INTERFERENCIA - ÓRAI JEGYZET

FIZIKA BSc, III. évfolyam / 1. félév, „Optika” tárgy

INTERFERENCIA - ÓRAI JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 2008.)

AJÁNLOTT SZAKIRODALOM:

Klein-Furtak, Optics Richter, Bevezetés a modern optikába Born-Wolf, Principles of optics

ALAPFOGALMAK Az interferencia fogalma Az interferencia az a jelenség, amikor két v. több diszkrét hullám fázishelyes szuperpozíciója során a térben állóhullám kép alakul ki, ami elektromágneses hullámok esetén (általában) világos-sötét interferencia csíkok formájában figyelhetı meg. Az interferencia jelenségek csoportosítása Modellek alapján:

egysugaras többsugaras

Létrehozási mód alapján: amplitudó osztás hullámfront osztás

Állóhullám kép alapján:

helyfüggı interferencia irányfüggı interferencia

Hová lesz a fény? A fény által hordozott teljesítményt interferenciával nem lehet eltüntetni, csak a térbeli vagy idıbeli eloszlását megváltoztatni ill. átrendezni! (Energiamegmaradás törvénye.) Közelítések, feltételek, jelölések közelítések:

homogén, lineáris, izotróp, közeg, skalár közelítés

feltétel 1: feltétel 2: feltétel 3: feltétel 4:

azonos frekvencia (különben nincs állóhullám) azonos polarizáció (különben nics szuperpozíció) térben és idıben koherens hullámok (láthatóság romlik, ld. bıvebben késıbb) a két hullám intenzitása legyen azonos (különben a láthatóság romlik)

jelölések:

T – periódusidı ω – körfrekvencia (= 2π/T) ν – frekvencia (= 1/T) λ – hullámhossz (közegben) k – hullámszám (= 2π / λ) v – fénysebesség közegben (= λ·ν = ω / k) –9/1–

KÉTSUGARAS INTERFERENCIA Példák kétsugaras interferenciára Hullámfront osztó: • Young-féle kétréses kísérlet • Lloyd-tükör • Fresnel-biprizma Amplitudó osztó: • Síkpárhuzamos, vagy ékes lemez (alacsony felületi reflexió esetén) • Michelson interferométer (ld. még Twyman-Green interferométer) • Mach-Zehnder interferométer • Fizeau interferométer • Nyíró interferométer (shearing interferometer) Két síkhullám interferenciája Az interferenciát leíró modell a geometriai optikán alapszik, ahol lokálisan minden elektromágneses téreloszlást síkhullámnak tekintünk.

Ẽ1(r, t) = E01·ei·(ω·t + k1·r + φ1) = E01·ei·Φ1(r, t) Ẽ2(r, t) = E02·ei·(ω·t + k2·r + φ2) = E02·ei·Φ2(r, t) Eredı térerısség: Ẽ(r, t) = Ẽ1(r, t) + Ẽ2(r, t) Fazorösszegzés:

Im

Ẽ2 Ẽ

δ(r)

Ẽ1

Φ1(r) Re

~ (r , t ) ⋅ E ~ (r , t ) . A teljesítmény sőrőséget a Poynting-vektor hossza adja meg: S(r , t ) = v ⋅ ε ⋅ E A teljesítmény sőrőség T idıre vett idıátlaga az intenzitás: I(r,t ) ≡ S(r,t ) . Harmonikus jel v⋅ε ~ 2 ⋅ E(r ) , azaz S(r, t) amplitudójának a fele. 2 v⋅ε ~ ~ (r ) 2 . Interferencia esetében: I(r ) = ⋅ E 1 (r ) + E 2 2 A fenti képletben:

esetén „I” idıfüggetlen: I(r ) =

E 01 ⋅ e i⋅Φ1 + E 02 ⋅ e i⋅Φ 2

2

2 2 = E 01 + E 02 + E 01 ⋅ E 02 ⋅ e i⋅(Φ1 −Φ 2 ) + E 01 ⋅ E 02 ⋅ e i⋅(−Φ1 +Φ 2 ) =

