Bab IV
Ukuran Dispersi Multivariat
Pada bab ini, pertama-tama akan dikemukakan definisi tentang vektor variansi variabel-variabel standar (VVVS) sebagai ukuran dispersi multivariat tatkala seluruh variabel yang terlibat adalah variabel standar. Selanjutnya akan diturunkan distribusi asimtotik dari VVVS sampel.
IV.1 Vektor Variansi Variabel-Variabel Standar
Misalkan X adalah vektor acak yang merupakan superposisi dari X ( 1 ) dan X ( 2 ) ,
(
)
t
di mana masing-masing berdimensi p dan q, X = X (1) X ( 2 ) . Misalkan pula,
(
)
(
µ ( i ) = E X ( i ) ; i = 1, 2 dan Σ ij = E ⎡⎢ X ( i ) − µ ( i ) ⎣
)( X
( j)
)
t − µ ( j ) ⎤⎥ ; ⎦
i, j = 1, 2. Oleh
karena itu, matriks kovariansi dari X , sebut saja Σ , dapat dituliskan dalam Σ
Σ
bentuk partisi Σ = ⎛⎜ 11 12 ⎞⎟ . Djauhari (2007) mengemukakan bahwa Cleroux ⎝ Σ 21 Σ 22 ⎠ (1987) menggunakan Tr ( Σ 12 Σ 21 ) untuk mengukur hubungan linear antara dua vektor acak X ( 1 ) dan X ( 2 ) . Parameter ini disebut vektor kovariansi yang merupakan jumlah semua elemen diagonal dari Σ 12 Σ 21 . Dengan demikian, seperti dikemukakan Djauhari (2007), Tr ( Σ 112 ) dan Tr ( Σ 222 ) secara berturut-turut disebut variansi vektor (VV) dari X (1) dan dari X ( 2 ) . Jika p = q = 1, kovariansi vektor adalah kuadrat dari kovariansi sedangkan variansi vektor adalah kuadrat dari variansi klasikal.
Djauhari (2007) menurunkan secara rinci bahwa VV merupakan ukuran dispersi multivariat di samping Generalized Variance (GV) atau determinan matriks kovariansi seperti dikemukakan Anderson (1963), Serfling (1980), Muirhead (1982) dan Djauhari (2007). GV adalah ukuran dispersi multivariat yang sudah terlebih dahulu populer dan banyak digunakan. Aplikasinya dalam Multivariate
Statistical Process Control (MSPC) dapat dijumpai, misalnya, dalam Alt dan Smith (1988), Wierda (1994), Woodall dan Montgomery (1999), Montgomery
26
(2001, 2005) dan Djauhari (2005a). Sedangkan aplikasinya dalam penaksiran
robust bagi parameter lokasi dan dispersi dapat dilihat dalam bentuk algoritma FMCD (Fast Minimum Covariance Determinant) yang sangat populer dan dikemukakan dalam Rousseeuw (1985), Rousseeuw dan Leroy (1987), Rousseeuw dan Hubert (1999), Rousseeuw dan van Driessen (1999), Hubert dkk. (2005) dan Herwindiati dkk. (2007). Sebagai ukuran dispersi multivariat, VV telah berhasil diaplikasikan dalam mereduksi tingkat kompleksitas komputasi FMCD seperti dikemukakan dalam Herwindiati dkk. (2007). Dengan mengacu kepada hasil penelitian Djauhari (2007) dan Herwindiati dkk. (2007), maka penelitian ini menggunakan VV sebagai ukuran dispersi multivariat.
Sekarang, misalkan X adalah vektor acak berdimensi p dengan matriks kovariansi Σ yang bersifat definit positif. Dengan menggunakan operator vec, VV dari X
dapat dituliskan sebagai vec ( Σ ) . Untuk selanjutnya, dalam penelitian ini, 2
penulis memfokuskan diri kepada masalah di mana seluruh variabel yang terlibat merupakan variabel standar. Misalkan Z adalah vektor acak berdimensi p di mana komponen ke-k nya merupakan komponen ke-k dari vektor acak X yang telah distandarkan; k = 1, 2, … , p. Oleh karena itu, matriks kovariansi dari Z adalah matriks korelasi dari X . Matriks korelasi ini kita tulis P . Sejalan dengan definisi VV di atas, selanjutnya parameter vec ( P )
2
kita sebut vektor variansi variabel-
variabel standar (VVVS).
