´ vod do vlnkove´ transformace U Radislav Sˇmı´d CˇVUT FEL katedra meˇrˇenı´, Technicka´ 2, CZ-166 27 Praha 6
e-mail:
[email protected], www: http://measure.feld.cvut.cz/usr/staff/smid 9. srpna 2001
Obsah 1
Spojita´ vlnkova´ transformace 1.1 Vlastnosti CWT . . . . . . . 1.1.1 Linearita . . . . . . 1.1.2 Invariance v cˇase . . 1.1.3 Dilatace . . . . . . . 1.2 Pozˇadavky na prototyp vlnky
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
1 2 2 2 3 3
2
Diskre´tnı´ vlnkova´ transformace
3
3
Proble´m konecˇne´ de´lky signa´lu
5
4
Materˇske´ funkce 4.0.1 Vlnka Mexican hat 4.0.2 Morletova vlnka . 4.0.3 Meyerova vlnka . 4.0.4 Haarova vlnka . . 4.0.5 Vlnka Daubechies 4.0.6 Vy´beˇr vlnky . . .
1
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
6 6 6 7 7 8 8
Spojita´ vlnkova´ transformace
Vznik vlnkove´ transformace (wavelet transform) je jednı´m z vy´sledku˚ snahy zı´skat cˇasoveˇ-frekvencˇnı´ popis signa´lu1 . Historicky starsˇ´ı Fourierova transformace poskytuje informaci o tom, ktere´ frekvence se v signa´lu nacha´zejı´, nevypovı´da´ vsˇak o jejich umı´steˇnı´ (poloze) v cˇase, je tedy vhodna´ jen pro popis staciona´rnı´ch signa´lu˚. Mozˇny´m rˇesˇenı´m uvedene´ho proble´mu je pouzˇitı´ okna, ktere´ v cˇase ohranicˇ´ı kra´tky´ u´sek signa´lu a umozˇnı´ z neˇj urcˇovat spektrum v dane´m cˇasove´m intervalu (tento postup se nazy´va´ Short-Time Fourier Transform, varianta s Gausovsky´m oknem Gaborova transformace, Gabor Transform). Z obdoby Heisenbergova principu neurcˇitosti vyply´va´, zˇe nelze soucˇasneˇ urcˇit prˇesneˇ frekvenci a polohu jejı´ho vy´skytu v cˇase. Proto ma´ uvedene´ rˇesˇenı´ pro cˇasoveˇ konstantneˇ sˇiroke´ okno pro vsˇechny kmitocˇty velkou rozlisˇitelnost ve frekvenci a malou v cˇase a naopak pro cˇasoveˇ u´zke´ okno velkou rozlisˇitelnost v cˇase a malou ve frekvenci. Ideou vlnkove´ transformace je vhodnou zmeˇnou sˇ´ırˇky ”okna” v cˇase a jeho tvarem dosa´hnout optima´lnı´ho pomeˇru rozlisˇitelnosti v cˇase a frekvenci. Pro nı´zke´ frekvence je ”okno” sˇirsˇ´ı, pro vysoke´ uzˇsˇ´ı (obr.1). Toto ”okno” se nazy´va´ materˇska´ vlnka ψ(mother wavelet). Pomocı´ parametru s, ktery´ se jmenuje meˇrˇ´ıtko, je mozˇne´ meˇnit jejı´ sˇ´ırˇku (dilatace), parametrem τ zvany´m poloha, se meˇnı´ umı´steˇnı´ vlnky na cˇasove´ ose (translace). 1 t−τ ψτ,s (t) = √ ψ s s
1
s, τ ∈ R, s 6= 0
Neza´visle promeˇnnou samozrˇejmeˇ nemusı´ by´t cˇas, ale v ru˚zny´ch aplikacı´ch jde naprˇ. o polohu, dra´hu atd.
