Acta oeconomica pragensia 3: (1), str. 15-23, VŠE Praha, 1995. ISSN 0572-3043
ÚVOD DO PROBLEMATIKY SEZÓNNÍHO OČIŠŤOVÁNÍ EKONOMICKÝCH ČASOVÝCH ŘAD Josef ARLT Markéta ŠKUTHANOVÁ ÚVOD V současné době je stále více zřejmá potřeba kvalitních statistických informací. Informační systém, který byl vytvářen v minulém období, je dnes jako celek stále méně použitelný, protože statistické sledování centrálně řízené ekonomiky se od statistického sledování tržního hospodářství značně liší. Není tedy překvapující, že podobně jako v jiných oblastech máme ve sběru a zpracování statistických informací problémy. Jednou z prakticky velmi užitečných statistických procedur je sezónní očišťování ekonomických časových řad. Tato problematika se vzrůstajícím zájmem o měřenmí dynamiky ekonomických jevů nabývá stále více na významu. V našem článku se pokusíme podat obecnou informaci o sezónním očišťování, vysvětlíme podstatu problému a jeho historický vývoj. Uvedeme stručný přehled metod sezónního očišťování a nastíníme některé kontroverzní otázky spjaté s touto procedurou. 1. SEZÓNNÍ OČIŠŤOVÁNÍ 1.1 Sezónnost a sezónní očišťování Časovou řadou rozumíme řadu hodnot statistického ukazatele uspořádanou v čase. Rozlišujeme dva druhy časových řad, dlouhodobé a krátkodobé. Dlouhodobé časové řady jsou řady s hodnotami sledovanými v ročních či delších obdobích. Hodnoty krátkodobých časových řad jsou sledovány v obdobích kratších než je rok (ve čtvrtletích, v měsících atd.). Klasická analýza časových řad vychází z předpokladu, že se časová řada skládá ze čtyř nepozorovatelných složek - trendové, cyklické, sezónní a reziduální. Trendovou složkou se rozumí dlouhodobá tendence ve vývoji časové řady. Cyklickou složkou se chápe dlouhodobé pravidelné či nepravidelné kolísání okolo trendu, někdy se také hovoří o fluktuacích okolo trendu. Délka jednotlivých cyklů, jakož i jejich intenzita, je proměnlivá. Sezónní složka popisuje periodické změny v časové řadě, které se odehrávají během jednoho kalendářního roku a každý rok se pravidelně opakují. Příčiny způsobující sezónnost v časové řadě jsou např. změny ročních období a s nimi spojené změny počasí a délky slunečního svitu, různé institucionálně zakotvené lidské zvyky - prázdniny, náboženské svátky, různá výročí atd. Reziduální složka zbývá v časové řadě po odstranění trendové, cyklické a sezónní složky. Je tvořena mimo jiné náhodnými pohyby v průběhu časové řady. Z výše uvedeného rozdělení časových řad je patrné, že všechny zmíněné složky jsou obsaženy pouze v časových řadách krátkodobých (dlouhodobé časové řady nemohou obsahovat sezónní složku). Jednou z běžných operací časových řad je tzv. sezónní
očišťování časových řad. S e z ó n n í m o č i š ť o v á n í m se rozumí odstranění sezónní složky, takže časová řada potom obsahuje pouze trendovou, cyklickou a reziduální složku. Důvody pro sezónní očišťování jsou následující: a) možnost konstrukce předpovědí krátkodobých časových řad, b) použití očištěných časových řad při konstrukci ekonometrických modelů, c) dosažení srovnatelnosti hodnot za jednotlivé měsíce příp. čtvrtletí. Zejména v předválečném období se vycházelo z úvahy, že při vytváření předpovědí časových řad by mohlo být vhodnější provést nejprve předpověď sezónně očištěné časové řady a předpovědi ročních hodnot rozvrhnout na jednotlivé měsíce či čtvrtletí pomocí tzv. sezónních faktorů. Někteří autoři uváděli, že při konstrukci ekonometrických modelů je velmi užitečné vycházet ze sezónně očištěných časových řad. Předpokládali, že na jejich základě je jednodušší zkoumat vztahy mezi ekonomickými veličinami. Věřili, že i interpretace takto získaných výsledků je jasnější, protože konstrukce modelů na základě původních dat by mohla vést k tzv. zdánlivým vztahům. Sezónně očištěné řady se obecně používají proto, že umožňují snadno srovnávat hodnoty v měsících či ve čtvrtletích, neboť nejsou zatíženy specifickými podmínkami těchto časových úseků. Máme-li například časovou řadu spotřeby elektrické energie v jednotlivých měsících, je patrně velmi obtížné srovnávat hodnoty neočištěné řady např. v červenci a v lednu vzhledem k tomu, že spotřeba elektrické energie je v zimních měsících vždy větší než v měsících letních. V této části jsme velmi stručně nastínili problematiku sezónnosti a sezónního očišťování ekonomických časových řad. Abychom ji mohli pochopit detailněji, je třeba podívat se poněkud hlouběji do její historie. 