IV.2 Distribusi Asimtotik VVVS Sampel
Misalkan Z1 ,Z 2 , … ,Z n sampel acak berukuran n dari Z dengan matriks kovariansi P . Jika R adalah matriks korelasi sampel, maka vec ( R ) atau Tr ( R 2 ) 2
kita sebut VVVS sampel. Untuk menyelidiki distribusi asimtotik dari VVVS sampel, penulis menggunakan Teorema III.1 yang telah dibahas pada Bab III. Untuk itu, misalkan
{X n}
adalah suatu barisan vektor acak yang saling bebas.
Misalkan pula u ( X ) adalah suatu fungsi bernilai real di mana u ′ ada dan
27
( )
u ′ X 0 ≠ 0 untuk setiap X 0 di lingkungan dari c . Djauhari (2005b) menunjukkan
bahwa variabel acak Yn = u ( X n ) dapat ditulis dalam bentuk uraian Taylor berikut, ⎛ ∂u ( c ) ⎞ Yn = u ( c ) + ⎜ ⎟ X n − c + Rξ ⎝ ∂X n ⎠ t
di mana Rξ = a ( i, j ) =
(
1 Xn − c 2
)
t
(
(
)
)
Aξ X n − c , elemen (i,j) dari matriks simeteris Aξ adalah
( ) ;i, j = 1,2,
∂ 2u ξ
∂X i ∂X j
, p dan X i adalah elemen ke-i dari X n dan ξ di
lingkungan dari c dengan ξ − c < X n − c . Selanjutnya, berdasarkan uraian Taylor tersebut, Djauhari (2005b) menurunkan distribusi dari
( )
Yn = u X n
yang
dirumuskan dalam teorema berikut.
Teorema IV.1
Jika barisan
p →c , { X n } ⎯⎯
d → N p ( c ,Σ ) { X n } ⎯⎯
c adalah
suatu vektor konstan di
Rp
dan
d maka variabel acak Yn ⎯⎯ → N ( µY ,σ Y2 ) di mana µY → u ( c ) dan
⎛ ∂u ( c ) ⎞ ⎛ ∂u ( c ) ⎞ ⎟ Σ⎜ ⎟ ⎝ ∂X n ⎠ ⎝ ∂X n ⎠ t
σ Y2 → ⎜
.
Bukti.
p → c dan bentuk kuadrat Rξ lebih cepat menuju 0 dari pada bentuk Karena X n ⎯⎯
⎛ ∂u ( c ) ⎞ ⎜ ⎟ Xn − c ⎝ ∂X n ⎠ t
linear
(
),
maka
( )
Yn = u X n
⎛ ∂u ( c ) ⎞ vn = u ( c ) + ⎜ ⎟ Xn − c ⎝ ∂X n ⎠ t
dan
(
)
konvergen dalam distribusi ke distribusi yang sama. Selanjutnya, karena d X n ⎯⎯ → N p ( c ,Σ ) ,
d menurut Serfling (1980, hal. 24), vn = u ( X n ) ⎯⎯ → N ( µυ ,σ υ2 ) di
⎛ ∂u ( c ) ⎞ ⎛ ∂u ( c ) ⎞ ⎟ Σ⎜ ⎟ , sebab ⎝ ∂X n ⎠ ⎝ ∂X n ⎠
mana µυ → E ( u ( c ) ) dan συ2 → ⎜ a. µυ
t
= E ( vn )
28
=
t ⎛ ⎛ ∂u ( c ) ⎞ ⎜ E u (c ) + ⎜ ⎟ Xn − c ⎜ ⎝ ∂X n ⎠ ⎝
(
⎞
) ⎟⎟ ⎠
⎛ ⎛ ∂u ( c ) ⎞t ⎟ Xn − c ⎜ ⎝ ∂X n ⎠ ⎝
(
= E (u ( c )) + E ⎜ ⎜
⎞
) ⎟⎟ ⎠
⎛ ⎛ ∂u ( c ) ⎞t ⎟ Xn − c ⎜ ⎝ ∂X n ⎠ ⎝
(
p → c yang berarti E ⎜ ⎜ Karena X n ⎯⎯
⎞
) ⎟⎟ → 0 , ⎠
maka µυ → E ( u ( c ) ) =
u (c ) .
