Transformace 2D. Transformace. Souřadnicové systémy. Vektorová a rastrová grafika. Přednáška 7

Transformace

Přednáška 7

Transformace je proces, při kterém dochází ke změně polohy, orientace nebo velikosti jednotlivých zobrazovaných objektů (geometrie objektů).

Transformace 2D

1

Počítačová grafika, PV, UPCE-KID, [2010/2011]

Vektorová a rastrová grafika

Transformace souřadnicového systému Projekce (v 3D) Lineární transformace: Lineární transformace: T(v+w) = T(v) + T(w) posunutí T( λv) = λT(v) otočení změna měřítka ! Pro některé lineární transformace zrcadlení NEEXISTUJE opačná (inverzní transformace) zkosení


Přednáška 7

2

Přednáška 7

4

Souřadnicové systémy

Vektorová grafika – transformace se aplikuje na všechny (řídící) body (vrcholy) daného objektu. Rastrová grafika – transformace se aplikuje na všechny pixely rastru (více viz 10. přednáška).

Nejpoužívanější SS jsou karteziánský a polární SS.

r

xB = r. cos(α ) yB = r. sin(α ) Počítačová grafika, PV, UPCE-KID, [2010/2011]

Přednáška 7

3


r = xB 2 + yB 2 ⎛ yB ⎞ ⎟ ⎝ xB ⎠

α = arctg ⎜

SSZ a USS

Transformační matice

USS – Univerzální (Uživatelský) souřadnicový systém, světové souřadnice SSZ – Souřadnicový systém zařízení

dX = (pixMaxX – pixMinX) / (realMaxX – realMinX) [pixMinX, pixMinY] [0, 0]

pixX

dY = (pixMaxY – pixMinY) / (realMaxY – realMinY)

Souřadnice bodu P = [x, y] se vlivem transformace upraví na P´= [x´, y´] A – transformační matice Způsoby zápisu transformace (explicitní a maticové) Explicitní vyjádření

⎧ x' = 3x ⎨ ⎩ y' = x + 2 y

Vztahy přepočítávající reálné souřadnice na obrazovkové

pixX = pixMinX + (realX – realMinX)*dX pixY= pixMinY + (realMaxY – realY)*dY [1023,767] [pixMaxX, pixMaxY]

realY

pixY

P' realX

Vztahy přepočítávající obrazovkové souřadnice na reálné

[500,-200] [realMaxX, realMinY] Přednáška 7


5

Homogenní souřadnice

Některé transformace nelze vyjádřit pomocí matice 2x2, např.:

⎧ x' = x + 3 ⎨ ⎩ y' = y + 2

[x'

y '] = [x

což vede na nekorektní maticový zápis:

Pro jednotný maticový výpočet budeme používat čtvercovou matici o rozměru (n+1) x (n+1).

[x'

y '] = [x

⎡3 1 ⎤ y ]* ⎢ ⎥ ⎣0 2 ⎦

Sloupcový vektor (standardní matematický zápis)

⎡ x' ⎤ ⎡3 0⎤ ⎡ x ⎤ ⎢ y '⎥ = ⎢1 2⎥ * ⎢ y ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦


Přednáška 7

6

Transformační matice má pro 2D prostor rozměr 3x3.

Přednáška 7

8

Inverzní transformační matice A-1

[x'

⎡1 0 ⎤ y ]* ⎢⎢0 1 ⎥⎥ ⎢⎣3 2⎥⎦

Vektor rozšíříme o souřadnici w (homogenizační faktor, w<>0, nejčastěji w=1), původní souřadnice upravíme vynásobením nebo vydělením [x' y' w'] = [x hodnotou w.


y ]* A *A

Inverzní transformace

y '] = [x =P

⎡x ⎤ ⎡ x' ⎤ ⎢ y '⎥ = A * ⎢ y ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ P' = A * P

realX = realMinX + (pixX – pixMinX) / dX realY = realMaxY – (pixY – pixMinY) / dY

Řádkový vektor (preferováno v literatuře o PG)

[x'

[realMinX, realMaxY] [-100,200]

Tento způsob bude používán při výkladu

y '] = [x

y ]* A −1

A * A −1 = A −1 * A = I

Příklad (otočení) ⎡ cos(α ) sin(α ) ⎤ ⎡ cos(−α ) sin(−α ) ⎤ ⎡cos(α ) − sin(α )⎤ ; A −1 = ⎢ A=⎢ ⎥ ⎥=⎢ ⎥ ⎣− sin(α ) cos(α )⎦ ⎣− sin(−α ) cos(−α )⎦ ⎣ sin(α ) cos(α ) ⎦

