Sapientia MatInfo Konferencia

Sapientia MatInfo Konferencia Marosv´ as´ arhely, 2011. j´ unius 5.

Kivonatok

Szervez˝ o int´ ezm´ enyek Sapientia Egyetem Marosv´ as´arhelyi Kar Matematika ´es Informatika tansz´ek MITIS, Matematika Informatika Egyes¨ ulet Kolozsv´ ari Akad´emiai Bizotts´ ag, Matematikai, informatikai ´es csillag´ aszati szakbizotts´ aga EME, Matematika-Informatika Szakoszt´ aly

http://www.mitis.ro/matinfo

Sapientia MatInfo Konferencia, 2011. j´ unius 5., Marosv´ as´arhely

3

Szoftver metrik´ ak alkalmaz´ asa a 2010-es BBTE - evoline ny´ ari szakmai gyakorlat keret´ eben Barab´as L´aszl´o, Darvay Zsolt, Tak´o Istv´an, Zsid´o J´ozsef-Csaba, Zsid´o M´aria-Aliz Babe¸s-Bolyai Tudom´ anyegyetem, Kolozsv´ ar email:

Matematika ´es Informatika Kar [email protected], [email protected], [email protected]

Olyan szoftver metrik´akat mutatunk be ezen cikk keret´en bel¨ ul, amelyeket szoftver term´ekekre, valamint szoftverfejleszt´esi folyamatokra alkalmazhatunk. R¨oviden ismertetj¨ uk a k¨ ul¨onb¨oz˝o r´ aford´ıt´ as becsl˝ o elj´ ar´ asokat, ´es megmagyar´ azzuk, hogy az eml´ıtett metrik´ak mik´ent alkalmazhat´oak az anal´ og becsl´es eset´en. Elemezz¨ uk az evoline szoftverfejleszt˝ o c´eg k´et projektj´et, amelyek a 2010-es szakmai gyakorlat sor´an k´esz¨ ultek, p´eld´at adva a bemutatott metrik´ ak egy r´esz´ere, majd ki´ert´ekelj¨ uk a m´ert eredm´enyeket. K¨ ovetkeztet´esk´eppen kihangs´ ulyozzuk annak a fontoss´ ag´ at, hogy a c´egek m´er´eseket v´egezzenek a szoftverfejleszt´esi folyamataikon, valamint elemezz´ek ´es t´ arolj´ ak el a m´er´esek eredm´eny´et, hogy majd felhaszn´alhass´ ak oket a j¨ovobeli projekteiknek a r´ afod´ıt´ as becsl´ese sor´an.

Sapientia MatInfo Konferencia, 2011. j´ unius 5., Marosv´ as´arhely

4

M´ atrixok ´ es determin´ ansok sz´ amelm´ eleti f¨ uggvenyekkel Bege Antal Sapientia EMTE Marosv´ as´arhelyi Kar, Matematika ´es Informatika Tansz´ek email: [email protected]

A klasszikus Smith-f´ele determin´ ans (1, 1) (1, 2) (2, 1) (2, 2) det[(i, j)]n×n = ··· ··· (n, 1) (n, 2)

´ert´eke a k¨ ovetkez˝ o · · · (1, n) · · · (2, n) = ϕ(1) · ϕ(2) · · · ϕ(n), ··· · · · · · · (n, n)

ahol a determin´ ans (i, j) eleme az i ´es j term´eszetes sz´ amok legnagyobb k¨ oz¨os oszt´ oj´at (lnko), ϕ(n) az Euler-f´ele ϕ f¨ uggv´enyt jelenti. Ennek megfelel˝ oen bevezetj¨ uk az ´altal´anos´ıtott legkisebb k¨ oz¨os t¨ obbsz¨ or¨ os m´atrix fogalm´ at (lkkt m´atrix):   f([1, 1]) f([1, 2]) · · · f([1, n])  f([2, 1]) f([2, 2]) · · · f([2, n])  . [f[i, j]]n×n =    ··· ··· ··· ··· f([n, 1]) f([n, 2]) · · · f([n, n]) Megvizsg´ aljuk az ´ıgy bevezetett m´atrix tulajdons´ agait ´es kisz´am´ıtjuk determin´ans´ at.