1
(1)
R.Sˇmı´d - U´vod do vlnkove´ transformace - draft
2
Cˇlen √1s slouzˇ´ı k normalizaci energie vlnky prˇi zmeˇna´ch meˇrˇ´ıtka, ψ(t) je tzv. prototyp vlnky. Spojita´ vlnkova´ transformace (Continuous Wavelet Transform, CWT) je pak definova´na pro signa´ly s konecˇnou energiı´2 , t.j. f ∈ L2 (R), takto: W f (τ, s) =
Z +∞ −∞
f (t) ψτ,s (t) dt
(2)
kde ψ oznacˇuje cˇ´ıslo komplexneˇ sdruzˇene´. Vy´sledkem pro jednorozmeˇrny´ signa´l je dvojrozmeˇrna´ funkce, ktera´ se nazy´va´ vlnkove´ koeficienty W f (τ, s). Po dosazenı´ zı´ska´me tvar W f (τ, s) =
Z +∞ −∞
1 t−τ f (t) √ ψ s s
dt
(3)
Graficke´ vyja´drˇenı´ vlnkovy´ch koeficientu˚ v rovineˇ (τ, s) se cˇasto nazy´va´ scalogram nebo vlnkova´ mapa (wavelet map). Souvislost mezi meˇrˇ´ıtkem a frekvencı´ slozˇek detekovany´ch CWT se musı´ stanovovat pro kazˇdou vlnku zvla´sˇt’. Doporucˇeny´m zpu˚sobem [4] je nalezenı´ meˇrˇ´ıtka, prˇi ktere´m nasta´va´ maximum vlnkovy´ch koeficientu˚ prˇi transformaci sinusovky referencˇnı´ frekvence. U neˇktery´ch vlnek je souvislost prˇ´ıma´ (Mexican hat, Morletova vlnka), u jiny´ch (Daubechies) je vztah diskutabilnı´.
ω
σ t3
a ω0
σ ω3 σ t2
ω0
σ ω2
1/a ω 0
σ ω1 σ t1 t0
t
Obra´zek 1: Cˇasoveˇ-kmitocˇtove´ rozlisˇenı´ vlnkove´ transformace, sˇ´ırˇka v prˇ´ıslusˇne´ sourˇadnici je oznacˇena σt resp. σω
1.1 Vlastnosti CWT 1.1.1
Linearita (W (af1 + bf2 ))(τ, s) = a(W f1 )(τ, s) + b(W f2 )(τ, s)
(4)
Linearita prˇ´ımo vyply´va´ z vlastnostı´ skala´rnı´ho soucˇinu v (2). 1.1.2 Invariance v cˇase W fˆ(τ, s) = W f (τ − b, s)
fˆ(t + b) = f (t)
(5)
Invariance v cˇase popisuje skutecˇnost, zˇe posun analyzovane´ funkce po cˇasove´ ose zpu˚sobı´ stejny´ posun vlnkovy´ch koeficientu˚ po ose polohy. Tento fakt lze odvodit z prˇedstavy, zˇe CWT mu˚zˇe by´t interpretova´na 2
R +∞ −∞
|f (t)|2 dt < ∞
R.Sˇmı´d - U´vod do vlnkove´ transformace - draft
3
pomocı´ mnozˇiny linea´rnı´ch cˇasoveˇ-invariantnı´ch filtru˚. Tato vlastnost se ztra´cı´ prˇi prˇechodu k diskre´tnı´ vlnkove´ transformaci a jak bude da´le uvedeno, v neˇktery´ch aplikacı´ch prˇedstavuje velkou nevy´hodu. 1.1.3
Dilatace
q s W fˆ(τ, s) = (W f )(aτ, ) fˆ = |a|f (at) a 6= 0 (6) a Vztah popisuje za´vislost mezi CWT origina´lnı´ funkce a jejı´ roztazˇenou nebo zu´zˇenou podobou, ve vlnkovy´ch koeficientech dojde k adekva´tnı´mu roztazˇenı´ v ose polohy a k posunu v ose meˇrˇ´ıtka.
1.2 Pozˇadavky na prototyp vlnky Pro zajisˇteˇnı´ invertibility transformace nemu˚zˇe by´t funkce pro vlnku ψ volena libovolneˇ, ale musı´ splnˇovat urcˇite´ podmı´nky [9]. Musı´ mı´t nulovou strˇednı´ hodnotu (7) a vhodny´ frekvencˇnı´ obsah (8). Z +∞
ψ(t) dt = 0
(7)
−∞
Z +∞ |Ψ(ω)|2
ω
0
dω < ∞
(8)
kde Ψ(ω) Fourieru˚v obraz ψ(t) ∈ L2 (R). Lze take´ rˇ´ıci, zˇe kazˇda´ netrivia´lnı´ absolutneˇ integrovatelna´ funkce g ∈ L1 (R) s nulovou strˇednı´ hodnotou je prˇ´ıpustna´ vlnka.