⎛
⎛ ∂u ( c ) ⎞ ⎟ Xn − c ⎝ ∂X n ⎠ t
b. συ2 = Var ( vn ) = Var ⎜ u ( c ) + ⎜ ⎜ ⎝
=
⎡⎛ t ⎛ ∂u ( c ) ⎞ E ⎢⎢⎜ ⎜ ⎟ Xn − c ⎜ ⎝ ∂X n ⎠ ⎢⎝ ⎣
(
)
(
=
(
{ (
⎠
(
)
)
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
t⎤
⎥ ⎥ ⎥⎦
–
⎤ ⎫ ⎧ ⎡⎛ ∂u ( c ) ⎞t ⎥ ⎪⎬ ⎪⎨ E ⎢⎜ ⎟ Xn − c ⎥ ⎪ ⎪ ⎢⎝ ∂X n ⎠ ⎦⎭ ⎩ ⎣
(
⎛ ∂u ( c ) ⎞ ⎤ ⎟⎥ ⎝ ∂X n ⎠ ⎥⎦
)( X n − c ) ⎜
⎛ ∂u ( c ) ⎞ ⎜ ⎟ E Xn − c ⎝ ∂X n ⎠ t
⎞
) ⎟⎟
⎞ ⎛ ⎛ ∂u ( c ) ⎞t ⎟⎜⎜ ⎟ Xn − c ⎟ ⎜ ⎝ ∂X n ⎠ ⎠⎝
t ⎧ ⎡ ⎪ ⎢⎛ ∂u ( c ) ⎞ ⎟ Xn − c ⎨E ⎜ ⎢ ∂X n ⎠ ⎩⎪ ⎣⎝
⎡⎛ ∂u ( c ) ⎞t E ⎢⎜ ⎟ Xn − c ⎢⎝ ∂X n ⎠ ⎣
(
t
t
)
⎤⎫ ⎥ ⎪⎬ ⎥⎪ ⎦⎭
–
⎛ ∂u ( c ) ⎞ ⎟ ⎝ ∂X n ⎠
)}{E ( X n − c )} ⎜ t
p p → c , yang berarti E ( X n − c )( X n − c ) ⎯⎯ → Σ , maka Karena X n ⎯⎯ t
⎛ ∂u ( c ) ⎞ συ → ⎜ ⎟ E Xn − c ⎝ ∂X n ⎠ t
2
(
)(
⎛ ∂u ( c ) ⎞ Xn − c ⎜ ⎟ ⎝ ∂X n ⎠
)
t
⎛ ∂u ( c ) ⎞ ⎛ ∂u ( c ) ⎞ συ → ⎜ ⎟ Σ⎜ ⎟ . ⎝ ∂X n ⎠ ⎝ ∂X n ⎠ t
atau
2
Secara umum, Teorema III.1.1 dan IV.2.1 di atas memungkinkan untuk melakukan kajian tentang distribusi asimtotik dari setiap fungsi bernilai real dari matriks korelasi sampel R. Sebagai akibat dari kedua teorema itu, penulis sajikan proposisi berikut.
29
Proposisi IV.2 Jika u ( R ) adalah suatu fungsi bernilai real di R , u ′ ada, dan u ′ ( R* ) ≠ 0 untuk semua R* dalam lingkungan P, maka
(
d u ( R ) ⎯⎯ → N µ ,σ 2
dengan µ → u ( P ) ,
{
)
⎛ ∂u ( P ) ⎞ 2 ⎛ ∂u ( P ) ⎞ 1 σ → ⎜ ⎟ M pΦ M p ⎜ ⎟ , M p = I p 2 + K pp n − 1 ⎝ ∂Rn ⎠ 2 ⎝ ∂Rn ⎠ t
(
2
}
{
) di mana
}
Φ = I p2 − ( I p ⊗ P ) Λp ( P ⊗ P ) I p2 − Λp ( I p ⊗ P ) dan Λ p diberikan pada Teorema III.1.
