Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta
BAKALÁŘSKÁ PRÁCE
Vladimíra Pavlicová Webová aplikace pro výuku základních poznatků z matematiky na střední škole Katedra didaktiky matematiky
Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Robová Jarmila, CSc. Studijní program: Geografie Studijní obor: Geografie a matematika se zaměřením na vzdělávání
2010
Ráda bych poděkovala vedoucí své bakalářské práce, paní RNDr. Jarmile Robové, CSc., za velmi pečlivé pročtení a podnětné rady i nápady, stejně jako za milý a ochotný přístup, kterého se mi od ní vždy dostalo.
Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci napsala samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce a jejím zveřejňováním. V Praze dne 24. května 2010
Vladimíra Pavlicová
2
Obsah Abstrakt / Abstract ........................................................................................................................... 4 Úvod ........................................................................................................................................................... 5 Uživatelská dokumentace ............................................................................................................ 7 1. Seznámení se s pojmy ..............................................................................................................10 1.1 Číselné obory........................................................................................................................... 12 1.2 Druhá odmocnina ................................................................................................................. 15 1.3 Algebraické výrazy ............................................................................................................... 17 1.4 Absolutní hodnota reálného čísla ................................................................................. 18 2. Mocniny ............................................................................................................................................20 2.1 Mocniny s přirozeným mocnitelem ............................................................................. 20 Cvičení ................................................................................................................................................ 26 2.2 Mocniny s celým mocnitelem .......................................................................................... 29 Cvičení ................................................................................................................................................ 33 3. Mnohočleny ....................................................................................................................................39 3.1 Výrazy ......................................................................................................................................... 39 Cvičení ................................................................................................................................................ 44 3.2 Početní operace s mnohočleny ....................................................................................... 49 Cvičení ................................................................................................................................................ 57 3.3 Rozklad mnohočlenů ........................................................................................................... 62 Cvičení ................................................................................................................................................ 65 Seznam použitých matematických symbolů...................................................................69 Závěr ........................................................................................................................................................70 Literatura ..............................................................................................................................................72 Nakládání s prací .............................................................................................................................73
3
Abstrakt Název práce: Webová aplikace pro výuku základních poznatků z matematiky na střední škole Autor: Vladimíra Pavlicová Katedra: Katedra didaktiky matematiky Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Jarmila Robová, CSc. e-mail vedoucího:
[email protected] Abstrakt: Předložená práce má za cíl sloužit jako výukový materiál pro žáky prvního ročníku středních škol, zaměřený na základní poznatky z matematiky. Konkrétně se zabývá učivem o mocninách a mnohočlenech. Tvoří ji dvě dílčí části – učební text, v němž je učivo srozumitelně vysvětleno a ilustrováno pomocí řešených příkladů; a úlohy k procvičení, v nichž si žáci mohou své znalosti ověřit, případně doplnit. Jelikož má práce formu webové aplikace, důraz je kladen na interaktivní prvky (např. krokovaná řešení, testy s výběrem z několika možností), které zvyšují atraktivitu předkládaného učiva pro žáky. Žáci si tudíž mohou učivo osvojit a procvičit zábavnou formou. Ke zvýšení zájmu žáků o tuto práci může přispět i fakt, že je volně přístupná na internetu. Klíčová slova: základní poznatky z matematiky, mocniny, mnohočleny
Abstract Title: Web application for teaching basic knowledge of mathematics at secondary school Author: Vladimíra Pavlicová Department: Department of Mathematics Education Supervisor: RNDr. Jarmila Robová, CSc. Supervisor's e-mail address:
[email protected] Abstract: The presented work is intended to serve as a teaching material for pupils of the first year of secondary school, focusing on the basic knowledge of mathematics. Specifically, it deals with the subject matter of powers and polynomials. It is composed of two sub-sections – an educational text, in which the subject matter is clearly explained and illustrated through solved examples, and exercises to practice, which allow pupils to check, eventually improve, their knowledge. Owing to the fact that the work has a form of a web application, the emphasis is placed on interactive elements (for example, step-by-step solutions, multiple choice tests), which increase the attractiveness of the presented curriculum for pupils. Pupils are therefore able to learn and practice the curriculum by enjoyable way. The fact that the application is freely available on the Internet can also increase pupils‘ interest in it. Keywords: basic knowledge of mathematics, powers, polynomials
4
Úvod Osvojení si základních poznatků z matematiky na střední škole je nezbytné pro úspěšné další studium, a to nejen matematiky, ale i jiných přírodních věd. Základní znalosti z matematiky, ačkoli tomu většina středoškolských žáků nevěří, jsou vyžadovány i na mnohých oborech vysokých škol, včetně těch humanitních. Přesto toto učivo činívá potíže. Žáci tudíž mnohdy již na počátku svého studia na střední škole získají mezery ve svých znalostech, které je pak dlouhodobě provází. Navíc, matematika bývá obecně považována za těžší a méně záživný předmět. Z výše uvedených důvodů jsem si zvolila k vypracování takovou práci, která by měla žákům prvních ročníků středních škol pomoci zvládnout tyto matematické základy, a to zábavnější formou. Cílem mé práce je tedy vytvoření interaktivních webových stránek zaměřených na výuku základních poznatků z matematiky na střední škole. Ty budou sestávat ze dvou dílčích částí – učebního textu, v němž bude jednoduše a srozumitelně vysvětleno učivo, provázené pro větší názornost řešenými příklady; a úlohami k procvičení, v nichž si žáci budou moci své znalosti ověřit, případně doplnit. Vzhledem k rozsahu práce se omezím na výklad a procvičení učiva o mocninách a mnohočlenech, přičemž v kapitole o mocninách se budu věnovat jen mocninám s přirozeným a celým mocnitelem. Důraz budu klást zejména na úlohy k procvičení, které by měly být nápadité a rozmanité, aby přitáhly žákovu pozornost a aby hravou formou přispěly k pochopení probraného učiva. Na závěr bych ráda uvedla ještě několik slov k vlastní motivaci pro psaní této práce. Jako možná budoucí učitelka matematiky a zeměpisu bych chtěla vytvořit práci, jež bude blízká mému studijnímu zaměření, tedy didaktice matematiky. Ačkoli nestuduji informatiku, tudíž tvorba webových stránek je pro mne novinkou, líbí se mi, že výsledky mé práce budou dostupné na internetu. Myslím si, že je to v současné době narůstajícího významu informačních technologií výborný prostředek, jak žáky zaujmout a formou hry je naučit důležité 5
matematické učivo. Doufám, že tato práce bude pro žáky přínosná a přispěje k rozšíření jejich matematických znalostí, a snad i k jejich většímu zájmu a zaujetí pro matematiku jako takovou.
6
Uživatelská dokumentace Webová aplikace je ke dni 24. května 2010 dostupná na adrese: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~pavlv7an/ V této webové aplikaci je vždy vlevo, s výjimkou titulní strany, umístěna navigace, zbylou část strany pak zabírá vlastní text práce. Za barvu pozadí byla zvolena světla žlutá, celá práce je pak laděna do pestrých barev. Záměrem bylo vybrat takové barvy, které by upoutaly, ale nenarušily žákovu pozornost, a zároveň ho příjemně naladily k učení. Práce je vždy členěna na vysvětlující učební text a interaktivní cvičení. V učebním textu se setkáme s definicemi, graficky oddělenými od ostatního textu oranžovou barvou, např.: Symbolem 𝑎 označujeme absolutní hodnotu reálného čísla a, přičemž platí: 1. pro 𝑎 ≥ 0 je 𝑎 = 𝑎, 2. pro 𝑎 < 0 je 𝑎 = −𝑎.
Věty, případně jiná důležitá tvrzení, jsou v zeleném rámečku: Sčítat a odčítat můžeme jen ty mocniny, které mají stejný základ a stejného mocnitele.
Symbolem „hvězdička“ je označeno „učivo navíc“, tj. nadstavbové poznámky nebo cvičení: ∀𝑎 ∈ ℝ: 𝑎1 = 𝑎 Pro větší přehlednost jsou v textu umístěny interaktivní odkazy, jejichž pomocí se přesuneme do jiné kapitoly, např. Algebraické výrazy, nebo na začátek aktuální stránky [nahoru].
7
Důležitou složkou práce jsou interaktivní cvičení, ty se člení do třech typů: 1. Krokované řešení Zadání: 2.6 Vypočítej: a) 4 ⋅ 34 − 2 ⋅ 33 − 5 ⋅ 34 + 8 ⋅ 33 = Řešení Pro zobrazení další části výpočtu je potřeba kliknout na symbol „otazník“. 1. krok: a) 4 ⋅ 34 − 2 ⋅ 33 − 5 ⋅ 34 + 8 ⋅ 33 = −34 + 6 ⋅ 33 = 2. krok: a) 4 ⋅ 34 − 2 ⋅ 33 − 5 ⋅ 34 + 8 ⋅ 33 = −34 + 6 ⋅ 33 = −34 + 2 ∙ 34 = 3. krok: a) 4 ⋅ 34 − 2 ⋅ 33 − 5 ⋅ 34 + 8 ⋅ 33 = −34 + 6 ⋅ 33 = −34 + 2 ∙ 34 = 34 = 4. krok: a) 4 ⋅ 34 − 2 ⋅ 33 − 5 ⋅ 34 + 8 ⋅ 33 = −34 + 6 ⋅ 33 = −34 + 2 ∙ 34 = 34 = 81
2. Výběr správné odpovědi z několika možných Zadání: 3. 16 Přiřaď odpovídající výrazy
8
Možné řešení:
Po kliknutí na tlačítko „Znova“ všechny vyplněné odpovědi zmizí a k dispozici je opět prázdné zadání.
3. Výběr s možnostmi „ano“, „ne“ Zadání: 3.9 Rozhodni, zda-li jsou následující tvrzení o mnohočlenu 𝟐𝟕𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏𝟒 pravdivá: a) Jedná se o mnohočlen třetího stupně. b) Jedná se o trojčlen. c) Absolutní člen je roven 27. d) Koeficient u kvadratického členu je roven 27. e) Koeficient u lineárního členu je roven -6.
Možné řešení:
Kliknutím na modře podtržený odkaz se otevře v novém okně vysvětlující text.
9
Kapitola 1 Seznámení se s pojmy Vítej na stránkách, které se věnují mocninám a mnohočlenům! V této, tedy úvodní, kapitole jsou vysvětleny základní pojmy, které jsou důležité pro pochopení dalšího textu. Druhá kapitola se pak zabývá mocninami, třetí kapitola se soustřeďuje na mnohočleny. Na konci práce je uveden seznam použitých matematických symbolů. Nejdříve je vždy uveden učební text, ve kterém jsou pro lepší pochopení látky začleněny i vzorově vyřešené příklady. Na učební text pak navazují interaktivní cvičení – v nich si můžeš rozmanitou formou látku procvičit. Členění této kapitoly: o Číselné obory o Algebraické výrazy o Absolutní hodnota reálného čísla o Druhá odmocnina
Jak webové stránky používat? V učebním textu jsou pro větší přehlednost barevně odlišena důležitá tvrzení, a to dle následujícího schématu: oranžová barva značí definice, zelená barva upozorňuje na věty, příp. důležitá tvrzení.
10
Na stránkách také nalezneme interaktivní prvky, a to nejen v podobě odkazů (s výjimkou navigace jsou všechny odkazy podtržené), ale i dvou symbolů: hvězdička“ reprezentuje „učivo navíc“, i po rozkliknutí zůstává za textem „otazník“ symbolizuje řešení, po rozkliknutí zmizí Cvičení slouží k ověření získaných znalostí, proto se řešení ukáže až po:
vybrání odpovědi
kliknutí na symbol „otazník“
kliknutí na možnost „ano“, „ne“
Pokud je za cvičením k dispozici tlačítko „Znova“ (
), kliknutím na toto
tlačítko se vymažou předchozí odpovědi a můžeš začít vyplňovat cvičení od začátku. V některých cvičeních, pokud uděláš chybu, se ti objeví odkaz na text, který danou problematiku vysvětluje. Pokud na něj klikneš, daný odkaz se ti otevře pro lepší přehlednost v novém okně.
11
1.1 Číselné obory Číselným oborem rozumíme číselnou množinu, na které jsou definovány bez omezení početní operace sčítání a násobení, tj. číselný obor je vzhledem k těmto operacím uzavřený.
Pozn. Uzavřenost číselného oboru vzhledem k početní operaci znamená, že výsledkem početní operace mezi dvěma libovolnými prvky z příslušné číselné množiny je číslo, které také patří do této číselné množiny.
Obor všech přirozených čísel je tvořen množinou čísel 1, 2, 3, …, na které jsou definovány bez omezení početní operace sčítání a násobení. Značíme ℕ.
Obor všech celých čísel je tvořen množinou obsahující všechna přirozená čísla, všechna čísla opačná k přirozeným číslům a nulu, na které jsou definovány bez omezení početní operace sčítání, odčítání a násobení. Značíme ℤ.
Pozn. Opačným číslem – 𝑎 k číslu 𝑎 rozumíme takové číslo, pro něž je 𝑎 + −𝑎 = 0. Opačné číslo ke kladnému číslu je číslo záporné (např. 𝑎 = 2, −𝑎 = −2), opačné číslo k zápornému číslu je číslo kladné (např. 𝑏 = −6, −𝑏 = 6). Opačné číslo k číslu nula je číslo nula. Příklad Rozhodni, zda-li následující tvrzení jsou pravdivá: a) Číslo 0 náleží do oboru přirozených čísel. Řešení Ne, číslo 0 náleží do oboru celých čísel.
12
b) Opačným číslem k číslu −11 je číslo 11. Řešení Ano, toto tvrzení je pravdivé. c) Číslo −2 náleží do oboru přirozených čísel. Řešení Ne, číslo −2 náleží do oboru celých čísel.
Obor všech racionálních čísel je tvořen množinou obsahující taková čísla, 𝑎
která lze zapsat ve tvaru 𝑏 , kde 𝑎 ∈ ℤ, 𝑏 ∈ ℕ, na které jsou definovány bez omezení početní operace sčítání, odčítání, násobení a dělení nenulovým číslem. Značíme ℚ.
Pozn. Množinu racionálních čísel můžeme také popsat tak, že obsahuje čísla s konečným desetinným rozvojem (např. číslo 1,25) a nekonečným periodickým desetinným rozvojem (např. číslo 1, 3).
Obor všech reálných čísel je tvořen množinou obsahující všechna racionální čísla a čísla s nekonečným neperiodickým desetinným rozvojem, na které jsou definovány bez omezení početní operace sčítání, odčítání, násobení a dělení nenulovým číslem. Značíme ℝ.
Pozn. Reálné číslo, které zároveň nepatří do množiny racionálních čísel, nazýváme iracionální číslo. Příkladem iracionálního čísla je číslo π (tj. Ludolfovo číslo, které představuje podíl obvodu libovolné kružnice a jejího průměru), které má nekonečný neperiodický desetinný rozvoj.
13
Pozn. Každé reálné číslo můžeme znázornit jako bod na číselné ose. A zároveň každý bod na číselné ose reprezentuje jedno reálné číslo.
