___________________________________________________________________________
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta
___________________________________________________________________________
VYUŽITÍ DIFERENCIÁLNÍHO A INTEGRÁLNÍHO POČTU V MATEMATICKÉM SEMINÁŘI PRO 4. ROČNÍK GYMNÁZIA
Jan Beneš
Rigorózní práce v oboru didaktika matematiky Olomouc, únor 2011
Prohlašuji, že jsem rigorózní práci zpracoval samostatně. Odborné konzultace mi poskytli pedagogové Katedry algebry a geometrie PřF UP doc. RNDr. Stanislav Trávníček, CSc. a RNDr. Jaroslav Švrček, CSc. Všechny použité zdroje jsem uvedl.
Jan Beneš
Děkuji doc. RNDr. Stanislavu Trávníčkovi, CSc. a RNDr. Jaroslavu Švrčkovi, CSc. za cenné odborné a technické rady v průběhu sestavování práce a za podporu mého úsilí práci sepsat. Jan Beneš
Obsah 1 Úvod
1
2 Historické poznámky k zařazování diferenciálního a integrálního počtu do učiva matematiky na gymnáziích
2
2.1 Počátky procesu 2.2 Vývoj od roku 1948 do současnosti 3 Obecné důvody pro zařazení základů diferenciálního a integrálního počtu na gymnázium, argumenty proti zařazení 3.1 Argumenty pro zařazení 3.2 Argumenty proti zařazení
5
6
6 6 6
4 Základy diferenciálního a integrálního počtu v matematice na Gymnáziu Jihlava 4.1 4.2 4.3 4.4
2 4
Charakteristika Gymnázia Jihlava Vývoj vzdělávání v matematice na Gymnáziu Jihlava od roku 1984 Matematika ve Školním vzdělávacím programu na Gymnáziu Jihlava Základy diferenciálního a integrálního počtu na Gymnáziu Jihlava
8 8 8 9 10
Diferenciální a integrální počet v matematickém semináři
11
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6
11 11 11 12 12 13
Volitelné předměty z matematiky na Gymnáziu Jihlava Matematický seminář na Gymnáziu Jihlava Zkušenosti se skladbou studentů v matematickém semináři Úkoly matematického semináře a jejich naplňování Diferenciální a integrální počet v matematickém semináři Další vývoj matematického semináře
Aplikační úlohy z diferenciálního a integrálního počtu
14
6.1 Užití derivací Úloha 1 Tvar konzervy Úloha 2 Rozměry sloupu Úloha 3 Osvětlení stolu Úloha 4 II. Newtonův pohybový zákon
14 14 15 17 18
6.2 Užití integrálů Úloha 5 Obsah elipsy Úloha 6 Obsah Descartova listu Úloha 7 Gaussova křivka Úloha 8 Tlaková síla vody Úloha 9 Tvar rotující kapaliny
21 21 22 24 27 28 iv
Úloha 10 Moment setrvačnosti tyče Úloha 11 Vrh svislý vzhůru Úloha 12 Vrh šikmý vzhůru
7
30 31 33
6.3 Jednoduché diferenciální rovnice Úloha 13 Výtok vody z válcového zásobníku Úloha 14 Výtok vody z polokulového zásobníku Úloha 15 Nerovnoměrný přímočarý pohyb Úloha 16 Pohyb člunu ve vodě Úloha 17 Tažná síla lokomotivy Úloha 18 Zákon radioaktivní přeměny Úloha 19 Spojité úročení Úloha 20 Ochlazování těles Úloha 21 Růst bakterií Úloha 22 Doba výstupu rakety Úloha 23 Integrální křivky Úloha 24 Ortogonální trajektorie 1 Úloha 25 Ortogonální trajektorie 2 Úloha 26 Délka normály Úloha 27 Netlumené mechanické kmity Úloha 28 Netlumené elektromagnetické kmity Úloha 29 Tlumené mechanické kmity Úloha 30 Tlumené elektromagnetické kmity
36 37 37 39 41 43 45 46 48 50 52 54 56 58 59 61 64 67 70
Shrnutí a závěr
72
Použitá literatura
75
Přílohy
v
1 Úvod Při odpovědném přístupu k systému gymnaziálního vzdělávání je potřeba si neustále klást dvě základní otázky: co učit a jak učit. Tyto dvě základní otázky pak generují další otázky, mezi kterými jednou z nejzávažnějších je problém optimálního vyvážení společného učiva pro všechny studenty a učiva volitelného. Na řešení problému přirozeně existuje bezpočet názorů a stanovisek. Tato práce se zabývá zařazením diferenciálního a integrálního počtu do učebních osnov matematiky a popisuje, jak je téma řešeno na Gymnáziu Jihlava a jak k jeho řešení sám autor práce přistupuje, což spolu úzce souvisí. Relativně nízký počet hodin výuky matematiky na gymnáziu vede vyučující matematiky a vedení každé jednotlivé školy ke zvážení, zda do školního programu nezařadit nebo zařadit, a v jakém rozsahu, výuku témat infinitezimálního počtu. Tato práce má podpořit názor, že je velmi vhodné poskytnout alespoň zvídavým studentům již na gymnáziu přiměřené informace o diferenciálním a integrálním počtu. Pro kvalitní studenty gymnázií, byť se v budoucnu podle svého zájmu a možností budou věnovat různým odborným zaměřením, jsou vhodné přinejmenším ze dvou důvodů. Předně přiměřené používání infinitezimálního počtu na gymnáziích mimo veškerou pochybnost obohacuje myšlení studenta, přináší mu nové nástroje na řešení problémů (např. práce s „nekonečně malými“ veličinami) a vede k nárůstu kompetencí studenta pro řešení mnohých úloh, které dosud řešit nemohl, nebo řešil příliš zdlouhavě. Druhý a velmi závažný důvod spočívá v tom, že infinitezimální počet přináší možnost významných praktických aplikací matematiky, které studentům potvrzují, že matematika je věda pro praxi velmi užitečná. K danému tématu bylo už napsáno mnohé. Na podporu tvrzení vyslovených v předchozích dvou odstavcích práce popisuje, jak je učivo o diferenciálním a integrálním počtu podle návrhu jejího autora zařazeno v učebních osnovách matematiky na Gymnáziu Jihlava. Hlavním úkolem práce je pak ukázat, jak její autor systematizaci učiva v tříhodinovém matematickém semináři v posledním ročníku studia doplňuje o řešení aplikačních úloh. Tyto aplikační úlohy jsou stěžejním tématem práce, proto její podstatná část je tvořena 30 vybranými úlohami spolu s řešeními a metodickými poznámkami. V práci jsou zařazeny úlohy z diferenciálního počtu, integrálního počtu a hlavně úlohy z rozšiřujícího tématu – diferenciálních rovnic. Úlohy byly vybrány tak, aby ukazovaly použití infinitezimálního počtu v různých oborech a aby také přispívaly k prohlubování mezipředmětových vztahů.
1
2 Historické poznámky k zařazování diferenciálního a integrálního počtu do učiva matematiky na gymnáziích 2.1 Počátky procesu Zkušenosti z předchozího historického vývoje patří mezi spolehlivá vodítka pro současné rozhodování. Pro odborný a vědecký vývoj diferenciálního a integrálního počtu se impulzem staly následující události: V 17. století na tématu pracuje Gottfried Wilhelm Leibniz inspirován hlavně podněty matematickými a Issac Newton podnícen hlavně motivy fyzikálními. Většina autorů za první publikaci z diferenciálního počtu považuje právě Leibnizovu „Novou metodu pro maxima a minima, jakož i pro tečny, které nelze vyjádřit lomenými a iracionálními hodnotami“, kterou v roce 1684 uveřejnil časopis Acta Eruditorum v Lipsku. Zde ještě nebyl přesně vymezen pojem funkce. Jeho další významný článek „De geometrie recondita“ vychází v roce 1686 V 17. století začíná intenzivně přispívat i Johann I. Bernoulli, který zavádí pojem funkce. V 18. století Leonard Euler zpřesnil definici funkce a zavedl označení f x . V 19. století dochází k aritmetizaci matematické analýzy. Tento proces ovlivnil především Carl Theodor Wilhelm Weierstrass. Každé tvrzení se začíná dokazovat a poněkud volné intuitivní pojmy jsou nahrazovány pojmy statickými. Právě hlubší zamyšlení nad tímto procesem může být inspirující pro způsob výkladu infinitezimálního počtu na střední škole a může pomoci přiblížit se správnému poměru mezi intuitivním a exaktním na této úrovni vzdělání. Především odbornou veřejnost v Čechách poprvé seznamují s principy diferenciálního a integrálního počtu Josef Stepling a Jan Tesánek. V roce 1768 vychází Steplingův „Diferenciální počet“ a o integrálním počtu vychází v Praze roku 1751 práce „Exercitationes geometrico – annalyticae“. František Josef Studnička od roku 1867 postupně vydal 3 díly (O počtu differenciálním, O počtu integrálním, O integraci rovnic differenciálních a počtu variačním) své knihy Základové vyšší mathematiky, což bylo první obsáhlejší dílo (obsahuje 750 stran) o infinitezimálním počtu napsané v českém jazyce. S úctou je potřeba studenty upozorňovat i na další matematiky, kteří až po současnou dobu přispěli k rozvoji matematické analýzy a nejsou zde uvedeni. Vývoj v odborné matematice měl přirozeně znatelný dopad i na střední školství (gymnázia) a projevil se snahami o zařazení infinitezimálního počtu do učebních osnov gymnázií: Od 60. let 19. století přední evropské země usilují o reformu školství. V čele těchto hnutí stojí Německo. Také aktivita českých matematiků je příkladná. V Čechách jsou předními průkopníky Václav Šimerka a Václav Jandečka. V době, kdy Václav Šimerka působil jako suplující učitel na gymnáziu v Českých Budějovicích, vychází v roce 1863 jeho učebnice Algebra čili počtářství obecné pro vyšší gymnasia 2
a školy reálné. Nezískal však povolení úřadů, aby součástí učebnice bylo i učivo o počtu infinitezimálním. Mohl toto učivo vydat pouze jako pomocné v doplňku k učebnici. Stalo se tak v roce 1864 a doplňková učebnice měla název Přídavek k Algebře. Vezmeme-li v úvahu dnešní kritéria, je knihu nutno považovat za jeden z prvních pokusů. Nepracuje se v ní s pojmy limity, spojitosti a derivace a nepoužívá ani vyčerpávající vymezení pojmů. Autor vykládá nové základní poznatky a postupy v souvislosti s řešením úloh. Ve Francii v roce 1902 byly do jednotného učebního plánu zařazeny základní poznatky o funkcích spolu s elementy infinitezimálního počtu. V Německu pracovala od roku 1904 do roku 1907 komise pro vyučování matematice a přírodovědným předmětům pod vedením Augusta Gutzmera. Významný člen komise Felix Klein předložil návrh na reformu matematického a fyzikálního vzdělávání. Celé úsilí německých matematiků vyvrcholilo roku 1905 na jejich konferenci v Meranu (konferenci byli přítomni také přírodovědci a lékaři) reformním návrhem na úpravu středoškolského matematicko-přírodovědného vzdělání, tzv. meranským programem. Jedním z hlavních bodů programu je zařazení poznatků o funkcích, funkčního myšlení a prvků infinitezimálního počtu do učebních osnov. Čeští matematici byli o dění na tomto poli dobře informováni a sehráli v něm důstojnou roli. Již od roku 1862 existuje Jednota českých matematiků a fyziků a většinu jejích členů v té době tvoří středoškolští profesoři. Školní rada Karel Zahradníček proslovil ve Vídni na německo-rakouském středoškolském dnu přednášku „K otázce infinitezimálního počtu na rakouské střední škole“ a v jejím rámci formuloval své „Pražské návrhy“. Jasně se stavěl za zavedení elementů infinitezimálního počtu do středoškolské výuky matematiky. Část ze závěrů přednášky stojí i dnes za doslovné ocitování: „Je velmi žádoucí, aby ve středoškolské matematice byl obsažen pojem funkce a prvky diferenciálního a integrálního počtu; je to nutné při moderním pojetí didaktiky matematiky, má-li odpovídat současnému vědeckému pojetí a je to nutné i pro použití matematiky ve fyzice, která svým charakterem spadá do oblasti infinitezimální analýzy, jejíž metody zde mohou být jednoduše užity.“ Dnes bychom doplnili celou paletu dalších využití. V českých zemích se pojem funkce a základy diferenciálního a integrálního počtu do učebních osnov pro gymnázia systematicky dostávají až roku 1909 jako produkt reformy školství v rámci habsburské monarchie. Realizátorem bylo Ministerstvo vyučování pod vedením ministra Gustava Marcheta. Jednota českých matematiků a fyziků určuje jako autory nových učebnic Bohumila Bydžovského a Jana Vojtěcha, kteří je pak skutečně sepsali. Bydžovský, B.: Arithmetika pro VI. až VII. třídu gymnasií a reálných gymnasií. Jednota českých mathematiků, Praha 1911. Bydžovský, B., Vojtěch, J.: Arithmetika pro nejvyšší třídu gymnasií a reálných gymnasií. Jednota českých mathematiků, Praha 1912. Vojtěch, J.: Geometrie pro VII. třídu reálek. Jednota českých mathematiků, Praha 1912. Oba autoři tuto sérii učebnic později doplnili o sbírku příkladů. Bydžovský, B., Vojtěch, J.: Sbírka úloh z matematiky. Jednota československých matematiků a fysiků, Praha 1924. 3
2.2 Vývoj od roku 1948 do současnosti Vývoj společenského systému po roce 1948 prošel několika excesy a pod jejich vlivy se postupně vyvíjelo i školství, zvláště střední školství. Měnil se obsah, poslání i délka. Školským zákonem z roku 1948 jsou zrušena víceletá gymnázia, základní vzdělání je ustanoveno jako devítileté, na které navazuje čtyřleté gymnázium. Učebnice matematiky pro všechny čtyři ročníky připravil kolektiv autorů, vedený Eduardem Čechem a učivo obsahuje tématiku diferenciálního a integrálního počtu. V roce 1953 došlo k dramatičtější reformě. Základní povinné vzdělání je redukováno na osm let a střední na tři roky realizované na Jedenáctileté střední škole. V takto redukovaném středoškolském vzdělávání už diferenciální a integrální počet nemá místo. Určitý prostor pro vrácení základů infinitezimálního počtu na střední školu vzniká Školským zákonem v roce 1960. Základní vzdělání je prodlouženo na 9 let, střední vzdělání gymnaziálního typu zůstává tříleté, realizované na střední všeobecně vzdělávací škole. Základy infinitezimálního počtu se do učiva vracejí a jeho tematika je uvedena v učebnici matematiky pro III. ročník SVVŠ pro přírodovědnou větev v této struktuře: funkce, spojitost funkce, limita funkce, derivace funkce, průběh funkce, ukázka užití diferenciálního počtu, neurčitý integrál, poučení o integrálu určitém. Pro posouzení, jak přiměřeně je zde tématika vykládána, je potřeba připomenout používání symbolů ( , ) . V reformním roce 1968 také pod tlakem pedagogické veřejnosti se SVVŠ nazpět mění v gymnázium se čtyřletou délkou studia. Diferenciální a integrální počet zůstává i přes to, že v roce 1970 se intenzivně diskutovalo, zda je to vhodné v době, kdy významnou roli mají mít množiny. Charakteristické pro tuto etapu je zavádění pojmu funkce v posloupnosti: kartézský součin binární relace zobrazení funkce. Po zkrácení základního učebnice matematiky pro se zabývá diferenciálním jsou nahrazeny pojmem implicitní funkce.
vzdělání v roce 1976 na 8 let, vychází v roce 1977 nové gymnázia v podobě 8 sešitů, tzv. sešitové vydání. Sedmý sešit a integrálním počtem a charakteristické je, že symboly ( , ) okolí chápaném jako jistá množina. Zařazena je i derivace
Další řada učebnic matematiky vychází v roce 1984, kdy autor práce přichází na Gymnázium v Jihlavě a má s nimi (i všemi dalšími) osobní zkušenost při vyučování. Při zavedení pojmu funkce ve druhém ročníku se již nepracuje s pojmem binární relace. Diferenciální a integrální počet je zařazen ve 4. ročníku a učebnice nepoužívá ( , ) , používá pojem okolí ve smyslu interval. Obsažena je derivace implicitně vyjádřené funkce a l’Hospitalovo pravidlo. V roce 1989 se k úlevě studentů a za podpory pedagogů zjednodušuje zavedení funkce, která se opět vykládá jako „předpis pro přiřazení...“ Po roce 1992 se na většině gymnázií používá poslední řada učebnic matematiky, kterou produkuje vydavatelství Prometheus pod garancí Jednoty českých matematiků a fyziků. Popisovanou tematikou se zabývá Diferenciální a integrální počet autorů D. Hrubého a J. Kubáta. Zkušenosti autora práce znovu potvrzují, že použití i této nové učebnice (při nejlepší snaze a nelehké práci jejích tvůrců) je determinováno řadou dalších faktorů a nemůže být jedinou pomůckou pro pedagogovo stanovisko i pro jeho výklad studentům. Za zajímavost učebnice lze považovat, že její autoři nepoužívají pojmu neurčitý integrál. Podle vyjádření jednoho z uvedených autorů v publikaci [9] se tak stalo pod tlakem recenzentů. Znovu se vynořuje potřeba diskuse o vyváženém poměru
4
intuitivního a exaktního. Naštěstí k problému používání pojmu neurčitého integrálu existuje přesné vysvětlující stanovisko S. Trávníčka v článku [2] podle seznamu literatury, které dává prostor tento pojem běžně užívat. Autor jmenovaného článku [2] také upozornil na fakta, uvedená v sedmém označeném odstavci strany 2. Ostatní fakta této kapitoly, která předcházejí rámec osobních zkušeností, jsou čerpána především z publikací [9], [10], [24].
5
3 Obecné důvody pro zařazení základů diferenciálního a integrálního počtu na gymnázium, argumenty proti zařazení 3.1 Argumenty pro zařazení Jak již bylo v úvodu řečeno, na gymnáziu řešenou otázkou je, zda základy infinitezimálního počtu zařadit, či ne. Aby takové rozhodování bylo co nejvíce racionální, je potřeba dostatečně přesně určit, jaké postavení, a tím i poslání, gymnázium v oblasti svého působení má. Následující argumentace je cíleně vybrána pro stabilizované gymnázium se širším působením, které vzdělává ve všech zavedených oborech s ambicí mít kvalitní výsledky. Diferenciální a integrální počet významným způsobem obohacuje a rozšiřuje myšlenkové postupy studenta. Jiným způsobem se zabývá některými problémy a získává nástroje, jak k nim přistupovat. Učí se např. pracovat s nekonečně malými a nekonečně velkými veličinami, a tím se jeho myšlení stává hlubším. Takové rozšíření myšlenkových postupů má význam pro všechny kvalitní studenty, byť se později věnují různým oborům. Další z významných důvodů je nade vší pochybnost nebývalé rozšíření kompetencí k řešení problémů. Některé úlohy dosud student řešit nemohl a některé sice řešit mohl, avšak pomaleji a obtížněji. Zvláštní význam pro studenty má procvičování systematických analýz funkcí. Student se může seznámit se základními principy, jak je diferenciální a integrální počet dnes aplikován do širokého spektra dalších oborů. Tradičně se jedná o fyziku a technické discipliny. K nim se nyní významnou měrou řadí chemie, biologie a další. Ve školním prostředí se tak posilují mezipředmětové vztahy. Zavedení uvedeného počtu do osnov vlastně také poskytuje velice významný prostředek pro neformální a užitečné opakování učiva o základních funkcích, které se vyučuje ve 2. ročníku (v sextě osmiletého gymnázia). Stejně tak si užitečným způsobem studenti zopakují a prohloubí úpravy výrazů různého druhu. Většina vyučujících matematiků (možná všichni) tuto tematiku ráda vykládá. Studenti většinou nepovažují základy matematické analýzy za nejobtížnější obor, který se v rámci matematiky vyučuje. Toto lze samozřejmě konstatovat u studentů, kteří nezápasí s celou matematikou. Jsou tu ještě důvody, které plynou z historického vývoje, jak byl popsán v oddíle 2.
3.2 Argumenty proti zařazení Je samozřejmé, že při odpovědném posouzení daného problému je potřeba zvážit ještě komplikace, které tak vzniknou. Předchozí argumentace pro zavedení byla motivována především potřebou studentů, kteří chtějí na gymnáziu získat kvalitní vzdělání a podle toho 6
ke studiu přistupují. I tak zavedení diferenciálního a integrálního počtu určité komplikace přináší. Mezi obory působnosti, kterými se budou studenti později zabývat, jsou totiž i takové, pro které je diferenciální a integrální počet luxusem. V takovém případě vzniká vyučujícím matematiky závažný úkol: zvládnout tuto situaci ku prospěchu studenta bez přílišné újmy pro matematiku. S tím souvisí i správná volba způsobu hodnocení. Velká část veřejnosti nedisponuje ani základními poznatky z této oblasti. Proto lehko podléhá pochybnostem, zda je potřeba takovou problematiku vyučovat. Argumenty z odstavce 3.1 nechápou, nebo je chápou jen s obtížemi. Komplikace může vyvolat i obecný postoj společnosti k matematice. V té souvislosti je potřeba se např. pozastavit i nad tím (to se týká celé matematiky), že někteří umělci (nebo ti, kteří se za umělce vystavují) se v hromadných sdělovacích prostředcích snaží svůj obraz popularizovat pomocí nepěkného vztahu k matematice a svých nepěkných výsledků v matematice. Odpovědí ze strany zastánců by mělo být např. zdůraznění i estetických prvků problému a zařazování historických souvislostí.
7
4 Základy diferenciálního a integrálního počtu v matematice na Gymnáziu Jihlava 4.1 Charakteristika Gymnázia Jihlava Gymnázium Jihlava je státní gymnázium, které bylo založeno v roce 1919, a letos tedy existuje svůj stý prvý rok. V současné době vzdělává průměrně 850 žáků ve všech třech formách studia. Po jedné třídě v ročníku má studium osmileté a třetím rokem také šestileté, tři třídy pak studium čtyřleté, z toho jednu třídu se sportovním zaměřením. Z uvedeného vyplývá, že čtyřmi ročníky vyššího stupně gymnázia prochází souběžně pět tříd. Počet žáků a strategické umístění v krajském městě vedou pracovníky školy, aby jejich pracovní úsilí bylo adekvátní takovému postavení. V přírodovědných oborech se úsilí projevuje např. tím, že Gymnázium Jihlava je sídlem krajských komisí matematické, fyzikální a chemické olympiády, současně je i právnickým subjektem pro jmenované olympiády. Všichni tři předsedové krajských komisí jsou pedagogové školy. O Gymnáziu Jihlava je potřeba ještě konstatovat, že technicky podporuje realizaci krajských seminářů pro soutěžící v matematické olympiádě, které organizuje krajská komise. K takové aktivitě se připojila i krajská komise pro fyzikální olympiádu a rovněž úspěšně ji realizuje.
4.2 Vývoj vzdělávání v matematice na Gymnáziu Jihlava od roku 1984 Je zcela přirozené, že peripetie ve vzdělávání na Gymnáziu Jihlava probíhaly paralelně se změnami školských soustav ve státě. V únoru 1984 mezi matematiky a fyziky školy nastoupil autor práce, může tedy autenticky další vývoj s ohledem na téma práce popsat, vymezit svůj podíl a rozhodující vliv na jeho utváření. Právě od roku 1984 byla na gymnáziích zavedena tzv. polytechnizace. V jejím rámci si každý student musel zvolit jeden z technických oborů. Důraz byl kladen i na matematiku a fyziku, když jejich hodinová dotace byla pro vyučující matematiky a fyziky velmi příjemná. Základy diferenciálního a integrálního počtu se vyučovaly. Již byly zavedeny volitelné předměty a v jejich rámci také dvouhodinový seminář z matematiky. „Nová koncepce...“ přichází se zahájením školního roku 1990/1991, odborné předměty jsou zrušeny a gymnázia nově mohou ustanovit až tři větve: humanitní, přírodovědnou, všeobecnou. Také v tomto směru se na Gymnáziu Jihlava experimentuje a zkušenosti vykrystalizovaly v převažující názor, že od školního roku 1992/1993 zůstane pouze zaměření všeobecné. Je však zavedena latina jako povinně volitelný předmět v alternaci k deskriptivní geometrii od druhého ročníku (sexty) studia. V posledních čtyřech letech (od školního roku 2006/2007) je systém všeobecného vzdělávání částečně porušen, protože jednou ze tříd čtyřleté formy studia je třída sportovní.
8
Názory na její existenci nejsou zdaleka jednotné, proto se jí úvahy o matematice v této práci většinou nebudou týkat. Od školního roku 1992/1993 až dosud je autor práce ustanoven předsedou předmětové komise matematiky. V rámci úředních předpisů, ale s dostatkem samostatných představ, postupně tvoří (podle tehdejší terminologie) tematické plány pro matematiku, podle kterých se, po projednání v předmětové komisi a zapracování připomínek kolegů, učí. Ve výuce základů infinitezimálního počtu se pokračuje v souladu se stanovisky a za plné podpory celé předmětové komise. Důležité bylo, že předseda předmětové komise matematiky měl potřebný tvůrčí prostor pro uplatňování svých představ o struktuře učiva matematiky. Na druhé straně musel několikrát bojovat o ponechání základů diferenciálního a integrálního počtu v učivu matematiky stejně, jako musel bojovat o přiměřenou hodinovou dotaci pro matematiku. Tématické plány byly v průběhu školních roků 1992/1993 až 2008/2009 každoročně hodnoceny. Při těchto analýzách vykázaly dobrou stabilitu, když došlo jen k drobným změnám a časovým posunům. Ukázka plánů je v příloze I. Hodinové dotace pro matematiku vyššího gymnázia v tomto období jsou patrné z připojené tabulky 1. Ročník
1. (kvinta)
2. (sexta)
3. (septima)
4. (oktáva)
Hodinová dotace M 1992/2003 - 2005/2006
4
4
3
4
Hodinová dotace M 2006/2007 - 2010/2011
4
4
3,5
4
Tab. 1
V rámci volitelných předmětů matematika od roku 1992 nejprve nabízela pro třetí ročník (septimu) dvouhodinový seminář a cvičení z matematiky, pro čtvrtý ročník (oktávu) matematický seminář v podobě dvouhodinové i tříhodinové. Postupem doby se zájem studentů posledního ročníku soustředil pouze na tříhodinové semináře.
