Uraian Singkat Himpunan
Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:
[email protected] March 3, 2014
1
Daftar Isi 1 Tujuan
3
2 Notasi Himpunan
3
3 Operasi pada Himpunan
7
4 Operasi Biner
8
5 Latihan
9
2
1
Tujuan
Himpunan merupakan salah satu konsep penting dalam matematika setelah Logika. Dengan memahami himpunan secara baik selanjutnya dibahas tentang konsep tentang Relasi, Fungsi. Modul ini berisi tentang ringkasan notasi-notasi standar dalam penulisan himpunan. Dengan mempelajari himpunan yang dinotasikan dengan standar matematika maka mahasiswa diharapkan mampu: 1. menuliskan secara benar himpunan yang telah terstandarkan, 2. memberikan justifikasi secara benar apakah sebuah unsur ada di dalam sebuah himpunan atau tidak, 3. membuktikan suatu himpunan merupakan himpunan bagian yang lain atau tidak, 4. membuktikan kesamaan dua buah himpunan, 5. memberikan beberapa contoh operasi biner, 6. menunjukkan sebuah operasi merupakan operasi biner atau bukan.
2
Notasi Himpunan
Secara mudah himpunan merupakan kumpulan objek-objek yang terdeskripsikan secara baik. Deskripsi secara baik ini sangat diperlukan karena untuk membedakan apakah sebuah objek termasuk dalam himpunan atau tidak. Objek yang ada di dalam himpunan dinamakan elemen atau unsur. Himpunan dinotasikan dengan huruf kapital misalnya A, B dan sebagainya, sedangkan unsur-unsur di dalam himpunan dinotasikan dengan huruf ”kecil” a, b dan sebagainya. Jika sebuah unsur a termuat di himpunan A maka dinotasikan dengan a ∈ A, sedangkan bila a tidak termuat di A dinotasikan dengan a∈ / A. Untuk himpunan yang unsurnya tidak terlalu banyak, unsur-unsurnya dapat didaftar dalam sebuah notasi himpunan dengan tanda kurung kurawal {.....}. Sebagai contoh himpunan A merupakan himpunan bilangan genap positif yang kurang dari sepuluh dapat didaftar seperti berikut A = {2, 4, 6, 8}.
3
Deskripsi himpunan A itu sangat jelas sekali sehingga bisa membedakan mana yang unsur dan mana yang bukan unsur. Terlihat jelas bahwa 2 ∈ A dan 3 ∈ / A, bilangan berapapun disebutkan pasti bisa diidentifikasi apakah bilangan tersebut ada di A atau tidak. Unsur dalam sebuah himpunan cukup dituliskan sekali saja. Meskipun dituliskan dua kali pada dasarnya unsurnya adalah satu. Sebagai contoh himpunan A di atas dituliskan dengan A = {2, 4, 4, 6, 8} maknanya sama saja dengan sebelumnya. Selain itu urutan peletakan dalam unsur himpunan tidaklah menjadi penting. Himpunan A di atas juga bisa dituliskan sebagai A = {8, 2, 4, 6}. Cara mendaftar seperti di atas bisa digunakan untuk himpunan dengan jumlah unsurnya sedikit atau himpunan dengan jumlah unsur yang banyak namun diketahui deskripsi atau pola yang jelas. Sebagai contoh himpunan B merupakan himpunan bilangan genap positif yang kurang dari seribu. Himpunan B tersebut bisa didaftar sebagai berikut: B = {2, 4, 6, . . . , 998}, tanda titik tiga ”. . .” dibaca ”sampai dengan” dapat digunakan karena pola aturan bilangan sudah jelas yaitu unsur akan bertambah 2. Untuk himpunan yang unsurnya tak terhingga namun pola aturannya diketahui secara baik juga bisa digunakan cara mendaftar. Sebagai contoh, himpunan C merupakan himpunan bilangan genap positif yang dapat didaftar sebagai berikut: C = {2, 4, 6, . . .