Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta
BAKALÁŘSKÁ PRÁCE
Jaromír Malec
Pravděpodobnostní rozdělení ve financích Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Jan Hurt, CSc.
Studijní program: Matematika Studijní obor: Finanční matematika Praha 2011
Na tomto místě bych rád poděkoval panu doc. RNDr. Janu Hurtovi, CSc., vedoucímu bakalářské práce, za jeho podporu, cenné rady, zajímavé náměty a poskytnutí literatury.
Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracoval samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů, literatury a dalších odborných zdrojů. Beru na vědomí, že se na moji práci vztahují práva a povinnosti vyplývající ze zákona č. 121/2000 Sb., autorského zákona v platném znění, zejména skutečnost, že Univerzita Karlova v Praze má právo na uzavření licenční smlouvy o užití této práce jako školního díla podle § 60 odst. 1 autorského zákona.
V Praskolesích dne 22.7.2011
Jaromír Malec
Název práce: Pravděpodobnostní rozdělení ve financích Autor: Jaromír Malec Katedra / Ústav: Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Jan Hurt, CSc., Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Abstrakt: Tato bakalářská práce představuje souhrn rozdělení vhodných k modelování výnosů a ztrát. Nejprve pojednává o základních vlastnostech výnosů a ztrát a poté o konkrétních rozděleních. Zvláštní důraz je přitom kladen na nesymetrická rozdělení a na rozdělení s těžkými chvosty. O těchto rozděleních pojednává do hloubky a shrnuje základní vlastnosti týkající se chování chvostů. Je též doplněna o numerická pozorování na reálných datech. Motivem k napsání této práce je nedostatečnost symetrických rozdělení, protože s jejich pomocí nelze modelovat extrémní výnosy a ztráty. Práce by měla přispět zájemcům o studium nesymetrických rozdělení s těžkými chvosty jako pramen pro další zkoumání. Klíčová slova: Laplaceovo rozdělení, asymetrické Laplaceovo rozdělení
Title: Probability distributions in finance Author: Jaromír Malec Department: Department of Probability and Mathematical Statistics Supervisor: doc. RNDr. Jan Hurt, CSc., Department of Probability and Mathematical Statistics Abstract: This thesis presents a summary of distributions suitable for modelling returns and losses. First discusses the basic properties of returns and losses, and then on specific distributions. Particular emphasis is placed on the asymmetric distribution and distribution with heavy tails. These distributions are discussed in depth, and the basic properties concerning the behaviour of tails are summarized. It is also supplemented with numerical observations on real data. The motive for writing this work is the inadequacy of symmetric distribution, because they are not good for modelling extreme returns and losses. The work should help people, who are interested in studying asymmetric distribution with heavy tails, as a source of further investigation. Keywords: Laplace distribution, asymmetric Laplace distribution
Obsah Předmluva
1
1. Motivace a základní pojmy
2
1.1. Výnos, očekávaný výnos a rizika
2
1.2. Hodnota v riziku (VaR, Value at Risk)
4
1.2.1. Parametrická hodnota v riziku
4
1.2.2. Neparametrická hodnota v riziku
6
1.3. Očekávaná extrémní ztráta (Expected Short fall), podmíněná hodnota v riziku (Conditional VaR (CVaR))
6
1.4. Motivační poznámka
8
2. Normální rozdělení
9
3. Laplaceovo rozdělení
11
3.1. Laplaceovo rozdělení
11
3.2. Asymetrické Laplaceovo rozdělení
12
4. Hyperbolické rozdělení
21
4.1. Hyperbolické rozdělení
21
4.2. Zobecněné hyperbolické rozdělení
26
4.3. Příklad
29
5. Levyho rozdělení
32
6. Pravděpodobnostní rozdělení v praxi
34
6.1. Britská libra
34
6.2. Americký dolar
35
6.3. Euro
35
6.4. Švýcarský frank
36
6.5. Závěr
36
Seznam použité literatury
37
Přílohy
38
Předmluva Obsahem tohoto textu jsou pravděpodobnostní rozdělení ve financích. Obsahuje nejen finanční pojmy, ale též pojmy, které pocházejí spíše z oblasti pravděpodobnosti a matematické statistiky. Z tohoto důvodu je nezbytné, aby čtenář znal nebo měl alespoň hrubé podvědomí o základních pojmech z teorie pravděpodobnosti. Mezi nejdůležitější pojmy patří náhodná veličina (popřípadě náhodný vektor), její rozdělení a základní charakteristiky rozdělení náhodných veličin (hlavně hustota, distribuční a kvantilová funkce, kvantil, střední hodnota, rozptyl, směrodatná odchylka, momenty, šikmost, špičatost) a matematické analýzy. Autor předpokládá znalost výše zmíněných pojmů včetně jejich základních vlastností. Autor dále předpokládá znalost statistických metod pro odhady parametrů a testování hypotéz. Pro porozumění je možné využít [7], [8] nebo [9]. Jak již bylo zmíněno výše, tento text se zabývá pravděpodobnostními rozděleními ve financích. První kapitola pojednává o základních vlastnostech výnosů a ztrát. Kapitoly 2 až 5 mají opakující se strukturu. V každé kapitole je pojednáno o jednom rozdělení se zaměřením na nesymetrická rozdělení a rozdělení s těžkými chvosty. V případě rozdělení s těžkými chvosty je též pojednáno o chování chvostů v závislosti na parametrech. Zároveň jsou provedena numerická pozorování s využitím reálných dat nebo náhodných čísel. Poslední kapitola se věnuje odhadům parametrů daných rozdělení z reálných dat. Při zkoumání veškerých vlastností byl použit program Mathematica (8.0.0). Text obsahuje příkazy, které je třeba do programu vložit pro získání výsledků, o kterých tento text pojednává. Znak
znamená konec příkladu.
1
1. Motivace a základní pojmy V této kapitole postupujeme podle [1].
1.1. Výnos, očekávaný výnos a rizika S pojmem výnos bezprostředně souvisí pojem míra výnosnosti. Označí se ROR. Míra výnosnosti je definována předpisem: bohatství
í bohatství
čá
čá
Nechť Pt je tržní cena aktiva v čase t. Výnos se značí Rt. Pak platí: (1) což plyne ze vzorce pro míru výnosnosti. V Mathematice se zadá: returns[prices_?VectorQ]:= (Rest[prices]−Most[prices])/Most[prices] Pro výnos za časový horizont T je třeba použít vzorec: (2) Tím je dán výnos pro aktivum, u kterého je známa cena v daném období, ale říká pouze informaci o minulosti. V praxi je potřeba znát budoucí výnos z dané investice. Právě proto se do financí zavádí výnos jako náhodná veličina a riziko. Nechť je výnos náhodnou veličinu s označením ρ. Alternativně se též může značit ρt nebo ρ(t). Nechť ρ má distribuční funkci F. Dále se definuje:
Očekávaný výnos r = Eρ
Ztráta L = −ρ
Při tomto označení platí: a) je – li ρ > 0, pak mluvíme o zisku; b) je – li ρ < 0, pak mluvíme o ztrátě ve výši L = −ρ.