4.3 Matematika ve Školním vzdělávacím programu (ŠVP) na Gymnáziu Jihlava Od školního roku 2009/2010 ročníky vyššího gymnázia začínají postupně pracovat podle Školního vzdělávacího programu. Pro matematiku byl za jeho přípravu odpovědný autor práce. Ke spolupráci si přizval dva členy předmětové komise, kteří byli ochotni se na tomto druhu práce podílet. Aktivní tvůrčí přístup k tematickým plánům v předchozím období byl dobrou průpravou a díky takto získaným zkušenostem mohla být při vytváření ŠVP použita efektivní cesta. Představa o struktuře učiva, o jeho časovém rozložení pro učební osnovy existovala a bylo tedy potřeba zakomponovat terminologii a úkoly, které předkládal Rámcový vzdělávací program. Výsledek práce je uveden v příloze II. Důležitou fází přípravy ŠVP Gymnázia Jihlava bylo rozdělení hodinových dotací pro jednotlivé předměty. Předmětová komise informatiky dala jednu svoji přibývající 9
hodinu k dispozici předmětům, které aplikují při výuce výpočetní techniku. Podíl na této hodině výuky získal autor práce i pro matematiku, která má podle ŠVP nyní čtyři hodiny pro každý ročník vyššího gymnázia. Matematika je chápána jako integrovaný předmět s názvem Matematika a matematický software.
4.4 Základy diferenciálního a integrálního počtu v matematice na Gymnáziu Jihlava V této čtvrté kapitole jsou uvedeny především skutečnosti o matematice na Gymnáziu Jihlava z období 1984 až do současnosti. Po celé popisované období jsou základy diferenciálního a integrálního počtu zařazeny do struktury učiva. Vyučuje se jim ve 4. ročníku (oktávě) po 46 hodin, viz příloha I. Ve všech rozhodujících okamžicích vývoje vždy převážily argumenty uvedené v odstavci 3.1 nad argumenty z odstavce 3.2. Při přípravě Školního vzdělávacího programu předmětová komise vyšla podle návrhu svého předsedy vstříc potřebám fyziků a reagovala na zpětnovazební poznatky od studentů. Adekvátní poznatky z diferenciálního počtu se budou vyučovat na konci 3. ročníku (septimy) a poznatky z integrálního počtu na začátku 4. ročníku (oktávy). Bylo tedy vystřídáno pořadí těchto témat s pravděpodobností, viz příloha II.
10
5 Diferenciální a integrální počet v matematickém semináři 5.1 Volitelné předměty z matematiky na Gymnáziu Jihlava Již bylo napsáno, že předmětová komise v rámci volitelných předmětů dosud nabízela dva matematické a bude je nabízet i od roku 2012/2013 při realizaci ŠVP. Pro 3. ročník (septimu) předkládá dvouhodinový seminář a cvičení z matematiky, jehož charakteristika a struktura vyplývá z přílohy III. Pro 4. ročník (oktávu) je v nabídce tříhodinový matematický seminář podle přílohy IV. Právě volitelnými předměty v matematice se autor práce dlouhodobě zabýval a zabývá. Fakta, dokumenty, názory, představy, zkušenosti a příklady, které jsou uvedeny v oddílech 5 a 6, jsou s ním přímo svázány. Vyjmenované produkty, ačkoliv jsou jen autorovy (či příklady autorem používané), však budou v těchto kapitolách kvůli větší dynamice výkladu a patřičného nadhledu popsány neosobně. Cvičení ve 3. ročníku (septimě) vede autor výjimečně, převážně se věnuje seminární podobě volitelného předmětu v posledním ročníku studia. Pro informaci jsou v přílohách V a VI ukázky nabídek obou volitelných předmětů, které jsou předkládány studentům.
5.2 Matematický seminář na Gymnáziu Jihlava Připomeňme, že pro volitelné předměty se rozhodují studenti z 5 paralelních tříd vyššího gymnázia. Ve třetím ročníku (septimě) se rozhoduje pro volitelnou matematiku průměrně 18 studentů na škole. Zájem o volitelnou matematiku ve čtvrtém ročníku vždy výrazně vzroste, proto se většinou podaří ustanovit až 3 tříhodinové semináře s celkovým počtem mírně oscilujícím kolem čísla 50. Jednotlivé paralelní třídy nejsou v uvedeném průměrném počtu rovnoměrně zastoupeny. Poměrně důležitou roli zde hraje skladba studentů v jednotlivých třídách, ale také osobnost pedagoga matematika, který ve třídě matematice vyučuje.
5.3 Zkušenosti se skladbou studentů v matematickém semináři Zkušenosti vyplynuly z každoročního (až na malé výjimky) autorova vedení jednoho až dvou matematických seminářů po dobu 25 let. V některých školních rocích byly ještě doplněny o zkušenosti s vedením fyzikálních seminářů. Samozřejmě prošly určitým vývojem a jsou shrnuty do následujících bodů: Volbě matematického semináře prospívá, jestliže studenti jsou o poslání a využití matematiky informováni soustavně alespoň ve 4 posledních ročnících gymnaziálního studia. Mnohem menší vliv na rozhodování má nárazové vysvětlování. V aktuálním období rozhodování jsou důležité hlavně přesné informace o semináři a jeho obsah. 11
Kladnou odezvu má vždy nabídka, že definitivní detailní podoba semináře vyjde vstříc konkrétní skladbě seminaristů a jejich potřebám. Ze tříd, ve kterých jsou studenti vedeni podle uvedených zásad, se do matematického semináře hlásí alespoň třetina studentů. Není zvláštní výjimkou až 15 přihlášených, letos je v jednom případu 18 seminaristů z jedné třídy. Skladbu seminaristů je potřeba posoudit zcela racionálně, protože motivy pro vstup do matematického semináře jsou zhruba tři. Především jsou tu studenti, kteří prohloubené matematické kompetence nejen potřebují, ale matematika je pro ně nosnou disciplínou. Druhou základní skupinu tvoří ti, kteří matematické kompetence prostě potřebují. Do třetí skupiny patří ti seminaristé, pro které je matematický seminář přijatelnější než ostatní volitelné předměty. Běžně se vyskytují v semináři i podmnožiny s průnikovými vlastnostmi účastníků semináře. Kvalitně vedený seminář proto v některých fázích vyžaduje paralelně realizovat až tři druhy aktivit jeho účastníků.
5.4 Úkoly matematického semináře a jejich naplňování Úkoly semináře jsou popsány v příloze IV. Lze je shrnout do následujících podstatných bodů: Systematizace gymnaziálních témat z matematiky, která se provádí pomocí příkladů a úloh, vázajících se k jednotlivým tématům. Příklady a úlohy jsou vybrány tak, že řešení evokuje potřebu si vybavit (či zopakovat) příslušný pojem, jeho vlastnosti, použití spolu s vazbou na další potřebné pojmy. Jinak řečeno, mají utvrzovat v matematice systém poznatků a kompetencí. Seminaristé tak mají být dobře připraveni k aktům, které je v závěru studia čekají (maturita, popř. přijímací zkouška), a rovněž ke studiu vysoké školy. Příklady a úlohy k jednotlivým tématům dostávají frekventanti semináře v předstihu, samostatně je řeší. Společně v semináři se pak především objasňují otázky, na jejichž řešení sami nedosáhnou. Druhým základním úkolem semináře je přiměřeným způsobem předkládat výhledy a souvislosti s navazujícími tématy vysokoškolské matematiky a matematiky obecně. Při častých rozhovorech s absolventy Gymnázia Jihlava jsou zmíněné výhledy oceňovány jako vhodný příspěvek k relativně plynulému přechodu na vysokou školu i jako vhodný pomocník při volbě dalšího směřování.
5.5 Diferenciální a integrální počet v matematickém semináři V závěrečných fázích matematického semináře (jako jeho vyvrcholení) obdobně probíhá systematizace základů diferenciálního a integrálního počtu. Příklady pro její provedení jsou uvedeny v příloze VII.
12
Vzhledem k pozitivnímu postavení, které matematická analýza u seminaristů má, jsou výhledy do této oblasti matematiky bohatší a jsou hlavním tématem této práce, rozvedeným v kapitole 6. Výběr tématu se opírá i o výsledky každoročních dotazníků, ve kterých seminaristé hodnotí obtížnost jednotlivých úseků matematiky. Matematičtí nadšenci obtížnost nerozlišují, nebo se tak alespoň tváří. Ostatní kladou diferenciální a integrální počet na 4. místo, jejich aplikace na 2. místo. Ukázka dotazníku je uvedena v příloze VIII. Seminář probíhá v adekvátním prostředí, kterým je matematická učebna. Byla vybudována pomocí projektu obhájeného v rámci Kraje Vysočina, který poskytl většinu prostředků. Jedná se o pracoviště, které v syntéze poskytuje klasické prostředky výuky a soustavu 16 žákovských počítačů s jedním centrálním učitelským počítačem. Systém je ještě doplněn datovým projektorem. Matematické programové vybavení sestává z Cabri geometrie a z Derive 6. Protože další vývoj programu Derive 6 byl zastaven, předmětová komise matematiky získala prostředky na program Mathématica, ke kterému nyní přechází.
5.6 Další vývoj matematického semináře Odhad dalšího vývoje může být pouze opatrný, protože faktorů, které nyní školství ovlivňují, je ještě víc a mnohé z nich nejsou dostatečně stabilní. Hlavním takovým faktorem je nová forma maturit, která jistě ovlivní očekávání studentů vzhledem k matematickému semináři. Na druhé straně současná podoba semináře se ukázala natolik žádanou a prospěšnou, že není potřeba si zatím připouštět pochybnosti o její stabilitě. Pro vyslovenou hypotézu svědčí i fakt, že předmětová komise matematiky se rozhodla, aby profilová část maturitní zkoušky byla ústní a mezi třiceti tématy byly základy diferenciálního a integrálního počtu zařazeny.
13
6 Aplikační úlohy z diferenciálního a integrálního počtu
Standardně vyučované a ve volitelném matematickém semináři systematizované základy diferenciálního a integrálního počtu byly pro seminaristy doplněny o aplikační úlohy z této oblasti. V šesté kapitole jsou ukázky takových úloh, které mají studentům doložit, jak významný nástroj matematika poskytuje pro různé obory lidské činnosti. Nemusí být v každém semináři všechny řešeny, protože již bylo napsáno, že záleží na konkrétní skladbě účastníků daného semináře. Pedagog matematik však musí být kdykoli připraven předložit seminaristům zajímavé a užitečné úlohy z této oblasti. Zkušenosti ukazují, že ve dny, kdy škola měla např. projektový režim, se skupina opravdových zájemců o matematiku dožadovala zaměstnání takovými úlohami i mimo seminář. Zájmu se těší seznámení se základními poznatky o diferenciálních rovnicích, proto je jim zde věnována největší část.
6.1 Užití derivací Úloha 1 (Tvar konzervy) Vypočtěte tvar osového řezu plechové konzervy tvaru rotačního válce o daném objemu V = 1 litr tak, aby spotřeba plechu na její výrobu byla minimální. Řešení. Konzervu si modelujme jako válec, kde x je poloměr podstavy a v výška válce, podle obr. 1.1.
Obr. 1.1
Z plechu se vyrábějí podstavy (dna konzervy) a plášť (boky konzervy), celkový povrch je tedy S = 2x2 + 2xv. (1.1) Ještě využijeme znalosti objemu. Pro objem platí
14
(V = ) 1 = x2v, odkud v =
1 x2
. Po dosazení do (1) máme povrch S = 2x2 + 2x
2 1 = 2x2 + 2 x x
(1.2)
a chceme, aby byl co nejmenší. A nyní se obrátíme na představivost studentů: Představte si, že výška v je velmi malá, pak by konzerva vypadala jako velký disk a plechu by bylo potřeba hodně. Když budeme poloměr zmenšovat, bude se výška konzervy zvětšovat, ale povrch S se bude nejprve zmenšovat, ale pak bude povrch zase růst, neboť kdyby byl poloměr např. už jen 1 cm, byla by konzerva vysoká a její povrch S zase už veliký. Někde mezi těmito „krajními“ případy je S nejmenší. Pro praktické úlohy tohoto typu platí ([1]): Jestliže z praktické povahy úlohy plyne, že nastane právě jeden extrém, a jaký je to extrém (maximum nebo minimum), a existuje jediný stacionární bod, pak tento extrém nastane ve zjištěném bodě. Pro vyřešení úlohy tedy stačí první derivaci
dS dx
položit rovnu nule a najít řešení této
rovnice. Podle vztahu (1.2) platí 2 dS 4x 2 = 0, x dx
2x3 = 1, x0 =
3
1 . 2
Nyní zjistíme odpovídající výšku v0: v0 =
1 1 = 3 (2) 2 = … = 2 2 x0
3
1 = 2x0. 2
Závěr: Osovým řezem konzervy je čtverec. Studenti se docela mohou zajímat o problém: Jaký je tvar osového řezu, když je plech na bocích konzervy dvakrát silnější než na dnech.
Úloha 2 (Rozměry sloupu) Projektant architektonicky zdařilého objektu má pro umístění podpěrného sloupu válcový prostor s poloměrem příčného řezu r. Architekt však přidělil sloupu i výtvarnou úlohu a navrhuje hranatý (křížový) tvar podle připojeného obrázku. Určete, jaké příčné rozměry má projektant použít, aby architektovi vyhověl a aby při požadovaném tvaru byla nosnost sloupu co největší. Řešení. Hlavním úkolem úlohy 2 je jednak posílit u studentů vědomí praktického využití diferenciálního počtu a také ukázat, jak vhodným vyjádřením lze problém řešit středoškolskými prostředky. Proto účastníky semináře motivujme např. tím, že tato velmi praktická úloha může mít různé modifikace zadání podle aplikačního oboru, zde je to stavebnictví. Nedělá potíže se
15
domluvit, že jedním z hlavních kritérií pro největší nosnost sloupu při určeném tvaru je, aby byl vyprojektován tak, že jeho příčný řez bude mít maximální obsah S.
Obr. 2.1
Diskuse by měla pokračovat nad tím, že obrazec řezu je souměrný podle dvou kolmých os. Racionální je hledat extrém obsahu, např. horní poloviny obrazce řezu S1 při vědomí, že S 2S1 . Bude-li myšlenka, že tak lze postupovat, úspěšně přijata, užijeme potřebné rozměry příčného řezu vyznačené na obrázku 2.1, abychom napsali s 1 (2.1) S1 s 2s0 s s0 s 2 2 s s0 . 2 2 Tak by obsah S1 závisel na dvou proměnných s a s0. Proto si opět podle obrázku vyjádříme 1 (2.2) s r sin s 2r sin , 2 1 (2.3) s0 r cos s r cos sin . 2 Při uvedených požadavcích bude stačit, aby (0;
1 4
Dosadíme do (2.1)
S1 2r 2 sin 2 4r 2 cos sin sin ,
S1 2r 2 sin 2 sin 2 .
(2.4)
Tak jsme úspěšně pro další řešení získali funkci S1 f jedné proměnné a hledejme její maximum. První derivace podle je
d S1 2r 2 2cos 2 sin 2 d a její nulovou hodnotu dostaneme pro tg 2 2 , odkud 2 63, 44 , čili m 31,72 . Povaha praktické úlohy nás vede k domněnce, že pro tento úhel má obsah S1 maximum, což platí i pro obsah S. Svůj názor potvrdíme pomocí druhé derivace
d 2 S1 2r 2 4sin 2 2cos 2 4r 2 2sin 2 cos 2 , d 2
16
která je pro m záporná, a tak je splněna i postačující podmínka pro maximum. Vrátíme se k příčným rozměrům sloupu podle vztahů (2.2) a (2.3) s 2r sin 31,72 1,05 r , s0
r cos31,72 sin 31,72 0,33 r
a můžeme konstatovat, že toto jsou rozměry hledaného příčného řezu s maximálním obsahem. Pro lepší praktickou představu, bude-li průměr válcového prostoru 1 m, bude rozměr s 52 cm a rozměr s0 16 cm.
Úloha 3 (Osvětlení stolu) Kruhový stůl o poloměru r je osvětlen bodovým zdrojem světla svítivosti I, který visí nad středem stolu. V jaké výšce v má být zdroj zavěšen, aby osvětlení na okraji stolu bylo pro daný zdroj největší? Řešení. Opět nejprve se žáky uvažujeme, jak se podle jejich představ bude měnit osvětlení okraje stolu, budeme-li zdroj světla Z zvedat nad středem stolu. Dospějeme k výsledku, že prakticky od temného okraje stolu (je-li zdroj ve výšce 0, tj. přímo na stole) se jeho osvětlení bude zvětšovat k maximu a pak zase klesat, když zdroj vystupuje velmi vysoko, že tedy maximum osvětlení existuje. Situace je znázorněna na obr. 3.1
Obr. 3.1
Připomeňme standardní vztah pro osvětlení E bodu M okraje stolu od bodového zdroje Z svítivosti I vzdáleného l od bodu M: I cos E , (3.1) l2 kde je úhel, pod kterým světlo dopadá na okraj stolu (měřený od kolmice). Podle obr. 1 nyní zavedeme ve vztahu (3) závislost osvětlení E na výšce x zdroje Z nad středem S stolu. Do (3) dosadíme za l a za cos :
17
l x 2 r 2 , cos =
x x , 2 2 l x r
takže E=
x
Ix
2
r 2 x2 r 2
= I x x2 r 2
3 2
(= f(x) ).
(3.2)
Nyní stanovíme 1. derivaci funkce E f x ze vztahu (3.2) 3 5 dE 3 I x 2 r 2 2 x x 2 r 2 2 2 x , dx 2 3 1 dE 2 2 2 I x rs 1 3x 2 x 2 rs2 , dx
dE r 2 2x 2 = I . 5 dx 2 2 2 x r Pro zjištění stacionárního bodu stačí čitatel zlomku položit roven nule. Ježto x 0, dostáváme jediný stacionární bod x0 = r 2 , což je tedy taková výška zdroje nad stolem, 2
že osvětlení na okraji stolu je největší. Toto očekávání můžeme i formálně potvrdit následující úvahou: Protože pro x v intervalu (0; 1 r 2 ) je d E 0 , funkce E f x v něm roste. Pro x > 1 r 2 je d E 0 2
dx
2
dx
a funkce f x zde klesá. Kraj stolu bude tedy skutečně nejvíce osvětlen, bude-li bodový zdroj světla ve výšce x0 =
1 r 2. 2
(3.3)
Pro představu o optimální výšce zdroje vypočtěme velikost úhlu . Z (3.3) vidíme, že x0 1 = 2 = cotg , 2 r
odkud 5444. Pomocí (3.1) můžeme dopočítat hodnotu extrémního osvětlení, v případě zájmu studentů i s konkrétními hodnotami r a I.
Úloha 4 (II. Newtonův pohybový zákon) Pomocí derivací vyjádřete Newtonův pohybový zákon síly. Řešení. V této úloze spolu se studenty připravíme půdu pro řešení některých dalších úloh, např. pro popis oscilačních (kmitavých) pohybů. Nejdříve zopakujeme potřebné pojmy a omezíme se na pohyby přímočaré.
18
Sledujeme-li přímočarý pohyb tělesa (modelovatelného jako hmotný bod) od časového okamžiku t , ve kterém je jeho dráha s t , do časového okamžiku t t , ve kterém je jeho dráha st t , pak těleso za časový úsek t urazí dráhový úsek s s průměrnou rychlostí v
s s t t s t . t t
(4.1)
Jestliže předpokládáme, že se časový okamžik neomezeně blíží k 0 ( t 0 ), přecházíme k okamžité rychlosti v čase t jako derivaci dráhy podle času: s t t s t d s t . (4.2) s t t 0 t 0 t dt Obdobnou úvahu provedeme při přechodu ke zrychlení. Okamžitá rychlost v čase t je v t a v čase t t je vt t , proto průměrné zrychlení v průběhu t je v lim v lim
a
v v t t v t ; t t
(4.3)
tak pro t , které se neomezeně blíží k nule ( t 0 ), dospějeme k okamžitému zrychlení v čase t v t t v t dv ; v t t 0 t dt
a lim a lim t 0
ve vztahu k dráze
a
2 d d s t d s t . dt dt d t2
(4.4)
(4.5)
Okamžité zrychlení jsme vyjádřili jako derivaci rychlosti podle času nebo jako druhou derivaci dráhy podle času. Popsané formulace jsou pro přímočaré pohyby dostačující. Přejdeme k Newtonovu zákonu síly. Jeho slovní vyjádření říká, že síla je rovna časové změně hybnosti p mv a má s ní stejný směr. Pro přímočaré pohyby lze psát
d mv d m dv v m dt dt dt a taková formulace Newtonova zákona síly je plně použitelná i pro úvahy v rámci teorie relativity. Je-li rychlost v velmi malá, tj. oproti rychlosti světla c mnohonásobně menší ( v c ), můžeme předpokládat nulovou časovou změnu hmotnosti, proto pro běžné jevy stačí použít prostředky klasické Newtonovy fyziky. Sílu pak vyjadřujeme jako F
F m
dv d2 s m 2 ma . dt dt
(4.6)
Poznámky: a) Ze vztahu (4.6) vlastně získáváme diferenciální rovnici 2. řádu pro funkci s s t :
d2 s m F. d t2
(4.7)
19
b) Se studenty je vhodné ještě prohovořit, jak popsané formulace vyhovují i představě, že zrychlení hmotného bodu je úměrné působící síle a nepřímo úměrné hmotnosti tělesa, modelovaného jako hmotný bod, a
F . m
20
6.2 Užití integrálů
Úloha 5 (Obsah elipsy) Pomocí integrálního počtu určete obsah rovinného obrazce ohraničeného elipsou. Řešení. Při systematizaci analytické geometrie v semináři se často rozvine diskuse o tom, jak se mění tvar elipsy, jestliže při pevně zvolené velikosti hlavní poloosy a se zmenšuje vzdálenost ohnisek od středu elipsy. Toto zmenšování excentricity e má za následek zvětšování velikosti vedlejší poloosy b a elipsa se svým tvarem stále více přibližuje kružnici o poloměru a, až v ní v hraničním případě, kdy ohniska splynou se středem elipsy, přejde. Tak přirozeně vzniká otázka, jak určit obsah rovinného obrazce ohraničeného elipsou. Odpověď je v řešení této úlohy. Je-li elipsa vůči soustavě souřadnic umístěna podle obrázku 5.1, je její analytické vyjádření b 2 x 2 a 2 y 2 a 2b 2 .
(5.1)
y b
x
a O
[- a,0]
[a,0]
Obr. 5.1
Protože elipsa je symetrická podle osy x, stačí se zabývat obsahem S1 obrazce ohraničeného osou x a horní polovinou elipsy, když konstatujeme, že obsah celé obrazce je S 2 S1 . Horní polovinu elipsy můžeme považovat za graf funkce b 2 (5.2) y a x2 a a pro obsah S1 je a
b S1 a 2 x 2 . a a
(5.3)
Použijeme-li substituci x a sin t , d x a cos t d t , musíme zaměnit i meze určitého integrálu: S1
b a
2
2
2
a 2 a 2 sin 2 t a cos t d t = ab cos 2 t d t .
(5.4)
2
21
cos
Integrál
cos2 t
1 2
2
x d x je řešitelný metodou per partes, nebo pomocí vhodné úpravy
1 cos 2t . Pak
ab 1 2t sin 2t 2 S1 ab ab 2 2 2 2 2 2
a zbývá dodat, že
S ab
(5.5)
je obsah rovinného obrazce, ohraničeného elipsou o poloosách a, b . Abychom odpověděli na otázku o hraniční situaci z úvodu příkladu, položme ještě b a r , tím přejdeme ke kružnici a potvrdíme frekventovaně používaný vztah pro obsah kruhu S r 2 . Analogické úlohy k procvičení. Úloha 5.1 Odvoďte vztah pro obsah kruhu o poloměru r; užijte postup z úlohy 5. Úloha 5.2 Odvoďte vztah pro objem koule. Úloha 5.3 Odvoďte vztah pro objem rotačního elipsoidu, když osou rotace je osa x.
Úloha 6 (Obsah Descartova listu) Určete obsah rovinného obrazce ohraničeného smyčkou Descartova listu. Řešení. Hlavní motivy pro zařazení této úlohy, popř. jí podobných úloh, se ukazují nejméně tři: přirozený zájem hloubavějších účastníků matematického semináře, věcná i estetická úroveň problému a využití počítačového systému ve specializované učebně matematiky. Z uvedených motivů vychází i postup společného řešení úlohy, kterému předchází bližší seznámení s křivkou. Po úvodní informaci o analytickém vyjádření Descartova listu x3 y3 3ax y
(6.1)
mohou následovat informace grafické. Jednak v podobě hotové křivky přenášené z centrálního počítače datovým projektorem na plátno a souběžně je vhodné křivku vykreslit i ručně na tabuli. Zájmu o řešení úlohy prospěje, necháme-li seminaristy Descartův list vymodelovat na jejich počítačích s využitím barev obdobně, jako na obr. 6.1. Po úspěšně vstřebaných informacích o významu parametru a, o symetrii křivky podle přímky y x , o asymptotě y x a , o dalších zajímavostech (viz obr. 6.1) přichází zjištění, že studentům známý vztah pro výpočet obsahu (kvadraturu) rovinného obrazce nebude vhodný, protože funkce y f x má být vyjádřena v explicitní podobě. Problém bude řešit převod analytického vyjádření křivky do polárních souřadnic. Jejich vztah s pravoúhlými souřadnicemi je ilustrován na obrázku, ze kterého vyplývá (6.2) x r cos , y r sin
22
za předpokladu, že za polární osu volíme kladnou poloosu x a počátek bude pólem. Číslo r je velikost průvodiče bodu X a je velikost jeho polárního úhlu. Bodu X je nyní přiřazena dvojice čísel r , jako jeho polární souřadnice. y
r j
0
X [x , y] x
[- a , 0] [0 , - a]
y =- x- a Obr. 6.1
Po dosazení do (6.1) r 3 cos3 r 3 sin3 3ar 2 cos sin
a úpravě
r
3 a sin cos sin 3 cos3
(6.3)
získáváme funkci r f1 v implicitním vyjádření, která při vhodné volbě definičního oboru 0;
1 2
popisuje smyčku Descartova listu. Pro zajímavost ještě stanovme, jaký
je obor hodnot funkce (6.3). Vzhledem k symetrii křivky podle osy y x můžeme psát 3 a sin cos 4 4 3a 2 r 2 4 cos3 sin 3 4 4
a je tedy pro smyčku r 0;
3 2
a 2
Nyní bude pro obsah smyčky Descartova listu platit
1 2 1 2 9 a 2 sin 2 cos 2 9a 2 S r 2 d d 2 1 2 0 sin 3 cos3 2
2
sin 2 cos 2 0 sin3 cos3 d .
