Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat dari Grup Faktor

BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI

BAB 5 GRUP FAKTOR

Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat dari Grup Faktor

Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan penjelasan mengenai relasi, koset dan subgroup normal, mahasiswa minimal 80% dapat : a.

Menentukan relasi ekuivalen dari Grup

b.

Menentukan Koset Kiri dari Grup

c.

Menentukan Koset Kanan dari Grup

d.

Menjelaskan definisi dari Subgrup Normal

e.

Menjelaskan pengertian Grup Faktor

f.

Mengidentifikasi apakah suatu Subgrup Normal membentuk Grup Faktor

Deskripsi Singkat : Pada bab 3 telah diperkenalkan konsep tentang Subgrup, yaitu suatu himpunan bagian dari suatu Grup yang merupakan Grup terhadap operasi yang sama, yaitu operasi yang ada dalam Grup tersebut. Dalam bab ini akan diperkenalkan dengan Subgrup Normal yaitu suatu Subgrup yang mempunyai sifat tambahan. Gabungan dari koset-koset dari suatu Subgrup Normal dapat membentukan suatu Grup yang dinamakan Grup Faktor.

74


5.1 Relasi Ekuivalen Pada bab 1, telah dijelaskan secara singkat mengenai relasi. Suatu relasi T dari himpunan A ke himpunan B adalah adalah himpunan bagian dari A X B. Bila pasangan (a,b) merupakan anggota dari T, maka a berelasi dengan b, dan ditulis sebagai aTb. Bila (a,b) bukan merupakan anggota dari T, maka a tidak berelasi dengan b, dan ditulis aTb. Relasi-relasi dalam kehidupan sehari-hari misalnya “orang tua dari”,

“lebih pintar dari”, ”berasal dari daerah yang sama dengan”. Sedangkan relasi-relasi dalam matematika misalnya “sama dengan”, “adalah anggota

dari”, dan “sebangun”. Suatu relasi T dari A ke B mempunyai sifat bahwa untuk suatu unsur a ∈ A dan b ∈ B, maka aTb atau aTb. Suatu fungsi f : A B menunjukkan suatu relasi T dari A ke B yang memberikan aTb yang artinya f(a) = b. Himpunan bagian T dari A X B adalah grafik dari fungsi tersebut. Dengan demikian maka relasi-relasi adalah keadaan yang umum daripada fungsi-fungsi. Satu unsur dapat berelasi dengan beberapa unsur atau tidak berelasi sama sekali. Suatu relasi dari himpunan A ke A sendiri disebut relasi pada A. Suatu terurut parsial pada suatu himpunan, misalnya “≤” pada himpunan bilangan-bilangan real, atau “himpunan bagian dari (⊆)” pada suatu himpunan kuasa P(X) adalah relasi pada himpunan-himpunan tersebut.

“sama dengan (=)”

adalah relasi pada suatu himpunan S dan

didefinisikan oleh himpunan bagian {(a,a), a ∈ A} dari A X A. Suatu relasi ekuivalen adalah relasi yang mempunyai beberapa sifat yang harus dipenuhi, seperti dalam definisi berikut :

75


Definisi 5.1 : Suatu relasi T pada himpunan A disebut relasi ekuivalen bila memenuhi sifat-sifat berikut : a. aTa berlaku ∀ a ∈ A

(Sifat Refleksif)

b. aTb maka bTa berlaku ∀ a,b ∈ A

(Sifat Simetris)

c. aTb dan bTc, maka aTc berlaku ∀ a,b,c ∈ A

(Sifat Transitif)

Bila T adalah suatu relasi ekuivalen pada himpunan A dan a ∈ A, maka [a] = {x ∈ A | xTa} disebut kelas ekuivalen yang memuat a. Himpunan dari semua kelas ekuivalen disebut himpunan faktor dari A oleh T, dan ditulis A/T. Jadi : A/T = {[a] | aTA} Suatu koleksi dari himpunan-himpunan bagian tak kosong disebut partisi dari himpunan A bila gabungan dari himpunan-himpunan bagian tersebut adalah A dan sebarang dua himpunan bagian tersebut adalah lepas.

