ZÁKLADY GEOMETRIE KŘIVEK A PLOCH
Provizorní studijní materiál
-1-
1. Křivky v trojrozměrném prostoru 1.1. Úvod E3 - trojrozměrný euklidovský prostor s pevně zvolenou kartézskou soustavou P, e1 , e2 , e3 , V3 - jeho zaměření D 1.1. Nechť J ⊂ R. Zobrazení X : J → E 3 (resp. x : J → V3 ) se nazývá bodová (vektorová) funkce jedné proměnné. Pozn. 1) Limita bodové, resp. vektorové funkce v čísle t 0 existuje, právě když existují limity jejích složek: lim xi = ai (i = 1, 2, 3). Pak platí lim X (t ) = A resp. lim x (t ) = a , kde A = (a1, a2 , a3 ) a t →t 0
t →t 0
t →t 0
a = (a1, a 2 , a3 ). 2) Bodová nebo vektorová funkce je spojitá v čísle t 0 , jestliže je v t 0 definována a má zde limitu rovnou funkční hodnotě v čísle t 0 . 3) Derivace dX (t 0 ) X (t 0 + h) − X (t 0 ) = Xɺ (t 0 ) = lim = (xɺ1 (t 0 ), xɺ 2 (t 0 ), xɺ 3 (t 0 ) ) , h →0 dt h analogicky pro vektorovou funkci: dx (t 0 ) ɺ x (t + h) − x (t 0 ) = x (t 0 ) = lim 0 = ( xɺ1 (t 0 ), xɺ 2 (t 0 ), xɺ 3 (t 0 ) ) . 0 h → dt h
V obou případech je derivací vektor!
4)
d (X + u ) ɺ ɺ = X +u dt d (u v ) ɺ = u v + u vɺ dt d (u v w) ɺ = u v w + u vɺ w + u v wɺ dt
(
) (
) (
)
d( f u) ɺ = f u + f uɺ dt d (u × v ) ɺ = u × v + u × vɺ dt
D 1.2. Řekneme že reálná, bodová nebo vektorová funkce je třídy C n množině spojitá i se svými derivacemi až do řádu n.
-2-
(n ∈ N ), jestliže je na dané
D 1.3. Množinu k ⊂ E3 nazýváme regulární křivkou, je-li určena aspoň jednou bodovou (resp. vektorovou) funkcí R (t ), resp. vektorovou funkcí r (t ), definovanou na otevřeném intervalu J s těmito vlastnostmi: 1. R (t ), resp. r (t ) je prostá a třídy aspoň C 3 2. ∀ t ∈ J : Rɺ (t ) ≠ 0, resp. r (t ) ≠ 0. Pozn. V dalším budeme upřednostňovat vektorové popisy křivek. Vektor r (t ) - názvy: radius vektor, polohový vektor, průvodní vektor.
1.2. Transformace parametru Funkce t = t (u ), která zobrazuje otevřený interval I na otevřený interval J se nazývá dt přípustná funkce, jestliže je třídy C n a ∀u ∈ I : ≠ 0. du
D1.4.
Nechť k: r = r (t ), t ∈ J je regulární křivka, t = t (u ) přípustná funkce, t : I → J . Pak je buď dt dt > 0 nebo < 0 ⇒ t (u ) je vzájemně jednoznačné zobrazení I na J. du du Vektorová funkce x (u ) = r (t (u ) ), u ∈ I určuje tutéž křivku k. Od vyjádření x (u ) k vyjádření r (t ) přejdeme substitucí což je zřejmě také přípustná funkce.
Pozn. 1) Dá se ukázat, že k libovolným dvěma popisům r (t ) a x (u ) téže regulární křivky lze nalézt přípustnou transformaci t = t (u ) resp. u = u (t ). 2) V diferenciální geometrii obvykle rozlišujeme různé popisy téže křivky jen rozlišením parametru, píšeme: r (t ), r (u ), … místo správnějšího r (t ), x (u ), … . 3) Řekneme, že dvě parametrizace jsou souhlasné (nesouhlasné), jestliže příslušná transformace parametru je rostoucí (klesající) přípustná funkce. Relace souhlasnosti je ekvivalence a rozkládá množinu všech parametrizací křivky k do dvou tříd. Každou z nich nazveme orientací křivky k. Orientaci na křivce zvolíme zadáním její libovolné parametrizace, hovoříme pak o orientované křivce. Do obrázku vyznačujeme směr šipkou tak, aby to odpovídalo rostoucím hodnotám parametru (při fyzikální interpretaci směru pohybu).
1.3. Tečna křivky k: r = r (t ), t ∈ J je regulární křivka, směr tečného vektoru rɺ (t ) (neorientovaný) nezávisí na volbě dr dr dt parametru. Je-li totiž t = t (u ) přípustná transformace, pak = ⋅ ⇒ rɺ (u ) a rɺ (t ) jsou du dt du lineárně závislé, nenulové. Rovnice y = r (t 0 ) + α rɺ (t 0 ) určuje jednoznačně tečnu v bodě t 0 (nezávisle na parametrickém vyjádření křivky).
