Transformace jistých křivek a ploch v kruhové inverzi

ˇ ´ ODBORN A´ CINNOST ˇ S T REDO Sˇ KOLSK A

Transformace jistých kˇrivek a ploch v kruhové inverzi

Emil Skˇr´ısˇovský

ˇ ESK E´ B UD EJOVICE ˇ C 2012

ˇ ´ ODBORN A´ CINNOST ˇ S T REDO Sˇ KOLSK A ˇ Matematika a statistika (1) Obor SOC:

Transformace jistých kˇrivek a ploch v kruhové inverzi Transformation of certain curves and surfaces in the inversion transformation

Autor:

Emil Skˇr´ısˇovský

ˇ Skola:

ˇ a a olymp. nadˇej´ı, Cesk´ ˇ e Budˇejovice Gymnázium Cesk´

Konzultant:

Mgr. Ivan Bartoˇs, PhD.

ˇ Cesk´ e Budˇejovice, 2012

Prohl´ aˇ sen´ı. Prohlaˇsuji, ˇze jsem svou práci vypracoval samostatnˇe, pouˇzil jsem pouze podklady (literaturu, SW) uvedené v pˇriloˇzeném seznamu a postup pˇri zpracován´ı a dalˇs´ım nakládán´ı s prac´ı je v souladu se zákonem ˇc. 121/2000 Sb., o právu autorském, o právech souvisej´ıc´ıch s právem autorským a o zmˇenˇe nˇekterých zákon˚ u (autorský zákon) v platném znˇen´ı.

ˇ ych Budˇejovic´ıch, 23. dubna 2012 V Cesk´ Emil Skˇr´ıˇsovsk´ y

Podˇ ekov´ an´ı. Dˇekuji Ivanu Bartoˇsovi, kter´ y mi nejen ukázal smˇer, kter´ ym by se mˇela práce ub´ırat, ale i vˇenoval sv˚ uj voln´ y ˇcas a poskytl mi mnoho cenn´ ych rad v pr˚ ubˇehu psan´ı práce.

Abstrakt Práce podává ucelené poznatky o kruhové inverzi a následnˇe je zobecˇ nuje do trojrozmˇerného eukleidovského prostoru. V prvn´ı ˇcásti práce je ˇctenáˇr uveden do problematiky soustav souˇradnic a jejich transformac´ı. Náhled na inverzi je ryze analytick´ y, ve vlastn´ım jádru práce jsou pak poznatky o inverzi aplikovány, kdy transformac´ı kuˇzeloseˇcek ˇ aˇr z´ıská a kvadrik z´ıskáme algebraické kˇrivky a plochy vyˇsˇs´ıch ˇra´d˚ u. Cten´ pohled na kˇrivky z hlediska jejich transformac´ı. Kl´ıˇ cov´ a slova: soustava souˇradnic, transformace, kruhová inverze, inverze v prostoru, analytick´ y pˇr´ıstup, inverze kuˇzeloseˇcek a kvadrik, algebraické kˇrivky a plochy

Abstract The main objective of this paper is to summarize knowledge of inversion transformation and generalize it into three-dimensional Euclidean space. In the first part of the paper the reader is introduced to the theme of coordinate systems and the needs of transforming them. In the main part of the paper (Chapter 3 and 4), the theme is shown of the application of inversion transformation by inverting conics and quadrics to obtain other algebraic curves and surfaces of higher degree. Our approach to inversion transformation is purely analytical. Keywords: coordinate systems, transformation, inversion transformation, inversion in 3D, analytical approach, inverting conic sections and quadrics, algebraic curves and surfaces

Obsah ´ Uvod

7

1 Soustava souˇ radnic

8

1.1

Kartézská soustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Transformace souˇ radnic

9 10

2.1

Afinn´ı transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2

Matice transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Kruhov´ a inverze

19

3.1

Rovnice transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2

Obrazy geometrick´ ych u ´tvar˚ u v inverzi . . . . . . . . . . . . . 24

3.3

Obrazy kuˇzeloseˇcek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Inverze v prostoru E 3

36

4.1

K rovnic´ım kulové inverze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2

Obrazy kruhov´ ych ploch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.3

Kvadriky, jejich transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.4

Stereografická projekce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.5

Inverze ve vyˇsˇs´ı dimenzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Z´ avˇ er

58

Pˇ rehled pouˇ zit´ eho znaˇ cen´ı a symbol˚ u N

obor pˇrirozen´ ych ˇc´ısel, mnoˇzina pˇrirozen´ ych ˇc´ısel

R

obor reáln´ ych ˇc´ısel, mnoˇzina reáln´ ych ˇc´ısel

∈

prvek mnoˇziny

∀

univerzáln´ı kvantifikátor

EN

Eukleid˚ uv prostor rozmˇeru N

MN

Möbi˚ uv prostor rozmˇeru N

X

vzor (v grafu ˇcernˇe)

X

0

obraz bodu v daném zobrazen´ı (v grafu ˇcervenˇe)

[x, y]

souˇradnice bodu

|XY | −→ SX

vzdálenost bod˚ uXaY

u −→ SX

vektor

∠AV B, |∠AV B|

u ´hel, jeho velikost

I(S, k) P

inverze se stˇredem S a koeficientem k

polopˇr´ımka SX vektor s poˇca´teˇcn´ım bodem S a koncov´ ym X

souˇcet ˇrady

´ Uvod Dneˇsn´ı podoba matematiky se z pˇreváˇzné ˇca´sti zakládá na pˇr´ımkách, kruˇznic´ıch, kˇrivkách a funkc´ıch a pˇresném popisu jejich vlastnost´ı. Náhled matematik˚ u na tyto objekty se v pr˚ ubˇehu let v´ yraznˇe mˇenil. ˇ Ve starovˇekém Recku byla matematika z velké ˇca´sti orientovaná na geometrii – studii tvar˚ u a tˇeles. Na rozvoj matematick´ ych operac´ı v´ yraznˇe p˚ usobily praktické podnˇety. Eukleides vydává Základy, v nichˇz definuje své postuláty – axiomatická v´ ystavba geometrie, která urˇcuje hlavn´ı evropské geometrické myˇslen´ı po dalˇs´ıch 2000 let. Zlom nastává v 16. stolet´ı, kdy otázky mechaniky a pohybu nut´ı matematiky nahl´ıˇzet na geometrii z jiného pohledu. Nakonec René Descartes ukazuje metodu, pomoc´ı n´ıˇz popisuje analyticky dráhu pohybu bodu. Jeho analytická geometrie odpov´ıdá na otázky fyziky, k jejichˇz ˇreˇsen´ı pˇrisp´ıvá pozdˇeji také vznik matematické anal´ yzy (kalkulu). Kruhovou inverzi poprvé pˇredstavil Apollonius v tˇret´ım stolet´ı pˇr.n.l. V práci na n´ı budeme nahl´ıˇzet z analytického pohledu a pˇredvedeme jej´ı ˇ aˇri moˇzné a ménˇe známé aplikace v oblasti transformac´ı kˇrivek a ploch. Cten´ se tak skrze transformace poodhal´ı zaj´ımavé vztahy mezi jednotliv´ ymi kˇrivkami a plochami. Poznamenejme, ˇze oproti bˇeˇzné literatuˇre, kde je inverze zmiˇ nována jen ve spojitosti se zobrazován´ım kruˇznic, tak zde nám pojet´ı inverze jako ryze analytické transformace umoˇzn´ı zobecnit inverzi do trojrozmˇerného Eukleidovského prostoru.

ˇ 1 SOUSTAVA SOURADNIC

1

8

Soustava souˇ radnic

Analytické nahl´ıˇzen´ı na geometrické objekty pomoc´ı metody souˇradnic umoˇznilo zavést geometrické objekty jako mnoˇziny bod˚ u v rovinˇe, jejichˇz souˇradnice vyhovuj´ı dané rovnici. Takto m˚ uˇzeme pˇrevádˇet geometrické problémy na algebraické, jejichˇz ˇreˇsen´ı vede na soustavy rovnic a nerovnic (nejˇcastˇeji lineárn´ıch a kvadratick´ ych) a v´ ysledek opˇet geometricky interpretovat. Abychom v˚ ubec mohli problémy geometrie na analytické pˇrevést, mus´ıme si zavést právˇe soustavu souˇradnic. Definice 1.1: Prostorem budeme naz´ yvat mnoˇzinu vˇsech uspoˇrádan´ ych ˇ ıslo n, n ∈ N vyjadˇruje rozmˇernost daného n-tic ˇc´ısel [x1 , x2 , x3 , . . . , xn ]. C´ prostoru. Právˇe jedné takové uspoˇra´dané n-tici ˇc´ısel ˇr´ıkáme bod prostoru.

Naˇse geometrické chápán´ı budujeme v Eukleidovsk´ ych prostorech, v kter´ ych plat´ı pˇet Eukleidov´ ych axiom˚ u [1]. M˚ uˇzeme tvrdit, ˇze Eukleidovsk´ y prostor je kartézskou mocninou nad tˇelesem reáln´ ych ˇc´ısel: Rn a je prostorem, kde je definována metrika. Eukleidovsk´ y prostor E 2 nazveme rovinou a uvaˇzujeme jej jako mnoˇzinu vˇsech uspoˇra´dan´ ych dvojic ˇc´ısel [x, y]. Prostor nazveme metrick´ ym (s metrikou), m˚ uˇzeme-li v nˇem formálnˇe definovat pojem vzdálenosti. Nejuˇz´ıvanˇejˇs´ı a nejpˇrirozenˇejˇs´ı metrikou definovanou na eukleidovském prostoru je bˇeˇzná eukleidovsk´ a metrika. Tuto metriku definujeme jako délku u ´seˇcky mezi obˇema body a vyjádˇr´ıme t´ımto vztahem:1 |XY | = 1

q

(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + . . . + (xn − yn )2

Vzd´ alenost bod˚ u X [x1 , x2 , . . . , xn ] a Y [y1 , y2 , . . . , yn ] podle Pythagorovy vˇety. Pojem

metriky v´ıce rozeb´ır´ a Jarn´ık v [6].

ˇ 1 SOUSTAVA SOURADNIC

9

Definice 1.2: Soustava souˇ radnic je soustava základn´ıch geometrick´ ych objekt˚ u, pomoc´ı nichˇz a jejich vlastnost´ı se dá jednoznaˇcnˇe urˇcit poloha vˇsech bod˚ u popisovaného prostoru v právˇe zvolené soustavˇe souˇradnic. Polohu bodu v dané soustavˇe zapisujeme pomoc´ı souˇradnic (koordinát), dané n-tice ˇc´ısel (násobk˚ u nebo d´ıl˚ u základn´ı jednotky). Ta pˇr´ımo odráˇz´ı danou polohu v˚ uˇci základn´ım objekt˚ um soustavy.

