Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása Számtalan széls érték probléma megoldása, vagy egyenl tlenség bizonyítása nagyon gyakran, már a matematikai analízis eszközeire szorítkozik, mint például a Jensen-, Hölder-féle egyenl tlenség, deriváltak stb. A Sturm-módszerrel, számos ilyen – úgymond az algebra, mértan, trigonometria, és analízis határán „elhelyezked ” – feladat, elemi eszközökkel oldható meg. A módszert f leg változót n 2 tartalmazó, szimmetrikus kifejezések esetén alkalmazhatjuk, amikor az ismeretlenek valamilyen kikötésnek vagy feltételnek tesznek eleget. A módszer lényege röviden: állandó összeg (vagy szorzat) mellett, valamely kétváltozós kifejezés változását követjük, miközben a változókat úgy közelítjük egymáshoz, hogy az összegük (illetve a szorzatuk) állandó maradjon. A változások megfigyeléséb l, meghatározva az egyik változó értékét, újrakezdjük az eljárást, de ezúttal n 1 változó esetén. Véges ilyen lépés után, az eljárásunk véget ér. A módszer lényegét a következ feladatok segítségével jobban megérthetjük. A módszer kezdetét a következ két feladat jelenti. 1. Alkalmazás: Ha x, y R és x y S állandó, akkor a P( x, y ) x y szorzat: a) növekszik, ha az x y különbség csökken, b) csökken, ha az x y különbség növekszik. Bizonyítás: Nyilván feltehet , hogy x y , ekkor létezik olyan e 0 amelyre 2e y x . Így az x e és y e számok közelebb vannak egymáshoz, mint az x és y számok, az x x e y e y
elrendezés miatt. Mivel 2e y x , mindenképpen e y x (i). Ekkor P( x e, y e) P( x, y ) e( y x e) 0 , és ezért az a) állítás igaz. Az x e és y e számok nyílván távolabb vannak egymástól, mint az x és y számok. Az x e x y y e elrendezés miatt, hiszen x y 0 , méginkább x y e (ii). Ekkor felírható, hogy P( x e, y e) P ( x, y ) e( x y e) 0 , és ezért a b) állítás is igaz. 2. Alkalmazás: Ha x, y R és x y P , akkor az S ( x, y ) x y összeg: a) csökken, ha az x y különbség csökken, b) növekszik, ha az x y különbség növekszik. Bizonyítás: Nyilván feltehet , hogy 0 x y , ekkor létezik olyan k 1 y y amelyre k 2 . Így a kx és számok x k közelebb vannak egymáshoz, mint az x és y y számok, a 0 x kx y elrendezés k y 1 k2 miatt. Mivel , ezért x y mindenképpen 1 k (iii). Ekkor x y x y S kx, S ( x, y ) (k 1) k 0, k k x ezért az a) állítás igaz. A b) állítás bizonyítása is hasonló, ott ellenben a k (0,1) feltételt kell figyelembe venni. A továbbiakban terjesszük ki az el tulajdonságokat a klasszikus számtani- és mértani közepek közötti egyenl tlenség bizonyítására.
1
3. Alkalmazás: Ha minden n 2 esetén x1 , x2 ,..., xn R , akkor fennáll az x1
x2 ... xn n
n
x1 x2 ...xn egyenl tlenség.
