V.
Stacionární proudové pole ......................................................................................................... 2 V.1. Elektrický proud ............................................................................................................. 2 V.2. Proudová hustota ............................................................................................................. 2 V.3. Rovnice kontinuity proudu ................................................................................................ 3 V.4. Ohmův zákon v diferenciálním tvaru................................................................................... 3 V.5. Jouleův zákon ................................................................................................................. 5 V.6. Analogie elektrostatického a stacionárního proudového pole .................................................... 6 V.7. Podmínky na rozhraní ...................................................................................................... 7 V.8. Odpor rezistorů řazených sériově a paralelně ........................................................................ 7 V.9. Elektromotorické napětí.................................................................................................... 8
1
V.
Stacionární proudové pole
Nabijeme-li vodivé těleso elektrickým nábojem tím, že přidáme nebo odebereme nabité částice, přeskupí se během krátkého okamžiku elektrické náboje tak, aby nastal ustálený stav. V ustáleném stavu se již částice nepohybují, nepůsobí na ně uvnitř vodiče žádné síly, intenzita elektrického pole uvnitř vodičů je tedy nulová. Vložený kladný nebo záporný náboj se usadí na povrchu vodiče, kde na něj působí pouze síla kolmá k povrchu tělesa. Intenzita elektrického pole vystupuje kolmo z vodiče. Obdobná situace nastane po vložení tělesa do vnějšího elektrického pole. I zde dojde k pohybu částic pouze do okamžiku, než bude dosaženo ustáleného stavu. Dodáváme-li pomocí vnějšího zdroje, kterým může být například elektrický článek nebo indukované napětí, elektrickou energii tak, abychom dosáhli v každém okamžiku nenulové intenzitu elektrického pole a tedy i nenulového potenciálového spádu ve vodiči, nedojde jen k přechodnému pohybu částic, ale k jejich ustálenému pohybu. V této souvislosti hovoříme o elektrickém proudu. V.1.
Elektrický proud
Elektrický proud určitou plochou je definován jako celkový náboj nabitých částic, který touto plochou projde za jednotku času. Velikost procházejícího náboje se může v závislosti na čase měnit, okamžitá hodnota proudu v určitém časovém okamžiku je proto definována pomocí limitního vztahu: ∆Q ∂Q = I = lim t →0 ∆t ∂t Z historického důvodu se za kladný smysl proudu považuje tok kladně nabitých částic, ve skutečnosti je elektrický proud ve vodičích dán tokem záporných elektronů. Z hlediska výsledných účinků elektrického proudu je to však ekvivalentní. Kladný náboj, který přejde na jednu stranu uvažované plochy, je ekvivalentní se záporným nábojem, který přejde na druhou stranu. V.2.
Proudová hustota
Proud je definován jako náboj, co projde určitou plochou za jednotku času, tento náboj však nemusí být ve všech místech uvažované plochy stejně veliký a navíc nemusí náboje obecně procházet ve směru kolmém na plochu. V extrémním případě by mohly procházet ve směru rovnoběžném s plochou a proud by byl nulový. Z tohoto důvodu zavádíme veličinu, která se nazývá proudová hustota a je definována jako proud vztažený na jednotku plochy, která je orientována kolmo ke směru pohybujících se nábojů:
∆I ⋅ v0 , ∆S →0 ∆S
J = lim
kde v0 je jednotkový vektor ve směru pohybu nabitých částic. Proud, který projde elementární plochou o velikost dS, potom bude: d I = J ⋅ dS
Vliv skutečného natočení elementární plochy vůči směru pohybujících se částic je ve vztahu zohledněna skalárním součinem, ve kterém je plocha reprezentována obvyklým vektorem dS, který má velikost dS a je orientován ve směru kolmém na plochu.
2
Celkový proud plochou je možno získat integrací proudové hustoty: I = ∫∫ J ⋅ dS S
V.3.