1.1

Kart´ ezsk´ a soustava

V bˇeˇzném poˇc´ıtán´ı i v ˇzivotˇe nejˇcastˇeji pouˇz´ıváme Kart´ ezskou soustavou souˇ radnic (KSS) – soustavu, jej´ıˇz osy jsou na sebe kolmé, prot´ınaj´ı se v jediném bodˇe – poˇca´tku soustavy a na vˇsech osách jsou jednotky stejné délky. Poˇcátek soustavy souˇradnic oznaˇc´ıme O a pˇriˇrazujeme mu na vˇsech osách hodnotu 0. Podle rozmˇernosti prostoru v kterém pracujeme, zavád´ıme

obr. 1 – kartézská soustava v E 2 a E 3 (pˇrevzato z [18])

pˇr´ısluˇsn´ y poˇcet os. Tu ˇcást osy, jej´ıˇz souˇradnice odpov´ıdaj´ı hodnotám x > 0 (resp. x < 0) naz´ yváme kladn´ a (resp. z´ aporn´ a) poloosa.

ˇ 2 TRANSFORMACE SOURADNIC

2

10

Transformace souˇ radnic

KSS nen´ı jedinou soustavou, která se pro popis objekt˚ u v dneˇsn´ı dobˇe pouˇz´ıvá. Mimo n´ı máme dalˇs´ı odliˇsné soustavy souˇradnic. Z hlediska matematiky je velmi d˚ uleˇzité pochopit, jaké jsou mezi nimi vztahy, co maj´ı spoleˇcné a co rozd´ılné. Tˇemto vztah˚ um ˇr´ıkáme transformaˇcn´ı rovnice. Nˇekteré transformaˇcn´ı rovnice je lehké odvodit, s transformacemi se setkáváme jiˇz od brzk´ ych ˇskoln´ıch let (napˇr´ıklad, kdy dokreslujeme druhou polovinu obrazce podle osy soumˇernosti). Definice 2.1: Transformace souˇradnic je pˇrechod od jednoho systému souˇradnic k jinému k popsán´ı daného prostoru.

S pojmem transformace souˇradnic2 se pˇrekr´ yvá pojem geometrické zobrazen´ı. Geometrické zobrazen´ı je pˇredpis, kter´ y vˇsem bod˚ um daného prostoru jednoznaˇcnˇe pˇriˇrazuje právˇe jeden bod téhoˇz prostoru. Je-li u ´tvar urˇcen souˇradnicemi bod˚ u, z nichˇz je tvoˇren, pak m˚ uˇzeme tvrdit, ˇze transformace daného u ´tvaru je zmˇena souˇradnic vˇsech tˇechto bod˚ u.

2.1

Afinn´ı transformace

Afinn´ı transformace jsou základn´ımi druhy transformac´ı. Mezi afinn´ı transformace se ˇrad´ı takové transformace, které zachovávaj´ı pˇr´ımky pˇr´ımkami. Afinn´ı transformace maj´ı ˇsiroké vyuˇzit´ı – modeluj´ı pˇreváˇznˇe mnoˇzstv´ı jev˚ u reálného svˇeta. Jejich aplikace prol´ıná oblasti jako je poˇc´ıtaˇcová grafika, v´ ypoˇcetn´ı technika ale i kryptografie. V matematice patˇr´ı k zobrazen´ım, s kter´ ymi se dá relativnˇe snadno manipulovat - snadno se vyjadˇruj´ı pomoc´ı 2

Pro u ´ˇcely této pr´ ace budeme pod pojmem transformace rozumˇet jednak transformace

souˇradnic, ale i geometrické zobrazen´ı


11

charakteristick´ ych transformaˇcn´ıch matic. Uˇzˇs´ı skupinou afinn´ıch transformac´ı jsou lineárn´ı transformace. Z hlediska transformac´ı souˇradnic, afinn´ı transformac´ı kartézské soustavy je vyjma zkosen´ı vˇzdy KSS. 2.1.1

Soumˇ ernosti

S prvn´ımi transformacemi, s kter´ ymi se ˇclovˇek v ˇzivotˇe setkává, aniˇz by o nich mˇel povˇedom´ı, jsou stˇredová a osová soumˇernost. Kaˇzd´ y jistˇe kdysi dokresloval k obrazu jeho druhou polovinu nebo hledal osy soumˇernosti tvar˚ ua objekt˚ u. Rozeberme si tato geometrická zobrazen´ı z matematického pohledu. Definice 2.2: Je-li dán bod S, pak stˇ redov´ a soumˇ ernost se stˇredem S je shodné zobrazen´ı, které vˇsem bod˚ um X roviny pˇriˇrazuje bod X 0 , tak ˇze bod S je stˇredem u ´seˇcky XX 0 . (obr. 2)

obr. 2 – obraz kruˇznice v stˇredové soumˇernosti

Zamˇeˇrme se na rovnice transformace: je-li S [xs , ys ] stˇredem u ´seˇcky XX 0 ,


12

pak mus´ı platit:3 X + X0 2 0 x = 2xs − x, S=

⇒

X 0 = 2S − X

y 0 = 2ys − y

(2.1)

Popsali jsme stˇredovou soumˇernost jako shodné zobrazen´ı – takové zobrazen´ı, které zachovává délky u ´seˇcek. Definice 2.3: Necht’ je dána pˇr´ımka o, pak osov´ a soumˇ ernost podle osy o je zobrazen´ı, které kaˇzdému bodu roviny X pˇriˇrad´ı bod X 0 tak, ˇze stˇred u ´seˇcky XX 0 leˇz´ı na o a zároveˇ n je XX 0 na o kolmá (obr. 3)

obr. 3 – obraz kruˇznice v osové soumˇernosti

Z definice plyne, ˇze mnoˇzinou vˇsech samodruˇzn´ ych bod˚ u je osa soumˇernosti. K odvozen´ı rovnic transformace uvaˇzujme jako osu soumˇernosti pˇr´ımku p: ax+ by + c = 0 a zobrazovan´ y bod X [x1 , y1 ]. Pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky kolmé na osu o, procházej´ıc´ı X oznaˇcme P . Z definice vypl´ yvá, ˇze bod X 0 z´ıskáme jako obraz bodu X ve stˇredové soumˇernosti podle P . 3

Symbolick´ a rovnice pro stˇred u ´seˇcky: S =

X+Y 2


13

Normálov´ y vektor k pˇr´ımce p je n (a, b). Z podm´ınky, aby X leˇzel na pˇr´ımce n (kolmé k o), z´ıskáme jej´ı obecnou rovnici: bx −hay + (ay1 − bx1 ) = 0.

P je pak dán jako pr˚ useˇc´ık n a o, má tedy souˇradnice: P − −b

2x

1 +aby1 +ac a2 +b2

2y

, − −a

Pak pro X podle (2.1) plat´ı: X 0 = 2P − X (a2 − b2 ) x + 2a (by + c) (b2 − a2 ) y + 2b (ax + c) 0 x =− , y =− a2 + b 2 a2 + b 2 0

(2.2)

Speciálnˇe pro osovou soumˇernost podle osy y dostaneme: x0 = −x, y 0 = y a pro soumˇernost podle osy x rovnice (2.2) pˇrejdou na tvar: x0 = x, y 0 = −y. 2.1.2

Posunut´ı

ˇ aˇr jistˇe v´ı, ˇze jako vektor v geometrii oznaˇcujeme orientovanou u Cten´ ´seˇcku – u ´seˇcku s poˇcáteˇcn´ım a koncov´ ym bodem. Na základˇe tohoto poznatku zavedeme posunut´ı roviny:4 −−→ Definice 2.4: Posunut´ı je zobrazen´ı dané vektorem AB, které vˇsem −−→ −−→ bod˚ um roviny X pˇriˇrazuje bod X 0 , pˇriˇcemˇz plat´ı: AB = XX0 . (obr. 4)

Odvodit si rovnice transformace by nemˇelo b´ yt tˇeˇzké: Posunut´ı o vektor u = (a, b) zobraz´ı X na X 0 podle definice 2.4: X 0 = X + u, neboli: x0 = x + a,

y0 = y + b

(2.3)

Vid´ıme, ˇze posunut´ı nemá ˇza´dné samodruˇzné body, pokud nen´ı vektor posunut´ı nulov´ y. 4

Dva vektory povaˇzujeme za sobˇe rovny, pokud maj´ı shodn´ y smˇer, orientaci a velikost.

1 +abx1 +bc a2 +b2

i .


14

obr. 4 – obraz kruˇznice v posunut´ı

2.1.3

Rotace

Rotace (otoˇcen´ı) je transformace, kdy kaˇzd´ y bod roviny opisuje kruˇznici kolem daného stˇredu. Definice 2.5: Je-li dán u ´hel o velikosti ϕ, rotac´ı kolem stˇredu S o dan´ y u ´hel zobraz´ıme bod X na X 0 , pro kter´ y plat´ı: |SX| = |SX 0 | ∧ |∠XSX 0 | = ϕ Je-li ϕ > 0, otáˇc´ıme proti smˇeru chodu hodinov´ ych ruˇciˇcek – v kladném smyslu otáˇcen´ı, pro ϕ < 0, otáˇc´ıme po smˇeru chodu hodinov´ ych ruˇciˇcek – v záporném smyslu. (obr. 5)

Jak je ukázáno v [2], pro rotaci okolo poˇca´tku soustavy souˇradnic o u ´hel ϕ plat´ı: x0 = x cos ϕ − y sin ϕ,

y 0 = x sin ϕ + y cos ϕ

(2.4)


15

obr. 5 – obraz kruˇznice v rotaci

2.1.4

Dilatace

Stejnolehlost jako transformace je speciáln´ım pˇr´ıpadem skupiny afinn´ıch transformac´ı zvan´ ych dilatace. Dilatace upravuje délkové jednotky na osách: x0 = ax,

y 0 = by

(2.5)

Pro a = b jde právˇe o stejnolehlost s koeficientem κ = a. V ostatn´ıch pˇr´ıpadech jde o transformaci, která zobrazuje kruˇznici na elipsu a ˇctverec na obecn´ y pravo´ uheln´ık. 2.1.5

Zkosen´ı

Za afinn´ı transformaci m˚ uˇzeme povaˇzovat i zkosen´ı kartézské soustavy souˇradnic. Pˇri této trasformaci mˇen´ıme velikost u ´hlu mezi osou x a y (viz obr. 6). Tato transformace se ˇr´ıd´ı tˇemito rovnicemi5 : x0 = x + y cos α, 5´

Upravou pomoc´ı goniometrick´ ych vztah˚ u.

y 0 = y sin α

(2.6)


16

obr. 6 – zkosen´ı - zmenˇsen´ı u ´hlu mezi osami

2.2

Matice transformace

Poˇc´ıtán´ı a práce s afinn´ımi transformacemi se dá velmi usnadnit pouˇzit´ım transformaˇcn´ıch matic. Transformaˇcn´ı matice jsou souhrné rovnice transformace vyjádˇrené maticov´ ym zápisem. Pro afinn´ı transformace se dá takovéto maticové vyjádˇren´ı vytvoˇrit. Jak se dá ukázat, v´ ysledná matice zobrazen´ı sloˇzeného je dána maticov´ ym souˇcinem odpov´ıdaj´ıc´ıch matic a inverzn´ı zobrazen´ı k dané transformaci vyjadˇruje inverzn´ı matice. Definice 2.6: Vˇsechny afinn´ı transformace v rovinˇe, které zobrazuj´ı bod X [x, y] na bod X 0 [x0 , y 0 ] m˚ uˇzeme udat ve tvaru: x 0 = a1 x + b 1 y + c 1 y 0 = a2 x + b 2 y + c 2 ,

(2.7)

kde a1 b2 − a2 b1 6= 0.

