Střední hodnoty. Aritmetický průměr vážený © Aleš Drobník
strana 1
10.2.3 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI Zatím jsme počítali s tím, že četnosti ni ve vztahu pro vážený aritmetický průměr byla přirozená čísla. Četnosti mohou být obecně racionální či reálná čísla. Pak se nazývají obecně váhy. Umožňují výpočty nových typů příkladů, které by nešly řešit prostým aritmetickým průměrem. Příklad 10.7 Farmář pěstuje brambory. Jaký je průměrný hektarový výnos x v následujících případech: a) První případ:
Na prvním poli o ploše 1 ha je výnos 20 t/ha,
Na druhém poli o ploše 1 ha je výnos 30 t/ha.
Řešení: V případě stejných ploch stačí užít vzorec pro prostý aritmetický průměr. n2
n
x
xi i 1
n
x i 1
2
i
x1 x2 20 30 25 2 2
Průměrný hektarový výnos je 25 t/ha. b) Druhý případ:
Na prvním poli o ploše 2 ha je výnos 20 t/ha,
Na druhém poli o ploše 1 ha je výnos 30 t/ha.
Řešení: Můžeme si představit, že máme tři různé plochy.
Na jedné ploše 1 ha je výnos 20 t/ha,
Na druhé ploše 1 ha je výnos 20 t/ha,
Střední hodnoty. Aritmetický průměr vážený © Aleš Drobník
strana 2
Na třetí ploše 1 ha je výnos 30 t/ha,
Opět můžeme použít vzorec pro prostý aritmetický průměr: n3
n
x
xi i 1
n
x
x1 x2 x3 20 20 30 70 23,3 3 3 3
i
i 1
3
Průměrný hektarový výnos je 23,3 t/ha. Při výpočtu pomocí prostého aritmetického průměru se dvě hodnoty opakují. Proto lze příklad počítat podle vztahu pro vážený aritmetický průměr:
Hodnota výnosu x1 = 20 t/ha se vyskytuje s četností, vahou n1 = 2 ha,
hodnota výnosu x2 =30 t/ha se vyskytuje s četností, vahou n2 = 1 ha. k
x
k
xi .ni
i 1
n
x .n i 1 k
i
i
n i 1
x1.n1 x2 n2 ... xk nk n1 n2 ... nk
i
U nás k = 2: k 2
x
k 2
x .n x .n i
i 1
n
i
i 1 k 2
i
i
n i 1
x1.n1 x2 n2 20.2 30.1 70 23,3 n1 n2 2 1 3
i
Průměrný hektarový výnos vyjde samozřejmě stejně, a to 23,3 t/ha. Průměr se spíše blíží hodnotě 20 t/ha než 30 t/ha, neboť hodnota 20 t/ha má vyšší váhu. c) Třetí případ:
Na prvním poli o ploše 2,5 ha je výnos 20 t/ha,
Na druhém poli o ploše 1 ha je výnos 30 t/ha.
Řešení: Nyní již řešení pomocí prostého aritmetického průměru není možné. Příklad lze počítat podle vztahu pro vážený aritmetický průměr: Hledáme průměrný výnos,
proto hodnoty znaku, z nichž hledáme průměr, jsou výnosy xi,
a váhy ni jsou plochy.
Tedy:
Střední hodnoty. Aritmetický průměr vážený © Aleš Drobník
strana 3
Hodnota výnosu x1 = 20 t/ha se vyskytuje s vahou n1 = 2,5 ha,
hodnota výnosu x2 =30 t/ha se vyskytuje s vahou n2 = 1 ha.
U nás počet různých výnosů k = 2: k 2
x
k 2
x .n x .n i 1
i
n
i
i 1 k 2
i
i
n i 1
x1.n1 x2 n2 n1 n2
20
t t .2,5 ha 30 .1 ha 80 t ha ha 22,86 t / ha 2,5 ha 1 ha 3,5 ha
i
Průměrný hektarový výnos je 22,86 t/ha. Všimněme si, že:
V čitateli vzorce se hektary zkrátí a vlastně vyjde souhrnná produkce z obou polí, a to 80 t.
Ve jmenovateli je souhrnná plocha, a to 3,5 ha.
Jejich podílem se vypočítá průměrný výnos z 1 hektaru.
