ˇ Casov´ e ˇrady I Ondˇrej Venc´alek Univerzita Palack´eho v Olomouci
[email protected]
ˇ semin´aˇr pro VSB-TUO 2015-03-13, Ostrava
Nov´ e kreativn´ı t´ ymy v priorit´ ach vˇ edeck´ eho b´ ad´ an´ı CZ.1.07/2.3.00/30.0055
ˇ Tento projekt je spolufinancov´ an z ESF a st´ atn´ıho rozpoˇ ctu CR.
Dekompoziˇcn´ı pˇr´ıstup – o ˇcem bude ˇreˇc ...
◮
Trendov´ a sloˇ zka ◮
◮
◮
Sez´ onn´ı sloˇ zka ◮ ◮
◮
Popis trendu matematick´ymi kˇrivkami line´arn´ı, kvadratick´y, exponenci´aln´ı, modifikovan´y exponenci´aln´ı, logistick´y, zobecnˇen´y logistick´y trend Adaptivn´ı pˇr´ıstupy k trendov´e sloˇzce – metoda klouzav´ych pr˚ umˇer˚ u – exponenci´aln´ı vyrovn´av´an´ı Regresn´ı pˇr´ıstup k sez´onnosti Holtova-Wintersova metoda
N´ ahodn´ a sloˇ zka ◮
Testy n´ahodnosti
Line´arn´ı trend
15.5 15.0 14.5
plocha v mil. km2
16.0
16.5
Zaledneni Arktidy, mesic brezen
1980
1985
1990
1995
2000
2005
2010
t
Tr (t) = β0 + β1 t,
pro t = 1, . . . , n
2015
Pˇr´ıklad – trend zalednˇen´ı Arktidy – obr´azek
Pˇr´ıklad – trend zalednˇen´ı Arktidy
Data: Monthly Sea Ice Extent – veˇrejnˇe pˇr´ıstupn´a na str´ank´ach National Snow & Ice Data Center http://nsidc.org/ http://nsidc.org/data/docs/noaa/g02135 seaice index/#monthly extent image ftp://sidads.colorado.edu/DATASETS/NOAA/G02135/Mar/N 03 area.txt
year mo 1979 3 1980 3 1981 3 1982 3 1983 3 1984 3 1985 3 1986 3 1987 3 1988 3 1989 3 1990 3 1991 3 1992 3 1993 3 1994 3 1995 3 1996 3 1997 3 1998 3 1999 3 2000 3 2001 3 2002 3 2003 3 2004 3 2005 3 2006 3 2007 3 2008 3 2009 3 2010 3 2011 3 2012 3 2013 3 2014 3
data_type region extent Goddard N 16.45 Goddard N 16.13 Goddard N 15.61 Goddard N 16.15 Goddard N 16.10 Goddard N 15.62 Goddard N 16.06 Goddard N 16.08 Goddard N 15.95 Goddard N 16.13 Goddard N 15.52 Goddard N 15.88 Goddard N 15.50 Goddard N 15.47 Goddard N 15.88 Goddard N 15.58 Goddard N 15.32 Goddard N 15.13 Goddard N 15.58 Goddard N 15.66 Goddard N 15.40 Goddard N 15.27 Goddard N 15.61 Goddard N 15.44 Goddard N 15.49 Goddard N 15.05 Goddard N 14.74 Goddard N 14.43 Goddard N 14.65 Goddard N 15.22 Goddard N 15.14 Goddard N 15.11 Goddard N 14.58 Goddard N 15.24 Goddard N 15.05 NRTSI-G N 14.76
area 13.13 12.92 12.62 12.99 12.84 12.48 12.66 12.65 12.75 13.84 13.14 13.44 13.35 13.41 13.71 13.47 13.28 12.83 13.24 13.50 13.47 13.10 13.57 13.36 13.36 12.93 12.67 12.44 12.49 13.20 13.08 13.19 12.48 13.08 13.10 12.52
Line´arn´ı trend – trocha teorie Y (t) = Tr (t) + E (t),
pro t = 1, . . . , n
Tr (t) = β0 + β1 t E (t) ∼ N(0, σ 2 ), nez´ avisl´e ′ Odhad (vektorov´eho) parametru β = (βP 0 , β1 ) metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u, tj. minimalizujeme nt=1 (Y (t) − (β0 + β1 t))2
X =
1 1 . . . 1
b = (X ′ XP )−1 X ′ Y , n 1 2 s 2 = n−2 t=1 (Y (t) − b0 − b1 t) Vlastnosti odhadu: ◮ Eb = β ◮ Var b = σ 2 (X ′ X )−1 ◮ b m´ a norm´aln´ı rozdˇelen´ı
1 2 . . . n
Predikce hodnoty Y (T ) ◮
◮
Bodov´y odhad: Y (T ) = Tr (T ) + E (T ) = β0 + β1 T + E (T ) c(T ) + Eb(T ) Yb (T ) = Tr Yb (T ) = b0 + b1 T
Intervalov´y odhad: Y (T ) − (b0 + b1 T ) = (β0 + β1 T + E (T )) − (b0 + b1 T ) ∼ N 0, σ 2 + (1, T )Var (b)(1, T )′ b0 + b1 T ± tn−2
α 1− s 2
q 1 + (1, T )(X ′ X )−1 (1, T )′ ,
kde tn−2 1 − α2 je (1 − α2 )-kvantil Studentova rozdˇelen´ı o n − 2 stupn´ıch volnosti (viz n´asleduj´ıc´ı pozn´amka).