Rovnice kontinuity proudu
Pro tok vektoru proudové hustoty uzavřenou plochou - elektrický proud - platí podle dohody stejně zvolené smysly jako pro toky jiných vektorových veličin. Tok vtékající do uzavřené plochy má znaménko mínus, vytékající znaménko plus. Integrál proudové hustoty po uzavřené ploše potom značí celkovou bilance vtékajícího a vytékajícího náboje za jednotku času. Přiteče-li jiné množství náboje, než odteče či naopak, musí se to projevit změnou množství náboje v uzavřeném objemu. Bude-li integrál vektoru proudové hustoty kladný, znamená to s ohledem na zvolené smysly, že větší množství náboje za jednotku času odteklo, než přiteklo. To se projeví časovou změnou náboje v daném objemu, v tomto případě zmenšením náboje. Uvedené skutečnosti jsou zformulovány do rovnice kontinuity proudu: ∫∫ J ⋅ dS = − S
dQ dt
Provedeme-li bilanci náboje v elementárním objemu, dostaneme se k rovnici kontinuity proudu v diferenciálním tvaru: div J = −
dρ , dt
ve které figuruje hustota náboje a funkce divergence aplikovaná standardním způsobem na vektor proudové hustoty. Ve stacionárním proudovém poli (ustálené proudy) se náboje nikde nehromadí, ani se nikde neztrácejí, kolik částic do uzavřené plochy vteče, tolik i vyteče. Platí rovnice kontinuity stacionárního proudu: ∫∫ J ⋅ dS = 0 S
div J = 0
Tyto rovnice prakticky popisují I. Kirchhofův zákon v elektrických obvodech. V integrálním tvaru by platilo: ∫∫ J ⋅ dS = 0 = J1S1 + J 2 S 2 + L + J n S n = I1 + I1 + I1 + L I n = ∑ I = 0 S
V.4.
Ohmův zákon v diferenciálním tvaru
Pro odvození základních vztahů budeme uvažovat, že v určitém vodiči došlo vlivem vnucené intenzity elektrického pole k ustálenému toku nabitých částic - elektrickému proudu. Každá z nabitých částic, jejichž elektrický náboj je rozmístěn ve vodiči s objemovou hustotou ρ, bude v elektrickém poli urychlována silou: F = Q.E .
Částice se pohybují tak dlouho, dokud nedojde ke srážce s jinými částicemi (atomy v krystalové mřížce), kterým částice odevzdá svojí kinetickou energii. Ta se zde přemění například v teplo. Výsledkem takového nerovnoměrného pohybu je určitá střední rychlost, kterou se částice budou pohybovat.
3
Budeme-li předpokládat, že částice urazí za čas dt vzdálenost dl, jejich střední rychlost bude : v=
dl dt
Když si ve vodivém tělese, kterým prochází elektrický proud, vytkneme elementární objem o velikosti dV dV = d S ⋅ d l
právě tak, aby délka dl byla vzdálenost, kterou každá částice z tohoto objemu urazí za čas dt, musí čelní plochou dS projít za čas dt celý náboj dQ, který je v tomto objemu obsažen: dI =
d Q ρ dV ρ ⋅ d S ⋅ d l = = . dt dt dt
Proudová hustota je definována jako proud procházející jednotkou plochy a platí tedy: J=
d I ρ ⋅d S ⋅dl dl = = ρ⋅ = ρ ⋅v . dS d S ⋅dt dt
Mezi proudovou hustotou, hustotou nabitých částic v jednotce objemu daného vodiče a rychlostí, kterou se nabité částice pohybují, platí vztah: J = ρ⋅v
