TRANSZPORTFOLYAMATOK A KÖRNYEZETVÉDELEMBEN Műszaki hő- és áramlástan

TRANSZPORTFOLYAMATOK A KÖRNYEZETVÉDELEMBEN Műszaki hő- és áramlástan

Dr. Szabó Gábor-Péter Szabó István: Műszaki hőtan, Dr. Beke János: Műszaki hőtan mérnököknek, Dr. Író Béla: Hő- és áramlástan, Dr. Író Béla-Dr. Zsenák Ferenc: Energetikai gépek, Dr. Lajos Tamás: Az áramlástan alapjai című jegyzet, Dr. Hodúr Cecílila-Dr. Sárosi Herbert: Hőtani műveletek című jegyzetek, valamint Dr. Szabó Gábor: Fejezetek és esettanulmányok a műszaki hőtan és energiagazdálkodás témaköréből és Dr. Író Béla: Hőtan-termodinamika példatárak ábrái és szövege alapján készült.

Összeállította: Dr. Szabó Gábor és Péter Szabó István

TRANSZPORTFOLYAMATOK A KÖRNYEZETVÉDELEMBEN Műszaki hő- és áramlástan 1.

2.

Hőtani alapfogalmak............................................................................................ 4 1.1

Termodinamikai rendszer ............................................................................. 4

1.2

A rendszer termodinamikai és kalorikus állapotjelzői ................................... 5

1.3

A fajlagos munka, és a fajlagos hő.............................................................. 6

1.4

Ideális gázok állapotfüggvényei.................................................................... 8

1.5

A termodinamika főtételei ............................................................................. 9

1.6

Ellenőrző kérdések, kidolgozott példák ...................................................... 10

Hőtranszport...................................................................................................... 18 2.1

2.1.1

Hővezetés ........................................................................................... 18

2.1.2

Hősugárzás ......................................................................................... 24

2.1.3

Hőátadás............................................................................................. 27

2.1.4

Összetett hőátvitel............................................................................... 29

2.2

Hasonlósági módszer, dimenzióanalízis .................................................... 31

2.3

Hőátadás halmazállapot-változás esetén................................................... 34

2.3.1

Hőátadás kondenzációnál ................................................................... 34

2.3.2

Hőátadás forrásnál.............................................................................. 36

2.4 3.

Ellenőrző kérdések, kidolgozott feladatok .................................................. 37

Hőcserélők ........................................................................................................ 41 3.1

4.

Hőközlési formák........................................................................................ 18

Felületi vagy rekuperatív hőcserélők méretezése ...................................... 42

3.1.1

Csőköteges hőcserélők ....................................................................... 45

3.1.2

Bordáscsöves hőcserélők ................................................................... 49

3.1.3

Kettőscsöves hőcserélők .................................................................... 52

3.1.4

Csörgedeztetett hűtők ......................................................................... 53

3.1.5

Spirállemezes hőcserélő ..................................................................... 55

3.1.6

Lemezes hőcserélő ............................................................................. 56

3.2

Regeneratív hőcserélők ............................................................................. 58

3.3

Ellenőrző kérdések, kidolgozott feladatok .................................................. 59

Termodinamikai körfolyamatok.......................................................................... 61 4.1

Carnot-körfolyamat..................................................................................... 62

4.2

Hőerőgépek termodinamikai körfolyamatai ................................................ 63 2

4.2.1

Belsőégésű motorok körfolyamatai ..................................................... 63

4.2.2

Gázturbina körfolyamatok ................................................................... 72

4.2.3

Többfázisú rendszerek termodinamikai alapjai ................................... 73

4.2.4

Rankine-Clausius körfolyamat............................................................. 78

4.3

Hűtőgépek termodinamikai körfolyamatai .................................................. 80

4.3.1

5.

6.

A kompresszoros hűtőkörfolyamat termikus méretezése .................... 82

4.4

Hőszivattyúk termodinamikai körfolyamatai ............................................... 84

4.5

Ellenőrző kérdések, kidolgozott feladatok .................................................. 85

Áramlástan ........................................................................................................ 93 5.1

Nyugvó kontinuumok alaptörvényei............................................................ 93

5.2

A folytonosság tétele .................................................................................. 94

5.3

Euler-egyenlet ............................................................................................ 95

5.4

Bernoulli-egyenlet....................................................................................... 99

5.5

Ellenőrző kérdések, kidolgozott feladatok ................................................ 102

Felhasznált irodalom ....................................................................................... 111

3

1. Hőtani alapfogalmak 1.1

Termodinamikai rendszer

A termodinamikai rendszer (TDR) az anyagi valóság egy, általunk kiválasztott szempont vagy szempontrendszer szerint elhatárolt része. Az elhatárolás történhet egy valóságos fallal vagy egy látszólagos (nem valóságos, képzelt) elhatároló felülettel.

A

termodinamikai

rendszernek

a

határoló

falon

kívüli

részét

termodinamikai testnek nevezzük. Az anyagi valóságnak a termodinamikai rendszeren kívüli részét környezetnek nevezzük. A TDR és környezete közötti kölcsönhatások lehetnek: – mechanikai (munkavégzés), – termikus (hőáram), – tömeg (anyagcsere), – egyéb, a mechanikai kölcsönhatásokkal analóg folyamatok. A fal lehet: – merev: meggátolja a mechanikai kölcsönhatást, – leárnyékoló: meggátolja a külső erőterek befolyását, – nem áteresztő vagy félig áteresztő: meggátolja az összes anyag vagy bizonyos anyagok áthatolását, – diatermikus: lehetővé teszi a termikus kölcsönhatást, – adiatermikus: megakadályozza a termikus kölcsönhatást. A TDR csoportosítása: – zárt rendszer: nincs tömeg kölcsönhatás (magára hagyott: nincs semmilyen kölcsönhatás), – nyitott rendszer: van tömeg kölcsönhatás a rendszer és a környezete közt. Más csoportosításban: – homogén rendszer: a tulajdonságok függetlenek a helykoordinátáktól, – heterogén rendszer: többfázisú rendszerek.

4

1.2

A rendszer termodinamikai és kalorikus állapotjelzői

Termodinamikai állapotjelzők: fajtérfogat (v), termodinamikai hőmérséklet (T) és abszolút nyomás (p), ami lehet túlnyomás (pt), illetve vákuum (pv) Extenzív

állapotjelzők:

a

termodinamikai

rendszer

kiterjedésével

arányos

állapotjelzők. Összegzendő mennyiségek, a termodinamikai rendszer egyes részeiben mért mennyiségek összegei jellemzőek a teljes rendszerre. Ilyen pl.: a tömeg, az entrópia, az energia, stb. Intenzív állapotjelzők: kiegyenlítődő állapotjelzők. A termodinamikai rendszer egyes részeiben a teljes rendszerre jellemző mennyiség mérhető. Ilyen pl.: a nyomás, a hőmérséklet, stb. Fajlagosított extenzív állapotjelzők: két extenzív állapotjelző hányadosa. Ilyen pl.: a sűrűség, a fajtérfogat, stb. Fázisjellemző

mennyiségek:

anyagjellemzők,

pl.

fajhő,

köbös

hőtágulási

együttható, hővezetési tényező, dinamikai viszkozitás. 1-1. táblázat. Állapotjelzők jelölése és mértékegysége Megnevezés

Jelölés

SI mértékegység

v

m3 kg

T

K

p

Pa

u

J kg

u  cv  T

Fajlagos entalpia

h

J kg

h  u  p  v  cp  T

Fajlagos entrópia

s

J kgK

Fajtérfogat Termodinamikai hőmérséklet Abszolút nyomás Fajlagos belső energia

5

Képlet v

V m

T  T0  t p  p m  pt p  p m  pv

ds 

q T

Kalorikus állapotjelzők: fajlagos belső energia (u), fajlagos entalpia (h) és fajlagos entrópia (s). A belső energia A

rendszer

mikroszkopikus

építőelemeinek

tömegközéppontra

vonatkoztatott

kinetikus és potenciális energiájának összege. Extenzív állapotjelző. Nullapontja általában önkényesen megválasztható. Egy test teljes energiája a makroszkopikus mozgásból származó mozgási energia, a potenciális energia, valamint a belső energia összegeként határozható meg. Az entalpia Izobar állapotváltozás esetén a rendszerrel közölt hő egy része térfogatváltozási munkára fordítódik, ez a műszaki gyakorlat számára nem hasznos munkavégzés. Hogy ezzel ne kelljen számolni, bevezették az entalpiát, ami a rendszer belső energiájának és térfogatváltozási munkájának összege. Így elmondható, hogy izobar állapotváltozás esetén a közölt hő teljes egészében az entalpia növelésére fordítódik. Az entrópia A termodinamikai rendszerekben lezajló állapotváltozások irányának, illetve a folyamatok során fellépő energiaveszteségek számszerű jellemzésére használt mennyiség.

1.3

A fajlagos munka, és a fajlagos hő

Munka: az erő és az elmozdulás vektor skaláris szorzata: W  F  dl  ( p  A )  dl  pdV

(1-1)

A munka a rendszer határfelületén fellépő energiatranszport-mennyiség, melyet a kölcsönhatáshoz tartozó és a hőmérséklettől különböző intenzív állapotjelzők inhomogenitása hoz létre. Nem állapotjelző.

6

A fizikai (térfogatváltozási) és a technikai munka A fizikai munka magában foglal mindenfajta, a rendszeren, illetve a rendszer által végzett munkát. Ez lehet kémiai, elektromos, mágneses, stb. munka, valamint lehet térfogat-változási munka:

w térf  pdv

(1-2)

A TDR által végzett (expanzió) munka pozitív, a TDR-n végzett (kompresszió) munka negatív előjelű. Nyitott rendszer esetén a fizikai munkán kívül számolnunk kell a belépési és a kilépési munkával is. Ezen három munka algebrai összegeként adódik a technikai munka:

w t   vdp

(1-3)

Zárt rendszer esetén fizikai (térfogatváltozási), nyitott rendszer esetén a technikai munka a meghatározó. Az állapotváltozást p-v diagramban ábrázolva annak fizikai munkája egyenesen arányos az állapotváltozás görbéje alatti területtel, technikai munkája a görbe melletti területtel. A

hő:

a

rendszer

határfelületén

energiatranszport-mennyiség,

melyet

fellépő,

a

tömeg-kölcsönhatás

hőmérséklet-eloszlás

nélküli

inhomogenitása

indukál. Nem állapotjelző, és nem azonosítható a rendszerben tárolt energiával. A hő átlépve a rendszer határát a rendszert alkotó elemi részek (atomok, molekulák, szubatomi részecskék) potenciális és/vagy kinetikus energiáját növeli, vagy éppen az említett energiák csökkenése a forrása annak a hőnek, mely a rendszerből kilép. Annak a hőnek az előjelét tekintjük pozitívnak, amely az adott rendszer felé áramlik és negatívnak a rendszerből távozót. Az adott rendszerrel kapcsolatos összes hő jelölésére a Q-t használjuk, a tömegegységre fajlagosított mennyiségét q-val jelöljük, a szokásos nagybetű-kisbetű használatnak megfelelően. A munka és a hő közös tulajdonságai: 1. Mind a munka, mind pedig a hő a rendszer határfelületén fellépő, a rendszer és környezete közötti kölcsönhatáshoz tartozó jellemző. 2. Mindkettő a TDR két állapota közötti átmenetet (tranzienst) jellemzi és nem a rendszert. 3. Mindkettő az átmeneti folyamathoz tartozó jellemző, azaz folyamatjellemzők. 7

4. Mindkettő függvénye az állapotváltozás módjának, azaz útfüggők, ebből következően nem állapotjelzői a rendszernek. Fajhő: az a hőmennyiség, amely egységnyi tömegű közeg hőmérsékletének 1K-nel történő emeléséhez szükséges. A folyamat jellegétől függően megkülönböztetünk: – izobar: cp – izochor: cv fajhőt.

c 

kJ kg  K

(1-4)

c 

kJ m3  K

(1-5)

egységnyi térfogatra vonatkoztatva:

Az állandó térfogaton történő melegítés kevesebb hőt igényel, mivel a közeg ekkor nem végez térfogatváltozási munkát, ezért a közölt hő teljes egészében a belső energia növelésére fordítódik: (1-6)

cv  cp

A fajhő függ a hőmérséklettől. A t1 – t2 hőmérséklet tartományra számított közepes fajhő: t2

t2

c t1 

t1

c 0  t 2  c 0  t1 t 2  t1

t2

– a közeg közepes fajhője a 0°C – t2 tartományon, táblázatból vett érték

t1

– a közeg közepes fajhője a 0°C – t1 tartományon, táblázatból vett érték

c0

c0

1.4

(1-7)

Ideális gázok állapotfüggvényei

Egyesített gáztörvény (Clapeyron – egyenlet) p1  v1 p 2  v 2   const.  R T1 T2

(1-8)

pv  R T

(1-9)

pV  mR T

(1-10)

R – specifikus gázállandó,

J kgK

(1-11)

R  cp  cv

(1-12)

R  

8

A gázállandó az a munkamennyiség, amelyet egységnyi tömegű gáz végez izobar állapotváltozás során, 1K hőmérséklet-változás mellett. 1.5

A termodinamika főtételei

0. főtétel: Egymással kölcsönhatásban lévő rendszereknek egyensúlyban annyi intenzív állapotjelzője van közös számértékkel, ahánnyal a rendszereket elválasztó fal átjárható. I. főtétel: Energia nem keletkezhet, és nem semmisülhet meg, csak átalakulhat egyik formából egy másik formába. A rendszerrel közölt hőmennyiség egyik része növeli a rendszer belső energiáját, másik része munkavégzésre fordítódhat. QUW

(1-13)

q  du  w

(1-14)

q  c v  dT  p  dv

(1-15)

I. főtétel, zárt rendszerekre

q

– az állapotváltozás elemi kis szakaszához tartozó fajlagos hőmennyiség (nem a fajlagos hőmennyiség elemi kis megváltozása)

du

– a fajlagos belső energia elemi kis megváltozása

w

– az állapotváltozás elemi kis szakaszának fajlagos fizikai (térfogatváltozási) munkája (nem a fajlagos fizikai munka elemi kis megváltozása)

Kis d helyett -t használunk azon változók jelölésére, amelyek nem teljes differenciálok és nem állapotjelzők I. főtétel, nyitott rendszerekre

q  dh  w t

(1-16)

q  c p  dT  v  dp

(1-17)

dh

– a fajlagos entalpia elemi kis megváltozása

wt

– az állapotváltozás elemi kis szakaszának fajlagos technikai munkája 9

Az I. főtétel mindkét alakja felírható zárt, illetve nyitott rendszerre, de zárt rendszerre az első (1-14), nyitott rendszerre a második (1-16) alak a meghatározó. II. főtétel Clausius tétele: a hő önmagától sem közvetve, sem közvetlenül nem áramlik az alacsonyabb hőmérsékletű helyről a magasabb hőmérsékletű helyre. Ahhoz, hogy ez megtörténjen vagy hőenergiát (abszorpciós hűtőgépek működésének termodinamikai elve), vagy munkát (kompresszoros hűtőgépek működésének termodinamikai elve) kell befektetni. Nem lehetséges olyan gép szerkesztése, amely folyamatos működésű, és működése során nem történik más, mint egy súly felemelése vagy egy hőtartály lehűlése. III. főtétel Nem lehetséges véges számú lépésben egy termodinamikai rendszer hőmérsékletét az abszolút nulla értékre csökkenteni.

1.6

Ellenőrző kérdések, kidolgozott példák

Ellenőrző kérdések: 1. Sorolja fel és definiálja a termodinamikai rendszer állapotjelzőit, azok dimenzióit és soroljon fel olyan termodinamikai mennyiségeket, amelyek nem teljes differenciálok. 2. Mit nevezünk extenzív és intenzív állapotjelzőnek és mondjon rájuk példát. 3. Indokolja, hogy miért különbözik az ideális gáz állandó térfogaton és az állandó nyomáson mért fajhő értéke, állítását igazolja T-s állapotváltozási diagramon. 4. Írja fel a fajlagos entalpia (h) és a fajlagos belső energia (u) definiáló egyenletét, adja meg azok fizikai értelmezését. 5. Írja fel a valódi fajhő és a t1 – t2 hőmérséklettartományra vonatkozó közepes fajhő definiáló egyenletét. 6. Értelmezze a térfogat változási és a technikai munka fogalmát. Állítását igazolja p-v állapotváltozási diagramban. 10

7. Hogyan számoljuk ki az abszolult nyomás értékét túlnyomás és vákuum esetén? Definiálja a nyomás fogalmát és dimenzióját. 8. Hogyan számítható ki a tökéletes gázkeverékek gázállandója, ha ismert az egyes komponensek gázállandója, valamint a keverék tömegszázalékos összetétele? 9. Hogyan számítható ki az ideális gázkeverék fajhője, ha ismerjük az egyes komponensek fajhőit, valamint a keverék tömeg-, illetve térfogat-százalékos összetételét? 10. Vezesse le a tökéletes gázok állapotegyenletét és írja fel a benne szereplő mennyiségek mértékegységét. Értelmezze a gázállandó fizikai tartalmát, írja fel a gázállandó mértékegységét. 11. Írja fel a termodinamika I. fő tételét zárt termodinamikai rendszerre. Hogyan határozzuk meg a fajlagos belső energiaváltozás és a hőmennyiség értékét különböző állapotváltozásokban? 12. Írja fel a termodinamika I. fő tételét nyitott termodinamikai rendszerre. Hogyan határozzuk meg a fajlagos entalpiaváltozás és a munka értékét különböző állapotváltozásokban? 13. Vezesse

le

az

adiabatikus

és

a

politrópikus

állapotváltozások

állapotegyenletét a termodinamika I. fő tételének differenciál-egyenleteiből. Kidolgozott feladatok 1.1 feladat Egy V=1,5 m3 térfogatú zárt tartályban p1=0,1 MPa nyomású levegő van, melynek hőmérséklete t1=15oC. Hőközlés során a levegő hőmérséklete t2=80 oC ra nő. A tartályban izochor állapotváltozás valósul meg. Számítsuk ki a levegő tömegét (m), fajtérfogatát (v), végnyomását (p2) és a Q közölt hőmennyiséget. A tartályban lévő levegő tömege a Clapeyron egyenletből számítható ki. Ehhez ismerni kell a levegő gázállandóját: R = 0,287 kJ/kgK.

p1 V 10 3  0,1  1,5 p1 V  m  R  T1  m    1,815kg RT1 0,287  288 A fajtérfogat:

11

v

V 1,5 m3   0,826 m 1,815 kg

A nyomást (p2) a Gay-Lussac–törvény segítségével számíthatjuk. p1 T1  p 2 T2

 p 2  p1

T2 353  0,1   0,123MPa  1,23bar T1 288

A közölt hőmennyiség kiszámításához ismerni kell a levegő állandó térfogatra vett fajhőjét: cv=0,718 kJ/kgK

Q12  m  c v  t 2  t 1   1,815  0,718  80  15  84,706kJ Számítsuk ki a technikai munkát, ha a rendszerben a folyamat során gázcsere is lejátszódik.