Příklad lze řešit i pomocí tabulky: Tab. 10.5: Výnosy brambor farmáře
Index Výnos v t/ha i xi
Plocha v ha ni
Součin produkce vt xi.ni
1
20
2,5
50
2
30
1,0
30
x
3,5
80
Průměrný hektarový výnos se spočítá jako podíl součtů v řádku „Celkem“. k 2
x
x .n i 1 k 2
i
i
n i 1
i
80 t 22,86 t / ha 3,5 ha
Střední hodnoty. Aritmetický průměr vážený © Aleš Drobník
strana 4
Příklad 10.8 Farmář prodává na farmářském trhu v Blatné zahradní maliny. Jaká je průměrná prodejní cena x malin, když:
ráno stanovil cenu 60 Kč/kg a prodal hmotnost 1,4 kg malin,
dopoledne stanovil cenu 40 Kč/kg a prodal hmotnost 7 kg malin.
Řešení: Nyní řešení pomocí prostého aritmetického průměru není možné. Příklad lze počítat podle vztahu pro vážený aritmetický průměr. Hledáme průměrnou cenu,
proto hodnoty znaku, z nichž hledáme průměr, jsou ceny xi,
a váhy ni jsou hmotnosti.
Tedy farmář:
v ceně x1 = 60 Kč/kg prodal hmotnost n1 = 1,4 kg malin,
v ceně x2 = 40 Kč/kg prodal hmotnost n2 = 7 kg malin,
U nás počet různých cen je k = 2 a vzorec pro vážený aritmetický průměr je: k 2
x
xi .ni i 1
n
k 2
x .n i 1 k 2
i
i
n i 1
x1.n1 x2 n2 n1 n2
60
Kč Kč .1,4 kg 40 .7kg 364 Kč kg kg 43,33 Kč / kg 1,4 kg 7 kg 8,4 kg
i
Průměrná cena malin je 43,33 Kč/kg. Průměr se spíše blíží hodnotě 40 Kč/kg než 60 Kč/kg, neboť hodnota 40 Kč/kg má několikanásobně vyšší váhu než hodnota 60 Kč/kg. Všimněme si, že:
V čitateli vzorce se kg zkrátí a vlastně vyjde souhrnná tržba 364 Kč.
Ve jmenovateli je souhrnná hmotnost prodaných malin, a to 8,4 kg.
Jejich podílem se vypočítá průměrná cena na 1 kg.
Příklad lze řešit i pomocí tabulky:
Střední hodnoty. Aritmetický průměr vážený © Aleš Drobník
strana 5
Tab. 10.6: Tržby farmáře za prodané zahradní maliny Množství v kg ni
Součin tržba v Kč xi.ni
Index i
Cena v Kč/kg xi
1
60
1,4
84
2
40
7,0
280
x
8,4
364
Průměrná cena se spočítá jako podíl součtů v řádku „Celkem“. k 2
x
x .n i 1 k 2
i
i
n i 1
364 Kč 43,33 Kč / kg 8,4 kg
i
Příklad 10.9 Farmář na farmářském trhu v Blatné prodává brambory. Jaká je průměrná prodejní cena x brambor, když:
ráno za cenu 9 Kč/kg prodal hmotnost 10,5 kg brambor,
dopoledne za cenu 7 Kč/kg prodal hmotnost 40 kg brambor,
odpoledne za cenu 6 Kč/kg prodal hmotnost 70 kg brambor.
Řešení: Příklad lze počítat podle vztahu pro vážený aritmetický průměr. Hledáme průměrnou cenu,
proto hodnoty znaku, z nichž hledáme průměr, jsou ceny xi,
a váhy ni jsou hmotnosti.
Tedy farmář:
v ceně x1 = 9 Kč/kg prodal hmotnost n1 = 10,5 kg brambor,
v ceně x2 = 7 Kč/kg prodal hmotnost n2 = 40 kg brambor,
v ceně x3 = 6 Kč/kg prodal hmotnost n3 = 70 kg brambor,
U nás je počet různých cen k = 3 a vzorec pro vážený aritmetický průměr je:
Střední hodnoty. Aritmetický průměr vážený © Aleš Drobník k 3
x
xi .ni i 1
n
k 3
x .n i 1 k 3
i
i
n
x1.n1 x2 n2 x3n3 n1 n2 n3
9
strana 6
Kč Kč Kč .10,5 kg 7 .40kg 6 .70kg kg kg kg 10,5 kg 40 kg 70 kg
i
i 1
x
794,5 Kč 6,59 Kč / kg 120,5 kg
Průměrná cena brambor je 6,59 Kč/kg. Příklad lze řešit i pomocí tabulky: Tab. 10.7: Tržby farmáře za prodané brambory Množství v kg ni
Součin tržba v Kč xi.ni
Index i
Cena v Kč/kg xi
1
9
10,5
94,5
2
7
40,0
280,0
3
6
70,0
420,0
x
120,5
794,5
Průměrná cena se spočítá jako podíl součtů v řádku „Celkem“. Příklad 10.10 Vedoucí školní jídelny SOŠ Blatná postupně pořídila:
0,5 t brambor v ceně 9 000 Kč/t,
500 kg brambor v ceně 7 000 Kč/t,
20 q brambor v ceně 500 Kč/q,
3 000 kg brambor v ceně 4 Kč/kg.
