Szolnoki Főiskola Üzleti Fakultás, 5000 Szolnok, Tiszaligeti sétány ÚTMUTATÓ A MÓDSZERTANI SZIGORLAT LETÉTELÉHEZ A „4/1996. (I. 18.) Korm. rendelet a közgazdasági felsőoktatás alapképzési szakjainak képesítési követelményeiről” és a 77/2002. (IV. 13.) kormányrendelet a közgazdasági szakcsoport sajátos képesítési követelményeiről rendelkező részében kötelező jelleggel írja elő a módszertani szigorlat letételét. Főiskolai szakokon a szigorlat legalább 12 kredit értékű ismeretanyag átfogó jellegű számonkérése, amely a gazdasági matematika, statisztika, operációkutatás, számítástechnikainformatika tárgyak ismeretanyagát öleli fel. A szigorlat lebonyolítása: A hallgatók a Gazdaságelemzési módszertani Tanszék által minden félévben előre meghirdetett időpontokban, de félévente maximum háromszor kísérelhetik meg a módszertani szigorlat letételét. A szigorlathoz nincs kreditpont rendelve, így a sikeres vizsga az államvizsgára bocsátás feltétele. Lebonyolításánál egyébként általában a Szolnoki Főiskola érvényes Tanulmányi és Vizsgaszabályzata a mérvadó. A szigorlatra jelentkező hallgatónak a megadott tárgyakból érvényes kollokviumi, illetve gyakorlati jeggyel kell rendelkeznie. Felmenteni a vizsgakötelezettség alól azt a hallgatót lehet, aki valamelyik egyetemen vagy főiskolán a megadott tananyagot átölelő eredményes módszertani szigorlatot tett, és a Kreditátviteli Bizottság a felmentést jóváhagyta. A módszertani szigorlat követelmény-rendszere: A szigorlat két részből áll, melyeket azonban ugyanazon a napon kell teljesíteni. •Az első rész írásbeli dolgozat, ahol a feladatmegoldás és az elmélet az alábbi részarányokban kerülnek kijelölésre: gazdasági matematika – 30 pont statisztika 30 pont operációkutatás 10 pont. A vizsga munkaideje 90 perc. •A másik rész számítógépes gyakorlati és informatika elméleti vizsga. A gyakorlati vizsga részeként kérjük számon az operációkutatás egy részét is táblázatkezelő használatával. Az elérhető pontszám összesen 30 pont, melyből az informatika-számítástechnika részből 25 pontot, míg az operációkutatás gyakorlati vizsgán 5 pontot lehet elérni maximálisan. A vizsga munkaideje 45 perc. A maximálisan elérhető pontszámból a hallgatóknak legalább 20 %-ot kell teljesíteniük külön-külön minden tárgy vonatkozásában. Az összesített pontszámok alapján az érdemjegyek elbírálása a következőképpen történik: 0 – 50 pont elégtelen 51 – 65 pont elégséges 66 79 pont közepes 80 – 89 pont jó 90 100 pont jeles A hallgató osztályzata elégtelen, ha nem sikerült az egyes tárgyakra előírt részarányokat teljesítenie, vagy az összesített pontszáma nem éri el az 51 pontot. Javításkor az utóvizsgán az adott vizsgaidőszakban, ha az első rész vagy a második rész eredménye legalább 51%, akkor csak a vizsga másik részt kell megismételni. Az érdemjegy javítására irányuló javítóvizsga letételére a hallgató összesen egy alkalommal kérhet engedélyt.