Wt   V  p 2  p1   1,5  123  100   34,5kJ 1.2 feladat Egy

gázharanggal lezárt, széndioxid gázzal teli tartály átmérője 3 m, tömege

mh=3500 kg. A gáz térfogata V1=40 m3, t1=11 oC hőmérsékleten. Külső hőközlés következtében a gáz t2=30 oC hőmérsékletre melegszik és állandó nyomás mellett kiterjed. Kiszámítandók a széndioxid gáz termodinamikai állapotjelzői a kezdeti és végpontban, a kalorikus állapotjelzők változása, a közölt hő és az állapotváltozás munkája. A széndioxid gáz gázállandója R=0,189 kJ/kgK, állandó nyomáson vett fajhője cp=0,825 kJ/kgK. A gáz nyomása a harangfelület és a terhelő erő ismeretében számítható: A terhelő erő:

F=mhg=3500.9,81=34335 N

A dugattyú felülete: A  A túlnyomás: p t

d 2  3 2  3,14   7,065m 2 4 4

F 34335   4859,87 Pa A 7,065

Az abszolút nyomás, ha a légköri nyomás po=105 Pa.: p  p 0  p t  10 5  4859,87  104859,87 Pa

12

A hengerben lévő széndioxid gáz tömege a Clapeyron–egyenletből:

m

pV1 10 3  104859,87  40   78,14kg RT1 0,189  284

A széndioxid gáz termodinamikai állapotjelzői az 1. pontban:

T1=284 K

p1=104859,87 Pa.

v1 

V1 40 m3   0,512 m 78,14 kg

Termodinamikai állapotjelzők a 2. pontban:

p2=p1=104859,87 Pa

T2=303 K A térfogat, ill. a fajtérfogat a Gay-Lussac–törvény segítségével számítható.

V2  V1 

T2 303  40   42,68m 3 T1 284

V2 42,68 m3 v2    0,546 m 78,14 kg A közölt hő, mely egyenlő az entalpia változással: Q12  H  m  c p  t 2  t 1   78,14  0,825  30  11  1224,84kJ

A belső energia változása: (cv=cp-R=0,825-0,189=0,636 kg/kgK)

U  m  c v  t 2  t 1   78,14  0,636  30  11  944,24kJ Az entrópia változás:

S  m  c p  ln

T2 303 kJ  78,14  0,825  ln  4,175 T1 284 K

Az állapotváltozás munkája:

W12  p  V2  V1   10 3  104859,87  42,68  40   281,02kJ Izobár állapotváltozásnál a közölt hő részben a belső energia növelésére, részben munkavégzésre fordítódik. Ellenőrzésképpen:

Q12  U  W12  944,24  281,02  1225,26kJ

13

1.3 feladat Nitrogén gázt expandáltatunk p1=1,5 MPa nyomásról izotermikusan p2=0,1 MPa nyomásra. Az expanzió során az m=25 kg tömegû gáz 6000 kJ munkát végez. Határozzuk meg a termodinamikai állapotjelzőket a kezdeti- és a végállapotban. A nitrogén gázállandója R=0,297 KJ/kgK. p Az izotermikus állapotváltozás munkájából (W 12=m.R.T.ln 2 ) a hőmérséklet: p1

T

W

p mR ln 2 p1



6000

1,5 25  0,297  ln 0,1

 298,4K

Az állapotjelzők az 1. pontban:

T1 = 298,4 K (t1=T1-273=25,4 oC) p1=1,5 MPa

A térfogatot a Clapeyron egyenletből számíthatjuk:

p1 10 3 1,5 V1    1,477 m 3 mRT1 25  0,297  298,4 A fajtérfogat pedig: v1 

V1 1,477 m3   1,477  0,059 m 25 kg

Az állapotjelzők a 2. pontban:

T2=T1=298,4 K p2=0,1 MPa

A fajtérfogat a Boyle-Mariotte–összefüggésből: v 2  v1  A térfogat:

V2  m  v 2  25  0,885  22,125m 3

14

p1 1,5 m3  0,059   0,885 p2 0,1 kg

1.4 feladat Egy 5 liter űrtartalmú gáztartályban 150 bar nyomású szénmonoxid gáz van. Egy másik, 8 literes tartályban azonos hőmérsékletű, 220 bar nyomású hidrogén gáz van. –

Mekkora lesz a nyomás, ha a két tartályt összekötjük?

–

Mekkora

lesz

a

keletkező

keverék

látszólagos

gázállandója

és

móltömege? –

Milyen lesz a keletkező gáz tömeg%-os és tf.%-os összetétele?

A keveredés előtti és a keveredés utáni állapotra is felírható az általános gáztörvény mindkét gázra külön-külön: p H  VH  m H  R H  T ill. pH  V  m H  R H  T

A vesszővel megjelölt nyomásérték a gáz parciális nyomása a létrejövő keverékben, melynek térfogata a két térfogat összege. Mivel a két egyenlet jobboldala azonos pH 

p H  VH 220  8   135,4 bar  V 13

ill. hasonló módon pCO  57,7 bar  . Az össznyomás e két parciális nyomás összege, azaz 193,1 bar. Ugyancsak a két alkotó gázra felírt általános gáztörvényből: p H  VH  m H  R H  T ill. p CO  VCO  m CO  R CO  T .

A

két

egyenlet

hányadosa

megadja

a

két

gáz

tömegének

R mH p V 220  8 28  H H  CO    32,85 , m CO p CO  VCO R H 150  5 2

ahonnan m CO  sH 

mH és 32,85

mH 1   0,97  97 % és értelemszerűen s CO  3 % . m H  m CO 1  1 32,85

A keverék látszólagos gázállandója:

R  s H  R H  s CO  R CO  0,97 

8314 8314  0,143   4041 2 28

Ebből a látszólagos mól tömeg: M 

 J    .  kg  K 

R u 8341  kg    2,06   R 4041  kmol 

A tf%-os összetétel pedig: 15

arányát:

rH  s H 

RH 4157  0,97   0,998  99,8 % , és értelemszerűen rCO  0,2 % R 4041

1.5 feladat Politropikus expanzió során m=1 kg levegő nyomása p1=6 bar-ról p2=1,5 bar-ra csökken. Az állapotváltozás kitevője n=1,25. A hőmérséklet a kezdeti állapotban t1=110 oC. Kiszámítandók a termodinamikai állapotjelzők a kezdeti- és a végállapotban, a kalorikus állapotjelzők változásai, a közölt hő, az állapotváltozás munkája, illetve nyitott termodinamikai rendszer esetén a technikai munka. A v1 a Clapeyron-egyenletből számítható: Az állapotjelzők az 1. pontban:

v1 

R  T1 0,287  383 m3   0 , 183 p1 6  10 2 kg

p1=6 bar =6.105 Pa v1= 0,183 m3/kg T1=383 K

A

végállapot

jellemzői

a

politropikus

állapotváltozásra

n 1 n

1, 25 1 1, 25

érvényes

Poisson-

egyenletekkel számíthatók ki: A hőmérséklet:

p  T2  T1  2   p1  1 n

 1,5   383     6 

 290,26K

1

 p1  m3  6  1, 25 A fajtérfogat: v 2  v1    0,183     0,555 kg  1,5   p2  A v2 fajtérfogat a Clapeyron–egyenlettel is számítható: (R=0,287 kJ/kgK)

RT2 0,287  290,26 m3 v2    0,555 p2 1,5  10 2 kg A közölt hő meghatározásához először a politrop fajhőt kell kiszámítani ( cv=0,718 kJ/kgK): cn  cv

n 1,25  1,4 kJ  0,718   0,4308 n 1 1.25  1 kgK

16

A közölt hő pedig:

q  0,4308  290,26  383  39,95

kJ kg

A folyamat munkája (fizikai munka): w 12 

R T1  T2   0,287  383  290,26  106,46 kJ n 1 1,25  1 kg

A technikai munka; a fizikai munka n-szerese: w t  n  w 12  1,25  106,46  133,075

kJ kg

A belsőenergia változás: u  c v  T2  T1   0,718  290,26  383  66,59

kJ kg

A belsőenergia változás más módon is kiszámítható: kJ kg

u  q12  w 12  39,95  106,46  66,51

Az entalpia változás: (cp=1,005 kJ/kgK): h  c p  T2  T1   1,005  290,26  383  93,2

kJ kg

Az entalpia változás kiszámítása más módon: h  q12  w t12  39,95  133,07  93,12

Az entrópia változás:

s  c n  ln

kJ kg

T2 290,26 kJ  0,4308  ln  0,119 T1 383 kgK

17

2. Hőtranszport 2.1

Hőközlési formák

A hőközlési formák alapesetei: Hővezetés (), hőátadás (konvekció/kényszer és szabad) (), hősugárzás (C), hőátszármaztatás (összetett hőátvitel) (k) Hőfokmező: A vizsgált test vagy térrész pontjaiban uralkodó hőmérsékletek összessége és megoszlása. Izotermikus felület: Az azonos hőmérsékletű pontokat összekötő felület. A testen ill. térrészen belül nincs vége! Hőmérséklet-gradiens (gradt) (vektor): Merőleges az izotermikus felületre.

 t  t K lim     grad t    n  n m

n  0

(2-1)

Hőáramsűrűség () (vektor): Egységnyi felületen, időegység alatt átmenő hőmennyiség W  q ( ) 2  m 

(2-2)

A hőáramsűrűség vektor éppen ellentétes a hőfokgradiens vektor irányával, hiszen a hő a magasabb hőmérsékletű hely felől az alacsonyabb hőmérsékletű felé áramlik. Összefüggés a hőfokgradiens vektor és a hőáramsűrűség között: q    grad t      t

(2-3)

2.1.1 Hővezetés A szilárd testekben és nyugvó közegekben, az anyagon belül, részecskéről részecskére lezajló hőterjedési jelenség. Határfeltételek: Áramlási sebesség zérus, hőforrás nincs, stacionárius a jelenség.

18

Stacionárius körülmények között az egységnyi keresztmetszeten vezetéssel átvitt hő egyenesen arányos a hőmérsékletkülönbséggel és fordítottan arányos a távolsággal. A hővezetés alapegyenlete stacionárius körülmények között, általános esetben:

d 

d t    gradt    dA n

(2-4)

Fourier-féle tapasztalati törvény az egységnyi felületen, időegység alatt átvitt hőmennyiségre stacionárius esetben:

dQ    dA  gradt  d    dA



  

t d n

(2-5)

– hővezetési tényező, W . egységnyi vastagságú falon, a fal két oldala közti egységnyi hőmérsékletmK

különbség esetén időegység alatt átáramló hő nagyságát fejezi ki. A (m2)

gradt 

– a vezetéses hőtranszportra merőleges keresztmetszet t n

– hőmérséklet-gradiens,

A hőáram: az egységnyi idő alatt átáramlott hő:

d 

dQ t    dA  gradt    dA d n

   J  W s

(2-6) (2-7)

A hőáramsűrűség: az egységnyi felületre vonatkoztatott hőáram:

d 

d t    gradt    dA n

(2-8)

J W  2 2 ms m

(2-9)

 

19

A hővezetés differenciál egyenlete. Egységnyi élhosszúságú test hővezetése:

dQy1

dQz2 dQx1 dQx2 dQy2

dQz1

2.1. ábra. Egységnyi élhosszúságú test hővezetése A belső energiaváltozás a z tengely irányában: dQ z1  dxdy

dQ z 2

t d z

(2-10)

t    t  dz  t 2t z   dxdy  d  dxdy d  dxdydz 2 d z z z dQ z  dQ z1  dQ z 2  dxdydz

2t d z 2

(2-11) (2-12)

A belső energiaváltozás a x tengely irányában:

dQx  dQx1  dQx 2  dxdydz

 2t d x 2

(2-13)

 2t d y 2

(2-14)

A belső energiaváltozás a y tengely irányában:

dQ y  dQ y1  dQ y 2  dxdydz A teljes belső energiaváltozás:

  2t  2t  2t  dQ  dQx  dQ y  dQz  dxdydz 2  2  2 d y z   x

(2-15)

Az energiamegmaradás értelmében: dQ  dxdydz    c 

20

dt d d

(2-16)

A két utóbbi egyenletet egyenlővé téve:

t    2t  2t  2t        c  x 2 y 2 z 2 

(2-17)

A hővezetés differenciálegyenlete: t  a  2 

a

  c

– hőmérséklet-vezetési tényező

c

– fajhő



– Laplace – operátor

(2-18) (2-19)

Egyrétegű sík falon keresztüli időben állandósult (stacioner) hővezetés

 2t dt t Stacioner körülményre:  0 . Sík falra 2  0 . Ezt kétszer integrálva:  const.  x dx A hőmérséklet-gradiens állandó, tehát a hőmérséklet-változás a falban lineáris képet mutat (2-1. ábra). dt t w 2  t w1  dx 

(2-20)

t w1 , t w 2 – a falfelületek hőmérsékletei



– a fal vastagsága dt   t w 1  t w 2  dx 

(2-21)

  A 

 t w1  t w 2 A 

(2-22)

Q   

 t w1  t w 2 A 

(2-23)

  

A

– falfelület

21

2.2. ábra. Hővezetés egyrétegű sík falon keresztül Többrétegű sík falon keresztüli hővezetés A fal minden rétegén azonos nagyságú a hőáram. Feltételezzük, hogy a rétegek egymással érintkező felületei azonos hőmérsékletűek. A hőáramsűrűség az egyes rétegekre felírva:



1 t w1  t a   2 t a  tb   ...  z t z  t w2  1 2 z

(2-24)

A hőmérséklet-különbségek az egyes rétegekben:

t w1  t a     1

1 t a  tb     2 2

(2-25)



t z  t w2     2

2

Ezek összege:

t w1  t a   t a  tb   ...  t z  t w2   t w1  t w2     1    2  ...    z 1

2

z

i i 1 i z

 

(2-26)

A hőáramsűrűség, a hőáram és a hőmennyiség: 

t w 1  t w 2  i  i 1  i z

(2-27)

  A

(2-28)

Q  

(2-29)

22

Hővezetés egyrétegű hengeres falon keresztül A hőmérsékletgradiens a sugárral felírva: gradt 

dt dr

(2-30)

A hőáram:     A 

dt dt    2rh  dr dr

(2-31)

Az elemi hőmérséklet-változás a fenti egyenletből kifejezve és a belső és külső felületnek megfelelő határok közt integrálva: dt   tw 2

dr   2rh r2

dr   2rh r1

(2-33)

r   ln 2   2h r1

(2-34)

 dt   

tw1

t w1  t w 2 

(2-32)

Az egyrétegű hengeres falon keresztül a vezetéses hőáram: 

  2ht w1  t w 2  d ln 2 d1

2.3. ábra. Hővezetés egyrétegű hengeres falon keresztül Többrétegű hengeres falon keresztül a vezetéses hőáram:

23

(2-35)



2ht w1  t w 2  n 1 d i 1 ln  di i 1 i

(2-36)

2.1.2 Hősugárzás Közvetítő anyag illetve közeg nélküli hőterjedési jelenség. (elektromágneses sugárzás). Az elektromágneses sugárzás: az elektromos és a mágneses térerősség időbeni változásának tovaterjedése. Az elektromos térerősség, a mágneses térerősség és a terjedési irány jobbsodrású, derékszögű vektorrendszert alkot. Környezeti hőmérsékleten a sugárzás mértéke elhanyagolhatóan kicsi, azonban 5700 °C hőmérséklet felett minden más átadási formát meghatladó mértékű. Sugárzóképesség: a T hőmérsékletű test által, abszolút nulla hőmérsékletű közegben, időegység alatt, egységnyi felületen, teljes hullámhossz tartományban kisugárzott összes hőmennyiség a test T hőmérséklethez tartozó sugárzóképessége. Jele E, mértékegysége

W . m2

A sugárzás hőegyensúlya:

  A  R  D A



 A  ;B  B ;C  C   

(2-37) (2-38)

– a test által sugárzás útján kapott hőáram

 A – a test által elnyelt hőáram  R – a test által visszavert hőáram  D – a test által áteresztett hőáram Abszolút fekete test: A  1; R  D  0

(2-39)

Abszolút fehér test: R  1; A  D  0

(2-40)

Diatermikus anyagok: D  1; A  R  0

(2-41)

E E0 valamennyi testre állandó, csak a hőmérséklet függvénye.  A A0

(2-42)

Sugárzási intenzitás: valamely  és   d hullámhosszúságok által határolt elemi hullámhossztartományban a felületegységről időegység alatt kisugárzott elemi energia. Jele: I, mértékegysége

W . m2

24

Teljes hullámhossz tartományban a sugárzás intenzitását a Planck – féle eloszlásgörbék szemléltetik:

2.4. ábra. Planck-féle eloszlásgörbék (thefullwiki.org) Wien – féle eltolódási törvény: a hőmérséklet csökkenésével az emisszió maximuma a nagyobb hullámhosszak felé tolódik el. Stefan – Boltzmann törvény: egy T hőmérsékletű abszolút fekete test által a teljes hullámhossz tartományban 0K hőmérsékletű térbe kisugárzott összes energia a termodinamikai hőmérséklet negyedik hatványával arányos: 

 T  E0   I 0 d  KT  C0    100   0

4

4

(2-43)

Abszolút fekete test esetén K  5,77  10 8

W W ; C0  5,77 2 4 . 2 4 m K m K

(2-44)

A szürke test sugárzóképessége:  T  E  C   100  C – a szürke test sugárzási tényezője.

