Új kísérletek a nanofizikában 4. Interferencia jelenségek nanoszerkezetekben Irodalom: Beenakker, van Houten, Quantum Transport in Semiconductor Nanostructures, http://xxx.lanl.gov/abs/cond-mat/0412664 S. Datta, Electronic Transport in Mesoscopic Systems, Cambridge University Press, 1997. Thomas Ihn: Semiconductor nanostructures http://www.nanophys.ethz.ch/teaching/transport/Manuscript/Part_I_en.pdf http://www.nanophys.ethz.ch/teaching/transport/Manuscript/Part_II_en.pdf Halbritter András BME Fizika Tanszék Szilárdtestfizika labor (F I. ép. alagsor)
[email protected] http://dept.phy.bme.hu/education/ujkisnano.html
Emlékeztető: fáziskoherencia
τφ
Fázis relaxációs idő
t1 t2
2
2
T total = t1 + t 2 + 2 t1t 2 cos(φ ) ⋅ exp(−τ L / τ φ ) 14 4244 3
Koherenciavesztés
Fázis koherencia hossz:
lφ = vFτ φ , ha τ φ ≈ τ m lφ = Dτ φ , ha τ φ >> τ m L
L < lφ ⇒ trajektóriákat koherensen kell összeadni ⇒ interferencia!
1
Interferencia kísérletek Kétrés kísérlet:
2
Korábbi kétrés kísérletek: •Vízhullámok •Fény (Thomas Young, 1801) (-> a fény hullám!) •Egyedi fotonok (Taylor, 1909, magyarázat: Dirac) •Elektronok (1961) •1 Elektron (1976) •Neutronok (1961) •Atomok (1991) •Rekord: interferencia C60 molekulákkal!
Arndt et al., Nature 401, 680 (1999).
2
T total = t1 + t 2 + 2 t1t 2 cos(φ ) Interferencia kísérlet nanoszerkezetekben: az elektronokat kontaktusokon kersztül detektáljuk, nincs interferenciaernyő!
Változtassok a fázist mágneses térrel!
Aharonov Bohm effektus t1 = a1eiθ1 ,
t 2 = a 2 e iθ 2 2
T = t1 + t2 = a12 + a22 + 2a1a2cos(δ ),
θ i (φ ) = θ i (0) −
δ = θ1 - θ 2
e Ads h γ∫ i
δ (φ ) = δ (0) −
e φ Ads = δ (0) − 2π , φ0 h γ −∫γ 1
Elmélet: Y. Aharonov & D. Bohm Phys. Rev. 115, 485 (1959) Első kísérlet: R. G.Chambers Phys. Rev. Lett. 5, 3 (1960)
2
φ0 =
h
e 123
fluxuskvantum
φ T (φ ) = a12 + a22 + 2a1a2cos δ (0) − 2π φ0 T (φ + n ⋅ φ0 ) = T (φ )
Mezoszkópikus mintában az elektronokpályák helyén is van mágneses tér -> az elektronok ciklotron pályán mozognak! Ez nem gond, ha a ciklotron sugár sokkal nagyobb mint a gyűrű karjainak szélessége
Rc =
p hk F = >> Wring eB eB
2
Aharonov Bohm effektus nanoszerkezetekben Első sikeres kísérlet: R. A. Webb et al. Phys. Rev. Lett. 54, 2696 (1985) Mezoszkópikus arany gyűrű Belső átmérő = 784nm Vastagság = 38nm Oszcillációk periódusa = 8mT -> A=(h/e)/∆B=5.2x10-13 m2 Litografált méret = 5.3x10-13 m2 Szabadúthossz ~ 1-2nm -> több ezer rugalmas ütközés Mai kísérletek AFM litográfiával készült gyűrűkön: (Ensslin et al., ETH Zürich)
1.7K-en h/6e-ig látszik a struktúra! lφ(1.7K)=3µm; lφ(100mK)=60µm
Tiszta, ballisztikus 2DEG rendszer
Egy-elektron interferencia Aharonov Bohm gyűrűben
S. Gustavsson, K. Ensslin ETH Zürich (unpublished)
A kapuelektródákkal két részre (2 kvantum dotra) osztjuk az Aharonov Bohm gyűrűt. Az 1. kvantum dot melletti kvantum pont-kontaktus vezetőképessége megváltozik ha az kvantum dotban van az elektron, ill. ha már tovább ment belőle. A Coulomb energia miatt egyszerre több elektron nem lehet a rendszerben. A pont-kontaktus vezetőképességét mérve egyenként le tudjuk számolni az áthaladt elektronokat.
