Učební text k přednášce UFY102
Lámavý hranol
Lom hranolem lámavé stěny lámavá hrana lámavý úhel ϕ deviace δ
úhel, o který je po výstupu z hranolu vychýlen světelný paprsek ležící v rovině
kolmé k lámavé hraně (v tzv. hlavním řezu hranolu), který se láma na obou lámavých stěnách
Obr. LH1. Hlavní řez lámavého hranolu.
Z obrázku je zřejmé, že platí
čili
δ = α1 + α 2 − ϕ
(1)
ϕ = β1 + β 2
(2)
δ = (α1 + α 2 ) − ( β 1 + β 2 )
(3)
Zákon lomu pro první a druhé rozhraní
sin α 1 = n sin β 1
(4a)
sin α 2 = n sin β 2
(4b)
Aby světlo hranolem vůbec prošlo, musí být úhel dopadu na druhé rozhraní β2 menší než mezní úhel βM, tj. z (4b) a (2) plyne
sin β 2 = sin(ϕ − β 1 ) <
1 = sin β M n
a tedy
β1 > ϕ − β M .
Ze (4a) potom vyplyne podmínka pro úhel dopadu na rozhraní α1 1 ≥ sin α1 ≥ sin α 0 = n sin(ϕ − β M ) kde α 0 je úhel dopadu na první rozhraní, při kterém bude β 2 = β M 1
Učební text k přednášce UFY102
Lámavý hranol
Z nerovnosti
n sin(ϕ − β M ) ≤ 1
sin(ϕ − β M ) ≤
⇒
1 = sin β M n
vyplývá omezující podmínka pro lámavý úhel
ϕ ≤ 2β M
(5)
a ze vztahu sin α1 ≥ sin α 0 = n sin(ϕ − β M ) dostáváme omezující podmínku pro úhel dopadu na první rozhraní
α1 ≥ α 0 = arcsin(n sin(ϕ − β M ))
(6)
Protože lámavý úhel hranolu musí být menší než dvojnásobek mezního úhlu, dopadající a prošlé paprsky jsou charakterizovány následujícími podmínkami:
α 0 < α1 < 90°
90° > α 2 > α 0
V závislosti na velikosti lámavého úhlu mohou nastat čtyři případy: 1.
ϕ = 2βM , potom ze vztahu (??) vyplývá, že sinα1 = 1 , tedy α1 = α2 = 90° a žádný paprsek hranolem neprojde.
2.
βM < ϕ < 2βM , potom úhel ϕ - βM nabývá hodnot mezi 0 a βM a 0 < n sin(ϕ − β M ) < 1 , a tedy úhel dopadu α1 může nabývat hodnot mezi α0 a 90° a úhel α2 mezi 90° a α0 (α0 > 0).
3.
ϕ = βM , potom α0 = 0 a všechny paprsky s úhlem dopadu v intervalu 0°,90° hranolem procházejí.
4.
0 < ϕ < βM , potom α0 je záporné a všechny paprsky s úhlem dopadu v intervalu
α 0 ,90° hranolem procházejí. Ze (4b) s užitím (2) a (4a) lze vyjádřit úhel α2
α 2 = arcsin(n sin β 2 ) = arcsin[n sin(ϕ − β1 )] = arcsin[n(sin ϕ cos β1 − sin β1 cos ϕ )] =
(
= arcsin sin ϕ n 2 − sin 2 α1 − sin α1 cos ϕ
)
a dosazením do (1) vyjádřit deviaci jako funkci úhlu dopadu α1
(
)
δ = α1 + arcsin sin ϕ n 2 − sin 2 α1 − sin α1 cos ϕ − ϕ
(7)
Závislost deviace δ na úhlu dopadu α1 pro hranol s lámavým úhlem ϕ = 60° a indexem lomu n = 1,5 je znázorněna na Obr. LH2.
