BAB IV DISPERSI DATA
Dispersi adalah ukuran penyebaran suatu kelompok data terhadap pusat data. Ukuran dispersi yang sering digunakan dalam penelitian ialah jangkauan (range), simpangan rata-rata (mean deviation), variansi (variance), dan deviasi baku (standard deviation). Selain itu pada bab ini juga dibahas tentang simpangan kuartil, koefisien variasi, kemiringan, dan kurtosis. Dalam dispersi data dibedakan antara ukuran dispersi pada populasi dan ukuran dispersi pada sampel. 1. Jangkauan (range) Jangkauan sebuah distribusi frekuensi dirumuskan sebagai beda antara pengukuran nilai terbesar dan nilai terkecil yang terdapat dalam sebuah distribusi. Untuk menghitung jangkauan tidak terdapat perbedaan rumus maupun simbol untuk data populasi maupun data sampel. Dirumuskan: Range (r) = nilai max – nilai min Contoh untuk data tunggal: •
Data 1: 50,50,50,50,50 ; mempunyai r = 50-50=0
•
Data 2: 30,40,50,60,70 ; mempunyai r = 70-30=40
Contoh untuk data bergolong:
Mempunyai range data = 73 – 61 = 12
2. Simpangan rata-rata (mean deviation) Simpangan Rata-rata (SR) adalah jumlah nilai mutlak dari selisih semua nilai dengan nilai rata-rata dibagi banyaknya data. Baik pada populasi maupun sampel digunakan rumus yang sama untuk menghitung simpangan rata-rata. Akan tetapi, digunakan
simbol yang berbeda untuk mean ( pada populasi dan X pada sampel) dan untuk banyaknya data (N pada populasi dan n pada sampel) a. Simpangan Rata-rata pada Populasi •
Bila data tunggal, maka:
SR •
| X | N
Bila data bergolong, maka:
SR
f | X |, N
di mana : X nilai data
rata - rata hitung untuk populasi N banyak data untuk populasi
Contoh untuk data tunggal: Tentukanlah simpangan rata-rata untuk kelompok data populasi: 20,30,50,70,80!
Rata rata hitung 50 , N 5, maka | 20 50 | | 30 50 | | 50 50 | | 70 50 | | 80 50 | 5 30 20 0 20 30 100 20 5 5
SR
Contoh untuk data bergolong: Tentukanlah SR data modal 40 perusahaan berikut jika data tersebut merupakan data populasi.
Rata – rata dari data tersebut adalah 140,525
SR
f | X | 455,850 11,396 40 f
b. Simpangan Rata-rata pada Sampel •
Bila data tunggal, maka:
SR •
| X X | n
Bila data bergolong, maka:
SR
f
XX n
,
di mana : X nilai data X rata - rata hitung untuk sampel n banyak data untuk sampel
Contoh untuk data tunggal: Tentukanlah simpangan rata-rata untuk kelompok data sampel: 20,30,50,70,80.
Rata rata hitung X 50 , n 5, maka | 20 50 | | 30 50 | | 50 50 | | 70 50 | | 80 50 | 5 30 20 0 20 30 100 20 5 5
SR
Contoh untuk data bergolong: Tentukanlah SR data modal 40 perusahaan berikut jika data tersebut merupakan data sampel.
Rata-rata dari data tersebut adalah 140,525
SR
f | X X | 455,850 11,396 40 f
3. Variansi (variance) Variansi adalah rata-rata kuadrat selisih atau kuadrat simpangan dari semua nilai data terhadap rata-rata hitung. Untuk menghitung variansi, digunakan rumus dan simbol yang berbeda antara data sampel dan data populasi. a. Variansi Pada Populasi •
Bila data tunggal, maka:
2 •
( X )
2
N
Bila data bergolong, maka:
2
f ( X ) N
2
, di mana n f
di mana : X nilai data
rata rata hitung N banyak data Contoh untuk data tunggal: Tentukanlah variansi untuk kelompok data populasi 20,30,50,70,80. (20 50) 2 (30 50) 2 (50 50) 2 (70 50) 2 (80 50) 2 5 900 400 0 400 900 520 5
2
Contoh untuk data bergolong: Tentukanlah SR data modal 40 perusahaan berikut jika data tersebut merupakan data populasi.