Egy-egy elektron áthaladása véletlenszerű, de sok elektronra átlagolva kialakul az interferencia kép.
3
Mezoszkópikus gyűrű kétpont vezetőképessége Egyszerű modell a Landauer képben:
G=
2e 2 2e 2 ⋅ T (ε F ) = ⋅ (1 − R(ε F )) h h
A reflexió három elemi komponense: Komplex amplitudók B=0-ban: Véges térben:
R = r0 + r1e 2
i2π
φ φ0
r1 = r1 eiδ
r0 r0
+ r1e
-i2π
φ 2 φ0
r1e
i2π
φ φ0
r2 = r1
r1e
-i2π
(Időtükrözési invariancia!)
φ φ0
=
2
= r0 + 2 r1 +
Klasszikus visszaverődési valószínűségek
φ + 4 r0 r1 cos(δ ) cos 2π + φ 0
Aharonov Bohm járulék, függ δ-tól, ami tetszőleges lehet a geometriától függően. Periódus: h/e
φ 2 + 2 r1 cos 4π + ... φ0
Altshuler-Aronov-Spivak járulék, nem függ δ-tól! Periódus: h/2e
Phase locking Minden komponenshez van egy időtükrözött komponens:
eiαφ + e -iαφ = 2 cos(αφ ) ⇒ R(φ ) = R(−φ ) Kétpont ellenállásmérésnél:
G ~ 1 − R ⇒ G (φ ) = G (−φ )
Zárt gyűrű:
Periodikus Φ-ben, és T(Φ) = T(-Φ)
Nyitott geometria: Periodikus Φ-ben,
Phase locking kísérletben: (Ensslin et al., ETH Zürich)
Aszimmetrikus kapufeszültség (δ változtatása)
de T(Φ )≠ T(-Φ)
4
Altshuler-Aronov-Spivak oszcillációk Kísérlet hosszú magnéziumcilinderen (∅~1µm): (Sharvin & Sharvin 1981.)
R = r0 + r1e 2
i2π
φ φ0
+ r1e
-i2π
φ 2 φ0
=
2
= r0 + 2 r1 + φ + 4 r0 r1 cos(δ ) cos 2π + φ 0 φ 2 + 2 r1 cos 4π + ... φ0
Minden elektronpályára más δ -> Aharonov Bohm járulék kiesik
Sokkal robosztusabb jelenség mint az Aharonov Bohm oszcillációk, mert csak az Aharonov-Bohm fázistól függ, és δ-tól nem!
Az időtükrözött pályák koherens visszaszórásából adódó AAS járulék viszont megmarad. -> h/2e oszcillációk!
Aharonov Bohm oszcillációk hőmérsékletfüggése R = r0 + r1e 2
i2π
φ φ0
+ r1e
-i2π
φ 2 φ0
=
2
= r0 + 2 r1 + τL
φ -τ (T ) + 4 r0 r1 cos(δ ) cos 2π e φ + φ0 τ 2L
+ 2 r1
2
φ -τ (T ) cos 4π e φ + ... φ0
Az AAS oszcilláció alkalmasabb τφ mérésére! Alacsony hőmérsékleten a dekoherencia egyik legfontosabb forrása az elektron-elektron kölcsönhatás: az elektronok szóródnak a többi elektron által keltett fluktuáló potenciálon. 2DEG-re az ebből jövö fáziskoherencia idő: h (kBT ) 2 EF + const. ≈ ln
τφ
EF
k BT
Fázisok kiátlagolódása a véges hőmérséklet miatt
cos(δ ) ~ 0, ha k BT ~ h / τ L Ez nem dekoherencia, csak a különböző periódusú koherens oszcillációk kiátlagolódása!
5
Környezet miatti koherenciavesztés Alsó ágon haladó eletronhullám: 1
Felső ágon haladó eletronhullám: 2
Ψ = (α 1 + β 2 ) Φ env
Teljes hullámfügvény:
⇒
környezet hullámfügvénye
α 1 Φ env1 + β 2 Φ env2 kölcsönhatás a környezettel (összefonódás)
Transzmissziót mérünk :
(T operátor csak az elektron hullámfüggvényekre hat, a környezetre nem!) 2 2 Ψ T Ψ = α 1 T 1 + β 2 T 2 + α ∗ β 1 T 2 Φ env1 Φ env2 + β ∗α
2 T1 Φ Φ 144444444442444444env2 444env1 4 3 interferencia járulék
Ha
Φ env1 Φ env2 → 0,
akkor elveszik az interferencia
Azaz ha a felül és alul haladó parciális elektronhullám különböző nyomot hagy a környezetben, akkor nem látunk interferenciát
Egyszerű példa (Stern, Aharonov, Imry) Az alsó ágon haladó részecske hullámfügvénye megváltozik a kölcsönhatás miatt:
u1 ( x ) ⋅ e − i ( E +V ( q− x ) )⋅t / h u1 ( x )
A kölcsönhatás ideje alatt felszedett fázis, φ.