2 2 = E 01 + E 02 + 2 ⋅ E 01 ⋅ E 02 ⋅ cos(Φ 1 − Φ 2 ) ,

mivel az abszolút érték négyzet képzés egyenlı a komplex konjugálttal való szorzással. Ebbıl

I( r ) = v ⋅ ε

2

E ⋅  01 

2  + E 02 + E 01 ⋅ E 02 ⋅ cos(Φ1 − Φ 2 ) 2 

2π + (ϕ1 − ϕ 2 ) λ0 δ – fáziskülönbség ; OPD ≡ OPL1 – OPL2 (Optical Path Difference) δ = 2π ÷ OPD = λ0 Látható, hogy kiesett az idıfüggı tag, mivel a két nyaláb ω-ja azonos! Tehát interferencia lép fel: az intenzitáskép idıben állandó, és a „cos” függvény miatt periódikusan változik δ-val. δ(r ) = Φ1 − Φ 2 = (k 1 − k 2 ) ⋅ r + (ϕ1 − ϕ 2 ) = OPD(r ) ⋅

–9/2–

Csíksereg periódusa (p)

Θ

k1

k1 – k2 k2 Formailag olyan, mintha a csíksereg hullámszám vektora k = k1 − k2 lenne. Ebbıl a periódus:

p=

2π 2π 2π λ = = 2π = k k 1 − k 2 2 ⋅ λ ⋅ sin Θ 2 ⋅ sin Θ

Az interferencia csíkok láthatósága I1 =

v⋅ε v⋅ε 2 2 ⋅ E 02 ⋅ E 01 ; I 2 = 2 2

⇒ I( r ) = I

1

+ I 2 + 2 I1 ⋅ I 2 ⋅ cos(δ(r )) (*) Imax

konstruktív interferencia

(Imax− Imin)/2

I [W/m2]

(Imax+ Imin)/2

Imin 0

π

0

„Láthatóság”: V ≡

destruktív interferencia

δ [rad]

2π

I max − I min 2 I1 ⋅ I 2 2 ⋅ E 01 ⋅ E 02 = = 2 2 I max + I min I1 + I 2 E 01 + E 02  δ( r )    2 

Vmax = 1, ha I1 = I2. Ebben az esetben: I(r ) = 4 ⋅ I1 ⋅ cos 2 

Példa: síkpárhuzamos lemez θ1

D

n1

B

D'

θ2

n2

d

y C

n1

ρ << 1 (alacsony reflexió esetén) kétsugaras közelítés (I1 ≈ I2) OPDBD'-BD = n2·2d/cos(θ2) – n1·2d·sin(θ1)·tg(θ2) = 2d·n2·cos(θ2) Mivel n2 > n1 esetén C pontban (fordított esetben B pontban) az elektromágneses tér reflexió esetén π fázisugrást szenved, a BD'-BD közötti fázistolás: 4π ⋅ n 2 d δ = OPDBD'-BD · 2π / λ0 + π = ⋅ cos(θ 2 ) + π λ0

–9/3–

(*) egyenlet alapján konstruktív interferenciát (megnövekedett reflexiót) akkor látunk, ha δ = m·2π, ahol m = 1, 2, ... Destruktív az interferencia (csökken a reflexió), ha δ = m·2π + π, m = 0, 1, 2, ... Merıleges beesésnél, d → 0 esetén δ → π, azaz a reflexió zérus, a lemez „eltőnik”. Haidinger-csíkok: Newton-győrők:

ha d(y) = const., az interferenciakép θ2-irányfüggı. ha θ2 = const., akkor az interferenciakép y-helyfüggı d(y)-on keresztül.