Pˇripomenut´ı: pojem kvantil
(pro spojit´a rozdˇelen´ı) M´ame d´ano ◮
rozdˇelen´ı n´ahodn´e veliˇciny X (napˇr. Studentovo rozdˇelen´ı o 34 stupn´ıch volnosti)
◮
α ∈ (0, 1)
Pt´ame se, pro jak´e x plat´ı P(X < x) = α. Tuto hodnotu naz´yv´ame α-kvantilem dan´eho rozdˇelen´ı.
Line´arn´ı trend: predikce
15.5 15.0 14.5
plocha v mil. km2
16.0
16.5
Zaledneni Arktidy, mesic brezen, predikce na rok 2015
1980
1985
1990
1995
2000 t
2005
2010
2015
Kvadratick´y trend
9.0 8.5 8.0 7.5 7.0
plocha v mil. km2
9.5
10.0
Zaledneni Arktidy, mesic rijen
1980
1985
1990
1995
2000
2005
2010
2015
t
Tr (t) = β0 + β1 t + β2 t 2 ,
pro t = 1, . . . , n
Line´arn´ı nebo kvadratick´y trend?
9.0 8.0 7.0
plocha v mil. km2
10.0
Zaledneni Arktidy, mesic rijen
1980
1985
1990
1995
2000
2005
2010
2015
2010
2015
2010
2015
residua
−1.0
−0.5
0.0
0.5
residua pri linearnim trendu
1980
1985
1990
1995
2000
2005
0.0 −0.5 −1.0
residua
0.5
residua pri kvadratickem trendu
1980
1985
1990
1995
2000
2005
Line´arn´ı nebo kvadratick´y trend?
Tr (t) = β0 + β1 t + β2 t 2 , Testujeme hypot´ezu H: β2 = 0 (proti oboustrann´e alternativˇe) > model2 = lm(y~t+I(t^2)) > summary(model2) ... Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) -8.366e+03 2.872e+03 -2.913 0.00638 ** t 8.451e+00 2.877e+00 2.937 0.00599 ** I(t^2) -2.132e-03 7.205e-04 -2.959 0.00567 **
P − value = 0.00567 < 0.05, tedy zam´ıt´ame hypot´ezu nulovosti paremtru β2 , vol´ıme kvadratick´y trend.
Kvadratick´y trend – trocha teorie Y (t) = Tr (t) + E (t), Tr (t) = β0 + β1 t+β2 t
pro t = 1, . . . , n 2
E (t) ∼ N(0, σ 2 ), nez´ avisl´e Odhad (vektorov´eho) parametru β = (β0 , β1 , β2 )′ metodou nejmenˇ s´ıch ˇctverc˚ u, tj. minimalizujeme Pn 2 2 t=1 (Y (t) − (β0 + β1 t+β2 t ))
X =
1 1 . . . 1
1 2 . . . n
1 4 . . . n2
b = (X ′ XP )−1 X ′ Y , 1 2 s = n−3 nt=1 (Y (t) − b0 − b1 t − b2 t 2 )2 Vlastnosti odhadu: ◮ Eb = β ◮ Var b = σ 2 (X ′ X )−1 ◮ b m´ a norm´aln´ı rozdˇelen´ı
Predikce hodnoty Y (T ) ◮
◮
Bodov´y odhad: Y (T ) = Tr (T ) + E (T ) = β0 + β1 T +β2 T 2 + E (T ) c(T ) + Eb(T ) Yb (T ) = Tr Yb (T ) = b0 + b1 T +b2 T 2
Intervalov´y odhad:Y (T ) − (b0 + b1 T+b2 T 2 ) ∼ N 0, σ 2 + (1, T , T 2 )Var (b)(1, T , T 2 )′
q α b0 +b1 T +b2 T 2 ±tn−3 1 − s 1 + (1, T , T 2 )(X ′ X )−1 (1, T , T 2 )′ , 2
kde tn−3 1 − α2 je (1 − α2 )-kvantil Studentova rozdˇelen´ı o n − 3 stupn´ıch volnosti.