2
Je tedy zřejmé, že vše závisí na rozdělení ρ. U náhodné veličiny ρ máme označenou distribuční funkci a víme, jaký má význam její střední hodnota. Ve financích platí jiné názvosloví. Jak si již bylo zmíněno výše, střední hodnota rozdělení výnosu se nazývá očekávaný výnos. Navíc směrodatná odchylka rozdělení výnosu se nazývá riziko nebo též volatilita. Volatilita se značí σ a spočítá se podle vzorce: σ
ρ
Podle rizika je možné rozhodnout, které aktivum přijmout. Pro ilustraci je zde přiložen názorný příklad. Příklad: Mějme dvě aktiva A a B. Nechť jejich výnosy závisí na stavu ekonomiky. Pro jednoduchost předpokládejme, že ekonomika má pouze tři možné stavy: a) Boom … ekonomika roste; b) Normal … ekonomika neroste ani neklesá; c) Recese … ekonomika má potíže. Předpokládejme, že pravděpodobnost stavu a) a c) je 0,3 a pravděpodobnost stavu b) je 0,4, tedy že se pohybujeme v normálně fungující ekonomice. Tabulka 1 udává výnosy v jednotlivých stavech ekonomiky. Z ní je možné spočítat očekávané výnosy: rA = 15[%]; rB = 15[%].
Výnosy [%] Stav ekonomiky Pravděpodobnost A B Boom 0,3 100 20 Normal 0,4 15 15 Recese 0,3 -70 10 Tabulka 1 – výnosy a stavy ekonomiky
3
Je tedy vidět, že očekávané výnosy jsou u obou aktiv stejné. Rozptyly daných výnosů jsou: var(ρA) = 4335[%2]; var(ρB) = 15[%2]. Odtud plyne: σA = 65,84[%]; σB = 3,87[%]. Odtud dostáváme, že B je méně riskantní než A.
1.2. Hodnota v riziku (VaR, Value at Risk) Hodnota v riziku je velmi používaný nástroj ke zhodnocení aktiva. Hodnota v riziku se nezabývá zisky, ale ztrátami. Zpravidla se mluví o hodnotě v riziku na úrovni 1-α, značí se VaRα a definuje se takto: P(−ρ > VaRα) = P(ρ < − VaRα)=α. Z hlediska Teorie pravděpodobnosti je tedy VaRα 100 α%-ní kvantil rozdělení ρ. Z hlediska financí je VaRα hodnota, kterou ztráta překročí s pravděpodobností α, přičemž α se volí malé, zpravidla 5%. Jinými slovy řečeno, hodnota v riziku je maximální možná ztráta s pravděpodobností 1−α. Přirozeně platí: VaRα = −inf{x: F(x) ≥ α}.
(3)
Pro definici hodnoty v riziku v Mathematice lze zadat: VaR[distribution_,α_,assuming___]:= Assuming[{assuming},Quantile[distribution,α]//Simplify];
1.2.1. Parametrická hodnota v riziku Mějme nyní G(x) distribuční funkci, {Fμ, σ}, kde μ takovou, že:
4
R, σ > 0, třídu rozdělení
μ μσ
σ
přičemž μ je v tomto případě parametr polohy a σ je parametr měřítka. Označme uα α-kvantil rozdělení G. Pak platí: ρ
ρ α
μ
α
σ
μ
σ
α
σ
μ
α
Odtud dostáváme: VaRα = −μ−σ uα. Tomuto vyjádření se říká absolutní hodnota v riziku. Relativní hodnota v riziku je: VaRα rel = σ uα. Za pomoci tohoto vzorečku pro absolutní hodnotu v riziku lze též určit, jak vypadá hodnota v riziku na delší časové období T. Tento problém je potřeba rozdělit na dva případy: 1) μ se v čase nemění, ale mění se volatilita (σ): pro σ platí následující vztah: σT2 = T σ2. Odtud plyne: (T)
α
= -μ - σ
α
kde (T)VaR je hodnota v riziku po časovém období T. 2) mění se μ i σ: pro σ platí totéž, co v 1), a pro μ platí: μT = μ T. Odtud plyne: (T)
α=
-μ T - σ
5
α
S pomocí parametrického VaR lze odhadnout VaR z dat. To však jde, pokud je známo rozdělení ρ. Tento model však selhává, pokud dané rozdělení neznáme. V takovém případě je potřeba použít neparametrický model.
1.2.2. Neparametrická hodnota v riziku V tomto případě není známo rozdělení ρ. Máme však výnosy R1,…,RT. Místo uα uvažujeme výběrový kvantil (tj. empirický odhad kvantilu, označme ûα). Z výnosů vytvoříme uspořádaný náhodný výběr (tj. seřadíme je podle velikosti) a máme: R(1),…,R(T). Odtud dostaneme ûα
α
( T α 1)
α
ûα
α
é α
Pro delší časový horizont je potřeba dělat delší spekulace a použít regresní modely (viz též [2]). Pro tento odhad je v Mathematice možné zadat: VaRsample[losses_?VectorQ,α_]:=Quantile[losses,α]
1.3. Očekávaná extrémní ztráta (Expected Short fall), podmíněná hodnota v riziku (Conditional VaR (CVaR)) V dalším textu budeme předpokládat, že distribuční funkce ztráty F je rostoucí na svém nosiči. Hodnota v riziku je dobrá charakteristika pro hodnocení daného aktiva, ale už neudává, jaká může být průměrná ztráta, pokud je již překročena VaR. Proto se zavádí pojem očekávaná extrémní ztráta nebo též podmíněná hodnota v riziku, která je definována takto: α
ρρ
α
Alternativně ρ
α
Máme 6
α
ρ
ρ
α
ρ
ρ
ρ
α
ρ
α α
takže ρ α
α
, pro x < −VaRα,
= 0, jinak. Odtud dostaneme α
α
α
Alternativně lze požít substituci F(x) = y neboli
.
Pokud x → − , pak y → 0. Pokud x → −VaRα, pak y → α. Odtud plyne: α α
α
Pro definici podmíněné hodnoty v riziku se obvykle zadává: CvaR[distribution_,α_,assuming___]:= 1/(1−α)Assuming[{assuming},Integrate[y PDF[distribution,y], {y,VaR[distribution,α], }]]//PowerExpand//Simplify; Neparametrický dhad CVaRα z dat je poměrně jednoduchý. Mějme výnosy R1, ….…, RT. Z nich vynecháme ta pozorování, pro která platí: Ri > ûα. Z těch zbylých pak stačí spočítat aritmetický průměr. Výsledkem je:
α α α
V Mathematice bychom zadali: CvaRsample[losses_?VectorQ,α_]:= Mean[Select[losses,#>VaRsample[losses,α]&]] 7
1.4. Motivační poznámka Ze všeho výše uvedeného je zřejmé, že rizikovost daného aktiva závisí na rozdělení výnosů aktiva. Při neznalosti rozdělení ρ lze dělat pouze odhady, které nemusí být nejlepší. Zpravidla mohou být nestranné a konzistentní, ale mohou být rovněž nepřesné. Tato nepřesnost může způsobit špatné rozhodnutí ve smyslu přijetí ztrátového aktiva nebo nepřijetí velmi výnosného aktiva. Navíc tato nepřesnost v odhadech může způsobit i špatně spočítané budoucí ceny akcií dané firmy na akciových trzích, neboť tato cena včetně budoucí ceny dividendy rovněž závisí na rozdělení výnosu (viz též [1]). Stačí se podívat na vzorec (2), podle kterého již lze spočítat cenu v čase T. Pro ilustraci je na obr. 1 znázorněn vývoj ceny akcie GE od 1. 1. 2005 do 31. 3. 2011. Z odpovídajících numerických hodnot v tomto grafu je možné spočítat výnosy, odhadnout jejich rozdělení a hodnotu v riziku (včetně podmíněné) a zjistit tak rizikovost akcie GE.
