Univerzalit´ asi oszt´ alyok ´ es f´ azis´ atalakul´ asok komplex, nemegyens´ ulyi rendszerekben ´ Odor G´eza MTA M˝ uszaki Fizikai ´es Anyagtudom´ anyi Kutat´ oint´ezet
I.
´ ´ UNIVERZALITASOK ´ SKALAINVARIANCIA ES
Sk´alainvariancia a vil´ ag jelens´egei k¨oz¨ott gyakran megfigyelhet˝o, nemcsak a fizik´aban, hanem m´as term´eszettudom´ anyokban, s˝ot a t´ arsadalmi jelens´egekn´el is. Erre egyszer˝ u p´elda az eml˝os ´allatok fajlagos teljes´ıtm´eny lead´as´anak testt¨ omegt˝ ol val´ o 1/4 hatv´anykitev˝os f¨ ugg´ese, amely 5 nagys´ agrenden kereszt¨ ul teljes¨ ul (´ abra 1). Ezt egyszer˝ u geometriai ´ atsk´ al´ az´assal nem lehet megmagyar´azni. Felt´eve ugyanis, hogy a testfelsz´ın (amely a disszip´ alt energi´aval ar´anyos) a m´erettel L2 -esen, a t¨ omeg pedig M ∼ L3 m´odon n¨ ovekszik, a fajlagos disszip´ alt teljes´ıtm´enynek M 2/3 /M = M 1/3 , egyharmados kitev˝ oj˝ u sk´ al´az´ast kellene k¨ovetnie. Azonban az ´el˝ol´enyek nem strukt´ ura n´elk¨ uli szab´alyos geometriai alakzatok, ´ıgy az M 1/4 -es sk´ alaf¨ uggv´enyt az ¨onhasonl´o, el´agaz´o, frakt´ al jelleg˝ u bels˝o kering´esi rendszerekkel lehet megmagyar´ azni. Megjegyezz¨ uk, hogy ¨onhasonl´o (sk´alamentes) h´ al´ozatokat sok m´as helyen fedeztek fel az ut´obbi ´evekben ´es ez´altal nemtrivi´ alis hatv´anyf¨ uggv´eny viselked´esek le´ır´ asa val´osulhatott meg (p´eld´ aul az internetes adatforgalomban).
FIG. 1: Az eml˝ os ´ allatok megfigyelt teljes´ıtm´eny kibocs´ ajt´ asa a testt¨ omeg f¨ uggv´eny´eben nemtrivi´ alis, ”egynedegyedes” sk´ alat¨ orv´ennyel ´ırhat´ o le.
Az ´atsk´ al´az´asi invariancia term´eszetes m´odon jelenik meg m´asodrend˝ u f´azis´atalakul´asokn´ al, mert ilyenkor a korrel´aci´ os hossz divergenci´ aja miatt a mikroszk´opikus r´eszletek (k¨ olcs¨onhat´asok) nem tudj´ak befoly´ asolni a glob´alis viselked´est. Ilyenkor a vizsg´alt anyag ugyanazt a tulajdons´ agot mutatja k¨ ul¨onb¨ oz˝o sk´ al´akon (nagy´ıt´asokon) 1 . Ez´ert a sk´ alainvarianci´ at el˝ osz¨ or az egyens´ ulyi rendszerek kritikus pontjai k¨orny´ek´en siker¨ ult j´ol le´ırni a statisztikus fizika m´odszereivel, els˝osorban a renormaliz´ aci´ os csoport elm´elettel. Az ´atsk´ al´az´asi invariancia eset´en a sok szabads´agfok´ u egyens´ ulyi rendszerek (illetve az ezeket le´ır´ o modellek) puszt´an a kollekt´ıv viselked´es alapj´an univerzalit´ asi oszt´alyokba sorolhat´oak. Az oszt´alyok jellemezhet˝oek (vagy defini´ alhat´oak) pl. a sk´ alaf¨ uggv´enyek exponensei ´altal, amelyek k¨oz¨ott a szimmetri´ ak bizonyos sk´ alat¨orv´enyeket r¨ogz´ıtenek. Ez´altal a sk´ al´az´o mennyis´egek exponenseinek egy jelent˝ os r´esze nem f¨ uggetlen 2 . Mit¨ obb, a 2 dimenzi´ os ´ atsk´ al´ azhat´o modellek egy r´esze m´eg ´altal´ anosabb, lok´alis sk´ alainvarianci´ at is mutat; a komplex anal´ıtikus f¨ uggv´enyek konform´ alis lek´epz´ese szerint. Ez annyira er˝os szimmetria, hogy a konform invari´ans modellek ¨osszes n-pont korrel´aci´ os f¨ uggv´eny´et r¨ogz´ıti. A sikereken felbuzdulva rem´eny volt ezen elvek nemegyens´ ulyra
1 2
legal´ abis egy bizonyos sk´ ala tartom´ anyban, a mikroszk´ opikus egys´ eg (pl. r´ acs´ alland´ o) ´ es a rendszerm´ eret k¨ oz¨ ott Egyszer˝ u egyens´ ulyi modellek eset´ eben 2 f¨ uggetlen kritikus exponens rendelhet˝ o egy univerzalit´ asi oszt´ alyhoz. A nemegyens´ ulyi modellekn´ el az id˝ ot¨ ukr¨ oz´ esi szimmetria (1) s´ ert´ ese miatt enn´ el t¨ obbre van sz¨ uks´ eg.