Varov´an´ı pˇred polynomy vyˇsˇs´ıho stupnˇe
9.8 9.4 9.0
plocha v mil. km2
10.2
Zaledneni Arktidy, mesic rijen, roky 1979−1984
0
1
2
3
4
5
prolozeni polynomem 4. stupne
6
Varov´an´ı pˇred polynomy vyˇsˇs´ıho stupnˇe
9.8 9.4 9.0
plocha v mil. km2
10.2
Zaledneni Arktidy, mesic rijen, roky 1979−1984
0
1
2
3
4
5
prolozeni polynomem 4. stupne
6
Exponenci´aln´ı trend Pocet tranzistoru v mikroprocesorech 5 000 000 000
4 000 000 000
3 000 000 000
2 000 000 000
1 000 000 000
0 1970
1975
1980
1985
1990
1995
2000
2005
rok
Tr (t) = α · β t ,
pro t = 1, . . . , n
2010
2015
Exponenci´aln´ı trend – pˇr´ıklad (Moore˚ uv z´akon) Moor˚ uv z´akon je empirick´e pravidlo, kter´e roku 1965 vyslovil chemik a spoluzakladatel firmy Intel Gordon Moore. P˚ uvodn´ı znˇen´ı bylo: poˇcet tranzistor˚ u, kter´e mohou b´yt um´ıstˇeny na integrovan´y ” obvod se pˇri zachov´an´ı stejn´e ceny zhruba kaˇzd´ych 18 mˇes´ıc˚ u zdvojn´asob´ı.“ Takov´yto r˚ ust se naz´yv´a exponenci´aln´ı. Sloˇzitost dneˇsn´ıch procesor˚ u se pomˇeˇruje pˇredevˇs´ım poˇctem tranzistor˚ u v nich zapojen´ych. Rychlost r˚ ustu poˇctu tranzistor˚ u na ploˇsn´e jednotce se ˇcasem zpomalila a nyn´ı se jejich poˇ cet zdvojn´ asobuje pˇribliˇ znˇ e jednou za dva roky. http://cs.wikipedia.org/wiki/Moore˚ uv_z´ akon
Moore˚ uv z´akon – data 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 .. .
Processor Intel 4004 Intel 8008 MOS Technology 6502 Motorola 6800 Intel 8080 RCA 1802 Intel 8085 Zilog Z80 Motorola 6809 Intel 8086 .. .
80 81 82 83 84
12-core POWER8 15-core Xeon Ivy Bridge-EX 62-core Xeon Phi Apple A7 (“mobile SoC”) Xbox One main SoC
Transistor.count 2300 3500 3510.00 4100 4500 5000 6500 8500 9000 29000 .. .
Date.of.introduct. 1971 1972 1975 1974 1974 1974 1976 1976 1978 1978 .. .
4200000000 4310000000 5000000000 1000000000 5000000000
2013 2014 2012 2013 2013
Graf I
2e+09 0e+00
pocet
4e+09
Pocet tranzistoru v mikroprocesorech
1970
1980
1990
2000 rok
2010
Graf II – po logaritmick´e transformaci Pocet tranzistoru v mikroprocesorech
1 000 000 000 100 000 000 10 000 000 1 000 000 100 000 10 000
1970
1975
1980
1985
1990
1995
rok
2000
2005
2010
2015
Exponenci´aln´ı trend
Tr (t) = α · β t log(Tr (t)) = log(α) + t log(β) log(Tr (t)) = α0 + tβ0 Pˇri oznaˇcen´ı ◮
α0 := log(α),
◮
β0 := log(β).
Line´arn´ı chov´an´ı logaritmovan´e veliˇciny Pocet tranzistoru v mikroprocesorech
1 000 000 000 100 000 000 10 000 000 1 000 000 100 000 10 000
1970
1975
1980
1985
1990
1995 t
2000
2005
2010
2015
Jak´y logaritmus m´am pouˇz´ıt? (To je jedno!)
