TRANSPORTATION PROBLEM D0104 Riset Operasi I Kuliah XXIII - XXV
Pendahuluan
Transportation Problem merupakan aplikasi dari programa linier untuk menentukan bagaimana mendistribusikan bahan, produk dari suatu lokasi ke lokasi-lokasi yang lain dengan biaya yang minimum. Metoda penyelesaian transportation problem dapat digunakan dua cara, yaitu : Menggunakan metoda simpleks. Menggunakan metoda yang khusus untuk transportation problem
Contoh Transportation Problem
ASAL
TUJUAN
Transportation Model Ada m sumber dan n tujuan, ai jumlah unit yang tersedia pada tiap sumber dan akan dikirim tujuan. bj merupakan permintaan dari tiap tujuan. cij merupakan biaya transportasi per unit yang dikirim. Model Matematik untuk transportasi sbb : m
Obyektif
n
x0 cij xij i 1 j 1
n
Pembatas
x
ij
ai ; i 1,2,....,m
ij
bj; j 1,2,....,n
j 1 m
x i 1
xij 0
Kesetimbangan Model Transportasi m m m n b j xij xij ai j 1 j 1 i 1 i 1 j 1 i 1 n
n
Pernyataan ini berarti bahwa jumlah yang disuplai dari sumber harus sama dengan jumlah permintaan pada tujuan. Pada kenyataannya bahwa jumlah yang disuplai tidak sama dengan permintaannya, dapat lebih besar atau lebih kecil. Kondisi disebut tidak setimbang. Kondisi tidak setimbang harus dibuat setimbang dengan menambahkan sumber atau tujuan yang bersifat dummy Jika suplai demand, tambahkan tujuan dummy untuk menerima sejumlah ai - bj. Jika demand suplai, tambahkan sumber dummy untuk mensuplai sejumlah bj - ai.
Teknik Transportasi (Lanjutan) Cara Penyelesaian : Dengan Tabulasi Jumlah dari i ke j 1 S U M 2 B E R 3
1
Biaya dari i ke j
TUJUAN 2 3
4 b1
b2
b3
a1
a2
a3
a4
K a p a s i t a s
Teknik Transportasi (Metoda Penyelesaian) Mendapatkan Solusi Awal Northwest Corner (NWCR) Least Cost Vogel Approximation (VAM) Mendapatkan Solusi Optimal (Akhir) Stepping Stone Multiplier (UV Method)
Mendapatkan Solusi Awal
Ada Tiga Cara yang dapat digunakan yang tujuannya adalah untuk memperoleh variabel basis (dalam metoda simplex membentuk matrix satuan). Variabel-variabel basis ini merupakan solusi awal untuk mendapat solusi akhir yang kondisinya feasibel dan optimal. Pada penyelesaian awal ini bisa saja kondisi sudah feasibel dan optimal, tapi untuk menyatakan hal tersebut harus diuji terlebih dulu.
Mendapatkan Solusi Awal Menggunakan Northwest Corner
Metoda Northwest Corner (NWCR) merupakan metoda yang pengisian sel pada tabel penyelesaian masalah transportasi dimulai dari pojok kiri atas. Kemudian dilanjutkan pada sel sebelah kanan atau bawah bergantung pada kapasitas yang tersedia. Pengisian sel berakhir pada sel pojok kanan bawah. Sel-sel yang terisi merupakan variabel basis yang jumlahnya adalah : m + n –1 (m = jumlah lokasi sumber, n = jumlah lokasi tujuan).
Contoh: Pengisian Dengan NWCR Sebuah perusahaan mempunyai tiga lokasi pabrik yaitu : A, B, C. untuk membuat produknya. Produk yang dibuat ini akan didistribusikan ke empat lokasi pasar, yaitu : P1, P2, P3, P4. Kapasitas dari masing-masing pabriknya dan permintaan dari masing-masing pasar terlihat pada tabel.1 dan biaya angkut per-unit produk ada pada tabel.2
Ke
Pabrik Kapasitas Pasar Permintaan A
100
P1
50
B
150
P2
125
C
75
P3
100
P4
50
Untuk penyelesaiannya dibuat tabel transportasi sbb :
Pasar P1
P2
P3
P4
Dari P a b r i k
A
10
15
5
20
B
15
5
10
5
C
25
10
5
15
Contoh: Pengisian Dengan NWCR P1
P2
P3
10
50
15
B
15
75
5
C
25
10
A
50
50
Total Biaya Distribusi
P4 5
20
100
50
75
10
5
150
75
25
5
15
75
50
125
100
75
25
50 50
325
= 50 * 10 + 50 * 15 + 75 * 5 + 75 * 10 + 25 * 5 + 50 * 15 = 3250
Contoh: Pengisian Dengan Least-Cost P1
P2
A
10
B
15
C
50 25
50
P3 15
125 5 10 125
P4
100 5
20
