TUGAS AKHIR SM 1330
KAJIAN ESTIMASI PARAMETER MODEL AUTOREGRESIF NUR SHOFIANAH NRP 1203 100 009 Dosen Pembimbing Dra. Laksmi Prita W, MSi Dra. Nuri Wahyuningsih, MKes JURUSAN MATEMATIKA Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 2007
FINAL PROJECT SM 1330
ESTIMATION ANALYSIS OF PARAMETER AUTOREGRESSIVE MODEL
NUR SHOFIANAH NRP 1203 100 009 Supervisor Dra. Laksmi Prita W, MSi Dra. Nuri Wahyuningsih, MKes DEPARTMENT OF MATHEMATICS Faculty of Mathematics and Natural Science Sepuluh Nopember Institute of Technology Surabaya 2007
LEMBAR PENGESAHAN
KAJIAN ESTIMASI PARAMETER MODEL AUTOREGRESIF TUGAS AKHIR Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada Bidang Minat Riset Operasi dan Simulasi Program Studi S-1 Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Oleh : NUR SHOFIANAH Nrp. 1203 100 009
Disetujui oleh Pembimbing Tugas Akhir : 1. Dra. Laksmi Prita W, MSi ( ............................... ) NIP. 131 782 013 2. Dra. Nuri Wahyuningsih, MKes NIP. 131 835 484
SURABAYA,
( ............................... )
FEBRUARI 2007
KAJIAN ESTIMASI PARAMETER MODEL AUTOREGRESIF Nama Mahasiswa NRP Jurusan Dosen Pembimbing
: Nur Shofianah : 1203 100 009 : Matematika FMIPA-ITS : 1. Dra. Laksmi Prita W,MSi 2. Dra. Nuri Wahyuningsih, MKes
Abstrak Model Autoregresif (AR) merupakan salah satu model Time Series yang stasioner dimana model Autoregresif berorde-p menyatakan bahwa nilai pengamatan ke-t bergantung dari nilai-nilai pengamatan sepanjang p periode sebelumnya. Model AR(p) mempunyai p parameter yang harus diestimasi, yaitu φ = (φ1 , φ 2 ,..., φ p ) . Estimasi parameter dilakukan dengan metode Maximum Likelihood Estimation (MLE) yang meliputi dua tahap, yaitu mengkonstruksi fungsi Likelihood L(φ; Z) dan memperoleh nilai estimator (φˆ ) yang memaksimumkan fungsi Likelihood. Dalam hal ini, pengkonstruksian fungsi Likelihood tidak dapat dilakukan seperti cara yang biasa digunakan karena pengamatan Z t pada Autoregresif saling dependent. Dari kajian tersebut diperoleh fungsi Likelihood model AR(p) L (φ; Z n ,..., Z 1 ) = ( 2πσ 2 ) − p 2 V −1 exp ⎡⎢− S (φ ) ⎤⎥ a p 2 ⎢⎣
2σ a ⎥⎦
dimana S (φ ) merupakan Sum of Square. Untuk pengamatan yang berdistribusi Normal, memaksimumkan fungsi Likelihood akan sama dengan meminimumkan Sum of Square pada metode Least Square Estimation. Namun, bentuk dari Sum of Square adalah non linear dalam parameter. Oleh karena itu, digunakan pendekatan metode Conditional Least Square Estimation sehingga diperoleh estimator parameter model AR(p) adalah φˆ = Pp−1ρ p . Untuk n yang besar, nilai estimator yang diperoleh mempunyai sifat unbiased dan asymtotik konsisten. Kata kunci : model Autoregresif, Maximum Likelihood Estimation (MLE), fungsi Likelihood, Sum of Square, Conditional Least Square Estimation
iv
ESTIMATION ANALYSIS OF PARAMETER AUTOREGRESSIVE MODEL Name NRP Departemen of Supervisor
: Nur Shofianah : 1203 100 009 : Mathematics FMIPA-ITS : 1. Dra. Laksmi Prita W,MSi 2. Dra. Nuri Wahyuningsih, MKes
Abstract Autoregressive model is one kind of stasionary Time Series model. The p-th order Autoregressive model shows that the current value of observations dependens on p-most recent past values of itself. AR(p) model has p parameter φ = (φ1 , φ 2 ,..., φ p ) that must be estimated. Parameter estimation by using Maximum Likelihood Estimation method involves two step, construct the Likelihood function L(φ; Z) and find the parameter estimates (φˆ ) that maximize Likelihood function. In this case, construct the Likelihood function can’t be applied like usual because the observations Z t of Autoregressive model are not independent. From the analysis, the Likelihood function of AR(p) was obtained L (φ; Z n ,..., Z 1 ) = ( 2πσ 2 ) − p 2 V −1 exp ⎡⎢− S (φ ) ⎤⎥ a p 2 ⎢⎣
2σ a ⎥⎦