Az interferencia idıbeli koherencia-feltétele Interferencia koherens, vagy részlegesen koherens nyalábok szuperpozíciója esetén lép fel. Ez utóbbi esetben ugyanis az egyik nyalábot alkotó ω körfrekvenciájú spektrumkomponensek képesek interferálni a másik nyaláb azonos körfrekvenciájú komponenseivel. Ha a két nyaláb között ∆t az idıkülönbség, minden nyaláb párra a fáziskülönbség más: δ(ω). Akkor látunk interferenciát, ha a spektrum összes (ω1-tıl ω2-ig terjedı) ω-jára teljesül az alábbi feltétel: 2π >> δ(ω1) − δ(ω2) = ω1· ∆t − ω2· ∆t = ∆ω·∆t → 1 >> ∆f·∆t Egyenlıség esetén: τc ≡ ∆t → τc = 1/∆f → τc >> ∆t v. lL >> OPD

Idıbeli koherencia A koherencia idı az az idıkülönbség, ahol még látunk interferenciát: τc ≡ ∆t = t1 − t2 Idıbeli frekvencia spektrum → idıbeli koherencia A sávszélesség és a koherencia idı kapcsolata: τc ≈ 1/∆ν Longitudinális koherencia hossz: lL = v·τc Monokromatikus nyaláb: ∆ν << ν0 → τc >> T Pl.: λ = 633 nm ; ∆λ = 0,01 nm ; ∆ν = 7,5 GHz ; lL ≈ 40 mm ; τc ≈ 0,1 nsec (kb. 63000 · T) gömbhullám t1 idıpillanatban

z a tér adott pontja, két tetszıleges idıpillanatban (t1 és t2) interferáltatható (amplitudó osztással)

z gömbhullám t2 idıpillanatban

Térbeli koherencia A transzverzális koherencia hossz az a távolság, ahol még látunk interferenciát: lT ≡ │r1 − r2│ Térben koherens nyaláb: lT >> λ Térfrekvencia spektrum → térbeli koherencia

r1 r2

adott idıpillanatban a hullámfront tetszıleges két pontja (r1 és r2) nulla optikai úthosszkülönbség mellett interferáltatható (hullámfront osztással) –9/4–

Az idıbeli koherencia leírása a koherencia függvény segítségével Vegyünk két azonos irányba haladó síkhullámot, melyek jelen esetben nem harmonikusak, és vizsgáljuk ezek interferenciáját. A tetszıleges T idıre átlagolt intenzitás ekkor a következı: T

I(r , T) = S(r , T ) = v ⋅ ε ⋅ (E 1 (r,t ) + E 2 (r,t ) )

2

1 2 2 = v ⋅ ε ⋅ ∫ (E1 (r,t ) + E 2 (r,t )) ⋅ dt . T −T 2

Tegyük fel továbbá, hogy az idıátlag független az átlagolás T idıtartamától, magyarán I(r, T) = I(r, T→ ∞) = I(r) = const., és hogy ez igaz E1 és E2 átlagolásakor is. Az ilyen nyalábokat statisztikusan sztacionáriusnak nevezzük. A két fénynyaláb ne legyen független, hanem E2-t úgy állítsuk elı, hogy E1-et τ idıvel késleltetjük: E2(r,t) ≡ E1(r,t − τ) A négyzetre emelést kibontva az eredı intenzitás:

I(r , τ) = v ⋅ ε ⋅ (E1 (r,t ) + E1 (r,t − τ )) ⋅ (E 1 (r,t ) + E1 (r,t − τ) ) =

= v ⋅ ε ⋅ [ E1 (r,t ) ⋅ E1 (r,t ) + E 1 (r,t − τ) ⋅ E1 (r,t − τ) + 2 E1 (r,t ) ⋅ E 1 (r,t − τ)

]