Bizonyítás: Feltételezzük, hogy 0 x1 x2 ... xn , és legyen P( x1 , x2 ,..., xn ) x1 x2 ... xn , valamint x1 x2 ...xn S , bármely n 2 esetén. Rögzítsük az x3 , x4 ,..., xn értékeket, és az x1 , x2 változó marad. Tehát x1 x2 S ( x3 x4 ... xn ) állandó. Az 1. Alkalmazás alapján, ha az x2 x1 különbség csökken, akkor a P( x1 , x2 ,..., xn ) S szorzat növekszik. De x1 , ezért az n x2 x1 különbség akkor csökken a S legtöbbet, ha éppen x1 . n S Tehát P ( x1 , x2 ,..., xn ) P , x2 ,..., xn (1). n S (n 1)S . Továbbá x2 x3 ...xn S n n Az el bbiek mintájára rögzítsük az x4 , x5 ,..., xn számokat, az x2 , x3 pedig legyen változó. Tehát az (n 1)S x2 x3 ( x4 x5 ... xn ) n állandó. Továbbá az x3 x2 csökkenése, a P( x1 , x2 ,..., xn ) szorzat növekedését idézi (n 1) S S : (n 1) , így az el . De x2 n n el ek alapján azt kapjuk, hogy S S S P , x2 ,..., xn P , , x3 ,..., xn (2). n n n Könnyen belátható, hogy ha tovább folytatjuk az eljárást, akkor végül is n
S S S S P( x1 , x2 ,..., xn ) P , ,..., n n n n adódik, ami éppen a bizonyítandó egyenl tlenséget jelenti. Megjegyzések: A bizonyítottakból megállapíthatók, hogy:
1) Ha az x1 x2 ...xn S összeg állandó, akkor a P( x1 , x2 ,..., xn ) x1 x2 ... xn szorzat akkor a legnagyobb, ha x1 x2 ... xn . 2) Ha az x1 x2 ... xn P szorzat állandó, akkor az S ( x1 , x2 ,..., xn ) x1 x2 ... xn összeg akkor a legkisebb, ha x1 x2 ... xn . 4. Alkalmazás: n
Ha x1 , x2 ,..., xn
xi
0 és
, akkor
i 1 n
n
. n Bizonyítás: A szimmetria miatt feltételezhet , hogy 0 x1 x2 ... xn (1) sin xi
sin
i 1
Rögzítsük az x3 , x4 ,..., xn értékeket, így n
x1 x2
S állandó (2), ahol S
xi . i 3 n
Legyen továbbá E ( x1 , x2 ,..., xn )
sin xi . i 1
Közelítsük az x1 , x2 értékeket úgy, hogy az összegük S maradjon. Két ilyen érték tehát x1 e és x2 e , ahol 0 e x2 x1 . Ekkor E ( x1 e, x2 e, x3 ,..., xn ) E ( x1 , x2 ,..., xn ) n 1 cos( x2 x1 2e) cos( x2 x1 ) sin xi 2 i 3 (3). De 0 x2 x1 2e x2 x1 , ezért cos( x2 x1 2e) cos( x2 x1 ) , tehát a (3) sorában lev különbség pozitív. Tehát, ha x2 x1 csökken, és x1 x2 S állandó, akkor E ( x1 , x2 ,..., xn ) növekszik. n
xi
Az (1) és
alapján,
i 1
(ellenkez esetben x1 x2 ...xn Tehát a (2) feltétellel, az x2 legkisebb,
ha
E ( x1 , x2 ,..., xn )
E
x2
x3
... xn ,
x1
n x2
x1
n lenne)
x1 távolság a n
.
Így
, x2 ,..., xn . Most az x3 ... xn
(n 1) n
2
és x2 x3 S (állandó) feltétel mellett megismételjük az eljárást és hasonlóan kapjuk, hogy
E ( , x2 ,..., xn ) E , , x3 ,..., xn . Még n n n (n-1)-szer megismételve az eljárást, végül is a láncszabály alapján azt kapjuk, hogy n
E ( x1 , x2 ,..., xn )
E
, ,..., sin n n n n vagyis éppen amit bizonyítani akartunk. 5. Alkalmazás: Ha x1 , x2 ,..., xn 0 és n
n
xi
x n , akkor
(1 xi ) (1 x)n .