val´o kiterjeszt´es´ere, azonban hamar kider¨ ult, hogy itt m´as t´enyez˝ok is fontos szerephez jutnak. Ennek illusztr´al´as´ara n´eh´any olyan p´eld´ at eml´ıtek, amelynek kutat´ as´aban szem´elyesen is r´eszt vettem. II.
´ NEMEGYENSULYI RENDSZEREK
Az egyens´ ulyi rendszerek statisztikus fizik´ aj´ aban megtanultuk, hogy az univerzalit´ asi oszt´alyokat olyan glob´ alis tulajdons´ agok hat´ arozz´ ak meg, mint a t´erbeli dimenzi´ ok vagy a szimmetri´ ak. A val´o ´elet jelens´egei azonban t¨ obbnyire nemegyens´ ulyiak, ugyanakkor sk´ alaviselked´eseket gyakran mutatnak. Ez´ert felmer¨ ult a renormaliz´aci´ os csoport ´es univerzalit´ asok elm´elet´enek kiterjeszt´ese. Kezdetben egyens´ ulyb´ol kibillentett egyszer˝ u modellek dinamik´ait vizsg´alt´ ak. Ilyen p´eld´ aul az egyens´ ulyi Ising modell, melyben a fel (↑) vagy le (↓) ´allapotot felvev˝ o klasszikus ’spin’ v´altoz´ ok legk¨ ozelebbi szomsz´ed vonz´ o k¨olcs¨ onhat´assal b´ırnak. Ez egy er˝osen anizotr´op m´agnest ´ır le, melyben a h˝ om´ers´ekletet v´altoztatva folytonos f´ azis´ atment j¨ on l´etre egy rendezetlen (paramam´agneses) ´es egy rendezett (ferrom´ agneses) ´allapot k¨oz¨ott. A modell k¨ ul¨onb¨ oz˝o dinamik´akkal val´ o kiterjeszt´esei az u ´ n kinetikus Ising modellek. K´es˝obb k¨ uls˝ o terekkel hajtott, teljesen nemegyens´ ulyi modelleket kezdtek el kutatni. Ilyen rendszerekben ´araml´asok j¨ onnek l´etre, ´es m´eg egy stacion´ arius ´ allapot sem biztos´ıtott. Az egy-dimenzi´ os modellek mint pl. az u ´ n anizotr´op kiz´ar´asi folyamat (ASEP), melyben r´eszecsk´ek (A), anizotr´op diff´ uzi´ os mozg´ast v´egeznek u ´ gy, hogy egy helyen legfeljebb egy lehet (A∅ → ∅A) gyakran anal´ıtikusan is kezelhet˝oek. Ezzel szemben t¨ obb t´erbeli dimenzi´ o eset´en, mint pl. az u ´ n. hajtott r´acsg´azokban, napjainkig sem tiszt´ azott probl´em´ ak mer¨ ultek fel. Ezek a modellek a spin-cser´es (↑↓↔↓↑) kinetikus Ising modell olyan anizotr´ op v´altozatai, amelyekben egy k¨ uls˝ o (pl.) elektromos t´er (spin) ´aramokat ´es nemegyens´ ulyi viselked´est gener´ al. Az alapvet˝o probl´ema abb´ol ered, hogy a t´er-id˝ o anizotr´opi´ aja mellett a t´er k¨ ul¨onb¨ oz˝o ir´ anyai is m´ask´ent sk´ al´ az´odnak (anizotr´ opak) ilyen modellekben. Valamivel egyszer˝ ubb ´es jobban meg´ertett az u ´ n. ”abszorbe´ al´o” rendezett ´allapottal rendelkez˝o nemegyens´ ulyi rendszerek viselked´ese. Ilyen pl. a kontakt folyamat, amely az immuniz´ aci´ o n´elk¨ uli betegs´eg terjed´es legegyszer˝ ubb modellje. K´emia jel¨ol´essel le´ırva ez a k¨ovetkez˝o. Egy beteg egyed (A) σ val´osz´ın˝ us´eggel meg tudja fert˝ ozni a szomsz´edj´at: σ A → 2A, aki viszont spont´ an meg tud gy´ ogyulni: A → ∅. Ha σ nagy, akkor a beteg egyedek koncentr´aci´ oja (cA ) v´eges (’akt´ıv’ ´allapot). Ellenkez˝o esetben cA = 0 ´es az ¨osszes beteg el is tud t˝ unni a rendszerb˝ol (”abszorbe´ al´o” ´allapot). Az akt´ıv ´es abszorbe´ al´ o´ allapotok f´ azis´ atmeneti hat´ar´an σ-t cs¨okkentve cA folytonosan t˝ unik el, a korrel´aci´ os hossz diverg´ al, ´es kritikus, u ´ n. ir´ any´ıtott perkol´ aci´ os univerzalit´ as´ u sk´ alaviselked´est tapasztalhatunk. ´ anos esetben az abszorbe´ Alt´ al´ o ´ allapotban a lehets´eges fluktu´aci´ ok annyira gyeng´ek, hogy innen a rendszer v´eletlenszer˝ uen nem tud ´ atmenni egy rendezetlen, akt´ıv ´allapotba. Ilyen rendszerek a p(α), p(β) val´osz´ın˝ us´eg˝ u allapotok k¨oz¨otti r´eszletes egyens´ ´ ulyt wα→β p(α) = wβ→α p(β)
(1)
s´ert˝ o (wα→β ) ´atmeneti val´ osz´ın˝ us´egekkel vannak defini´alva. Ha fenti id˝ot¨ ukr¨oz´esi invaraiancia teljes¨ ul, akkor a rendszer egyens´ ulyi val´ osz´ın˝ us´eg eloszl´ assal is rendelkezik ´es termodinamikai potenci´ alokkal jellemezhet˝o. A nemegyens´ ulyi rendszerek eset´eben (mint p´eld´ aul a hajtott, vagy az abszorbe´ al´o ´allapotokn´ al) azoban ´altal´ aban nem lehets´eges a hagyom´ anyos szabadenergia defin´ıci´oja. T´erelm´eleti le´ır´ ashoz egy nem kommut´al´o u ´ n. ”v´ alaszf¨ uggv´eny t´erre” is sz¨ uks´eg van, amely a rendparam´eter t´erhez konjug´ alt k¨ uls˝ o perturb´ aci´ ora adott nemtrivi´alis reakci´ot ´ırja le. Azonban a mester egyenletb˝ ol X dp(α; t) X = wβ→α p(β; t) − wα→β p(α; t) , dt β
(2)
β
levezethet˝o id˝ofejleszt˝ o oper´ ator (H), amely a r´eszecske bet¨olt¨ otts´egek Fock ter´en defini´alt (Ψ(t) P n1 n2 p(n , n , ...; t)c c ...|0 >) a ´ llapotokra hat 1 2 1 2 α dΨ(t) = −HΨ(t) dt
=
(3)
nem lesz ¨onadjung´ alt, mint egyens´ uly eset´en (itt |0 > az abszorbe´ al´o ´allapotot, ci r´eszecske kelt˝ o oper´atort, D p(n1 , n2 , ...; t) bet¨olt¨ otts´eg sz´ amot jel¨ ol). P´eld´ aul egy annihil´ al´o, v´eletlen bolyong´as (ARW) eset´en (2A → ∅, A∅ ↔ ∅A ez egy diff´ uzi´ os ´es egy reakci´ os tagb´ ol ´ all X X (a2j − c2j a2j ) , (4) (ci − cj )(ai − aj ) − λ H = HD + H R = D ij
j
ahol ai az i helyen r´eszecsk´et elt˝ untet˝ o oper´ ator. Kontinuum limeszben ez Z H = dd x D(∇ψ)(∇φ) − λ(φ2 − ψ 2 φ2 ) ,
(5)
a folytonos φ(x, t) terekkel, ´es ψ(x, t) v´alasz terekkel le´ırt t´erelm´eletet defini´alja. A nemegyens´ ulyi t´erelm´elet megold´asa nehezebb, mint az egyens´ uly eset´en ´es a renormaliz´aci´ os csoport anal´ızis gyakran s´ ulyos probl´em´ akba u ¨ tk¨ ozik. A f´azis´atalakul´askor, a hossz´ ut´av´ u korrel´aci´ ok miatt a fluktu´aci´ ok is fel tudnak er˝os¨odni ´es alacsonyabb dimenzi´ okban, relev´anss´a tudnak v´alni. Ez azt jelenti, hogy egy ´atlagt´er jelleg˝ u, hagyom´ anyos differenci´alegyenlet nem tudja le´ırni az ilyen rendszer viselked´es´et. Azt