TUDOMÁNYOS DIÁKKÖRI KONFERENCIA 2016 SAPIENTIA EMTE - CSÍKSZEREDAI KAR
Omega alapú befektetés optimalizálás
Hallgató: Tamás Simon Lehel - Gazdasági informatika szak, II. év.
Témavezető: dr. Pál László - Gazdaságtudományi Tanszék
Csíkszereda
2016. április 11-12.
Kivonat A mai pénzügyi világban nagyon fontos, hogy megtakarításainkat hol és hogyan fektessük be.
Egy befektetési portfólió kialakításánál lényeges szempont, hogy a befektető mekkora kockázatot hajlandó vállalni a nyereség reményében.
Az elmúlt évtizedekben számos elméletei modell született optimális portfoliók kialakítására.
Ezek közül is az egyik legismertebb a Markowitz féle modell.
A dolgozatban egy viszonylag újszerű modellel foglalkozunk, amely az un. Omega függvényen
alapszik. Egy pénzügyi eszköz (pld. részvény) Omega értéke egy küszöb hozamérték fölötti
nyereségek és a küszöbérték alatti veszteségek hányadosa. Ha az Omega értékét kiszámoljuk különböző hozam értékekre, akkor a részvények összehasonlíthatóak. A nagyobb Omega értékeket előnyben részesítjük a kisebbekkel szemben. Természetesen az Omega függvény alkalmazható portfólió optimalizálására.
Az Omega függvényre épülő modell a korábban vizsgált modellekhez képest számos problémát
vet fel, ugyanis a célfüggvény nem differenciálható és általában több helyi minimummal rendelkezik. Ezért a probléma vizsgálatához globális optimalizáló eszközökre van szükség.
Omega alapú befektetések kialakítását BUX illetve DJIA részvényeken vizsgáljuk összevetve a
klasszikus Markowitz modellel. Az összehasonlításokat az Omega kiszámolásánál használt küszöb hozamérték változtatása alapján végezzük.
1. Bevezetés A portfólió kiválasztási probléma a pénzügyi problémák között jelentős helyet foglal el. A
probléma lényegében abból áll, hogy egy befektető, különböző értékpapírokból egy olyan portfóliót
akar összeállítani, amely a legjobban megfelel elvárásainak. A probléma megoldása a befektetőnek arra a kérdésre ad választ, hogy az adott körülmények közt elérhető legnagyobb haszon érdekében a
rendelkezésére álló tőkéjét, milyen pénzügyi eszközökbe és milyen arányba fektesse be. A probléma megoldásához matematikai modellezést, az optimum keresést választottuk.
A modellezés a következő módon történik: definiáljuk a változókat, felírjuk a befektető
elvárásainak megfelelő célfüggvényt, valamint azokat a korlátozó feltételeket, amelyek a befektető korlátozott tőkéjéből valamint, a portfólió kiválasztás költségeiből adódnak. A portfólió probléma pénzügyi modelljei ma már szinte a matematikai modellezés összes részterületeire kiterjednek.
Létezik lineáris programozási, kvadratikus programozási és számos más nemlineáris programozási modell is.
A portfólió elmélet születését Harry Markowitz 1952 beli cikkétől (Markowitz 1952) szokás
számítani. A cikk azon feltételezésen alapult, hogy egy befektető minél nagyobb várható hozamú, de
minél kisebb hozamszórású portfólióra vágyik. Markowitz megmutatta, hogyan csökkentheti a befektető a portfólió hozamának szórását, olyan részvények kiválasztásával, amelyek hozamai nem mozognak teljesen együtt, és ebből kiindulva kidolgozta a portfóliók kialakításának alapelveit is, amely egy kvadratikus problémával volt felírható.
A Markowitz modell megjelenése után számos más modelt dolgoztak ki a kutatók. Ezek egy része
az előző model hiányosságainak a kiküszöbölésére született, mások meg más megközelítést alkalmaztak a problémára. Híresebb modelek például Sharpe tőkepiaci modelje (Sharpe 1994), de
említhetjük a VaR (value at risk) alapú modelt (Jorion 1999), amely napjaink legelterjedtebb kockázati
mérőszáma. Ez utóbbi egy módosított változata a CVaR. A normál eloszlást feltételező modellek hiényosságainak a kiküszöbölésére vezettek be olyan modeleket, mint a Sortino (Sortino 1991, 1994) vagy Omega függvény alapú modelt (Keating és Shadwick 2002). Az
Omega
modelt
alapvetően,
mint
mérőszámot
használhatjuk
részvények
direkt
összehasonlítására. Természetesen használhatjuk portfolió kialakítására is. Ebben az esetben a felírt
modell célfüggvénye egy nem sima függvényt eredményez számos helyi minimummal. Valószínűleg a feladat nehéz kezelhetősége miatt jelent meg kevesebb számú tanulmány, mint más modelek esetén.