Je-li dána afinn´ı transformace rovnicemi (2.7), pak transformaˇcn´ı matice


17

tohoto afinn´ıho zobrazen´ı je ve tvaru6 :    x0 a1 b1    y 0  = a2 b2    1 0 0

  c1 x     c2   y   1 1

Rovnice pˇredchoz´ıch transformac´ı uprav´ıme pomoc´ı tohoto maticového zápisu: • Stˇ redov´ a soumˇ ernost Stˇredová soumˇernost daná stˇredem soumˇernosti S [xs , ys ] (viz rovnice 2.1):      x0 −1 0 2xs x      y 0  =  0   −1 2ys      y  1 1 0 0 1 • Osov´ a soumˇ ernost Osová soumˇernost daná osou soumˇernosti ax + by + c = 0 (podle rovnic 2.2):    2 2 − a2 −b2 x0    a +b y 0  = − 22ab 2    a +b 1 0

− a22ab +b2 b2 −a2 − a2 +b2 0

 

− a22ac x +b2    2bc    − a2 +b2  y  1

• Posunut´ı Posunut´ı dané vektorem u (a, b) (podle    1 0 x0    y 0  = 0 1    0 0 1

rovnic 2.3):   x a     b  y  1 1

• Rotace Rotace kolem poˇca´tku o u ´hel ϕ (podle rovnic 2.4):      x0 cos ϕ − sin ϕ 0 x      y 0  =  sin ϕ  y  cos ϕ 0      1 0 0 1 1 6ˇ

Cten´ aˇr se o tom m˚ uˇze pˇresvˇedˇcit roznásoben´ım

1

ˇ 2 TRANSFORMACE SOURADNIC • Dilatace Zmˇena mˇeˇr´ıtek osy x a osy y (z rovnic 2.5):      x0 a 0 0 x       y 0  = 0  y  b 0      1 0 0 1 1 • Zkosen´ı Zkosen´ı soustavy souˇradnic dané u ´hlem α (podle rovnic 2.6):      0 1 cos α 0 x x        y 0  = 0 sin α 0     y  1 0 0 1 1

18

´ INVERZE 3 KRUHOVA

19

Farm´ aˇr potˇreboval ohradit co nejvˇetˇs´ı plochu pastviny co nejkratˇs´ım plotem. Zavolal si na pomoc inˇzenýra, fyzika a matematika. Inˇzenýr postavil kruhovou ohradu a prohl´ asil, ˇze to je nej´ uspornˇejˇs´ı zp˚ usob. Fyzik postavil dlouhou, pˇr´ımou zed’ a prohl´ asil, ˇze m˚ uˇzeme pˇredpokl´ adat, ˇze je nekoneˇcnˇe dlouh´ a. Matematik postavil malinkou ohr´ adku kolem sebe se slovy: ”J´ a jsem venku a co je za plotem, je uvnitˇr ohrady”.[17]

3

Kruhov´ a inverze

Jedn´ım ménˇe pouˇz´ıvan´ ym, ale pˇresto velmi zaj´ımav´ ym pˇr´ıpadem rovinné transformace je kruhová inverze. Oproti ostatn´ım zm´ınˇen´ ym transformac´ım nepatˇr´ı toto zobrazen´ı mezi afinn´ı. Pokud je kruhová inverze v knihách o geometrii zm´ınˇena, je pˇreváˇznˇe vyuˇzita pouze ke konstrukˇcn´ım u ´lohám – právˇe na jej´ım elegantn´ım uˇzit´ı stoj´ı ˇreˇsen´ı nˇekter´ ych z Apolloniov´ ych u ´loh o kruˇznic´ıch. Definice 3.1: Kruhová inverze je transformace jednoznaˇcnˇe urˇcená stˇredem inverze S a koeficientem inverze k (k > 0). Pˇri n´ı se kaˇzd´ y bod X roviny (mimo stˇredu S) zobraz´ı na bod X’ tak, ˇze X’ leˇz´ı na polopˇr´ımce −→ SX a zároveˇ n plat´ı: |SX| · |SX 0 | = k Stˇredu inverze S pˇriˇrazujeme bod M – nevlastn´ı bod roviny.

3.0.1

Rozˇ s´ıˇ ren´ı roviny

Pozornému ˇctenáˇri jistˇe neunikne, ˇze obraz stˇredu inverze S podle definice nem˚ uˇzeme jednoduˇse sestrojit. Stˇredu inverze mus´ıme jako obraz pˇriˇradit novˇe zaveden´ y bod – nevlastn´ı bod roviny M , kter´ y vyhovuje definici (zároveˇ n leˇz´ı na vˇsech pˇr´ımkách jdouc´ıch stˇredem inverze). Takto rozˇs´ıˇrenou rovinu


20

obr. 7 – k definici inverze

budeme naz´ yvat Möbiovou rovinou. Kruhová inverze je tedy transformace, která zobrazuje jednoznaˇcnˇe vˇsechny body roviny na Möbiovu rovinu. 3.0.2

Samodruˇ zn´ e body

Vyˇsetˇreme nyn´ı mnoˇzinu vˇsech samodruˇzn´ ych bod˚ u (X = X 0 ). Pro nˇe m˚ uˇzeme √ 2 psát: |SX| = k, tedy |SX| = k. Mnoˇzinou vˇsech bod˚ u, které maj´ı od bodu konstantn´ı vzdálenost je kruˇznice – samodruˇzn´ ymi body jsou body kruˇznice √ se stˇredem S a polomˇerem k. Podle této vlastnosti z´ıskala tato transformace své jméno – kruhová. Pro zjednoduˇsen´ı dalˇs´ıch v´ ypoˇct˚ u poloˇz´ıme k = r2 . Jak snadno nahlédneme, plat´ı: |SX| > r

|SX 0 | < r

Vˇsechny body roviny z vnˇejˇs´ı oblasti kruˇznice se zobraz´ı do jej´ı vnitˇrn´ı oblasti

|SX| < r

|SX 0 | > r

Vˇsechny body vnitˇrn´ı oblasti kruˇznice se zobraz´ı do vnˇejˇs´ı oblasti

|SX| = r

|SX 0 | = r

Vˇeta o samodruˇzn´ ych bodech

´ INVERZE 3 KRUHOVA 3.0.3

21

Sestrojen´ı obrazu

Mˇejme dán stˇred inverze S, polomˇer inverze k a bod X, kter´ y chceme zobp ´ cce o velikosti r, r = |SX| · |SX 0 | ˇr´ıkáme stˇredn´ı geometrazovat. Useˇ rická u ´mˇerná a sestroj´ıme j´ı pomoc´ı Eukleidovy vˇety o odvˇesnˇe (obr. 8). Pak bereme SX jako pˇreponu (resp. ˇca´st pˇrepony pro |SX| < r) pravo´ uhlého troj´ uheln´ıka. Sestroj´ıme teˇcny ke kruˇ znici inverze k, k(S, r) z bodu X a pata kolmice na SX procházej´ıc´ı bodem dotyku teˇcny je obrazem bodu X v inverzi. Postup pˇrevrát´ıme, pokud |SX| < r.

obr. 8 – sestrojen´ı obrazu v inverzi

Definice 3.2: Pokud budeme zapisovat kruhovou inverzi, znaˇcen´ı bude následuj´ıc´ı: I(S, k) : X → X 0 – inverze podle stˇredu S s koeficientem k. Je-li udána pouze kruˇznice inverze k 0 tak následovnˇe: I(k 0 ) : X → X 0


3.1

22

Rovnice transformace

ˇ aˇr jistˇe pochopil, ˇze Descartova analytická geometrie se ukázala b´ Cten´ yt velmi mocn´ ym, ale pˇresto relativnˇe jednoduch´ ym zp˚ usobem, jak ˇreˇsit geometrické u ´lohy. Nejenˇze odpadá jakákoliv nutnost geometrické konstrukce, ale i sloˇzité a zdlouhavé hledán´ı vztah˚ u mezi objekty je nahrazeno ˇreˇsen´ım jednoduch´ ych rovnic. Necht’ je dána inverze pˇredpisem: I(S, k) : X [x, y] → X 0 [x0 , y 0 ]. Uvaˇzujme, ˇze stˇred kruˇznice inverze má souˇradnice S [sx , sy ]. Z kolinearity vektor˚ u vyjádˇr´ıme, −−→0 −→ ˇze SX je násobkem vektoru SX: (x0 − xs ) = a (x − xs )

(3.1a)

(y 0 − ys ) = a (y − ys ) , a ∈ R

(3.1b)

Zároveˇ n z definice plat´ı |SX| · |SX 0 | = k = r2 :

q (x0 − xs )2 + (y 0 − ys )2 · (x − xs )2 + (y − ys )2 = k = r2 q a2 (x − xs )2 + a2 (y − ys )2 · (x − xs )2 + (y − ys )2 = r2 a (x − xs )2 + (y − ys )2 = r2 a=

r2 (x − xs )2 + (y − ys )2

A dosazen´ım do rovnic (3.1a) a (3.1b) z´ıskáme:

x0 = xs +

r2 (x − xs ) r2 (y − ys ) 0 , y = y + s (x − xs )2 + (y − ys )2 (x − xs )2 + (y − ys )2

Tedy bod X’ má souˇradnice: r2 (x − xs ) r2 (y − ys ) 0 X xs + , ys + (x − xs )2 + (y − ys )2 (x − xs )2 + (y − ys )2

(3.2)

(3.3)


23

Vˇ eta 3.1 (Involutornost): Kruhová inverze je involutorn´ı zobrazen´ı – tzn. ˇze obraz bodu v inverzi se zobraz´ı v téˇze inverzi opˇet na p˚ uvodn´ı vzor. D˚ ukaz. Necht’ se X zobraz´ı na X 0 . Pak plat´ı |SX 0 | =

r2 . |SX|

V inverzi se −−→ stejn´ ym stˇredem a koeficientem se X 0 zobraz´ı na X 00 . X 00 leˇz´ı na SX 0 a tedy −→ i na SX. Dále pro druhé zobrazen´ı plat´ı: |SX 00 | =

r2 r2 = = |SX| r2 |SX 0 | |SX|

D˚ usledek: Kruhová inverze je involutorn´ı zobrazen´ı, podle (3.3) plat´ı tedy (zámˇenou souˇradnic vzoru a obrazu): r2 (x0 − xs ) r2 (y 0 − ys ) X xs + , ys + (x0 − xs )2 + (y 0 − ys )2 (x0 − xs )2 + (y 0 − ys )2 3.1.1

(3.4)