Hivatkoz´ asok [1] A. Bege, Generalized LCM matrices, (k´ezirat) [2] A. Bege, Hadamard product of GCD matrices, Acta Universitatis Sapientiae, Mathematica, 1 (2009), 43–49. [3] I. Korkee, P. Haukkanen, On a general form of meet matrices associated with incidence functions, Linear Multilinear Algebra, 53 (2005), 309–321. [4] W. Feng, S. Hong, J. Zhao, Divisibility properties of power LCM matrices by power GCD matrices on gcd-closed sets, Discrete Math.. 309 (2009), 2627–2639

Sapientia MatInfo Konferencia, 2011. j´ unius 5., Marosv´ as´arhely

5

Egyenl˝ otlens´ egek a tetra´ ederben Bencze Mih´aly Str. H˘ armanului 6, 505600 S˘acele-N´egyfalu, Jud. Bra¸sov, Romania email: [email protected] ´ tetra´ederbeli egyenl˝otlens´eget bizony´ıtunk algebrai egyenl˝otlens´egek felUj haszn´l´ as´aval (pl. a Finsler-Hadwiger f´ele egyenl˝otlens´eg ´eles´ıt´es´evel).

Sapientia MatInfo Konferencia, 2011. j´ unius 5., Marosv´ as´arhely

6

A hatv´ anyk¨ oz´ ep (log)konvexit´ as´ ar´ ol a hatv´ anyk¨ oz´ ep rendje szerint Bukor J´ozsef Selye J´anos Tudom´ anyegyetem, Kom´ arom Matematika Tansz´ek email: [email protected]

Legyen Mp (a, b) az a, b pozit´ıv val´ os sz´ amok hatv´ anyk¨ozepe, azaz  1  ap +bp  p , ha p 6= 0 Mp (a, b) = √ 2  ab, ha p = 0.

Ismert, hogy a 6= b esetben az f(p) = Mp (a, b) f¨ uggv´eny monoton n¨ovekv˝ o. Mildorf [1] igazolta, hogy p ≥ 1 esetben az f(p) f¨ uggv´eny konk´ av ´es p ≤ −1 esetben pedig konvex. Az el˝oad´ason foglalkozni fogunk ennek az eredm´enynek a ´ jav´ıt´ as´aval. Altal´ anos´ıtjuk ´es elemi bizony´ıt´ ast adunk a [2] cikkben bizony´ıtott 1 2 G(a, b) + H(a, b) ≥ M− 1 (a, b), 3 3 3

1 2 G(a, b) + H(a, b) ≥ M− 2 (a, b) 3 3 3

egyenl˝otlens´egekre (G a m´ertani, H pedig a harmonikus k¨ ozepet jel¨ oli).

Hivatkoz´ asok [1] T. J. Mildorf: A sharp bound on the two variable power mean, Mathematical Reflections 2006, Issue 2 [2] Yu-Ming Chu and Wei-Feng Xia: Two sharp inequalities for power mean, geometric mean and harmonic mean, Journal of inequalities and applications, vol. 2009, Article ID 741923, 6 pages, 2009, doi:10.1155/2009/741923

Sapientia MatInfo Konferencia, 2011. j´ unius 5., Marosv´ as´arhely

7

K¨ ozepek ´ altal defini´ alt rekurz´ıv sorozatokr´ ol Csiba P´eter Selye J´anos Tudom´ anyegyetem, Kom´ arom Matematika Tansz´ek email: [email protected]

Legyenek a, b val´ os sz´ amok, H(a, b) ´es K(a, b) pedig tetsz˝ oleges k¨ ozepek (min {a, b} ≤ H(a, b) ≤ max {a, b} ´es min {a, b} ≤ K(a, b) ≤ max {a, b}). Defini´ aljunk k´et sorozatot a k¨ ovetkez˝ o rekurzi´ oval: a0 = a, an+1 = H(an , bn ),

b0 = b, bn+1 = K(an , bn ).

Legyen Mα (a, b) az a, b val´ os sz´ amok α-ad rend˝ u hatv´ anyk¨ozepe (α ∈ R): Mα (a, b) =



aα + bα 2

 α1

ha α 6= 0 ´es M0 (a, b) = lim Mα (a, b). α→ 0

Siker¨ ult bel´ atnunk, hogy ha H(a, b) ´es K(a, b) is vagy alulr´ol, vagy fel¨ ulr˝ ol korl´atozhat´ o egy megfelel˝ o hatv´ anyk¨oz´eppel, illetve ha csup´ an egyik¨ uk alulr´ol ∞ ´es fel¨ ulr˝ ol is korl´atozhat´ o egy-egy hatv´ anyk¨oz´eppel, akkor az (an )∞ n=1 , (bn )n=1 sorozatok ugyanahhoz az ´ert´ekhez konverg´ alnak.