a k¨ usz¨ obdimenzi´ ot, ami felett a fluktu´aci´ ok m´ar nem tudj´ ak befoly´ asolni a sk´ alaviselked´est fels˝o kritikus dimenzi´ onak (dc ) nevezz¨ uk. M´ıg az ´atlagt´er megold´as ´altal´ aban egzaktul megadghat´o, a dc alatti rendszerek sk´ alaviselked´ese dimenzi´ of¨ ugg˝o ´es sokkal v´altozatosabb. Ugyanakkor a dc alatti rendszerek anal´ıtikus megold´asa sokkal nehezebb, gyakran csak valamilyen numerikus k¨ozel´ıt´es, vagy szimul´aci´ os eredm´eny ismert. Az ilyen numerikus probl´em´ ak a sz´am´ıt´og´epeknek is kih´ıv´ ast jelentenek, mert a relax´aci´ os id˝o (a korrel´aci´ os hosszhoz hason´oan) hatv´anyf¨ uggv´enyszer˝ uen diverg´ al a krtikus pont k¨orny´ek´en. Ezekhez a probl´em´ akhoz kiterjedt processzor klasztereket, illetve nemzeteken is ´atny´ ul´o un. GRID h´ al´ozatokat is ig´enybevesznek a kutat´ ok (l´asd. pl. Klasztergrid (http://www.clustergrid.niif.hu), Hungrid (www.grid.kfki.hu/hungrid), Desktopgrid (http://szdg.lpds.sztaki.hu/szdg/) ... ).
III.
´ UNIVERZALITASI ´ UJ ELVEK
Tekints¨ uk az u ´ n. diff´ uz´ıv p´ ar kontakt folyamat (PCPD) probl´em´ aj´ at. Ez egy olyan modell, amelyben a reakci´okhoz σ legal´ abb 2 r´eszecske tal´ alkoz´asa sz¨ uks´eges. Ilyenkor ezek vagy u ´ j r´eszecsk´et hoznak l´etre (2A → 3A), vagy r´eszecsk´ek t˝ unhetnek el (2A → ∅). A reakci´ os val´ osz´ın˝ us´egeket v´altoztatva a rendszerben vagy (akt´ıv) v´eges cA koncentr´aci´ oj´ u allapot alakul ki, vagy teljesen el is t˝ ´ unhet az ¨osszes r´eszecske (abszorbe´el´o ´allapot). Egy diszkr´et, v´eges r´acspont bet¨olt¨ otts´eg˝ u modellben ezen ´ allapotok k¨oz¨ott olyan f´azis´atalakul´as van, amelyn´el a cA koncentr´aci´ o folytonosan t˝ unik el, ha σ-t cs¨okkentj¨ uk. Ha a r´eszecsk´ek ¨ onmagukban m´eg mocorogni (diffund´ alni) sem tudnak, akkor tekinthetj¨ uk a p´ arokat mint ¨on´all´o entit´ asokat(B = 2A) ´es ezek: B → 2B, B → ∅ (p´ar)kontakt folyamatot (PCP) val´os´ıtanak meg. Ha azonban a mag´anyos r´eszecsk´ek spont´ an diff´ uzi´os mozg´asa megengedett (A∅ ↔ ∅A), akkor egy m´asfajta folytonos f´azis´atalakul´ast figyeltek meg. Miut´ an a diffuz´ıv ´es a nem diff´ uz´ıv rendszer k¨oz¨ott semmilyen szimmetriabeli k¨ ul¨onbs´eget nem tal´ alunk ez a modell ´evek ´ ota sok fejt¨or´est ´es sz´amos egym´ asnak ellentmond´o publik´aci´ os eredm´enyt gener´alt. A PCPD modell t´er-id˝ o fejl˝ od´esi k´epe is m´as mint a PCP-´e. A mag´anyos r´eszecsk´ek v´andorl´ asa mellett id˝onk´ent kompakt klaszterek t˝ unnek fel, vagy semmis¨ ulnek meg (´ abra 2). A (p´ar)kontakt folyamatn´ al az ilyen (tetsz˝oleges
t
FIG. 2: R´eszecsk´ek (fekete p¨ ott¨ ok) t´er-id˝ o fejl˝ od´ese az 1 + 1 dimenzi´ os p´ ar kontakt folyamat ´es a diff´ uzi´ os p´ ar kontakt folyamat (PCPD) eset´en.