100
10
25 5
150
25
5
25 15
75
50
100
50
325
25 Total Biaya Distribusi
= 100 * 5 + 125 * 5 + 25 * 5 + 50 * 25 + 25 * 15 = 2875
Contoh: Pengisian Dengan VAM P1 10
A B
50
C Penalti :
P2
P3 15
100
5
15
50
5
10
25
75
10
5
50
5 10 10
125
5 5 5
Penalti :
20
100
10
5
150
0 0 10
15
75
5 5 15
P4
100
0
50
50
10 10
325
Contoh: Pengisian Dengan VAM P1 10
A B
50
C
P2
50
Total Biaya Distribusi
P3 15
100
5
15
50
5
10
25
75
10
5
125
P4
100
50
50
20
100
5
150
15
75 325
= 100 * 5 + 50 * 15 + 50 * 5 + 50 * 5 + 75 * 10 = 2500
Mendapatkan Solusi Akhir 1. Berawal dari hasil untuk medapatkan solusi awal yang diperoleh menggunakan NWCR, LC, dan VAM dapat ditetapkan variabel-variabel yang termasuk basis. 2. Jumlah variabel basis yang dapat digunakan untuk melanjutkan ketahapan mencari solusi akhir adalah m + n – 1 3. Bila jumlah variabel basisnya kurang dari m + n –1, harus ditambahkan variabel basis dengan meletakan nilai 0 pada variabel non basis dengan nilai biaya paling kecil. Lihat Contoh
4. Setelah jumlah variabel basis sesuai dengan syarat, maka dapat dilanjutkan dengan menggunakan salah satu metoda (Stepping Stone atau Multiplier). Solusi Akhir
Contoh hasil solusi awal yang jumlah Variabel basisnya kurang dari m + n - 1 P1 10
A B
50
C
P2
50
P3 15
15
50
5
25
75
10
125
100
5 10
0
P4
50
5 100
50
20
100
5
150
15
75 325
Pada tabel diatas ada 5 variabel basis, sehingga kurang satu dari m + n – 1, oleh karena itu perlu ditambahkan 1 variabel dengan meletakan nilai 0 di kotak yang mempunyai ‘cost’ paling kecil
Mendapatkan Solusi Akhir (Metoda Stepping Stone)
Dengan menggunakan contoh hasil dari mencari solusi awal dengan metoda NWCR, ditetapkan 6 variabel basis (ditandai dengan lingkaran warana hijau). Langkah berikut mencari nilai untuk variabel non basis (kotak yang belum terisi) dengan cara sebagai berikut : 1. Menetapkan nilai Var.Non Basis dengan menggunakan suatu loop, yang mulai dari kotak var.non basis menuju ke kotak-kotak var. basis dan kembali lagi ke kotak tersebut. Contoh: Kotak Var. Non Basis (A,P3) mempunyai loop sbb : (A,P3) (B,P3) (B,P2) (A,P2) (A,P3)
Mendapatkan Solusi Akhir (Metoda Stepping Stone) 3.
4.
5.
Nilai yang dituliskan pada kotak tersebut dihitung dari nilai-nilai ‘cost’ dari kotak yang dilalui loop dengan memperhatikan tanda dari tiap kotak. Pada contoh, loop dimulai kotak (A,P4) diberi tanda +, kemudian kotak berikut tandanya -, dan seterusnya sampai kembali ke kotak awal. Contoh : (A,P3) (B,P3) (B,P2) (A,P2) (A,P3) tandanya + - + - +
Mendapatkan Solusi Akhir (Metoda Stepping Stone) P1
P2
P3
10
50
15
B
15
75
5
C
25
10
A
50
50
125
P4 5
20
100
75
10
5
150
25
5
15
75
100
50 50
325
Nilai Variabel non-basis untuk (A,P3) adalah : 5 – 10 + 5 – 15 = -15. Penetapan nilai variabel non basis lainnya mengikuti langkah-langkah 1 sampai 5
Mendapatkan Solusi Akhir (Metoda Stepping Stone) P1
P2
A
50
10
B
-5
15
C
30
25
50
P3
P4
15
-15
5
-10
20
100
75
5
75
10
-5
5
150
10
10
25
5
50
15
75
50
125
100
50
325
= (A,P4)(C,P4) (C,P3) (B,P3) (B,P2) (A,P2) (A,P4) = 20 – 15 + 5 – 10 + 5 – 15 = -10 Dan seterusnya untuk variabel non basis lain…. (A,P4)
Dari tabel diatas kotak (A,P3) dipilih karena paling negatif untuk pengalokasian baru
Mendapatkan Solusi Akhir (Metoda Stepping Stone) P1
P2
A
50
10
B
-5
15
C
30
25
50
P3
P4
15
-15
5
-10
20
100
75
5
75
10
-5
5
150
10
10
25
5
50
15
75
50
125
100
50
325
Jumlah produk yang akan di alokasikan ke kotak (A,P3) berasal dari kotakkotak yang dilalui loop dengan tanda -.(Pilih nilai terkecil dari kotak-kotak bertanda -) (A,P3)(+) (B,P3)(-) (B,P2)(+) (A,P2)(-) Komposisi alokasi yang baru ada pada pada tabel berikut.