Sapientia MatInfo Konferencia, 2011. j´ unius 5., Marosv´ as´arhely

8

S˝ ur˝ us´ egek, mint a term´ eszetes sz´ amokon ´ ertelmezett m´ ert´ ekek Filip Ferdin´and Selye J´anos Tudom´ anyegyetem, Kom´ arom Matematika Tansz´ek email: [email protected]

Az el˝ oad´as a term´eszetes sz´ amok r´eszhalmazainak m´er´es´ere szolg´al´ o s˝ ur˝ us´egekkel foglalkozik. Ezeket, mint q-algebr´akon ´ertelmezett nemnegat´ıv, v´eges, addit´ıv halmazf¨ uggv´enyekk´ent defini´aljuk. Bemutatjuk a s˝ ur˝ us´egek legfontosabb t´ıpusait. Megmutatjuk, hogyan defini´alhatunk s˝ ur˝ us´egek seg´ıts´egevel k¨ ul¨onb¨oz˝o eloszl´as t´ıpusokat. V´eg¨ ul megvizsg´ajuk, hogy melyek azok a tulajdons´ agok amivel egy s˝ ur˝ us´egnek rendelkeznie kell ahhoz, hogy l´etezzen ezen s˝ ur˝ us´eg szerinti egyenletes eloszl´as´ u sorozat.

Sapientia MatInfo Konferencia, 2011. j´ unius 5., Marosv´ as´arhely

9

Aperi´ odikus f¨ uggv´ enyek szerkeszt´ ese peri´ odikusakb´ ol Horv´ath S´andor ELTE, TTK, Budapest Sz´ am´ıt´ og´eptudom´anyi Tansz´ek email: [email protected]

A teljes sz´ amegyenesen ´ertelmezett val´ os f¨ uggv´enyek k¨ or´eben r´eg´ota ismert a k¨ ovetkez˝ o´ all´ıt´ as helyess´ege. Az f(x) = sin x + sin(tx) f¨ uggv´eny (itt t tetsz˝ oleges, r¨ ogz´ıtett val´ os sz´ am) pontosan akkor aperi´ odikus, ha t irracion´alis. Ezt az eredm´enyt ´altal´anos´ıtjuk legal´ abb k´ettag´ u ,,szinuszos polinomokra”, a k¨ ovetkez˝ o m´odon. Legyen g(x) = a1 sin(b1 x + c1 ) + . . . + an sin(bn x + cn ), ahol n ≥ 2; a1 , ..., an tetsz˝ oleges, r¨ ogz´ıtett, nemnulla val´ os sz´ am; b1 , ..., bn tetsz˝ oleges, ro¨ gz´ıtett, p´aronk´ent k¨ ulonb¨oz˝o, pozit´ıv val´ os sz´ amok; ci tetsz˝ oleges, r¨ ogz´ıtett val´ os sz´ am u ´gy, hogy 0 ≤ ci < 2π/bi , i = 1, ..., n. Megmutatjuk, hogy g(x) pontosan akkor aperi´ odikus, ha van 1 ≤ i < j ≤ n, amelyre

bi irracion´alis. bj

Ezt az eredm´enyt tov´ abb lehet ´altal´anos´ıtani az olyan egyenletesen konvergens, val´ os f¨ggv´enysorok k¨ or´eben, amelyeknek tagjai peri´ odikus, nemkonstans (´es nem sz¨ uks´egk´eppen folytonos) f¨ uggv’enyek. A tov´ abb ´altal´anos´ıtott eredm´eny bizony´ıt´ asa azonban sokkal bonyolultabb, mint a szinuszos polinomokra vonatkoz´o´e, ´es ismertet´ese l´enyegesen meghaladn´a ennek az el˝oad´asnak az id˝okorl´atait. Mindezen eredm´enyek igazs´aga ,,szeml´eletesen ´erezhet˝o”, de a bizony´ıt´ asok nem trivi´ alisak.

Sapientia MatInfo Konferencia, 2011. j´ unius 5., Marosv´ as´arhely

10

Sz´ ekelyf¨ oldi csal´ adi gazdas´ agok v´ altoz´ asair´ ol - egy k´ erd˝ o´ıves kutat´ as informatikai h´ attere ´ es el˝ ozetes eredm´ enyei Illy´es L´aszl´o Sapientia EMTE, Cs´ıkszereda Matematika ´es Informatika Tansz´ek email: [email protected]