Pol´ arn´ı vyj´ adˇ ren´ı

Mnohdy nen´ı kˇrivka vyjádˇrena pomoc´ı pravo´ uhl´ ych souˇradnic, ale je v´ yhodnˇejˇs´ı j´ı zapsat v polárn´ıch souˇradnic´ıch. Bod v rovinˇe je pomoc´ı polárn´ıch souˇradnic dán vzdálenost´ı od poˇca´tku (%) a u ´hlem v˚ uˇci polárn´ı ose (t). Uvaˇzujme tedy inverzi v pˇridruˇzené polárn´ı soustavˇe souˇradné podle poˇca´tku, kde I(S, k) : X → X 0 (obr. 9). Souˇradnice bod˚ u tedy zapiˇsme ve tvaru: X [%x , tx ], souˇradnice X 0 : X 0 [%0x , t0x ]. Pak plat´ı: %x · %0x = k = r2 =⇒ %0x = t0x = tx

r2 %x


24

obr. 9 – k polárn´ı soustavˇe

3.2

Obrazy geometrick´ ych u ´ tvar˚ u v inverzi

Aplikován´ım transformaˇcn´ıch rovnic m˚ uˇzeme pozorovat, jak se mˇen´ı jednotlivé kˇrivky pˇri zobrazen´ı kruhovou inverz´ı. Budeme uvaˇzovat stˇred inverze je v poˇca´tku KSS. Pak transformaˇcn´ı rovnice (3.2) pˇrecház´ı na tvar: r 2 x0 , x02 + y 02 r2 x x0 = 2 , x + y2

x=

3.2.1

r2 y 0 x02 + y 02 r2 y y0 = 2 x + y2 y=

(3.5) (3.6)

Obraz pˇ r´ımky

Obecná rovnice pˇr´ımky je ve tvaru ax + by + c = 0. Obrazem pˇr´ımky v inverzi podle poˇcátku soustavy souˇradnic (rovnice 3.5) je zˇrejmˇe mnoˇzina bod˚ u vyhovuj´ıc´ı rovnici: ar2 x0 br2 y 0 + +c=0 x02 + y 02 x02 + y 02 ar2 x0 + br2 y 0 + c x02 + y 02 = 0


25

Rozliˇsme nyn´ı speciáln´ı pˇr´ıpad, kdy c = 0 (Pˇr´ımka procház´ı stˇredem inverze): ar2 x0 + br2 y 0 = 0 ax0 + by 0 = 0 Pro c 6= 0 je obrazem kruˇznice. Snadno7 se ukáˇze, ˇze procház´ı poˇcátkem

obr. 10 – obraz pˇr´ımky, c = 0

soustavy souˇradnic. Pokud pˇr´ımka procház´ı stˇredem inverze, jej´ım obrazem je shodná pˇr´ımka – pˇr´ımka procházej´ıc´ı stˇredem je samodruˇzná.

obr. 11 – obraz pˇr´ımky, c 6= 0 7

napˇr. dosazen´ım souˇradnic bodu do rovnice


26

D˚ usledek: Nevlastn´ım bodem roviny procházej´ı vˇsechny pˇr´ımky D˚ ukaz. Pˇr´ımka se vˇzdy zobraz´ı na rovnici, j´ıˇz vyhovuje stˇred inverze. Ve stejné inverzi se stˇred inverze jistˇe zobraz´ı na zobrazovanou pˇr´ımku. A obrazem stˇredu inverze je nevlastn´ı bod roviny. 3.2.2

Obraz kruˇ znice

Uvaˇzujme kruˇznici danou rovnic´ı (x − a)2 + (y − b)2 = c2 . V kruhové inverzi se zobraz´ı následovnˇe:

r 2 x0 −a x02 + y 02

2

+

r2 y 0 −b x02 + y 02

2

= c2

2

u ´pravou ˇclen˚ u v závorkách, vynásoben´ım (x02 + y 02 ) :

r4

2 2 2 r2 x0 − a x02 + y 02 + r2 y 0 − b x02 + y 02 = c2 x02 + y 02 2 x02 + y 02 − 2r2 x02 + y 02 (ax0 + by 0 ) = c2 − a2 − b2 x02 + y 02 r4 − 2r2 (ax0 + by 0 ) = c2 − a2 − b2 x02 + y 02

Znovu speciáln´ı pˇr´ıpad (kruˇznice procház´ı stˇredem inverze, tj. c2 = a2 + b2 ) oddˇel´ıme, pravá strana rovnice pˇrejde v nulu: r2 = 2 (ax0 + by 0 ) V druhém pˇr´ıpadˇe, kdy c2 6= a2 +b2 a kruˇznice neprocház´ı stˇredem, obrazem je opˇet kruˇznice. Kruˇznice procházej´ıc´ı stˇredem inverze, se zobraz´ı na pˇr´ımku.8 8

Jak ostatnˇe vypl´ yv´ a z vˇety 3.1 a z obrazu pˇr´ımky, která neprocház´ı stˇredem.


27

obr. 12 – obraz obecné kruˇznice

3.2.3

Kruhov´ e kˇ rivky

Pˇr´ımky a kruˇznice budeme souhrnˇe naz´ yvat kruhové kˇrivky. Ukázali jsme, ˇze plat´ı: Vˇ eta 3.2: Obrazem kruhové kˇrivky je vˇzdy kruhová kˇrivka.

Procház´ı-li kruhová kˇrivka stˇredem inverze, zobraz´ı se na pˇr´ımku. Jde-li mimo stˇred inverze, zobrazuje se na kruˇznici.

3.3

Obrazy kuˇ zeloseˇ cek

Kuˇzeloseˇcky jsou kˇrivky, které je moˇzno z´ıskat jako pr˚ unik rotaˇcn´ı kuˇzelové plochy s rovinou. Jejich obecnou rovnic´ı je vˇzdy rovnice 2. ˇrádu s promˇenn´ ymi x a y. Mezi tyto kˇrivky ˇrad´ıme kruˇznici, elipsu, parabolu a hyperbolu. Obrazem obecné kuˇzeloseˇcky v kruhové inverzi je kvartika - tj. kˇrivka


28

obr. 13 – stˇred inverze leˇz´ı na kruˇznici

ˇctvrtého ˇra´du. Obecnou rovnic´ı kuˇzeloseˇcky rozumˇejme rovnici tvaru9 : Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 Pak podle (3.5) tato rovnice pˇrejde do tvaru: 2 r4 Ax02 + Bx0 y 0 + Cy 02 + r2 (Dx0 + Ey 0 ) x02 + y 02 + F x02 + y 02 = 0 3.3.1

Parabola

Parabola je kˇrivka kterou z´ıskáme ˇrezem kuˇzelové plochy neprocházej´ıc´ı jej´ım vrcholem a rovnobˇeˇzn´ ym právˇe s jednou pˇr´ımkou plochy. Je-li osa paraboly rovnobˇeˇzná s osou y, urˇcuje graf kvadratické funkce. Planimetricky je definována podle své vlastnosti: Parabola je mnoˇzina vˇsech bod˚ u v rovinˇe, které maj´ı stejnou vzdálenost od pˇr´ımky (ˇ r´ıd´ıc´ı pˇ r´ımka) a bodu (ohnisko).10 Rovnici paraboly si bez u ´jmy na obecnosti pˇrep´ıˇseme do tvaru: y = ax2 + b 9 10

V´ıce v [10] Viz [13]


29

Transformac´ı j´ı uprav´ıme do tvaru: 2 0 2 r2 y 0 r x =a +b 02 02 02 x +y x + y 02 2 r2 y 0 x02 + y 02 = ar4 x02 + b x02 + y 02 Pokud procház´ı parabola stˇredem inverze (b = 0), m˚ uˇzeme rovnici upravit do tvaru: y 0 x02 + y 02 = ar2 x02 Tato kˇrivka se naz´ yvá Dioklova kissoida a má vrchol v [0, 0] a jej´ı asymptota

obr. 14 – Dioklova kissoida

je pˇr´ımka daná rovnic´ı y = a. Dalˇs´ım zp˚ usobem jak m˚ uˇzeme kissoidu z´ıskat, je zobrazován´ım paraboly v osové soumˇernosti. Pohybujeme- li bodem B po parabole p (viz [12]), jej´ım obrazem v osové soumˇernosti podle teˇcny v bodˇe B je p0 . Mnoˇzina vˇsech vrchol˚ u parabol p0 tvoˇr´ı kissoidu. Nakonec si ukáˇzeme jednu z mnoha zaj´ımav´ ych vlastnost´ı kissoidy: Necht’ je dána kruˇznice vepsaná pásu (obr. 15), dot´ ykaj´ıc´ı se vrcholu B. Zvolme libovoln´ y bod A na asymptotˇe. Pak spojnice AB se prot´ıná s k v bodˇe F , s kissoidou v C. Plat´ı: |AC| = |BF | , |AF | = |BC|.


30

obr. 15 – stejné délky

Obraz paraboly, která neprocház´ı stˇredem inverze rozˇclen´ıme do skupin – podle toho, zda je stˇred inverze ve vnˇejˇs´ı ˇci vnitˇrn´ı oblasti paraboly.

obr. 16 – lakrimoida

Pokud je stˇred ve vnˇejˇs´ı oblasti, obrazem je kˇrivka, jej´ıˇz graf má tvar kapky. Této kˇrivce budeme ˇr´ıkat lakrimoida (lat. lacrima – slza). Lakrimoida je hobecn´ useˇc´ıky s osou y: ia kvartika, soumˇerná podle osy y. Má dva pr˚ 2 [0, 0] , 0, rb . Lakrimoida je omezená kˇrivka, souˇradnicová hodnota y mezn´ıho


31

bodu11 je rovna: 1 + 8 ab +

√

1 + 4 ab + 16 a2 b2 r2 4b (1 + 4 ab)

Lakrimoida má jeden inflexn´ı bod - jeho y-ová souˇradnice je √ 12 ab − 3 + 2 3 ab + 12 a2 b2 r2 a (4 ab − 3) (1 + 4 ab) Je-li stˇred inverze ve vnitˇrn´ı oblasti paraboly, z´ıskáme kˇrivku zvanou kardioida (obr. 17). Kotál´ıme-li kruˇznici k po obvodu kruˇznice l stejného polomˇeru,

obr. 17 – kardioida vzniklá inverz´ı paraboly

pak pevnˇe dan´ y bod A na kruˇznici k opisuje právˇe tuto kˇrivku.[12] 3.3.2

Hyperbola, mocninn´ e funkce

Hyperbolu z´ıskáme jako ˇrez dvojitého kuˇzele rovinou rovnobˇeˇznou s osou kuˇzele. Planimetricky je hyperbola definována jako mnoˇzina vˇsech bod˚ u, 11

Po vyj´ adˇren´ı y z rovnice lakrimoidy a následného poloˇzen´ı prvn´ı derivace podle y

nule. Pro body inflexe poloˇz´ıme rovnu nule druhou derivaci podle y. Vyjádˇreno pomoc´ı programu Maple.


32

které maj´ı od dvou bod˚ u (ohnisek) konstantn´ı rozd´ıl vzdálenost´ı, menˇs´ı neˇz je vzdálenost ohnisek. Pˇr´ıkladem hyperboly je graf mocninné funkce y = xk . Budeme uvaˇzovat pouze hyperbolu ve stˇredové poloze: xy = k r 2 x0 r2 y 0 · =k x02 + y 02 x02 + y 02 2 r4 x0 y 0 = k x02 + y 02 Hyperbola se v kruhové inverzi zobraz´ı na Bernoulliho lemnnisk´ atu – racionáln´ı kˇrivku ˇctvrtého stupnˇe. Bernoulliho lemniskáta je mnoˇzina vˇsech bod˚ u, které maj´ı od dvou dan´ ych bod˚ u E, F (ohnisek) vzdálen´ ych od sebe 2a, konstatn´ı souˇcin vzdálenost´ı, roven a2 .

obr. 18 – Bernoulliho lemniskáta

Bernoulliho lemniskáta je speciáln´ım pˇr´ıpadem Cassiniov´ ych ovál˚ u – stˇred spojnice ohnisek leˇz´ı právˇe na lemniskátˇe. Graf podobn´ y hyperbole maj´ı i mocninné kˇrivky se zápornou mocninou. Pˇrestoˇze tyto kˇrivky nespadaj´ı pod kuˇzeloseˇcky, tak je zde zm´ın´ım. Graf funkce y =

1 x2

prob´ıhá v 1. a 4. kvadrantu. Umocn´ıme dvˇemi, abychom

z´ıskali kˇrivku prob´ıhaj´ıc´ı vˇsemi kvadranty: x4 y 2 = 1.