A dolgozatban az Omega alapú modelt vizsgáljuk részvények összehasonlítására és portfólió kialakítására.
A dolgozat első részében bemutatjuk részletesebben a Markowitz és Omega alapú modelleket.
Mindkét model esetén bemutatjuk a fontosabb tulajdonságokat és a vizsgált optimalizálási feladatokat.
A 3.Fejezetben az Omega modell különböző szimulációit végezzük el. Először megvizsgáljuk az Omega portfóliókat kockázat szempontjából és megpróbáljuk elhelyezni a Markowitz "világban". A második teszt során az Omega modelt mint befektetási stratégiát elemezzük és összehasonlítjuk a
Markowitz model egyes változataival. Valamennyi vizsgálatot a BUX és a DJIA részvényeire alkalmazzuk.
2. Vizsgált portfolió modellek 2.1.Markowitz modell Harry Markowitz 1952-ben publikált cikke (Markowitz 1952) volt az első portfólió elméleti
munka. Markowitz a portfólió kiválasztásának folyamatát két fő lépésre bontotta.
Elsőként a rendelkezésre álló pénzügyi eszközök jövőbeli viselkedését (elsődlegesen hozamát és
szórását) kell valamiképpen előre jelezni. Egy egyszerű vagy annuitásos kötvény esetében ez nem nehéz, hisz a névleges kamatláb alapján pontosan tudja a befektető, hogy a kamat-fizetési periódusok
és a lejárat időpontjában mekkora pénzáramlásokra számíthat, és ez az egységnyi befektetett tőkéjére
nézve mekkora megtérülést jelent. Részvények esetében azonban már nem tudjuk biztosan megmondani a jövőbeli hozamokat.
1953-ban Maurice Kendall brit statisztikus megmutatta (Kendall 1953), hogy ezek az ármozgások
véletlen bolyongást végeznek, ami azt jelenti, hogy a holnapi árfolyamváltozás teljesen független a maitól.
A gyakorlatban elterjedt statisztikai módszer a jövőbeli viselkedés leírására a historikus, azaz
múltbeli adatok alapján történő becslés, majd ezen eredmények esetleges utólagos korrigálása.
A második lépésben ezen adatokból és a befektető preferenciáitól függő feltételekből határozódik
meg a portfólió kiválasztása.
Az alapvető megválaszolandó kérdés a következő: adott értékpapír halmaz és adott tőke
mennyiség mellett a befektetőnek mely értékpapírokba és milyen arányba kell elhelyeznie a pénzét,
hogy adott kockázat mellett a lehetséges legmagasabb várható hozamot, illetve adott elvárt hozam mellett a lehetséges legkisebb kockázatot biztosítsa az így létrejött portfólióval. A cél az úgynevezett
hatékony portfóliók meghatározása (Markowitz az efficiens határ kifejezést használja), melyet a következőképpen definiálunk:
Hatékonynak egy portfóliót akkor nevezünk, ha teljesülnek rá a következő tulajdonságok:
1. nem állítható elő a portfólióénál nem kisebb várható hozamú, de kisebb kockázatú portfólió,
2. nem állítható elő a portfólióénál nem nagyobb kockázatú, de nagyobb várható hozamú
portfólió.
A portfólió várható hozamát úgy kapjuk meg, hogy a választott értékpapírok várható hozamának
súlyozott átlagát kiszámítjuk. A portfólió kockázatát a hozamok szórásnégyzetével, varianciájával
mérjük. Az értékpapírpiacot vizsgálva beszélhetünk arról, hogy két eszköz hozamai milyen mértékben
mozognak együtt, ellentétesen vagy esetleg egymástól függetlenül. Ennek mérőszáma lesz a korreláció, illetve a kovariancia. A portfólió kiválasztás lényege azon elven alapszik, hogy a kockázat
csökkentése érdekében érdemes ellentétesen mozgó eszközöket beválasztani portfóliónkba. Ezt nevezzük diverzifikációnak.
