Toegepaste energieleer

Docentenhandleiding

Toegepaste energieleer Warmte- en stromingsleer Tweede druk

Arie Taal

90 395 2653 D

Deze docentenhandleiding hoort bij: Titel: Toegepaste energieleer, Auteur: Arie Taal Druk: 2e druk, 2012 Uitgegeven door: Sdu Uitgevers bv, Den Haag ISBN: 978 90 395 2653 8 Copyright © 2012 Sdu Uitgevers Academic Service is een imprint van Sdu Uitgevers bv. ISBN 90 395 2653 D Hoewel deze docentenhandleiding met zeer veel zorg is samengesteld, aanvaarden auteur(s) noch uitgever enige aansprakelijkheid voor schade ontstaan door eventuele fouten en/of onvolkomenheden in deze handleiding.

Inhoud Inhoud................................................................................................................................... 3 Uitwerkingen ........................................................................................................................ 1 Hoofdstuk 2 Energievormen.............................................................................................. 1 Hoofdstuk 3 Toestandsgrootheden en stofeigenschappen ................................................. 4 Hoofdstuk 4 Energieomzetting ........................................................................................ 14 Hoofdstuk 5 Gesloten systemen ...................................................................................... 17 Hoofdstuk 6 Theoretische kringprocessen ...................................................................... 25 Hoofdstuk 7 Open systemen ............................................................................................ 30 Hoofdstuk 8 Niet-omkeerbare toestandsveranderingen................................................... 37 Hoofdstuk 9 Werkelijke kringprocessen ......................................................................... 43 Hoofdstuk 10 Wrijvingsloze onsamendrukbare stroming ............................................... 67 Hoofdstuk 11 Wrijvingsloze gasstroming ....................................................................... 72 Hoofdstuk 12 Stroming met weerstand ........................................................................... 75 Hoofdstuk 13 Stationaire warmtetransport ...................................................................... 82 Hoofdstuk 14 Instationaire warmtetransport ................................................................... 91 Hoofdstuk 15 Warmteoverdracht door convectie ............................................................ 95 Hoofdstuk 16 Warmteoverdracht door straling ............................................................. 112

Docentenhandleiding Toegepaste Energieleer – Warmte- en stromingsleer

1

Uitwerkingen Hoofdstuk 2 Energievormen Opgave 1 Welke energievormen spelen een rol bij de volgende werktuigen of installaties? a. Windmolen: kinetische energie en arbeid b. Verbrandingsmotor: chemische energie, warmte, arbeid, kinetische energie, inwendige energie c. Elektromotor: arbeid en kinetische energie d. Waterkrachtcentrale in een rivier: kinetische energie en arbeid e. Zonnecollector: warmte en inwendige energie f. Zonnecel: warmte en arbeid.

Opgave 2 Lucht stroomt met een snelheid van 5 m/s door een windmolen. In een uur stroomt er 10000 kg lucht door de windmolen. Wat is het maximaal vermogen die deze windmolen kan leveren?

P

1 mv 2 2 t

Ek t

1 2

m

.v 2

1 10000 2 . .5 2 3600

34,7 W

Opgave 3 Een massa van 20 kg bevindt zich 3 m boven de vloer. Wat is de potentiële energie van deze massa?

Ep

m.g .z

20 .9,81 .3

588 ,6 J

Opgave 4 Gegeven is een windmolen met een rotor met een diameter van 3 m. De windsnelheid is 5 m/s. Ga voor de dichtheid van lucht uit van 20 °C. Wat is het maximale vermogen van deze windmolen?

1 mv 2 Ek 2 P t t Opgave 5

1 2

m

.v 2

1 2

V

. .v 2

1 A. .v 3 2

1 . D 2 .v 3 2 4

1 . 32.1,2.53 2 4

530,1 W

Een archiefkast met een massa van 10 kg moet over een vloer 10 m verplaatst worden. De wrijvingscoëfficiënt tussen vloer en kast bedraagt 0,2. Wat is de arbeid die verricht moet worden? Ww

Fw .s

f w .FN .s

f w .m.g.s 0,2.10.9,81.10 196,2 J

Opgave 6 Een gas met een druk van 2 bar oefent een kracht uit op een oppervlak van 0,2 m2. Hoe groot is deze kracht? F

p. A

2.105.0,2

40000 N

40 kN

Opgave 7 Perslucht van 3 bar duwt een cilinder met een diameter van 0,1 m weg over een afstand van 0,1 m. Wat is de geleverde arbeid?

W

F .s

p. A.s

3.105. 0,12.0,1 235,6 J 4


2

Opgave 8 Een elektromotor levert een vermogen van 300 W. Wat is de geleverde arbeid in een uur?

W

P. t

1,08 .10 6 J

300 .3600

1,08 MJ

Opgave 9 Een auto ondervindt gedurende 10 minuten een weerstandkracht van 1000 N. De afgelegde weg in deze 10 minuten bedraagt 6 km. Wat is het benodigde vermogen en wat is de geleverde arbeid?

P

Fw .v 1000.

W

Fw .s

6000 10.60

10.000W 6.10 6 J

1000 .6000

6 MJ

Opgave 10 Een motor levert een vermogen van 100 kW bij een toerental van 3000 omw/min. Wat is het geleverde koppel?

P

M.

M

P

100 .10 3 2 .3000 / 60

P 2 n / 60

318 ,3 Nm

Opgave 11 Een elektromotor vraagt bij een aansluitspanning van 220 V een stroom van 3 A. Wat is het elektrisch vermogen van deze elektromotor?

P U .I

220.3 660 W

Opgave 12 Een gas stroomt door een kanaal. De massastroom bedraagt 3 kg/s. Wat is de volumestroom als gegeven is dat de dichtheid gelijk is aan 2 kg/m3? m

3 2

m

.

V

V

1,5 m 3 / s

Opgave 13 Een luchtverwarmingsinstallatie moet 60 kW verwarmingsvermogen leveren. De inblaastemperatuur is 40 °C en de gebouwtemperatuur is 22 °C. Wat is de benodigde volumestroom van de lucht? w

w

V . .c. T

V

.c. T

60 .10 3 1,2.1000 .( 40

22 )

2,78 m 3 s.

Opgave 14 We willen 3 kg/s water opwarmen van 60 naar 80 °C. Wat is de toe te voeren warmtestroom? w

m

.c. T

3.4,18 .(80 60 )

250 ,8 W

Opgave 15 Langs een wand stroomt een fluïdum dat 2,4 kW aan warmte afgeeft. Het oppervlak van de wand is 10 m2 en het temperatuurverschil is 30 K. Wat is de waarde van de convectieve warmteoverdrachtscoëfficiënt? w

c

. A. T

w c

A. T

2400 10.30

8 W / m2 K


3

Opgave 16 Een wand met een temperatuur van 24 °C en een oppervlak van 10 m2 grenst aan lucht van 18 °C. De convectieve warmteoverdrachtscoëfficiënt is gelijk aan 5 W/m2K. Wat is de warmtestroom naar de lucht? w

c

. A. T

5.10 .( 24 18 )

300 W

Opgave 17 Gegeven is een stalen blok met een emissiecoëfficiënt van 0,9, een temperatuur van 300 °C en een buitenoppervlak van 0,8 m2. De convectieve warmteoverdrachtscoëfficiënt is 5 W/m2K. De omgeving heeft een temperatuur van 20 °C. Wat is de afgegeven warmtestroom van het blok? w

w,convectief

w, straling

c

. A.(Topp

Tomg ) e. A. (Topp

5.0,8.(300 20) 0,9.0,8.5,67.10 8 (5734

2934 )

4

5220 W

4

Tomg )


4

Hoofdstuk 3 Toestandsgrootheden en stofeigenschappen Opgave 1 Aan 10 kg vloeistof wordt 2000 kJ warmte toegevoerd. De temperatuurstijging is 20 K. Wat is de waarde van de soortelijke warmte?

Q m.c. T

Q m. T

c

2000 10.20

10 kJ / kgK

Opgave 2 Een blok aluminium van 10 kg moet opgewarmd worden van 20 naar 50 °C. Hoeveel energie is daarvoor nodig?

Q m.c alu min ium . T

10 .900 .(50

20 )

270 .000 J

270 kJ

Opgave 3 Aan een blok metaal met massa van 3 kg en soortelijke warmte van 400 J/kgK wordt 10000 J warmte toegevoerd. Wat is de temperatuur als de begintemperatuur 40 °C is?

Q m.c. T

m.c.(Teind

Tbegin )

Teind

Q m.c

Tbegin

40

10000 3.400

48,3 o C

Opgave 4 Een stalen cilinder met een diameter van 2 cm en lengte van 30 cm wordt opgewarmd van 20 naar 200 °C. Hoeveel warmte is hiervoor nodig?

Q m.c staal . T

staal

.V .c staal . T

7840. .0,02 2.0,3.460.(200 20) 4

staal

.

4

d 2 .l.c staal . T

61181 J

61,2 kJ

Opgave 5 Gegeven is water van 60 °C dat door een buis stroomt. De wanddikte is 3 mm. De wandtemperatuur aan de binnen- resp. buitenzijde van de wand is 58 resp. 20 °C. Wat is de warmtestroomdichtheid als het buismateriaal staal is? We nemen aan dat het buitenoppervlak niet veel verschilt van het binnenoppervlak. (dat geldt bij een dunwandige buis): staal w

d

. T

46 (58 20 ) 0,003

5,83 .10 5 W / m 2

583 kW / m 2

Opgave 6 Gegeven is water van 60 °C dat door een buis stroomt. De wanddikte is 3 mm. De wandtemperatuur aan de binnen- resp. buitenzijde van de wand is 58 resp. 20 °C. Wat is de warmtestroomdichtheid als het buismateriaal pvc is?

PVC w

d

. T

0,16 (58 20 ) 0,003

2027 W / m 2

2,03 kW / m 2


5

Opgave 7 Langs een plaat met een breedte x lengte van 10 x 50 cm stroomt smeerolie met een snelheidsgradiënt van 1000 1/m. Wat is de waarde van de aanwezige schuifkracht op de plaat? smeerolie

dv dx

0,8.1000 800 N / m 2

Opgave 8 Langs een plaat met een breedte x lengte van 10 x 50 cm stroomt water met een snelheidsgradiënt van 1000 1/m. Wat is de waarde van de aanwezige schuifkracht op de plaat?

dv dx

water

101.10 5.1000 1,01 N / m 2

Opgave 9 In een cv-ketel wordt 6 kg/s water opgewarmd van 70 naar 90 °C. Wat is de benodigde warmtestroom? w

m

.c water . T

6.4,18 .(90 70 )

501,6 kW

Opgave 10 In een warmtewisselaar wordt 3 kg/s smeerolie afgekoeld van 40 naar 30 °C door 2 kg/s water van 20 °C. Wat is de temperatuurstijging van het water? m , water

Dus:

.c water . Twater

.c smeerolie . Tsmeerolie

m , smeerolie

.c smeerolie. Tsmeerolie

m , smeerolie

Twater

m , water .c water

3.1,9.(40 30) 2.4,18

6,82 K

Opgave 11 Tapwater wordt verwarmd van 10 naar 60 °C door cv-water van 90 °C. De waterstromen zijn 0,1 resp 0,4 l/s. Wat is de uitgaande cv-watertemperatuur? m ,tapwater

Tcv

.c water . Ttapwater

water ,in

Tcv

m ,cv water

m ,tapwater

.c water . Tcv


water ,uit m ,cv water

Tcv

water ,uit

Tcv

m,tapwater

water

.c water


water ,in m,cv

water .c water

90

0,1.4,18.(60 10) 0,4.4,18

77,5 o C

Opgave 12 In een vat is 2 kg lucht aanwezig met een druk van 2 bar en een temperatuur van 30 °C. Wat is de dichtheid van de lucht?

p .T

p

Rs ,lucht

Rs ,lucht .T

2.105 287.303

2,3 kg / m 3

Opgave 13 Gegeven is een vat van 5 m3 waarin CO2 aanwezig is. De druk is 2 bar en de temperatuur is 20 °C. Hoeveel massa is er aanwezig?

p.V T

m.Rs ,CO2

m

p.V Rs ,CO2 .T

2.105.5 18,06 kg 189.293


6

Opgave 14 Gegeven is een vat van 5 m3 waarin 7 kg CO2 aanwezig is. De temperatuur is 40 °C. Wat is de druk?

p.V T

m.Rs ,CO2

m.Rs ,CO2 .T

p

7.189 .313 5

V

82820 Pa

0,828 bar

Opgave 15 Gegeven is een vat met 10 kg NH3.De temperatuur is –40 °C en de druk is 0,5 bar. Wat is het gasvolume?

p.V T

m.Rs , NH 3

m.Rs , NH 3 .T

V

p

10 .488 .233 0,5.10 5

22 ,74 m 3

Opgave 16 Gegeven is lucht van 2 bar en een temperatuur van 30 °C. Hoe groot is de dichtheid?

p .T

p

Rs ,lucht

Rs ,lucht .T

2.105 287.303

2,3 kg / m 3

Opgave 17 Gegeven is 3 kg stikstof met een volume van 2 m3 en een temperatuur van 20 °C. Wat is de druk?

p.V T

m.Rs , N 2

p

m.Rs , N 2 .T V

3.297 .293 2

1,305 .10 5 Pa

Opgave 18 Gegeven is een cilinder met een beweegbare zuiger waarin lucht aanwezig is met een temperatuur T , een druk p en een volume V. Wat gebeurt er met de temperatuur als de druk twee keer zo groot wordt en het volume 50 % kleiner wordt?

pbegin .Vbegin

peind .Veind Teind

Tbegin

Teind

Tbegin

peind Veind . pbegin Vbegin

Tbegin .

2. pbegin 0,5.Veind . pbegin Veind

Tbegin

Opgave 19 50 liter lucht van 27 0C en 1 bar wordt gecomprimeerd. De eindtemperatuur is 50 0C bij een druk van 3 bar. Bereken het eindvolume.

pbegin .Vbegin

peind .Veind Teind

Tbegin

Veind

Vbegin

pbegin Teind . peind Tbegin

1 323 50.10 3. . 17,94 m 3 3 300

Opgave 20 In twee uur tijd gebruikt een cv-ketel 1,83 m3 aardgas van 4 0C en een druk van 1050 mbar. Bereken het aardgasverbruik uitgedrukt in het normaalvolume.

p n .Vn Tn

p.V T

Vn

V

p Tn . pn T

1,83 .

1,05 273 ,15 . 1,01325 277

1,869 mn

3

Opgave 21 Een blok staal met een massa van 2 kg en een temperatuur van 200 °C wordt ondergedompeld in water met een volume van 20 l met een temperatuur van 20 °C. Wat is de mengtemperatuur?