}, tanda titik tiga ” . . . ” dibaca ”dan seterusnya”. Selain itu, himpunan C ini juga bisa didiskripsikan cirinya dalam tanda himpunan, C = {x|x bilangan genap positif}, tanda ”|” dibaca ”sehingga”. Selain itu, garis vertikal ”|” juga dipakai sebagai pembatas antara variabel unsur himpunan dan deskripsinya. Di Matematika ada beberapa himpunan yang telah dipakai secara umum notasi himpunannya. Himpunan bilangan bulat dinotasikan dengan Z, yang diambil dari Bahasa Jerman yaitu Zahlen untuk bilangan bulat. Bila didaftar himpunan bilangan bulat dituliskan sebagai: Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}. Himpunan bilangan rasional (quotion) dinotasikan dengan Q. Dengan mendaftar him-
4
punan bilangan rasional ini dituliskan dengan: a Q = {x|x = , dengan a, b di Z dan b 6= 0}. b Himpunan bilangan riil dinotasikan dengan R. Himpunan bilangan riil ini tidak mungkin untuk didaftar namun lebih sering digambarkan dengan garis bilangan. Misal A menyatakan sebuah himpunan yang unsurnya ”berhingga”. Notasi |A| menyatakan banyaknya unsur di A, dan dinamakan kardinalitas himpunan A. Himpunan A = {2, 4, 6, 8, 10} mempunyai kardinalitas 5 karena banyaknya unsur di A sebanyak 5 dan dituliskan |A| = 5. Himpunan yang tidak memiliki unsur dinamakan himpunan kosong dan dinotasikan dengan ∅ atau {}. Himpunan K adalah himpunan bilangan riil yang merupakan akar dari −1. Maka dengan mudah terlihat bahwa K = ∅, karena tidak ada bilangan riil bila dikuadratkan sama dengan −1. Misal A dan B dua buah himpunan. Jika setiap unsur di A termuat di B maka dikatakan A himpunan bagian (subset) dari B dan dituliskan A ⊆ B. Misal A = {2, 4, 6} dan B = {0, 1, 2, . . . , 10}. Dari daftar tersebut terlihat bahwa semua unsur di A termuat di B dan ini dikatakan A ⊆ B. Pada contoh seperti ini terlihat bahwa terdapat unsur di B yang tidak termuat A maka kondisi semacam ini dikatakan himpunan bagian sejati dan bisa dituliskan sebagai A ⊂ B. Secara definitif jika A himpunan bagian B dan terdapat unsur di B yang tidak termuat di A maka dikatakan A himpunan bagian sejati (proper subset) dari B dan dinotasikan A ⊂ B. Apa yang dimaksud dengan A 6⊆ B? Tentunya hal ini bisa dijabarkan dari pengertian bukan himpunan bagian yaitu jika terdapat unsur di A dan unsur tersebut tidak termuat di B. Sebagai contoh misal himpunan A = {2, 4, 6} dan B = {1, 2, 3, 4, 5}, dengan mengamati himpunan ini terlihat semua unsur di A termuat di B kecuali 6. jadi ∃6 ∈ A tetapi 6 ∈ / B. Hal ini mengatakan bahwa A 6⊆ B. 5
Misal A = {2, 4} dan B = {x ∈ Z|x2 + 6x + 8 = 0}. Maka dengan mudah dilihat bahwa akar dari x2 + 6x + 8 = 0 adalah x = 2 atau x = 4. Dengan demikian pada dasarnya B = {2, 4}. Terlihat dengan jelas bahwa setiap unsur di A merupakan unsur-unsur di B atau A ⊆ B. Namun sebaliknya setiap unsur di B juga merupakan unsur di A atau B ⊆ A. Dari contoh ini mudah dipahami bahwa A = B dan berlaku A ⊆ B dan B ⊆ A. Secara definitif A = B jika dan hanya jika A ⊆ B dan B ⊆ A. Untuk pembuktian kesamaan dua buah himpunan definisi ini sementara menjadi alat yang sangat bermanfaat, terutama untuk menunjukkan kesamaan dua buah himpunan yang tidak mungkin didaftar unsur-unsurnya. Misal X = {1, 2, 3}. Semua himpunan bagian dari X