-3-
Pozn. r (t + h) − r (t 0 ) rɺ (t 0 ) = lim 0 h →O h Laicky řečeno: Tečna křivky je přímka, která spojuje její dva nekonečně blízké body. (obr.)
r(t 0)
r(t 0 + h)
1.4. Oskulační rovina k: r = r (t ), t ∈ J je regulární křivka, t = t (u ) přípustná funkce. Z derivací dr ɺ dt =r⋅ du du
2
a
d 2 r ɺɺ dt d 2t ɺ = r ⋅ + r ⋅ 2 du 2 du du
vidíme, že vektory
O dr a du
d 2r jsou lineárně závislé právě tehdy, když jsou lineárně závislé vektory rɺ a ɺrɺ (promyslete). Má 2 du tedy smysl následující definice.
D1.5. Bod R (t 0 ) křivky k: r (t ) se nazývá inflexní (neinflexní) jestliže jsou vektory rɺ (t 0 ) a ɺrɺ(t 0 ) lineárně závislé (nezávislé). Pro neinflexní bod R (t 0 ) se nazývá rovina určená tímto bodem a vektory rɺ (t 0 ) a ɺrɺ(t 0 ) oskulační rovina křivky v bodě R (t 0 ).
V případě inflexního bodu R (t 0 ) je oskulační rovinou každá rovina obsahující tečnu křivky v daném bodě.
Pozn. Oskulační rovina je ta, která se v daném bodě ke křivce nejvíce přimyká (rovina proložená třemi nekonečně blízkými body). Rovnice oskulační roviny v bodě t 0 :
(
normálová rovina ν
)
X ∈τ ⇔ ( x − r ) ⋅ rɺ × ɺɺ r =0
X −r τ : rɺ = 0 rɺɺ
µ rektifikační rovina
b binormála
Vektor rɺ (t 0 ) × ɺrɺ(t 0 ) je kolmý na τ a vektor x − r (t0 ), kde x značí polohový vektor bodu oskulační roviny τ , je rovnoběžný s τ . Stručněji:
τ oskulační rovina
r r hlavní normála n
t tečna
-4-
r(t 0)
Další pojmy zavádíme pomocí obrázku. Komentář k obrázku: V bodě r (t 0 ) je: binormála b - kolmice na oskulační rovinu τ , hlavní normála n je kolmice na tečnu t v rovině τ , normálová rovina ν je dána přímkami n, b a rektifikační rovina µ dána přímkami b, t. Každá přímka kolmá na t v bodě r (t 0 ) se nazývá normála. Všechny normály tvoří rovinu ν . Pozn. Oskulační rovina rovinné křivky je ta, ve které křivka leží.
1.5. Oblouk křivky Nechť k: r = r (t ), t ∈ J je regulární křivka a t 0 ∈ J pevně zvolené číslo. Funkce
D1.6. t
s (t ) = ∫ rɺ ⋅ rɺ dt se nazývá oblouk křivky (též přirozený parametr). t0
Geometrický význam: Délka křivky mezi body r (t 0 ) a r (t ) se rovná s (t ) . Pozn. 1) Graf vhodné funkce y = f (x) si lze představit jako křivku s vyjádřením r ( x) = ( x, f ( x) ) . Pak x
s=
∫
1 + ( f ′( x) ) dx . 2
x0
2) Transformace je přípustná, neboť
1=
ds = ( xɺ1 )2 + ( xɺ2 ) 2 + ( xɺ3 ) 2 > 0 . Platí: dt
ds ds dt dt = = rɺ ⋅ rɺ . Inverzní funkce: t = t (s ) má tedy derivaci t ′( s ) = ds dt ds ds
1 . rɺ ⋅ rɺ
3) Derivace podle oblouku s značíme čárkou a podle jiného parametru tečkou.
V.1.1. číslo.
Zavedeme-li na křivce dva oblouky s a s*, pak s* = ε s + K , kde ε ∈ {± 1} a K je reálné
V.1.2. Nechť k: r = r ( s ), s ∈ J je regulární křivka. Pak s je oblouk právě tehdy, když
dr = 1 pro ds
všechna s ∈ J .
V.1.3. V neinflexním bodě regulární křivky určené vektorovou funkcí r = r ( s ), kde s je oblouk, platí r ′′( s ) ⊥ r ′( s ).
1.5. První křivost křivky D.1.7. Číslo 1k ( s ) = r ′′( s ) nazýváme první křivost (flexe) křivky k v čísle s, vektor r ′′( s ) nazveme r ′′( s ) vektorem první křivosti a jednotkové vektory t ( s ) = r ′( s ), n ( s ) = a b ( s ) = t ( s ) × n ( s ) nesou r ′′( s )
-5-
po řadě názvy vektor tečny, vektor hlavní normály a vektor binormály křivky k v bodě s. Uspořádaná trojice (t , n , b ) se nazývá Frenetův trojhran.