0
− 2
9 4
1
π
Pozn. Zápis 𝑎 ∈ ℤ čteme 𝑎 náleží Z. Tento zápis znamená, že číslo 𝑎 je prvkem oboru celých čísel. Příklad Rozhodni, zda platí: a) 3,14 ∈ ℚ Řešení Ano, protože se jedná o číslo s konečným desetinným rozvojem. b) 𝜋 ∈ ℚ Řešení Ne, Ludolfovo číslo má nekonečný neperiodický desetinný rozvoj, proto do oboru racionálních čísel nepatří. c) −0,456 122 ∈ ℚ Řešení Ano, protože se jedná o číslo s konečným desetinným rozvojem. Vztah mezi číselnými množinami lze schematicky vyjádřit: R N
Z
14
Q
Na závěr se podíváme, jaké vlastnosti má každý číselný obor: Pro každá tři čísla a, b, c z číselného oboru platí: 1. asociativnost sčítání a násobení 𝑎+ 𝑏+𝑐 = 𝑎+𝑏 +𝑐 𝑎⋅ 𝑏⋅𝑐 = 𝑎⋅𝑏 ⋅𝑐 2. komutativnost sčítání a násobení 𝑎+𝑏 =𝑏+𝑎 𝑎⋅𝑏 = 𝑏⋅𝑎 3. existence neutrálního prvku vzhledem ke sčítání a násobení 0 + 𝑎 = 𝑎 (s výjimkou oboru přirozených čísel) 1⋅𝑎 =𝑎 4. distributivnost násobení vzhledem ke sčítání 𝑎 𝑏 + 𝑐 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐
Pozn. Neutrální prvek vzhledem k početní operaci je takový prvek, který neovlivní výsledek početní operace. Pozn. V oboru přirozených čísel platí existence neutrálního prvku jen vzhledem k násobení. Existence neutrálního prvku vzhledem ke sčítání v něm neplatí, protože do oboru přirozených čísel nezahrnujeme číslo 0.
1.2 Druhá odmocnina Jestliže a, b jsou dvě nezáporná reálná čísla taková, že pro ně platí 𝑏 ⋅ 𝑏 = 𝑎, pak číslo b nazýváme druhá odmocnina z čísla a. Značíme 𝑏 = 𝑎.
Číslo a nazýváme základ odmocniny (odmocněnec), symbol odmocnítko.
15
je
druhá odmocnina z čísla a
odmocnítko
𝑏= 𝑎 základ odmocniny
Z definice tedy vyplývají dvě důležitá tvrzení: Druhou odmocninu umíme určit pouze z nezáporného reálného čísla.
To znamená, že druhá odmocnina ze záporného čísla není v oboru reálných čísel vůbec definována.
Druhá odmocnina z nezáporného čísla je vždy nezáporné číslo.
Přestože platí 3 ⋅ 3 = 9 a zároveň −3 ⋅ −3 = 9 , tak výsledek druhé odmocniny z devíti je jednoznačný, a to 9 = 3 (protože v definici požadujeme, aby byla obě čísla, tj. a i b, nezáporná).
Příklad Vypočítej: a) 4 Řešení 4 = 2, protože 2 ⋅ 2 = 4. b) 16 Řešení 16 = 4, protože 4 ⋅ 4 = 16.
16
c) −25 Řešení Tato odmocnina není v oboru reálných čísel definována, protože druhou odmocninu umíme určit jen z nezáporného reálného čísla. d) 81 Řešení 81 = 9, protože 9 ⋅ 9 = 81.
e) 6,25 Řešení 6,25 = 2,5, protože 2,5 ⋅ 2,5 = 6,25.
1.3 Algebraické výrazy Algebraický výraz je každý matematický zápis, který je tvořen z konstant a proměnných, mezi nimiž jsou pomocí algebraických operací (např. sčítání, násobení) a závorek vytvořeny smysluplné vztahy.
Pozn. Pojmem proměnná označujeme libovolné písmeno, které zastupuje čísla z určitého oboru. Konkrétní čísla, která se objevují ve výrazech, označujeme jako konstanty. 1
Výraz je např. zápis 5 − 2 ⋅ 3 + 4 11 − 2 . Naopak výrazem není zápis 3 5 + . Ve výrazu 3𝑥 − 2𝑦 + 𝑦𝑧 jsou čísla 3, −2 konstanty, písmena 𝑥, 𝑦, 𝑧 jsou proměnné z oboru reálných čísel. Více se s výrazy seznámíme v kapitole Výrazy.
17
1.4 Absolutní hodnota reálného čísla Symbolem 𝑎 označujeme absolutní hodnotu reálného čísla a, přičemž platí: 1. pro 𝑎 ≥ 0 je 𝑎 = 𝑎, 2. pro 𝑎 < 0 je 𝑎 = −𝑎.
Jaký je geometrický význam absolutní hodnoty reálného čísla? Absolutní hodnota reálného čísla je rovna vzdálenosti obrazu tohoto čísla od obrazu nuly na číselné ose.
-a
0
a
𝑎
𝑎
Důležité vlastnosti absolutní hodnoty reálného čísla a: 1. Pro všechna reálná čísla a je 𝑎 ≥ 0, 2. pro všechna reálná čísla a platí 𝑎 = −𝑎 , 3. pro každé reálné číslo a platí 𝑎2 = 𝑎 .
Příklad Vypočítej: a) −3 Řešení −3 = 3 b) 2,5 Řešení 2,5 = 2,5
18
c)
1 8
Řešení 1 1 = 8 8 3
d) − 4 Řešení −
3 3 = 4 4
e) 𝑥 2 Řešení 𝑥2 = 𝑥
19
Kapitola 2 Mocniny Tato kapitola se dělí na dva dílčí celky. V prvním celku se dozvíme, co je mocnina s přirozeným mocnitelem a jaká početní pravidla pro ni platí. V druhém celku pojem mocnina zobecníme, budeme se věnovat mocninám s celým mocnitelem. Nejdříve je vždy uveden učební text, ve kterém jsou pro lepší pochopení látky začleněny i vzorově vyřešené příklady. Na učební text pak navazují interaktivní cvičení – v nich si můžeš rozmanitou formou látku procvičit. Členění této kapitoly: o Mocniny s přirozeným mocnitelem
Cvičení
o Mocniny s celým mocnitelem
Cvičení
2.1 Mocniny s přirozeným mocnitelem V matematice se setkáváme se složitými výpočty, přesto se matematikové snaží zapisovat své výsledky a výpočty co nejelegantněji, aby byly stručné a přehledné. Proto se místo zápisu 2 + 2 + 2 + 2 používá elegantnější zápis 2 ⋅ 4. Obdobně místo součinu 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 píšeme 24 , tedy zápis pomocí mocniny. A jak vlastně mocninu s přirozeným mocnitelem definujeme? Pro každé reálné číslo a a každé přirozené číslo n platí: 𝑎𝑛 = 𝑎 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑎 ⋅ … ⋅ 𝑎 𝑛 č𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑙 ů
20
Výraz 𝑎𝑛 nazýváme mocnina, a je základ mocniny (mocněnec), n je mocnitel (exponent). mocnitel (exponent) mocnina
𝑎𝑛 základ mocniny (mocněnec)
Tedy 24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 4 činitelé
Z uvedené definice dále vyplývá, že: 1. Pro každé reálné číslo a platí 𝑎1 = 𝑎, ∀𝑎 ∈ ℝ: 𝑎1 = 𝑎 2. pro každé přirozené číslo n platí 1𝑛 = 1 a 0𝑛 = 0. ∀𝑛 ∈ ℕ: 1𝑛 = 1 ∧ 0𝑛 = 0
Příklad Vypočítej: a) 33 Řešení 33 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 27 b) 25 Řešení 25 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 32 c) 71 Řešení 71 = 7
21
d) 04 Řešení 04 = 0 ⋅ 0 ⋅ 0 ⋅ 0 = 0 e) 17 Řešení 17 = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1
Nyní se podíváme, kdy je mocnina reálného čísla s přirozeným mocnitelem kladné a kdy záporné číslo.
Je-li základ mocniny kladné reálné číslo (𝑎 > 0), tak je mocnina vždy kladná, což vidíme přímo z definice (součin kladných čísel je kladné číslo).
Je-li základ mocniny záporné reálné číslo (𝑎 < 0), tak mohou nastat dva případy. Když je mocnitel sudé číslo, pak je mocnina číslo kladné (součin sudého počtu záporných čísel je číslo kladné). Je-li však mocnitel liché číslo, pak mocnina je číslo záporné (součin lichého počtu záporných čísel je číslo záporné).
Je-li základ mocniny číslo nula, pak mocnina je rovna nule. 𝑎>0 𝑎<0 𝑎=0
Příklad Rozhodni, zda-li je mocnina a číslo kladné: a) 2513
Ano, protože 𝑎 > 0.
b) (−5)3
Ne, protože 𝑎 < 0 a n je liché.
c)
1 5 8
Ano, protože 𝑎 > 0.
22
𝑎𝑛 > 0 𝑎𝑛 > 0 pro n sudé 𝑎𝑛 < 0 pro n liché 𝑎𝑛 = 0
d) (−7)8
Ano, protože 𝑎 < 0 a n je sudé.
e) (−4)9
Ne, protože 𝑎 < 0 a n je liché.
Pozor! Je rozdíl mezi zápisem (−2)4 a −24 . V prvním případě je 𝑎 = −2, tj. 𝑎 < 0 a zároveň n je sudé, proto je podle tabulky tato mocnina číslo kladné. Tento výraz můžeme také přepsat jako (−2)4 = (−1)4 ⋅ 24 = 1 ⋅ 24 = 24 = 16. Ve druhém případě se vlastně jedná o výraz −1 ⋅ 24 = −1 ⋅ 16 = −16, tudíž výsledek je číslo záporné.
Abychom mohli počítat i o něco složitější příklady, uvedeme si věty pro počítání s mocninami, které lze odvodit z definice mocniny. Pro každá dvě reálná čísla a, b a pro každá přirozená čísla r, s platí: 1. 𝑎𝑟 ⋅ 𝑎 𝑠 = 𝑎𝑟+𝑠 , 2. 𝑎𝑟
𝑠
= 𝑎𝑟⋅𝑠 ,
𝑎𝑟
3. 𝑎 𝑠 = 𝑎𝑟−𝑠 , 4. 𝑎 ⋅ 𝑏 5.
𝑎 𝑟
𝑟
𝑎 ≠ 0, 𝑟 > 𝑠,
= 𝑎𝑟 ⋅ 𝑏𝑟 , 𝑎𝑟
= 𝑏 𝑟 , 𝑏 ≠ 0.
𝑏
Důkaz: 1. 𝑎𝑟 ⋅ 𝑎 𝑠 = 𝑎 ⋅ 𝑎 ⋅ … ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑎 ⋅ … ⋅ 𝑎 = 𝑎 ⋅ 𝑎 ⋅ … ⋅ 𝑎 = 𝑎𝑟+𝑠 𝑟 č𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑙 ů
𝑠 č𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑙 ů
𝑟 +𝑠 č𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑙 ů
𝑠
2. 𝑎𝑟
𝑠
= 𝑎 ⋅𝑎 ⋅…⋅ 𝑎
= 𝑎 ⋅ 𝑎 ⋅ …⋅ 𝑎 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑎 ⋅ …⋅ 𝑎 ⋅ …⋅ 𝑎 ⋅ 𝑎 ⋅ …⋅ 𝑎 =
𝑟 č𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑙 ů
𝑟 č𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑙 ů
𝑟 č𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑙 ů 𝑠 𝑧á𝑣𝑜𝑟𝑒𝑘
= 𝑎 ⋅ 𝑎 ⋅ … ⋅ 𝑎 = 𝑎𝑟⋅𝑠 𝑟⋅𝑠 č𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑙 ů
3.
𝑎𝑟 𝑎𝑠
𝑟 č𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑙 ů
=
𝑎 ⋅𝑎 ⋅...⋅𝑎 𝑎 ⋅𝑎 ⋅…⋅𝑎 𝑠 č𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑙 ů
𝑟>𝑠
=
𝑠 č𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑙 ů 𝑟−𝑠 č𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑙 ů
𝑎⋅𝑎 ⋅...⋅𝑎 ⋅ 𝑎 ⋅𝑎 ⋅...⋅𝑎 𝑎 ⋅𝑎 ⋅…⋅𝑎
= 𝑎𝑟−𝑠
𝑠 č𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑙 ů
23
𝑟 č𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑙 ů
𝑟
4. 𝑎 ⋅ 𝑏
= 𝑎 ⋅𝑏 ⋅ 𝑎 ⋅𝑏 ⋅ …⋅ 𝑎 ⋅𝑏 = 𝑎 ⋅𝑎 ⋅…⋅ 𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅𝑏 ⋅…⋅𝑏 = 𝑟−𝑘𝑟 á𝑡
𝑟 č𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑙 ů
= 𝑎𝑟 ⋅ 𝑏𝑟 𝑟 č𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑙 ů
𝑎 𝑟
5.
=
𝑏
𝑎 𝑏
⋅
𝑎
⋅ …⋅
𝑏 𝑟−𝑘𝑟 á𝑡
𝑎 𝑏
𝑎 ⋅𝑎 ⋅...⋅𝑎
=
𝑏 ⋅𝑏⋅…⋅𝑏
𝑎𝑟
= 𝑏𝑟
𝑟 č𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑙 ů
Příklad Vypočítej: a) 23 ⋅ 22 Řešení 23 ⋅ 22 = 23+2 = 25 = 32 b) 53
1
Řešení 53
1
= 53⋅1 = 53 = 125
76
c) 74 Řešení 76 = 76−4 = 72 = 49 74 d) 2 ⋅ 3
2
Řešení 2⋅3
e)
2
= 22 ⋅ 32 = 4 ⋅ 9 = 36
1 4 2
Řešení 1 2
4
14 1 = 4= 2 16
24
𝑟 č𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑙 ů
A jakým způsobem sčítáme a odčítáme mocniny? Sčítat a odčítat můžeme jen ty mocniny, které mají stejný základ a stejného mocnitele.