Contoh 5.1 : Misalkan n adalah bilangan bulat positif, a dan b adalah bilangan-bilangan bulat. Kita katakan bahwa a kongruen dengan b modulo n, bila n membagi a – b, yang ditulis : a ≡ b mod n Himpunan dari kelas-kelas ekuivalen tersebut disebut himpunan dari bilangan-bilangan bulat modulo n dan ditulis dengan Zn. Tunjukan bahwa relasi kongruen modulo n adalah suatu relasi ekuivalen pada himpunan bilangan bulat Z.

76


Penyelesaian : a ≡ b mod n bila dan hanya bila n | (a – b) a. Sifat Refleksif ∀a∈Z Bila n | (a – a), ini berarti a ≡ a mod n, sehingga aTa b. Sifat Simetris ∀ a,b ∈ Z Bila n | (a – b), ini berarti a ≡ b mod n, sehingga aTb Bila n | –(a – b) = n | (b –a), ini berarti b ≡ a mod n, sehingga bTa Jadi bila aTb maka bTa c. Sifat Transitif ∀ a,b,c ∈ Z Bila n | (a – b), ini berarti a ≡ b mod n, sehingga aTb Bila n | (b – c), ini berarti b ≡ c mod n, sehingga bTc Bila n | (a – b) + (b – c) = n | (a – c), ini berarti a ≡ c mod n, sehingga aTc Jadi, bila aTb dan bTc, maka aTc Jadi kongruensi modulo n adalah suatu relasi ekuivalen pada himpunan Z.

Di dalam relasi kongruensi modulo 2, mempunyai kelas-kelas ekuivalen sebagai berikut : [0]

= {…, -2, 0, 2, 4, 6, …} [2] = {…, 0, 2, 4, 6, 8, …} = [0]

[1]

= {…, -1, 1, 3, 5, 7, …} [2] = {…, 1, 3, 5, 7, 9, …} = [1]

Suatu kelas ekuivalen pada bilangan bulat modulo 2 haruslah satu diantara [0] atau [1], dan Z2 = {[0], [1]} Suatu kelas ekuivalen pada bilangan bulat modulo n adalah Zn = {[0], [1], [2], …, [n – 1]}, merupakan kongruen n dengan sisa pembangian n.

77


Salah satu himpunan dari kelas-kelas ekuivalen yang termasuk ke dalam kelas sederhana (dasar) adalah himpunan bilangan-bilangan rasional, misalkan

1 2 dan merupakan bilangan rasional yang sama. 2 4

Pada konsep dari kelas ekuivalen didefinisikan relasi T pada Z X Z* (dengan Z* = Z - {0}) oleh (a,b)T(c,d) bila dan hanya bila ad = bc. Relasi tersebut adalah relasi ekuivalen pada Z X Z*, dan kelas-kelas ekuivalen tersebut disebut bilangan rasional. Relasi ekuivalen tersebut ditulis [(a,b)] oleh

a 1 2 . Jadi (1,2)T(2,4), maka = . b 2 4

4.1. Koset dan Teorema Lagrange Pada sub bab 6.1. dijelaskan bahwa relasi kongruensi modulo n pada himpunan bilangan bulat Z dapat didefinisikan oleh a ≡ b mod n bila dan hanya bila a – b ∈ nZ, dimana nZ adalah Subgrup dari Z yang memuat semua bilangan bulat yang merupakan kelipatan dari n. Pada sub bab ini, akan dibahas mengenai konsep relasi ekuivalen dan kekongruenan yang didefinisikan ke dalam suatu Grup dengan modulonya salah satu dari Subgrupnya.

