VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS MSc Órai Feladatok
1. Feladat (Diszkrét eloszlás) Ketten kosárlabdáznak. Az „A” játékos 0,4 a „B” játékos 0,3 valószínűséggel dob kosarat. A dobást „A” kezdi és felváltva dobnak egymás után. A játék addig tart, amíg egyikük kosarat nem dob, de legfeljebb 4 alkalommal dobnak fejenként. A ξ valószínűségi változó jelentse az „A” játékos dobásainak számát! Határozza meg: a) A ξ eloszlását! b) Az eloszlásfüggvényt! c) A ξ várható értékét és szórását! d) Móduszt, mediánt! e) Számítsa ki az alábbi valószínűségeket: P(ξ<3), P(1<ξ), P(1≤ξ<4)!
2. Feladat (Ismétléses mintavétel) Budapesten a háztartások 75%-a rendelkezik kávéfőzővel. Ismétléses mintavételi módszerrel kiválasztunk 20 háztartást Mennyi annak valószínűsége, hogy a) A megkérdezett háztartások mindegyike rendelkezik kávéfőzővel? b) A megkérdezettek között 3-nál kevesebbnek van kávéfőzője? c) A megkérdezettek között legalább 4-nek van kávéfőzője?
3. Feladat (Ismétlés nélküli mintavétel = Hipergeometriai eloszlás) Számítsuk ki annak valószínűségét, hogy egy szelvénnyel játszva, az ötös LOTTÓ-n a) 5 találatunk, b) 4 találatunk c) 3 találatunk d) 2 találatunk e) 1 találatunk lesz? f) Nem lesz találatunk?
4. Feladat (Binomiális eloszlás) A főiskolai valószínűségszámítás-MSc kurzus 50 hallgatója egymástól függetlenül 2/3 valószínűséggel jár be az órákra. Válaszoljon az alábbi kérdésekre: a) Átlagosan hányan vannak jelen az órákon? b) Mi a valószínűsége, hogy az órán mindenki jelen van? c) Mi a valószínűsége, hogy a jelenlevők száma legalább egy tarokkpartira (4 fő) elegendő?
5. Feladat (Poisson eloszlás) Tegyük fel, hogy egy telefonközpontba egy perc alatt átlagosan 4 hívás fut be. Mennyi annak valószínűsége, hogy a) 1 percig figyelve a hívásokat, pontosan 6 hívást regisztrálnak? b) 3 perc alatt legfeljebb 2 hívás érkezik? c) 2 perc alatt legalább 3 a beérkező hívások száma?
6. Feladat (Folytonos eloszlás) Egy R sugarú kör alakú céltáblára lövünk egy puskával. Tegyük fel, hogy minden lövés eltalálja a céltáblát, és a találatok eloszlása a céltáblán egyenletes, azaz a tábla minden pontját azonos valószínűséggel találjuk el. Legyen a ξ valószínűségi változó a találat távolsága a céltábla középpontjától. a) Határozza meg a ξ eloszlásfüggvényét! b) Határozza meg a ξ sűrűségfüggvényét! c) Számítsa ki a várható értéket és a szórást! d) Határozza meg a P(ξ<0,5·R); P(0,25·R<ξ); P(0,1·R<ξ<0,9·R) valószínűségeket! e) Számítsa ki az eloszlás móduszát és mediánját!
7. Feladat (Folytonos eloszlás) Egy folytonos eloszlású, ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye az alábbi: f(x) =
x A ⋅ cos , ha 0 < x < π 2 0, különben
Határozza meg az alábbiakat: a) A = ? b) ξ eloszlásfüggvényét! c) A várható értéket és a szórást! d) Móduszt, mediánt! e) Számítsa ki a következő valószínűségeket: P(ξ< π )=, P(ξ≤ π )=, P( π <ξ)=, P(-1<ξ< π )=, 2
2
4
3
8. Feladat (Folytonos egyenletes eloszlás) Reggel 8:00 és délután 13:00 óra között egy fontos telefonhívást várunk. A hívás ebben az időintervallumban bármikor, azonos valószínűséggel beérkezhet. a) Adja meg a sűrűségfüggvényt és az eloszlásfüggvényt. b) Számítsa ki annak valószínűségét, hogy a hívás fél 10 és 12:00 között érkezik be!