(6.4)
Poslední integrál vyřešme jako neurčitý a po nalezení primitivní funkce se vrátíme k obsahu S. V integrovaném zlomku čitatele i jmenovatele dělíme cos6 0 a upravíme:
sin 2 cos 2
sin cos 3
3
d 2
tg 2
1 d = I. 2 3 cos tg 1 2
23
Výsledek úpravy lze chápat jako vhodnou příležitost, abychom studenty nechali navrhovat, jak integrál dále řešit. Dospějeme k substituci tg s, 12 d d s , po které pracujeme cos
s integrálem I=
s2
s3 1
2
ds,
a ten poskytuje další příležitost k vyhledání substituce s3 1 t , 3 s 2 d s d t . Pak již integrujeme a zpětně dosadíme: I=
1 1 1 1 C . dt C = 2 3 3 t 3t 3 tg 1
Připomeneme, že neurčitý integrál byl úspěšně vyřešen za předpokladu cos 0 a tak je nutno přiměřeně objasnit zajímavost, která vzniká při návratu k určitému integrálu. Interval pro integraci je uzavřený, obsahuje jako krajní bod 1 a v tomto krajním bodu tg není 2
definována. Odborně jde o nevlastní integrál vlivem funkce, který na gymnáziu můžeme dostatečně přiblížit pomocí limity v takovém případě. Rozšíří se tím spektrum případů využití limity, které je budováno od základní výuky matematiky podle učebního plánu a později ŠVP, viz příloha II. Přistupme tedy ke stanovení určitého integrálu 2
1 1 2 1 1 sin 2 cos 2 1 1 0 1 1 . 3 0 sin3 cos3 d = 3 tg3 1 3 lim tg 1 3 3 0 x 2
Podle (6.4) platí, že obsah S smyčky Descartova listu je
S
9a 2 1 3a 2 . 2 3 2
Úloha 7 (Gaussova křivka) Určete obsahy oblastí pod nejjednodušší Gaussovou křivkou. Řešení. Motivem pro zařazení této zajímavé, byť pro gymnaziální studenty náročné úlohy, byly přiléhavé dotazy k tématu. Práce s úlohou si klade pouze skromný cíl: pootevřít „okénko“ do problému. Studenti většinou mají poměrně volné informace o souvislosti s pravděpodobností. Z uvedených důvodů byla vybrána nejjednodušší gaussovská funkce 2 g x e x (7.1) a ilustrativní postup při přiblížení této funkce. Nabízí se plně využít zprostředkujících služeb počítačového vybavení učebny a programu Derive 6, nebo obdobného programu, např. tak, jak je popsáno v následujícím. Lze jen doporučit, aby práce probíhala současně na učitelském počítači s výstupem přes datový projektor na plátno a na žákovských počítačích. Program Derive 6 pracuje s algebraickým a grafickým oknem a přepnutí mezi nimi učiní vždy jedno z oken aktivní, ve kterém pak pracujeme. Pro záznam je výhodné, že lze
24
produkty grafického okna přenášet do algebraického. Takový postup je použit i pro popis ilustrativního a interaktivního řešení uvedené úlohy. Aby záznam byl autentický, jsou v následujícím použity přímo výstupy z programu i s využitím barev. Malou nevýhodou je, že program používá některé jiné typografické zásady. A) Graf funkce (7.1) je první úkol této úlohy. Jednotlivé kroky program značí jako paragrafy. V #1 je funkce zadána, v #2 je zjednodušena a na obr. 7.1 je graf funkce přenesený z grafického okna.
Obr. 7.1
B) Obsah rovinné oblasti ohraničené grafem funkce (7.1) a osou x je druhým úkolem úlohy. Pro názornost nejprve zmíněnou oblast zvýrazníme tím, že zadáme příkaz PlotInt( ) v #3 a zjednodušíme v #4. Poté získáme v grafickém okně obrázek 7.2.
Obr. 7.2
25
Pokračujeme stanovením obsahu.
S
e
x2
dx .
(7.2)
Vrátíme se k #1, #2 a pro #5 na horní liště vybereme Kalkul, v něm
Integrál..., pro který
specifikujeme integrál určitý s mezemi , . Tak je operace zadána.
Zbývá zadat příkaz ke zjednodušení, aby jeho výsledek byl (byť lakonicky) zaznamenán v #6, který v #7 ještě necháme pro větší přiblížení aproximovat.
V této fázi úlohy je potřebné seminaristy vyprovokovat k interaktivnímu pátrání po dvou faktech. Jednak po bližší specifikaci integrálu ve vztahu (7.2) a výsledkem by měla být úměrná představa matematicky vyspělého středoškoláka o nevlastním integrálu vlivem mezí. Dále pak úsilí vytvořit první představu o tom, jak uvažovat, dáme-li do souvislosti obsah oblasti z obrázku (7.2) s pravděpodobností. Pak by muselo být S 1 a bylo by potřeba místo funkce (7.1) uvažovat o normované funkci g n x
1
e x . Na následujícím 2
obrázku (7.3) jsou grafy obou funkcí porovnány.
Obr 7.3
C) Trvá-li zájem o úlohu, můžeme postup procvičit ještě na stanovení obsahu rovinné oblasti ohraničené grafem funkce (7.1) a osou x např. v intervalu 1;1 . Vyjádřeno integrálem 1
S1 e x d x . 2
1
Oblast opět nejprve zvýrazníme.
26
Obr. 7.4
Analogickým postupem jako v části B) necháme spočítat:
S1
#11
0,842700793 .
Úloha 8 (Tlaková síla vody) Určete tlakovou sílu vody na svislou přehradní hráz tvaru obdélníka délky a metrů, výšky ponořené části hráze h metrů. Řešení. Pro tuto úlohu je výhodné, že řada studentů má zkušenosti s koupáním ve vodních nádržích. Proto zájem o výpočet síly, kterou působí vodní masiv na přehradní hráz, je celkem přirozený. Existuje více cest, jak úlohu vyřešit. Zde je jedna z nich. Uvážíme, že hydrostatický tlak p závisí na hloubce x pod hladinou podle vztahu p = g x, kde je hustota vody a g tíhové zrychlení.
Obr. 8.1
Rozdělíme přehradní hráz na vodorovné obdélníkové proužky délky a, o šířce (tj. výšce) x a obsahu S = a x (obr. 8.1). Na každý takový proužek působí tlaková síla F = g x S = a g x x.
(8.1)
27
Vztah (8.1) vyjadřuje příspěvek jednoho proužku k integrálnímu součtu. Pro x 0 lze vztah (8.1) vyjádřit ve tvaru diferenciálním, tj.
dF = a g x dx , takže tlaková síla na celou přehradní hráz je h
F=ag
x dx = 0
1 a g h2. 2
Výsledek jistě nepřekvapí, jsme-li si vědomi lineární závislosti hydrostatického tlaku na výšce vodního sloupce. Poznámka: Je třeba, aby studenti získali o výsledku nějakou konkrétní představu. Třeba takto: Pro celkem malou přehradu, kde a = 80 m, h = 16 m, = 103 kg/m3, g = 9,81 m/s2, je F = 0,5801039,81162 N 108 N (což je přibližně tíha 528 kg zlata).
Úloha 9 (Tvar rotující kapaliny) Zjistěte tvar, který má povrch ideální kapaliny (přibližně voda) rotující konstantní úhlovou rychlostí spolu s válcovou nádobou kolem její svislé osy. Řešení: Pro přiblížení úlohy využijeme běžné zkušenosti studentů s mícháním nápojů. Určitě pozorovali změnu tvaru povrchu a určitě řešili i situace, kdy při příliš usilovném míchání nápoj přetekl okraj nádoby. Vraťme se k zadání. Aby bylo možné děj pozorovat, je výhodné si představit průhlednou rotující nádobu. Vzhledem k symetrii můžeme problém řešit v osovém řezu. Kapalina v klidu má podle nádoby tvar válce (obr. 9.1). Poloměr podstavy válcového sloupce kapaliny označme r. Přechází-li válcová nádoba z klidu do rotace s konstantní úhlovou rychlostí , mění se tvar povrchu kapaliny vždy tak, že výsledná síla F na každou povrchovou strukturální částici kapaliny je kolmá na tečnu k povrchové křivce procházející zmíněnou částicí.
Obr. 9.1
Obr. 9.2
Zavedeme soustavu souřadnic (podle obr .9.2) a tvar povrchu rotující kapaliny v osovém řezu hledejme jako graf funkce y f x . Vybereme jednu z povrchových strukturálních částic, její hmotnost označíme m, tíhové zrychlení g, polohu částice vyjádříme souřadnicemi [x, y]. Směrnici uvažované tečny můžeme vyjádřit jako 28
k=
dy = f (x) = tg . dx
(9.1)
Na částici působí tíhová síla o velikosti FG = mg a setrvačná odstředivá síla F = mx 2 , kde x je poloměr otáčení vybrané povrchové strukturální částice (tj. její xová souřadnice). Z vektorového silového rovnoběžníku je F mx 2 2 tg = (9.2) x. FG mg g Ze (9.1) a (9.2) dostaneme d y 2 x = g dx a po úpravě dy=
2 g
xdx.
Po integraci y=
2 2g
x2 + C
(9.3)
dostáváme rovnici paraboly. Dosazením x = 0 do rovnice (9.3) zjistíme význam konstanty C; je to yová souřadnice h vrcholu paraboly, takže rovnice paraboly je y=
2 2g
x2 + h
(9.4)
V prostoru se jedná o rotační paraboloid. Vidíme, že koeficient v kvadratickém členu přímo závisí na druhé mocnině úhlové rychlosti, což souhlasí s naší zkušeností: čím rychleji mícháme, tím více se jamka v tekutině prohlubuje a okraje tekutiny se blíží k okraji nádoby. Trvá-li zájem studentů o danou úlohu, můžeme pokračovat hledáním souvislosti rozměrů nádoby, výšky h0 hladiny kapaliny v klidu a polohy významných bodů rotující kapaliny, tzn. vrcholu paraboly [0, h] a nejvyšších bodů (nejvyšší kružnice) rotující kapaliny; stačí jeden: [r, h1]. Podle základních zákonů hydromechaniky jsou obsahy řezů kapaliny v klidu i při rotaci stejné. Obsah řezu kapaliny v klidu je S0 = 2h0r a obsah řezu rotující kapaliny r
2 x3 2 2 2 3 r 2hr . S1 = 2 f ( x) d x = 2 x h d x = 2 hx = 2g 2g 3 x 0 3g 0 0 r
r
Z rovnosti S0 = S1 vychází 2h0r =
2 3g
r 3 2hr ,
z čehož h=
1 2 2 2 h r . 0 2 3g
Rovnici (9.4) tak lze vyjádřit v konečném tvaru
29
y=
2 2g
x 2 + h0
2 6g
r2 .
(9.5)
Z (9.5) již pak lehce dopočítáme, kde jsou nejvyšší strukturální částice rotující kapaliny: h1 = f r =
2 2g
r 2 + h0
2 6g
r 2 = h0 +
2 3g
r2 .
Poznámka: Úloha 9 je velmi vhodná pro zařazení do semináře jako ukázka aplikace metod integrálního počtu. Fyzikální předpoklady jsou velmi srozumitelné, závěr je i graficky efektní. Však každým rokem patří u studentů mezi nejúspěšnější a zkušenost ukazuje, že je velmi vhodné výsledky ještě více přiblížit a spolu se studenty je oživit dosazením konkrétních hodnot.
Úloha 10 (Moment setrvačnosti tyče) Nalezněte moment setrvačnosti přímé válcovité tyče délky l vzhledem k ose o procházející jedním koncem tyče kolmo k tyči. Tyč má průměr podstavy d, homogenní materiál, ze kterého je vyrobena, má hustotu . Řešení. Momenty setrvačností homogenních těles několika základních tvarů (kruhová deska, koule) bývají v učebnicích fyziky uvedeny jako hotové vzorce, protože příslušné fyzikální téma je vysvětlováno ve značném předstihu před potřebnými matematickými nástroji. Desátá úloha může tedy být pro studenty ukázkou, jak lze vyhledat moment setrvačnosti v konkrétním případě. Soustavu souřadnic zvolíme tak, aby podélná osa tyče splývala s kladnou poloosou x a moment setrvačnosti tedy můžeme počítat vzhledem k ose y , jak vyplývá z připojeného obrázku.
Obr. 10.1
Nejprve se budeme zabývat momentem setrvačnosti hmotného elementu, vyznačeného na obrázku. Při volbě elementární části tyče využijeme určité analogie s úvahami z osmé úlohy. Je vhodné, aby hmotný element měl tvar elementárního válečku opět s průměrem podstavy d a s délkou x , tedy objem V . Pak můžeme poloměr otáčení hmotného elementu označit jako x , jak modeluje i obrázek. Označíme-li ještě S obsah řezu tyče kolmého k podélné ose tyče (podstavy tyče), můžeme psát: m V S x . 30
Bude-li x malé, bude přibližně J x2 m x2 S x .
To je opět příspěvek jednoho hmotného elementu k integrálnímu součtu. Pomocí limity pro x 0 přejdeme k integrálu a pro moment setrvačnosti celé tyče tedy je l
l
J x S dx S x 2 dx , 2
0
(10.1)
0
l
1 1 J S x3 Sl 3 . 3 0 3
(10.2)
Chceme-li počítat přímo pomocí průměru tyče, uvedeme, že moment setrvačnosti je J
1 d 2l 3 . 12
Poznámky: a) Zájmu studentů určitě prospěje, když vypočítají moment setrvačnosti pro konkrétní hodnoty veličin, např. pro dřevěnou tyč délky 60cm , průměru 6cm a hustoty 900 kg m3 . b) Vhodnou k řešení je i podobná úloha, kdy hledáme moment setrvačnosti téže tyče, ale vzhledem k podélné ose. c) Vraťme se k zadání a diskutujme se studenty možnost zobecnění úlohy. Výsledkem diskuse určitě bude poznatek, že úloha je stejně řešitelná i v případě, kdy homogenní tyč bude mít po celé délce konstantní průřez i jiného než kruhového tvaru. Řešení je vlastně vedeno (až na poslední vztah) obecněji a proto takové jsou i vztahy (10.1) a (10.2).
Úloha 11 (Vrh svislý vzhůru) Popište vrh svislý vzhůru, je-li závislost dráhy tělesa vrženého svisle vzhůru na čase dána vztahem 1 (11.1) s v0 t g t 2 , 2 kde v 0 je počáteční rychlost a g tíhové zrychlení. Určete okamžitou rychlost tělesa v čase t. Ve kterém okamžiku a ve které poloze je rychlost tělesa rovna nule? S jakou rychlostí a ve kterém okamžiku dopadne těleso na místo, ze kterého bylo vrženo? Po úvodním motivačním rozboru se studenty o vzestupné části a sestupné části pohybu a po uvedení několika reálných případů (vrh kamene svisle vzhůru, zábavná pyrotechnika, atd.) upřesníme základní charakteristiky pohybu. Úlohu 11 budeme chápat jako přípravnou k úloze následující, dvanácté. Těleso budeme modelovat jako hmotný bod, pohyb patří mezi přímočaré a odehrává se v tíhovém silovém poli Země (obr. 11.1). Ze zadání je dráha vyjádřena jako funkce času s st . Proto okamžitou rychlost jako funkci času v v t získáme derivací (11.1)
31
v
ds v0 g t . dt
Těleso stoupá tak dlouho (po dobu t1 s ), až rychlost klesne na 0 m s1 : v 0 v0 g t1 0 , v t1 0 g
(11.2)
je dobou vzestupu, kterou dosadíme-li do (11.1), získáme výšku vrhu
v0 1 v02 h v0 g , g 2 g2 v02 . h 2g
(11.3)
Obr. 11.1
Sestupný pohyb je již volným pádem a pro jeho dráhu s 2 platí s 2 h . Označíme-li dobu sestupu t 2 , bude
v2 1 g t22 0 , 2 2g t2
v0 . g
Proto doba sestupu t 2 je stejná jako doba vzestupu t1 . Zbývá zjistit, jakou rychlostí těleso dopadá (dopadová rychlost v d ), tzn. zjistit rychlost volného pádu v čase t 2 s : v2 g t2 g
v0 . g
Vychází v2 v0 , těleso dopadá stejně velikou rychlostí, jako je vrženo, avšak opačného směru, v2 v0 . Pro ilustraci na praktické úloze se můžeme zabývat např. pohybem šípu, který byl vystřelen svisle vzhůru a dosáhl nejvyššího bodu své trajektorie za 5 s. 32
a) Jaká byla jeho počáteční rychlost? [50 ms 1 ] b) Do jaké výšky vystoupil? [ 125m ] c) Ověřte, že dopadne stejnou rychlostí, jako byl vystřelen.
Úloha 12 (Vrh šikmý vzhůru) Popište vrh šikmý vzhůru a určete výšku vrhu, dálku vrhu a dopadovou rychlost. Řešení. Stejně jako v úloze 11, která měla roli přípravnou, nejprve vyvoláme se studenty diskusi o reálných případech výskytu tohoto pohybu v homogenním tíhovém poli Země: pohyb střely, hod a kop míče (kamene), stříkání vody z hadice, atd. S takovými pohyby se většina studentů běžně setkává, ba dokonce je sama vyvolává. Většinou odhadnou, po jaké trajektorii se takové pohyby realizují, jestliže nebereme v úvahu vliv prostředí, a jak trajektorie vypadá, uvažujeme-li i o vlivu prostředí. Nyní společně přesněji charakterizujeme pohyb a způsob, jakým budeme trajektorii modelovat. Nebudeme brát v úvahu odpor prostředí. Jde o křivočarý pohyb ve svislé rovině a v homogenním tíhovém poli Země. Těleso modelované jako hmotný bod, je vrženo počáteční rychlostí v 0 šikmo vzhůru. Takový pohyb můžeme považovat za složený: jednak z pohybu rovnoměrného přímočarého (pokud by se realizoval mimo silové pole) a z volného pádu (vlivem silového pole). Přejdeme k matematizaci (vytváření modelu) problému. Ve svislé rovině zvolíme soustavu souřadnic podle obrázku 12.1 a použijeme metodu rozkladu problému do problémů osových.
Obr 12.1
a) Hledejme vyjádření trajektorie pomocí grafu funkce y f x , když polohu bodu vyjádříme souřadnicemi x, y . Z obrázku jsou patrny složky počáteční rychlosti v 0 do os v čase t 0s : v0 x v0 cos 1 , v0 y v0 sin 1 . Složky okamžité rychlosti v v čase t s pak jsou v x v0 cos 1
, vy v0 sin 1 g t ,
protože ve svislém směru působí silové tíhové pole. Vzhledem k významu složek rychlosti vx d x , v y d y můžeme po integraci psát dt
dt
33
x v0 cos 1 d t v0t cos 1 x0 1 y v0 sin 1 g t d t v0t sin 1 g t 2 y0 2
a získáme tak složky trajektorie. Volba soustavy souřadnic určuje x0 , y0 0, 0 . Máme tedy x v0 t cos 1 1 y v0t sin 1 g t 2 . 2
Z první rovnice vyjádříme čas t
x v0 cos 1
a po dosazení do druhé rovnice získáme
analytické vyjádření trajektorie vrhu šikmého vzhůru g y x tg1 2 x2 2 2v0 cos 1
(12.1)
a potvrzení, že se skutečně jedná o odhadovanou parabolu. Dále budeme těžit z již odvozených závěrů. b) Stanovíme dálku vrhu d . Jak daleko těleso doletí? Tak daleko, až bude opět y 0 . Použijeme (12.1): g x2 . 0 x tg1 2 2 2v0 cos 1 Jeden kořen rovnice x1 0 je x-ová souřadnice bodu, odkud je těleso vrženo. Druhý kořen je x-ová souřadnice bodu dopadu, tedy dálka vrhu
d x2
2v02 cos 2 1 v 2 sin 21 tg 1 0 . g g
Ještě vyvodíme, kdy bude dálka vrhu největší. Stane se tak, je-li 1
4
.
c) Jak dlouho těleso poletí? Letí potud, až x x2 (doba vrhu t v ):
v02 sin 21 v0 tv cos 1 g Odtud tv
2 v0 sin 1 . g
(12.2)
d) Maximální dostup určíme pomocí extrému funkce z (12.1) dy g tg 1 2 2 x dx 2 v0 cos 2 1 a z nutné podmínky extrému (zde maxima)
dy dx
0 vychází x-ová souřadnice nejvyššího
bodu trajektorie
v02 sin 1 cos 1 x , g
34
což je x-ová souřadnice nejvyššího bodu trajektorie. Dosazením do (12.1) získáme výšku vrhu
h ymax
v02 sin 1 cos 1 v04 sin 2 1 cos 2 1 g , tg1 2 g 2v0 cos 2 1 g2
v02 sin 2 1 h . 2g e) Kam míří vektor rychlosti v bodu dopadu? Do vztahů pro složky rychlosti dosadíme dobu vrhu z (12.1): v x v0 cos 1
2 v0 sin 1 v0 sin 1 , g tg 2 tg 1 .
v y v0 sin 1 g proto
Těleso dopadá pod týmž úhlem, jako je vrženo, avšak vektor rychlosti tentokrát směřuje pod vodorovnou rovinu. Pro velikost dopadové rychlosti platí vd
vx2 v y2
v02 cos2 v0 sin v0 . 2
f) Uvedený model vrhu šikmého vzhůru platí pro vakuum. Ve skutečném prostředí (běžně to bývá vzduchové prostředí) je trajektorií balistická křivka.
Obr. 12.2
g) Obecně zpracovaný model je vhodné přiblížit realitě třeba zadáním příkladu s číselnými údaji: při vojenském cvičení byl granát vržen pod úhlem 45 0 do vzdálenosti 40 m. Jak veliká byla počáteční rychlost granátu a jak vysoko granát vystoupil? [ v0 20 ms 1 , h 20 m ].
35
6.3 Jednoduché diferenciální rovnice (DR)
Úloha 13 (Výtok vody z válcového zásobníku) Popište výtok vody z válcového zásobníku otvorem ve dnu jako závislost času na výšce hladiny nade dnem zásobníku. Vnitřní průměr válce je 2r , výška válce h , obsah otvoru ve dnu S1 . Řešení. Úlohy 13 a 14 mají kromě jiného vytvořit plynulý přechod od integrálního počtu k diferenciálním rovnicím a jejich hlavním smyslem je porovnat modelování výtoku vody z válcového zásobníku a polokruhového zásobníku. Nejprve tedy válcový zásobník. Problém přiblížíme tak, že na počátku předpokládáme zcela naplněný zásobník a uzavřený výtokový otvor. Čas začneme měřit po otevření výtokového otvoru, čili v čase t 0 je výška vody h . Velikost rychlosti vytékající vody označme v . Výšku hladiny vody ve válci nade dnem v čase t vyjadřujme proměnnou x podle obr. 13.1.
Obr. 13.1
Za časový úsek t poklesne hladina o x a vyteče voda objemu S x ( S je pro válec konstantní). Bude-li časový úsek neomezeně malý d t , vyjádříme objem vyteklé vody jako S.d x . Podle rovnice kontinuity za uvedený časový úsek d t vyteče otvorem ve dnu voda stejného objemu S 1v d t , je tedy S1 v d t S d x . Jak voda vytéká, tak ubývá v nádrži, proto znaménko minus. Připomeneme vztah pro výtokovou rychlost při výšce x hladiny vody v 2gx a bude S1 2gx d t S d x .
36
Po separaci proměnných
S
dx S1 2g x
dt
a po integraci
t
2S x C , S1 2g
t
S 2x C S1 g
(13.1)
Z počátečních podmínek pro t 0 je x h , tedy 0
S 2h C , S1 g
C
S S1
S S1
2 g
2h g
a dosadíme do (13.1): t
h
x .
(13.2)
Vztah (13.2) popisuje závislost času na výšce hladiny vody v zásobníku. Tuto funkci sledujeme pro x 0; h . Čas t p potřebný k tomu, aby se zásobník zcela vyprázdnil, nastane, až x 0 . tp
S S1
2h g
Pro bližší představu je vhodné vyřešit ještě konkrétní případ, např. válcový zásobník vnitřního poloměru r 1m , výšky h 2 m a obsahu výtokového otvoru S1 4cm2 . Dospějeme k výsledku 1 hodina 23 minut a 35 sekund.
Úloha 14 (Výtok vody z polokulového zásobníku) Popište výtok vody z polokulového zásobníku otvorem ve dnu jako závislost času na výšce hladiny nad výtokovým otvorem zásobníku. Vnitřní poloměr zásobníku je r , obsah otvoru ve dnu S 1 . Určete čas, za který se zásobník zcela vyprázdní. Ilustrujte výpočtem času, za který se zcela vyprázdní polokulový zásobník s r 2 m a S1 0,5cm 2 . Řešení. Úloha navazuje na předchozí úlohu o výtoku vody ze zásobníku tvaru válce a můžeme jí dát i praktický motiv tím, že otvor ve dnu může místo uvažovaného hrdla vzniknout např. jako prasklina. To už je jistě dosti dobrý důvod, aby se matematický seminář úlohou zabýval.
37
Proto při úvodním rozboru použijeme již nabytých zkušeností a rozbor postupně zaměříme i na nezbytné posouzení vlivu měnícího se obsahu povrchové vrstvy vody, viz obr. 14.1. Výsledkem diskuse by měla být dohoda, že je vhodné sledovat závislost t a x . Na počátku, v čase t 0 , předpokládáme zcela naplněný zásobník, tedy výška vody je r jako poloha hladiny vůči výtokovému otvoru. Voda začne vytékat a v čase t bude výška vody nade dnem rovna (poloha hladiny) x . Za časový úsek t dojde ke změně výšky vody o x , tzn., že vody ubude o vrstvu, která má výšku x , viz. obr. 14.1.
Obr. 14.1
Abychom mohli tuto vrstvu považovat za válcovou o poloměru rx , musí být časový interval t neomezeně malý, tedy d t . V důsledku toho bude neomezeně malá i výška vrstvy x , tedy d x . Elementární váleček vody bude mít objem d V rx2 d x ,
(14.1)
kde rx je poloměr kruhové hladiny ve výšce x . Jinak řečeno, voda tohoto objemu vyteče právě za časový úsek d t . Objem uniklé vody můžeme vyjádřit i jako objem sloupce vody procházející výtokovým otvorem. Označíme-li výtokovou rychlost v , je v 2g x , protože výtokový otvor je v hloubce x pod hladinou, g je tíhové zrychlení, tedy
d V S1v d t S1 2g x d t .
(14.2)
Porovnáním (14.1) a (14.2) s přihlédnutím k tomu, že vody v zásobníku ubývá,
S1 2g x d t rx2d x .
(14.3)
Podle obrázku 14.1 aplikujeme Pythagorovu větu a vyjádříme rx pomocí r a x :
rx2 r 2 r x x 2r x . 2
Po dosazení do (14.3) vzniká diferenciální rovnice se separovatelnými proměnnými
S1 2g x d t x 2r x d x ,
38
dt
S1 2g
1 3 2 2 2 r x x d x .
