Verwacht winst … altijd Prof. dr. Herman Callaert
Een verrassende toepassing
van de verwachtingswaarde bij kansmodellen. “groen is te verkiezen boven blauw” en “blauw is te verkiezen boven rood” is dan groen te verkiezen boven rood ? .
.
Een kansmodel is een geïdealiseerd wiskundig model dat je gebruikt om experimenten te bestuderen waarbij het toeval een rol speelt. Met een kansmodel beschrijf je vooraf alle mogelijke uitkomsten samen met hun kansen.
Voorbeeld Een kansmodel voor een spel –> een kansmodel voor winst of verlies –> verwachte winst/verlies Meer info over de verwachtingswaarde van een kansmodel vind je in de tekst “Eigenschappen van kansmodellen” op http://www.uhasselt.be/lesmateriaal-statistiek
Het spel In een blauwe doos zitten de kaartjes 3, 5 en 7. In een rode doos zitten de kaartjes 2, 4 en 9. Blauw 3
Rood 7
2
5
4 9
Jij mag als eerste een doos kiezen en dan neem ik de andere. Met jouw doos speel je dan 1000 keer het volgende spel tegen mij. Jij trekt lukraak een kaartje uit jouw doos en ik trek lukraak een kaartje uit mijn doos. Het hoogste cijfer wint en krijgt € 1 van de verliezer.
Welke doos kies je?
Kansmodel voor het spel Elke mogelijke uitkomst kan je schrijven als een koppel (rood, blauw) Lukraak trekken –> een specifiek kaartje verschijnt met kans 1/3 Onafhankelijkheid –> productregel Voorbeeld P (R=4 en B=7) = P(R=4) P(B=7) = (1/3) (1/3) = 1/9 Tabel van alle 9 uitkomsten met hun kansen (= kansmodel)
R o o d
3
Blauw 5
7
2
1/9
1/9
1/9
4
1/9
1/9
1/9
9
1/9
1/9
1/9
Kansmodel voor het spel –> kansmodel voor de winst Vijf van de 9 uitkomstenkoppels (rood, blauw) leveren winst voor blauw.
R o o d
2
3 1/9
Blauw 5 1/9
7 1/9
4
1/9
1/9
1/9
9
1/9
1/9
1/9
Noteer “de winst van blauw” door X . De mogelijke waarden zijn dan +1 euro (als blauw wint) en –1 euro (als blauw verliest). Waarden en kansen voor de winst van blauw (= kansmodel). waarde x
–1
1
kans P(X=x)
4 9
5 9
Verwachte winst voor blauw
Kansmodel voor X (= de winst van blauw):
x
–1
1
P(X=x)
4 9
5 9
Verwachtingswaarde voor “de winst van blauw”: 4 E( X ) xi P( X xi ) (1) (1) 5 1 9 9 9 i1
n
Bij 1000 spelletjes verwacht blauw een winst van 1000
1 111 Euro 9
Besluit
Bij 1000 spelletjes van blauw tegen rood verwacht blauw een winst van 111 Euro en rood een verlies van 111 Euro. Als je mag kiezen met welke doos je speelt, dan kies je uiteraard blauw.
Blauw is te verkiezen boven Rood
Dit weet je uit modeleigenschappen, zonder geobserveerd cijfermateriaal, want je hebt dit spel nog nooit gespeeld !
Een aangepast spel: groen tegen blauw
Er is ook een groene doos met 3 kaartjes. Die is nog beter dan blauw. Bij het spel van groen tegen blauw noteer je “de winst van groen” door X . De mogelijke waarden zijn +1 euro (als groen wint) en –1 euro (als groen verliest). Het kansmodel voor X (= de winst van groen) is: x
–1
1
P(X=x)
4 9
5 9
Verwachtingswaarde voor “de winst van groen”: 4 E( X ) xi P( X xi ) (1) (1) 5 1 9 9 9 i1
n
Bij 1000 spelletjes verwacht groen een winst van 1000
1 111 Euro. 9
Besluit voor dit spel
Bij 1000 spelletjes van groen tegen blauw verwacht groen een winst van 111 Euro en blauw een verlies van 111 Euro. Als je hier mag kiezen met welke doos je speelt, dan kies je uiteraard groen.
Groen is te verkiezen boven Blauw
Groen is te verkiezen boven Blauw en Blauw is te verkiezen boven Rood ======================================================== Met deze drie dozen speel je nu een nieuw spel
Jij mag als eerste een doos kiezen en met die doos speel jij.
Groen
Uit de twee resterende dozen kies ik daarna een doos. Met die doos speel ik.
Blauw
Welke doos kies jij ? Welke doos kan ik daarna best kiezen ?
Rood
Groen is te verkiezen boven Blauw en
Blauw is te verkiezen boven Rood
Als jij de rode doos kiest dan kan ik de blauwe nemen, want blauw verwacht winst tegen rood (dat is bewezen) en dan zal jij verliezen –> rood kies je niet. Als jij de blauwe doos kiest dan kan ik de groene nemen, want groen verwacht winst tegen blauw (dat is bewezen) en dan zal jij verliezen –> blauw kies je niet. Dus kies je groen, in de overtuiging dat ik je dan niet kan verslaan. … maar is dat zo?
Jij kiest groen en ik kies … rood Groen
Rood
1
8
2
6
4 9
Tabel van alle 9 uitkomsten met hun kansen (= kansmodel)
R o o d
2
1 1/9
Groen 6 1/9
8 1/9
4
1/9
1/9
1/9
9
1/9
1/9
1/9
Vijf van de 9 uitkomstenkoppels (rood, groen) leveren winst voor rood.
R o o d
2
1 1/9
Groen 6 1/9
8 1/9
4
1/9
1/9
1/9
9
1/9
1/9
1/9
Noteer “de winst van rood” door X . De mogelijke waarden zijn dan +1 euro (als rood wint) en –1 euro (als rood verliest). Waarden en kansen voor de winst van rood (= kansmodel). waarde x
–1
1
kans P(X=x)
4 9
5 9
Verwachte winst voor rood
Kansmodel voor X (= de winst van rood):
x
–1
1
P(X=x)
4 9
5 9
Verwachtingswaarde voor “de winst van rood”: 4 E( X ) xi P( X xi ) (1) (1) 5 1 9 9 9 i1
n
Bij 1000 spelletjes verwacht rood een winst van 1000
1 111 Euro. 9
Waarom koos jij groen?
Bij 1000 spelletjes van groen tegen rood verwacht rood een winst van 111 Euro en groen een verlies van 111 Euro.
Rood is te verkiezen boven Groen
Groen is te verkiezen boven Blauw
Blauw is te verkiezen boven Rood
Rood is te verkiezen boven Groen
“is te verkiezen boven” is dat niet transitief ? .
.
Tactiek voor een spel dat altijd in je voordeel is: – laat je tegenstrever als eerste kiezen – ga op de gekozen kleur staan en volg de pijl – kies de eerstvolgende kleur ….en win !!!
GROEN
ROOD
BLAUW