log2 (Tr (t))
=
α0 + β 0 t
: log10 2 log10 (Tr (t))
=
α0∗ + β0∗ t
: ln 10 ln(Tr (t))
=
α0∗∗ + β0∗∗ t
Odlogaritmov´an´ı ◮
Pˇri pouˇzit´ı logaritmu o z´akladu 2: log2 (Tr (t)) = α0 + β0 t Tr (t) = 2α0 +β0 t = 2α0 · (2β0 )t = α · β t α = 2α0 , β = 2β0
tedy ◮
Pˇri pouˇzit´ı logaritmu o z´akladu 10: log10 (Tr (t)) = α0∗ + β0∗ t Tr (t) = 10α0 +β0 t = 10α0 · (10β0 )t = α · β t ∗
tedy ◮
∗
∗
∗
α = 10α0 , β = 10β0 ∗
∗
Pˇri pouˇzit´ı logaritmu o z´akladu e: ln(Tr (t)) = α0∗∗ + β0∗∗ t ∗∗ +β ∗∗ t 0
Tr (t) = e α0 tedy
= e α0 · (e β0 )t = α · β t ∗∗
∗∗
α = e α0 , β = e β 0 ∗∗
∗∗
V´yznam parametru β
Tr (t) = α · β t Tr (t + 1) = α · β t+1 Tr (t + 1) α · β t+1 = =β Tr (t) α · βt Hodnota sledovan´e veliˇciny se za jednotku ˇcasu β-n´asob´ı. (pod´ıl je konstantn´ı v ˇcase – tempo r˚ ustu je st´al´e)
Za jak dlouho se poˇcet tranzistor˚ u zdvojn´asob´ı? Hled´ame takovou hodnotu ∆, pro kterou plat´ı Tr (t + ∆) =2 Tr (t) Upravme Tr (t + ∆) αβ t+∆ = = β∆ = 2 Tr (t) αβ t ˇ sme (logaritmov´an´ım) Reˇ ∆ log2 β = 1 Odtud ∆ = 1/ log2 β
Exponenci´aln´ı r˚ ust poˇctu tranzistor˚ u v mikroprocesorech
Tr (t) = 668, 5 · 1, 428t , kde za t dosazujeme 1, . . . , 44 pro roky 1971, . . . , 2014. ∆ = 1, 95 Naˇse anal´yza potvrzuje zdvojn´asoben´ı poˇctu tranzistor˚ u za dobu pˇribliˇznˇe 2 let.
Omezen´ı modelu
Dne 13. z´aˇr´ı 1995 Gordon Moore v rozhovoru uvedl, ˇze toto (jeho) pravidlo nem˚ uˇze fungovat v neomezen´em mˇeˇr´ıtku: Tak to nem˚ uˇze ” pokraˇcovat napoˇr´ad. Povaha exponenci´al je takov´a, ˇze je tlaˇc´ıme mimo limity a n´aslednˇe nastane pohroma“. Tak´e poznamenal, ˇze tranzistory eventu´alnˇe dos´ahnou limitu miniaturizace (zmenˇsov´an´ı) na atom´arn´ı u ´rovni ... http://cs.wikipedia.org/wiki/Moore˚ uv_z´ akon
Exponenci´aln´ı r˚ ust – ˇsachov´a legenda
Sissa ben Dahir 1 + 2 + 4 + 8 + ... 1 + 21 + 22 + 23 + . . . + 263 = 264 − 1=18 ˙ 000 000 000 000 000 000
Exponenci´aln´ı r˚ ust – ˇsachov´a legenda
Sissa ben Dahir 1 + 2 + 4 + 8 + ... 1 + 21 + 22 + 23 + . . . + 263 = 264 − 1=18 ˙ 000 000 000 000 000 000
Pozn´amka k odhadu parametr˚ u
M´ısto minimalizace v´yrazu X (log yt − log α − t log β)2 t
se nˇekdy doporuˇcuje uvaˇzovat metodu nejmenˇs´ıch v´aˇzen´ych ˇctverc˚ u, tj. minimalizujeme X wt (log yt − log α − t log β)2 t
Typicky se vol´ı wt = yt2 .
α > 0, β > 1...
a > 0, 0 < b < 1
Tr(t)
Tr(t)
a>0, b>1
a < 0, b > 1
Tr(t)
Tr(t)
a < 0, 0 < b < 1
Modifikovan´y exponenci´aln´ı trend
115000 105000
pocet obyvatel
125000
Pocet obyvatel Japonska 1971−2000
1970
1975
1980
1985
1990
1995
rok
Tr (t) = γ + α · β t ,
pro t = 1, . . . , n
2000
Odhad parametr˚ u
Logaritmov´an´ı n´am nepom˚ uˇze. Moˇzn´a ˇreˇsen´ı: ◮
metoda postupn´ych souˇct˚ u
◮
metoda vybran´ych bod˚ u
◮
metody neline´arn´ı regrese (doporuˇceno, R-ko: nls())
◮
...
