Unit 2 KONSEP DASAR ALJABAR. Clara Ika Sari Pendahuluan

Unit

2

KONSEP DASAR ALJABAR Clara Ika Sari Pendahuluan

P

ada unit ini kita akan mempelajari beberapa konsep dasar dalam aljabar seperti persamaan dan pertidaksamaan yang berbentuk linear dan kuadrat, serta mengkaji sistem persamaan linear dengan dua peubah. Kompetensi yang harus dikuasai setelah Anda mempelajari konsep dasar aljabar adalah mampu menggunakan konsep dasar aljabar dalam menyelesaikan masalah matematika maupun masalah pada bidang lain yang terkait dengan konsep tersebut. Unit ini terdiri dari tiga subunit yaitu persamaan, pertidaksamaan, dan sistem persamaan linear. Masing-masing subunit akan dilengkapi dengan latihan-latihan sederhana untuk membantu Anda dalam memahami konsep yang telah dipelajari. Media yang dapat Anda gunakan dalam mempelajari konsep dasar aljabar ini, selain melalui bahan ajar cetak, Anda juga dapat mempelajarinya dengan mengakses web yang telah disediakan. Unit ini merupakan salah satu prasyarat pengetahuan yang harus Anda kuasai untuk mengkaji dan memecahkan masalah matematika terutama masalah matematika di bidang aljabar dalam kehidupan sehari-hari. Kajilah materi dalam setiap subunit sampai tuntas. Kerjakanlah latihan dan tugas-tugas yang ada di setiap subunit. Setelah Anda selesai mempelajari satu subunit, kerjakanlah tes formatif untuk mengukur tingkat penguasaan Anda. Cobalah mengerjakan sendiri tes formatif tersebut agar Anda benar-benar mengetahui seberapa besar penguasaan Anda terhadap materi yang baru dipelajari. Jika Anda belum mencapai tingkat penguasaan yang disyaratkan, pelajari kembali materi pada subunit yang bersangkutan. Jangan segan untuk bertanya atau meminta bantuan kepada orang yang Anda anggap mampu atau kepada dosen pengampu mata kuliah ini. Anda bisa melakukan latihan menyelesaikan soal berulang-ulang baik soal yang tersedia dalam bahan ajar cetak maupun dalam bahan ajar web. Selamat mempelajari unit ini, semoga Anda berhasil.

Pemecahan Masalah Matematika

2-1

Subunit 1 Persamaan

S

ubunit 1 berisi bahasan mengenai persamaan linear dan kuadrat dan bagaimana menentukan penyelesaiannya. Persamaan merupakan salah satu konsep matematika yang digunakan dalam menentukan suatu model matematika dan penyelesaiannya terkait dengan pemecahan masalah matematika dalam bidang aljabar. Sebelum kita membahas mengenai persamaan, terlebih dahulu akan dibahas mengenai beberapa istilah yang dipakai dalam subunit ini. Istilah-istilah tersebut antara lain: variabel, koefisien, konstanta, dan suku. Selain istilah-istilah tersebut juga akan dibahas beberapa manipulasi aljabar yang akan digunakan untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan. Pertama-tama kita akan membahas mengenai variabel. Variabel adalah sebuah lambang yang menyatakan atau mewakili sebarang bilangan real. Variabel biasa dinotasikan dengan huruf kecil, seperti : x, y, a, u, dan lain sebagainya. Jika beberapa variabel yang sama dijumlahkan akan diperoleh perkalian antara bilangan yang menyatakan banyaknya variabel dan variabel tersebut. Contoh : Jika 5 + 5 = 2 × 5 maka hal ini berlaku juga untuk a + a = 2 × a atau disingkat menjadi 2a. Demikian juga karena operasi perkalian mempunyai sifat komutatif, yaitu 2 × 3 = 3 × 2 maka sifat tersebut berlaku juga dalam perkalian dengan variabel, yaitu 2 × a = a × 2 = 2a. Selanjutnya perhatikan contoh di atas. Pada 2a, bilangan 2 disini menyatakan banyaknya variabel a dan disebut koefisien dari variabel a. Hasil kali 2 × a = 2a disebut suku atau lebih lengkapnya suku aljabar. Jika suku aljabar ini tidak memuat variabel, dengan kata lain hanya terdiri dari bilangan saja maka bilangan tersebut disebut konstanta. Jika suatu suku dikalikan dengan suatu bilangan atau variabel baik variabel yang sama maupun berbeda, hasil kalinya merupakan suku juga. Contoh : Jika 4a × b maka diperoleh 4ab yang merupakan sebuah suku. Sedangkan koefisien dari ab adalah 4.

2-2

Unit 2

Jika dua suku yang sama dijumlahkan atau lebih maka akan diperoleh perkalian antara bilangan yang menyatakan banyaknya suku dengan suku tersebut. Contoh : Jika 2y + 2y + 2y maka diperoleh 3 × 2y = 6y. Jika dua suku yang memuat variabel sama atau lebih menyederhanakannya, kita dapat menggunakan aturan distributif. Contoh : Jika 3m + 7m maka diperoleh (3 + 7)m = 10m.

maka

untuk

Jadi kesimpulannya, dua suku atau lebih dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika suku-suku tersebut memuat variabel yang sama. Sebaliknya, dua suku atau lebih tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika suku-suku tersebut memuat variabel yang berbeda. Contoh : 4k – 3m, 2x + 7y dan lain sebagainya. Pada setiap suku aljabar dapat dikenakan operasi perkalian dan pembagian seperti pada bilangan. Contoh : a. 3 × 6y = (3 × 6)y = 18y b. 10t : 5 = (10 : 5)t = 2t Sifat-sifat operasi hitung pada bilangan yang telah kita kenal adalah sifat komutatif, assosiatif dan distributif. Sifat-sifat tersebut juga berlaku pada pengerjaan operasi hitung pada suku aljabar. Contoh : a. u × v = v × u = uv b. a × (b × c) = (a × b) × c c. 2u (a + b) = (2u × a) + (2u × b) = 2au + 2bu Sebelum Anda mempelajari materi lebih lanjut cobalah kerjakan latihan berikut ini, untuk memperdalam materi mengenai variabel, koefisien, konstanta, suku aljabar dan manipulasi-manipulasi aljabar yang telah dipelajari di atas. 1. Jika diberikan x 2 y + 2 xy + ab − 6 maka tentukanlah a. koefisien dari x 2 y dan xy b. konstanta yang ada pada x 2 y + 2 xy + ab − 6

c. suku aljabar yang ke 3 2. Untuk soal-soal berikut, sederhanakanlah. Pemecahan Masalah Matematika

2-3

a. 3 × p b. y × 10 c. m × 6 d. n × 1 e. 2a × 3b f. 8ab + 6ba g. 7gh + 12gl + 8hg – 4gl Berikut ini pembahasan dari soal-soal latihan di atas. 1. a. Koefisien dari x 2 y adalah 1 dan koefisien dari xy adalah 2. a. Konstanta yang ada pada x 2 y + 2 xy + ab − 6 adalah 6. c. Suku aljabar yang ke 3 dari x 2 y + 2 xy + ab − 6 adalah ab. 2. a. 3 × p = 3p b. y × 10 = 10y c. m × 6 = 6m d. n × 1 = 1n = n Perhatikan penyelesaian soal d. Setiap bilangan yang dikalikan dengan 1 akan menghasilkan bilangan itu sendiri. Demikian juga berlaku bahwa setiap variabel yang dikalikan dengan 1 akan menghasilkan variabel itu sendiri. e. 2a × 3b = (2 × a) × (3 × b) = (2 × 3) × (a × b) Menggunakan sifat assosiatif = 6ab f. 8ab + 6ba = 8ab + 6ab Menggunakan sifat komutatif = (8 + 6)ab Menggunakan sifat distributif = 14ab h. 7gh + 12gl + 8hg – 4gl = 7gh + 8gh +12gl – 4gl = (7 + 8) gh + (12 – 4)gl = 15gh + 8gl Selanjutnya kita akan membahas persamaan. Pernyataan atau kalimat matematika tertutup yang menyatakan hubungan sama dengan disebut kesamaan. Contoh : 5 + 10 = 15, 6 + 2 = 10 – 2, 2 × 5 = 8 + 2 Selanjutnya kita akan mempelajari penggunaan variabel dalam kesamaan. Perhatikan salah satu contoh di atas yaitu 5 + 10 = 15. Jika variabel x menyatakan

2-4

Unit 2

bilangan 5 pada kesamaan tersebut maka diperoleh x + 10 = 15. Jadi x + 10 = 15 menjadi kalimat matematika yang terbuka. Kalimat matematika x + 10 = 15 disebut persamaan . Jadi persamaan adalah suatu pernyataan atau kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan antara ruas kiri dan ruas kanan dan dibatasi dengan tanda ”=”. Persamaan x + 10 = 15 memuat variabel x dimana nilai x adalah 5 jika kalimat terbuka tersebut diubah menjadi pernyataan yang benar. Nilai x = 5 disebut penyelesaian dari persamaan x + 10 = 15. Jadi menyelesaikan persamaan berarti menemukan bilangan di mana jika setiap variabel dalam persamaan tersebut diganti dengan bilangan itu maka diperoleh pernyataan yang bernilai benar. Persamaan yang akan kita bahas dalam unit ini adalah persamaan linear dan kuadrat. Kita akan mengkaji dan menyelesaikan persamaan linear dan kuadrat tersebut. Persamaan linear adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi pada variabelnya adalah 1. Secara simbolik, persamaan linear adalah persamaan yang berbentuk ax + b = 0 dengan a, b ∈ R di mana R adalah himpunan bilangan real dan a ≠ 0. Contoh : a. x + 5 = 9 b. 2x + 7 = 11 x c. =7 3 d. 7x – 4 = 4x + 17 e. 2(4x +1) = 18 Bagaimana menentukan nilai x yang memenuhi persamaan di atas? Menentukan nilai x dalam persamaan linear berarti menyelesaikan persamaan linear tersebut. Untuk itu terlebih dulu Anda harus memahami konsep berikut ini. Jika kedua ruas dalam suatu persamaan dikurangi atau ditambah dengan suatu bilangan yang sama maka hal tersebut tidak akan merubah nilai kebenaran dari persamaan tersebut. Demikian juga jika kedua ruas dikalikan atau dibagi dengan suatu bilangan yang sama juga tidak akan merubah nilai kebenaran dari persamaan itu. Bagaimana Saudara, apakah Anda telah paham dengan konsep tersebut? Cobalah Anda membuat contoh untuk menjelaskan konsep ini. Kemudian bandingkan dengan contoh berikut ini.


