TUGAS AKHIR – SM 1330
GRUP ALTERNATING A. FARIS UBAIDILLAH NRP 1202 100 043 Dosen Pembimbing Dr. Subiono, MS. JURUSAN MATEMATIKA Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 2009
TUGAS AKHIR – SM 1330
GRUP ALTERNATING A.FARIS UBAIDILLAH NRP 1202 100 043 Dosen Pembimbing Dr. Subionono, MS. JURUSAN MATEMATIKA Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 2009
i
FINAL PROJECT - SM 1330
ALTERNATING GROUP A. FARIS UBAIDILLAH NRP 1202 100 043 Supervisor Dr. Subiono, MS. MATHEMATICS DEPARTMENT Mathematics and Science Faculty Sepuluh Nopember Institut of Technology Surabaya 2009
ii
LEMBAR PENGESAHAN
GRUP ALTERNATING TUGAS AKHIR Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Pada Bidang Minat Analisis dan Aljabar Program Studi S-1 Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Oleh: A. FARIS UBAIDILLAH NRP. 1202 100 043 Disetujui oleh Pembimbing Tugas Akhir:
Dr. Subiono, MS.
(
NIP 131 413 442
SURABAYA, Agustus 2009
iii
)
GRUP ALTERNATING Nama Mahasiswa NRP Jurusan Dosen Pembimbing
: A. Faris Ubaidillah : 1202100043 : Matematika ITS : Dr. Subiono, MS
ABSTRAK Misalkan S {1,2,...n} dan S n adalah himpunan dari semua fungsi bijektif f : S S , maka S n dengan operasi komposisi fungsi merupakan suatu grup, grup ini dinamakan grup permutasi dari S . Misalkan f (1) a1 , f (2) a2 ,... f (n) an , dimana a j S dengan j 1,2,..., n . Keadaan yang demikian ini dinotasikan oleh f
1
2
...
n
a1
a2
... a n
. Dalam Tugas Akhir ini
dibahas grup alternating An yaitu grup yang terbentuk dari himpunan semua permutasi genap dari S terhadap operasi komposisi fungsi. Selanjutnya ditunjukkan bahwa An merupakan subgrup dari S n dan diturunkan order dari An . Kata Kunci: Operasi Biner, Permutasi , Sikel, Grup
iv
ALTERNATING GROUP Name Nrp Department Supervisor
: A. Faris Ubaidillah : 1202100043 : Matematika ITS : Dr. Subiono, MS
Abstract Suppose that S {1,2,...n} and S n is set of all bijective functions on f : S S , then S n with functions compotition operation is a group. This group called permutation group. Suppose f (1) a1 , f (2) a2 ,... f (n) an , where a j S with j 1,2,..., n .This condition notated by
f
1
2
...
n
a1
a2
... a n
.
This Final Project explained about alternating group An , group that is formed from set of all even permutation of S with functions compotition operation. Next showed that An is subgroup of S n and derived order of An . Keywords : Binary Operation, Permutation, Circle, Group, Subgroup . ,
v
KATA PENGANTAR Alhamdulillahirobbil’alamin, puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan kasihnya, sehingga penulis dapat menyelesaikan Tugas Akhir yang berjudul ”Grup Alternating ” yang merupakan salah satu syarat kelulusan dalam menempuh program S1 -jurusan Matematika FMIPA ITS Surabaya. Banyak pihak yang membantu penulis dalam menyelesaikan Tugas Akhir ini. Oleh karena itu, penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada: 1. Bapak Prof. DR. Basuki Widodo, MSc selaku ketua jurusan. 2. Bapak Dr. Subiono,MS selaku dosen pembimbing yang telah meluangkan waktunya untuk memberi bimbingan dengan sabar dan penuh amanah. 3. Ibu Dra. Laksmi Prita selaku dosen wali. 4. Ibu Dra Rinurwati. Msi selaku koordinator Tugas Akhir. 5. Bapak ibu dosen, serta staf Tata Usaha Jurusan Matematika ITS. 6. Ibunda tercinta yang telah memberikan segenap perhatian untuk mendidik dan memberikan dorongan moral dan do’a yang tak ada hentinya untuk penulis. Penulis yakin bahwa penulisan laporan ini masih banyak kekurangan dan kesalahan, akan tetapi penulis sudah berusaha semaksimal mungkin dalam menyusun laporan ini. Oleh karena itu penulis meminta saran dan kritik dari pembaca laporan ini. Surabaya, Agustus 2009
Penulis
vi
DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL .............................................. i LEMBAR PENGESAHAN……………………… iii ABSTRAK………………………………………... iv ABSTRACT ……………………………………... v KATA PENGANTAR …………………………… vi DAFTAR ISI ........................................................... vii DAFTAR GAMBAR …………………………….. ix DAFTAR TABEL ………………………….......... x DAFTAR NOTASI ................................................. xi BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang .……………….... 1 1.2 Rumusan Masalah …………....... 1 1.3 Batasan Masalah ……………….. 1 1.4 Tujuan dan Manfaat ………….... 2 1.5 Sistematika Penulisan ………….. 2 BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Pemetaan………………................ 3 2.2 Operasi Biner ………………….... 6 2.3 Relasi Ekivalensi ………………... 6 2.4 Grup …………………………....... 7 2.5 Subgrup ………………………….. 13 2.6 Grup Siklik ……………………… 15 2.7 Koset …………………………….. 16 2.8 Kelas Ekivalensi............................. 17 2.9 Subgrup Normal ………………... 18 2.10 Grup Faktor ……………………. 20 2.11 Homomorfisma Grup ………….. 21 BAB III METODOLOGI 3.1 Langkah Pengerjaan ....................... 25 3.2 Diagram Alir Pengerjaan Tugas Akhir 26 BAB IV GRUP PERMUTASI 4.1 Grup Permutasi ............................... 27
vii
BAB V
GRUP ALTERNATING 5.1 Sikel dari Permutasi ……………….. 5.2 Permutasi Genap Ganjil .................... 5.3 Grup Alternating ................................ BAB VI KESIMPULAN DAN SARAN 6.1 Kesimpulan ……………………....... 6.2 Saran ……………………………….. DAFTAR PUSTAKA ……………………………......
viii
39 42 43 50 50 51
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Fungsi bijektif dari X ke X ...................... Gambar 3.1 Diagram alir pengerjaan Tugas Akhir.......
ix
Halaman 4 26
DAFTAR TABEL
Tabel 2.5.1 Operasi Biner pada G {1, 1, i, i} ......... Tabel 4.1.1 Operasi Biner pada S3 .............................
x
Halaman 14 36
DAFTAR NOTASI
Notasi
Nama
( G , *)
Grup G dengan operasi biner * Elemen Untuk setiap Sedemikian hingga Maka Bilangan bulat Grup permutasi dengan n elemen Himpunan bagian Subgrup Subgrup Normal Isomorfis Fungsi dari A ke B
Z Sn
f :A
B
G
Order dari grup G
An
Grup Alternating dari himpunan dengan n elemen Tidak sama dengan
xi