33

Jej´ı obraz v inverzi má tvar ˇctyˇrl´ıstku (obr. 19).

obr. 19 – obraz mocninné funkce

3.3.3

Elipsa

Narozd´ıl od paraboly a hyperboly je elipsa uzavˇrená kˇrivka. Elipsa vznikne ˇrezem kuˇzele rovinou, která nen´ı kolmá na jeho osu a neprocház´ı jeho vrcholem. Elipsa je mnoˇzinou vˇsech bod˚ u, jeˇz maj´ı od dan´ ych dvou bod˚ u (ohnisek) konstantn´ı souˇcet vzdálenost´ı. Stˇred spojnice ohnisek oznaˇcujeme jako stˇred elipsy. Elipsa se stˇredem S [a, b] s poloosami12 e, f má rovnici 2 2 x−a y−b + =1 e f Aplikujeme-li transformaci:

r 2 x0 x02 +y 02

e2 12

−a

2

+

r2 y0 x02 +y 02

f2

−b

2 =1

Pˇr´ımka proch´ azej´ıc´ı ohnisky prot´ıná elipsu v bodech A, B. Vzdálenost |SA| = e

oznaˇcujeme jako hlavn´ı poloosu. Kolmice ve stˇredu elipsy na AB prot´ıná elipsu v bodech C, D. Vzd´ alenost |SC| = f oznaˇcujeme jako vedlejˇs´ı poloosu


34

Substituce: t = (x02 + y 02 ), následnˇe vynásoben´ı (ef t)2 2 2 f 2 r2 x0 − at + e2 r2 y 0 − bt = (ef t)2 2 2 f 2 r4 x02 − 2r2 x0 at + a2 t2 + e2 r2 y 0 − 2r2 y 0 bt + b2 t2 = (ef t)2 r4 f 2 x02 + e2 y 02 − 2r2 t ax0 f 2 + by 0 e2 = t2 e2 f 2 − f 2 a2 − e2 b2 Zanedbejme pˇr´ıpad, kdy je hlavn´ı poloosa elipsy rovnobˇeˇzná s osou y (a ≥ b). 1. Stˇ red elipsy ve stˇ redu inverze Má-li elipsa stˇred v poˇcátku soustavy souˇradnic, plat´ı a = b = 0. Rovnice pak pˇrecház´ı na tvar: 2 r4 f 2 x02 + e2 y 02 = x02 + y 02 (ef )2 Speciálnˇe pro ef = r2 (elipsa má vnitˇrn´ı dotyk s kruˇznic´ı) dostáváme rovnici Boothovy lemnisk´ aty : 2 f 2 x02 + e2 y 02 = x02 + y 02

obr. 20 – Boothova lemniskáta

Boothova lemniskáta (obr. 20) má dvojici teˇcen rovnobˇeˇzm´ ych s osou y, kaˇzdá se dot´ yká lemniskáty ve dvou bodech.


35

2. Stˇ red inverze leˇ z´ı na elipse Pokud stˇred inverze leˇz´ı na elipse, obrazem bude otevˇrená kˇrivka. Podm´ınka, aby stˇred leˇzel na elipse je: (af )2 + (be)2 = (ef )2 . Rovnice transformované kˇrivky pˇrejde v: r2 f 2 x02 + e2 y 02 = 2 x02 + y 02 ax0 f 2 + by 0 e2

obr. 21 – konchoida (a = −2, b = 0, e = 2, f = −1)

Tato kˇrivka se naz´ yvá konchoida a je obecnou kubikou s izolovan´ ym bodem O a pro a = 0 (resp. b = 0) je jej´ı asymptota je rovnobˇeˇzná s osou x (resp. y)

4 INVERZE V PROSTORU E 3

4

36

Inverze v prostoru E 3

V matematické teorii i aplikac´ıch se nepoˇc´ıtá jen s geometrick´ ymi u ´tvary v rovinˇe. Vedle toho mus´ıme zkoumat zákonitosti a vlastnosti zobecnˇen´ı tˇechto u ´tvar˚ u a dalˇs´ıch tˇeles v prostoru. Ukaˇzme si analogii kruhové inverze v dalˇs´ım nám pˇredstavitelném rozmˇeru: v trojrozmˇerném prostoru, kde hovoˇr´ıme o kulové inverzi. Definice 4.1: Analogi´ı kruhové inverze v prostoru je transformace jednoznaˇcnˇe urˇcená stˇredem inverze S a koeficientem inverze k (k > 0). Pˇri −→ n´ı se kaˇzd´ y bod X prostoru (mimo stˇredu S) zobraz´ı na bod X 0 , X 0 ∈ SX a zároveˇ n plat´ı: |SX| · |SX 0 | = k Obrazem stˇredu inverze S rozumˇejme bod M – nevlastn´ı bod prostoru.

Ze stejn´ ych d˚ uvod˚ u, jako v kapitole 3.0.1, mus´ıme i Eukleid˚ uv prostor 3

E rozˇs´ıˇrit o nevlastn´ı Möbi˚ uv bod. Takto rozˇs´ıˇrenému prostoru budeme analogicky ˇr´ıkat M¨ obi˚ uv prostor M 3 . Nechá se snadno ukázat, ˇze pokud provedeme restrikci sférické inverze na M 3 podle kulové plochy κ na Möbiovu rovinu M 2 procházej´ıc´ı stˇredem inverze, tak dostaneme kruhovou inverzi podle kruˇznice, která vznikne ˇrezem dané roviny a sféry. Kulová inverze patˇr´ı mezi konformn´ı zobrazen´ı.


4.1

37

K rovnic´ım kulov´ e inverze

Necht’ je dána inverze v prostoru I(S, k), která zobraz´ı bod X na X 0 . Budeme postupovat obdobnˇe jako pˇri inverzi v rovinˇe. Je zˇrejmé, ˇze: (x0 − xs ) = a (x − xs )

(4.1a)

(y 0 − ys ) = a (y − ys )

(4.1b)

(z 0 − zs ) = a (z − zs ) , a ∈ R

(4.1c)

Pak z |SX| · |SX 0 | = k vyjádˇr´ıme: q (x0 − xs )2 + (y 0 − ys )2 + (z 0 − zs )2 · (x − xs )2 + (y − ys )2 + (z − zs )2 = k = r2 q a2 (x − xs )2 + a2 (y − ys )2 + a2 (z − zs )2 · (x − xs )2 + (y − ys )2 + (z − zs )2 = r2 a (x − xs )2 + (y − ys )2 + (z − zs )2 = r2 a=

r2 (x − xs )2 + (y − ys )2 + (z − zs )2

Následn´ ym dosazen´ım do rovnic (4.1a), (4.1b) a (4.1c) z´ıskáme: r2 (x − xs ) , (x − xs )2 + (y − ys )2 + (z − zs )2 r2 (y − ys ) y 0 = ys + , (x − xs )2 + (y − ys )2 + (z − zs )2 r2 (z − zs ) z 0 = zs + (x − ys )2 + (y − ys )2 + (z − zs )2

x0 = xs +

(4.2)

Vyjdeme z vˇety o involutornosti a zámˇenou souˇradnic x0 , y 0 , z 0 za x, y z dostaneme transformaˇcn´ı vztahy pro p˚ uvodn´ı vzor. r2 (x0 − xs ) , (x0 − xs )2 + (y 0 − ys )2 + (z 0 − zs )2 r2 (y 0 − ys ) y = ys + , (x0 − xs )2 + (y 0 − ys )2 + (z 0 − zs )2 r2 (z 0 − zs ) z = zs + (x0 − xs )2 + (y 0 − ys )2 + (z 0 − zs )2

x = xs +

(4.3)


4.2

38

Obrazy kruhov´ ych ploch

Kdyˇz jsme si odvodili transformaˇcn´ı rovnice v prostoru, m˚ uˇzeme si ukázat, jak se v kulové inverzi mˇen´ı plochy13 . Bez u ´jmy na obecnosti uvaˇzujme stˇred inverze v poˇca´tku dané soustavy souˇradnic a rovnice (4.3) uprav´ıme do tvaru: x=

r 2 x0 r2 y 0 r2 z 0 , y = , z = x02 + y 02 + z 02 x02 + y 02 + z 02 x02 + y 02 + z 02

(4.4)

Vˇ eta 4.1: Rovinu a kouli budeme souhrnˇe naz´ yvat kruhov´ ymi plochami. Kulová inverze je zobrazen´ı, které zobrazuje kruhovou plochu na jinou kruhovou plochu. Zobrazen´ı, které zobrazuje kruhovou plochu na jinou nazveme kruhov´ ym zobrazen´ım.

4.2.1

Obraz roviny, pˇ r´ımky

Mnoˇzinou vˇsech bod˚ u prostoru vyhovuj´ıc´ı rovnici: ax + by + cz + d = 0 je rovina. a

r2 y 0 r2 z 0 r 2 x0 + b + c +d=0 x02 + y 02 + z 02 x02 + y 02 + z 02 x02 + y 02 + z 02 r2 (ax0 + by 0 + cz 0 ) + d x02 + y 02 + z 02 = 0

Obrazem roviny v inverzi h 2je pak2 pro 2d i= 0 tatáˇz rovina,4 pro d 6= 0 kulová r 2 2 2 plocha se stˇredem v S − r2da , − r2db , − r2dc a polomˇerem 4d 2 (a + b + c ). 13

Plochou rozumˇejme vˇsechny body prostoru E 3 (resp. M 3 ), které vyhovuj´ı rovnici

F (x, y, z) = 0, kde F m´ a ve vˇsech bodech spojitou parciáln´ı derivaci a nen´ı rovna nule. V´ıce viz [8], [9].


39

Vˇ eta 4.2: Spoleˇcné body dvou ploch se v kruhové inverzi zobraz´ı na spoleˇcné body jejich obraz˚ u.