7

Wanneer we een warmtebalansvergelijking opstellen krijgen we:

(m staal .c staal

Tmeng

m water .c water )Tmeng

m staal .c staal Tstaal

mstaal .cstaal Tstaal mwater .cwater .Twater mstaal .cstaal mwater .cwater

m water .c water .Twater

2.460.200 20.10 3.1000.4180.20 2.460 20.10 3.1000.4180

22 o C

Opgave 22 Aan een vat met 100 l water van 60 °C wordt 20 l water toegevoerd met een temperatuur van 10 °C. Wat is de mengtemperatuur? Wanneer we een warmtebalansvergelijking opstellen krijgen we:

(m1 .c water

Tmeng

m2 .c water )Tmeng

m1 .c water T1

m1 .c water T1 m2 .c water .T2 m1 .c water m2 .c water

m2 .c water .T2

100 .4,18 .60 100 .4,18

20 .4,18 .10 20 .4,18

51,7 o C

Opgave 23 In een warmtapwaterinstallatie is 20 l/s warm water nodig van 40 °C. Daartoe wordt heet water van 60 °C gemengd met koud water van 10 °C. Hoeveel heet water is er nodig? Wanneer we een warmtebalansvergelijking opstellen krijgen we: m ,tapwater

.c water .Ttapwater

m , koudwater

.c water .Tkoudwater

m , warmwater

.c water .Twarmwater [a]

en voor de massabalans geldt: m ,tapwater

m , koudwater

m , warmwater

[b]

[b] in [a] levert op: m ,tapwater

Dus

.Ttapwater

(

m ,tapwater

m,tapwater m, warmwater

m , warmwater

.(Ttapwater

Twarmwater

).Tkoudwater

Tkoudwater )

Tkoudwater

m , warmwater

.Twarmwater

20.10 3.1000.(40 10) 60 10

12 kg / s

Opgave 24 Twee cilinders met resp. een volume van 50 l en 30 l bevatten resp.3 kg en 4 kg zuurstof bij een temperatuur van 20 0C. Bereken de einddruk als beide cilinders met elkaar in verbinding worden gebracht.

p m .Vm Tm

m m .R s 2

pm

m m .Rs .Tm Vm

7.260 .293 80 .10 3

66 ,7.10 5 Pa

66 ,7 bar

Opgave 25 3 kg zuurstof en 5 kg stikstof worden gemengd. Bereken de gasconstante van dit mengsel.

Rs , m

mO2 mm

Rs ,O2

mN2 mm

Rs , N 2

3 5 .260 .297 8 8

283,1 J / kgK


8

Opgave 26 Twee cilinders met resp. een volume van 50 l en 30 l bevatten resp. 0,3 kg helium en 0,4 kg zuurstof bij een temperatuur van 20 0C. Bereken de einddruk als beide cilinders met elkaar in verbinding worden gebracht en bepaal de gasconstante van het mengsel.

pm

p He

p He

m He .Rs. He .Tm Vm

0,3.2077 .293 80 .10 3

mO2 .Rs.O2 .Tm

0,4.260.293 80.10 3

pO2

pm

p O2

Vm

pHe

22,82.105

pO2

22 ,82 .10 5 Pa

3,81.105 Pa

3,81.105

26,63.105 Pa

De specifieke gasconstante van het mengsel volgt uit:

mO2

Rs , m

mm

Rs ,O2

mHe Rs , He mm

0,4 0,3 .260 .2077 1038,7 J / kgK 0,7 0,7

Opgave 27 10 liter aardgas (neem methaan) met een druk van 1,5 bar en een temperatuur van 20 0C en 5 liter lucht met een druk 1 bar en een temperatuur van 20 0C worden gemengd en in een ruimte geperst van 3 liter bij een temperatuur van 0 0C. Bereken de druk van het mengsel We kunnen de druk bepalen uit:

pm .Vm Tm

mm .Rs ,m

pm

mm .Rs ,m .Tm Vm

We moeten mm en Rs,m bepalen. Uit de massabalans volgt m m

paardgas .Vaardgas

Met maardgas

plucht .Vlucht Rs ,lucht .Tlucht

En mlucht

mm

Rs ,aardgas .Taardgas

maardgas maardgas

Rs ,m

mm

Dus pm

mlucht Rs ,aardgas

mm .Rs ,m .Tm Vm

1,5.105.10.10 293.518

105.5.10 3 293.287

9,88.10

3

5,95.10

5,95.10

mlucht Rs ,lucht mm

3

3

9,88.10 3

maardgas 3

kg

kg volgt

15,83.10

3

kg

9,88 5,95 .518 .287 15,83 15,83

15,83.10 3.431,2.273 3.10 3

mlucht

431,2 J / kgK

6,2.105 Pa

Opgave 28 In een oververhitter van een stoomketel wordt verzadigde stoom met een druk van 60 bar verhit naar 400 °C. Wat is de benodigde specifieke warmte?

qtoe

h hd

Uit stoomtabel B2.8 vinden we h=3180,1 kJ/kg en uit stoomtabel B2.7 hd=2785,0 kJ/kg.

qtoe

h hd

3180 ,1 2785 ,0

395 ,1 kJ / kg


9

Opgave 29 In een stoominstallatie wordt in de stoomketel met een vermogen van 10 MW water van 40 °C bij een druk van 80 bar omgezet in stoom van 500 °C. Wat is de benodigde massastroom van de stoom? w

m

(huit

w

hin )

m

huit

hin

Uit de stoomtabel B2.8 volgt huit=3398,8 kJ/kg hin bepalen we met [3.35]:

hin Dus:

hvl

p vl ) 167 ,5.10 3 1,001 .10 3 (80 0,0738 ). 10 5

vvl ( pin w

m

huit

hin

10.106 (3398,8 175,5).103

175 ,5 kJ / kg

3,1 kg / s

Opgave 30 In een stoomketel wordt water van 40 °C bij een druk van 80 bar omgezet in stoom. De specifieke toegevoerde warmte is gelijk aan 3000 kJ/kg Wat is de uittredetemperatuur?

qtoe

huit

hin

hin bepalen we met [3.35]:

hin

hvl

p vl ) 167 ,5.10 3 1,001 .10 3 (80 0,0738 ). 10 5

vvl ( pin

175 ,5 kJ / kg

Hiermee wordt huit:

huit

hin

qtoe

175 ,5 3000

3175 ,5 kJ / kg

Uit tabel B2.8 volgt bij een druk van 80 bar een temperatuur Tuit=410 °C.

Opgave 31 Oververhitte stoom van 350 °C wordt onder een constante druk van 50 MPa verwarmd tot 450 °C. Bereken de toe te voeren hoeveelheid warmte en de gemiddelde soortelijk warmte van het water. In tabel B2.8 vinden we de h’s.

h

cp. T

cp

huit Tuit

hin Tin

3317 ,5 3071 ,2 100

2,463 kJ / kgK

Opgave 32 Beantwoord de vraag nogmaals maar nu voor de situatie dat er verwarmd wordt van 450 °C tot 550 °C. In tabel B2.8 vinden we de h’s.

h

cp. T

cp

huit Tuit

hin Tin

3549 ,0 3317 ,5 100

2,315 kJ / kgK

Opgave 33 Hoeveel kg koelwater van 20 °C is nodig voor het condenseren van 2 kg stoom van 150 °C onder een constante druk van 1 bar? De eindtemperatuur van het koelwater is 40 0C. Uit de warmtebalans volgt:


m stoom .( hin

hvl )

mkoelwater .c water . Tkoelwater

10

m stoom .( hin hvl ) c water . Tkoelwater

mkoelwater

Uit stoomtabel B2.8 volgt bij een temperatuur van 150 °C en een druk van 1 bar dat hin=2776,3 kJ/kg. Uit tabel B2.7 volgt hvl=417,5 kJ/kg.

m stoom .( hin hvl ) c water . Tkoelwater

Dus: m koelwater

2.( 2776 ,3 417 ,5) 4,18 .( 40 20 )

56 ,4 kg

Opgave 34 Men verwarmt 1 kg water van 30 °C onder een constante druk van 10 bar totdat er natte stoom ontstaat met een vloeistofgehalte van 10%. a. Bereken de toe te voeren hoeveelheid warmte.

Qtoe

m.qtoe

huit

x.hd

hin

hvl

m.( huit

hin )

(1 x).hvl vvl .( pin

Hieruit volgt Qtoe

0,9.2776 ,2 0,1.762 ,6

p vl ) 125 ,7.10

m.( huit

3

1,004 (10

2574 ,8 kJ / kg en 0,0424 ). 10 5

hin ) 1.( 2574 ,8 126 ,7)

126 ,7.10 3 J / kg 126 ,7 kJ / kg

2448 ,1 kJ

b. Bepaal de eindtemperatuur. Natte stoom van een druk van 10 bar heeft een temperatuur van 179,88 °C.

Opgave 35 Men verhit 1 kg stoom met een vloeistofpercentage van 40 % bij constante druk van 10 bar tot 250 °C. Bereken de toe te voeren hoeveelheid warmte.

hin

x.hd

(1 x).hvl

0,6.2776 ,2 0,4.762 ,6 1970 ,8 kJ / kg

huit=2943 kJ/kg Dus q

huit

hin

2943 1970 ,8

972 ,2 kJ / kg

Opgave 36 Gegeven is vochtige lucht met een temperatuur van 28 °C en een relatieve vochtigheid van 40 %. a. Wat is de absolute vochtigheid?

0,622 p wd

x

1,01325 .10 5 p wd p wd m ax

p wd

.100 %

p wd Tlucht

met p wd ,max

p wd x

813.e 17,6

. p w,max

100 0,622 p wd 1,01325 .10 5

100

. p w,m ax 28

200 813.e 17,6

200 3790 Pa volgt

40 .3790 1516 Pa en 100 0,622 .1516 p wd 1,01325 .10 5 1516

0,00945 kg / kg

9,45 g / kg

52,3.103 J / kg

52,3 kJ / kg

b. Wat is de specifieke enthalpie?

hlucht

1,005Tlucht

x (2491 1,926Tlucht ) .103

(1,005.28 9,45.10 3 (2491 1,926.28)) *103


11

c. Wat is de natte boltemperatuur?

Tnb

27,8 ln

hlucht 36000 45500

27,8. ln

52300 36000 18,4 o C. 45500

Opgave 37 Gegeven is vochtige lucht met een temperatuur van 25 °C en een relatieve vochtigheid van 50 %. Deze lucht wordt afgekoeld. Bij welke temperatuur condenseert de waterdamp? Wanneer de lucht afgekoeld is naar de dauwpunttemperatuur, is de relatieve vochtigheid 100 % en geldt dus

p wd dauwpunt

100

. p wd ,max

100 . p wd ,max 100

p wd ,max

De maximale waterdampdruk is gelijk aan de dampdruk van de vochtige lucht (volgt uit

x

0,622 p wd doordat de absolute vochtigheid gelijk zijn). 1,01325 .10 5 p wd

Uit

p wd p wd m ax

met p wd ,max

p wd ,dauwpunt

.100 %

813.e p wd

Tlucht 17 , 6

100

p wd

100

. p w,m ax

200 813.e

25 17 , 6

200 3165 Pa volgt

50 .3165 1583 Pa 100

. p wd ,max

Ook geldt Tdauwpunt 17 , 6

p wd ,max

813.e

Tdauwpunt

17,6. ln

Tdauwpunt

200

p wd ,dauwpunt 813

e

17 , 6

200

p wd ,dauwpunt

200

813 17,6. ln

1583 200 813

13,8 o C.

Opgave 38 Lucht met een intredeconditie met een temperatuur van 35 °C en een relatieve vochtigheid van 30 % wordt in een luchtbehandelinginstallatie behandeld naar een uittredeconditie van 16 °C en een absolute vochtigheid van 5 g/kg. De lucht waartoe eerst in een koelbatterij afgekoeld tot de dauwpunttemperatuur van de gewenste uittredeconditie waarna na in een naverwarmer verwarming plaats vindt. a. Teken de processen in de koelbatterij en naverwarmer in het Mollierdiagram.


12

1

3

2

b. Wat is benodigde afgevoerde specifieke warmte in de koelbatterij?

q koelbatterij

h1

h2

Bepalen h1

h1

1,005 T1

0,622 p wd ,1

x1

1,01325.105 p wd ,1

1

p wd ,1 max

p wd ,1

p wd ,1

.100 %

met p wd 1,max

x1

x1 (2491 1,926 T1 ) .10 3 met

T1 17 , 6

813.e

. p wd ,1 max

100 0,622 p wd ,1

1,01325.10

5

p wd ,1

1

100

. p wd ,1 max

200 813.e

35 17 , 6

200 5739 Pa volgt

30 .5739 1722 Pa en 100

p wd ,1

0,622.1722 10,8 g / kg 1,01325.105 1722

en wordt de specifieke enthalpie

h1

1,005T1

x (2491 1,926T1 ) .103

(1,005.35 10,75.10 3 (2491 1,926.35)) *103

62,7 103 J / kg

62,7 kJ / kg


13

bepalen h2

h2

1,005 T2

x2

x3

x 2 (2491 1,926 T2 ) .10 3 met

0,622 p wd ,3 1,01325.105

p wd ,3

Dus

0,622 p wd ,3

x3

1,01325.10

p wd ,3

5

p wd ,3

101325 0,622 (1 ) x3

101325 p wd ,3

101325 0,622 (1 ) 0,005

0,622. p wd ,3

(1

x3

0,622 ) p wd ,3 x3

Hi

808 Pa

ermee kunnen we T2 bepalen met

p wd , 2 T2

p wd ,3

813.e p wd , 2

17,6. ln

T2 17 , 6

200

813

200

e

T2 17 , 6

p wd , 2

200

813 808 200 17,6. ln 3,8 o C. 813

en wordt de specifieke enthalpie

h2

x2 (2491 1,926T2 ) .103

1,005T2

(1,005.3,8 5.10 3 (2491 1,926.3,8)) *103 Dus q koelbatterij

h1

h2

62 ,7 16 ,3

16,3 103 J / kg 16,3 kJ / kg

46 ,4 kJ / kg

c. Wat is benodigde toegevoerde specifieke warmte in de naverwarmer?

q naverwarmer

h3

h2

Met

h3

1,005T3

x3 (2491 1,926T3 ) .103

(1,005.16 5.10 3 (2491 1,926.16)) *103 volgt q naverwarmer

h3

h2

101325

28,6 103 J / kg

28,6 16 ,3 12 ,3 kJ / kg

28,6 kJ / kg


14

Hoofdstuk 4 Energieomzetting Opgave 1 Een ingenieur bedenkt een technisch systeem op een schip waarbij het mogelijk is om met de wrijvingswarmte van de schroef en de romp weer de schroef aan te drijven. Is dit volgens jou mogelijk? Beargumenteer je standpunt. Nee, volgens de tweede hoofdwet van de thermodynamica is warmte niet volledig in arbeid om te zetten.