Příklad Vypočítej: a) 23 + 3 ⋅ 23 Řešení 23 + 3 ⋅ 23 = 4 ⋅ 23 = 4 ⋅ 8 = 32 b) 6 ⋅ 42 − 5 ⋅ 42 + 2 ⋅ 42 Řešení 6 ⋅ 42 − 5 ⋅ 42 + 2 ⋅ 42 = 3 ⋅ 42 = 3 ⋅ 16 = 48 c) 22 + 23 + 3 ⋅ 22 Řešení 22 + 23 + 3 ⋅ 22 = 4 ⋅ 22 + 23 = 4 ⋅ 4 + 8 = 24 d) 52 − 32 + 53 + 34 − 2 ⋅ 53 Řešení 52 − 32 + 53 + 34 − 2 ⋅ 53 = 52 − 32 − 53 + 34 = 25 − 9 − 125 + 81 = −28
25
Cvičení 2.1 Přiřaď :
a) 16 = b) −1
17
=
c) 23 = d)
1 1 3
=
e) 04 = 1 4
f) − 2 g)
1 3 3
=
=
A
B
C
D
E
F
G
1 16
8
0
1 27
1
1 3
−1
A
B
C
D
E
F
G
OK
A
B
C
D
E
F
G
OK
A
B
C
D
E
F
G
OK
A
B
C
D
E
F
G
OK
A
B
C
D
E
F
G
OK
A
B
C
D
E
F
G
OK
A
B
C
D
E
F
G
OK
2.2 Rozhodni, zda-li je mocnina číslo kladné: a) 93
OK
b) −9 c)
3
OK
1 5
OK
9 1 5
OK
d) − 9 e) −6
4
OK
1 6
OK
f) − 6
g) −6 + 2 h)
−1 5
OK OK
−7
i) −3 ⋅ 2
3
3
OK
26
2.3 Přiřaď: A 31 a) 34
3
=
34
4
d) 10
3
g) 0,3 h)
3 3
2
F
G
H
3
0,09
312
37
3 3
24 ⋅ 54
D
E
F
G
H
OK
A
B
C
D
E
F
G
H
OK
A
B
C
D
E
F
G
H
OK
A
B
C
D
E
F
G
H
OK
A
B
C
D
E
F
G
H
OK
=
A
B
C
D
E
F
G
H
OK
=
A
B
C
D
E
F
G
H
OK
A
B
C
D
E
F
G
H
OK
=
e) 20 4 = 3
E
C
24
f)
D
B
=
33
C 4
A
b) 34 ⋅ 33 = c)
B 1 10
=
2.4 Rozhodni, zda-li je mocnina číslo kladné: a) (−5)4
OK
b) −54
OK
c) (−8)5
OK
d) −85
OK
e) −122
OK
f) (−12)2
OK
2.5 Vypočítej: 58
58
a) 52 ⋅54 = 56 = 52 = 25 53 ⋅24
2
56 ⋅28
b) 52 ⋅53 ⋅27 = 55 ⋅27 = 5 ⋅ 2 = 10 −2 6 ⋅35
c) 25 ⋅
−3
3
26 ⋅35
= 25 ⋅
−1 ⋅33
= −1 ⋅ 2 ⋅ 32 = −18 27
d)
e)
f)
−2 5 ⋅ −2 2 ⋅22 −2
9
3 −3 3 ⋅ −2
=
−2 5 ⋅ −3 7
72
4
3
⋅
−2 7 ⋅22
=
−2
−3 9 ⋅ −2 3
6 −2 3 + −11 ⋅ −3 3
−7
−3
−2 2
=
25 ⋅37
7⋅
22
=
9
5
=1
−1 ⋅32 ⋅ −1
9
=4
22
78
−8+11 6 ⋅ −3 3
= 34 ⋅
−1
⋅77 ⋅
5
−3
78
36 ⋅ −3 3
= 34 ⋅
−1
⋅77 ⋅
−3
5
7⋅32
=
−1 ⋅ −3 2
= −7
2.6 Vypočítej: a) 4 ⋅ 34 − 2 ⋅ 33 − 5 ⋅ 34 + 8 ⋅ 33 = −34 + 6 ⋅ 33 = −34 + 2 ∙ 34 = 34 = 81 b) 24 − 6 ⋅ 22 + 23 + 9 ⋅ 22 − 33 = 2 ⋅ 23 + 3 ⋅ 22 + 23 − 33 = 3 ⋅ 23 + 3 ⋅ 22 − 33 = 3 ⋅ 8 + 3 ⋅ 4 − 27 = 24 + 12 − 27 = 9 c) 22 ⋅ 32 + 32 − 5 ⋅ 22 = 5 ⋅ 32 − 5 ⋅ 22 = 5 ⋅ 9 − 5 ⋅ 4 = 45 − 20 = 25
d)
33 +34 −2⋅33
=
22 ⋅52 +5
−33 +34 4⋅25+5
=
−33 +3⋅33
=
100 +5
2⋅33 105
=
2⋅27 105
54
18
= 105 = 35
2.7 Vyjádři pomocí mocnin o základu 2, 3 nebo 5: a)
27 5 ⋅16 2 4 6 ⋅9
32 2 ⋅9
64
⋅ 813 =
33
5
⋅ 24
22 6 ⋅32
25
54 3
b) 6⋅24 3 ÷ 18 4 ⋅81 = 2⋅3⋅ 8⋅3 3
c) 310 ⋅27 ⋅
10 2 ⋅36 4
27 3 25
d) 45 2 ⋅32 5 ÷
⋅ 57 =
27 4 ⋅125 2 12 2 ⋅60 6
2
=
2
26
⋅
⋅32
23 ⋅3
23 ⋅3
315 ⋅28
34 3
3
310 ⋅27
4
2⋅32
3 ⋅
⋅34
33 ⋅2 3
⋅
33
3
52 3
4 2⋅5 2 ⋅ 22 ⋅32
32 ⋅5 2 ⋅
26
= 212 ⋅32 ⋅ 312 = 22 ⋅ 3
25 5
210 ⋅32
= 2⋅3⋅29 ⋅33 ⋅ 29 ⋅33
24 ⋅38 ⋅34 39 ⋅23
= 2⋅3
39
⋅ 57 = 310 ⋅27 ⋅ 56 ⋅ 57 = 22 ⋅ 32 ⋅ 5
⋅
22 ⋅3
2
⋅ 22 ⋅3⋅5
33 4 ⋅
= 2 ⋅ 30 ⋅ 50 = 2
28
53 2
6
=
22 ⋅52 ⋅28 ⋅38 34 ⋅52 ⋅225
⋅
24 ⋅32 ⋅212 ⋅36 ⋅56 312 ⋅56
=
2.8 Vypočítej: 5𝑥 2 𝑦 4
a) 2
2
3𝑥 3 𝑦 2
b)
c)
2𝑥𝑦 3
2𝑥𝑦 2
𝑥 5𝑦 6 3𝑥 2 𝑦 4
5𝑥 2 𝑦 4
8𝑥 3 𝑦 3
⋅ 10𝑥 𝑦 2 = 2𝑥 2 𝑦 4 ⋅ 10𝑥 𝑦 2 = 2𝑥 2 𝑦
𝑥𝑦 2 2
⋅
2 ÷
2𝑥𝑦 2 3 𝑥𝑦
3 4
9𝑥 6 𝑦 4
3
𝑥𝑦 2
8𝑥 3 𝑦 6
= 4𝑥 2 𝑦 4 ⋅ 3𝑥 4 𝑦 4 = 6𝑥 3 𝑦 2
3𝑥 3 𝑦 4
=
𝑥 5𝑦 6
27𝑥 9 𝑦 12
9𝑥 4 𝑦
𝑥 3𝑦 6
8 ⋅
= 3𝑥 7 𝑦 4
2.9 Vypočítej za předpokladu, že 𝒙, 𝒚, 𝒛 ∈ ℝ − 𝟎 a 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ ℕ: a) (𝑥 2𝑎 +𝑏 𝑦 𝑎 )𝑐 (𝑥 𝑐 𝑦 𝑏 )𝑎 = 𝑥 2𝑎𝑐 +𝑏𝑐 𝑦 𝑎𝑐 𝑥 𝑎𝑐 𝑦 𝑎𝑏 = 𝑥 3𝑎𝑐 +𝑏𝑐 𝑦 𝑎𝑐 +𝑎𝑏
b)
c)
𝑥 𝑎 +𝑏 𝑧 3𝑏 𝑦 2𝑎 +3
𝑥 2𝑏 𝑦 3𝑎 +2
d) (
𝑧 2𝑎
𝑥𝑏
⋅ 𝑦 2 𝑧 2𝑏 =
𝑥 𝑎 +2𝑏 𝑧 𝑏
𝑦𝑥𝑏
÷ 𝑧 4𝑎 +𝑐 =
𝑥 3+5𝑎 𝑦 𝑎 𝑏 ) 𝑧𝑎
𝑦 2𝑎 +5
𝑥 2𝑏 𝑦 3𝑎 +2 𝑧 2𝑎
𝑧 𝑏 +𝑐
⋅ (𝑦 𝑏 𝑥 2𝑏 )𝑎 =
⋅
𝑧 4𝑎 +𝑐 𝑦𝑥𝑏
𝑥 3𝑏 +5𝑎𝑏 𝑦 𝑎𝑏 𝑧 𝑎𝑏
= 𝑥 𝑏 𝑦 3𝑎+1 𝑧 2𝑎 +𝑐
𝑧 𝑎𝑏 +𝑎𝑐
⋅ 𝑦 𝑎𝑏 𝑥 2𝑎𝑏 = 𝑥 3𝑏+3𝑎𝑏 𝑧 𝑎𝑐
2.2 Mocniny s celým mocnitelem Víme už, co je to mocnina s přirozeným mocnitelem a jaká pravidla pro ni platí. Co se ale stane, když za mocnitele dosadíme celé číslo? Nejdříve se znovu podíváme na pravidla pro počítání s mocninami s přirozeným mocnitelem. Když si jednotlivé věty pečlivě pročteme, zjistíme, že ve všech může být mocnitelem libovolné přirozené číslo. Jenom v jedné větě je pro mocnitele připojena další podmínka. O kterou větu se jedná? Přeci o pravidlo dělení mocnin se stejným základem! K této větě je připojena podmínka, že pro mocnitele r, s platí: 𝑟 > 𝑠. 29
Zkusme se podívat, co se stane, když tato podmínka nebude platit. Tedy když 𝑟 = 𝑠 nebo 𝑟 < 𝑠. 1. případ: 𝒓 = 𝒔 𝑎𝑟
Je zřejmé, že rovnost 𝑎 𝑟 = 1 platí pro každé nenulové reálné číslo a a pro libovolné přirozené číslo r. Využijeme-li navíc vztah 0 = 𝑟 − 𝑟, pak můžeme psát: 𝑎𝑟
1 = 𝑎 𝑟 = 𝑎𝑟−𝑟 = 𝑎0 . Proto definujeme: Pro každé reálné nenulové číslo a platí 𝑎0 = 1.
Pozn. Požadujeme, aby číslo a bylo nenulové, protože výraz 00 není definován. 𝑎𝑟
Z uvedeného zápisu je vidět, že námi zkoumaná věta 𝑎 𝑠 = 𝑎𝑟−𝑠 platí i v případě, že 𝑟 = 𝑠.
2. případ: 𝒓 < 𝑠 Pro každé nenulové reálné číslo a a pro všechna přirozená čísla r, s, která splňují druhý případ, tedy 𝑟 < 𝑠 platí, že: 𝑎𝑟 𝑎𝑠
𝑟 č𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑙 ů
=
𝑎 ⋅𝑎 ⋅...⋅𝑎 𝑎 ⋅𝑎 ⋅…⋅𝑎 𝑠 č𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑙 ů
𝑟 č𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑙 ů
=
𝑎 ⋅𝑎 ⋅...⋅𝑎 𝑎 ⋅𝑎 ⋅…⋅𝑎 ⋅ 𝑎 ⋅𝑎 ⋅…⋅𝑎 𝑟 č𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑙 ů 𝑠−𝑟 č𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑙 ů
=
1
1
𝑎 ⋅𝑎 ⋅…⋅𝑎
= 𝑎 𝑠−𝑟 , kde 𝑠 − 𝑟 je přirozené číslo.
𝑠−𝑟 č𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑙 ů
Odtud tedy definujeme: 1
Pro každé nenulové reálné číslo a a pro každé celé číslo k platí 𝑎−𝑘 = 𝑎 𝑘 .
Podle uvedené definice můžeme napsat následující rovnost: 𝑎𝑟 𝑎𝑠
1
= 𝑎 𝑠−𝑟 = 𝑎− 𝑠−𝑟 = 𝑎 −𝑠+𝑟 = 𝑎𝑟−𝑠 , přičemž 𝑟 − 𝑠 je záporné celé číslo. Pak ale
vidíme, že věta
𝑎𝑟 𝑎𝑠
= 𝑎𝑟−𝑠 platí i v případě, že 𝑟 < 𝑠. 30
Příklad Vypočítej: a) 50 Řešení 50 = 1 (podle definice) b) 00 Řešení Tento výraz není definován. c) 2−3 Řešení 2−3 =
1 1 = 23 8 −3
d) 0,1 Řešení 0,1
−3
1 10
=
−3
=
10 1
3
= 1 000
A nyní si můžeme uvést všechny věty pro počítání s mocninami s celým mocnitelem. Pozorný čtenář si jistě všimne, že tyto věty odpovídají větám pro počítání s mocninami s přirozeným mocnitelem. Pouze zmizela podmínka pro mocnitele ve větě o dělení mocnin se stejným základem. Pro každá dvě reálná čísla a, b a pro každá celá čísla r, s platí: 1. 𝑎𝑟 ⋅ 𝑎 𝑠 = 𝑎𝑟+𝑠 , 2. 𝑎𝑟 3.
𝑎𝑟 𝑎𝑠
𝑠
= 𝑎𝑟−𝑠 , 𝑎 ≠ 0,
4. 𝑎 ⋅ 𝑏 5.
𝑎 𝑟 𝑏
= 𝑎𝑟𝑠 ,
𝑟
= 𝑎𝑟 ⋅ 𝑏𝑟 , 𝑎𝑟
= 𝑏 𝑟 , 𝑏 ≠ 0.