2
Diskre´tnı´ vlnkova´ transformace
Vhodnou dvojkovou za´vislostı´ parametru˚ s a τ mu˚zˇeme vytvorˇit z vhodne´ vlnky ψ ortonorma´lnı´ ba´zi: s = 2p
τ = 2p k
p, k ∈ Z
(9)
pak 1 t − 2p k ψk,p (t) = √ p ψ 2p 2
(10)
kde p odpovı´da´ meˇrˇ´ıtku, k poloze. Dı´ky ortonormaliteˇ pak takto volena´ vlnka umozˇnˇuje neredundantnı´ dekompozici signa´lu, tzv. analy´zu s mnoha rozlisˇenı´mi (multiresolution analysis, decomposition). Tento princip je za´kladem diskre´tnı´ vlnkove´ transformace (Discrete Wavelet Transform, DWT). Vlnkova´ funkce ψ se chova´ jako pa´smova´ propust filtrujı´cı´ vstupnı´ signa´l kolem centra´lnı´ho kmitocˇtu, ktery´ je za´visly´ na meˇrˇ´ıtku mocninou dvou, v na´sledujı´cı´m meˇrˇ´ıtku je filtrova´na hornı´ polovina pa´sma prˇedchozı´ dolnofrekvencˇnı´ cˇa´sti signa´lu (obr. 2). S rostoucı´m kmitocˇtem roste sˇ´ırˇka pa´sma (BW) tohoto filtru, cˇinitel jakosti Q je tak konstantnı´ pro celou mnozˇinu meˇrˇ´ıtkem odvozeny´ch filtru˚. Pro zvolene´ minima´lnı´ meˇrˇ´ıtko vsˇak zu˚sta´va´ nepokryto pa´smo od nizˇsˇ´ıch kmitocˇtu˚ do nuly. Proto je od vlnky ψ odvozena meˇrˇ´ıtkova´ funkce φ (scaling function), ktera´ ma´ charakter dolnı´ propusti. Podobneˇ jako u vlnky (7) musı´ φ splnˇovat podmı´nku prˇ´ıpustnosti: Z ∞
φ(t) dt = 1
(11)
−∞
DWT mu˚zˇeme take´ cha´pat jako specia´lneˇ vzorkovanou CWT, ktera´ musı´ splnˇovat na´sledujı´cı´ podmı´nky: 1. vzorkova´nı´ cˇasoveˇ-meˇrˇ´ıtkove´ho prostoru musı´ probı´hat na dvojkove´ mrˇ´ızˇce, obr.3 2. pouzˇita´ vlnka musı´ vytva´rˇet ortonorma´lnı´ ba´zi analyzovane´ho prostoru 3. analyzujı´cı´ vlnka musı´ mı´t kompaktnı´ nosicˇ
R.Sˇmı´d - U´vod do vlnkove´ transformace - draft
4
ω DP
HP
ω 4.BW DP
HP
ω 2.BW DP
HP
BW
BW
ω BW BW
2.BW
4.BW
Obra´zek 2: Frekvencˇnı´ pohled na diskre´tnı´ vlnkovou transformaci V tomto prˇ´ıpadeˇ lze pocˇ´ıtat DWT rychly´m algoritmem, tvorˇeny´m filtracı´ FIR filtry a podvzorkova´nı´m (decimacı´), obr. 4. Volneˇjsˇ´ı formulaci uvedeny´ch podmı´nek umozˇnˇuje tzv. Overcomplete Wavelet Transform (OCWT) [9], cozˇ je rozsˇ´ırˇenı´ WT o vzorkova´nı´ CWT v rovineˇ cˇas-meˇrˇ´ıtko na mnozˇineˇ vzorku˚, ktera´ nemusı´ by´t dvojkova´ jako u DWT. Pro