Opgave 2 Een verbrandingsmotor heeft een thermisch rendement van 40 %. Aan de motor wordt in de vorm van chemische energie 100 kW toegevoerd. Wat zijn de warmteverliezen?

(1

w,af

th

).E ch

(1 0,4).100 60kW

Opgave 3 Een auto wordt aangedreven door een motor met een vermogen van 100 kW. Na een uur stopt de auto. Wat is de geleverde arbeid en waar is de toegevoerde energie gebleven?

W

P. t

100.3600 360000kJ

360 MJ

De toegevoerde energie wordt omgezet in warmte waardoor de inwendige energie van de omgeving stijgt.

Opgave 4 Een ruimte waarin een warmteproductie aanwezig is van 3 kW wordt geventileerd met buitenlucht van 20 °C. Het volumedebiet (zowel toe als af) bedraagt 300 m3/h. Wat is de ruimteluchttemperatuur?

e

e

m ,in in

m ,uit uit

w

P

w, prod

In een stationaire toestand geldt

dE syst dt

dE syst dt 0 . Er is geen (as)arbeid en Φw=0 (er is geen warmte-uitwisseling

met de omgeving) en met e = cp T volgt met Φm= Φm,in= Φm,uit: m

c p (Tin

Tuit )

w , prod

0

De uitgaande temperatuur is gelijk aan de vertrektemperatuur: Tuit= Tvertrek. m

c p (Tin

Tvertrek

Tin

Tvertrek ) w, prod m

cp

w, prod

Tin

0 w, prod

.

V

cp

20

3000 300 1,2. 1005 3600

50 o C

Opgave 5 Gegeven is een V-riemoverbrenging met een overbrengingsverhouding van 6. Het ingaande koppel is 200 Nm en toerental is 1400 omw/min. Wat is het uitgaande koppel?

Puit

Pin


M uit .

M in .

uit

M uit

in

M in .

in

200 .

uit

6 1

15

1200 Nm

Opgave 6 Een hijskraan met een elektromotor takelt een last van 90 kg omhoog met een snelheid van 0,1 m/s. Het benodigde vermogen is 200 W. Wat is het rendement van de takelinstallatie?

F .v Ptoe

takelinstallatie

m.g.v Ptoe

90 .9,81 .0,1 200

0,441

44 ,1%

Opgave 7 Het rendement van een automotor is 30 % bij een koppel van 200 Nm en een toerental van 2400 omw/min. a. Wat is het benodigde vermogen dat de motor moet leveren?

Pmotor

M.

M.

2 .n 60

20.

2 .2400 60

5027 kW

b. Hoeveel brandstof moet er toegevoerd worden als de verbrandingswaarde van de brandstof 42 MJ/kg is?

Pmotor

motor

.

m ,br

.ho

Pmotor motor .ho

m ,br

50 ,27 0,3.42000

0,004 kg / s

Opgave 8 Gegeven is een windmolen met een wiekdiameter van 10 m. Wat is het geleverde vermogen bij een windsnelheid van 8 m/s en een rendement van 20 %?

Pwindmolen

windmolen

.

1 0,2. .1,2. .10 2.8 3 2 4

1 2

m

.v 2

windmolen

.

1 . 2

V

.v 2

windmolen

.

1 . D 2 .v 3 2 4

4826 W

Opgave 9 Aan een koelmachine wordt 60 kW arbeid toegevoerd. De COP van het kringproces in de koelmachine is 3. Wat is de via de condensor uitgewisselde warmtestroom?

COP

w,toe

Ptoe

w,toe

Uit de energiebalans volgt

COP.Ptoe w, af

3.60 180 kW w,toe

Ptoe

180

60

240 kW

Opgave 10 Aan een koelmachine wordt door een elektromotor aan de compressor 60 kW toegevoerd. Het rendement van elektromotor is 90 % en van de compressor 80 %. De COP van het kringproces in de koelmachine is 3. Wat is de via de verdamper uitgewisselde warmtestroom?

Ptoe

compressor

.Pelektromotor

0,8.60

48 kW


COP

w,toe

COP.Ptoe

w,toe

Ptoe

16

3.48 144 kW

Opgave 11 Een ventilator wordt door een elektromotor met een koppel van 100 Nm en een toerental van 1400 omw/min aangedreven via een V-riemoverbrenging met een mechanisch rendement van 80 %. Wat is het aan de ventilator geleverde vermogen?

Pventilator

P

V riem elektromotor

V riem

M.

V riem

M .2

n 60

0,8.100.2

1400 11729 W 60

11,7 kW

Opgave 12 In een kalenderjaar wordt aan een gebouw 2400 GJ warmte toegevoerd. Dit gebeurt door middel van een warmtepomp die warmte onttrekt uit een aquifer. De elektrisch aangedreven warmtepomp heeft een COP van 5 en voor het transport van warmte is 200 GJ elektriciteit nodig. Voor het rendement voor de elektriciteitopwekking mag 40 % gehanteerd worden. a. Hoeveel warmte is er onttrokken aan de aquifer?

We nemen aan dat de transportenergie niet nuttig gebruikt kan worden. Dan geldt voor de door het verwarmingssysteem afgevoerde warmte (als systeemgrenzen is de cv-installatie gehanteerd) naar het gebouw.

Qgebouw

COP .Welek, warmtepomp

Met Q gebouw

Qaquifer

Welek, warmtepomp

Qgebouw

2400 480 GJ COP 5 volgt Qaquifer Q gebouw Welek, warmtepomp

Welek, warmtepomp

2400

480

1920 GJ

b. Wat is de PER?

PER

Qgebouw E pr

Qgebouw Welek /

elek

Qgebouw (Welek,warmtepomp Welek, pompen ) /

elek

2400 (480 200) / 0,4

1,41


17

Hoofdstuk 5 Gesloten systemen Opgave 1 Bereken de hoeveelheid warmte die nodig is om 1 kg lucht bij gelijkblijvende druk te verwarmen van 0 0C tot 18 0C.

Q

m.c p . T

1.1,005 .(18 0) 18,1 kJ

Opgave 2 Bereken de hoeveelheid warmte die nodig is om 1 kg lucht bij gelijkblijvend volume te verwarmen van 0 0C tot 18 0C

Q

m.cV . T

1.0,718 .(18 0) 12 ,9 kJ

Opgave 3 Bereken de verandering van inwendige energie van 1 kg lucht als het isotherm expandeert van 30 bar tot 5 bar.

U

m.cV . T

m.cV .0

0 kJ

Opgave 4 Bereken de verandering van de inwendige energie van 1 kg lucht die isochoor wordt opgewarmd van 0 0C tot 18 0C

U

m.cV . T

1.0,718 .(18 0) 12 ,9 kJ

Opgave 5 Bereken de verandering van inwendige energie van 1 kg lucht als het isobaar wordt opgewarmd van 0 0C tot 18 0C. ( p = 1bar)

U

m.cV . T

1.0,718 .(18 0) 12 ,9 kJ

Opgave 6 Bereken de hoeveelheid arbeid die nodig is om 1 kg lucht bij gelijkblijvende temperatuur van 17 0C in druk te verhogen van 5 bar tot 30 bar.

W

mRs T ln

p2 p1

1.0,287.290. ln

30 5

149,1 kJ . Er wordt dus 149,1 kJ aan arbeid toegevoerd.

Opgave 7 Bereken de hoeveelheid warmte die nodig is om 1 kg lucht bij gelijkblijvende temperatuur van 17 0C in druk te verhogen van 5 bar tot 30 bar.


Q

mRs T ln

p2 p1

1.0,287.290. ln

30 5

18

149,1 kJ . Er wordt dus 149,1 kJ aan warmte afgevoerd.

Opgave 8 Bereken de hoeveelheid arbeid die nodig is om 1 kg lucht bij gelijkblijvende druk van 1 bar op te warmen van 00C tot 180C.

W

p. V

p.(V2 V1 )

V1 en V2 bepalen we met

p1 .V1 T1

m.Rs

V1

m.Rs .T1 p1

p2 .V2 T2

p1 .V1 T1

V2

Dus W

p. V

p.(V2

1.287 .273 10 5

0,7835 m 3

105 291 .0,78 0,8352 m 3 5 10 273

p1 .T2 V1 p2T1

V1 ) 10 5 (0,8352

0,7835 )

5166 J

5,17 kJ

Opgave 9 Van een onbekend gasmengsel is de specifieke gasconstante Rs = 1039 J/kgK en de soortelijke warmte bij constante druk (cp ) is 2770 J/kgK. Bereken de soortelijke warmte bij constant volume (cV)

Rs

cp

cV

cV

cp

Rs

2770

1039

1731 J / kgK

Opgave 10 Gegeven is een gas met een druk van 1 bar en een temperatuur van 20 °C. Dit gas wordt bij constant volume gecomprimeerd tot 5 bar. Wat is de eindtemperatuur?

p2 . T2

p1 T1

p2 T1 p1

T2

5 293 1

1465 K

Opgave 11 Gegeven is 2,4 kg lucht met een druk van 2 bar en een temperatuur van 20 °C. Deze lucht wordt isentropisch gecomprimeerd naar 10 bar. Wat is de eindtemperatuur?

T2 p2

k

T1

k 1

p1

k

T2

k 1

p T1 . 2 p1

k 1 k

10 293. 2

1, 4 1 1, 4

464 K

Opgave 12 Gegeven is 2,4 kg CO2 met een druk van 2 bar en een temperatuur van 20 °C. Het gas wordt polytropisch gecomprimeerd met n=1,3 naar 10 bar. Wat is de soortelijke warmte?

Q

m.c.(T2

c

cV

Rs n 1

T1 ) 630

189 1,3 1

0


19

Eigenlijk is de polytroop een isentroop: n=k=1,3

Opgave 13 Gegeven is 2,4 kg CO2 met een druk van 2 bar en een temperatuur van 20 °C. Het gas wordt polytropisch gecomprimeerd met n=1,3 naar 10 bar. Hoeveel arbeid wordt er toegevoerd?

T2 p2

n

T1

n 1

p1

n

T2

n 1

mR s (T2 n 1

W

p T1 . 2 p1

n 1 n

2,4.189 (429 1,3 1

T1 )

1, 4 1 1, 4

10 293. 2 293 )

425 K

199 .282 J

199 kJ

Opgave 14 Gegeven is 2,4 kg N2 met een druk van 1 bar en een temperatuur van 20 °C. Het gas wordt isothermisch gecomprimeerd naar 3 bar. Hoeveel warmte en arbeid wordt er toegevoerd?

Q W

mRs T ln

p2 p1

2,4.0,297.293. ln

3 1

229 kJ

Opgave 15 Gegeven is 2,4 kg lucht met een druk van 2 bar en een temperatuur van 20 °C. Deze lucht wordt isothermisch gecomprimeerd naar 10 bar. Hoeveel warmte wordt er toegevoerd?

Q

p2 p1

mRs T ln

2,4.0,287.290. ln

10 2

325 kJ . Er wordt dus warmte afgevoerd.

Opgave 16 Gegeven is 1 kg lucht met een druk van 1 bar en een temperatuur van 20 °C. Deze lucht wordt polytropisch gecomprimeerd naar 4 bar. De eindtemperatuur is 200 °C. Wat is de waarde van de exponent van de polytroop?

T2 p2

n

n 1

T1 p1

n

T2

n 1

ln T2

ln T2

n 1 n

ln T2

ln

p2 p1

ln T1 p ln 2 p1

n 1 0,346.n

p T1 . 2 p1 n 1 n

n 1 n

ln T2

p n 1 ln 2 n p1

ln 473 ln 293 4 ln 1

0,654.n 1

6,159 5,680 1,386

0,346

n 1,529

Opgave 17 Gegeven is 1 kg lucht met een druk van 1 bar en een temperatuur van 20 °C. Deze lucht wordt polytropisch gecomprimeerd naar 4 bar. De eindtemperatuur is 200 °C. Wat is het eindvolume?


p 2 .V2 T2

m.Rs

m.Rs .T2 p2

V2

1.287 .473 4.10 5

20

0,34 m 3

Opgave 18 In een gesloten systeem waarin 2 kg gas aanwezig is met k=1,3 en Rs=300 J/kgK wordt 100 kJ warmte toegevoerd terwijl 70 kJ arbeid geleverd wordt. Wat is de temperatuurstijging van het gas?

Q

U W

U

Q W

met U = cV T volgt:

m.cV . T Uit Rs

cp

T

Dus

Q W

cp

cV en k

Q W m.cV

Q W m.cV

T

cV

volgt Rs

(k 1).cV

(100 70).103 2.1000

cV

Rs k 1

300 1000 J / kgK 1,3 1

15 K

Opgave 19 In een gesloten systeem waarin 4 kg gas aanwezig is met een soortelijke warmte bij constant volume van 1000 J/kgK en bij constante druk van 1350 J/kgK wordt 200 kJ warmte toegevoerd wordt. De inwendige energie stijgt met 150 kJ. Wat is de geleverde volumearbeid?

Q

U W

W

Q

U

200 150 50 kJ

Opgave 20 In een gesloten systeem waarin 2 kg gas aanwezig is met k=1,3 en Rs=300 J/kgK wordt 100 kJ warmte toegevoerd wordt terwijl 70 kJ arbeid geleverd wordt. Wat is de soortelijke warmte?

Q

m.c.(Teind

Uit Rs Met

c

cp

T

Tbegin ) cV en k

Q W m.cV Q

m.(Teind

Tbegin )

c

cp cV

Q m.(Teind volgt Rs

(100 70).103 2.1000 100.103 2.15

Tbegin )

(k 1).cV

cV

Rs k 1

300 1000 J / kgK 1,3 1

15 K volgt dan

3333 J / kgK

Opgave 21 Van een onbekend gasmengsel is de specifieke gasconstante Rs = 250 J/kg.K. De verhouding cp/cV = 1,2. Bereken cV en cp


Rs

cp

cV

cp

1,2.cV

1,2.cV

cV

1,2.1250

0,2.cV

Rs 0,2

cV

21

250 0,2

1250 J / kgK en

1500 J / kgK

Opgave 22 1 kg aardgas (je mag daarvoor methaan aannemen) van 60 bar en 80 °C expandeert tot 5 bar zonder warmteuitwisseling. (adiabatisch) Bereken: a. De verandering van de inwendige energie

U

T2 p2

U 2 U1

k

T1

k 1

p1 U

Dus

m.cV .(T2

k

T2

k 1

m.cV .(T2

T1 ) k 1 k

p T1 . 2 p1

5 353. 60

1, 32 1 1, 32

T1 ) 1.1,63 .(193 353 )

193 K

260 ,8 kJ

b. De geleverde arbeid.