31
Příklad Vypočítej za předpokladu, že x, y, z jsou nenulová reálná čísla: a) 2𝑥 3 𝑦 −4 𝑧 −2 ⋅ 3𝑥 −3 𝑦 6 𝑧 −3 Řešení 2𝑥 3 𝑦 −4 𝑧 −2 ⋅ 3𝑥 −3 𝑦 6 𝑧 −3 = 6𝑥 0 𝑦 2 𝑧 −5 =
b) 3𝑥 −2 𝑦 4 𝑧 −3
−2
6𝑦 2 𝑧5
⋅ 9𝑥 −3 𝑦 6 𝑧 3
Řešení 3𝑥 −2 𝑦 4 𝑧 −3
c)
16𝑥 7 𝑦 −3 𝑧 −2
÷
−2
⋅ 9𝑥 −3 𝑦 6 𝑧 3 =
2−1 𝑦 5
1 4 −8 6 𝑥𝑧 9 𝑥 𝑦 𝑧 ⋅ 9𝑥 −3 𝑦 6 𝑧 3 = 𝑥𝑦 −2 𝑧 9 = 2 9 𝑦
−3
𝑥 4 𝑧 −3
Řešení 16𝑥 7 𝑦 −3 𝑧 −2
÷
2−1 𝑦 5
−3
𝑥 4 𝑧 −3
=
16𝑥 7 𝑦 −3 𝑧 −2
⋅
𝑦5 2𝑥 4 𝑧 −3
3
=
16𝑥 7 𝑦 −3 𝑧 −2
𝑦 15
2𝑦 12
⋅ 8𝑥 12 𝑧 −9 = 𝑥 5 𝑧 −11 =
2𝑦 12 𝑧 11 𝑥5
Na závěr si ještě uvedeme způsob, jakým v matematice i v dalších přírodních vědách zapisujeme velká čísla, aby byl zápis přehlednější. Využíváme k tomu mocniny se základem 10, tedy zápis vypadá takto: 𝑎 ⋅ 10𝑛 , kde 1 ≤ 𝑎 < 10, 𝑛 ∈ ℤ. Exponent n odpovídá řádu první platné číslici zapisovaného čísla. Poznámka: Tento typ zápisu se nazývá semilogaritmický tvar. Číslu a se říká mantisa. Příklad Zapiš ve tvaru 𝑎 ⋅ 10𝑛 , kde 1 ≤ 𝑎 < 10, 𝑛 ∈ ℤ: a) 31 000 Řešení 31 000 = 3,1 ⋅ 104
32
b) 553 Řešení 553 = 5,53 ⋅ 102 c) 0,002 8 Řešení 0,002 8 = 2,8 ⋅ 10−3 d) 0,000 987 Řešení 0,000 987 = 9,87 ⋅ 10−4
Cvičení 2.10 Přiřaď:
a)
1 −3
=
2
1 −3
b) − 2 c) −
=
−2
1 2
=
A
B
C
D
E
F
G
2
−2
1
8
−8
−2 2
2 2
A
B
C
D
E
F
G
OK
A
B
C
D
E
F
G
OK
A
B
C
D
E
F
G
OK
A
B
C
D
E
F
G
OK
A
B
C
D
E
F
G
OK
A
B
C
D
E
F
G
OK
A
B
C
D
E
F
G
OK
d) − e)
−3
1
2 1 −3
=
2
f) −
1
=
0
2 1 −1
g) − 2
= =
33
2.11 Zapiš jako mocninu 𝒂𝒏 (𝒂 ∈ ℝ − 𝟎 , 𝒏 ∈ ℤ): a) 3−3 ⋅ 35 = 3−15 3−2 32 OK b) 22
−3
=
2−6 2−5 2−1 OK c)
54 5 −3
= 5−12 5−1 57 OK
d) 𝑎2 ⋅ 𝑎4 ⋅ 𝑎−3 = 𝑎−24 𝑎3 𝑎5 OK e) 𝑎2𝑛 +1 ⋅ 𝑎3−𝑛 = 𝑎𝑛 +4 𝑎6𝑛 −𝑛 𝑎𝑛 −3 OK 𝑎4
f) 𝑎 2 ⋅𝑎 −3 = 𝑎−6 𝑎5 𝑎−1 OK
34
𝑎 3𝑛 +4
g) 𝑎 2𝑛 −2 = 𝑎𝑛 +2 𝑎6𝑛 −8 𝑎𝑛 +6 OK 2.12 Vypočítej: a) b) c)
1 −2 3
1 −3
+ −2
1 −3
+ 3−1 − 3
3
5
1 −3
−2
+ − 5 −2
d) −0,5
1 −3
+ −5
− 0,5
1 −2
− −3
−2
3
−3
+ −
−2
− −5
= 9 − 8 + 27 − 25 = 3
1
= 27 + 3 − 3 3 −3
1 5
−3
+ 0,2
− −
1
−3
1
−3
1
1
1
2
5
5
5
= + −5 5+5 5 =
5
+ −0,2
1
= 27 + 3 − 3 = 27
3
1 −2
= −2
−
1 −2 2
+
1 −3 5
+
= 4 − 4 + 125 − 125 = 0
2.13 Zjednoduš následující výrazy za předpokladu, že 𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅 ∈ ℝ − 𝟎 : a) 3𝑎4 𝑏−6 𝑐 −4 𝑑 2 ⋅ 6𝑎−2 𝑏6 𝑐 −3 𝑑 4 = 18𝑎2 𝑏0 𝑐 −7 𝑑 6 =
7𝑎 2 𝑏 −4 𝑐 3 𝑑 7
b) 14𝑎 −3 𝑏 −7 𝑐 4 𝑑 5 =
c)
d)
e)
f)
15𝑎 −3 𝑏 6 𝑐 −7 2𝑏 7 𝑑 −3
⋅
𝑎 −4 𝑏 −3 𝑑 2
2𝑎 𝑏 −3
−2
𝑐 −4 𝑑 2
𝑏 −4 𝑑 2
−3
5𝑎 −6 𝑏 2 𝑐 4
÷
÷
2𝑐
5𝑎 𝑐 −6
3
⋅
𝑐7
𝑎5𝑏3𝑑2
8𝑎 2 𝑏 −4 𝑑 2
3𝑎 −2 𝑏 3 𝑐 4 𝑑 −5
18𝑎 2 𝑑 6
12𝑑 5
= 𝑎2𝑏5𝑐 −2
3𝑎 −3 𝑏 4 𝑐 −5 𝑑 2
𝑎 5 𝑐 −3
−3
2𝑏 −2 𝑑 2
𝑎 2𝑏 𝑐 5 5𝑎 3 𝑏 −4 𝑑 6
2
=
27𝑎 −6 𝑏 9 𝑐 12 𝑑 −15 𝑎 −4 𝑏 −3 𝑑 2
𝑐 −8 𝑑 4
𝑐 −10 𝑑 4
⋅ 9𝑎 −6 𝑏 8 =
𝑎 15 𝑐 −9
𝑎 13 𝑏 12
= 4𝑎 2 𝑏 −6 ⋅ 8𝑏 −6 𝑑 6 = 32𝑐 17 𝑑 2 𝑏 12 𝑑 −6
= 5𝑎 −6 𝑏 2 𝑐 4 ⋅
25𝑎 6 𝑏 −8 𝑑 12 𝑎 4 𝑏 2 𝑐 10
35
=
5𝑎 8 𝑑 6 𝑐 14
3𝑎 4 𝑏 4 𝑐 2 𝑑 13
2.14 Vyber odpovídající výraz: a) 1 740 000 = 1,74 ⋅ 105 1,74 ⋅ 106 1,74 ⋅ 104 OK b) 23,5 = 2,35 ⋅ 102 2,35 ⋅ 10−2 2, 35 ⋅ 10 OK c) 6 000 = 6,0 ⋅ 103 6,0 ⋅ 102 6,0 ⋅ 104 OK d) 0,000 8 = 8,0 ⋅ 10−3 8,0 ⋅ 103 8,0 ⋅ 10−4 OK e) 0,000 062 = 6,2 ⋅ 10−6 6,2 ⋅ 10−5 6,2 ⋅ 10−4 OK f) 0,345 = 3,45 ⋅ 10−1 3,45 ⋅ 10−3 3,45 ⋅ 10−2 OK
36
2.15 Přepiš následující údaje tak, aby jejich číselná hodnota byla ve tvaru 𝒂 ⋅ 𝟏𝟎𝒏 , kde 𝟏 ≤ 𝒂 < 𝟏𝟎, 𝒏 ∈ ℤ: a) Světlo se pohybuje ve vakuu rychlostí 𝑣 = 300 000 km/s. 𝑣 = 3 ⋅ 105 𝑘𝑚/𝑠 b) Obvod o rovníku je přibližně 6 371 000 m. 𝑜 = 6, 371 ⋅ 106 𝑚 c) Průměr d červené krvinky se pohybuje kolem 0,000 007 2 m. 𝑑 = 7,2 ⋅ 10−6 𝑚
2.16 Daná čísla nejdříve zapiš ve tvaru 𝒂 ⋅ 𝟏𝟎𝒏 , kde 𝟏 ≤ 𝒂 < 10, 𝒏 ∈ ℤ, a poté vypočítej: a)
0,000 45 3 000
20 000
⋅
0,01
0,5
b) 1 500 000 ⋅
c)
25 000
d)
3 000 000
10
÷
3⋅10 3
=
0,000 015
÷
9⋅10 0
2,4⋅10 5
= 1,5⋅10 6 ⋅ 4⋅10 −3 =
0,004
0,000 8
2⋅10 4
⋅ 1⋅10 −2 = 3⋅10 1 = 3 ⋅ 10−1 = 0,3
5⋅10 −1
240 000
0,000 005
20 000
4,5⋅10 −4
=
0,005 3
2,5⋅10 4 1⋅10
8⋅10 −4
12⋅10 4 6⋅10 3
= 2 ⋅ 101 = 20
20 ⋅10 0
⋅ 5⋅10 −6 = 5⋅10 −5 = 4 ⋅ 105 = 400 000
3⋅10 6
5,3⋅10 −3
= 2⋅10 4 ⋅ 1,5⋅10 −5 =
15,9⋅10 3 3⋅10 −1
= 5,3 ⋅ 104 = 53 000
2.17 Vypočítej za předpokladu, že 𝒙, 𝒚, 𝒛 ∈ ℝ − 𝟎 a 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ ℤ: a) 𝑥 𝑎 −𝑏 𝑦 2𝑎+2𝑏 ⋅ 𝑥 𝑏 𝑦 −2𝑏 = 𝑥 𝑎 𝑦 2𝑎 = (𝑥𝑦 2 )𝑎
b)
c)
d)
(𝑥 −𝑏 𝑦 2𝑏 )𝑐 (𝑥 𝑎 𝑧 3 )𝑏
𝑥 2𝑎 𝑧 −𝑏 𝑦 4𝑎 −1
÷
(𝑥 𝑏 𝑧)𝑎
⋅ (𝑥 3𝑐 𝑦 −4𝑐 )𝑏 = 𝑧 2−𝑏 𝑥 𝑎 +𝑏 𝑦 2𝑏 −3
(𝑥 2𝑎 𝑦 3 )−𝑐 𝑥 𝑧𝑐
−𝑏
⋅
=
𝑥 −𝑏𝑐 𝑦 2𝑏𝑐 𝑥 𝑎𝑏 𝑧 3𝑏
𝑥 2𝑎 𝑧 −𝑏 𝑦 4𝑎 −1
𝑧 4𝑐 𝑥 −1 𝑦 2𝑐
𝑏
𝑥 𝑎𝑏 𝑧 𝑎
⋅ 𝑥 3𝑏𝑐 𝑦 −4𝑏𝑐 =
𝑦 2𝑏 −3
𝑦 6𝑏𝑐 𝑧 𝑎 −3𝑏 𝑥 4𝑏𝑐
𝑥 𝑎 −𝑏
⋅ 𝑧 2−𝑏 𝑥 𝑎 +𝑏 = 𝑦 4𝑎 −2𝑏 +2 𝑧 2
=
𝑥 2𝑎𝑏𝑐 𝑦 3𝑏𝑐 𝑥 −𝑏 𝑧 −𝑏𝑐
𝑧 4𝑏𝑐
⋅ 𝑥 −𝑏 𝑦 2𝑏𝑐 = 𝑥 2𝑎𝑏𝑐 𝑦 𝑏𝑐 𝑧 5𝑏𝑐 = (𝑥 2𝑎 𝑦𝑧 5 )𝑏𝑐
37
2.18 Vypočítej: a)
1 −5 −2 ⋅ − 5
−3
1 −2 −3 ⋅2 ⋅ 2 1 0
+
1 −2 6
−
1
= 25
1 8
⋅ −125 +4⋅ ⋅36 1
27
b)
1 −4 1 −1 1 −4 −3 + ⋅ ⋅3 − 2 5 3 −4 1 1 −2 2⋅ −3 −2 ⋅ − − − 3 3
2 −2 ⋅ −
1 0 5
−
1
=4
⋅16+5⋅81⋅ 1 9
1 −1 27
2⋅ ⋅81−9
38
1
= −5 + 2 ⋅ 36 = −5 + 18 = 13
=
4+5⋅3−1 2⋅9−9
=
4+15−1 18−9
=
18 9
=2
Kapitola 3 Mnohočleny Tato kapitola se dělí na tři dílčí celky. V prvním celku se dozvíme, co to jsou výrazy a kde se s nimi můžeme setkat. Ve druhém celku se podíváme na speciální případ výrazu, a to mnohočlen. Naučíme se mnohočleny sčítat, odčítat, násobit i dělit. Třetí celek je věnován rozkladu mnohočlenů. Nejdříve je vždy uveden učební text, ve kterém jsou pro lepší pochopení látky začleněny i vzorově vyřešené příklady. Na učební text pak navazují interaktivní cvičení – v nich si můžeš rozmanitou formou látku procvičit. Členění této kapitoly: o Výrazy
Cvičení
o Početní operace s mnohočleny
Cvičení
o Rozklad mnohočlenů
Cvičení
3.1 Výrazy Algebraický výraz je každý matematický zápis, který je tvořen z konstant a proměnných, mezi nimiž jsou pomocí algebraických operací (např. sčítání, násobení) a závorek vytvořeny smysluplné vztahy.
Pozn. Pojmem proměnná označujeme libovolné písmeno, které zastupuje čísla z určitého oboru. Tento obor nazýváme obor proměnné. Konkrétní čísla, která se objevují ve výrazech, označujeme jako konstanty. 39
Výraz je např. zápis 3𝑎 + 𝑏, 𝑎𝑛 , 𝑥 − 𝑦 2 ,
5 𝑥 3 + 𝑦 . Výrazem naopak není zápis
72 − (2 −. Pro lepší pochopení uvedených pojmů se podíváme na výraz 2πr, pomocí něhož vypočítáme obvod kruhu. Jedná se o výraz, kde konstantami jsou čísla 2 a π (jejich hodnota je stále stejná, konstantní). Proměnnou je v tomto případě písmeno r, vyjadřující poloměr daného kruhu (hodnota poloměru se pro různé kruhy mění, proměňuje se, a s ní i obvod kruhu). A jaký je obor proměnné r pro výraz 2πr? Díváme-li se na tento výraz jako na návod pro výpočet obvodu kruhu, tak obor proměnné je tvořen všemi kladnými čísly (poloměr kruhu, tedy proměnná r, nemůže nabývat záporných hodnot ani nuly). Jestliže však výraz 2πr chápeme obecněji, jako určitý výraz se dvěma konstantami a jednou proměnnou, pak do oboru proměnné zahrnujeme všechna reálná čísla. Kromě oboru proměnné existuje i definiční obor proměnné. Do definičního oboru proměnné patří jen taková čísla, pro která daný výraz má smysl. To znamená, že po dosazení libovolného čísla z definičního oboru proměnné nenastane nepřípustná operace (dělení nulou, výraz nula na nultou, odmocňování záporného čísla, atd.). V našem případě je definiční obor proměnné tvořen všemi reálnými čísly. Pozn. Pozorný čtenář jistě zpozoroval, že řecké písmeno π [pí] jsme označili jako konstantu. Jak již víme z kapitoly o číselných oborech, písmeno π reprezentuje iracionální Ludolfovo číslo (jeho přibližná hodnota je 3,14). Pozn. Není-li v zadání úlohy obor proměnné uveden, bereme v úvahu ten nejobecnější možný (obvykle obor reálných čísel). Z tohoto oboru vynecháme ty hodnoty, pro které výraz nemá smysl, a tím dostaneme definiční obor proměnné.
40
Hodnotou výrazu pro dané hodnoty proměnných rozumíme výsledek získaný po dosazení daných hodnot z definičního oboru za všechny proměnné a provedení veškerých operací.
Pozn. Do definičního oboru výrazu s více proměnnými patří jen taková čísla, pro která má daný výraz smysl.
Příklad Urči, pro které hodnoty jednotlivých reálných proměnných má daný výraz smysl: 1+𝑥
a) 2−𝑥 Řešení Výraz má smysl pro všechna 𝑥 ∈ ℝ taková, že 2 − 𝑥 ≠ 0, tj. 𝑥 ≠ 2. Pro 𝑥 = 2 by nastala nepřípustná operace dělení nulou. Tedy 𝑥 ∈ ℝ − 2 .
b)
𝑥 𝑥−5 𝑦 2 −9
Řešení Aby měl výraz smysl, musí zároveň platit: 𝑥 − 5 ≥ 0 ∧ 𝑦 2 − 9 ≠ 0 . První podmínku lze přepsat jako 𝑥 ≥ 5, druhou jako 𝑦 2 ≠ 9, tj. 𝑦 ≠ ±3. První podmínka zaručuje, že nebudeme odmocňovat záporné číslo. Druhá podmínka vylučuje dělení nulou. Tedy 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≥ 5, 𝑦 ∈ ℝ − ±3 .
c)
𝑥 2 +2 𝑦 +3∙ 𝑧−6 −2
Řešení Aby daný výraz měl smysl, musí zároveň platit: 1. 𝑥 2 + 2 ≥ 0, tj. 𝑥 2 ≥ −2. Tato podmínka platí pro všechna 𝑥 ∈ ℝ, protože druhá mocnina libovolného čísla je vždy větší nebo rovna nule. 2. 𝑦 + 3 > 0, tj. 𝑦 > −3. 41
3. 𝑧 − 6 − 2 ≠ 0, tj. 𝑧 − 6 ≠ 2, tedy 𝑧 ≠ 4, 8. První podmínka nám zaručí, že nebudeme odmocňovat záporné číslo. Druhou podmínkou vyloučíme pod odmocninou všechna záporná čísla i nulu, abychom neodmocňovali záporné číslo ani nedělili nulou. Třetí podmínka zaručuje, že nebudeme dělit nulou. Tedy 𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 > −3, 𝑧 ∈ ℝ − 4, 8 . Příklad Urči hodnotu výrazu pro dané hodnoty proměnných: 𝑎+5
a) 4−𝑎 , pro 𝑎 = 3 Řešení 𝑎+5 3+5 8 = = =8 4−𝑎 4−3 1 b) 𝑥 2 ∙ 𝑦 − 2 , pro 𝑥 = −2, 𝑦 = 6 Řešení 𝑥 2 ⋅ 𝑦 − 2 = −2
c)
𝑘−5 , 𝑙+1 2 ∙ 𝑘
2
6−2= 4⋅ 4= 4⋅2 = 8
pro 𝑘 = 4, 𝑙 = 2
Řešení 𝑘−5 𝑙+1
d)
2
6−𝑝 −2+𝑞
⋅ 𝑘
=
4−5 2+1
2
4
=
−1 1 1 = = 2 3 ⋅ 2 9 ⋅ 2 18
, pro 𝑝 = 5, 𝑞 = 2
Řešení Pro zvolené hodnoty proměnných výraz nemá smysl. Po dosazení za proměnnou q ve jmenovateli by nastala nepřípustná operace, a to dělení nulou.