⎡1 0 0 ⎤ y w]* ⎢⎢0 1 0⎥⎥ ⎢⎣3 2 1⎥⎦

cos(−α ) = cos(α ) sin(−α ) = − sin(α ) cos 2 (α ) + sin 2 (α ) = 1 ⎡ cos(α ) sin(α ) ⎤ ⎡cos(α ) − sin(α )⎤ ⎡1 0⎤ A * A −1 = ⎢ ⎥=I ⎥*⎢ ⎥=⎢ ⎣− sin(α ) cos(α )⎦ ⎣ sin(α ) cos(α ) ⎦ ⎣0 1⎦

Přednáška 7

7


Neexistující inverzní transformace

Posunutí

Inverzní transformace neexistuje, pokud |A|=0

Příklad: Transformace: projekce bodu na osu x ⎧ x' = x ⎨ ⎩ y' = 0

X ´= X + XM

Y ´= Y + Y M Neexistuje inverzní transformace.

1 0 [x' y'] = [x y ]* ⎡⎢ ⎤⎥ ⎣0 0 ⎦ 1 0 det A = A = =0 0 0

9

Přednáška 7

Otočení

β

[0,0]

x

X ´= X cos β − Y sin β

Maticové vyjádření otočení ⎡ cos β AR = ⎢⎢− sin β ⎣⎢ 0

sin β cos β 0

0⎤ 0⎥⎥ 1 ⎦⎥

⎡cos β −1 A R = ⎢⎢ sin β ⎢⎣ 0

β

− sin β

cos β 0

0⎤ 0⎥⎥ 1⎥⎦

[0,0]

x

Otočení okolo obecného bodu R[XR, YR] lze řešit složenou transformací: posunutí → otočení → zpětné posunutí.


⎡ 1 −1 A M = ⎢⎢ 0 ⎢⎣− XM

0 1 − YM

0⎤ 0⎥⎥ 1 ⎥⎦

p y

[0,0]

x

Přednáška 7

x'

10

x = r cos α y = r sin α x´= r cos (α + β) y´= r sin (α + β) sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β

y

Y ´= X sin β + Y cos β

0⎤ 0⎥⎥ 1⎦⎥

y'


y

Otočení (rotation) bodu P kolem počátku O=[0,0] o orientovaný úhel β do bodu P´ Explicitní výpočet souřadnic P´

Maticové vyjádření posunutí

⎡1 0 AM = ⎢⎢ 0 1 ⎣⎢ XM YM

Logické vysvětlení: ???


Posunutí (move) bodu P do bodu P´ o vektor p Vektor posunutí p = ( XM , YM ) = ( X ´− X , Y ´−Y ) Explicitní výpočet souřadnic P´

Přednáška 7

11

Pomocí vzorců pro cos a sin součtu úhlů rovnice upravíme: x´= r cos (α + β) = r cos α cos β - r sin α sin β y´= r sin (α + β) = r sin α cos β + r cos α sin β x´= x cos β - y sin β y´ = x sin β + y cos β Kladné hodnoty β určují otočení proti směru hodinových ručiček, záporné hodnoty β určují otočení ve směre hodinových ručiček.


Přednáška 7

12

Otočení rastrového obrázku

Zkosení

Dopředné a zpětné mapování Algoritmy zlepšující kvalitu transformace → viz přednáška: Rastrová grafika

Zkosení (shear) je transformace udávaná koeficientem míry zkosení SHx ve směru osy x, respektive SHy ve směru osy y. Explicitní výpočet souřadnic P´

X ´= X + SHX Y Y ´= SHY X + Y

Maticové vyjádření zkosení ⎡ 1 ASh = ⎢⎢ SHX ⎣⎢ 0

SHY 1 0

0⎤ 0⎥⎥ 1 ⎦⎥

SHx=0.5 y 2

[0,0]

Přednáška 7


x

13


Přednáška 7

14

15


Přednáška 7

16

Změna měřítka

Změna velikosti objektu (scale) ve směru souřadnicových os o koeficient Sx, Sy |S|∈(0,1) ----> zmenšení objektu |S|>1 ----> zvětšení objektu Pro S<0 dochází ke změně měřítka v opačném směru. Explicitní výpočet souřadnic P´

X ´= Sx X Y ´= Sy Y

Maticové vyjádření ⎡ SX AS = ⎢⎢ 0 ⎢⎣ 0

0

SY 0

0⎤ 0⎥⎥ 1⎥⎦


y y'

[0,0]

x

x'

Přednáška 7

Souměrnost

Jednotlivé případy souměrnosti

Zvláštní případ změny měřítka (symetry) Absolutní hodnota koeficientů je rovna jedné Souměrnost osová a středová Používají se výrazy „překlopení, zrcadlení“ (reflection, flip, mirror) y

Sx Sy souměrnost podle osy x

y

[0,0]

x


[0,0]