Az el˝ oad´asban egy l´etez˝ o k´erd˝o´ıv h´atter´et biztos´ıt´ o adatb´azis-strukt´ ura megval´ os´ıt´ as´at mutatjuk be. Mivel t¨ obb bevitelt v´egz˝ o k´erdez˝ob´ıztos ´es adatfelt¨olt˝o szerepelt a kutat´ asban, grafikus interf´esz megval´ os´ıt´ as´ara is sz¨ uks´eg volt. A lek´erdez´esek ´es az adatfelt¨olt´es sor´an, mivel k¨ ul¨onb¨oz˝o felk´esz¨ ults´eg˝ u, v´egzetts´eg˝ u szem´elyeket implik´alt, k¨ ul¨onb¨oz˝o hibalehet˝ os´egek jelentek meg. Ilyen esetekben sz¨ uks´egszer˝ u az adattiszt´ıt´ as. A hib´ ak felt´ar´ asa, kijav´ıt´ asa is m´ar el´eg komoly kih´ıv´ast jelent egy ilyen nagy volumen˝ u munka eset´eben (kb. 400 k´erd˝o´ıv). Bemutatunk egy p´ar el˝ozetes eredm´enyt, amelyek ¨osszef¨ ugg´eseket mutatnak be bizonyos felm´ert inform´aci´ ok k¨ oz¨ott, s le tudunk vonni bel˝ol¨ uk egy p´ar k¨ ozvetkeztet´est. El˝ orevet´ıtj¨ uk, hogy a v´ altoz´ asokat felm´er˝o rendszert fuzzy-genetikus alkalmaz´ as seg´ıts´eg´evel szeretn´enk fel´ep´ıteni, egy olyan rendszerrel, amelyik val´ os´agh˝ ubb k´epet adhat a vizsg´alt n´egy r´egi´ o helyzet´er˝ol ´es dinamik´ aj´ar´ ol.

Hivatkoz´ asok [1] Buchenrieder, G. et.al: Conceptual Framework for Analysing Structural Change in Agriculture and Rural Livehoods. IAMO, Discussion Paper No. 113., Halle, 2007. [2] Elek S´andor: R´eszmunkaid˝os farmok a fejlett orsz´agokban. In: Szociol´ ogiai Szemle /l994/ No. 1. [3] Elek S´andor - Fogarasi J´ozsef: A rom´ aniai agr´argazdas´ag EU csatlakoz´as´anak els˝ o tapasztalatai. In: Csata Andrea - Elek S´andor (szerk.): Gazdas´agpolitika - vid´ekfejleszt´es. Az eur´opai uni´ os tags´ag kih´ıv´asai Sz´ekelyf¨old¨ on. Scientia Kiad´ o, Kolozsv´ ar, 2009.

Sapientia MatInfo Konferencia, 2011. j´ unius 5., Marosv´ as´arhely

11

[4] Fritzsh, J. - Buchenrieder, G.- M¨ollers, J. : Non Farm Diversification of Rural Households in Central and Southeastern Europe: an Aplication of Fuzzy Set Thyeory, paper presented at 118th EAAE Seminar, Ljubjana, 2010 [5] Fuguitt, G.V. (1961): A typology of the part-time farmers. Rural Sociology. Vol.26.No.1. [6] Fuller, A.M. (1984): Part-time farming: The enigmas and the Realities. In. Research in Rural Sociology and Development, Volume 1: Focus on Agriculture, Schwarzweller, H.(ed): Jai Press, Grenwich, Conn [7] Ghib Marie-Luce, Larkham Krystyna, Luca Lucian: Small farm in Romania: evolution under localization constraint? Seminar ’Small Farms: decline or persistence’ University of Kent, Canterbury, UK, poster paper, 2009 [8] Hargita megye k¨ oz´ept´ av´ u strat´egiai fejleszt´esi terve 2002-2013 [9] Sch¨ utz N´ andor: Rom´ania ´es Bulg´ aria EU-csatlakoz´as´anak hat´asa agr´argazdas´agukra - konferencia anyag - Balk´ an: egy¨ uttm˝ uk¨od´es vagy verseny a mez˝ ogazd´alkod´asban, 2006. ´aprilis [10] P´eter Em˝ oke Katalin: F¨oldbirtokv´ altoz´ as Rom´ani´aban. In: Csata Andrea - Elek S´andor (szerk.): Gazdas´agpolitika - vid´ekfejleszt´es. Az eur´opai uni´ os tags´ag kih´ıv´asai Sz´ekelyf¨old¨on. Scientia Kiad´ o, Kolozsv´ ar, megjelen´es alatt.

