BAB I
LOGIKA KALIMAT
Tujuan Instuksional Umum Mahasiswa memahami logika kalimat, kalimat dan penghubung kalimat serta dapat membuktikan rumus-rumus toutologi.
Tujuan Instruksional Khusus 1) Mahasiswa dapat menentukan semesta pembicaraan 2) Mahasiswa dapat menentukan kalimat deklaratif 3) Mahasiswa dapat menentukan konstanta,denotasi dan designasi 4) Mahasiswa dapat menentukan penghubung kalimat 5) Mahasiawa dapat membuktikan suatu toutologi 6) Mahasiswa dapat membuktikan suatu kontradiksi 1.1 Semesta Pembicaraan Suatu pembicaraan menguraikan sifat-sifat dari dan relasi-relasi dalam hubungan antara obyek-obyek tertentu. Keseluruhan dari obyek-obyek yang dibicarakan atau dipaparkan disebut semesta pembicaraan (universe of discourse). Dalam percakapan sehari-hari sebagai semesta pembicaraannya biasanya diambil alam semesta seluruhnya : kita berbicara tentang orang-orang, tentang benda-benda langit, tumbuh-tumbuhan dan lain sebagainya. Akan tetapi kita juga dapat membatasi diri. Misal : Pada sologi orang hanya membicarakan hewan-hewan saja. Pada numerical system orang membicarakan masalah-masalah bilangan. Mungkin juga orang hanya bisa terbatas berbicara. Misalnya kita hanya berbicara tentang bilangan modulo 6 dengan operasi-operasinya, atau dalam suatu soal mungkin kita sepakat untuk membicarakan bilangan-bilangan 0 dan 1 saja.
Menentukan suatu semesta pembicaraan sebelum pembicaraan dimulai sangatlah penting dalam matematika, sebab benar salahnya suatu pernyataan, memang dapat tergantung pada semesta pembicaraan yang telah disepakati. Misalnya : Kalimat “ Ada bilangan terbesar “ mempunyai nilai benar jjika semesta pembicaraannya terdiri atas bilangan-bilangan 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 saja. Akan tetapi nilainya salah jika yang dibicarakan adalah semua bilangan-bilangan asli. 1.1.2 Kalimat Deklaratif Untuk membicarakan sesuatu diperlukanlah bahasa yaitu rangkaian dari simbulsimbul yang diucapkan atau ditulis dalam aturan-aturan tertentu. Sifat-sifat dari, dan relasi-relasi, yaitu hubungan diantara anggota-anggota suatu semesta pembicaraan dinyatakan dengan kalimat-kalimat. Suatu kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah tetapi tidak kedua-duanya disebut kalimat deklaratif. Benar disini diartikan adanya persesuaian antara apa yang dinyatakan oleh kalimat tersebut dengan keadaan sesungguhnya. Sebagai contoh : 1) 7 adalah bilangan prima. 2) 14 habis dibagi 2 3) Prancis berpenduduk 7 juta. 4) Yogyakarta adalah ibukota Indonesia.
Kalimat-kalimat diatas merupakan kalimat deklaratif. Didalam percakapan sehari-hari banyak terdapat kalimat-kalimat yang walaupun mengandung arti tetapi tidak mempunyai nilai benar ataupun salah. Sebagai contoh : 1) Apakah Yogyakarta jauh dari Surabaya ?
2) Duduklah di sini ! 3) Tutuplah pintu itu ! 4) Kerjakanlah soal-soal ini !
Kalimat-kalimat tersebut bukanlah kalimat deklaratif , sebab tidak mempunyai nilai benar atau salah. Demikian juga terdapat rangkaian kata-kata yang walaupun secara gramatikal mempunyai struktur suatu kalimat, namun tidak mempunyai arti. Sebagai contoh : 1) Bilangan 2 mencintai bilangan 3. 2) Bilanagan 4 sayang bilangan 5. 3) Bilangan 6 kakak dari bilangan 5.
Kalimat-kalimat diatas tidak mempunyai nilai benar ,tetapi juga tidak salah. Kalimat semacam itu walaupun mempunyai struktur suatu kalimat, namun sebenarnya merupakan rangkaian kata-kata tanpa arti, sebab relasi yang ada diantaranya tidak didefinisikan. Selanjutnya kita perhatikan bahwa kalimat deklaratif sering juga disebut sebagai kalimat pernyataan. Kalimat-kalimat deklaratif akan disingkat dengan hurufhuruf besar, misalnya A, B, C, . . .. Pada prinsipnya suatu nilai matematis dapat disajikan dengan menggunakan kalimatkalimat deklaratif. 1.1.3 Konstanta, Denotasi dan Designasi Untuk membicarakan anggota tertentu dari semesta pembicaraan kita memerlukan suatu nama yaitu simbul, tanda yang ditulis atau diucapkan. Dalam hal ini antara simbul dan tanda tidak menimbulkan arti yang kontroversial. Simbul itu menyatakan unsur bahasa.