Pˇr´ımka je v prostoru dána jako pr˚ unik dvou rovinn´ ych ploch. Zobraz´ı-li se tyto dvˇe roviny na dvˇe koule (resp. rovinu a kouli), pak obrazem pˇr´ımky je jejich spoleˇcn´ y pr˚ unik - kruˇznice. Pokud obˇe p˚ uvodn´ı roviny procházej´ı stˇredem inverze, jejich obrazem jsou tytéˇz dvˇe roviny a pˇr´ımka je tedy samodruˇzná. 4.2.2

Obraz kulov´ e plochy, kruˇ znice

Kulová plocha je mnoˇzina vˇsech bod˚ u v E 3 , které maj´ı od pevnˇe daného bodu konstantn´ı vzdálenost d. Jej´ı rovnice je: (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = d2 ´ Upravami: 2 2 2 r 2 x0 r2 y 0 r2 z 0 −a + −b + − c = d2 x02 + y 02 + z 02 x02 + y 02 + z 02 x02 + y 02 + z 02 Zavedeme substituci 14 t = x02 + y 02 + z 02 :

r4

2 2 2 r2 x0 − at + r2 y 0 − bt + r2 z 0 − ct = d2 t2 x02 + y 02 + z 02 − 2r2 t (ax0 + by 0 + cz 0 ) + t2 a2 + b2 + c2 = d2 t2 r4 − 2r2 (ax0 + by 0 + cz 0 ) + t a2 + b2 + c2 = d2 t

Procház´ı-li koule stˇredem inverze (d2 = a2 + b2 + c2 ), pak jej´ım obrazem je rovina. Kulová plocha, která stˇredem neprocház´ı se zobraz´ı na jinou kulovou plochu. 14

Substituci t = x02 + y 02 + z 02 budu zavádˇet i pˇri následuj´ıc´ıch u ´pravách. Nadále pokud

nebude ˇreˇceno jinak, vˇzdy t odkazuje na tuto substituci.


40

Uvaˇzujme kruˇznici danou pr˚ unikem kulové plochy a roviny. Pak jej´ım obrazem je bud’ kruˇznice (pokud kruˇznice neprocház´ı stˇredem) a nebo pˇr´ımka (kulová plocha i rovina procházej´ı stˇredem - zobraz´ı se na dvˇe roviny)

4.3

Kvadriky, jejich transformace

V kapitole 3.3 jsme si definovali kuˇzeloseˇcky jako rovinné u ´tvary, které lze z´ıskat pr˚ unikem kuˇzelové plochy a roviny. Kvadriky jsou prostorové plochy, které podle svého vzniku rozdˇelujeme do dvou skupin – rotaˇcn´ı kvadriky, které vznikaj´ı rotac´ı kuˇzeloseˇcek podle sv´ ych os a nerotaˇcn´ı – plochy odvozené. Uvid´ıme, ˇze kvadriky jsou pˇrirozen´ ym zobecnˇen´ım pojmu kuˇzeloseˇcka do vyˇsˇs´ı dimenze. Obecnou rovnic´ı kvadriky rozumˇejme rovnici ve tvaru: Ax2 + By 2 + Cz 2 + 2Dxy + 2Exz + 2F yz + 2Gx + 2Hy + 2Iz + J = 0, kde A, B, C, . . . , I, J jsou reálné koeficienty a alespoˇ n jeden z kvadratick´ ych ˇclen˚ u r˚ uzn´ y od nuly. M. Jukl v [5] rozeznává celkem devˇet základn´ıch druh˚ u kvadrik: elipsoid, jednod´ıln´ y a dvojd´ıln´ y hyperboloid, eliptick´ y a hyperbolick´ y paraboloid, kuˇzelová plocha, eliptická, hyperbolická a parabolická válcová plocha. Ukáˇzeme si obrazy v inverzi nˇekter´ ych z tˇechto ploch. 4.3.1

Elipsoid

Elipsoid je stˇredová kvadrika, která má rovnici (stˇred elipsoidu je v [a, b, c]): (x − a)2 (y − b)2 (z − c)2 + + =1 e2 f2 g2 Koeficienty e, f, g udávaj´ı délky os elipsoidu. Pˇripomeˇ nme, ˇze speciáln´ım


41

obr. 22 – rotaˇcn´ı elipsoid

pˇr´ıpadem je elipsoid jehoˇz dvˇe délky os se rovnaj´ı (e = f ) – rotaˇcn´ı elipsoid. Rotaˇcn´ı elipsoid vznikne rotac´ı elipsy kolem pˇr´ımky procházej´ıc´ı jeho poloosou. Rovnaj´ı-li se délky vˇsech tˇr´ı os, dan´ y elipsoid pˇrecház´ı v kouli. Aplikován´ım inverze se stˇredem v O dostaneme: !2 !2 !2 r2 y0 r 2 x0 r2 z 0 − a − b − c t t t + + =1 e f g 2 2 2 (f g)2 r2 x0 − at + (eg)2 r2 y 0 − bt + (ef )2 r2 z 0 − ct = (ef gt)2 r4 (f g)2 x02 + (eg)2 y 02 + (ef )2 z 02 − 2r2 t (f g)2 ax0 + (eg)2 by 0 + (ef )2 cz 0 + + t2 (f g)2 a2 + (eg)2 b2 + (ef )2 c2 = (ef gt)2 Je-li stˇred elipsoidu ve stˇredu inverze a zároveˇ n se dot´ yká koule inverze (ef g = r2 ), m˚ uˇzeme rovnici plochy v´ yznamnˇe zjednoduˇsit na: (f g)2 x02 + (eg)2 y 02 + (ef )2 z 02 = x02 + y 02 + z 02

2

Jej´ım grafem je prostorová analogie Boothovy lemniskáty, která vznikne rotac´ı této kˇrivky podle své delˇs´ı osy soumˇernosti. (obr. 23)


42

obr. 23 – Boothova lemniskáta jako prostorová plocha

4.3.2

Jednod´ıln´ y hyperboloid

Jednod´ıln´ y hyperboloid je otevˇrená kvadrika daná rovnic´ı: (x − a)2 (y − b)2 (z − c)2 + − =1 e2 f2 g2 Koeficienty a, b, c urˇcuj´ı po ˇradˇe souˇradnice stˇredu S a e, f, g po ˇradˇe délky

obr. 24 – Jednod´ıln´ y hyperboloid

os hyperboloidu. Pro e = f je dan´ y hyperboloid rotaˇcn´ı (jako napˇr. na obr. 24). Rotaˇcn´ı hyperboloid vznikne rotac´ı vˇetve hyperboly podle jej´ı vedlejˇs´ı


43

osy. Jak m˚ uˇzeme vidˇet, rovina z = k prot´ıná hyperboloid v elipse (resp. kruˇznici).15 Uvaˇzujme stˇred hyperboloidu ve stˇredu inverze, kter´ y má s koul´ı inverze vnˇejˇs´ı dotyk. (a = b = c = 0, e = f = r). Pak je rovnice obrazu plochy ve tvaru: (obr. 25) (f g)2 (x02 + y 02 ) − z 02 r4 = g 2 x02 + y 02 + z 02

2

obr. 25 – obraz jednod´ılného hyperboloidu

4.3.3

Dvojd´ıln´ y hyperboloid

Rotac´ı obou vˇetv´ı hyperboly okolo jej´ı hlavn´ı osy dostaneme plochu o rovnici: (x − a)2 (y − b)2 (z − c)2 + − = −1 e2 f2 g2 Grafem plochy je dvojd´ıln´ y hyperboloid - plocha se skládá ze dvou oddˇelen´ ych ˇca´st´ı, obdobnˇe jako hyperbola v rovinˇe. I obraz dvojd´ılného hyperboloidu 15 ˇ

Cten´ aˇr se o tom m˚ uˇze pˇresvˇedˇcit dosazen´ım.


44

obr. 26 – obraz dvojd´ılného hyperboloidu v inverzi

souvis´ı s obrazem hyperboly – dot´ yká-li se hyperboloid koule inverze, transformac´ı dostaneme: (f g)2 (x02 + y 02 ) − z 02 r4 = −g 2 x02 + y 02 + z 02

2

ˇcemuˇz odpov´ıdá plocha, která vznikne rotac´ı Bernoulliho lemniskáty okolo jej´ı osy (obr. 26) 4.3.4

Kuˇ zelov´ a plocha

Kuˇzelová plocha s vrcholem v S [a, b, c] má rovnici: (x − a)2 (y − b)2 (z − c)2 + = e2 f2 g2 V pˇr´ıpadˇe, kdy e = f jde o rotaˇcn´ı kuˇzel– v tomto pˇr´ıpadˇe kuˇzelová plocha vznikne rotac´ı pˇr´ımky, která je r˚ uznobˇeˇzná s osou rotace. Proto je kuˇzelová plocha pˇ r´ımkovou plochou – tj. je tvoˇrena pˇr´ımkami. Jelikoˇz se kuˇzel skládá z pˇr´ımek, tak uvaˇzujme vrchol kuˇzele ve stˇredu inverze a vˇsechny pˇr´ımky j´ım pak procház´ı. Pak jsou vˇsechny tyto pˇr´ımky samodruˇzné a tedy v této inverzi je i kuˇzelová plocha samodruˇzná.


45

obr. 27 – kuˇzelová plocha

4.3.5

Paraboloidy

Paraboloidy jsou plochy prostoru, jejichˇz ˇrezem rovinou x = k (popˇr. y = k) z´ıskáme parabolu. Paraboloidy rozdˇelujeme na eliptické a hyperbolické – podle toho, jaká kˇrivka vznikne ˇrezem rovinou z = k. Eliptick´ y paraboloid (obr. 28) je mnoˇzina vˇsech bod˚ u prostoru vyhovuj´ıc´ı rovnici: (x − a)2 (y − b)2 + = 2 (z − c) e2 f2

Bod S o souˇradnic´ıch [a, b, c] je vrcholem paraboloidu. Obdobnˇe, paraboloid o délce os e = f je rotaˇcn´ım paraboloidem, jehoˇz ˇrezem rovinou z = k dostaneme kruˇznici. Uvaˇzujme obrazy rotaˇcn´ıho eliptického paraboloidu – nejprve s vrcholem ve stˇredu inverze. Pak je obrazem plocha o rovnici: r2 x02 + y 02 = 2e2 z 0 x02 + y 02 + z 02 Tato plocha (obr. 29) je plocha, která vznikne rotac´ı Dioklovy kissoidy kolem jej´ı osy soumˇernosti.