Markowitz alkotta meg azt a koncepciót, amely a befektetési lehetőségek rangsorolását két mutató,
a várható hozam és a hozam szórásnégyzetének segítségével végzi el. A befektetés jövőbeli hozamát valószínűségi változónak kell tekinteni. Ennek várható értéke, a várható hozam, a befektetés átlagos
jövedelmezőségét, a hozam szórásnégyzete pedig a kockázatát méri. Annak, hogy a befektetési döntéshozatal során a befektetőnek kockázattal kell szembenézni, és ezt a kockázatot - amennyire lehet-, csökkenteni szeretné, az a következménye, hogy a befektető diverzifikál, azaz egyidejűleg több különböző értékpapírba fekteti likvid eszközeit.
Markowitz az alábbi feltételeket támasztotta modelljének:
A portfólió kockázata a portfólióhozam változékonyságának függvénye, A befektetők kockázatkerülők,
A befektetések biztonsága nagyobb prioritást élvez, mint a magasabb hozamlehetősége, A befektetők vagyongyarapodásra törekednek, Nincsenek tranzakciós költségek,
Az elemzések a befektetések egy periódusára vonatkoznak, A befektetők racionálisak.
Ez azt jelenti, hogy a befektetők a vizsgált időtávon a lehető legkisebb kockázat mellett a lehető
legnagyobb vagyonnövekedést szeretnék elérni. 2.2. Omega modell
Jelen kutatásban az Omega függvényt használjuk különböző eszközök összehasonlítására.
Tételezzük fel, hogy m darab múltbeli adat áll rendelkezésünkre egy adott részvény esetén és a
hozamok egy minimum és maximum érték között mozognak (rminrrmax). A hozamok
eloszlásfüggvénye (f) általában a 1.Ábrához (bal kép) hasonló. Az Omega függvény definíciója egy rt küszöbérték esetén:
Ω( ) =
1 −
( )
( )
=
(1)
1. Ábra: Az Omega függvény értelmezése és alkalmazása részvények összehasonlítására.
Egy befektetőnek egy küszöbérték alatti hozamok veszteséget, míg fölötte levő értékek
nyereséget jelentenek. Ha az Omega értékét kiszámoljuk különböző hozam értékekre, akkor a
részvények összehasonlíthatóak (lásd 1.Ábra (jobb kép)). A nagyobb Omega értékeket előnyben
részesítjük a kisebbekkel szemben. Természetesen az Omega függvény alkalmazható portfólió optimalizálására is az alábbiak szerint.
Adott egy n darab részvényből álló portfólió, amelyre ismerjük m napra a múltbeli hozamokat
(rij, i=1,...,n, j=1,...,m). Továbbá jelölje w1,...,wn a súlyokat, az egyes részvényekbe befektetett arányokat (∑
= 1 ). A súlyoknak megfelelő napi hozamok:
Ri =∑
=∑
+
(1-∑
), i=1,…,m (2)
A fenti összefüggésben kihasználtuk, hogy a súlyok összege 1. Az R i hozamok eloszlás
függvényéből kiszámolható (rt) egy rögzített rt értékre. Továbbá feltételezzük, hogy a súlyok pozitívak, azaz nincs rövidre eladás. Célunk maximalizálni az Omega függvényt változtatva a
értékeit, figyelembe véve az előző feltételeket. A feltételeket hozzácsatolva az Omega függvény inverzéhez a következő minimalizálandó célfüggvényt kapjuk:
F(w) =
+ ∑
Ω( )
∣ min(0;
)∣+
∣ min(0; 1 −∑
)∣, (3)
ahol a büntetőfüggvény paramétere.
A célfüggvény nem differenciálható, egyrészt a problémából eredendően, másrészt a hozzáadott
büntető tagok miatt. Egy másik nehézséget az okozhatja, hogy a célfüggvény több helyi minimummal
is rendelkezhet. Ez látható a 2. Ábrán is, ahol 3 részvény esetén rajzoltuk ki az Omega függvény szintvonalait. Tehát a feladat megoldására globális optimalizálóra van szükség, amely tudja nélkülözni a derivált használatát.
A szakirodalomban viszonylag kevés globális optimalizálási megközelítéssel lehet találkozni. Az
első publikációkban MCS (Multi-level Coordinate Splitting) (Huyer és Neumaier 1999) algoritmust használtak, majd többnyire evolúciós módszert (Pekar és mtsai. 2015) szoktak alkalmazni. Az Omega
függvény optimalizálására egy differential evolution (DE) nevű algoritmust használunk, amely eléggé hatékony és népszerű módszer.
2. Ábra: Az Omega függvény szintvonalai három részvény esetén.
