BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
BAB 2 SEMIGRUP DAN MONOID
Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan memahami konsep dari Semigrup dan Monoid
Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan penjelasan mengenai operasi biner pada himpunan, mahasiswa minimal 80% dapat : a. Menjelaskan definisi dari Semigrup b. Menentukan suatu operasi biner adalah Semigrup c. Menjelaskan definisi dari Monoid d. Menentukan suatu operasi biner adalah Monoid
Deskripsi Singkat : Dalam bab ini merupakan kelanjutan dari bab 1, jika dalam bab sebelumnya dijelaskan mengenai struktur aljabar yang mempunyai satu atau dua operasi biner, dalam bab ini akan dibahas mengenai Semigrup yang mempunyai satu prasyarat tertutup dan assosiatif dari operasinya dan bila Semigrup memiliki unsur kesatuan maka dinamakan Monoid.
25
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
2.1. Semigrup dan Monoid Telah kita pelajari konsep grupoid yaitu suatu struktur aljabar dengan satu operasi biner. Grupoid adalah suatu struktur aljabar hanya dengan satu operasi biner saja dan tanpa syarat apa-apa, yang merupakan struktur aljabar yang paling sederhana. Dalam sub pokok bahasan ini, akan dipelajari struktur aljabar dengan satu operasi biner, tetapi sudah diberi prasyarat yaitu sifat tertutup dan assosiatif dari operasinya.
Definisi 2.1 : Suatu grupoid (G,+) dikatakan semigrup terhadap penjumlahan jika memenuhi syarat-syarat : 1. (G,+) tertutup terhadap penjumlahan 2. Assosiatif terhadap penjumlahan
Contoh 2.1 : Grupoid bilangan asli N, bilangan bulat Z, bilangan rasional Q dan bilangan R, merupakan semigrup terhadap penjumlahan dengan lambang (N,+), (Z,+), (Q,+) dan (R,+).
Definisi 2.2 : Suatu grupoid (G,.) dikatakan semigrup terhadap perkalian jika memenuhi syarat-syarat : 1. (G, .) tertutup terhadap perkalian 2. Assosiatif terhadap perkalian
26
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
Contoh 2.2 : Grupoid bilangan asli N, bilangan bulat Z, bilangan rasional Q dan bilangan R, merupakan semigrup terhadap perkalian dengan lambang (N, .) untuk bilangan asli, (Z, .) untuk bilangan bulat, (Q, .) untuk bilangan rasional dan (R, .) bilangan real.
Contoh 2.3 : Misalkan himpunan bilangan asli N, didefinisikan sebagai operasi biner a * b = a + b + ab. Tunjukan bahwa (N,*) adalah suatu semigrup. Penyelesaian : 1. Tertutup Misalkan a, b ∈N a * b = a + b + ab ∈ N maka a * b tertutup terhadap bilangan asli N. 2. Assosiatif Misalkan a, b, c ∈N (a * b) * c
= (a + b + ab) + c = (a + b + ab) + c + (a + b + ab) c = a + b + ab + c + ac + bc + abc
a * (b * c)
= a * (b + c + bc) = a + (b + c + bc) + a (b + c + bc) = a + b + c + bc + ab + ac + abc
Maka ∀ a, b, c ∈ N berlaku (a * b) * c = a * (b * c) Jadi, (N,*) yang didefinisikan a * b = a + b + ab merupakan suatu semigrup
27
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
Contoh 2.4 : Misalkan suatu grupoid yang didefinisikan dalam disajikan daftar Cayley sebagai berikut :
Tabel 2.1. Daftar Cayley suatu grupoid .
a
b
c
d
a
b
c
d
a
b
d
a
b
c
c
a
b
c
d
d
c
d
a
b
Tunjukan apakah grupoid tersebut merupakan suatu semigrup. Penyelesaian : Akan ditunjukan apakah grupoid tersebut assosiatif atau bukan. Misalkan x = a, y = a dan z = a (x . y) . z
= (a . a) . a =b.a =d
x . (y . z)
= a . (a . a) =a.b =c
didapat (x . y) . z = d dan x . (y . z) = c sehingga (x . y) . z ≠ x . (y . z) Jadi grupoid tersebut bukan merupakan suatu semigrup.
28
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
Suatu semigrup yang memiliki unsur satuan atau identitas dinamakan sebuah monoid, dijelaskan pada definisi berikut ini :
Definisi 2.3 : Suatu grupoid (G,+) dikatakan monoid terhadap penjumlahan jika memenuhi syarat-syarat : 1. (G,+) tertutup terhadap penjumlahan 2. Assosiatif terhadap penjumlahan 3. Mempunyai unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan Dengan kata lain, semigrup terhadap penjumlahan yang mempunyai unsur satuan atau identitas (e = 0) disebut monoid terhadap penjumlahan.
Contoh 2.5 : Grupoid-grupoid bilangan bulat (Z,+), bilangan rasional (Q,+)
dan
bilangan (R,+), merupakan monoid-monoid karena selain kesemuanya memiliki sifat assosiatif, kesemuanya juga memiliki unsur satuan atau identitas yaitu nol (0).
Definisi 2.4 : Suatu grupoid (G, .) dikatakan monoid terhadap perkalian jika memenuhi syarat-syarat : 1. (G, .) tertutup terhadap perkalian 2. Assosiatif terhadap perkalian 3. Mempunyai unsur satuan atau identitas terhadap perkalian Dengan kata lain, semigrup terhadap perkalian yang mempunyai unsur satuan atau identitas (e = 1) disebut monoid terhadap perkalian.
29
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
Contoh 2.6 : Grupoid-grupoid bilangan bulat (Z, .), bilangan rasional (Q, .)
dan
bilangan (R, .), merupakan monoid-monoid karena selain kesemuanya memiliki sifat assosiatif, kesemuanya juga memiliki unsur satuan atau identitas yaitu satu (1).
Kalau kita buat bagan yang melukiskan suatu struktur aljabar yang berupa semigrup dan monoid dapat diperoleh gambar sebagai berikut :
HIMPUNAN ≠0
GRUPOID
Assosiatif operasi biner
satu operasi biner
SEMIGRUP STRUKTUR ALJBAR ∃ Identitas
MONOID
Gambar 2.1. Bagan dari suatu Semigrup dan Monoid
30
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
2.2. Rangkuman
1. Suatu grupoid (G,*) dikatakan semigrup jika memenuhi syarat-syarat : •
(G,*) tertutup
•
Assosiatif
2. Suatu grupoid (G,*) dikatakan monoid jika memenuhi syarat-syarat : •
(G,*) tertutup
•
Assosiatif
•
Mempunyai unsur satuan atau identitas
Dengan kata lain, semigrup yang mempunyai unsur satuan atau identitas disebut monoid.
2.3. Soal-soal Latihan
1. Misalkan himpunan bilangan asli N, didefinisikan sebagai operasi biner x * y = x + y - xy. Tunjukan bahwa (N,*) adalah suatu semigrup.
2. Dari soal no.2, tunjukan bahwa (N,*) merupakan monoid. 3. Tunjukan bahwa operasi biner dari a + b dan a . b di Z+ memenuhi sifat-sifat dari : a. semigrup b. monoid.
31
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
4. Misalkan X = {0, 1, 2, 3} dimana X ⊆ Z. Diketahui : a*b=c 3*1=0 3*2=1 3*3=2 Buatlah tabel operasi biner dan apakah memenuhi sifat-sifat semigrup dan monoid.
♠♣♥♣♠
32