Contoh : (x) (y) x y (x – y)2 0 PQ km Demikian juga perkataan Jono, Hasan, Amir adalah nama dari si pemuda , sama halnya dengan 2, adalah simbul-simbul. Simbul-simbul seperti di atas itu semuanya disebut dengan konstanta. Jadi definisi dari konstanta adalah suatu simbul merupakan unsur bahasa untuk menunjukkan suatu anggota tertentu dari semesta pembicaraan. Bahasa disini diambil dalam arti luas yaitu sebagai himpunan simbul-simbul yang digandengkan menurut aturan-aturan tertentu menjadi kalimat dengan maksud antara lain menyatakan apresiasi ilmiah. Kita harus membedakan antara simbul dan obyek yang disimbulkan oleh simbul tersebut . Demikianlah harus dibedakan antara bilangan (number) dan angka atau rangkaian kata (numerals) sebagai simbul dari padanya. Angka adalah unsur bahasa yang dapat diucapkan atau ditulis, sedangkan bilangan adalah unsur matematika yang berada di luar bahasa. Yang dijumlahkan atau digandakan adalah bilangan-bilangan, sedangkan yang diucapkan atau ditulis adalah simbulnya, yaitu angka-angka. Sebagai contoh ucapan “ Tulislah bilangan 5 di papan tulis “ adalah ucapan yang keliru. Apa yang dilambangkan oleh suatu lambang disebut denotasi atau referensi objektif dari lambang tersebut. Sedangkan lambangnya sendiri disebut designasi dari apa yang dilambangkan olehnya. Sebagai contoh : Designasi dari seorang pemuda adalah namanya, sedangkan pemudanya adalah denotasi dari nama itu. 1.1.4 Variabel dan Kalimat Terbuka
Kadang-kadang kita hendak berbicara tentang anggota sembarangan dari suatu semesta pembicaraan, maka tidak dapat digunakan suatu konstanta sebab suatu konstanta adalah suatu simbul untuk anggota tertentu dari semesta pembicaraaan, sehinggga simbul-simbul yang lain masih diperlukan. Misalnya : Semesta pembicaraannya pemuda pemudi yang belajar pada suatu Universitas. Disini kita hendak mengatakan anggota-anggota harus rajin. Maka digunakan kata “mahasiswa” dan diucapkan “mahasiswa harus rajin”. Berarti disini perkataan mahasiswa digunakan untuk menunjukkan anggota sembarang berarti harus rajin. Disini perkataan “mahasiswa” bukan merupakan suatu konstanta, sebab tidak mensimbolisir anggota tertentu dari semesta pembicaraan. Hal seperti ini akan muncul juga dalam pembicaraan-pembicaraan matematika. Misalnya : Semesta pembicaraannya adalah himpunan bilangan-bilangan asli. Sebagai simbul untuk menunjukkan anggota sembarang dipilihlah huruf-huruf abjad akhir yaitu “x”, “y”, “z”. Misalnya anggota sembarang x dan y berlakulah ( x2 – y2 ) = ( x – y) ( x + y ). Simbul-simbul semacam diatas disebut variabel-variabel atau peubah-peubah. Jadi dapat didefinisikan suatu variabel adalah simbul yang melambangkan anggota sembarang dari semesta pembicaraan, dimana semestanya disebut daerah jelajah (domain) dari variabel tersebut. Jadi simbul-simbul tersebut bukanlah merupakan suatu entitas matematika tapi entitas bahasa, yang digunakan untuk menyajikan persoalanpersoalan matematika.
Definisi suatu variabel dalam matematika lama sering didefinisikan bilangan yang berubah-ubah, namun definisi yang demikian didasarkan atas anggapan yang keliru dan tak dapat dipertahankan. Sekali lagi ditegaskan bahwa suatu variabel digunakan tidak untuk mensimbolisir suatu obyek tertentu tetapi untuk menunjukkan anagota sembarang dari semesta pembicarannya yaitu suatu obyek yang tidak dispesifikasikan lebih lengkap.Karena pentingnya konsep variabel dalam matematika maka akan kita selidiki penggunaan ini lebih mendalam dengan meneliti dalam ilmuilmu yang menggunakannya. Perhatikan kalimat-kalimat berikut : x adalah bilangan prima
“P(x)”
x lebih besar dari y
“B(x,y)
x terletak antara y dan z
“D(x,y,z)”
Kalimat-kalimat di atas bukanlah kalimat deklaratif karena tidak mempunyai nilai benar atau salah. Kalimat-kalimat demikian disebut kaliamat terbuka (open sentences) dan apabila dalam kalimat di atas x, y dan z diganti dengan konstanta maka didapatlah kalimat-kalimat deklaratif. Misalnya : Dalam kalimat “P(x)” diganti dengan angka 3 maka “P(3)” dibaca “3 adalah bilangan prima”. Misalnya ada kalimat : “ x2 –3x + 2 = 0 “ Kalimat ini biasanya disebut suatu persamaan, maka inipun dapat dipandang sebagai suatu kalimat terbuka. Setelah variabel x berturu-turut diganti dengan 2 atau 1 akan menghasilkan suatu kalimat deklaratif yang benar.