q bizonytalansága miatt a fázis is bizonytalan:
u2 ( x )
∆φ =
1 ∂V ⋅ ∆q ⋅ t h ∂q
Ha a fázisbizonytalanság nagy lesz, elveszik az interferencia
V (q − x)
χ (q)
∆φ > 1 ⇔
∂V h t> ∂q ∆q
Töltött részecske, mely csak az alsó ágon áthaladó elektronnal hat kölcsön. (A felső ágon haladó elektronnal elhanyagolható a kölcsönhatás) Helykoordináta: q, helybizonytalanság: ∆q
Ugyan az a két feltétel! Ugyanakkor veszik el az interferencia, amikor a környezet állapota megkülönbözethetővé válik alul illetve felül haladó elektron esetén!
δp > ∆p ⇔
Ha alul halad az elektron, a töltött részecske gyorsul az erő hatására. Kölcsönhatás ideje (t) alatt az impulzusváltozás:
δp =
∂V ⋅t ∂q
Ha az impulzus változás nagyobb az impulzusbizonytalanságnál,akkor a részecske tárolta az "útinformációt"
∂V h ⋅t > ∂q ∆q
c
χ1 χ 2 << 1
6
Miért nem „sikerültek” az első Aharonov Bohm kísérletek? W
tökéletesen reprodukáló fluktuációk
d S. Washburn, R. A. Webb Adv. Phys. 35, 375 (1986)
diffúzív gyűrű, az elektron csak több ezer rugalmas ütközés után jut el a túloldalra Az első kísérletekben a periodikus oszcillációk helyett véletlen fluktuációkat tapasztaltak, melyek tökéletesen reprodukálnak, ha a két mérés között a mintát nem melegítik fel! Magyarázat: túl kicsi volt a gyűrű! A szélesség (W) összemérhető az átmérővel (d), így a sokféle trajektóriára az Aharonov Bohm oszcilláció kiátlagolódik, viszont a gyűrű azonos agában haladó különböző trajektóriák is interferálnak, és a véletlen potenciál miatt az eredő interferencia a mágneses tér véletlenszerűen fluktuáló függvénye lesz. -A hőmérséklet növelésével megszűnik a fáziskoherencia, így a fluktuációk eltűnnek -A minta felmelegítése és újrahűtése során átrendeződnek a rácshibák, így más lesz a véletlen potenciál, és a fluktuációk alakja is megváltozik
Vezetőképesség fluktuációk A véletlenszerű vezetőképesség fluktúációk tetszőleges mezoszkópikus mintában megfigyelhetők melynek mérete kisebb a fáziskoherencia hossznál, és melyben az elektronok nem integrálható mozgást végeznek!
diffúzív mozgás fém nanovezetékben
Interferencia járulék a vezetőképességhez:
kaotikus mozgás ballisztikus nanoszerkezetben
két trajektória közti terület
Gint ~ ∑ tn ⋅ t m ⋅ cos(θ n − θ m ) ⋅ cos(2πeBAnm / h ) 14243 1442443 n,m
fáziskülönbség B=0-ban
Aharonov Bohm fázis
Kísérletekban vezetőképesség fluktuációkat láthatunk: -A Mágneses tér változtatásával (Aharonov Bohm fázis változtatása) -A Fermi energia (elektron sűrűség) változtatásával (elektronok hullámhosszának változtatása) -A minta alakjának változtatásával (elektron trajektóriák változtatása)
7
Vezetőképesség fluktuációk nagysága, univerzalitás m
m’
n
n’
G=
2e 2 h
∑ Tij
i , j =1.. N
G -
[e2/h]
Kiszámolható,hogy diffúzív fáziskoherens vezetékben nagyszámú vezetési csatorna esetén a vezetőképesség fluktuációk nagysága univerzális érték : 4 3 2 1 0 -1 0.0
∆G 2 ≈
δG =
e2 h
RMS érték ~e2/h 0.5
1.0
1.5
Control parameter (B, k, …)
2.0
Ha a minta hossza (L) nagyobb a fáziskoherencia hossznál (lφ), a fluktuációk nagysága lecsökken: lϕ 1 fáziskoherens szakasz veztőképessége:G1 , szórás: δG = e 2 / h 1 2 2 Ellenállásra átszámolva: R = 1 / G , δR = R ⋅ e / h 1 1 1 1 W