Metoda postupn´ych souˇct˚ u Rozdˇel´ıme ˇradu na tˇri stejnˇe dlouh´e u ´seky d´elky m (pokud poˇcet pozorov´an´ı nen´ı dˇeliteln´y tˇremi, jedno nebo dvˇe prvn´ı vynech´ame) m X
yt
∼
m X
Tr (t) = (γ + αβ 1 ) + (γ + αβ 2 ) + . . . + (γ + αβ m ) =
t=1
t=1
=
m X
(γ + αβ t ) = mγ + α
m X
β t = mγ + α
t=1
t=1
Podobnˇe 2m X
yt
∼
mγ + α
β m+1 (β m − 1) β−1
yt
∼
mγ + α
β 2m+1 (β m − 1) β−1
t=m+1 3m X
t=2m+1
β(β m − 1) β−1
Metoda postupn´ych souˇct˚ u
βb =
α b γ b
=
=
P 1/m P yt − 2 yt 3 P P 1 yt 2 yt − X X b β−1 yt ) yt − ( b βbm − 1)2 β( 1 2 " # 1 X m b βb − 1)/(βb − 1) yt − α bβ( m 1
Neline´arn´ı regrese - metoda nejmenˇs´ıch v´aˇzen´ych ˇctverc˚ u
R: nls() Nutno zadat poˇc´ateˇcn´ı odhady parametr˚ u. K jejich z´ısk´an´ı vyuˇzijeme interpretace parametr˚ u: t ◮ γ = limt→∞ γ + αβ = limt→∞ Tr (t) nebot’ (0 < beta < 1) ◮
α = γ − Tr (0)
◮
β : pr˚ umˇern´y pod´ıl
Tr (t+1)−γ Tr (t)−γ
Residua
0 −100
−50
resid
50
100
Residua pri pouziti modif.exp.trendu
0
5
10
15
20
Index
cyklick´a sloˇzka (promˇenliv´e d´elky i amplitudy)
25
30
Logistick´y trend
150 100 50
vyska (cm)
200
250
Rust slunecnice
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
77
den
Tr (t) =
α , 1 + e −γ(t−δ)
pro t = 1, . . . , n
84
Logistick´y trend – dalˇs´ı moˇzn´e parametrizace
Tr (t) = Tr (t) = Tr (t) = Tr (t) =
Pˇri oznaˇcen´ı ◮
γ ∗ = −γ
◮
δ ∗ = γδ
◮
γ ∗∗ = e γ
◮
δ ∗∗ = e δ
∗
∗
α 1+
e −γ(t−δ)
α 1 + e δ∗ +γ ∗ t α 1 + δ ∗∗ e γ ∗ t α 1 + δ ∗∗ γ ∗∗t
Logistick´y trend – interpretace parametr˚ u Derivace logisticke krivky
derivace(Tr(t)) 0
α 2 0
Tr(t)
α
αγ 4
Logisticka krivka
δ
δ
t
t
◮
α ... asymptota
◮
δ ... ˇcas nejrychlejˇs´ıho r˚ ustu
◮
γ ... konstanta urˇcuj´ıc´ı mˇeˇr´ıtko x-ov´e osy
Logistick´y trend – odvozen´ı
∂Tr (t) ∝ Tr (t) · [α − Tr (t)] ∂t V´ıce viz Venc´alek, O: Stochastick´e modelov´an´ı epidemi´ı (DP) https://is.cuni.cz/webapps/zzp/detail/44266/
Zobecnˇen´y logistick´y trend – Richardsova kˇrivka
Rychlost r˚ ustu:
h i 1 −γ(t−δ) 1−ω Tr (t) = α 1 − (1 − ω)e
◮
ω < 2 ... na poˇc´atku rychl´y vzestup, pozvoln´y pokles na konci
◮
ω = 2 ... stejnˇe rychl´y vzestup jako pokles (logistick´a kˇrivka)
◮
ω > 2 ... na poˇc´atku pozvoln´y n´ar˚ ust, rychl´y pokles na konci
Terminologick´a pozn´amka: ω → 1... Gomperzova kˇrivka, ω = 0... von Bertalanffyho kˇrivka R˚ ustov´e kˇrivky, S-kˇrivky, sigmoid´aln´ı kˇrivky
Metoda klouzav´ych pr˚ umˇer˚ u
Kurz
27.4
27.6
27.8
28.0
Kurz EUR/CZK − rok 2014
02/01
03/03
02/05
01/07
Tr (t) = β0 (t) + β1 (t)τ + . . . + βr (t)τ r ,
01/09
03/11
31/12
pro τ = t − m, . . . , t + m
Kurz EUR/CZK
Data: https://www.cnb.cz/cs/financni_trhy/devizovy_trh/ kurzy_devizoveho_trhu/vybrane_form.jsp
Jednoduch´e (prost´e) klouzav´e pr˚ umˇery pˇri d´elce okna 15 ’Okno’ delky 15 na pocatku rady
Kurz EUR/CZK − rok 2014 8
15
27.6 27.4
Kurz
27.8
28.0
1
02/01
03/03
02/05
01/07
01/09
03/11
m = 7, tj. d´elka okna 2m + 1 = 15, r = 0, tj. lok´alnˇ e konstantn´ı trend, 1 Pm pak ybt = 2m+1 τ =−m yt+τ pro t = m + 1, . . . , n − m.
31/12
Ot´azky k zodpovˇezen´ı
◮
Jak volit d´elku okna, tj. jak volit m? (d´elka okna je 2m + 1)
◮
M˚ uˇze b´yt d´elka okna sud´a?