nagyra megn˝ohet˝ o) spont´ an kialakul´ o kompakt klaszterek nem fordulnak el˝o. R´ aad´asul a PCPD univerzalit´ asi oszt´aly a r´eszecske parit´ as szimmetri´ ara is ´erz´ektelen, ellent´etben a kontakt folyamattal. Ezen ´es m´as univerzalit´ asi oszt´alyok ´ertelmez´es´enek c´elj´ab´ol nemr´eg felvet˝od¨ott, az egyszer˝ u szimmetri´ ak helyett az u ´ n. topol´ogikus f´azisdiagramokkal lehet az egyszer˝ u nemegyens´ ulyi modelleket klasszifik´alni (l´asd. [1]). Ez a m´odszer egy k´et param´eteres (p, q) (φ, ψ tereknek megfelel˝o) f´azist´erben a HR (p, q) reakci´os oper´atorok (l´asd. (4) nulla v´arhat´o ´ert´ek˝ u megold´asait tekinti. Viszonylag gyenge fluktu´aci´ os zaj eset´en a t´erelm´elet kv´azi klasszikus limesz´eben ¯ R (p, q)-k egy Hamiltoni rendszert defini´alnak. A kialakul´ aH o ”t´erk´ep” (´ abra 3) nemcsak a terek bels˝o szimmetri´ ait mutatja, hanem a reakci´ os val´ osz´ın˝ us´egeket hangolva l´etrej¨ov˝ o f´azis´atalakul´asokat lek´epezi a t´erk´epvonalakra, ´es a numerikus eredm´enyekkel ¨ osszhangban lev˝o univerzalit´ asi oszt´alyokba rendezi az egy-komponens˝ u modelleket.
q
−1
0
1
p
λ ¯ R (p, q) = λ (1 − p2 )q 2 . FIG. 3: A 2A → ∅ modell f´ azisportr´eja. A Hamilton oper´ ator v´ arhat´ o ´ert´ek´enek reakci´ ot le´ır´ o r´esze: H 2 A folytonos vonalak a nulla–energi´ as trajekt´ ori´ ak: generikus vonalak p = 1 (´ atlagt´er limesz), q = 0 a dupl´ an degener´ alt q = 0 abszorbe´ al´ o´ allapot, ´es az p = −1 nemtrivi´ alis megold´ as. A szaggatott vonalak a v´eges energi´ as trajekt´ ori´ akat jel¨ olik.
A.
Topl´ ogikus effektusok
L´etezik egy m´asik k¨ usz¨ ob, az un. als´o kritikus dimenzi´ o (d− ) is, ami alatt m´ar nem tud f´azis´atalakul´as (´es kritikus jelens´eg) l´etrej¨onni. Egyens´ ulyi, r¨ovid k¨olcs¨ onhat´ashossz´ u rendszerekben ez: d− = 2 diszkr´et, illetve d− = 3 folytonos szimmetri´ aj´ u modellek eset´en. Nemgyens´ ulyi rendszerekben a r´eszletes egyens´ uly hi´any´aban a p(α) eloszl´as kev´esb´e van megszor´ıtva ´es m´ar 2-n´el alacsonyabb t´erbeli dimenzi´ oban is lehets´eges a f´azis´atalakul´as. Ilyen alacsony dimenzi´ ok eset´en azonban a t´er topol´ogi´ aja tov´abbi befoly´ asol´o t´enyez˝o lehet. Kider¨ ult p´eld´ aul, hogy a t¨ obb-komponens˝ u, kem´enymag k¨olcs¨ onhat´asok est´en a sk´ alaviselked´eseket (´es a f´azis´atmenet tulajdons´ ag´at) nem azok a szimmetri´ ak hat´ arozz´ ak meg, amelyeket a folytonos, bozonikus t´erelm´eleti le´ır´ as alapj´an v´arn´ ank, hanem a r´eszecske kiz´ar´asi, blokkol´ asi effektusok v´alnak relev´ans t´enyez˝okk´e. Ennek legegyszer˝ ubb p´eld´ aja az egy-dimenzi´ os AB → ∅ modell, melynek a (bozonikus) t´erelm´eleti le´ır´ asa teljes kudarcot vallott. Ebben a modellben a megegyez˝o t´ıpus´ u r´eszecsk´ek felhalmoz´od´asa akad´alyozza a reakci´okat (amely csak k¨ ul¨onb¨ oz˝oek k¨oz¨ott lehets´eges) ´es ´ıgy a koncentr´aci´ o sokkal lassabb hatv´anyf¨ uggv´eny szerint cs¨okken, mint amit a bozonikus t´erelm´elet j´osol. Ha a t¨ obb-komponens˝ u rendszerben kelt´esi reakci´ok is lehetnek, akkor ezek val´osz´ın˝ us´eg´et n¨ ovelve v´eges koncentr´aci´ oj´ u, ´alland´ osult ´ allapotok is l´etrej¨ ohetnek folytonos f´azis´atalakul´assal. Az ilyen ´atalakul´as k¨or¨ uli sk´ alaviselked´esek arra lesznek ´erz´ekenyek, hogy reakci´o ´altal keltett r´eszecsk´ek tudnak-e u ´ jra reag´alni, vagy elv´alaszt´odnak egym´ ast´ ol (pl.: A → ABA vagy A → AAB). Ez az ´erz´ekenys´eg fel¨ ul´ırja a glob´alis megmarad´asokat is. M´ as sz´oval ezen rendszerek kritikus univerzalit´ asi oszt´alyait a mikroszk´opikus k¨olcs¨onhat´asok szimmetri´ ai ´es nem a glob´alis szimmetri´ ak/megmarad´asok hat´ arozz´ ak meg.