Seperti telah kita ketahui bahwa menyelesaikan suatu persamaan berarti mencari bilangan-bilangan yang memenuhi persamaan tersebut. Dengan pengertian yang terakhir ini dimaksud setelah variabel persamaan diganti dengan angka yaitu simbulsimbul yang memenuhi persamaan tersebut maka akan didapat kalimat yang benar. Perkataan
yang
mengutarakan
x adalah
bilangan anu
jelas keliru karena
mencampuradukkan entitas bahasa dengan entitas matematika. Jadi dari contoh-contoh di atas dapatlah didefinisikan suatu variabel adalah suatu tanda yang menempati tempatnya suatu konstanta. Dapat juga dikatakan bahwa suatu variabel adalah suatu suatu tanda untuk mana dapat disubstitusikan suatu konstanta. Rangkuman 1) Semesta pembicaraan adalah himpunan semua obyek yang dipaparkan dalam suatu pembicaraan. 2) Kalimat deklaratif adalah suatu kalimat yang mempuyai nilai benar atau salah tetapi tidak kedua-duanya. 3) Konstan adalah lambang dari suatu anggota tertentu dari semestanya. 4) Denotasi adalah apa yang dilambangkan oleh suatu lambang, sedangkan lambangnya sendiri disebut designasi. 5) Variabel adalah lambang yang melambangkan anggota sembarang dari semestanya, dimana semestanya disebut daerah jelajah (domain) dari variabel tersebut. 6) Kalimat terbuka adalah kalimat yang mempunyai variabel, sedemikian sehingga jika kita mensubstitusi variabel itu dengan konstanta di dalam semesta pembicaraannya, kalimat terbuka tersebut menjadi pernyataan.
Soal-Soal Latihan A. Tentukan apakah kalimat-kalimat dibawah ini merupakan kalimat deklaratif ataukah ungkapan yang mempunyai arti tetapi bukan kalimat deklaratif, ataukah merupakan rangkaian kata-kata tanpa arti ? 1) Bedugul terletak antar Denpasar dan Singaraja. 2) Napoleon habis dibagi 2 3) Bilangan 7 habis dibagi bilangan 5 4) Jono menderita sakit 5) Tono adalah bilangan prima 6) Berapakah 9 - 5 ? 7) Astaga ! 8) Bilangan adalah bilangan rasional atau tidak rasional. 9) Budi mempunyai sifat kronis 10) Mudah-mudahan anda lulus. B. Perhatikan kalimat-kalimat di bawah ini yang mana merupakan kalimat terbuka, kalimat matematika, kalimat deklaratif, dan kalimat definisi ? 1) Antonius beragama Kristen. 2) Diagonal-diagonal suatu bujursangkar saling berpotongan dan tegak lurus satu sama lain. 3) Tiga adalah kurang dari lima. 4) x – 5 7 5) 4 10 – 8 6) Jika saya lapar maka saya tidak dapat belajar. 7) Tono kuliah di IKIP.
8) Segitiga samasisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama panjang. 9) Manusia berkaki dua. 10) Segitiga ABC samakaki. 1.2 Kalimat dan Penghubung Kalimat Pernyataan majemuk terdiri dari satu atau lebih pernyataan sederhana yang dihubungkan dengan kata hubung kalimat tertentu. Dalam bahasa indonesia kita sering menggunakan kata-kata ‘tidak”, “dan”, “atau”, “jika . . . . maka . . ., “jika dan hanya jika”. Sekarang kita menggunakan kata-kata di atas dalam matematika dan membandingkannya dengan penggunaan dalam percakapan sehari-hari. Dalam pelajaran logika matematika, kata-kata tersebut diatas disebut kata penghubung kalimat, dan ada lima macam katapenghubung kalimat yaitu : negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi. 1.2.1 Konjungsi, Disjungsi,dan Negasi Perhatikan kalimat-kalimat berikut : Udara berawan Hari akan hujan Kalimat-kalimat di atas kita singkat dengan huruf-huruf besar “A”, “B”dan seterusnya. Kalimat-kalimat tersebut dapat digandengkan satu sama lain dengan menggunakan kata penghubung kalimat ( logical connectives), dan (&), atau (v), ingkaran (negasi) ( ) . Sehingga kalimat-kalimat diatas menjadi : Udara berawan dan hari akan hujan. Udara berawan atau hari akan hujan. Tidak benar bahwa udara berawan.