i 1
i 1
Bizonyítás: Feltételezzük, hogy 0 x1 x2 ... xn (1). Rögzítsük az x3 , x4 ,..., xn értékeket, így x1 x2 P (2) x n : ( x1 x2 ...xn ) . Legyen
állandó, ahol P n
E ( x1 , x2 ,..., xn )
(1 xi ) ,
k>1
és
i 1
x x2 . Ekkor kx1 közelebb van az 2 k x1 számhoz, mint az x1 az x2 -höz, és x2 1 k . Tehát felírható, hogy: x1 x E (kx1 , 2 , x3 ,..., xn ) E ( x1 , x2 ,..., xn ) k n x1 x (1 k ) 2 k (1 xi ) 0 . Tehát, k x1 i 3
k2
ha az
x1 , x2 értékeket úgy közelítjük egymáshoz, hogy a szorzatuk P x1 x2 állandó marad, az E ( x1 , x2 ,..., xn ) kifejezés n
xi
csökken. Az
x n és az (1) alapján
i 1
biztosan igaz, hogy x1 x . Tehát az x2 x1 különbség a legkisebb, ha x1 x , így E ( x1 , x2 ,..., xn ) E ( x, x2 ,..., xn ) . Az eljárás ismételt alkalmazásával, a láncszabály alapján azt kapjuk, hogy n E ( x1 , x2 ,..., xn ) E ( x, x,..., x) 1 x . Ezzel tulajdonképpen a
n
(1 xi ) i 1
n
n
1
xi
n
egyenl tlenséget
i 1
igazoltuk. A továbbiakban, bizonyos megszorításokkal szorzatok legkisebb, vagy összegek legnagyobb értékét vizsgáljuk. 3 6. Alkalmazás: Ha x, y, z 0, és 2 x y z 1, határozzuk meg az S ( x, y, z ) x y z összeg maximumát. Megoldás: Feltételezzük, hogy 3 0 x y z . Rögzítsük a z értékét és 2 1 x, y maradjon változó. Ekkor x y z állandó. Ha az y x különbség növekszik, akkor az S ( x, y, z ) összeg csökken. Az y x különbség annál nagyobb, minél kisebb az x értéke. Mivel 1 1 4 4 x x a , ezért yz 3 3 9 9 2 2 legkisebb elérhet érték. Így 4 4 S ( x, y , z ) S , y , z y z . Ezúttal 9 9 9 most y z , és a z y különbség 4 növekedésével az y z összeg csökken. 9 9 3 3 Mivel y a , ezért y 4z 4 3 2 2 2 legkisebb elérhet érték. De ekkor az 9 3 y z alapján z , tehát 4 2 4 3 3 4 3 3 31 S ( x, y , z ) S , , . 9 2 2 9 2 2 9 7. Alkalmazás: Ha x, y, z 0 és x y z 1, akkor yz zx xy 1 . x 1 y 1 z 1 4 Bizonyítás: A feladatot átírva azt kapjuk, hogy:
3
1 x 1 y 1 z 1 4 .Ha most alkalmazzuk az x 1, y 1, z 1 értékekre a számtani és a harmonikus közepek közötti egyenl tlenséget, akkor 3 x 1 y 1 z 1 4 1 1 1 3 3 x 1 y 1 z 1 1 1 1 9 vagyis . Így ha x 1 y 1 z 1 4 x, y, z 0 és x y z 1 , elegend bizonyítani, hogy: 9 1 E ( x, y , z ) xy yz zx xyz (*). 4 4 Feltételezzük, hogy 0 x y z (1), és rögzítsük a z értékét. Tehát x y 1 z (állandó) (2). Közelítsük az x< y értékeket egymáshoz úgy, hogy közben az összeg változatlan maradjon. Ekkor tehát xy
yz zx xyz
1
1
1
E ( x e, y e, z ) E ( x, y , z ) e( y x e) 1
9 z 4
(**), ahol 0 e y x . Ennek alapján: 4 1) Ha z , a (**) különbség pozitív, így 9 E ( x, y , z ) akkor növekszik, ha az x és az y közeledik egymáshoz. Az x y z 1 és 1 (1) miatt x , a (2) alapján az x 3 1 legközelebb van az y-hoz, ha x . Tehát 3 1 2 E ( x, y , z ) E , y , z , ahol y z és 3 3 2 1 y z . Hasonlóan y :2 , így az y a 3 3 1 legközelebb áll a z-hez, ha y , ezért 3 1 1 1 1 1 1 z . Tehát E , y , z E , , 3 3 3 3 3 4 4 2) Ha z , akkor a (**) különbség 9 negatív, így E ( x, y , z ) akkor növekszik, ha x-et és y-t távolítjuk egymástól, persze x+ y= 1-z állandó marad. Az (1) és (2) miatt az x=0, az y-tól a legtávolabbi értéket