2
f ( X ) N
2
8097 ,9741 202,449 40
b. Variansi Pada Sampel •
Bila data tunggal, maka:
S
2
( X X ) n 1
2
•
Bila data bergolong, maka:
S2
f (X X ) n 1
2
, di mana n f
di mana : X nilai data X rata rata hitung n banyak data sampel
Contoh untuk data tunggal: Tentukanlah variansi untuk kelompok data sampel: 20,30,50,70,80. (20 50) 2 (30 50)2 (50 50)2 (70 50)2 (80 50) 2 5 1 900 400 0 400 900 650 4
S2
Contoh untuk data bergolong: Tentukanlah SR data modal 40 perusahaan berikut, jika data tersebut merupakan data sampel.
S
2
f (X X ) n 1
2
8097,9741 207,64 39
4. Deviasi baku (standard deviation) Deviasi baku adalah adalah akar pangkat dua dari variansi. Oleh karena itu, tentunya terdapat perbedaan rumus dan simbol untuk menghitung deviasi baku pada data populasi dan data sampel. a. Deviasi baku pada Populasi •
Bila data tunggal, maka:
•
(X )
2
N
Bila data bergolong, maka:
f ( X ) N
2
, di mana N f
Contoh untuk data tunggal: Tentukanlah deviasi baku untuk kelompok data polulasi: 20,30,50,70,80.
(20 50) 2 (30 50) 2 (50 50) 2 (70 50) 2 (80 50) 2 5 900 400 0 400 900 520 22.804 5
Contoh untuk data bergolong: Tentukanlah deviasi baku data modal 40 perusahaan berikut, jika data tersebut merupakan data populasi.
f (X ) N
2
8097 ,9741 202,45 14,229 40
b. Deviasi baku pada Sampel •
Bila data tunggal, maka:
S •
(X X )
2
n 1
Bila data bergolong, maka:
S 2
f (X X ) n 1
2
, di mana n f
Contoh untuk data tunggal: Tentukanlah deviasi baku untuk kelompok data sampel: 20,30,50,70,80. S
(20 50) 2 (30 50) 2 (50 50) 2 (70 50) 2 (80 50) 2 5 1 900 400 0 400 900 650 25,495 4
Contoh untuk data bergolong: Tentukanlah deviasi baku data modal 40 perusahaan berikut, jika data tersebut merupakan data sampel.
f (X ) N
2
8097 ,9741 202,45 14,229 40
5. Simpangan kuartil (quartile deviation) Simpangan kuartil merupakan ukuran setengah jarak antara kuartil ke 3 dan kuartil ke 1. Rumusan Deviasi kuartil: DK = [ K3 – K1 ] / 2 Contoh untuk data tunggal: Tentukanlah simpangan kuartil untuk kelompok data: 20,30,50,70,80. Contoh untuk data bergolong: Tentukanlah simpangan kuartil data modal 40 perusahaan berikut.
(kerjakan sebagai latihan)
6. Koefisien variasi (coeficient of variation) Digunakan untuk membandingkan beberapa kumpulan data yang berbeda Rumus V
S 100 % X
V = ukuran variasi relatif (koefisien variasi) S = deviasi baku X = mean
Contoh: Diketahui data hasil ujian dari 120 orang MK Statistik: •
Rata-rata = 56
•
Deviasi Baku = 23
MK Matematika: •
Rata-rata = 65
•
Simpangan Baku = 30
Tentukan hasil ujian yang mana yang variansinya lebih besar. Vs
Ss 30 100% 100% 46,15% 65 Xs
Vm
Sm 23 100% 100% 41,07% 56 Xm
Karena Vs > Vm berarti hasil ujian statistik lebih bervariasi (heterogen) dibanding hasil ujian matematika. Jika data tersebut merupakan data populasi, digunakan simbol yang berbeda untuk mean dan deviasi baku, yaitu untuk mean dan untuk deviasi baku.