◮
Jak volit ˇr´ad polynomu, kter´ym ˇradu lok´alnˇe prokl´ad´ame, tj. jak volit r ?
◮
Jak se vypoˇr´adat s poˇc´ateˇcn´ım a s koncov´ym u ´sekem ˇrady a jak postupovat pˇri predikci?
Kurz
27.4
27.6
27.8
28.0
Kurz EUR/CZK − rok 2014
02/01
03/02
03/03
01/04
02/05
02/06
01/07
01/08
01/09
01/10
03/11
01/12
31/12
Kurz
27.4
27.6
27.8
28.0
Klouzave prumery pri delce okna 5 (trend)
02/01
03/02
03/03
01/04
02/05
02/06
01/07
01/08
01/09
01/10
03/11
01/12
31/12
01/08
01/09
01/10
03/11
01/12
31/12
−0.2
residua
−0.05
0.1
0.2
Residua
02/01
03/02
03/03
01/04
02/05
02/06
01/07
Kurz
27.4
27.6
27.8
28.0
Kurz EUR/CZK − rok 2014
02/01
03/02
03/03
01/04
02/05
02/06
01/07
01/08
01/09
01/10
03/11
01/12
31/12
Kurz
27.4
27.6
27.8
28.0
Klouzave prumery pri delce okna 15 (trend)
02/01
03/02
03/03
01/04
02/05
02/06
01/07
01/08
01/09
01/10
03/11
01/12
31/12
01/08
01/09
01/10
03/11
01/12
31/12
−0.2
residua
−0.05
0.1
0.2
Residua
02/01
03/02
03/03
01/04
02/05
02/06
01/07
Kurz
27.4
27.6
27.8
28.0
Kurz EUR/CZK − rok 2014
02/01
03/02
03/03
01/04
02/05
02/06
01/07
01/08
01/09
01/10
03/11
01/12
31/12
Kurz
27.4
27.6
27.8
28.0
Klouzave prumery pri delce okna 25 (trend)
02/01
03/02
03/03
01/04
02/05
02/06
01/07
01/08
01/09
01/10
03/11
01/12
31/12
01/08
01/09
01/10
03/11
01/12
31/12
−0.2
residua
−0.05
0.1
0.2
Residua
02/01
03/02
03/03
01/04
02/05
02/06
01/07
Kdy potˇrebujeme sudou d´elku okna?
y
Umele vytvorena rada s periodou delky 4
1
5
9
13
17
21
t
Obr´azek: vyrovn´an´ı ˇcasov´e ˇrady s konstantn´ım trendem a s d´elkou periody 4 pomoc´ı klouz. pr˚ umˇer˚ u pˇri d´elce okna 5. ◮
Sud´a d´elka periody → sud´a d´elka okna
◮
Centrovan´e klouzav´e pr˚ umˇery
Centrovan´e klouzav´e pr˚ umˇery
◮
Stˇred prvn´ıho“ okna d´elky 2m je v ˇcase ” (1 + 2m)/2 = m + 0.5,
◮
tj. ybm+0.5 = (y1 + y2 + . . . + y2m )/(2m),
◮
◮ ◮
Stˇred druh´eho“ okna d´elky 2m je v ˇcase ” (2 + 2m + 1)/2 = m + 1.5, tj. ybm+1.5 = (y2 + . . . + y2m + y2m+1 )/(2m), ybm+1 = (b ym+0.5 + ybm+1.5 )/2 = 1 1 1 1 2m y1 + m y2 + m y3 + . . . + m y2m +
1 2m y2m+1 .
V´aˇzen´e klouzav´e pr˚ umˇery
D´a se uk´azat, ˇze proloˇzen´ı polynomu vyˇsˇs´ıho stupnˇe (r > 1) je ekvivalentn´ı v´ypoˇctu v´aˇzen´eho pr˚ umˇeru pozorov´an´ı v oknˇe. V´ahy, kter´e pˇritom d´av´ame jednotliv´ym pozorov´an´ım, je tˇreba dopoˇc´ıtat. Pˇr´ıklad: m = 3, r = 2, tj. prokl´ad´ame parabolu (polynom 2. studnˇe) v oknˇe d´elky 2m + 1 = 7. Pak ybt =
−2 3 6 7 6 3 −2 yt−3 + yt−2 + yt−1 + yt + yt+1 + yt+2 + yt+3 21 21 21 21 21 21 21
Porovn´an´ı prost´ych a v´aˇzen´ych pr˚ umˇer˚ u pˇri stejn´e d´elce okna 7
Kurz
27.4
27.6
27.8
28.0
Kurz EUR/CZK − rok 2014
02/01
03/02
03/03
01/04
02/05
02/06
01/07
01/08
01/09
01/10
03/11
01/12
31/12
01/09
01/10
03/11
01/12
31/12
01/09
01/10
03/11
01/12
31/12
Kurz
27.4
27.6
27.8
28.0
Proste klouzave prumery
02/01
03/02
03/03
01/04
02/05
02/06
01/07
01/08
27.4
Kurz
27.6
27.8
28.0
Vazene klouzave prumery
02/01
03/02
03/03
01/04
02/05
02/06
01/07
01/08
Jak se vypoˇr´adat s poˇc´ateˇcn´ım a s koncov´ym u´sekem ˇrady a jak postupovat pˇri predikci?
