meer, zonder dat ik het elke keer hoef te rechtvaardigen. Je steun op dit punt wordt meer gewaardeerd dan ik je meestal laat blijken, en het is goed dat nu wel eens te doen. Bij deze dus. Tenslotte mijn kinderen, Erik en Iris. Die spelen op dit moment de rol die mijn broer speelde tijdens mijn studie- en promotiejaren: ze herinneren me er met enige regelmaat aan dat er toch echt meer is in het leven dan wiskunde.
23
24