Obr. 1 - vývoj ceny akcie GE
8
2. Normální rozdělení Normální rozdělení svým způsobem nepatří do kontextu tohoto textu, ale je rozhodně dobré se o něm krátce zmínit, protože je velmi významné teorii pravděpodobnosti. Připomeňme, že hustota normálního rozdělení s parametry μ a σ2 je: υ
μ σ
σ
Ještě připomeňme, že střední hodnota náhodné veličiny s normálním rozdělením je μ a rozptyl σ2. Speciálním případem normálního rozdělení je normované normální rozdělení, které vznikne pro volbu parametrů μ = 0 a σ2 = 1. Nyní předpokládejme, že výnos má normální rozdělení s parametry μ a σ2. V tuto chvíli je možné spočítat (podmíněnou) hodnotu v riziku. Hodnota v riziku pro normální rozdělení má předpis: α
přičemž
=μ
σ
α
je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení a
-1
odpovída-
jící kvantilová funkce. V tabulce 2 jsou spočítané hodnoty hodnoty v riziku pro volbu α = 0,95 a pro několik možných kombinací parametrů μ a σ. Z této tabulky je zřejmé, že s rostoucím μ a σ roste hodnota v riziku. Stejným způsobem je možné spočítat podmíněnou hodnotu v riziku. Po delším výpočtu dostaneme α μ
αμ
α
σ
α
V tabulce 3 jsou konkrétní hodnoty podmíněné hodnoty v riziku pro α = 0,95 a pro několik kombinací μ a σ. Opět je zřejmé, že pro podmíněnou hodnotu v riziku platí totéž, co platí pro hodnotu v riziku. Více informací o normálním rozdělení je možné najít v [4], [7], [8] a [9].
9
μ ↓ σ → 1 2 3 4 5 0 1,64485 3,28971 4,93456 6,57941 8,22427 1 2,64485 4,28971 5,93456 7,57941 9,22427 2 3,64485 5,28971 6,93456 8,57941 10,22427 3 4,94485 6,28971 7,93456 9,57941 11,22427 4 5,64485 7,28971 8,93456 10,57941 12,22427 5 6,64485 8,28971 9,93456 11,57941 13,22427 Tabulka 2 – hodnota v riziku pro normální rozdělení na hladině 0,05
μ ↓ σ → 1 2 3 4 5 0 2,06271 4,12543 6,18814 8,25185 10,3136 1 3,06271 5,12543 7,18814 9,25185 11,3136 2 4,06271 6,12543 8,18814 10,25185 12,3136 3 5,06271 7,12543 9,18814 11,25185 13,3136 4 6,06271 8,12543 10,18814 12,25185 14,3136 5 7,06271 9,12543 11,18814 13,25185 15,3136 Tabulka 3 – podmíněná hodnota v riziku pro normální rozdělení na hladině 0,05
10
3. Laplaceovo rozdělení V této kapitole používáme výsledky z [3].
3.1. Laplaceovo rozdělení Toto rozdělení opět zcela nezapadá do kontextu tohoto textu, ale je důležité pro další výklad, protože na něj navazuje asymetrické Laplaceovo rozdělení. Má parametry μ a β, přičemž μ je parametrem polohy a β parametrem měřítka. Jeho hustota je: μ β
β Její graf pro volbu parametrů μ = 0 a β = 1 je vyobrazen na obr. 2.
Obr. 2 - hustota Laplaceova rozdělení Distribuční funkce je: μ β
μ
11
β
μ
Střední hodnota je rovna μ. Rozptyl je roven 2 β2. Šikmost je rovna 0, špičatost 6. Nyní nechť má výnos Laplaceovo rozdělení s parametry μ a β. Hodnota v riziku na hladině α má tvar: μ
α
β
α
Podmíněná hodnota v riziku na hladině α má tvar: α
β
μ
β
α
Odtud je možné spočítat konkrétní numerické hodnoty. V tabulce 4 jsou tyto hodnoty pro hodnotu v riziku a v tabulce 5 pro podmíněnou hodnotu v riziku, obojí pro několik voleb parametrů μ a β a pro α = 0,95.
μ↓ β→ 1 2 3 4 5
1 3,30259 4,30259 5,30259 6,30259 7,30259
2 5,60517 6,60517 7,60517 8,60517 9,60517
3 7,90776 8,90776 9,90776 10,90776 11,90776
4 10,2103 11,2103 12,2103 13,2103 14,2103
5 12,5129 13,5129 14,5129 15,5129 16,5129
Tabulka 4 – hodnota v riziku pro Laplaceovo rozdělení na hladině 0,05
μ↓ β→ 1 2 3 4 5
1 4,30259 5,30259 6,30259 7,30259 8,30259
2 7,60517 8,60517 9,60517 10,60517 11,60517
3 10,9078 11,9078 12,9078 13,9078 14,9078
4 14,2103 15,2103 16,2103 17,2103 18,2103
5 17,5129 18,5129 19,5129 20,5129 21,5129
Tabulka 5 – podmíněná hodnota v riziku pro Laplaceovo rozdělení na hladině 0,05
3.2. Asymetrické Laplaceovo rozdělení Jedním z rozdělení s těžkými chvosty je asymetrické Laplaceovo rozdělení. Mluvíme o asymetrickém Laplaceovu rozdělení s parametry θ, τ a κ, přičemž θ je parametr polohy, τ je parametr měřítka a κ je parametr modelu. Přičemž platí, že θ je
12
jakékoli reálné číslo, τ > 0 a κ > 0. Pak hustota asymetrického Laplaceova rozdělení je: κ
κ
θ τ
f(x) =
(κ
θ
1) τ θ κτ τ
κ κ
Na obr. 3 je graf této hustoty pro volbu θ = 0, τ = 4, κ = 0,5. V porovnání s běžným Laplaceovým rozdělením je vidět, že v tomto případě má těžší pravý chvost. To však platí pouze pro tuto konkrétní volbu parametrů. Nejprve se krátce zmíníme o vlivu parametru θ. Jak již bylo zmíněno výše, θ je parametrem polohy. U většiny rozdělení má takový parametr stejný vliv na chování hustoty. Tento konkrétní případ není výjimkou. Na obr. 3 je znázorněna situace pro θ = 0. Změna parametru θ nám pouze posune celý graf po ose x. Tedy například pro θ = 1 by vrchol hustoty byl v bodě x = 1 a podobně.