25

4

(2-45)

A sugárzási tényező függ a test: fizikai jellemzőitől, felületének állapotától, a hőmérséklettől és a sugárzás hullámhosszától. Feketeségi fok:



E A C   E0 A0 C0

(2-46)

Lambert – féle távolsági törvény: pontszerű sugárforrás sugárzásának intenzitása a távolság négyzetével arányosan csökken. Lambert cosinus törvénye: a sík, sugárzó felület normális irányú ( E ) és a normálishoz mért  szögbeni kisugárzása ( E ) közötti összefüggés: E  E cos 

(2-47)

Sugárzással átadott hő szilárd testek közt:

 T1  4  T2  4  Q  C12A f cos        100   100  

(2-48)

C12 – az eredő sugárzási tényező



– az idő

Af

– a hőt befogadó felület



– a normálishoz mért beesési szög

T1

– a melegebb test hőfoka K-ben

T2

– a hidegebb test hőfoka K-ben

Az eredő sugárzási tényező zárt térben (a hőt kisugárzó testet a másik test teljesen körülveszi):

C12 

A1

– a hőt kisugárzó felület

A2

– a hőt befogadó felület

1 1 A1  1 1      C1 A2  C2 5,77 

(2-49)

Az eredő sugárzási tényező párhuzamosan elhelyezkedő testek közt: C12 

1 1 1 1   C1 C2 5,77

Az eredő sugárzási tényező két, a térben önkényesen elhelyezett test közt: 26

(2-50)

C12  A cos  

C1C 2 5,77

(2-51)

cos 1 cos  2 dA1dA 2 l A1A 2



(2-52)

1 ; 2 – a beesési szögek l

– a felületek közti közepes távolság

Gáz által falra sugárzott hő: 4   Tg  4  Tf      2  Q  f C 0 A f 1     100     100 

f 

(2-53)

 fal  1 2

(2-54)

 f – a fal effektív feketeségi foka A gázok és gőzök nem követik egyértelműen a Stefan – Boltzmann törvényt, a kisugárzás nem arányos az abszolút hőmérséklet negyedik hatványával, hanem anyagonként

eltérő.

Ezt

a

gáz

feketeségi

fokának

megfelelő

felvételével

kompenzáljuk, és a hőmérséklet negyedik hatványát vesszük figyelembe. A fal effektív feketeségi fokának felvételére azért van szükség, mert az üreges testek mindig nagyobb feketeségi fokkal rendelkeznek, mint az anyagi szerkezetükből következne. A gőz közepes hőmérséklete: Tg  Tg1Tg 2 Tg1

– a gőz kezdeti hőmérséklete

Tg 2

– a gőz véghőmérséklete

(2-55)

2.1.3 Hőátadás Hőátadás/konvekció: áramló közegek (fluidum) és a vele érintkező szilárd felület között

lezajló

hőterjedési

jelenség.

Elvileg

alkalmazható

a

Fourier-féle

összefüggés, de az áramlás határrétegére vonatkozóan gyakorlatilag lehetetlen meghatározni a hővezetési tényezőt, mely ráadásul távolról sem tekinthető

27

állandónak. Ezért egy hasonló, de más elvi alapokon álló tapasztalati összefüggést használnak ilyen esetekre. A

hőátadás

szabadkonvekció

esetén

a

hőmérséklet-különbség

eredménye.

Kényszerkonvekció esetén a fluidumot mozgatjuk/áramoltatjuk a fal mentén ventilátor, szívattyú segítségével. A Newton-féle tapasztalati törvény az időegység alatt átvitt hőmennyiségre:

    t

(2-56)

    A  t

(2-57)

 – hőátadási tényező, [W/(m2K)]  nem anyagjellemző, hanem függ: az áramlás jellegétől, az áramlás kialakulásának körülményeitől, az áramló közeg fizikai jellemzőitől, a hőáramlás irányától, a hőátadó felület tulajdonságaitól, az áramlástani és termikus határréteg kölcsönös alakulásától. A hőátadási tényező tájékoztató értékei: 2-1. táblázat. A hőátadási tényező tájékoztató értékei



A folyamat és a közeg megnevezése

W m K  2

6  35

Gáz természetes konvekció esetén

10  350

Gáz csövekben áramoltatva Víz természetes konvekció esetén

110  1100

Víz csövekben áramoltatva

600  12000

Forrásban lévő víz

2500  45000

Hártyás kondenzáció

4000  15000

Csepp kondenzáció

30000  120000

Hidraulikai határréteg: a fluidum azon rétege, melyben a fal közelsége az áramkép kialakulására hatással van. A termikus határréteg a fluidumnak a fal mellett kialakuló azon rétege, melynek hőmérséklete

meghatározott

mértéknél

jobban

eltér

a

fluidum

hőmérsékletétől. A termikus határrétegben a hőtranszport vezetéses. 28

jellemző

2.1.4 Összetett hőátvitel Összetett hőátvitelnek tekinthető az a folyamat, amelyben az előzőleg tárgyalt egyszerű hőátmenetek (hővezetés, hőátadás, hősugárzás) közül egyidejűleg több is lejátszódik. A hő átszármaztatása: rendszerint egyik közegből a másikba történik hőátadás és a fluidumokat elválasztó falon keresztüli hővezetés (összetett hőátvitel) útján.. A hőátszármaztatást a hőátbocsátási együttható: k jellemzi.

2.5. ábra. Hőátszármaztatás többrétegű sík falon keresztül A

hőáramsűrűség

az

ábrán

látható

kétrétegű,

határtalan

méretű

sík

fal

hőátszármaztatásának négy szakaszára:   1 t1  t a   

  t1  t a 1

1 t a  t b    1  t a  t b 1 1

    2 t b  t c    2  t b  t c 2 2    2 t c  t 2  

(2-58)

  tc  t2 2

A hőmérséklet-változásokat összegezve:

 1   1    t 1  t 2   1  2   1  1  2  2 

29

(2-59)



t1  t 2 t1  t 2   k t 1  t 2  n 1 1  2 1 i 1 1      1  1  2  2 1 i1  i  2 k

1  1 1  i  1 i1  i  2

(

n

= k.A.t

(2-60)

W ) m2 K

(2-61)

(W)

(2-62)

A hőátszármaztatás egyrétegű hengeres falon keresztül:

  k  A e  t1  t 2 W 

Ae 

k

(2-63)

A 2  A1 2 m  A2   ln  A1 

 

(2-64)

1  W    Ae 1  Ae 1  m2  K    A1 1  A 2  2

(2-65)

Ha r2/r1<2 akkor Ae lehet a számtani közép. Vékony falú (szigeteletlen) csövek esetében A1A2Ae A hőátszármaztatás bordázott felületen keresztül:

  k  A e  t1  t 2 W 

Ae 

k

(2-66)

A2  A1 2 m  A2  ln   A1 

 

(2-67)

 W    1 Ae 1  1 Ae 1  m 2  K    1 A1 b1   2 A2 b 2 1

b a bordahatásfok azt veszi figyelembe, hogy a bordatőtől távolodva

(2-68)

a

bordák

mentén a hőmérséklet csökken a bordatőnél lévő értékről. Értéke kisebb, mint 1. 30

b 

2.2

tbordaközepes  t 2 tbordatő  t 2

(2-69)

Hasonlósági módszer, dimenzióanalízis

Ahhoz, hogy egy modellkísérlet alapján következtetéseket lehessen levonni a valóságos körülményekre vonatkozóan, két dolgot kell biztosítani: • a geometriai hasonlóságot és • az áramlástani hasonlóságot. A geometriai hasonlóság biztosítása azt jelenti, hogy az adott áramlástani vizsgálat szempontjából minden fontos részletében arányos modellt kell készíteni, és gondoskodni kell a környezet méretarányos kialakításáról is. Nyilván nem mindegy, hogy egy csőben elhelyezett tárgy modellezésekor a cső milyen méretű. Annak is méretarányosnak kell lennie! Az áramlástani hasonlóság elvileg akkor áll fenn, ha az áramlást meghatározó erők egymáshoz viszonyított aránya a modellkísérlet során és a valóságos körülmények között azonos. Az áramlásra jelentősebb befolyással a következők erők vannak: •

súlyerő

•

tehetetlenségi erő

•

súrlódási erő

•

nyomásból származó erő

•

felületi feszültségből származó erő

A felsorolt öt erő egymáshoz való viszonyára összesen 24 egyenlet írható fel, ami túl nagy szám. Az általános gyakorlat és a súrlódásosság szempontjából azonban nem is mindegyik erő egyformán fontos. Ha csak azokat tartjuk a vizsgálati körben, melyek a legfontosabbak, akkor a következő három marad: •

súlyerő

•

tehetetlenségi erő

•

súrlódási erő

31

Ahhoz, hogy a felsorolt erők egymáshoz való viszonyát valamilyen általánosított formában

fejezhessük

ki,

vizsgáljuk

meg,

hogy

az

egyes

erők

milyen

alapmennyiségekkel arányosak. Hogy az erők konkrét nagysága ne játsszon szerepet, ezt az arányosítást például a térfogategységre eső hányadra végezzük el. A súlyerő ilyenformán a sűrűség és a gravitációs gyorsulás szorzatával egyenesen arányos: G  g V

(2-70)

A tehetetlenségi erő térfogategységre eső hányada:

Fi c2  a   V l

(2-71)

ahol:

a

– a fluidum gyorsulása



– a fluidum sűrűsége

c

– az áramlás jellemző sebessége

l

– az áramlásra jellemző lineáris méret

A súrlódási erőre vonatkozóan a következő megfontolást kell tenni: Fs   A 1 dc 1 c c       A  3     l2    2 V V V dz l l l

(2-72)

A gyakorlati áramlástani problémák szempontjából elsősorban a súrlódási erő és a tehetetlenségi erő viszonya valamint a súlyerő és a tehetetlenségi erő viszonyszáma a meghatározó. Áramlástani hasonlósági kritériumok: Re, Fr, Gr - számok. A súrlódási erő és a tehetetlenségi erő viszonyszáma a Reynolds-szám: c2 l  c  l  c  l  Re c    2  l



(2-73)

A kapott viszonyszám alkalmazására a csővezetéki áramlások kutatóinak egyik legnevesebbje a brit mérnök, Osborne Reynolds tett javaslatot 1883-ban. Az ő emlékére ezt a viszonyszámot, mely a legfontosabb, áramlástani hasonlóságot

32

kifejező viszonyszám, röviden hasonlósági kritérium (feltétel), Reynolds-számnak (Re-szám) nevezik. A Re-szám tehát az áramlás jellemző sebességének és az áramlásra jellemző lineáris méretnek a szorzata, osztva az áramló közeg súrlódási tulajdonságait kifejező kinematikai viszkozitással. A

Re-szám, mint viszonyszám, mértékegység

nélküli szám. A súlyerő és a tehetetlenségi erő viszonyszáma a Froude-szám: c2 2 l  c  c  Fr   g c l lg



(2-74)

A kapott viszonyszámot a hajók mozgása során keletkező ellenállási erők meghatározására vonatkozó elmélet megalapozója, a brit származású mérnök és hajóépítő, William Froude emlékére Froude-számnak (Fr-szám) nevezik. A

Fr-

szám tehát szintén az áramlástani hasonlóságot biztosító kritérium (feltétel) olyan esetekben, amikor az áramlás döntően a súlyerő és a tehetetlenségi erő hatása alatt ál. A Fr-szám tehát az áramlás jellemző sebesség és az áramlásra jellemző lineáris méret és a gravitációs gyorsulás szorzatából vont négyzetgyök hányadosa. A súrlódási erő és a felhajtóerő viszonyszáma a Grashoff- szám:

Gr 

  g  t  l 3 2

(2-75)

Fontos felhívni a figyelmet arra, hogy a hasonlósági kritériumok összefüggésében szereplő „jellemző lineáris méret” az áramlástani jelenségre a leginkább jellemző méret, mely a vizsgált jelenség függvényében más és más lehet. Például egy csőben lezajló áramlás esetében a cső átmérője, egy meleg fűtőtest mellett felszálló levegő áramlása esetében a fűtött felület magassága, stb. Az ismertetett három hasonlósági kritérium mellet igen nagy számban vannak még hasonlósági

kritériumok

Hasonlósági

kritériumokat

a

modellkísérletek azonban

nem

hasonlóságának

csak

az

biztosítására.

áramlástani

jelenségek

modellezésénél, hanem például az áramlástannal egyébként sok tekintetben szoros kapcsolatban lévő hőtani jelenségek modellezésénél is használnak. Hőtani hasonlósági kritériumok: a Pr és Nu - szám 33

A hőfok- és sebességmező hasonlóságára a Prandtl – szám, dimenziónélküli kritériumot alkalmazzuk:

Pr 

    a   cp

(2-76)

A hőátadási folyamatok hasonlóságára a Nusselt – szám, dimenziónélküli kritériumot alkalmazzuk: Nu 

l 

(2-77)

A hasonlósági kritériumokat, lévén azok mértékegység nélküli ún. nevezetlen számok, egymással össze lehet szorozni, el lehet osztani, a hasonlósági kritériumot lehet hatványra emelni, úgy ahogy azt az adott jelenség modellezése megkívánja. Példaként közöljük a hőátadási tényező meghatározására alkalmas kriteriális egyenletet:

L Nu  C  Re  Gr  Pr    d  m

n

p

q

(2-78)

A C, m, n, p és q konstansokat méréssel határozzák meg a különböző hőátadási jelenségekhez. Kényszerített áramlásoknál (kényszerkonvekció) a Gr szám, a szabad áramlásoknál (szabad konvekció) a Re szám nem játszik szerepet. Az L/d viszonyszám csak csövek esetében játszik szerepet.

2.3

Hőátadás halmazállapot-változás esetén

2.3.1 Hőátadás kondenzációnál Ha a gőz a telítettségi hőmérsékleténél – más szóval forráspontjánál - alacsonyabb hőmérsékletű fallal érintkezik, lekondenzál. Ez lehet: – Hártyás vagy film kondenzáció, amely nedvesítő közegre jellemző. Hőtani szempontból hátrányos, mivel a hűtőfelületen a lekondenzált folyadékból kialakult összefüggő filmréteg gátolja a hőátadást. A hőátadó felület kémiai anyagokkal, például zsírszerű anyagokkal való kezelése megbontja az összefüggő film réteget és ezáltal javul a hőtadás. 34

Speciális műszaki átalakításokkal például a vízszintes elhelyezkedésű csőkötegeknél a Ginobat-féle elrendezéssel, a függőleges csöveknél a folyadék elvezető karimák, gallérok beépítésével érhetünk el eredményt. –

Csepp

kondenzáció

alakul

ki

a

nem

nedvesítő

folyadékok

gőzeinek

kondenzálásakor, amely kalorikus szempontból igen előnyös, ugyanis a felületen a kondenzált cseppek között nagy szabad felület található és a gőzök szabad felületen könnyen lekondenzálnak és leadják a párolgáshőjüket. E felszabadult hőt a kondenzáció rejtett hőjének nevezzük. Kondenzáció során tehát rejtett hő (párolgáshő) szabadul fel állandó hőmérsékleten a folyadék forráspont értékén. A hőátadási tényező meghatározását itt is Nusselt függvények segítségével végezzük el. a, Függőleges csöveknél ill. síklapoknál:  kond

  2 3 g r    0,94   l  t  

0 , 25

(2-79)

A Nusselt függvényeknél a Re szám nem, de a K kondenzációs szám , melyben az r párolgás/kondenzációs hő található, annál nagyobb szerepet kap a Gr és a Pr szám mellett.

K

r c p t

(2-80)

Nu  1,15Ga Pr K 

(2-81)

Nu  0,72Ga Pr K 

(2-82)

1/ 4

b, Vízszintes csöveknél: 0 , 25

A

fenti összefüggések

film-kondenzációnál használhatók elsősorban,

csepp

kondenzációnál α értéke tízszer nagyobb is lehet a kiszámítottnál, hiszen nem alakul ki kondenzfilm, ami szigetelőrétegként a gőz és a fal közé ékelődik. A nem kondenzálódó gázok is nagymértékben lerontják a hőátadást.