Ballisztikus vezetőképesség fluktuációk Vezetőképesség fluktuációk nyitott kvantum dot-ban a dot alakjának váloztatásával (Chan et al., PRL 74, 3876 (1995) I
Minta: AFM litográfiával létrehozott ballisztikus perkolációs hálózat (V. Senz et al., ETH Zürich,2002)
Ι
⊗Β
A dot alakját Vg-vel változtatják Vg-re számolt átlag ill. szórás
Mágneses tér függés
elektronsűrűség függés
Ellenállásmaximum B=0-nál -> gyenge lokalizáció (jön…)
8
Gyenge lokalizáció 1 Hullámok szóródása rendezetlen közegben: -radar hullámok felhőben -fény, hanghullámok, stb. -elektron hullámok diffúzív vezetőben rendezetlenül elhelyezkedő szórócentrumok
Magyarázat:
R(k → k' ) =
2
∑ ri (k → k' )
=
γi
= ∑ ri (k → k' ) + 2
γi
∑ ri (k → k' )r j∗ (k → k' )
γ i ,γ j
1442443 14444244443 Bejövő
γ←
hullám
visszavert hullámok
γ→
visszaszórás szöge
„enhanced backscattering”
Klasszikus valószínűségek
Interferencia
Ha k’≠-k, akkor az interferencia tag kiátlagolódik Ha viszont k’=-k, akkor minden pálya konstrúktívan interferál az időtükrözött pályályával 2
R(γ → + γ ← ) = r→ + r← = 2
2
2
∗ = r→ + r← + 2 Re(r→ r← ) = 4 r→ = 2 Rklasszikus
visszaszórt intenzitás
Időtükrözési invariancia +koherencia Az időtükrözött pályákkal vett interferencia miatt Kétszeresére nő a visszaszórási valószínűség!
Gyenge lokalizáció 2 Másik megfogalmazás: diffúziós probléma valós térben: P(A→B)=Pklasszikus(A→B) P(A→A)=2Pklasszikus(A→A)
A
Az időtükrözött pályákkal vett konstruktív interferencia miatt megnő a kiindulási pontba történő visszatérési valószínűség! (Lokalizáció!)
A gyenge lokalizáció miatt lecsökken a minta vezetőképessége. Csak azok a pályák adnak interferenciajárulékot, melyeket az elektron a koherencia időnél rövidebb idő alatt jár be, τL<τφ. 2D-ben a vezetőképesség korrekció: 2
σ kvantum ≈ σ klasszikus −
e
πh
(
ln τ φ / τ m
)
Mágneses térben egy pálya és az időtükrözött pályája között fáziskülönbség lép fel, és ez az Aharonov Bohm fázis minden diffúzív trajektóriára más, így a gyenge lokalizáció miatti vezetőképességcsökkenés mágneses térrel megszüntethető:
A mágneses ellenállás görbék illesztéséből τφ meghatározható! Ez a legáltalánosabb módszer τφ hőmérsékletfüggésének mérésére.
9
Elektron-elektron kölcsönhatás diffúzív vezetőkben Szemléletes kép: szóródás Friedel oszcillácókon Egyetlen szennyező esetén: A szennyezőn szóródó elektronok miatt az elektronsűrűségben Friedel oszcillációk alakulnak ki 2kF hullámszámmal. Az elektron-elektron kölcsönhatás miatt az elektronok nem csak a szennyezőn, hanem a kialakult Friedel oszcillációkon is szóródnak. Teljes visszaszóródás esetén konstruktív interferenciát kapunk -> A gyenge lokalizációhoz hasonlóan az interferencia miatt lecsökken a vezetőképesség.
λF/2
Több szennyező esetén: Bonyolult számolás, mindenesetre a diffúzív mozgás hatására megnő az elektron-elektron kölcsönhatás jelentősége, hiszen az elektronok „nehezebben tudnak eltávolodni” egymástól.
-
+ + + + + ++
-
+ + + + + ++
2D-ben az elektron-elektron kölcsönhatás a gyenge lokalizációhoz hasonló logaritmikus korrekciót ad a vezetőképességben: e 2 h / kBT δ σ e-e ~ − ln πh τ m A két effektust a mágneses tér függéssel lehet megkülönböztetni, hiszen a gyenge lokalizációs korrekció már kis mágneses térben megszűnik, míg az elektron-elektron kh. érzéketlen a mágneses térre.
10
