Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
V.9. NÉGYZET, VÁGOD? A feladatsor jellemzői Tárgy, téma Geometriai megközelítésen keresztül a mértani sorozat tulajdonságaival, első n tagjának összegképletével való ismerkedés. Előzmények Téglalap területe, sorozatok fogalma, a mértani sorozat. A mértani sorozat első n tagjának összegképlete. Cél Geometriai számítások, a mértani sorozat összegképletének gyakorlása. A feladatsor által fejleszthető kompetenciák Tájékozódás a térben Tájékozódás az időben Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban Tapasztalatszerzés Képzelet Emlékezés Gondolkodás Ismeretek rendszerezése Ismerethordozók használata
+
+ + +
Ismeretek alkalmazása Problémakezelés és -megoldás Alkotás és kreativitás Kommunikáció Együttműködés Motiváltság Önismeret, önértékelés A matematika épülésének elvei
+ + + + + + +
Felhasználási útmutató A feladatsor feldolgozása két módon történhet, attól függően, hogy milyen célra szeretnénk használni. Ha a diákok már ismerik a mértani sorozat első n tagjának összegképletét, akkor a feladatsor alkalmas arra, hogy az ebben a témában szerzett tudást elmélyítse, és szemléletes geometriai tartalommal összekötve illusztrálja. Ebben az esetben a feladat egyéni munkával történő önálló feldolgozásra alkalmas, de a megoldásokat mindenképpen érdemes közösen megbeszélni. A feladatsor feldolgozható egész osztállyal, verseny formában is, a cél az, hogy ki végzi el gyorsabban az egyes számításokat. Ebben az esetben a kérdéseket fokozatosan kell adagolni. A kritikus pontokon lehet, hogy tanári beavatkozásra (segítségre) van szükség. Ha a diákok még nem ismerik a mértani sorozat első n tagjának összegére vonatkozó képletet, akkor ez a feladatsor lehetőséget ad ennek bevezetésére, megismertetve a tanulókat a speciális esetben felírt összegképlettel. Ezt követően az általánosítás lehetőségeit megkeresve felírhatjuk a tetszőleges mértani sorozat esetén érvényes alakot. Ebben az esetben a feladatsort mindenképpen közös, csoportos feldolgozásra ajánljuk, igen erős tanári közreműködéssel. A feldolgozás során adható tanári segítség, illetve útmutatás a jelen feladatsorV. Függvények, sorozatok
V.9. Négyzet! Vágod?
1.oldal/5
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
hoz adott megoldások „visszafelé olvasása”, azaz először arra a megoldásra kell rávezetni a diákokat, amely a geometriai összefüggéseket felhasználva egyszerű számítással adódik, majd ebből átalakításokkal kaphatjuk meg a kívánt algebrai alakokat. A kapott kifejezések felhasználásával tanári segítséggel végezhető el az általánosítás. (A nehézségi szintek jelölésénél a második feldolgozási módot vettük figyelembe.) A feladatsor megoldása során érdemes megfigyelni, hogy a tanulók megértették-e a feladat szövegét; tudják-e alkalmazni a komplementer-módszert; felismerik-e, hogy mértani sorozatot kapnak. Fontos azt is kideríteni, hogy kik tudják alkalmazni a sorozatokról tanultakat. Az 1. feladat b), c) és d) kérdésének megválaszolása a kétféle feldolgozási módban más-más eredményességi szintet jelent. A folyamatos visszajelzés, megbeszélés hatására a soron következő feladatok megoldásához sok segítséget és mintát kaphatnak egymástól (is) a diákok. A nehezebb kérdések – például az 1. d) feladat – önálló megválaszolása ezek után már a többségtől elvárható. A 2. c) feladat a „végtelen összegzés” miatt nehéz, de a szemléletes megoldás megértése mindenkitől, a határértékes megoldás megértése csak az emelt szintű érettségire készülőktől várható el.
V. Függvények, sorozatok
V.9. Négyzet! Vágod?
2.oldal/5
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
NÉGYZET, VÁGOD? Feladat sor
1.
Egység oldalú négyzetet darabolunk. Első lépésben úgy, hogy két egybevágó téglalapot kapjunk. Az egyik területe legyen T1, a másik téglalapot tovább darabolva két egybevágó négyzetet kapunk. Az egyik területe legyen T2, a másik négyzettel viszont hasonlóan járunk el, mint az eredeti négyzettel. A területek jelölésénél az indexeket értelemszerűen növeljük. Az ábra az első néhány lépést mutatja.
a) A feldarabolást folytatva add meg T7 értékét! b) Számítsd ki a T1 T2 ... T7 összeget! c) Mekkora az első 100 síkidom területének összege? (T1+T2+…+T100 = ?) d) Mekkora az első olyan 50 téglalap területének összege, amelyik nem négyzet?