Q

U W

W

Q

U

0 260,8

260,8 kJ

Opgave 23 Lucht van 100 kPa en 77 0C wordt adiabatisch gecomprimeerd tot het volume 5 maal zo klein is geworden. Bereken: a. De eindtemperatuur

T2V2

T2

k 1

T1V1

V T1 1 V2

k 1

k 1

350.51, 4

1

666 K

b. De einddruk

p 2 .V2 T2

p1 .V1 T1

p2

V1 .T2 p1 V2T1

5

666 .100 350

951 kPa

c. De verrichtte arbeid per kg

w

Rs (T2 n 1

T1 )

0,287 (666 1,4 1

350 )

227 kJ / kg

d. De verandering van de inwendige energie per kg.

u

cV .(T2

T1 )

0,718 .( 666

350 )

227 kJ / kg

Opgave 24 3 liter lucht met een druk van 5 bar expandeert polytroop met een exponent n = 1,2 tot een einddruk van 2 bar. Bereken het eindvolume.

p 2V2

n

p1 .V1

n

V2

p V1 . 1 p2

1/ n

3.10

3

5 2

1 / 1, 2

6,44.10

3

m3

6,44 l

Opgave 25 5 liter lucht met een druk van 3 bar wordt polytroop samengeperst tot een druk van 7 bar. Het volume is dan 2,3 liter. Bereken de exponent n van deze polytroop.


p 2V2

n

p1 .V1

p2 p1

n

n

V1 V2

ln

p2 p1

n. ln

22

p2 p1 V ln 1 V2

ln

V1 V2

n

0,847 0,777

1,091

Opgave 26 3 kg lucht met een druk van 6 bar en een temperatuur van 400 K expandeert polytroop tot een druk van 1 bar. De exponent n = 1,2. Bereken: a. De eindtemperatuur

T2 p2

n

T1

n 1

p1

n

p T1 . 2 p1

T2

n 1

n 1 n

1 400. 6

1, 2 1 1, 2

297 K

b. De arbeid

mR s (T2 n 1

W

3.0,287 (297 1,2 1

T1 )

400 )

445 kJ

c. De verandering van de inwendige energie

U

m.cV (T2

T1 )

3.0,718 .( 297

400 )

222 kJ

d. De hoeveelheid toegevoerde warmte

Q

U W

222 445

223 kJ

e. De soortelijke warmte tijdens deze toestandsverandering

Q

m.cV . T

Q m. T

c

223 3.( 297 400 )

0,72 kJ / kgK

Opgave 27 3 kg lucht met een druk van 6 bar en een temperatuur van 300 K expandeert isotherm tot 1 bar. Bereken a. De volumearbeid (W)

W

m.Rs .T . ln

p2 p1

3,0287 .300 . ln

1 6

463 kJ

b. De warmte (Q)

Q

U W

0 463 463 kJ

c. De verandering van de inwendige energie (ΔU) U 0 (isotherm)

Opgave 28 30 m3 lucht van 6 bar en 300 K ondergaat een toestandsverandering waarbij het volume verdubbeld en de druk constant blijft. Bereken: a. W

W

p(V2 V1 )

6.10 5.( 60 30 ) 180 .10 5 J

18 .000 kJ

b. Q

Q

m.c p .(T2

T )1

T1 en T2 bepalen we met

p2 .V2 T2

p1 .V1 T1

T2

p V T1 2 . 2 p1 V1

6.105 300. .2 6.105

600 K


p1 .V1 T1 Q

m.Rs

m

m.c p .(T2

T )1

6.105.30 287.300

p1 .V1 RsT1

209 ,1.1,005 .( 600

23

209 kg 300 )

63 .000 kJ

c. ΔU

U

Q W

63.000 18.000

45.000 kJ

Opgave 29 30 m3 lucht van 6 bar en 600 K ondergaat een toestandsverandering waarbij de druk gereduceerd wordt tot 3 bar en het volume constant blijft. Bereken: a. W

W

pdV

0 (volume blijft constant)

b. Q

Q

m.cV .(T2

p2 .V2 T2

T1 )

p1 .V1 T1

p1 .V1 T1

T2

m.Rs

Dus Q

p V T1 2 . 2 p1 V1

m.cV .(T2

6.105.30 287.300

p1 .V1 RsT1

m

T1 )

3.105 600. .1 300 K 6.105

209 .0,718 .(300

209 kg 600 )

45020 J

45 kJ

c. ΔU

U

Q W

45 0

45 kJ

Opgave 30 30 m3 lucht van 6 bar en 300 K ondergaat een toestandsverandering waarbij geen warmte met de omgeving wordt uitgewisseld. De einddruk is 3 bar. Bereken: a. W We veronderstellen dat de toestandsverandering omkeerbaar plaatsvindt.

m.Rs .(T2 k 1

W

p1 .V1 T1 T2 p2

m.Rs

k

T1

k 1

p1

T1 )

m

k

k 1

T2

m.Rs .(T2 k 1

Dus W

6.105.30 287.300

p1 .V1 RsT1 p T1 . 2 p1

k 1 k

209 kg

3 300. 6

1, 4 1 1, 4

209 .0,287 .( 246 1,4 1

T1 )

246 K

300 )

8098 kJ

b. Q Q=0 (geen warmte-uitwisseling) c. ΔU

U

Q W

0 8098

8098 kJ

Opgave 31 In een cilinder, die afgesloten is door een vrij beweegbare en massaloze zuiger, bevindt zich 0,5 liter lucht met een temperatuur van 300 K. Op de zuiger staat een massa van 9 kg. De buitenluchtdruk bedraagt 1 bar.


24

Het oppervlak van de zuiger is 10 cm2. Als aan de lucht warmte wordt toegevoerd zal de zuiger omhoog gaan en dientengevolge arbeid leveren aan het gewicht. (toename potentiële energie). a. Bereken hoeveel warmte moet worden toegevoerd om het gewicht 15 cm hoger te krijgen. b. Bereken ΔU en W. In onderstaande figuur is het model van het probleem weergegeven. m = 9 kg

pomg

Azuiger=10.10–4 m2

G

pcil

V1 = 0,5.10–3 m3 T1 = 300 K

De totale kracht die door de omgeving op het systeem (de cilindervulling) uitgeoefend wordt, is gelijk aan het gewicht en de kracht door de omgevingsdruk:

Ftot

G

Fomg

met G

9.9,81 88,29 N en Fomg

m.g

volgt Ftot

G

Fomg

88,29 100

pomg .Azuiger

105.10.10

4

100 N

188 ,29 N

In een stationaire toestand zal daardoor de druk op het systeem gelijk zijn aan:

Ftot Azuiger

pcilinder

188,29 10.10 4

1,8829.105 Pa

a. We veronderstellen dat bij warmtetoevoer er een quasistatische toestandsverandering plaatsvindt. De druk in de cilinder blijft dan constant. De toegevoerde warmte kunnen we bepalen met

Q

m.c p .(T2

p1 .V1 T1

T1 )

m.Rs

p2 .V2 T2

p1 .V1 T1

p1 .V1 RsT1

m T2

1,8829.105.0,5.10 287.300

p V T1 2 . 2 p1 V1

3

1,093.10

kg

1,8829.105 0,5 0,15 .10 300. . 1,8829.105 0,5.10 3

m.c p .(T2 T1 ) 1,093.10 3.1,005.(390 300) 98,8.10

Dus Q

b. De verandering van de inwendige energie kunnen we bepalen met

U

3

Q W

De geleverde arbeid kunnen we bepalen met

W

p cilinder . V

Dus

U

Q W

1,8829 .10 5.0,15 .10

98,8 28,2

3

70,6 J

28,2 J

3

3

390 K

kJ

98,8 J


25

Hoofdstuk 6 Theoretische kringprocessen Opgave 1 Gegeven een positief kringproces waarbij 100 resp 80 kW warmte toe- resp. afgevoerd wordt. Wat is thermisch rendement?

Wnt th

Qtoe

Qaf

100

80

20 kW

Wnt Qtoe

20 100

0,2

20 %

Opgave 2 De toegevoerde resp. afgevoerde specifieke warmte van een kringproces is 50 resp 30 kJ/kg. Het gewenste vermogen is 100 kW. Wat is de benodigde massastroom?

wnt

qtoe

q af

Pnt

wnt .

m

50 30 m

20 kJ / kg

Pnt wnt

100 20

5 kg / s

Opgave 3 Gegeven stikstof met begindruk is 2 bar en temperatuur 25 °C en een volume van 1 m3 . Deze stikstof wordt in een Carnotproces gecomprimeerd. Het minimale volume van het kringproces is 0,1 m3. De daarbij behorende druk is 30 bar. Wat is het thermisch rendement en de specifieke arbeid? 3

Qtoe

Thoog

4 2 Tlaag

1

Qaf

FIGUUR 6.9 Het Carnotproces in pV-diagram

th

1

Tlaag Thoog

Thoog = T3 kunnen we bepalen met

p3 .V3 T3 th

wnt

p1 .V1 T1

1

Tlaag Thoog

Rs (Thoog

T3

1

T1 .

298 447

Tlaag ). ln

p3 .V3 p1 .V1

298 .

30 .0,1 2.1

0,333 33,3 % V1 V2

447 K


T3 T2

k 1

V2 V3

V2

Dus wnt

1/ k 1

T V3 . 3 T2

Rs (Thoog

Tlaag ). ln

V1 V2

447 0,1. 298

26

1 / 1, 4 1

0,276 m 3

0,297 .( 447

298 ). ln

1 0,276

57 ,0 kJ.kg

Opgave 4 Gegeven is een benzinemotor werkend volgens het Ottoproces met een compressieverhouding van 12. De begindruk is 2 bar en de eindverbrandingsdruk is 80 bar. Wat is het thermisch rendement?

1

1

th

1 12

1

k 1

1, 4 1

0,63 63 %

Opgave 5 Gegeven is een motor werkend volgens het Ottoproces met een drukverhouding bij de compressie van 20. De begindruk is 2 bar en de eindverbrandingsdruk is 80 bar. Wat is het thermisch rendement?

1

1

th

V p1V1 volgt 1 V2

Met p 2V2

k

Dus

1

th

V1 V2

met

k 1

1

1

k 1

1/ k

p2 p1

k

1 8,51, 4

1

201 / 1, 4

0,575

8,5

57 ,5 %

Opgave 6 Een Jouleproces met lucht als fluïdum speelt af tussen 30 en 800 °C. De begindruk is 1 bar, de begincompressietemperatuur 30 °C en de eindcompressietemperatuur is 500 °C. Wat is de netto specifieke arbeid?

wnt

T2 p2

k

k 1

T4 p4

c p (T3

k

k 1

T1 p1

T4 ) c p (T2 k

k 1

T3 p3

Dus wnt

p2 p1

k

k 1

c p T3

T4 T3 T4

T1 )

T2 T1 p4 p3

T2

k 1 k

T1

c p T3 k k 1

T4

T4

T2 1, 4 1, 4 1

773 303 T3

T1

p4 p3

1`,005 .(1073

k 1 k

26,5

T3 .

1

421 773

k 1 k

1 1073. 26,5

1, 4 1 1, 4

421 K

303 ) 183 kJ / kg

Opgave 7 Een Jouleproces met lucht als fluïdum speelt af tussen 30 en 800 °C. De toegevoerde warmte in de verbrandingskamer is 3000 kW. Wat is de maximaal haalbare netto specifieke arbeid? Wat is het daarbij behorende thermisch rendement?

Docentenhandleiding Toegepaste Energieleer – Warmte- en stromingsleer k 2 ( k 1)

Thoog opt

1073 303

Tlaag

wnt

c p .T1

Thoog Tlaag

(1

k 1 k

opt

1073 1,005.303 (1 9,14 303

th

1/ 2

Tlaag

1

) (

1, 4 1 1, 4

303 1073

1

Thoog

1, 4 2 (1, 4 1)

27

9,14

opt

k 1 k

) (9,14

1)

1, 4 1 1, 4

1)

237,2 kJ / kg

1/ 2

0,469

46,9 %

Opgave 8 Van een benzinemotor is de compressieverhouding 11. De omgevingstemperatuur is 20 °C de uitlaatgassen hebben een temperatuur van 200 °C. Wat is het theoretisch thermisch rendement?

th

1

1

1 11

1

k 1

1, 4 1

0,617

61,7 %

Opgave 9 Gegeven een negatief kringproces waarbij 100 resp 80 kW warmte afgevoerd en toegevoerd wordt Wat is de koudefactor?

Pnt

w, af

w ,toe

80 20

w,toe

Pnt

100

80

20 kW

4

Opgave 10 Gegeven buitenlucht van –5 °C en gewenste cv-watertemperatuur 50 °C. Wat is de COP van een koelmachine wanneer in deze het Carnotproces toegepast wordt?

Tlaag Carnot

Thoog

Tlaag

268 50 ( 5)

4,87

Opgave 11 Gegeven buitenlucht van –5 °C en gewenste cv-watertemperatuur 50 °C. Wat is de COP van de warmtepomp wanneer in deze het Carnotproces toegepast wordt?

Thoog w,Carnot

Thoog

Tlaag

323 50 ( 5)

5,87

Opgave 12 In een koelmachine die werkt volgens het Carnotproces voert warmte of bij een koeltemperatuur van 10 °C. De omgevingstemperatuur is 40 °C. Wat is de waarde van de koudefactor?


Tlaag Carnot

Thoog

Tlaag

283 40 10

28

9,43

Opgave 13 Een koelmachine die werkt volgens het Carnotproces voert warmte of bij een koeltemperatuur van 10 °C. De omgevingstemperatuur is 40 °C. De temperatuurverschillen over het warmte-uitwisselend oppervlak van de verdamper en condensor is 5 K. Wat is de waarde van de koudefactor?

Tlaag Carnot

Thoog

Tlaag

273 5 40 5 10 5

6,95

Opgave 14 In een compressiekoelmachine vindt een Carnotproces plaats tussen –10 en –40 °C. De via de verdamper uitgewisselde warmtestroom is 100 kW. Hoe groot is het compressorvermogen?

w,toe Carnot

Pnt

Pnt

Carnot

Tlaag Carnot

Pnt

Thoog w,toe Carnot

w,toe

Tlaag

100 7,77

233 30

7,77

12,9 kW

Opgave 15 In een koelmachine speelt het Jouleproces af met lucht als fluïdum. Het proces speelt af tussen 0 en 70 °C. In de warmtewisselaar waarin de lucht in de koelmachine opgewarmd wordt, stijgt de temperatuur met 10 K. Wat is de koudefactor van dit proces?

Er geldt dus T1 = 0 °C, T3 = 70 °C en T2 = T1+10=10 °C.