Integrací dostaneme t
S1 2g
4 32 2 52 rx x C . 5 3
(14.4)
Hledáme význam konstanty C z počátečních podmínek: pro t 0 je x r , tedy 0
S1 2g
C
4 52 2 52 r r C , 5 3
14 5 r2 . S1 2g 15
Dosadíme do (14.4) a výtok vody z polokulového zásobníku o poloměru r otvorem ve dnu obsahu S 1 je popsán (modelován) jako funkce t
S1 2g
2 52 4 23 14 52 r x x 5 3 15
(14.5)
pro x 0; r . Zásobník bude zcela vyprázdněn, až bude x 0 a potřebný čas označíme tp, 7 r 2 tp 15 S1
2r . g
(14.6)
Pro zásobník s konkrétními rozměry r 2m , S1 0,5cm2 je
tp
7 22 15 5 105
2.2 56 105 , 9,81 75 9,81
t p 426 232s
Zásobník v tomto konkrétním případu se zcela vyprázdní za 4 dny, 22 hodin, 23 minut a 52 sekund.
Úloha 15 (Nerovnoměrný přímočarý pohyb) Popište nerovnoměrný přímočarý pohyb tělesa pomocí funkční závislosti rychlosti na čase a dráhy na čase za předpokladu, že toto těleso lze modelovat jako hmotný bod a dále za předpokladu, že rychlost pohybujícího se tělesa roste nepřímo úměrně dráze, kterou urazilo. Řešení ilustrujte na příkladu pohybu, který má v čase t0 0 s rychlost v0 20 ms1 a dráhu s0 5 m .
Řešení. Se studenty si připomeneme ve fyzice prostudované druhy pohybů, abychom do této struktury zařadili právě modelovaný pohyb. Podle zadání popisujeme nerovnoměrný pohyb, který je vymezen nepřímou úměrností mezi rychlostí pohybujícího se tělesa a dráhou, kterou těleso urazilo.
39
Obr. 15.1
Při obvyklém označení a definici použitých veličin můžeme ze zadání vyjádřit rychlost jako derivaci dráhy podle času a současně jako zmíněnou nepřímou úměrnost mezi rychlostí a dráhou ds ds 1 (15.1) v , k , dt dt s kde k je koeficient úměrnosti. Po separaci proměnných s ds k dt získáme integrací (když vhodně volíme konstantu jako 1 C ) 2
1 2 C s kt 2 2
a po úpravě s2 2k t C ,
s
2k t C
(15.2)
Pro středoškoláky je určitě potřebné se u (15.2) zastavit a spolu s nimi vymezit, že (15.2) je vlastně obecné řešení diferenciální rovnice (15.1). Stejně je potřebné motivovat studenty k dalším etapám řešení úlohy otázkou, zda a jak souvisí konstanta C s počátečními podmínkami: v čase t 0 0 s je počáteční rychlost označena jako v 0 a počáteční dráha jako s 0 , viz.také obr. 15.1. Přejdeme tak k partikulárnímu řešení určenému těmito podmínkami a ještě získáme fyzikální aplikaci konstanty. Po dosazení počátečních podmínek do (15.2) je
s0
2k 0 C , C s02
(15.3)
a partikulární integrál určený počátečními podmínkami je
s
2k t s02
(15.4)
Určíme ještě okamžitou rychlost tohoto pohybu jako derivaci dráhy (určené vztahem (15.3)) podle času: ds k (15.5) v dt 2kt C Počáteční podmínky tentokrát užijeme pro vztah (15.5)
v0
k 2k 0 C
k C
, C
k2 , v 02
(15.6)
proto vztah (15.5) nabude následující podobu
40
v
k 2
k 2k t 2 v0
k v0 2k v02 t k 2
.
(15.7)
Nyní ilustrujme výsledky pro konkrétní hodnoty t0 0 s , s0 5 m , v0 20 ms1 . Nejprve zjistíme vztah konstanty k k hodnotám veličin, vymezujících pohyb. Ze vztahu (15.3) plyne C s02 25 m2s2
a ze vztahu (15.6) plyne k v0 C v0 s0 20 ms1 5m 100 m2s1 .
Použijeme vztahy (15.4) a (15.7), abychom dospěli k určení dráhy a okamžité rychlosti na konci 10. sekundy:
s 10 2 100 10 25 m 45m , v 10
100 20 20 ms 1 ms 1 . 9 200 400 10 10 000
Úloha 16 (Pohyb člunu ve vodě) Studujte a popište vliv odporu vody na pohyb motorového člunu po vypnutí motoru za předpokladu, že voda je klidná a odporová síla vody je úměrná rychlosti člunu. Ilustrujte na konkrétním příkladu: po vypnutí motoru má člun počáteční rychlost 10 km / h . Po 20s jeho rychlost klesne na 10 km / h . Jakou rychlost má člun na konci druhé minuty po vypnutí motoru? Jakou dráhu urazí za 1 minutu po vypnutí motoru? Řešení. S popisovaným dějem má řada studentů osobní zkušenost. Proto příprava popisu pohybu probíhá většinou zasvěceně a představy lze vyjádřit obrázkem 16.1.
Obr. 16.1
Není pochyb o existenci odporové síly vody, jen tipy na průběh poklesu rychlosti bývají často lineární. Pro přiměřenou představu klidné vody bývá vhodný rybník. Podle zadání je velikost odporové síly vody Fo úměrná velikosti rychlosti v . Označíme-li k konstantu úměrnosti, je Fo k v (síla je namířena proti rychlosti). Použijeme-li ještě Newtonův zákon síly, získáme Fo m a k v a pomocí derivací dv k v . dt m 41
Po separaci proměnných dv k dt v m a po integraci při použití logaritmické podoby konstanty k ln v t ln C , C 0 , m v C e
k .t m
.
Vyhledáme význam konstanty C z počátečních podmínek: po vypnutí motoru v čase t 0s má člun rychlost v 0 . Po dosazení
k
0
v0 C e m , C v0 . Rychlost člunu po vypnutí motoru je tedy popsána funkcí v v0 e 25 9
Po převodu jednotek 10 km / h odpovídá
k t m
.
(16.1)
ms 1 , proto pro náš příklad bude
25 mk t , v .e 9
(16.2)
ale dále je ještě určující, že za 20 s po vypnutí motoru rychlost klesne na 6 km / h ( 5 ms 1 ): 3
5 25 e 3 9
e
k m
20
k 20 m
,
3 , 5
je tedy rychlost takového pohybu popsána t
25 20 3 . v 9 5
(16.3)
Na konci druhé minuty od vypnutí motoru má tedy člun rychlost 120
25 20 3 v 120 9 5
6
25 3 , 9 5
.
je tedy
v 120 0,13ms 1 .
(16.4)
Zbývá odpovědět na druhou otázku, jakou dráhu člun urazí během první minuty po vypnutí motoru. Připomeneme souvislost dráhy a času v d s a funkci (16.3) přepíšeme dt
t
d s 25 20 3 . dt 9 5 Integrujeme podle času t t
25 20 20 3 C. s 3 5 9 ln 5 42
a z počátečních podmínek s 0 0 opět vyhledáme význam konstanty C: C
25 20 . 9 ln 5 ln 3
3 t 25 20 Proto s 1 20 ; 9 ln 5 ln 3 5 zbývá dráhu spočítat za 1 minutu (60s): 3 60 500 1 20 , s 60 9 ln 5 ln 3 5
(16.5) s 60 85, 25 m . Připomeňme, že (16.4) a (16.5) jsou vlastně odpovědi na obě otázky ze zadání. Slovně rozvedeno: a) na konci druhé minuty po vypnutí motoru se člun pohybuje rychlostí 0, 47 km / h , b) za 1 minutu po vypnutí motoru člun urazí dráhu 85.25 m.
Úloha 17 (Tažná síla lokomotivy) Měřením bylo experimentálně zjištěno, že má-li lokomotiva tažnou sílu velikosti b, pak ji při rychlosti v může urychlovat jen síla F b k v , kde k je konstanta úměrnosti, která spolu s konstantou b charakterizuje danou lokomotivu. Vyjádřete tuto reálnou tažnou sílu lokomotivy jako funkci času. Řešení. Protože příklad je připraven pro seminář z matematiky, vysvětlíme si se studenty, kde je zdroj tažné síly a jak se tato síla přenáší na kola lokomotivy. Zcela jistě všichni dospějí k závěru, že zrychlení lokomotivy je přímo úměrné reálné tažné síle F a nepřímo úměrné její hmotnosti m. Tak můžeme spojitě přejít k využití Newtonova zákona síly a vyjádřit zrychlení lokomotivy a
dv F . dt m
Obr. 17.1
Ze zadání a z předchozího vztahu plyne dv b k v , dt m
(17.1)
43
což je diferenciální rovnice, jejíž řešení umožní splnit daný úkol. Protože sledujeme tažnou sílu, je b k v 0 , proto separujeme proměnné dv m dt , b kv integrujeme pomocí lineární substituce b k v z a konstantu volíme v logaritmické podobě. Získáme obecné řešení m ln b kv ln et ln C , C 0 , k které ještě upravíme m ln b kv ln C et , k 1 (17.2) C et m k b kv Pro tento námi sledovaný případ stanovme počáteční podmínky tak, že v čase t 0 rychlost lokomotivy je v 0 a reálná tažná síla motorů F0 b k v0 . Odtud můžeme určit konstantu pro partikulární řešení dosazením do obecného řešení: 1 . C m k b k v0 Po dosazení do (17.2) je m
b k v0 k et , b kv m
F k et 0 . F Provedeme-li následně ještě jednoduchou úpravu k
F0 , F dospějeme k hledané funkční závislosti tažné síly a času t
em
F F0 e
k t m
.
Dodatky: Aby se úloha stala životnou, je velmi užitečné uvést parametry konkrétní lokomotivy. Např. lokomotiva pro soupravy City Elefant z Vagonky Studénka disponuje maximální tažnou silou 234 kN , má hmotnost 155,4 t a dosahuje maximální rychlosti 140 km h 1 . Těmito číselnými hodnotami bývají studenti překvapeni a většinou je slyší poprvé. Diskuse může dále naznačit, jak by řešení bylo ovlivněno, budeme-li uvažovat celou soupravu. V tomto případu se jedná o kompaktní (dosti elegantní) soupravu, která je standardně používána pro osobní příměstskou dopravu.
Úloha 18 (Zákon radioaktivní přeměny.) Odvoďte zákon radioaktivní přeměny, porovnejte rozpadové vlastnosti radia a radonu.
44
Řešení. Toto je další příležitost, jak v přiměřeném pojetí aplikovat jednoduchou diferenciální rovnici. Nejprve je vhodné se studenty prohovořit, jak jsou v současné době otázky radioaktivity významné a jak aktuální jsou ve vztahu k životnímu prostředí.
Obr. 18.1
Označme N0 počet nerozpadlých jader atomů na počátku popisu rozpadového procesu ve vzorku přirozeně radioaktivní látky, jinak řečeno v čase t = 0 s je N0 počet nerozpadlých jader atomů. V čase t označme počet nerozpadlých jader atomů N(t) Jádra atomů radioaktivní látky se rozpadají tak, že rychlost rozpadu v okamžiku t je přímo úměrná počtu nerozpadlých jader atomů N (t ) přítomných v okamžiku t. Počet jader atomů je přirozené číslo, tedy v realitě není funkce N (t ) spojitá (obr. 18.1). Ukazuje se však, že když považujeme funkci N (t ) za spojitou (dokonce diferencovatelnou), odpovídá model procesu realitě velmi přesně (pro velké N se N (t ) chová téměř jako spojitá funkce). Vyjádříme-li, že za čas d t se rozpadne dN jader, můžeme psát dN N t , dt kde konstanta úměrnosti λ je přeměnová konstanta charakterizující rozpadové vlastnosti uvažované radioaktivní látky. Popisujeme rychlost, se kterou se jádra atomů rozpadají, proto znaménko na pravé straně je minus (nerozpadlých jader ubývá). Tato rovnice je opět typu jako v úloze 16.
Úpravou získáme
1 d N dt N a zvolíme-li konstantu při integraci ve vhodné (logaritmické) podobě, bude N t C e t .
Z počátečních podmínek N0 C e0 C
a zákon radioaktivní přeměny je: N t N0 e t .
(18.1)
Ze zákona přesvědčivě vyplývá, že nerozpadlá jádra ubývají s časem podle exponenciální funkce. Tomu odpovídá i grafická podoba zákona (obr. 18.2).
45
Obr. 18.2
Někdy je názornější charakterizovat přirozeně radioaktivní látku poločasem rozpadu T jako dobou, za kterou se rozpadne právě polovina atomů vzorku. Potom N0 N 0 e T 2 ln 2 ln 2 a odtud , T . T Zákon radioaktivní přeměny pak můžeme vyjádřit
N t N0 e
t ln 2 T
N0 2
t T
.
(18.2)
Pro ilustraci spočítejme, kolik procent z původního počtu jader radia 88Ra226 s poločasem rozpadu T =1590 roků se rozpadne za 100 let. Pro radium je tedy a dále
ln 2 0, 693 0,00044 1590 1590
N 100 N0 e0,044 0,957 N0 .
Během 100 let se rozpadne pouze 4,3 % uvedeného radia. Pro porovnání nyní zjistíme, za jak dlouho by nastal stejný pokles u radonu s poločasem rozpadu T=3,825 dne. Z podoby (18.2) zákona radioaktivní přeměny vyplývá
222
86Rn
N N0 ln 0,957 t T 3,825 0,243 dne. ln 2 ln 2 ln
U radonu by tedy stejný pokles nastal přibližně za 5 hodin a 49 minut.
Úloha 19 (Spojité úročení) Do banky byl vložen počáteční kapitál K0. Jakou hodnotu Km má kapitál na konci m-tého roku při spojitém úročení, je-li p úrok p. a. (roční) uveden v procentech a u daň z úroku také v procentech. (Pro formulaci a řešení úlohy je použita terminologie a symboly z učebnice [4].)
46
Řešení. Úvodem k řešení je diskuse se studenty o jejich zkušenostech s úročením vkladů, s frekvencí úročení, s úroky v našich bankách a s výnosy z vkladů. Připomeneme, že v ČR je úrok zdaňován patnáctiprocentní sazbou, tj. u = 15. Shrneme úvodní poznatky studentů o úročení: na konci prvního roku při ročním úročení je hodnota kapitálu K1 = K0 +
p p u p u K0 K 0 = K0 1 1 100 100 100 100 100
Označme roční míru úročení i =
p 100
a zdaňovací koeficient k = 1
u 100
.
; pak
K1 K0 1 ik
(19.1)
a při měsíčním úročení 12
K1 = K0 1 i k . (19.2) 12 Uveďme příklad. Uvažujme vklad K0 = 50 000 Kč, i = 0,03, k = 0,85 (při současném zdaňování úroků v ČR patnáctiprocentní sazbou je zdaňovací koeficient 0,85). Pak podle (19.1) je K1 = 51 275,00 Kč a podle (18.2) je K1 = 51 290,00 Kč. Nyní je správné upozornit studenty, že úvahy o úročení vedeme v teoretické rovině jako ukázku aplikace matematických prostředků. V praxi je v současné době i menší. Dále jsou totiž bankovní operace zatěžovány poplatky, které výnosy z vkladů nepříjemně zmenšují. Vrátíme se ještě ke vztahu (19.2) a obecněji uvážíme, že bude-li úročení probíhat během r
i 1 roku r-krát, bude K1 = K0 1 k . r (V našem příkladu např. pro r = 100 je K1 = 51291,23 Kč.) Po m letech máme m
i r Km = K0 1 k . r
(19.3)
Nyní hledejme K m při spojitém úročení. O takovém úročení mluvíme tehdy, jestliže se délka úrokovacích období neomezeně zkracuje a jejich počet roste nade všechny meze. Označme y průběžnou velikost kapitálu a t 0, m čas (jednotkou je 1 rok). Přírůstek kapitálu za dobu t je y = y i k t, což lze v diferenciálním tvaru zapsat jako
d y yi k d t ,
(19.4)
a to je zvláštní případ diferenciální rovnice y = a y,
(19.5)
kde a je konstanta a y je neznámá funkce. Řešíme ji separací proměnných a integrováním; pokračujme v řešení rovnice (19.4):
dy = i k dt , y ln y K = [i k t 0 , 0 Km
m
47
kde ln je označení přirozeného logaritmu, tj. logaritmu při základu e (Eulerovo číslo), a dále ln Km ln K0 = i k m , ln
Km =ikm, K0
(19.6)
Km = ei k m , K0 Km = K0 ei k m
.
(19.7)
(V našem příkladu je podle tohoto vzorce nyní K1 = 51 291,40 Kč. Porovnejte výsledky.) Přidejme ještě příklad na použití vzorce (19.7): Jak dlouho by kapitál 50 000 Kč musel být v bance spojitě úročen, aby vzrostl na 55 000 Kč? Z rovnice (19.6) vypočteme m: m=
K 1 ln m ; ik K0
po dosazení i k = 0,03 0,85 , K0 = 50 000, Km = 55 000 dostaneme m 3,74, tj. asi 3 a 3/4 roku. Ukažme si ještě jiný postup při odvození vzorce (19.7) pomocí limitních úvah vycházejících ze vzorce (19.3): m
m
i r i r Km = lim K0 1 k = K0 lim 1 k . r r r r Chceme nyní použít znalosti, že n
1 lim 1 = e , n n
(19.8)
a tak pokračujeme v úpravách: r ik i k Km = K0 lim 1 r r
ikm
neboť platí, že pro r také n
r ik
r ik i k = K0 lim 1 r r
ikm
= K0 ei k m
, takže v hranaté závorce je levá strana
rovnosti (19.8). Vidíme, že jsme dostali týž výsledek (19.7).
Úloha 20 (Ochlazování těles) Popište ochlazování tělesa pomocí funkční závislosti klesající teploty na čase. Uveďte praktickou aplikaci. Řešení. S ochlazováním těles se studenti (ale i my všichni) neustále setkávají. Zcela běžné jsou zkušenosti, jak chladne motor automobilu po dojezdu do cíle cesty, jak chladne právě uvařený čaj, jak chladne právě upečený chleba, a další. Můžeme nechat studenty tipovat,
48
zda pokles teploty probíhá v čase lineárně, nebo podle jiné funkční závislosti. Jak se tedy děj dá matematicky popsat (modelovat)? Označme y 0 počáteční teplotu tělesa, a teplotu okolí. Studujeme ochlazování tělesa, proto samozřejmým předpokladem je y 0 a . V průběžném čase t vyjádříme teplotu tělesa jako y (t ) . Pro naše modelování budeme ještě předpokládat, že okolí tělesa je dostatečně rozsáhlé (má dostatečně velikou tepelnou kapacitu), a proto nemusíme sledovat změnu teploty a. Při diskusi studenti určitě také dospějí k pokusně ověřenému názoru, že rychlost ochlazování tělesa je úměrná rozdílu teploty tělesa a teploty okolí y – a. Koeficient úměrnosti charakterizující tepelné vlastnosti materiálu tělesa a prostředí, ve kterém se těleso nachází, označíme b. Úměrnost vyjádřená rovnicí je dy b y a , dt ve které znaménko vyjadřuje, že jde o pokles teploty (ochlazování). Po oddělení (separaci) proměnných získáme dy bdt ya a po integraci za předpokladu y a, C 0 je ln y a bt ln C .
Po úpravě
y t a C ebt . (20.1) Význam konstanty C vyhledáme z počátečních podmínek: na počátku sledování děje v čase t t0 je teplota tělesa y0. Dosazením do (20.1) získáme C y0 a ebt0
a za tuto konstantu dosadíme opět do (20.1). Tak dospějeme ke hledané funkční závislosti klesající teploty na čase při ochlazování tělesa.
y t a y0 a e
b t t0
.
(20.2)
Úlohu přiblížíme jednou její praktickou aplikací: za jak dlouho zchladne veka chleba ze 100oC na 30oC na vzduchu o teplotě 20oC, víme-li, že ze 100oC na 60oC je potřeba 20 minut. Aplikaci můžeme řešit pomocí (20.2), budeme-li znát konstantu b pro veku chleba a okolní vzduch. Tu můžeme zjistit tak, že dosadíme zadané hodnoty do zmíněného vztahu: 60 = 25 + (100 – 25) · e20b , 1
e
20b
7 7 20 , eb . 15 15
Pro ochlazování veky chleba ve vzduchu můžeme (19.2) psát v následující podobě: 1
7 20 y t a y0 a 15
t t0
.
Pro ochlazení chleba na 30oC
49
1
7 20 30 = 25 + (100 – 25)· 15
t t0
,
1 15 = 71,06 min. t – t0 = 7 ln 15 o o Zchladnutí chleba ze 100 C na 30 C tedy potrvá téměř 1 hodinu a 12 minut. 20 ln
Úloha 21 (Růst bakterií) Modelujte organický růst kolonie bakterií, které se rozmnožují v neohraničeném živném prostředí. Řešení. Úvodem studentům upřesníme, že budeme vytvářet jednoduchý matematický model organického růstu, který bude aplikací matematických postupů na biologické jevy. Přiblížíme předpoklad, že kolonie bakterií existuje v ideálních podmínkách, poskytujících dostatečné zdroje výživy. Dohodneme další předpoklad, že kultury bakterií se v uvedeném prostředí rozmnožují rychlostí, jejíž velikost je úměrná počtu bakterií, které jsou v příslušném okamžiku v prostředí přítomny. Abychom popsali organický růst kolonie bakterií, označme, že na počátku jeho sledování kolonie obsahuje N0 bakterií a v průběžném čase t je počet bakterií N (t ) . Budeme tedy hledat funkci N (t ) . Přesně vzato, počty bakterií jsou přirozená čísla, proto pro reálnou kolonii bakterií není funkce N (t ) spojitá. V koloniích existují většinou veliké počty bakterií, a proto v realitě se tato funkce chová skoro jako spojitá. Skutečně tedy k popisu použijeme spojitou funkci N (t ) (dokonce diferencovatelnou), viz úlohu 18. d N t Vraťme se k úměrnosti mezi rychlostí rozmnožování a počtem bakterií N (t ) : dt
d N t = α · N (t ) , (21.1) dt kde α je koeficient úměrnosti, který charakterizuje druh bakterií a prostředí, ve kterém bakterie žijí. Rovnice (21.1) je opět diferenciální rovnice typu (19.5). Oddělením (separací) proměnných získáme d N t dt N t a po integraci máme obecné řešení diferenciální rovnice N (t ) = C · e t . Význam konstanty C pro naši úlohu zjistíme pomocí počátečních podmínek: v čase t = 0 je N = N0, čili N0 = C · e 0 . Funkce, která modeluje rozmnožování v kolonii bakterií je
N (t ) = N0 · e t .
(21.2)
50
Zamyslíme-li se nad významem konstanty α, bude α=
1
N t
d N t dt
mít význam rychlosti růstu, který připadá na jednu bakterii. Pro ilustraci se zabývejme kolonií 100 bakterií, u které během 3 hodin jejich počet vzroste na dvojnásobek. Kolikrát se počet bakterií zvětší v průběhu 9 hodin? Dosadíme do (21.2) hodnoty tohoto zadání: 200 = 100 · e3 a po úpravě máme α = ln 2 , 3
což je koeficient α pro náš případ. Ještě provedeme výhodnou úpravu
e t e
ln 2 t 3
t
t
eln 2 3 2 3 t
a poté můžeme psát pro naši konkrétní kolonii bakterií N (t ) =100 · 2 3 . Pro t = 9 hodin je N (9) = 100 · 2 3 . Výsledek určíme poměrem
N ( 9 ) 1 0 0 3 2 N( 0 ) 100
8 . V průběhu 9 hodin se počet bakterií
v kolonii zvětší 8-krát.
51
Úloha 22 (Doba výstupu rakety) Při zkoušce raketa opouští startovací rampu počáteční rychlostí v0 120 ms1 a stoupá svisle vzhůru. Jak dlouho bude stoupat, jestliže ji kromě tíhové síly FG zpomaluje i síla odporu prostředí Fo záporným zrychlením a o k v 2 . kde v je velikost okamžité rychlosti rakety a k je její aerodynamický koeficient. Řešení. Úspěšné řešení úlohy předpokládá, že si připomeneme souvislost a poznatky o proudění (obtékání) tekutin podél pohybujících se těles. U této úlohy je důležitý čelný odpor rakety jako její základní aerodynamická charakteristika, který je významně ovlivňován tvarem rakety a který je úměrný druhé mocnině okamžité rychlosti rakety. Studenti jsou z fyziky zvyklí na vztah pro odporovou sílu Fo 1 C S v 2 , ve kterém 2
shrneme-li odpovídající konstantní veličiny do jedné konstanty, budeme v potřebné shodě se zadáním úlohy.
Obr. 22.1
Obr. 22.2
Vzhledem k charakteru úlohy můžeme pohyb rakety považovat za pohyb hmotného bodu a za reprezentativní bod si zvolit její těžiště T tak, jak je tomu na obrázku 22 1. Pouze na počátku děje startovací síly Fs udělí raketě impuls a tím počáteční rychlost v 0 (raketa se chová jako střela). Přímočarý pohyb rakety svisle vzhůru tedy probíhá proti
52
tíhové síle FG a proti síle odporu prostředí Fo , což znázorňuje obrázek 22.2. Proto pro zrychlení rakety a r můžeme napsat ar g kv 2 , dv (22.1) g kv 2 dt a získáme tak diferenciální rovnici popisovaného pohybu, když průběžný čas označujeme t a odpovídající průběžnou rychlost v. Po separaci proměnných dv dt g k v2 upravíme 1 dv d t g 1 k v2 g k g
a integrujeme pomocí substituce
vx
1 dx d t , 2 gk 1 x abychom dostali
1 k arctg v t C1 . g gk Vybereme-li novou konstantu podle vztahu
arctg
gk C1 C , můžeme psát
k v gk t C g
(22.2)
jako přijatelný tvar obecného řešení DR (22.1). Dále budeme pátrat po partikulárním řešení tím, že vyhledáme hodnotu konstanty C odpovídající počátečním podmínkám, které jsou dány počáteční rychlostí v0 v čase t0 . Získáme
arctg
k k v g k t arctg v0 g k t0 , g g
a jestliže je ještě určeno, že v čase t0 0 je v0 120 m / s , můžeme psát
arctg
k k . v g k t arctg120 g g
Raketa stoupá do maximální výše h po dobu výstupu tv , než rychlost v 0 . Proto
arctg 38,31 k
(22.3) 3,13 k je odpovědí na úkoly, které byly uloženy zadáním úlohy. Koeficient k už je charakteristika konkrétního typu rakety a ty u nejmodernějších typů jsou většinou údajem zatím nedostupným. I tak seminaristé chápou, že matematika technice poskytuje účinný nástroj.
tv
53
Úloha 23 (Integrální křivky) Řešte homogenní diferenciální rovnici 2 x y y y 2 x 2 a znázorněte systém jejích integrálních křivek. Řešení. Úloha 23 byla vybrána, aby její řešení přispělo a pomohlo dále přiblížit pojem obecného integrálu, partikulárního integrálu, singulárního integrálu, singulárních bodů, s větším důrazem pojem integrální křivky a systému integrálních křivek jako geometrických modelů příslušných integrálů. Využijeme této vhodné příležitosti a uvedené pojmy interaktivně se studenty zopakujeme a dohodneme, že je budeme v průběhu řešení sledovat v jejich konkrétní podobě. Navíc, budeme se nejdříve také zabývat tím, s jakým druhem diferenciální rovnice se právě setkáváme. Vyjdeme ze zadání (23.1) 2x y y y 2 x 2 a řešení úlohy rozdělíme na 2 případy: a) Nejprve předpokládejme, že ( x 0) ( y 0) , potom můžeme rovnici (23.1) upravit na tvar y2 1 2 dy (23.2) x y dx 2 x a odtud vyplývá, že tuto rovnici lze vyjádřit jako můžeme chápat jako funkci proměnné
y x
dy dx
y x
. Funkci na pravé straně
. Takové diferenciální rovnice označujeme jako
homogenní a řešíme je pomocí substituce (zavedeme novou proměnnou) y (23.3) z . x Místo funkce yx tedy hledáme novou neznámou funkci z x . Bude tedy ku prospěchu, jestliže pro lepší pochopení alespoň jedenkrát zdůrazníme funkční závislost ve tvaru yx x z x . Derivujeme podle x dy dz , (23.4) zx dx dx vztahy (23.3) a (23.4) zavedeme do rovnice (22.2) a získáme
dz z2 1 xz , dx 2z dz z2 1 x . dx 2z Po separaci proměnných je 2z dx , dz z 1 x 2
po integraci
54
ln z 2 1 ln
1 ln C1 , C1 0 , x
ln z 2 1 x ln C1 ,
z
2
1 x C1 .