Dengan menggunakan singkatan-singkatan dan simbolisme logika maka kalimatkaliamat diatas ditulis sebagai : A & B,
A v B, (A ).
Kalimat-kalimat A &B, A v B, dan (A ) berturut -turut disebut konjungsi, disjungsi dan negasi. Kalimat yang mengandung tanda penghubung kalimat seperti dan, atau dan negasi disebut kalimat majemuk (compoud statement) atau kalimat molekuler. Sedangkan kalimat seperti “A”, “B” dan seterusnya disebut kalimat atomik atau pernyataan sederhana. Tabel kebenaran dari konjungsi, disjungsi dan negasi akan diperlihatkan pada tabel tabel di bawah ini. Tabel kebenaran dari konjungsi
A
B
A&B
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
F
Tabel kebenaran dari disjungsi : A
B
AvB
T
T
T
T
F
T
F
T
T
F
F
F
Tabel kebenaran dari negasi :
A
A
T
F
F
T
Huruf-huruf “T” dan “F” dibaca “true” (benar) dan “false” (salah ). Perhatikan bahwa konjungsi bernilai benar apabila kedua kalimat komponennya bernilai benar, bernilai salah jika sekurang-kurangnya salah satu kalimat komponennya bernilai salah. Sebaliknya disjungsi bernilai benar apabila sekurang-kurangnya salah satu kalimat komponennya bernilai benar dan bernilai salah jika kedua kalimat komponennya bernilai salah. Negasi dari “A” bernilai salah jika “A” bernilai benar dan sebaliknya negasi “A” bernilai salah Jika “A” bernilai benar. Contoh-Contoh Soal : 1) Tentukan negasi dari pernyataan berikut R=2+36 Jawab :
R = tidak benar bahwa 2 + 3 6 atau R = 2 + 3 6 2) Gunakan kata hubung dan (konjungsi) untuk kalimat-kalimaat berikut! P=2+3<6 Q = Sang saka bendera Republik Indinesia Jawab : P Q = 2 + 3 < 6 dan Sangsaka bendera Republik Indonesia. 3) Jika P = Aku tinggal di Indonesia Q = Aku belajar bahasa Inggris sejak SMP. Gunakan kata hubung kalimat atau (disjungsi) untuk kalimat-kalimat di atas !. Jawab : P Q = Aku tinggal di Indonesia atau belajar bahasa Inggris sejak SMP. 1.2.2 Implikasi Material Penggunaan susunan kata “jika . . . maka . . .” didalam matematika banyak menyimpang dari penggunaannya dalam percakapan sehari-hari, oleh karena itu diperlukan suatu pembicaraan yang terperinci. Di dalam buku ini dipandang perlu diketengahkan suatu pembenaran (justifikasi) dan sekaligus juga dibahas perbedaan dengan penggunaannya dalam bahasa sehari-hari (untuk menghilangkan keganjilan yang dirasa ada pada definisinya). Simbolisme logika notasi untuk susunan kata “jika . . . maka . . .” adalah “” , sedangkan kalimatnya disebut implikasi material ( material implication) . Implilasi dalam percakapan sehari-hari disebut implikasi biasa (ordinary implication). Tabel kebenaran dari implikasi adalah :
A
B
AB
T
T
T
T
F
F
F
T
T
F
F
T
A disebut antiseden dan B disebut konsekuen. Kalimat implikasinya sering juga disebut dengan kondisional. Suatu implikasi dinyatakan bernilai benar jika antisedennya bernilai salah . Hal ini kelihatannya agak ganjil . Memang definisi dengan tabel di atas agak menyimpang dengan frase “jika . .
. maka . . . “ di dalam percakapan sehari-hari. Untuk
menghilangkan rasa keganjilan itu dan untuk memberikan alasan mengapa bahasa matematika menyimpang dari bahasa sehari-hari dan akhirnya dijelaskan mengapa tabel dikonstruksikan demikian maka perlu dilihat alternatif berikut : Jika dalam percakapan sehari-hari orang menggunakan frase “jika . . . maka . . . “ , maka biasanya ada hubungan antara antiseden dan konsekuen. Perhatikan beberapa contoh kalimat sehari-hari yang menggunakan frase “jika . . . maka . . . “ berikut : 1) Jika tidak hujan maka saya akan datang ke rumah teman. 2) Jika Tono datang kerumah saya maka akan saya ajak nonton. 3) Jika nanti sore tidak hujan maka saya akan latihan sepak bola. 4) Jika sering makan rujak maka bisa sakit perut. 5) Jika bendera berkibar setengah tiang maka ada pemimpin nasional yang wafat.