Poznámky t ′ = r ′′=1k ⋅n .
1. Z definice plyne
(1.1)
2. Orientace vektoru t závisí na parametrizaci, ale trojice (t , n , b ) a (e1 , e2 , e3 ) jsou vždy orientovány souhlasně. 3. Rozlišuj tečný vektor a vektor tečny!
V.1.4. Bod křivky je jejím inflexním bodem právě tehdy, když 1k = 0. Je-li 1k ≠ 0, pak r ′′ ⊥ r ′. V.1.5. (Lagrangeova identita) Pro každé dva vektory u , v platí (u ⋅ u ) (v ⋅ v ) − (u ⋅ v ) 2 = u × v . 2
Nechť k: r (s ) je regulární křivka a s ∈ J oblouk. Označíme-li α (h) odchylku vektorů α ( h) t (s ) a t ( s + h), platí 1k ( s ) = lim . h →0 h
V.1.6.
2
( k) 1
2
= r ′′ = 2
rɺ × ɺɺ r
2
( rɺ ⋅ rɺ )
3
,
i j k ɺr × rɺɺ = xɺ yɺ zɺ , ɺxɺ ɺyɺ ɺzɺ
( k) 1
2
2
2
yɺ zɺ zɺ xɺ xɺ yɺ + + ɺɺ ɺɺ ɺɺ y ɺɺ z z ɺɺ x x ɺɺ y = . 3 rɺ ⋅ rɺ
( )
Rovinné křivky:
r = ( x(t ), y (t ), 0 ), rɺ = ( xɺ, yɺ , 0 ), rɺɺ = (ɺxɺ, ɺyɺ, 0 ) ,
(
k) =
1
2
( xɺ ⋅ ɺɺ y − ɺɺ x ⋅ yɺ ) 2
( xɺ 2 + yɺ 2 )
3
.
Je-li křivka explicitně vyjádřena funkcí y = f ( x) , můžeme položit t = x, pak x(t ) = x, y (t ) = f ( x), z (t ) = 0. Pro první křivost dostaneme:
( k) 1
2
=
( f ′′)2
(1 + f ′ )
2 3
-6-
.
1.6 Frenetovy vzorce V.1.7 (Věta o ortonormálním repéru).
Nechť vektory m1 (t ), m2 (t ) a m3 (t ) tvoří ortonormální 3
repér na otevřeném intervalu J a platí mɺ i = ∑ aij m j . Pak je matice koeficientů a ij antisymetrická, j =1
0 má tedy tvar − a12 − a 13
a12 0 − a 23
V.1.8 (Frenetovy vzorce). trojhran, platí:
a13 a 23 . 0
Pro vektory t , n , b , které určují v každém bodě křivky k její Frenetův t′= n ′ = −1k t b′ =
1
k n,
+ 2 − k n,
2
k b,
(1.2)
kde reálné funkce 1k a 2 k jsou po řadě první a druhá křivost křivky k. Pozn. První ze vztahů je (1.1), druhé dva plynou z V.1.6, označíme-li a 23 = 2k . Druhou křivost jsme tímto definovali jako jeden z koeficientů vztahu (1.2). Její význam ozřejmí následující věty. V.1.9.
Nechť k: r (s ) je regulární křivka a s ∈ J oblouk. Označme α (h), resp. β (h) odchylku
vektorů t (s ) a t ( s + h), resp. b ( s ) a b ( s + h). Pak platí 1
k ( s ) = lim h →0
α ( h) h
,
resp.
2
k ( s ) = lim
β (h)
h→0
h
.
V.1.10. Nechť křivka k neobsahuje inflexní body. Pak má v každém svém bodě druhou křivost rovnu nule právě tehdy, když je rovinná. Výpočet druhé křivosti: 2
k = b′
2
k = − n ⋅ b ′,
Přirozené rovnice křivky: 1 k =1k ( s ) a křivostmi.
2
2
k=
(r ′ r ′′ r ′′′) , r ′′
2
2
k=
(rɺ rɺɺɺrɺɺ) . 2 rɺ × ɺrɺ
k = 2 k ( s ) . Křivka je (až na umístění) plně určena svými
-7-
1.7 Styk dvou křivek, oskulační kružnice Nechť se křivky určené vektorovými funkcemi 1r ( s ) a 2 r ( s ) protínají v bodě X určeném hodnotami s0 a s0 jejich přirozených parametrů. To znamená, že platí 1 r ( s0 ) = 2 r ( s0 ). Provedeme Taylorův rozvoj pro obě vektorové funkce: 1
r ( s0 + ∆s ) = 1r ( s0 ) +
∆s 1
⋅ r ′( s0 ) +
∆S
2
⋅ 1r ′′( s0 ) +
∆s
3
⋅ 1r ′′′( s0 ) + … + Rn +1 ,
1! 2! 3! 2 3 ∆s ∆s ∆s 2 ⋅ 2 r ′′( s0 ) + ⋅ 2 r ′′′( s0 ) + … + Rn +1. r ( s0 + ∆s ) = 2 r ( s0 ) + ⋅ 2 r ′( s0 ) + 1! 2! 3! Rozdílem obou vztahů dostaneme 2 ∆s ∆s 1 r ( s0 + ∆s ) − 2 r ( s0 + ∆s ) = ( 1r ′( s0 ) − 2 r ′( s0 ) ) + 1! 2!