1 Joule

k 1 k

met

1

p3 p2


T3 p3

k

k 1

T2 p2

k

p3 p2

k 1

1 Joule

k 1 k

T3 T2

k k 1

1 1

1,96

1, 4 1 1, 4

273 70 273 10

4,72 1

1, 4 1, 4 1

29

1,96


30

Hoofdstuk 7 Open systemen Opgave 1 We willen smeerolie in druk verhogen van 1 naar 2 bar. De massastroom bedraagt 2 kg/s. Wat is het benodigde pompvermogen wanneer we een wijvingsloos proces aannemen?

Ppomp

V

m

. p pomp

2 .( 2.10 5 10 5 ) 890

. p pomp

smeerolie

224 ,7 W

Opgave 2 In een regelklep wordt water gesmoord van een druk van 1,5 bar naar een druk van 1,4 bar. De intredetemperatuur van het water is 80 °C. Wat is de uittredetemperatuur?

huit

hin

met u

u uit

puit .vuit

u in

pin .vin

c water T volgt:

cwater .Tuit

pin

cwater .Tin

puit

water

Tuit

Tin

water

(1,5 1,4).105 80 1000.4,18.103

pin

puit water .c water

80,0024 K

Opgave 3 In een stoomturbine bevindt zich een straalbuis. De enthalpieval over de straalbuis bedraagt 100 kJ/kg. De intredesnelheid is 10 m/s. Wat is de uittredesnelheid?

vuit

2

vin

2

2.(hin

huit )

vuit

vin

2

2.(hin

huit )

Ook kan de vergelijking van Zeuner toegepast worden: vuit

10 2

2.100.103

2.(hin

huit )

447,3 m / s

2.100.103

447,2 m / s

Opgave 4 In een warmtewisselaar wordt buitenlucht van –10 °C opgewarmd door afvoerlucht dat van 20 °C afkoelt naar 4 °C. De massastromen zijn gelijk. Wat is de temperatuur van de toevoerlucht? m , koudelucht

(hkoudelucht,uit

m , koudelucht

.c p ,lucht .(Tkoudelucht,uit

Dus: Met

m , koudelucht

hkoudelucht,in )

.(Tkoudelucht,uit

m , koudelucht

m , warmelucht

m , warmelucht

Tkoudelucht,in ) Tkoudelucht,in )

(hwarmelucht,in

m , warmelucht m , warmelucht

hwarmelucht,uit )

.c p ,lucht .(Twarmelucht,in

.(Twarmelucht,in

Twarmelucht,uit )

Twarmelucht,uit )

volgt:

Tkoudelucht,uit

Tkoudelucht,in

Twarmelucht,in

Twarmelucht,uit

Tkoudelucht,uit

Tkoudelucht,in

Twarmelucht,in

Twarmelucht,uit

10 20 4

6 o C.

Opgave 5 We willen in een compressor lucht van 1 bar verhogen naar 8 bar. Per uur wordt er 4000 kg lucht verwerkt. De begintemperatuur is 30 °C. De exponent van de polytroop is 1,3. Wat is het benodigde vermogen?

Pcompr

m

.wcompr


n

met wcompr

n 1

Dus Pcompr

m

n 1 n

puit pin

Rs .Tin

31

1,3 0,287.(30 273) 1,3 1

1

8 1

1, 3 1 1, 3

1

232,1 kJ / kg

4000 .232,1 257,9 kW 3600

.wcompr

Opgave 6 We willen in een compressor lucht isothermisch van 1 bar verhogen naar 8 bar. Per uur wordt er 4000 kg lucht verwerkt. De begintemperatuur is 30 °C. Wat is het benodigde vermogen?

Pcompr

m

met wcompr

.wcompr

puit pin

Rs .Tin ln

Dus Pcompr

m

0,287 .(30

4000 .180,8 3600

.wcompr

273 ). ln

8 1

180 ,8 kJ / kg

200,9 kW

Opgave 7 We willen in een compressor lucht van 1 bar verhogen naar 8 bar. Per uur wordt er 4000 kg lucht verwerkt. De begintemperatuur is 30 °C. De exponent van de polytroop is 1,3. Hoeveel lucht wordt er geleverd in m3/s? Uit de massastroom kunnen we de volumestroom bepalen met m,uit

V ,uit

.

m,uit uit

V ,uit

vuit .

m,uit

uit

Het uitgaande specifieke volume kunnen we bepalen met

puit .vuit

n

Met vin wordt vuit Dus

V ,uit

pin .vin

n

Rs .Tin pin

p vin . in puit

vuit 287 .303 10 5

p vin . in puit

vuit .

1/ n

m ,uit

1/ n

0,870 m 3 / kg

1 0,870. 8

0,176.

4000 3600

1 / 1, 3

0,176 m 3 / kg

0,196 m 3 / s

Opgave 8 We willen in een compressor isothermisch lucht van 1 bar verhogen naar 8 bar. Per uur wordt er 4000 kg lucht verwerkt. De begintemperatuur is 30 °C. Hoeveel lucht wordt er geleverd in m3/s? Uit de massastroom kunnen de volumestroom bepalen met m,uit

V ,uit

.

m,uit uit

V ,uit

vuit .

m,uit

uit

Het uitgaande specifieke volume kunnen we bepalen met


p uit .vuit

p in .vin

Met vin

Rs .Tin pin

wordt vuit Dus

vin

vin

287 .303 10 5 pin puit

vuit .

V ,uit

vuit

0,870 .

m ,uit

32

p in p uit 0,870 m 3 / kg

1 8

0,109.

0,109 m 3 / kg

4000 3600

0,121 kg / s

Opgave 9 We willen in een compressor lucht van 1 bar verhogen naar 8 bar. Per uur wordt er 4000 kg lucht verwerkt. De begintemperatuur is 30 °C. De exponent van de polytroop is 1,3. Wat is de temperatuur van de geleverde lucht? De uitgaande temperatuur kunnen we bepalen met

Tuit puit

n

Tin

n 1

pin

n

n 1

Tuit

p Tin . uit pin

n 1 n

8 303. 1

1, 3 1 1, 3

490 K

Opgave 10 We willen in een compressor isothermisch lucht van 1 bar verhogen naar 8 bar. Per uur wordt er 4000 kg lucht verwerkt. De begintemperatuur is 30 °C. Wat is de temperatuur van de geleverde lucht? De compressie verloopt isothermisch. Daardoor blijft de temperatuur constant.

Tuit

Tin

303 K

Opgave 11 We willen in een compressor isothermisch lucht van 1 bar verhogen naar 8 bar. Per uur wordt er 4000 kg lucht verwerkt. De begintemperatuur is 30 °C. Er is geen schadelijke ruimte aanwezig.Hoeveel vermogen is er nodig voor het aanzuigen, comprimeren en uitdrijven van de lucht?

Wanneer er geen schadelijke ruimte is geldt dat V3=V4=0.


33

Aanzuigen

Paanzuigen

met

p1 .(

V ,1

m V ,1

Paanzuigen

p1.

V ,4

.Rs .T1 p1 V ,1

)

p1 .

V ,1

4000 287 .303 3600 10 5

0,966 m 3 / s volgt

105.0,97 96.600 W

96,6 kW

Compressie

Pcompressie

m

p2 p1

.Rs .Tin . ln

4000 .287.303. ln 8 3600

200889 W

200,9 kW

Uitdrijven

Puitdrijven

p 2 .(

V ,3

V ,2

)

p2 .

V ,2

De uitgaande volumestroom kunnen we bepalen met

p2 .

V ,2

p1 .

Puitdrijven

p2 .

V ,1

V ,2

V ,2

V ,1

p1 p2

8.105.0,12075

0,966 .

1 8

0,12075 m 3 / kg

96600 W

96,6 kW

Opgave 12 We willen in een compressor isothermisch lucht van 1 bar verhogen naar 8 bar. Per uur wordt er 3600 kg lucht geleverd. De begintemperatuur is 30 °C. De schadelijke ruimte bedraagt 10 % van het slagvolume. De expansie vindt isothermisch plaats. Hoeveel vermogen is er nodig voor het aanzuigen, comprimeren, uitdrijven van de lucht en voor het expanderen van de lucht in de schadelijke ruimte? Bepaal het benodigde compressorvermogen.

Voor de vermogensberekeningen hebben we de volumedebieten nodig in de punten 1 t/m 4. Deze bepalenwe eerst. Voor het slagvolume geldt: VS

V3

0,1.VS

0,1.(V1 V3 )

V1 V3 en verder is bekend dat 1,1 V1 .V3 11 .V3 0,1


34

Door de quasistationaire situatie te beschouwen volgt :

11 .

V ,1

V ,3

De expansie vindt iothermisch plaats waardoor geldt:

p4 .

p3 .

V ,4

V ,3

p3 . p4

V ,3

p1 . p2

V ,1

V ,4

8.

V ,3

en voor de compressie geldt

p2 .

p1 .

V ,2

V ,1

V ,2

3600 287 .303 3600 10 5

m , aanz .R s .T1 V , aanz

Dus

p1

V ,aanz

V ,1

1 . 8

11.

V ,4

V ,3

0,87 m 3 / s

8

V ,3

11 . 8

V ,1

V ,3

3.

0,87 m3 / s

V ,3

V ,3

0,029 m3 / s

Aanzuigen

Paanzuigen

p1.(

V ,1

V ,4

)

p1.(11.

V ,3

8.

V ,3

) 3. p1.

3.105.0,029 8700 W

V ,3

8,7 kW

Compressie

Pcompressie

m

p 2. p1

.Rs .T1 . ln

V ,1

p 2. p1

. 1 .Rs .T1 . ln

V ,1

.

p p1 .Rs .T1 ln 2. Rs .T1 p1

Dus

Pcompressie

V ,1

. p1 . ln

p2 p1

11.

V ,3

. p1 . ln

p2 p1

11.0,29.105. ln 8

663342 W

663,3 kW

Uitdrijven

Puitdrijven

p 2 .(

V ,3

3 .8.10 5.0,029 8

V ,2

)

p 2 .(

8700 W

11 . 8

V ,3

V ,3

3 . p2 . 8

)

V ,3

8,7 kW

Expansie

Pexp ansie

m,3

Dus Pexp ansie

.Rs .T3 . ln

V ,3

. p3 . ln

p4. p3

V ,3

p4 p3

. 3 .Rs .T3 . ln

0,29..8.105. ln

1 8

p 4. p3

V ,3

482430 W

.

p3 p .Rs .T3 ln 4. Rs .T3 p3 482,4 kW

Compressorvermogen

Pcompr

( Paanzuigen

Pcompressie

Puitdrijven

Pexp ansie )

(8,7 663 ,3 8,7 482 .4) 180 ,9 kW

Het compressorvermogen is ook direct uit te reken met [7.24]:

Pcompr

m

.Rs .Tin . ln

puit pin

3600 .287.303. ln 8 180830 W 3600

180,8 kW


35

Opgave 13 In een gasturbine vindt de compressie isentropisch in twee trappen plaats. In de eerste compressor wordt lucht van 20 °C gecomprimeerd van 1 naar 2 bar. Vervolgens wordt de gecomprimeerde lucht afgekoeld naar 20 °C en verder gecomprimeerd naar 4 bar. Bepaal de benodigde specifieke compressorarbeid. Vergelijk de uitkomst met een compressor die direct van 1 naar 4 bar comprimeert. p

Vermindering compressorarbeid

isentroop isotherm

V Tweetrapscompressie

De totale specifieke compressorarbeid is gelijk aan wcompr

wcompr,ld

wcompr,hd

Voor de lage drukcompressor gebruiken we [7.23a]:

k

wcompr,ld

k 1

Rs Tin

puit pin

n 1 n

1,4 2 0,287.293 1,4 1 1

1

1, 4 1 1, 4

1

64,5 kJ / kg

1

64,5 kJ / kg

en voor de hoge druk compressor volgt:

k

wcompr,hd

k 1

Dus wcompr

Rs Tin

wcompr,ld

puit pin

n 1 n

1,4 4 0,287.293 1,4 1 2

1

wcompr,hd

1, 4 1 1, 4

64 ,5 64 ,5 129 kJ / kg

Eentraps comprimeren:

k

wcompr

k 1

Rs Tin

puit pin

n 1 n

1

1,4 4 0,287.293 1,4 1 1

1, 4 1 1, 4

1

143 kJ / kg

Opgave 14 Gegeven is een stoomturbine waaruit metingen blijkt dat de ingaande stoom een druk heeft van 100 bar en een temperatuur van 600 °C. De uittrededruk is 1 bar en de temperatuur is 150 °C. De massastroom is 100 kg/s. Het geleverde vermogen is 80 MW. Wat is de afgegeven warmte door de turbine aan de omgeving wanneer de verandering van de kinetische en potentiele energie verwaarloosd wordt? De energiebalans voor deze situatie luidt: m

(hin

huit )

w, af

Pt

w , af

m

(hin

huit ) Pt

De in- en uitgaande enthalpiën zijn uit te lezen uit de stoomtabel B2.8: hin = 3622,7 kJ/kg en huit = 2776,3 kJ/kg. Dus

w, af

m

(hin

huit ) Pt

100 .(3622 ,7 2776 ,3) 80000

4640 kW


36

Opgave 15 Beschouw de informatie van opgave 14. Bepaal de verandering van de kinetische en potentiele energie per tijdseenheid wanneer de ingaande snelheid 10 m/s bedraagt en de uitgaande snelheid 1 m/s. De uitlaat ligt 3 m hoger dan de inlaat. Hoeveel procent is de verandering van het geleverde vermogen? De energiebalans voor deze situatie luidt: m

Pt

(hin m

huit ) (ek ,in (hin

ek ,uit ) (e p ,in

huit ) (ek ,in

e p ,uit )

ek ,uit ) (e p ,in

e p ,uit )

Pt

w, af

w, af

De in- en uitgaande enthalpiën zijn uit te lezen uit de stoomtabel B2.8: hin = 3622,7 kJ/kg en huit = 2776,3 kJ/kg. Uit opgave 14 volgde dat de afgevoerde warmte gelijk is aan 4640 kW. Dus

Pt

m

(hin

huit ) (ek ,in

100 (3622,7 2776,3).103

ek ,uit ) (e p ,in 1 ( .10 2 2

100(846400 49,5 29,4) 4640.103

e p ,uit )

w, af

1 2 .1 ) (9,81. 3) 2 80.002.103 W

4640.103 80,002 MW

We zien dus dat het gerechtvaardigd is om de verandering van de kinetische en/of potentiële energie bij een turbine te verwaarlozen. De toename is slechts

80,002 80 80

2,5.10

5

0,0025 %


37

Hoofdstuk 8 Niet-omkeerbare toestandsveranderingen Opgave 1 Gegeven is stikstof met een temperatuur van 20 °C en een druk van 1 bar. Dit gas wordt isotherm gecomprimeerd naar 10 bar. Wat is de toename van de specifieke entropie?

s

p1 p2

Rs . ln

1 10

297. ln

683,9 J / kg

Opgave 2 Gegeven is Helium met een temperatuur van 20 °C en een druk van 1 bar. Het Helium wordt isentropisch gecomprimeerd naar 10 bar. Wat is de toename van de specifieke entropie?

s

T2 T1

c p ln

Rs . ln

p1 p2

T2 is te bepalen met

T2 p2

k

T1

k 1

p1

s

Dus

k

T2

k 1

c p ln

T2 T1

p T1 2 p1

Rs . ln

k k 1

293.10

p1 p2

1, 66 1 1, 66

5,19. ln

738 K

738 293

2,08. ln

1 10

0 kJ / kgK

Dit klopt, want de compressie is isentropisch.