Vrátíme se k původním proměnným, když za z dosadíme nazpět pomocí (23.3), potom bude
y2 2 1 x C1 x
(23.5)
obecným integrálem rovnice (23.1) za podmínek uvedených v této části. Využijeme toho, že studenti jsou zvyklí dělat rozbor při řešení rovnic s absolutní hodnotou. a1) Pro x 0 nabude řešení (23.5) tvaru x 2 y 2 C1 x , 2
C1 C12 2 x y . 2 4 Ještě označíme
C1 2
= C 0 a bude
x C
2
y2 C 2
(23.6)
a2) Obdobně pro x 0 z (23.5) vyplyne x2 y 2 C1 x ,
x C
2
y2 C 2 .
(23.7)
Vztahy (23.6) a (23.7) jsou vhodné pro geometrickou interpretaci a studenti sami identifikují systém kružnic, který se skládá z
k1 S C, 0 ; r C a k2 S C,0 ; r C ,
viz obr. 23.1.
Obr. 23.1
55
b) V předchozím nebyla zodpovězena otázka bodu O 0,0 . Lehce ověříme, že hodnotami x 0, y 0 je rovnice (23.1) splněna, bod O je vzhledem ke svým vlastnostem bodem singulárním. Závěr: a) Z předchozího vyplývá, že systém integrálních křivek (kružnic) je úplný. b) Zde se osvědčuje, když ještě provedeme zkoušku derivováním vztahu x2 y 2 2 C x
(23.8)
a vyloučením konstanty C , současně se procvičí i derivace funkce vyjádřené implicitně, tedy dy 2x 2 y 2 C . dx Dosadíme nazpět do (22.8) dy , x 2 y 2 2 x 2 2 xy dx Což po malé úpravě poskytuje diferenciální rovnici (23.1). c) Nazpět můžeme říci, že diferenciální rovnice (23.1) je z hlediska geometrického rovnicí systému výše popsaných kružnic.
Úloha 24 (Ortogonální trajektorie 1) Nalezněte ortogonální trajektorie jednoparametrické soustavy přímek a uveďte příklad jejich užití. Řešení. Vymezíme, že v této úloze budeme pracovat se soustavou všech přímek, které procházejí počátkem soustavy souřadnic, analyticky vyjádřených vztahem (24.1) y kx, kde k je reálný parametr z intervalu ; , a znovu připomeňme, že ke každé hodnotě parametru přísluší jedna přímka. Odpověď na otázku, zda naopak každým bodem roviny x, y prochází jedna přímka, je vhodné rozdělit do tří případů: a) Každým bodem roviny x, y mimo bod 0, 0 a mimo body 0, y pro y 0 prochází jedna přímka uvedeného systému. b) Bodem 0, 0 neprochází jediná přímka. c) Body 0, y , y 0 sice prochází přímka jdoucí počátkem, ale nepatří do dané soustavy (neexistuje pro ni číslo k). Ortogonální trajektorií pak rozumíme čáru, která (její tečna v příslušném bodu) protíná všechny přímky roviny pod pravým úhlem. Hledejme nyní diferenciální rovnici, pro kterou je soustava přímek (24.1) soustavou integrálních čar. Uvážíme-li, že v libovolném bodu x, y pro x 0 je d y k , je také dx
y
dy x dx
(24.2)
56
hledanou diferenciální rovnici (DR). Dále budeme hledat DR, jejíž integrální křivky jsou ortogonálními trajektoriemi k integrálním přímkám rovnice (24.2). Pro směrnice tečen ortogonálních trajektorií
kt 0 vzhledem ke směrnicím k platí k t
1 k
, tedy k t
dx dy
. Dosadíme do (24.2)
a máme
y
dx x, dy
xd x y d y 0
(24.3)
diferenciální rovnici ortogonálních trajektorií soustavy přímek (24.1). Jednoduše upravíme a integrujeme při vhodné volbě konstanty: y d y x d x , 1 2 1 1 y x2 C 2 . 2 2 2
Po úpravě x2 y 2 C 2
(24.4)
získáváme analytické vyjádření ortogonálních trajektorií, což je v našem případě systém soustředných kružnic l O ; r C 0 se středem v počátku soustavy souřadnic obr. 24.1. Pro úplnost je potřeba dodat, že obecnému řešení (24.4) vyhovují i body 0, y , kde
y 0 . Zvláštní postavení má bod 0, 0 , který by řešení (24.4) splňoval pouze pro C 0 , to se již nejedná o kružnici. Rozprava o využití směřuje především do fyziky silových polí, tj. gravitačního pole a elektrického pole. Když bude těleso nebo náboj tvořící silové pole umístěn v počátku, pak přisoudíme-li přímkám v soustavě příslušnou orientaci, stávají se siločarami a soustava kružnic tvoří ekvipotenciální čáry (čáry stejného potenciálu).
Obr. 24.1
Dodatek: Lze doporučit, aby účastníci semináře manuální grafické zpracování výsledků úlohy doplnili grafickým modelem na počítačích. V podmínkách Gymnázia Jihlava je to pomocí programu Derive 6.
57
Příklad 25 (Ortogonální trajektorie 2) Nalezněte ortogonální trajektorie integrálních křivek z úlohy 23. Řešení. Námětem úloha navazuje na úlohu 23, obsahem na úlohu 24, tuto souvislost seminaristé záhy potvrdí, a mají-li prostor pro tipování výsledků úlohy, mýlí se jen zřídka kdy. Navíc úloha slibuje nejen odborné řešení, ale i esteticky působivé grafické zpracování, které při použití již citovaného programu Derive 6 na počítačích není obtížné. Estetický účinek lze zvětšit použitím barev. Připomeňme DR (25.1) 2x y y y 2 x 2 a analytická vyjádření geometrických modelů jejího obecného řešení pro C nezáporné
k1 S C , 0 ; r C , k2 S C, 0 ; r C .
(25.2)
Kružnice jsou na obrázku 25.1 provedeny v černém tisku. Dále postupujme analogicky jako u úlohy 24, tzn. obecně vyjádříme směrnice tečen integrálních křivek pro ( x 0) ( y 0) z rovnice (25.1)
d y y 2 x2 . dx 2x y Opět budeme hledat DR, jejíž integrální křivky jsou ortogonálními trajektoriemi k integrálním křivkám (25.2). I zde připomeneme, že pro směrnice tečen ortogonálních trajektorií k t vzhledem ke směrnicím k platí k t 1 , tedy k t d x . Máme k
dy
d x x2 y 2 , dy 2 xy
x
2
y 2 y 2 x y
(25.3)
diferenciální rovnici ortogonálních trajektorií pro naši úlohu. Zde se nabízí příležitost motivovat studenty, aby objevili, že rovnice (25.3) vzniká z rovnice (25.2) výměnou x, y a pak intuitivně dovodili, že obecné řešení rovnice (25.3) vznikne analogickou výměnou z obecného řešení rovnice (25.1). Zvolíme-li tentokrát reálnou konstantu C, můžeme psát analytické vyjádření ortogonálních trajektorií
x2 y C C 2 . 2
(25.4)
Je to systém kružnic se středy na ose y a dotýkající se v počátku osy x. Na obrázku 25.1 jsou vytištěny tlumeným odstínem červené barvy. Pokud vzniknou pochybnosti, zda je předchozí úvaha správná, necháme studenty rovnici identifikovat jako homogenní a řešit standardním postupem. Je to pak vítané zopakování a procvičení postupu řešení rovnice i procvičení integračních metod. Obdobně jako v úloze 23 do rovnice (25.3) zavedeme substituci dy dz yx x z x , , zx dx dx abychom získali dz z3 z x , dx 1 z2
58
y
x
Obr. 25.1
po separaci proměnných a po rozkladu na levé straně 1 z2 dx , dz 2 x z z 1
2z dx 1 z z 2 1 d z x
integrujeme
ln z ln z 2 1 ln x ln C1 a upravíme z C1 x , z 1 2
dosadíme-li za z nazpět, pak již po obvyklých úpravách a vhodné volbě tvaru konstanty C1 potvrdíme řešení (25.4). Není na škodu, pokud si studenti jako cvičení aplikují závěrečný rozbor z úlohy 23.
Úloha 26 (Délka normály) Nalezněte křivky, u kterých se nemění délka normály, je rovna konstantě a . Řešení. V úvodu řešení úlohy je potřeba seminář vybavit potřebnými pojmy a odvodit jejich odpovídající vlastnosti. K tomu může posloužit obrázek 26.1. Délkou normály rozumíme velikost úsečky T N , kde T je bod křivky, kterým je normála n vedena a bod N je průsečík normály n s osou x. V rámci seminární spolupráce lehce dovodíme, že TN
xN x
2
y2 .
(26.1)
Křivku na obrázku 26.1 chápeme jako graf funkce y f x . Studentům je dobře známa vzájemná kolmost normály a tečny v bodu T křivky. Označíme-li směrový úhel tečny a připomeneme souvislost směrnice tečny s derivací, můžeme z trojúhelníku NTT1 psát xN x y tg y y .
59
Obr. 26.1
Po dosazení do (26.1) získáme potřebný vztah
T N y 1 y 2 .
(26.2)
Vrátíme se k zadání úlohy (její povaha žádá volit a 0 ), abychom psali
y 1 y 2 a ,
(26.3)
což je diferenciální rovnice hledaných křivek. Tato úloha je tedy také ukázkou DR, ve které je derivace hledané funkce y vyjádřena implicitně. Po základních algebraických úpravách máme y 2 1 y 2 a 2 ,
a2 y2 dy . dx y
(26.4)
Dále můžeme pracovat jen pro y a , graficky řečeno, v rovinném pásu ohraničeném přímkami y a a y a . Další úpravou je separace proměnných a ta vyžaduje ostřejší podmínku y a , tedy je nám k dispozici pouze vnitřek rovinného pásu:
y a y2 2
d y d x .
Levou stranu integrujeme pomocí substituce a je
a2 y2 x C . Vhodnou algebraickou úpravou získáme pro oba případy společné obecné řešení
x C
2
y2 a2 .
(26.5)
Rozbor dosavadních výsledků: a) Vztah (26.5) můžeme geometricky chápat jako analytické vyjádření systému kružnic k S C ,0 ; r a , tedy jako integrální křivky odpovídající tomuto obecnému řešení, obr. 26.2.
60
Obr. 26 2
b) Ještě zajímavější se rozbor stává po cílené otázce, jak je to s těmi případy, kdy y a a y a . Po dosazení do DR (26.2) je zřejmé, že i toto jsou její řešení, která nelze dostat z obecného řešení (26.5) pro žádnou volbu konstanty C. Tato řešení jsou tedy zvláštní, singulární. Geometricky jim odpovídají přímky rovnoběžné s osou x, které jsou společnými tečnami všech kružnic a tvoří pro ně obalové čáry. Proto mají kružnice ve všech bodech dotyku stejné směrnice tečen. c) Stejné směrnice tečen mají kružnice v průsečících s libovolnou rovnoběžkou s osou x , vedenou uvnitř rovinného pásu. Čáry s takovou vlastností jsou označovány jako izokliny. d) Po ručním zpracování si studenti mohou obrázek 26.2 vytvořit i na počítačích v programu Derive 6 tak, jak je to (až na nepodstatné doplňky) provedeno autenticky zde.
Úloha 27 (Netlumené mechanické kmitání) Popište netlumené kmitání mechanického oscilátoru. Řešení. K řešení úlohy motivujeme studenty oživením poznatků z fyziky o mechanických oscilátorech a jejich oscilacích. Většinou mají uchovány alespoň fragmenty poznatků o pružinovém oscilátoru, viz obr. 27.1. Ani v matematickém semináři není na škodu se studenty experimentovat a takový pružinový oscilátor sestavit, uvést ve vlastní kmitavý (oscilační) pohyb a formulovat základní charakteristiky pohybu. Po sérii cílených otázek studenti sami virtuálně (poté i reálně) oscilátor sestaví pomocí 4 základních kroků: I. zavěsí vhodnou pružinu, II. na pružinu zavěsí tělísko s dostatečnou hmotností a nevelkých rozměrů, např. mosaznou kuličku o průměru 4 cm, která bude později kmitat. Toto tělísko po ustálení zaujme rovnovážnou polohu RP, která je výsledkem rovnováhy tíhové síly na tělísko a elastických sil pružiny. III. Tělísko vychýlí do dolní krajní polohy DKP a uvolní. IV.Tělísko přechází do horní krajní polohy HKP a nazpět, osciluje (kmitá). Čas pro přechod např. RP HKP RP DKP RP je doba kmitu (perioda) To
61
Obr. 27.1
Produktem této úvodní ryze interaktivní fáze řešení je i poměrně přesná základní charakteristika pohybu. Jedná se o vlastní kmitání oscilátoru (vyjadřujeme nulovým indexem příslušných veličin) a jde o pohyb přímočarý, periodický s měnící se rychlostí i zrychlením. Předchozí rozbor umožňuje bezprostředně přejít k popisu pohybu z hlediska dynamického a při modelování budeme dále předpokládat pohyb bez tlumení. Představy i přímé experimentální ověření potvrzují, že působící elastické síly pružiny Fel jsou přímo úměrné okamžité výchylce tělíska z rovnovážné polohy y a působí proti ní (znaménko -), konstantu úměrnosti označme k . Tak dostáváme
Fel k y .
(27.1)
Lepšímu pochopení prospěje, jestliže se ještě budeme zabývat významem konstanty k. Uvažujeme-li o jednotkové výchylce, potom Fel k , čili konstanta k odpovídá elastické síle pružiny při jednotkové výchylce a nazývá se tuhost pružiny. Elastickou sílu lze také vyjádřit pomocí Newtonova zákona síly (viz úloha 4), když dráha bude vyjádřena okamžitou výchylkou z rovnovážné polohy y, jejíž hodnoty se mění v intervalu A; A , jak je znázorněno na obrázku 27.1. Okamžité výchylky ležící nad rovnovážnou polohou mají znaménko „+“ a pod RP znaménko . A je amplituda. Je tedy
d2 y m 2 k y , dt d2 y k y . 2 dt m Jednoduchou úpravou máme
d2 y k y0 d t2 m
(27.2)
a to je diferenciální rovnice netlumeného oscilačního pohybu mechanického oscilátoru. Rovnici identifikujeme jako homogenní lineární DR II. řádu s konstantními koeficienty. 62
Jak se později ukáže, je velmi výhodné porovnat tento dynamický popis s kinematickým a označit k 02 jako vlastní kruhovou frekvenci mechanického oscilátoru ( 0 2 ) T0
m
a psát DR (27.2) ve tvaru
d2 y (27.3) 02 y 0 2 dt Při řešení takových rovnic se opíráme o následující tvrzení plynoucí z teorie homogenních lineárních diferenciálních rovnic: a) Jsou-li y1 a y 2 dva lineárně nezávislé partikulární integrály rovnice (27.3) a C1 ,C 2 jsou konstanty, pak y C1 y1 C2 y 2 je její obecný integrál (řešení).. b) Pro vhodné je funkce y e t partikulárním integrálem rovnice. Zjistíme toto . Derivováním získáme posloupnost y et , y et , y 2 et , poté dosadíme do (27.3), dělíme e t a tak získáme charakteristickou rovnici DR (27.3) (27.4) 2 02 0 . Rovnice (27.4) má komplexní kořeny i 0 , i 0 , tedy existují dvě taková . Příslušná partikulární řešení jsou pak ei 0t , ei 0t (komplexní funkce) a jejím obecným integrálem je funkce (27.5) y C1ei 0t C2ei 0t . Ukažme ještě jinou cestu pro vyhledání obecného integrálu. Opřeme se nyní o další tvrzení, že také reálné funkce sin 0 t a cos 0 t mohou tvořit fundamentální systém DR (27.3), proto nyní obecný integrál vyjádříme pro úlohu, na gymnáziu řešenou, příhodněji: y C1 sin 0 t C2 cos 0 t
(27.6)
Stejný výsledek bychom dostali, kdybychom v rovnici (27.5) použili Eulerovy vzorce. Do vztahu (27.5) zavedeme amplitudu A tak, že zvolíme konstanty C1 ,C 2 ve tvaru
C1 A cos , C2 A sin . Tak získáme y A cos sin 0t A sin cos 0t , y A sin 0t
(27.7)
což je běžně užívaný vztah pro vyjádření výchylky oscilačního pohybu. Této příležitosti využijeme k aplikaci poznatků z goniometrie a vytvoříme graf z obrázku 27.2, který je grafickým časovým rozvojem výchylek. V podmínkách Gymnázia Jihlava tak činíme v učebně matematiky pomocí počítačového programu Derive 6. Dodatky: a) 0 t je fáze oscilačního pohybu, proto je počáteční fáze. b) V čase t 0 je y0 A sin .
2 T T0 vychází y A sin 0 A cos . 4 T0 4 d) Je-li 0 , je y A sin 0 t a na počátku studia takového pohybu (v nulovém čase) prochází kmitající tělísko RP .
c) V čase t
63
Obr. 27.2
e) Rychlost popisovaného oscilačního pohybu z (27.3) je dy v 0 cos 0t dt a zrychlení dv a 02 sin 0t 02 y . dt Kmitavý pohyb je tedy harmonický. f) Z porovnáním vztahů (27.2) a (27.3) přímo vyplývá pro úhlovou frekvenci, periodu a frekvenci vlastního kmitání mechanického oscilátoru 0
k m
, T0 2
m k
, f0 .
1 2
k m
g) V případě zájmu se lze u popisovaného pohybu zabývat kinetickou a potenciální energií v jednotlivých jeho fázích. Tak můžeme ukázat mechanický oscilátor jako měnič potenciální a kinetické energie.
Úloha 28 (Netlumené elektromagnetické kmitání) Popište vlastní netlumené kmitání elektromagnetického CL obvodu. Řešení. Tuto úlohu uvedeme jako paralelu úlohy 26, tedy paralelu vlastního netlumeného kmitání mechanického oscilátoru. Studenty seznámíme se dvěma hlavními důvody, proč se touto úlohou budeme zabývat. Jednak budeme modelovat děj v paralelním CL obvodu, který je principiální součástí pro mnohá elektronická zařízení. Současně použijeme jiný postup řešení příslušné diferenciální rovnice. Vyjděme z připojeného schématu na obrázku 28.1, abychom připomněli alespoň jeden fyzikální výklad vzniku popisovaného děje. To vše za součinnosti studentů. Úvahy opět můžeme roztřídit do 4 kroků: I) Předpokládáme, že je sestaven vlastní oscilační obvod z cívky vhodné vlastní indukčnosti L a kondenzátor vhodné kapacity C II) K oscilačnímu obvodu je připojen vnější obvod (nabíjecí obvod) obsahující vhodný zdroj napětí Z. III) Bude-li sepnut vypínač V vnějšího nabíjecího obvodu, pak se kondenzátor uvnitř oscilačním obvodu nabije tak, že (schematicky řečeno) na horní desce bude převažovat náboj „+“ a na dolní desce náboj „−“.
64
Obr. 28.1
IV) V této fázi se snažíme aktivizovat studenty, aby si připomněli (nebo domysleli), jaký děj bude probíhat ve vlastním oscilačním obvodu, jestliže pomocí vypínače V odpojíme zdroj Z a je vhodné postupně dospět k následujícím představám. Kondenzátor se přes cívku vybíjí, náboje se pohybují přes cívku na opačnou desku kondenzátoru. Napětí na kondenzátoru klesá k nulové hodnotě, současně proud od nulové hodnoty narůstá k maximu. Maxima dosahuje v okamžiku, když napětí na kondenzátoru má nulovou hodnotu. Poté proud klesá a v důsledku této změny se indukuje napětí, které kondenzátor opět nabíjí na počáteční hodnotu, ale s opačnou polarizací. Toto je představa první poloviny periody, ve druhé polovině proběhne děj obdobný, ale v opačném směru. Některým studentům je bližší představa, že energie elektrického pole kondenzátoru se mění v energii magnetického pole cívky a naopak. Studenty necháme ještě navrhovat, kterou veličinu použijeme při matematickém popisu děje, např. proud. Při následujícím vytváření matematického modelu budeme podle obvyklých zvyklostí ustálené veličiny označovat velkými písmeny a proměnné veličiny malými. Počáteční energie nabitého kondenzátoru je Ee 0
1 2
QU , kde Q je náboj a U napětí
kondenzátoru po nabití. Tato energie bude i v dalších fázích děje celkovou energií CL obvodu. Začne-li se kondenzátor přes cívku vybíjet (cívkou prochází proud), bude okamžitá hodnota energie elektrického pole kondenzátoru Ee energie magnetického pole cívky Em
1 2
1 2
q u
1 q2 2 C
a okamžitá hodnota
L i 2 ; q, u jsou okamžité hodnoty náboje a napětí
kondenzátoru, i je okamžitá hodnota proudu tekoucího obvodem. Pro tento model předpokládáme ideální stav, kdy v obvodu nedochází ke ztrátám. Proto platí
1 q2 1 1 L i 2 QU konst. 2 C 2 2 Po úpravě a derivaci podle času q dq di L i 0 . C dt dt Uvažme, že vzrůstá-li proud, klesá náboj kondenzátoru, je
dq dt
i , proto můžeme po další
úpravě psát
q di L 0. C dt
65
Znovu zderivujeme podle času a postupně upravíme:
1 dq d2 i L 2 0 , C dt dt d 2i 1 i 0 . 2 dt CL
Ještě výhodně, jak se později ukáže, označíme
1 CL
(28.1)
02 a tak (28.1) nabude tvaru
d 2i 02 i 0 . 2 dt
(28.2)
Získali jsme popis děje pomocí dvou podob (28.1) a (28.2) diferenciální rovnice pro průběh proudu v obvodu. Rovnici opět identifikujeme jako homogenní rovnici druhého řádu s konstantními koeficienty bez pravé strany. Dále se budeme věnovat podobě (28.2) rovnice, kterou budeme řešit pomocí metody snižování řádu. Takový postup řešení lze doporučit jen v případu, že se v matematickém semináři sejdou zvláště zvídaví studenti. Zaveďme funkci p p i tak, že
di dt
p . Potom bude
d 2i d d i d p d p d i d p p d t2 d t d t d t di dt di a dosadíme do (28.2): dp p 02 i 0 . dt Separujeme proměnné, integrujeme a odmocníme:
p d p 02 i d i , 1 2 1 1 p 02 i 2 C1 , 2 2 2
p C1 02 i 2 , kde C1 je integrační konstanta a předpokládáme C1 02 i 2 . Znovu příhodně zvolíme tvar integrační konstanty C1 záměnou za konstantu A podle vztahu C1 A2 02 . Získáme
p A202 02i 2 , di 0 A2 i 2 , dt
po separaci proměnných za předpokladu, že A 0 , A i
di
0 d t A2 i 2 a po integraci, označíme-li integrační konstantu , je i arcsin 0 t . A Přejdeme-li k inverzní funkci, máme časový průběh proudu v CL obvodu: i A sin 0 t .
(28.3)
66
Dodatky: a) Vztahem (28.3) je potvrzena formální analogie se vztahem (27.6) úlohy 27. Zcela analogické jsou i veličiny a jejich značení. b) Účelné je však znovu zdůraznit, že vztah (27.6) popisuje, jak se s časem mění poloha (výchylka) tělíska, zatímco vztah (28.3) popisuje, jak se s časem mění proud v obvodu. c) Vztah (28.3) popisuje změny proudu obecně. Pro matematický seminář v rámci gymnaziálního vzdělávání bude přiměřené, když pro zbývající úvahy zvolíme nulovou počáteční fázi, amplitudu proudu můžeme označit Im a bude tedy (28.4) i I m sin 0t Pak můžeme pro porovnání uvést, že průběh napětí je
u U m sin 0 t , 2
(28.5)
tzn., že napětí v oscilačním obvodu předbíhá proud o fázový úhel
2
, jak je znázorněno
na obrázcích 28.2 a 28.3. Obrázky vytvářejí studenti sami na počítačích v programu Derive 6. d) Porovnáním (28.1) a (28.2) obdržíme Thomsonovy vztahy pro úhlovou frekvenci, periodu a frekvenci vlastního kmitání CL obvodu 0 1 , T0 2 CL , f 0 . 1 . 2 CL
CL
e) Ku prospěchu bude, necháme-li seminaristy ověřit, že (28.3) je skutečně řešením rovnice (28.2). Mohou při této příležitosti také znovu určit, co jsou 2 konstanty obecného řešení (28.3).