Obr. 3- hustota asymetrického Laplaceova rozdělení
Nejprve se podíváme na parametr τ. Pro τ → 0 se toto rozdělení limitně blíží rozdělení, které má vlastnosti: 13
P(X = θ) = 1, P(X = θ i) = 0, kde X je nějaká náhodná veličina, θ je parametr asymetrického Laplaceova rozdělení a i ≠ 0. Tedy s klesajícím τ se k sobě přibližují pravý a levý chvost. S rostoucím τ se oba chvosty od sebe navzájem vzdalují a vrchol hustoty klesá dolů. Vše je zachyceno na obr. 4, ve kterém je znázorněna hustota asymetrického Laplaceova rozdělení pro volbu parametrů: θ = 0, κ = 0,5 a τ postupně nabývá hodnot 1,5; 3; 4,5, přičemž situace pro τ = 1,5 je v grafu znázorněna modře, pro τ = 3 červeně a pro τ = 4,5 žlutě.
Obr. 4 - změna hustoty asymetrického Laplaceova rozdělení při změně parametru τ Nakonec prozkoumejme vliv parametru κ. Nechť nejprve κ klesá k nule. V takovém případě poměrně vysokou rychlostí těžkne pravý chvost. Naopak levý chvost se stejnou rychlostí ztrácí a je téměř nulový. Při volbě κ = 1 dostaneme (až na reálný násobek) Laplaceovo rozdělení. Pokud necháme κ stoupat k jedné, bude se váha chvostů postupně vyrovnávat. Stejný efekt nastane, pokud necháme κ klesat k jedné. Efekt sice nastane stejný, ale rychlost tohoto efektu bude jiná. Pokud κ roste k jedné, pak se váha chvostů vyrovnává rychleji, než pokud κ klesá k jedné. Ještě zbývá diskutovat, co se stane, pokud κ poroste. V takovém případě bude postupně nastávat stejný efekt, jako pro κ → 0, pouze se stranovým rozdílem. Všechny efekty 14
jsou znázorněny na obr. 5. Na tomto grafu jsou znázorněny hustoty asymetrického Laplaceova rozdělení pro volbu parametrů: θ = 0, τ = 4 a pro následující volby parametru κ: 0,2 (tmavě modrá barva), 0,9 (červená barva), 1 (žlutá barva), 1,1 (zelená barva), 1,8 (světle modrá barva). Systém Mathematica nemá toto rozdělení zabudované, a proto je třeba udělat před vlastní prací přípravu. Nejprve je třeba zadat příkaz v příloze 1 (viz též: [3], v kapitole3, odstavci Asymmetric Laplace distribution(ALD), pododstavci Definition of ALD in Mathematica). Pak již stačí zadat: θτκ θ
τ
κ Zde je možné s parametry libovolně měnit podle uvážení. Je též možné spustit animaci, která bude parametry měnit sama a uživatel tak pouze sleduje chování hustoty.
Obr. 5 - změna hustoty asymetrického Laplaceova rozdělení při změně parametru κ
Distribuční funkce asymetrického Laplaceova rozdělení je:
15
θ
κ
κτ
θ
κ κ θ τ
κ κ
Pro chování distribuční funkce ve vztahu k parametrům platí totéž, co pro hustotu. Další charakteristiky již budou uvedeny obecně s parametry θ, τ a κ. Mějme náhodnou veličinu X, která má asymetrické Laplaceovo rozdělení s výše zmíněnými parametry. Pak její střední hodnota je κ
θ
τ κ
a pro rozptyl platí κ
τ κ
O směrodatné odchylce bude pojednáno později. Podívejme se nyní na vyšší momenty, respektive na šikmost a na špičatost, což jsou charakteristiky, které plynou z vyšších momentů. Kvůli parametru κ nelze šikmost a špičatost vyjádřit jedním číslem, ale je třeba obojí vyjádřit vztahem v závislosti na κ. Označme šikmost jako γ3 a špičatost jako γ4. Dostáváme κ
γ
κ
a γ
κ
κ κ
přičemž minimální špičatost je rovna 6 (pro κ = 1). Je tedy zřejmé, že šikmost i špičatost závisí pouze na parametru κ. O této závislosti nejvíce vypovídá obr. 6, na kterém je modře znázorněna šikmost a červeně špičatost asymetrického Laplaceova rozdělení.
16
Obr. 6- šikmost a špičatost asymetrického Laplaceova rozdělení Nyní se podíváme na odhady charakteristik asymetrického Laplaceova rozdělení. Použijeme volbu parametrů z počátku kapitoly, tedy θ = 0, τ = 4 a κ = 0,5. Nejprve spočítáme všechny charakteristiky (střední hodnota, rozptyl, směrodatná odchylka, šikmost, špičatost). Pak vygenerujeme 10 000 dat z asymetrického Laplaceova rozdělení a pro tyto data odhadneme metodou maximální věrohodnosti všechny zmíněné charakteristiky. Aby bylo možné posoudit přesnost odhadů (myšleno numerickou přesnost), spočítáme ještě absolutní hodnotu rozdílu skutečných parametrů a odhadů. V systému Mathematica je třeba zadat: data= Table[RandomReal[AsymmetricLaplaceDistribution[0,4,0.5]],{10000}]; residuum[fce_,rozd_,data_]:=Abs[fce[rozd]-fce[data]]; Text@Grid[{{" ","Skutečná hodnota","Odhad","Rozdíl"},{"Střední hodnota", Mean[AsymmetricLaplaceDistribution[0,4,0.5]], Mean[data], residuum[Mean,AsymmetricLaplaceDistribution[0,4,0.5],data]}, {"Rozptyl", Variance[AsymmetricLaplaceDistribution[0,4,0.5]], Variance[data], residuum[Variance,AsymmetricLaplaceDistribution[0,4,0.5],data]}, {"Směrodatná odchylka", StandardDeviation[AsymmetricLaplaceDistribution[0,4,0.5]], StandardDeviation[data], 17
residuum[StandardDeviation,AsymmetricLaplaceDistribution[0,4,0.5],data]}, {"Šikmost", Skewness[AsymmetricLaplaceDistribution[0,4,0.5]], Skewness[data], residuum[Skewness,AsymmetricLaplaceDistribution[0,4,0.5],data]}, {"Špičatost", Kurtosis[AsymmetricLaplaceDistribution[0,4,0.5]], Kurtosis[data], residuum[Kurtosis,AsymmetricLaplaceDistribution[0,4,0.5],data]}}, Frame->All, Alignment->Left] Výsledkem bude tabulka 6. Na modře označených místech je možné provádět změny parametrů. Na zeleně označeném místě je možné změnit počet generovaných dat. Pro jakákoli data je ještě dobré zkonstruovat histogram (odhad hustoty). Tento případ je znázorněn na obr. 7.
Střední hodnota Rozptyl Směrodatná odchylka Šikmost Špičatost
Skutečná hodnota 4,2426 34 5,8310 1,7976 8,3356
Odhad 4,2714 34,3275 5,8590 1,7874 8,2591
Rozdíl 0,0287 0,3275 0,0280 0,0102 0,0766
Tabulka 6 – srovnání skutečných hodnot parametrů a jejich odhadů z dat
Obr. 7 - histogram dat z asymetrického Laplaceova rozdělení
18
Nechť má nyní výnos ρ asymetrické Laplaceovo rozdělení s parametry θ, τ a κ. Očekávaný výnos již byl zmíněn (je roven střední hodnotě ρ). Odmocněním rozptylu získáme riziko ρ, které označme jako σALD. Toto riziko je κ
τ κ
σ
Nyní prozkoumejme (podmíněnou) hodnotu v riziku. Hodnota v riziku podle (3) je κτ
α
α
θ
α
τ
κ
θ
α
α
κ
ακ
α
κ
α
κ
κ
ακ
α
Pro studium chování hodnoty v riziku použijeme α θ τ κ
θτκ α;
a pak αθτκ
α α
θ
τ
κ
Potom je možné měnit parametry dle libosti nebo spustit animaci. Nyní se podívejme na podmíněnou hodnotu v riziku. Po zdlouhavém výpočtu dostaneme (viz [3]) α
τ κ κ
τ
α
α
α
κ
α
κ α α
19
κ κ
θ
α
κ
τ
τ
α κ
θκ
τ
α κ κ
α
κ
Pro studium chování podmíněné hodnoty v riziku použijeme α θ τ κ κ τ
κ
α τ
α θ
κ α α
κ
α
κ
κ α
κ κ
α
α
κ τ
θκ
τ α
a αθτκ θ
τ
α α
κ
a potom lze měnit parametry nebo spustit animaci.