1
TANTÁRGYI TEMATIKÁK MÓDSZERTANI SZIGORLATHOZ
Gazdasági matematika Szigorlati tematika: -
-
Halmazelmélet, valós számok. Intervallum, távolság, környezet. Végtelen sorozatok, sorok. Függvény fogalma, típusai, jellemzői, határértéke, folytonosság vizsgálat. Differenciahányados függvény és differenciálhányados fogalma, geometriai jelentésük, derivált függvény meghatározása. Elemi függvények differenciálása, deriválási szabályok. Függvényvizsgálat. Többváltozós függvények. Primitívfüggvény fogalma, határozatlan integrál, alapintegrálok, integrálási szabályok. Határozott integrál. Newton–Leibniz tétel. Alkalmazások. Impropius integrál. Mátrixok. Műveletek mátrixokkal. Mátrixok gazdasági alkalmazása. Kombinatorika. (Permutáció, kombináció, variáció.) Eseményalgebra. A valószínűség fogalma, axiómái, valószínűségszámítási tételek. A valószínűség meghatározása klasszikus képlettel. Mintavétel (ismétléses és ismétlés nélküli módszerrel). Feltételes valószínűség. A teljes valószínűség tétele, Bayes-tétel. Események függetlensége. Többszörös és ismételt kísérletek. Valószínűségi változó fogalma és jellemzése diszkrét és folytonos esetben. Az eloszlásfüggvény és a sűrűségfüggvény tulajdonságai. A valószínűségi változó véletlen ingadozásának jellemzői: várható érték, szórás (diszkrét és folytonos esetben). Csebisev egyenlőtlenség. Nagy számok törvénye. Nevezetes valószínűség eloszlások: karakterisztikus, binomiális, hipergeometrikus, Poisson és normális eloszlás. Valószínűség eloszlások közelítő meghatározása. Többdimenziós valószínűségi változó (kétdimenziós diszkrét). Együttes eloszlásfüggvény, várható érték, kovariancia, korreláció, függetlenség.
Kötelező irodalom: Dr. Csernyák László [1988]: Matematika üzemgazdászoknak – Analízis Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest
2
Madaras Lászlóné dr.(szerk.) [1996]: Gazdasági matematika I. Feladatgyűjtemény Student Kiadó, Szolnok Horváth Jenőné – Libor Józsefné dr. – Madaras Lászlóné dr. [1997]: Tanulási útmutató a Gazdasági matematika I. c. tárgyhoz Student Kiadó, Szolnok Dr. Csernyák László [1990]: Matematika üzemgazdászoknak – Valószínűségszámítás Nemzeti tankönyvkiadó, Budapest (Tk. 42460) Dr. Czétényi Csaba [1998]: Feladatgyűjtemény a gazdasági matematikához II. Kereskedelmi, Vendéglátó Ipari és Idegenforgalmi Főiskola, Budapest F – 402 / II.
Ajánlott irodalom: Horváth Jenőné dr. – Libor Józsefné dr. – Madaras Lászlóné dr. [1998]: Tanulási útmutató a gazdasági matematika II. c. tantárgyhoz Kereskedelmi és Gazdasági Főiskola, Szolnok,
Statisztika Szigorlati tematika: -
Viszonyszámok összefüggései. Mennyiségi sor komplex elemzése. Standardizálás – különbségképzéssel, indexekkel. A forgalom indexei. Mintavétel (egyszerű, rétegzett). Pont,- és intervallumbecslés várható értékre, értékösszegre, arányra, gyakoriságra. Mintanagyság meghatározása. Hipotézisvizsgálat paraméteres és nemparaméteres próbával. Kapcsolatvizsgálat (asszociáció, vegyes kapcsolat, korreláció). Kétváltozós lineáris, nemlineáris (exponenciális, hatvány) regresszió. Rugalmassági együttható. Többváltozós lineáris korreláció- és regressziószámítás. Regressziós együtthatók tesztelése. Idősorok vizsgálata: lineáris és exponenciális trend, szezonalitás. Idősorok tényadatainak felbontása komponenseire.