2-5

Contoh : Diberikan persamaan 2 × 5 = 10. Kedua ruas dari persamaan tersebut kita tambah dengan 3 sehingga diperoleh (2 × 5) + 3 = 10 + 3. Ruas kiri jika diselesaikan menghasilkan: (2 × 5) + 3 = 10 + 3 = 13, dan ruas kanan jika diselesaikan menghasilkan: 10 + 3 = 13. Jadi ruas kiri dan ruas kanan dari persamaan menghasilkan bilangan yang sama yaitu 13. Jadi jika kedua ruas persamaan 2 × 5 = 10 kita tambah dengan bilangan 3 maka hasilnya tidak merubah nilai kebenarannya. Dengan demikian suatu persamaan tidak akan berubah penyelesaiannya jika kedua ruas persamaan tersebut diberi perlakuan berikut ini. 1. Ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama. 2. Dikali atau dibagi dengan bilangan yang sama asal bukan nol. Persamaan baru yang diperoleh dengan persamaan aslinya dikatakan ekuivalen dan keduanya mempunyai penyelesaian yang sama. Sekarang kita telah siap untuk menyelesaikan persamaan linear pada contoh yang telah diberikan di atas. a. Penyelesaian persamaan linear x + 5 = 9 adalah sebagai berikut. x+5–5=9–5 Kedua ruas dikurangi dengan 5 x=4 Jadi penyelesaian persamaan linear x + 5 = 9 adalah x = 4. b. Selanjutnya kita akan menentukan penyelesaian persamaan linear 2x + 7 = 11. 2x + 7 – 7 = 11 – 7 Kedua ruas dikurangi dengan 7 2x = 4 2x : 2 = 4 : 2 Kedua ruas dibagi dengan 2 (2 : 2)x = 2 x=2 Jadi penyelesaian persamaan linear 2x + 7 = 11 adalah x = 2. Bagaimana Saudara, mudah bukan? Untuk contoh berikutnya cobalah Anda selesaikan sendiri dan hasilnya dapat Anda cocokkan dengan penyelesaian persamaan linear berikut ini. x a. Penyelesaian persamaan linear = 7 adalah sebagai berikut. 3 x ×3=7×3 Kedua ruas dikalikan 3 3 x = 21 x Jadi penyelesaian persamaan linear = 7 adalah x = 21. 3 2-6

Unit 2

b. Untuk contoh yang keempat, penyelesaian persamaan linear 7x – 4 = 4x + 17 adalah sebagai berikut. 7x – 4 = 4x + 17 7x – 4 + 4 = 4x + 17 + 4 Kedua ruas ditambah dengan 4 7x = 4x + 21 7x – 4x = 4x – 4x + 21 Kedua ruas dikurangi dengan 4x (7 – 4 )x = 21 3x = 21 3x : 3 = 21 : 3 Kedua ruas dibagi dengan 3 (3 : 3)x = 7 x=7 c. Penyelesaian persamaan linear untuk contoh terakhir yaitu 2(4x + 1) = 18 adalah sebagai berikut. 2(4x + 1) = 18 8x + 2 = 18 Menggunakan aturan distributif 8x + 2 – 2 = 18 – 2 Kedua ruas dikurangi dengan 2 8x = 16 8x : 8 = 16 : 8 Kedua ruas dibagi dengan 8 (8 : 8)x = 2 x=2 Jadi penyelesaian persamaan linear 2(4x + 1) = 18 adalah x = 2. Kita telah mempelajari persamaan linear dan berlatih untuk menyelesaikan persamaan linear. Selanjutnya kita akan mempelajari persamaan kuadrat dan penyelesaiannya. Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax 2 + bx + c = 0 dengan a, b, c ∈ R di mana R adalah himpunan bilangan real dan a ≠ 0 . Contoh : x 2 − 4 = 0 , x 2 − 9 x = 0 , x 2 + 7 x = 10 dan lain sebagainya. Bagaimana cara menyelesaikan persamaan kuadrat di atas? Sebelum kita mengkaji hal tersebut dan berlatih menyelesaikan persamaan kuadrat, terlebih dahulu kita akan membahas mengenai aturan faktor nol. Aturan faktor nol menyatakan bahwa hasil kali sebarang bilangan dengan bilangan nol adalah nol. Misalkan 2 × 0 = 0, 0 × 9 = 0 atau 0 × 0 = 0. Jadi jika hasil kali dua bilangan sama dengan nol maka salah satu atau kedua bilangan tersebut adalah nol. Secara simbolik dinyatakan bahwa jika ab = 0 maka a = 0 atau b = 0 . Kata atau pada ” a = 0 atau b = 0 ”


2-7

berarti bahwa salah satu dari a atau b sama dengan nol atau bisa jadi kedua-duanya sama dengan nol. Konsep mengenai hal ini akan Anda pelajari lebih dalam pada unit 6. Aturan faktor ini akan kita pakai dalam menyelesaikan persamaan kuadrat. Contoh : Dengan menggunakan aturan faktor nol, tentukanlah penyelesaian persamaan kuadrat berikut ini. a. 4 x 2 − 32 x = 0 b. 7 x 2 = −84 x c.

2x 2 = 24 3

d. x 2 + 5 x + 6 = 0 Baiklah kita akan mencoba menyelesaikan persamaan kuadrat di atas. a. Persamaan kuadrat 4 x 2 − 32 x = 0 dapat diubah menjadi 4 x(x − 8) = 0 dengan menggunakan aturan distributif. Selanjutnya dengan menggunakan aturan faktor nol akan diperoleh 4 x = 0 atau x − 8 = 0 Sehingga diperoleh x = 0 atau x = 8 . Jadi penyelesaian persamaan kuadrat 4 x 2 − 32 x = 0 adalah x = 0 atau x = 8 b.

Dengan cara yang sama dengan a, maka penyelesaian persamaan kuadrat

7 x 2 = −84 x sebagai berikut.

7 x 2 + 84 x = −84 x + 84 x

7 x( x + 12 ) = 0

Kedua ruas ditambah dengan 84x Menggunakan sifat distributif

7 x = 0 atau x + 12 = 0

Menggunakan aturan faktor nol

Jadi penyelesaian persamaan 7 x = −84 x adalah x = 0 atau x = −12 . 2

Bagaimana saudara? Apakah cukup jelas? Cobalah anda menyelesaikan persamaan kuadrat berikutnya dan kemudian cocokkan jawaban Anda dengan penyelesaian berikut ini. a. Penyelesaian persamaan kuadrat

2-8

Unit 2

2x 2 = 24 adalah sebagai berikut. 3

2x 2 × 3 = 24 × 3 3

Kedua ruas dikalikan dengan 3

2 x 2 = 72 2 x 2 72 = 2 2

Kedua ruas dibagi dengan 2

x 2 = 36 x = −6 atau x = 6 Jadi penyelesaian persamaan kuadrat

2x 2 = 24 adalah x = −6 atau x = 6 . 3

Perhatikan bahwa ada dua nilai x yang memenuhi persamaan x 2 = 36 yaitu x = −6 atau x = 6 . Jadi ingatlah bahwa persamaan x 2 = a akan mempunyai dua nilai x yaitu

x = − a dan x = a . Penyelesaian persamaan linear seperti di atas merupakan penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan aturan akar kuadrat. b. Sekarang bagaimana penyelesaian persamaan kuadrat x 2 + 5 x + 6 = 0 ? Untuk memahami penyelesaian persamaan kuadrat tersebut, kita akan menggunakan alat peraga berikut ini. Buatlah sebuah persegi dan persegi panjang seperti gambar 1 berikut ini.

(a)

(b) Gambar 2.1

(c)

Persegi (a) menyatakan banyaknya x 2 , persegi panjang (b) menyatakan banyaknya x dan persegi (c) menyatakan konstanta. Oleh karena itu untuk menyatakan persamaan x 2 + 5 x + 6 = 0 dibutuhkan 1 bangun (a), 5 bangun (b) dan 6 bangun (c) seperti berikut ini.

Gambar 2.2


2-9

Dari persegi dan persegi panjang tersebut, bentuklah sebuah persegi panjang baru seperti gambar 3 dengan ukuran luas yang sama dengan bangun pada gambar 2.

Gambar 2.3 Persegi yang baru terbentuk mempunyai panjang dan lebar masing-masing (x + 2) dan (x + 3), sehingga ukuran luasnya (x + 2)(x + 3). Jadi persamaan kuadrat

x 2 + 5 x + 6 = 0 sama dengan persamaan

(x + 2)(x + 3) = 0 .

Dengan demikian

untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tersebut akan lebih mudah. Dengan menggunakan aturan faktor nol diperoleh

(x + 2) = 0

atau

( x + 3) = 0 .