IV.
´ ALKALMAZASOK
Mint a bevezet˝oben eml´ıtettem a nemegyens´ ulyi rendszerek igen gyakoriak a term´eszetben, ´ıgy a fent em´ıtett egyszer˝ u modelleken alapul´ o bonyolultabb rendszerek fel˝ un´ese ´es az ezekhez kapcsol´od´o univerz´ alis sk´ alaviselked´esek megfigyel´ese v´arhat´ o lenne. Val´ oj´ aban kider¨ ult, hogy a legrobosztusabbnak v´elt ir´ any´ıtott perkol´aci´ os sk´ al´az´ast eddig csak hellyel-k¨ ozzel siker¨ ult k´ıs´erletileg kimutatni. Helyette mindenf´ele m´as sk´ alaviselked´eseket tal´ altak. Ennek alapvet˝o oka, hogy ezek a rendszerek rendezetlens´egre igen ´erz´ekenyek lehetnek. A rendezetlens´eget teljesen elt¨ untetni pedig igen neh´ez, m´eg laborat´oriumi k¨or¨ ulm´enyek k¨oz¨ott is. Kiv´etel tal´ an a 2-r´eszecske annihil´al´o t´ıpus´ u egyszer˝ u rendszerek oszt´alya (2A → ∅), amelyet k´emiai reakci´okban meg lehetett figyelni. Hasonl´o es´elyes lehet m´eg a r´eszecske parit´ as˝orz˝ o modellek (2A → ∅, A → 3A) f´ azis´atalakul´asi univerzalit´ asa is, amelyre a szimul´aci´ ok (id˝ oben r¨ogz´ıtett) rendezetlens´eg ´erz´ektelens´eget mutattak ki [2]. Mindazon´altal egy´altal´ an nem haszontalan az alapvet˝o modellek tulajdons´ againak felder´ıt´ese m´eg akkor sem, ha k¨ozvetlen alkalmaz´ast egyenl˝ ore nem lehet l´atni. Ha lemondan´ ank ezek meg´ert´es´er˝ol, az olyasmi lenne, mintha a m´ ult sz´azadokban lemondtunk volna az atomok kutat´ as´ar´ol ´es a h´etk¨oznapi ´eletben el˝ofordul´ o anyagok viselked´es´et an´elk¨ ul pr´ob´aln´ ank meg´erteni, hogy ismern´enk ezek nehezen megfigyelhet˝o alkot´or´eszeit. Az ilyen modellek szinte ´attekintethetetlen¨ ul elszaporodtak az irodalomban, ez´ert r´oluk, illetve az alapvet˝o, nemegyens´ ulyi univerzalit´ asi oszt´alyokr´ol egy hossz´ u cikkben ´es egy k¨onyvben [3, 4] foglaltam ¨ossze ismereteinket. Az alapmodellek univerzalit´ asi oszt´alyainak megfigyel´es´evel kapcsolatos negat´ıv tapasztalatok ellen´ere az ut´obbi ´evtizedekben h´ od´ıtott a sk´ alaviselked´esek k´ıs´erleti, fenomenol´ ogikus le´ır´ asa. A f¨oldreng´es er˝oss´eg statisztik´ akt´ol kezd˝od˝oen, a biol´ogiai rendszereken ´ at a k¨ozgazgas´ agtanban, vagy a p´enz¨ ugyi statisztik´ akban is megfigyelt´ek ezeket. A 80’-as ´evekben megsz¨ uletett az ¨ onszervez˝od˝o kritikus rendszerek elm´elete. Ennek c´eja azt volt, hogy megmagyar´azz´ ak,
hogy mi´ert fordulnak el˝ o a term´eszetben olyan gyakran hatv´anyf¨ ugv´eny eloszl´as´ u mennyis´egek, statisztik´ ak, szemben a f´azis´atalakul´asi kritikuss´ aghoz sz¨ uks´eges finomhangol´asokkal. Ezek generikus le´ır´ as´ara a homokdomb modelleket [5] vezett´ek be, amelyekben a hatv´anyf¨ uggv´eny eloszl´as´ u lavinajelens´egek automatikusan jelennek meg. K´es˝obb kider¨ ult, hogy ezek a modellek nem f¨ uggetlenek a hagyom´ anyos abszorbe´ al´o f´azis´atalakul´asi jelens´egekt˝ ol, csak egy ¨onhangol´o mechanizmus mindig a kritikus pont k¨or¨ ul tartja ˝oket (pl. a