1.2 Historie sezónního očišťování a analýzy časových řad Sezónní očišťování Myšlenka, že časová řada je složená z několika nepozorovatelných složek s rozdílnými periodicitami byla původně nezbytnou součástí mnoha teorií vytvořených v astronomii. Pro ekonomy (v Anglii) se stala velmi populární v období let 1825-1875. První, kdo studoval sezónní modely v ekonomických časových řadách byl bankéř James W. Gilbart v polovině 19. století, jenž přišel na to, že poptávka po penězích Bank of England byla v určitých měsících roku vysoká a v jiných nízká. Konstrukci metod pro odstranění sezónnosti v ekonomických časových řadách bylo věnováno mnoho prací na počátku tohoto století. V této souvislosti byly nejčastěji používány aditivní a multiplikativní modely časových řad, ve kterých je časová řada chápána jako součet resp. součin trendové, cyklické, sezónní a reziduální složky. Rovněž ve dvacátých a třicátých letech byly napsány práce týkající se problematiky sezónního očišťování, většina z nich byla inspirována článkem W. M. Personse "Indices of Business Conditions" vydáným v roce 1919. Také on předpokládal, že časová řada je složena z trendové, cyklické, sezónní a reziduální složky. Jako první přišel s metodou pro jejich izolování. V předválečných letech se autoři zabývali několika významnými tématy souvisejícími se sezónním očišťováním, lze je shrnout do následujících čtyř bodů: a) zachycení měnlivosti sezónnosti v čase, b) respektování trendu a cyklické složky při modelování sezónní složky,
2
c)
překonání problémů spjatých s popisem trendu a cyklické složky explicitními matematickými funkcemi, d) řešení problému extremních pozorování. Myšlenka, že se sezónnost v čase mění, se datuje do poloviny 19. století. Statistici si byli vědomi toho, že při modelování je třeba tuto ideu zohlednit. Dlouhou dobu však neznali způsob jak to provést. H. Mendershausen podal přehled prací na toto téma ve svém článku "Annual survey of statistical technique: methods of computing and eliminating changing seasonal fluctuations" vydaném v roce 1937. V tomto období se také přišlo s myšlenkou nejprve eliminovat trend případně cyklickou složku z časové řady a poté zachytit sezónní složku. Někteří autoři eliminovali trend diferencováním, často se pro jeho eliminaci používala lineární funkce časové proměnné či klouzavé průměry. Někdy se používal i kombinovaný přístup. Ačkoliv se běžně až do dnešních dnů pro zachycení trendu používají různé matematické funkce, již ve třicátých letech statistici intuitivně cítili, že může být tento přístup problematický. Stále více se začaly používat klouzavé průměry. Pozornost byla také věnována tzv. extrémním pozorováním. Problém byl řešen použitím mediánu místo aritmetického průměru. Tento problém však nebyl uspokojivě vyřešen dodnes. Převrat v sezónním očišťování byl učiněn v roce 1954, kdy Julius Shiskin začal očišťovat časové řady na počítači Univac 1 v Bureau of the Census. Metoda II, která byla zavedena v roce 1955 byla základem matody X-11 jenž byla poprvé presentována v roce 1965. Metody Census vycházejí z modifikace jednoduché myšlenky konstrukce tzv. sezónních indexů jako podílu skutečných hodnot a klouzavých průměrů. V posledních letech se stále více objevuje snaha modifikovat a vylepšit metody sezónního očišťování. Poslední verzí metody X-11 metoda X-11 ARIMA. Tuto metodu dnes využívá mnoho úřadů a institucí ve světě např. "Statistics Canada", "US Federal Reserve Board", "Bureau of Labor Statistics" a "Bureau of Economic Analysis" atd. O její využití se pokouší i Český statistický úřad. Analýza časových řad První významný krok v analýze časových řad byl učiněn Yuleho