Příklad 2 TĚŽIŠTĚ VÁZY Zadání Určete těžiště vázy tvaru lahve viz. Obr. 1 vyrobené ze skla. Dáno: h1 = 8 cm, h2 = 10 cm, h3 = 10 cm, h4 = 5 cm, h5 = 2 cm, R1 = 2 cm, R2 = 3 cm, R3 = 1,5 cm, R4 = 1 cm Řešení Vázu tvaru lahve aproximujme třemi na sobě postavenými tělesy (válec 1, komolý rotační kužel, válec 2) viz. Obr.1. Chyba, které se dopustíme, je zanedbatelná pro určení polohy těžiště.
válec 2 komolý rotační kužel
Chyba aproximace
válec 1
Obr.1
A) Těžiště dutého válce 1 Tcelku1 – silnostěnný dutý válec s podstavou Objem válce V = πR 2 h .
Válec 1
y
Válec je těleso symetrické podle osy y. Pro určení polohy těžiště T = [ xT , yT , zT ] je postačující zabývat se souřadnicí yT, protože souřadnice xT = zT = 0.
h2
h1
R1 h2 − h1 Obr.2
R2
1 h . Zavedeme-li 2 souřadnicový systém s osami x, y, pak válec h o poloměru R2 má těžiště ve výšce 2 a válec 2 h o poloměru R1 ve výšce h2 − 1 . 2
Těžiště válce výšky h leží v
x
Poloha těžiště vnějšího válce pro daný souřadnicový systém je T2 = [0,
h2 ,0] . Poloha těžiště 2
h1 ,0] . Polohu těžiště válce 1 za 2 předpokladu homogenního rozložení materiálu určíme ze vztahu
vnitřního válce pro daný souřadnicový systém je T1 = [0, h2 −
1
Vcelku1 ⋅ yTcelku1 = V2 ⋅ yT 2 − V1 ⋅ yT 1 ,
π ⋅ ( R2 2 h2 − R1 2 h1 ) ⋅ yTcelku1 = πR2 2 h2 ⋅
h2 h 2 − πR1 h1 ⋅ (h2 − 1 ) , 2 2
R2 h2 − R1 (2h1 h2 − h1 ) 2
yTcelku1 =
(1)
2
2
2
.
2( R2 h2 − R1 h1 ) 2
(2)
2
(3)
Těžiště válce 1 má souřadnice
R2 h2 − R1 (2h1 h2 − h1 ) 2
Tcelku1 = [0,
2
2
2
2( R2 h2 − R1 h1 ) 2
2
, 0] .
(4)
B) Těžiště dutého komolého rotačního kužele Tcelku2
komolý rotacní kužel
y
R3 h3
α R2 Obr.3
1 Objem kužele V = πR 2 h . 3
h4
Objem komolého rotačního kužele
h3 − h4
1 2 2 V = π (h3 − h4 ) ⋅ ( R2 + R2 R3 + R3 ). 3 Komolý rotační kužel je těleso symetrické podle osy y. Pro určení polohy těžiště T = [ xT , yT , zT ] je tedy
α x
R1
postačující zabývat se souřadnicí yT. Těžiště komolého rotačního kužele výšky h3 − h4 můžeme určit z těžišť dvou kuželů výšek
h3 ,0] . 4 3h Poloha těžiště kužele výšky h4 v daném souřadnicovém systému je T4 = [0, h3 − 4 ,0] . 4 Výpočet těžiště kužele v integrální podobě je uveden níže. h3 , h4 . Poloha těžiště kužele výšky h3 v daném souřadnicovém systému je T3 = [0,
Polohu těžiště komolého rotačního kužele za předpokladu homogenního rozložení materiálu určíme ze vztahu
Vcelku ⋅ yTcelku = V3 ⋅ yT 3 − V4 ⋅ yT 4 ,
(5)
h 1 3h 1 1 π (h3 − h4 ) ⋅ ( R2 2 + R2 R3 + R3 2 ) ⋅ yTcelku = πR2 2 h3 ⋅ 3 − πR3 2 h4 ⋅ (h3 − 4 ) , (6) 3 3 4 3 4
R2 h3 − R3 h4 ⋅ (4h3 − 3h4 ) 2
yTcelku =
2
2
4(h3 − h4 ) ⋅ ( R2 + R2 R3 + R3 ) 2
2
.