2.
Egy egységnyi oldalú szabályos háromszögnek rajzoljuk meg a középvonalait. Az így kapott háromszögnek ismét rajzoljuk meg a középvonalait, és ezt az eljárást folytassuk. Az első háromszög kerülete legyen K1, területe T1, a második háromszög kerülete K2, területe T2 és így tovább. a) Mennyi lesz a K7 ? b) Számítsd ki a K1 K 2 K 7 összeget! c) Mekkora az első 100 háromszög kerületének az összege? d) Mennyi lesz T7 ? e) Számítsd ki a T1 T2 T7 összeget! f) Mekkora az első 100 háromszög területének az összege?
V. Függvények, sorozatok
V.9. Négyzet! Vágod?
3.oldal/5
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
MEGOLDÁSOK 2
3
7
1 1 1 1 1 1 1. a) T1 , T2 , T3 , …, T7 . 2 4 2 8 2 2
b) A területek mérőszámai rendre egy mértani sorozat egymást követő tagjai. a1 = T1 =
1 , 2
7
1 1 1 1 1 1 2 1 128 127 q = . Így az első hét tag összege S7 = = [felhasználtuk a 1 1 2 2 2 128 1 2 2 mértani sorozatban az első n tag összegére vonatkozó képletet (ha q 1): n q 1 Sn = a1 ]. q 1 Másképp Mivel a T7 egy négyzet területének a fele, egy ilyen fél kell a T1 T2 ... T7 összeghez, hogy az 1 területű négyzetet kapjuk. 7
1 127 1 Így a keresett összeg: T1 T2 ... T7 1 1 . 128 128 2
c) A területek mérőszámai rendre egy mértani sorozat egymást követő tagjai. a1 =T1 =
1 , 2
100
1 1 1 1 1 1 2 1 2100 2100 1 q = . Így az első 100 tag összege S100 = = 100 1 1 2 2 2 2 1 2 2 [felhasználtuk a mértani sorozatban az első n tag összegére vonatkozó képletet (ha q n 1 q 1): Sn = a1 ]. q 1 Másképp Mivel a T100 egy téglalap területének a fele, egy ilyen fél kell még a T1 T2 ... T100 összeghez, hogy az 1 területű négyzetet kapjuk. 100
1 Így a keresett összeg: T1 T2 ... T100 1 2
1 3
1 2100 1 . 2100 2100 5
99
1 1 1 1 d) Keressük a T1 T3 ... T99 összeget, azaz ... . 2 2 2 2 1 1 Valójában az a1 , q mértani sorozathoz kell meghatároznunk az S50 értéket. 2 4 50 1 1 1 1 1 4 1 4 50 2 1 2 2100 1 S50 = 1 100 100 . 1 3 2 2 3 2 3 2 1 4 4 V. Függvények, sorozatok
V.9. Négyzet! Vágod?
4.oldal/5
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
Másképp (akár az 1. megoldás újraértelmezéseként) 1 1 1 Mivel T2 = T1, T4 = T3, …, T100 = T99, így ha az első száz tag összegéből el2 2 2 hagyjuk a páros indexűek összegét, akkor a maradék 50 tag (a páratlan indexűek) ösz2 szege éppen az eredeti összeg -része lesz. Vagyis 3 2 2100 1 2 T1 T3 ... T99 = S100 = 100 . 3 3 2 1 1 1 2. a) K1 3 ; K 2 3 ; K 3 3 2 ; … K 7 3 6 . 2 2 2 1 1 1 1 1 1 b) S 7 3 1 2 3 4 5 6 . 2 2 2 2 2 2 1 A zárójelben egy mértani sorozat 7 tagja van összeadva, ahol q . 2 7 1 1 3 127 381 5,95 . S 7 3 21 1 64 64 2 100
1 1 1 2 1 1 c) S100 3 1 2 99 3 = 6. 1 2 2 2 1 2 3 3 1 3 1 3 1 d) T1 ; T2 ; T3 2 ; ... T7 . 4 4 4 4 4 4 46 7 1 1 3 1 1 1 1 1 1 3 4 3 e) S 7 1 2 3 4 5 6 1,33 0,577 . 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 1 4 100 1 1 3 1 1 1 3 4 3 f) S100 1 2 99 1,33 0,577 . 1 4 4 4 4 4 4 1 4
V. Függvények, sorozatok
V.9. Négyzet! Vágod?
5.oldal/5