S výrazy se v matematickém textu setkáváme často. Přehledný a snáze srozumitelný výraz totiž nahrazuje zdlouhavý slovní popis. Srovnej: Podíl
42
pětinásobku součtu dvou reálných čísel a druhé odmocniny z jejich rozdílu jednoduše zapíšeme jako
5 𝑥+𝑦 𝑥−𝑦
.
Příklad Zapiš jako výraz se zvolenými proměnnými (např. x, y): a) součet šestinásobku třetí mocniny prvního čísla a třetiny absolutní hodnoty druhého čísla Řešení 1
6𝑥 3 + 3 𝑦 b) rozdíl druhé odmocniny dvojnásobku prvního čísla a druhé mocniny čtyřnásobku druhého čísla Řešení 2𝑥 − 4𝑦
2
c) součin dvojnásobku prvního čísla a čtvrtiny druhé odmocniny druhého čísla Řešení 2𝑥
1 𝑦 4
d) podíl čtvrté mocniny prvního čísla a absolutní hodnoty dvojnásobku druhého čísla Řešení 𝑥4 2𝑦
S výrazy se setkáváme také v podobě vzorců, a to nejen v matematice, ale i v dalších vědách – fyzice, chemii, zeměpisu (např. vzorec pro objem kvádru, výpočet rychlosti podle dráhy a času, vzdálenost dvou míst na Zemi podle jejich souřadnic). Výrazy nám pomáhají i při zápisu řešení slovních úloh. Příklad Petra má 3 sáčky, v každém z nich je m bonbónů. Tyto bonbóny chce rozdělit mezi svých k spolužáků. Pomocí výrazu napiš, o kolik se zmenší počet bonbónů
43
pro každého spolužáka, jestliže Petra chce obdarovat i l kamarádů z vedlejší třídy, a během cesty do školy už 5 % bonbónů snědla. Řešení Původní počet bonbonů pro každého spolužáka…
3𝑚 𝑘
Počet spolužáků a kamarádů z vedlejší třídy…𝑘 + 𝑙 Počet bonbonů, které má Petra po příchodu do školy… 3𝑚 − 0,05 ⋅ 3𝑚 , tj. 0,95 ⋅ 3𝑚 Počet bonbonů, které dostane každý spolužák nebo kamarád… Zmenšení počtu bonbonů připadajících na spolužáka…
3𝑚 𝑘
−
0,95⋅3𝑚 𝑘+𝑙
0,95⋅3𝑚 𝑘+𝑙
Pozn. V této kapitole pracujeme s algebraickými výrazy, tj. s výrazy, v nichž za každou proměnnou dosazujeme z číselného oboru. Existují ale i nealgebraické výrazy, jako např. výraz 𝐴 ∩ 𝐵. S nealgebraickými výrazy se setkáváme např. ve výrokové logice. Většinou lze z kontextu poznat, kdy výraz je či není algebraický. Proto můžeme slovo algebraický vynechat.
Cvičení 3.1 Urči, pro které hodnoty jednotlivých reálných proměnných má daný výraz smysl: 5𝑦
a) 3𝑥 + 4
𝑦
Výraz má smysl pro všechna reálná x. Pro y musí platit, že 𝑦 > 0. Tedy 𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 > 0.
b)
𝑥−2 𝑥+3 𝑦−5 𝑦+4
Výraz má smysl pro 𝑦 ≠ 5 ∧ 𝑦 ≠ −4. Pro x nejsou kladeny žádné omezující podmínky. 44
Tedy 𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ − −4, 5 .
c)
𝑥 𝑥−3 𝑦 𝑦 +2
Aby daný výraz měl smysl, musí zároveň platit: 1. 𝑥 − 3 ≥ 0, tj. 𝑥 ≥ 3, 2. 𝑦 ≠ 0, 3. 𝑦 + 2 > 0, tj. 𝑦 > −2. Tedy 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≥ 3, 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 > −2 ∧ 𝑦 ≠ 0. 𝑥+5
d)
𝑦 2 −4
𝑦 2 +5
Aby daný výraz měl smysl, musí zároveň platit: 1. 𝑥 + 5 ≥ 0, tj. 𝑥 ≥ −5, 2. 𝑦 2 − 4 ≠ 0, tj. 𝑦 2 ≠ 4, tj. 𝑦 ≠ ±2, 3. 𝑦 2 + 5 > 0, tj. 𝑦 2 > −5. Tato podmínka je splněna vždy. Tedy 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≥ −5, 𝑦 ∈ ℝ − ±2 .
e)
𝑥−3 𝑥 −4 −3
Aby daný výraz měl smysl, musí zároveň platit: 1. 𝑥 − 3 ≥ 0. Tato podmínka je splněna vždy. 2. 𝑥 − 4 − 3 ≠ 0, tj. 𝑥 − 4 ≠ 3, tj. 𝑥 ≠ 1, 7. Tedy 𝑥 ∈ ℝ − 1, 7 .
3.2 Urči, zda má výraz pro dané hodnoty proměnných smysl: a) 𝑥 b) c) d) e)
𝑥 −3 𝑥 2 −2 𝑥 +𝑦
𝑦 2 2−𝑥 2𝑥 4𝑥
, 𝑥=3
OK
, 𝑥 = 4, 𝑦 = 2
OK
+ 3𝑦, 𝑥 = 1, 𝑦 = 0
𝑥 −5 𝑦 +2 𝑥2 𝑥 𝑥+4
OK
, 𝑥 = 5, 𝑦 = −2
OK
, 𝑥 = −4
OK
45
f)
𝑥 7+𝑥
, 𝑥 = −6
OK
3.3 Napiš jako výraz se zvolenými proměnnými (např. x, y): a) součet trojnásobku absolutní hodnoty prvního čísla a dvojnásobku druhé odmocniny druhého čísla 3 𝑥 +2 𝑦 b) rozdíl pětiny čtvrté mocniny prvního čísla a třetí mocniny dvojnásobku druhého čísla 1 4 𝑥 − 2𝑦 5
3
c) součin šestiny absolutní hodnoty prvního čísla a druhé odmocniny z druhého čísla 1 𝑥 6
𝑦
d) podíl druhé mocniny čtyřnásobku prvního čísla a trojnásobku absolutní hodnoty druhého čísla 4𝑥 2 3𝑦
3.4 Slovní úloha Ve třídě, která jela na školní exkurzi, je 24 žáků. Dohromady měli za dopravu zaplatit k Kč. V den exkurze ale 3 žáci nepřišli, protože onemocněli. Zbytek žáků si koupil hromadnou jízdenku, na kterou byla 25% množstevní sleva. Každý žák tak oproti původnímu rozpočtu 9 Kč ušetřil. Jaká byla původní částka, kterou měli dohromady žáci za dopravu zaplatit? Kolik korun měl původně zaplatit za dopravu každý žák? Počet žáků ve třídě…24 Celková cena za dopravu…k Kč 𝑘
Původní cena za dopravu na žáka…24 Kč Celková cena za dopravu po slevě…0,75𝑘 Kč 46
Skutečná cena za dopravu na žáka…
0,75𝑘 21
Kč
Rozdíl původní a skutečné ceny za dopravu na žáka…9 Kč, tedy 9=
9=
𝑘 0,75𝑘 − 24 21
3 21𝑘 − 24 ⋅ 4 𝑘 504
=
21𝑘 − 18𝑘 3𝑘 = 504 504
𝑘 = 168 ⋅ 9 = 1 512 𝑘
Původní cena na žáka… 24 =
1 512 24
= 63 Kč
Původní celková cena za dopravu byla 1 512 Kč. Původní cena za dopravu na žáka byla 63 Kč.
3.5 Slovní úloha Součet dvou přirozených čísel je 64. Trojnásobek prvního čísla je roven druhému číslu. Urči tato čísla. 𝑎 + 𝑏 = 64 ∧ 3𝑎 = 𝑏 𝑎 + 3𝑎 = 64 4𝑎 = 64 𝑎 = 16 𝑏 = 3𝑎 = 3 ⋅ 16 = 48 Zadání vyhovuje dvojice čísel 𝑎 = 16, 𝑏 = 48.
3.6 Slovní úloha Jakub a Jirka měli narozeniny. Na dárek pro Jirku přispělo 6 jeho kamarádů, celkově vybrali k Kč. Na dárek pro Jakuba přispělo o dva kamarády více než na dárek pro Jirku, a částka, kterou shromáždili, byla o 20 % větší než částka určená na dárek pro Jirku. Lucka, která přispívala na dárek pro oba kluky, 47
zaplatila dohromady 133 Kč. Kolik korun mají kamarádi k dispozici na koupi dárku pro Jirku? A kolik pro Jakuba? Částka na dárek pro Jirku…k Kč Částka na dárek pro Jakuba…1,2𝑘 Kč Počet osob skládající se na dárek pro Jirku…6 Počet osob skládající se na dárek pro Jakuba…8 Lucka přispěla na oba dárky…133 Kč, tedy 𝑘 1,2𝑘 + = 133 6 8
133 =
12 8𝑘 + 6 ⋅ 10 𝑘 48
=
6 8𝑘 + 6 ⋅ 5 𝑘 48
=
40𝑘 + 36𝑘 76𝑘 19𝑘 = = 48 ⋅ 5 240 60
133 ⋅ 60 = 19𝑘 7 980 = 19𝑘 𝑘 = 420 Částka na dárek pro Jakuba…1,2 ⋅ 420 = 504 Kč. Kamarádi mají k dispozici 420 Kč na dárek pro Jirku a 504 Kč na dárek pro Jakuba.
3.7 Urči součet čtyř po sobě jdoucích přirozených čísel takových, že: a) největší je rovno 3a 3𝑎 + 3𝑎 − 1 + 3𝑎 − 2 + 3𝑎 − 3 = 12𝑎 − 6 b) nejmenší je rovno 4𝑧 − 3 4𝑧 − 3 + 4𝑧 − 3 + 1 + 4𝑧 − 3 + 2 + 4𝑧 − 3 + 3 = 16𝑧 − 6
48
3.8 Zapiš jako výraz se zvolenými proměnnými (např. x, y): a) druhá mocnina podílu pětinásobku druhé mocniny prvního čísla a druhé odmocniny z druhého čísla 5𝑥 2
2
𝑦 b) druhá odmocnina z podílu třetí mocniny prvního čísla a druhé odmocniny čtyřnásobku druhého čísla 𝑥3 4𝑦 c) druhá mocnina podílu druhé odmocniny ze součtu dvou čísel a součtu druhých odmocnin z těchto dvou čísel 𝑥+𝑦
2
𝑥+ 𝑦 d) podíl trojnásobku druhé odmocniny ze součtu prvního a druhého čísla a absolutní hodnoty čtyřnásobku prvního čísla 3 𝑥+𝑦 4𝑥
3.2 Početní operace s mnohočleny Nechť je n přirozené číslo nebo nula, 𝑎0 , 𝑎1 , … , 𝑎𝑛 jsou reálná čísla a x je reálná proměnná. Pak mnohočlen (polynom) n-tého stupně s jednou proměnnou x je výraz, který můžeme zapsat jako 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛 −1 𝑥 𝑛−1 + … + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎1 𝑥 1 + 𝑎0 , kde 𝑎𝑛 ≠ 0.
Čísla 𝑎0 , 𝑎1 , … , 𝑎𝑛 se nazývají koeficienty mnohočlenu, sčítanci 𝑎𝑘 𝑥 𝑘 se nazývají členy mnohočlenu. Pro některé členy mnohočlenu máme speciální pojmenování. Člen 𝑎0 se nazývá absolutní člen mnohočlenu. Člen 𝑎1 𝑥 1 se nazývá lineární člen a člen 𝑎2 𝑥 2 se nazývá kvadratický člen mnohočlenu.
49
proměnná
lineární člen
𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛 −1 𝑥 𝑛−1 + … + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎1 𝑥 1 + 𝑎0 koeficienty
Stupeň
mnohočlenu
odpovídá
kvadratický člen
nejvyššímu
absolutní člen
exponentu
proměnné
v mnohočlenu.
Mnohočlen 1. stupně (tj. výraz 𝑎1 𝑥 1 + 𝑎0 , také lze zapsat jako 𝑎𝑥 + 𝑏) se nazývá lineární.
Mnohočlen 2. stupně (tj. výraz 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎1 𝑥 1 + 𝑎0 , také lze zapsat jako 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐) se nazývá kvadratický.
Mnohočlen nultého stupně je každé reálné číslo různé od nuly.
Číslo nula nazýváme nulový mnohočlen, jeho stupeň nedefinujeme.
Mnohočlen s jedním členem označujeme jako jednočlen, se dvěma členy jako dvojčlen, se třemi členy jako trojčlen, atd. Například 4𝑥 2 + 2𝑥 + 5 je kvadratický mnohočlen, tj. mnohočlen 2. stupně, s proměnnou x. Jedná se o trojčlen (má tři sčítance). Koeficient u kvadratického členu je 4, koeficient u lineárního členu je 2. Absolutní člen je roven 5.
Mnohočleny mohou mít obecně i více proměnných. Jako příklad mnohočlenu se dvěma proměnnými lze uvést výrazy 3𝑥 5 + 2𝑦 4 − 6𝑥 3 𝑦 2 + 7 , 12𝑥 2 − 8𝑦 . Příkladem mnohočlenu se třemi proměnnými jsou výrazy 2𝑥𝑦 6 𝑧 − 4𝑦𝑧 3 + 𝑥 2 𝑦, 𝑥 + 𝑦 4 − 𝑧 12 − 4.
50
Sčítání, odčítání a násobení mnohočlenů Z předcházejících kapitol již víme, že sčítat a odčítat můžeme jen ty mocniny, které mají stejný základ a stejného mocnitele. U mnohočlenů bude platit obdobné pravidlo.
Součet dvou mnohočlenů vypočítáme tak, že sečteme jednotlivé koeficienty u odpovídajících si členů těchto mnohočlenů (přičemž některé koeficienty můžou být rovny nule).
Pozn. Odpovídající si členy mnohočlenů jsou takové členy, které mají tytéž proměnné i se stejnými mocniteli. Příklad Vypočítej: a) 2𝑥 2 − 3𝑥 + −5𝑥 2 + 7𝑥 Řešení 2𝑥 2 − 3𝑥 + −5𝑥 2 + 7𝑥 = 2𝑥 2 + −5𝑥 2 + −3𝑥 + 7𝑥 = −3𝑥 2 + 4𝑥 b) 3𝑥 3 + 2𝑦 − 3𝑥𝑦 + 5 + 2𝑥 4 + 𝑥 3 − 5𝑥𝑦 − 2 Řešení 3𝑥 3 + 2𝑦 − 3𝑥𝑦 + 5 + 2𝑥 4 + 𝑥 3 − 5𝑥𝑦 − 2 = 3𝑥 3 + 1𝑥 3 + 2𝑦 + 0𝑦 − 3𝑥𝑦 − 5𝑥𝑦 + 5 − 2 + 0𝑥 4 + 2𝑥 4 = 4𝑥 3 + 2𝑦 − 8𝑥𝑦 + 3 + 2𝑥 4 = = 2𝑥 4 + 4𝑥 3 + 2𝑦 − 8𝑥𝑦 + 3
Rozdíl dvou mnohočlenů vypočítáme tak, že určíme součet prvního mnohočlenu a opačného mnohočlenu k druhému mnohočlenu.