20
τ
α κ
κ
4. Hyperbolické rozdělení Hyperbolické rozdělení je typickým příkladem rozdělení s těžkými chvosty. Celkem ho lze rozdělit na dvě verze: běžná verze a zobecněná verze. Následující text pojednává o obou verzích. Podobné výsledky lze najít v [4]. Poznámka: Většina charakteristik je definována pomocí modifikované Besselovy funkce 2. druhu. Tato funkce má složitou strukturu a pojednání o ní přesahuje rámec tohoto textu. Více informací je v [4].
4.1. Hyperbolické rozdělení Nejprve bude pojednáno o hyperbolickém rozdělení. Toto rozdělení má čtyři parametry: α, β, δ a μ, přičemž μ je parametr polohy, δ je parametr měřítka, α je parametr modelu a β je parametr šikmosti. Pro tyto parametry platí, že μ může být jakékoli reálné číslo, α > 0, δ > 0 a –α < β < α. Hustota má předpis: β
μ
α δ
μ
Její graf pro hodnoty α = 2, β = 1, δ = 3 a μ = 1 je znázorněn na obr. 8. Pojednejme nyní o reakci rozdělení, respektive jeho hustoty, na změny parametrů. Pro jednodušší ilustraci se vždy jeden parametr bude měnit a ostatní budou zafixovány na výše uvedené volbě. Začneme parametrem α. Volba parametru α ovlivňuje parametr β výše popsaným způsobem. Pokud α → 0, tak hyperbolické rozdělení přestává existovat. Důvodem je závislost parametru β na α, přičemž je – li α = 0, není možné určit parametr β. Nechť α → β = 1. V tom případě klesá vrchol hustoty a celý graf hustoty se napřimuje a osy x se dotýká stále dál. Tato situace však platí pouze pro x > 0. Pro naší konkrétní volbu parametrů platí, že f(x) ≈ 0 pro x < −1. To bude platit pro jakékoli α. Pro x > −1 už platí výše popsaná situace. Je zřejmé, že čím je nižší, tím jsou nižší hodnoty hustoty. Je zřejmé, že existuje x0 takové, že:
21
Obr. 8 - hustota hyperbolického rozělení
Navíc pro α → β platí, že:
Nyní nechť α Pak platí, že:
Pro x > −1 se výše definované x0 blíží k −1. Totéž platí pro bod maxima hustoty. Navíc numerická hodnota maxima se neustále zvyšuje a to stále pomalejším tempem. Vše je ukázáno na obr. 9, kde α je voleno postupně 2 (modrá barva), 3 (červená barva), 4 (žlutá barva) a 5 (zelená barva). Nyní se podívejme na vliv parametru β. Nejprve nechť β → α = 2. V takovém případě celý graf hustoty posouvá směrem doprava a klesá. Navíc dochází k oslabování levého chvostu na úkor pravého, který je stále těžší. Pro β → −α = −2 je situace zrcadlově obrácená. Odtud je zřejmé, že musí existovat hodnota parametru β, 22
pro kterou se z hyperbolického rozdělení stává symetrické rozdělení. Touto hodnotou je hodnota β = 0. Nechť β → 0. V tomto případě dochází k vyrovnávání chvostů a z nesymetrického rozdělení se stává symetrické, které se nápadně podobá normálnímu rozdělení. Obr. 10 znázorňuje průběh změn v závislosti na parametru β, přičemž ostatní parametry jsou zafixovány na výše uvedené volbě a parametr β je postupně roven −1,1 (tmavě modře), −0,5 (červeně), 0 (žlutě), 0,5 (zeleně), 1,1 (světle modře). Nyní se zaměříme na vliv parametru δ. Vliv tohoto parametru na chování hyperbolického rozdělení je, až na několik odlišností, podobný vlivu parametru α. První odlišnost spočívá v opačném vlivu, to znamená, že s rostoucím δ se pravý chvost vzdaluje od levého a naopak. Dále parametr δ nám povolí, aby bod maxima byl ještě blíže bodu x = −1 a aby numerická hodnota maxima byla ještě větší. Pokud jde o rychlost změn, pak je přibližně stejná, jako v případě parametru α. Závěr z tohoto pojednání je, že parametr α je třeba hlavně pro parametr β, jinak je jeho vliv stejný jako v případě parametru δ. Na obr. 11 je hustota hyperbolického rozdělení pro výše uvedenou volbu všech ostatních parametrů a pro δ rovno 1 (tmavě modře), 2 (červeně), 3 (žlutě), 4 (zeleně), 5 (světle modře).
Obr. 10 - změna hustoty hyperbolického rozdělení při změně parametru β
Obr. 9 - změna hustoty hyperbolického rozdělení při změně parametru α
Ještě se krátce zmíníme o parametru μ. Vliv jakéhokoli parametr polohy na dané rozdělení je většinou stejný a tato specifická situace není výjimkou. Je tedy 23
zřejmé, že parametr μ pouze pohybuje grafem hustoty doprava a doleva. Na obr. 12 je znázorněna hustota hyperbolického rozdělení pro výše uvedenou volbu ostatních parametrů a pro μ rovno −1 (modře), 0 (červeně), 1 (žlutě).