Opgave 3 Gegeven is een pomp met een isentropisch rendement van 90 % waarin 1 kg/s water van 20 °C in druk verhoogd wordt van 1 naar 2 bar. Wat is het benodigde vermogen? m

Ppomp

V . p pomp is , pomp

1 .(2.105 1.105 ) 1000 0,9

. p pomp

water is , pomp

111 W

Opgave 4 Gegeven is een pomp met een isentropisch rendement van 90 % waarin 1 kg/s water van 20 °C in druk verhoogd wordt van 1 naar 2 bar. Wat is de temperatuurstijging door de niet-omkeerbaarheden?

Ppomp

m

(huit

hin )

m

puit

(u uit

pin

) (u in

water

)

water

met u = cwater. T volgt m

.c water (Tuit

Tin )

Ppomp

m

(

puit

pin

water

m

.c water (Tuit

Tin )

Ppomp

V

( puit

)

water

pin )

T

Ppomp

V m

( puit

.c water

pin )


38

Ppomp volgt uit m V

Ppomp

. p pomp

water

is , pomp

is , pomp

Ppomp

T

Dus

1 .(2.105 1.105 ) 1000 0,9

. p pomp

V m

( puit

1 (2.10 5 1.10 5 ) 1000 1.4180

111

pin )

111 W

.c water

0,0026 K

Opgave 5 Gegeven is een turbine met een isentropisch rendement van 90 % waarin isentropisch per seconde 10 kg lucht van 600 °C expandeert van 10 naar 1 bar. Wat is de temperatuurstijging door de nietomkeerbaarheden?

Tin is ,turb

met

Tin

Tuit ,omk puit

Tuit

k

Tin

k 1

Dus Tuit

Tuit

Tuit ,omk

pin

Tin

Tin

k

is ,turb

.(Tin

.(Tin

p Tin . uit pin

Tuit ,omk

k 1

is ,turb

Tuit ,omk )

873

Tuit ,omk )

k 1 k

1, 4 1 1, 4

1 873. 10

0,9.(873

452 )

452 K 494 K

De temperatuurstijging door niet-omkeerbaarheden is gelijk aan

Tno

Tuit

Tuit ,omk

494

452

42 K

Opgave 6 Gegeven is een compressor met een isentropisch rendement van 90 % waarin adiabatisch 1 kg/s lucht van 20 °C in druk verhoogd wordt van 1 naar 2 bar. Wat is de temperatuurstijging door de nietomkeerbaarheden?

Tuit ,omk is ,compr

met

Tin

Tuit

Tuit ,omk puit

k

Dus Tuit

Tin Tin

k 1

pin

Tin

k 1

Tuit ,omk

Tin

is ,compr

k

Tuit ,omk

Tin

Tuit

p Tin . uit pin

Tuit ,omk

Tin

293

is ,compr

k 1 k

357 293 0,9

293.2

1, 4 1 1, 4

357 K

364 K

De temperatuurstijging door niet-omkeerbaarheden is gelijk aan

Tno

Tuit

Tuit ,omk

364

357

7K

Opgave 7 Gegeven is een turbine met een isentropisch rendement van 90 % waarin per seconde 10 kg lucht van 20 °C expandeert van 10 naar 1 bar. Wat is het geleverde vermogen?

Pturb

m

(hin

huit )

m

.c p ,lucht (Tin

Tuit )

is ,turb

.

m

.c p ,lucht (Tin

De uitgaande temperatuur bij een isentropische expansie is te bepalen uit

Tuit ,omk )


Tuit ,omk puit

k

Tin

k 1

p Tin . uit pin

Tuit ,omk

k 1

pin

Dus Pturb

k

is ,turb

.

m

.c p ,lucht (Tin

k 1 k

Tuit ,omk )

39

1 293. 10

1, 4 1 1, 4

152 K

0,9.10 .1,005 .( 293 152 ) 1275 kW

Opgave 8 Lucht expandeert van 3 naar 1 bar waarbij de temperatuur daalt van 200 naar 40 °C. Wat is de specifieke entropieverandering?

s

T2 T1

c p ln

Rs . ln

p1 p2

1,005 ln

313 473

0,287. ln

3 1

0,1 kJ / kgK

Opgave 9 Lucht wordt gecomprimeerd waardoor het volume afneemt van 10 naar 1 m3 en waarbij de temperatuur stijgt van 40 naar 400 °C. Wat is de entropieverandering?

s

T2 T1

cV ln

Rs . ln

v2 v1

Doordat de massa constant is geldt:

s

Dus

T2 T1

cV ln

Rs . ln

v2 v1

v2 v1

V2 / m V1 / m

V2 V1

0,1

673 313

0,718. ln

0,287. ln 0,1

0,111 kJ / kgK

Opgave 10 Gegeven is een compressor met een isentropisch rendement van 90 % waarin 1 kg/s lucht van 20 °C in druk verhoogd wordt van 1 naar 2 bar. Wat is het benodigde vermogen?

Pcompr

m

(huit

hin )

m

.c p ,lucht (Tuit

Tin )

m

.c p ,lucht (Tuit ,omk

Tin )

is ,compr

De uitgaande temperatuur bij een isentropische compressie is te bepalen uit

Tuit ,omk puit

k

Tin

k 1

pin

k

m

Dus Pcompr

Tuit ,omk

k 1

p Tin . uit pin

.c p,lucht (Tuit ,omk is ,compr

Tin )

k 1 k

2 293. 1

1, 4 1 1, 4

1.1,005.(357 293) 0,9

357 K

71,5 kW

Opgave 11 In een turbine expandeert lucht van 8 naar 2 bar. De temperatuur daalt daarbij van 500 °C naar 300 °C. Wat is het isentropisch rendement van de turbine?

Tin is ,turb

Tin

Tuit Tuit ,omk


met

Tuit ,omk puit

k

Tin

k 1

pin

k

Tin

Dus

is ,turb

Tin

Tuit ,omk

k 1

Tuit

773 573 773 520

Tuit ,omk

k 1 k

p Tin . uit pin

0,79

40 1, 4 1 1, 4

2 773. 8

520 K

79 %

Opgave 12 In een turbine expandeert lucht van 8 naar 2 bar. De temperatuur daalt daarbij van 500 °C naar 300 °C. Wat is entropieverandering?

s

T2 T1

c p ln

p1 p2

Rs . ln

1,005. ln

573 773

0,287. ln

8 2

0,098 kJ / kgK

Opgave 13 In een gasturbine vindt de compressie met een isentropisch rendement van 80 % in twee trappen plaats. In de eerste compressor wordt lucht van 20 °C gecomprimeerd van 1 naar 2 bar. Vervolgens wordt de gecomprimeerde lucht afgekoeld naar 20 °C en verder gecomprimeerd met een isentropisch rendement van 80 % naar 4 bar. Bepaal het benodigde specifieke compressorvermogen. Vergelijk de uitkomst met een compressor die direct van 1 naar 4 bar comprimeert.

wcompr,ld

huit

hin

c p ,lucht (Tuit

Tin )

c p ,lucht (Tuit ,omk

Tin )

is ,compr


Tuit ,omk puit

k

Tin

k 1

pin

k

k 1

p Tin . uit pin

Tuit ,omk


Dus wcompr,ld

Tin )

puit pin

c p,lucht (Tuit ,omk

wcompr,hd

Tin )

wcompr,ld

wcompr,hd

1, 4 1 1, 4

357 K

80,4 kJ / kg

geldt ld

1,005.(357 293) 0,8

is ,compr

Dus wcompr

puit pin

hd

2 293. 1

1,005.(357 293) 0,8

is ,compr

Doordat Tin,hd= Tin,ld en

k 1 k

80,4 kJ / kg

80 ,4 80 ,4 160 ,8 kJ / kg

Bij eentrapscompressie geldt:


wcompr

Tin )

is ,compr


Tuit ,omk puit

k

k 1

Tin pin

Dus wcompr,ld

k

k 1

Tuit ,omk

c p ,lucht (Tuit ,omk is ,compr

p Tin . uit pin

Tin )

k 1 k

4 293. 1

1, 4 1 1, 4

1,005.(435 293) 0,8

435 K

178,4 kJ / kg


41

Opgave 14 In een stoomketel wordt 1 kg vloeibaar water bij 200 °C omgezet in stoom. Daarbij daalt de temperatuur van de rookgassen van 1200 naar 400 °C. Wat is de verandering van de entropie van de rookgassen en het water? Wat is de totale entropieverandering? Voor de eigenschappen van de rookgassen mag uit gegaan worden van de eigenschappen van lucht.

Entropieverandering van de stoom

S stoom

mstoom .

r T

De verdampingswarmte volgt uit de stoomtabel B2.6: r Dus

S stoom

mstoom .

r T

1.

1938,5 473

hd

hvl

2790 ,9 852 ,4 1938 ,5 kJ / kg

4,1 kJ / K

Entropieverandering van de rookgassen De rookgassen koelen in de warmtewisselaar af bij constante druk:

S rookgassen

m rrokgassen .c p . ln

Tuit Tin

De massa van de rookgassen volgt uit de warmtebalans:

m stoom .r

mrookgassen .c p ,rookgassen .(Trookgassen,in

Trookgassen,uit )

mstoom .r

mrookgassen

c p ,rookgassen .(Trookgassen,in

Trookgassen,uit )

1.1938,5 1,155.(1200 400)

2,1 kg

Voor de soortelijke warmte bij constante druk is de waarde opgezocht voor lucht bij de gemddelde rookgastemperatuur van 800 °C. Dus

S rookgassen

mrookgassen.c p . ln

Tuit Tin

2,1.1,155 . ln

673 1473

2,2 kJ / K

0!

1,9 kJ / K

Totale entropieverandering

S tot

S stoom

S rookgassen

4,1 1,9

Opgave 15 In een gasturbine vindt de compressie in twee trappen plaats. In de eerste compressor wordt lucht van 20 °C gecomprimeerd van 1 naar 2 bar. Vervolgens wordt de gecomprimeerde lucht afgekoeld naar 20 °C en verder gecomprimeerd naar 4 bar. Teken dit proces in het Ts-diagram. T 4

isobaar

2

20 °C

3

isobaar

1

s


42

Opgave 16 In een warmtewisselaar wordt 100 l koud tapwater van 10 °C verwarmd naar 50 °C door cv-water van 90 °C dat daardoor afkoelt naar 70 °C. Wat is de verandering van de entropie van het tapwater en van het cv-water. Wat is de totale entropieverandering? 10 °C

50 °C

mtapwater

70 °C

mcv-water

90 °C

Tapwater

S tapwater

mtapwater .c water . ln

met mtapwater

S tapwater

water

.Vtapwater

mtapwater .c water . ln

Ttapwater ,uit Ttapwater ,in

1000.100.10 Ttapwater ,uit

3

100 kg volgt

100.4,18. ln

Ttapwater ,in

323 283

55,3 kJ / K

Cv-water

S cvwater

mcvwater .c water . ln

Tcvwater,uit Tcvwater,in

De massa van het cv-water kunnen we bepalen uit de warmtebalans:

mtapwater .c water .(Ttapwater ,uit mcvwater Dus

Ttapwater ,in )

mtapwater (Ttapwater ,uit Tcvwater,in

S cvwater

mcvwater .c water .(Tcvwater,in

Ttapwater ,in )

Tcvwater,uit

mcvwater .c water . ln

Tcvwater,uit Tcvwater,in

100.(50 10) 90 70

200 kg

200.4,18. ln

343 363

7,9 kJ / K

0!

Totale entropieverandering

S tot

S tapwater

S cvwater

55,3 47 ,4

Tcvwater,uit )

47,4 kJ / K


43

Hoofdstuk 9 Werkelijke kringprocessen Opgave 1 Bepaal de netto specifieke arbeid voor een Carnotproces in het coëxistentiegebied van water bij een condensor- resp. verdamperdruk van 1 resp. 20 bar. In onderstaande figuur is het Carnotproces weergegeven.

Ts-diagram van het Carnotproces in het coexistentiegebied

Met behulp van de stoomtabel B2.6 volgt bij een druk van 20 bar dat s2 = svl = 2,447 kJ/kgK, s3 = sd = 6,337 kJ/kgK, h2 = hvl=908,6 kJ/kg en h3 = hd = 2797,2 kJ/kg. De enthalpiën h1 en h4 zijn te bepalen met behulp van

h

s s vl ( hd s d s vl

hvl )

hvl

[9.1]

Hierin zijn hvl en hd resp. svl en sd de enthalpiën resp. entropiën van het verzadigd water en de verzadigde stoom. In ons geval bij 1 bar die in de stoomtabellen op te zoeken zijn. Voor toestand 1 volgt dan:

h1

s1 sd

s vl (hd s vl

hvl ) hvl

2,447 1,303 (2675 ,4 417 ,5) 417 ,5 7,36 1,303

844 kJ / kg

hvl ) hvl

6,337 1,303 (2675 ,4 417 ,5) 417 ,5 7,36 1,303

2294 ,1 kJ / kg

en voor toestand 4

h4

s4 sd

s vl (hd s vl

De netto specifieke arbeid is gelijk aan:

wnt

(h3

h4 ) (h2

h1 )

(2797 ,2 2294 ,1) (908 ,6 844 )

438 ,5 kJ / kg

Opgave 2 Gegeven is een stoomturbine waaraan stoom toegevoerd wordt met een druk van 40 bar en een temperatuur van 400 °C. De stoom expandeert in de turbine isentropisch naar 0,1 bar. a. Wat is het stoomgehalte na expansie? b. Wat is de specifieke turbinearbeid? In onderstaande figuur is het Rankineproces getekend waarin het proces in de stoomturbine weergegeven is door de toestandsverandering 34.