Obr. 28.2
Obr. 28.3
Úloha 29 (Tlumené mechanické kmitání) Popište tlumené kmity mechanického oscilátoru. Řešení. Nastane-li taková shoda okolností, že účastníci matematického semináře navštěvují i seminář fyzikální, nebo jsou-li matematičtí seminaristé mimořádně zvídaví a důslední, dožadují se řešení ještě i úloh 29 a 30. Určitě si všimnou, že ačkoli je pružinový mechanický oscilátor z úlohy 27 sestaven s co největší pečlivostí, kmitá postupně s menší a menší amplitudou, což ostatně předpokládali. To je živná půda pro společné hledání příčiny, proč k útlumu dochází a jak tuto příčinu při modelování začlenit. V okamžiku, kdy
67
vyplynou ze společného rozboru jako hlavní příčiny odpor prostředí a tření, podpoříme ještě názor, že tlumící síla je úměrná rychlosti Ftl B v a je namířena proti pohybu, B je konstanta úměrnosti. Na kmitající bod tedy působí celková síla, která se skládá z řídící elastické síly Fel k y a síly tlumící Ftl. Platí tedy F Fel Ftl k y B v ,
d2 y dy m 2 k y B dt dt a odtud získáme první podobu diferenciální rovnice pro tlumené oscilace d2 y B d y k y0 d t2 m d t m Použijeme-li zkušeností z úlohy č. 27 a označíme
B m
(29.1)
2 , k 2 , máme druhou podobu m
diferenciální rovnice pro tlumené mechanické oscilace
d2 y dy 2 2 y 0 , (29.2) 2 dt dt je konstantou tlumení a je kruhová frekvence netlumených oscilací. Až budou oba tvary rovnice charakterizovány jako homogenní lineární DR 2. řádu bez pravé strany s konstantními koeficienty, přistoupíme k řešení. Řešení předpokládáme ve tvaru y e x a vyvodíme y e x , y 2e x . Dosazením do rovnice (29.2) získáme její charakteristickou rovnici
2 2 2 0 ,
(29.3)
která poskytuje kořeny 1,2 2 2 a tím i obecné řešení pro rovnici (29.2). V následujícím rozboru přiblížíme dosažené výsledky, když první dvě části rozboru můžeme uvést pro úplnost, třetí část bude jako aplikace zajímavější. Rozbor: a) Je-li a jsou-li C1, C2 konstanty, má obecné řešení tvar y C1 e
2
2 x
C2 e
2
2 x
(29.4)
a popisuje pohyb s velkým tlumením. Jedná se o aperiodický přetlumený pohyb, při kterém oscilující tělísko vůbec nepřejde rovnovážnou polohu. b) Je-li , je také 1 2 dvojnásobný kořen a bude tedy obecným řešením y C1 e x C2 x e x ,
které popisuje aperiodický kriticky tlumený pohyb. c) Případ je pro seminaristy nejzajímavější, protože popisuje pohyb s malým tlumením, kdy 1 , 2 jsou komplexně sdružená čísla
1 i 2 2 , 2 i 2 2 . S odvoláním na předchozí úlohy vyvodíme, že bude výhodné označit 1 2 2 a poté upravit (29.4) na
68
y C1 e i1 t C2 e i1 t .
(29.5)
Užitím Eulerova vztahu přejde předchozí obecné řešení na tvar
y e t C1 cos 1t isin1t C2 cos 1t isin1t . Využijme toho, že také funkce y1 e t cos 1t , y2 e t sin 1t mohou tvořit fundamentální systém rovnice (29.2) v tomto případě, abychom její obecné řešení vyjádřili ve tvaru y e t C1 cos 1t C2 sin1t ,
kde C1 , C2 jsou reálné konstanty. Zde se nabízí ještě nahradit obecně zvolené konstanty konstantami k oscilačním pohybům přiléhavějšími pomocí relací C1 A sin 0 , C2 A cos 0 . Tak vychází nová podoba obecného řešení diferenciální rovnice (29.2), která je matematickým modelem tlumených oscilací mechanického oscilátoru: y Ae t sin 1t 0 .
(29.6)
Obr. 29.1
Na připojeném obrázku (29.1) je graf jednoho řešení, který si opět studenti sami vytvářejí na počítačích v programu Derive 6. d) Z porovnáním (29.6) s (27.6) doplníme, že amplitudy u tlumených oscilací klesají podle exponenciální funkce a oscilace probíhají s kruhovou frekvencí 1 . Protože 1 , je T1 T . e) Uvažujeme-li o amplitudách vždy po jedné periodě (obr. 29.1) A1 : A2 : A3 : A4 : ... 1: e T : e2 T : e3 T : ... , zjišťujeme, že tvoří geometrickou posloupnost. f) Proto poměr každých dvou sousedních maximálních výchylek je stále stejný A1 A2 A3 ... e T b A2 A3 A4 a nazveme ho útlumem b .
g) Logaritmus útlumu je často nazýván logaritmickým dekrementem útlumu: ln b T . Toto znovu zdůrazníme jako ukázku operace, která se používá např. na stupnicích řady chemických přístrojů, třeba spektrofotometru.
69
Úloha 30 (Tlumené elektromagnetické kmity) Matematicky modelujte tlumené oscilace.elektromagnetického CL obvodu. Řešení. Po úvodním motivačním rozhovoru nebývá pochyb, že právě řešená úloha je vlastně pokračováním úlohy 28, že ji přibližuje realitě a že plně využijeme zkušeností z řešení úlohy 29, která je její obdobou. Proto je podstatné předkládat otázky, proč se zmenšuje součet energie elektrického pole kondenzátoru a energie magnetického pole cívky a jak se tento úbytek energie realizuje. V té souvislosti většinou studenti uplatní poznatek, že pohybujícím se nabitým částicím klade CL obvod také strukturální odpor, jehož důsledkem je přeměna v Jouleovo teplo. To jsou pro oscilace ztráty, které se projevují právě jejich útlumem. Dodržíme symboliku z úlohy 28 a formulovanou myšlenku zapíšeme matematickými prostředky. Vzhledem k proměnným veličinám budeme úbytek elektromagnetické energie CL obvodu a její přeměnu v Jouleovo teplo sledovat ve velmi malém časovém úseku d t , abychom mohli psát 1 q2 1 d L i2 R i2 d t . 2 C 2
Odtud vyplyne, že
q dq di L i R i2 , C dt dt
q di i L i R i2 , C dt q di L Ri . C dt Znovu derivujeme podle času a připomeneme, že tak již podruhé činíme proto, abychom model vytvořili pomocí rovnice pro funkci i i t . Bude
1 dq d2 i di L 2 R , C dt dt dt d 2i R d i 1 i 0 d t 2 L d t CL
(30.1)
a očekáváme, že po předchozích zkušenostech určitě bude rovnice (30.1) opět vymezena (paralela s úlohou 28) jako homogenní lineární DR 2. řádu bez pravé strany s konstantními koeficienty. Dohodneme, že ji můžeme považovat za první podobu diferenciální rovnice pro tlumené elektrické oscilace. Tentokrát označíme
R L
2 ,
1 CL
2 , abychom získali konstantu tlumení a kruhovou
frekvenci netlumených oscilací. Tím ještě získáme druhou podobu diferenciální pro tlumené elektrické oscilace: d 2i di 2 2i 0 . 2 dt dt Její řešení, rozbor jednotlivých alternativ i pojmy jsou zcela analogické jako u (29.2), proto zde bude dostačující připomenout případ , kdy je vhodné integrál opět formulovat ve tvaru
rovnice (30.2) rovnice obecný
70
i Ae t sin 1t 0 .
Poznámky: a) U tlumených elektrických oscilací je útlum
R , 2L
(30.3)
proto ho lze ovlivňovat vhodnou
volbou odporu R nebo vhodnou volbou vlastní indukce L. Útlum se zmenší, zmenší-li se odpor R nebo zvětší-li se vlastní indukčnosti L. b) Velmi užitečné je vytvořit podrobnější grafický model časového průběhu proudu v popisovaném tlumeném CL kmitavém obvodu. Taková grafická ilustrace je uvedena na následujících třech obrázcích. Na prvním z nich (obr. 30.1) je graf funkce a t A e t , která vyjadřuje časový průběh modulace amplitudy exponenciální funkcí a funkce a (t ) s obdobnou rolí v záporných hodnotách. Obrázek 30.2 obsahuje současně průběh proudu i (t ) a obrázek 30.3 pak je samostatným grafem časového průběhu proudu i (t ) . Tvorba všech 3 obrázků je opět vhodnou příležitostí využití počítačů v odborné učebně matematiky. Matematičtí seminaristé je tvoří samostatně pomocí programu Derive 6. Výsledky své tvorby si mohou porovnávat s výstupem z centrálního počítače na projekční plátno prostřednictvím datového projektoru. Kvůli autentičnosti jsou i zde uvedené obrázky vytvořeny citovaným programem u vědomí toho, že má i své slabiny (omezené grafické možnosti).
Obr. 30.1
Obr. 30.2
Obr. 30.3
71
7 Shrnutí a závěr Práce pojednává o autorově řešení dvou z určujících faktorů předmětu matematika, které připravil pro státní Gymnázium Jihlava. První faktor má obecnější povahu a jde o patřičně důstojné místo matematiky v systému předmětů s ohledem na zdůvodněný počet vyučovaných hodin. V návaznosti na počet hodin se jedná o strukturu témat v učivu, ve kterém jsou vzděláváni všichni studenti jmenovaného gymnázia. Uvedeny jsou i vývojové souvislosti. Druhým faktorem se zabývá větší část práce a v ní se dále řeší forma, náplň a realizace programu pro ty studenty, kteří se o matematiku více zajímají a rozhodují se i pro její volitelnou seminární formu. Zvláštní pozornost je průřezově věnována zařazení základů matematické analýzy do výuky. Cílem práce je jednak popsat konkrétní realizovaná řešení otázek formulovaných v minulém odstavci. Významněji pak ukázat osvědčený způsob, jak např. pomocí aplikačních úloh z matematické analýzy uspokojit zájem zvídavých studentů po zajímavých a hlubších poznatcích z matematiky. Práce vznikla jako přirozené vyústění autorova tvůrčího postoje k řešení otázek uvedených v předchozích dvou odstavcích a v důsledku poznatků získaných v průběhu dlouholeté praxe. Proto těžiště práce obsahuje autorovy výsledky, zkušenosti a názory na strukturu, roli a zastoupení matematiky v gymnaziálním vzdělávání, hlouběji jsou v něm řešeny otázky zastoupení diferenciálního a integrálního počtu ve struktuře učiva matematiky, speciálně pak jako náplň výběrových seminářů ve vyšších ročnících studia. Obsahuje i zkušenosti, které autor získal při uplatňování a realizaci svých názorů a představ během třicetiletého působení na středních školách gymnaziálního typu. Pro tuto práci bylo a je však rozhodující působení na Gymnáziu Jihlava, které trvá nepřetržitě od roku 1984. Za stěžejní lze považovat období od roku 1992, kdy se autor práce stal předsedou předmětové komise matematiky a měl na koncepci matematiky uvedené školy bezprostřední a rozhodující vliv. Jedním z podstatných úkolů, před které byl postaven, bylo koncipovat náplň volitelných předmětů pro matematiku. Za hlavní takový předmět je považován v posledním ročníku studia seminář z matematiky v časové dispozici tří hodin týdně. Proto jako hlavní problém řešený v této práci byla vybrána náplň a poslání volitelného tříhodinového matematického semináře v posledním ročníku gymnaziálního studia. V jeho rámci se práce zabývá především systematizací učiva z infinitezimálního počtu. Výběr takového tématu se přirozeně nabízel s ohledem na základní vstupní stanovisko, které si autor této práce stanovil, že při studentově matematickém vzdělávání na gymnáziu je potřeba jako hlavní budovat nejen algoritmické kompetence, ale také kompetence v oblasti matematického myšlení a kompetence potřebné pro aplikace matematiky v různých oborech. To všechno souběžně a v patřičných relacích. Učivo týkající se základů matematické analýzy všechny tyto tři aspekty obsahuje, proto se stalo vhodným demonstračním materiálem pro výklad názorů, představ a zkušeností autora. Navíc je zajímavým učivem se širokou škálou aplikací, které jsou zde zapracovány do třiceti ukázkových úloh, obsahujících řešení a metodické poznámky. Některé názory na dané téma a šest úloh bylo autorem publikováno v článku [6] podle přehledu literatury.
72
Uvedených třicet aplikačních úloh z matematické analýzy tvoří poslední část souboru 780 autorem vybraných příkladů a úloh, pomocí kterých probíhá systematizace celého učiva gymnaziální matematiky. Jsou zvoleny tak, aby motivovaly potřebu prokázat algoritmickou zručnost, specifikovat použité myšlenkové posouzení, popř. vymezit aplikace. Rozhodně se vyplatí, zvláště u seminaristů, rozvíjet jejich schopnost přesně umístit jednotlivé poznatky do systému vyučovaných matematických disciplin. Ačkoliv příklady svoji úlohu spolehlivě plní, jsou v jednotlivostech aktualizovány. Jsou používány i v jednom paralelním semináři jiným matematikem, je-li z technických důvodů potřeba seminář zřídit. Uvažuje se i o interním vydání takové sbírky pro seminář. Lze odpovědně konstatovat, že tříhodinový matematický seminář v posledním ročníku jihlavského státního gymnázia konstituovaný podle návrhu autora této práce je stabilizovaný a zdařilý volitelný předmět školy. Takové tvrzení vychází ze zájmu studentů o seminář, z jeho výsledků sledovaných v posledních patnácti školních létech, po které je realizován ve stávající podobě. Každoročně autor práce vedl alespoň jeden takový tříhodinový seminář. Získal tak celou řadu poznatků a zkušeností s touto výukovou formou. Některé již byly zapracovány v předchozích kapitolách a některé hlavní zbývající budou nyní uvedeny v závěru práce. Ačkoliv se jedná o zkušenosti autora práce, jsou většinou kvůli větší dynamice popisovány neosobně. Úspěch semináře s parametry, které jsou v práci popsány, pochopitelně závisí na splnění potřebných předpokladů. Předně je to osobnost matematika, který seminář vede. Požadavky na jeho odbornost jsou rozhodně vyšší, než pro běžné hodiny matematiky. Jeho přehled o matematice by měl přesahovat rámec středoškolského učiva. Mělo by mu být skutečně vlastní, že bude systematizovat učivo s ohledem na potřebnou symbiózu studentových algoritmických kompetencí, s patřičným myšlenkovým nábojem a potřebnou schopnost aplikací. Proto nemůže být každý vyučující matematice takovou prací pověřen. Autorova zkušenost vypovídá, že postupujeme-li i v nižších ročnících s respektem ke všem třem popsaným pilířům matematického vzdělávání doplněných o historické souvislosti, je zájem o seminář přirozenou skutečností. Tak tomu v jeho třídách bývá. Další pozoruhodnou a ne příliš příjemnou zkušeností v této souvislosti je, že přístup k matematice u vyučujících matematiků ovlivňuje druhý předmět aprobační kombinace. Počínaje deskriptivní geometrii, přes fyziku, až po tělesnou výchovu. Jakoby se nepohybovali ve stejných hloubkách matematického myšlení a nekladou úplně stejné priority. Proto již byla zmíněna potřeba, aby přes tyto odlišnosti všichni matematici učili studenty v odpovídající míře také matematicky myslet. Pokud se autorovi podařilo vybudovat tříhodinový seminář, v posledních létech o něj udržet trvalý zájem a seminář každoročně vést, pak je to především proto, že se snažil zcela naplňovat předpoklady, které jsou popsány v předchozích odstavcích. Není na škodu, mohou-li seminaristé neformálně pozorovat, že u vyučujícího má přesvědčení o potřebě matematického vzdělání hlubší rozměr. V těchto souvislostech jsou dále souhrnně zmíněny také hlavní poznatky vzhledem k objektům vzdělávání, tedy ke studentům samotným. Matematický seminář, stejně jako ostatní předměty, je ovlivňován obecně známým jevem, že v průběhu let existuje určitá fluktuace nadání, hloubky zájmu o předmět a výskytu mimořádně nadaných jedinců jednotlivých ročníků. Ačkoliv popisovaný seminář je takto ovlivňován méně než standardní předměty, je potřeba s kolísáním počítat. Již bylo řečeno, že na počátku každého školního roku je s ohledem na tuto skutečnost se studenty
73
dohodnuta definitivní podoba semináře, která může být jen mírnou modifikací popsaného modelu. Konkrétně vyjádřeno, vhodným polem pro modifikaci je právě popisované rozšiřující téma se třiceti aplikačními úlohami. Poslední čtyři z nich jsou pro nejnadanější studenty a není úplně nezbytné, aby je absolvovali všichni a vždy. Naopak je potřeba připomenout opakující se zkušenost, kdy zvídaví seminaristé se někdy dožadují výkladu dalších témat za rámec středoškolské matematiky nejen v semináři, ale např. při projektových dnech ve škole. V práci byla podrobněji popsána systematizace učiva o diferenciálním a integrálním počtu, obdobně by bylo možné vyjádřit zkušenosti se zařazováním dalších témat, o která mají seminaristé zájem, jako např. o řešení rovnic vyšších stupňů, o kuželosečky s osami různoběžnými vzhledem k osám soustavy souřadnic, atd. Vzhledem k rozmanitosti činností studentů v semináři se postupně vyvinula i představa o jejich specifickém hodnocení. Pokud se jedná o systematizaci standardního gymnaziálního učiva, není nutné užívat mimořádných metod a prostředků hodnocení. Jinak je to s rozšiřujícími tématy, tedy také s aplikačními úlohami. Ty jsou většinou řešeny společně celým seminářem za řízení vyučujícího a je potřeba hlavně hodnotit, kromě znalosti základních poznatků, zapojení a podíl jednotlivých studentů na společných výsledcích, včetně podílu na případných počítačových modelech. Některé další výhledy do náročnější matematiky mohou dokonce být pojednány informativním způsobem. Při takovém přístupu může být seminář prospěšný i tím, že přispěje k plynulejšímu přechodu z gymnázia na vysokou školu. Významná, četná a rozsáhlá setkání s absolventy semináře, kteří již studují, popř. dříve studovali na vysokých školách univerzitního a technického typu. Ti přicházejí nejméně dvakrát do roka, aby sdělili, jak si během studia vedou a také jak si vedou ve srovnání s absolventy jiných škol. Tvoří tak pravidelnou a nezastupitelnou zpětnou vazbu s větší vypovídací hodnotou, než kterou má zpětná vazba od přímých frekventantů semináře. Získané názory absolventů jsou pokaždé pečlivě konfrontovány se strukturou semináře. Vždy potěší jejich spokojenost s tím, že uvedený seminář absolvovali. Naplňuje se tím hlavní poslání semináře: kvalitně z matematiky připravit studenty k maturitě, ke studiu na vysokých školách, popř. do odborného života. Všechny nabyté zkušenosti mne utvrzují v přesvědčení, že matematik-učitel, zvláště vede-li seminář, by měl být vždy schopen a připraven uspokojit i náročnější odborný zájem studentů v matematice. Uvedená myšlenka se postupně stala i jedním z mých hlavních motivů pro sepsání této práce.
74
Použitá literatura Trávníček, S..: Matematická analýza I. (http:kag.inf.upol.cz.). Trávníček, S..: K pojmu primitivní funkce na SŠ. MFI r. 7, č. 10. Angot, A.: Užitá matematika pro elektrotechnické inženýry. SNTL, Praha 1960. Backhouse, J. K., Houldsworth, S. P. T.: Pure Mathematics 1, 2. Longman, Harlow 1993. Bečvář, J.: K čemu mi to bude? Sborník ze XIV. semináře o filosofických otázkách matematiky a fyziky. Velké Meziříčí 2010. [6] Beneš, J.: Několik úloh pro výuku infinitezimálního počtu pro gymnázium. MFI r. 19 (2009/2010), č. 5. [7] Berman, G. N.: Zbierka úloh z matematickej anylýzy. ŠNTL, Bratislava 1955. [8] Havránek, T. a kol.: Matematika pro biologické a lékařské vědy. Akademia, Praha 1981. [1] [1] [3] [4] [5]
[9] Hencová, Z.: Matematická analýza v učebnicích pro střední školy (do roku 1933). Sborník ze XIII. semináře o filosofických otázkách matematiky a fyziky. Velké Meziříčí 2010. [10] Hrubý, D.: Výuka diferenciálního a integrálního počtu na gymnáziích 1900 – 2000. Sborník ze XIII. semináře o filosofických otázkách matematiky a fyziky. Velké Meziříčí 2010. [11] Hlaváček, A.: Sbírka řešených příkladů z vyšší matematiky. SPN, Praha 1965 [12] Kaucký, J.: Elementární metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Nakladatelství ČSAV, Praha 1953. [13] Knichal, Vl. a kol.: Matematika II. SNTL, Praha 1966. [14] Kriegelstein, E.: Užití diferenciálního počtu. Rozhledy M-F, r. 40 (1961/62), č. 6. [15] Mikulčák, j.: Nástin dějin vzdělávání v matematice v českých zemích do roku 1918. MATFYZPRESS, Praha 2010. [16] Odvárko, O.: Úlohy z finanční matematiky pro střední školy. Prometheus, Praha 2005. [17] Ponomarev, K. K.: Sostavlenije differencialnych uravněnij. IVŠ, Minsk 1978. [18] Rektorys,K.. a kol.: Přehled užité matematiky I, II. Prometheus, Praha 1995 [19] Sedláček, J. a kol.: Slovník školské matematiky. SPN, Praha 1981. [20] Stará, J., Milota, J.: Diferenciální rovnice pro IV. ročník tříd gymnázií se zaměřením na matematiku. SPN, Praha 1988. [21] Smirnov, V. I.: Kurs vysšej matěmatiki II. GIFML, Moskva 1961. [22] Stěpanov, V. V.: Kurs diferenciálních rovnic. Přírodovědecké nakladatelství JČMF, Praha 1950. [23] Škrášek, J., Tichý, Z.: Základy aplikované matematiky, SNTL, Praha 1986. [24] Znám, Ś.: Pohl´ad do dejín matematiky. ALFA, Bratislava 1986.
75
Přílohy Seznam příloh Příloha I Tematické plány matematiky – Gymnázium Jihlava Příloha II Školní vzdělávací program pro matematiku – Gymnázium Jihlava Příloha III Seminář a cvičení z matematiky pro 3. ročník v ŠVP Příloha IV Matematický seminář pro 4. ročník v ŠVP Příloha V Nabídka semináře a cvičení z matematiky pro studenty Příloha VI Nabídka matematického semináře pro studenty Příloha VII Příklady pro systematizaci diferenciálního a integrálního počtu Příloha VIII Dotazníková tabulka o obtížnosti jednotlivých témat v matematice
Příloha I
TEMATICKÝ PLÁN
MATEMATIKA GYMNÁZIUM JIHLAVA
Zpracoval Jan Beneš, předseda PKM
Příloha I
TEMATICKÝ PLÁN – MATEMATIKA – GYMNÁZIUM JIHLAVA Zpracoval Jan Beneš, předseda PKM
Předmět: Vyučující: Používané učebnice (žáci):
M P
A T E M A T I K A K M
Bušek, Boček, Calda: Základní poznatky z matematiky Boček: Rovnice a nerovnice, Janeček: Výrazy, rovnice, nerovnice, soust.
Šk. rok: 2007/2008 Třída: 1.ROČ.,KVINTA Týdenní dotace: 4 HOD. Celková dotace: 132
Měsíc Témata učiva 9.
10.
11.
12.
1.
2. 3.
4.
5.
6.
HOD.
Pomykalová: Planimetrie, alt. Kaldeček Geometrie v rovině a v prostoru
1.1 Úvod do studia matematiky na gymnáziu Opakování početních rutin ze ZŠ. Výrok, negace výroku, konjunkce a disjunkce výroků, implikace a ekvivalence, pravdivostní hodnoty, tabulky pravdivostních hodnot. Kvantifikátory. Definice. Matematické věty a jejich důkazy. Množina, prvek množiny, podmnožina. Rovnost množin, sjednocení a průnik množin, rozdíl množin.Doplněk. Číselné obory. Operace s čísly přirozenými, celými, racionálními. Iracionální čísla. Pojem reálného čísla, číselná osa. Intervaly. Absolutní hodnota reálného čísla. Mocniny s přirozeným a celým mocnitelem. Zápis čísla ve tvaru pomocí mocnin deseti . Použití kalkulátoru. Odhad a zaokrouhlování výsledků. Pravoúhlý trojúhelník. Pythagorova věta. Goniometrické funkce ostrého úhlu Proměnná, výraz. Mnohočleny a operace s nimi. Úpravy výrazů vytýkáním a podle vzorců (a b)2 , a 2 b2 , (a b)3 , a3 b3 Násobek a dělitel. Největší společný dělitel, nejmenší společný násobek. Lomené algebraické výrazy. Operace s lomenými výrazy. Složený lomený výraz. Vyjádření neznámé ze vzorce. 1.2 Lineární rovnice a nerovnice, kvadratické rovnice a nerovnice, soustavy rovnic a nerovnic Řešení lineárních rovnic a nerovnic s jednou neznámou. Soustavy lineárních nerovnic s jednou neznámou. Lineární rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou. Řešení rovnic a nerovnic v součinovém a podílovém tvaru. Soustavy lineárních rovnic se dvěma a třemi neznámými. Grafické řešení soustavy dvou lineárních rovnic. Slovní úlohy. Řešení kvadratických rovnic. Rozklad kvadratického trojčlenu. Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Řešení rovnic s neznámou v odmocněnci. Řešení lineárních a kvadratických rovnic s parametrem. Soustavy lineárních a kvadratických rovnic. Kvadratické nerovnice, geometrická interpretace. Řešení rovnic a nerovnic s neznámou ve jmenovateli. Slovní úlohy. 1.3 Základy planimetrie - I.část Množinové pojetí geometrických útvarů. Přímka a její části. Vzájemná poloha přímek. Rovina, polorovina. Úhel.Dvojice úhlů. Trojúhelník, rovnoběžník, lichoběžník, čtyřúhelník.Mnohoúhelník. Pravidelný mnohoúh. Shodnost a podobnost trojúhelníků. Euklidovy věty, věta Pythagorova. Kružnice, kruh a jejich části. Středový a obvodový úhel. Obvody a obsahy rovinných útvarů. Množiny bodů dané vlastnosti. Řešení úloh pomocí množin bodů dané vlastnosti. Konstrukce trojúhelníků, čtyřúhelníků. Konstrukce kružnic. Konstrukce pomocí výpočtů.
Časová dotace 50 hodin
47 hodin
35 hodin
Pozn.: V průběhu školního roku bude z časových dispozic věnováno minimálně 6 hodin opakování.
Příloha I
TEMATICKÝ PLÁN – MATEMATIKA – GYMNÁZIUM JIHLAVA Zpracoval Jan Beneš, předseda PKM
Předmět: Vyučující: Používané učebnice (žáci):
Šk. rok: 2007/2008 P K M Třída: 2.ROČ.,SEXTA Pomykalová: Planimetrie, alt. Kadleček: Geometrie v rovině a v prostoru Týdenní dotace: 4 HOD. Odvárko: Funkce, Odvárko: Goniometrie Celková dotace: 132 M A T E M T I K A
Měsíc Témata učiva 9.
10.
11.
12.
1.
2.
3.
4.
5. 6.
HOD.