Sapientia MatInfo Konferencia, 2011. j´ unius 5., Marosv´ as´arhely

12

Sz´ obonyolults´ ag ´ es term´ eszetes sz´ amok felbont´ asa K´asa Zolt´an Sapientia EMTE Marosv´ as´arhelyi Kar, Matematika ´es Informatika Tansz´ek email: [email protected] Legyenek n, d1 , d2 ´es s pozit´ıv eg´esz sz´ amok, ´es u = x1 x2 . . . xn ∈ Σn egy o, ahol Σ´ ab´ec´e feletti sz´ o. A v = xi1 xi2 . . . xis sz´ i1 ≥ 1, d1 ≤ ij+1 − ij ≤ d2 , ha j = 1, 2, . . . , s − 1, is ≤ n, az u sz´ o s hossz´ us´ ag´ u (d1 , d2 )-r´ eszszava. P´eld´aul, az aabcade sz´ oban abd, ace, ad (2, 4)-r´eszszavak. Egy adott sz´ o¨ osszes, egym´ ast´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o (d1 , d2 )-r´eszszav´ anak sz´ am´at az adott sz´ o (d1 , d2 )-bonyolults´ ag´ anak nevezz¨ uk. Az (1, d)-bonyolults´agot Iv´ anyi [1] ´es K´ asa [2] vizsg´alt´ak, a (d, n)-bonyolults´ agot pedig K´ asa [3]. Jelen el˝ oad´asban bemutatjuk, hogy sziv´arv´anyszavak (amelyek csupa k¨ ul¨ onb¨oz˝o bet˝ ukb˝ol ´ allnak) (d1 , d2 )-bonyolults´aga milyen kapcsolatban van term´eszetes sz´ amok olyan speci´alis part´ıci´ oinak sz´ am´aval, amelyek eset´eben a sorrend is sz´ am´ıt.

Hivatkoz´ asok [1] A. Iv´ anyi, On the d-complexity of words, Annales Univ. Sci. Budapest., Sect. Computatorica, 8 (1987) 69–90. [2] Z. K´ asa, On the d-complexity of strings, Pure Math. Appl., 9, 1–2 (1998) 119–128. [3] Z. K´ asa, Super-d-complexity of finite words, 8th MaCs, Kom´ arno, July 14– 17, 2010.

Sapientia MatInfo Konferencia, 2011. j´ unius 5., Marosv´ as´arhely

13

Algo-ritmika: tudom´ any ´ es m˝ uv´ eszet etnikai hat´ arok n´ elk¨ ul K´atai Zolt´an Sapientia EMTE Marosv´ as´arhelyi Kar, Matematika ´es Informatika Tansz´ek email: katai [email protected] Az ut´obbi ´evtizedekben, f˝oleg a nyugati t´ arsadalmakban, jelent˝ os el˝orel´ep´es t¨ ort´ent a kultur´ alis soksz´ınus´eg elismer´ese, elfogad´ asa ´es ´ert´ekel´ese tekintet´eben. Az oktat´ asnak kiemelt szerepe van a k¨ ul¨onb¨ozo nemzetek ´es etnikai csoportok k¨ ozti egyet´ert´es, tolerancia ´es bar´ ati kapcsolatok elomozd´ıt´as´aban. B´ ar a Sapientia Egyetemen az oktat´as magyar nyelven folyik, magyar hallgat´oknak, Erd´elyre, ahol az egyetem muk¨odik, etnikai soksz´ınus´eg jellemzo. A muv´eszetek az interkultur´alis oktat´ as kulcs eszk¨ ozeinek tekinthetok. A kultur´ alis jegyek a muv´eszetekben t¨ ukr¨ ozodnek legszembetunobb m´odon. Am´ıg a hum´ antant´ argyak eset´eben k´ezenfekvobb, addig val´ odi kih´ıv´ast jelenthet interkultur´alis jelleget adni a re´ aloktat´ asnak. A Sapienti´ an a muv´eszi elemek, mint didaktikai eszk¨ oz vannak jelen a programoz´ as oktat´asban. A jelen dolgozat egy olyan didaktikai m´odszert ´es eszk¨ ozt mutat be, amely muv´eszi elemek r´ev´en interkultur´alis jelleget k¨ olcs¨on¨oz a rendez´esi algoritmusok tan´ıt´ asa, tanul´asa t´emak¨ornek. Arra t¨ orekedt¨ unk, hogy a kidolgozott oktat´asi strat´egia egy idoben ´ebresszen ´ert´ekel´est az erd´elyi kultur´ alis soksz´ınus´eg ir´ant, ´es eredm´enyezzen hat´ekonyabb programoz´as oktat´ ast.

Sapientia MatInfo Konferencia, 2011. j´ unius 5., Marosv´ as´arhely

14

Statisztika oktat´ asa Excel t´ abl´ azatkezel˝ ovel Kov´acs Barna Col. Nat. Papiu Ilarian - Bolyai Farkas L´ıceum email: t barna [email protected]

Napjainkban a statisztika oktat´asa egy sor dedik´alt szoftver seg´ıts´eg´evel t¨ ort´enik illetve t¨ ort´enhet, gondoljunk csak a Mapler , Mathematicar , SPSr programcsomagokra, ´es a lista term´eszetesen folytatodhat. A Microsoft Office Excelr t´ apl´ azatkezel˝ o programja egy sor statisztikai f¨ uggv´ennyel, csomaggal rendelkezik. Felmer¨ ul a k´erd´es, ´es az el˝oad´as erre pr´ob´al pozitiv v´ alaszt adni, hogy lehet-e alapszinten, nem matematikus hallgat´oknak bemutatni a statisztika f˝ obb elemeit az Excel programcsomaggal.