Mendapatkan Solusi Akhir (Metoda Stepping Stone) P1 A
50
P2 10
B
15
C
25
50
P3 15
125 5 10 125
P4
50
5
20
100
25
10
5
150
25
5
15
75
100
50 50
Total Biaya = 2500
325
Langkah berikutnya adalah mengisi kembali kotak-kotak variabel non basis seperti pada langkah-langkah sebelumnya, sampai tidak ada variabel non basis yang bernilai negatif. (Berarti kondisi feasibel dan optimal)
Mendapatkan Solusi Akhir (Metoda Stepping Stone) Hasil optimalnya adalah
P1 A
50
B
10
C
15
50
P2 10 15 25
P3 15
5
100 25 125
5 10
50 10
50
P4 5 10 5
100
20
5
50 0
100
5
150
15
75
50
Kondisi Feasibel dan Optimal
325
Total Biaya 2000
Solusi Akhir Dengan Metoda Multiplier (UV) 1.
2.
3.
4.
Metoda Multiplier atau UV merupakan salah satu metoda untuk mendapatkan solusi akhir yang feasible dan optimal dari permasalahan transportasi. Metoda ini dapat digunakan bila variabel basis sudah ditetapkan (menggunakan metoda NWCR, Least Cost atau VAM). Apabila variabel basis telah ditetapkan, kemudian ditentukan nilai Ui untuk baris dan Vj untuk kolom. i = 1 … m dan j = 1… n Tetapkan terlebih dulu salah satu nilai Ui atau Vj sebesar 0
Solusi Akhir Dengan Metoda Multiplier (UV) 5.
Nilai Ui dan Vj lainnya ditetapkan berdasarkan rumus berikut : Ui + Vj = Cij Cij = merupakan nilai ‘cost’ dari kotak variabel basis
6.
Setelah semua nilai Ui dan Vj diperoleh, kemudian menetapkan nilai untuk variabel non basis berdasarkan rumus : Cij – Ui – Vj Cij = merupakan nilai ‘cost’ pada dari kotak variabel non basis
7.
Bila nilai pada kotak variabel non basis ada yang negatif berarti kondisi belum optimal, kemudian pilih nilai variabel non basis yang paling negatif.
Solusi Akhir Dengan Metoda Multiplier (UV) 8. 9.
10.
11. 12.
Berawal dari kotak variabel non basis, buat suatu loop tertutup. Loop dapat searah jarum jam atau berlawanan. Tetapkan tanda + atau – bergantian sesuai dengan kotak yang dilalui loop. Berawal pada kotak variabel non basis dengan tanda +. Kotak yang bertanda + berarti sejumlah unit ditambahkan pada kotak tersebut. Besarnya unit yang ditambahkan adalah sama dengan nilai terkecil pada kotak yang mempunyai tanda negatif. Kotak variabel basis yang tidak dilalui loop, nilainya tetap. Ulangi langkah 4 sampai 11, bila masih terdapat nilai variabel non basis yang masih negatif
Solusi Akhir Dengan Metoda Multipler (UV) Iterasi I
V1= 10
P1 U1= 0
A
50
U2= -10
B
10
U3= -15
C
25
V2=15
V3=20
V4= 15
P2
P3
P4
10
50
15
15
75
5
75
10
10
25
5
25
50
10 125
-15
5
5
0 50
100
50
20
100
5
150
15
75 325
Loop : (A,P3) (B,P3) (B,P2) (A,P2) (A,P3) +
- + -
Iterasi II V1=10
P1 U1= 0 U2= 5 U3= 0
0
A
50
B
-5
C
10
Kondisi Feasibel, belum Optimal
50
V2= 0
P2 10
15 15
15
125
5
25
10
10
V3=5
V4= 15
P3
P4
50
25 25
125
5 10 5
100
20
5 -15
50 50
100
5
150
15
75
Total Biaya 2500
325
Loop : (B,P4) (C,P4) (C,P3) (B,P3) (B,P4) +
- + -
Iterasi III V1=10
P1 U1= 0
A
50
U2= -10
B
15
C
15
U3= 0
Kondisi Feasibel, belum Optimal
50
V2= 15
P2 10 15 25
0
15
125
5 10
-5
V3=5
V4= 15
P3
P4
5 20
100
50 15
50
125
5 10 5
100
25 25 50
5
150
15
75
Total Biaya 2250
325
Loop : (C,P2) (B,P2) (B,P4) (C,P4) (C,P2) +
- + -
Iterasi IV V1=10
V2= 10
P1 U1= 0
A
50
U2= -5
B
10
C
15
U3= 0
50
P2 10 15 25
15
5
100 25 125
5 10
V3=5
V4= 15
P3
P4
50 10
50
5 10 5
100
20
5
50 0
100
5
150
15
75
50
Kondisi Feasibel dan Optimal
325
Total Biaya 2000
