UKURAN TENGAH DAN UKURAN DISPERSI
UKURAN TENGAH
Ukuran tengah → nilai tunggal yang representatif untuk keseluruhan nilai data. Ukuran tendensi sentral → nilainya cenderung terletak di urutan paling tengah atau pusat. Ukuran tengah yang umum digunakan → mean, median, modus, kuartil dan percentil.
MEAN → jumlah semua data dibagi banyak data. Untuk data yang tidak berkelompok:
x
x1
x2
... xn n
dengan n adalah banyak data, x adalah data. Untuk data yang berkelompok n n: banyak data f i xi xi : titik tengah i 1 x n interval kelas i fi fi : frekuensi titik i 1 kelas i
Atau:
M
MT
fx' N
c
M = mean MT = mean terkaan f = frekuensi x’ = deviasi dari mean terkaan ( deviasi dibawah MT diberi tanda negatif dan diatas MT diberi tanda positif secara berurut ) N = ∑f c = lebar kelas
MEDIAN → nilai yang berada di tengah dari sekumpulan data itu setelah diurutkan menurut besarnya.
Untuk data yang tidak berkelompok → diurutkan menurut besarnya, kemudian dicari data yang berada di tengah.
.
Untuk data yang berkelompok :
md md Lmd n F
fmd c
Lmd
n 2
F f md
c
: Median : batas bawah interval median : banyak data : jumlah frekuensi interval-interval sebelum median : frekuensi interval median : lebar interval
MODUS → nilai yang paling sering muncul Untuk data yang tidak berkelompok →dicari yang paling banyak muncul. Untuk data yang berkelompok:
Modus : mo
Lmo
a a
b
c
Lmo : batas bawah interval modus a : beda frek. Antara interval modus dgn interval sebelumnya. b : beda frek. antara intr. modus dgn intr. Sesudahnya
QUARTIL
Data diurutkan, dibagi menjadi 4 bagian → Q1, Q2, dan Q3. Q1 : suatu nilai dalam distribusi yang membatasi 25% frekuensi dibagian bawah dari 75% frekuensi di bagian atas distribusi. Q2 : suatu nilai dalam distribusi yang membatasi 50% frekuensi dan 50% di atasnya. Q3 : suatu nilai dalam distribusi yang membatasi 75% frekuensi bagian bawah dan 25% frekuensi bagian atas.
Rumus:
Qx
LQ
n.x F 4 c fQ
x : quartil ke-x n : banyak data LQ : batas bawah interval quartil F : jumlah frekuensi interval-interval sebelum interval quartil fQ: frekuensi interval quartil c : lebar interval
DESIL →Desil dibentuk dari sekumpulan data yang telah diurutkan yang dibagi menjadi 10 bagian, sehingga terdapat sembilan buah desil yaitu D1, D2, D3, …, D9. D 3 = Q1 ; D5 = Q2 ; D7 = Q 3
Dx LD
n.x F 10 c fD
x : desil ke –x n : banyak data LD : batas bawah interval desil F : jumlah frekuensi interval sebelum interval desil fD : frekuensi interval desil. c : lebar interval
PERSENTIL → dibentuk dari sekumpilan data yang telah diurutkan yang dibagi menjadi 100 bagian, sehingga terdapat 99 buah persentil yaitu P1, P2, P3, …, P99. P25 = Q1 ; P50 = Q2 ; P75 = Q3
Px LP
n.x F 100 c fP
x : persentil ke-x n : banyak data LP: batas bawah interval persentil F : jumlah frekuensi interval-interval sebelum interval persentil fP : frekuensi interval persentil c : lebar interval
Interval
Batas kelas
Nilai Frek. Frek. Tengah Kumula tif
119 – 128
118,5-128,5
123,5
4
4
129 – 138
128,5-138,5
133,5
7
11
139 – 148
138,5-148,5
143,5
13
24
149 – 158
148,5-158,5
153,5
9
33
159 – 168
158,5-168,5
163,5
5
38
169 - 178
168,5-178,5
173,5
2
40
Contoh: Dari contoh data pada Bab 2: Hitunglah Mean, Median, Modus, Quartil, Desil dan persentil data berikut 147 149 155 157 159 161 164 168 170 173 147 150 155 157 160 162 164 168 170 173 148 150 156 158 160 163 165 169 171 174 149 152 156 158 161 163 165 170 171 174
149 154 156 159 161 163 166 170 172 175
TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI Interval Kelas
Batas Kelas
Nilai Tengah
Frekuensi
Frekuensi Kumulatif
147 – 151
146,5 – 151,5
149
8
8
152 – 156
151,5 – 156,5
154
7
15
157 – 161
156,5 – 161,5
159
11
26
162 – 166
161,5 – 166,5
164
9
35
167 – 171
166,5 – 171,5
169
9
44
172 – 176
171,5 – 176,5
174
6
50
PENEYELESAIAN:
Mean :
x
149 .8 8060 50
Median :
Modus :
154 .7 159 .11 8 7 11
164 .9 169 .9 9 9 6
161,2
50 15 50 md 156.5 2 .5 156.5 161.05 11 11
mo 156.5
4 4 2
.5 156.5 4 160.5
174 .6
UKURAN PENYEBARAN (DISPERSI)
Perserakan data individual terhadap nilai ratarata Data homogen →dispersi kecil Data heterogen → dispersi besar Ukuran penyebaran : Range, variansi dan standar deviasi. Kegunaan : • Untuk menentukan apakah suatu nilai rata-rata dapat mewakili suatu rangkaian data. • Perbandingan terhadap variabilitas data. • Membantu penggunaan ukuran statistik.
RANGE beda antara pengamatan terbesar dan terkecil dalam kumpulan data. Kurang baik terutama jika populasi atau sampel besar. Range = L – S
L : nilai data terbesar S : nilai data terkecil
Contoh data: 44 56 60 67 70 80 85 90 99 Range = 99 – 44 = 55.
KERAGAMAN (VARIANSI) DAN SIMPANGAN (STANDAR DEVIASI) → keragaman adalah nilai kuadrat simpangan setiap data terhadap rataannya dibagi banyaknya data dikurang 1 → Simpangan adalah akar positif dari variansi → Memperhatikan posisi relatif setiap pengamatan terhadap nilai tengah gugus data dengan cara memeriksa simpangan dari nilai tengahnya.
Untuk data yang tidak berkelompok : n
( xi var( x) s 2
i 1
n 1
xi : data ke-I x : rata-rata n : banyak data
x )2
Untuk data berkelompok: n
f ( xi var( x)
s2
i 1
n 1
xi : data ke-i x : rata-rata n : banyak data f : frekuensi titik kelas i
x)
2