jejı´ implementaci byly vyvinuty rychle´ algoritmy podobneˇ jako u DWT, nejpouzˇ´ıvaneˇjsˇ´ı verzı´ je ekvidistantnı´ vzorkova´nı´ v cˇase a logaritmicke´ v meˇrˇ´ıtku. Ma´ na´sledujı´cı´ vy´hody: • mozˇnost nastavenı´ odolnosti vu˚cˇi sˇumu zmeˇnou redundance reprezentace • nepozˇaduje splneˇnı´ podmı´nek ortonormality vlnky • umozˇnˇuje nestejnomeˇrneˇ vzorkovat signa´l s ohledem na jeho cˇasovy´ nebo frekvencˇnı´ pru˚beˇh s 23
4.S 22
2.S 21 20
S τ
Obra´zek 3: Dvojkova´ mrˇ´ızˇka v prostoru cˇas-meˇrˇ´ıtko Oba filtry, dolnı´ propust h (scaling filter) a hornı´ propust g (wavelet filter), tvorˇ´ı pa´r kvadraturnı´ch zrcadlovy´ch filtru˚ (QMF), ktere´ majı´ komplementa´rnı´ propustna´ pa´sma. Vy´stupy obou filtru˚ jsou podvzorkova´ny na polovinu vstupnı´ch vzorku˚. Hornı´ propust poskytuje koeficienty tzv. detailu˚ DWT (cD), dolnı´ propust koeficienty tzv. aproximace (cA). Dı´ky decimaci je celkovy´ pocˇet koeficientu˚ po jednom kroku stejny´ jako pocˇet vstupnı´ch vzorku˚. Koeficienty aproximace lze da´le analyzovat shodny´m rozkladem filtry a obdrzˇet tak dalsˇ´ı
R.Sˇmı´d - U´vod do vlnkove´ transformace - draft
konvoluce s DP
5
podvzorkování 2
cA k+1
f cA 1
cD 1 cA k pro k=0: cA 0 =f
konvoluce s HP
podvzorkování 2
cD k+1
cA 2
cD 2
cA 3
cD 3 cD 4
cA 4
Obra´zek 4: Jeden krok DWT (vlevo), rozklad na aproximace a detaily (vpravo) soubor koeficientu˚ aproximace a detailu˚. Tak lze postupovat azˇ do vycˇerpa´nı´ vstupnı´ sekvence. Jednotlive´ konvoluce s decimacı´ lze formalizovat na´sledujı´cı´mi vzorci: cAp+1 (k) =
N X
h(m − 2k) cAp (m)
(12)
N X
g(m − 2k) cAp (m)
(13)
m=1
cDp+1 (k) =
m=1
kde cAp , cDp jsou koeficienty aproximace resp. detailu˚ meˇrˇ´ıtka p ∈ h0, P i a N je de´lka vstupnı´ sekvence cAp , cA0 = f (n). Pa´r kvadraturnı´ch zrcadlovy´ch filtru˚ mu˚zˇeme cha´pat jako ortonorma´lnı´ ja´dro transformace obdobne´ tzv. moty´lku u FFT. Podle vy´chozı´ formulace vlnky jsou urcˇeny filtry h a g. Nejcˇasteˇji je z meˇrˇ´ıtkove´ funkce φ odvozen [5, 8] meˇrˇ´ıtkovy´ filtr w, ktery´ ma´ charakter dolnı´ propusti. Po normalizaci w podeˇlenı´m normou poskytne koeficienty dolnopropustnı´ho filtru h. K neˇmu se vypocˇ´ıta´ hornı´ propust g jako komplement (kvadraturnı´ ¯ a g¯ jsou pak urcˇeny jako cˇasoveˇ obra´cene´ sekvence koeficientu˚ zrcadlovy´ filtr). Rekonstrukcˇnı´ FIR filtry h dekompozicˇnı´ch filtru˚ h a g. Jine´ metody na´vrhu pouzˇ´ıvajı´ naprˇ´ıklad iteracˇnı´ postupy (vycha´zejı´ z tzv. dilatacˇnı´ rovnice Daubechiesove´) [7, 5]. Pokud ma´ analyzovany´ signa´l de´lku N = 2k a maxima´lnı´ meˇrˇ´ıtko dekompozice je P ≤ k, pak obdrzˇ´ıme N 2−1 +N 2−2 +. . .+N 2−P +1 +N 2−P koeficientu˚ detailu˚: cD1 , cD2 , . . . , cD(P −1) , cDP a N 2−P koeficientu˚ aproximace cAP . Celkem obdrzˇ´ıme N koeficientu˚, ktere´ mu˚zˇeme oznacˇit DW f . Protozˇe je pocˇet koeficientu˚ shodny´ s pocˇtem vzorku˚ a nedocha´zı´ ke ztra´teˇ informace, popis signa´lu je neredundantnı´. Popis je take´ u´plny´, pomocı´ inverznı´ho postupu k postupu na obr. 4 lze prˇesneˇ rekonstruovat analyzovany´ signa´l. Inverznı´ diskre´tnı´ vlnkova´ transformace se oznacˇuje IDWT. Operace podvzorkova´nı´ je nahrazˇena prˇevzorkova´nı´m, kdy za kazˇdy´m vzorkem pu˚vodnı´ sekvence na´sleduje doplneˇny´ nulovy´ vzorek. ¯ a g¯. Vy´sledna´ aproximace cAp je pouzˇita spolu se Mı´sto pu˚vodnı´ch filtru˚ jsou pouzˇity rekonstrukcˇnı´ filtry h vstupnı´mi detaily cDp jako vstup dalsˇ´ıho kroku IDWT (jde o pohyb nahoru ve sche´matu pyramida´lnı´ho rozkladu v obr. 4 vpravo). DWT nenı´ invariantnı´ v cˇase, pokud fˆ(n + b) = f (n) pak veˇtsˇinou neplatı´ DW fˆ = DW f .
3
Proble´m konecˇne´ de´lky signa´lu
Proble´m konecˇne´ de´lky signa´lu (border distortion) se projevuje na okrajı´ch intervalu, na ktere´m je analyzovany´ signa´l definova´n. Je du˚sledkem konecˇne´ de´lky obou signa´lu˚ prˇi konvoluci, u CWT v (3), u DWT prˇi konvolucˇnı´ filtraci. Pro zmı´rneˇnı´ nebo odstraneˇnı´ lze pouzˇ´ıt ru˚zny´ch metod podle charakteru signa´lu: 1. doplneˇnı´ signa´lu: (a) nulami - chybeˇjı´cı´ cˇa´st nutna´ pro vy´pocˇet konvoluce se doplnı´ nulami. Jde o jednoduche´ rˇesˇenı´, ktere´ veˇtsˇinou zaprˇ´ıcˇinı´ vznik diskontinuit v analyzovane´m signa´lu a odpovı´dajı´cı´ch artefaktu˚ na krajı´ch vy´sledku transformace, vhodne´ pouze pro signa´ly s tvarem odpovı´dajı´cı´m modulaci vhodny´m oknem.