3. Ábra: Az Omega függvény felülete három részvény esetén 2.3.A differential evolution (DE) módszer
Egy populáció alapú algoritmus, amely az evolúciós algoritmusok osztályába tartozik. Ennek
megfelelően a központi eleme a természetes kiválasztódás, tehát a problémára jobb megoldást adó egyedek hozhatnak létre új generációt. Minden generációban, minden x egyed (szülő) esetén, egy v
donor-egyed készül mutációs operátor segítségével. A x egyedet keresztezzük a v donorral, amely eredményeképpen kapunk egy u gyerek egyedet. Az u gyerekkel lecseréljük a x szülőt, ha ennél jobb.
A DE mutációs operátor a v donor egyedet az aktuális populációból kiválasztott néhány egyed
lineáris kombinációjaként állítja elő. Például: v = x a [0.5, 1] intervallumból) mutációs faktor, x
és x
+
∙ (x
− x ), ahol
(egy pozitív szám
véletlenszerűen kiválasztott egyedek.
A keresztezés operátor egy u gyerek egyedet állít elő, úgy hogy bizonyos komponenseket a x
szülőtől másokat pedig a v donor egyedtől vesz. Például a binomiális keresztező operátor az alábbiak szerint állítja elő az u = (u . , … , u . ) egyedet:
ui,j= ahol ,
,
,ℎ
,
≤ , á
egy véletlen szám a [0,1] intervallumból,
egy véletlenszerű sorszám a donor egyedből.
üö
=
(4)
∈ [0,1] a kereszteződés valószínűsége valamint
A fenti leírásnak megfelelően a DE algoritmusa pszeudókódja: Kezdeti x , = 1 … , populáció inicializálása for g = 1 to G do for i = 1 to NP do v = mutate(x ) u = crossover(x , v ) If f(u ) < f(x ) then x =u End if End For End for
3. Befektetési módszerek szimulációja
,
3.1. Tőzsdei adatok és jellemzőik A BUX a Budapesti Értéktőzsde egyik részvényindexe, mely aktuális piaci árak alapján 5
másodpercenként kerül kiszámításra. Az index a BÉT részvény szekciójában szereplő legnagyobb tőkeértékű és forgalmú részvények árának átlagos változását tükrözi, ezáltal a tőzsdei folyamatok legfontosabb mutatószáma.
A dolgozatban felhasznált adatokat a BUX 2011.01.01 és 2016.01.01 közötti napi záró
árfolyamait a www.bet.hu oldalról töltöttük le. Az 1. Táblázatban látható a BUX részvények neve illetve az általánosan használt rövidítése.
1. Táblázat: BUX részvények Cégnév
ANY Security Printing
Kód
ANY
Appeninn Asset Management
APPEN
FHB Bank
FHB
CIG Pannonia Life Insurance
CIG
Graphisoft Park
GSPARK
MOL Group
MOL
Magyar Telekom OTP Bank
MTEL OTP
Pannon Energy
PERGY
Gedeon Richter
RICHTER
RÁBA Automotive Group Zwack Unicum
RABA
ZWACK
A Dow Jones Ipari Átlag (angolul Dow Jones Industrial Average, rövidítve DJIA) az Amerikai
Egyesült Államok 30 legfontosabb vállalatának tőzsdei állapotát mutatja percről percre, egyetlen
mutatóban. Ezt a New York-i tőzsdéhez kötődő indexet Charles Dow, a Wall Street Journal
szerkesztője alkotta meg és a szintén Dow nevéhez kötődő Dow Jones Szállítási Átlag (Dow Jones Transportation Average, DJTA) mellett ez a legrégebbi, mai napig is működő amerikai piaci mutató.
A dolgozatban felhasznált adatokat, a DJIA 2011.01.01 és 2016.01.01 közötti napi záró
árfolyamai a finance.yahoo.com oldalról töltöttük le. A 2. Táblázatban látható a DJIA részvények neve illetve az általánosan használt rövidítése.
A kutatáshoz szükséges szimulációkat Matlab2012 környezetben végeztük. Cégnév
2. Táblázat: DJIA részvények Kód
Cégnév
AA
IBM
3M
MMM
American Express
Kód
Intel
INTC
AXP
Johnson & Johnson
JNJ
Bank of America
BAC
McDonald’s
MCD
Caterpillar
CAT
Microsoft
MSFT
Cisco Systems
CSCO
Procter & Gamble
PG
DuPont
DD
UnitedHealth Group
Alcoa
AT&T
Boeing
Chevron Corporation Coca-Cola
T
BA
CVX KO
ExxonMobil
XOM
Hewlett-Packard
HPQ
General Electric Home Depot
GE
HD
JPMorgan Chase Merck Pfizer
Travelers
United Technologies
IBM JPM
MRK PFE
TRV
UNH
Corporation
UTX
Walmart
WMT
Verizon
Walt Disney
VZ
DIS
A 3. Táblázatban a BUX részvényekre kiszámolt átlag hozam, szórás, ferdeség, lapultság mutatók
láthatóak.