Mivel a nyalábok statisztikusan stacionáriusak, az idıátlag képzés független a τ-nyi eltolástól: I(r , τ) = 2 ⋅ I1 (r ) + v ⋅ ε ⋅ 2 E 1 (r,t ) ⋅ E 1 (r,t − τ) , (**)

ahol I1 az E1 nyaláb intenzitása T → ∞ esetén. Tegyük most fel, hogy E1 egy olyan ω körfrekvenciájú rezgés, amelynek A(t) amplitudója helyfüggetlen, és a periódusidıhöz képest lassan változik az idıben: E1(r,t) = A(t)·cos(ωt + k·r ) , az ilyen rezgéseket kvázi monokromatikusnak nevezzük, mivel frekvencia sávszélességük keskeny ω-hoz képest. A rezgés intenzitása T → ∞ esetére a következı: I1(r) = v·ε· ≈ v·ε· · . A közelítés azért jogos, mert A(r, t) lassan változik cos(ωt)-hez képest. Ezzel az intenzitás: I1 = v·ε··½ , amire késıbb lesz szükségünk. Az E1 a térerısséget beírva (**)-ba: I(r , τ) = 2 ⋅ I1 + v ⋅ ε ⋅ 2 A (t ) ⋅ A (t − τ) ⋅ cos(ωt + k ⋅ r ) ⋅ cos(ωt − ωτ + k ⋅ r )

A fenti összefüggés cos(a)cos(b) ≡ ½(cos(a+b) + cos(a−b)) alapján átírható ebbe az alakba: I(r , τ) = 2 ⋅ I1 + v ⋅ ε ⋅ A(t ) ⋅ A(t − τ) ⋅ (cos(2ωt − ωτ + 2k ⋅ r ) + cos(ωτ )) =

= 2 ⋅ I1 + v ⋅ ε ⋅ A(t ) ⋅ A(t − τ) ⋅ cos(2ωt − ωτ + 2k ⋅ r ) + v ⋅ ε ⋅ A(t ) ⋅ A(t − τ) ⋅ cos(ωτ )

Mivel feltevésünk szerint A(t) lassan változik ω-körfrekvenciájú rezgéshez képest, a 2ω-s tag kiátlagolódik. Az idıátlagolásból cos(ωτ)-t kiemelve kapjuk a végeredményt: I( τ) = 2 ⋅ I1 + v ⋅ ε ⋅ A(t ) ⋅ A(t − τ) ⋅ cos(ωτ ) .

–9/5–

A fenti képlet tovább alakítható: I( τ) = 2 ⋅ I1 ⋅ [1 + g 1 (τ ) ⋅ cos(ωτ ) )] , (***)

ahol g 1 (τ ) ≡

1

2

⋅ v ⋅ ε ⋅ A (t ) ⋅ A(t − τ)

.

I1

g1(τ) a normált koherencia függvény, másnéven koherencia fok, ami nem más, mint az A(t) amplitudó függvény intenzitással normált autokorrelációs függvénye. A g1 függvény maximális értékét τ = 0-nál veszi fel, ahol a számláló értéke éppen I1-et adja vissza. Ekkor tehát g1(0) = 1. Amennyiben A(t) sztohasztikusan változik g1(τ → ∞) = 0. (***)-ot (*)-al összevetve olyan interferenciát kaptunk, ahol az eredı intenzitás a késleltetési idıvel, τ-val periodikusan változik, a csíkok láthatósága pedig éppen a normált koherencia függvénynek felel meg: V(τ ) ≡

I max ( τ) − I min ( τ) = g 1 ( τ) . I max ( τ) + I min (τ)

Tehát g1(τ) alapján könnyen meghatározhatjuk a τc koherencia idıt, azt az idıtartamot, ahol az interferencia láthatósága adott értékre (definíció szerint pl. felére, 1/e-ed vagy 1/e2-ed részére) esik, csak meg kell oldjuk az alábbi egyenletet: g1(τc) = ½ , 1/e v. 1/e2 stb.