(
1
)
r0′′ ( s0 ) − 2 r ′′( s0 ) +
∆s
3
3!
( r ′′′( s ) − 1
0
2
r ′′′( s0 ) ) + …
Jestliže se ∆s blíží k nule, závisí vzdálenost bodů s polohovými vektory 1r ( s0 + ∆s ) = 2 r ( s0 + ∆s ) na rozdílu derivací. Proto má smysl zavést následující definici.
D.1.8. Nechť se dvě křivky 1r ( s ) a 2 r ( s ) protínají v bodě X určeném hodnotami s0 a s0 jejich přirozených parametrů, tedy 1r ( s0 ) = 2 r ( s0 ). Říkáme, že křivky mají v bodě X styk alespoň n − tého řádu (též možno říci alespoň n + 1 bodový styk), právě když platí dj 1 dj 2 r ( s ) = r ( s0 ) 0 ds j ds j Platí-li navíc
pro j = 1, 2, … , n.
d n +1 1 d n +1 2 r ( s ) ≠ r ( s0 ), mají styk právě n − tého řádu ( n + 1 bodový). 0 ds n +1 ds n +1
Oskulační kružnice křivky r (t ) v jejím bodě r (t0 ) je kružnice, kterou dostaneme jako limitní polohu kružnice opsané trojúhelníku s vrcholy v koncových bodech základního umístění vektorů r (t0 ), r (t1 ), r (t2 ), pokud se t1 a t2 blíží k hodnotě t0 . Oskulační kružnice se též nazývá kružnice křivosti a má s danou křivkou styk druhého řádu (tříbodový styk). Její poloměr ρ nazýváme poloměr křivosti křivky v bodě t0 a střed oskulační kružnice je střed křivosti křivky v bodě t0 . Nechť je křivka vyjádřena pomocí oblouku, tedy r = r ( s ). Pak má oskulační kružnice tyto vlastnosti: 1. Kružnice leží v oskulační rovině bodu s0 ,
tečna
r ( s)
p − r ( s0 ) = n 1k
2. prochází bodem r ( s0 ), 3. má s křivkou společnou tečnu v bodě r ( s0 ),
r ( s0 )
4. má s křivkou společnou hlavní normálu v bodě r ( s0 ), 5. její střed S leží na hlavní normále,
-8-
p
1 , k ( s0 ) 7. Pro polohový vektor středu oskulační kružnice platí (viz obrázek)
6. její poloměr má velikost
1
p = r ( s0 ) +
1 n k
1
(1)
1.8 Obalová křivka, evoluta evolventa Obalovou křivkou (obálkou) jednoparametrické soustavy křivek se nazývá taková křivka k, která se dotýká každé křivky z dané soustavy křivek a zároveň je každý její bod bodem dotyku s některou křivkou soustavy. Křivka h, která protíná kolmo všechny tečny dané křivky k, se nazývá evolventou křivky k. Obalová křivka normál křivky k se nazývá evoluta křivky k. Každá křivka má jedinou evolutu a zároveň jí přísluší nekonečně mnoho evolvent. Evoluta ℓ křivky k se definuje jako množina všech jejích středů křivosti. Je zároveň obalovou křivkou normál křivky k. Křivka k je tzv. evolventou křivky ℓ. Evolventa křivky k se definuje jako křivka h, která protíná kolmo všechny tečny dané křivky k. Každá křivka má jedinou evolutu a zároveň jí přísluší nekonečně mnoho evolvent. Dá se ukázat, že evolventa vzniká jako trajektorie bodu tečny při jejím odvalování po dané křivce. Rovnice evoluty rovinné křivky r ( x(t ), y (t ) ) odvodíme ze vztahu (1). Vektor rɺ = ( xɺ (t ), yɺ (t ) ) má
− yɺ xɺ směr tečny, proto má vektor normály tvar n = , xɺ 2 + yɺ 2 xɺ 2 + yɺ 2
navíc 1k =
2 rɺ × ɺɺ r
D
=
( rɺ ⋅ rɺ ) ( xɺ 3
2
+ yɺ
3 2 2
)
, kde D =
xɺ yɺ ≠ 0. Po dosazení do (1) dostaneme pro ɺɺ x ɺɺ y
souřadnice X (t ) a Y (t ) evoluty ℓ rovnice X = x(t ) − ( xɺ 2 + yɺ 2 )
,
yɺ xɺ , Y = y (t ) + ( xɺ 2 + yɺ 2 ) . D D
-9-
Úlohy: 1. Dokažte, že evolutou elipsy x = a cos t , y = b sin t
je tzv. zobecněná asteroida o rovnici 2
2
4
(ax) 3 + (by ) 3 = e 3 , kde e = a 2 − b2 je excentricita elipsy.