3
Kötelező irodalom: Korpás Attiláné dr. (szerk.) [1996]: Általános statisztika I. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest Molnár Máténé dr. – Tóth Mártonné dr. [2001]: Általános statisztika példatár I. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest Korpás Attiláné dr. (szerk.) [1997]: Általános statisztika II Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest Molnár Máténé dr. – Tóth Mártonné dr. [2001]: Általános statisztika példatár II. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest
Ajánlott irodalom: Kerékgyártó Györgyné – Mundruczó György [2001]: Statisztikai módszerek és alkalmazásuk a gazdasági, üzleti elemzésekben AULA Kiadó, Budapest
Operációkutatás Szigorlati tematika: -
-
Mátrixaritmetika gyakorlati alkalmazása Lineáris programozás = grafikus megoldás = szimplex módszer alkalmazása normál és módosított normál feladatok megoldására = dualitás Szállítási feladat
Kötelező irodalom: Libor Józsefné dr – Hanich József [2000]: Operációkutatás főiskolai jegyzet Szolnoki Főiskola, Szolnok Libor Józsefné dr – Hanich József [2000]: Operációkutatás feladatgyűjtemény Szolnoki Főiskola, Szolnok
4
Ajánlott irodalom: Libor Józsefné dr – Hanich József [2000]: Operációkutatás tanulási útmutató Szolnoki Főiskola, Szolnok dr. Tóth Irén (szerk.) [1987]: Operációkutatás I. Tankönyvkiadó, Budapest dr. Csernyák László (szerk.) [1990]: Operációkutatás II. Tankönyvkiadó, Budapest
Informatika Informatika, gazdasági informatika, üzleti informatika fogalma. Általános rendszerelméleti alapfogalmak. Információs rendszer különféle meghatározásai. A technikai háttér áttekintése. Hardver, szoftver, adatok, emberi erőforrás. Történeti áttekintés, jelenlegi tendenciák. A szervezet és az információs rendszerek. Szervezeti struktúrák. Az IT stratégiai szerepe. Információ és döntéshozatal. Az információ minősége. Döntési szintek, menedzseri funkciók. Tranzakció-feldolgozó (TPS) és vezetői információs rendszerek (MIS). Döntéstámogató rendszerek (DSS). Felsővezetői információs rendszerek (EIS) általános jellemzése, helye a vállalati információs rendszerek hierarchiájában, legfontosabb tulajdonságai. Szakértőrendszerek. A mesterséges intelligencia. Számítógépes információs rendszerek létrehozása. Az általános rendszer-életciklus. Rendszerfejlesztési módszertanok, SSADM. Az informatikai stratégia kialakítása. A strukturált rendszerfejlesztési életciklus fázisainak áttekintése. A célok és a feladat meghatározása. Megvalósíthatósági tanulmány készítése. Rendszerelemzés. Rendszertervezés. Kivitelezés (Implementáció). Rendszerelemzési technikák a gyakorlatban. Logikai adatmodell, relációs adatelemzés, logikai adatáramlási diagram, egyed-esemény modell. Számítógéppel segített rendszerfejlesztés (CASE). Upper-, lower- és integrált CASE eszközök. Gyors alkalmazásfejlesztés (RAD). Rendszerfejlesztési alternatívák összehasonlítása. Informatikai eszközök kiválasztása és beszerzése. Ajánlatkérés, az ajánlatok értékelése. Informatikai szolgáltatások vásárlása. Információs rendszerek biztonsága. A hozzáférés ellenőrzése. Az input ellenőrzése. Ellenőrzés a feldolgozás és tárolás során. Az output ellenőrzése. A hálózat ellenőrzése és védelme. Információs rendszerek auditálása. Elektronikus kereskedelem. E-kormányzat. Útban az információs társadalom felé. Az informatikai forradalom, hatása a társadalomra. Etikai és jogi problémák. A szoftverjog védelme Magyarországon. Az adatvédelem európai szabályozása, kapcsolódó magyar törvények.
5
Kötelező irodalom Kacsukné dr. Bruckner Lívia – Kiss Tamás [1999]: Bevezetés az üzleti informatikába Akadémia Kiadó, Budapest Csala Péter – Csetényi Arthur – Tarlós Béla[2001]: Informatika alapjai Computerbooks Kiadó, Budapest
Ajánlott irodalom: Kazai Zsolt – Vég Csaba – Petrov Ferdinánd [2001]: A rendszerfejlesztés módszertana Gábor Dénes Főiskola, Budapest Dr. Sediniviné Balassa Ildikó [1998]: Szervezési ismeretek Talentum Kft, Budapest SSADM struktúrált rendszerelemzési és tervezési módszer http://www.itb.hu/ajanlasok/a4 Dr. Gábori József [1999]: Informatika KGF, Szolnok
6
MINTAFELADATSOR MÓDSZERTANI SZIGORLATHOZ
„A” I. rész 1. Adott a következő két sorozat: an
a) b) c) d)
8 1 9 9
n 1
n N , illetve bn
2n 3 4n 2
n N
Határozza meg az an) sorozat határértékét! Az an) sorozat elemei alkothatják-e egy diszkrét valószínűségi változó eloszlását? Vizsgálja meg a bn sorozatot monotonitás és korlátosság szempontjából! Vizsgálja meg, hogy a bn sorozat tagjai hányadik tagtól kezdve esnek a határérték = 0,01 sugarú környezetébe? (15 pont)
2. Egy normális eloszlású valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: 1 f(x)= e 2π
-(x -10)2 2
, xR.