autoregresivním modelem a Slutského modelem klouzavých průměrů v roce 1927. Yule popsal vlastnosti autoregresivních modelů, zavedl parciální autokorelace a odhadl autoregresivní model nízkého řádu pomocí metody nejmenších čtverců na základě konkrétní časové řady. Wold byl v roce 1938 prvním, kdo odhadl model klouzavých průměrů na základě reálných dat. Ve čtyřicátých letech byl učiněn pokrok v odhadovacích procedurách. Byla odvozena asymptotická teorie pro odhady parametrů v autoregresivních modelech. Současně byla odvozena i asymptotická teorie pro výběrové autokorelace. V roce 1952 Whittle, pravděpodobně jako první, pomocí těchto modelů zachycoval sezónnost. V padesátých a šedesátých letech bylo o této problematice napsáno mnoho prací, jejichž vyústěním byla v roce 1970 vydaná dnes již klasická Boxova a Jenkinsova práce "Time Series Analysis: Forecasting and Control". Díky rozvoji počítačů a počítačového softwaru došlo v následujících letech k velkému rozšíření modelů ARIMA, jenž používají k odstranění nesezónní a sezónní nestacionarity v časových řadách nesezónní a sezónní diference. Ačkoliv byly tyto transformace známy již relativně dlouhou dobu, právě Box a Jenkins je zpopularizovali.
3
Poněkud jiným přístupem pro modelování časových řad je spektrální analýza. Spektrální analýza byla známa již před prvními pokusy o modelováním časových řad v tzv. časové doméně. V roce 1898 presentoval Schuster svůj periodogram, který se později používal především ke zkoumání periodicity časových řad. V roce 1929 navrhl Fisher test pro zjišťování periodicity v časových řadách. S vývojem počítačového softwaru se spektrální analýza značně zpopularizovala, přesto se ale při modelování ekonomických časových řad obecně nerozšířila. Sezónní očišťování založené na modelování časových řad Už v předválečném období byl velmi kritizován tzv. popisný přístup k sezónnímu očišťování. Bylo mu vytýkáno, že je velmi primitivní, nejasný a že potřebuje příliš mnoho aritmetických výpočtů. To vedlo některé statistiky k pokusům s využitím modelů časových řad při sezónním očišťování. Metody sezónního očišťování založené na modelech vycházejí z předpokladu, že lze provést aditivní dekompozici Zt = St + Nt, kde St je sezónní část a Nt je nesezónní část. Tyto jednotlivé části lze pak statisticky modelovat. Zatímco model pro Zt lze konstruovat na základě pozorovaných dat, St a Nt jsou nepozorovatelné složky a jejich modely tedy závisí na jistých předpokladech. Do této skupiny metod sezónního očišťování lze zařadit např. metody regresní. Ty byly navrženy a popsány již ve dvacátých letech, nebyly však vládními úřady v Americe a v Evropě přijaty jako oficiální metody. V poválečném období nabyla relativně velké popularity myšlenka eliminace tzv. sezónního signálu, jenž vycházela z představy, že v dekompozici Zt = St + Nt je St tzv. sezónním signálem a Nt je šumem. Tato myšlenka pochází ze spojového inženýrství, kde St je vysílaný a přijímaný signál a Nt je šum narušující tento signál. Problémem je odhadnout vysílaný a přijímaný signál Sˆ t tak, aby byl co nejblíže signálu skutečnému St , pak jej oddělit a získat tak šum. V poslední době byla vyvinuta řada metod, které vycházejí z této myšlenky a jsou přitom založeny na stochastických modelech nebo spektrálních odhadech. Byly navrženy i metody vycházející z modelování časových řad pomocí BoxJenkinsovy metodologie. Jejich podstata spočívá v tom, že se původní časová řada a jednotlivé složky modelují pomocí modelů ARIMA. Bere se přitom do úvahu jak deterministický trend a sezónní složka, tak i stochastický trend a sezónní složka. V poslední době se metody sezónního očišťování, založené na modelování časových řad, stávají poněkud populárnější vzhledem k tomu, že jsou k dispozici statistické a ekonometrické pakety umožňující jejich aplikaci. Hromadně však zatím rozšířeny nejsou, neboť k jejich použití je potřeba mnohdy značných zkušeností a statistických znalostí. V mnoha případech jsou tyto metody i přes použití výkonných počítačů poměrně časově náročné.