wehere S (φ ) is Sum of Square. For Normal distributed observation, maximizing the Likelihood function is the same as minimizing Sum of Square at Least Square Estimation. However, the form of Sum of Square is non linear and complicated function of parameter. Therefore, Conditional Least Square Estimation method used so that the parameter estimates of AR(p) model φˆ = Pp−1ρ p obtained. For moderate and large n, the parameter estimates are unbiased and konsisten asymtotik. Key words : Autoregressive model, Maximum Likelihood Estimation, Likelihood function, Sum of Square, Conditional Least Square Estimation
v
KATA PENGANTAR Alhamdulillah, penulis panjatkan puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan Tugas Akhir ini. Penulis menyusun Tugas Akhir dengan judul Kajian Estimasi Parameter Model Autoregresif sebagai salah satu persyaratan dalam meraih gelar Sarjana Sains. Penyusunan Tugas Akhir ini tidak terlepas dari bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih yang sedalam-dalamnya kepada yang terhormat : 1. Ibu dan bapak tercinta, mbak Ima, mas Udin, mbak Ria, Azizi dan Riza yang selalu memberikan doa, semangat dukungan dan semua yang telah dilakukan untuk penulis. 2. Dra. Laksmi Prita W, MSi dan Dra. Nuri Wahyuningsih, MKes selaku Dosen Pembimbing yang telah banyak memberi bimbingan dalam penyusunan Tugas Akhir ini. 3. Ketua Jurusan Matematika ITS, Bapak Drs. Lukman Hanafi, MSc beserta seluruh Dosen dan karyawan Jurusan Matematika ITS. 4. Dra. Sri Suprapti Hartatiati, MSi selaku Dosen Wali penulis. 5. Semua Guru yang telah memberikan ilmu kepada penulis. 6. Temanku Imron Rosyadi atas semua doa, semangat, dukungan, bantuan dan ketulusannya. 7. Solfi, Tangguh, Coty, Vira, Endri, Mbak Marta, Winarti, Fajar, Puteri, Badruddin, Noor dan semua temanku atas doa dan bantuannya. 8. Rekan-rekan HIMATIKA ITS. Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan Tugas Akhir ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu, penulis sangat mengharapkan saran dan kritik dari pembaca. Harapan penulis semoga Tugas Akhir ini bermanfaat bagi semua pihak yang berkepentingan. Surabaya, Februari 2007 Penulis
vi
DAFTAR ISI Halaman i HALAMAN JUDUL.............................................................. HALAMAN PENGESAHAN ............................................... iii iv ABSTRAK.............................................................................. vi KATA PENGANTAR............................................................ DAFTAR ISI........................................................................... vii BAB I PENDAHULUAN 1 1.1. Latar Belakang Masalah ….………………………… 2 1.2. Rumusan Permasalahan ……………………………. 2 1.3. Batasan Masalah…………………………………….. 3 1.4. Tujuan ...……………………………………………. 3 1.5. Manfaat …………..………………………………… 3 1.6. Metodologi ………...……………………………….. 4 1.7. Sistematika Penulisan ………………………………. BAB II TINJAUAN PUSTAKA 5 2.1. Time Series ...………………………………………. 6 2.2. Proses General Linear …..………………………….. 2.3. Model Autoregresif ….……………………………... 10 2.3.1 Autoregresif Orde-1 atau AR(1) ……………... 10 2.3.2 Autoregresif Orde-2 atau AR(2) ……………... 12 2.3.3 Autoregresif Orde-p atau AR(p) ……………... 14 2.4. Maximum Likelihood Estimation ………………….. 16 2.5. Least Square Estimation ............................................ 17 2.6. Kriteria Evaluasi Estimator ........................................ 17 BAB III PEMBAHASAN 3.1. Kajian Model Autoregresif ........................................ 21 3.2. Estimasi Parameter Model Autoregresif .................... 23 3.2.1 Autoregresif Orde-1 atau AR(1)........................ 24 3.2.2 Autoregresif Orde-2 atau AR(2) ……………... 30 3.2.3 Autoregresif Orde-p atau AR(p) ……………... 38 3.3. Sifat-sifat Estimator Parameter Model Autoregresif .. 44 BAB IV. PENUTUP 4.1. Kesimpulan ................................................................ 55 4.2. Saran .......................................................................... 57 DAFTAR PUSTAKA............................................................. 59
vii