a) Mennyi a valószínűségi változó várható értéke és szórása? b) Mennyi a sűrűségfüggvény maximuma, hol vannak az inflexiós helyei? c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a valószínűségi változó értékei a 9; 11,5 intervallumba essenek? d) 80% valószínűséggel a valószínűségi változó értékei legfeljebb mennyivel térnek el a várható értéktől? (15 pont) 3. Egy üzletlánc adatai 1999. október hónapban: Forgalom Boltok Relatív (%) ezer Ft/hó száma gyakoriság értékösszeg-sor 200 – 400 5 4,6 1,7 401 – 600 15 13,9 8,4 601 – 800 40 37,0 31,5 801 – 1000 20 18,5 20,3 1001 – 1200 16 14,8 19,8 1201 – 1400 9 8,3 13,2 1401 – 3 2,9 5,1 Együtt 108 100,0 100,0 A fenti adatokból számított eredmények: σ = 277 eFt Q1 = 635 eFt x = 822 eFt
Q3 = 1013 eFt
A = 0,4
Feladat: a) Számítsa ki a móduszt, a mediánt és a relatív szórást! (5) b) A megadott adatok és az a) pontban kiszámított eredmények alapján írjon részletes szöveges elemzést az üzletlánc boltjairól! Értékelje a koncentrációt is! (10) (15 pont) 7
4. Egy áruházlánc dolgozóiból – amelyben 80% a fizikai dolgozók aránya – 6%-os rétegzett mintát vettek. A minta adatai: Réteg
Mintaelemek száma (fő)
Fizikai Nem fizikai
240 60
A havi kereset (eFt) átlaga szórása 100 180
50 100
Milyen típusú mintavétel történt? (Válaszát indokolja!) ……………………………………………………………………………………… Értelmezze a standard hibát! (Értéke: 3,65 eFt) ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Egyszerű véletlen mintavétel esetén –változatlan valószínűségi szint mellett- javulna-e a becslés pontossága? (A megfelelő választ húzza alá, és választását indokolja!) igen
nem
Indoklás:………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………….… A fenti mintavétel adatait felhasználva töltse ki az alábbi táblázatot, fogalmazza meg a hipotéziseket és végezze el a csoportátlagokra vonatkozó tesztet =0,05 mellett! Összetevő Külső Belső Teljes
Szórásnégyzetösszeg 307200
Szabadságfok
Átlagos négyzetösszeg
F0
Fkritikus 3,85
(15 pont)
8
5. Négy raktárból négy üzletbe történik cukorszállítás. Az alábbi táblázat a szállítási költségeket tartalmazza ezer Ft-ban, egy gépkocsira vonatkozóan, valamint az üzletek igényeit és a raktárak készleteit gépkocsi-mennyiségekben: raktár\ bolt I. II. III. IV. raktárkészlet A 3 5 3 5 4 B 4 6 6 0 7 C 3 1 12 1 7 D 8 4 5 5 4 bolti igény 6 5 3 8 a, Adjon meg olyan szállítási tervet, hogy a szállítási összköltség minimális legyen ! b, Mekkora lesz ez a minimális szállítási költség? (10 pont) II. rész Adja meg a következő feladat optimális megoldását és a célfüggvény optimumértékét, ha a feltételek: x1, x2, x3, x4, x5 0 x1 - x5 x1 + x3 x1 + x2 + x4 x2 – x3 – x4 + x5
20 30 10 1
és a célfüggvény: z = x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 max
(5 pont)
9
MINTAFELADATSOR MEGOLDÁSA MÓDSZERTANI SZIGORLATHOZ „A” I. rész 8 1 1.) a) lim n 9 9
n 1
0
(2 pont)
b)Minden egyes an 0 8 n 1 8 1 és 9 1 , ezért az an) sorozat elemei alkothatják egy diszkrét 1 9 9 1 9 valószínűségi változó eloszlását.
(4 pont)
2 n 1 3 2n 3 8 0 , tehát a bn sorozat szigorúan 4 n 1 2 4n 2 4n 6 4n 2 monoton csökkenő. (4 pont)
c) bn 1 bn
2n 3 1 0,01 4n 2 2 1 0.01 2n 1 1 0,01 2n 1 99 n 2 n0 49,5 =49
d)
2.) a) M(ξ)= m =10, 1 b) Max: , 2π
(5 pont)
D(ξ)= σ =1.