6) Jika para mahasiswa rajin membaca literatur ãsing maka pinter bahasa asing.
Kalimat 1, 2, 3 mempunyai makna yang sama yaitu êanji. Kalimat 4 dan 6 mempunyai makna yang sama yaitu sebab akibat Sedangkan kalimat 5 mempunyai makna yaitu suatu tanda. Beraneka ragam konotasi tersebut didalam pola berfikir matematika harus dihindari, sebab didalam matematia kita harus menggunakan bahasa yang eksak dan yang tidak berkonotasi begini atau begitu. Maka penggunaan implikasi perlu ditertibkan dan terpaksalah bahasa matematika menyimpang dari bahasa sehari-hari.Inilah pembenaran untuk penyimpangan bahasa matematika dari bahasa alami. Pertama-tamapenertiban dilaksanakan dengan meniadakan syarat bahwa harus ada suatu hubungan
antara
antiseden
dan
konsekuen,
walaupun
adanya
hubungan
diperbolehkan.Selanjutnya meaningfulness suatu implikasi hanya tergantung pada meaningfulness kalimat-kalimat komponennya . Jadi nilai logika suatu implikasi hanya ditentukan oleh nilai logika kalimat-kalimat komponennya. Terlihat bahwa jauhnya perbedaan antara implikasi material dan implikasi biasa. Untuk mengurangi rasa keganjilan bahwa tidak perlu ada hubugan antara antiseden dan konsekuen maka dibawah ini diberikan beberapa contoh bahwa dalam percakapan sehari-haripun orang kadang-kadang mengucapkan implikasi dengan tidak ada hubungan antara antiseden dan konsekuen. Misal : Ada orang berkata “Jika Tono lulus ujian maka dunia berhenti berputar”. Dari contoh diatas jelas bahwa tidak ada hubungan apapun antara lulus atau tidak lulusnya Tono dengan berputarnya dunia. Walaupun demikian, nilai kebenaran dari implikasi tersebut dianggap benar, karena konsekuennya pasti salah yaitu dunia tidak
akan berhenti berputar, maka antisedennya pasti juga salah. Jelas yang hendak dinyatakan oleh si pengucap kalimat bahwa Tono pasti tidak lulus ujian . Suatu hal yang sering dikatakan ganjil adalah bahwa implikasi didefinisikan bernilai benar jika antisedennya salah sedangkan konsekuennya benar. Sekali lagi untuk mengurangi keganjilan maka didalam percakapan sehari-hari orang kadang-kadang menjumpai keadaan demikian. Misal : Jika pelajar itu perempuan maka ia diwajibkan berlatih menari. Jika Ani tidak berlatih menari maka ia dikenakan hukuman, sebab ia menyalahi aturan (implikasi bernilai salah), sedangkan pelajar Iwan berlatih atau tidak berlatih (yaitu konsekuennya benar atau salah) ia dianggap tidak melanggar aturan (yaitu implikasinya bernilai benar). Dalam implikasi tidak disyaratkan adanya hubungan antara anteseden dengan konsekuen (walaupun adanya suatu hubungan diperkenankan), hal ini berarti bahwa apabila diketahui benarnya suatu implikasi, maka kadang-kadang ada hubungan, tetapi kadang-kadang tidak. Pada khususnya dengan diketahuinya bahwa suatu implikasi itu bernilai benar, maka tidak boleh disimpulkan bahwa ada hubungan sebab akibat antara anteseden dan konsekuen. Dengan kata lain jika suatu implikasi “A B” diketahui bernilai benar, maka orang tidak senantiasa dapat mengatakan bahwa kalimat “B” dapat diturunkan (dengan menggunakan hukum-hukum tertentu) dari kalimat “A”. Dalam implikasi kalimat “A B” dapat dibaca sebagai berikut : 1) Jika A maka B, atau B jika A. 2) A hanya jika B. Sebab jika tidak B (yaitu “B” bernilai salah) maka juga tidak A.
3) A syarat cukup untuk B. Sebab jika A terjadi (yaitu kalimat “A” bernilai benar) maka B pun terjadi. 4) B syarat perlu untuk A. Terjadinya B memang mutlak diperlukan untuk terjadinya A, sebab jika tidak B, maka juga tidak A. Perhatikan bahwa tidak ada hubungan antara syarat perlu dan cukup, yaitu syarat perlu belum tentu cukup, sebaliknya syarat cukup tidak usah perlu. Contoh : Supaya ABCD merupakan bujur sangkar maka syarat perlu untuk itu ialah bahwa diagonal-diagonalnya potong-memotong tegak lurus. Dengan menggunakan tanda implikasi maka diperoleh “ABCD bujur sangkar diagonal-diagonalnya berpotongan tegak lurus”. Walaupun diagonal-diagonalnya berpotongan tegak lurus itu merupakan syarat yang perlu, namun tidaklah cukup, misalnya suatu belah ketupat. Contoh : Syarat cukup supaya ABCD merupakan jajaran genjang adalah sisi-sisinya sama panjang. Sehingga dengan tanda implikasi dituliskan “sisi-sisi ABCD sama panjang ABCD jajaran genjang. Ada juga jajaran genjang di mana sisi-sisinya tidak sama panjang, sehingga syaratnya tidaklah perlu. Ada juga syarat yang sekaligus perlu dan cukup, hal ini dibahas pada pembicaraan tentang biimplikasi.