Részvény
3. Táblázat: BUX részvények mutatói
Átlag
Kockázat
APPEN
-0.000297
0.019234
12.424800
FHB
-0.000045
0.021346
12.762004
MOL
-0.000163
0.017597
4.846192
OTP
0.000364
0.021951
0.000550
0.017457
ANY CIG
GSP
MTEL
0.000375
-0.001012 0.000964
-0.000124
PERGY
-0.000583
RICHT
-0.000407
RABA
ZWACK
0.000362
0.014656
0.022980
0.014960
0.014509
0.018511
0.029627
0.013634
Kurtosis
Skewness
5.312382
-0.212189
7.453964
0.392562
5.552269
8.240552
0.695317
0.872883
0.470009
0.091866
-0.352752
7.048531
-0.047046
16.431555
1.480574
22.232036
687.874726 42.697033
0.394253
-22.613044 -0.360063
A lapultság és ferdeségi mutatók alapján egyértelműen kiderül, hogy a hozam eloszlások nem
normál eloszlást követnek. Többnyire pozitív ferdeségi mutatókkal találkozhatunk. Ezek az észrevételek tükröződnek az alábbi két hozameloszlás diagramon is (4. és 5. Ábra).
4.Ábra: Empirikus vs. normál eloszlás az MOL részvények esetén
5. Ábra: Empirikus vs. normál eloszlás az OTP részvények esetén
A modellezés első lépéseként minden részvényre kiszámoltuk az Omega értékét, egy sorozat
küszöbértékre, 0 és 0.003 között, 0.0005 lépésközzel, mindkét tőzsde részvényei esetében, az eredményeket kirajzolva a 6. illetve 7. ábrán láthatjuk. Egy adott küszöbérték esetén a nagyobb Omega értékkel rendelkező részvényt preferáljuk. Különböző küszöbértékekre előfordulhat, hogy más és más részvény fog dominálni. A BUX részvények esetén az Omega értékek az 4.Táblázatban láthatóak. 4. Táblázat: Omega értékek
ANY APPEN CIG FHB GSP MOL MTEL OTP PERGY RABA RICHT ZWACK
1.0749 0.9549 0.8801 0.9936 1.205 0.9754 0.9761 1.0469 0.8978 1.1024 0.9327 1.0968
0.9764 0.8843 0.8272 0.925 1.0931 0.9039 0.8859 0.9831 0.8201 1.0088 0.8562 0.9656
0.611 0.6068 0.6109 0.6506 0.6871 0.6184 0.5471 0.7189 0.5319 0.6565 0.5594 0.5277
A fenti elvet természetesen lehet alkalmazni a portfolió kiválasztási problémára is. Ebben az
esetben a súlyokat úgy változtatjuk, hogy a súlyozott hozam leoszlásoknak megfelelő Omega érték a
legnagyobb legyen. A felmerülő kérdés az, hogy milyen hozam küszöbértékre végezzük el a
vizsgálatokat? Megtörténhet, hogy különböző küszöbértékekre más és más befektetést ajánl az Omega. Tehát a kutatás egyik célja, hogy különböző küszöbértékekre megvizsgálni az Omega alapú portfóliót akár kockázat vagy befektetési stratégia szemszögéből.
6. Ábra: Omega görbék, BUX részvényekre
7. Ábra: Omega görbék, DJIA részvényekre
3.2. Az Omega a Markowitz „világban” A Markowitz modell egyik alapfeltételezése, hogy a hozamok normál eloszlást követnek. A
valóságban nem mindig állja meg a helyét ez a feltételezés ugyanis gyakran a részvény hozamok nem normál eloszlás szerint változnak. Tehát a standard szórás, mint kockázati mérték nem feltétlen
jellemzi jól a hozam eloszlásokat. Ezeknek a korrigálására vezették be a ferdeséget (skewness), mint kockázati mértéket. A ferdeség a harmadik centrális momentum, amely felvilágosítást ad a
normalitásról, illetve attól való eltérésről. A ferdeség az eloszlás szimmetrikusságát méri. Egy másik
mérték a lapultság (kurtosis), azt méri, hogy az eloszlás mennyire lapos vagy csúcsos a normális
eloszláshoz képest. Az alábbi ábra egy nem szimmetrikus hozam eloszlást (A) és annak tükörképét szemlélteti (B). Kérdés, hogy egy befektető a kettő közül melyiket preferálja?