Opačný mnohočlen k danému mnohočlenu je mnohočlen, který má tytéž členy, ale s opačnými znaménky (například opačným mnohočlenem k mnohočlenu 4𝑥 5 − 2𝑥 + 3 je mnohočlen −4𝑥 5 + 2𝑥 − 3). 51
Příklad Vypočítej: a) 4𝑥 3 + 5𝑥 − 6𝑥 3 − 2𝑥 Řešení 4𝑥 3 + 5𝑥 − 6𝑥 3 − 2𝑥 = 4𝑥 3 + 5𝑥 + −6𝑥 3 + 2𝑥 = = 4𝑥 3 + −6𝑥 3 + 5𝑥 + 2𝑥 = −2𝑥 3 + 7𝑥 b) 4𝑥 2 − 2𝑦 3 − 3𝑥 3 𝑦 + 5 − 2𝑥 2 + 3𝑥 − 6𝑥 3 𝑦 − 2 Řešení 4𝑥 2 − 2𝑦 3 − 3𝑥 3 𝑦 + 5 − 2𝑥 2 + 3𝑥 − 6𝑥 3 𝑦 − 2 = 4𝑥 2 − 2𝑦 3 − 3𝑥 3 𝑦 + 5 + −2𝑥 2 − 3𝑥 + 6𝑥 3 𝑦 + 2 = 4𝑥 2 − 2𝑥 2 − 2𝑦 3 + 0𝑦 3 − 3𝑥 3 𝑦 + 6𝑥 3 𝑦 + 5 + 2 + 0𝑥 − 3𝑥 = 2𝑥 2 − 2𝑦 3 + 3𝑥 3 𝑦 + 7 − 3𝑥 = 2𝑥 2 − 3𝑥 − 2𝑦 3 + 3𝑥 3 𝑦 + 7
Součin dvou mnohočlenů vypočítáme tak, že každý člen prvního mnohočlenu vynásobíme každým členem druhého mnohočlenu a všechny tyto součiny sečteme.
Příklad Vypočítej: a) 3𝑥 2 − 5 ⋅ 2𝑥 2 + 𝑥 Řešení 3𝑥 2 − 5 ⋅ 2𝑥 2 + 𝑥 = 3𝑥 2 ⋅ 2𝑥 2 + 3𝑥 2 ⋅ 𝑥 − 5 ⋅ 2𝑥 2 − 5 ⋅ 𝑥 = = 6𝑥 4 + 3𝑥 3 − 10𝑥 2 − 5𝑥 b) 2𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 7 ∙ 𝑥 − 2𝑦 3 + 2 Řešení 2𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 7 ∙ 𝑥 − 2𝑦 3 + 2 = 2𝑥 2 ∙ 𝑥 + 2𝑥 2 ∙ −2𝑦 3 + 2𝑥 2 ∙ 2 + −𝑥𝑦 ∙ 𝑥 + −𝑥𝑦 ∙ −2𝑦 3 + −𝑥𝑦 ∙ 2 + 7 ⋅ 𝑥 + 7 ∙ −2𝑦 3 + 7 ∙ 2 = = 2𝑥 3 − 4𝑥 2 𝑦 3 + 4𝑥 2 − 𝑥 2 𝑦 + 2𝑥𝑦 4 − 2𝑥𝑦 + 7𝑥 − 14𝑦 3 + 14 = 52
= 2𝑥 3 + 4𝑥 2 + 7𝑥 − 14𝑦 3 − 4𝑥 2 𝑦 3 − 𝑥 2 𝑦 + 2𝑥𝑦 4 − 2𝑥𝑦 + 14 Počítáme-li součet, rozdíl nebo součin tří a více mnohočlenů, postupujeme obdobně. Pokud umíme mnohočleny násobit, můžeme vypočítat i jejich n-tou mocninu pro všechna 𝑛 ∈ ℕ. Druhou a třetí mocninu dvojčlenu můžeme také určit podle následujících vzorců: Pro všechna 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ platí: 𝑎+𝑏
2
= 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 ,
𝑎−𝑏
2
= 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 ,
𝑎+𝑏
3
= 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 ,
𝑎−𝑏
3
= 𝑎3 − 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏2 − 𝑏3 .
Pozn. Je výhodné si tyto vzorce zapamatovat, neboť jejich použití usnadní mnohé výpočty, což dokládá následující příklad. Příklad Vypočítej: a) 𝑥 2 − 4
2
Řešení 𝑥2 − 4
2
= 𝑥2
2
− 2𝑥 2 ⋅ 4 + 42 = 𝑥 4 − 8𝑥 2 + 16
Jiný způsob řešení 𝑥2 − 4
2
= 𝑥 2 − 4 𝑥 2 − 4 = 𝑥 2 ⋅ 𝑥 2 + 𝑥 2 ⋅ −4 − 4 ⋅ 𝑥 2 − 4 ⋅ −4 =
= 𝑥 4 − 4𝑥 2 − 4𝑥 2 + 16 = 𝑥 4 − 8𝑥 2 + 16 Součtem, rozdílem a součinem libovolných mnohočlenů je vždy mnohočlen.
53
Dělení mnohočlenů
Podíl mnohočlenu a jednočlenu vypočítáme tak, že jednočlenem vydělíme každý člen mnohočlenu a jednotlivé podíly pak sečteme.
Příklad Vypočítej za předpokladu, že 𝑥 ∈ ℝ − 0 : 3𝑥 3 − 6𝑥 2 𝑦 + 9𝑥𝑦 ÷ 3𝑥 Řešení 3𝑥 3 − 6𝑥 2 𝑦 + 9𝑥𝑦 ÷ 3𝑥 = 3𝑥 3 ÷ 3𝑥 + −6𝑥 2 𝑦 ÷ 3𝑥 + 9𝑥𝑦 ÷ 3𝑥 = = 𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 3𝑦 Podílem mnohočlenů nemusí být vždy mnohočlen. Jestliže podílem mnohočlenů je mnohočlen, mluvíme o dělení mnohočlenů beze zbytku (viz předchozí příklad). Jestliže podílem mnohočlenů není mnohočlen, mluvíme o dělení mnohočlenů se zbytkem (viz následující příklad). Vzniklý výraz si můžeme rozdělit na dvě části. První část tvoří výraz, který je mnohočlenem, tzv. neúplný podíl. Druhou částí je výraz, který není mnohočlenem, označujeme jej jako zbytek. Pozn. Terminologie je obdobná jako u dělení čísel. Příkladem dělení čísel beze 8
zbytku je např. výraz = 4. Jako příklad dělení čísel se zbytkem lze uvést výraz 2
7 3
1
= 2 + 3.
Příklad Vypočítej za předpokladu, že 𝑥 ∈ ℝ − 0 : 6𝑥 4 + 𝑥 2 − 8 ÷ 2𝑥 Řešení 1
4
6𝑥 4 + 𝑥 2 − 8 ÷ 2𝑥 = 6𝑥 4 ÷ 2𝑥 + 𝑥 2 ÷ 2𝑥 + −8 ÷ 2𝑥 = 3𝑥 3 + 2 𝑥 − 𝑥
54
1
4
Mnohočlen 3𝑥 3 + 2 𝑥 je neúplný podíl. Člen − 𝑥 je zbytek (mocnina u proměnné v mnohočlenu může nabývat pouze libovolných kladných hodnot nebo nuly. 4
V tomto členu je však rovna −1, jelikož − = −4𝑥 −1 , proto tento výraz není 𝑥
mnohočlenem). A jak vypočítáme podíl mnohočlenů? Omezíme se jen na případy mnohočlenů s jednou proměnnou, kdy bude zároveň platit, že stupeň mnohočlenu, který dělíme, je vyšší nebo roven stupni mnohočlenu, který je dělitelem. Postup je pak následující: 1. Nejdříve si členy obou mnohočlenů uspořádáme sestupně (tj. na prvním místě bude člen s proměnnou s nejvyšším exponentem). 2. První člen dělence vydělíme prvním členem dělitele, výsledek je prvním členem podílu mnohočlenů. 3. Pak tímto dílčím výsledkem vynásobíme všechny členy dělitele a tento výraz odečteme od dělence. 4. Tím dostaneme nový mnohočlen. Pokud je tento nový mnohočlen vyššího nebo stejného stupně jako dělitel, zopakujeme celý postup. 5. Takto pokračujeme dál, dokud nedostaneme mnohočlen nižšího stupně než je dělitel nebo nulu. Pozn. Ve výrazu 6 ÷ 3 = 2 je dělencem číslo 6, dělitelem číslo 3 a číslo 2 je jejich podíl. Příklad Vypočítej a stanov podmínky: a) −2𝑥 3 + 4𝑥 4 + 6 ÷ −1 + 𝑥 2 Řešení 1. 4𝑥 4 − 2𝑥 3 + 6 ÷ 𝑥 2 − 1 2. 4𝑥 4 ÷ 𝑥 2 = 4𝑥 2 3. 4𝑥 2 ⋅ 𝑥 2 − 1 = 4𝑥 4 − 4𝑥 2 4𝑥 4 − 2𝑥 3 + 6 − 4𝑥 4 − 4𝑥 2 = −2𝑥 3 + 4𝑥 2 + 6
55
Tyto kroky se většinou zapisují následovně: 4𝑥 4 − 2𝑥 3 + 6 ÷ 𝑥 2 − 1 = 4𝑥 2 −(4𝑥 4 − 4𝑥 2 ) −2𝑥 3 + 4𝑥 2 + 6 4. 4𝑥 4 − 2𝑥 3 + 6 ÷ 𝑥 2 − 1 = 4𝑥 2 − 2𝑥 −(4𝑥 4 − 4𝑥 2 ) −2𝑥 3 + 4𝑥 2 + 6 −(−2𝑥 3 + 2𝑥) 4𝑥 2 − 2𝑥 + 6 5. 4𝑥 4 − 2𝑥 3 + 6 ÷ 𝑥 2 − 1 = 4𝑥 2 − 2𝑥 + 4 −(4𝑥 4 − 4𝑥 2 ) −2𝑥 3 + 4𝑥 2 + 6 −(−2𝑥 3 + 2𝑥) 4𝑥 2 − 2𝑥 + 6 −(4𝑥 2 − 4) −2𝑥 + 10 V tomto případě je mnohočlen 4𝑥 2 − 2𝑥 + 4 neúplný podíl, výraz −2𝑥 + 10 je zbytek. Pro všechna 𝑥 ∈ ℝ, pro které je 𝑥 2 − 1 ≠ 0, tj. 𝑥 ≠ 1, −1, platí: 4𝑥 4 − 2𝑥 3 + 6 ÷ 𝑥 2 − 1 = 4𝑥 2 − 2𝑥 + 4 +
−2𝑥 + 10 𝑥2 − 1
O správnosti výsledku se můžeme přesvědčit zkouškou: 4𝑥 2 − 2𝑥 + 4 +
−2𝑥 + 10 ⋅ 𝑥 2 − 1 = 4𝑥 4 − 2𝑥 3 + 6 𝑥2 − 1
56
b) 𝑥 3 + 5𝑥 − 3 − 3𝑥 2 ÷ (𝑥 − 1) Řešení 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 5𝑥 − 3 ÷ 𝑥 − 1 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 3 −(𝑥 3 − 𝑥 2 ) −2𝑥 2 + 5𝑥 − 3 −(−2𝑥 2 + 2𝑥) 3𝑥 − 3 −(3𝑥 − 3) 0 V tomto případě se jedná o dělení beze zbytku. Pro všechna 𝑥 ∈ ℝ, pro které je 𝑥 − 1 ≠ 0, tj. 𝑥 ≠ 1, platí: 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 5𝑥 − 3 ÷ 𝑥 − 1 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 3 O správnosti výsledku se můžeme přesvědčit zkouškou: 𝑥 2 − 2𝑥 + 3 ⋅ 𝑥 − 1 = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 5𝑥 − 3
Cvičení 3.9 Rozhodni, zda-li jsou následující tvrzení o mnohočlenu 𝟐𝟕𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏𝟒 pravdivá: a) Jedná se o mnohočlen třetího stupně.
OK
b) Jedná se o trojčlen.
OK
c) Absolutní člen je roven 27.
OK
d) Koeficient u kvadratického členu je roven 27.
OK
e) Koeficient u lineárního členu je roven -6.
OK
3.10
Rozhodni,
zda-li
jsou
následující
tvrzení
o
mnohočlenu
𝟑𝒚𝟕 − 𝟏𝟐𝒚𝟓 + 𝟓𝒚𝟐 − 𝟖 pravdivá: a) Jedná se o mnohočlen čtvrtého stupně.
OK
57
b) Jedná se o čtyřčlen.
OK
c) Absolutní člen je roven -8.
OK
d) Koeficient u lineárního členu je roven 0.
OK
e) Koeficient u kvadratického členu je roven -12.