Jadi

penyelesaian persamaan kuadrat x 2 + 5 x + 6 = 0 adalah x = −2 atau x = −3 . Jadi secara umum, jika x1 dan x 2 merupakan penyelesaian suatu persamaan kuadrat maka

persamaan

kuadrat

tersebut

adalah

x 2 + ( x1 + x 2 ) x + x1 x 2 = 0 .

Cara

menyelesaikan persamaan kuadrat di atas disebut menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara menfaktorkan. Jika suatu persamaan kuadrat yang berbentuk ax 2 + bx + c = 0 tidak dapat diselesaikan dengan cara-cara di atas, kita dapat menggunakan rumus berikut ini. x=

− b ± b 2 − 4ac 2a

Contoh : Selesaikan persamaan kuadrat 2 x 2 − 7 x − 6 = 0 dengan menggunakan rumus di atas. Dari persamaan kuadrat 2 x 2 − 7 x − 6 = 0 maka a = 2, b = -7 dan c = -6. Nilai a, b dan c ini dimasukkan ke dalam rumus, sehingga diperoleh

2 - 10

Unit 2

− (−7) ± (−7) 2 − 4.2.(−6) x= 2.2 7 ± 49 + 48 x= 4 7 ± 97 x= 4 7 ± 9,8489 x= 4 7 + 9,8489 7 − 9,8489 x= x= atau 4 4 x = 4,2122 x = −0,7122 atau Jadi penyelesaian persamaan kuadrat 2 x 2 − 7 x − 6 = 0 adalah x = 4,2122 atau x = 0,7122.


2 - 11

Rangkuman Variabel adalah suatu lambang yang menyatakan atau mewakili sebarang bilangan real yang biasanya dinotasikan dengan huruf kecil. Koefisien suatu variabel merupakan bilangan yang menyatakan banyaknya variabel tersebut. Suku aljabar menyatakan setiap hasil kali variabel dengan bilangan, variabel dengan variabel baik yang sama maupun yang berbeda. Sebuah suku aljabar yang tidak memuat variabel, dengan kata lain hanya merupakan bilangan saja disebut konstanta. Persamaan adalah suatu pernyataan atau kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan antara ruas kiri dan ruas kanan dan dibatasi dengan tanda ”=”. Persamaan linear merupakan persamaan yang mempunyai pangkat tertinggi 1 pada variabelnya. Manipulasi aljabar yang dapat dilakukan untuk menyelesaikan persamaan linear adalah sebagai berikut. a. Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama b. Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama Persamaan kuadrat adalah persamaan yang memiliki pangkat tertinggi pada variabelnya adalah 2. Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, dibutuhkan sebuah aturan yang disebut aturan faktor nol. Cara penyelesaian persamaan kuadrat adalah sebagai berikut. a. Dengan aturan faktor nol b. Dengan menggunakan akar kuadrat c. Dengan menfaktorkan d. Dengan menggunakan rumus

Tes Formatif 1 Kerjakanlah tes formatif ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi persamaan dengan cara memberi tanda silang (X) pada salah satu jawaban yang Anda anggap benar. 1. Pengertian koefisien adalah ……. A. suku aljabar yang tidak memuat variabel B. suku aljabar yang mempunyai pangkat tertinggi 1 C. bilangan yang menyatakan banyaknya suku aljabar D. bilangan yang menyatakan banyaknya variabel 2x 2. Jika diberikan persamaan x 2 + − 8 = 0 maka koefisien dari x adalah ....... 3

2 - 12

Unit 2

A. -8 2 B. 3

C. 1 D. 8

3. Berikut ini yang merupakan contoh persamaan linear adalah ....... A. 2 + 5 = 7 C. 5 x( x − 1) = 6 x D. 2 x 2 − 2 = 0 B. + 7 = 15 2 15 4. Penyelesaian persamaan − 2 = 3 adalah ....... x 1 13 C. x = A. x = 3 3 B. x = 3 D. x = 6 1 5. Persamaan linear berikut ini yang mempunyai penyelesaian x = − adalah....... 3 2 1 1 A. + 3 = C. 1 − =3 x x 3x 2 1 1 D. 1 + B. − 3 = =3 x x 3x


2 - 13

6. Perhatikan cara penyelesaian persamaan kuadrat berikut ini.

x 2 − 81 = 0 x 2 = 81 x = −9 atau x = 9 Penyelesaian persamaan kuadrat di atas menggunakan ....... A. aturan faktor nol C. cara memfaktorkan B. akar kuadrat D. rumus 7. Penyelesaian persamaan x( x − 1) = 12 adalah ....... A. x = 12 B. x = 0 atau x = 1

C. x = −3 atau x = 4 D. x = 12 atau x = 13

8. Persamaan berikut ini yang mempunyai penyelesaian x = 2 adalah ....... A. x(x + 4) = −4 1 1 C. + 1 = x 2 B. x( x − 4) = −4 1 1 D. − 1 = x 2 1 1 9. Penyelesaian persamaan kuadrat x 2 + x − 3 = 0 adalah ....... 2 2 C. x = −2 atau x = 3 A. x = −1 atau x = 6 B. x = 1 atau x = −6 D. x = 2 atau x = −3 10. Penyelesaian persamaan kuadrat x 2 − 4 x + 2 = 0 adalah ....... C. x = 0 atau x = 4 A. x = −1 B. x = −2 atau x = 2 D. x = 2 + 2 atau x = 2 − 2

Umpan Balik Dan Tindak Lanjut Setelah mengerjakan tes formatif 1, bandingkan jawaban Anda dengan kunci jawaban yang terdapat pada akhir unit ini. Jika Anda dapat menjawab dengan benar minimal 80%, Anda dinyatakan berhasil dengan baik. Selamat, silahkan Anda mempelajari sub unit selanjutnya. Sebaliknya jika jawaban benar Anda kurang dari 80%, pelajari kembali uraian dalam sub unit ini, terutama bagian-bagian yang belum Anda kuasai dengan baik.

2 - 14

Unit 2

Subunit 2 Pertidaksamaan

M

ateri yang akan dibahas pada subunit 2 adalah pertidaksamaan dan penyelesaiannya. Pertidaksamaan yang dibahas adalah pertidaksamaan linear dan kuadrat. Dalam subunit ini kita juga akan mempelajari bagaimana menyatakan penyelesaian pertidaksamaan dengan menggunakan garis bilangan. Pertidaksamaan adalah suatu pernyataan atau kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan tidak sama dengan antara ruas kiri dan ruas kanan. Biasanya diantara ruas kiri dan ruas kanan diberi tanda ”>”, ”≥”, ”≤” atau ”<”. Kita akan mempelajari pertidaksamaan linear terlebih dahulu. Analog dengan persamaan linear, pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan yang pangkat tertinggi pada variabelnya sama dengan 1. Contoh : x + 3 > 5 , 2 x − 6 ≤ 11 , dan lain sebagainya. Selanjutnya kita akan mempelajari bagaimana cara menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear. Tetapi terlebih dahulu kita akan memahami dan mempelajari konsep berikut ini. Perhatikanlah gambar di bawah.

Gambar 2.4 Jika keduanya dikurangi dengan 2, maka akan diperoleh

Gambar 2.5 Jadi jika kedua ruas dikurangi dengan 2 maka

pertidaksamaan 10 > 6 diperoleh 10 – 2 = 8 Pemecahan Masalah Matematika

2 - 15

dan 6 – 2 = 4 dimana 8 > 4. Secara umum, jika kedua ruas pertidaksamaan dikurangi dengan bilangan yang sama maka hal ini tidak akan mengubah tanda pertidaksamaan di antara ruas kiri dan ruas kanan. Demikian juga jika kedua ruas ditambah dengan bilangan yang sama. Jika pada gambar 4, masing-masing dikalikan dengan 2 maka akan diperoleh

Gambar 2.6 Jadi jika kedua ruas pertidaksamaan 10 > 6 dikalikan dengan 2 maka diperoleh 10 × 2 = 20 dan 6 × 2 = 12 dimana 20 > 12. Secara umum, jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan positif yang sama maka hal ini tidak akan mengubah tanda pertidaksamaan di antara ruas kiri dan ruas kanan. Bagaimana jika kedua ruas pertidaksamaan tersebut dikalikan dengan bilangan -2? Menurut Saudara, apakah akan merubah tanda pertidaksamaan? Mari kita selidiki bersama-sama. Kedua ruas pertidaksamaan 10 > 6 dikalikan dengan -2 maka diperoleh 10 × (-2) = -20 dan 6 × (-2) = -12 dimana -20 < -12. Jadi ternyata jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan negatif yang sama maka hal ini akan merubah tanda pertidaksamaan di antara ruas kiri dan ruas kanan. Perubahan tersebut dari ”<” menjadi ”>” dan sebaliknya serta dari ”≤” menjadi ”≥”. Demikian juga berlaku jika kedua ruas pertidaksamaan dibagi dengan bilangan negatif yang sama, akan merubah tanda pertidaksamaan di antara ruas kiri dan kanan dari pertidaksamaan tersebut. Dengan cara yang sama seperti pada perkalian, cobalah Anda menjelaskan konsep ini. Sekarang kita mengkaji dan membahas penyelesaian pertidaksamaan linear. Contoh : Tentukan penyelesaian pertidaksamaan a. x + 3 > 7 b. x + 8 ≤ 6 x c. ≤2 3 d. 3 − 2( x − 4) > 2 + 3( x − 2) Penyelesaian pertidaksamaan linear di atas adalah sebagai berikut. 2 - 16

Unit 2

a. Penyelesaian pertidaksamaan linear x + 3 > 7 x +3−3 > 7 −3 Kedua ruas dikurangi dengan 3 x>4 Jadi penyelesaian pertidaksamaan x + 3 > 7 adalah semua bilangan yang kurang dari 4 yang dinotasikan dengan himpunan

{x; x > 4}.