Pomykalová: Stereometrie
2. 1 Zákly planimetrie - II.část Geometrická zobrazení v rovině. Shodná zobrazení: osová a středová souměrnost, posunutí, otáčení. Podobná zobrazení. Stejnolehlost. Řešení úloh. Stejnolehlost kružnic 2. 2 Funkce Pojem funkce. Definiční obor a obor hodnot funkce. Graf funkce. Lineární funkce. Definice a grafy lineárních funkcí. Lineární funkce. Lineární funkce při řešení rovnic, nerovnic a jejich soustav. Vlastnosti lineárních funkcí. Funkce rostoucí a klesající. Funkce s absolutními hodnotami. Sudá a lichá funkce. Kvadratické funkce. Definice a grafy kvadratických funkcí. Omezená funkce. Maximum a minimum funkce. Grafy kvadratických funkcí při řešení rovnic a nerovnic. Lineární lomené funkce. Definice a grafy. Mocninné funkce. Mocninné funkce s přirozeným a celým exponentem. Mocniny s přirozeným a celým exponentem. Polynomické a racionální funkce. Složená funkce. Inverzní funkce. Odmocniny a počítání s odmocninami. Mocniny s racionálním a iracionálním exponentem Exponenciální a logaritmické funkce. Logaritmus. Věty o logaritmech. Exponenciální a logaritmické rovnice. Goniometrické funkce obecného úhlu. Měření úhlu. Oblouková míra. Orientovaný úhel. Funkce sinus. Funkce kosinus, tangens, kotangens. Definice, grafy a vlastnosti goniometrických funkcí. Periodická funkce. Vztahy pro goniometrické funkce. Grafy složených funkcí typu y a sin(bx c) d . Úpravy goniometrických výrazů. Goniometrické rovnice. Sinová a kosinová věta. Užití. 2. 2 Stereometrie Polohové vlastnosti přímek a rovin v prostoru. Vzájemná poloha dvou přímek, přímky a roviny, dvou a tří rovin. Rovnoběžnost přímek a rovin. Definice, vlastnosti, kritéria. Volné rovnoběžné promítání. Rovinné řezy hranolu a jehlanu. Průnik přímky s tělesem. Metrické vztahy v prostoru. Kolmost přímek a rovin. Definice, vlastnosti, kritéria. Vzdálenosti a odchylky. Objemy a povrchy krychle, kvádru, hranolu. Objemy a povrchy jehlanu, kužele, koule a částí koule. Aplikační úlohy.
Časová dotace 18 hodin
69 hodin
45 hodin
Pozn.: V průběhu školního roku bude z časových dispozic věnováno minimálně 12 hodin opakování.
Příloha I
TEMATICKÝ PLÁN – MATEMATIKA – GYMNÁZIUM JIHLAVA Zpracoval Jan Beneš, předseda PKM
Předmět: Vyučující: Používané učebnice (žáci):
M A T E M A T I K A
P K M Odvárko, Dupač: Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika Kočandrle, Boček: Analytická geometrie
Šk. rok: 2007/2008 Třída: 3.ROČ.,SEPTIMA Týdenní dotace: 3,5 H. Celková dotace: 110 HOD.
Měsíc Témata učiva 9.
10.
11. 12.
1.
2. 3. 4. 5. 6.
Časová dotace
3.1 Kombinatorika Základní kombinatorická pravidla. Variace, permutace, kombinace. Faktoriál, kombinační čísla a jejich vlastnosti. Pascalův trojúhelník. Binomická věta. Variace s opakováním, permutace s opakováním. Kombinace s opakováním. 3.2 Analytická geometrie Vektorová algebra. Orientované úsečky a operace s nimi. Soustavy souřadnic na přímce, v rovině a v prostoru. Vektory, souřadnice vektorů. Velikost vektoru. Operace s vektory: sčítání, násobení vektoru reálným číslem. Skalární součin vektorů, úhel dvou vektorů,kolmost vektorů. Vektorový součin vektorů. Užití. Analytická geometrie lineárních útvarů. Parametrické rovnice přímky, polopřímky a úsečky. Obecná rovnice přímky. Směrnicový tvar rovnice přímky. Vzájemná poloha bodů a přímek. Vzdálenost bodu od přímky. Odchylka dvou přímek. Kolmost přímek. Parametrická rovnice přímky a roviny v prostoru. Obecná rovnice roviny.
23 hodin
63 hodin
Polohové úlohy. Kuželosečky. Definice, základní vlastnosti a konstrukce kružnice, elipsy, paraboly a hyperboly. Rovnice kuželoseček. Rovnice kuželoseček. Kuželosečky a obecná kvadratická rovnice o dvou proměnných. Vzájemná poloha přímky a kuželosečky. Tečna kuželosečky. Vyšetřování množin bodů dané vlastnosti analytickou metodou. 3.3 Pravděpodobnost Náhodné pokusy. Jevy. Pravděpodobnosti jevů. Sčítání pravděpodobností.Nezávislé jevy, nezávislé pokusy. Bernoulliovo schéma.
24 hodin
Pozn.:V průběhu školního roku bude z časových dispozic věnováno minimálně 10 hodin opakování.
Rozšiřující učivo (redukce učiva): Učivo analytické geometrie lze rozšířit o analytické vyjádření kulové plochy a koule.
Plánované doplňkové akce (exkurze, besedy, soutěže)
Příloha I
TEMATICKÝ PLÁN - MATEMATIKA – GYMNÁZIUM JIHLAVA Zpracoval Jan Beneš, předseda PKM
Předmět: Vyučující: Používané učebnice (žáci):
Šk. rok: 2007/2008 P K M Třída: 4.ROČ.,OKTÁVA 4 HOD. Týdenní dotace: Emil Calda: Komplexní čísla, Calda,Dupač: Komb.,pravd., statistika Odvárko: Posloupnosti a řady Celková dotace: 120 M A T E M A T I K A
Měsíc Témata učiva 9.
10.
11.
12.
1.
2. 3.
4.
5.
6.
HOD.
Kubát: Diferenciální a integrální počet
4.1 Komplexní čísla Komplexní číslo jako dvojice reálných čísel. Gaussova rovina. Algebraický tvar komplexních čísel. Operace s komplexními čísly. Goniometrický tvar komplexních čísel. Moivreova věta a její užití. Lineární a kvadratická rovnice v oboru komplexních čísel. Binomické rovnice a jejich řešení. 4.2 Posloupnosti a řady Posloupnost. Posloupnost přirozených čísel. Matematická indukce. Určení posloupnosti vzorcem pro n-tý člen a rekurentně. Posloupnost monotónní, posloupnost omezená. Aritmetická posloupnost, geometrická posloupnost, užití. Limita posloupnosti. Věty o limitách. Posloupnost konvergentní, posloupnost divergentní. Řada. Nekonečná řada. Nekonečná geometrická řada. Součet řady. Součet nekonečné geometrické řady. 4.3 Základy diferenciálního a integrálního počtu Opakování pojmů: funkce, definice funkce, definiční obor funkce. Graf funkce. Vlastnosti funkcí. Limita funkce ve vlastním a nevlastním bodě. Věty o limitách. Spojitost funkce. Derivace funkce, její geometrický a fyzikální význam. Věty o derivacích. Derivace elementárních funkcí. Derivace složené funkce. Souvislost první derivace a průběhu funkce. Druhá derivace funkce. Souvislost druhé derivace a průběhu funkce. Extrémy funkcí. Analýza průběhu funkcí pomocí derivací. Primitivní funkce, neurčitý integrál. Základní integrační vzorce. Určitý integrál. Věta Newton-Leibnizova. Užití určitého integrálu. Výpočet obsahů obrazců a objemů rotačních těles. 4.4 Základy statistiky. Aplikace. Statistický soubor, jednotka, znak. Rozdělení četností a jeho grafické znázornění. Charakteristiky polohy a variability. Aplikace pro různé obory. 4.5 Shrnutí a systematizace poznatků , historické souvislosti
Maturitní zkoušky
Časová dotace 21 hodin
30 hodin
46 hodin
12 hodin 4 hodiny
Příloha II
Charakteristika integrovaného předmětu
MATEMATIKA A MATEMATICKÝ SOFTWARE Časové, obsahové a organizační vymezení ročník hodinová dotace
1. (kvinta) 4
2. (sexta) 4
3. (septima) 4
4. (oktáva) 4
Realizuje obsah vzdělávacího oboru Matematika a její aplikace RVP v časové dispozici 3,785 hodin týdně a podílí se na realizaci obsahu vzdělávacího oboru Informatika v časové dispozici 0,125 hodiny týdně v každém ročníku. Matematika především kultivuje logické myšlení, ale ve vyváženém poměru také paměť. Přispívá k rozvoji abstraktního a analytického myšlení, vede ke srozumitelné a věcné argumentaci. Učí třídit informace, pamatovat si pouze nejpotřebnější a vše ostatní odvozovat. Stejně významným je pěstování geometrické představivosti v rovině i v prostoru. V podílu aplikované informatiky v matematice se pomocí matematického softwaru ve vhodných tématech modelují a řeší matematické problémy pomocí výpočetní techniky. Výuka probíhá ve standardních učebnách a ve dvou odborných učebnách matematiky vybavených výpočetní technikou. Výuka běžně probíhá s celou třídou, alespoň v jedné hodině týdně se třída dělí na skupiny. Těžiště výuky spočívá v aktivním osvojování přiměřené strategie řešení úloh a problémů, pěstování schopnosti odborné aplikace, včetně použití v běžném životě. Během studia si žáci uvědomují, že matematika nachází uplatnění ve všech oborech lidské činnosti, nejvíce však v informatice, fyzice, chemii, technice a ekonomii. Současně poznávají výhody přímé aplikace informatických prostředků při řešení úloh. V hodinách matematiky se při výuce průběžně naplňují okruhy průřezových témat. Nejčastěji:
Osobnostní a sociální výchova - zejména výchova k sebekontrole, cvičení pozornosti, soustředění a dovednosti řešení problému; rozvoj individuálních a sociálních dovedností pro etické zvládnutí situací soutěže; zvládání učebních problémů.
Výchova k myšlení v evropských a globálních souvislostech - historické kořeny matematiky, univerzální role matematiky, mezinárodní spolupráce matematiků, mezinárodní matematické soutěže.
Mediální výchova – kritické hodnocení mediálních produktů matematickými prostředky. Výchovné a vzdělávací strategie
Kompetence k řešení problémů, kompetence k učení Učitel klade důraz na induktivní a deduktivní postupy, na aplikace, učí žáky propojovat mechanicky zvládnuté postupy s intuitivním objevováním nových cest a s odvozováním i zdůvodňováním nových vlastností. Předkládá matematické úlohy a jejich vzorová řešení. Žák analyzuje matematické úlohy, využívá induktivní a deduktivní postupy i osvojené algoritmy k objevování různých variant řešení matematických úloh.
Příloha II
Kompetence komunikativní. Učitel vede žáky k rozborům, hledání možností, prezentacím vlastního postupu a výsledku práce. Žák rozebírá problémy, hledá různé možnosti, prezentuje vlastní postup i výsledek práce.
Kompetence sociální a personální Učitel organizuje práci ve skupinách. Žák pracuje ve skupině (týmu), poznává výhody práce ve skupině.
Kompetence k učení, kompetence k řešení problémů Učitel uplatňuje mezipředmětové vztahy a upozorňuje na odborné i společenské aplikace učiva, využití výpočetní techniky. Žák poznává použití matematiky v jiných předmětech (oborech) a další aplikace. Při řešení vhodných problémů používá výpočetní techniku.
Kompetence komunikativní, kompetence sociální a personální Učitel klade důraz na logickou i jazykovou správnost formulací. Dále klade důraz na logickou strukturu a posloupnost argumentací, jak v ústním, tak v písemném projevu. Učitel zdůrazňuje respekt k práci druhého. Žák používá v ústním i písemném projevu logicky i jazykově správné formulace. Respektuje práci druhého.
Kompetence k řešení problémů, kompetence komunikativní Podpora matematických soutěží: Matematické olympiády a korespondenční semináře.
Příloha II
ŠVP Gymnázium Jihlava, Jana Masaryka 1 Učební osnovy předmětu MATEMATIKA
ročník očekávané výstupy 1. žák: kvinta rozezná, kdy je věta výrok a určí pravdivostní hodnotu výroku; provádí správně negaci výroku pracuje správně se složenými a kvantifikovanými výroky; neguje složené výroky a výroky s kvantifikátory rozliší definici a větu; rozumí logické stavbě matematické věty správně zapisuje a určuje množinu; správně užívá množinovou symboliku provádí správně operace s množinami; množiny využívá při řešení úloh vysvětlí vztahy mezi číselnými obory N, Z, Q, R řeší slovní úlohy na nejmenší společný násobek a největšího společného dělitele; provádí důkazy jednoduchých vět o dělitelnosti operuje s intervaly; aplikuje geometrický význam absolutní hodnoty provádí operace s mocninami; efektivně upravuje číselné výrazy pracuje s daty; odhaduje výsledky numerických výpočtů a efektivně je provádí, účelně využívá kalkulátor; efektivně užívá Pythagorovu větu; efektivně řeší praktické úlohy užitím goniometrických funkcí ostrého úhlu; rozkládá mnohočleny na součin vytýkáním a užitím vzorců; upravuje efektivně výrazy s proměnnými; určuje definiční obor výrazu; správně pracuje se složenými lomenými výrazy; vyjadřuje neznámou ze vzorce;
téma a učivo
průřezová témata a mezipředmětové vztahy
Goniometrické funkce ostrého úhlu.
F
realizace, hodnocení realizace: 1.1 Úvod do studia matematiky na gymnáziu MV - propagace MO frontální výuka, skupinová práce, samostatná práce Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku ve škole a doma, OSV - Sociální komunikace: Logické spojky, operace s výroky, složené výroky. řešení problémových úloh, srozumitelnost, jasnost, přesnost řešení aplikačních úloh, Tabulky pravdivostních hodnot. Kvantifikátory, sdělení; kvantifikované výroky. práce s výpočetní rozvoj komunikace (matematické technikou; Definice. Matematické věty a jejich důkazy. symboly a vyjadřování); hodnocení: Množina, prvek množiny, podmnožina. přesvědčování a argumentace; součinnost žáka Rovnost množin, sjednocení a průnik množin, ve vyučovací hodině, rozdíl množin. Doplněk. úroveň ústního projevu, Číselné obory. Operace s čísly přirozenými, celými, D - historie matematiky: úroveň písemného projevu, racionálními. Iracionální čísla. číselné soustavy výsledky dílčích písemných ověřování očekávaných Násobek a dělitel. Největší společný dělitel, nejmenší výstupů, společný násobek. minimálně 4 tématické Pojem reálného čísla, číselná osa. Intervaly. písemné práce, Absolutní hodnota reálného čísla. 4 kompoziční písemné Mocniny s přirozeným a celým mocnitelem. Zápis práce + rozbory čísla pomocí mocnin deseti. Použití kalkulátoru. Odhad a zaokrouhlování OSV - Sociální komunikace: výsledků. kooperace ve skupině Pravoúhlý trojúhelník. Pythagorova věta.
Proměnná, výraz. Mnohočleny, lomené výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami. Složený lomený výraz. Vyjádření neznámé ze vzorce. 1.2 Lineární, kvadratické rovnice a nerovnice, soustavy rovnic a nerovnic
F, OH
Příloha II řeší lineární a kvadratické rovnice, nerovnice a jejich soustavy; v jednodušších případech diskutuje řešitelnost nebo počet řešení;
Lineární rovnice a nerovnice s jednou neznámou. Soustavy lineárních nerovnic s jednou neznámou. Soustavy lineárních rovnic se dvěma a třemi neznámými.
řeší rovnice a nerovnice v součinovém a podílovém tvaru; řeší kvadratické rovnice pomocí diskriminantu nebo rozkladem, rozlišuje jednotlivé tvary kvadratických rovnic, doplňuje na čtverec;
Rovnice a nerovnice v součinovém a podílovém tvaru. Kvadratická rovnice a kvadratická nerovnice. trojčlenu, doplnění na čtverec),
analyzuje a řeší problémy, v nichž aplikuje řešení lineárních, kvadratických rovnic a jejich soustav
F, OH OSV - Osobnostní rozvoj: cvičení v řešení problémů; Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou. Soustavy seberegulace,sebeorganizace: kontrola vlastní práce, její časové lineárních a kvadratických rovnic. Lineární a rozvržení kvadratická rovnice s parametrem.
geometricky interpretuje číselné, algebraické a funkční vztahy; graficky znázorňuje řešení rovnic, nerovnic a jejich soustav
Geometrick8 interpretace.
rozlišuje a používá ekvivalentní a neekvivalentní úpravy, zdůvodní, kdy je zkouška nutnou součástí řešení;
Rovnice s neznámou v odmocněnci. 1.3 Základy planimetrie - I.část
správně používá geometrické pojmy; zdůvodňuje a využívá vlastnosti geometrických útvarů v rovině, na základě vlastností třídí útvary; využívá náčrt při řešení rovinného problému; řeší úlohy pomocí shodnosti a podobnosti trojúhelníků, Euklidových vět a Pythagorovy věty; řeší úlohy na obvody a obsahy řeší polohové a nepolohové konstrukční úlohy užitím množin všech bodů dané vlastnosti; konstruuje úsečky s délkou určenou výrazem; řeší planimetrické problémy motivované praxí; 2. žák: sexta řeší polohové a nepolohové konstrukční úlohy;
ICT
Množinové pojetí geometrických útvarů. Přímka a její části. Vzájemná poloha přímek. Rovina, polorovina. Úhel. Dvojice úhlů. Trojúhelník, rovnoběžník, lichoběžník, čtyřúhelník. Mnohoúhelník. Pravidelný mnohoúhelník. Shodnost a podobnost trojúhelníků. Euklidovy věty, věta Pythagorova. Kružnice, kruh a jejich části. VEGS - historie matematiky Středový a obvodový úhel. Obvody a obsahy rovinných útvarů. Množiny bodů dané vlastnosti. Řešení úloh pomocí množin bodů dané vlastnosti. Konstrukce pomocí výpočtů. Konstrukce trojúhelníků, čtyřúhelníků. Konstrukce VV - Estetická výchova kružnic. 2. 1 Základy planimetrie - II.část Geometrická zobrazení v rovině. Shodná zobrazení:
zobrazí v jednotlivých zobrazeních známé rovinné útvary; Osová a středová souměrnost, posunutí, otáčení. užitím množin bodů dané vlastnosti, pomocí shodných zobrazení Podobná zobrazení. Stejnolehlost. a pomocí konstrukce na základě výpočtu řeší planimetrické Stejnolehlost kružnic. problémy motivované praxí;
MV - propagace MO
Příloha II využívá výpočetní techniku pro řešení vybraných planimetrických úloh; modeluje příklady různých zobrazení na počítači; určuje a rozlišuje definiční obor funkcí; načrtne grafy lineárních funkcí, určí její vlastnosti; rozlišuje funkci rostoucí a klesající; graficky řeší lineární rovnice, nerovnice a jejich soustavy; určí kvadratickou funkci, načrtne její graf a určí její vlastnosti; používá grafy kvadratických funkcí při řešení rovnic a nerovnic.
ICT 2. 2 Funkce
F
Pojem funkce. Definiční obor a obor hodnot funkce. Graf funkce. Lineární funkce. Definice a grafy lineárních funkcí. Vlastnosti lineárních funkcí. Funkce rostoucí a klesající. Kvadratické funkce. Definice a grafy kvadratických funkcí. Vlastnosti kvadratických funkcí.
OSV - Sociální komunikace: srozumitelnost, jasnost, přesnost sdělení; rozvoj komunikace (matematické symboly a vyjadřování); přesvědčování a argumentace;
určí lineární lomenou funkci, načrtne její graf a určí její vlastnosti; Lineární lomené funkce. Definice a grafy. kreslí grafy funkcí s absolutními hodnotami; formuluje a zdůvodňuje, zda je funkce sudá, nebo lichá, zda je omezená, a zda má maximum nebo minimum; využívá poznatky o funkcích při řešení rovnic a nerovnic; modeluje grafy funkcí na počítači; definuje mocninnou funkci, určuje její vlastnosti; řeší příklady pomocí vět pro počítání s mocninami;
Funkce s absolutními hodnotami. Sudá a lichá funkce. Omezená funkce. Maximum a minimum funkce. Omezená funkce. ICT Mocninné funkce. Mocninné funkce s přirozeným a celým exponentem. Mocniny s přirozeným a celým exponentem.
rozlišuje základní vlastnosti polynomických a racionálních funkcí; Polynomické a racionální funkce. chápe význam složené funkce a vytvoření funkce inverzní; určuje odmocninnou funkci a její vlastnosti;
Složená funkce. Inverzní funkce. Odmocninné funkce.
upravuje výrazy s odmocninami; upravuje výrazy s odmocninami a mocninami s racionálními exponenty; aplikuje vztahy mezi hodnotami exponenciálních a logaritmických funkcí; efektivně využívá grafů při řešení rovnic; diskutuje řešitelnost rovnic a nerovnic;
Odmocniny a věty pro počítání s odmocninami.
rozlišuje stupňovou a obloukovou míru úhlu, převádí míry;
Mocniny s racionálním a iracionálním exponentem Exponenciální a logaritmické funkce. Logaritmus.
F
Věty o logaritmech. Exponenciální a logaritmické rovnice. Goniometrické funkce obecného úhlu. Měření úhlu. Oblouková míra. Orientovaný úhel.
realizace:
Příloha II určí vlastnosti goniometrických funkcí obecného úhlu, načrtne jejich grafy;
Definice, grafy a vlastnosti funkcí sinus, kosinus, tangens, kotangens obecného úhlu. Funkce periodická.
určí podmínky existence výrazů s goniometrickými funkcemi Vztahy pro goniometrické funkce. a upravuje je; určuje vlastnosti složených goniometrických funkcí a vytváří jejich Grafy složených funkcí typu y=a sin(bx+c ). grafy; řeší goniometrické rovnice pomocí vlastností a vztahů Goniometrické rovnice. pro goniometrické funkce, užívá grafů a jednotkové kružnice;
F
aplikuje trigonometrické věty k řešení trojúhelníků; pomocí trigonometrie řeší úlohy z reálného života;
F
používá geometrické pojmy, zdůvodňuje a využívá vlastnosti geometrických útvarů v prostoru, na základě vlastností třídí útvary; podle definic a kritérií rozhoduje o rovnoběžnosti přímek a rovin; zobrazí základní tělesa ve volné rovnoběžné projekci ; využívá náčrt při řešení prostorového problému; sestrojí rovinný řez hranolu, jehlanu nebo jejich průnik s přímkou; určuje vzájemnou polohu útvarů, vzdálenosti a odchylky;
řeší aplikační úlohy a stereometrické problémy motivované praxí; 3. žák: septima řeší reálné problémy a vymezuje, zda obsahují kombinatorickou tématiku; vytváří model pomocí kombinatorických operací a problém řeší; používá a upravuje výrazy s faktoriály a kombinačními čísly; rozlišuje a využívá vlastnosti Pascalova trojúhelníku; stanovuje n-tou mocninu dvojčlenu; řeší kombinatorické úlohy s opakováním;
Sinová a kosinová věta. Užití. 2. 3 Stereometrie Polohové vlastnosti přímek a rovin v prostoru. Vzájemná poloha dvou přímek, přímky a roviny, dvou a tří rovin. Rovnoběžnost přímek a rovin. Definice, vlastnosti, kritéria. Volné rovnoběžné promítání.
VEGS: historie matematiky, významní matematici
VV, DG
Rovinné řezy hranolu a jehlanu. Průnik přímky s tělesem. Metrické vztahy v prostoru. Kolmost přímek a rovin. Definice, vlastnosti, kritéria. Vzdálenosti a odchylky. Objemy a povrchy krychle, kvádru, hranolu. Objemy a povrchy jehlanu, kužele, koule a částí koule. 3.1 Kombinatorika Základní kombinatorická pravidla, elementární kombinatorické úlohy. Variace, permutace, kombinace. Faktoriál, kombinační čísla a jejich vlastnosti. Pascalův trojúhelník. Binomická věta. Variace, permutace, kombinace s opakováním.
realizace: frontální výuka, skupinová práce, samostatná práce ve škole a doma, řešení problémových úloh, řešení aplikačních úloh, práce s výpočetní technikou; hodnocení: součinnost žáka ve vyučovací hodině, úroveň ústního projevu, úroveň písemného projevu, výsledky dílčích písemných ověřování očekávaných výstupů, minimálně 4 tématické písemné práce, 4 kompoziční písemné práce + rozbory
MV - propagace MO MV - účinky mediální produkce
3.2 Analytická geometrie
realizace: frontální výuka,
Příloha II Vektorová algebra. Orientované úsečky a operace s nimi. Soustavy souřadnic na přímce, v rovině a v prostoru. Vektory, souřadnice vektorů. Velikost vektoru Operace s vektory. Skalární součin vektorů. Vektorový součin vektorů. Analytická geometrie lineárních útvarů. Parametrické rovnice přímky, polopřímky vyjadřuje přímku v různých tvarech, převádí do jiného tvaru, řeší a úsečky. Obecná rovnice přímky. úlohy; Směrnicový tvar rovnice přímky. určuje vzájemnou polohu bodů a přímek analyticky, řeší polohové Vzájemná poloha bodů a přímek. úlohy; analyticky řeší úlohy na vzdálenost bodu od přímky, Vzdálenost bodu od přímky. vzdálenost rovnoběžných přímek a odchylky přímek; Odchylka přímek. řeší analyticky polohové a metrické úlohy o lineárních Parametrické rovnice přímky a roviny v prostoru. útvarech v prostoru; Obecná rovnice roviny. Kuželosečky. definuje a rozlišuje kuželosečky podle základních vlastností; Kružnice, elipsa, parabola a hyperbola. analyticky vyjadřuje kuželosečky pomocí rovnic a porovnává je Rovnice kuželoseček. s obecnou kvadratickou rovnicí o dvou proměnných; určuje analyticky vzájemnou polohu přímky a kuželosečky, určuje Vzájemná poloha přímky a kuželosečky. analyticky tečnu kuželosečky; vyjadřuje analyticky množiny bodů dané vlastnosti; Množiny bodů dané vlastnosti analyticky.
F
definuje orientované úsečky a operuje s nimi; zavádí soustavy souřadnic na přímce, v rovině a v prostoru, vyjadřuje vzdálenost 2 bodů a velikost úsečky; definuje vektor, určuje vektor a jeho velikost pomocí souřadnic; sčítá a násobí vektor reálným číslem; skalárně násobí vektory, určuje úhel dvou vektorů, kolmost; vektorově násobí vektory a řeší úlohy;
DG, F OSV - Spolupráce a soutěž: skupinová práce, obhajoba výsledků
3.3 Základy diferenciálního počtu definuje funkci, určuje definiční obor, rozlišuje funkce podle základních vlastností, kreslí grafy základních funkcí;
Pojem funkce.
určuje limity funkcí ve vlastním a nevlastním bodu podle vět o limitách;
Limita funkce ve vlastním a nevlastním bodu.
určuje intervaly spojitosti funkcí;
Spojitost funkce.
definuje derivaci funkce, charakterizuje její základní geometrický a fyzikální význam, derivuje funkce, určuje tečnu grafu funkce;
Derivace funkce.
pomocí první derivace určuje růst, pokles a extrémy funkcí užívá druhé derivace pro určení tvaru grafu funkce; provádí celkovou analýzu funkce;
Souvislost první derivace a průběhu funkce. Souvislost druhé derivace a průběhu funkce. Analýza funkcí.