35

2.3.2 Hőátadás forrásnál A legismertebb definíció alapján a forrás olyan párolgás, amely nem csak a felületre, hanem a folyadék teljes terjedelmére kiterjed. Minden folyadék párolog, és ez a párolgás gőztenziót (gőznyomást) eredményez. Az anyag akkor forr, ha a folyadék gőznyomása eléri a környezeti nyomás értékét. A gőz hőmérsékletét, azaz a telítési hőmérsékletet (t s) a környezeti (külső) nyomás határozza meg. A folyadék a fűtött falnál mindig túlhevül, ezért a forráspont mérésekor nem a forrásban lévő folyadék, hanem a folyadékkal egyensúlyban lévő gőztér hőmérsékletét határozzuk meg. A túlhevülés ( t ) értéke a hőterheléstől (

QW ) függ. A  m 2 

A forralásnál a hőközlés céljából telített gőzt alkalmaznak, amely a berendezés fűtőterében lekondenál, és a felszabaduló rejtett hő, az úgynevezett kondenzációs hő biztosítja a forrás állandóságát. A forrás megindulását a gőzbuborékok megjelenése jelzi. A buborékok mindig a fűtött falnál, a gőzképződés középpontjaiban – érdesség, vízkő, esetleg zománchiba – keletkeznek, méretüket a gravitáció, a hidrosztatikai nyomás, a felületi feszültség, környezeti nyomá és az áramlási viszonyok befolyásolják. A keletkező buborékok alakja, elszakadása stb. a folyadék nedvesítő tulajdonságaitól (  illeszkedési szögtől) függ. A nedvesítő folyadékoknál (pl. víz) a buborékos forrás jön létre, itt a buborék vékony nyakon tapad a felülethez, és így jó a hőátadás a faltól a folyadék fő tömege irányában (az illeszkedési szög   90 ). A nem nedvesítő folyadékoknál (pl. higany) a buborékok széles vállakon fekszenek a felületen (az illeszkedési szög   90 ), szinte befedik a felületet. Rossz a hőátadás, mivel a buborékok között kevés a szabad felület, a folyadék fázis felé a hő csak gőzbuborékon keresztül vezetéssel jut el, a gőzbuborék pedig rossz hővezető. Nagy hőterheléskor a buborékos forrás hártyás forrássá alakul, ekkor romlik a kalorikus teljesítmény. Ennek a magyarázata az, hogy megnövekszik a keletkező buborékok száma, amelyek oly sűrűn helyezkednek el, hogy egyetlen hártyává alakulnak át – egyetlen hártyává szakadnak össze – amely a fűtőfelületen

36

helyezkedik el, és teljesen lerontja a hőátadást. Ez a hártya mint óriás buborék leszakad a felületről, de rövid idő alatt újra megkezdődik a hártya kialakulása. A forrással kapcsolatos a Clausius-Clapeyron egyenlet, amely alkalmas a párolgáshő, valamint a forrással kapcsolatos gőznyomások, illetve a hőmérsékletek meghatározására.

lg

p1  p2

r  T  T2   19,12 1  T1  T2 

(2-83)

ahol: – p1 és p2 a T1 és T2 hőmérsékletekhez (K) tartozó gőznyomások, – r a párolgáshő (J/mol). 2.4

Ellenőrző kérdések, kidolgozott feladatok 1. Írja fel a hőátadás (konvekció) Newton-törvényét. Értelmezze

az

összefüggésben szereplő mennyiségeket és adja meg azok dimenzióit. 2. Milyen módon csoportosíthatók a hőcserélők, mit értenek regeneratív, rekuperatív és keverő hőcserélő alatt? 3. Vezesse le a hővezetés differenciál egyenletéből az egyrétegű sík falban lejátszódó stacioner hővezetés fajlagos hőáramának meghatározására alkalmazható összefüggést. 4. Vezesse le a hővezetés differenciál egyenletéből az egyrétegű hengeres falban

lejátszódó

stacioner

hővezetés

fajlagos

hőáramának

meghatározására alkalmazható összefüggést. 5. Rajzolja fel a hőmérséklet-lefutást egy olyan kétrétegű falban, melynek egyik rétege háromszor jobb hővezető mint a másik! Fűzzön magyarázatot a vázlathoz! 6. Írja fel az ‘L’ hosszúságú, ‘s’ vastagságú csőfalon vezetéssel átvitt hőmennyiség kiszámítására szolgáló összefüggést! Mit lehet ilyen esetben a csőfal hőellenállásaként értelmezni? 7. Írja fel a hővezetés Fourier-törvényét. Értelmezze az összefüggésben szereplő mennyiségeket és adja meg azok dimenzióit. 8. Mit értünk hőátvitel alatt? Hogyan értelmezzük a hőátviteli tényezőt? Mi a mértékegysége? 37

1. feladat Egy háromrétegű síkfal 10 mm vastag acél-, 40 mm vastag szovelit és 2 mm vastag azbesztrétegből áll. Határozzuk meg az egyes rétegek érintkezési felületének hőmérsékletét, ha az acél külső felületének hőmérséklete 250 °C és a falban levő hőáramsűrűség

230

J/m2s.

(három

anyag

hővezetési

tényezője

(W/m.K)

mértékegységben, rendre: 45,4; 0,098, 0,12) Megoldás Az egyes rétegek hőellenállásai (K/W) mértékegységben rendre: 2,2.10-4; 0,41; 0,017. Az acél és a szovelit érintkezési felületén a hőmérséklet:

t acs  t ac,k  q  R ac  250  230  2,2 10 4  249,9

 C o

A szovelit és az azbeszt érintkezési felületén: t azbs  t acs  q  R s  249,9  230  0,41  155,6

 C o

Az azbeszt külső felületén:

t azb,k  t azbs  q  R azb  155,6  230  0,017  151,7

 C o

Ellenőrzésként az azbeszt réteg külső felületén

a hőmérséklet a hőellenállások

összegeként a többrétegű sík falra meghatározott eredő hőellenállással:

t azb,k  t ac,k  q  R eredő  250  230  0,427  151,8

 C. o

A minimális eltérés a kerekítésekből adódik! 2. feladat Határozzuk meg egy hűtőház kétrétegű falában levő hőáramsűrűséget, ha a külső réteg vöröstégla (250 mm), a belső réteg pedig száraz parafa (200 mm, λ=0,042 W/m.K). A parafa mindkét felületét vízszigeteléssel látták el és a szigetelés hőellenállása elhanyagolható. Számítsuk ki a tégla és a parafa érintkezési felületének hőmérsékletét is, ha a tégla külső felületének hőfoka 25 °C és a parafáé pedig – 2 °C.

38

Megoldás Eredő hőellenállás: R e  A hőáramsűrűség: q 

0,25 0,20 K   5,1   . 0,77 0,042 W

t k  t b   25   2  5,3 Re

W  2 m 

5,1

A téglafal és a parafa érintkezésénél a hőmérséklet:

t t  p  t t  q  R t  t p  q  R p  25  5,3 

0,25  23,3 0,77

 C o

3. feladat 20 °C hőmérsékletű környezetben levő villamos fűtőtest 500 W/m2 teljesítményt vesz fel, miközben felületének hőmérséklete állandó, 150 °C. Határozzuk meg a fűtőtest felületének hőmérsékletét, ha 400 W teljesítményt vesz fel és a környezet hőfoka 25 °C. A hőcserével kapcsolatos egyéb körülmények mind a két esetben ugyanazok. Megoldás A villamos fűtőtest felől a környezet felé a hő hőátadással terjed. Newton törvénye értelmében:

q    t f  t k    

q 500   3,85 t f  t k  150  20

 W   2   m K 

Ha megváltozik a hőteljesítmény és a környezet hőfoka, akkor változatlan hőátadási viszonyok mellett a felületi hőmérséklet:

t f  t k 

q 400  25   128,9 α 3,85

 C o

4. feladat Számítsuk ki a közepes hőátadási tényezőt a következő mérési eredmények alapján. A mérést 1 cm belső átmérőjű és 20 cm hosszú csőben végeztük. A csőben 25 oC hőmérsékletű víz áramlik 0,03 m/s sebességgel. A csőfal belső felületének hőfoka 30 o

C és a cső egész felületén 12,8 W hőmennyiség áramlik át. Határozzuk meg az

áramlás jellegét. Megoldás A hőátadó felület nagysága ismeretében a Newton-féle hőátadási egyenlet alapján a közepes hőátadási tényező könnyen kiszámítható: 39

k 

 Q 12,8  W    407  2  A  t fal  t lev  0,01    0,2  30  t lev   25  m K 

Az áramlás jellegének meghatározása a Re-szám alapján történik, melyhez a kinematikai viszkozitást a fal és a levegő hőmérsékletének átlagán felvéve:

Re 

cd 0,3  0,01   352 tehát az áramlás lamináris.  0,852 10 6

5. feladat Határozzuk meg egy 75 mm külső- és 65 mm belső átmérőjű, 1 m hosszú bordázott acélcsőre (hővezetési tényező 45,5 W/mK) vonatkozó hőáramot, ha a bordázási tényező értéke: 10. A bordák körül 320 °C hőmérsékletű füstgáz, hőátadási tényezője 23 W/m2K és a csőben pedig 120 °C hőmérsékletű víz áramlik, melynek a hőátadási tényezője 5200 W/m2K. Hasonlítsuk össze a bordázott- és bordázatlan csőre vonatkozó hőátbocsátási tényezőt, ha a bordahatásfok értéke: 0,9. Megoldás

k

A  A1 1  W   2  , ahol A e  2 1 Ae 1  1 Ae 1  m  K  A    ln 2  1 A 1  b1   2 A 2  b 2  A1 

Ae 

A külső  A belső A belső  10  1 0,065    9    0,799 ln10 2,3  A külső   ln  A belső 

 m2     m 

Bordázatlan csőre: k bordázatlan 

1  W   6,74  2  1 0,799 0,005 1 0,799 m K       5200 0,065   45,5 23 0,075  

Bordázott csőre: k bordázott 

1  W   45,7  2  1 0,799 0,005 1 0,799 1  m K       5200 0,065   45,5 23 0,065    9 0,9

A bordázatnak köszönhetően a hőátbocsátási tényező kb. 6,8-szeresére növekedett.

40

3. Hőcserélők Fajtái: Felületi, vagy rekuperatív hőcserélők. A melegebb és a hidegebb közeget egy szilárd fal elválasztja egymástól. A hőcsere a falon keresztül valósul meg a hőátvitel törvényei szerint. Regeneratív hőcserélők. A melegebb közeg nagy hőkapacitású, porózus anyagot tartalmazó tartályon átáramolva azt felhevíti. Ezt követően a melegebb közeget elterelik (célszerűen egy olyan másik tartály felé, melyben alacsonyabb hőmérsékletű ugyanolyan porózus anyag van) és a felmelegített porózus anyagon a hidegebb közeget vezetik át, mely hőt vesz fel. Két azonos töltetű tartály alkalmazásával a melegebb és a hidegebb közeg áramlását periodikusan váltogatva valósulhat meg a folyamatos hőcsere. Keverő hőcserélők. A melegebb és a hidegebb közeg egyszerű összekeverése során létrejön a hőmérsékletkiegyenlítődés, azaz a hőcsere. A hő átszármaztatása rendszerint egyik közegből a másikba történik. Ha a közegeket egymástól fal választja el, akkor a készülék neve, amelyben a művelet lefolyik, felületi hőcserélő, ha a közegek keveredhetnek, akkor a készülék neve: keverős hőcserélő. Az olyan hőcserélő készülékeket, amelyekben a hőcsere állandósult állapotú és a hőcserélőben részt vető közegek mindegyike egy időben a készülékben áramlik, rekuperátoroknak is neveik. Olyan készülékeket, amelyekben felváltva tartózkodik vagy áramlik minden, a hőcserében részt vevő közeg, regenerátornak nevezik. A hőcserélő készülékek többféle szempontból osztályozhatók. Az egyik ilyen a művelet célja szerinti felosztás. Ily módon beszélhetünk: 

hűtőkről, ahol a művelet célja valamilyen meleg közeg hűtése. A hűtőközeg lehet víz, levegő, sólé, vagy más alkalmas folyadék, fűtőkről, amelyekben levegőt, vagy más gázt, esetleg folyadékot melegítünk rendszerint gőzzel, mint fűtőközeggel,



hőhasznosítókról, amikor hulladékhővel valamilyen közeget felmelegítünk, vagy forralunk, 41



forralókról, amelyekben rendszerint vízgőzzel forralunk fel más közeget,



bepárlókról, ahol egymástól nagyon eltérő forrpontú alkotók oldataiból az alacsonyabb forrpontú alkotót (rendszerint vízgőzt) elgőzölögtetjük többnyire fütőgőzzel,



elpárologtatókról, ahol hűtő körfolyamatokban a hőelvonás történik,



visszaforralókról, ahol a desztillációs oszlopban lefolyó folyadékfázis (a reflux) részben gőzfázissá alakítják fűtőközeg (rendszerint vízgőz) által leadott hővel.

3.1

Felületi vagy rekuperatív hőcserélők méretezése

Hőtechnikai méretezés: A szükséges hőcserélő felület meghatározása. Hidraulikai méretezés: A keletkező hidraulikai ellenállás meghatározása. Felületi hőcserélők hőtechnikai méretezés során meghatározzuk a hőátbocsátási tényező (k) értékét, felállítjuk a hőmérleget és meghatározzuk a logaritmikus hőmérséklet különbség értékét (t), majd a hőátvitel ismert egyenletéből (2-62) meghatározzuk a hőcserélő szükséges felületét. A hőátbocsátási tényező felületi hőcserélők esetében:

k

1  W    1 Ae 1  1 Ae 1  m 2  K    1 A1 b1   2 A2 b 2

(3-1)

Szokványos esetekben a közegeket elválasztó fal hőellenállása (/) 10-5 nagyságrendű, ugyanakkor a két közeg oldalán jelentkező hőellenállás a szokványos közegek esetén - a kondenzálódás és a forrás esetét kivéve - kb. 10-3 nagyságrendű. Közelítésként tehát

ko 

 W    1 Ae 1 1 Ae 1  m 2  K   1 A1 b1  2 A2 b 2 1

42

(3-2)

A hőmérleg egyenlet. A hőcserélő fajtájától függetlenül elhanyagoljuk a környezet felé átadott hőt, azaz feltételezzük, hogy a melegebb közeg által leadott hő éppen megegyezik a hidegebb közeg által felvett hővel. Ez az energia-megmaradás törvénye a hőcserélő készülékekre, melyet kifejező egyenletet hőmérleg-egyenletnek neveznek.  h  t h  c m  m  m  t m W  ch  m

(3-3)

Gáz halmazállapotú közeg esetén az állandó nyomású fajhővel kell számolni.

Wh  t h  Wm  t m W  Ahol

Wh és Wm a

hidegebb

(3-4)

ill. a melegebb

közeg ún.

vízértékárama

(hőkapacitásárama), ami az egy Kelvin hőmérsékletkülönbség mellett felvett ill. leadott hőmennyiséget jelöli A hőcserére a hőátvitel már ismert egyenlete érvényes:

  k  A  t

W 

(3-5)

A klasszikus hőátviteli problémákhoz képest eltérés, hogy a hőcserélő felülete mentén a legtöbb esetben pontról pontra változó hőmérsékletkülönbség van, annak ellenére, hogy a hőcsere folyamatát csaknem mindig stacionáriusnak tekintjük. Ez azt jelenti, hogy ilyen esetben Δt csak egy közepes érték lehet, ami összefüggésben van a hőmérsékletkülönbségnek a felület mentén történő változásával. Egyenáramú hőcserélők. A melegebb és a hidegebb közeg az elválasztó felület két oldalán jellemzően egymással párhuzamosan, azonos irányban halad . A műveletek nagy részénél a hőcserében részt vevő közegek hőmérséklete az átszármaztatott hő mennyiségével egyenes arányban - lineárisan - változik. Ez a helyzet akkor, ha meleg folyadék érzékelhető

hőjével melegítünk fel hideg

folyadékot, vagy fordítva. Ilyenkor a meleg folyadék, ha T1 hőmérsékleten lép be a készülékbe

Q  WCT1  T  43

(3-6)

hőmennyiséget ad le, mire T hőmérsékletű lesz, míg a hideg folyadék egyenáram esetén ugyanakkora hőmennyiséget vesz fel és hőfoka t1-ről t-re nő. Mindkét közeg hőmérsékletének változása az átszármaztatott hőmennyiség függvényében T  T1 

Q WC

(3-7)

t  t1 

Q wc

(3-8)

illetve

lineárisan változik. Ugyancsak lineárisan változik Q függvényében ∆t is.

3.1. ábra. Hőmérséklet-különbségek egyenáramú hőcserélőben Q   Q  1    1 T - t 1  t   T1      t1    t 1  Q  WC   wc    WC wc 

(3-9)

Az egyenes egyenletéből következik, hogy dt t 2  t 1  dQ Qö

(3-10)

dQ az előző egyenlet szerinti értékét helyettesítve: t  t 1 dt  2 kdAt Qs

44

(3-11)

Innen a hőátadó felület:

A

t 1

Qs Qs dt ln t t 2   k t 2  t 1  t 2 t k t 1  t 2 

t 1 Qs t 2   k t 1  t 2  kt log Q s ln

(3-12)

ahol: t log 

t 1  t 2 t ln 1 t 2

(3-13)

az ún. logaritmikus közepes hőmérséklet-különbség. Ellenáramú hócserélők. A melegebb és a hidegebb közeg az elválasztó felület két oldalán jellemzően egymással párhuzamosan, ellentétes irányban halad. Tekintettel arra, hogy a korábbi levezetésben nem volt szó arról, hogy az elválasztó felület két oldalán párhuzamosan áramló közegek azonos vagy ellentétes irányban haladnak-e, ugyanazon összefüggést (3-13) lehet használni. Azaz a logaritmikus közepes hőfokkülönbség a hőcserélő peremein (A=0 és A=1) tapasztalható hőmérséklet-különbségek logaritmikus átlaga.

t k 

t A0  t A A  t  ln A0   t A A 

(3-14)

3.1.1 Csőköteges hőcserélők Folyadék-folyadék

hőcsere:

Csőköteges-köpenyes

hőcserélők,

lemezes

hőcserélők. Folyadék-gáz hőcsere: Csőköteges hőcserélők, hőcsöves hőcserélők A hőcserélő készülékek legnagyobb része csőköteges készülék. Egyszerű felépítése sokoldalú alkalmazhatósága és viszonylagos olcsósága következtében minden iparágban elterjedt. A készülék hengeres köpenyből és annak végeihez csatlakozó csőkötegekből áll. A köpenyen be- és kilépő csonkok vannak, a cső kötegfalra erősítik a csöveket. A cső kötegfalat fedél zárja le, amelyen a csövön belül áramló közeg be- ill. kilépő csonkja található. A köpenyoldali térben terelőlemezek vannak.

45

3.2. ábra. Csőköteges hőcserélő

3.3. ábra. U-csöves csőköteges hőcserélő

46

3.4. ábra. Egyenes csövű csőköteges hőcserélő

3.5. ábra. Csőköteges hőcserélő köpeny

47

3.6. ábra. Csőköteg Legegyszerűbb konstrukciójú hőcserélőknél ha a kiválasztott készüléknél a hőátadási tényező túl kicsi, akkor azt köpenyoldalon a terelőlemezek számának növelésével, csőoldalon pedig a járatok számának növelésével javíthatjuk, mivel ekkor az áramlási sebességek nőnek.

3-7. ábra. Csőköteg spirális terelőlemezekkel

48

3-8. ábra. Gázlehűtő hőcserélő Speciális csőkialakítással nem csak a hőátadó felület növelhető, hanem turbulenssé tehető az áramlás, így növekszik a csövek belső oldalán a hőátadási tényező:

3-9. ábra. Csavart profilú csövek

3.1.2 Bordáscsöves hőcserélők A legáltalánosabban alkalmazott bordáscsöves hőcserélők a közvetlen léghűtők. A készülék lábakon áll a szabadban. A lábakra van építve a keresztbordás csöveket tartó keret. A csövek itt is cső kötegfalba vannak erősítve. A cső kötegfalhoz csatlakozik a

csövön belül áramló meleg közeg elosztó és fordulókamrája. A

49

hűtőközeget, a levegőt axiál-ventillátor szívja át a csövek között. A ventilátort a csövek alatt is el lehet helyezni. A levegő, mint hűtő és kondenzáló közeg rendszerint a vízhűtést pótolja a vegyiparban. Előnye, hogy a technológiai folyamatban részt vevő közeg kilépő hőmérséklete korlátozás nélkül szabályozható az átszívott levegő mennyiségének változatásával.