(2 pont)
inflexiós helyek: x1 = m - σ = 9, x2 = m + σ = 11.
(3 pont)
11,5 10 9 10 c) P(9<ξ<11,5)=F(11,5) – F(9) = Φ - Φ = Φ(1,5) – Φ(-1) = 1 1 = Φ(1,5) + Φ(1) – 1 = 0,7745.
(4 pont)
d) P( ξ Mξ
(6 pont)
10
3. Egy üzletlánc adatai 1999. október hónapban: Forgalom ezer Ft/hó 200 – 400 401 – 600 601 – 800 801 – 1000 1001 – 1200 1201 – 1400 1401 – Együtt a) Mo 600
Me 600 V
Boltok száma 5 15 40 20 16 9 3 108
Relatív (%) gyakoriság értékösszeg-sor 4,6 > 1,7 13,9 > 8,4 37,0 > 31,5 18,5 < 20,3 14,8 < 19,8 8,3 < 13,2 2,9 < 5,1 100,0 100,0
fi ’ 5 20 60
40 15 200 711 e Ft 40 15 40 20
(2)
54 20 200 770 eFt 40
(2)
277 0,3369 33,7% 822
(1)
b) 1999. októberében az üzletlánc boltjainak forgalma átlagosan 822 eFt volt, melytől az egyes boltok forgalmai átlagosan 277 eFt-tal, azaz 33,7%-kal térnek el. (3) Az üzletláncnál a boltok tipikus forgalma 711 eFt.
(1)
A boltok felének forgalma 770 eFt-nál kevesebb, felének pedig több. A boltok 25%-ának forgalma 635 eFt-nál kevesebb, 25%-ának forgalma pedig 1013 eFt-nál több. (3) A boltok forgalom szerinti eloszlása mérsékelten bal oldali aszimmetriát mutat.
(1)
A boltok 55,5%-a 800 eFt alatti forgalmú, de az üzletlánc összes forgalmának csak 41,6%-át bonyolítja le. A 800 eFt-nál nagyobb forgalmú boltok aránya pedig csak 45,5 %, de a forgalomnak 58,4%-át bonyolítják le. Tehát van koncentráció. (2) össz. 15 pont
4.) Nfizikai./N =0,8 = nfizikai/n=240/300=0,8 Nnem fiz. /N =0,2 = nnem fiz./n = 60/300 arányos rétegzés
(3)
Az arányos rétegzéssel vett egyes mintaátlagok átlagosan 3,65 e Ft-tal szóródnak az alapsokasági átlag körül.
(2)
igen nem Indoklás: Az arányos rétegzés esetén csak belső szórás érinti a mintát. Egyszerű mintavétel esetén ehhez külső szórás is hozzájárul, ami a mintaadatok alapján biztosan van, mivel a két csoportátlag eltérő. Így az egyszerű véletlen mintavétel standard hibája > arányosan rétegzetté (vagy: számítás!) (2)
11
Összetevő Külső Belső Teljes
Szórásnégyzetösszeg 307200 1187500 1494700
Szabadságfok 1 298 299
Átlagos négyzetösszeg 307200 3984,9
F0
Fkritikus
77,1
3,85
(5) H0: fizikai átlagkereset = nem fizikai átlagkereset H1: fizikai átlagkereset ≠ nem fizikai átlagkereset
(1)
H0 elfogadási tartománya: F0≤3,85 vagy: [0; 3,85]
(1)
Mivel 77,1 nem része az elfogadási tartománynak, ezért H0 –t elutasítjuk, azaz 5%-os szignifikanciaszinten a foglalkozási csoportok átlagkeresete szignifikánsan eltér. (1) össz. 15 pont 5.) a) Induló szétosztás megadása Vogel-Korda ( vagy más ) módszerrel:
A B C D
I. 34 4 31 81
II. 5 6 15 4
III. 3 6 12 53
IV. 5 07 11 5 (4 pont)
Optimum-vizsgálat potenciálok módszerével, optimális tábla megadása:
A B C D
I. II. III. IV. 34 5 3 5 4 6 6 07 3 2 1 4 12 11 1 3 8 4 5 5 (4 pont)
b) A minimális szállítási költség: 12 + 0 + 6 + 4 + 1 + 4 + 15 = 42 ezer Ft. (2 pont)
II. rész 6.) Optimális tábla megadása: Megoldás: x1 = x2 = 0 , x3 = 30, x4 = 10, x5 = 41 u1 = 61, u2 = u3 = u4 = 0 z = 335
(3 pont)
(2 pont)
12