9. Feladat (Folytonos eloszlás) Egy folytonos eloszlású, ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye az alábbi: f(x) =
A , ha 1 < x x4 0, különben
Határozza meg az alábbiakat: a) A = ? b) ξ eloszlásfüggvényét! c) A várható értéket és a szórást! d) Móduszt, mediánt! e) Számítsa ki a következő valószínűségeket: P(ξ<3)=, P(ξ≤4)=, P(2<ξ)=, P(0<ξ<5)=,
10. Feladat (Exponenciális eloszlás) A tapasztalatok szerint egy benzinkútnál az üzemanyagot tankolók 10%-a várakozik 6 percnél többet. Mi a valószínűsége annak, hogy véletlenszerűen a kúthoz érkezve a) 3 percen belül sorra kerülünk? b) Legalább 5 percet kell várni? c) A várakozási idő egy 2 és 4 perc közötti időtartam?
11. Feladat (Normális eloszlás) Egy automata gép által csomagolt vaj tömege normális eloszlású valószínűségi változó. A tömeg átlagértéke 100g, az átlagtól való átlagos eltérés mértéke 2g. Mekkora annak valószínűsége, hogy a) A vaj tömege 97g és 104g közé esik? b) A vaj tömege több, mint 103g? c) A vaj tömege kevesebb, mint 95g? d) A vaj tömege nem tér el az átlagértéktől a szórásnál jobban? e) Milyen pontosságot biztosíthatunk a vaj tömegére 90% valószínűséggel?
12. Feladat (Normális eloszlás és binomiális eloszlás) Egy műszaki cikk élettartama a tapasztalatok szerint normális eloszlású valószínűségi változó 1200 óra várható értékkel és 50 óra szórással. a) Hány működési órára szóló garanciaidőt adjon a gyártó cég, ha az eladott szerkezeteknek legfeljebb 5%-át szeretné garanciálisan cserélni? b) Ha rendelkezünk 5 db ilyen szerkezettel, mi a valószínűsége, hogy közülük pontosan egy lesz garanciálisan kicserélve?
13. Feladat (Normális eloszlás és teljes valószínűség tétele) Egy pincészetben az üvegek töltését két automata gép végzi. Egy-egy üvegbe töltött bor mennyisége normális eloszlású valószínűségi változó. A palackokba töltött bor mennyisége mindkét gépnél átlagosan 7dl. A szórás az egyik gépnél 0,15dl a másiknál 0,1dl. A palackok közül véletlenszerűen kiválasztva egyet, mi annak valószínűsége, hogy abban a bor mennyisége kevesebb, mint 6,8dl, ha az első automata szolgáltatja a termelés 70%-át?
14. Feladat (Exponenciális eloszlás örökifjú tulajdonsága) Egy bizonyos típusú televízió képcső élettartama exponenciális eloszlást követ 5000 óra várható értékkel. a) Mi a valószínűsége, hogy a televíziónk legalább 1000 órát működik? b) Ha mi a televíziónkat már 6000 órát működtettük, mi a valószínűsége, hogy még további 1000 órát működik?
15. Feladat (Folytonos eloszlás) Mutassuk meg, hogy az f(x) =
A , ha 0 < x 1 + x 2 0, különben
sűrűségfüggvénnyel megadott folytonos eloszlású ξ valószínűségi változónak nem létezik várható értéke!
16. Feladat (Folytonos eloszlás) Mutassuk meg, hogy az f(x) =
A , ha 0 < x x3 0, különben
sűrűségfüggvénnyel megadott folytonos eloszlású ξ valószínűségi változónak létezik várható értéke de nem létezik szórása!
17. Feladat (Kétdimenziós diszkrét eloszlás) Egy autószalonban kétféle modellt árusítanak (sportkocsit és családi autót) háromféle színben (fehér, ezüst és piros színekben). A tapasztalatok szerint a vásárlók 40%-a vásárol sportkocsit, a többiek családi autót. A sportkocsit vásárlók fele ezüst színt választ, fehér és piros sportkocsit egyenlő arányban vásárolnak. A családi autót vásárlók 50%-a fehér modellt vesz, a többi családi autó 1:2 arányban fogy ezüst és piros színekben. Definiáljunk két valószínűségi változót! Legyen ξ=1 ha a vásárló sportkocsit vesz és ξ=2 ha családi autót, továbbá vegye fel η az 1, 2, 3 értékeket, ha a választott szín rendre fehér, ezüst illetve piros. Határozza meg az alábbiakat: a) A (ξ, η) vektorváltozó együttes eloszlását! b) A peremeloszlásokat! c) A peremeloszlás-függvényeket! d) Az együttes eloszlásfüggvényt! e) Az alábbi jellemzőket: M(ξ), D(ξ), M(η), D(η)! f) M(ξ⋅η), M(ξ + η)! g) Függetlenség, korrelálatlanság! h) Kovariancia! i) Korrelációs együttható!