adalah ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}. Himpunan-himpunan bagian tersebut merupakan himpunan bagian sejati dari X kecuali X = {1, 2, 3} sendiri. Himpunan yang unsurnya semua himpunan bagian dari X ini dinamakan dengan himpunan kuasa (power set) dari X dan dinotasikan dengan P(X) atau dengan 2X . Dengan demikian, P(X) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}. Dari contoh ini dapat diamati bahwa |X| = 3 dan |P(X)| = 23 = 8. Secara umum dengan menggunakan induksi matematika dapat ditunjukkan bahwa: jika |X| = n maka |P(X)| = 2n . Berikut diberikan beberapa notasi standar yang dipakai dalam himpunan. 1. N adalah himpunan bilangan asli. Jadi N = {1, 2, 3, . . .}. 2. Z adalah himpunan bilangan bulat. Jadi Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}. 3. aZ = hai = {az|z ∈ Z}. 4. Zn adalah himpunan kelas sisa modulo n. 5. Q adalah himpunan bilangan rasional. 6
6. Q+ adalah himpunan bilangan rasional positif. 7. Q∗ adalah himpunan bilangan rasional tidak nol. 8. R adalah himpunan bilangan riil. 9. R+ adalah himpunan bilangan riil positif. 10. R∗ adalah himpunan bilangan riil tidak nol. 11. C adalah himpunan bilangan kompleks. Himpunan bilangan kompleks ini juga sering dituliskan dengan. C = {a + bi|a, d di R dan i2 = −1}. 12. C∗ adalah himpunan bilangan kompleks tidak nol. 13. Mn (R) adalah himpunan matriks berukuran n × n yang elemen-elemennya bilangan riil. 14. M∗n (R) adalah himpunan matriks berukuran n × n yang elemen-elemennya bilangan riil dan determinannya tidak sama dengan nol. 15. Mm×n (R) adalah himpunan matriks berukuran m × n yang elemen-elemennya bilangan riil. 16. Rn adalah himpunan matriks berukuran n × 1 dan sering disebut sebagai vektor kolom berukuran n. 17. Sn adalah himpunan semua permutasi di A = {1, 2, 3, . . . , n}. 18. Misal A sebuah himpunan. Himpunan kuasa dari A dinotasikan dengan 2A .
3
Operasi pada Himpunan
Banyak operasi yang ada pada himpunan, beberapa diantaranya adalah irisan, gabungan, komplement. Ketika operasi tersebut sebagai operasi dasar dan dari ketiganya didefinisikan operasi-operasi lainnya. Misal A dan B dua buah himpunan. Himpunan irisan dari A dan B dituliskan A ∩ B adalah himpunan yang unsurnya termuat di A dan sekaligus di B. Sedangkan himpunan gabungan dari A dan B dinotasikan dengan A ∪ B adalah himpunan yang unsur-unsurnya terdiri dari unsur-unsur di A atau B. Himpunan dari unsur-unsur yang tidak termuat di ¯ A dinamakan komplemen A dan dinotasikan dengan Ac atau A0 atau A. Masih merujuk pada himpunan A dan B di atas, himpunan A dikatakan himpunan bagian dari B, dilambangkan A ⊆ B, apabila setiap unsur di A juga termuat di B. Dengan kata lain jika mengambil secara acak unsur di A maka unsur terambil tersebut 7
juga merupakan unsur di B. Secara matematis dapat dituliskan dalam bentuk implikasi yaitu ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B. Kesamaan himpunan yaitu A = B jika dan hanya jika berlaku A ⊆ B dan B ⊆ A. Dengan demikian untuk membuktikan kesamaan dua buah himpunan dilakukan dua langkah pembuktian himpunan bagiannya. Sifat-sifat dasar di operasi matematika yang perlu dibuktikan kebenarannya adalah sebagai berikut. 1. Sifat Idempoten (a) A ∪ A = A
(b) A ∩ A = A.