Sapientia MatInfo Konferencia, 2011. j´ unius 5., Marosv´ as´arhely

15

Krit´ eriumrendszer programoz´ asi nyelvek oszt´ alyoz´ as´ ara ´ es ¨ osszehasonl´ıt´ o elemz´ es´ ere Kov´acs Lehel Istv´an Sapientia EMTE Marosv´ as´arhelyi Kar, Matematika ´es Informatika Tansz´ek email: [email protected]

65 ´evvel ezel˝ ott, 1946-ban Neumann J´anos kidolgozta a korszer˝ u sz´ am´ıt´og´epek m˝ uk¨ od´es´enek alapelveit, 1946–1955 k¨ oz¨ott meg´ep¨ ultek az els˝ o gener´ aci´ os elektronikus sz´ am´ıt´ og´epek. Ezeket a kezdetleges sz´ am´ıt´ og´epeket a g´epi k´ od k¨ ozvetlen felhaszn´al´ as´aval lehetett programozni. 1954–1958 k¨ oz¨ott megjelentek a magas szint˝ u programoz´ asi nyelvek (FORTRAN, ALGOL), amelynek seg´ıts´eg´evel emberk¨ ozelibb form´aban lehet a programokat meg´ırni, ´es azokat g´epi k´ odra leford´ıtani. Ezt k¨ ovet˝oen a programoz´ asi nyelvek gyors fejl˝od´esnek indultak, napjainkban t¨ obb ezer programoz´ asi nyelvr˝ol besz´elhet¨ unk, ´es sz´ amuk n¨ovekszik. A programoz´ asi nyelvek manaps´ag nemcsak egy egyszer˝ u form´alis jel¨ ol´esm´odot biztos´ıtanak a sz´ am´ıt´ asi folyamat le´ır´as´ara, hanem eszk¨ oz¨oket is, amelyekkel a program bonyolults´ag´ at kezelni lehet, form´alis helyess´egbizony´ıt´ assal is foglalkozhatnak, komoly nyomk¨ ovet˝okkel, grafikus fel¨ ulet gener´ atorokkal, adatkezel˝ o rendszerekkel stb. lehetnek felruh´ azva. Jelen el˝ oad´asban a programoz´ asi nyelvek oszt´ alyoz´as´ahoz ´es ¨osszehasonl´ıt´ o elemz´es´ehez pr´ ob´alunk fel´ all´ıtani egy krit´eriumrendszert, m´odszertani alapk´ent az oktat´ ashoz ´es kutat´ ashoz, azon k´erd´es megv´ alaszol´ as´ara, hogy egy adott feladat megold´as´ahoz melyik programoz´ asi nyelv biztos´ıt ide´alis eszk¨ oz¨oket, elemeket.

Sapientia MatInfo Konferencia, 2011. j´ unius 5., Marosv´ as´arhely

16

Matematikai inga modellez´ ese a GeoGebr´ aval Kup´an P´al Sapientia EMTE Marosv´ as´arhelyi Kar, Matematika ´es Informatika Tansz´ek email: [email protected]

A val´ odi inga mozg´as´at egy idealiz´alt (matematikai) inga modellj´evel k¨ ozel´ıtj¨ uk. Lineariz´al´ assal a kis sz¨ og˝ u mozg´as ar´ anylag egyszer˝ u k´epletekkel ´ırhat´o le, nagy amplit´ ud´ oj´ u mozg´ashoz viszont numerikus elj´ ar´ as sz¨ uks´eges. Az inga mozg´as´at a GeoGebra nev˝ u programcsomag seg´ıts´eg´evel szeml´eltetj¨ uk. A dolgozatban m´eg bemutatunk egy hull´ amszer˝ u mozg´ast v´egz˝ o, 15 ing´ab´ol all´o rendszert. ´