Akan lebih jelas jika

penyelesaian tersebut disajikan dengan garis bilangan berikut ini.

Gambar 2.7 Perhatikan lingkaran di nilai 4 pada garis bilangan. Daerah di dalam lingkaran tersebut tidak diarsir. Hal ini menyatakan bahwa nilai x yang memenuhi pertidaksamaan x + 3 > 7 adalah semua bilangan yang lebih dari 4 tetapi tidak

sama dengan 4 ( x ≠ 4) .

b. Penyelesaian pertidaksamaan linear x + 8 ≤ 6 . x +8−8 ≤ 6−8 Kedua ruas dikurangi dengan 8 x ≤ −2

Jadi penyelesaian pertidaksamaan x + 8 ≤ 6 adalah {x; x ≤ −2} . Jika penyelesaian ini disajikan dalam bentuk garis bilangan, akan diperoleh

Gambar 2.8 Perhatikan lingkaran di nilai -2 pada garis bilangan. Daerah di dalam lingkaran diarsir. Hal ini menyatakan bahwa nilai x yang memenuhi pertidaksamaan x + 8 ≤ 6 adalah semua bilangan yang kurang dari -2 termasuk bilangan -2 itu sendiri. x c. Penyelesaian pertidaksamaan linear ≤ 2 . 3 x ×3≤2×3 (Kedua ruas dikalikan dengan 3) 3 x≤6


2 - 17

x ≤ 2 adalah {x; x ≤ 6}. Jika 3 penyelesaian ini disajikan dengan garis bilangan sebagai berikut.

Jadi penyelesaian pertidaksamaan linear

Gambar 2.9 d. Penyelesaian pertidaksamaan linear 3 − 2( x − 4) > 2 + 3( x − 2) . 3 − 2 x + 8 > 2 + 3x − 6 11 − 2 x > 3 x − 4 11 − 11 − 2 x > 3 x − 4 − 11 − 2 x > 3x − 15 − 2 x − 3 x > 3 x − 3 x − 15 − 5 x > −15

(Menggunakan sifat distributif) (Kedua ruas dikurangi dengan 11) (Kedua ruas dikurangi dengan 3x)

− 5 x − 15 (Kedua ruas dibagi dengan -5) < −5 −5 x<3 Jadi penyelesaian pertidaksamaan linear 3 − 2( x − 4) > 2 + 3( x − 2)

adalah

{x; x < 3} . Bahasan selanjutnya mengenai pertidaksamaan kuadrat. Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang mempunyai pangkat tertinggi 2 pada variabelnya. Contoh : x 2 + 6 x + 5 > 0 Kita akan mencoba menyelesaikan pertidaksamaan pada contoh di atas. Dengan memfaktorkan ruas kiri dari pertidaksamaan diperoleh (x + 1)(x + 5) > 0 Selanjutnya kita andaikan pertidaksamaan di atas merupakan persamaan sehingga diperoleh ( x + 1)( x + 5) = 0 . Dengan menggunakan aturan faktor diperoleh ( x + 1) = 0

atau ( x + 5) = 0 sehingga x = −1 atau x = −5 . Jadi kita mempunyai 3 daerah pada garis bilangan yang dibatasi oleh nilai x = −1 dan x = −5 seperti gambar berikut ini.

Gambar 2.10

2 - 18

Unit 2

Selanjutnya kita akan menguji daerah mana yang memenuhi peridaksamaan

x 2 + 6 x + 5 > 0 dengan cara memasukkan sebarang bilangan yang terletak pada masing-masing daerah ke pertidaksamaan x 2 + 6 x + 5 > 0 . Misalnya untuk bilangan -6 diperoleh (− 6) + 6(−6) + 5 = 5 maka semua bilangan 2

yang terletak di daerah yang memuat bilangan -6, jika dimasukkan ke dalam pertidaksamaan x 2 + 6 x + 5 > 0 akan menghasilkan bilangan positif. Selanjutnya untuk bilangan -2 diperoleh (−2) 2 + 6(−2) + 5 = −3 maka semua bilangan yang terletak di daerah yang memuat bilangan -2, jika dimasukkan ke dalam pertidaksamaan x 2 + 6 x + 5 > 0 akan menghasilkan bilangan negatif. Analog untuk bilangan 0, akan menghasilkan bilangan positif. Jadi bilangan yang memenuhi pertidaksamaan x 2 + 6 x + 5 > 0 adalah semua bilangan yang terletak pada daerah yang memuat bilangan -6 atau 0. Dengan kata lain, penyelesaian pertidaksamaan

x 2 + 6 x + 5 > 0 adalah himpunan

{x;

x < −5 atau x > −1} . Penyelesaian tersebut

dapat disajikan dalam bentuk garis bilangan seperti berikut ini.

Gambar 2.11


2 - 19

Latihan Berikut ini soal-soal yang berkaitan dengan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Selesaikan soal-soal tersebut, kemudian cocokkan jawaban Anda dengan pembahasan di bawahnya. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini yang dinyatakan dengan menggunakan himpunan dan garis bilangan. 1. 2 x 2 > 8 2. − 2 x 2 + 32 ≤ 0 3. − x 2 − 4 x + 5 > 0 4. x 2 + 6 x + 9 ≥ 0

Pedoman Jawaban Latihan Bagaimana Saudara, apakah Anda mengalami kesulitan dalam menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan di atas? Silahkan Anda mencocokkan jawaban Anda dengan pembahasan berikut ini. 1. Langkah pertama yang kita lakukan adalah membagi kedua ruas dengan bilangan

2

sehingga

diperoleh

x2 > 4 .

Kemudian

kita

anggap

pertidaksamaan tersebut adalah persamaan x > 4 sehingga dengan aturan penarikan akar kuadrat diperoleh x = −2 dan x = 2 . Selanjutnya kita uji 2

bilangan-bilanan yang menjadi anggota himpunan penyelesaian 2 x 2 > 8 dengan memasukkan bilangan x = −3 , x = 0 , dan x = 3 ke pertidaksamaan

2 x 2 > 8 sebagai berikut. 2x 2 > 8

2x 2 > 8

2x 2 > 8

2(0) 2 > 8 2(3) 2 > 8 2(−3) 2 > 8 0>8 18 > 8 18 > 8 Pernyataan benar Pernyataan salah Pernyataan benar Berdasarkan uji coba di atas, maka bilangan yang memenuhi pertidaksamaan 2 x 2 > 8 adalah semua bilangan yang kurang dari -2 atau lebih dari 2. Dengan kata

{x ;

lain

penyelesaian

pertidaksamaan

2x 2 > 8

adalah

x < −2 atau x > 2} dan penyajiannya dalam garis bilangan sebagai

berikut.

2 - 20

himpunan

Unit 2

Gambar 2.12 Anda perhatikan lingkaran pada nilai x = −2 dan x = 2 berlubang. Hal ini menyatakan bahwa nilai x = −2 dan x = 2 tidak memenuhi pertidaksamaan

2x 2 > 8 . 2. Kedua ruas pertidaksamaan − 2 x 2 + 32 ≤ 0 dikurangi dengan bilangan 32 sehingga diperoleh − 2 x 2 ≤ −32 . Selanjutnya kedua ruas dibagi dengan -2. Ingat bahwa pembagian yang dilakukan pada kedua ruas pertidaksamaan akan mengubah tanda pertidaksamaan. Jadi diperoleh x 2 > 16 . Selanjutnya pertidaksamaan x 2 > 16 dianggap persamaan x 2 = 16 sehingga diperoleh nilai x = −4 dan x = 4 . Pengujian akan dilakukan dengan memasukkan nilai x = −5 , x = 0 , dan x = 5 sebagai berikut. − 2 x 2 + 32 ≤ 0

− 2 x 2 + 32 ≤ 0

− 2(−5) 2 + 32 ≤ 0 − 18 ≤ 0 Pernyataan benar Berdasarkan pengujian di

− 2 x 2 + 32 ≤ 0

− 2(0) 2 + 32 ≤ 0 − 2(5) 2 + 32 ≤ 0 32 ≤ 0 − 18 ≤ 0 Pernyataan salah Pernyataan benar atas diperoleh himpunan penyelesaian

pertidaksamaan − 2 x 2 + 32 ≤ 0 adalah

{x ;

x ≤ −4 atau x ≥ 4} dan jika

dinyatakan dalam garis bilangan sebagai berikut.

Gambar 2.13 − x − 4x + 5 > 0 2

3. Pertidaksamaan

dianggap

menjadi

persamaan

− x 2 − 4 x + 5 = 0 sehingga dengan cara memfaktorkan diperoleh − x 2 − 4x + 5 = 0 (− x + 1)(x + 5) = 0 − x + 1 = 0 atau x + 5 = 0 − x = −1 atau x = −5 x = 1 atau x = −5 Selanjutnya kita lakukan pengujian dengan memasukkan nilai x = −6 , x = 0 , dan x = 2 ke dalam pertidaksamaan − x 2 − 4 x + 5 > 0 sebagai berikut. − x 2 − 4x + 5 > 0

− x 2 − 4x + 5 > 0

− (− 6 ) − 4(− 6 ) + 5 > 0 − 36 + 24 + 5 > 0 −7 > 0

− (0 ) − 4(0 ) + 5 > 0

2

2

5>0

− x 2 − 4x + 5 > 0

− (2 2 ) − 4(2) + 5 > 0 − 4−8+5 > 0 −7 > 0


2 - 21

Pernyataan salah

Pernyataan benar

Pernyataan salah

Berdasarkan pengujian di atas, maka himpunan penyelesaian pertidaksamaan

− x 2 − 4 x + 5 > 0 adalah

{x ;

− 5 < x < 1} dan jika dinyatakan dalam garis

bilangan sebagai berikut.