„Hová lesz” a fény kétsugaras interferométerekben? x y

ẼI,x

ẼR,x

z 50%-os osztóréteg

n n

ẼT,x

Vizsgáljuk meg a legtöbb interferométerben alkalmazott 50%-os intenzitás osztó felület hatását a térerısség vektorra. Az egyszerőség kedvéért csak az E vektor beesési síkra merıleges (x) komponensét tekintjük, ami „S” polarizációs állapotnak felel meg, vagyis ha a beesı fény (EI) x-irányban polarizált, áthaladás (ET) és visszaverıdés (ER) után a polarizációs állapota nem változik meg. A többi térvektor komponensre a vizsgálat analóg módon lefolytatható. A vizsgált tér monokromatikus, ezért leírására a komplex formalizmust használjuk, az idıfüggı eiωt tényezı elhagyásával.Az ábrának megfelelıen, „n” törésmutatójú közegben lévı 50%-os osztóréteg esetén a komplex térerısség amplitudókra és intenzitásokra igazak az alábbi egyenletek: 1)

| ẼI,x|2 = | ẼT,x|2 + | ẼR,x|2 (összintenzitás állandó – energiamegmaradás),

2)

| ẼT,x|2 = | ẼR,x|2

3)

ẼT,x = ẼI,x + ẼR,x (Ẽ-tangenciális komponensére vonatkozó határfeltétel)

(50%-os intenzitás osztási arány)

1) és 3)-ból: | ẼT,x|2 + | ẼR,x|2 = | ẼT,x − ẼR,x |2 → ẼT,x· ẼR,x* = − ẼT,x*· ẼR,x

–9/6–

Ezt összevetve 2)-vel a következıt kapjuk:

ẼT,x· ẼT,x = − ẼR,x· ẼR,x → ẼR,x = i·ẼT,x . A fenti összefüggés azt jelenti, hogy bármilyen módon is állítunk elı egy 50%-os osztóréteget (dielektrikum tükör, fémréteg stb.), a visszavert és áthaladó térerısségek között éppen π/2 fáziskülönbség van! A fenti egyenletekbıl az alábbiak is levezethetıek:

ẼR,x = 2−½·ei·¾π ·ẼI,x illetve ẼT,x = 2−½·ei·¼π ·ẼI,x . (****) Vizsgáljuk most meg az interferenciát egy Mach-Zehnder interferométerben, ahol a fényút „A” ágában egy φ fáziskésleltetı lemez van.

2B

2A 1A 1B

B

φ

A

Ha a belépı nyaláb ẼI, akkor (****) segítségével az Ẽ1 és Ẽ2 kilépı nyalábok a következıképpen írhatók fel:

~ =E ~ +E ~ =E ~ ⋅ 1 ⋅ e i 14 π ⋅ E 1 1A 1B I 2 ~ =E ~ +E ~ =E ~ ⋅ 1 ⋅ e i 14 π ⋅ E 2 2A 2B I 2 Az egyenleteket egyszerősítve:

1 2 1 2

⋅e

i3 π 4

⋅e

i1 π 4

~ ⋅ ⋅ e iϕ + E I ~ ⋅ ⋅ e iϕ + E I

1 2 1 2

⋅e

i3 π 4

⋅e

i3 π 4

⋅ ⋅

1 2 1 2

⋅e

i1 π 4

⋅e

i3 π 4

~ ~ ~ = E I ⋅ e i π ⋅ e iϕ + E I ⋅ e i π E 1 2 2 ~ ~ 1 E ~ = I ⋅ e i 2 π ⋅ e iϕ + E I ⋅ e −i 12 π E 2 2 2

Ebbıl az intenzitások: ~ 2 E I 2 I ~ I1 = E 1 = ⋅ 1 + 1 + e i(π +ϕ − π ) + e i( − π −ϕ + π) = I ⋅ 2 + e iϕ + e −iϕ 4 4 2 ~ ~ 2 = E I ⋅ 1 + 1 + e i ( 12 π +ϕ + 12 π ) + e i (− 12 π −ϕ − 12 π )  = I I ⋅ 2 + e i(π +ϕ ) + e −i(π +ϕ ) I2 = E   2  4  4

(

)

(

)

(

ahol II a megvilágító nyaláb intenzitása.