46

obr. 28 – rotaˇcn´ı eliptick´ y paraboloid

Je-li stˇred inverze ve vnˇejˇs´ı oblasti paraboloidu (mysl´ıme tu ˇca´st prostoru, která je pˇri ˇrezu paraboloidu rovinou z = k ve vnˇejˇs´ı ˇca´sti dané elipsy, popˇr. kruˇznice), pak obrazem je plocha na obr. 30. Tuto plochu lze z´ıskat rotac´ı

obr. 29 – Dioklova kissoida – rotace kolem osy

obr. 30 – rotac´ı lakrimoidy podle osy

kˇrivky, kterou jsme nazvali lakrimoida kolem jej´ı osy soumˇernosti. Plocha je

4 INVERZE V PROSTORU E 3 uzavˇrená a má tvar prostorové kapky, jej´ı rovnice je (pro c > 0): 2 r4 x2 + y 2 = 2e2 r2 z x2 + y 2 + z 2 − 2ce2 x2 + y 2 + z 2

47

(4.5)

Jak se snadno pˇresvˇedˇc´ıme, ˇrezem této plochy rovinou rovnobˇeˇznou se souˇradnicovou rovinou xy, je vˇzdy kruˇznice.16 . Obdobnˇe, inverz´ı rotaˇcn´ıho eliptického paraboloidu, kdy stˇred dané inverze je v jeho vnitˇrn´ı ˇca´sti, z´ıskáme uzavˇrenou plochu, která vznikne rotac´ı kardioidy kolem jej´ı osy soumˇernosti. Rovnice plochy je stejná jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladˇe (4.5), jen v tomto pˇr´ıpadˇe plat´ı: c < 0. Graf této plochy je na obr. 31

obr. 31 – rotac´ı kardioidy podle jej´ı osy

ˇ Druh´ ym druhem paraboloidu je hyperbolick´ y paraboloid (obr. 32). Rezem hyperbolického paraboloidu rovinou z = k je právˇe hyperbola. Stˇredu hyperbolického paraboloidu ˇr´ıkáme vrchol (nˇekdy sedlov´ y bod). Vˇsechny body této plochy vyhovuj´ı rovnici: (x − a)2 (y − b)2 − = 2 (z − c) e2 f2 Jak je ukázáno v [14], hyperbolick´ y paraboloid je pˇr´ımkovou plochou, tedy 16

dosazen´ım rovnice roviny z = k do rovnice plochy (4.5)


48

obr. 32 – hyperbolick´ y paraboloid

nad kaˇzd´ ym prostorov´ ym ˇctyˇru ´heln´ıkem lze sestrojit hyperbolick´ y paraboloid. Obrazem obecného hyperbolického paraboloidu je plocha ˇctvrtého ˇrádu, pokud je sedlov´ y bod zároveˇ n stˇredem inverze, je redukována na tˇret´ı ˇrád. 4.3.6

V´ alcov´ e plochy

Válcové plochy jsou takové kvadriky, jejichˇz ˇrez rovinou z = k pro ∀k ∈ R je stejná kˇrivka (kuˇzeloseˇcka). Toto tvrzen´ı je ekvivalentn´ı s tvrzen´ım, ˇze jejich graf nezávis´ı na promˇenné z a tedy se v jejich rovnici nevyskytuje. Válcové plochy dˇel´ıme podle toho, která kˇrivka dan´ ym ˇrezem vznikne. Eliptická válcová plocha (obr. 33) je plocha daná rovnic´ı: (x − a)2 (y − b)2 + =1 e2 f2 Souˇradnice [a, b] udávaj´ı stˇred válcové plochy, pokud plat´ı e = f , ˇrezem je nam´ısto elipsy kruˇznice. Této válcové ploˇse budeme ˇr´ıkat rotaˇcn´ı válcová plocha a m˚ uˇze vzniknout rotac´ı pˇr´ımky, která je rovnobˇeˇzná s osou rotace. Obrazem eliptické válcové plochy je mnoˇzina vˇsech bod˚ u vyhovuj´ıc´ı rov-


49

obr. 33 – eliptická válcová plocha

nici: r4 x02 f 2 + y 02 e2 − 2r2 t f 2 ax0 + e2 by 0 + t2 a2 f 2 + e2 b2 = (ef t)2 , kde t = x02 + y 02 + z 02 . Speciáln´ım pˇr´ıpadem, kdy stˇred plochy je v [0, 0, 0], obrazem rotaˇcn´ı válcové plochy je torus (obr. 34) jehoˇz hlavn´ı polomˇer je roven vedlejˇs´ımu. Torus je v tomto pˇr´ıpadˇe dán rovnic´ı:

obr. 34 – torus


50

2 r4 x02 f 2 + y 02 e2 = (ef )2 x02 + y 02 + z 02 a m˚ uˇzeme ho z´ıskat rotac´ı kruˇznice kolem jedné jej´ı teˇcny. [15] Dalˇs´ı válcovou plochou je hyperbolická válcová plocha. Z názvu je patrné, ˇze ˇrezem rovinou kolmou na osu z z´ıskáme hyperbolu (obr. 35). Rovnice této plochy se stˇredem S [a, b] a délkami os e, f je tvaru: (x − a)2 (y − b)2 − =1 e2 f2

obr. 35 – hyperbolick´ y válec

Hyperbolick´ y válec je otevˇrenou kvadrikou, vznikne posunem pˇr´ımky rovnobˇeˇzné s osou z po hyperbole v rovinˇe na ni kolmou. Uvaˇzujme stˇred válce ve stˇredu inverze, pak je obraz dán rovnic´ı: 2 r4 x02 f 2 − y 02 e2 = (ef )2 x02 + y 02 + z 02 a plocha znázorˇ nuje prostorovou ”osmiˇcku”(obr. 36). Tˇret´ım druhem válcové plochy je parabolická plocha. Parabolická válcová plocha vznikne posunem pˇr´ımky rovnobˇeˇzné s osou z po parabole v rovinˇe na


51

obr. 36 – obraz hyperbolického válce

n´ı kolmou (obr. 37). Rozliˇsujeme ohniskovou pˇ r´ımku parabolické plochy – pˇr´ımka rovnobˇeˇzná s osou z a procházej´ıc´ı ohniskem paraboly v kolmé rovinˇe aˇ r´ıd´ıc´ı rovinu – za tˇechto pˇredpoklad˚ u je parabolická plocha dána jednou z tˇechto dvou rovnic: (y − b)2 = 2p(x − a) (x − a)2 = 2p(y − b) Prvn´ı rovnice vyjadˇruje parabolickou plochu, jej´ıˇz hlavn´ı osa je rovnobˇeˇzná ˇ ıslu p (p 6= 0) s osou x, druhá ty, které maj´ı hlavn´ı osu rovnobˇeˇznou s y. C´ ˇr´ıkáme parametr a udává vzdálenost ˇr´ıd´ıc´ı roviny od ohniskové pˇr´ımky parabolické plochy. Parabolická válcová plocha je pak mnoˇzinou vˇsech bod˚ u prostoru, které maj´ı vzdálenost od ˇr´ıd´ıc´ı roviny rovnu vzdálenosti od ohniskové pˇr´ımky. Bez u ´jmy na obecnosti uvaˇzujme pouze jednu z rovnic, pak obrazem parabolické válcové plochy je plocha daná rovnic´ı:17 r4 y 02 − 2r2 t (by 0 + px0 ) + t2 b2 + 2ap = 0 Obrazem plochy je tedy obecná plocha ˇctvrtého ˇra´du, pro stˇred inverze na 17

opˇet zav´ ad´ım substituci t = x02 + y 2 + z 02


52

obr. 37 – parabolická válcová plocha

ploˇse je redukována na tˇret´ı ˇrád. Napˇr´ıklad pro hodnoty koeficient˚ u odpov´ıdaj´ıc´ı stˇredu inverze ve vnitˇrn´ı ˇca´sti parabolické plochy je plocha na obr. 38. Graf plochy je prostorovou analogi´ı kardioidy.

obr. 38 – Obraz parabolické válcové plochy


4.4

53

Stereografick´ a projekce

Kruhovou inverzi jako transformaci m˚ uˇzeme odvodit také pomoc´ı prostorov´ ych vztah˚ u, konkretnˇe pomoc´ı stereografické projekce. To mimo jiné umoˇzn ˇuje dokázat nˇekteré vlastnosti kruhové inverze syntetickou cestou. Dá se ukázat, ˇze kaˇzdá kruhová inverze je zobrazen´ı sloˇzené ze dvou stereografick´ ych projekc´ı. Stereografická projekce je transformace vyuˇz´ıvaná v matematické kartografii, kde se hledaj´ı zp˚ usoby, jak zobrazit povrch Zemˇe do roviny. V stereografické projekci se zobrazuje povrch Zemˇe na teˇcnou rovinu. Uvaˇzujme Zemi jako dokonalou kouli o polomˇeru R a teˇcnou rovinu na kterou zobrazujeme v jiˇzn´ım pólu (obr. 39). Pak je bod na kouli urˇcen dvojic´ı

obr. 39 – k stereografické projekci (z [16])

souˇradnic – zemˇepisnou ˇs´ıˇrkou ϕ, ϕ ∈ (−90◦ , 90◦ ) a zemˇepisnou délkou λ, λ ∈ (−180◦ , 180◦ i. Vedeme-li polopˇr´ımku s poˇcátkem v severn´ım pólu bodem na kouli, pak jeho obraz leˇz´ı v pr˚ uniku této polopˇr´ımky s teˇcnou rovinou. Je zˇrejmé, ˇze


54

obraz severn´ıho pólu je v ”nekoneˇcnu”– v nevlastn´ım bodˇe roviny. Obdobnˇe m˚ uˇzeme tvrdit, ˇze jiˇzn´ı pól (bod dotyku s teˇcnou rovinou) je samodruˇzn´ y. Zavedeme polárn´ı souˇradnicovou s´ıt’ na rovinˇe se stˇredem v jiˇzn´ım pólu koule a polárn´ı osu zorientujeme shodnˇe s nult´ ym poledn´ıkem na kouli. Pak bod na teˇcné rovinˇe bude dán dvojic´ı souˇradnic: % - u ´hel v˚ uˇci polárn´ı ose, r vzdálenost od stˇredu (pólu). Oznaˇcme severn´ı pól, jiˇzn´ı pól, stˇred koule, bod na kouli a jeho obraz po ˇradˇe A, B, S, X, X 0 . Jistˇe m˚ uˇzeme tvrdit, ˇze %=λ Protoˇze poˇc´ıtáme u ´hel ϕ od roviny procházej´ıc´ı stˇredem koule a rovnobˇeˇzné s polárn´ı rovinou, plat´ı: |∠ASX| = 90 − ϕ. Troj´ uheln´ık SAX je rovnoramenn´ y, dopoˇcteme velikost jeho zb´ yvaj´ıc´ıch dvou u ´hl˚ u: |∠SAX| = 45◦ + ϕ2 . Z pravo´ uhlého troj´ uheln´ıka ABX 0 vyjádˇr´ıme pomoc´ı goniometrie pomˇer délek stran: ϕ |BX 0 | = 2R tan 45◦ + 2 Stereografická projekce patˇr´ı spolu s kulovou inverz´ı do skupiny transformac´ı zvan´ ych konformn´ı (´ uhlojevná). Tedy prot´ınaj´ı-li se dvˇe kˇrivky m1 , m2 kulové plochy κ pod u ´hlem α, pak i jejich stereografické pr˚ umˇety se prot´ınaj´ı pod t´ ymˇz u ´hlem α. Uvaˇzujeme-li opaˇcnou transformaci: pak transformaci roviny na teˇcnou kouli naz´ yváme Riemannovou transformaci. Pˇri n´ı zobrazujeme vˇsechny body Gaussovy komplexn´ı roviny na Riemannovu kouli.[16]


4.5

55

Inverze ve vyˇ sˇ s´ı dimenzi

Zobecnˇen´ı do vyˇsˇs´ıch rozmˇer˚ u je jedn´ım z charakteristick´ ych znak˚ u matematiky. Inverzi jsme jiˇz aplikovali v rovinˇe i prostoru E 3 – ve dvou námi pˇredstaviteln´ ych prostorech. Pˇripomeneme, ˇze podle definice 1.1 je prostorem mnoˇzina vˇsech uspoˇra´dan´ ych n-tic ˇc´ısel [x1 , x2 , . . . , xn ]. V obou tˇechto prostorech platily Eukleidovy axiomy. Takov´ ymto prostor˚ um ˇr´ıkáme eukleidovské, vedle toho máme mnoho dalˇs´ıch druh˚ u prostor˚ u, ve kter´ ych nen´ı splnˇen pát´ y Eukleid˚ uv axiom o rovnobˇeˇzkách. Takov´ ymto prostorem m˚ uˇze b´ yt i inverzivn´ı prostor. Ukáˇzeme si kouzlo abstrakce a pˇrejdˇeme k definici inverze: Definice 4.2: Inverze v n-rozmˇerném prostoru je transformace eukleidovského prostoru E N na Möbi˚ uv prostor M N jednoznaˇcnˇe urˇcená stˇredem inverze S a koeficientem inverze k (k > 0). Pˇri n´ı se kaˇzd´ y bod X daného prostoru E N (mimo stˇredu S) zobraz´ı na bod X 0 , pro kter´ y plat´ı −→ 0 X ∈ SX a zároveˇ n: |SX| · |SX 0 | = k Obrazem stˇredu inverze S rozumˇejme bod M – nevlastn´ı bod prostoru M N

4.5.1

Analytick´ e vyj´ adˇ ren´ı

Pro zkoumán´ı vlastnost´ı u ´tvar˚ u v obecné dimenzi a jejich zobrazován´ı v inverzi nem˚ uˇzeme vyuˇz´ıt metody a poznatky klasické geometrie. Vyuˇzijeme tedy analytické geometrie a zavedeme si transformaˇcn´ı rovnice. Necht’ je dán prostor E N v kterém máme zavedenou soustavu souˇradnic. Uvaˇzujme bod S o souˇradnic´ıch [xs1 , xs2 , xs3 , . . . , xsn ] a bod X [x1 , x2 , x3 , . . . , xn ].