homokdomb eset´en a lass´ u homok csepegtet´es ´es a gyors aktivit´as redisztrib´ uci´ o). Ez´ert azt´ an az ¨onszervez˝od˝o kritikus rendszerek sk´ alaviselked´esei is le´ırhat´ oak az alapmodellek kritikus univerzalit´ asi oszt´alyaival. Az u ´ j ´evezred a h´ al´ ozati kutat´ asok felvir´ agz´ as´aval indult a statisztikus fizik´aban. A h´ al´ozatkutat´asi eredm´enyek egy r´esze hamar a k¨oztudatba ker¨ ult, ´es u ´ jabban sk´ alamentes h´ al´ozatokon defini´alt sk´ alamentes viselked´est gener´al´o modellek sokas´ag´at kutatj´ ak. Ezekn´el azonban az univerzalit´ asi oszt´altok nem annyira tipikusak, a hossz´ u k¨olcs¨onhat´asi hosszat eredm´enyez˝o kapcsolatok topol´ ogi´ ai alapvet˝ oen befoly´ asolj´ak a sk´ alatulajdons´ agokat. A.
Szociofizika
A nemegyens´ ulyi rendszerek a sk´ alaviselked´esek mellett m´as ´erdekes tulajdons´ agokat is mutatnak. Ezek interdiszciplin´aris alkalmaz´asokban mer¨ ultek fel, mint pl. az u ´ n. szociofizik´ aban, amely a statisztikus fizikai m´odszerek u ´ jszer˝ u alkalmaz´asa a t´ arsadalom tudom´ anyokban (l´ asd. pl. Szab´ o Gy¨orgy megjelen´es alatt ´all´o Fizikai Szemle cikke). Ennek demonstr´al´as´ ara az al´ abbi, napjainkban igen aktu´ alis p´eld´ at eml´ıtem. Az emberi szegreg´ aci´ o f¨oldrajzi eloszl´asait figyelve meg´allap´ıtott´ ak, hogy az etnikai ¨ osszecsap´asoknak ott van nagyobb val´osz´ın˝ us´ege, ahol a k¨ ul¨onb¨ oz˝o r´egi´ okat elv´alaszt´o hat´arfel¨ ulet elmos´odott, frakt´ al jelleg˝ u. Ezt figyelembe v´eve meg lehet j´osolni, hogy hol v´arhat´o a legnagyobb val´osz´ın˝ us´eggel konfliktus kirobban´ as. A volt Jugoszl´ avia, illetve India/Pakiszt´ an ter¨ ulet´en ez egybe is esik a tapasztalatokkal (http://www.sciencenews.org/view/generic/id/8930). Ezek alapj´an pl. egy hat´arozott fallal val´o elv´alaszt´as konfliktus megel˝oz˝onek t˝ unhet, de ez nem mindig j´arhat´o u ´ t (pl. egy orsz´agon bel¨ ul) ´es a probl´ema konzerv´al´as´ahoz is vezet. Nemegyens´ ulyi modellek f´azishat´arait vizsg´alva azonban m´as megold´asok is esz¨ unkbe juthatnak. Az emberi szegreg´ aci´ o Ising-Schelling modellj´eben (amelyben a k´et k¨ ul¨onb¨ oz˝o csoport egyedeit spin fel/le ´allapotokkal egyszer˝ us´ıt¨ unk) hasonl´ o frakt´ alszer˝ u f´ azishat´ arok jelennek meg, ha az emberi toleranci´at lok´alis, v´altoz´ o h˝ om´erseklettel modellez¨ uk. Egy m´asodik, er˝ os k¨ uls˝ o h˝ om´ers´ekleti t´er hozz´ aad´as´aval, (amely mondjuk az emberek lak´asv´ altoz´ asi tu-
t=3000
t=10000
400
400
300
300
200
200
100
100
0
0
100
200
300
400
0
0
100
200
300
400
FIG. 4: Klaszterhat´ arok egy k´et-h˝ om´ers´eklet˝ u¨ onszervez˝ od˝ o h˝ om´ers´eklet˝ u Ising-Schelling modellben. A fekete p¨ otty¨ ok az egyik, feh´er a m´ asik csoport egyedeit reprezent´ alj´ ak egy 400x400-as r´ acson. A szimul´ aci´ oban a klaszterek t´ ul´elik a m´ asodik kis k¨ uls˝ o h˝ om´ers´eklet˝ u ”zajt” t = 10000 id˝ ol´ep´es ut´ an ([6]).