8. Ábra: nem szimmetrikus hozam eloszlás. (Forrás: Bodie és mtsai 1996) A kockázatkerülő befektető az A változatot preferálja, mert bár az esetleges veszteségekre
nagyobb az esély, azok mértéke kisebb, mint a B változatban, amikor kisebb számú viszont nagy értékű veszteségre lehet számítani.
Mivel az Omega függvény a hozamok teljes eloszlásán alapszik, ezért mind a négy centrális
momentumot (átlag hozam, szórás, ferdeség, lapultság) mind jellemzőket magában hordozza. Ebben
a részben azt vizsgáljuk, hogy egy Omega alapú portfólió kockázata hogyan viszonyul egy Markowitz
portfolió kockázatához. A kockázaton a klasszikus varianciát vagy szórást értjük. A vizsgálatot úgy végezzük, hogy meghatározzuk az optimális Omega portfoliókat különböző hozam küszöbértékekre,
majd a kapott portfólió hozamát, mint elvárt hozamot alkalmazzuk a Markowitz modellre és ezen a szinten meghatározzuk a minimális kockázatú portfóliót.
A BUX részvényekre az eredményeket az 5. Táblázat tartalmazza. Az eredmények alapján
elmondható, hogy általában az Omega portfóliók enyhén kockázatosabbak, mint a Markowitz portfóliók.
5. Táblázat: hozamok és kockázatok
rt
0.000 0.005 0.010
Fx 1.242086 0.557014 0.294798
Omega hozam 0.000701 0.00036 0.00035
Omega kockázat 0.008941 0.021724 0.021397
Markowitz kockázat 0.008931 0.006693 0.006660
A 0.01 küszöbértéknek megfelelő Markowitz illetve Omega portfoliók a 9. Ábrán láthatóak.
9. Ábra: Omega és Markowitz portfoliók (kék illetve zöld jelöléssel) 3.3 A befektetési stratégiák összehasonlítása
A különböző stratégiák vizsgálatára az un. back testing módszert használjuk, amely nem más,
mint a stratégia múltbeli adatokon nyugvó tesztelése. A befektetési stratégia alapelveinek historikus
adatbázison történő próbája, amely eredményeiről következtetést lehet levonni a stratégia éles használatával kapcsolatban, ha a körülmények időközben jelentősen nem változtak.
A teszt lényege, hogy valamennyi stratégiába befektetünk 1000 pénzegységet (dollár vagy forint)
a vizsgált periódus egy bizonyos pontjától kezdődően, majd a portfólió értékét figyeljük, miközben
bizonyos periódusok elteltével újra számoljuk a súlyokat (rebalancing). Valójában egy múltbeli
peridust (in sample) használunk fel a stratégiák optimalizálására, majd a következő periódusra (out of sample) a korábban kapott optimalizált súlyokat alkalmazzuk. A továbbiakban ezt a lépést folyamatosan ismételjük, úgy hogy a múltbeli periódust eltoljuk egy előre rögzített periódus számmal
(out of sample). Ezt szokás mozgó ablak módszernek (moving sample window method vagy walk forward optimization) is hívni. Lásd 12. Ábra.
A kutatások során eltekintettünk a tőzsdéken szokásos tranzakciós költségektől, valamint
mindenféle a pénzszerző tevékenységekre kivetett adóktól.
10. Ábra: mozgó ablak módszer Kutatásainkat a BUX összes és a DJIA tíz véletlenszerűen kiválasztott részvényen végeztük,
2011 január 1 és 2016 január 1 közötti adatokkal, több különböző küszöbértékre és különböző
periódusokkal. Az Omega modell mutatóit összehasonlítottuk az egyenlő súlyok esetén, a Sharpe modell esetén és a minimális variancia esetén kapott mutatókkal.
A táblázatok első oszlopában szerepelnek a teszt periódusok (pl. 252-20, 252 in sample, 20 out
of sample), a második oszlopban a stratégiák, a többi oszlop pedig a jellemző mutatókat tartalmazza.
Egy évet 252 munkanap hosszúságúnak, egy hónapot 20 munkanaposnak vettünk. 6. Táblázat: BUX részvényekre számolt mutatók
Periódusok 252-20
252-40
rt
Eq. wghts Sharpe Omega Min. var. Eq. wghts Sharpe Omega Min. var.