2. Dokažte, že evolutou paraboly y 2 = 2 px je semikubická parabola 27 py 2 = 8( x − p )3 .
3. Dokažte, že evolventou kružnice
x 2 + y 2 = r 2 je křivka s vyjádřením x = r (cos t + t sin t ), y = r (sin t − t cos t ).
- 10 -
2. GEOMETRIE PLOCH 2.1.
Základní pojmy
Definice a věty uvádíme pouze pro vektorové funkce. Promyslete si jejich analogie pro bodové funkce. →
Definice 2.1. Vektorová funkce r (u 1 , u 2 ) M ⊂ R × R do vektorového prostoru V3.
proměnných
u 1 , u 2 ∈M
je zobrazení množiny
→
Je tedy r (u1 , u 2 ) = ( x1 (u1 , u 2 ), x2 (u1 , u 2 ), x3 (u1 , u 2 ) ) , kde xi (u1 , u 2 ) jsou reálné funkce proměnných u1 , u 2 a i = 1, 2,3.
Definice 2.2. Nechť existují limity lim xi (u1, u2) = ai, i∈{1,2,3} , 1 1 0 2 2 u →u 0 u →u
→ →
pak limitou funkce r = r (u1 , u 2 ) = ( x1 (u1 , u 2 ), x2 (u1 , u 2 ), x3 (u1 , u 2 ) ) v bodě (u 10 , u 02 ) rozumíme →
vektor a = (a1 , a 2 , a3 ) . →
Definice 2.3. Parciální derivace funkce r značíme a definujeme následovně: →
→
(
) ( →
)
∂r r u 1 + h, u 2 − r u 1 , u 2 ∂ x1 ∂ x2 ∂ x3 = 1 , 1 , 1 r 1 = 1 = lim ∂ u h →0 h ∂u ∂u ∂u
→
→
→
r ( u1 , u 2 + h ) − r ( u1 , u 2 ) ∂ x1 ∂ x2 ∂ x3 ∂r r2 = 2 = lim = 2 , 2 , 2 h →0 ∂u h ∂u ∂u ∂u →
→
∂ 2 x1 ∂ 2 x2 ∂ 2 x3 ∂2 r rij = i j = i j , i j , i j ∂ u ∂u ∂ u ∂u ∂ u u ∂ u ∂u →
Definice 2.4. Souvislá a otevřená podmnožina Ω množiny ω = R x R se nazývá oblast. Přitom
Ω je souvislá, právě když každé dva její body lze spojit lomenou čarou, která celá leží v Ω. Ω je otevřená množina, právě když ke každému jejímu bodu X existuje δ − okolí , které je podmnožinou množiny Ω. Poznámka. Množinu ω = R x R si představujeme jako aritmeticky pojatou rovinu, proto zde její prvky (uspořádané dvojice reálných nazýváme body. δ − okolí bodu X je množina všech bodů roviny které mají od bodu X vzdálenost menší než δ .
- 11 -
Delta okolí d X čísel) ω,
Definice 2.5. Množina bodů X = O + r z prostoru E3, které jsou určeny vektorovou funkcí → →
r = r (u 1 , u 2 ) se nazývá regulární plocha, právě když současně platí: →
a) r je definována na oblasti Ω a má zde spojité parciální derivace nejméně do 3. řádu (je třídy alespoň C3). →
→
b)
→ ∂r ∂r Vektory r 1 = 1 a r2 = 2 jsou lineárně nezávislé pro všechna (u 1 , u 2 ) ∈ Ω. ∂u ∂u
c)
Každým dvěma různým bodům z Ω přísluší dva různé body plochy (tj. r je prostá funkce).
→
→
2.2.