R.Sˇmı´d - U´vod do vlnkove´ transformace - draft
6
(b) extrapolace konstantou - doplneˇnı´ signa´lu konstantnı´mi hodnotami okrajovy´ch bodu˚, prˇina´sˇ´ı stejne´ nevy´hody jako prˇedchozı´ metoda (c) symetrizace - doplneˇnı´ pu˚vodnı´m signa´lem symetricke´ kolem okrajove´ho bodu. Vyvola´ vznik diskontinuit v prvnı´ derivaci a odpovı´dajı´cı´ch artefaktu˚ na krajı´ch vy´sledku transformace, vhodne´ zejme´na pro 2D transformaci obrazu˚. (d) extrapolace s hladkou prvnı´ derivacı´, vhodna´ pro signa´ly reprezentovane´ hladkou funkcı´ 2. vy´pocˇet ve frekvencˇnı´ oblasti s vyuzˇitı´m oke´nkove´ funkce 3. periodizace - doplneˇnı´ signa´lu periodicky´m opakova´nı´m pu˚vodnı´ho, vhodna´ pro signa´ly periodicke´ho charakteru s periodou kmitocˇtoveˇ nejnizˇsˇ´ı slozˇky rovnou de´lce analyzovane´ho u´seku, nevyvola´va´ vznik artefaktu˚ na okrajı´ch vy´sledku transformace
4
Materˇske´ funkce
Na´sledujı´cı´ prˇehled strucˇneˇ uva´dı´ neˇktere´ rozsˇ´ırˇene´ vlnky [3, 4, 1, 5, 9, 6]. Z vlastnostı´ je uvedena vhodnost pro CWT a DWT, typ nosicˇe a typ symetrie. V prˇ´ıpadeˇ nekompaktnı´ho nosicˇe je numericky´ vy´pocˇet prova´deˇn na efektivnı´m nosicˇi. 1
1.5
1
0.5
ψ
ψ
0.5
0
0
−0.5
−1
−0.5 −5
−4
−3
−2
−1
0 x
1
2
3
4
5
−1.5 −4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
x
Obra´zek 5: Vlnka Mexican hat (vlevo) a Morletova vlnka (vpravo, imagina´rnı´ cˇa´st cˇa´rkovaneˇ)
4.0.1
Vlnka Mexican hat
Vlnka Mexican hat (Mexicky´ klobouk, Marrova vlnka, obr.5) ma´ tvar druhe´ derivace pru˚beˇhu hustoty pravdeˇpodobnosti Gaussova rozdeˇlenı´. 2 1 2 ψ(x) = √ π 4 (1 − 2x2 )e−x (14) 3 Vlastnosti: symetricka´, nema´ kompaktnı´ nosicˇ, vhodna´ pro CWT, nenı´ ortogona´lnı´ (nelze pouzˇ´ıt pro DWT). Vlnka je cˇlenem rodiny Gaussovsky´ch vlnek tvorˇene´ jednotlivy´mi derivacemi pru˚beˇhu hustoty pravdeˇpodobnosti Gaussova rozdeˇlenı´. 4.0.2
Morletova vlnka
Ma´ tvar komplexnı´ sinusovky modulovane´ Gaussovsky´m oknem (obr.5). Je vy´sledkem kompromisu mezi polohovou lokalizacı´ jednora´zovy´ch deˇju˚ (lepsˇ´ı je naprˇ. vlnka Mexican hat) a frekvencˇnı´m rozlisˇenı´m (Fourierova transformace). 1 2
ψ(x) = a.e− 2 x (cos(5x) + j sin(5x))
(15)
Vlastnosti: symetricka´, komplexnı´, nema´ kompaktnı´ nosicˇ, vhodna´ pro CWT, nenı´ ortogona´lnı´ (nelze pouzˇ´ıt pro DWT).
R.Sˇmı´d - U´vod do vlnkove´ transformace - draft 4.0.3
7
Meyerova vlnka
Meyerova vlnka (obr. 6) je definova´na ve frekvencˇnı´ dome´neˇ, nema´ explicitnı´ vzorec pro vyja´drˇenı´ v cˇase. V origina´lnı´m tvaru nemu˚zˇe by´t realizova´na FIR filtry a tudı´zˇ pouzˇita v rychle´m algoritmu DWT, proto byla vytvorˇena jejı´ diskre´tnı´ aproximace s filtry na obr. 7. 1.5
1
0.5
0
−0.5
−1 −8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
Obra´zek 6: Meyerova vlnka HP
DP
1
1
0
0
−1 0
10
20
30
40
50
60
70
−1 0
10
20
30
40
50
60
70
Obra´zek 7: Konvolucˇnı´ filtry pro Meyerovu vlnku Vlastnosti: symetricka´, nema´ kompaktnı´ nosicˇ (aproximace ma´), vhodna´ pro CWT i DWT, ortogona´lnı´. 4.0.4
Haarova vlnka 2
1.5
1.5
1
1 0.5
0.5 0
0 −0.5
−0.5 −1
−1.5 −0.5
−1
0
0.5
1
1.5
−1.5 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Obra´zek 8: Haarova vlnka, vlnka Daubechies2 Haarova vlnka (obr. 8) prˇedstavuje velmi jednoduchou vlnku, ktera´ ale neumozˇnˇuje hladkou rekonstrukci signa´lu. By´va´ cˇasto nazy´va´na Daubechies rˇa´du 1.