(7)
Těžiště komolého rotačního kužele má souřadnice
R2 h3 − R3 h4 ⋅ (4h3 − 3h4 ) 2
Tcelku = [0,
2
2
4(h3 − h4 ) ⋅ ( R2 + R2 R3 + R3 ) 2
2
, 0] .
(8)
2
Těžiště dutého komolého rotačního kužele viz. Obr.3 je shodné s těžištěm spočteným v (8) pro plný komolý rotační kužel. Tato shoda je dána symetrií tělesa podle osy y a také tím, že na rozdíl od těžiště válce 1 neuvažujeme u komolého kužele podstavy, tj.
R2 h3 − R3 h4 ⋅ (4h3 − 3h4 ) 2
Tcelku 2 = [0,
2
2
4(h3 − h4 ) ⋅ ( R2 + R2 R3 + R3 ) 2
2
, 0]
(9)
C) Těžiště dutého válce 2 Tcelku3 – silnostěnný dutý válec bez podstav Určení těžiště dutého válce 2 je nejjednodušší z celé úlohy. Opět se jedná o těleso symetrické podle osy y s homogenním rozložením materiálu. Jak již bylo napsáno, těžiště válce obecně pro daný souřadnicový systém je 1 T = [0, h, 0] . Dutý válec 2 nemá ani horní a dolní podstavu. Lze tedy bez 2 dlouhého výpočtu napsat těžiště dutého válce pro daný souřadnicový systém, které má souřadnice
y
h5
R3
x R4
Tcelku 3 = [0,
h5 , 0] . 2
(10)
Shrnutí dosaženého výpočtu ukážeme v tabulce Tab.1. Souřadnice těžiště T = [ xT , yT , zT ]
Objem tělesa
π ⋅ ( R2 2 h2 − R1 2 h1 )
Dutý válec 1
Komolý kužel
rotační
1 π (h3 − h4 ) ⋅ ( R2 2 + R2 R3 + R3 2 ) 3
π ⋅ ( R3 2 − R4 2 )h5
Dutý válec 2
R2 h2 − R1 (2h1 h2 − h1 ) 2
[0,
2
[0,
2
2( R2 h2 − R1 h1 ) 2
2
, 0]
R2 h3 − R3 h4 ⋅ (4h3 − 3h4 ) 2
[0,
2
2
2
4(h3 − h4 ) ⋅ ( R2 + R2 R3 + R3 ) 2
2
, 0]
h5 , 0] 2
Určit celkové těžiště yT vázy ve tvaru láhve s aproximací podle Obr.1 lze podle rovnice
V vázy ⋅ y Tvázy = V válec 1 ⋅ y Tválec 1 + V komolý
kužel
⋅ y Tkomolý
kužel
+ V válec 2 ⋅ y Tválec 2
(11)
pro souřadnici yTvázy (xTvázy a zTvázy jsou nulové), kde
V vázy = V válec 1 + V komolý yTvázy =
kužel
+ V válec 2 ,
Vválec1 ⋅ yTválec1 + Vkomolý kužel ⋅ yTkomolý kužel + Vválec 2 ⋅ yTválec 2 Vválec1 + Vkomolý kužel + Vválec 2
(12) .
(13)
Závěrem k příkladu 1 uvádíme číselné řešení v krocích výpočtu.