OK
3.11 Vypočítej: a) 7𝑥 3 − 2𝑥 2 − 11𝑥 + 14 + 3𝑥 4 − 6𝑥 3 + 5𝑥 2 + 8𝑥 − 6 = = 0𝑥 4 + 3𝑥 4 + 7𝑥 3 − 6𝑥 3 − 2𝑥 2 + 5𝑥 2 − 11𝑥 + 8𝑥 + 14 − 6 = = 3𝑥 4 + 𝑥 3 + 3𝑥 2 − 3𝑥 + 8 b) 3𝑥 3 − 2𝑥 2 𝑦 + 6𝑦 2 − 5𝑥𝑦 + −2𝑥 3 − 𝑥 2 + 3𝑦 2 + 10𝑥𝑦 = = 3𝑥 3 − 2𝑥 3 − 2𝑥 2 𝑦 + 0𝑥 2 𝑦 + 6𝑦 2 + 3𝑦 2 − 5𝑥𝑦 + 10𝑥𝑦 + 0𝑥 2 − 𝑥 2 = = 𝑥 3 − 2𝑥 2 𝑦 + 9𝑦 2 + 5𝑥𝑦 − 𝑥 2 c) 5𝑥 4 − 3𝑥 2 + 2𝑥 − 6 − 7𝑥 3 − 2𝑥 2 + 8𝑥 + 3 = 5𝑥 4 − 3𝑥 2 + 2𝑥 − 6 + −7𝑥 3 + 2𝑥 2 − 8𝑥 − 3 = 5𝑥 4 + 0𝑥 4 − 3𝑥 2 + 2𝑥 2 + 2𝑥 − 8𝑥 − 6 − 3 + 0𝑥 3 − 7𝑥 3 = 5𝑥 4 − 𝑥 2 − 6𝑥 − 9 − 7𝑥 3 = 5𝑥 4 − 7𝑥 3 − 𝑥 2 − 6𝑥 − 9 d) 12𝑥 3 𝑦 − 7𝑥𝑦 2 − 3𝑥 2 + 𝑦 − 9𝑥 3 𝑦 + 2𝑥 2 𝑦 − 5𝑥 2 − 3𝑦 = = 12𝑥 3 𝑦 − 7𝑥𝑦 2 − 3𝑥 2 + 𝑦 + −9𝑥 3 𝑦 − 2𝑥 2 𝑦 + 5𝑥 2 + 3𝑦 = = 12𝑥 3 𝑦 − 9𝑥 3 𝑦 − 7𝑥𝑦 2 + 0𝑥𝑦 2 − 3𝑥 2 + 5𝑥 2 + 𝑦 + 3𝑦 + 0𝑥 2 𝑦 − 2𝑥 2 𝑦 = = 3𝑥 3 𝑦 − 7𝑥𝑦 2 + 2𝑥 2 + 4𝑦 − 2𝑥 2 𝑦 = 3𝑥 3 𝑦 − 2𝑥 2 𝑦 − 7𝑥𝑦 2 + 2𝑥 2 + 4𝑦
3.12 Vypočítej: a) 4𝑥 3 + 2𝑥 − 1 ⋅ 2𝑥 2 − 4𝑥 + 3 = 4𝑥 3 ⋅ 2𝑥 2 + 4𝑥 3 ⋅ −4𝑥 + 4𝑥 3 ⋅ 3 + 2𝑥 ⋅ 2𝑥 2 + 2𝑥 ⋅ −4𝑥 + 2𝑥 ⋅ 3 + −1 ⋅ 2𝑥 2 + −1 ⋅ −4𝑥 + −1 ⋅ 3 = = 8𝑥 5 − 16𝑥 4 + 12𝑥 3 + 4𝑥 3 − 8𝑥 2 + 6𝑥 − 2𝑥 2 + 4𝑥 − 3 = = 8𝑥 5 − 16𝑥 4 + 12𝑥 3 + 4𝑥 3 − 8𝑥 2 − 2𝑥 2 + 6𝑥 + 4𝑥 − 3 = = 8𝑥 5 − 16𝑥 4 + 16𝑥 3 − 10𝑥 2 + 10𝑥 − 3
58
b) 2𝑥 2 𝑦 − 3𝑥𝑦 + 𝑦 2 − 2 ⋅ 2𝑥 + 3𝑦 = 2𝑥 2 𝑦 ⋅ 2𝑥 + 2𝑥 2 𝑦 ⋅ 3𝑦 + −3𝑥𝑦 ⋅ 2𝑥 + −3𝑥𝑦 ⋅ 3𝑦 + 𝑦 2 ⋅ 2𝑥 + 𝑦 2 ⋅ 3𝑦 + −2 ⋅ 2𝑥 + −2 ⋅ 3𝑦 = = 4𝑥 3 𝑦 + 6𝑥 2 𝑦 2 − 6𝑥 2 𝑦 − 9𝑥𝑦 2 + 2𝑥𝑦 2 + 3𝑦 3 − 4𝑥 − 6𝑦 = = 4𝑥 3 𝑦 + 6𝑥 2 𝑦 2 − 6𝑥 2 𝑦 − 7𝑥𝑦 2 + 3𝑦 3 − 4𝑥 − 6𝑦 c) (3𝑥 + 2𝑦)2 = (3𝑥)2 + 2 ⋅ 3𝑥 ⋅ 2𝑦 + (2𝑦)2 = 9𝑥 2 + 12𝑥𝑦 + 4𝑦 2 d) (2𝑥 − 3)3 = (2𝑥)3 − 3 ⋅ (2𝑥)2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 2𝑥 ⋅ 32 − 33 = 8𝑥 3 − 36𝑥 2 + 54𝑥 − 27 e) (𝑥 − 3𝑦)2 = 𝑥 2 − 2 ⋅ 𝑥 ⋅ 3𝑦 + (3𝑦)2 = 𝑥 2 − 6𝑥𝑦 + 9𝑦 2 f) (3 + 𝑦)3 = 33 + 3 ⋅ 32 ⋅ 𝑦 + 3 ⋅ 3 ⋅ 𝑦 2 + 𝑦 3 = 27 + 27𝑦 + 9𝑦 2 + 𝑦 3
3.13 Vypočítej a stanov podmínky, za kterých má dělení mnohočlenů smysl: a) 4𝑥 3 − 2𝑥 2 𝑦 3 + 16𝑥 2 𝑦 ÷ 2𝑥 2 = 4𝑥 3 ÷ 2𝑥 2 + −2𝑥 2 𝑦 3 ÷ 2𝑥 2 + 16𝑥 2 𝑦 ÷ 2𝑥 2 = 2𝑥 − 𝑦 3 + 8𝑦 Výpočet platí za podmínky, že 𝑥 ∈ ℝ − 0 , 𝑦 ∈ ℝ. 𝑥
3
b) 6𝑥 2 𝑦 − 12𝑥𝑦 + 3𝑥 − 9 ÷ 3𝑦 = 2𝑥 2 − 4𝑥 + 𝑦 − 𝑦 = 2𝑥 2 − 4𝑥 + Výpočet platí za podmínky, že 𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ − 0 . c) 2𝑥 4 − 3𝑥 3 − 5𝑥 2 + 6𝑥 ÷ 2𝑥 + 3 = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 2𝑥 −(2𝑥 4 + 3𝑥 3 ) −6𝑥 3 − 5𝑥 2 + 6𝑥 −(−6𝑥 3 − 9𝑥 2 ) 4𝑥 2 + 6𝑥 −(4𝑥 2 + 6𝑥) 0 3
Pro všechna 𝑥 ∈ ℝ, pro která je 2𝑥 + 3 ≠ 0, tj. 𝑥 ≠ − 2, platí: 2𝑥 4 − 3𝑥 3 − 5𝑥 2 + 6𝑥 ÷ 2𝑥 + 3 = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 2𝑥 59
𝑥−3 𝑦
d) 𝑥 3 − 3𝑥 2 − 20𝑥 + 30 ÷ 𝑥 − 5 = 𝑥 2 + 2𝑥 − 10 −(𝑥 3 − 5𝑥 2 ) 2𝑥 2 − 20𝑥 + 30 −(2𝑥 2 − 10𝑥) −10𝑥 + 30 −(−10𝑥 + 50) −20 Pro všechna 𝑥 ∈ ℝ, pro která je 𝑥 − 5 ≠ 0, tj. 𝑥 ≠ 5, platí: 𝑥 3 − 3𝑥 2 − 20𝑥 + 30 ÷ 𝑥 − 5 = 𝑥 2 + 2𝑥 − 10 −
20 𝑥−5
e) 8𝑥 4 + 4𝑥 2 − 2𝑥 + 6 ÷ 2𝑥 2 − 4 = 4𝑥 2 + 10 −(8𝑥 4 − 16𝑥 2 ) 20𝑥 2 − 2𝑥 + 6 −(20𝑥 2 − 40) −2𝑥 + 46 Pro všechna 𝑥 ∈ ℝ, pro která je 2𝑥 2 − 4 ≠ 0, tj. 𝑥 2 ≠ 2, tj. 𝑥 ≠ ±2, platí: 8𝑥 4 + 4𝑥 2 − 2𝑥 + 6 ÷ 2𝑥 2 − 4 = 4𝑥 2 + 10 +
−2𝑥 + 46 2𝑥 2 − 4
f) 6𝑥 5 + 17𝑥 3 − 21𝑥 2 + 5𝑥 − 7 ÷ 3𝑥 2 + 1 = 2𝑥 3 + 5𝑥 − 7 −(6𝑥 5 + 2𝑥 3 ) 15𝑥 3 − 21𝑥 2 + 5𝑥 − 7 −(15𝑥 3 + 5𝑥) −21𝑥 2 − 7 −(−21𝑥 2 − 7) 0 Pro všechna 𝑥 ∈ ℝ, pro která je 3𝑥 2 + 1 ≠ 0, tj. tato rovnost je splněna vždy, platí: 6𝑥 5 + 17𝑥 3 − 21𝑥 2 + 5𝑥 − 7 ÷ 3𝑥 2 + 1 = 2𝑥 3 + 5𝑥 − 7
60
3.14 Vypočítej: a) 5𝑎𝑛+2 + 3𝑎𝑛 − 7𝑎 + 2𝑎𝑛+2 − 6𝑎𝑛 + 3𝑎 = = 5𝑎𝑛 +2 + 2𝑎𝑛+2 + 3𝑎𝑛 − 6𝑎𝑛 − 7𝑎 + 3𝑎 = 7𝑎𝑛+2 − 3𝑎𝑛 − 4𝑎 b) 12𝑎2𝑛 −3 + 6𝑎2𝑛 −2 − 5𝑎2𝑛 −1 + 3𝑎2𝑛 − 2𝑎2𝑛 −3 − 3𝑎2𝑛 −2 − 7𝑎2𝑛 −1 + 2𝑎2𝑛 = 12𝑎2𝑛−3 + 6𝑎2𝑛 −2 − 5𝑎2𝑛 −1 + 3𝑎2𝑛 − 2𝑎2𝑛 −3 + 3𝑎2𝑛 −2 + 7𝑎2𝑛 −1 − 2𝑎2𝑛 = 12𝑎2𝑛 −3 − 2𝑎2𝑛−3 + 6𝑎2𝑛 −2 + 3𝑎2𝑛 −2 − 5𝑎2𝑛 −1 + 7𝑎2𝑛−1 + 3𝑎2𝑛 − 2𝑎2𝑛 = 10𝑎2𝑛 −3 + 9𝑎2𝑛−2 + 2𝑎2𝑛 −1 + 𝑎2𝑛 c) 2𝑎2 − 3𝑏 − 𝑏2 + 3𝑏2 − 2𝑎 − 𝑎2 − 4 − 5𝑏
+1 =
= 2𝑎2 − 3𝑏 + 𝑏2 + 3𝑏2 − 2𝑎 − 𝑎2 − 4 + 5𝑏 + 1 = = 2𝑎2 − 3𝑏 + 𝑏2 + 3𝑏2 − 2𝑎 − 𝑎2 + 4 − 5𝑏 + 1 = = 2𝑎2 − 3𝑏 + 𝑏2 + 3𝑏2 − 2𝑎 − 𝑎2 + 4 − 5𝑏 + 1 = = 𝑎2 − 2𝑎 + 1 + 4𝑏2 − 8𝑏 + 4 = (𝑎 − 1)2 + (2𝑏 − 2)2 d) 3𝑎3 − 𝑏3 — [ −2𝑎3 − 3𝑎2 𝑏 − 3𝑎𝑏2 − 6𝑎𝑏2 } = = 3𝑎3 − 𝑏3 — [−2𝑎3 − 3𝑎2 𝑏 − 3𝑎𝑏2 − 6𝑎𝑏2 } = = 3𝑎3 − 𝑏3 + 2𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏2 − 6𝑎𝑏2 = 3𝑎3 − 𝑏3 − 2𝑎3 − 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏2 = = 𝑎3 − 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏2 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏)3
3.15 Vypočítej: a) 𝑎2 𝑏 𝑎 + 𝑏 + 2 − 𝑎3 𝑏 − 3 − 2𝑎2 𝑏 + 3𝑎3 = = 𝑎3 𝑏 + 𝑎2 𝑏2 + 2𝑎2 𝑏 − 𝑎3 𝑏 + 3𝑎3 − 2𝑎2 𝑏 − 3𝑎3 = 𝑎2 𝑏2 b) 2𝑎 2𝑎 − 3𝑏 + 5𝑏 2𝑎 + 1 − 5𝑏 − 𝑏2 = = 4𝑎2 − 6𝑎𝑏 + 10𝑎𝑏 + 5𝑏 − 5𝑏 + 𝑏2 = 4𝑎2 + 4𝑎𝑏 + 𝑏2 = (2𝑎 + 𝑏)2 c) 𝑎2 𝑏 1 + 2𝑏 − 2𝑎 𝑏2 𝑎 + 3𝑏 − 2𝑏 − 𝑏 2 − 3𝑏2 = 𝑎2 𝑏 + 2𝑎2 𝑏2 − 2𝑎 𝑎𝑏2 + 3𝑏3 − 2𝑏 − 2𝑏 + 3𝑏3
= =
= 𝑎2 𝑏 + 2𝑎2 𝑏2 − 2𝑎 𝑎𝑏2 + 3𝑏3 − 3𝑏3 = 𝑎2 𝑏 + 2𝑎2 𝑏2 − 2𝑎2 𝑏2 = 𝑎2 𝑏
61
d) 2𝑎 𝑏 − 𝑏2 + 2𝑏 𝑎 − 2 𝑎 + 𝑏2
− 𝑏 3𝑏 − 𝑎
=
= 2𝑎𝑏 − 2𝑎𝑏2 + 2𝑏 𝑎 − 2𝑎 − 2𝑏2 − 3𝑏2 + 𝑎𝑏 = = 2𝑎𝑏 − 2𝑎𝑏2 + 2𝑏 −𝑎 − 5𝑏2 + 𝑎𝑏 = 2𝑎𝑏 − 2𝑎𝑏2 − 2𝑎𝑏 − 10𝑏3 + 2𝑎𝑏2 = = −10𝑏3
3.3 Rozklad mnohočlenů Rozkladem mnohočlenu rozumíme vyjádření daného mnohočlenu jako součinu jednodušších, většinou již dále nerozložitelných, mnohočlenů.
Existuje několik způsobů rozkladu mnohočlenu: 1. Vytknutí společného mnohočlenu před závorku Příklad Rozlož mnohočlen vhodným vytknutím před závorku: a) 3𝑥 − 6𝑦 + 6𝑧 2 Řešení 3𝑥 − 6𝑦 + 6𝑧 2 = 3 𝑥 − 2𝑦 + 2𝑧 2 b) 𝑥𝑦 − 𝑦𝑧 Řešení 𝑥𝑦 − 𝑦𝑧 = 𝑦(𝑥 − 𝑧) c) 𝑥 2 − 𝑦 + 3 2 − 𝑦 − 𝑧 2 − 𝑦 Řešení 𝑥 2 − 𝑦 + 3 2 − 𝑦 − 𝑧 2 − 𝑦 = 2 − 𝑦 (𝑥 + 3 − 𝑧) d) 𝑥 3 − 𝑥 2 𝑦 + 2𝑥 − 2𝑦 Řešení 𝑥 3 − 𝑥 2 𝑦 + 2𝑥 − 2𝑦 = 𝑥 2 𝑥 − 𝑦 + 2 𝑥 − 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 (𝑥 2 + 2) 62
2. Rozklad pomocí vzorce Většinou používáme následující vzorce (s některými už jsme se setkali u součinu mnohočlenů): Pro všechna 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ platí: 𝑎+𝑏
2
= 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 ,
𝑎−𝑏
2
= 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 ,
𝑎+𝑏
3
= 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 ,
𝑎−𝑏
3
= 𝑎3 − 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏2 − 𝑏3 ,
𝑎2 − 𝑏2 = 𝑎 + 𝑏 (𝑎 − 𝑏), 𝑎3 + 𝑏3 = 𝑎 + 𝑏 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2 , 𝑎3 − 𝑏3 = 𝑎 − 𝑏 (𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2 ).