2. Sifat komutatif (a) A ∪ B = B ∪ A
(b) A ∩ B = B ∩ A
3. Sifat Asosisatif (a) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(b) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
4. Sifat Distributif (a) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∪ C
(b) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
5. Sifat identitas (a) A ∪ ∅ = A (c) A ∩ ∅ = ∅
(b) A ∪ U = U (d) A ∩ U = A
6. Sifat komplemen (a) A ∪ A¯ = U
A ∩ A¯ = ∅.
7. De Morgan ¯ (a)A ∪ B = A¯ ∩ B
4
¯ (b) A ∩ B = A¯ ∪ B.
Operasi Biner
Misal A adalah himpunan yang tidak kosong. Sebuah operasi biner pada himpunan A pada dasarnya adalah sebuah fungsi dengan domain A × A dan kodomain A. Jika ∗ merupakan operasi biner pada A maka dapat dituliskan dengan notasi fungsi yaitu ∗ : A × A → A. Dari sini terlihat jelas bahwa adanya operasi biner menjamin sifat ketertutupan terhadap hasil operasi. Jika a, b dua buah unsur di A yang dikenai dengan operasi biner ∗ di tuliskan dengan a ∗ b. Terdapat beberapa operasi biner pada bilangan bulat maupun bilangan riil yang sudah tidak asing lagi bagi kita diantaranya adalah penjumlahan (+), perkalian (×). Hal ini karena penjumlahan bilangan bulat maupun bilangan riil juga menghasilkan bilangan riil. Sebagai contoh 3 dan 7 dua buah bilangan bulat, dan bila dikenai operasi penjumlahan dan perkalian dituliskan 3 + 7 dan 3 × 7. Hasil sebuah operasi sangat tergantung pada 8
pendefinisian operasi biner yang bersngkutan. Untuk kasus ini sudah dikenal dengan baik bahwa 3 + 7 = 10 dan 3 × 7 = 21. Misal operasi ∗ didefinisikan pada Z dengan a ∗ b := a + b − 1 untuk setiap a, b di Z. Karena penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat juga menghasilkan bilangan bulat maka dapat dikatakan bawa ∗ merupakan operasi biner pada Z. Sebagai contoh diambil unsur 4 dan 7 di Z, maka dengan mudah dilihat bahwa 4 ∗ 7 = 10. Sebuah operasi yang dinotasikan dengan # di Z dengan a#b := a + b − ab . Perhatikan 2 dan 3 unsur di Z dan 2#3 = 2 + 3 − 32 = 5 − 23 dan bilangan ini bukan anggota dari Z. Hal ini menunjukkan bahwa # bukan operasi biner di Z.
5
Latihan
Latihan berikut ini tuliskan himpunannya dengan mendaftar anggotanya. 1. A = {x ∈ R|x2 = 9} 2. B = {n ∈ Z|n2 + n < 20} 3. C = {m ∈ Z|2 < m ≤ 10} Tuliskan hubungan yang terjadi antara himpunan A dan B berikut ini. 4. A = {1, 2, 3} dan B = {x ∈ Z|x ≤ 3} 5. A = {x ∈ Z|x2 − 4x + 3 = 0} dan B = {x ∈ Z|x ≥ 1} 6. Buktikan kebenaran yang ada di sifat-sifat himpunan. Selidiki apakah operasi berikut merupakan operasi biner atau bukan 7. Untuk setiap a, b di Z didefinisikan operasi ∗ dengan a ∗ b := 2a + b 8. Untuk setiap c, d di Z+ didefinisikan operasi # dengan c#d := 2a + b − 2 9. Untuk setiap m, n di Z+ didefinisikan operasi & dengan m&n := 2a + b − 3.
9