Vválec 1 = π ⋅ ( R2 h2 − R1 h1 ) = 3,14 ⋅ (0,03 2 ⋅ 0,1 − 0,02 2 ⋅ 0,08) = 0,00018212 m 3 2
2
3
R2 h2 − R1 (2h1h2 − h1 ) 2
yTválec 1 =
2
2
2
2( R2 h2 − R1 h1 ) 2
2
0,03 2 ⋅ 0,12 − 0,02 2 (2 ⋅ 0,08 ⋅ 0,1 − 0,08 2 ) = = 0,0444828 m 2 ⋅ (0,03 2 ⋅ 0,1 − 0,02 2 ⋅ 0,08)
1 2 2 Vkomolý kužel = π (h3 − h4 ) ⋅ ( R2 + R2 R3 + R3 ) = 3 =
1 ⋅ 3,14 ⋅ (0,1 − 0,05) ⋅ (0,03 2 + 0,03 ⋅ 0,015 + 0,015 2 ) = 0,000082425 m 3 3 R2 h3 − R3 h4 ⋅ (4h3 − 3h4 ) 2
yTkomolý kužel =
2
2
4(h3 − h4 ) ⋅ ( R2 + R2 R3 + R3 ) 2
2
+ h2 =
0,03 2 ⋅ 0,12 − 0,015 2 ⋅ 0,05 ⋅ (4 ⋅ 0,1 − 3 ⋅ 0,05) = + 0,1 = 0.119643 m 4 ⋅ (0,1 − 0,05) ⋅ (0,03 2 + 0,03 ⋅ 0,015 + 0,015 2 ) yTválec 2 =
h5 0,02 + h2 + h3 = + 0,1 + 0,1 = 0,21 m 2 2
Vválec 2 = π ⋅ ( R3 − R4 )h5 = 3,14 ⋅ (0,015 2 − 0,012 ) ⋅ 0,02 = 7,85 ⋅ 10 −6 m 3 2
yTvázy =
2
0,00018212 ⋅ 0,0444828 + 0,000082425 ⋅ 0,119643 + 7,85 ⋅ 10 −6 ⋅ 0,21 = 0,00018212 + 0,000082425 + 7,85 ⋅ 10 −6
= 0,0719957 m =& 7,2 cm Váza tvaru lahve má těžiště ve výšce 7,2 cm. Poloha těžiště vázy pro daný souřadnicový systém je dána souřadnicemi T = [0, 7.2, 0] cm .
25 cm Těžiště
7,2 cm
Obr. 4: Poloha těžiště vázy tvaru lahve.
4
Závěrem k tomuto příkladu uvedeme výpočet těžiště kužele v integrální podobě.
Představme si, že jsme schopni nahradit kužel rotačními komolými kužely různých poloměrů ry a konstantní výšky dy, které jsou naskládány na sobě. Poloměr jednotlivých komolých kuželů ry je závislý, v jaké výšce y se komolý kužel nachází. Z podobnosti pravoúhlých trojúhelníků lze poloměr ry určit. Pro kužel výšky h o poloměru podstavy R platí
ry h− y
=
y
R R ⋅ (h − y ) ⇒ ry = . h h
(13)
Těžiště na sobě naskládaných komolých kuželů lze n
z
určit ze vztahu Vcelku ⋅ yT = ∑ Vi ⋅ yTi ,
x
(14)
i =1
dy
dy
h
ry y
α
kde n je počet na sobě naskládaných komolých kuželů. Pokud budeme zmenšovat výšku dy → 0 , bude narůstat počet komolých kuželů a vztah se sumou (14) přejde na vztah integrální
R
h
Vcelku ⋅ yT = ∫ Vdy ⋅ y .
(15)
0
1 2 Objem komolého rotačního kužele V = π ⋅ (ry + ry ⋅ (ry − dry ) + (ry − dry ) 2 ) ⋅ dy je závislý 3 na poloměru dolní (ry), horní (ry - dry) podstavy a na výšce komolého kužele dy. Zanedbáme-li při výpočtu objemu malých komolých kuželů členy s mocninou dry, přepíšeme vztah (15)
1 2 R ⋅ (h − y ) 2 2 2 πR h ⋅ yT = ∫ πry dy ⋅ y = ∫ πry y ⋅ dy = ∫ π ( ) y dy , 3 h 0 0 0 h
h
h
(16)
h
1 2 2R 2 R2 2 2 R h ⋅ yT = ∫ ( R − y + 2 y ) y dy , 3 h h 0
(17)
1 2 R 2 y 2 2R 2 y 3 R 2 y 4 h R h ⋅ yT = [ − + ]0 , 3 2 3h 4h 2
(18)
1 2 R 2 h 2 2R 2 h 2 R 2 h 2 R h ⋅ yT = − + , 3 2 3 4
(19)
yT =
1 h. 4
Těžiště rotačního kužele pro zvolený souřadnicový systém x, y, z je Tkužele = [0,
(20) h , 0] . 4
5