Sapientia MatInfo Konferencia, 2011. j´ unius 5., Marosv´ as´arhely

17

CCA t´ amad´ assal szemben biztons´ agos kriptorendszerekn´ el alkalmazott technik´ ak M´arton Gy¨ongyv´er Sapientia EMTE Marosv´ as´arhelyi Kar, Matematika ´es Informatika Tansz´ek email: [email protected] Biztons´agos kriptorendszerek tervez´ese, implement´ al´ asa egyike a legfontosabb ter¨ ulet´et k´epezik a mai sz´ am´ıt´ astechnik´anak. Kriptorendszerek biztons´ag´ at aszerint lehet meg´allap´ıtani, hogy j´ol meghat´arozott t´ amad´asi strat´egi´ akkal szemben mennyire felt¨orhetetlenek. A szakirodalom n´egyf´ele t´ amad´asi strat´egi´ at k¨ ul¨onb¨oztet meg: kript´alt-sz¨oveg t´ amad´ast, ismert ny´ılt-sz¨oveg t´ amad´ast, v´ alasztott ny´ılt-sz¨oveg t´ amad´ast ´es v´ alasztott kript´alt-sz¨oveg t´amad´ast. A leger˝ osebb krit´eriumnak akkor tesz eleget egy kriptorendszer ha a v´ alasztott kript´alt-sz¨oveg t´ amad´assal (chosen-ciphertext attack - CCA) szemben felt¨orhetetlen. Ekkor azt mondjuk, hogy a rendszer CCA-biztons´ag´ u. Az els˝ o kriptorendszert, mely eleget tett a CCA-biztons´agnak 1990-ben publik´alt´ak [3]. Az´ota t¨ obb CCAbiztons´ ag´ u kriptorendszer l´ atott napvil´agot, [1], [2], de ezen ter¨ ulete a kriptogr´afi´anak m´egis sz´ amos meg nem oldott probl´em´at vet fel. Jelen el˝oad´asban azokr´ol a technik´akr´ol lesz sz´ o melyeket alkalmazni lehet kriptorendszerekn´el, hogy azok eleget tegyenek a CCA-biztons´agnak.

Hivatkoz´ asok [1] R. Cramer and V. Shoup. Design and analysis of practical public-key encryption schemes secure against adaptive chosen ciphertext attack. SIAM Journal of Computing 33:167-226, 2003. [2] D. Hofheinz and E. Kiltz. Practical Chosen Ciphertext Secure Encryption from Factoring. Proceedings of IACR EUROCRYPT 2009, pp. 313-332 LNCS 5479, 2009. [3] M. Naor and M. Yung. Public-key cryptosystems provably secure against chosen ciphertext attacks. In 22nd ACM STOC., pp. 427-437. ACM Press, 1990. [4] R. L. Rivest, A. Shamir and L. M. Adleman. A method for obtaining digital signatures and public-key cryptosystems. Communications of the ACM, 21(2), pp. 120-126, February 1978. [5] R. L. Rivest and A. T. Sherman: Randomized encyption technics. Proceedings of Crypto, pp. 145-163, 1982. [6] D. R. Stinson: Cryptography, theory and practice, Springer-Verlag New York, 1999.

Sapientia MatInfo Konferencia, 2011. j´ unius 5., Marosv´ as´arhely

18

Szenzorh´ al´ ozatok lokaliz´ al´ asa glob´ alis optimaliz´ al´ asi algoritmusok seg´ıts´ eg´ evel P´al L´aszl´o Sapientia EMTE, Cs´ıkszereda Matematika ´es Informatika Tansz´ek email: [email protected]

Az el˝ oad´asban szenzorh´ al´ ozatok lokaliz´ al´ asi probl´em´aj´aval foglalkozunk. A c´el bizonyos csom´ opontok poz´ıci´ oj´anak a megbecs¨ ul´ese, kissz´ am´ u csom´ opont (b´azis csom´ opont) ismert poz´ıci´ oja, valamint a szomsz´edos csom´ opontok k¨ oz¨otti zajos m´er´esek alapj´an. A feladat glob´ alis optimaliz´ al´ asi probl´emak´ent [1, 2, 3] is megfogalmazhat´ o, amelyben c´elunk minimaliz´ alni a szomsz´edos csom´ opontok k¨ oz¨otti t´ avols´agok ¨ osszeg´enek hib´ aj´at. A feladat megold´asa sor´an egy k¨ ozel´ıt˝ o megold´ast ´all´ıtunk el˝o, majd ezt felhaszn´ alva sztochasztikus glob´ alis optimaliz´ al´ asi m´odszerek seg´ıts´eg´evel keress¨ uk a feladat optimum´ at. A k¨ ozel´ıt˝ o megold´as megtal´ al´ as´ara iterat´ıv ´ıvmetsz´est alkalmazunk.