Obr. 12 - změna hustoty hyperbolického rozdělení při změně parametru μ
Obr. 11 - změna hustoty hyperbolického rozdělení při změně parametru δ
Systém Mathematica umožňuje sledovat popsané efekty více. Stačí použít αβδμ α
β
αα
δ
μ
přičemž je možno promyšleně měnit meze pro všechny parametry, pro x i pro rozmezí osy y. Po spuštění tohoto příkazu je možné ručně měnit hodnoty parametrů nebo spustit animaci. Předpis distribuční funkce je možné najít v [4]. Pro náhodnou veličinu X, která má hyperbolické rozdělení, je střední hodnota rovna: βδ
α
β δ
μ α
β
α
β δ
přičemž BesselK je (i nadále) výše zmíněná modifikovaná Besselova funkce 2. druhu. Pro výše uvedenou volbu parametrů numericky vychází: 24
Rozptyl náhodné veličiny X je roven: δ α
α β
β δ α
β δ α
β δ β δ α
β
α
α β
β δ α
β δ
β δ α
β δ
přičemž pro výše uvedenou volbu parametrů numericky vychází:
Explicitní vzorec pro šikmost a špičatost je možné najít v [4]. Šikmost ani špičatost hyperbolického rozdělení nezávisí na μ. Dále vliv parametru δ na obě charakteristiky je stejný, jako na hodnotu maxima hustoty, tedy s rostoucím δ obě charakteristiky klesají. Pro další pozorování zafixujme parametry δ a μ na klasické volbě. Nejprve se podívejme, jak parametry α a β ovlivňují šikmost. Z obr. 13, na kterém je třírozměrný graf šikmosti v závislosti na obou popisovaných parametrech, je zřejmé, že s rostoucím β šikmost roste a totéž platí i pro parametr α. Na obr. 14 je stejný graf
Obr. 14 - špičatost hyperbolického rozdělení
Obr. 13 - šikmost hyperbolického rozdělení
25
pro špičatost. Z tohoto grafu se dá nahlédnutí vyvodit vliv obou parametrů. Pokud β v absolutní hodnotě stoupá, stoupá i šikmost. Naopak s rostoucím α špičatost klesá. Čím je α větší, tím se daný pokles zpomaluje. Navíc špičatost má maximum, což je z grafu rovněž dobře patrné. Hodnota tohoto maxima závisí na volbě parametru δ, hodnoty parametrů, pro které začíná být šikmost „lineární“ funkcí, se pohybují po parabole. V případě šikmosti stačí zadat αβ
α
β ColorList
a v případě špičatosti zadat αβ
α
β ColorList
Na závěr ještě uvedeme konkrétní numerické hodnoty pro výše uvedenou volbu parametrů. Při označení šikmosti a špičatosti z předchozí kapitoly dostáváme: γ γ
4.2. Zobecněné hyperbolické rozdělení Oproti běžnému hyperbolickému rozdělení má o jeden parametr modelu navíc. Označme tento parametr jako λ. Ostatní parametry zůstávají stejné. Nejprve prozkoumáme hustotu. Mějme nejprve náhodnou veličinu X, která má zobecněné hyperbolické rozdělení. Její hustota je: β
μ
δ
μ
λ
λ
α δ
μ
Graf hustoty je velmi podobný grafu hustoty hyperbolického rozdělení. Označme klasickou volbu parametrů jako λ = 4, α = 2, β = 1, δ = 3, μ = 1. 26
Obr. 15 - změna hustoty zobecněného hyperbolického rozdělení při změně parametru λ Většina parametrů má vliv na chování chvostů. Zaměřme se pouze na vliv parametru λ, neboť vliv ostatních parametrů na hustotu je stejný jako v případě hyperbolického rozdělení. Vliv parametru λ na chování hustoty je podobný jako v případě parametru δ. Tedy s rostoucím λ klesá numerická hodnota maxima hustoty a roste bod maxima. Naopak s klesajícím λ se bod maxima blíží k nule (respektive k bodu x1, pro který platí, že pro všechna x < x1 je hodnota hustoty téměř nulová) a roste numerická hodnota maxima. Tento jev dokumentuje obr. 15, na kterém je λ postupně voleno −1 (modře), 0 (červeně) a 1 (žlutě) a ostatní parametry jsou zafixovány na výše uvedené volbě. Program Mathematica umožňuje opticky posoudit vliv tohoto parametru λαβδμ λ
α
β
αα
δ
μ Zde je možné měnit všechny parametry nebo spustit animaci. Distribuční funkce je uvedena ve [4]. Střední hodnota výše nadefinované náhodné veličiny X je:
27
βδ
λ
α
β δ
EX =μ α
β
λ
α
β δ
přičemž její numerická hodnota pro výše uvedenou volbu parametrů je
Rozptyl je: δ
λ
α
β δ
β δ
λ
α
β δ
λ
α
β δ
var X = α
β
λ
α
β δ α
β
β δ
α
λ
α
β δ
λ
α
β δ
β
přičemž jeho numerická hodnota pro výše uvedenou volbu parametrů je
Nyní se podívejme na šikmost a špičatost. Tyto dvě charakteristiky je nejlepší sledovat v závislosti na parametrech λ a β. Ostatní parametry zafixujeme na výše uvedené volbě. Pokud roste β, roste i šikmost, a to lineárně. Je – li λ > 0, pak je šikmost ohraničena parabolami. Tato skutečnost je ilustrována na obr. 16, kde je šikmost znázorněna ve 3D. V Mathematice použijeme λ
β
λ
β
ColorList
a tím si nechat vykreslit obr. 16 a různě s ním otáčet. Špičatost se vzhledem k β chová úplně stejně jako v případě běžného hyperbolického rozdělení. Vzhledem k λ se špičatost chová stejně jako šikmost. Tohle nejlépe dokumentuje (třírozměrný) graf na obr. 17. V Mathematice použijeme 28
λ
β
λ
β
ColorList
Výsledným grafem je možné libovolně otáčet. Vzorce pro šikmost a špičatost je možné najít v [4].
Obr. 17 - špičatost zobecněného hyperbolického rozdělení
Obr. 16 - šikmost zobecněného hyperbolického rozdělení
4.3. Příklad K tomuto příkladu byl použit systém Mathematica. Uvažujeme ceny akcie GE od 1. 1. 2000 do 1. 1. 2010. Z cen spočítáme výnosy. Stačí zadat: data=FinancialData[„GE“,“Close“,{{2000,1,1},{2010,1,1}},“Value“]; vynosy=returns[data]; αβδμ Odtud dostáváme odhad pro parametry běžného hyperbolického rozdělení, které vychází: α β 29
δ μ Pro naše data a odhadnuté rozdělení spočítáme a odhadneme střední hodnotu, rozptyl, riziko, hodnotu v riziku na hladině 0,05, podmíněnou hodnotu v riziku na hladině 0,05 a posoudíme kvalitu odhadu podle kvadrátu hodnoty rozdílu odhadu a skutečné hodnoty. Stačí zadat: α =0.95; odchylka[skutecny_,odhad_]:= (odhad-skutecny)2; Text@Grid[{{“ “,“Skutečná hodnota“,“Odhad“,“Odchylka“},{„Střední hodnota“, x=Mean[d]//N, z=Mean[vynosy]//N, odchylka[x,z]}, {„Rozptyl“, a=Variance[d]//N, b=Variance[vynosy]//N, odchylka[a,b]}, {„Riziko“, c=StandardDeviation[d]//N, e=StandardDeviation[vynosy]//N, odchylka[c,e]}, {„Šikmost“,m=Skewness[d]//N, n=Skewness[vynosy]//N, odchylka[m,n]}, {„Špičatost“, r=Kurtosis[d]//N, s=Kurtosis[vynosy]//N, odchylka[r,s]}, {„Hodnota v riziku“, f=VaR[d,α]//N, g=VaRsample[vynosy,α]//N, odchylka[f,g]}, {„Podmíněná hodnota v riziku“, u=CVaR[d,α]//N, v=CvaRsample[vynosy,α]//N, odchylka[u,v]}}, Frame-> All, Alignment-> Center] a dostaneme tabulku 7. U výnosů vykreslíme histogram společně s odhadnutým hyperbolickým rozdělením (viz obr. 18). Skutečná hodnota Odhad Odchylka Střední hodnota −0,000107 −0,0001 3,08751*10-37 Rozptyl 0,00043 0,0005 5,53383*10-9 Riziko 0,0208 0,0225 2,94982*10-6 Šikmost 0,09124 0,3779 0,0821 Špičatost 5,99395 10,912 24,1875 Hodnota v riziku 0,03416 0,033585 3,30445*10-7 Podmíněná hodnota v riziku 0,0492 0,0549 0,00003
Tabulka 7 – porovnání skutečných hodnot a odhadů 30
Obr. 18 - histogram výnosů a odhadnutého rozdělení
31
5. Levyho rozdělení Levyho rozdělení je dalším příkladem rozdělení s těžkými chvosty. Má parametry μ a σ. Hustota je rovna: σ μ
σ
μ
σ
μ
Na obrázku 19 je graf této hustoty pro volbu parametrů μ = 0, σ = 1. Vzorec pro distribuční funkci včetně jejího grafu je v [4]. Střední hodnota je nekonečná.