18. Feladat (Kétdimenziós diszkrét eloszlás) Vizsgálja meg hogy az alábbi táblázatokkal megadott kétdimenziós eloszlások függetlenek- illetve korrelálatlanok-e! a) ξ\η
1
2
3
1
0,25
0,15
0,1
2
0,25
0,15
0,1
ξ\η
-1
0
1
-1
0
0,25
0
0
0,25
0
0,25
1
0
0,25
0
b)
19. Feladat (Polihipergeometriai eloszlás) Egy 1000 elemű termékhalmazt vizsgálnak minőségellenőrök. A tapasztalatok alapján ismert, hogy a termékek 70%-a hibátlan (I. osztályú), 28%-a kishibás, tehát javítható (II. osztályú), és 2% selejtes. Az ellenőrök megvizsgálnak egy 50 elemű mintát (visszatevés nélkül). Határozza meg annak valószínűségét, hogy a) A mintában legalább 2 db selejtes termék van! b) A mintában pontosan 40 db I. osztályú, 9db javítható és 1 db selejtes termék van!
20. Feladat (Polinomiális eloszlás) Tapasztalatok szerint egy átlagos nyári napon egy forgalmas belvárosi étteremben a sört fogyasztó vendégek 70%-a iszik világos sört, 20% -uk fogyaszt búzasört és 10 % barna sört. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a) Legalább 15-en isznak világos sört! b) 20 sört fogyasztó vendég közül pontosan 10 vendég kér világos, 6-an fogyasztanak búza- és 4-en barna sört!
21. Feladat (Binomiális eloszlás közelítése Poisson-eloszlással) Egy elektronikus hálózaton 1000 jelet továbbítanak másodpercenként. Egy jel eltorzulásának valószínűsége 0,005. Tegyük fel, hogy a jelek torzulása egymástól független. Mi a valószínűsége annak, hogy az egy másodperc alatt továbbított jelek között a) Legfeljebb 100 jel torzul? b) Legalább 500 jel eltorzul? c) A torzult jelek száma 400 és 600 között lesz?
22. Feladat (Csebisev egyenlőtlenség) Egy üzletben levő pénzkiadó automata élettartamának átlagértéke 5 év, az élettartam szórása 0,5 év. Legfeljebb mennyi annak a valószínűsége, hogy az automata tényleges élettartama legalább 1 évvel eltér az átlagos élettartamtól?
23. Feladat (Csebisev egyenlőtlenség) Egy színházban az egy estére eladott jegyek száma a tapasztalatok szerint átlagosan 500 db, az eladott jegyek számának átlagtól való átlagos eltérése 50 db. Legalább mennyi annak a valószínűsége, hogy az eladott jegyek száma legfeljebb 120-szal tér el az átlagos jegyforgalomtól?
24. Feladat (Nagy számok törvénye) Valamely társadalmi rétegben meg akarjuk határozni a színházba járók arányát. Hány megfigyelést kell végeznünk ahhoz, hogy a megfigyelésből adódó arány a valódi aránytól legalább 95% valószínűséggel 0,01-nál kisebb hibával térjen el?
25. Feladat (Nagy számok törvénye) Annak valószínűsége, hogy egy sorsjeggyel nyerünk 0,01. Milyen határok között mozog 90% valószínűséggel a nyerő sorsjegyek száma, ha 2000 db sorsjegyet vásárolunk?
26. Feladat (Kombinatorika- Leszámlálási feladatok)) a) Egy tárgyaláson 4 elitéltet 5 fegyőr kísér a „vádlottak padjához”. Hányféleképpen foglalhatnak helyet, ha két elitélt nem ülhet egymás mellett? b) Hányféleképpen olvasható el az „IGAZGATÁS” szó az alábbi sémából, ha a bal felső sarokból indulva minden lépésben vagy jobbra, vagy lefelé léphetünk? IGAZGA GAZGAT AZGATÁ ZGATÁS c) Egy cég 15 különböző munkahelyre keres alkalmazottakat. A munkahelyekre 20 jelentkező van. Hányféleképpen tölthető be a 15 álláshely? d) Hány különböző rendszám képezhető Magyarországon, ha ezek készítéséhez 26 betűt és 10 számjegyet használhatunk fel? e1) Hányféle módon oszthatunk ki 32 kártyát 4 személy között úgy, hogy mindenki 8 lapot kapjon? e2) Egy társaságban mindenki mindenkivel kezet fogott. Összesen 66 kézfogás történt. Hányan vannak a társaságban?