MINTAFELADATSOR MÓDSZERTANI SZIGORLATHOZ „B” I. rész 1. a) Végezzen teljes függvényvizsgálatot a megadott függvénnyel, majd ábrázolja az f függvényt! 8 f : f x 2 x 2 , x R \ 0 b) Állapítsa meg, hogy lehet-e a megadott függvény egy x valószínűségi változó eloszlásfüggvénye! (15 pont) 2. Hányféleképpen lehet kitölteni egy lottószelvényt (ötös lottó: 90 számból 5-öt kell megjelölni), ha e) csak páratlan számot jelölünk meg; f) két páros és három páratlan számot jelölünk meg; g) a legnagyobb és a legkisebb megjelölt szám különbsége 20? (15 pont) 3. Két külkereskedelmi cég dolgozóinak kereset- és létszámadatai állománycsoportok szerint 2002. januárjában: I. cég II. cég ÁllományAz összes bér Átlagbér Létszám megÁtlagbér csoport megoszlása, % eFt/fő oszlása, % eFt/fő Vezető 23,0 122,0 10,0 125,0 Egyéb szellemi 15,0 60,0 35,0 64,0 Fizikai 62,0 76,0 55,0 78,0 Együtt 100,0 100,0 …… …… Feladat: a) Számítsa ki mindkét cégnél a dolgozók együttes átlagbérét! (4) b) Hasonlítsa össze a két cégnél standardizáláson alapuló különbségfelbontással az együttes átlagbért! (5) c) Írjon szöveges elemzést! (6) 15 pont vagy: 3. Egy vállalkozás két termékének forgalmazására vonatkozó adatok: Termék I. II. Együtt
A forgalom értéke 2006-ban, ezer Ft 33 600,0 11 070,0 44 670,0
A forgalom értékének A mennyiség változása, 2005 = 100,0% 106,7 80,0 153,8 102,5 …… …….
Feladat: a) Számítsa ki és értékelje szövegesen az érték-, a tárgyi súlyozású ár- és a bázis súlyozású volumenidexeket! (6+3) b) Állapítsa meg, hány ezer Ft-tal változott a forgalom értéke 2005-ről 2006-ra! (2) c) Számítsa ki a Fisher-féle volumenindexet! (4) 15 pont
13
4. Egy üdülőkörzetre vonatkozóan 1994-2002 időszakban a vendégek számának (ezer fő) alakulását leíró trendfüggvény az időszak összes negyedévi adata alapján: ˆ 800 – 4,5T (T= 1,2,…) Y Az egyes negyedévekre vonatkozóan az átlagos szezonális eltérések (ezer fő) az alábbiak: I. negyedév : -230 II. negyedév: -150 III. negyedév:……………. IV. negyedév: -180 a) A trendfüggvény b1 paramétere alapján értelmezze az éves változás nagyságát! b) Határozza meg a vendégszám éves átlagos növekedési ütemét (%-ban) a trendadatok alapján a vizsgált időszakban! c) Számítsa ki a III. negyedév hiányzó szezonális eltérésének adatát és értékelje! d) A fenti időszakból 2001. évre vonatkozóan egyszerű véletlen mintavételt alkalmazva a következő részletek ismertek: Az üdülőkörzetbe érkező vendégeket az állampolgárságuk (külföldi, belföldi) és az általuk választott szálláshely alapján (szálloda, panzió, kemping, egyéb) csoportosították. Így a 150 elemű mintát a két ismérv vonatkozásában 2 = 121,7 mutató jellemzi. Vizsgálja meg, hogy a fenti ismérvek közötti kapcsolat szignifikáns-e? (=0,05) (A teszteléshez az alábbi táblázatból válassza ki a megfelelő kritikus értéket!) 2 szabadság fok
Valószínűségi szint 0,95 0,975 1 2 3 4
3,84 5,99 7,81 9,49
5,02 7,38 9,35 11,1 (15 pont)
5. Egy üzem négyféle terméket gyárt háromféle erőforrás felhasználásával. Az üzem termeléséről a következő adatok állnak rendelkezésre: Technológiai mátrix: 1 3 0 2 A = 0 2 4 0 2 0 3 1 Az egy havi programvektor: p*= [ 5, 10, 8, 4 ], az egy havi kapacitásvektor: k = [ 45, 60, 40 ] * és a termékek eladási egységárai: c* = [ 2, 5, 3, 1 ] a) Végrehajtható-e az egy havi termelési program ? b) Számolja ki és értelemezze a 12c*p mennyiséget! c) Mekkora lenne az éves termelés költsége, ha a bevétel a költségek 20 %-át tartalmazza nyereségként? (10 pont)
14
6.) Oldja meg a következő optimalizálási feladatot: x1, x2, x3 0 2x1 – x2 10 x1 + 3x3 = 15 x2 – 2x3 = 20 z = 2x1 – 3x2 + 5x3 max (5 pont)