Transformace parametrů na ploše
Tutéž plochu lze popsat pomocí různých vektorových funkcí. Definice 2.6. Nechť Z je zobrazení oblasti Ω
na oblast Ω dané funkcemi u 1 = u 1 (u 1 , u 2 ) a
u 2 = u 2 (u 1 , u 2 ) kde ( u 1 , u 2 ) ∈ Ω a ( u 1 , u 2 ) ∈ Ω . Zobrazení Z se nazývá přípustné zobrazení, právě když současně platí: a) Zobrazení Z je prosté. b) Funkce u1, u2 jsou třídy aspoň C3. ∂ u1 ∂ u 2 ∂ u1 ∂ u1 1 2 c) Pro všechny body (u , u ) ∈ Ω je jakobián různý od nuly. ∂ u1 ∂ u 2 ∂ u2 ∂ u2 Je- li Z přípustné zobrazení oblasti Ω na oblast Ω , pak existuje inverzní zobrazení Věta 2.1. −1 Z :Ω → Ω . →
Nechť r (u 1 , u 2 ) definována na oblasti Ω určuje regulární plochu P a Z je přípustné Věta 2.2. zobrazení oblasti Ω na oblast Ω dané funkcemi u 1 = u 1 (u 1 , u 2 ) , u 2 = u 2 (u 1 , u 2 ) , kde ( u 1 , u 2 ) ∈ Ω →
→
a ( u 1 , u 2 ) ∈ Ω . Pak vektorová funkce r (u 1 , u 2 ) = r (u 1 (u 1 , u 2 ),u 2 (u 1 , u 2 )) určuje tutéž plochu P. →
→
Věta 2.3. Jestliže jsou r (u 1 , u 2 ) a r (u 1 , u 2 ) dvě různá vyjádření téže plochy P, kde (u1 , u 2 ) ∈ Ω a (u 1 , u 2 ) ∈ Ω, pak existuje přípustné zobrazení Z: (u 1 , u 2 ) → ( u1 (u 1 , u 2 ), u 2 (u 1 , u 2 ) ) oblasti Ω na oblast Ω takové, že r ( u1 (u 1 , u 2 ), u 2 (u 1 , u 2 ) ) = r (u 1 , u 2 ).
- 12 -
2.3.
Souřadnicové křivky →
Definice 2.7. Nechť r (u 1 , u 2 ) je regulární plocha definovaná na oblasti Ω a C = (c1 , c 2 ) ∈ Ω je pevně zvolený bod. →
→
Křivka daná rovnicí r (u1 ) = r (u1 , c 2 ) se nazývá u 1 křivka v bodě C a křivka daná rovnicí →
→
r (u 2 ) = r (c1 , u 2 ) je u 2 křivka v bodě C.
Poznámka. Každým bodem C oblasti Ω prochází právě jedna u 1 křivka a právě jedna křivka. Tyto křivky vytvářejí soustavu křivočarých souřadnic na ploše. Tečny k nim v bodě C nesplývají, jak plyne z definice 2.5. Parametrická křivka nemusí být nutně regulární.
r2
u2
r1 u 2 křivka c = r (c1 , c 2 ) u1 křivka
O Příklady některých ploch
2.4.
→
1) r = (a cos u1 , a sin u1 , u 2 ) - válcová plocha →
2) r (u1 , u 2 ) = (a cos u1 cos u 2 , a sin u1 cos u 2 , a sin u 2 ) - kulová plocha (Podrobněji viz přednáška)
2.5.
Křivky na ploše →
→
Ve vyjádření plochy r = r (u 1 , u 2 ) definované na oblasti Ω zvolíme funkce
u 1 = u 1 (t ) a
u 2 = u 2 (t ), kde t ∈ J je otevřený interval, tak aby ( u1 (t ), u 2 (t ) ) ∈ Ω pro všechna t ∈ J . Pak →
→
→
r = r (u 1 (t ), u 2 (t )) = r (t ) je křivka v E3, která leží na dané ploše. →
Příklad.
2.6.
r = (a cos u1 , a sin u1 , u 2 ) , (u 1 , u 2 ) ∈ R × R (viz přednáška)
Tečné a normálové vlastnosti plochy
→ → → → du1 → du 2 Tečný vektor ke křivce r = r (u 1 (t ), u 2 (t )) = r (t ) je rɺ = r 1 + r2 . dt dt →
∂r du1 du 2 Přitom ri = i , i = 1, 2. Skaláry a , kterými násobíme vektory r2 a r2 představují dt dt ∂u souřadnice tečného vektoru rɺ křivky r ve vnitřní geometrii plochy. Nazývají se kontravariantní souřadnice vektoru r . →
- 13 -
→
→
Věta 2.4. Tečny ke všem křivkám plochy v jejím daném bodě T : r = r (u01 , u02 ) leží v jediné rovině →
→
určené tímto bodem a vektory r1 (u01 , u02 ), r 2 (u01 , u02 ). Tato rovina se nazývá tečná rovina plochy v bodě dotyku T. Její parametrické vyjádření je →
→
→
→
x − r = α r1 + β r2 α , β ∈ R. →
→ → →
Rovnice tečné roviny ve vektorovém tvaru: ( x − r , r1 , r2 ) = 0 . (Výraz na levé straně rovnice je smíšený součin uvedených tří vektorů. Bod X je bodem tečné roviny, právě když je v příslušném determinantu je první řádek lineární kombinací druhých dvou.) →
→
→
a) Normála plochy má směrový vektor n = r1× r2 . →
(
)
Příklad. Rotační paraboloid je určen funkcí r = u1 , u 2 , ( u1 ) + ( u 2 ) , u i ∈ R. Určete jeho tečnou 2
2
→
rovinu a normálu v bodě T : r = ( 2,3) . (Řešení viz přednáška.)