Gambar 2.14 4. Pertidaksamaan x + 6 x + 9 ≥ 0 dianggap sebagai persamaan x 2 + 6 x + 9 = 0 sehingga dengan cara memfaktorkan diperoleh 2

x 2 + 6x + 9 = 0

(x + 3)(x + 3) = 0

x+3= 0 x = −3 Pengujian akan dilakukan cukup dengan cara memasukkan nilai x = 0 pada pertidaksamaan x 2 + 6 x + 9 ≥ 0 sebagai berikut. x2 + 6x + 9 ≥ 0 02 + 6(0) + 9 ≥ 0 9≥0 Pernyataan benar Berdasarkan pengujian diperoleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan x 2 + 6x + 9 ≥ 0

adalah

{x ; x ≥ −3}

atau penyelesaian pertidaksamaan

x 2 + 6 x + 9 ≥ 0 dapat dinyatakan dengan diagram garis berikut ini.

Gambar 2.15 Kita sudah mempelajari pertidaksamaan linear dan kuadrat. Semoga apa yang disajikan dalam subunit ini dapat dipahami dengan baik. Selanjutnya silahkan Anda menguji tingkat penguasaan terhadap materi dengan mengerjakan tes formatif pada subunit ini. Selamat mengerjakan.

2 - 22

Unit 2

Rangkuman Pertidaksamaan adalah suatu pernyataan atau kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan tidak sama dengan antara ruas kiri dan ruas kanan. Di antara ruas kiri dan ruas kanan diberi tanda ”<”, ”>”, ”≤”, atau ”≥”. Pertidaksamaan linear merupakan pertidaksamaan yang memiliki pangkat tertinggi 1 pada variabelnya. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan linear dapat dilakukan manipulasi-manipulasi aljabar seperti pada penyelesaian persamaan linear. Tetapi harus diingat bahwa jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama maka akan merubah tanda yang ada di antara ruas kiri dan ruas kanan. Tanda ”<” berubah menjadi ”>”, tanda ”≤” menjadi ”≥” dan sebaliknya. Penyelesaian pertidaksamaan linear dapat disajikan dengan garis bilangan atau dengan himpunan. Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang mempunyai pangkat tertinggi 2 pada variabelnya. Untuk mempermudah penyelesaian pertidaksamaan kuadrat, diandaikan pertidaksamaan itu menjadi persamaan kuadrat sehingga kita dapat menentukan nilai x yang menjadi batas daerah pada garis bilangan. Selanjutnya untuk menentukan semua nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut, dilakukan pengujian dengan cara memasukkan bilangan yang terletak pada masing-masing daerah pada garis bilangan.

Tes Formatif 2 Kerjakanlah tes formatif berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi pertidaksamaan dengan cara memberi tanda silang (X) pada salah satu jawaban yang Anda anggap benar. 1. Pertidaksamaan linear adalah ....... A. pertidaksamaan yang tidak memuat konstanta B. pertidaksamaan yang memiliki 1 variabel C. pertidaksamaan yang mempunyai pangkat variabelnya D. pertidaksamaan yang mempunyai pangkat variabelnya

tertinggi

1

pada

tertinggi

2

pada


2 - 23

2. Berikut ini yang merupakan pertidaksamaan linear adalah ....... B. A. 2x − 3 2 − 5x > 5x ≤0 x 2 D. C. x−3 6 x(2 x − 3) < 1 ≥ 3x x−2 3. Jika pertidaksamaan linear 1 − 2 x > 5 dikalikan dengan bilangan -3 maka diperoleh pertidaksamaan ....... C. 6 x − 3 > −15 A. − 6 x − 3 > −15 B. − 6 x − 3 < −15 D. 6 x − 3 < −15 4. Berikut ini yang merupakan penyelesaian pertidaksamaan

7x − 6 ≤5 x

adalah .......

A. {x; x ≥ 3}

11⎫ ⎧ C. ⎨ x; 0 ≤ x ≤ ⎬ 7⎭ ⎩

B. {x; x ≤ 3}

11⎫ ⎧ D. ⎨ x; x ≥ 0 atau x ≤ ⎬ 7⎭ ⎩ 5. Pertidaksamaan linear yang mempunyai penyelesaian yang ditunjukkan oleh garis bilangan berikut adalah .......

A. x − 8 < 4 x + 16 C. x − 8 ≥ 4 x + 16

B. x − 8 > 4 x + 16 D. x − 8 ≤ 4 x + 16

6. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan ........ A.

2 - 24

Unit 2

7x + 1 < 3x − 1 ditunjukkan oleh 2

B. C. D. 7. Penyelesaian pertidaksamaan 3x 2 + 5 x > 2 adalah .......

C. {x; − 1 < x < 2}

1⎫ ⎧ A. ⎨ x; − 2 < x < ⎬ 3⎭ ⎩

D. {x; x < −1 atau x > 2}

1⎫ ⎧ B. ⎨ x; x < −2 atau x > ⎬ 3⎭ ⎩ 8. Pertidaksamaan kuadrat yang mempunyai himpunan penyelesaian yang ditunjukkan oleh garis bilangan berikut adalah .......

A. ( x − 5)(x − 6 ) ≥ 2

B. ( x − 5)( x − 6 ) < 2

C. ( x − 4 )( x − 7 ) ≤ 2

D. ( x − 4 )( x − 7 ) < 2

9. Garis bilangan berikut yang menyatakan penyelesaian pertidaksamaan

x 2 − 10 x > 4 x − 49 adalah ....... A. B. C. D. 10. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x 2 + 6 x − 2 ≤ 0 adalah .......

{ C. {x ; 3 −

}

A. x ; - 3 − 11 ≤ x ≤ −3 + 11

22 ≤ x ≤ 3 + 22

}

{ D. {x ; x ≤ 3 −

}

C. x ; x ≤ −3 − 11 atau x ≥ −3 + 11 22 atau x ≥ 3 + 22


2 - 25

}

Umpan Balik Dan Tindak Lanjut Setelah mengerjakan tes formatif 2, bandingkan jawaban Anda dengan kunci jawaban yang terdapat pada akhir unit ini. Jika Anda dapat menjawab dengan benar minimal 80%, Anda dinyatakan berhasil dengan baik. Selamat, silahkan Anda mempelajari sub unit selanjutnya. Sebaliknya jika jawaban benar Anda kurang dari 80%, pelajari kembali uraian dalam sub unit ini, terutama bagian-bagian yang belum Anda kuasai dengan baik.

2 - 26

Unit 2

Subunit 3 Sistem Persamaan Linear

D

alam subunit ini, kita akan mempelajari sistem persamaan linear yang paling sederhana yaitu sistem persamaan linear dengan dua variabel atau peubah. Sistem persamaan linear disebut juga persamaan linear simultan. Untuk mempelajari materi ini perhatikan contoh permasalahan dalam kehidupan sehari-hari berikut ini. Contoh :Diketahui Ari membeli 10 buku dan 5 pensil dengan harga Rp. 12.500,-. Sedangkan Dita membeli 5 buku dan 2 pensil dengan harga Rp. 6.000,-. Berapa harga sebuah buku dan sebuah pensil? Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, kita buat tabel berikut. Tabel 2.1 Banyak buku Banyak pensil Harga Ari 10 5 Rp. 12.500,Dita 5 2 Rp. 6.000,Misalkan x menyatakan harga sebuah buku dan y menyatakan harga sebuah pensil. Berdasarkan tabel dapat dibentuk persamaan-persamaan berikut. 10 x + 5 y = 12500 5 x + 2 y = 6000 Persamaan-persamaan di atas mempunyai dua variabel (yaitu x dan y) dan pangkat tertinggi pada variabel tersebut sama dengan satu, sehingga persamaan-persamaan itu disebut persamaan linear dengan dua variabel atau peubah. Dua persamaan linear yang diperoleh merupakan kalimat matematika yang menyatakan permasalahan di atas. Dengan kata lain kedua persamaan tersebut merupakan model matematika dari permasalahan yang diberikan. Materi mengenai model matematika akan dipelajari lebih lanjut di unit 8. Jadi nampak bahwa kedua persamaan tersebut erat kaitannya, sehingga kedua persamaan itu dinamakan sistem persamaan linear. Untuk membedakan apakah sekumpulan persamaan linear merupakan suatu sistem atau bukan biasanya pada sekumpulan persamaan tersebut diberi tanda “{“. Jadi dari permasalahan di atas diperoleh sistem persamaan linear dengan dua peubah yaitu

⎧10 x + 5 y = 12500 ⎨ ⎩ 5 x + 2 y = 6000


2 - 27

Bentuk umum sistem persamaan linear dengan dua peubah adalah sebagai berikut. ⎧a1 x + b1 y = c1 ⎨ ⎩ a 2 x + b2 y = c 2

dengan a1 , a 2 , b1 , b2 , c1 , dan c 2 merupakan bilangan-bilangan real. Setiap persamaan dalam suatu sistem persamaan disebut ruas persamaan. Pada contoh tadi, kita diminta menentukan harga sebuah buku dan sebuah pensil. Hal ini berarti kita menentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan ⎧10 x + 5 y = 12500 ⎨ ⎩ 5 x + 2 y = 6000 Misalkan nilai x = p dan y = q yang memenuhi sistem persamaan linear di atas, artinya jika nilai x dan y pada sistem persamaan linear diganti dengan p dan q maka diperoleh pernyataan yang benar. Jika nilai x dan y tersebut ditulis sebagai pasangan berurutan ( p, q ) , pasangan berurutan ini disebut penyelesaian sistem persamaan linear tersebut. Pada contoh di atas penyelesaian sistem persamaan linear ⎧10 x + 5 y = 12500 ⎨ ⎩ 5 x + 2 y = 6000

adalah (1000,500). Kita akan menguji apakah (1000,500) merupakan penyelesaian dengan cara memasukkan nilai x = 1000 dan y = 500 ke dalam sistem persamaan linear sebagai berikut. ⎧10(1000) + 5(500) = 10000 + 2500 = 12500 ⎨ ⎩ 5(1000) + 2(500) = 5000 + 1000 = 6000

benar benar

Ternyata dengan memasukkan nilai-nilai tersebut diperoleh pernyataan yang benar, maka (1000,500) merupakan penyelesaian persamaan tersebut. Jadi menyelesaikan sistem persamaan linear adalah bagaimana mencari nilai pengganti variabel nilai x dan y sehingga diperoleh pernyataan yang benar. Ada tiga masalah dalam menyelesaikan sistem persamaan linear yaitu: 1. ada tidaknya penyelesaian 2. metode penyelesaian 3. deskripsi selengkapnya mengenai penyelesaian tersebut. Dalam subunit ini, kita akan pelajari dua metode penyelesaian sistem persamaan linear yaitu metode substitusi dan eliminasi. Sebelumnya akan dijelaskan bahwa manipulasi aljabar berikut ini tidak akan mengubah ada tidaknya penyelesaian sistem persamaan.