adja. Így E ( x, y , z )
E 0, y, z
yz , ahol
y z 1 és y
z . Most az y -t és a z -t 1 közelítenünk kell egymáshoz. De y 2 miatt a legközelebbi y érték a z-hez, az 1 1 y , ahonnan z . Tehát 2 2 1 1 1 E 0, y , z E 0, , . Ezek szerint 2 2 4 1 E ( x, y , z ) maximális, ha x y z 3 1 vagy x 0, y z és a szimmetria 2 miatt, ennek a cirkuláris permutációi. 7 8. Alkalmazás: Ha u , v, w 0, és 16 határozzuk meg az u v w 1, E (u , v, w) (1 u )(1 v)(1 w) kifejezés legkisebb értékét. Megoldás: Feltételezzük, hogy 7 0 u v w (1). Rögzítsük a w -t, 16 legyen u v , miközben u v 1 w állandó (2). Közelítsük egymáshoz az u -t és a v -t úgy, hogy az összegük maradjon állandó. Ekkor felírható, hogy E (u e, v e, w) E (u , v, w) e(1 w) v u e
ami azt jelenti, hogy E (u, v, w) növekszik, így a minimum meghatározásánál ez nem segít. Távolítsuk hát az u -t és a v -t úgy, hogy az összegük maradjon állandó. Ekkor az u v 1 w és (1) feltételek mellett a vl a legtávolabbra es u érték nem 0, hiszen u= 0 esetén v+ w= 1 lenne, ahonnan 1 7 w lenne, ami ellentmond a w 2 16 7 7 feltételnek. Mivel 1 u v w , 16 16 1 1 ezért u , így u a megfelel . Ekkor 8 8 1 1 7 E (u , v, w) E , v, w , v w és 8 8 27 1 7 v w 1 (3). További csökkentés 8 8
4
0
végett a w és v közötti távolságot ismét növelni kell. Mivel 7 7 7 7 v w v , ezért v a 8 16 16 16 legközelebbi v érték a w-hez, és a (3) 7 alapján w . Tehát 16 2 1 1 7 7 9 23 E , v, w E , , . 8 8 16 16 8 16 Ezek szerint E (u, v, w) akkor a legkisebb, 1 7 ha u ,v w és ennek a cirkuláris 8 16 permutációi. A módszer jobb elmélyítése végett, az érdekl Olvasónak a következ feladatok megoldását javasoljuk: n
1) Ha x1 , x2 ,..., xn
xi
és
0,1
S,
i 1 n
akkor 1 S
(1 xi ) i 1
1 1 S
7) Ha x, y, z
0 és x
y z 1 , akkor 7 5( x 2 y 2 z 2 ) 18 xyz . 3 8) Ha x, y, z 0 és x y z 1 , akkor 7 0 xy yz zx 2 xyz 27 23 9) Ha x, y , z 1, és x y z 4 , 16 határozzuk meg az F ( x, y, z ) xyz kifejezés legkisebb értékét. Forrásanyag: [1] Mircea Ganga: Teme si probleme de matematica, Editura Tehnica, Bucuresti1991 (117.- 123. oldal) [2] L. Panaitopol és társai: Egyenl tlenségek (magyarra fordította András Szilárd), Gil Könyvkiadó, Zilah, 1996
.
n
2) Ha x1 , x2 ,..., xn
1 , akkor
xi
0 , és i 1
n
n
n 1
xi (1 xi )
.
n 2n
i 1
n
3) Ha x1 , x2 ,..., xn
xi
0,1 és
1,
i 1 n
1
i 1
1 xi
akkor
n2 . n 1
4) Ha x1 , x2 ,..., xn n
0,1 , akkor
n
(1 xi ) 1
xi . i 1
i 1
n
5) x1 , x2 ,..., xn
xi
1 , és
x n , akkor
i 1 n
1
n
i 1
1 xi
1 x
. Amennyiben
x1 , x2 ,..., xn 0,1 , akkor az egyenl tlenség fordított irányú. n
6) Ha x1 , x2 ,..., xn
xi
0 és
S , akkor
i 1
n
i 1
1 1 xi
n 1 S
n
.
5