4
2.
PROBLÉMY SPJATÉ SE SEZÓNNÍM OČIŠŤOVÁNÍM A METODY SEZÓNNÍHO OČIŠŤOVÁNÍ 2.1 Problémy spjaté se sezónním očišťováním
V současné době s rozvojem statistických modelů ekonomických časových řad, značným rozšířením výkonných počítačů a statistického a ekonometrického softwaru se poněkud reviduje pohled na problematiku sezónního očišťování a diskutuje se, zda má i dnes sezónní očišťování ještě smysl. Bylo například zkoumáno, zda je vhodné použit sezónně očištěných řad při konstrukci ekonometrických, zda nevede ke špatným odhadům a předpovědím.V této souvislosti bylo napsáno několik prací. Soustředily se na zkoumání jak sezónní očišťování ovlivňuje konstrukci ekonometrických modelů a přesnost předpovědí. Prokázalo se, že sezónně očištěná data lze použít při konstrukci ekonometrických modelů, je zde však jisté nebezpečí zkreslených či nevydatných odhadů parametrů. Z těchto studií dále vyplývá, že je obtížné říci, jaký vliv má sezónní očišťování na přesnost předpovědí. Velkým problémem je zjistit, zda byla časová řada dobře sezónně očištěna. Existuje řada kritérií hodnotících kvalitu sezónního očištění, všechna jsou však nedokonalá. Navržená kritéria vycházejí z obecných předpokladů, jak má vypadat nesezónní řada. Problémem však je, že sezónně očištěná řada není nesezónní řadou a může se od ní značně lišit. Tato skutečnost je také základním zdrojem kritiky sezónního očišťování, jenž spočívá v tvrzení, že pro odstranění sezónní složky není žádné logické ospravedlnění, neboť ani není znám jednoznačný způsob praktického provedení dekompozice. Problém lze ilustrovat následujícím způsobem. Simulačně bylo prokázáno, že jestliže bude časová řada generována jistým modelem s jistými předpoklady o sezónní složce, pak bude efektivní taková metoda sezónního očištění, která respektuje právě tyto předpoklady. Jestliže metoda sezónního očišťování bude reflektovat jiné předpoklady, bude sezónní očištění dané řady provedeno špatně. Lze se tedy ptát, zda je možné sezónní očišťování ospravedlnit. V této souvislosti je třeba brát v úvahu, kdo je primárním uživatelem sezónně očištěných časových řad. Nejsou to ani statistici ani ekonomové, ale např. vládní úředníci, manažeři, novináři, politici, kteří nejsou statistickými specialisty, takže se nabízí následující možné ospravedlnění sezónního očišťování. Sezónní očišťování se provádí proto, aby bylo umožněno nestatisticky vzdělané odborné veřejnosti snáze interpretovat statistická data. V případě využití neadekvátní metody sezónního očišťování však může dojít ke ztrátě informace a pokud se prokáže, že ztráta informace je významná, potom sezónní očišťování nelze nijak ospravedlnit. 2.2 Metody sezónního očišťování Metody sezónního očišťování lze rozdělit do dvou velkých skupin: a) metody používající přímé filtry, b) metody založené na modelování časových řad. Pro ilustraci uvedeme stručný popis dvou metod sezónního očišťování, které mohou být považovány za zástupce uvedených skupin.