0.00
Átlagok 0.01 -0.0949
0.5153 0.5295 0.6477 -0.2234
0.02
0.00
0.3013
0.0089 0.0091 0.0189
-0.0949
0.4767 0.4824 0.5264
-0.2189
Kockázat 0.01 0.0085
0.0133
0.02
0.0192
0.0085
0.1188
0.0087 0.0089 0.0189 0.0134
0.0178
7. Táblázat: BUX részvényekre számolt mutatók Periódusok 252-20
252-40
rt Eq. wghts Sharpe Omega Min. var. Eq. wghts Sharpe Omega Min. var.
0.00
Skewness 0.01 -9.7692
0.0547 0.1149 0.6492
-24.5714
0.02
0.5788
-9.7692
0.0513 0.4824 0.5264
-24.3729
Sharpe ratio 0.00 0.01 0.02 -0.0112
0.0578 0.068 0.6536
-0.0168 -0.0112
0.1188
0.0547 0.0542 0.0279 -0.0164
8. Táblázat: BUX részvényekre számolt mutatók Periódusok
0.4542
Kurtosis
0.0067
252-20
252-40
rt Eq. wghts Sharpe Omega Min. var. Eq. wghts Sharpe Omega Min. var.
0.00
7.5141
0.01
0.02
223.4372 7.2643 9.4226
766.5588
10.1272
223.4372 7.0833
6.8192 9.5161
758.0295
9.0858
9. táblázat: BUX részvényekre kapott végső egyenlegek
Periódusok rt Equal-weights Sharpe Omega Minimum variance
252-20 0.00 0.01 0.02 0.00 847.69 847.69 847.69 847.69 1804.18 1804.18 1804.18 1723.53 1833.29 1792.81 1157.1 1732.14
252-40 0.01 0.02 847.69 847.69 1723.53 1723.53 1543.62 952.96
655.03
658.31
655.03
655.03
658.31
658.31
A BUX részvényein egy éves elemzési időszak mellett 20 illetve 40 napos csúszó értékkel
próbálkoztunk, 0.00, 0.01 és 0.02 küszöbértékekkel. 0 küszöbérték közelében az Omega esetén kaptuk
a legjobb eredményeket, 0.02 értéknél viszont az Omega lényegesen alacsonyabb volt a Sharpe értéknél.
11. Ábra: BUX egyenlegek alakulása, 252-20 periódusra, 0.00 küszöbértékre
12. Ábra: BUX egyenlegek alakulása, 252-20 periódusra, 0.02 küszöbértékre
10. Táblázat: DJIA részvényekre számolt mutatók Periódusok 252-60
252-120
252-252
rt
0.001
Eq. wghts Sharpe Omega 0.8113 Min. var. Eq. wghts Sharpe Omega 0.8152 Min. var. Eq. wghts Sharpe Omega 0.7731 Min. var.
Átlagok 0.0015 0.4495
0.7224 0.7796 0.5814
0.002
0.5547
Kockázat 0.001 0.0015 0.002 0.008
0.0103
0.4495
0.7166 0.8194 0.5582
0.0109
0.0092 0.0106 0.008
0.0107
0.0091 0.0105 0.0082
0.0114
0.008
0.6029
0.01
0.4495 0.6781 0.755 0.5792
0.0094 0.0107 0.0081
0.008
0.3915
0.0102
11. Táblázat: DJIA részvényekre számolt mutatók Periódusok 252-60
252-120
252-252
Skewness 0.001 0.0015 0.002
Sharpe ratio 0.001 0.0015 0.002
-0.1342 0.3248 -0.0236
0.0769 0.0727 0.0722
0.051
0.0777 0.0775 0.0696
0.0563
rt Eq. wghts Sharpe Omega 0.1792 Min. var. Eq. wghts Sharpe Omega 0.1964 Min. var. Eq. wghts Sharpe Omega 0.0634
-0.1169
0.324
0.0559
0.0789
-0.1169
-0.02 0.3011 0.3525 -0.0823
0.0559
0.0813
-0.1169
-0.0619 0.0141 -0.4889
0.0559
0.0756
0.0747 0.0717
0.0343
-0.0523
Min. var.
0.0709
12. Táblázat: DJIA részvényekre számolt mutatók Periódusok 252-60
252-120
252-252
rt
0.001
Eq. wghts Sharpe Omega 6.2888 Min. var. Eq. wghts Sharpe Omega 6.5644 Min. var. Eq. wghts Sharpe Omega 5.4329 Min. var.