Definisi 5.2 : Misalkan (G,*) adalah suatu Grup dan H suatu Subgrup dari G. Untuk a,b ∈ G, dikatakan bahwa a kongruen dengan b modulo H, dan ditulis a ≡ b mod H, bila dan hanya bila ab-1 ∈ H.

Pada definisi berikut ini akan dijelaskan mengenai koset kiri dan koset kanan.

78


Definisi 5.3 : Relasi a ≡ b mod H adalah suatu relasi ekuivalen pada G. Kelas ekuivalen yang memuat a dapat ditulis sebagai bentuk Ha = {ha, h ∈ H} disebut koset kanan dari H dalam G dan bila aH = {ah, h ∈ H} disebut koset kiri dari H dalam G. Unsur a disebut generator dari koset tersebut.

Contoh 5.2 : Misalkan (G,+) = Z4 adalah suatu Grup dan H = {0,2} adalah merupakan Subgrup dari G. Tentukan koset kiri dan koset kanan dari H dalam G. Penyelesaian : (G,+) = Z4 = {0, 1, 2, 3}, generatornya 0, 1, 2, dan 3 Koset kiri :

0 + H = 0 + {0,2} = {0,2} 1 + H = 1 + {0,2} = {1,3} 2 + H = 2 + {0,2} = {2,0} 3 + H = 3 + {0,2} = {3,1}

Koset kanan:

H + 0 = {0,2} + 0 = {0,2} H + 1 = {0,2} + 1 = {1,3} H + 2 = {0,2} + 2 = {2,0} H + 3= {0,2} + 3 = {3,1}

Sehingga : 0 + H = H + 0= {0,2} 1 + H = H + 1= {1,3} 2 + H = H + 2 = {0,2} 3 + H = H + 3 = {1,3} Maka koset kiri = koset kanan

Contoh 5.3 : Misalkan 3Z adalah merupakan Subgrup dari Z. Tentukan koset kiri dan koset kanan dari 3Z dalam Z.

79


Penyelesaian : Kita akan selidiki koset kiri dan koset kanan terhadap operasi penjumlahan dan operasi perkalian. Diketahui : Z

= { …, -2, -1, 0, 1, 2, …}

3Z

= {…., -6, -3, 0, 3, 6, …}

a. Terhadap operasi penjumlahan Koset kiri : -2 + 3Z

= {…., -8, -5, -2, 1, 4, …}

-1 + 3Z

= {…., -7, -4, -1, 2, 5, …}

0 + 3Z

= {…., -6, -3, 0, 3, 6, …}

1 + 3Z

= {…., -5, -2, 1, 4, 7, …}

2 + 3Z

= {…., -4, -1, 2, 5, 8, …}

Koset kanan: 3Z + (-2) = {…., -8, -5, -2, 1, 4, …} 3Z + (-1) = {…., -7, -4, -1, 2, 5, …} 3Z + 0

= {…., -6, -3, 0, 3, 6, …}

3Z + 1

= {…., -5, -2, 1, 4, 7, …}

3Z + 2

= {…., -4, -1, 2, 5, 8, …}

Koset kiri = Koset kanan b. Terhadap operasi perkalian Koset kiri : -2 . 3Z

= {…., 12, 6, 0, -6, -12, …}

-1 . 3Z

= {…., 6, 3, 0, -3, -6, …}

0 . 3Z

= {0}

1 . 3Z

= {…., -6, -3, 0, 3, 6, …}

2 . 3Z

= {…., -12, -6, 0, 6, 12, …}

80


Koset kanan: 3Z . (-2) = {…., 12, 6, 0, -6, -12, …} 3Z . (-1) = {…., 6, 3, 0, -3, -6, …} 3Z . 0

= {0}

3Z . 1

= {…., -6, -3, 0, 3, 6, …}

3Z . 2

= {…., -12, -6, 0, 6, 12, …}

Koset kiri = Koset kanan

Contoh 5.4 : Misalkan G3 adalah suatu Grup dalam

S3 terhadap perkalian dan

H ={(1), (1 2 3), (1 3 2)} adalah Subgrupnya. Carilah koset kiri dan koset kanan dengan generator a = (1 2). Penyelesaian : Diketahui : H