2 - 28

Unit 2

1. Penambahan atau pengurangan ruas-ruas persamaan ke ruas-ruas persamaan lain dalam sistemnya. 2. Perkalian setiap ruas dengan sebarang bilangan yang bukan nol. 3. Pengubahan urutan persamaan dalam sistemnya. Penjelasan mengenai hal ini langsung menggunakan contoh-contoh penyelesaian sistem persamaan linear yang akan dibahas selanjutnya. Selanjutnya kita akan membahas penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode substitusi. Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua peubah dengan menggunakan metode substitusi, dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut. 1. Dipilih salah satu persamaan linear yang sederhana, kemudian nyatakan x sebagai y atau sebaliknya. 2. Masukkan (substitusikan) x atau y yang diperoleh pada langkah satu ke persamaan yang lain sampai diperoleh nilai x dan y. Bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua peubah dengan metode substitusi, akan lebih jelas dengan mempelajari contoh-contoh berikut ini. Contoh : Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua peubah berikut ini dengan metode substitusi. ⎧ x + y = −8 ⎨ ⎩2 x − y = −1

Penyelesaian : Kita pilih persamaan x + y = −8 , kemudian kita nyatakan x sebagai y sehingga diperoleh x = −8 − y . Persamaan x = −8 − y kita masukkan ke dalam persamaan 2 x − y = −1 sehingga diperoleh 2 x − y = −1 2(−8 − y ) − y = −1 − 16 − 2 y − y = −1 − 3 y = −1 + 16 − 3 y = 15 y = −5 Dari sini diperoleh x = −8 − y = −8 − (−5) = −8 + 5 = −3


2 - 29

⎧ x + y = −8 Jadi penyelesaian sistem persamaan linear ⎨ adalah (-3,-5). ⎩2 x − y = −1

Latihan 1 Bagaimana Saudara, apakah Anda telah memahami cara menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menggunakan metode substitusi? Silahkan Anda berlatih menyelesaikan sistem persamaan linear dua peubah pada soal-soal berikut. Setelah Anda selesai mengerjakannya, cocokkan jawaban Anda dengan pembahasan yang ada. Tentukan penyelesaiann sistem persamaan linear berikut dengan metode substitusi. a. b. ⎧2 x − 3 y = 4 ⎨ ⎩ x + 2y = 9

⎧2 x − 3 y = 7 ⎨ ⎩ 3x − y = 7

Pedoman Jawaban Latihan 1 a. Dari persamaan x + 2 y = 9 , variabel x dinyatakan dalam y sehingga diperoleh x = 9 − 2 y . Persamaan

x = 9 − 2y

disubstitusikan ke dalam persamaan

2 x − 3 y = 4 sehingga diperoleh 2x − 3y = 4 2(9 − 2 y ) − 3 y = 4 18 − 4 y − 3 y = 4 − 7 y = 4 − 18 − 7 y = −14 y=2 Selanjutnya nilai y = 2 disubstitusikan ke persamaan x = 9 − 2 y sehingga diperoleh x = 9 − 2y = 9 − 2(2) =9−4 =5 ⎧2 x − 3 y = 4 Jadi penyelesaian sistem persamaan linear ⎨ adalah (5,2) . ⎩ x + 2y = 9

2 - 30

Unit 2

b. Dari persamaan 3x − y = 7 , variabel y dinyatakan dalam x diperoleh y = 3x − 7 . Persamaan

y = 3x − 7 disubstitusikan ke persamaan 2 x − 3 y = 7 sehingga

diperoleh 2x − 3y = 7 2 x − 3(3 x − 7) = 7 2 x − 9 x + 21 = 7 − 7 x = 7 − 21 − 7 x = −14 x=2 Selanjutnya nilai x = 2 disubstitusikan ke persamaan y = 3x − 7 diperoleh y = 3x − 7 = 3(2) − 7 = 6−7 = −1

⎧2 x − 3 y = 7 Jadi penyelesaian sistem persamaan linear ⎨ adalah (2,−1) . ⎩ 3x − y = 7 Berikut akan dibahas bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua peubah dengan metode eliminasi. Menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode eliminasi dilakukan dengan menggunakan langkah-langkah berikut ini. 1. Nilai x ditentukan dengan menghilangkan atau mengeliminasi variabel y. 2. Nilai y ditentukan dengan menghilangkan atau mengeliminasi variabel x. Langkah-langkah ini akan lebih jelas dengan contoh berikut. Contoh : Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua peubah berikut dengan metode eliminasi. ⎧ x + y = −8 ⎨ ⎩2 x − y = −1 Penyelesaian : Berdasarkan persamaan-persamaan yang terdapat dalam sistem di atas, kita akan menghilangkan atau mengeliminasi variabel y terlebih dahulu sehingga diperoleh nilai x sebagai berikut.


2 - 31

x + y = −8 2 x − y = −1 + 3 x = −9 x = −3 Untuk memperoleh nilai y kita akan mengeliminasi variabel x dengan cara sebagai berikut. x + y = −8 × 2 2 x − y = −1

×1

Sehingga diperoleh 2 x + 2 y = −16 2 x − y = −1 − 3 y = −15 y = −5 Jadi penyelesaian sistem persamaan linear tersebut adalah (-3,-5).

Latihan 2 Setelah Anda memahami penyelesaian sistem persamaan linear dua peubah dengan metode eliminasi, silahkan kerjakan soal-soal berikut kemudian cocokkan jawaban Anda dengan pembahasan yang ada. Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua peubah berikut dengan metode eliminasi. c. b. a. ⎧2 x + 3 y = 2 ⎨ ⎩4 x + 3 y = 6

⎧2 x + 4 y − 5 = 0 ⎨ ⎩ x − 2y − 6 = 0

⎧4 x + 5 y = 6 ⎨ ⎩3 x − 4 y = −11

Pedoman Jawaban Latihan 2 ⎧2 x + 3 y = 2 adalah sebagai berikut. a. Penyelesaian sistem persamaan linear ⎨ ⎩4 x + 3 y = 6 4x + 3y = 6 4x + 3 y = 6 ×1 2x + 3y = 2 2x + 3y = 2 × 2 − 2x = 4

x=2

2 - 32

Unit 2

4x + 3y = 6 4x + 6 y = 4 − − 3y = 2 2 y=− 3 ⎧2 x + 3 y = 2 2⎞ ⎛ Jadi penyelesaian sistem persamaan linear ⎨ adalah ⎜ 2,− ⎟ . 3⎠ ⎝ ⎩4 x + 3 y = 6 ⎧2 x + 4 y − 5 = 0 b. Penyelesaian sistem persamaan linear ⎨ adalah sebagai berikut. ⎩ x − 2y − 6 = 0 2x + 4 y − 5 = 0 ×1 2x + 4 y − 5 = 0 ×1

x − 2y − 6 = 0 × 2 2x + 4 y − 5 = 0 2 x − 4 y − 12 = 0 + 4 x = −17 17 1 x = − = −4 4 4

x − 2y − 6 = 0 × 2 2x + 4 y − 5 = 0 2 x − 4 y − 12 = 0 − 8y + 7 = 0 8 y = −7 7 y=− 8

⎧2 x + 4 y − 5 = 0 1 7⎞ ⎛ Jadi penyelesaian sistem persamaan linear ⎨ adalah ⎜ − 4 ,− ⎟ . 4 8⎠ ⎝ ⎩ x − 2y − 6 = 0 ⎧4 x + 5 y = 6 c. Penyelesaian sistem persamaan linear ⎨ adalah sebagai berikut. ⎩3 x − 4 y = −11 4x + 5 y = 6

×4 3 x − 4 y = −11 × 5

4x + 5 y = 6

×3 3 x − 4 y = −11 × 4

16 x + 20 y = 24 15 x − 20 y = −55 + 31x = −31

12 x + 15 y = 18 12 x − 16 y = −44 − 31 y = 62

x = −1

y=2

⎧4 x + 5 y = 6 Jadi penyelesaian sistem persamaan linear ⎨ adalah (− 1,2) . ⎩3 x − 4 y = −11 Dalam menyelesaikan suatu sistem persamaan linear biasanya kedua metode penyelesaian tersebut digunakan secara bersamaan. Berikut ini contoh penggunaan kedua metode dalam menyelesaikan sistem persamaan linear.