Dá se předpokládat, že rychlost pohybu nabitých částic bude jednoznačně úměrná intenzitě elektrického pole v ≈ E, bude ale záviset na množství dalších faktorů, které ovlivňují množství srážek s ostatními částicemi. Bude tedy záviset na celkové stavbě krystalové mřížky a tedy i na druhu vodivého materiálu. Bude záviset například i na teplotě, která ovlivňuje kmitání atomů v krystalové mřížce a zvyšuje pravděpodobnost srážek. Všechny tyto faktory můžeme vztáhnout pod jednu konstantu k: v = k .E
Dosadíme-li zpětně do vztahu pro proudovou hustotu, dostáváme vztah J = ρ ⋅ k .E = σ ⋅ E . V tomto vztahu je definována výsledná konstanta udávající vztah mezi intenzitou elektrického pole a proudovou hustotou, která se nazývá měrná vodivost σ. Výsledný vztah se nazývá Ohmův zákon v diferenciálním tvaru: J =σ ⋅E Vrátíme-li se zpět k elementárnímu objemu dV a zavedeme-li do výpočtu integrální veličiny, kterými je napětí a proud, dostáváme pro proud tekoucí čelní plochou dS objemu dV: d I = J ⋅dS
Napětí rozložené po délce tohoto objemu: dU = E ⋅ d l . Dáme-li napětí a proud do podílu, můžeme definovat elektrický odpor elementu o délce dl: dR =
dU E ⋅dl Ε ⋅dl dl = = = dI J ⋅d S σ ⋅ Ε ⋅d S σ ⋅d S
4
Integrací (výpočtem celkového odporu vodiče) dostáváme vztah pro Ohmův zákon v integrálním tvaru: R =U ⋅I
V.5.
Jouleův zákon
Jouleův zákon se zabývá již zmiňovanou částí energie pohybujících se nabitých částic, která se v objemu tělesa přeměňuje na teplo. Množství vzniklého tepla lze vyjádřit na základě práce, kterou musí elektrické pole vykonat, aby přemístilo částici nabitou nábojem dQ o vzdálenost dl v poli, kde působí síla daná intenzitou elektrického pole E: d A = F ⋅dl = E ⋅dQ⋅dl
Velikost protékajícího náboje za jednotku času je možno vyjádřit pomocí proudové hustoty : dI =
dQ = J ⋅dS dt
dQ = J ⋅dS⋅dt
Za čas dt se tedy vykoná v objemu dV v elektrickém proudovém poli práce o velikosti : d A = F ⋅ d l = E ⋅ d Q ⋅ d l = E ⋅ J ⋅ d S ⋅ d t ⋅ d l = E ⋅ J ⋅ dV ⋅ d t ,
která se v tomto objemu přemění v teplo. Podělíme-li tuto práci časem dt a velikostí objemu dV, dostaneme výkon , který se přemění v jednotce objemu na teplo, jedná se tedy o jakousi hustotu ztrát. p=
dA 1 ⋅ = J ⋅E . d t dV
Výše uvedený vztah je formulován v podobě Jouleova zákona: p= J⋅E
Pomocí Ohmova zákona J = σ ⋅ E lze Jouleův zákon přeformulovat ještě do následujících tvarů: p = J ⋅ E = σ .E ⋅ E = σ ⋅ E 2 =
J2
σ
Celkovou bilanci výkonu, který se v určitém objemu přeměňuje v teplo dostaneme integrací přes objem celého tělesa: P = ∫∫∫ p. d V V
V případě, kdy je v celém tělese konstantní proudová hustota a těleso je homogenní, lze integraci nahradit prostým algebraickým součinem hustoty ztrát a velikosti objemu. Pro celkové ztráty dostáváme jednoduchý vztah: P = ∫∫∫ p. d V = V
J2
σ
S .l =
J 2 S 2 .l l = I2 ⋅ = R⋅I2 σ S σ ⋅S
5
V.6.
Analogie elektrostatického a stacionárního proudového pole
Analogie veličin elektrostatického a stacionárního proudového pole vyplývá ze stejné povahy těchto polí a vzájemné podobnosti. Je možno jí ukázat například na vypočtu polí mezi dvěma válcovými vodivými elektrodami, mezi které je přivedeno napětí o velikosti U.