5
Metoda X-11 V roce 1954 byla zavedena první metoda sezónního očišťování ve formě počítačového programu, jmenovala se "Bureau of the Census metod I". Tato metoda byla zdokonalením klasické metody sezónních indexů. V roce 1955 byla v "Bureau of the Census" zavedena Metoda II a během následujících let byly vytvořeny jejich další verze označené jako X-1, X-2, atd. Poslední verze, X-11, byla zavedena v roce 1965. Jejím konečným vývojovým stupněm je metoda X-11 ARIMA. Nyní stručně popíšeme metodu X-11. Tato metoda je založena na klasické dekompozici Xt = TCt . St . TDt . Ht . It, kde Xt jsou pozorované hodnoty časové řady, TCt je trendová a cyklická složka, St je sezónní složka, TDt je tzv. složka pracovních dnů ("trading-day component"), Ht je složka pracovního volna ("holiday component") a It je reziduální složka. Program obsahující metodu X-11 se skládá ze sedmi částí (A - G). První část je volitelná a umožňuje očištění řady o nepravidelnosti, dané různým počtem pracovních dnů v měsících ("adjustments for trading days") a pracovními volny v důsledku různých svátků, prázdnin atd. ("adjustment for holidays"). V částech E - G jsou obsaženy charakteristiky, tabulky a grafy časové řady, které umožňují použít filtrovací procedury, obsažené v částech B, C a D. V částech B a C jsou prováděny předběžné a konečné odhady variací pracovních dnů a vah, jenž se používají k odstranění extrémních hodnot. Časová řada, očištěná o variace pracovních dnů, je potom použita v části D jako vstup pro konečné výpočty sezónně očištěné řady, trendové, cyklické a reziduální složky. Výpočty prováděné v části B, C a D začínají odhadem trendové a cyklické složky pomocí klouzavého průměru délky 12. Časová řada je touto složkou vydělena a tím je získána tzv. nepravidelná sezónní složka složka (SIt). Z té je pomocí klouzavého průměru délky 5 (jednotlivé měsíce jsou zprůměrovány zvlášť) vypočítána tzv. předběžná sezónní složka. Tato sezónní složka je normována tak, aby součet jejích jakýchkoliv dvanácti po sobě jdoucích hodnot byl roven dvanácti. (Šest prvních a posledních chybějících hodnot je nahrazeno prvním a posledním klouzavým průměrem délky 12 počítaným z původní časové řady). Aby bylo možné "zahladit" extrémní hodnoty ve složce SIt vypočítá se tzv. 5-ti letá klouzavá směrodatná odchylka reziduální složky It (tato složka se vypočítá vydělením složky SIt předběžnou sezónní složkou). V dalším kroku jsou z předběžné sezónní složky odstraněny extrémní hodnoty, jenž jsou větší než 2,5 násobek klouzavé směrodatné odchylky a následně je vypočítána nová řada klouzavých směrodatných odchylek. Tato řada je využita k přiřazení vah řadě SIt. Funkce vah má následující formu * 1 pro0 ≤ I t ≤ 1,5, * * v á hy = 2 ,5 − 1,0 I t pro1,5 ≤ I t ≤ 2 ,5, * 0 pro0 ≤ I t ≤ 1,5,
kde It* je odhadnutá reziduální složka, vydělená 5-ti letou klouzavou směrodatnou odchylkou. Jestliže určitá hodnota SIt získá váhu menší než jedna, pak je nahrazena průměrem všech hodnot SIt. Očištěná sezónní složka (vypočítaná jako podíl od extrémů očištěné složky SIt a složky It) je pak přepočítána (aby součet jejích dvanácti elementů byl roven 12). Předběžná sezónně očištěná řada je získána tak, že se původní řada vydělí touto očištěnou sezónní složkou. Následuje procedura výpočtu trendové a cyklické složky. Nejprve je na