2 - 33

⎧ x − 3y = 2 Contoh : Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear ⎨ . ⎩− 2 x + 3 y = −4 Penyelesaian : Langkah pertama menggunakan metode eliminasi, yaitu: x − 3y = 2 − 2 x + 3 y = −4 + − x = −2 x=2 Nilai x = 2 disubstitusi ke ruas persamaan pertama diperoleh: x − 3y = 2 2 − 3y = 2 − 3y = 2 − 2 − 3y = 0 y=0 ⎧ x − 3y = 2 Jadi penyelesaian sistem persamaan linear ⎨ adalah (2,0 ) . ⎩− 2 x + 3 y = −4 Tidak semua sistem persamaan linear dua peubah mempunyai penyelesaian. Contoh berikut merupakan sistem persamaan yang dimaksud. ⎧2 x + 4 y = 5 Contoh : Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear ⎨ . ⎩ x + 2y = 6 Penyelesaian : 2x + 4 y = 5 2x + 4 y = 5 ×1 2 x + 4 y = 12 x + 2y = 6 × 2 − 0 = 12

Dari pengerjaan di atas diperoleh pernyataan yang salah artinya tidak ada nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan linear tersebut. Jadi sistem persamaan linear ⎧2 x + 4 y = 5 tidak mempunyai penyelesaian. ⎨ ⎩ x + 2y = 6

2 - 34

Unit 2

Rangkuman Persamaan yang mempunyai dua variabel dan pangkat tertinggi pada variabel tersebut sama dengan satu disebut persamaan linear dengan dua variabel/ peubah. Sistem persamaan linear merupakan sekumpulan persamaan linear yang mempunyai hubungan, misalnya sekumpulan persamaan tersebut merupakan kalimat matematika yang menyatakan suatu permasalahan matematis. Bentuk umum sistem persamaan linear dengan dua peubah adalah sebagai berikut. ⎧a1 x + b1 y = c1 ⎨ ⎩ a 2 x + b2 y = c 2

dengan a1 , a 2 , b1 , b2 , c1 , dan c 2 merupakan bilangan-bilangan real. Setiap persamaan dalam suatu sistem persamaan disebut ruas persamaan. Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel adalah bagaimana mencari nilai pengganti untuk variabel nilai x dan y sehingga diperoleh pernyataan yang benar. Manipulasi aljabar berikut ini tidak akan mengubah ada tidaknya penyelesaian sistem persamaan. 1. Penambahan atau pengurangan ruas-ruas persamaan ke ruas-ruas persamaan lain dalam sistemnya. 2. Perkalian setiap ruas dengan sebarang bilangan yang bukan nol. 3. Pengubahan urutan persamaan dalam sistemnya. Manipulasi aljabar tersebut digunakan dalam menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel. Ada dua metode penyelesaian sistem persamaan linear yaitu metode substitusi dan eliminasi. Terkadang kedua metode tersebut digunakan sekaligus dalam menyelesaikan sistem persamaan linear. Suatu sistem dikatakan tidak mempunyai penyelesaian jika tidak terdapat nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan linear tersebut.


2 - 35

Tes Formatif 3 Kerjakanlah tes formatif berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi sistem persamaan linear dengan cara memberi tanda silang (X) pada salah satu jawaban yang Anda anggap benar. ⎧3x + 6 y = 4 dengan 1. Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear ⎨ ⎩9 x − 2 y = 2 menggunakan metode substitusi.

2. Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear

⎧2 ⎪x + ⎪ ⎨ ⎪9 − ⎪⎩ x

6 =4 y 2 =2 y

dengan

menggunakan metode eliminasi. ⎧0,5 x − 0,6 y = −2 3. Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear ⎨ dengan ⎩1,5 x − 0,8 y = 7 menggunakan metode substitusi dan eliminasi sekaligus. ⎧ x + 3y ⎪⎪ 2 = 9 4. Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear ⎨ ⎪x + 2y = 5 ⎪⎩ 3 ⎧2 x + 5 y = 7 5. Jika diketahui sistem persamaan linear ⎨ , maka tentukan nilai ⎩3 x + 4 y = 14 4x + 7 y .

Umpan Balik Dan Tindak Lanjut Setelah mengerjakan tes formatif 3, bandingkan jawaban Anda dengan kunci jawaban yang terdapat pada akhir unit ini. Jika Anda dapat menjawab dengan benar minimal 80%, Anda dinyatakan berhasil dengan baik. Selamat, silahkan Anda mempelajari materi pada unit selanjutnya. Sebaliknya jika jawaban benar Anda kurang dari 80%, pelajari kembali uraian dalam sub unit ini, terutama bagian-bagian yang belum Anda kuasai dengan baik.

2 - 36

Unit 2

Kunci Tes Formatif Kunci Tes Formatif 1 1. D. Koefisien merupakan bilangan yang melekat pada variabel sehingga bilangan ini menyatakan banyaknya variabel. 2. B. 3. B. Perhatikan variabel x dimana variabel tersebut mempunyai pangkat sama dengan 1. 15 4. B. Kedua ruas persamaan − 2 = 3 dikalikan dengan x sehingga diperoleh x 15 − 2 x = 3 x 15 = 3 x + 2 x 15 = 5 x x=3 5. A. 6. B. 7. C. Persamaan x(x − 1) = 12 ekuivalen dengan persamaan x 2 − x − 12 = 0 sehingga dengan memfaktorkan persamaan tersebut diperoleh

(x + 3)(x − 4) = 0

x + 3 = 0 atau x − 4 = 0 x = −3 atau x = 4

8. B. Jika x = 2 dimasukkan ke persamaan x( x − 4) = −4 akan diperoleh pernyataan yang benar. 1 2 1 9. D. Persamaan x + x−3= 0 2 2

ekuivalen

dengan

persamaan

x 2 + x − 6 = 0 sehingga dengan memfaktorkan diperoleh

(x + 3)(x − 2) = 0

x + 3 = 0 atau x − 2 = 0 x = −3 atau x = 2 10. D. Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat x 2 − 4 x + 2 = 0 digunakan rumus sebagai berikut. Dari persamaan diperoleh a = 1 , b = −4 , dan c = 2 sehingga diperoleh


2 - 37

x=

− b ± b 2 − 4ac 2a

− (−4) ± (−4) 2 − 4.1.2 2 4 ± 16 − 8 = 2 1 = 2± 8 2 = 2± 2

=

Jadi penyelesaian persamaan kuadrat tersebut adalah x = 2 + 2 atau x = 2− 2.

Kunci Tes Formatif 2 11. C. 2x − 3 > 5 x mempunyai variabel dengan pangkat 2 tertinggi sama dengan 1.

12. A. Pertidaksamaan

13. D. 14. B. Kedua ruas pertidaksamaan

7x − 6 ≤ 5 dikalikan dengan x sehingga x

diperoleh 7 x − 6 ≤ 5x 7 x − 5x ≤ 6 2x ≤ 6 x≤3 15. C. Ambil bilangan -10 kemudian masukkan ke dalam pertidaksamaan yang terdapat pada pilihan. x − 8 ? 4 x + 16 − 10 − 8 ? 4(−10) + 16 − 18 ? − 24 Agar pernyataan yang diperoleh benar maka tanda yang harus diberikan adalah “>” atau “ ≥ ”. Dengan melihat lingkaran pada bilangan -8 yaitu diarsir penuh maka tanda yang memenuhi adalah “ ≥ ”. Jadi pertidaksamaan dengan penyelesaian tersebut adalah x − 8 ≥ 4 x + 16 .

2 - 38

Unit 2

16. B. Kedua ruas pertidaksamaan

7x + 1 < 3 x − 1 dikalikan dengan bilangan 2 2

diperoleh 7x + 1 < 6x − 2 7 x − 6 x < −2 − 1 x < −3 2 17. B. Penyelesaian pertidaksamaan 3 x + 5 x > 2 adalah:

3x 2 + 5 x > 2 3x 2 + 5 x − 2 > 0

(3x − 1)(x + 2) > 0

Andaikan pertidaksamaan menjadi persamaan sehingga diperoleh

(3x − 1)(x + 2) = 0

3 x − 1 = 0 atau x + 2 = 0 3 x = 1 atau x = −2 1 atau x = −2 3 Selanjutnya selidiki daerah pada garis bilangan yang merupakan x=

penyelesaian dari pertidaksamaan 3 x + 5 x > 2 sebagai berikut. Ambil nilai x = −3 , x = 0 dan x = 1 . Substitusikan nilai-nilai tersebut ke pertidaksamaan sehingga diperoleh 2

3x 2 + 5 x > 2

3x 2 + 5 x > 2

3x 2 + 5 x > 2

3(−3) 2 + 5(−3) > 2

3.0 2 + 5.0 > 2 0>2

3.12 + 5.1 > 2 3+5>2

27 − 15 > 2 12 > 2

8>2

Pernyataan benar

Pernyataan salah Pernyataan benar Dengan melihat hasil substitusi di atas maka himpunan penyelesaian pertidaksamaan

3x 2 + 5x > 2

adalah

himpunan

1⎫ ⎧ ⎨ x; x < −2 atau x > ⎬ . 3⎭ ⎩ 18. A. Pilihan C dan D tidak mungkin karena ruas kanan pertidaksamaan tersebut bukan nol sehingga bilangan 4 dan 7 bukan merupakan penyelesaian. Selanjutnya kita ambil bilangan nol, kemudian kita masukkan ke dalam pertidaksamaan A dan B sebagai berikut. A. B.