44

Uit tabel B2.8 volgt h3 = 3215,7 kJ/kg en s3 = 6,773 kJ/kgK. Bij isentropische expansie geldt s4 = s3 = 6,773 kJ/kgK. a. Het stoomgehalte na expansie is gelijk aan:

x4

s4 sd

s vl s vl

6,773 0,649 8,151 0,649

0,816

81,6 %

en de specifieke enthalpie na expansie:

h4 b.

s4 sd

wturb

s vl (hd s vl h3

h4

hvl ) hvl

6,773 0,649 (2548 ,8 191,8) 191,8 8,151 0,649

2115 ,9 kJ / kg

3215 ,7 2115 ,9 1099 ,8 kJ / kg

Opgave 3 Gegeven is een stoomturbine waaraan stoom toegevoerd wordt met een druk van 40 bar en een temperatuur van 400 °C. De stoom expandeert in de turbine met een isentropisch rendement van 90 % naar 0,1 bar. a. Wat is de specifieke turbinearbeid? b. Wat is het stoomgehalte na expansie? In onderstaande figuur is het Rankineproces getekend waarin het niet-omkeerbare proces in de stoomturbine weergegeven is door de toestandsverandering 34.

Uit tabel B2.8 volgt h3 = 3215,7 kJ/kg en s3 = 6,773 kJ/kgK. Bij isentropische expansie geldt s4=s3=6,773 kJ/kgK. a. Bij een isentropische expansie is de specifieke enthalpie na expansie:

h4,omk

s4 sd

s vl (hd s vl

hvl ) hvl

6,773 0,649 (2548 ,8 191,8) 191,8 8,151 0,649

2115 ,9 kJ / kg


45

Voor het isentropisch rendement geldt:

h3 is ,turb

h3

h4 h4,omk

h4

h3

is ,turb

.(h3

h4,omk )

3215,7 0,9.(3215,7 2115,9)

2225,9 kJ / kg

Hiermee wordt de specifieke turbine arbeid:

wturb

h3

h4

3215 ,7 2225 ,9 989 ,8 kJ / kg

b. Het stoomgehalte na expansie is gelijk aan:

x4

h4 hd

hvl hvl

2225 ,9 191,8 2584 ,8 191,8

0,85

85 %

Opgave 4 Gegeven is een stoomturbine-installatie waarin het Rankineproces afspeelt. De condensordruk is 0,08 bar en de verdamperdruk is 40 bar. De oververhittingtemperatuur bedraagt 500 °C. a. Wat is de specifieke enthalpie bij intrede van de pomp, stoomketel, stoomturbine en condensor? b. Wat is het thermisch rendement? De oververhittingtemperatuur is 500 °C. In onderstaande figuur is het processchema gegeven.

Processchema van de stoomturbine-installatie werkend volgens het Rankineproces

In onderstaande figuur is het Rankineproces weergegeven in het Ts-diagram.

De netto specifieke arbeid kunnen we bepalen met wnt

wturb

w pomp

(h3

h4 ) ( h2

h1 )

a. De enthalpie h1 en h3 kunnen we opzoeken in de stoomtabellen: h1 = 173,9 kJ/kg en h3 = 3445 kJ/kg De enthalpie h2 kunnen we bepalen met behulp van [3.35]


h2

h1

v1 ( p 2

46

0,001 (40 0,08 ). 10 5 1000

p1 ) 173 ,9

177 ,9 kJ / kg

De enthalpie h4 volgt uit [9.1]:

h4

s3 sd

s vl (hd s vl

hvl ) hvl

7,091 0,593 (2577 ,1 173 ,9) 173 ,9 8,230 0,593

2218 ,8 kJ / kg

en uit [8.17] volgt het stoomgehalte na de expansie:

x4

s4 sd

s vl s vl

6,7262 0,4763 8,396 0,4763

78 ,9%

Hiermee wordt de netto specifieke arbeid:

wnt

wturb

met wturb

wnt

w pomp

3445

2218 ,8 1226 ,2 kJ / kg en w pomp

177 ,9 173 ,9

4 kJ / kg

1226 ,2 4 1222 ,2 kJ / kg

b. Het thermisch rendement wordt dan th

wnt qtoe

wnt h3 h2

1222 ,2 3445 177 ,9

0,374

37 ,4 %

De berekeningen zijn ook uitgevoerd met behulp van de softwareapplicatie Cycle-Tempo. Zie onderstaande figuur waarin de uitvoer gegeven is.

Berekeningsresultaten Cycle-Tempo

Opgave 5 Gegeven is een stoomturbine-installatie met een vermogen van 100 MW waarin het Rankineproces afspeelt. De condensordruk is 0,06 bar en de verdamperdruk is 60 bar. De oververhittingtemperatuur bedraagt 500 °C. a. Wat is de specifieke enthalpie bij intrede van de pomp, stoomketel, stoomturbine en condensor? b. Wat is de benodigde massastroom? De oververhittingtemperatuur is 500 °C. In onderstaande figuur is het processchema gegeven.


47

Processchema van de stoomturbine-installatie werkend volgens het Rankineproces

In onderstaande figuur is het Rankineproces weergegeven in het Ts-diagram.

De netto specifieke arbeid kunnen we bepalen met

wnt

wturb

w pomp

(h3

h4 ) ( h2

h1 )

a. De enthalpie h1 en h3 kunnen we opzoeken in de stoomtabellen: h1 = 151,5 kJ/kg en h3 = 3422,2 kJ/kg. De enthalpie h2 kunnen we bepalen met behulp van [3.35]

h2

h1

v1 ( p 2

p1 ) 151,5

0,001 (60 0,06 ). 10 5 1000

157 ,5 kJ / kg

De enthalpie h4 volgt uit [9.1]:

s3 sd

h4

s vl (hd s vl

hvl ) hvl

6,882 0,521 (2567 ,51 151,5) 151,5 8,331 0,521

2119 ,4 kJ / kg

Hiermee wordt de netto specifieke arbeid:

wnt

wturb

met wturb

wnt

w pomp

3422 ,2 2119 ,1 1303 ,1 kJ / kg en w pomp

1303 ,1 6 1297 ,1 kJ / kg

b. De benodigde massastroom wordt dan m

Pnt wnt

100.103 1297,1

77,1 kg / s

157 ,5 151,5

6 kJ / kg


48

De berekeningen zijn ook uitgevoerd met behulp van de softwareapplicatie Cycle-Tempo. Zie onderstaande figuur waarin de uitvoer gegeven is.

Opgave 6 Gegeven is een stoomturbine-installatie met een vermogen van 100 MW waarin een stoomproces met heroververhitting afspeelt. De condensordruk is 0,06 bar en de verdamperdruk is 60 bar. De oververhittingtemperatuur bedraagt 600 °C. a. Wat is de massastroom van de circulerende stoom bij een heroververhittingdruk van 20 bar? b. Bij welke heroververhittingdruk is het thermisch rendement maximaal? (Gebruik Cycle-Tempo.) In onderstaande figuur is de stoomturbine-installatie geven met heroververhitting.

Processchema van de stoomturbine-installatie met heroververhitting

Gegeven is een condensordruk van 0,06 bar en een vaste hoge druk van 60 bar. De oververhitting- en heroververhittingtemperatuur is 600 °C. De heroverhittingdruk p4 is 20 bar. Onderstaand is het proces weergegeven in het Ts-diagram.


49

TS-diagram van de stoomturbine-installatie met heroververhitting

We kunnen de netto specifieke arbeid bepalen uit

wnt

wturb ,hd

wnt

(h3

wturb ,ld

h4 ) (h5

w pomp

h6 ) (h2

h1 )

en het thermisch rendement met th

wnt qtoe

wnt qtoe ,1 qtoe, 2

(h3

h4 ) (h5 h3 h2

h6 ) (h2 (h5 h4 )

h1 )

We hebben de specifieke enthalpie nodig in de toestanden 1 t/m 6. Uit de stoomtabellen volgt h1 = 151,5 kJ/kg, h3 = 3656,2 kJ/kg en h5 = 3689,2 kJ/kg. De enthalpie h2 kunnen we bepalen met behulp van [3.35]

h2

h1

v1 ( p 2

0,001 (60 0,06 ). 10 5 1000

p1 ) 151,5

157 ,5 kJ / kg

De specifieke enthalpie in punt 4 kunnen we als volgt bepalen: We weten twee toestandsgrootheden in punt 4: de druk p4 = 20 bar en de specifieke entropie s4 = s3 = 7,166 kJ/kgK. Uit de entropietabel B 2.9 in Bijlage 2 voor oververhitte stoom volgt dan een temperatuur van ongeveer 411 °C. Vervolgens kunnen we bij deze temperatuur via interpoleren in de enthalpietabel voor oververhitte stoom B 2.8 in Bijlage 2 de specifieke enthalpie bepalen: h4 = 3273,7 kJ/kg. De specifieke enthalpie in punt 5 volgt uit de druk p5 = 20 bar en temperatuur T5 = 600 °C: h5 = 3689,2 kJ/kg. (zie tabel B 2.8 in Bijlage 2) De enthalpie h6 volgt uit [9.1]:

h6

s3 sd

s vl (hd s vl

hvl ) hvl

7,702 0,521 (2567 ,51 151,5) 151,5 8,331 0,521

2372 ,9 kJ / kg

De netto specifieke arbeid wordt

wnt

(h3

h4 ) (h5

h6 ) (h2

h1 )

(3656,2 3273,7) (3689,2 2372,9) (157,5 151,5) 1692,8 kJ / kg De toegevoerde specifieke warmte is

qtoe

qtoe ,1

qtoe , 2

(h3

h2 ) (h5

h4 )

Hiermee wordt het thermisch rendement th

wnt q toe

1692 ,8 3914 ,2

0,432

43,2 %

(3656 ,2 157 ,5) (3689 ,2 3273 ,7)

3914 ,2 kJ / kg


De benodigde massastroom wordt m

Pnt wnt

100.103 1692,8

59,1 kg / s

De berekeningen zijn ook uitgevoerd met Cycle-Tempo. Zie onderstaande figuur waarin de uitvoer weergegeven is.

Wanneer de optimalisatiemoduul in Cycle-tempo gebruikt wordt krijgen we de volgende uitvoer:

Het hoogste thermisch rendement (42,65 %) wordt gehaald bij een tussendruk van 7,9 bar.

50


51

Opgave 7 Gegeven is een stoomturbine-installatie waarin een stoomproces met voedingswatervoorverwarming afspeelt met behulp van een menger. De condensordruk is 0,06 bar en de verdamperdruk is 60 bar. De aftapdruk bedraagt 8 bar. De massastroom door de hoge drukturbine bedraagt 200 kg/s. a. Wat is de afgetapte massastroom? b. Wat het vermogen dat deze stoomturbine-installatie levert?

m, hd

m,ld

m , hd

m ,ld

Processchema van de stoomturbine-installatie met voedingswatervoorverwarming

Gegeven is een stoomturbine-installatie met voedingswatervoorverwarming. De condensordruk is 0,06 bar en de verdamperdruk 60 bar. De oververhittingtemperatuur is 400 °C. De tussendruk waarbij afgetapt wordt is 8 bar. In onderstaande figuur is de nummering aangegeven in het Ts-diagram.

Ts-diagram van de stoomturbine-installatie met voedingswatervoorverwarming

De berekeningen zijn uitgevoerd met behulp van Cycle-Tempo (de berekeningen kunnen ook met de hand uitgevoerd worden). Zie voor de uitvoer onderstaande figuur.


52

Uitvoer Cycle Tempo voor de stoomturbine-installatie met voedingswatervoorverwarming

a. Bij de berekeningen is als invoer een stoomketelvermogen opgegeven van 100 MW. Dit levert een massastroom door de ketel van 40,76 kg/s op. De daarbij afgetapte massastroom bedraagt 9,037 kg/s. Bij een massadebiet van 200 kg/s door de stoomketel en de hoge druk turbine is de aftapstroom: m , aftap

9,037 .200 40 ,76

44 ,4 kg / s .

b. De stoomturbine-installatie levert een vermogen van:

Pnt

200 .( 41,1 0,2) 40 ,76

200 ,6 MW

Opgave 8 Gegeven is een gasturbine met een drukverhouding van 20. Het isentropisch rendement van de compressor bedraagt 80 % en van de turbine 80 %. De eindverbrandingstemperatuur is 1000 °C. De aanzuigtemperatuur van de verbrandingslucht is 20 °C. Wat is het thermisch rendement van de gasturbine?

Processchema gasturbine


53

Ts-diagram van de gasturbine met adiabatische compressie en expansie

In het geval van een isentropische compressie en expansie volgt voor h2omk resp. h4omk:

h2omk

c p T2omk en h4 omk

c p T4 omk

met de wet van Poisson volgt:

T2omk p2

k

T1

k 1

p1

k

k 1

T2omk

p T1 2 p1

T4omk

p4 p3

k 1 k

k 1 k

T1

293.20

1, 4 1 1, 4

690 K

417 o C

en

T4omk p4

k

T3

k 1

p3

k

k 1

T3

k 1 k

T1

1

k 1 k

1 1273. 20

1, 4 1 1, 4

541 K

268 o C

De temperatuur na compressie volgt uit:

T2

T2omk

T1

T1

20

is ,compr

T4

T3

is ,turb

417 20 0,8

516 o C en de temperatuur na expansie volgt uit:

(T3 T4 ) 1000 0,8(1000 268)

414 o C

Hiermee wordt de turbinearbeid gelijk aan:

wturb

h3

h4

c p (T3

T4 ) 1,005 .(1000

414 )

T1 ) 1,005 .(516

20 )

589 kJ / kg

en de compressorarbeid

wcompr

h2

Dus wnt

h1

c p (T2

wturb

wcompr

589

498

498 kJ / kg .

91 kJ / kg.

De toegevoerde warmte in de verbrandingskamer is gelijk aan

qtoe

c p (T3

T2 ) 1,005 (1000

516 )

486 kJ / kg.

Het thermisch rendement wordt dan th

wnt qtoe

91 486

0,187

18,7 %

Opgave 9 Gegeven is een gasturbine met een vermogen van 200 kW en een drukverhouding van 18. Het isentropisch rendement van de compressor bedraagt 80 % en van de turbine 90 %. De eindverbrandingstemperatuur is 1000 °C.


54

De lucht in de compressor heeft een soortelijke warmte bij constante druk van 1 J/kgK, in de verbrandingskamer en de turbine kan voor de soortelijke warmte bij constante druk de waarde 1,15 kJ/kgK aangehouden worden. De isentropische exponent bij compressie is 1,4 en bij expansie 1,33. a. Wat is de aangezogen massastroom van de lucht door deze turbine wanneer uitgegaan wordt dat de gassen in de gasturbine zich gedragen als ideale gassen? b. Wat is het thermisch rendement?