V souladu se zákonem o účetnictví lze v jedné účetní jednotce použít k oceňování zásob stejného druhu buď metodu FIFO (zboží dodané první do skladu se musí první vyskladnit), anebo metodu váženého aritmetického průměru, podle které spočítáme průměrnou pořizovací cenu brambor. Řešení: Příklad lze počítat podle vztahu pro vážený aritmetický průměr. Hledáme průměrnou cenu,
proto hodnoty znaku, z nichž hledáme průměr, jsou ceny xi,
Střední hodnoty. Aritmetický průměr vážený © Aleš Drobník
strana 7
a váhy ni jsou hmotnosti.
Ovšem musíme převést ceny na jedny jednotky a hmotnosti také. Viz kapitola 3.2 „Veličiny intenzivní“. Například ceny převedeme na jednotky Kč/t a hmotnosti na t (i když by mohly být k ceně Kč/t i buď kilogramy, anebo metrické centy). Nebo, a to provedeme, ceny převedeme na jednotky Kč/kg a hmotnosti na kg (i když by mohly být k ceně Kč/kg i buď tuny, anebo metrické centy):
v ceně x1 = 9 Kč/kg se nakoupila hmotnost n1 = 500 kg brambor,
v ceně x2 = 7 Kč/kg se nakoupila hmotnost n2 = 500 kg brambor,
v ceně x3 = 5 Kč/kg se nakoupila hmotnost n3 = 2000 kg brambor,
v ceně x4 = 4 Kč/kg se nakoupila hmotnost n4 = 3000 kg brambor.
U nás počet různých cen je k = 4 a vzorec pro vážený aritmetický průměr je: k 4
x
xi .ni i 1
n
k 4
x .n i 1 k 4
i
i
n i 1
x1.n1 x2 n2 x3n3 x4 n4 n1 n2 n3 n4
i
Po dosazení je výpočet průměrné pořizovací ceny:
9 x
Kč Kč Kč Kč .500 kg 7 .500kg 5 .2000kg 4 .3000kg 30 000 Kč kg kg kg kg 5 Kč / kg 500 kg 500kg 2000kg 3000kg 6 000 kg
Průměrná pořizovací cena brambor metodou váženého aritmetického průměru je 5 Kč/kg. Příklad lze řešit i pomocí tabulky. Průměrná cena se spočítá jako podíl součtů v řádku „Celkem“: Tab. 10.8: Stanovení průměrné pořizovací ceny brambor Index i
Cena v Kč/kg xi
Množství v kg ni
Součin tržba v Kč xi.ni
1
9
500
4 500
2
7
500
3 500
3
5
2 000
10 000
4
4
3 000
12 000
x
6 000
30 000
Střední hodnoty. Aritmetický průměr vážený © Aleš Drobník
strana 8
Příklad 10.11 Jsem vlastník soukromé firmy. Pro potřeby vyplnění statistického výkazu vypočítám průměrný stav pracovníků v dubnu. Dle metodiky ČSÚ se započítají stavy pracovníků i za víkendy a svátky. Stav pracovníků za sobotu, neděli nebo svátek se stanoví podle nejbližšího předchozího pracovního dne (obvykle nejčastěji z pátku). Stavy pracovníků byly následující:
1. 4. byla neděle a stav z pátku 30. 3. byl 89 pracovníků.
2. 4. bylo pondělí a přijal jsem 1 pracovníka na zkušební dobu.
6. 4. jsem přijal 10 pracovníků na novou výrobu.
Řešení: Příklad lze počítat podle vztahu pro vážený aritmetický průměr. Musíme si uvědomit, jaký stav pracovníků byl po jaký počet dní. Hledáme průměrný stav pracovníků,
proto hodnoty znaku, z nichž hledáme průměr, jsou stavy pracovníků xi,
a váhy ni jsou počty dní.