15
MINTAFELADATSOR MEGOLDÁSA MÓDSZERTANI SZIGORLATHOZ „B” I. rész 1.) Értelmezési tartomány: x R \ 0 Zérushely: fx=0 8 2x 2 0 x 3 2x 8 0 x2 2 x3 8 0 x3 4 2 x3 8 Paritás: f x , tehát f se nem páros, se nem páratlan függvény. x2 Szélsőérték és monotonitás vizsgálat: 16 f ) x 2 3 , x R \ 0 x 16 Helyi szélsőérték létezésének szükséges feltétele: 2 3 0 x 16 2 3 x 3 x 8 x=-2 A függvénynek tudjuk, hogy szakadási helye van az x=0 helyen. Elegendőség és monotonitási szakaszok vizsgálata: x<-2 x=-2 -2<x<0 x=0 f) + 0 szakadási hely f maximum szakadási hely f 2 6 A függvénynek abszolút szélsőértéke nincs. Általában véve (az értelmezési tartományán) folytonos függvény. Konvex-konkáv szakaszok és az inflexiós pont vizsgálata:
f "x
48 , x4
(1 pont)
(1 pont) (1 pont)
(2 pont)
x>0 +
(2 pont) (1 pont) (1 pont)
x R \ 0 Inflexiós pont létezésének szükséges feltétele: f "x 0
48 0 , tehát f-nek nincs inflexiós pontja. (1 pont) x4 48 Konvex a függvény, ha f "x 0 , azaz 4 0 , ez pedig sohasem teljesül. Az f függvény x az egész értelmezési tartományon konkáv. (1 pont) Értékkészlet: f(x)R (1 pont) Ábra: (1 pont) b) A megadott függvény nem lehet egy ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye, mert a z (2 pont) F : F x P x , ha x R nem teljesül.
16
2.) a)A 45 páratlan szám közül kell 5 különbözőt megjelölnünk, a sorrend nem számít. 45 Így: (4 pont) C 545 1221759 . 5 b) 45 páros szám közül kell kettőt megjelölni, és ettől függetlenül 45 páratlan számból pedig hármat. 45 45 (5 pont) C 245 C 345 14048100 . 2 3 c) A feltételeknek megfelelően a legkisebb szám 1-től 70-ig vehet fel értéket, ez 70 lehetőség; a legnagyobb szám ekkor már egyértelmű (20-szal nagyobb!). A két szám közötti 19 számból 19 3 kell még 3 különbözőt megjelölni: ez C19 féleképpen lehetséges. 3
19 Tehát az összes lehetőségek száma: 70 67830 . 3
(6 pont)
3. Állománycsoport Vezető Egyéb szellemi Fizikai Együtt a) V0
I. cég „0” Az összes bér Átlagbér megoszlása, % eFt/fő VmA0 v0 23,0 122,0 15,0 60,0 62,0 76,0 100,0 ……
100 79,7 eFt 23 15 62 122 60 76
V1 0,1 125 0,35 64 0,55 78 77,8 eFt b) Vs 0,1 122 0,35 60 ,55 76 75,0 eFt
II. cég „1” Létszám megÁtlagbér oszlása, % eFt/fő VmB1 v1 10,0 125,0 35,0 64,0 55,0 78,0 100,0 ……
k = v1 - v0 eFt/fő + 3,0 + 4,0 + 2,0
(2)
(2) (2)
K V1 V0 77,8 79,7 1,9 eFt
(1)
K' V1 Vs 77,8 75,0 2,8 eFt
(1)
K" Vs V0 75,0 79,7 4,7 eFt
(1)
c) A II. cég dolgozóinak átlagkeresete 2002. januárjában együttesen átlagosan 1,9 eFt-tal volt kevesebb mint az I. cég dolgozóinak átlagkeresete. Ezt két tényező ellentétes irányú hatása okozta. (2) A II. cégnél mindhárom állománycsoportban magasabbak az átlagkeresetek, ez – azonos létszámösszetételt feltételezve – átlagosan 2,8 eFt-tal okoz magasabb átlagbért vállalati szinten az I. céghez képest. (2) A II. cégnél kedvezőtlenebb a létszám összetétele és ez átlagosan 4,7 eFt-tal okoz alacsonyabb együttes átlagbért az I. céghez képest – állománycsoportonként azonos átlagbért feltételezve. (2) össz. 15 pont 17
vagy: 3. Egy vállalkozás két termékének forgalmazására vonatkozó adatok: A forgalom értéke A forgalom értékének A mennyiség 2006-ban, ezer Ft Termék változása, 2005 = 100,0% q1p1 iv iq I. 33 600,0 106,7 80,0 II. 11 070,0 153,8 102,5 Együtt 44 670,0 …… …….