2
Učební text k přednášce UFY102
Lámavý hranol
Sečteme-li (4a) a (4b)
sin α1 + sin α 2 = n(sin β1 + sin β 2 ) upravíme
2 sin
α1 + α 2
cos
2
α1 − α 2 2
= n.2 sin
β1 + β 2 2
cos
β1 − β 2 2
a dosazením z (1) a (2) nakonec odvodíme vztah sin
δ +ϕ
sin
2
ϕ
=
cos
β1 − β 2
cos
α1 − α 2
2
2
(8)
2
deviace δ (deg)
60 90ο+α0−ϕ
50
40 δmin
30
α0 30
αmin 40
50
60
70
80
90
úhel dopadu α1 (deg) Obr. LH2. Závislost deviace na úhlu dopadu pro hranol s lámavým úhlem ϕ = 60° a indexem lomu n = 1,5.
Minimální deviaci δmin určíme z podmínky
dδ =0 dα1
(9)
Z (1) v případě minimální deviace (podmínka (9)) dostáváme ⎛ dα 2 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = −1 ⎝ dα 1 ⎠
(10)
a diferencováním (3) a (4) dostáváme dβ1 dβ =− 2 dα 1 dα 1
3
Učební text k přednášce UFY102
ze (4a)
cos α1 = n cos β1
ze (4b)
cos α 2
a odtud
Lámavý hranol
dβ 1 dα 1
dβ dα 2 = n cos β 2 2 dα 1 dα 1
dα 2 cos α1 cos β 2 =− dα1 cos α 2 cos β1
(11)
Z (7) a (8) pro minimální deviaci získáme podmínku cos α1 cos β 2 dδ = 1− =0 cos α 2 cos β1 dα1
(12)
Umocněním a dosazením z (4) nakonec dojdeme k rovnici 1 − n 2 sin 2 β1 1 − n 2 sin 2 β 2 = cos 2 β1 cos 2 β 2 která bude splněna pokud
β1 = β 2 ≡ β
,
α1 = α 2 ≡ α
a tedy
(druhý kořen rovnice výše, β1 = − β 2 , implikuje ϕ = 0 a nemá tudíž fyzikální smysl). To, že se jedná o minimum lze ukázat výpočtem druhé derivace. Jednodušeji to lze ukázat z průběhu deviace jako funkce úhlu dopadu v intervalu α 0 ,90° : •
pro α1 = α0
⇒
α2 = 90°
⇒
cosα 2 = 0
⇒
z (10)
dδ = −∞ dα1
•
pro α1 = 90°
⇒
α2 = α0
⇒
cosα1 = 0
⇒
z (10)
dδ =1 , dα1
čili derivace deviace podle úhlu dopadu je na intervalu α 0 ,90° rostoucí funkcí a tudíž funkce δ = δ(α1) na tomto intervalu prochází minimem. Při minimální deviaci tedy nastává symetrický chod světelného paprsku hranolem, neboť ze vztahů (1) a (2) vyplývá
δ min = 2α − ϕ
a
ϕ = 2β
4
Učební text k přednášce UFY102
Lámavý hranol
Obr. LH3: Symetrický chod paprsků hranolem při minimální deviaci.
Dosazením do (4b) potom dostáváme podmínku pro úhel dopadu při minimální deviaci αmin
ϕ⎞ ⎛ α min = arcsin⎜ n sin ⎟ 2⎠
⎝
V případě minimální deviace potom z (6) vyplývá známý vztah sin α n= = sin β
sin
ϕ + δ min 2
sin
ϕ
,
(13)
2
který je používán pro určování indexu lomu skla. Změříme-li minimální deviaci δmin a lámavý úhel ϕ pomocí hranolového spektrometru, můžeme ze vztahu (13) stanovit pro danou vlnovou délku index lomu hranolu n. lámavý úhel ϕ
minimální úhel dopadu α0
minimální deviace δmin
úhel dopadu při minimální deviaci αmin
30°
-17°53´
15°41´
22°50´
40°
-2°43´
21°44´
30°52´
50°
12°20´
28°41´
39°22´
60°
27°55´
37°11´
48°35´
70°
45°7´
48°43´
59°21´
80°
68°2´
69°14´
74°37´
83°
81°3´
84°22´
83°41´
Tab. LH1: Minimální úhel dopadu, minimální deviace a úhel dopadu při minimální deviaci pro různé lámavé úhly. Hodnoty uvedené v tabulce byly vypočteny pro hranol s indexem lomu n = 1,5. Z hodnoty mezního úhlu (βM =arcsin(1/n) ≈ 41°49´) vyplývá omezující podmínka pro lámavý úhel ϕ < 2βM ≈ 83°37´. Záporné hodnoty úhlu dopadu znamenají, že dopadající paprsek leží vpravo od kolmice dopadu (úhel měříme od kolmice k paprsku).