Proposisi IV.2 dapat digunakan untuk
menyelidiki distribusi asimtotik dari
VVVS sampel. Untuk itu digunakan operator vec yang akan dapat menyederhanakan penulisan. Jika A matriks sembarang berukuran p x p, maka yang dimaksud dengan vec ( A) adalah vektor berdimensi p2 yang diperoleh dengan menyusun vektor-vektor kolom dari A yang satu di bawah yang lain. Jadi, vec ( R ) adalah representasi matriks korelasi R dalam bentuk vektor kolom berdimensi p2 yang diperoleh dari R dengan menyusun vektor-vektor kolomnya, yang satu di bawah yang lain. Dengan demikian, VVVS sampel tidak lain adalah vec ( R )
( )
atau
yang merupakan jumlah kuadrat semua elemen dari R yakni Tr ( R 2 ) =
Tr R 2 p
2
p
∑∑ r
2 ij
, dengan rij adalah elemen ke-(i,j) dari R. Apabila pada Proposisi IV.2
i =1 j =1
kita definisikan u ( vec ( R ) ) = vec ( R ) , maka pada proposisi berikut disajikan 2
distribusi dari VVVS sampel.
Proposisi IV.3 Jika pada Proposisi IV.2 didefinisikan u ( vec ( R ) ) = vec ( R ) , maka 2
vec ( R )
2
⎞ d 2 ⎯⎯ → N ⎛⎜ µ 2 ,σ 2 vec ( R ) ⎟ ⎝ vec( R ) ⎠
dengan
30
a. µ vec R 2 → vec ( P ) ( ) b. σ 2vec( R ) 2 →
2
dan
t 8 ( vec ( P ) ) M pΦ M p ( vec ( P ) ) n −1
......................................... (IV.1)
Bukti Perhatikan bahwa u ( vec ( R ) ) = vec ( R )
2
memenuhi sifat u ′ ada dan u ′ ( R* ) ≠ 0
p → ρij untuk setiap i,j = 1, 2, ... untuk semua R* dalam lingkungan P . Karena rij ⎯⎯
⎛ d , p, sila lihat juga El Maache (1997), dan vec ( R ) ⎯⎯ → N p 2 ⎜ vec ( P ) , ⎝
2 ⎞ M pΦ M p ⎟ , n −1 ⎠
maka u ( vec ( R ) ) = vec ( R )
2
d ⎞ 2 ⎯⎯ → N ⎜⎛ µ 2 ,σ 2 ⎟ vec R vec R ( ) ( ) ⎝ ⎠
di mana a. µ vec( R ) 2 = E ( u ( vec ( R ) ) ) → E ( u ( vec ( P ) ) ) = vec ( P ) dan 2
⎛ ∂u ( vec ( P ) ) ⎞ 2 ⎛ ∂u ( vec ( P ) ) ⎞ ⎜ ⎟ M pΦ M p ⎜ ⎟. ⎜ ∂vec ( R ) ⎟ n − 1 ⎜⎝ ∂vec ( R ) ⎟⎠ ⎝ ⎠ t
b. σ 2vec( R ) 2 →
Selanjutnya karena
∂u ( vec ( P ) ) ∂vec ( R )
adalah vektor berdimensi p2 di mana elemen-
elemennya adalah
⎛ ∂⎜ ⎜ ⎝
⎞ rij2 ⎟ ⎟ i=1 j =1 ⎠ ∂ rij p
p
∑∑
untuk setiap i,j = 1, 2, ....., p, rij = ρ ij
31
⎛ ∂u ( vec ( P ) ) ⎞ ⎛ ∂u ( vec ( P ) ) ⎞ ⎟ M pΦ M p ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ∂vec ( R ) ⎟ ⎝ ∂vec ( R ) ⎠ ⎝ ⎠ t