Obr. 19 - graf hustoty Levyho rozdělení
Při změně parametru μ se pouze posouvá graf hustoty po ose x stejně, jako je tomu u běžných parametrů polohy. Pokud jde o parametr σ, pak lze říci, že při rostoucí hodnotě parametru σ pouze těžkne pravý chvost. Pokud parametr σ klesá, dochází k zlehčování pravého chvostu. Zde se ukazuje nepříjemná vlastnost Levyho rozdělení. Levyho rozdělení nemá levý chvost, ale má pouze pravý. Z popisu chování je zřejmé, že grafy, které toto chování dokumentují, již v tomto textu jsou (viz např. obr. 9 nebo 12). Nejedná o grafy hustoty Levyho rozdělení, ale chování hustoty Levyho rozdělení postihují. V tomto případě je též možné použít program Mathematica a zadat:
32
μσ μ
σ
Pak je možné libovolně měnit oba parametry. Na závěr pojednání o Levyho rozdělení ještě zmíníme vzorec pro hodnotu v riziku na hladině α: α
μ
σ
Více informací o Levyho rozdělení je v [4].
33
α
.
6. Pravděpodobnostní rozdělení v praxi Tato kapitola se týká analýzy reálných dat z historie. Data byla převzata z [6]. Na této stránce jsou kurzy mnoha měn, kterých tyto měny v minulosti nabývali. Ze všech možných měn byly vybrány čtyři. Konkrétně se jedná o Americký dolar, Britskou libru, Euro a Švýcarský frank. Konkrétně byla zkoumána data za období 1. 1. 2000 až 31. 12. 2010 (bez sobot, nedělí a svátků). Ke zkoumání byl použit program Mathematica. Následující řádky obsahují (kromě jiného) nejpodstatnější příkazy použité při této analýze. Vzhledem k tomu, že program Mathematica nemá zabudované asymetrické Laplaceovo rozdělení, nebylo možné odhadnout parametry tohoto rozdělení. S přihlédnutím k charakteru dat rovněž nemá smysl odhadovat pro tyto data parametry Levyho rozdělení. Pro všechna data byly odhadnuty parametry Laplaceova rozdělení a hyperbolického rozdělení. Zároveň byla vzata data z období 1. 1. 2011 až 31. 5. 2011, a odpovídající hodnoty byly porovnány s hodnotami, které lze spočítat z odhadnutých rozdělení. Vzhledem k tomu, že data lze dostat pouze ve formátu Text, Excel nebo HTML, je potřeba nejprve data načíst do Mathematicy, pak je trochu upravit a nakonec z nich spočítat výnosy. Histogramy všech měn vypadají stejně. Z tohoto důvodu bude histogram společně s hustotou vybraného odhadnutého rozdělení uveden pouze u jedné měny. V každém případu je zavedeno označení pro dané výnosy a pro odhadnutá rozdělení. Důvodem je následná práce s výsledky, která je shrnuta v podkapitole Závěr.
6.1. Britská libra Výnosy v tomto případě mají označení data, odhadnuté hyperbolické rozdělení je označeno f a Laplaceovo rozdělení g. Odhadnuté hodnoty parametrů vycházejí: pro hyperbolické rozdělení o α = 241,782 o β = −1,159 o δ = 0,00235 o μ = −0,00018 pro Laplaceovo rozdělení 34
o μ = −0,00016 o β = 0,00461
6.2. Americký dolar Výnosy v tomto případě mají označení data1, odhadnuté hyperbolické rozdělení je označeno h a Laplaceovo rozdělení i. Odhadnuté hodnoty parametrů vycházejí: pro hyperbolické rozdělení o α = 161,034 o β = 9,175 o δ = 0,000887 o μ = −0,00093 pro Laplaceovo rozdělení o μ = −0,000378 o β = 0,0058
6.3. Euro Výnosy v tomto případě mají označení data2, odhadnuté hyperbolické rozdělení je označeno j a Laplaceovo rozdělení k. Odhadnuté hodnoty parametrů vycházejí: pro hyperbolické rozdělení o α = 365,197 o β = −2,456 o δ = 0,00038 o μ = −0,000085 pro Laplaceovo rozdělení o μ = −0,00014 o β = 0,00278 Pro Euro je na obr. 20 zobrazen histogram s odhadnutým hyperbolickým rozdělením.
35
Obr. 20 - výnosy Eura s hustotou odhadnutého hyperbolického rozdělení.