OSV - Sociální komunikace: rozvoj komunikace (matematické symboly a vyjadřování)
ICT
realizace: frontální výuka, skupinová práce, samostatná práce ve škole a doma, řešení problémových úloh, řešení aplikačních úloh, práce s výpočetní technikou; hodnocení: součinnost žáka ve vyučovací hodině, úroveň ústního projevu, úroveň písemného projevu, výsledky dílčích písemných ověřování očekávaných výstupů, minimálně 4 tématické písemné práce, 4 kompoziční písemné práce + rozbory
Příloha II 4. žák: oktáva vymezuje pojmy primitivní funkce a neurčitý integrál; řeší jednoduché integrály pomocí základních vět o integrálech a pomocí základních integračních vzorců, aplikuje základní integrační metody; vysvětluje princip zavedení určitého integrálu; aplikuje větu Newton-Leibnizovu při výpočtu jednoduchých určitých integrálů; užívá určitého integrálu při výpočtu obsahů rovinných obrazců a objemů rotačních těles;
MV - propagace MO
4.1 Základy integrálního počtu Primitivní funkce, neurčitý integrál. Základní integrační vzorce. Základní integrační metody.
VEGS - historie matematiky, významní matematici
Určitý integrál.
ICT
Věta Newton-Leibnizova.
OSV - rozvoj komunikace (matematické symboly a vyjadřování)
Užití určitého integrálu. 4.2 Komplexní čísla
rozezná reálnou a imaginární část komplexního čísla; zobrazuje komplexní čísla v Gaussově rovině; vyjadřuje komplexní čísla v algebraickém tvaru; provádí početní operace s komplexními čísly;
Komplexní číslo jako dvojice reálných čísel. Gaussova rovina. Algebraický tvar komplexních čísel. Operace s komplexními čísly.
OSV - rozvoj komunikace (matematické symboly a vyjadřování)
vyjadřuje a operuje s komplexními čísly v goniometrick0m tvaru; Goniometrický tvar komplexních čísel. převádí tvary komplexních čísel; řeší lineární a kvadratické rovnice v oboru komplexních čísel;
Lineární a kvadratická rovnice v oboru komplexních čísel.
užívá Moivreovy věty pro umocňování komplexních čísel
Moivreova věta.
řeší binomické rovnice, určuje odmocninu komplexních čísel a znázorňuje ji v Gaussově rovině.
Binomické rovnice.
vymezuje jev a definuje jeho pravděpodobnost; určuje pravděpodobnost sjednocení jevů; rozezná nezávislé jevy a nezávislé pokusy; využívá kombinatoriky a Bernoulliova schématu při výpočtu pravděpodobnosti; vymezuje pojem posloupnost; používá matematickou indukci pro důkaz vybraných tvrzení; určuje posloupnost n-tým členem a rekurentně;
4.3 Pravděpodobnost Náhodné pokusy. Jevy. Pravděpodobnosti jevů. Sčítání pravděpodobností.
MV - účinky mediální produkce OSV - Sociální komunikace
Nezávislé jevy, nezávislé pokusy. Bernoulliovo schéma. 4.4 Posloupnosti a řady Posloupnost. Posloupnost přirozených čísel. Matematická indukce. Určení posloupnosti vzorcem pro n-tý člen rekurentně.
a realizace: frontální výuka, skupinová práce, samostatná práce ve škole a doma, řešení problémových úloh,
Příloha II rozlišuje posloupnost monotónní, posloupnost omezenou; řeší příklady na aritmetickou a geometrickou posloupnost; určuje limity posloupností;
Vlastnosti posloupnosti. Aritmetická posloupnost, geometrická posloupnost. Limita posloupnosti. Věty o limitách.
rozlišuje posloupnost konvergentní a posloupnost divergentní;
Posloupnost konvergentní, posloupnost divergentní.
určuje nekonečnou řadu a nekonečnou geometrickou řadu;
Nekonečná řada. Nekonečná geometrická řada.
řeší úlohy na součet nekonečné geometrické řady;
Součet řady. Součet nekonečné geometrické řady. 4.5 Základy finanční matematiky
aplikuje aritmetické posloupnosti na jednoduché úročení; aplikuje geometrické posloupnosti na složené úročení; řeší matematické úlohy na úvěry a leasing, na spoření; charakterizuje jednotlivé pojmy; využívá diagramy pro grafické znázornění rozdělení četností; hodnotí statistické soubory charakteristikami polohy a variability; vybírá statistické soubory z oboru svého budoucího studia a hodnotí je;
Základní pojmy finanční matematiky Jednoduché úročení a aritmetická posloupnost. Složené úročení a geometrická posloupnost. Matematika v hlavních finančních produktech. 4.6 Základy statistiky Statistický soubor, jednotka, znak. Rozdělení četností a jeho grafické znázornění. Charakteristiky polohy a variability souboru. Aplikace pro různé obory.
ICT
práce s daty; plné využití ICT; kooperace s informatikou MV - Mediální produkty a jejich významy, vztah ke skutečnosti
realizace: frontální výuka, skupinová práce, samostatná práce ve škole a doma, řešení problémových úloh, řešení aplikačních úloh, práce s výpočetní technikou; hodnocení: součinnost žáka ve vyučovací hodině, úroveň ústního projevu, úroveň písemného projevu, výsledky dílčích písemných ověřování očekávaných výstupů, minimálně 4 tématické písemné práce, 4 kompoziční písemné práce + rozbory
Příloha III Charakteristika předmětu
SEMINÁŘ A CVIČENÍ Z MATEMATIKY Časové, obsahové a organizační vymezení ročník hodinová dotace
3. (septima) 2
Seminář a cvičení z matematiky doplňuje obsah vzdělávacího oboru Matematika a její aplikace RVP v časové dispozici 2 hodiny týdně ve třetím ročníku (septimě). Obsah SCM je koncipován pro žáky, kteří již v průběhu 2. ročníku o sobě vědí, že inklinují k matematice nebo budou studovat obory s hlubším podkladem z matematické logiky a obecné matematiky. Definitivní program pro seminář a cvičení z matematiky je určen na počátku každého školního roku podle skladby zájemců z řad žáků a po rozboru s nimi. Na jejich potřeby seminář pružně reaguje. Hlavní úkoly semináře: Prohloubení učiva z matematiky. Průběžné procvičování látky ze základní matematiky. Informace o trendech současné matematiky. Pro soutěžící v Matematické olympiádě výklad matematických poznatků potřebných pro tuto soutěž. Práce s matematickými programy na počítačích. Samozřejmostí je diferencovaný přístup ke studentům v semináři. Výuka převážně probíhá v odborné učebně matematiky vybavené výpočetní technikou.
Matematický seminář přispívá k naplnění okruhů průřezových témat: Osobnostní a sociální výchova - zejména výchova k sebekontrole, cvičení pozornosti, soustředění a dovednosti řešení problému; rozvoj individuálních a sociálních dovedností pro etické zvládnutí situací soutěže; zvládání učebních problémů. Výchova k myšlení v evropských a globálních souvislostech - historické kořeny matematiky, univerzální role matematiky, mezinárodní spolupráce matematiků, mezinárodní matematické soutěže. Výchovné a vzdělávací strategie
Kompetence k učení, kompetence k řešení problémů Učitel se žáky procvičuje a prohlubuje matematické učivo, uplatňuje mezipředmětové vztahy a upozorňuje na odborné i společenské aplikace učiva. Předkládá standardní i nestandardní řešení matematických úloh, vhodně využívá výpočetní techniku. Žák procvičuje matematické učivo, určuje souvislosti matematiky s jinými obory, především s oborem, o který se zajímá. Analyzuje matematické úlohy, volí optimální postupy k jejich řešení. Při řešení vhodných problémů používá výpočetní techniku.
Kompetence komunikativní.
Učitel připravuje žáky k prezentacím vlastních postupů a výsledků řešení úloh. Žák při seminárních výstupech prezentuje vlastní postup a výsledky řešení úloh.
Příloha III ŠVP Gymnázium Jihlava, Jana Masaryka 1 Učební osnovy předmětu SEMINÁŘ A CVIČENÍ Z MATEMATIKY
ročník očekávané výstupy 3..ročník septima
téma a učivo SCM1 Logika, důkazy Cvičení z logiky. Důkazy, typy důkazů, důkazové úlohy. SCM2 Procvičování a prohloubení učiva o algebraických rovnicích Řešení soustav lineárních rovnic. Matice a determinanty, užití. Alternativně rovnice vyšších stupňů, diofantické rovnice, reciproké rovnice. SM3 Úvod do lineárního programování - alternativní téma žák: formuluje pojmy a ověřuje tvrzení Lineární optimalizační úlohy. SCM4 Procvičování a prohloubení učiva ze syntetické planimetrie v rámci matematické logiky Řešení úloh pomocí shodných a podobných zobrazení. v souladu s množinovými Řešení úloh pomocí stejnolehlosti. operacemi; Alternativně kruhová inverze - vlastnosti, příklady použití. řeší úlohy standardními SCM5 Procvičování a prohloubení učiva o funkcích i nestandardními postupy; Kvadratické funkce, kvadratické funkce s absolutní hodnotou. procvičovaná témata Exponenciální a logaritmické funkce a rovnice. diferencovaně porovnává Goniometrie a trigonometrie. s potřebami svého zaměření; SCM6 Stereometrické aplikační úlohy - alternativní téma Úlohy na objemy a povrchy těles. SCM7 Procvičování a prohloubení analytické geometrie - alternativní téma Analytická geometrie lineárních útvarů. Analytická geometrie kuželoseček. Kuželosečky a přímky. Množiny bodů řešené analytickou metodou. SCM8 Vybrané úlohy z matematických olympiád - alternativní téma
průřezová témata a mezipředmětové vztahy
průřezová témata: MV - propagace MO OSV - Sociální komunikace: srozumitelnost, jasnost, přesnost sdělení; rozvoj komunikace (matematické symboly a vyjadřování); argumentace; osobnostní rozvoj: cvičení v řešení problémů; seberegulace, sebeorganizace:kontrola vlastní práce, její časové rozvržení; mezipředmětové vztahy: ICT, F, CH, technické obory, ekonomie;
realizace, hodnocení
realizace: frontální prohoubení a procvičování učiva; samostatná práce ve škole a doma, řízené seminární výstupy žáků s řešeními aplikačních a problémových úloh, práce s výpočetní technikou; hodnocení: součinnost žáka v semináři, úroveň ústního projevu, úroveň písemného projevu, úroveň seminárních výstupů žáků; minimálně 4 tématických písemné práce+rozbory;
Příloha IV Charakteristika předmětu
MATEMATICKÝ SEMINÁŘ Časové, obsahové a organizační vymezení ročník hodinová dotace
4. (oktáva) 3
Doplňuje obsah vzdělávacího oboru Matematika a její aplikace RVP v časové dispozici 3 hodiny týdně ve čtvrtém ročníku (oktávě). Obsah MS je koncipován pro žáky, kteří se chtějí matematice hlouběji věnovat nebo chtějí z matematiky maturovat nebo ji potřebují pro přípravu na VŠ. Závěrečnou podobu nabude obsah učiva semináře až v prvních hodinách na začátku každého školního roku, kdy je známa struktura účastníků semináře a kdy je s nimi projednán. Pružně reaguje na jejich potřeby. Hlavní úkoly semináře: Shrnutí a systematizace gymnaziálního učiva z matematiky. Příprava studentů k maturitě z matematiky a ke studiu na VŠ. Prohloubení významných témat z matematiky. Informace o moderních směrech v matematice. Pro soutěžící v Matematické olympiádě výklad matematických poznatků potřebných pro tuto soutěž. Práce s matematickými programy na počítačích. Samozřejmostí je diferencovaný přístup ke studentům v semináři. Prvními dvěma z uvedených úkolů se zabývají všichni matematičtí seminaristé, na zbývajících úkolech se pracuje podle zájmu. . Výuka převážně probíhá ve dvou odborných učebnách matematiky vybavených výpočetní technikou.
Matematický seminář přispívá k naplnění okruhů průřezových témat: Osobnostní a sociální výchova - zejména výchova k sebekontrole, cvičení pozornosti, soustředění a dovednosti řešení problému; rozvoj individuálních a sociálních dovedností pro etické zvládnutí situací soutěže; zvládání učebních problémů. Výchova k myšlení v evropských a globálních souvislostech - historické kořeny matematiky, univerzální role matematiky, mezinárodní spolupráce matematiků, mezinárodní matematické soutěže. Výchovné a vzdělávací strategie
Kompetence k učení, kompetence k řešení problémů Učitel shrnuje a systematizuje matematické učivo, uplatňuje mezipředmětové vztahy a upozorňuje na odborné i společenské aplikace učiva. Předkládá standardní i nestandardní řešení matematických úloh, vhodně využívá výpočetní techniku. Žák zařazuje poznatky z matematiky do systému, určuje souvislosti matematiky s jinými obory, především s oborem, který se chystá studovat na VŠ. Analyzuje matematické úlohy,
Příloha IV volí optimální postupy k jejich řešení. Při řešení vhodných problémů používá výpočetní techniku. Kompetence komunikativní. Učitel připravuje žáky k prezentacím vlastních postupů a výsledků řešení úloh. Žák při seminárních výstupech prezentuje vlastní postup a výsledky řešení úloh.
Příloha IV
ŠVP Gymnázium Jihlava, Jana Masaryka 1 Učební osnovy předmětu MATEMATICKÝ SEMINÁŘ
ročník očekávané výstupy 4. roč., oktáva
téma a učivo MS1 Systematizace základů matematické logiky Struktura matematického vyjadřování. Výroky, složené výroky. Definice, věty, důkazy, typy důkazů. Aplikace v úlohách. MS2 Systematizace základů množinového počtu Množiny a množinové operace. Paralela s logickými operacemi. MS3 Systematizace algebraických témat Algebraické a grafické řešení lineárních a kvadratických rovnic a nerovnic, parametr. Řešení soustav rovnic. Řešení pomocí determinantů nebo matic. MS4 Systematizace syntetické planimetrie Množiny bodů dané vlastnosti pro konstrukci trojúhelníků a čtyřúhelníků. žák: systematicky třídí matematické pojmy Shodná zobrazení, podobná zobrazení a stejnolehlost v příkladech. MS5 Systematizace poznatků o funkcích do jednotlivých témat; Vlastnosti funkcí. Funkce polynomické a funkce lomené. formuluje pojmy a ověřuje tvrzení v rámci matematické logiky v souladu Funkce mocninné a odmocninné.Výrazy. Funkce a rovnice exponenciální, logaritmické, goniometrické. Aplikace. s množinovými operacemi; řeší úlohy standardními MS6 Systematizace syntetické stereometrie i nestandardními postupy; Řezy těles, příklady. Aplikace goniometrických funkcí ve stereometrii. systematizovaná témata MS7 Systematizace kombinatoriky diferencovaně porovnává s potřebami Vybrané kombinatorické úlohy svého budoucího studia VŠ nebo MS8 Systematizace analytické geometrie maturitní zkoušky Analytické metody v geometrii. Vektorový počet. Aplikace determinantů. Příklady na analytickou geometrii lineárních útvarů a kuželoseček. MS9 Systematizace učiva o pravděpodobnosti Příklady na pravděpodobnosti. MS10 Systematizace učiva o komplexních číslech Příklady. Použití komplexních čísel při řešení rovnic. MS11 Systematizace posloupností a řad Příklady na posloupnosti a řady. Využití ve finanční matematice. MS12 Systematizace základů diferenciálního a integrálního počtu Zajímavé příklady z diferenciálního a integrálního počtu. Aplikašní úlohy.
průřezová témata a mezipředmětové vztahy
průřezová témata: MV - propagace MO OSV - Sociální komunikace: srozumitelnost, jasnost, přesnost sdělení; rozvoj komunikace (matematické symboly a vyjadřování); argumentace; osobnostní rozvoj: cvičení v řešení problémů; seberegulace, sebeorganizace: kontrola vlastní práce, její časové rozvržení; mezipředmětové vztahy: ICT, F, CH, technické obory, ekonomie
realizace, hodnocení
realizace: frontální systematizace; samostatná práce ve škole a doma; řízené seminární výstupy žáků s řešeními aplikačních a problémových úloh; práce s výpočetní technikou; řešení ukázkových písemných maturit; hodnocení: součinnost žáka v semináři; úroveň ústního projevu; úroveň písemného projevu; úroveň seminárních výstupů žáků; minimálně 6 tématických písemných prací + rozbory
Příloha V
Seminář a cvičení z matematiky pro 3. ročníky a septimy je určen pro žáky, kteří již v průběhu 2. ročníku o sobě vědí, že inklinují k matematice nebo budou studovat obory s hlubším podkladem z matematické logiky a obecné matematiky. Žáci z matematického semináře ve 3. ročníku získávají v průběhu studia matematiky ve 3. a 4. ročníku výrazný náskok. Zvláště tehdy, volí-li si seminář z matematiky i ve 4. ročníku. Hlavní úkoly semináře a cvičení z matematiky: 1) Prohloubení učiva z matematiky. 2) Průběžné procvičování látky ze základní matematiky. 3) Informace o trendech současné matematiky. 4) Pro soutěžící v Matematické olympiádě a SOČ výklad matematických poznatků pro tyto soutěže. H l a v n í d ů r a z j e k l a d e n n a: matematickou logiku, algebraické partie, hlubší poznatky o funkcích, zajímavé poznatky o křivkách , pro zájemce práce s matematickými programy na počítačích. Poznámka: a) Definitivní program pro seminář a cvičení z matematiky je určen na počátku každého školního roku podle skladby zájemců z řad žáků a po rozboru s nimi. Na jejich potřeby seminář pružně reaguje. b) Pro ty z přihlášených, kteří se kromě matematiky zajímají také o fyziku, mohou být začleněna také fyzikální témata.
Jan Beneš předseda PKM
Příloha VI
je jedním z volitelných předmětů. Obsah je koncipován pro žáky, kteří se chtějí matematice hlouběji věnovat nebo chtějí z matematiky maturovat nebo ji potřebují pro přijímací zkoušky na VŠ. Úspěšnost absolventů matematického semináře po přechodu na VŠ je vysoká. Uvedená skutečnost je jistě také výsledkem spolupráce předmětové komise matematiky s katedrami matematiky vysokých škol. Závěrečnou podobu nabude obsah učiva semináře až v prvních hodinách na začátku každého školního roku, kdy je známa struktura účastníků semináře a kdy je s nimi projednán. Pružně reaguje na jejich potřeby. Samozřejmostí je diferencovaný přístup ke studentům v semináři. Chápejme tak, že prvními třemi z následně uvedených úkolů se zabývají všichni matematičtí seminaristé, na zbývajících úkolech se pracuje podle zájmu. Hlavní úkoly semináře: 1) 2) 3) 4) 5) 6)
Shrnutí a systematizace gymnaziálního učiva z matematiky. Příprava studentů k maturitě z matematiky. Příprava studentů pro přijímací zkoušky z matematiky. Prohloubení významných témat z matematiky. Informace o moderních směrech v matematice. Práce s matematickými programy na počítačích.
Poznámka: Semináře probíhají v tříhodinové týdenní časové dispozici. Jan Beneš, předseda PKM
Příloha VII
Příklady k systematizaci učiva z diferenciálního a integrálního počtu
Limita funkce lim
x2 4 x2
2. lim
x2 4 x2
3.
lim
x3 1 x 1
4.
lim
x3 1 x 1
5.
lim
x 2 5x 6 x 2 4x 3
6.
x3 x2 x 1 x 1 x 2 2x 3
1.
x 2
x 0
x 3
7. lim
x2 x x 1
x 1
9.
x 2
8. lim
x3 x 2 x 1 x x 2 2x 3 x
13. lim x
lim
1 1 x x 0 x
lim
11. lim x
x 1
10. lim
x 3 2x 1 x 5 2x 1
12. lim
sin 3 x 5x
14. lim
tg x sin 2 x
x
x2 1
x 0
tg x sin 2 x
x 0
Derivace funkce. Derivace složené funkce. 1. Určete derivace funkcí:
a)
x 2 2x 3 x
y
b) y 2 tg x tg 2 x c) y ln cos x
2. Určete derivace funkcí:
x2 x 1 a) x2 x 1 sin x cos x b) y sin x cos x y
c) 3. Určete derivace funkcí:
y
e x e x e x e x
a) y 1 x 2 2 x 2 b) y
x sin 3x
c) y log x 2 1
Příloha VII 4. Určete tečnu grafu funkce
y e x cos 2 x v bodě T 0 , y .
y x 3 x (rozuměj úhel, který svírá osa x
5. Pod jakým úhlem protíná osa x křivku s tečnou v průsečíku).
6. Vypočítejte odchylku tečen grafu dané funkce v bodech, které mají dánu souřadnici x : x2 3 ; x1 0 , x 2 2 y x 1
Lokální extrémy 1. Kolikrát je objem koule větší než objem největšího válce vepsaného do této koule?
1 1 2. Najděte souřadnice vrcholů křivky y x sin 2 x pro x ; . 2 2 3. Vyhledejte takové kladné číslo x , aby součet tohoto čísla a jeho reciproké hodnoty byl nejmenší. 4. Určete extrémy funkce f : y
x . x 1 2
5. Určete extrémy funkce g : y x 3 3x 2 9 x 1 6. Nádrž na vodu má mít čtvercové dno a objem 256 m3 . Stanovte rozměry nádrže tak, aby spotřeba materiálu byla co nejmenší. 7. Na válcovou konzervu se smí spotřebovat 5dm2 bílého plechu. Jaké má mít konzerva rozměry, aby měla co největší objem? 8. Určete extrémy funkce f1 : y x 2 4 x 4 9. Určete extrémy funkce f 2 : y x 4 2 x 2 20 10. Určete extrémy funkce f 3 : y x 3 2 x 2 11 11. Určete extrémy funkce f 4 : y x 4 2 x 2 1
Průběh funkcí pomocí derivací 1. Vyšetřete průběh funkce f 1 : y 3x x 3 2. Vyšetřete průběh funkce f 2 : y
x x 1
3. Vyšetřete průběh funkce f 3 : y x 1x 2
4. Vyšetřete průběh funkce f 4 : y ln 4 x 2
2
Příloha VII
5. Vyšetřete průběh funkce f 5 : y x
1 x
6. Vyšetřete průběh funkce f 6 : y 1 2 x 2 x 3 7. Vyšetřete průběh funkce f 7 : y ln 8. Vyšetřete průběh funkce f 8 : y
1 x 1 x
2x x 1 2
Neurčitý integrál, vlastnosti a výpočet x 1
1. a)
2. a)
2 x x e dx
3
x2
dx
x 1
4. a)
1 x2 x x dx
5. a)
x
6.
3x 4 4 x3 x 2 x 2 dx
7. a)
1 cos 2 x dx
b)
ln 4 x x dx
b)
sin
b)
1 1 sin 2 x cos 2 x dx
b)
x
b)
x
2
3. a)
x
1
b)
dx
2x 7 dx x2
2
x3 3x 2 5 dx x2
2
x dx 2
2
sin x dx
2
x 2 ln x dx
Obsah rovinného obrazce, objem rotačního tělesa integrálem 1. Vypočítejte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce omezeného křivkami
y 1 x 2 , y x 2 kolem osy x . 2. Vypočítejte objem kulové úseče, která vznikne rotací oblouku křivky y
r 2 x 2 pro x r v; r .
3. Odvoďte vztah pro výpočet objemu koule.
Příloha VII
4. Vypočtěte obsah obrazce omezeného obloukem křivky
y
2x 3 y 3 0 .
1 2 x a přímkou 3
5. Vypočtěte obsah obrazce omezeného obloukem křivky y 6 x x 2 a osou x . 6. Vypočtěte obsah obrazce omezeného sinusoidou y sin x v intervalu 7. Vypočtěte obsah obrazce omezeného oblouky křivek y x 2 4x 6 . 8. Určete objem tělesa vzniklého rotací oblouku křivky y
2; 3 .
y 2 x 2 8x 3 ,
1 kolem osy x v intervalu x
1; 2 .
9. Určete objem tělesa vzniklého rotací rovinného obrazce ohraničeného
y x 2 1, y x 3 4 , y 0 , x 0 , x 3 2
10. Určete objem tělesa vzniklého rotací rovinného obrazce ohraničeného y 5x x 2 , y x 4 , y 0 , x 5
11. Určete objem tělesa vzniklého rotací rovinného obrazce ohraničeného
y x 2 1 pro x 0;1 12. Vypočtěte obsah obrazce omezeného oblouky křivek y x 2 , y 6 x x 2
Příloha VIII
D o t az n ík o t é m a t ec h z m a t e m a t i k y Gymnázium Jihlava Při zamyšlení nad svým studiem matematiky na Gymnáziu Jihlava přidělte každému tématu z následující tabulky stupeň obtížnosti 1 až 5 ( v tomto pořadí od nejnižšího po nejvyšší) a vyznačte křížkem. Obtížnost
Témata
1
Výroky a operace s nimi Množiny a operace s nimi, aplikace ve středoškolské matematice Lineární rovnice a jejich soustavy, parametr, řešení s diskusí Kvadratické rovnice, vlastnosti kořenů, rovnice s parametrem Lineární a kvadratické nerovnice, nerovnice s absolutní hodnotou Geometrické úlohy řešené pomocí množin bodů daných vlastností Geometrické úlohy řešené pomocí shodných zobrazení v rovině Geometrické úlohy řešené pomocí podobných zobrazení, stejnolehlost Pythagorova a Eukleidovy věty. Konstrukce algebraického výrazu Funkce Mocninná a odmocninná funkce, mocniny a odmocniny Exponenciální a logaritmické funkce, logaritmus a jeho vlastnosti Goniometrické funkce obecného úhlu, definice, grafy, výpočty Trigonometrické řešení pravoúhlého a obecného trojúhelníku Polohové a metrické vlastnosti geometrických útvarů v prostoru Objem a povrch hranolu, koule Objem a povrch jehlanu, válce, kužele Variace a permutace bez opakování a s opakováním Kombinace bez opakování a s opakováním Vektory v analytické geometrii, analytická geometrie lineárních útvarů Kružnice, hyperbola, vzájemná poloha s přímkou Elipsa, parabola, vzájemná poloha s přímky Pravděpodobnost Komplexní čísla Rovnice v oboru komplexních čísel Aritmetická posloupnost, úplná matematická indukce Geometrická posloupnost, nekonečná geometrická řada Derivace funkce, analýza funkce pomocí derivací Neurčitý a určitý integrál Aplikace diferenciálního a integrálního počtu
Součet Relativní četnost
2
3
4
5