lajdons´ ag´at ´ırja le) vagy ´ araml´asok bevezet´es´evel a frakt´ alis hat´arvonalak amelyek, az er˝os fluktu´aci´ ok miatt vannak jelen az ilyen modellekben, elmoshat´oak (l´ asd. [6] ´es az ottani hivatkoz´asokat). B.
Mint´ azatk´ epz˝ od´ es
Egy m´asik fontos k´erd´es, hogy komplex rendszerekben mi´ert alakulnak ki mint´ azatok. Egy viszonylag homog´en l´egk¨orben mit˝ol jelennek meg felh˝ o fodrok, vagy a sivatagi homok mit˝ol hull´ amos. Ezek elm´eleti meg´ert´ese mellet a mikro/nano technol´ ogi´ akban a fel¨ uleti mint´ azatk´epz˝od´es egyszer˝ u kontroll´al´asa nagy gyakorlati jelent˝ os´eggel b´ırna. Ezt jelenleg t¨ obb nagy projekt t˝ uzte ki c´elul. Egyszer˝ u fel¨ uletn¨oveked´esi modellekn´el a r´eszletes egyens´ ulyt s´ert˝ o rekci´okn´ al tal´ altak ilyen bar´ azd´ alt ´ allapotokat legel˝ osz¨ or [7]. K¨ ul¨onb¨ oz˝o er˝oss´eg˝ u sim´ıt´o ´es durv´ıt´o reakci´ok verseng´ese eset´en l´athatunk ilyen fel¨ uleti p¨ otty vagy fodor n¨ oveked´est (´ abra 5). Ezek a fel¨ uleti mint´ azatok metastabil, kvantum p¨ otty¨ok vagy nanovezet´ekek n¨ oveszt´es´ere nyitnak a litogr´afi´ahoz k´epest alternat´ıv lehet˝os´egeket. Miut´ an a bizonyos
FIG. 5: Szimul´ alt fel¨ uleti hull´ amok magass´ ag konturjai verseng˝ o durv´ıt´ o anizotr´ op fel¨ uleti diff´ uzi´ o ´es sim´ıt´ o depozici´ os reakci´ ok eset´en. Ezt a mint´ azatot kinetikus Ising szer˝ u hajtott r´ acsg´ az modellel gener´ altuk [8]. (b) K´ıs´ereti fodroz´ od´ asi minta sziliciumban kripton ion-sug´ ar bomb´ az´ as hat´ as´ ara (Eion = 1200 eV, sz¨ og=15 ◦ , fluxus = 2.241018 /cm2 .)
fel¨ uletek r´acsg´az modellekre is lek´epezhet˝oek, az ezekn´el le´ırt rendez˝ od´esi, f´azis´atalakul´asi kutat´ asi eredm´enyek is seg´ıtenek a fenti c´elok el´er´es´eben.
[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]
V. Elgart and A. Kamenev, Phys. Rev. E 74, 041101 (2006). ´ N. Menyh´ ard and G. Odor, Phys. Rev. E 73, 036130 (2006). ´ G. Odor, Rev. Mod. Phys 76, 663 (2004). ´ G. Odor, Universality In Nonequilibrium Lattice Systems (World Scientific, 2008). P. Bak, C. Tang, and K. Wiesenfeld, Phys. Rev. Lett. 59, 381 (1987). ´ G. Odor, Int. J. of Mod. Phys. C 19, 393 (2008). Z. R´ acz, M. Siegert, D. Liu, and M. Plischke, Phys. Rev. A 43, 5275 (1991). ´ G. Odor, B. Liedke, and K.-H. Heinig, Phys. Rev. E 79, 021125 (2009).