2.7.
První základní forma plochy →
→
Plocha: r = r ( u1 , u 2 ) , kde ( u1 , u 2 ) ∈ Ω →
→
→ → ∂r ∂r d r = 1 du1 + 2 du 2 = r1 du1 + r2 du 2 ∂u ∂u →
→2
→
→
2 → →
ϕ = d r = d r ⋅ d r = ∑∑ r i rj du i du j = gij du i du j = g11 ( du1 ) + 2 g12 du1du 2 + g 22 ( du 2 ) 2
2
i =1 j =1
( Gaussovo
E
F
2
G
značení koeficientů 1. základní formy plochy: g11 = E , g12 = g 21 = F , g 22 = G.
Výpočet koeficientů:
gij = ri ⋅ rj
- 14 -
)
Aplikace 1. základní formy →
→
a) Délka oblouku křivky r ( t ) = r ( u1 ( t ) , u 2 ( t ) ) na ploše je t
t
t0
t0
s = ∫ ϕ = ∫ gij du i ( t ) du j ( t ) . b) Obsah plochy Diskriminant 1. základní formy je determinant g = 2 r1 Platí: g = det r ⋅ r cos α 1 2
r1 ⋅ r2 cos α 2 = r ⋅ r2 2 r2
g11 g 21 2
g12 = g11 g 22 − g122 . g 22
(1 − cos α ) = r × r 2
1
2
2
Element plochy: dS = dr1 × dr2 = r1du1 × r2 du 2 = r1 × r 2 du1du 2 = g du1du 2
Obsah plochy: S = dS = 1 2 ∫∫ ∫∫ g du du Ω
Ω
c) Skalární součin vektorů v tečném bodě plochy V daném bodě plochy uvažujme tečnou rovinu a v ní vektory: →
→
→
→
→
→
→
→
a = a1 r1 + a 2 r2 = a i ri
b = b1 r1 + b 2 r2 = b i ri
→ →
a i , bi jsou souřadnice vektorů a , b vzhledem k bázi ( r1 , r2 ) .
→ →
Skalární součin vektorů:
→→
a⋅ b = a i b j ri rj = gij ai b j
d) Odchylka dvou křivek plochy je odchylka jejich tečen: cos α =
a ⋅b a⋅b
=
g ij a i b j g kl a k a l ⋅ g mn b mb n
Definice 2.8. Jestliže se parametrické křivky v každém bodě plochy protínají kolmo, řekneme, že tvoří ortogonální síť. Věta 2.5. Parametrické křivky tvoří na ploše ortogonální síť právě tehdy, když v každém bodě plochy je g12 = 0
- 15 -
2.8
Druhá základní forma plochy →
V následujících úvahách budeme na ploše σ : r ( u1 , u 2 ) , kde ( u1 , u 2 ) ∈ Ω, volit křivku ℓ : y = y ( s ) = r ( u1 ( s ) , u 2 ( s ) ) ,
(1)
kde s je oblouk.
r1 × r2 se nazývá vektor normály v daném bodě. Prochází-li r1 × r2 navíc tímto bodem křivka s vektorovým vyjádřením (1), pak číslo kn = y′′ ⋅ m nazýváme normálová křivost křivky v daném bodě. Definice 2.9.
Jednotkový vektor m =
Poznámka. Číslo kn představuje velikost kolmého průmětu vektoru y′′ do normály. Věta 2.6.
Platí
kn =
ϕ2 , kde skalár ϕ 2 = m ⋅ rij du i du j = hij du i du j nazýváme druhá základní ϕ1
forma plochy a jeho koeficienty hij = m ⋅ rij jsou tzv. koeficienty druhé základní formy plochy.
Věta 2.7 (důsledek věty 2.6). Normálová křivost všech křivek plochy, které mají v daném bodě plochy společnou tečnu, je v tomto bodě stejná. Na směru tečny v daném bodě však závisí. Věta 2.8.
Platí hij = − mi ⋅ rj , kde mi =
∂m . ∂u i
.
Definice 2.10. Směr, v němž je normálová křivost v daném bodě plochy nulová, se nazývá asymptotický směr. Bod plochy, ve kterém je každý směr asymptotický, nazýváme planární bod plochy. Poznámka.
Planární body představují analogii inflexních bodů křivek.
Věta 2.9. Plocha má všechny své body planární právě tehdy, když je to rovina nebo její část. 1 se nazývá poloměr normálové křivosti a bod S n = X + Rn m je střed kn normálové křivosti plochy v daném bodě.