Přednáška 7

17

-1

středová souměrnost

-1 -1

1

Středová souměrnost je ekvivalentní otočení o 180°

Přednáška 7


18

Příklad skládání transformací

Postupné aplikování jednotlivých transformací na bod P Záleží na pořadí, pro skládání transformací NEPLATÍ komutativní zákon. Vyjádření jedinou maticí, kterou dostaneme postupným násobením matic, představujících jednotlivé částečné transformace Násobení zprava P ' = P * A

y α

yr p (-xr, -yr) [0,0]

R p (-xr, -yr) xr

x

0 0⎤ ⎡ cos α sin α 0⎤ ⎡ 1 0 ⎡ 1 ⎢ 1 0⎥⎥ * ⎢⎢− sin α cos α 0⎥⎥ * ⎢⎢ 0 1 AM = ⎢ 0 ⎢⎣− xR − yR 1⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 1⎥⎦ ⎢⎣ xR yR cos α sin α ⎡ ⎢ cos α − sin α AM = ⎢ ⎢⎣ xR − xR cos α + yR sin α yR − xR sin α − yR cos α

Příklad: Otočení o úhel α okolo bodu R=[xR,yR]

A = AM * AR * A −M1


souměrnost podle osy y

x

Skládání transformací

1 -1

Přednáška 7

19


0⎤ 0⎥⎥ 1⎥⎦ 0⎤ 0⎥⎥ 1⎥⎦ Přednáška 7

20

Přesnost a kumulace chyb

Podpora v Javě

Zásady: Výpočty provádět s reálnými proměnnými Zaokrouhlení provádět pouze pro účel vykreslení Při vícenásobných transformacích dochází ke kumulování chyb Doporučení: využívat typ double místo typu float Příklad: Opakované otáčení úsečky (např. sekundová ručička) krok 6° (-6°) počáteční stav A:[0.0, 0.0], B[100.0, 0.0] koncový stav B při použití souřadnic typu float

translate (int x, int y) – posunutí počátku souřadnicového x Text

Text y

1 min. (60 x otočení): B[99.99999999999973, -4.857222573273E-14] 8 hod. (28800 x otočení): B[99.99999999986587, -2.952499356112E-11] Přednáška 7

21

Podpora v Javě

! Pouze transformace zobrazovacího režimu, neřeší samotnou transformaci (změnu) vykreslovaných dat

void translate(double tx, double ty) void translate(int x, int y)

void rotate(double theta) void rotate(double theta, double x, double y)

shear(double shx, double shy)

scale(double sx, double sy)

AffineTransform getTransform() void transform(AffineTransform Tx)



Přednáška 7

22

Přednáška 7

24

Podpora v Javě

Graphics2D

! Pouze transformace zobrazovacího režimu, neřeší samotnou transformaci (změnu) vykreslovaných dat

1 min. (60 x otočení): B[100.00008, -1.1175871E-5] 8 hod. (28800 x otočení): B[100.00328, -1.9669533E-4]


koncový stav B při použití souřadnic typu double

Graphics

AffineTransform AffineTransform() - jednotková matice transformace AffineTransform(AffineTransform Tx) AffineTransform(double[] flatmatrix) – 4 nebo 6 prvků AffineTransform(float[] flatmatrix) – 4 nebo 6 prvků AffineTransform(double m00, double m10, double m01, double m11, double m02, double m12) AffineTransform(float m00, float m10, float m01, float m11, float m02, float m12)

Přednáška 7

23

m00 - the X coordinate scaling element of the 3x3 matrix m10 - the Y coordinate shearing element of the 3x3 matrix m01 - the X coordinate shearing element of the 3x3 matrix m11 - the Y coordinate scaling element of the 3x3 matrix m02 - the X coordinate translation element of the 3x3 matrix m12 - the Y coordinate translation element of the 3x3 matrix


Podpora v Javě

⎡ sx shx tx ⎤ AT = ⎢⎢ shy sy ty ⎥⎥ ⎢⎣ 0 0 1 ⎥⎦

AffineTransform concatenate(AffineTransform Tx) AffineTransform createInverse() invert() getMatrix(double[] flatmatrix) rotate(double theta) rotate(double theta, double anchorx, double anchory) scale(double sx, double sy) ⎡m00 shear(double shx, double shy) AT = ⎢ m10 translate(double tx, double ty) Skutečná transformace (změna) vykreslovaných dat

⎢ ⎢⎣ 0

m01 m02⎤ m11 m12 ⎥⎥ 0 1 ⎥⎦

transform(Point2D ptSrc, Point2D ptDst) transform(Point2D[] ptSrc, int srcOff, Point2D[] ptDst, int dstOff, int numPts) …


Přednáška 7

25

Transformace 2D. Transformace. Souřadnicové systémy. Vektorová a rastrová grafika. Přednáška 7

Recommend Documents