Zajedeme“ s oknem na zaˇc´atek ˇci na konec ˇrady a tam proloˇz´ıme ” pˇr´ısluˇsn´y polynom. (jako bychom zapomnˇeli na vˇsechna dalˇs´ı porozov´an´ı kromˇe posledn´ıch (prvn´ıch) 2m + 1, na nichˇz prokl´ad´ame pˇr´ısluˇsn´y polynom, kter´y pak m˚ uˇzeme pouˇz´ıt k predikci. Pozor: ˇc´ım vyˇsˇs´ı stupeˇ n polynomu, t´ım bl´ıˇze jsou vyhlazen´e hodnoty skuteˇcnˇe pozorovan´ym hodnot´am, ale pozor, predikce mohou b´yt dosti nestabiln´ı (viz varov´an´ı t´ykaj´ıc´ı se predikce pomoc´ı polynomu).
Volba ˇr´adu pouˇzit´eho polynomu r ◮
◮
Cipra popisuje objektivn´ı krit´erium volby ˇr´adu klouzav´ych ” pr˚ umˇer˚ u“ (str. 49-51), dod´av´a vˇsak: V posledn´ı dobˇe se zaˇc´ınaj´ı tak´e hledat ” numericky jednoduch´e metody, kter´e by urˇcily ˇr´ad klouzav´ych pr˚ umˇer˚ u jako hodnotu minimalizuj´ıc´ı vhodnˇe zkonstruovan´e krit´erium“.
Pouˇcen´ı: ◮ Zkusme r˚ uzn´e hodnoty pro r (ˇr´ad polynomu): r = 0, 1, 2, 3 a d´ıvejme se, jak dobr´e budeme m´ıt predikce. To m˚ uˇzeme zhodnotit napˇr. pomoc´ı ◮
◮
stˇ e chyby (MSE = Mean Squared Error) Prnedn´ı ˇctvercov´ 2 b (y − y ) /n, t t t=1 stˇ Prnedn´ı absolutn´ı odchylky (MAD = Mean Absolute Deviation) bt | /n, t=1 |yt − y
ˇci jin´e ztr´atov´e funkce“ odr´aˇzej´ıc´ı cenu chyby v ” ” pˇredpovˇedi“. Vyberemu tu hodnotu r , pro kterou jsou predikce nejlepˇs´ı (maj´ı nejniˇzˇs´ı hodnotu nˇekter´e z v´yˇse uveden´ych ztr´atov´ych funkc´ı).
Exponenci´aln´ı vyrovn´av´an´ı
27.8 27.6 27.4
Kurz EUR/CZK
28.0
Kurz EUR/CZK − rok 2014
02/01
03/03
02/05
01/07
01/09
03/11
31/12
´ EXP.VYROV. Tr (t) = β0 (t) JEDNODUCHE Tr (t) = β0 (t) + β1 (t)τ
´ EXP.V. pro τ = −1, −2, . . . DVOJITE
Exponenci´aln´ı vyrovn´av´an´ı – urˇcen´ı parametr˚ u Mˇejme d´an pevnˇe ◮
ˇcas t, v nˇemˇz se snaˇz´ıme odhadnout hodnotu (lok´al.) trendu,
◮
vyrovn´avac´ı konstantu α ∈ (0, 1).