Kurtosis 0.0015 5.2007
0.002
5.7671 7.1433 5.5682
6.9045
5.4486 7.471 5.2336
7.309
5.7196 5.5948 5.4325
9.61
5.2007
5.2007
13. Táblázat: DJIA részvényekre kapott végső egyenlegek Periódusok 252-60 252-120 252-252 0.001 0.0015 0.002 0.001 0.0015 0.002 0.001 0.0015 0.002 rt Equal1690.01 1690.01 1690.01 weights 2346.57 2334.25 2227.69 Sharpe Omega 2595.6 2480.06 1865.16 2617.1 2612.29 1986.21 2475.58 2410.22 1506.76 Minimum 1994.73 1937.88 1986.76 variance A DJIA részvényein egy éves elemzési időszak mellett 60, 120 illetve 252 napos csúszó értékkel
próbálkoztunk, 0.001, 0.0015 és 0.002 küszöbértékekkel. 0.001 illetve 0.0015 küszöbértékek
közelében az Omega teljesített a legjobban, 0.002 értéknél viszont az Omega alacsonyabb volt a Sharpe és a minimum variancia értéknél is.
13. Ábra: DJIA egyenlegek alakulása, 252-60 periódus, 0.001 küszöbértékre
14. Ábra: DJIA egyenlegek alakulása, 252-60 periódus, 0.002 küszöbértékre 4. Következtetések
Tesztjeink alapján az Omega enyhén kockázatosabb a többi modellnél, de 0-hoz közeli
küszöbértékeknél a hozama magasabb mindegyiknél. A Sharpe arány ezekben az esetekben jobb.
Az Omega a különböző periódusokra, nem annyira érzékeny, inkább a küszöbérték változtatása
az, ami jelentősen befolyásolja az eredményeket.
Szándékunkban áll a későbbiekben bevonni a tranzakciós és egyéb költségeket, a kapott
eredményeket ezáltal össze lehet majd hasonlítani a S&P500 vagy más hasonló indexek alakulásával.
Továbbá az eredmények indokolttá tehetik az Omega ötvözését más modellel (pl. Sharpe) oly módon,
hogy a Markowitz modellben található kockázat kerülési vagy kockázatra való hajlandósági mechanizmust direkt módon alkalmazni lehessen. 5. Köszönetnyilvánítás Ezt a kutatást támogatja a Sapientia Alapítvány Kutatási Pályázatok Intézete a 252/11/28/04/2015
számú pályázat által.
6. Irodalomjegyzék Bodie, Z., Kane, A., Marcus, A. 1996. Befektetések. Tanszék kiadó, Budapest.
DeMiguel, V.; Garlappi, L.; Uppal, R. 2009a. Optimal versus naive diversification: how inefficient is the 1/N portfolio strategy?, Review of Financial Studies 22(5): 1915–1953.
Duchin, R.; Levy, H. 2009. Markowitz versus the Talmudic portfolio diversification strategies, The Journal of Portfolio Management 35(2): 71–74.
Jorion, P. 1999. A kockázatott érték. Panem Kiadó. Budapest.
Huyer,W., and Neumaier, A. 1999. Global optimization by multilevel coordinate search. Journal of Global Optimization, 14(4): 331–355.
Keating, C.; Shadwick, W. F., 2002a. A universal performance measure, Journal of Performance Measurement 6(3): 59–84. EDHEC.
Keating, C.; Shadwick, W. F. 2002b. An introduction to omega, AIMA Newsletter.
Markowitz, H., 1952. Portfolio selection, The Journal of Finance 7(1): 77–91. Wiley Online Library.
Pekár J., Čičková Z., Brezina I., 2015. Portfolio performance measurement using differential evolution, Central European Journal of Operations Research, pp 1-13. Sharpe W.F., 1994. The Sharpe ratio. J Portf Manag 21:49–58.
Sintfiet, C., 2014. A New Approach to Portfolio Selection: Mean-Expected Shortfall vs. MeanVariance Portfolio Optimization, Master thesis.
Sortino FA, Meer R 1991. Downside risk. J Portf Manag 17:27–31.
Sortino FA, Price LN 1994. Performance measurement in a downside risk framework. J Invest 3:59– 64.
Storn, R., Price, K. 1995. Differential evolution: A simple and efficient adaptive scheme for global
optimization over continuous spaces, International Computer Science Institute, Berkeley, CA., Technical Report TR-95-012
Vilkancas, R., 2014. Characteristics of omega-optimized portfolios at different levels of threshold returns, Business, Management and Education, 12(2): 245–265.