= 4 ( vec ( P ) ) M pΦ M p ( vec ( P ) ) . Jadi, t
maka ⎜ ⎜
dengan demikian, σ2
vec ( R )
2
→
8 t vec ( P ) ) M pΦ M p ( vec ( P ) ) . ( n −1
Parameter mean dan variansi pada proposisi di atas dapat juga diturunkan secara langsung berdasarkan uraian Taylor fungsi vektor bernilai real seperti dikemukakan dalam Marsden dan Tromba (1999). Uraian Taylor untuk u ( vec ( R ) ) = vec ( R )
2
di sekitar vec ( P ) sampai suku kedua adalah ⎛ ∂u ( vec ( R ) ) ⎞ ⎟ ( vec ( R ) − vec ( P ) ) . +⎜ ⎜ ∂vec ( R ) ⎟ R=P ⎠ ⎝ t
u ( vec ( R ) ) = u ( vec ( P ) )
Oleh karena itu, a. Mean dari u ( vec ( R ) ) adalah
(
E u ( vec ( R ) )
⎛ ⎛ ∂ vec R ⎜ ( n) 2 ≈ E ⎜ vec ( P ) + ⎜ ⎜ ∂vec ( R ) ⎜ ⎜ ⎝ ⎝
)
(
≈ E vec ( P )
2
)
(
t ⎞ ⎞ ⎟ vec R − vec P ⎟ ( ) ( )) ⎟ ⎟ ( ⎟ ⎟ R=P ⎠ ⎠
⎛⎛ 2 ⎜ ⎜ ∂ vec ( R ) + E⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝ ∂vec ( R ) ⎝
⎛⎛ 2 ⎜ ⎜ ∂ vec ( R ) E⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝ ∂vec ( R ) ⎝
Karena
2
p maka E ( u ( vec ( R ) ) ) ⎯⎯ → E vec ( P )
t ⎞ ⎞ ⎟ vec ( R ) − vec ( P ) ⎟ )⎟ ⎟⎟ ( ⎟ R=P ⎠ ⎠
t ⎞ ⎞ ⎟ vec ( R ) − vec ( P ) ⎟ )⎟ ⎟⎟ ( ⎟ R=P ⎠ ⎠
2
)
=
= vec ( P ) . 2
b. Variansinya adalah
(
var u ( vec ( R ) )
)
≈
⎛ 2 ⎛ ⎜ 2 ⎜ ∂ vec ( R ) var ⎜ vec ( P ) + ⎜⎜ ∂vec ( R ) ⎜ ⎝ ⎝
⎛⎛ 2 ⎜ ⎜ ∂ vec ( R ) = var ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝ ∂vec ( R ) ⎝
t ⎞ ⎞ ⎟ vec ( R ) − vec ( P ) ⎟ )⎟ ⎟⎟ ( ⎟ R=P ⎠ ⎠
t ⎞ ⎞ ⎟ vec ( R ) − vec ( P ) ⎟ , karena vec ( P ) )⎟ ⎟⎟ ( ⎟ R=P ⎠ ⎠
32
2
konstanta
0,
⎛⎛ 2 ⎜ ⎜ ∂ vec ( R ) E⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝ ∂vec ( R ) ⎝
=
–
⎛ ⎛ 2 ⎜ ⎜ ⎜⎛ ∂ vec ( R ) ⎜ E ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ∂vec ( R ) ⎝ ⎝⎝
t ⎞⎛⎛ 2 ⎞ ⎟ vec ( R ) − vec ( P ) ⎟ ⎜ ⎜ ∂ vec ( R ) ) ⎟ ⎜ ⎜ ∂vec R ⎟⎟ ( ( ) ⎟ ⎜ ⎜⎝ R=P ⎠ ⎠⎝
t ⎞⎞⎛ ⎛⎛ 2 ⎞ ⎟ ⎟ vec ( R ) − vec ( P ) ⎟ ⎜ E ⎜ ⎜ ∂ vec ( R ) ) ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ∂vec R ⎟⎟ ( ( ) ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎜⎝ R=P ⎠ ⎠⎠⎝ ⎝
t ⎞ ⎞ ⎟ vec ( R ) − vec ( P ) ⎟ )⎟ ⎟⎟ ( ⎟ R=P ⎠ ⎠
t ⎞⎞ ⎞ ⎟ ⎟ vec ( R ) − vec ( P ) ⎟ )⎟⎟ ⎟⎟ ( ⎟ ⎟⎟ R=P ⎠ ⎠⎠
t
t
Suku kedua pada ruas kanan sama dengan 0 sebab E ( u ( vec ( R ) ) ) = vec ( P ) . 2
Akibatnya,
(