Parametry β0 (t), β1 (t) popisuj´ıc´ı lok´aln´ı trend urˇc´ıme z rovnic ◮
Jednoduch´e exp. vyrovn´av´an´ı min
β0 (t) ◮
∞ X
[yt−τ − β0 (t)]2 ατ
τ =0
Dvojit´e exp. vyrovn´av´an´ı min
β0 (t),β1 (t)
∞ X τ =0
[yt−τ − (β0 (t) + β1 (t)(−τ ))]2 ατ
Exponenci´aln´ı vyrovn´av´an´ı – v´ahy
0.6 0.4 0.0
0.2
vahy
0.8
1.0
alfa = 0.95
2
4
6
8
10
8
10
8
10
cas
0.6 0.4 0.0
0.2
vahy
0.8
1.0
alfa = 0.7
2
4
6 cas
0.6 0.4 0.2 0.0
vahy
0.8
1.0
alfa = 0.4
2
4
6 cas
Jednoduch´e exponenci´aln´ı vyrovn´av´an´ı
27.6
27.8
data vyrovnane hodnoty, alfa = 0,9 vyrovnane hodnoty, alfa = 0,7
27.4
Kurz EUR/CZK
28.0
Jednoduche exponencialni vyrovnavani
02/01
03/03
02/05
01/07
01/09
03/11
31/12
Jednoduch´e exponenci´aln´ı vyrovn´av´an´ı
kurz
27.4 27.7 28.0
puvodni data
0
50
100
150
200
250
Index
kurz
27.4 27.7 28.0
vyrovnane hodnoty − jednoduche exp. vyrovnavani, alfa = 0,9
0
50
100
150
200
250
Index
kurz
27.4 27.7 28.0
vyrovnane hodnoty − jednoduche exp. vyrovnavani, alfa = 0,7
0
50
100
150 Index
200
250
Dvojit´e exponenci´aln´ı vyrovn´av´an´ı
27.6
27.8
data vyrovnane hodnoty, alfa = 0,9 vyrovnane hodnoty, alfa = 0,7
27.4
Kurz EUR/CZK
28.0
Dvojite exponencialni vyrovnavani
02/01
03/03
02/05
01/07
01/09
03/11
31/12
Dvojit´e exponenci´aln´ı vyrovn´av´an´ı
kurz
27.4 27.7 28.0
puvodni data
0
50
100
150
200
250
Index
kurz
27.4 27.7 28.0
vyrovnane hodnoty − dvojite exp. vyrovnavani, alfa = 0,9
0
50
100
150
200
250
Index
kurz
27.4 27.7 28.0
vyrovnane hodnoty − dvojite exp. vyrovnavani, alfa = 0,7
0
50
100
150 Index
200
250
Jednoduch´e exponenci´aln´ı vyrovn´av´an´ı – rekurentn´ı vztah pro odhad hodnot β0 (t) min
β0 (t)
∂ ∂β0 (t)
∞ X
∞ X
[yt−τ − β0 (t)]2 ατ
τ =0
[yt−τ − β0 (t)]2 ατ = −2
[yt−τ − β0 (t)]ατ = 0
τ =0
τ =0
∞ X
∞ X
yt−τ ατ = β0 (t)
ατ = β0 (t)
τ =0
τ =0
β0 (t)
∞ X
=
(1 − α)
∞ X
1 1−α
yt−τ ατ
τ =0
=
(1 − α)yt + (1 − α)
∞ X τ =1
=
(1 − α)yt + αβ0 (t − 1)
Pozn´ amka: β0 (t) = ybt (vyrovnan´ a hodnota) Pozn´ amka: Probl´ em urˇ cen´ı yb0
yt−τ ατ
Dvojit´e exponenci´aln´ı vyrovn´av´an´ı – volba α
0.3 0.2 0.1 0.0
residualni soucet ctvercu
0.4
0.5
Volba alfa − dvojite e.v. − podle RSS
0.2
0.4
0.6 alfa
0.8
Dvojit´e exponenci´aln´ı vyrovn´av´an´ı – volba α
0.7 0.6 0.5 0.4 0.3
celkova predikcni ctvercova chyba
0.8
Volba alfa − dvojite e.v.
0.2
0.4
0.6 alfa
0.8
Jednoduch´e exponenci´aln´ı vyrovn´av´an´ı – volba α
0.7 0.6 0.5 0.4 0.3
celkova predikcni ctvercova chyba
0.8
Volba alfa − jednoduche e.v.
0.2
0.4
0.6 alfa
0.8
Srovn´an´ı s cviˇcenou opic´ı
Co dˇel´a cviˇcen´a opice: predikuje z´ıtˇrejˇs´ı hodnotu hodnotou z dneˇska. Celkov´a ˇctvercov´a chyba predikce: ◮
exp. tˇr´ıdˇen´ı s optimalizovanou volbou α: 0,301
◮
cviˇcen´a opice: 0,300
Z´avˇer: cviˇcen´a opice v tomto pˇr´ıpadˇe v´ıtˇez´ı nad exponenci´aln´ım vyrovn´av´an´ım. Pouˇcen´ı: ne vˇzdy plat´ı, ˇze ˇc´ım sofistikovanˇejˇs´ı metoda, t´ım lepˇs´ı v´ysledek. Pozn´amka: kdo um´ı v predikci kurzu v´yraznˇe porazit cviˇcenou opici, zbohatne.
Teorie efektivn´ıch trh˚ u
1965 – Eugene Fama (NC 2013) Tzv. slab´a forma teorie efektivn´ıch trh˚ u ˇr´ık´a, ˇze na z´akladˇe technick´e anal´yzy minul´ych statistick´ych tvar˚ u nelze ceny akci´ı na burze pˇredv´ıdat. Grafaˇrsk´e techniky“ musej´ı tedy nevyhnutelnˇe ” selhat.