Elektrostatické pole Tok vektoru ψ = D. d S elektrické indukce S indukční tok
Tok vektoru proudové hustoty elektrický proud
Elektrická indukce
Proudová hustota
∫∫
Q 2 ⋅π ⋅ r ⋅ l D = ε ⋅E
D(r ) =
Vztah mezi indukcí a intenzitou pole Vztah pro intenzitu elektrického pole Napětí mezi elektrodami zpětně vypočtené z intenzity pole Vztah mezi nábojem a napětím - kapacita
Definice kapacity Kapacita na jednotku délky
permitivita
=
Vztah mezi proudovou hustotou a intenzitou pole Vztah pro intenzitu elektrického pole
2 ⋅π ⋅ε ⋅ l ⋅U b ln a
Napětí mezi elektrodami zpětně vypočtené z intenzity pole Vztah mezi proudem a napětím - vodivost
Q 1 ⋅ 2 ⋅π ⋅ε ⋅ l r Q b U = E (r ) ⋅ d r = ⋅ ln a 2 ⋅π ⋅ε ⋅ l E (r ) =
D(r )
ε
∫
Q=
Proudové pole
Q = C / l ⋅ l ⋅U C /l =
Definice vodivosti
2 ⋅π ⋅ε b ln a
vodivost na jednotku délky
ε
měrná vodivost
6
I=
∫∫ J. d S S
I 2 ⋅π ⋅ r ⋅ l J = σ ⋅E
J (r ) =
Q 1 ⋅ 2 ⋅ π ⋅σ ⋅ l r I b U = E (r ) ⋅ d r = ⋅ ln a 2 ⋅ π ⋅σ ⋅ l E (r ) =
J (r )
σ
=
∫
I=
2 ⋅π ⋅σ ⋅ l ⋅U b ln a
I = G / l ⋅ l ⋅U G/l =
2 ⋅π ⋅σ b ln a σ
V.7.
Podmínky na rozhraní
Podmínku pro tečné složky veličin na rozhraní v proudovém poli lze určit na základě vztahu, který říká, že proudové pole je potenciálové. Toto platí mimo oblast zdrojů.
∫E⋅dl = 0 l
E1t = E2t J1t
σ1
=
J 2t
σ2
J1t σ 1 = J 2t σ 2
Podmínky pro normálové složky veličin stacionárního proudového pole na rozhraní dvou prostředí lze určit na základě zákona kontinuity :
∫∫ J ⋅ d S = 0 S
J1n ⋅ S = J 2 n ⋅ S J1n = J 2 n
σ 1 ⋅ E1n = σ 2 ⋅ E2 n E1n σ 2 = E2n σ 1
V.8.
Odpor rezistorů řazených sériově a paralelně
Rezistory spojenými do série protéká stejně velký proud : I1 = I1 = I1 = L = I n = I .
Na sériové kombinaci rezistorů se objeví výsledné napětí U = U1 + U 2 + U 3 + L + U n . Po dosazení za úbytky napětí na jednotlivých rezistorech: U = R1 ⋅ I + R 2 ⋅ I + R3 ⋅ I + L + R n ⋅ I = R ⋅ I , bude platit pro výsledný odpor sériové kombinace vztah: R = R1 + R2 + R3 + L + Rn .
7
Na všech paralelně spojených rezistorech je stejné napětí:: U1 = U 2 = U 3 = L = U n = U
Výsledný proud paralelní kombinací je dán součtem proudu jednotlivých rezistorů: I = I1 + I 2 + I 3 + L + I n Po dosazení bude platit: U U U U U = + + +L+ R R1 R2 R3 Rn Výsledný odpor paralelní kombinace rezistorů bude dán vztahem: 1 1 1 1 1 = + + +L+ R R1 R2 R3 Rn
R=
V.9.