ip
iv % iq
133,3 150,0 (1)
a) I v
44670 44670 1,1546 115,5% 33600 11070 38687 ,8 1,067 1,538
I 1p
44670 44670 1,3708 137 ,1% 33600 11070 32586,3 1,333 1,5
I q0
1,155 0,8424 84,2% 1,371
(2)
(2)
(1)
A két termék forgalmának értéke 2005-ről 2006-ra együttesen 15,5%-kal nőtt. 2005-ről 2006-ra a termékek árai átlagosan 37,1%-kal nőttek, miközben az eladott mennyiség átlagosan 15,8%-kal csökkent. b) ∑q0p0 = 38 687,8 eFt (vagy: 44670÷1,155 ≈ 38675,3)
(1)
Kv = 44 670 – 38 687,8 = 5 982,2 eFt c) I q1
(3)
(1)
44670 0,8460 84,6% 33600 11070 0,8 1,025
(2)
I qF 0,842 0,846 0,712332 0,8439 84,4%
(2) össz. 15 pont
4.) a) A negyedévenkénti csökkenés 4,5 ezer fő, így az alapirányzat szerint évente 18 ezer fős csökkenésre lehet számítani. (2) b) T = 1,2,3,4 és T = 33,34,35,36 behelyettesítésével a trendfüggvény egyenletébe: 1994 év összes vendégszáma: 795,5+791+786,5+782=3155 ezer 2002 év összes vendégszáma: 651,5+647+642,5+638=2579 ezer (2) 2579 0,9751 , azaz évente átlagosan 2,5%-kal csökkent a Az átlagos dinamika: l 8 3155 vendégek száma az alapirányzat szerint a vizsgált időszakban. (2) c) Szezonális eltérések: I. negyedév: -230 II. negyedév: -150
III. negyedév: 560
IV. negyedév: -180
(1)
18
A vizsgált időszak alapján a III. negyedévek vendégforgalma átlagosan 560 ezer fővel magasabb, mint az alapirányzat a szezonhatás miatt. d) H0: az ismérvek között nincs kapcsolat H1: az ismérvek közötti kapcsolat szignifikáns szf=(2-1)∙(4-1)=3
20,95 (3) = 7,81
(2)
(1) (2)
H0 elfogadási tartománya: 20 ≤ 7,81 vagy: [0; 7,81]
(1)
20=121,7
(1)
Mivel 121,7 nem része az elfogadási tartománynak, ezért H0 –t elutasítjuk, azaz 5%-os szignifikanciaszinten a két ismérv között van (szignifikáns) kapcsolat. (1) össz. 15 pont 5.) a) Végrehajtható, ha Ap k. Ap = [ 43, 52, 38 ] * [ 45, 60, 40 ] * = k, tehát a program végrehajtható. b) 12c p = 12 88 = 1056 ez az üzem termelésének éves bevétele.
(4 pont)
*
(3 pont) c) A szöveg értelmében: 1,2x(költség) = bevétel. Innen az éves költség tehát: 1056/1,2 = 880 (3 pont) II. rész 6.) Optimális tábla megadása: Megoldás: x1 = 15, x2 = 20, x3 = 0 z = -30
(3 pont) (2 pont)
19