Hivatkoz´ asok [1] E. Niewiadomska-Szynkiewicz and M. Marks. Optimization schemes for wireless sensor network localization. International Journal of Applied Mathematics and Computer Science, 19:291–302, 2009. [2] P´ al L. ´es Csendes T. Egy intervallum alap´ u glob´ alis optimaliz´ al´ asi m´odszer ´es alkalmaz´ asa szenzor lokaliz´ al´ asi feladatra. Alkalmazott Matematikai Lapok. K¨ ozl´esre elfogadva. [3] Q. Zhang, J. Wang, C. Jin, J. Ye, C. Ma, and W. Zhang. Genetic algorithmbased wireless sensor network localization. In Fourth International Conference on Natural Computation, 2008. ICNC’08, volume 1, pages 608–613, 2008.

Sapientia MatInfo Konferencia, 2011. j´ unius 5., Marosv´ as´arhely

19

Egy csillagszer˝ us´ egi felt´ etelr˝ ol Sz´asz R´obert Sapientia EMTE Marosv´ as´arhelyi Kar, Matematika ´es Informatika Tansz´ek email: [email protected]

Legyen U = {z ∈ C : |z| < 1 az egys´egnyi sugar´ u k¨ orlap C-ben. Jel¨olje A az U k¨ orlapon ´ertelmezett : f(z) = z + a2 z2 + a3 z3 + .... alak´ u f¨ uggv´enyek oszt´ aly´at. Legyen S∗ az A oszt´ aly azon aloszt´alya, amely olyan f¨ uggv´enyekb˝ol ´all, amelyek eset´en f(U) 0-b´ ol n´ezve csillagszer˝ u. Az S∗ oszt´ aly a k¨ ovetkez˝ ok´eppen jellemezhet˝ o:

zf ′ (z) > 0, z ∈ U . S∗ = f ∈ A : ℜ f(z) Jel¨olje A az Alexander integr´ aloper´ atort, amit a k¨ ovetkez—Ho egyenl˝os´eggel ertelmez¨ unk: Zz f(t) A(f)(z) = dt. 0 t A [1] k¨ onyvben a szerz˝ok a k¨ ovetkez˝ o t´etelt igazolt´ak: T´ etel. Legyen A az Alexander operator. Ha g ∈ A teljes´ıti a zg ′ (z) z(zg ′ (z)) ′ , z∈U ≥ ℑ ℜ g(z) g(z)

felt´etelt ´es ha f ∈ A egy olyan f¨ uggv´eny,amely eset´en az al´ abbi felt´etelek k¨ oz˝ ul lagal´abb az egyik teljes¨ ul, ℜ

zf ′ (z) > 0, z ∈ U, g(z)

ℜ

f ′ (z) > 0, z ∈ U, g ′ (z)

vagy

akkor F = A(f) ∈ S∗ . A munk´amban ennek a t´etelnek t¨ obb jav´ıtott v´ atozat´ at mutatom be.

Hivatkoz´ asok [1] S.S. Miller, P.T. Mocanu, Differential Subordinations Theory and Applications, Marcel Dekker, New York, Basel 2000.

Sapientia MatInfo Konferencia, 2011. j´ unius 5., Marosv´ as´arhely

20

Sipos P´ al a matematikus Weszely Tibor Sapientia EMTE Marosv´ as´arhelyi Kar, Matematika ´es Informatika Tansz´ek email: [email protected]

Sipos P´ al(1759-1816) az els˝ o olyan magyar matematikus, akinek kora szinvonal´ an ´ all´o, eredeti ´ertekez´es´et ismerj¨ uk, s melyet k¨ ulf¨ old¨on is nagyra ´ert´ekeltek. Dolgozat´ at a berlini Tudom´ anyos Akad´emia adta ki 1795-ben ´es arany´eremmel jutalmazta. Siker´enek egyik kulcsa k´ets´egtelen¨ ul az, hogy egy ´eppen akkoriban aktu´ alis probl´em´aval foglalkozott: az ellipszis rektifik´al´ as´anak k´erd´es´evel. Ismert t´eny, hogy a k¨ or eset´et˝ol elt´er˝ oen, az ellipszisn´el m´ar nem l´etezik olyan k´eplet, mely f´eltengelyeinek ismeret´eben megadja az ellipszis hossz´ at. Ugyanis ennek meghat´aroz´ asa elliptikus integr´ al´ ashoz vezet. Siposnak m´ar annak idej´en, siker¨ ult a vonalz´oba foglalt olyan u ´j ”mechanikai eszk¨ oz”-t felfedezni, melynek seg´ıts´eg´evel, a f´eltengelyek ismeret´eben meg tudta szerkeszteni azt az egyenes szakaszt, amelynek hossza egyenl˝o az ellipszis ker¨ ulet´evel. Az el˝ooad´asban ennek bemutat´ as´ara ker¨ ul sor.