7. Kemiringan dan Kurtosis a. Kemiringan Kemiringan adalah derajat atau ukuran dari asimetri suatu distribusi data, ada tiga jenis: 1. Simetris Letak nilai rata-rata hitung, median dan modus berhimpit. 2. Miring ke kanan/kemiringan positif Nilai modus paling kecil dan rata-rata hitung paling besar. 3. Miring ke kiri/ kemiringan negatif 4. Nilai modus paling besar dan rata-rata hitung paling kecil.
frekuensi x
frekuensi
frekuensi x
x
Mod=Med=X
Mod
Med X
Mod Med X
Terdapat beberapa cara yang dipakai untuk menghitung derajat kemiringan distribusi data. Data yang dibicarakan pada pembahasan ini adalah data sampel. Untuk data populasi dapat digunakan cara yang sama dengan mengganti symbol untuk mean (
pada populasi dan X pada sampel) dan variansi ( 2 pada populasi dan s2 pada sampel) a) Pearson
X Mod 3( X Med ) atau S S
di mana :
derajat kemiringan Pearson
X
rata rata hitung
Mod modus S
standar deviasi
Med median Rumus ini dapat dipakai untuk data tunggal maupun data bergolong, dengan aturan sbb: – Bila = 0, distribusi data simetri – Bila = negatif, distribusi data miring ke kiri – Bila = positif, distribusi data miring ke kanan Semakin besar , distribusi data akan semakin miring atau makin tidak simetri.
b) Momen Bila data tunggal, maka:
3
(X X )
3
nS 3
Bila data bergolong, maka:
3
f ( X X )3 nS 3
di mana :
3
derajat kemiringan
X
rata rata hitung
S
s tan dar deviasi
n
f
• Bila 3 = 0, distribusi data simetri • Bila 3 < 0, distribusi data miring ke kiri • Bila 3 > 0, distribusi data miring ke kanan c) Bowley
Q3 Q1 Q2 Q3 Q1
Jika distribusi simetris maka Q3 Q2 Q2 Q1 sehingga Q3 Q1 2Q2 0 mengakibatkan sama dengan nol. Jika distribusinya MIRING, ada 2 kemungkinan: Q1 = Q2 maka = 1 Q2 = Q3 maka = -1 b. Kurtosis Keruncingan adalah derajat atau ukuran tinggi rendahnya puncak suatu distribusi data terhadap distribusi normalnya data, ada tiga jenis: a) Leptokurtis Distribusi data yang puncaknya relatif tinggi. b) Mesokurtis Distribusi data yang puncaknya normal.
c) Platikurtis Distribusi data yang puncaknya rendah atau terlalu datar
•
frekuensi
frekuensi
frekuensi
Puncak normal
Puncak runcing
Bila data tunggal, maka:
4 •
(X X )
4
nS 4
Bila data bergolong, maka:
4
f (X X )
4
nS 4
di mana :
3
derajat kemiringan
X
rata rata hitung
S
s tan dar deviasi
n
f
Bentuk kurva keruncingan – kurtosis •
Mesokurtik
4 = 3
•
Leptokurtik
4 > 3
•
Platikurtik
4 < 3
Puncak tumpul
LATIHAN 1. Diketahui data sampel sebagai berikut. 2 4 4 8 2 2 2 2 Carilah: a. Jangkauan dan simpangan rata-rata. b. Variansi, deviasi baku, dan simpangan kuartil. 2. Diketahui data populasi nilai Ujian Tengah Semester dari 20 mahasiswa pada mata kuliah Aljabar Linier seperti pada tabel berikut. Nilai
50
60
70
80
90
100
Frekuensi
1
5
5
4
3
2
Carilah jangkauan, simpangan rata-rata, variansi, deviasi baku, dan simpangan kuartil dari data tersebut. 3. Diberikan tabel frekuensi dari sampel tinggi badan sekelompok mahasiswa sebagai berikut. Tinggi badan
Banyaknya mahasiswa 140-144 4 145-149 7 150-154 10 155-159 12 160-164 6 165-169 3 a. Tentukan jangkauan dan simpangan rata-rata. b. Tentukan variansi, deviasi baku, dan simpangan kuartil. 4. Diberikan tabel frekuensi dari populasi rata-rata gaji harian dari 171 karyawan sebagai berikut. Interval Kelas Gaji (dalam ribuan) 101-110 111-120 121-130 131-140 141-150 151-160 161-170
Frekuensi 9 18 23 23 26 22 18
171-180 181-190 191-200 201-210 211-220 221-230 231-240 Carilah jangkauan, simpangan rata-rata, variansi,
15 5 8 2 0 0 2 deviasi baku, dan simpangan
kuartil dari data tersebut.
Tim Penyusun: •
Sukirman
•
Sri Rejeki
Sumber: •
Syamsudin. 2002. Statistik Deskriptif. MUP: Surakarta
•
N. Setyaningsih, Pengantar Statistika Matematika, MUP -UMS
•
Budiyono, Statistika untuk Penelitian, 2004 , UNS