6
předběžnou sezónně očištěnou časovou řadu použit Hendersonův klouzavý průměr délky 13 a tím je vypočtena trendová a cyklická složka. V dalším kroku je vypočítána tzv. rozšířená reziduální složka, vydělením předběžné sezónně očištěné časové řady právě vypočtenou trendovou a sezónní složkou. Proto, aby mohl být proveden výběr mezi Hendrsonovými klouzavými průměry délky 9, 13 a 23, musí se vypočítat podíl mezi průměrným relativním přírůstkem rozšířené reziduální složky a průměrným relativním přírůstkem trendové a cyklické složky. Jestliže je tento podíl menší nebo roven 0,99, pak je použit průměr délky 9, jestliže je tento podíl větší než 3,5, je použit průměr délky 23, jinak je použit průměr délky 13. Odhad reziduální složky je dán podílem předběžně očištěné časové řady a trendové a cyklické složky, vypočítané na základě zvoleného Hendersonova klouzavého průměru z předběžně sezónně očištěné časové řady. Extrémní hodnoty z předběžně očištěné časové řady jsou pak odstraněny stejným způsobem jako v předešlém kroku s využitím nově vypočítané reziduální složky. Poté je modifikovaná sezónně očištěná řada ještě jednou použita pro nový výpočet trendové a cyklické složky pomocí Hendersonova klouzavého průměru. Takto vypočtená trendová a cyklická složka je posléze použita místo klouzavého průměru délky 12. Je jí vydělena původní řada a tím je vypočítána nová řada SIt. Nová sezónní složka je pak vypočítána použitím klouzavého průměru jednotlivých měsíců délky 7. Ze sezónní složky jsou odstraněny extrémní hodnoty a je upravena tak, aby součet každých 12-ti po sobě jdoucích hodnot byl 12. Nakonec vydělením původní časové řady nově vypočítanou sezónní složkou je vypočítána sezónně očištěná časová řada. Tato sezónně očištěná časová řada je v části B a C očištěna o variace pracovních dnů a pracovního volna. V části D je obsažen konečný výstup, tj. sezónně očištěná časová řada, trendová a cyklická složka a reziduální složka. Metoda sezónního očišťování založená na modelech ARIMA Výše uvedená metoda X-11 je sice prakticky nejrozšířenější metodou sezónního očišťování, podle mnoha statistiků je však její použití velmi problematické. Především konstatují, že metoda je příliš složitá a je nemožné ohodnotit kvalitu provedeného očištění. Konstatují dále, že charakter metody neumožňuje zkoumat vztahy mezi jednotlivými složkami časové řady. Největší problém však spočívá v nemožnosti ohodnotit statistické vlastnosti této metody. To jsou hlavní důvody, které vedly statistiky k pokusu o vytvoření metody sezónního očišťování založené na modelování sezónních časových řad. Hillmer a Tiao navrhli metodu využívající modely ARIMA. V této části se pokusíme velmi stručně popsat její základní principy. Autoři předpokládají, že časovou řadu lze rozložit následujícím standardním způsobem Zt = Tt + St + It, kde Tt, St a It jsou nepozorovatelné složky (trendová, sezónní a reziduální). Je logické, že modelová representace časové řady Zt je složena z modelových representací jednotlivých složek. Předpokládají, že každá složka je popsána ARIMA modelem, tj. φ S ( B ) St = ηS ( B )bt , φ T ( B ) Tt = ηT ( B ) ct , φ I ( B) I t = ηI ( B)dt ,
7