Definice 2.11. Číslo Rn =
Věta 2.10. Všechny křivky na dané ploše, které procházejí jejím bodem X a mají v něm společnou tečnu a společnou oskulační rovinu různou od tečné roviny plochy, mají v bodě X stejnou křivost. Mezi těmito křivkami je právě jedna rovinná (je průnikem plochy a zmíněné oskulační roviny.)
- 16 -
Věta 2.11 (Meusnier 1776). Nechť t je tečna k regulární ploše v jejím bodě X a směr tečny t není asymptotický. Množinou středů všech oskulačních kružnic těch křivek plochy, které mají společnou tečnu t, je kružnice ℓ o průměru S n X , jež leží v rovině kolmé na tečnu t. Důkaz. Na obrázku je řez plochy σ rovinou π , která jde bodem X a je kolmá na zvolenou tečnu t. Sn je střed normálové křivosti plochy v bodě X, přímka SX je průnik roviny π a oskulační roviny křivky y ( s ) = r ( u1 ( s ), u 2 ( s ) ) , jejíž tečnou je t. Bod S ≠ X je střed křivosti křivky y. Zřejmě S ∈ ℓ, právě když ( S − X ) ⋅ ( S n − S ) = 0. Vypočítáme tedy skalární součin ( S − X ) ⋅ ( S n − S ). Platí: (S − X ) ⋅ ( Sn − S ) = ( S − X ) ⋅ ( (Sn − X ) − ( S − X ) ) =
= ρ n ⋅ ( Rn m − ρ n ) , kde ρ je poloměr křivosti křivky y. y′′ y′′ Za její vektor normály dosadíme n = = = ρ y′′ a dostaneme y′′ 1k ( S − X ) ⋅ ( S n − S ) = ρ 2 Rn y′′ ⋅ m − ρ 2 n ⋅ n = ρ 2 Rn
1 − ρ 2 = 0. Tím je důkaz proveden. Rn
Dupinova indikatrix i j 1 ϕ2 hij du du du i Z definice normálové křivosti plyne = = . Při označení t i = můžeme předchozí Rn ϕ1 ds ds ds
vztah přepsat na tvar Rn hij t i t j = 1. Položme ještě q i = t i
hij q i q j ± 1 = 0,
Rn . Obdržíme rovnici (2)
která představuje rovnici středově souměrné kuželosečky nebo dvojice středově souměrných kuželoseček v souřadnicích q i . Středová souměrnost plyne z toho, že se vztah nemění záměnou (q1 , q 2 ) → (− q1 , − q 2 ). Křivka daná vztahem (2) se nazývá Dupinova indikatrix. Její význam spočívá v tom, že popisuje velikost normálové křivosti plochy v bodě X v závislosti na směru tečny. x Abychom vyšetřili asymptotické směry, zavedeme homogenní souřadnice pomocí vztahů q i = i . x3 Rovnice (2) bude mít po úpravě tvar h11 x12 + 2h12 x1 x2 + h22 x22 ± x32 = 0. (3) Poznamenejme, že jsme zde na chvíli opustili tenzorovou symboliku, a tak horní indexy ve vztahu (3) představují mocniny. Pro nevlastní bod kuželosečky je x3 = 0 a jeho zbývající souřadnice tedy
- 17 -
splňují vztah h11 x12 + 2h12 x1 x2 + h22 x22 = 0. Na tuto podmínku se můžeme dívat jako na rovnici 2 s neznámou x1 , parametrem x2 a diskriminantem D = −4h, kde h = h1h2 − h12 .
1. Nechť je h > 0. Pak je diskriminant D záporný a kuželosečka nemá nevlastní body. Je to elipsa nebo kružnice. Vzdálenost od počátku soustavy souřadnic je úměrná číslu
Rn . Bod X v tomto
případě nazýváme eliptický bod. Je-li Dupinova kvadratrix kružnicí, užíváme pro bod X název kruhový bod. Bod X je kruhový, právě když hij = c g ij , kde c ≠ 0 je konstanta. Vztah (2) má totiž v takovém případě tvar gij q i q j =
R=
1
1 a představuje kružnici se středem v počátku a poloměrem c
. (Uvědomte si, že levou stranu vztahu lze interpretovat jako druhou skalární mocninu
c
polohového vektoru bodu křivky.)
2. Pro h = 0 popisuje rovnice (2) středově souměrnou kuželosečku s jedním asymptotickým směrem. Je to dvojice přímek středově souměrných podle počátku. V asymptotickém směru je normálová křivost nulová, ve směru na něj kolmém je minimální. Bod X s touto vlastností se nazývá parabolický bod. 3. Je-li h < 0, je diskriminant D kladný a Dupinova kvadratrix má dva asymptotické směry, které odpovídají nulové normálové křivosti. Kvadratrix je dvojicí hyperbol se společnými asymptotami a hlavními směry. V hlavních směrech má normálová křivost lokální minima. Bod X se nazývá hyperbolický bod.
- 18 -