Jde o vážený aritmetický průměr z časové řady, kterému se říká chronologický průměr. U počtu dní platí zvláštnost, že v intervalu od jednoho dne do jiného dne se musí započítat i jeden den včetně. Například od 2. 4. do 5. 4. je počet dní 5 – 2 + 1 = 4 dny, a to 2. 4., 3. 4., 4. 4. a 5. 4. Denní stavy jsou tyto: x1 = 89 pracovníků
1.4:
počet dní: n1 = 1
2. 4. až 5. 4.: x2 = 90 pracovníků
počet dní: n2 = 5 – 2 + 1 = 4
6. 4 až 30. 4: x3 = 100 pracovníků
počet dní: n3 = 30 – 6 + 1 = 25
U nás počet různých stavů pracovníků je k = 3 a vzorec pro vážený aritmetický průměr je: k 3
x
xi .ni i 1
n
k 3
x .n i 1 k 3
i
i
n i 1
x1.n1 x2 n2 x3n3 n1 n2 n3
i
Po dosazení je výpočet průměrného stavu pracovníků v dubnu:
x
89 prac.1den 90 prac.4dny 100 prac.25dní (89 360 2500) prac.dní 98,3 prac. 1den 4dny 25dní 30dní
Střední hodnoty. Aritmetický průměr vážený © Aleš Drobník
strana 9
V měsíci dubnu byl průměrný stav pracovníků 98,3. Příklad lze řešit i pomocí tabulky: Tab. 10.9: Stanovení průměrného stavu pracovníků v dubnu.
Index i
Stav pracovníků xi
Počet dní ni
Součin xi.ni
1
89
1
89
2
90
4
360
3
100
25
2 500
30
2 949
x
Průměrná cena se spočítá jako podíl součtů v řádku „Celkem“.
x
2 949 prac.dní 98,3 prac. 30 dní
Úkol 10.4 Farmář pěstuje brambory. Jaký je průměrný hektarový výnos brambor v případě, když:
na prvním poli o ploše 4,4 ha je výnos 24 t/ha,
na druhém poli o ploše 10 ha je výnos 29 t/ha,
na třetím poli o ploše 40 ha je výnos 20 t/ha.
Úkol 10.5 Farmář prodává brambory na farmářském trhu v Blatné. Jaká je průměrná prodejní cena brambor, když:
ráno za cenu 7 Kč/kg prodal hmotnost 10 kg brambor,
dopoledne za cenu 6 Kč/kg prodal hmotnost 20 kg brambor,
odpoledne za cenu 4 Kč/kg prodal hmotnost 40 kg brambor,
poslednímu zákazníkovi za cenu 3 Kč/kg prodal hmotnost zbylých 10,5 kg brambor.
Střední hodnoty. Aritmetický průměr vážený © Aleš Drobník
strana 10
Úkol 10.6 Vedoucí školní jídelny SOŠ Blatná postupně pořídila:
40 kg jablek v ceně 20 Kč/kg,
60 kg jablek v ceně 1700 Kč/q,
1 q jablek v ceně 900 Kč/q.
Jaká je průměrná pořizovací cena jablek?
Úkol 10.7 Jsem vlastník soukromé firmy. Pro potřeby vyplnění statistického výkazu vypočítám průměrný stav pracovníků v říjnu 2012. Dle metodiky ČSÚ se započítají stavy pracovníků i za víkendy a svátky. Stav pracovníků za sobotu, neděli nebo svátek se stanoví podle nejbližšího předchozího pracovního dne (obvykle nejčastěji z pátku). Stavy pracovníků byly následující:
Na konci září byl stav 30 pracovníků.
6. 10. odešel 1 pracovník na dohodu.
15. 10. jsem přijal 4 pracovníky na novou výrobu.
26. 10. odešel jeden z nově přijatých pracovníků.
PŘÍKLADY V EXCELU Propočítejte si příklady:
25AritmetickyPrumerRealneVahyNeresene1.xlsx – zde je první sada neřešených příkladů.
25AritmetickyPrumerRealneVahyResene1.xlsx – zde jsou tyto příklady vyřešené.
25AritmetickyPrumerRealneVahyNeresene2.xlsx – zde je druhá sada neřešených příkladů.
25AritmetickyPrumerRealneVahyResene2.xlsx – zde jsou tyto příklady vyřešené.
25AritmetickyPrumerRealneVahyUkol.xlsx – zde jsou nové neřešené příklady.