={(1), (1 2 3), (1 3 2)} 1 2 3  1 2 3 1 2 3  ,  ,   =  1 2 3  2 3 1 3 1 2 

a

= (1 2)  1 2 3  =   2 1 3

Koset kiri : aH

 1 2 3  =   2 1 3

1 2 3  1 2 3 1 2 3  ,  ,    1 2 3  2 3 1 3 1 2 

 1 2 3 1 2 3  1 2 3 ,  ,   =   2 1 3 1 3 2  3 2 1 = {(1 2), (2 3), (1 3)}

81


Koset kanan : Ha

1 2 3  1 2 3 1 2 3   1 2 3 ,  ,     =  1 2 3  2 3 1 3 1 2   2 1 3  1 2 3 1 2 3 1 2 3  ,  ,   =   2 1 3 3 2 1 1 3 2  = {(1 2), (1 3), (2 3)} = {(1 2), (2 3), (1 3)}

Jadi koset kiri = koset kanan

Dari

contoh-contoh

tersebut,

ternyata

bahwa

setiap

koset

mempunyai unsur-unsur yang sama banyaknya. Akan kita gunakan hasil tersebut untuk membuktikan teorema yang terkenal dari Joseph Lagrange (1736 – 1813).

Teorema 5.1 : (Teorema Lagrange) Bila G adalah suatu Grup terhingga dan H Subgrup dari G, maka |H| membagi |G|. Bukti : Misalkan koset-koset kiri dari H dalam G membentuk partisi dari G, sehingga G dapat ditulis sebagai gabungan dari koset-koset yang lepas (disjoint) sebagai berikut : G = a1H ∪ a2H ∪ a3H ∪ … ∪ akH untuk suatu himpunan terhingga dengan unsur-unsur a1, a2, a3, …, a3 ∈G. |H| adalah sebagai banyaknya unsur-unsur dalam tiap-tiap koset. Jadi, jumlah semua unsur dalam gabungan : G = a1H ∪ a2H ∪ a3H ∪ … ∪ akH = |G| = k |G| Oleh karena itu, |H| membagi |G|.

82


Dengan kata lain, koset-koset dapat membentuk partisi artinya gabungan dari koset-koset itu dapat membentuk Grup itu sendiri dan interaksi dari kedua koset tersebut dapat membentuk himpunan kosong.

Contoh 5.5 : Dalam contoh 6.2, G = Z4 = {0, 1, 2, 3} dan H = {0,2} Misalkan kita ambil koset kiri : 0 + H = {0,2} 1 + H = {1,3} 2 + H = {0,2} 3 + H = {1,3} Maka :

0 + H = 2 + H = {0,2} 1 + H = 3 + H = {1,3}

Sehingga : (0 + H) ∪ (1 + H) = {0,1,2,3} = G (0 + H) ∩ (1 + H) = φ = { }

Definisi 5.4 : Bila H adalah Subgrup dari G, maka banyaknya koset yang berbeda dari H dalam G disebut indeks dari H dalam G, dan ditulis : Ind|G : H|

Definisi 5.5 : Bila G adalah suatu Grup terhingga dan H adalah merupakan Subgrup dari G, maka: Ind|G : H| =

|G | |H|

Definisi 5.6 : Bila a suatu unsur dari Grup terhingga, maka a|G| = e

83


Definisi berikut merupakan akibat langsung dari pembuktian toerema Lagrange.

Fungsi teorema Lagrange salah satunya adalah untuk mencari banyaknya koset relatif yang ada pada Subgrupnya. Seperti akan diperlihatkan pada contoh berikut ini.