var u ( vec ( R ) )
)
⎛ ∂ vec R 2 ( ) p ⎯⎯ →⎜ ⎜⎜ ∂vec ( R ) ⎝
atau var ( u ( vec ( R ) ) )
⎛ ∂ vec R 2 ( ) p ⎯⎯ →⎜ ⎜⎜ ∂vec ( R ) ⎝
(
var u ( vec ( R ) )
atau
t
⎞ ⎟ E vec ( R ) − vec ( P ) vec ( R ) − vec ( P ) t ( )( ) ⎟⎟ R=P ⎠
)
(
t
2 ⎞ ⎛ ⎟ Γ ⎜ ∂ vec ( R ) ⎟⎟ n − 1 ⎜⎜ ∂vec ( R ) R=P ⎠ ⎝
⎛ ∂ vec R 2 ( ) ⎯⎯ →⎜ ⎜⎜ ∂vec ( R ) ⎝ p
)
⎛ ∂ vec R 2 ( ) ⎜ ⎜⎜ ∂vec ( R ) ⎝
⎞ ⎟ ⎟⎟ R=P ⎠
t
2 ⎞ ⎛ ⎟ 2 M Φ M ⎜ ∂ vec ( R ) p⎜ ⎟⎟ n − 1 p ⎜ ∂vec ( R ) R=P ⎠ ⎝
⎞ ⎟ ⎟⎟ sebab R=P ⎠
berdasarkan Teorema III.1, Γ = 2M pΦ M p . Dengan demikian,
(
var u ( vec ( R ) )
Akan tetapi
)
2 ⎛ 2 ⎜ ∂ vec ( R ) p ⎯⎯ → n − 1 ⎜⎜ ∂vec ( R ) ⎝
∂u ( vec ( P ) )
t
2 ⎞ ⎛ ⎟ M Φ M ⎜ ∂ vec ( R ) p p⎜ ⎟⎟ ⎜ ∂vec ( R ) R=P ⎠ ⎝
adalah vektor berdimensi p2 dimana elemen-elemennya
∂vec ( R )
adalah ⎛ ∂⎜ ⎜ ⎝
p
⎞ ⎟. ⎟⎟ R=P ⎠
p
∑∑r
2 ij
i=1 j =1
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
untuk setiap i,j = 1, 2, ....., p.
∂ rij rij = ρ ij
dan
33
⎞ ⎟ ⎟⎟ R=P ⎠
⎛ ∂⎜ ⎜ ⎝
⎞ rij2 ⎟ ⎟ i =1 j =1 ⎠ ∂ rij p
p
∑∑
( )
∂ rij2
=
∂ rij
=
( )
2 rij ∂ rij ∂ rij
rij = ρ ij
= 2 ρ ij . rij = ρ ij
rij = ρ ij
Oleh karena itu,
∂u ( vec ( P ) ) ∂vec ( R )
⎛ ρ (1,1) ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ρ (1,2 ) ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ (1,p ) ⎟ ⎜ρ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ = 2vec ( P ) = 2⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ( p,1) ⎟ ⎜ρ ⎟ ⎜ ( p,2 ) ⎟ ρ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ρ ( p,p ) ⎟ ⎝ ⎠
⎛ ∂u ( vec ( P ) ) ⎞ t 2 ⎛ ∂u ( vec ( P ) ) ⎞ 2 Jadi, 2vec ( P ) ) M pΦ M p ( 2vec ( P ) ) dan ⎜ ⎟ M pΦ M p ⎜ ⎟= ( ⎜ ∂vec ( R ) ⎟ n − 1 n − 1 ⎜⎝ ∂vec ( R ) ⎟⎠ ⎝ ⎠ t
variansi dari vec ( R )
2
→
8 t vec ( P ) ) M pΦ M p ( vec ( P ) ) . Dengan demikian dapat ( n −1
disimpulkan bahwa 2 2 t 8 ⎛ ⎞ d vec ( R ) ⎯⎯ → N ⎜ vec ( P ) , vec ( P ) ) M pΦ M p ( vec ( P ) ) ⎟ ( n −1 ⎝ ⎠
Berdasarkan →
Proposisi IV.3 telah diketahui bahwa variansi dari
8 t vec ( P ) ) M pΦ M p ( vec ( P ) ) . ( n −1
penulisan variansi dari vec ( R )
Selanjutnya 2
akan
disederhanakan
vec ( R )
2
bentuk
melalui sifat-sifat operator vec dan matriks
komutasi. Hasil yang telah diperoleh dapat dilihat dalam BAB V pada disertasi ini.
34