3-10. ábra. Bordás cső

3-11. ábra. Bordás cső (www.tradekorea.com)

50

3-12. ábra. Léghűtő (www.cooling4industry.com)

3-13. ábra. Léghűtő (www.cooling4industry.com) 51

3-14. ábra. Léghűtő hőcserélő felülete (www.cooling4industry.com) Természetesen

vannak

a

léghűtésnek

hátrányai

is.

Az

egyik

legfontosabb, a levegő kis fajhője és kis hővezetési tényezője. Emiatt nagytömegű hűtőközegre és nagy levegőoldali hőátadó felületre van szükség, ami a berendezést drágítja. Emiatt a léghűtők ventillátorainak mennyiségi szabályozása többnyire elkerülhetetlen. 3.1.3 Kettőscsöves hőcserélők Két csőből állnak, melyekben ellenáram valósítható meg. A hőátadó felület a belső cső különböző speciális kialakításával növelhető meg.

52

3-15. ábra. Kettőscsöves hőcserélő

3-16. ábra. Kettőscsöves hőcserélők speciális profilú belső csővel (www.nishiyamass.co.jp)

3.1.4 Csörgedeztetett hűtők A levegővel hűtött hőcserélő külső felületére vizet permeteznek. A víz elpárolog, párolgáshőjét a hőcserélőben lehűtendő anyagtól vonja el. Ezt a megoldást használják pl. ipari hűtőberendezések kondenzátorainál (evaporatív kondenzátorok).

53

3-17. ábra. Evaporatív kondenzátor (www.grundfos.com) 1 – gőz bevezetés, 2 – folyadék elvezetés, 3 – hideg víz, 4 – víz permetező fúvókák 5 – centrifugál ventilátor A hőcserélők csöveinek speciális kialakításával intenzívebbé tehető a hűtés, és a berendezés helyigénye is csökkenthető:

54

3-18. ábra. Speciális csőprofil alkalmazása evaporatív kondenzátorban (www.evapco.com)

3.1.5 Spirállemezes hőcserélő A spirállemezes hőcserélőkben a két közeg két, azonos keresztmetszetű spirális járatban áramlik. Kicsi áramlási ellenállású, kis helyigényű berendezés. A közegek keveredésének megakadályozására a spirális vonalnak tömítettnek kell lennie.

3-19. ábra. Spirállemezes hőcserélő (wikipedia.com)

55

3-20. ábra. Spirállemezes hőcserélő (www.china.cn)

3.1.6 Lemezes hőcserélő A lemezes hőcserélőket kiterjedten alkalmazzák gyümölcslevek, tej, sör, stb. pasztörizálására, kondenzvíz hőjének hasznosítására. Lemezes hőcserélőknél a hőveszteségek elhanyagolhatók, a készülék hőátadó felülete a berakott lemezek számával változtatható. A készülék könnyen és jól tisztítható, és bármilyen fémes szerkezeti anyagból (titán, monel, stb.) készíthető. Az elérhető hőátbocsátási tényezők legalább 50%-kal nagyobbak, mint csőköteges hőcserélőknél, a készülék kompakt, a közegekkel töltött térfogat az időegység alatt átáramló térfogathoz képest kicsi, így a tartózkodási idő kicsi, tehát hőérzékeny anyagok melegítésére kiválóan alkalmas. A lemezes hőcserélők hőátadó felület egységére jutó gyártási költsége többszöröse a csőköteges hőcserélőéknek.

56

3-21. ábra. Lemezes hőcserélő (Polaris Plate Heat Exchangers)

3-22. ábra. Lemezes hőcserélő (Polaris Plate Heat Exchangers)

57

3.2

Regeneratív hőcserélők

A regeneratív hőcserélőkben a hőt leadó és a hőt felvevő közeg nem egyszerre van jelen. Első lépésként a melegebb közeget áramoltatjuk keresztül a hőcserélőben elhelyezett hőelnyelő anyagon, mely a hőt felveszi, ezt követően pedig a melegítendő közegnek adja le. A folyamatos működést a hőelnyelő anyag forgatásával lehet biztosítani:

3-23. ábra. Ljungström regeneratív hőcserélő

3-24. ábra. Regeneratív hőcserélő (www.howden.com) 58

Regeneratív hőcserélőket alkalmaznak például a mesterségesen szellőztetett épületek légkezelőinek hővisszanyerő berendezéseiként, melyekkel az épület szellőztetés okozta hővesztesége kb. 90 %-kal csökkenthető.

3.3 1.

Ellenőrző kérdések, kidolgozott feladatok Milyen

összefüggés

szolgál

a

felületi

hőcserélő

hőmérlegének

meghatározására? 2.

Mi a vízérték fogalma? Mi a hőátviteli tényező fizikai tartalma és mi a

mértékegysége? 3.

Mit értünk a felületi hőcserélők hőtechnikai méretezése alatt? Hogyan

számoljuk ki a logaritmikus hőmérséklet különbség értékét? 4.

Írja fel a felületi hőcserélő szükséges hőátadó felület nagyságának, valamint a

kilépő hőmérsékletek meghatározására szolgáló mérlegegyenleteket. Hogyan határozzuk meg a hőátviteli tényezőt? 5.

Milyen feltételek fennállása esetén engedhető meg a felületi hőcserélők

esetében csak a két áramló közeg hőátadási tényezőjére támaszkodva meghatározni a hőátviteli tényezőt? 6.

Milyen esetben nem lehet eltekinteni a hőcserélő-felület hőellenállásának

hatásától a hőátviteli tényezőre? 7.

Mit értünk hőmérleg egyenlet alatt és milyen feltételezéssel szokás felírni?

8.

Mit értünk vízértékáram vagy hőkapacitás-áram alatt?

9.

Hogyan határozható meg a közepes hőmérsékletkülönbség párhuzamos

egyen- és ellenáramlású hőcserélő esetében? 1. feladat Egy hőcserélőben az egyik közeg 300 oC-ról 200 oC-ra hűl le, miközben a másik közeg 25 oC-ról 175 oC-ra melegszik fel. Számítsuk ki a logaritmikus közepes hőmérsékletkülönbséget párhuzamos egyenáramra és párhuzamos ellenáramra.

59

Megoldás

t

 t h ,be   t m ,ki  t h ,ki 

300  25  200  175  104,3  o C  t  300  25   t   ln ln m ,be h ,be    200  175   t  t    m ,ki h ,ki  t  t   t m,ki  t h ,be   300  175  200  25  148,6  o C t k ,ellenáram  m ,be h ,ki  t  300  175   t   ln ln m ,be h ,ki   200  25   t m ,ki  t h ,be   t k ,egyenáram 

m , be



2. feladat Határozzuk meg egy 2 m2 fűtőfelületű egyenáramú hőcserélőben a közegek kilépési hőmérsékletét, valamint a kicserélt hőmennyiséget, ha a meleg, illetve a hideg közeg belépési hőmérséklete 120 oC ill 10 oC. A hőátviteli tényező 1000 W/m2K és a két közeg vízértékárama egyaránt 1000 W/K. Megoldás A hőátviteli szám: N 

k  A 1000  2  2 W1 1000

Az egyenáramú hőcserélőre vonatkozó Bosnjakovics diagramból:   0,49 Mivel a hatásosság a kisebb vízértékáramú közeg hőmérsékletváltozásának és a hőcserélőben létező legnagyobb hőmérsékletkülönbségnek a hányadosa:   0,49 

t t

m , be m , be

 t m ,ki   t h ,be 

 t m ,ki  120  0,49  120  10   66

 C o

A vízértékáramok azonossága miatt a hideg közeg hőmérsékletváltozása azonos (54 o

C), így a hideg közeg 64 oC-ra melegedve távozik.

60

4. Termodinamikai körfolyamatok Az olyan termodinamikai folyamatokat, melyeknél a kezdeti és a végállapot jellemzői megegyeznek, körfolyamatoknak nevezzük. A kapott vagy befektetett munka folyamatfüggő. Ahhoz, hogy a körfolyamat által technikailag hasznosítható munkát kapjunk, a közeget úgy kell visszatérítenünk (kompresszió) a kezdeti termodinamikai állapotba, hogy a visszatérítése kevesebb munkát igényeljen, mint a közeg által a körfolyamat másik szakaszában (expanzió) végzett munka. Ez úgy valósítható meg, hogy az expanzió magasabb hőmérsékleten megy végbe, mint a kompresszió, azaz diagramban ábrázolva a munkát adó körfolyamatok forgásiránya az óramutató járásával megegyező:

4.1. ábra. Termodinamikai körfolyamat p-v diagramban A kompresszió és expanzió munkák előjelhelyes összege a körfolyamat hasznos munkája. A körfolyamat megismételhetőségét a műszaki gyakorlatban általában gázcserével érik el. Ezen valóságos körfolyamatok nyitott modellnek tekintendők. Az elméleti vagy ideális körfolyamatokban nincs gázcsere, a rendszer zárt. Az I. főtétel, megfordítható állapotváltozásokkal felépített körfolyamatokra:

 dQ   dU   dW

(4-1)

 dU  0  dQ   dW

(4-2)

61

A kapott munka a közölt és az elvont hő különbsége (előjelhelyes összege, mivel az elvont hő negatív):

W  Qbe  Qel   Q

(4-3)

A termodinamika II. főtétele szerint a hő csak bizonyos veszteségek árán alakítható át munkává. A veszteség az elvont hőben nyilvánul meg. A körfolyamat termodinamikai

hatásfoka

a

keletkezett

hasznos

munka

és

a

bevezetett

hőmennyiség hányadosa.

t  4.1

W Qbe

(4-4)

Carnot-körfolyamat

Azonos hőmérséklet-határok közt a termodinamikai körfolyamatok közül a legjobb hatásfokot a Carnot-körfolyamat adja. A körfolyamat állapotváltozásai: 1 – 2.: izotermikus expanzió, 2 – 3.: adiabatikus expanzió, 3 – 4.: izotermikus kompresszió, 4 – 1.: adiabatikus kompresszió.

4.2. ábra. Carnot-körfolyamat p-v diagramban A termodinamikai hatásfok:

t 

w w  qbe qT 1 2

62

(4-5)

Speciálisan Carnot-ciklusra:

t  1 

Ta Tf

(4-6)

vagyis a Carnot – körfolyamat hatásfoka csak az alsó és felső hőmérséklettől függ. 4.2

Hőerőgépek termodinamikai körfolyamatai

4.2.1 Belsőégésű motorok körfolyamatai 4.2.1.1 Otto-körfolyamat 1 – 2.: adiabatikus kompresszió 2 – 3.: izochor hőközlés 3 – 4.: adiabatikus expanzió 4 – 1.: izochor hőelvonás

4.3. ábra. Carnot-körfolyamat p-v diagramban A kompresszióviszony: 

V1 V2

63

(4-7)

A nyomásemelkedési tényező:



p3 p2

(4-8)

Az állapotpontok meghatározása, ha ismert a munkaközeg, illetve p 1, T1, , , m: 1 – 2: R  T1 pv  v1  T p1

(4-9)

V1 v1 v   v2  1 V2 v 2 

(4-10)

R 





p1 v1  p 2 v 2



v   p 2  p1  1   p1   v2  T2 

p2v2 R

(4-11) (4-12)

2 – 3:

v3  v 2

p3  p 3  p 2 p2

(4-14)

p v pv  T3  3 3 T R

(4-15)

 R

(4-13)

3 – 4:

v 4  v1

(4-16) 



p3v3  p 4 v 4





v  v   p 4  p 3  3   p 3  2   p 3     v4   v1 

(4-17)

p4v4 R

(4-18)

u 1  c v  T1

(4-19)

u 2  c v  T2

(4-20)

u 3  c v  T3

(4-21)

u 4  c v  T4

(4-22)

h 1  c p  T1

(4-23)

T4 

A fajlagos belső energia:

A fajlagos entalpia:

64

h 2  c p  T2

(4-24)

h 3  c p  T3

(4-25)

h 4  c p  T4

(4-26)

q be  q v 2 3  c v T3  T2 

(4-27)

q el  q v 41  c v T1  T4 

(4-28)

A közölt és elvont hőmennyiség:

A körfolyamat egy ciklusának munkája:

w   q  q be  q el  q be  q el

(4-29)

Az egyes folyamatok munkája: w 1 2  q12  u 12   u 12  u 1  u 2 

1 p1v1  p 2 v 2   1

w 2 3  0 w 3 4  q 34  u 34   u 34  u 3  u 4 

w 4 1  0

(4-30) (4-31)

1 p 3 v 3  p 4 v 4   1

(4-32) (4-33)

A körfolyamat termodinamikai hatásfoka: t 

w q be

(4-34)

speciálisan Otto-körfolyamatra:

t  1 

1



 1

(4-35)

Az Otto-körfolyamat termodinamikai hatásfoka kizárólag a kompresszióviszony nagyságától függ:

4.4. ábra. Otto-körfolyamat termodinamikai hatásfoka a kompresszióviszony 65

4.2.1.2 Diesel-körfolyamat 1 – 2.: adiabatikus kompresszió 2 – 3.: izobar hőközlés 3 – 4.: adiabatikus expanzió 4 – 1.: izochor hőelvonás

4.5. ábra. Diesel-körfolyamat p-v és T-s diagramban A kompresszióviszony: 

V1 v1  V2 v 2

(4-36)



V3 v3  V2 v2

(4-37)



V4 v4  V3 v3

(4-38)

Az előzetes expanzióviszony:

Az utólagos expanzióviszony:

  

(4-39)

Az állapotpontok meghatározása, ha ismert a munkaközeg, illetve p1, T1, , , m: 1 – 2: R

R  T1 pv  v1  T p1

66

(4-40)



V1 v1 v   v2  1 V2 v 2 

(4-41)





p1 v1  p 2 v 2



v   p 2  p1  1   p1   v2  T2 

p2v2 R

(4-42) (4-43)

2 – 3:

p3  p 2

v3  v 3  v 2 v2

(4-45)

p v pv  T3  3 3 T R

(4-46)

 R

(4-44)

3 – 4:

v 4  v1 

p3v3  p 4 v 4



v   p 4  p 3  3   v4 

(4-47) 

(4-48)

p4v4 R

(4-49)

u 1  c v  T1

(4-50)

u 2  c v  T2

(4-51)

u 3  c v  T3

(4-52)

u 4  c v  T4

(4-53)

h 1  c p  T1

(4-54)

h 2  c p  T2

(4-55)

h 3  c p  T3

(4-56)

h 4  c p  T4

(4-57)

q be  q p 2 3  c p T3  T2 

(4-58)

T4 

A fajlagos belső energia:

A fajlagos entalpia:

A közölt és elvont hőmennyiség:

67

q el  q v 41  c v T1  T4 

(4-59)

A körfolyamat egy ciklusának munkája:

w   q  q be  q el  q be  q el

(4-60)

Az egyes folyamatok munkája: w 1 2  q12  u 12   u 12  u 1  u 2 

1 p1v1  p 2 v 2   1

w 2 3  q 23  u 23  p  v 23  p  v 3  v 2  w 3 4  q 34  u 34   u 34  u 3  u 4 

1 p 3 v 3  p 4 v 4   1

w 4 1  0

(4-61) (4-62) (4-63) (4-64)

A körfolyamat termikus hatásfoka: t 

w q be

(4-65)

speciálisan Diesel-körfolyamatra:

t  1 

1



  1

 1    1

(4-66)

4.2.1.3 Sabathier-körfolyamat Felépítése az Otto és Diesel körfolyamatok kombinációjaként értelmezhető. A hőközlés részben állandó térfogaton, részben állandó nyomáson történik. 1 – 2.: adiabatikus kompresszió 2 – 3.: izochor hőközlés 3 – 4.: izobar hőközlés 4 – 5.: adiabatikus expanzió 5 – 1.: izochor hőelvonás

68

4.6. ábra. Sabathier-körfolyamat p-v és T-s diagramban A kompresszióviszony: 

V1 V2

(4-67)



p3 p2

(4-68)



V4 v4  V3 v3

(4-69)



V5 v5  V4 v4

(4-70)

A nyomásemelkedési tényező:

Az előzetes expanzióviszony:

Az utólagos expanzióviszony:

  

(4-71)

Az állapotpontok meghatározása, ha ismert a munkaközeg, illetve p 1, T1, , , , m: 1 – 2: R  T1 pv  v1  T p1

(4-72)

V1 v1 v   v2  1 V2 v 2 

(4-73)

R 





p1 v1  p 2 v 2



v   p 2  p1  1   p1   v2 

69

(4-74)

T2 

p2v2 R

(4-75)

2 – 3:

v3  v 2

p3  p 3  p 2 p2

(4-77)

p v pv  T3  3 3 T R

(4-78)

 R

(4-76)

3 – 4:

p3  p 4 

(4-79)

v4  v 4  v 3 v3

(4-80)

p4v4 R

(4-81)

T4 

4 – 5:

v 5  v1

(4-82) 



p 4 v 4  p5 v5



v   p 5  p 4  4   p 4     v5 

(4-83)

p5 v5 R

(4-84)

u 1  c v  T1

(4-85)

u 2  c v  T2

(4-86)

u 3  c v  T3

(4-87)

u 4  c v  T4

(4-88)

u 5  c v  T5

(4-89)

h 1  c p  T1

(4-90)

h 2  c p  T2

(4-91)

h 3  c p  T3

(4-92)

h 4  c p  T4

(4-93)

T5 

A fajlagos belső energia:

A fajlagos entalpia:

70

h 5  c p  T5

(4-94)

q be  q v 2 3  q p 3 4  c v T3  T2   c p T4  T3 

(4-95)

q el  q v 41  c v T1  T4 

(4-96)

A közölt és elvont hőmennyiség:

A körfolyamat egy ciklusának munkája:

w   q  q be  q el  q be  q el

(4-97)

Az egyes folyamatok munkája: w 1 2  q12  u 12   u 12  u 1  u 2 

1 p1v1  p 2 v 2   1

(4-98)

w 2 3  0

(4-99)

w 3 4  q 34  u 34  p  v 34  p  v 4  v 3 

(4-100)

w 4 5  q 45  u 45   u 45  u 4  u 5 

1 p 4 v 4  p 5 v 5   1

(4-101)

A körfolyamat termodinamikai hatásfoka:

t 

w q

(4-102)

be

A közölt és elvont hőmennyiség:

q v 2 3  c v T3  T2 

(4-103)

q p 3 4  c p T4  T3 

(4-104)

q

 q v 2  3  q p 3 4

be

q el  q v 4 1  c v T1  T4 

(4-105) (4-106)

A körfolyamat egy ciklusának munkája:

w   q   qbe  qel

(4-107)

Az egyes folyamatok munkája: w 1 2   u 12  u 1  u 2 

1 p1v1  p 2 v 2   1

(4-108)

w 2 3  0

(4-109)

w 3 4  p 3 v 4  v 3 

(4-110)

71

w 4 5   u 45  u 4  u 5 

1 p 4 v 4  p 5 v 5   1

(4-111)

w 51  0

(4-112)

w q

(4-113)

A körfolyamat termikus hatásfoka:

t 

be

speciálisan vegyes hőbevezetésű körfolyamatra:

t  1 

1



  1

   1   1     1

(4-114)

4.2.2 Gázturbina körfolyamatok Megkülönböztetünk zárt és nyitott ciklusú gázturbinákat. – Zárt ciklusú: a turbinában mindig ugyanaz a gáz kering. – Nyitott ciklusú: a munkát végzett gázok a környezetbe távoznak, és a gépbe mindig friss gáz kerül.