Contoh 5.6 : Dalam contoh 2, G = Z4 = {0, 1, 2, 3} dan H = {0,2} Indeks dari H dalam G adalah : Ind|G : H| =

|G | 4 = = 2 |H | 2

4.2. Subgrup Normal dan Grup Faktor Pada sub bab ini akan dibahas mengenai himpunan faktor yang merupakan suatu Grup dengan perkalian yang didefinisikan dalam G. Misalkan G adalah merupakan suatu Grup dengan H adalah Subgrup dari G dan Relasi a ≡ b mod H adalah suatu relasi ekuivalen pada G. Akan kita tunjukkan himpunan faktor yang merupakan suatu Grup dengan perkalian yang didefinisikan dalam G berlaku bila dan hanya bila koset kiri dari H dalam G aH = {ah, h ∈ H} sama dengan koset kanan Ha = {ha, h ∈ H}.

Definisi 5.7 : Misalkan H adalah suatu Subgrup dari Grup G, Subgrup H dikatakan Subgrup Normal dari G bila g-1hg ∈ H untuk setiap g ∈G dan h ∈H.

84


Definisi 5.8 : Misalkan H adalah suatu Subgrup Normal dari Grup G, maka setiap koset kiri dari H dalam G juga merupakan koset kanannya (aH = Ha).

Dari definisi tersebut dapat dikatakan untuk menentukan bahwa suatu Subgrup H adalah Subgrup Normal dari Grup G, maka harus dibuktikan bahwa koset-koset kiri dari H dalam G sama dengan kosetkoset kanan dari H dalam G (aH = Ha). Jika H adalah merupakan Subgrup Normal dari Grup (G,*) dan G/N adalah himpunan semua koset-koset kiri atau koset-koset kanan dari N dalam G, yang didefinisikan : (gH)*(nH) = (g*n)H Dari penjelasan tersebut, maka adapun definisi dari Grup Faktor adalah sebagai berikut :

Definisi 5.9 : Bila H adalah Subgrup Normal dari dari Grup (G,*), himpunan dari kosetkoset G/H = {H*g | g ∈ G} membentuk Grup (H/G,*) yang didefinisikan oleh H(g1) * H(g2) = H(g1 * g2), disebut Grup Faktor G oleh H.

Orde dari Grup Faktor (G/H,*) adalah banyaknya koset-koset dari H dalam G, sehingga :

Ind|G/H| = Ind|G : H| =

|G | |H |

85


Contoh 5.7 : Misalkan (G,+) = Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah suatu Grup dan H = {0, 2, 4} adalah merupakan Subgrup dari G. Tentukan Grup Faktor dari G oleh H, yaitu (G/H). Penyelesaian : Telebih dahulu akan ditunjukkan bahwa Grup tersebut merupakan Subgrup Normal, dimana koset kiri sama dengan koset kanan. (G,+) = Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, generatornya 0, 1, 2, 3, 4 dan 5 Koset kiri : 0 + H = 0 + {0, 2, 4} = {0, 2, 4} 1 + H = 1 + {0, 2, 4}= {1, 3, 5} 2 + H = 2 + {0, 2, 4}= {2, 4, 0} 3 + H = 3 + {0, 2, 4}= {3, 5, 1} 4 + H = 4 + {0, 2, 4} = {4, 0, 2} 5 + H = 5 + {0, 2, 4} = {5, 1, 3} Koset kanan: H + 0 = {0, 2, 4}+ 0 = {0, 2, 4} H + 1 = {0, 2, 4}+ 1 = {1, 3, 5} H + 2 = {0, 2, 4}+ 2 = {2, 4, 0} H + 3 = {0, 2, 4}+ 3 = {3, 5, 1} H + 4 = {0, 2, 4} + 4 = {4, 0, 2} H + 5 = {0, 2, 4} + 5 = {5, 1, 3} Sehingga : 0 + H = H + 0= {0, 2, 4} 1 + H = H + 1= {1, 3, 5} 2 + H = H + 2 = {2, 4, 0} 3 + H = H + 3 = {3, 5, 1} H + 4 = H + 4 = {4, 0, 2} H + 5 = H + 5 = {5, 1, 3}