kde B je operátor zpětného posunutí, dvojice polynomů {φ S ( B ) , ηS ( B ) }, {φT ( B ) , ηT ( B ) } a {φ I ( B ) , η I ( B ) } mají nuly na nebo vně jednotkového kruhu a bt, ct a dt jsou vzájemně nezávislé Gausovské bílé šumy. Potom lze ukázat, že model pro Zt má tvar ϕ ( B ) Zt = θ ( B ) at a platí vztah θ( B ) θ( F ) σ 2a ηS ( B ) ηS ( F ) σ b2 ηT ( B ) ηT ( F ) σ c2 η I ( B ) η I ( F ) σ d2 = + + , ϕ( B) ϕ( F ) φ S ( B) φ S ( F ) φT ( B) φT ( F ) φ I ( B) φ I ( F )
(1)
kde σb2 , σ 2c a σ 2d jsou rozptyly bílých šumů modelů jednotlivých složek. Problém spočívá v tom, jak nalézt modely jednotlivých nepozorovatelných složek časové řady. Autoři přišli s následující myšlenkou. Za prvé je třeba vycházet ze vztahu (1), dále se provede dekompozice na základě nějaké logické podmínky. Podle autorů je vhodné, aby bylo ze sezónní a trendové složky "vytaženo" co nejvíce bílého šumu, tj. aby tyto složky byly co "nejsystematičtější". Jinými slovy, je třeba maximalizovat rozptyl σ 2d reziduální složky It. Potom definovali tzv. kanonický rozklad, jenž maximalizuje σ 2d vzhledem ke vztahu (1). Dokázali mimo jiné, že kanonická dekompozice je jedinečná, že minimalizuje rozptyly σb2 a σ 2c a že kanonické polynomy ηS ( B ) a ηT ( B ) mají alespoň jednu nulu na jednotkovém kruhu, takže modely pro kanonickou sezónní a trendovou složku nejsou invertibilní. Celý proces kanonického rozkladu je poměrně složitý. Díky počítačovému programu je i prakticky aplikovatelný. Celá metoda je detailně popsána v článku Hillmer a Tiao (1990). ZÁVĚR Závěrem je třeba poznamenat, že v současné době je problematika sezónního očišťování u nás velmi aktuální. Setkáváme se však s problémem délky časových řad. K dispozici máme většinou časové řady srovnatelných hodnot od roku 1991, jenž jsou pro většinu standardních metod sezónního očišťování velmi krátké. Je proto třeba použít metody, které nepotřebují velké množství dat, jako je např. exponenciální vyrovnávání, nebo metody nestandardní. Jednou z nich je metoda obsažená v počítačovém programu SEZAN. V současnosti jsou s touto metodou prováděny experimenty na Českém statistickém úřadu.
8
LITERATURA: BELL, W. R., HILLMER, S. C. (1988): Issues involved with the Seasonal Adjustment af Economic Time Series, Journal of Business and Economic Statistics, 2, 291-320. BOX, G. E. P., JENKINS, G. M. (1970): Time Series Analysis: Forecasting and Control. San Francisco: Holden Day. FISHER, R. A. (1929): Tests of Significance in Harmonic Analysis. Journal of the Royal Statistical Society, Ser. A, 125, 54-9. HILLMER, S. C., TIAO, G. C. (1990): An ARIMA-Model-Based Approach to Seasonal Adjustment. JASA,77,63-70 HYLLEBERG, S. (1989): The X-11 Method, Seasonality in Regression, 89-93, Orlando: Academic Press HYLLEBERG, S. (1989): The Historical Perspective. Seasonality in Regression, 7-14, Orlando: Academic Press. MENDERSHAUSEN, H. (1937): Annual Survey of Statistical Technique: Methods of Computing and Eliminating Changing Seasonal Fluctuations. Econometrica, 5, 234-62. SHISKIN, J. (1957): Electronic Computers and Business Indicators. Occasional Paper No. 57, National Bureau of Economic Research. SLUTSKY, E. (1937): The Summation of Random Causes as the Source of Cyclic Processes, Econometrica, 5, 105-46. WHITTLE, P. (1952): Tests of Fit in Time Series, Biometrica, 39, 309-18. WOLD, H. (1938): A Study in the Analysis of Stationary Time Series. Uppsala: Almqvist and Wicksells.
9