Pozn. Abychom dodrželi přesné znění definice rozkladu mnohočlenu, tedy že mnohočlen vyjádříme jako součin jednodušších mnohočlenů, měli bychom správně psát např. 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏 . Pro větší přehlednost ale budeme i v dalším textu používat zkrácený zápis, tedy 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = = 𝑎 + 𝑏 2. Příklad Rozlož mnohočlen s využitím vzorců: a) 𝑥 2 − 4𝑥 + 4 Řešení 𝑥 2 − 4𝑥 + 4 = 𝑥 2 − 2 ⋅ 𝑥 ⋅ 2 + 22 = (𝑥 − 2)2 b) 𝑦 3 + 27 Řešení 𝑦 3 + 27 = 𝑦 3 + 33 = 𝑦 + 3 𝑦 2 − 𝑦 ⋅ 3 + 32 = 𝑦 + 3 (𝑦 2 − 3𝑦 + 9) c) 25𝑥 2 − 9𝑦 4 Řešení 25𝑥 2 − 9𝑦 4 = (5𝑥)2 − (3𝑦 2 )2 = 5𝑥 + 3𝑦 2 (5𝑥 − 3𝑦 2 )
63
d) 8𝑥 3 − 125 Řešení 8𝑥 3 − 125 = 2𝑥
3
− 53 = 2𝑥 − 5
2𝑥
2
+ 2𝑥 ⋅ 5 + 52 =
= 2𝑥 − 5 (4𝑥 2 + 10𝑥 + 25)
3. Rozklad kvadratického trojčlenu V tomto případě chceme rozložit kvadratický trojčlen 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞, kde 𝑥 ∈ ℝ, 𝑝, 𝑞 ∈ ℤ, na součin dvou lineárních dvojčlenů 𝑥 − 𝑟 (𝑥 − 𝑠), kde 𝑟, 𝑠 ∈ ℤ. Ne vždy taková čísla r, s existují. Pokud však existují, tak pro ně musí platit: 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 𝑥 − 𝑟 𝑥 − 𝑠 = 𝑥 2 − 𝑟𝑥 − 𝑠𝑥 + 𝑟𝑠 = 𝑥 2 − 𝑟 + 𝑠 𝑥 + 𝑟𝑠. To znamená, že 𝑝 = − 𝑟 + 𝑠 ∧ 𝑞 = 𝑟𝑠. Z těchto dvou podmínek určíme čísla r, s, pokud existují. Příklad Rozlož kvadratický trojčlen na součin dvou lineárních dvojčlenů s celočíselnými koeficienty: a) 𝑥 2 − 7𝑥 + 12 Řešení Pokud existují 𝑟, 𝑠 ∈ ℤ taková, že 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 𝑥 − 𝑟 𝑥 − 𝑠 , tak pro ně musí platit, že −7 = − 𝑟 + 𝑠 ∧ 12 = 𝑟𝑠. Aby byla splněna druhá podmínka, přichází v úvahu
tyto
možnosti:
12 = 12 ⋅ 1 = −12 −1 = 6 ⋅ 2 = −6 −2 =
= 4 ⋅ 3 = −4 (−3) . První podmínce vyhovuje možnost −7 = −(4 + 3) , tj. 𝑟 = 4, 𝑠 = 3. Výsledek je tedy: 𝑥 2 − 7𝑥 + 12 = 𝑥 − 4 𝑥 − 3 . b) 𝑥 2 + 5𝑥 + 6 Řešení Hledáme čísla r, s taková, že 5 = − 𝑟 + 𝑠 ∧ 6 = 𝑟𝑠. Druhé podmínce vyhovuje 6 = 6 ⋅ 1 = −6 −1 = 3 ⋅ 2 = (−3) −2 . A první podmínka je splněna pro 5 = −(−3 − 2), tj. 𝑟 = −3, 𝑠 = −2. Výsledek je tedy: 𝑥 2 + 5𝑥 + 6 = 𝑥 + 3 𝑥 + 2 .
64
c) 𝑥 2 − 2𝑥 − 15 Řešení Hledáme čísla r, s taková, že −2 = − 𝑟 + 𝑠 ∧ −15 = 𝑟𝑠 . Druhé podmínce vyhovuje −15 = −15 ⋅ 1 = 15 ⋅ −1 = −5 ⋅ 3 = 5 ⋅ (−3). A první podmínka je splněna pro −2 = −(5 − 3), tj. 𝑟 = 5, 𝑠 = −3. Výsledek je tedy: 𝑥 2 − 2𝑥 − 15 = 𝑥 − 5 𝑥 + 3 . d) 𝑥 2 + 9𝑥 + 8 Řešení Hledáme čísla r, s taková, že 9 = − 𝑟 + 𝑠 ∧ 8 = 𝑟𝑠. Druhé podmínce vyhovuje 8 = 8 ⋅ 1 = −8 −1 = 4 ⋅ 2 = −4 (−2). A první podmínka je splněna pro 9 = −(−8 − 1), tj. 𝑟 = −8, 𝑠 = −1. Výsledek je tedy: 𝑥 2 + 9𝑥 + 8 = 𝑥 + 8 𝑥 + 1 . Rozklad mnohočlenu není vždycky patrný na první pohled. Někdy mnohočlen dokonce nelze v oboru reálných čísel rozložit vůbec (např. mnohočlen 𝑎2 + 𝑏2 ). Přesto však je rozklad mnohočlenu užitečný, např. při počítání výrazů se zlomky.
Cvičení V následujících cvičeních vždy předpokládáme, že proměnné jsou z oboru reálných čísel. 3.16 Přiřaď odpovídající si výrazy: A
B
C
D
𝑥𝑦 2
𝑥𝑦
𝑥2
𝑥
(𝑥 + 2𝑦 − 5) (𝑥 + 2𝑦 − 5) (𝑥 + 2𝑦 − 5) (𝑥 + 2𝑦 − 5) a) 𝑥 3 + 2𝑥 2 𝑦 − 5𝑥 2 =
A
B
C
D
OK
b) 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 − 5𝑥 =
A
B
C
D
OK
c) 𝑥 2 𝑦 + 2𝑥𝑦 2 − 5𝑥𝑦 =
A
B
C
D
OK
d) 𝑥 2 𝑦 2 + 2𝑥𝑦 3 − 5𝑥𝑦 2 =
A
B
C
D
OK
65
3.17 Rozlož mnohočlen vhodným vytknutím před závorku: a) 4𝑡 − 2𝑡𝑢 − 12𝑡 2 = 2𝑡 2 − 𝑢 − 6𝑡 b) 3𝑡 2 − 𝑡 = 𝑡(3𝑡 − 1) c) 𝑡 3 − 4𝑡 2 − 3𝑡 + 12 = 𝑡 2 𝑡 − 4 − 3 𝑡 − 4 = 𝑡 − 4 (𝑡 2 − 3) d) 2𝑡 2 − 𝑡𝑢 − 12𝑡 + 6𝑢 = 𝑡 2𝑡 − 𝑢 + 6 −2𝑡 + 𝑢 = 𝑡 2𝑡 − 𝑢 − 6 2𝑡 − 𝑢 = = 2𝑡 − 𝑢 (𝑡 − 6)
3.18 Rozhodni, jestli platí následující rovnosti: a) 𝑎2 − 𝑏2 = 𝑎 − 𝑏 (𝑎 − 𝑏)
OK
b) 𝑎 − 𝑏
2
= 𝑎 − 𝑏 (𝑎 − 𝑏)
OK
c) 𝑎 − 𝑏
2
= 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2
OK
d) 𝑎 + 𝑏
3
= 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3
OK
e) 𝑎3 − 𝑏3 = 𝑎 − 𝑏 (𝑎 2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2 )
OK
f) 𝑎3 + 𝑏3 = 𝑎 + 𝑏 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2
OK
3.19 Rozlož mnohočlen s využitím vzorců: a) 9𝑥 2 + 6𝑥 + 1 = (3𝑥)2 + 2 ⋅ 3𝑥 ⋅ 1 + 12 = (3𝑥 + 1)2 b) 𝑥 9 − 25 = (𝑥 3 )2 − 52 = 𝑥 3 − 5 (𝑥 3 + 5) c) 27𝑧 3 + 8 = 3𝑧
3
+ 23 = 3𝑧 + 2
3𝑧
2
− 3𝑧 ⋅ 2 + 22 =
= 3𝑧 + 2 (9𝑧 2 − 6𝑧 + 4) d) 125𝑦 3 − 1 = 5𝑦
3
− 13 = 5𝑦 − 1
5𝑦
2
+ 5𝑦 ⋅ 1 + 12 =
= 5𝑦 − 1 25𝑦 2 + 5𝑦 + 1 e) 64𝑥 3 − 48𝑥 2 𝑦 + 12𝑥𝑦 2 − 𝑦 3 = (4𝑥)3 − 3 ⋅ (4𝑥)2 ⋅ 𝑦 + 3 ⋅ 4𝑥 ⋅ 𝑦 2 − 𝑦 3 = = (4𝑥 − 𝑦)3
66
3.20 Přiřaď odpovídající si výrazy: A
B
C
D
𝑥+5
𝑥−5
𝑥−5
𝑥+5
(𝑥 − 3)
(𝑥 + 3)
(𝑥 − 3)
𝑥+3
a) 𝑥 2 − 8𝑥 + 15 =
A
B
C
D
OK
b) 𝑥 2 + 8𝑥 + 15 =
A
B
C
D
OK
c) 𝑥 + 2𝑥 − 15 =
A
B
C
D
OK
d) 𝑥 2 − 2𝑥 − 15 =
A
B
C
D
OK
2
3.21 Rozlož kvadratický trojčlen na součin dvou lineárních dvojčlenů s celočíselnými koeficienty: a) 𝑥 2 − 10𝑥 + 24 Hledáme čísla r, s taková, že −10 = − 𝑟 + 𝑠 ∧ 24 = 𝑟𝑠. Druhé podmínce vyhovuje 24 = 24 ⋅ 1 = −24 −1 = 12 ⋅ 2 = −12 −2 = = 8 ⋅ 3 = −8 −3 = 6 ⋅ 4 = −6 (−4). A první podmínka je splněna pro −10 = −(6 + 4). Výsledek je tedy: 𝑥 2 − 10𝑥 + 24 = 𝑥 − 6 𝑥 − 4 . b) 𝑥 2 − 𝑥 − 2 Hledáme čísla r, s taková, že −1 = − 𝑟 + 𝑠 ∧ −2 = 𝑟𝑠. Druhé podmínce vyhovuje −2 = −2 ⋅ 1 = 2 ⋅ (−1). A první podmínka je splněna pro −1 = −(2 − 1). Výsledek je tedy: 𝑥 2 − 𝑥 − 2 = 𝑥 − 2 𝑥 + 1 . c) 𝑥 2 + 9𝑥 + 14 Hledáme čísla r, s taková, že 9 = − 𝑟 + 𝑠 ∧ 14 = 𝑟𝑠. Druhé podmínce vyhovuje 14 = 14 ⋅ 1 = −14 −1 = 7 ⋅ 2 = −7 −2 . A první podmínka je splněna pro 9 = −(−7 − 2). Výsledek je tedy: 𝑥 2 + 9𝑥 + 14 = 𝑥 + 7 𝑥 + 2 . d) 𝑥 2 − 5𝑥 + 12 Hledáme čísla r, s taková, že −5 = − 𝑟 + 𝑠 ∧ 12 = 𝑟𝑠. Druhé podmínce vyhovuje 12 = 12 ⋅ 1 = −12 −1 = 6 ⋅ 2 = −6 −2 = 67
= 4 ⋅ 3 = −4 −3 . Žádná kombinace vyhovující druhé podmínce ale nesplňuje podmínku první. Tento kvadratický trojčlen nelze rozložit na součin dvou lineárních dvojčlenů s celočíselnými koeficienty.
3.22 Rozlož následující mnohočleny: a) 3𝑥 + 2
2
+ 3𝑥 = 9𝑥 2 + 12𝑥 + 4 + 3𝑥 = 9𝑥 2 + 3𝑥 + 12𝑥 + 4 =
= 3𝑥 3𝑥 + 1 + 4 3𝑥 + 1 = 3𝑥 + 1 (3𝑥 + 4) b) −27𝑥 2 − 12𝑦 2 + 36𝑥𝑦 = −3 9𝑥 2 + 4𝑦 2 − 12𝑥𝑦 = = −3 9𝑥 2 − 12𝑥𝑦 + 4𝑦 2 = −3(3𝑥 − 2𝑦)2 c) 4𝑥 2 − 4 + 6𝑥 = 4𝑥 2 − 1 − 3 + 6𝑥 = 2𝑥 − 1 2𝑥 + 1 + 3 −1 + 2𝑥 = = 2𝑥 − 1 2𝑥 + 1 + 3 = 2𝑥 − 1 (2𝑥 + 4) d) 𝑥 2 − 15 − 2𝑥 = 𝑥 2 − 9 − 6 − 2𝑥 = 𝑥 − 3 𝑥 + 3 − 2 3 + 𝑥 = = 𝑥 + 3 𝑥 − 3 − 2 = 𝑥 + 3 (𝑥 − 5)
68
Seznam použitých matematických symbolů 𝑎<𝑏
číslo a je menší než číslo b
𝑎≤𝑏
číslo a je menší nebo rovno číslu b
𝑎>𝑏
číslo a je větší než číslo b
𝑎≥𝑏
číslo a je větší nebo rovno číslu b
𝑎∈𝐴
číslo a je prvkem množiny A
ℕ
obor přirozených čísel, množina přirozených čísel
ℤ
obor celých čísel, množina celých čísel
ℚ
obor racionálních čísel, množina racionálních čísel
ℝ
obor reálných čísel, množina reálných čísel
𝑎
absolutní hodnota čísla a
∀
obecný kvantifikátor, čteme „pro všechna“
∃
existenční kvantifikátor, čteme „existuje“
𝑎∧𝑏
konjunkce, čteme „a a zároveň b“
𝑎∨𝑏
disjunkce, čteme „a nebo b“
𝑎 ∈ ℝ − −3
číslo a je prvkem oboru reálných čísel a zároveň se nerovná −3
𝑎 ∈ℝ∧𝑎 <5
číslo a je prvkem oboru reálných čísel a zároveň je menší než 5
69
Závěr Prostřednictvím této práce jsem chtěla vytvořit interaktivní webové stránky zaměřené na výuku základních poznatků z matematiky na střední škole, které by sloužily žákům k lepšímu pochopení již ve škole probraného učiva nebo k samostudiu. Proto je na stránkách uveden jak vysvětlující text, doprovázený pro lepší ilustraci řešenými příklady, tak i úlohy k procvičení. Právě úlohy k procvičení by měly žákům napovědět, jestli již dané učivo opravdu správně pochopili. Nadanější žáci jistě ocení i možnost prověřit své matematické myšlení při řešení náročnějších úloh, které jsou graficky odlišeny od těch základních. Konkrétně jsem se v práci zabývala učivem o mocninách a mnohočlenech, které je zásadní pro pochopení dalších partií matematiky, ale i jiných, převážně přírodních, věd. Myslím si, že jsem cíl své práce splnila, že se mi podařilo vytvořit webovou aplikaci, jež přispěje k rozšíření matematických znalostí žáků. Důležitý je, podle mého názoru, i dostatečný počet úloh, na kterých by si žáci mohli své vědomosti ověřit. Proto v práci uvádím původní úlohy, při jejichž vymýšlení jsem se inspirovala v uvedené literatuře. Věřím, že tato práce bude pro žáky nejen poučná, ale také zajímavá a atraktivní. Při psaní práce jsem byla mile překvapena množstvím velmi kvalitně zpracované literatury, týkající se dané problematiky. Největší překážkou pro mě tudíž bylo samotné vytvoření webových stránek. Jelikož studuji obor geografie a matematika se zaměřením na vzdělávání, informatika mi není zrovna blízká. Proto jsem ocenila možnosti Matematicko-fyzikální fakulty, která nabízí studentům široký výběr při volbě volitelných předmětů. I přes uvedené obtíže si myslím, že právě forma zpracování, tedy internetová aplikace, je hlavní výhodou mé práce. Dnešní žáci jsou počítačově velmi zdatní, na internetu tráví hodně času, tudíž věřím, že tato práce má reálnou šanci pomoci žákům pochopit a procvičit si učivo o mocninách a mnohočlenech, navíc pro ně lákavější formou, než-li z klasických knih. A snad při vyplňování 70
rozmanitých cvičení si někteří dokonce uvědomí, že matematika je zábavná sama o sobě.
71
Literatura Bušek, I., Calda, E.: Matematika pro gymnázia. Základní poznatky z matematiky. Prometheus, Praha, 2002. Janeček, F.: Sbírka úloh z matematiky pro střední školy. Výrazy, rovnice, nerovnice a jejich soustavy. Prometheus, Praha, 1997. Kubát, J.: Sbírka úloh z matematiky pro přípravu k maturitní zkoušce a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. Prometheus, Praha, 2004. Polák, J.: Přehled středoškolské matematiky. Státní pedagogické nakladatelství, Praha, 1991.
72
Nakládání s prací Souhlasím s vystavením své práce na webových stránkách Katedry didaktiky matematiky MFF UK v Praze. Dále souhlasím s jejími pozdějšími úpravami za účelem jejího zapojení do struktury matematického portálu, který vznikne z této a podobných diplomových prací. Portál vytvoří a bude spravovat právě a jedině Katedra didaktiky matematiky MFF UK, či osoba jí pověřená.
Vladimíra Pavlicová
73