86


Maka :

koset kiri = koset kanan

sehingga :

Subgrup dari H = {0,2} merupakan Subgrup Normal

Sekarang kita akan menentukan Grup Faktor G oleh H yang dibentuk dari Subgrup Normal tersebut : Ind|G/H| = Ind|G : H| =

|G | 6 = = 2 |H | 3

Unsur-unsur dari Grup Faktor tersebut adalah 2. Misalkan kita ambil koset kiri : 0 + H = {0, 2, 4} 1 + H = {1, 3, 5} 2 + H = {2, 4, 0} 3 + H = {3, 5, 1} H + 4 = {4, 0, 2} H + 5 = {5, 1, 3} Maka : 0 + H = 2 + H = 4 + H = {0, 2, 4} 1 + H = 3 + H = 5 + H = {1, 3, 5} Unsur-unsur dari Grup Faktor tersebut adalah 2 : 0 + H = {0, 2, 4} = H 1 + H = {1, 3, 5} Adapun daftar Cayley dari Grup Faktor tersebut adalah :

Tabel 5.1. Grup Faktor dari G = Z4 oleh H = {0, 2, 4}

+

H

1+H

H

H

1+H

1+H

1+H

H

87


4.3. Rangkuman 1. Suatu relasi T pada himpunan A disebut relasi ekuivalen bila memenuhi : a. Sifat Refleksif b. Sifat Simetris c. Sifat Transitif 2. Relasi a ≡ b mod H adalah suatu relasi ekuivalen pada G. Kelas ekuivalen yang memuat a disebut koset kanan dari H dalam G dapat ditulis sebagai bentuk Ha = {ha, h ∈ H} dan disebut koset kiri dari H dalam G dapat ditulis sebagai bentuk aH = {ah, h ∈ H}. Unsur a disebut generator dari koset tersebut.

3. Bila G adalah suatu Grup terhingga dan H Subgrup dari G, maka |H| membagi |G| disebut Teorema Lagrange.

4. Bila G adalah suatu Grup terhingga dan H adalah merupakan Subgrup dari G, maka banyaknya koset yang berbeda dari H dalam G (disebut indeks dari H dalam G), yaitu : Ind|G : H| =

|G | |H|

5. Misalkan H adalah suatu Subgrup dari Grup G, Subgrup H dikatakan Subgrup Normal dari G bila g-1hg ∈ H untuk setiap g ∈G dan h ∈H. Misalkan H adalah suatu Subgrup Normal dari Grup G, maka setiap koset kiri dari H dalam G juga merupakan koset kanannya (aH = Ha).

88


6. Bila H adalah Subgrup Normal dari dari Grup (G,*), himpunan dari koset-koset G/H = {H*g | g ∈ G} membentuk Grup (H/G,*) yang didefinisikan oleh H(g1) * H(g2) = H(g1 * g2), disebut Grup Faktor G oleh H.

4.4. Soal-soal Latihan 1. Dengan menggunkan relasi ekuivalen. Tunjukkan bahwa : a.

3 9 = 4 12

b.

10 =5 2

c.

4 8 = =2 2 4

2. Carilah koset kiri dan koset kanan dari H = {(1), (1 2), (1 2 3)} dalam S 3 untuk : a. π = (1 2) b. θ = (2 3) 3. Dari soal 2, apakah πH = Hπ dan θH = Hθ 4. Misalkan (G,.) = {e, a1, a2, a3, a4, a5} adalah suatu Grup dan H = {e, a2, a4} adalah merupakan Subgrup dari G. Tunjukkan apakah H merupakan Subgrup Normal.

5. Tentukan Grup Faktor dari G oleh H, yaitu (G/H) dari soal no. 4.

♠♣♥♣♠ 89

Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat dari Grup Faktor

Recommend Documents