R.Sˇmı´d - U´vod do vlnkove´ transformace - draft
8
1
0 ≤ x < 12 −1 21 ≤ x < 1 ψ(x) = 0 jinde
(16)
Vlastnosti: symetricka´, ma´ kompaktnı´ nosicˇ, vhodna´ pro CWT i DWT, je ortogona´lnı´, jednoducha´ a efektivnı´ implementace3 . Nespojitost Haarovy vlnky prˇedstavuje prˇes vsˇechny ostatnı´ vy´hodne´ vlastnosti velkou nevy´hodu v jejı´ aplikaci. HP
DP
1
1
0
0
−1 0
1
2
3
4
5
−1 0
1
2
3
4
5
Obra´zek 9: Konvolucˇnı´ filtry pro vlnku Daubechies2
4.0.5
Vlnka Daubechies
Vlnky Daubechies (obr. 8, 9) prˇedstavujı´ skupinu vlnek ru˚zne´ho rˇa´du N ≥ 1. Nemajı´ (kromeˇ Daubechies rˇa´du 1) explicitnı´ vyja´drˇenı´ ψ(x). Vlastnosti: asymetricka´ (kromeˇ Daubechies rˇa´du 1), ma´ kompaktnı´ nosicˇ de´lky 2N − 1, vhodna´ pro CWT i DWT, je ortogona´lnı´. 4.0.6
Vy´beˇr vlnky
Ve velke´ cˇa´sti dostupne´ literatury popisujı´cı´ aplikace vlnkove´ transformace se uva´dı´, zˇe vy´beˇr pouzˇite´ vlnky byl proveden zkusmo nebo intuitivneˇ. Bylo nalezeno neˇkolik souvislostı´ mezi rˇesˇenou u´lohou (charakterem analyzovane´ho signa´lu) a vhodnou vlnkou. Tato pravidla lze shrnout do na´sledujı´cı´ch doporucˇenı´: • Komplexnı´ vlnky jako Morletova detekujı´ dobrˇe oscilace, nejsou vhodne´ pro detekci osamoceny´ch singularit. • Cˇisteˇ rea´lne´ vlnky s ma´lo oscilacemi dobrˇe detekujı´ sˇpicˇky a singularity v signa´lu. • Antisymetricke´ vlnky jsou vhodne´ k detekci zmeˇn gradientu. • Symetricke´ vlnky nezpu˚sobujı´ fa´zovy´ posun mezi sˇpicˇkou, singularitou, oscilacı´ v signa´lu a prˇ´ıslusˇny´m projevem ve vlnkovy´ch koeficientech. • Pro soucˇasnou detekci amplitudy a fa´ze je nutne´ pouzˇ´ıt komplexnı´ vlnku (naprˇ. Morletovu)
Reference [1] M. O. Berger, editor. 12th International Conference on Analysis and Optimization of Systems. Images, Wavelets and PDEs, Paris, June 1996. [2] T. Edwards. Discrete wavelet transforms: Theory and implementation. Technical report, Stanford University, September 1992. 3
pouzˇitı´ v hardwareoveˇ realizovany´ch vlnkovy´ch analyza´torech [2], DSP apod.
R.Sˇmı´d - U´vod do vlnkove´ transformace - draft
9
[3] A. Graps. An introduction to wavelets. IEEE Computational Science and Engineering, 2(2), 1995. [4] J. Lewalle. Tutorial on continuous wavelet analysis of experimental data. Technical report, Syracuse University, April 1995. [5] A. K. Louis, P. Maaß, and A. Rieder. Wavelets: Theory and Applications. John Wiley and Sons Ltd., England, 1997. [6] S. Mallat. A Wavelet Tour of Signal Processing. Academic Press, 1999. [7] A. Procha´zka, M. Kolı´nova´, and J. Strˇ´ıbrsky´. Signal segmentation using time-scale signal analysis. In IX European Signal Processing Conference EUSIPCO-98, Island of Rhodes, Greece, 1998. [8] G. Strang. Wavelets and dilation equations: A brief introduction. SIAM Review, 31:613–627, 1989. [9] A. Teolis. Computational Signal Processing with Wavelets. Birkha¨user, Boston, 1998.