6.4. Švýcarský frank Výnosy v tomto případě mají označení data3, odhadnuté hyperbolické rozdělení je označeno l a Laplaceovo rozdělení m. Odhadnuté hodnoty parametrů vycházejí: pro hyperbolické rozdělení o α = 277,644 o β = 12,329 o δ = 0,0011 o μ = −0,00036 pro Laplaceovo rozdělení o μ = −0,000146 o β = 0,00278
6.5. Závěr Všechny výnosy mají téměř symetrické rozdělení. Pozoruhodné je srovnání charakteristik, které dávají odhadnutá rozdělení, s odhady stejných charakteristik, které dávají data z prvních pěti měsíců roku 2011. K tomu je nejprve třeba si z těchto dat spočítat výnosy a zadat příkaz v příloze 2. Výsledky jsou v tabulce 8. 36
Seznam použité literatury [1] Dupačová, J., Hurt, J., Štěpán, J.: Stochastic Modeling in Economics and finance. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 2002 [2] Hurt, J., Risk Measures in Finance. http://www.karlin.mff.cuni.cz/~hurt/RiskMeasuresinFinanceJH2008.nb [3] Hurt, J., Risk Measures in Finance Revisited. http://www.karlin.mff.cuni.cz/~hurt/WTC2010JanHurtRiskMeasuresRevisited2.nb
[4] Nápověda systému Mathematica [5] Hurt, J., Nové funkce ve statistice. http://www.mathematica.cz/download/setkani/hurt-201102.nb [6] http://www.cnb.cz/cs/financni_trhy/devizovy_trh/kurzy_devizoveho_trhu/ vybrane_form.jsp [7] Zvára, K., Štěpán, J.: Pravděpodobnost a matematická statistika. Matfyzpress, Praha 2002 [8] Dupač, V., Hušková, M.: Pravděpodobnost a matematická statistika. Karolinum, Praha 1999, 2001 [9] Rényi, A.: Teorie pravděpodobnosti. Acadamia, Praha 1972
37
Přílohy Hodnoty z dat z roku 2011
Měna
Střední hodnota
Rozptyl
Riziko
Šikmost
Špičatost
Hodnota v riziku na hladině 0,05
Podmíněná hodnota v riziku na hladině 0,05
Švýcarský frank −0,000035595 Euro −0,000205482 Britská libra −0,000312843 Americký dolar −0,0008991 Švýcarský frank 0,000047874 Euro 7,45191*10-6 Britská libra 0,0000298779 Americký dolar 0,0000477175 Švýcarský frank 0,0069191 Euro 0,00272982 Britská libra 0,00546607 Americký dolar 0,00690779 Švýcarský frank -0,435682 Euro -0,169489 Britská libra 0,192323 Americký dolar 0,41066 Švýcarský frank 3,46201 Euro 3,73505 Britská Libra 2,49441 Americký dolar 3,14286 Švýcarský frank 0,00993782 Euro 0,0035277 Britská libra 0,0095283 Americký dolar 0,0113406 Švýcarský frank 0,0125033 Euro 0,0056569 Britská libra 0,0112709 Americký dolar
0,0154813
Hodnoty pro Hodnoty pro odhadnuté Laodhadnuté hyplaceovo rozdě- perbolické rozdělení lení −0,000146864 −0,000146864 −0,000166034 −0,000378517 0,0000155088 0,0000155088 0,0000426734 0,0000686478 0,00393812 0,00393812 0,00653249 0,0082854 0 0 0 0 6 6 6 6 0,00626508 0,00626508 0,01047 0,0131115 0,00904976 0,00904976 0,0150892
−0,000025954 −0,000123264 −0,00022659 −0,000206265 0,000027905 0,0000153101 0,0000399109 0,0000795626 0,00528252 0,00391282 0,0063175 0,00891979 0,173184 -0,0277843 -0,0170067 0,234309 5,69375 5,89209 5,32213 5,92481 0,00875912 0,00621939 0,0100129 0,0147505 0,0125392 0,00894117 0,0141707
0,0189702
0,0213398
Tabulka 8 – porovnání hodnot z reálných dat a z odhadnutých rozdělení
Příloha 1 (Definice asymetrického Laplaceova rozdělení (viz [3])) Clear AsymmetricLaplaceDistribution Unprotect Mean Variance StandardDeviation Skewness Kurtosis PDF CDF ExpectedValue DistributionParameterQ DistributionDomainQ DistributionDomain 38
CharacteristicFunction Quantile RandomReal AsymmetricLaplaceDistribution PDF AsymmetricLaplaceDistribution θ τ κ x κ 2 κ 2 Which x θ Exp x θ x 2 τ 1 κ τ 2 θ Exp θ x κτ AsymmetricLaplaceDistribution CDF AsymmetricLaplaceDistribution θ τ κ θ
2 x θ κτ
κ2
1
κ2 x
θ 1
2
x
x θ κ τ
Which x κ2
κ2
1
AsymmetricLaplaceDistribution Mean AsymmetricLaplaceDistribution θ τ κ 1 κ2 τ θ 2κ AsymmetricLaplaceDistribution Variance AsymmetricLaplaceDistribution θ τ κ
κ4 τ2 2κ2
1
AsymmetricLaplaceDistribution StandardDeviation AsymmetricLaplaceDistribution θ τ κ 1 κ4 τ2 Sqrt 2κ2 AsymmetricLaplaceDistribution Skewness AsymmetricLaplaceDistribution θ τ κ 2 1 κ6 κ4 1 3 2 AsymmetricLaplaceDistribution Kurtosis AsymmetricLaplaceDistribution θ τ κ 9 6κ4 9κ8 1 κ4 2 AsymmetricLaplaceDistribution Quantile AsymmetricLaplaceDistribution θ τ κ q κ2 1 κ2 q θ q 1 2 q 1 κ2 κ2 1 κ2 1θ τLog 1 q 1 κ2 2κ
Which 0
AsymmetricLaplaceDistribution RandomReal AsymmetricLaplaceDistribution θ τ κ Quantile AsymmetricLaplaceDistribution θ τ κ Random Protect Mean Variance StandardDeviation Skewness Kurtosis PDF CDF ExpectedValue DistributionParameterQ DistributionDomainQ DistributionDomain CharacteristicFunction Quantile RandomReal 39
Příloha 2 (Příkaz pro příklad v kapitole 6.5) Text@Grid
" " "Měna" "Hodnoty z dat z roku 2011" "Hodnoty pro odhadnuté Laplaceovo
rozdělení,Hodnoty pro odhadnuté hyperbolické rozdělení},{Střední hodnota,Švýcarský frank" Mean svfrank Mean m Mean l Mean j
SpanFromAbove "Euro" Mean euro Mean k
SpanFromAbove "Britská libra" Mean libra Mean g Mean f
"Americký dolar" Mean dolar Mean i Mean h Variance svfrank Variance m Variance l Variance k Variance j
SpanFromAbove
"Rozptyl" "Švýcarský frank"
SpanFromAbove "Euro" Variance euro
SpanFromAbove "Britská libra" Variance libra Variance g
Variance f
SpanFromAbove "Americký dolar" Variance dolar Variance i
Variance h
"Riziko" "Švýcarský frank" StandardDeviation svfrank StandardDeviation m
StandardDeviation l
SpanFromAbove "Euro" StandardDeviation euro StandardDeviation k
StandardDeviation j
SpanFromAbove "Britská libra" StandardDeviation libra
StandardDeviation g StandardDeviation f
SpanFromAbove "Americký dolar"
StandardDeviation dolar StandardDeviation i StandardDeviation h "Švýcarský frank" Skewness svfrank Skewness m Skewness l "Euro" Skewness euro Skewness k Skewness j Skewness libra Skewness g Skewness f Skewness i Skewness h Kurtosis l
"Šikmost"
SpanFromAbove
SpanFromAbove "Britská libra"
SpanFromAbove "Americký dolar" Skewness dolar
"Špičatost" "Švýcarský frank" Kurtosis svfrank Kurtosis m
SpanFromAbove "Euro" Kurtosis euro Kurtosis k Kurtosis j
SpanFromAbove "Britská libra" Kurtosis libra Kurtosis g Kurtosis f "Americký dolar" Kurtosis dolar Kurtosis i Kurtosis h
SpanFromAbove
"Hodnota v riziku na hladině
0 05" "Švýcarský frank" VaRsample svfrank 0 95 VaR m 0 95 VaR l 0 95 SpanFromAbove "Euro" VaRsample euro 0 95 VaR k 0 95 VaR j 0 95 "Britská libra" VaRsample libra 0 95 VaR g 0 95 VaR f 0 95 dolar" VaRsample dolar 0 95 VaR i 0 95 VaR h 0 95
SpanFromAbove
SpanFromAbove "Americký
"Podmíněná hodnota v riziku na
hladině 0 05" "Švýcarský frank" CvaRsample svfrank 0 95 CvaR m 0 95 CvaR l 0 95 N
SpanFromAbove "Euro" CvaRsample euro 0 95 CvaR k 0 95 CvaR j 0 95
N
SpanFromAbove "Britská libra" CvaRsample libra 0 95 CvaR g 0 95
CvaR f 0 95
N
SpanFromAbove "Americký dolar" CvaRsample dolar 0 95
CvaR i 0 95 CvaR h 0 95
N
Frame
All Alignment 40
Center