4.2.2.1 Izobár hőközlésű Humphrey-körfolyamat 1 – 2.: adiabatikus kompresszió 2 – 3.: izobar hőközlés 3 – 4.: adiabatikus expanzió 4 – 1.: izobar hőelvonás

4.7. ábra. Izobár hőközlésű Humphrey-körfolyamat p-v és T-s diagramban

72

4.2.2.2 Izochor hőközlésű Humphrey-körfolyamat 1 – 2.: adiabatikus kompresszió 2 – 3.: izochor hőközlés 3 – 4.: adiabatikus expanzió 4 – 1.: izobar hőelvonás

4.8. ábra. Izochor hőközlésű Humphrey-körfolyamat p-v és T-s diagramban

4.2.3 Többfázisú rendszerek termodinamikai alapjai A termodinamikai rendszer nyomásától és hőmérsékletétől függően az anyag különböző fázisokban lehet jelen (pl. H2O esetében: jég, víz és vízgőz). Ugyanazon anyag

különböző

fázisainak

belső

mikroszkopikus

felépítése

eltérő,

ebből

következően az anyag termodinamikai (helyesebben termosztatikai) tulajdonságait leíró összefüggések (állapotegyenlet, fázisjellemző mennyiségek stb.) is fázisonként különbözőek. A hőmérséklet és a nyomás változtatásával különböző fázisátalakulásokat hozhatunk létre. Bizonyos körülmények között az anyagnak egyszerre több fázisa is jelen lehet. Az ilyen rendszereket többfázisú rendszereknek nevezzük. Elsőrendű fázisátalakulások: – olvadás

szilárd fázisból folyadékba,

– párolgás

folyadék fázisból gőz fázisba,

– szublimáció

szilárd fázisból gőz fázisba,

– fagyás

folyadék fázisból szilárd fázisba, 73

– kondenzáció

gőz fázisból folyadék vagy szilárd fázisba,

– átkristályosodás

szilárd fázisból más szerkezetű szilárd fázisba.

A felsorolt fázisátalakulások közös jellemzője, hogy hőhatással járnak és az extenzív állapotjelzők számértéke ugrásszerűen megváltozik (pl. térfogat, belső energia, entrópia stb.). Másodrendű fázisátalakulások: Ezen változások nem járnak hőhatással és az extenzív állapotjelzők számértéke sem változik meg ugrásszerűen. Ilyen átalakulások például a következők: – a hélium szuperfolyékonnyá válása 2,18 K-nél, – a ferromágneses anyagok paramágnesessé válása a Curie – pontban, – a szupravezetés kialakulása alacsony hőmérséklete stb. 4.2.3.1 Többfázisú rendszerek állapotjelzői A fázisátmenet folyamatát a következő ábrán látható kísérlet mutatja be:

t

ts , v’

ts , v

ts , v”

tt , vt

a

b

c

d

e

4.9. ábra. Izobár fázisátmenet: a – telítetlen folyadék, b – telített vagy forrponti folyadék, c – nedves gőz, d – száraz telített gőz, e – túlhevített gőz

74

A gőzképződés folyamata a melegített, izobar hengerben: – Telítetlen folyadék (a): a víz melegszik, és térfogata kismértékben nő. – Telített folyadék (b): a nyomástól függő telítési hőmérsékleten (t s) a víz forrni kezd. – Nedves gőz (c): a forrás során ts hőmérsékletű gőz keletkezik, a hengerben folyadék és gőz van együtt. – Száraz telített gőz (d): folyadék már nincs jelen a hengerben, a gőz még mindig ts hőmérsékletű, mivel a fázisátmenet idején a hőmérséklet állandó. – Túlhevített gőz (e): további melegítés hatására a gőz hőmérséklete nő. A kísérletet különböző nyomásokon lefolytatva, a folyamatot T-s és h-s diagramban ábrázolva, megjelölve a telített folyadék (4-9. ábra, b jelű állapot, 4-10. ábra. kék négyzetei) és a száraz telített gőz (4-9. ábra, d jelű állapot, 4-10. ábra. piros körei) állapotokhoz tartozó pontokat az ábrán látható baloldali (telített folyadék, x=0) és jobboldali (száraz telített gőz, x=1) határgörbéket kapjuk:

p

K

x=0

x=1

4.10. ábra. Vízgőz p-v fázisváltozási diagramja

75

v

4.11. ábra. Vízgőz T-s fázisváltozási diagramja (wikimedia.org)

4.12. ábra. Vízgőz h-s fázisváltozási diagramja (www.ohio.edu) 76

A különböző nyomásokhoz tartozó b pontok a baloldali vagy alsó határgörbét (a telített vagy forrponti folyadék állapothoz tartozó görbét), a d pontok a jobboldali vagy felső határgörbét (a száraz telített gőz állapothoz tartozó határgörbét) alkotják. A két görbe a kritikus pontban találkozik. A kritikus pont hőmérsékleténél magasabb

hőmérsékletű

légnemű

fázist

gáznak,

az

annál

alacsonyabb

hőmérsékletűt gőznek nevezzük. Az állapotjelzőket a következők szerint jelöljük: 4-1. táblázat. Állapotjelzők jelölése Száraz telített

Telített folyadék

Nedves gőz

Hőmérséklet

ts

ts

ts

tt

Fajtérfogat

v'

v x=v’+(v”-v’).x

v"

vt

Belső energia

u'

ux

u"

ut

Entalpia

h'

h x=h’+(h”-h’).x

h"

ht

Entrópia

s'

s x =s’+(s”-s’).x

s"

st

gőz

Túlhevített gőz

Izobar körülmények közt a fázisátmenet során a közeg hőmérséklete nem változik, mert a közölt hő a fázisátmenethez szükséges, a hőmérsékletet nem emeli. Az egységnyi anyagmennyiség izobar fázisváltozásához szükséges hőmennyiség a párolgáshő. A belső párolgáshő az állandó térfogaton történő fázisátmenethez szükséges hő. A külső párolgáshő a közeg izobar fázisátmenete során végzett munkája. r

– párolgáshő



– belső párolgáshő



– külső párolgáshő r   

(4-115)

Nedves gőz állapot esetén a rendszerben gőz és folyadék is jelen van. A fajlagos gőztartalom az 1 kg vízből gőzzé vált komponens mutatószáma. A baloldali határgörbén x  0 , a jobboldalin x  1 . 77

4.2.4 Rankine-Clausius körfolyamat A

legfontosabb

megvalósított,

munkaszolgáltató

víz-vízgőz

körfolyamat

munkaközegű

a

hő-

és

atomerőművekben

Rankine-körfolyamat.

A

folyamat

a

következő főbb folyamatokra bontható fel: – A nagynyomású tápvizet a tápvíz-előmelegítőben telítési hőmérsékletre melegítik, majd a kazánban elgőzölögtetik, végül túlhevítik. – Az így keletkezett nagynyomású és magas hőmérsékletű gőz a turbinába kerül, ahol belső energiája egy részét munkává alakítjuk. – A turbinából kilépő kisnyomású és alacsony hőmérsékletű gőz a kondenzátorba kerül, ahol fázisváltozáson (kondenzáción) megy keresztül. A kondenzátorból a csapadék a tápszivattyúba jut, amely annak nyomását kazánnyomásra emeli. A valóságos folyamat ennél sokkal összetettebb, nehezebben követhető, ezért a működést helyettesítő kapcsoláson keresztül tanulmányozzuk:

4.13. ábra. Rankine-Clausius körfolyamat

78

1

6 2

4.14. ábra. Rankine-Clausius körfolyamat h-s diagramban (diagram: ohio.edu) pka = 2 MPa, tt = 400 °C, pko = 0,1 MPa A körfolyamatot három jellemzője határozza meg: – a kazánnyomás: p ka – a kondenzátornyomás: p ko – a túlhevítési hőmérséklet: t t A körfolyamat állandósult nyitott rendszer. A tápvízelőmelegítés, a gőzfejlesztés és a gőztúlhevítés a kazánnyomáson, a kondenzáció a kondenzátornyomáson végbemenő izobar folyamatok, tehát a hőmennyiségek az entalpiakülönbségekből határozhatók meg. A tápvíz-előmelegítőben közölt hő:

q te  h4  h3 A gőzfejlesztőben (kazánban) közölt hő:

79

(4-116)

qgf  h6  h4

(4-117)

qgt  h1  h6

(4-118)

A gőztúlhevítőben közölt hő:

Az egy ciklus alatt közölt hő:

q

 h1  h3

be

(4-119)

A kondenzátorban elvont hő:

qko  h2 '  h2

(4-120)

A tápszivattyúban, illetve a turbinában a gőz állapotváltozása adiabatikus, tehát a technikai munka is entalpiakülönbségekből számolható. A tápszivattyú munkája:

w tsz  h 2 '  h 3  vp 2 '  p 3 

(4-121)

v  v 2'  v 3

(4-122)

wtt  h1  h2

(4-123)

wt  wtsz  wtt

(4-124)

A turbinán nyert munka: A körfolyamat hasznos munkája: A szivattyú munkája a turbináéhoz képest legtöbbször elhanyagolható. A körfolyamat termodinamikai hatásfoka:

t 

w q

t



be

h1  h2  h2 '  h3 h1  h2  h1  h3 h1  h2 '

(4-125)

A hatásfok növelhető: – a hőbevezetés átlaghőmérsékletének növelésével (kazánnyomás növelése vagy megcsapolás), – a kondenzátornyomás csökkentésével, – a túlhevítési hőmérséklet növelésével. 4.3

Hűtőgépek termodinamikai körfolyamatai

A hűtőberendezések osztályozása A befektetendő energia fajtája szerint: – mechanikai munkát (kompresszoros), – hőenergiát (abszorpciós és gőzsugár-kompresszoros), – villamos energiát használó (termoelektromos) berendezések. 80

A hűtőközeg fajtája szerint: – gáznemű (a folyamat során változatlan halmazállapotú), – gőznemű (halmazállapotát változtató) közeggel dolgozó berendezések. A kompresszoros hűtőberendezések osztályozása A kompresszor által beszívott közeg állapota szerint: – száraz, – nedves, – befecskendezéses. A kompresszió fokozatainak száma szerint: – egyfokozatú, – többfokozatú. A kondenzálódott hűtőközeg utóhűtése szerint: – utóhűtéses, – utóhűtés nélküli. A nyomásesés megvalósítása szerint: – expanzióhengeres, – fojtásos. Kompresszoros hűtőberendezés A berendezés négy fő szerkezeti eleme a kompresszor, a kondenzátor, az expanziós henger vagy a fojtószelep, és az elpárologtató. A hűtőközeg az elpárologtatóban alacsony nyomáson és hőmérsékleten veszi fel a hűtendő közegből a hőt, és azt a kondenzátorban magas nyomáson és hőmérsékleten adja le a környezetnek. A nyomásemelkedés a kompresszorban, a nyomásesés az expanziós hengerben vagy a fojtószelepben megy végbe.

4.15. ábra. Kompressziós hűtőkörfolyamat fojtószeleppel és expanzióhengerrel 81

4.3.1 A kompresszoros hűtőkörfolyamat termikus méretezése Az alábbi mennyiségek közül a fajlagosak 1 kg, illetve 1 m 3 hűtőközegre vonatkoztatottak.

, Q0 – hűtőteljesítmény,

kJ  kW s

kJ kg

q0

– fajlagos hűtőteljesítmény (1 kg hűtőközeggel létesített hűtőteljesítmény),

q0V

– fajlagos volumetrikus hűtőteljesítmény (1 m3 hűtőközeggel létesített hűtőteljesítmény),

kJ m3

t0

– elpárologtatási hőmérséklet, °C

t

– kondenzációs hőmérséklet, °C

p0

– elpárologtatási nyomás, bar

p

– kondenzációs nyomás, bar

wk

– az adiabatikus kompresszióhoz szükséges technikai munka,

qbe

– abszorpciós berendezéseknél fűtéssel befektetett hőmennyiség,

we

– az adiabatikus expanzióból visszanyert technikai munka,

w

– a hűtőfolyamat fenntartásához szükséges technikai munka,

qk

– a kondenzátorban leadott hőmennyiség,

qu

– az utóhűtőben leadott hőmennyiség,



– jósági fok, hűtési hatásfok,

q

– hőviszony, abszorpciós berendezéseknél,

G, m

– a keringtetendő hűtőközeg tömegárama,

kJ kg

kJ kg

kJ hő kJ munka

82

kJ hő kJ hő

kg s

kJ kg

kJ kg kJ kg

kJ kg

m3 s

Vth

– a hűtőközeg elméleti térfogatárama a kompresszor szívócsonkján,



– a kompresszor szállítási foka

Vgeo

– a hűtőközeg geometriai térfogatárama a kompresszor szívócsonkján,

i

– a kompresszor hajtásának indikált hatásfoka

eff

– a kompresszor hajtásának effektív hatásfoka

Pth

– a kompresszor elméleti teljesítményszükségelete, kW

Pi

– a kompresszor indikált teljesítményszükségelete, kW

Peff

– a kompresszor effektív teljesítményszükségelete, kW

d

– a kompresszor hengerátmérője

s

– a kompresszor lökethossza

z

– a kompresszor hengereinek száma

n

– a kompresszor fordulatszáma,

M

– a kompresszor hajtásához szükséges nyomaték

1 s

A körfolyamat állapotváltozásainak jelölése:

4.16. ábra. Fojtószelepes, utóhűtéses kompresszoros hűtőkörfolyamat T-s és lg p – h diagramban 1 – 2.:

kompresszió,

2 – 3.:

kondenzáció,

3 – 3’.:

utóhűtés (ha van),

3 – 4. (utóhűtés esetén 3’ – 4):

expanzió,

4 – 1.:

párolgás. 83

m3 s

q 0  h1  h4

(4-126)

wk  h1  h2

(4-127)

we  h3  h4

(4-128)

w  wk  we

(4-129)

qk  h2  h3

(4-130)



q0 w

q 

q0 qbe

G

(4-132)

0 q0

(4-133)

Vth  Gv1

(4-134)

V d 2 Vgeo  th  snz  4

(4-135)

Pth  Gwk

(4-136)

Pi 

Peff  M

4.4

(4-131)

Pth

i

Pth

eff Peff 2n

(4-137) (4-138) (4-139)

Hőszivattyúk termodinamikai körfolyamatai

A hőszivattyúk elméleti körfolyamata és felépítése megegyezik a kompresszoros hűtőgépével. A temperált térben a kondenzátor található, az elpárologtatót a hőforrásban helyezik el. A hőfelvétel és a hőleadás szerint a hőszivattyúk fajtái: – levegő - levegő, – levegő - víz, – víz-víz hőszivattyú. A hőszivattyúk a hűtőközeg keringési irányának megfordításával klimatizálásra is alkalmasak. 84

Hőszivattyú üzemmódban a temperált térben történik a hőleadás, így a kompresszor munkájának megfelelő hőenergia is hasznosul: a COP értéke eggyel nagyobb, mint klimatizálás esetén:  kl 

 hsz 

qk w komp



q0 w komp

q 0  w komp w komp

(4-140)

  kl  1

(4-141)

4.17. ábra. Hőszivattyú körfolyamata R407C lg p – h diagramban 4.5

Ellenőrző kérdések, kidolgozott feladatok

1. Ábrázoljon egy tetszőleges reverzibilis körfolyamatot p-v és T-s állapotváltozási diagramokban. Mutassa meg a körfolyamat által végzett hasznos munkával arányos területet. 2. Ábrázoljon egy tetszőleges reverzibilis körfolyamatot p-v és T-s állapotváltozási diagramokban. Mutassa meg a körfolyamat által hasznosítható hőmennyiséggel arányos területet. 3. Milyen állapotváltozásokból épül fel az Ottó körfolyamat? Írja fel a körfolyamat termikus hatásfokának meghatározására szolgáló összefüggést. 85

4. Milyen állapotváltozásokból épül fel a Diesel körfolyamat? Írja fel a körfolyamat termikus hatásfokának meghatározására szolgáló összefüggést. 5. Milyen állapotváltozásokból épül fel a gázturbina-körfolyamat? Írja fel a körfolyamat termikus hatásfokának meghatározására szolgáló összefüggést. 6. Rajzolja fel a vízgőz p-v, T-s és h-s fázisváltozási diagramjait és jelölje az egyes fázisoknak megfelelő területeket. A diagramokban jelölje az izobár, izochor, izoterm és adiabatikus vonalakat. Ábrázolja azokban az izobár és izochor állapotváltozásokat arra az esetre, amikor a közeg nedves gőzből túlhevített gőz állapotba jut. 7. Rajzolja fel a vízgőz p-v, T-s és h-s fázisváltozási diagramjait és jelölje az egyes fázisoknak megfelelő területeket. . A diagramokban jelölje az izobár, izochor, izoterm és

adiabatikus

vonalakat.