–9/7–

)

,

A fenti egyenletekbıl adódik a végeredmény: II ⋅ (1 + cos(ϕ ) ) 2 I I 2 = I ⋅ (1 + cos(ϕ + π) ) 2

I1 =

Azaz, az interferométer után kapott két nyaláb között mindig π fáziskülönbség van, vagyis az 1. és 2. nyalábok MINDIG ellenfázisban vannak. Más szóval, a Mach-Zehnder interferométernél (ill. bármely másiknál) a fény hol az egyik kimenı nyalábba megy, hol a másikba, az úthossz külünbségnek (φ fáziskülönbségnek) megfelelıen. Ha φ = 0, akkor az összes fény az 1. nyalábba megy. Ugyanígy a Michelsonnál a fény vagy elhagyja az interferométert, vagy visszaverıdik a fényforrás felé. TÖBBSUGARAS INTERFERENCIA

Példák többsugaras interferenciára • • • •

diffrakciós rács síkpárhuzamos lemez (ρ >> 0) Fabry-Perot interferométer (v. etalon) vékonyréteg struktúrák (mátrixos leírásmód)

„N” db. síkhullám interferenciája ~= E

∑ E~ = ∑ E N

N

n =1

0n

n =1

0n

⋅ e iΦ n

Ẽ

S =

∑ S + ∑∑ n =1

N

n

Feltevések:

S(δ ) = S1 N

Ẽ2 Ẽ1

Fazorösszegzés:

N

Ẽn

Im

N

n =1 m =1 n≠ m

δ12(r) Φ1(r) Re

Sn Sm ⋅ cos(Φ m − Φ n )

δn+1,n = Φn+1 – Φn = δ = const. <Sn> = <S1> = const. 2

 ⋅  

sin ( N2⋅δ )   ; konstruktív interferencia: δm = m·2π, ahol m = 0, ±1, ±2, ... N ⋅ sin ( δ2 )  minimumhelyek távolsága: ∆δ = 2π/N 2

δ = OPD·2π/λ0 ;
ha δ = 2π/N ÷ OPD = λ0/N

–9/8–

Példa: diffrakciós rács

n pontforrás – ld. diffrakció jıvı órán

D – apertúra mérete a – rácsállandó n – törésmutató

D θ

a

OPD OPD = n ⋅ a ⋅ sin (θ ) 2π 2π ⋅ OPD = ⋅ n ⋅ a ⋅ sin (θ ) λ0 λ0 konstruktív interferencia: δ=

δ m = m ⋅ 2π

⇒

sin (θ m ) = m ⋅

λ0 λ = m⋅ ; n ⋅a a

m – diffrakciós rend

Felbontóképesség: R ≡ λ / ∆λ Rayleigh-kritérium: <S(λ)> minimuma <S(λ+∆λ)> maximumához esik, azaz sin (θ m (λ ) ) + ∆ sin (θ m (λ )) = sin (θ m (λ + ∆λ) ) , ahol ∆sin(θm(λ)) az elsı minimum helye. A feltételbıl meghatározható „R”:

δm

=

2π

⋅ a ⋅ sin (θ m (λ )) = m ⋅ 2π

λ 2π 2π ∆δ = ⋅ a ⋅ ∆ sin (θ m (λ ) ) = λ N

⇒ sin (θ (λ)) = ma⋅ λ ⇒ ∆ sin (θ (λ)) = a ⋅λN m

m

  ⇒ 

λ = R = m⋅ N = m⋅ D ∆λ a

Azaz minél nagyobb a rács apertúrája a rácsállandóhoz képest, annál nagyobb a felbontás, vagyis annál közelebbi spektrumvonalak is felbonthatók a ráccsal. A felbontás m-el is nı. AZ INTERFERENCIA MŐSZAKI ALKALMAZÁSÁNAK TERÜLETEI • • • • •

spektroszkópia méréstechnika holográfia interferencia szőrık lézerek

–9/9–