Invers, konvers dan Kontrapositif Perhatikan kalimat : apabila A maka B ( A B) disebut implikasi mula-mula maka kalimat apabila B maka A disebut dengan konvers dari implikasi mula-mula.
Apabila tidak A maka tidak B disebut invers dari implikasi mula-muladan apabila tidak B maka tidak A maka disebut dengan kontrapositif dari implikasi mula-mula. Dituliskan dalam bentuk simbol logika menjadi : Definisi : B A disebut konvers dari A B A B disebut invers dari A B B A disebut kontrapositif dari A B Apabila implikasi awal bernilai benar maka konvers dan inversnya belum tentu benar dan juga belum tentu salah. Contoh : Misalnya implikasi mula-mula : 1) Jika sekarang hari Minggu maka besok hari Senin.(T) 2
2) Jika x bilangan positif maka x pun bilangan positif (T)
Maka konversnya menjadi : 1) Jika besok hari Senin maka sekarang hari Minggu (T) 2
2) Jika x bilangan positif maka x pun bilangan positif (F)
Dan inversnya menjadi : 1) Jika sekarang bukan hari Minggu maka besok bukan hari Senin (T) 2
2) Jika x bukan bilangan positif maka x pun bukan bilangan positif (F)
Kontrapositifnya menjadi : 1) Jika besok bukan hari Senin maka sekarang bukan hari Minggu (T) 2) Jika x2 bukan bilangan positif maka x pun bukan bilangan positif (T) Ternyata bahwa jika implikasi mula-mula bernilai benar maka konvers dan inversnya kadang-kadang benar tapi juga kadang-kadang salah.
Kontrapositif suatu implikasi senantiasa mempunyai nilai logika sama dengan implikasi mula-mula. Berikut ini akan diperlihatkan tabel kebenaran dari invers, konvers dan kontrapositif.
A B
B A
A
B
A
B
AB
T
T
F
F
T
T
T
T
T
F
F
T
F
T
T
F
F
T
T
F
T
F
F
T
F
F
T
T
T
T
T
T
BA
Dalam Tabel tampak bahwa jika kalimat “A B” bernilai T maka nilai dari konvers “B A” maupun invers “A B” kadang-kadang bernilai T tetapi kadang-kadang bernilai F, sedangkan dalam kontrapositif suatu implikasi senantiasa mempunyai nilai logika yang sama dengan implikasi awal. 1.2.3 Biimplikasi Perhatikan kalimat berikut ini : “Saya memakai mantel jika dan hanya jika dingin”. Pengertian kita adalah “saya memakai mantel jika saya merasa dingin ”dan
“
saya memakai mantelhanya jika dingin”. Terlihat bahwa jika saya memakai mantel merupakan syarat perlu saya merasa dingin, dan saya memakai mantel merupakan syarat cukup bagi saya merasa dingin. Dalam matematika juga banyak didapati pernyataan yang berbentuk “P jika dan hanya jika Q”. Pernyataan demikian disebut dengan biimplikasi atau bikondisional.dan ditulis sebagai P Q. Biimplikasi didefinisikan dengan tabel kebenaran sebagai berikut :
A
B
AB
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
T
Perhatikan tabel di atas , apabila kalimat komponennya bernilai sama maka biimplikasi bernilai benar, Sebaliknya jika kalimat-kalimat komponennya bernilai berbeda maka biimplikasinya bernilai salah. Kalimat “ A B” disebut biimplikasi dan dibaca “A bilamana dan hanya bilamana B” atau disingkat “A bhb B”, dapat dibaca dalam tabel berikut : A
B
A
BA
(A B) & (B A)
AB
B T
T
T
T
T
T
T
F
F
T
F
F
F
T
T
F
F
F
F
F
T
T
T
T
Dari tabel di atas terlihat bahwa nilai kebenaran untuk “(A B) & (B A)” adalah sama dengan nilai kebenaran untuk “A B”. Kita lihat dalam tabel bahwa A dan B sekaligus merupakan syarat perlu dan cukup. A sarat cukup untuk B dan A syarat perlu untuk B. Perlu diperhatikan bahwa apabila orang hendak membuktikan A jhj B maka dua hal harus dikerjakan :