1 1 1 1 1 + + +L+ R1 R2 R3 Rn
Elektromotorické napětí
Aby mohl protékat mezi dvěma místy elektrický proud, musí být mezi těmito místy rozdíl potenciálů. Ten může být například buzen nahromaděným kladným nábojem na jedné svorce a záporným nábojem na druhé svorce. Místa musí být propojena elektrickým vodičem, ve kterém se mohou nosiče náboje pohybovat. Kdyby se jednalo o pouhý nahromaděný náboj na elektrodách jako například u kondenzátoru, zanedlouho by se vyčerpal. Ke vzniku trvalého elektrického proudu jsou potřebné elektrické zdroje, u kterých je náboj na svorkách neustále obnovován. Musí zde proto kromě elektrické síly působit ještě síla jiné povahy, která naopak vrací kladné částice zpět na kladnou elektrodu. Tato síla se nazývá rozdělující a může být různé povahy. Působení rozdělující síly ve zdroji je ekvivalentní situaci, při které by ve zdroji existovalo kromě elektrostatického pole nahromaděných nábojů Ec ještě elektrické pole s opačným směrem, kterému přisoudíme intenzitu rozdělujících sil Er. Práci, kterou by vykonaly rozdělující síly přenesením jednotkového kladného náboje ze záporné elektrody na kladnou je definováno jako elektromotorické napětí zdroje: 1
∫ E r . d l = U ems
2
Naopak práce, kterou vykonají síly elektrického pole přenesením jednotkového kladného náboje z kladné svorky zdroje na zápornou, je definováno jako svorkové napětí. 2
∫ E c . d l = U12
1
8
Vypočítáme-li integrál po libovolné uzavřené dráze, která bude procházet zdrojem napětí, bude integrál intenzity elektrostatického pole Ec nulový, protože je toto pole potenciálové, zbude pouze integrál intenzity rozdělujících sil ve zdroji: 1
2
1
1
2
1
∫ E . d l = ∫ (E r + E c ). d l + ∫ E c . d l = ∫ E c . d l + ∫ E c . d l + ∫ E r . d l = ∫ E r . d l = U ems c 2 2 1 2144 1 44 424 3 2 0
Celkový integrál intenzity elektrického pole po uzavřené dráze procházející zdrojem tedy již není nulový, podílí se zde práce dodaná do obvodu jiným způsobem, pole již není potenciálové. Zdroj naprázdno V případě nezatíženého zdroje musí být navíc výsledná intenzita elektrického pole uvnitř nulová, protože neteče žádný proud, žádné náboje se nikam nepřemísťují. Er + Ec = 0 1
∫ E. d l = ∫ (E
2
2
+ E c ). d l + ∫ E c . d l = ∫ E c . d l = U ems 1 14 4244 3 1 r
2
c
0
Z toho vyplývá: 2
∫ E .d l = U c
12
= U ems
1
Svorkové napětí zdroje naprázdno je rovno elektromotorickému napětí. Zdroj zatížený vnějším odporem R
Připojením vnějšího elektrického obvodu mezi svorky zdroje začne protékat od kladné svorky k záporné proud, jeho velikost bude dána podle Ohmova zákona odporem vnějšího obvodu R a napětím na svorkách: 2
I=
U 12 = R
∫ Ec ⋅ d l
1
R
.
Uvnitř zdroje musí protékat stejně velký proud. Aby to bylo možné, musí být intenzita elektrického pole rozdělujících sil větší než intenzita elektrostatického pole, pro proud ve zdroji bude platit: 1
I=
∫ (E
1
r
+ Ec ) ⋅ d l
2
Ri
=
∫E
1
r
⋅dl
2
Ri
∫E
C
+
1
⋅dl
2
Ri
=
∫E
2
r
⋅dl
2
Ri
∫E
C
−
⋅dl
1
Ri
=
U ems U12 U ems R.I − = − , Ri Ri Ri Ri
kde konstanta Ri se nazývá vnitřním odporem zdroje. Z této rovnice vyplyne vztah pro proud tekoucí obvodem :
I=
U ems Ri + R
A vztah mezi napětím na svorkách a elektromotrickým napětím : .
U12 = U ems − Ri ⋅ I Napětí na svorkách je rovno elektromotorickému napětí, zmenšenému o úbytek na vnitřním odporu zdroje.
9