2 - 39

(x − 5)(x − 6) ≥ 2

(x − 5)(x − 6) < 2

(0 − 5)(0 − 6) ≥ 2

(0 − 5)(0 − 6) < 2

(−5)(−6) ≥ 2

(−5)(−6) < 2

30 ≥ 2 30 < 2 Pernyataan benar Pernyataan salah Jadi pertidaksamaan A yang mempunyai penyelesaian seperti yang ditunjukkan oleh garis bilangan.

19. D. Pertidaksamaan x 2 − 10 x > 4 x − 49 ekuivalen dengan x 2 − 14 x + 49 > 0 . Dengan menganggap pertidaksamaan tersebut sebagai persamaan, maka diperoleh x 2 − 14 x + 49 = 0 . Dengan memfaktorkan persamaan tersebut diperoleh

(x − 7 )(x − 7 ) = 0

x−7 = 0 x=7 Selanjutnya kita lakukan pengujian dengan mengambil sebarang bilangan sebelum dan sesudah bilangan 7, sebagai berikut. Diambil x = 0 sehingga Diambil x = 8 sehingga x 2 − 10 x > 4 x − 49 0 > −49 Pernyataan benar

x 2 − 10 x > 4 x − 49 (8) 2 − 10(8) > 4(8) − 49 64 − 80 > 32 − 49 − 16 > −17 Pernyataan benar

Jadi bilangan yang memenuhi pertidaksamaan x 2 − 10 x > 4 x − 49 adalah semua bilangan real kecuali 7. Mengapa 7 tidak termasuk ke dalam penyelesaian? Hal ini disebabkan tanda pertidaksamaan tidak menggunakan tanda sama dengan. 20. A. Dengan menganggap pertidaksamaan x 2 + 6 x − 2 ≤ 0 sebagai persamaan x 2 + 6 x − 2 = 0 diperoleh nilai x yang memenuhi persamaan dengan menggunakan rumus sebagai berikut. Dari persamaan tersebut diperoleh a = 1 , b = 6 , dan c = −2 sehingga

2 - 40

Unit 2

x=

− b ± b 2 − 4ac 2a

− 6 ± 62 − 4.1.(−2) 2 − 6 ± 36 + 8 = 2 1 = −3 ± 44 2 = −3 ± 11 Dengan mengambil sebarang bilangan yang terletak di antara bilangan =

− 3 + 11 dan − 3 − 11 , misalnya x = 2 yang disubstitusikan ke

pertidaksamaan x 2 + 6 x − 2 ≤ 0 diperoleh 14 ≤ 0 yang merupakan pernyataan salah. Jadi himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut

{

}

adalah x ; − 3 − 11 ≤ x ≤ −3 + 11 .

Kunci Tes Formatif 3 21. Dari persamaan 3x + 6 y = 4 , variabel x dinyatakan dalam y sehingga diperoleh 3 x = 4 − 6 y . Persamaan tersebut disubstitusikan ke persamaan

9 x − 2 y = 2 sehingga diperoleh 9x − 2 y = 2 3(3x) − 2 y = 2 3(4 − 6 y ) − 2 y = 2 12 − 18 y − 2 y = 2 − 20 y = 2 − 12 − 20 y = −10 − 10 1 = y= − 20 2 Selanjutnya y =

1 disubstitusikan ke persamaan 3 x = 4 − 6 y sehingga 2

diperoleh


2 - 41

3x = 4 − 6 y ⎛1⎞ 3 x = 4 − 6⎜ ⎟ ⎝2⎠ 3x = 4 − 3 1 x= 3 ⎧3x + 6 y = 4 ⎛1 1⎞ Jadi penyelesaian sistem persamaan linear ⎨ adalah ⎜ , ⎟ . ⎝3 2⎠ ⎩9 x − 2 y = 2 ⎧2 ⎪x + ⎪ 22. Penyelesaian sistem persamaan linear ⎨ ⎪9 − ⎪⎩ x

6 =4 y dengan menggunakan 2 =2 y

metode eliminasi adalah sebagai berikut. Pertama kita akan mengeliminasi variabel y agar diperoleh nilai x sebagai berikut. 2 6 2 6 + = 4 x1 + =4 x9 x y x y 9 2 9 2 − =2 x3 − =2 x2 x y x y Diperoleh

Diperoleh 2 6 + =4 x y 27 6 − =6 x y + 29 = 10 x 29 = 10 x 29 x= = 2,9 10

18 54 + = 36 x y 18 4 − =4 x y − 58 = 32 y 32 y = 58 58 y= 32 ⎧2 6 ⎪x + y = 4 ⎪ ⎛ 29 58 ⎞ adalah ⎜ , ⎟ . Jadi penyelesaian sistem persamaan linear ⎨ ⎝ 10 32 ⎠ ⎪9 − 2 = 2 ⎪⎩ x y 23. Penyelesaian

sistem

persamaan

linear

⎧0,5 x − 0,6 y = −2 ⎨ ⎩1,5 x − 0,8 y = 7

dengan

menggunakan metode substitusi dan eliminasi sekaligus, sebagai berikut. 2 - 42

Unit 2

Agar lebih mudah melakukan penghitungan, sistem persamaan linear di atas dikalikan dengan bilangan 10 sehingga diperoleh ⎧5 x − 6 y = −20 ⎨ ⎩15 x − 8 y = 70 Dengan metode eliminasi diperoleh 20 x − 24 y = −80 45 x − 24 y = 210 − 25 x = 290 290 3 x= = 11 25 5 3 disubstitusikan ke salah satu persamaan, 5 misalkan kita substitusikan ke persamaan 5 x − 6 y = −20 sehingga

Selanjutnya nilai x = 11

diperoleh

5 x − 6 y = −20 ⎛ 58 ⎞ 5⎜ ⎟ − 6 y = −20 ⎝ 5⎠ 58 − 6 y = −20 − 6 y = −20 − 58 − 6 y = −78 − 78 y= = 13 −6 ⎧0,5 x − 0,6 y = −2 Jadi penyelesaian sistem persamaan linear ⎨ adalah ⎩1,5 x − 0,8 y = 7 ⎛ 3 ⎞ ⎜11 ,13 ⎟ . ⎝ 5 ⎠ 24. Penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan metode eliminasi kemudian substitusi adalah sebagai berikut. Nilai y = 3 disubstitusi ke ruas x + 3y =9 ×1 persamaan kedua, yaitu: 2 3 1 x + 2y =5 × 2 3 Diperoleh


2 - 43

x + 3y =3 6 x + 2y 5 = 6 2 − 3y 2 y 5 − = 3− 6 6 2 y 6−5 = 6 2 6 y= =3 2

x + 2y =5 3 x + 2(3) =5 3 x + 6 = 15 x = 15 − 6 x=9

Jadi penyelesaian sistem persamaan linear tersebut adalah (9,3) . ⎧2 x + 5 y = 7 25. Penyelesaian sistem persamaan linear ⎨ ⎩3 x + 4 y = 14 berikut. 2x + 5 y = 7 × 4

adalah sebagai

3 x + 4 y = 14 × 5 Sehingga diperoleh 8 x + 20 y = 28 15 x + 20 y = 70 − − 7 x = −42 x=6

2x + 5 y = 7 2( 6) + 5 y = 7 12 + 5 y = 7 5 y = 7 − 12 5 y = −5 y = −1

Jadi penyelesaian sistem persamaan di atas adalah (6,−1) , maka 4 x + 7 y = 4(6) + 7(−1) = 24 − 7 = 17

2 - 44

Unit 2

Daftar Pustaka Roberts, D.M, et.all. 2005. Mathematics A. [Online]. http://regentsprep.org/Regents/math/math-a.cfm#a4 [20 Mei 2006]

Tersedia

________.2004. Aljabar. [Online}. Tersedia http://www.p3gmatyo.go.id/download/SMP/ALJABAR.pdf [20 Januari 2007]

di:

di:

________.2005. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Peubah dengan Metode Grafik dan Substitusi. [Online]. Tersedia di: http://www.pustekkom.go.id/bahanajar/mat/pdf/mat16/01.pdf [14 Maret 2007] ________. 2005. Year 9 Interactive Maths-Second Edition. [Online]. Tersedia di: http://www.mathsteacher.com.au/ [17 Oktober 2005]


2 - 45

Glosarium Eliminasi

Kesamaan Konstanta Koefisien Persamaan Penyelesaian persamaan

Persamaan linear Persamaan kuadrat Pertidaksamaan Pertidaksamaan linear Pertidaksamaan kuadrat Sistem persamaan linear Substitusi

Suku aljabar Variabel

2 - 46

Unit 2

: salah satu metode penyelesaian sistem persamaan dengan cara menghilangkan salah satu variabel dalam persamaan-persamaan : pernyataan atau kalimat tertutup yang menyatakan hubungan sama dengan : suku aljabar yang tidak memuat variabel : bilangan yang menyatakan banyaknya variabel : kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan : suatu bilangan tertentu yang jika menggatikan variabel dalam suatu persamaan maka diperoleh pernyataan yang benar : persamaan yang pangkat tertinggi pada variabelnya adalah 1 : persamaan yang pangkat tertinggi pada variabelnya adalah 2 : kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan tidak sama dengan : pertidaksamaan yang pangkat tertinggi pada variabelnya adalah 1 : pertidaksamaan yang pangkat tertinggi pada variabelnya adalah 2 : sekumpulan persamaan linear yang terkait satu sama lain : salah satu metode dalam menyelesaikan sistem persamaan dengan cara memasukkan salah satu variabel dalam salah satu persamaan yang dinyatakan dalam variabel lain ke persamaan yang lain : hasil kali variabel dengan bilangan atau variabel dengan variabel : sebuah lambang yang menyatakan atau mewakili sebarang bilangan real

Unit 2 KONSEP DASAR ALJABAR. Clara Ika Sari Pendahuluan

Recommend Documents