1) Kita harus membuktikan implikasi jika A maka B. 2) Juga kita harus membuktikan implikasi jika B maka A Setelah bukti tersebut dapat diselesaikan maka barulah dapat dikatakan biimplikasi terbukti. 1.2.4 Ingkaran Ingkaran dari disjungsi : Contoh disjungsi : Saudara Tono mahasiswa yang rajin atau pandai. Ingkarannya : Saudara Tono tidaklah mahasiswa yang rajin atau pandai. Atau dapat juga dituliskan : Saudara Tono mahasiswa yang tidak rajin dan tidak pandai. Sehinggga tabel kebenaran dari ingkaran disjungsi adalah :
A
B
AvB
AvB
A
B
A B
T
T
T
F
F
F
F
T
F
T
F
F
T
F
F
T
T
F
T
F
F
F
F
F
T
T
T
T
Jadi dari tabel diatas terlihat bahwa nilai kebenaran dari : A v B = A B
Ingkaran dari konjungsi : Tabel kebenaran dari ingkaran konjungsi adalah :
A
B
AB
AB
A
B
A v B
T
T
T
F
F
F
F
T
F
F
T
F
T
T
F
T
F
T
T
F
T
F
F
F
T
T
T
T
Jadi dalam tabel terlihat bahwa nilai kebenaran dari : A B = A v B Ingkaran dari implikasi Tabel kebenaran dari ingkaran implikasi :
P
Q
PQ
PQ
Q
P Q
T
T
T
F
F
F
T
F
F
T
T
T
F
T
T
F
F
F
F
F
T
F
T
F
Jadi dalam tabel terlihat bahwa nilai kebenaran dari P Q = P Q Ingkaran dari biimplikasi Ingkaran dari P Q dituliskan P Q oleh karena P Q = (P Q) (Q P)
sehingga
P Q = (P Q) (Q P) = (P Q) (Q P) = (P Q) (Q P )
Jadi ingkaran dari biimplikasi adalah : P Q = (P Q) (Q P)
1.2.5 Urutan Mengerjakan Operasi Penggandeng Kalimat Operasi dalam hal ini dimaksudkan adalah kata penghubung kalimat yaitu negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi.
Perhatikan kalimat majemuk berikut : (A B) ((A & C) (B & C)) Dengan adanya tanda kurung, kita mengetahui urutan mengerjakan operasi yang di atas. Tapi apabila kalimatnya memuat banyak tanda operasi, maka diperlukan banyak tanda kurung. Untuk mengurangi tanda banyaknya kurung tersebut maka diadakan kesepakatan berupa urutan kuasa operasi sebagai berikut : 1) negasi 2)
konjungsi
3)
disjungsi
4)
implikasi
5)
biimplikasi.
Setelah adanya kesepakatan di atas maka kalimat “A (B & C)” dapat ditulis sebagai “A B & C”. Disini jelasnya dengan sendirinya membubuhi tanda-tanda kurung yang tak mutlak diperlukan boleh juga demikian juga dengan tanda-tanda titik. Untuk mengganti
peranan tanda kurung adalah sangat sugestif dan banyak dipakai aturan untuk tandatanda titik,
dimana suatu penghubung kalimat yang dibubuhi tanda titik daya
pemisahnya adalah lebih kuat dari tanda-tanda lainnya kearah sebelah dimana tandatanda titik itu diletakkan. Sebagai contoh : 1) A & . B C bisa ditulis A & (B C ) 2) A v B . & C bisa ditulis (A v B) & C Dengan sendirinya dua tanda titik akan lebih kuat dari pada satu tanda titik dan seterusnya. Rangkuman 1) Nilai kebenaran negasi suatu pernyataan selalu berlawanan dengan nilai kebenaranpernyataan semula. Jika P bernilai benar maka P bernilai salah dan jika P bernilai salah maka P bernilai benar. 2) Konjungsi dari dua pernyataan P dan Q yaitu P Q akan bernilai benar, hanya jika kedua komponennya bernilai benar.Konjungsi bernilai salah jika sekurangkurangnya salah satu kalimat komponennya bernilai salah. 3) Disjungsi dari dua pernyataan A dan B yaitu A v B bernilai benar jika sekurangkurangnya salah satu kalimat komponennya bernilai benar. Satu-satu kemungkinan disjungsi bernilai salah adalah jika kedua kalimat komponennya bernilai salah. 4) Implikasi dari dua pernyataan P dan Q yaitu “P Q” bernilai benar jika antesedennya salah atau konsekuennya benar. 5) Biimplikasi dari dua pernyataan A dan B, yaitu “A B” bernilai benar jika kedua pernyataan itu mempunyai nilai kebenaran yang sama. Biimplikasi bernilai salah jika kedua pernyataan tersebut mempunyai nilai kebenaran yang berbeda.