5
Učební text k přednášce UFY102
Lámavý hranol
Disperze hranolu
Index lomu hranolu je funkcí vlnové délky λ (obr. LH4)
n = n( λ ) a proto i deviace δ bude záviset na λ
δ = δ (λ ) Úhlovou disperzi definujeme vztahem
Dα ≡
dδ dδ dn = dλ dn dλ
(14)
Zatímco první faktor na pravé straně vztahu (14) zcela závisí na geometrickém uspořádání, druhý charakterizuje disperzi materiálu, z něhož je hranol vyroben. Protože úhel dopadu α1
index lomu
1.530 1.525 1.520 1.515 1.510 400
500
600
700
800
vlnová délka (nm)
Obr. LH4: Závislost indexu lomu na vlnové délce pro sklo BK7 (Schott).
nezávisí na vlnové délce světla (předpokládáme, že na lámavou stěnu hranolu dopadá kolimovaný svazek a úhel dopadu je tudíž stejný pro všechny vlnové délky), dostáváme diferencováním (3) a (2)
dδ dα 2 = dn dn
dβ1 dβ =− 2 dn dn
a z (4)
sin β1 + n cos β1 cos α 2
dβ1 =0 dn
dα 2 dβ = sin β 2 + n cos β 2 2 dn dn
a odtud eliminujeme
6
Učební text k přednášce UFY102
Lámavý hranol
dδ sin (β1 + β 2 ) sin ϕ = = dn cos α 2 cos β1 cos α 2 cos β1
(15)
Obr. LH5: Rozklad světla hranolem.
O ϕ 2
α
α l f
vstupní šterbina
A
předmětová rovina
výstupní štěrbina
B
b
kondenzor
kolimátor
obrazová rovina
Obr. LH6: Schéma hranolového spektrografu (průchod světla při minimální deviaci).
Za podmínky minimální deviace bude mít vztah (15) tvar
ϕ
ϕ
ϕ
2sin cos 2OB sin sin ϕ sin ϕ dδ 2 2 2 =b = = = = ϕ dn cos α 2 cos β1 cos α cos ϕ OB cos α l cos α cos 2 2
(16)
kde l označuje příčný rozměr světelného svazku a b rozměr základny hranolu (viz obr. LH6). Dosazením do vztahu (14) potom dostáváme pro úhlovou disperzi hranolu vztah
Dα =
b dn l dλ
(17)
S užitím (17) potom můžeme vyjádřit změnu deviace Δδ při změně vlnové délky λ o Δλ
7
Učební text k přednášce UFY102
Δδ =
Lámavý hranol
b dn Δλ l dλ
(18)
Lineární disperzi hranolového spektrometru na obr. LH6 potom můžeme vyjádřit jako
Dl ≡ fDα = f
b dn l dλ
(19)
kde f je ohnisková vzdálenost kondenzoru. Pro b = 4 cm ,
dn = 10−4 nm -1 , l = 2 cm a f = 20 cm bude Dα = 2.10−4 rad/nm a dλ
Dl = 4.10−5 m/nm . Reciproká lineární disperze p tom bude Dr = 1 Dl = 25 nm/mm , tedy na 1 mm v obrazové rovině spektrometru padne interval vlnových délek široký 25 nm. Pokud jde o rozlišovací schopnost hranolového spektrometru, podle Rayleighova kritéria musí být (omezený příčný rozměr svazku představuje šířku "štěrbiny") úhlová vzdálenost centrálních ohybových maxim vlnové délky λ a λ + Δλ alespoň
Δδ =
λ
(20)
l
S užitím vztahu (18) dostáváme
Δδ =
b dn λ Δλ = l dλ l
(21)
Odtud snadno získáme vztah pro rozlišovací schopnost (Resolving Power)
R.P. ≡
dn λ =b Δλ dλ
(22)
Pro výše uvedený příklad bude R.P. = 4 cm . 10-4 nm -1 = 4.103 = 4000 . To znamená, že pro
λ = 500 nm jsme schopni rozlišit dvě vlnové délky lišící se o Δλ =
500 nm = 0,125 nm . 4000
8