Ábrázolja

azokban

az

izoterm

és

adiabatikus

állapotváltozásokat arra az esetre, amikor a közeg nedves gőzből túlhevített gőz állapotba jut. 8. Vázolja fel a vízgőz entalpia-entrópia diagramját és jelölje be a legfontosabb jellemzőket? 9. Hogyan lehetséges a fajlagos entalpia, a fajlagos entrópia és a fajtérfogat meghatározása a nedves gőz tartományban? 10. Mit értünk forrponti (telített folyadék), száraz telített gőz, nedves gőz és túlhevített gőz alatt? 1. feladat Vegyes hőbevezetésű körfolyamat adatai az alábbiak: d  120mm

– a henger átrmérője

s  130mm

– a henger lökethossza

  16

– a kompresszióviszony

  1,8

– a nyomásemelkedési viszonyszám

  1,3

– az előzetes expanzióviszony

p1  0,09MPa – a beszívott levegő nyomása n 1  1,32

– az adiabatikus kitevő a kompresszió során

n 2  1,28

– az adiabatikus kitevő az expanzió során

1  1,08

kg m3

– a beszívott levegő sűrűsége

86

Határozza meg az egyes állapotpontok állapotjelzőit, az egyes állapotváltozásokhoz tartozó fajlagos munkát és hőmennyiséget, a hengerben lévő levegő tömegét, valamint a körfolyamat termodinamikai hatásfokát. A munkaközeg hőtani jellemzőinek meghatározása Az univerális gázállandó: R0  8314

J kmolK

A levegő móltömege: M  28,96

kg kmol

A levegő adiabatikus kitevője:

  1,41 A levegő specifikus gázállandójának meghatározása: R

R0 8314 J   287 M 28,96 kgK

Az izobár és izochor fajhő meghatározása:

R  c p  cv



cp

R  cv  cv    1cv  cv 

cv

c p  cv  1,41  700  987

R 287 J   700   1 1,41  1 kgK

J kgK

A fajhőket állandónak tekintjük. Az 1. állapotpont meghatározása A lökettérfogat:

Vlöket 

d 2 0,12 2  s   0,13  1,47  10 3 m 3 4 4

Az 1. állapotpont térfogatának meghatározása:



V1 V2  Vlöket  V2 V2

  1V2  Vlöket V2 

Vlöket 1,47 10 3   9,8018 10 5 m 3  1 15

V1  V2  Vlöket  V2  16  9,8018 10 5  1,568 10 3 m 3

87

A hengerben lévő munkaközeg tömegének meghatározása:

m  1  V1  1,08  1,568  10 3  1,6937  10 3 kg Az 1. állapotpontban a munkaközeg fajtérfogata:

v1 

1

1



1 m3  0,9259 1,08 kg

A közeg hőmérséklete:

T1 

p1v1 0,09  10 6  0,9259   290,27 K R 287

Az 1-2 állapotváltozás Az állapotváltozás során a levegő politropikus fajhője:

c n12  cv 

n1   1,32  1,41 J  700   196,934 n1  1 1,32  1 kgK

A közeg fajtérfogata a kompresszió végén:

v2 

v1





0,9259 m3  0,05787 16 kg

Az állapotváltozás egyenlete: n1

p1  v1  p 2  v 2

n1

A kompresszió végnyomása: v p 2  p1   1  v2

n1

   p1   n1  0,09  161,32  3,4969 MPa 

A kompresszió véghőmérséklete:

T2 

p 2 v 2 3,4969  10 6  0,05787   704,9 K R 287

Az állapotváltozás során a fajlagos hőmennyiség:

q12  c n12 T2  T1   196,934  704,9  290,27   81653

J kg

Az előjele negatív, tehát az állapotváltozás során hőt vontunk el a termodinamikai rendszertől. A rendszer zárt, mivel a rendszer és környezete közt az állapotváltozás során nem lép fel tömegcsere, ezért az állapotváltozás munkája fizikai munka: w 12 f 

R T1  T2   287 290,27  704,9  371976,5 J n1  1 1,32  1 kg

88

A 2-3 állapotváltozás Az állapotváltozás izochor: v  const.

v3  v 2  0,05787

m3 kg

p 3  p 2    3,4969 1,8  6,294MPa Az állapotváltozás egyenlete:

p2 p3  T2 T3

Az izochor hőközlés véghőmérséklete: T3  T2 

p3 6,294  704,9   1268,8K p2 3,4969

A közölt hőmennyiség:

q 23  c v  T3  T2   700  1268,8  704,9   394860

J kg

Izochor állapotváltozás során nincs térfogatváltozás, így a térfogatváltozási munka 0.

w 23  0 A 3-4 állapotváltozás Az állapotváltozás izobár: p  const.

p 4  p 3  6,294MPa A fajtérfogat az izobár hőközlés végén:

v 4  v 3    0,05787 1,3  0,0752

m3 kg

Az állapotváltozás egyenlete:

v3 v4  T3 T4 Az izobár hőközlés véghőmérséklete: T4  T3 

v4 0,0752  1268,8   1649,5K v3 0,05787

A közölt hőmennyiség:

q 34  c p  T4  T3   987  1649,5  1268,8  375808 Az izobár hőközlés munkája:

89

J kg

w 34

4

4

m3 J   pdv  p 3  dv  p 3 v  p 3 v 4  v 3   6,294 10 Pa 0,0752  0,05787   109278 kg kg 3 3

w 34  109,3

4 3

6

kJ kg

A 4-5 állapotváltozás Az állapotváltozás során a levegő politropikus fajhője: c n 45  c v 

n2   1,28  1,41 J  700   325,1 n 2 1 1,28  1 kgK

A közeg fajtérfogata az expanzió végén:

v 5  v1  0,9259

m3 kg

Az állapotváltozás egyenlete: p1  v1

n2

 p2  v2

n2

Az expanzió végnyomása: n1

1, 28

v   0,0752  p 5  p 4   4   6,294     0,9259   v5 

 0,2532MPa

Az expanzió véghőmérséklete:

T5 

p5 v5  R

0,2532 10 6 Pa  0,9259 J 287 kgK

m3 kg

 816,8K

Az állapotváltozás során a fajlagos hőmennyiség:

q 45  c n 45 T5  T4   284,5  816,8  1649,5  270709

J kg

Az előjele pozitív, tehát az állapotváltozás során hőt közöltünk a termodinamikai rendszerrel. A rendszer zárt, mivel a rendszer és környezete közt az állapotváltozás során nem lép fel tömegcsere, ezért az állapotváltozás munkája fizikai munka: w 45 

R T4  T5   287 1649,5  816,8  853776 J n 2 1 1,28  1 kg

90

A belső energia, az entalpia és az entrópia meghatározása az egyes állapotpontokban A fajlagos belső energia:

u 1  c v  T1  700  290,27  203252 u 2  c v  T2  700  704,9  493575

J kg

J kg

u 3  c v  T3  700 1268,8  888435

J kg

u 4  c v  T4  700 1649,5  1154966 u 5  c v  T5  700  816,8  571899

J kg

J kg

A fajlagos entalpia:

h 1  c p  T1  987  290,27  286585

J kg

h 2  c p  T2  987  704,9  695941

J kg

h 3  c p  T3  987 1268,8  1252694

J kg

h 4  c p  T4  987 1649,5  1628502

J kg

h 5  c p  T5  987  816,8  806378

J kg

A fajlagos entrópia:

s1  1000

J tetszőlegesen felvett érték kgK

s 2  s1  c n12  ln

T2 704,9 J  1000  196,93  ln  825,3 T1 290,3 kgK

s 3  s 2  c v  ln

T3 1268,8 J  825,3  700  ln  1236,8 T2 704,9 kgK

s 4  s 3  c p  ln

T4 1649,5 J  1236,8  987,3  ln  1495,9 T3 1268,8 kgK

s 5  s 4  c n 45  ln

T5 816,8 J  1495,9  325,1  ln  1724,4 T4 1649,5 kgK

91

Ellenőrzésként: s1  s 5  c v  ln

T1 290,3 J  1724,4  700  ln  1000 T5 816,8 kgK

A termodinamikai hatásfok A körfolyamat hasznos munkája:

w h   w  w 12  w 23  w 34  w 45  w 51  372  0  109,28  853,78  0  591,08

kJ kg

Ellenőrzésként ezzel egyenlő az összes hőmennyiség:

q  q

12

 q 23  q 34  q 45  q 51  816,53  394,86  375,81  270,71  368,65  591,08

kJ kg

A körfolyamat során közölt összes hőmennyiség (a pozitív hőmennyiségek összege):

q

BE

 q 23  q 34  q 45  394,86  375,81  270,71  1041,38

A körfolyamat termodinamikai hatásfoka:

t 

w q

BE



591,08  0,5676  56,76% 1041,38

92

kJ kg

5. Áramlástan Az áramlástan nyugvó és mozgó folyadékok egyes sajátosságaival ill. e sajátosságok

gyakorlati,

műszaki

alkalmazásával

foglalkozik.

Nyugvó

folyadékterekben általában a nyomásmegoszlás meghatározása a feladat, míg áramló

közegekben

a

nyomásmegoszlás

mellett

legtöbbször

a

folyadék

sebességének eloszlására vagyunk kíváncsiak. A "folyadékok" egyaránt jelentik a cseppfolyós és a légnemű halmazállapotú közegeket, így legtöbbször a levegővel és a vízzel, mint a műszaki gyakorlatban leggyakrabban előforduló folyadékokkal foglalkozunk.

5.1

Nyugvó kontinuumok alaptörvényei

A nyugalomban lévő kontinuum valamely pontjában a nyomás két részből tevődik össze: – a kontinuum által közvetített nyomás, – a kontinuum súlyából adódó nyomás. Folyadékokra: p 2  p1 

A  h g  p1  h    gPa  A

(5-1)

Az egyenletben ’p1’ a folyadék felszínén ható nyomás, ’h’ pedig a felszíntől számított mélység. Átrendezve az egyenletet: p    g  h

(5-2)

Az egyenletet differenciális formára alakítva és a ’z’ változó irányát az általános szokások szerint felfelé, azaz a gravitációs gyorsulással ellentétesen tekintve pozitívnak: dp  g    dz

(5-3)

Előfordulhat, hogy a gravitációs erőtéren kívül más erőterek is hatnak (pl. lineáris gyorsulás vagy forgás következtében). Ha bevezetjük a gravitációs erőtér térerősségének és az ebben az erőtérben történő elmozdulásnak a szorzatát, a potenciált, akkor egy olyan egyenlethez jutunk, mely általános érvényességű a nyomás terjedésére vonatkozóan:

93

2

 J  U g   g  dz  g  z    kg  1

(5-4)

N dp    dU  2  m 

(5-5)

Az egyenes vonalú gyorsuló mozgás esetén fellépő lineáris tehetetlenségi erőtérben a térerősség iránya a mozgás irányába esik, és ellentétes a gyorsulás irányával. Ha a mozgás irányát tekintjük pozitívnak, az erőtér potenciálja gyorsulás esetén:

 J  U i  a  x    kg 

(5-6)

 J  Ui  a  x   kg 

(5-7)

lassulás esetén:

Forgó

rendszer

esetében

az

erőtér

térerőssége

a

hely

függvénye:

a

forgástengelyben zérus, és onnan kifelé növekszik. r

r 2  2 U c    r    dr   2 r 0 5.2 A



2



 J   kg   

(5-8)

A folytonosság tétele fizika

egyik

alaptétele

az

anyag

vagy

tömegmegmaradás

törvénye.

Általánosságban és röviden fogalmazva ez annyit mond ki, hogy anyag nem vész el és nem keletkezik. Egy tetszőlegesen kiválasztott, differenciális méretekkel rendelkező térrészre értelmezve a tömegmegmaradás törvényét, az azt fejezi ki, hogy az adott térrészben a sűrűség az idő függvényében csak akkor lehet állandó, ha az oda időegység alatt belépő és onnan időegység alatt távozó anyag mennyisége megegyezik egymással. Az ’x’ tengely mentén az időegység alatt belépő anyagmennyiségre a következőt írhatjuk fel:  kg    c x  dy  dz    s 

(5-9)

Az ’x’ tengely mentén az időegység alatt távozó anyagmennyiség:    c x     kg   dx   dy  dz     cx  x  s   

A két anyagmennyiség különbsége: 94

(5-10)

   c x   kg   dx  dy  dz   x  s 

(5-11)

az adott térrészben marad, és a sűrűség megváltozásában szerepet játszik. Hasonlóan eljárva a többi koordináta irányában is összesen három egyenlethez jutunk, melyek összege a térrészben lévő anyag mennyiségének a megváltozása. Rendezve a szokásos alakra:

    c x     c y     c z        0 y z  t  x

(5-12)

A zárójelben szereplő kifejezésre a matematikában egy egyszerűsítő jelölést szoktak használni, ez az ún. Nabla elsőrendű deriváló operátor:       c   0 t

5.3

(5-13)

Euler-egyenlet

Az Euler-egyenlet és fizikai jelentése:Az Euler-egyenlet olyan mozgásegyenlet, amely a súrlódás elhanyagolása esetén összefüggést teremt a folyadékrész mozgásmennyiségének

idő

szerinti

megváltozása

(

dc dt

gyorsulása)

és

a

folyadékrészre ható erők, a térerősségből származó erő (pl. egy kg tömegre ható súlyerő), g és a nyomás hely szerinti változásából származó 

dc 1  g  gradp dt 

1 gradp erő között:.  (5-14)

Az Euler-egyenlet, amely a súrlódás elhanyagolása esetén érvényes azt fejezi ki, hogy a folyadékrészecskék a nyomás változásából származó erő és a térerősség eredője irányában gyorsulnak, a gyorsulás mértéke arányos az eredő erő nagyságával.

A természetes koordináta-rendszerben felírt Euler-egyenlet A következőkben néhány gyakran alkalmazott áramlástani fogalmat adunk meg. A folyadékrész pályája egy kiszemelt pontszerű folyadékrész egymást követő pillanatokban elfoglalt helyeit összekötő görbe. 95

Az áramvonal olyan görbe, amelyet egy adott pillanatban a sebességvektor minden pontjában érint: c  ds  0 , ahol ds az áramvonal elemi hosszúságú darabját jellemző vektor. (Az áramvonal egy adott pillanatban a sebességvektorok burkoló görbéje.)

5.1. ábra. Áramvonal és áramcső A nyomvonal a tér egy pontján egymás után áthaladó folyadékrészeket egy adott pillanatban összekötő görbe. (Ilyen nyomvonal pl. egy kéményből kilépő füstfáklya, ha pontszerűnek tekintjük a kémény kiömlőnyílását.) Az áramfelületet egy kijelölt vonalra illeszkedő áramvonalak alkotják, amelyeket a sebességvektorok érintik. Ezért az áramfelületen nincsen átáramlás. Bármely áramlásba helyezett felület, amelyen nincs átáramlás (pl. egy szilárd testé), áramfelület. Az áramcső speciális áramfelület, amelynél az áramvonalak egy zárt görbére illeszkednek. (ld. 5-1.ábra)

Egy áramvonalon mozgó közegrészre ható erők és a gyorsulás kapcsolatát felírhatjuk egy áramvonalhoz rögzített, "természetes" koordináta-rendszerben (ld. 5-2. ábra).

96

5.2. ábra. Áramvonalon mozgó elemi folyadékrész Legyen az áramló közeg súrlódásmentes, az áramlás stacionárius. A derékszögű koordináta-rendszer az áramvonal P pontjára illeszkedik, és az e koordináta-tengelye érinti az áramvonalat. Az n normális irányú koordináta-tengely a P pontot az áramvonal G görbületi középpontjával összekötő egyenesbe esik. A b binormális koordináta az e és n koordinátákkal jobbsodrású rendszert alkot. Az érintő irányban (e koordináta) felírva az Euler egyenletet kapjuk:

c

c 1 p   ge e  e

(5-15)

Tekintsük most a normális (n koordináta) irányú egyensúlyt! Ahhoz, hogy a dm tömeg v sebességgel mozogjon az R görbületi sugarú áramvonalon, a görbületi középpont felé mutató, dm

v2 nagyságú (centripetális) erőnek kell a tömegre hatnia. Ez az erő R

ismét a nyomásból származó, a folyadékrész felületén ható erő és a tömegre ható térerősség összegével egyenlő. Ennek a gondolatnak alapján vezethető le a normális irányban felírt Euler egyenlet:

c 2 1 p   gn R  n

97

(5-16)

Az Euler-egyenlet különböző kifejezéseit vizsgálva egy nagyon egyszerű fizikai interpretáció adódik a folyadék stacionárius áramlására. Súrlódásmentesség feltételezése mellett a folyadékrészekre a nyomás hely szerinti változásából és a térerősségből származó erő hat. Ha e két fajta erő kiegyenlíti egymást, a közeg nem gyorsul (áll, vagy egyenes vonalú, egyenletes sebességű mozgást végez). Fordítva is igaz: ha a közeg áll, a nyomásból származó erő egyensúlyban van a térerősségből származó erővel. Ha a két erő nem egyenlíti ki egymást, akkor a közeg gyorsul. Az erőtér a térerősség vektorral megegyező irányú és irányítású gyorsulást eredményez. A nyomás változása

esetén

a

folyadékrészek

a

csökkenő

nyomás

irányában

(a

nyomásgradienssel párhuzamosan, de ellentétes irányítással) gyorsulnak. A térerősség hatása sok esetben figyelmen kívül hagyható ill. elhanyagolható. Ilyen esetben az áramképről a nyomásmegoszlásra ill. a nyomásmegoszlásról az áramképre következtethetünk. Igy pl. a folyadékrészek csökkenő nyomás irányában gyorsulnak (pl. ha különböző nyomású tereket összenyitunk, a nagyobb nyomású térből a kisebb nyomású térbe áramlik a közeg). Egy, az áramlás irányában szűkülő csőben (konfúzorban), amelyben a folytonosság következtében gyorsulnia kell a közegnek, az áramlás irányában csökken a nyomás. Az áramlás irányában bővülő csőnél (diffúzornál) lassul az áramlás, és ennek megfelelően az áramlás irányában növekedő nyomás tapasztalható. (A mozgó folyadéknak le kell lassulnia, és a lassító erőt – súrlódás és térerő hiányában – csak a nyomás áramlásirányú növekedése okozhatja.) Az

eddigi

példákban

a

közeg

sebességének

nagysága

változott

a

nyomásmegoszlás hatására. Vannak esetek, amikor a nyomás változása nem a sebesség nagyságának, hanem irányának változásával van kapcsolatban. Igen jól használható összefüggés a természetes koordináta-rendszerben felírt Euler-egyenlet normális irányú komponensegyenlete. Az alábbi következtetéseket vonhatjuk le a térerősség figyelmen kívül hagyásával felírt

c 2 1 p összefüggésből:  R  n

a) ha az áramvonalak párhuzamos egyenesek (R=), akkor azokra merőlegesen nem változik a nyomás; 98

b) ha az áramvonalak görbültek, akkor azokra merőlegesen a nyomás változik: a görbületi középponttól kifelé haladva nő. (A nyomásból származó centripetális erő kényszeríti körpályára a folyadékrészeket.) A

természetes

koordináta-rendszerben

felírt

Euler-egyenlet

normális

irányú

komponensegyenlete igen jól használható áramlások kvalitatív megítélésére, a nyomásmegoszlás áramkép alapján történő becslésére. A gyorsulást kifejtve az 5-14. egyenletből, az Euler-egyenlet gyakran alkalmazott vektoriális alakját kapjuk:

c c2 1  grad  c  rotc  g  gradp . t 2 

5.4

(5-17)