Kata hubung kalimat, secara umum digambarkan sebagai berikut :
Jenis pernyataan
Kata hubung kalimat
Simbol
Negasi
Tidak
-
Konjungsi
Dan
Disjungsi
Atau
Implikasi
Jika . . . maka . . .
Biimplikasi
Jika dan hanya jika
Latihan Soal-Soal: 1) Diketahui A = Ani lulus ujian dan B = Ani mentraktir teman-temannya, keduanya bernilai benar. Tuliskan secara simbolik pernyataan-pernyataan di bawah ini dan tentukan nilai kebenarannya. a) Ani lulus ujian tetapi tidak mentraktir teman-temannya. b) Ani mentraktir teman-temannya asal saja dia lulus ujian. c) Ani tidak akan lulus ujian hanya jika dia tidak mentraktir teman-temannya. d) Ani tidak mentraktir teman-temannya jika dia tidak lulus ujian. e) Tidak benar bahwa Ani mentraktir teman-temannya jika dia tidak lulus ujian. 2) Tentukan nilai kebenaran dari P Q bila diketahui : a) P = 2 = 6 Q = Pancasila dasar negara kita. b) P = Denpasar ada di Bali.
Q=-3-5 3) Ubahlah bentuk pernyataan-pernyataan berikut ini menjadi “jika . . . .maka. . . a) Kamu akan memperolehnya jika kamu mencarinya. b) Kita perlu makan untuk hidup. c) Bila aku melihat kamu, aku akan berteriak kuat-kuat. d) Jika kamu melakukan perbuatan itu, kamu orany yang bodoh. e) Semua orang yang bercita-cita tinggi suka bekerja keras. 4) Diketahui P = Kamu mengerjakan pekerjaan rumah Q = Kamu akan lulus ujian Tulislah kalimat verbal yang menyatakan konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi P Q. 5) Tentukan mana syarat perlu dan mana syarat cukup untuk pernyataan-pernyataan berikut : a) Saya akan datang jika tidak hujan. b) Saya akan datang hanya jika tidak hujan. c) Jika telepon berbunyi, saya langsung berlari untuk menjawabnya. d) Semua manusia dapat membaca. e) Manusia adalah manusia yang mempunyai akal budi. 6) Misalkan P = Geometri sangat sukar Q = Bahasa sangat menarik R = Logika sangat mudah 7) Gunakan kata hubung kalimat yang tepat dan tanda kurung yang diperlukan untuk. menterjemahkan pernyataan di bawah ini menjadi pernyatan simbolik a) Tidak benar bahwa logika sangat mudah dan geometri sangat sukar.
b) Bahasa sangat menarik dan geometri sangat sukar,atau logika sangat mudah. c) Geometri sangat sukar jika dan hanya jika logika sangat mudah dan bahasa sangat menarik. d) Bahasa sangat menarik dan logika sangat mudah, hanya jika geometri sangat sukar. 7) Simbolkan setiap pernyataan di bawah ini dengan menggunakan notasi yang diberikan. a) Budi atau Ani mengambil buku ini dan Tono mencarinya. ( B, A, T) b) Jika saya lulus ujianini, berarti saya lulus mata kuliah dan aku akan diwisuda.
(
x, y, z ) c) Tidak benar bahwa hari ini bukan hari Minggu. (S) d) Tidak benar bahwa saya terlambat dan tidak mengikuti tes. (P, Q ) e) Suryati atau Sulasmi bukan perenang yang baik. 9) Dengan menggunakan tabel-tabel kebenaran , buktikan bahwa : a) A (B C) mempunyai tabel kebenaran yang sama dengan (A & B) C. b) A (B v C) mempunyai tabel kebenaran yang sama dengan (A & B) C. c) A B mempunyai tabel kebenaran yang sama dengan A v B 10) Dari tiap pernyataan implikasi berikut, carilah konvers, invers, dan kontrapositifnya. a) Jika x = y, maka x + z = y + z b) Jika x A B, maka x A c) Jika dua sisi sebuah segitiga sama panjangnya, maka sudut-sudut dihadapannya sama besar. 11) Tulislah bentuk-bentuk dibawah ini dengan tanda kurung minimal, kemudian ubahlah notasi tanda kurung menjadi tanda titik.
a) (A & B) (A (B v C)) b) (A B) (C ((A & B) v C) c) (A B) ((B & C) v D) d) (A B) (C (A & B)) e) ((A & B) v C) (A & B) 12) Pada soal-soal di bawah ini ubahlah notasi tanda titik menjadi notasi tanda kurung a) A & B C : :B. .A C b) A. v .B & C: : A v B. & .A v C c) A. v .B v C: :A v B. v .C d) A v B. .A B