56

−−→ −→ Inverz´ı se zobraz´ı vˇsechny body na prostor M N , plat´ı: SX0 = a SX: (x01 − xs1 ) = a (x1 − xs1 ) .. . (x0n − xsn ) = a (xn − xsn )

Podle definice 4.2 – |SX| · |SX 0 | = k: q q 2 2 0 0 (x1 − xs1 ) + . . . + (xn − xsn ) · (x1 − xs1 )2 + . . . + (xn − xsn )2 = k q q 2 2 2 2 a (x1 − xs1 ) + . . . + a (xn − xsn ) · (x1 − xs1 )2 + . . . + (xn − xsn )2 = k a (x1 − xs1 )2 + . . . + (xn − xsn )2 = k = r a=

r2 (x1 − xs1 )2 + . . . + (xn − xsn )2

Dosazen´ım za a do pˇredchoz´ıch rovnic: r2 (xn − xsn ) x0n = xsn + Pn 2 i=1 (xi − xsi ) A podle vˇety 3.1 o zámˇenˇe obrazu a vzoru (inverze je involutorn´ı zobrazen´ı): r2 (x0 − xsn ) xn = xsn + Pn n 0 2 i=1 (xi − xsi ) Postupn´ ym zobecnˇen´ım tˇeles a jejich rovnic si m˚ uˇzeme analogicky pˇredstavit ve vyˇsˇs´ıch dimenz´ıch objekty jako nadroviny, nadkoule nebo nadplochy a uˇzit´ım dan´ ych rovnic hledat jejich obrazy v inverzi. Definice 4.3: Kruhová nadplocha ˇrádu n je bud’ nadkoule n-tého ˇrádu nebo nadrovina n-tého ˇra´du


57

Vˇ eta 4.3: Kruhové zobrazen´ı je takové zobrazen´ı, které kruhovou nadplochu n-tého ˇrádu zobraz´ı na kruhovou nadplochu n-tého ˇra´du.

D˚ ukaz. Uvaˇzujme kruhovou nadplochu ˇrádu m v prostoru E n (m ≤ n). Vlastn´ı d˚ ukaz si rozdˇelme do dvou pˇr´ıpad˚ u: v prvn´ım pˇr´ıpadˇe uvaˇzujeme rovnost m = n, pak kruhovou nadplochou je bud’ nadkoule o rovnici n X

(xi − ai )2 + d = 0

i=1

nebo nadrovina

n X

ai xi + d = 0

i=1

Jejich obraz˚ um v inverzi se stˇredem v poˇcátku dané soustavy vyhovuj´ı nadplochy dané rovnicemi: n X

x2i

d+

i=1

r2

n X

i=1 n X

! a2i

− 2r

2

n X

ai x i + r 4 = 0

(4.6)

i=1

ai x i + d

i=1

n X

x2i = 0

(4.7)

i=1

Jak snadno nahlédneme obˇema plochami je obecná nadkoule ˇrádu n, popˇr. v redukovaném tvaru i nadrovina. Druh´ y pˇr´ıpad, kdy m < n m˚ uˇzeme bez u ´jmy na obecnosti zjednoduˇsit na problém inverze kruhové nadplochy ˇrádu m v prostoru s dimenz´ı m. Pak podle (4.6), (4.7) je jej´ım obrazem kruhová plocha ˇra´du m.


58

Z´ avˇ er Pˇripomeˇ nme ˇctenáˇri, ˇze na zaˇca´tku práce jsme zm´ınili v souvislosti s kruhoˇ vou inverz´ı Apolloniovy u ´lohy. Casto pouˇz´ıvanou aplikac´ı kruhové inverze je právˇe jejich ˇreˇsen´ı (viz [7]) a se základy vystavˇen´ ymi v práci m˚ uˇzeme jejich pojet´ı pˇrirozenˇe rozˇs´ıˇrit i do trojrozmˇerného prostoru. Mimo to, transformac´ı geometrick´ ych objekt˚ u, v tomto pˇr´ıpadˇe uˇzit´ım kruhové inverze, lze odhalit zaj´ımavé souvislosti mezi tˇemito objekty. Z jiˇz dˇr´ıve zm´ınˇen´ ych d˚ uvod˚ u nemohla tato práce opomenout ani zobecnˇen´ı inverze do Eukleidovsk´ ych prostor˚ u vyˇsˇs´ıch dimenz´ı. Nicménˇe, se nedostalo na ˇreˇsen´ı problematiky skládán´ı v´ıce kruhov´ ych inverz´ı. Ukázalo se, ˇze sloˇzen´ım dvou kruhov´ ych inverz´ı se stejn´ ym stˇredem dostaneme homotetii (identitu), ale na druhou stranu sloˇzen´ım kruhové inverze s r˚ uzn´ ymi stˇredy z´ıskáme zobrazen´ı, které je sloˇzen´ım podobnosti a inverze. Je také na m´ıstˇe poznamenat, ˇze transformac´ı Möbiova prostoru M n , která je bud’ podobnost´ı, nebo je sloˇzen´ım podobnosti a sférické inverze, je sférická transformace prostoru M n . V pˇr´ıpadˇe n = 2 se jedná právˇe o kruhovou inverzi. Nav´ıc plat´ı, ˇze vˇsechny sférické transformace prostoru M n tvoˇr´ı vzhledem k operaci skládán´ı transformac´ı grupu. Tˇemito otázkami jsme se vˇsak jiˇz nemohli zab´ yvat, protoˇze jejich ˇreˇsen´ı by vydalo sv´ ym rozsahem na knihu. Náˇs c´ıl byl o nˇeco skromnˇejˇs´ı, a sice poskytnout u ´vodn´ı nástin celé rozsáhlé problematiky, podchytit ty oblasti geometrick´ ych aplikac´ı transformac´ı, které jsou pomˇernˇe atraktivn´ı a ukazuj´ı neobvykl´ y pohled na moˇzná známá fakta. Ta jsme se snaˇzili nevn´ımat izolovanˇe, n´ ybrˇz komplexnˇe tak, jak uˇz je zvykem v matematice. Vˇeˇr´ıme, ˇze jsme tˇemto c´ıl˚ um z velké ˇcásti u ´spˇeˇsnˇe dostáli.

LITERATURA

59

Literatura [1] EUKLEIDES: Základy (Elementa), kniha I. Pˇreloˇzil Frantiˇsek Serv´ıt, Jednota ˇcesk´ ych matematik˚ u. Praha 1907 [2] REKTORYS, Karel: Pˇrehled uˇzité matematiky, kapitola V, str. 225, 1. vyd. SNTL, Praha 1963. [3] COXETER, H.S.M.: Introduction to geometry, second edition. University of Toronto: John Wiley and Sons, 1989. str. 79-93. [4] COXETER H.S.M, GREITZER S.L.: Geometry revisited (New mathematical library). University of Toronto: John Wiley and Sons , 1967. str. 108-114. [5] JUKL, Marek: Analytická geometrie kuˇzeloseˇcek a kvadrik. Univerzita Palackého v Olomouci, 1999. ISBN 80-7067-991-3 [6] JARNÍK, Vojtˇech: Diferenciáln´ı poˇcet II, kapitola VI, str. 222-233, 4. vyd. ACADEMIA, Praha 1984. ˇ ÍHA, Ota: Kruhová inverze. Masarykova univerzita, 2010. ISBN 978[7] R 80-210-5149-2 ˇ ´ Alena: Diferenciáln´ı geometrie kˇrivek a ploch. Univerzita [8] VANZUROV A, Palackého v Olomouci, 1996. ISBN 80-7067-651-5 ˇ Jarol´ım, HRUBC ˇ ÍK Karel: Diferenciáln´ı geometrie kˇrivek a [9] BURES ploch. Nakladatelstv´ı Univerzity Karlovy, 1998. ISBN 80-7184-605-8 ˇ ´ Milada: Biracionáln´ı kubická transformace. Uˇcitel [10] KOCANDRLOV A, matematiky, Jednota ˇcesk´ ych matematik˚ u a fyzik˚ u. Kvˇeten 2006, roˇcn´ık 14, ˇc´ıslo 4. str. 193-200

LITERATURA

60

ˇ ´ Milada: Obraz kuˇzeloseˇcky v kruhové inverzi. Uˇcitel [11] KOCANDRLOV A, matematiky, Jednota ˇcesk´ ych matematik˚ u a fyzik˚ u. Bˇrezen 2006, roˇcn´ık 14, ˇc´ıslo 3. str. 129-138 ˇ Jarol´ım, VANZURA ˇ [12] BURES Jiˇr´ı: Algebraická geometrie. Kapitola IX, str. 284-320. matematick´ y semináˇr SNTL, Praha 1989 ˇ ˇ [13] KOCANDRLE Milan, BOCEK Leo: Analytická geometrie. Prometheus ˇ ve spolupráci s JCMF 3. vyd. 1995. ISBN 978-80-7196-390-5 [14] PECH, Pavel: Plochy druhého stupnˇe. Jihoˇceská univerzita 2008. ISBN 978-80-7196-390-5

Dalˇ s´ı pouˇ zit´ e zdroje a SW: [15] WOLFRAM MATHWORLD: Torus [online], dostupné z URL: http://mathworld.wolfram.com/Torus.html [16] RIEMANN SPHERE, Wikipedia, the free encyclopedia, dostupné z URL: http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann sphere#As a sphere [17] pˇrevzato z URL: http://vs-vtipy.tonikovo.cz/vtipy/srovnavaci/ [18] pˇrevzato z URL: http://www.vectorsite.net/tpecp 01 01.png [19] MAPLE v. 13, The Essential Tool for Mathematics and Modelling. MAPLESOFT [20] GEOGEBRA v. 4, http://www.geogebra.org [21] obrázky

pouˇzité

v

práci

jsou

dostupné

online

na

http://www.matematicke-softwary.wz.cz/files/pictures soc.rar

adrese:

Transformace jistých křivek a ploch v kruhové inverzi

Recommend Documents