Bernoulli-egyenlet

A Bernoulli-egyenlet azt fejezi ki, hogy az áramlásban elképzelt tetszőleges görbe mentén az áramló ideális kontinuum összes energiatartalma nem változik. Tételezzük fel, hogy az imént említett görbe egy áramvonal. Az áramló kontinuum összes energiatartalmának „összetevői” a következők: – mozgási energia – helyzeti energia – a gyorsító erők által végzett munkával egyenértékű energia – a nyomásból származó erők által végzett munkával egyenértékű energia. A kontinuum áramlásával kapcsolatban a tömeg nem értelmezhető, így az egyes mennyiségeket mint tömegegységre eső energiamennyiséget írjuk föl. A tömegre vonatkoztatott mozgási energia megváltozása az áramvonal mentén: 2

c2  J  2 1  kg 

(5-18)

A tömegre vonatkoztatott helyzeti energia megváltozása az áramvonal mentén: 2 J  gz  U 1    kg 

A gyorsító erő tömegegységre vonatkoztatva a gyorsulással egyenlő: 99

(5-19)

F c  N m  a  m t  kg s 2 

(5-20)

Ezen erő által az áramvonal mentén végzett munka: 2

 J 

 c

  t  ds  kg 

(5-21)

1

Valamely ’s’ hosszúságú, differenciális keresztmetszetű kis henger két véglapja közötti nyomáskülönbség: p  N  s ds  m 2 

(5-22)

p  s  dAN  ds

(5-23)

Az ebből származó erő:

Ennek tömegegységre eső része az áramvonal mentén végzett munka:

 p   p    s  dA  2   s  dA  2  p   J  ds ds    1  m  ds   1  s  dA    ds   1    kg          2

(5-24)

Az áramló ideális kontinuum összes energiatartalma egy áramvonal mentén nem változik meg, azaz a Bernoulli-egyenlet: 2

2

2 2  p  2  v  c     ds   U    1  t   2  1     0 1 1

(5-25)

Az Euler-egyenlet (5-15) megoldásának egy igen hatékony módja az egyenlet tagjainak az áramlási tér két (pl. 1-gyel és 2-vel jelölt) pontját összekötő vonal menti (hely szerinti) integrálása: 2

2

2

2

2

c c2 1 d s  grad ds   c  rotcds   gds   gradpds 1 t 1 2  1 1 1 I

II

III

IV

(5-26) V

Ha a Bernoulli-egyenletet használjuk, a következő kérdéseket célszerű feltenni és a válaszok alapján a lehetséges egyszerűsítéseket végrehajtani:

100



Stacionárius-e az áramlás? Ha nem, van e olyan (pl. együtt mozgó) koordinátarendszer, amelyből stacionáriussá tehető?



Potenciálos-e az áramlás? Ha nem, lehet-e áramvonalon integrálni?



Potenciálos-e az erőtér?



Állandó-e a sűrűség? Ha nem, csak a nyomástól függ-e?

A

műszaki

gyakorlatban

leggyakrabban

előforduló

esetekben

az

áramlás

stacionárius, lehet áramvonalon integrálni, az erőtér a Föld nehézségi erőtere, ami potenciálos, a sűrűség pedig állandó. Ilyen esetben a Bernoulli-egyenlet az alábbi, jól ismert alakban írható fel:

c12 p1 c2 p   U1  2  2  U 2 2  2 

(5-27)

ahol U a Föld nehézségi erőterének potenciálja, ami felfelé mutató z koordináta esetén az U  g g z összefüggéssel írható le. Az egyes tagok az áramlás során változnak (ld. 5-3. ábra) de a tagok összege mindig állandó marad.

5.3. ábra. A Bernoulli-egyenlet alkalmazása

101

A

c

összefüggés azt fejezi ki, hogy a fenti feltételek fennállása esetén a 2

2p  U



Bernoulli-összeg egy áramvonal mentén állandó. (Potenciálos

áramlás esetén a Bernoulli-összeg az egész áramlási térben - és nemcsak áramvonal mentén - állandó.) 5.5

Ellenőrző kérdések, kidolgozott feladatok

1.

Mit mond ki a folytonosság tétele?

2.

Írja

fel

a

gravitációs

erőtér

és

a

forgó

rendszer

erőterének

potenciálfüggvényét! 3.

A folytonossági tétel alapján írja fel a térrészben lévő anyag mennyiségének a

megváltozását differenciális alakban! 4.

Írja fel az Euler-egyenlet vektoriális alakját!

5.

Írja fel a Bernoulli-egyenletet állandósult áramlásra!

6.

Hogyan írható fel az áramló kontinuum tömegegységére eső mozgási

energia? 7.

Hogyan írható fel az áramló kontinuum tömegegységére eső helyzeti energia?

1. feladat Az ábrán az „A” csőben víz ,a „B” csőben pedig olaj (sp.gr 0,9) van. Ha a  kN  „h” 69 cm, mekkora a nyomáskülönbség az „M” és „N” kötött,  2  -ben. m 

P0

P0

h

0

w

z

PM

x

w

PN

5.4. ábra. Csővel összekötött tartályok Megoldás

p M  x      g  h      g  px 102

p N  z      g  x      g  h   0  g  px pM - pN  h     g - z     g - h    g p M - p N  (h - z)      g - h   0  g 

 (0,69 - 0,23)  103  9,81 - 0,69  900  9,81 

 -1579 N/m 2  -1,57 kN/m 2 2. feladat Meghatározandó az alábbi ábrán vázolt egyhengeres működésű dugattyús szivattyú szívó-vezetékének átmérője és nyomóvezetékének hossza, ha a technológiai és geometriai paraméterek az alábbiak:

p1a  0,8bar ,

p 2 a  1,8bar (abszolút nyomások)

p g  12000 Pa ,

D  150mm ,

s / D  1,2

n  60 f / p ,

b1  0,3m ,

b2  1,0 .

5.5. ábra. Szivattyú szívó- és nyomóvezetékkel px p  1a  H 1  h A1  b1  g g p x  p g feltétel esetén

h A1 

 0,8  10 5  12000 p1a  p g    H 1  b1   3  3  4  0,3  2,63m   g   g   10  9,81 10  9,81

h A1  2,63m 

l1 A    1 g f 

r  r  2  l

103



2  n 2  60   6,28 f p 60 60

r  1,2 

 1  

D 0,15  1,2   0,09m 2 2

r 1 l 

D 2 0,15 2  A   17,66  10 3 m 2 4 4 l A f  1 g h A1 d

4f





15 17,66  10 3  r 2  1    r      1  0,09  6,28 2  58,8  10 3 m 2 9,81 1,63  l 4  58,8  10 3

p 2 a  1,8bar 



 0,273m

1,8  10 5  18,34m 10 3  9,81

ha 2 max  18,34  1,22  1  16,12m 

l2 

l2 A   r  2 g f

ha 2 max  g  f 16,12  9,81  58,8  10 3   148,34m A  r  2 17,66  10 3  0,09  6,28 2

3. feladat

5.6. ábra. Kifolyás gömb alakú tartályból

104

A 2 m sugarú gömb alakú tartály aljától mért 0,5 m-es magasságban d = 50 mm átmérőjű lyuk van. A tartály 3,5 m magasságig van vízzel feltöltve. A víz fölötti térben a nyomás 15 000 Pa. Kérdés, hogy kiürül-e a tartály, hol áll meg a vízszint, és mennyi idő alatt? Az állandósult szintmagasság – hx – meghatározása Az állandósult állapotban a lyuknál a külső és a belső nyomás értéke egyenlő, tehát a tartályban lévő állandósult légnyomás (px) és a hidrosztatikus nyomás összege 105 Pa: 105 Pa  p x    g  hx  hd 

(px értéke kisebb a kezdeti 115 000 Pa-nál, mivel a levegő kitágul a víz kifolyása során.) A tartályban lévő levegő térfogata a h vízszint függvényében: Vlev 

2r  h 2  3r  2r  h   4  h 2  2  h  3

3

m  3

A kifolyás során a vízfelszín feletti levegő nyomása folyamatosan csökken. A tartály szigeteletlen (nincs információ arról, hogy szigetelt lenne), a levegő alatt nagy mennyiségű víz van, a folyamat viszonylag lassú, így a levegő hőt vehet fel a tartály környezetéből, illetve a víztől, így a levegő állapotváltozása izotermnek tekinthető. A tartályban lévő levegő tömege állandó. pV  mR T T  const.

m  const.

p  V  const.

A pV szorzat meghatározása a kezdeti állapot ismeretében: p  115000 Pa h  3,5m 2  4  3,5  2  3,5  1,44m 3 V

3

p  V  115000 1,44  165588,1Pam 3 Ez az érték állandó a kifolyás során. Ebből kifejezve a kifolyás végeztével, az állandósult állapotban a levegő nyomása: 105

px 

p V Vx

Ezt beírva az egyensúlyi állapotra fent felírt egyenletbe: 10 5 Pa  p x    g  h x  h d 

10 5 

pV 165588,1    g  h x  h d    1000  9,81 h x  0,5 Vx Vx

Vx helyére beírva a gömbszelet térfogatának (Vlev) egyenletét:

105 

165588,1  1000  9,81  hx  0,5 4  hx 2  2  h  x 3

Fenti egyenlet megoldása MS Excel célérték-keresővel, h=3,5 m kezdeti értékről indítva: hx = 3,36 m a vízszint állandósult magassága, a tartály legalsó pontjától mérve Az ehhez tartozó levegő térfogat és nyomás: 2 2   4  hx   4  3,36   2  h x   2  3,36  2,302m3 Vx 

3

px 

3

p  V 165588,1   71947 Pa Vx 2,302

Ekkor a nyílás magasságában a hidrosztatikus nyomás:

  g  hx  hd   1000  9,81  3,36  0,5  28053Pa A levegő nyomásának és a hidrosztatikus nyomásnak az összege megegyezik a külső légnyomással: 71947 Pa  28053Pa  105 Pa

A kifolyási idő meghatározása A korábban leírtak szerint a tartályban lévő levegő térfogata a kezdeti állapotban: V=1,44 m3, az állandósult állapotban: Vx=2,302 m3. A két érték különbsége a kifolyt víz térfogata: Vkv  Vx  V  2,302  1,44  0,862m3

106

Bernoulli-egyenlet a vízfelszín (1) és a nyílás (2) közé felírva (az egységes jelölések miatt a 0 szintet továbbra is a tartály aljára veszem fel): p1    g  h1 

  v12 2

 p2    g  h2 

  v2 2 2

A vízfelszín (1) sugara több méter, a nyílás (2) átmérője 0,05 m, a sebességek aránya fordított és négyzetes, vagyis a vízfelszín v1 sebessége elhanyagolhatóan kicsi a nyíláson kilépő vízsugár v2 sebességéhez képest, így a továbbiakban a vízfelszín sebességét elhanyagolom: v1 = 0 p1    g  h1  p2    g  h2 

  v2 2 2

p1 és h1 folyamatosan változik. Az alábbi értékek állandók:

p2  105 Pa h2  0,5m

  1000

kg m3

Ezeket az egyenletbe beírva:

p1  9,81

m kg m kg  1000 3  h1  105 Pa  9,81 2  1000 3  0,5m  2 s m s m

p1  9810

1000

kg 2  v2 3 m 2

kg kg 2  h 1  10 5 Pa  4905Pa  500 3 v 2 2 2 ms m

Innen kifejezve a v2 sebesség: 3 kg   1 m v2   p1  9810 2 2  h1  104905Pa   ms   500 kg

A levegő nyomását a h1 szintmagasság függvényében kell felírni:

p1  f h1  p1 

p V V1

ahol: pV

– a tartályban lévő levegő izoterm állapotváltozására jellemző, korábban

meghatározott konstans p1

– a levegő pillanatnyi nyomása

107

V1

– a levegő pillanatnyi térfogata

165588,1Pam3 p1  V1 A térfogat a korábban leírtak szerint: V1

2  4  h1   2  h  

3

1

Így a pillanatnyi nyomás a pillanatnyi vízszintmagasság függvényében:

p1 

165588,1 4  h1 2  2  h  1 3

Egyszerűsítve:

3 165588,1  165588,1   158125 p1   2 2 4  h1   2  h  4  h1   2  h1  h13  6h12  32 1 3 A függvény ellenőrzése az állandósult állapotra:

h x  3,36m p x  71947Pa px 

158125 158125   71947Pa 2 3 2 h  6h1  32 3,36  6  3,36  32 3 1

A függvény ezen ponton a várt eredményt adja. A nyomásfüggvényt behelyettesítve a v2 sebesség függvényébe:

v2 

 p1  9810  h1  104905 

1  500

158125 1  9810  h1  104905  2 500 h  6h1  32 3 1

Ellenőrzés: a kezdeti állapotra (h1=3,5m) felírt Bernoulli-egyenlet alapján és a fenti képletet használva is v2  9,43

m s

értékre adódik a kezdeti kilépési sebesség. A kilépő vízsugár keresztmetszete:

A2 

d 2 0,052    1,964 10 3 m 2 4 4

A térfogatáram a szintmagasság függvényében:

q v  A2  v2 108

158125 1  9810  h 1  104905  2 500 h 1  6h 1  32

q v  1,964 10 3 

3

A kifolyási idő meghatározásához fel kell írni a felszín süllyedésének időfüggvényét: dh 2    D   v2  d 2  dt 4 4

Az egyenletben D a vízfelszín átmérője. Ez a szintmagasság függvényében változik:

D  f h  Pitagorasz-tétellel a vízfelszín D átmérője a gömb r sugarából és a h 1 vízszintmagasságból a következő egyenlettel számolható:

D  2  r 2  h1  r   2  4  h1  2  2

2

Ezt behelyettesítve az időfüggvény egyenletébe:





dh   2  4  4  h 1  2   v 2  d 2  dt 4 4





dh d2 2  4   h 1  4h 1  v 2 dt 4





dh 2   h 1  4h 1  dt

158125 1 d2  9810  h  104905   1 3 2 500 4 h 1  6h 1  32

Szétválasztva a változókat: 2

 h1  4h1 158125  9810  h1  104905 2 h  6h1  32

dh 

1 d2  dt 500 4

3 1

A h1 magasság időben csökken, ezért integrálja negatív előjelet kap:



hx



3, 5

2

 h1  4h1 158125  9810  h1  104905 3 2 h1  6h1  32

t

dh   0

t

 1 d2  1 d2 1 0,052  dt    t   t 500 4 500 4  500 4  0

Az egyenlet bal oldalát numerikusan integráltam MS Excel-lel. Az integrálás eredménye:



hx



3, 5

2

 h1  4h1 158125  9810  h1  104905 3 2 h1  6h1  32

dh  2,9524 10 3

1 0,052  t  2,9524 10 3 500 4 109

Ebből a kifolyás ideje: t = 105,63 s Közelítő ellenőrzés: Ha a térfogatáram a folyamat során lineárisan csökkenne, akkor az átlagos kifolyási sebesség a kezdeti (maximális) 9,43 m/s fele, 4,715 m/s lenne. Ebben az esetben a 0,862 m3 víz kifolyási ideje: t

Vkv 0,862   93,1s A2  v2 1,964 10 3  4,715

Ebből kiindulva a fenti 105,63 s eredmény reálisnak mondható.

110

6. Felhasznált irodalom 1.

Szabó G., Péter Szabó I. (2003): Alkalmazott műszaki hőtan. Szegedi Tudományegyetem Szegedi Élelmiszeripari Főiskolai Kar. pp.194.

2.

Beke, J. (2000): Műszaki hőtan mérnököknek. Mezőgazdasági szaktudás Kiadó. Budapest, pp. 541. ISBN 963 356 317 8

3.

Író B.: Hő- és áramlástan. Széchenyi István Egyetem, pp 224.

4.

Író B., Zsenák F. (2000): Energetikai gépek. Széchenyi István Főiskola, pp. 143.

5.

Hodúr C. Sárosi H. (2007): Hőtani műveletek levelező hallgatók számára. Szegedi Tudományegyetem Szegedi Élelmiszeripari Főiskolai Kar, pp.

5.

Bálint A. (2002): Műszaki áramlástan. Veszprémi Egyetemi Kiadó

6.

Kovács

B.

(2004):

Hidrodinamikai

és

transzportmodellezés.

Szegedi

Tudományegyetem, Miskolci Egyetem 7.

Pleva L., Zsiros L. (1990): Műszaki hőtan. Veszprémi Egyetemi Kiadó

8.

Pleva L., Zsiros L. (1994): Műszaki hőtan szemináriumi segédlet és példatár Veszprémi Egyetemi Kiadó

9.

Sitkei Gy. (1997): Gyakorlati áramlástan. Mezőgazdasági Szaktudás Kiadó

10. Beke J.: Műszaki hőtan mérnököknek http://eki.sze.hu/ejegyzet/ejegyzet/hotan/3fejezet.htm

111