Processchema gasturbine

Ts-diagram van de gasturbine met adiabatische compressie en expansie

a. In geval van isentropische compressie en expansie volgt voor h2omk resp. h4omk:

h2omk

c p T2omk en h4 omk

c p T4 omk

met de wet van Poisson volgt:

T2omk p2

k compr

k compr 1

T1 p1

k compr 1

k compr

p T1 2 p1

T2omk

k compr 1

k compr 1

kcompr

kcompr

T1

293.18

1, 4 1 1, 4

669 K

396 o C

en

T4omk p4

kexp

kexp 1

T3 p3

k exp 1

kexp

kexp 1

T4omk

T3

p4 p3

kexp

T3

1

k exp 1 kexp

1 1273. 18

1, 33 1 1, 33

621 K

348 o C


T2

T2omk

T1

T1

20

is ,compr

T4

T3

is ,turb

396 20 0,8


(T3 T4 ) 1000 0,9(1000 348)

413 o C


wturb

h3

h4

c p (T3

T4 ) 1,15 .(1000

413 )

675 kJ / kg


55


wcompr

h2

Dus wnt

h1

c p (T2

wturb

wcompr

T1 ) 1.( 490

675

470

20 )

470 kJ / kg .

205 kJ / kg.

De aangezogen massastroom is dan gelijk aan: m

Pnt wnt

200 205

0,98 kg / s

b. De toegevoerde warmte in de verbrandingskamer is gelijk aan

qtoe

c p (T3

T2 ) 1,15 (1000

490 )

587 kJ / kg.


wnt q toe

205 587

0,349

34 ,9 %

Opgave 10 Gegeven is een gasturbine met een recuperator en een vermogen van 200 kW en een drukverhouding van 12. Het isentropisch rendement van de compressor bedraagt 80 % en van de turbine 90 %. De eindverbrandingstemperatuur is 1000 °C. Het warmtewisselaar-rendement van de recuperator is 70 %. a. Wat is de massastroom door deze turbine wanneer uitgegaan wordt dat de gassen in de gasturbine zich gedragen als ideale gassen? b. Wat is het thermisch rendement?

Processchema gasturbine met recuperator

Ts-diagram gasturbine met recuperator

a. Met de wet van Poisson volgt:


T2omk

k compr

T1

k compr 1

p2

p1

56

kcompr 1

k compr

p T1 2 p1

T2omk

k compr 1

k compr

kcompr 1 kcompr

T1

293.12

1, 4 1 1, 4

596 K

323 o C

en

T5omk p5

kexp

T4

kexp 1

p4

k exp 1

kexp

T5,omk

kexp 1

T4

p5 p4

kexp

T4

1

k exp 1 kexp

1 1273. 12

1, 4 1 1, 4

626 K

353 o C


T2

T2omk

T1

T1

20

is ,compr

T5

T4

is ,turb

323 20 0,8


(T4 T5,omk ) 1000 0,9(1000 353)

418 o C


wturb

h4

h5

c p (T4

T5 ) 1,005 .(1000

418 )

T1 ) 1,005 .(399

20 )

585 kJ / kg


wcompr

h2

Dus wnt

h1

c p (T2

wturb

wcompr

585

381

381 kJ / kg .

204 kJ / kg.

De aangezogen massastroom is dan gelijk aan:

Pnt wnt

m

200 204

0,98 kg / s


qtoe

c p (T4

Met T3

qtoe

T2

c p (T4

T3 ) ww

(T5

T2 ) volgt T3

T3 ) 1,005 .(1000

399

412 )

0,7(418

399 )

412 o C volgt

591 kJ / kg.


wnt q toe

204 591

0,345

34 ,5 %

Opgave 11 Gegeven is een gasturbine zonder recuperator en een vermogen van 200 kW en een drukverhouding van 14. Het isentropisch rendement van de compressor bedraagt 80 % en van de turbine 90 %. De eindverbrandingstemperatuur is 1000 °C. De compressie vindt tweetraps plaats. De koeler heeft een rendement van 100%. a. Wat is de massastroom door deze turbine wanneer uitgegaan wordt dat de gassen in de gasturbine zich gedragen als ideale gassen? b. Wat is het thermisch rendement? In onderstaande figuur is het processchema gegeven.


57

Processchema van de gasturbine met tussenkoeler

In onderstaande figuur is het Ts-diagram gegeven.

Ts-diagram van de gasturbine met tweetrapscompressie

a. Bij de tweetrapscompressie nemen we voor zowel de lage druk compressor als bij de hogedruk

14

compressor een drukverhouding

3,74

Met de wet van Poisson volgt: k

T2omk p2

k

k 1

T1 p1

k

k

T2omk

1

p T1 2 p1

1 k

k

T1

1 k

293.3,74

1, 4 1 1, 4

427 K

154 o C


T2

T1

T2omk

T1

20

is ,compr

154 20 188 o C 0,8

In de koeler wordt deze lucht afgekoeld:

T3

T2

koeler

(Tomg

T2 ) volgt T3

188 1.( 20 188 )

20 o C

Doordat de hoge druk compressor dezelfde drukverhouding heeft als de lage druk compressor geldt T4 = 188 °C. Hiermee wordt de compressorarbeid

wcompr

wcompr,ld

wcompr,hd

h2

1,005.(188 20) 1,005.(188 20) Voor de turbine geldt:

h1

(h4

h3 )

338 kJ / kg

c p (T2 T1 ) c p (T4 T3 )


T6,omk p6

k

k

k

T5

1

k

p5

k 1

T6,omk

T5

p6 p5

1 k

1

T5

58 k 1 k

1 1273. 14

1, 4 1 1, 4

599 K

326 o C

en de temperatuur na expansie volgt uit:

T6

T5

is ,turb

(T5 T6,omk ) 1000 0,9(1000 326) 393 o C


wturb

h5

Dus wnt

h6

c p (T5

wturb

wcompr

T6 ) 1,005 .(1000 610

338

393 )

610 kJ / kg

272 kJ / kg.

De aangezogen massastroom is dan gelijk aan:

m

Pnt wnt

200 272

0,74 kg / s


qtoe

c p (T5

T4 ) 1,005 .(1000

188 )

816 kJ / kg.


wnt qtoe

272 816

0,333

33,3 %

Opgave 12 Gegeven is een gasturbine zonder recuperator en een vermogen van 200 kW en een drukverhouding van 14. Het isentropisch rendement van de compressor bedraagt 80 % en van de turbine 90 %. De eindverbrandingstemperatuur is 1000 °C. De compressie vindt tweetraps plaats. De koeler heeft een rendement van 70%. a. Wat is de massastroom door deze turbine wanneer uitgegaan wordt dat de gassen in de gasturbine zich gedragen als ideale gassen? b. Wat is het thermisch rendement? In onderstaande figuur is het processchema gegeven.

Processchema van de gasturbine met tussenkoeler

In onderstaande figuur is het Ts-diagram gegeven.


59

Ts-diagram van de gasturbine met tweetrapscompressie

a. Bij de tweetrapscompressie nemen we voor zowel de lage druk compressor als bij de hogedruk

14

compressor een drukverhouding

3,74

Met de wet van Poisson volgt: k

T2omk p2

k

k

T1

1

p1

k

k

p T1 2 p1

T2omk

1

1

k

k

1 k

T1

293.3,74

1, 4 1 1, 4

427 K

154 o C


T2

T2omk

T1

T1

154 20 188 o C 0,8

20

is ,compr

In de koeler wordt deze lucht afgekoeld:

T3

T2

koeler

k

T4omk

T3

T2 ) volgt T3

(Tomg

p4 p3

1

k

k

07 .( 20 188 )

1 k

T3

188

343.3,74

1, 4 1 1, 4

500 K

70 o C

227 o C

en

T4

T4omk

T3

T3

70

is ,compr

227 70 0,8

266 o C

Hiermee wordt de compressorarbeid

wcompr

wcompr,ld

wcompr,hd

h2

h1

1,005.(188 20) 1,005.(266 70)

(h4

h3 )

c p (T2 T1 ) c p (T4 T3 )

366 kJ / kg

.

Voor de turbine geldt:

T6,omk p6

k

k

k

T5

1

k

p5

k 1

T6,omk

T5

p6 p5

1 k

T5

1

k 1 k

1 1273. 14

1, 4 1 1, 4

en de temperatuur na expansie volgt uit:

T6

T5

is ,turb

(T5 T6,omk ) 1000 0,9(1000 326) 393 o C


wturb

h5

h6

c p (T5

T6 ) 1,005 .(1000

393 )

610 kJ / kg

599 K

326 o C


Dus wnt

wturb

wcompr

610

366

60

244 kJ / kg.

De aangezogen massastroom is dan gelijk aan: m

Pnt wnt

200 244

0,82 kg / s


qtoe

c p (T5

T4 ) 1,005 .(1000

266 )

738 kJ / kg.


wnt qtoe

244 738

0,331

33,1 %

Opgave 13 Gegeven is een gasturbine zonder recuperator en een vermogen van 200 kW en een drukverhouding van 14. Het isentropisch rendement van de compressor bedraagt 80 % en van de turbine 90 %. De eindverbrandingstemperatuur is 1000 °C. De expansie vindt tweetraps plaats. a. Wat is de massastroom door deze turbine wanneer uitgegaan wordt dat de gassen in de gasturbine zich gedragen als ideale gassen? b. Wat is het thermisch rendement?

De optimale drukverhouding bij tweetrapsexpansie is gelijk aan

tot

14

bij de expansie wordt dus 3,74 bar. a. Compressor: Met de Wet van Poisson kunnen we de eindcompressietemperatuur bepalen:

3,74 . De tussendruk


T2,omk p2

k

T1

k 1

p1

k

T2,omk

k 1

Hiermee wordt wcompr

p T1 2 p1

c p (T2,omk

k 1 k

T1 )

is ,compr

T1

k 1 k

61

293.14

1, 4 1 1, 4

1,005.(350 20) 0,8

350 o C

623 K

415 kJ / kg

Turbine: De totale specifieke turbinearbeid is gelijk aan wturb

wturb 2

h5

wturb1

wturb 2 waarin wturb1

h3

h4 en

h6

We gaan nu de h’s bepalen met behulp van de T’s. De temperatuur T4,omk is te bepalen met

T4,omk p4

k

T3

k 1

p3

Dus wturb ,1

k

k 1

is ,turb

k 1 k

p4 p3

T4,omk

T3

.c p (T3

T4,omk )

T3

1

k 1 k

1273.

0,9.1,005 .(1000

1 3,74

600 )

1, 4 1 1, 4

873 K

600 o C

362 kJ / kg

Wanneer de verbrandingsgassen herverhit worden naar 1000 °C geldt dat de tweede trap net zoveel T6,omk ) 0,9.1,005 .(1000 600 ) 362 kJ / kg arbeid levert: wturb , 2 is ,turb .c p (T5 Dus wturb

wturb1

wturb 2

362

362

724 kJ / kg

Hiermee wordt de netto specifieke arbeid wnt

wturb

wcompr

724

415

309 kJ / kg

De gevraagde massastroom kunnen we bepalen uit:

Pgt m

200 309

wnt

0,647 kg / s

b. Het thermisch rendement volgt uit: th

qtoe

T2

wnt ; met q toe c p (T3

T1

T2 ) c p (T5

T2omk

T1

20

is ,compr

T4

T3

Dus qtoe

is ,turb

T4 )

350 20 0,8


(T3 T4,omk ) 1000 0,9(1000 600)

c p (T3

T2 ) c p (T5

T4 ) 1,005 .(1000

640 o C

432 ) 1,005 .(1000

640 )

933 kJ / kg

Hiermee wordt het thermisch rendement th

wnt qtoe

309 933

0,331

33,1 %

Opgave 14 In een compressiekoelmachine met een koudevermogen van 600 kW is de verdampertemperatuur –10 °C en de condensortemperatuur 50 °C. het koudemiddel is ammoniak. De oververhitting van het door de compressor aangezogen gas is 5 K. a. Wat is de koudefactor? b. Wat is de massastroom van het circulerende koudemiddel?


62

Toestand in punt 4 Uit tabel B2.10, de verzadigingstabel voor NH3, kunnen we de enthalpie h4 opzoeken: h4 = 434,8 kJ/kg.

Toestand in punt 1 De enthalpie in punt 1 is gelijk aan de enthalpie in punt 4 (smoorproces!) waardoor: h1 = h4 = 434,8 kJ/kg.

Toestand in punt 2 De druk in toestand 2 is 2,9 bar. De oververhitting

Tv

5 K waardoor de temperatuur T2

T1

Tv

10

5

5 oC

Voor deze condities kunnen we de specifieke enthalpie en entropie bepalen met behulp van de tabellen B2.11 en B2.12.

h2

1461 ,8 kJ / kgK en s 2

5,8 kJ / K .

Toestand in punt 3 De entropie in punt 3 is bij een isentropische compressie gelijk aan de entropie in punt 2. Doordat we ook de (condensor)druk in punt 3 weten, ligt de toestand van punt 3 vast.

p3

20 ,33 MPa en s 3

s2 .

Uit tabel B2.12 kan met behulp van de druk via de specifieke entropie de temperatuur bepaald worden. Vervolgens kan in tabel B2.14 de enthalpie bepaald worden.


h3

63

1764 ,9 kJ / kgK .

Koudefactor De benodigde specifieke compressorarbeid kunnen we bepalen met

wcompr

h3

h2

1764 ,9 1461 ,8

303 .1 kJ / kg

en de via de verdamper toegevoerde warmte uit

qtoe

h2

h1

1461 ,8 434 ,8 1027 kJ / kg

Voor de koudefactor volgt dan

qtoe wcompr

1027 303,1

3,39 [ ]

Massastroom De benodigde massastroom volgt uit: m

Ptoe qtoe

600 1027

0,58 kg / s

Opgave 15 In een compressiekoelmachine met een koudevermogen van 600 kW is de verdampertemperatuur –10 °C en de condensortemperatuur 40 °C. het koudemiddel is R134a. De oververhitting van het door de compressor aangezogen gas is 5 K. a. Wat is de koudefactor? b. Wat is de massastroom van het circulerende koudemiddel?


64

Toestand in punt 4 Uit tabel B2.13, de verzadigingstabel voor R134A, kunnen we de enthalpie h4 opzoeken: h4 = 256,2 kJ/kg.

Toestand in punt 1 De enthalpie in punt 1 is gelijk aan de enthalpie in punt 4 (smoorproces!) waardoor: h1 = h4 = 256,2 kJ/kg.

Toestand in punt 2 De druk in toestand 2 is 2,007 bar.

Tv

De oververhitting

5 K waardoor de temperatuur T2

T1

Tv

10

5

5 oC

Voor deze condities kunnen we de specifieke enthalpie en entropie bepalen met behulp van de tabellen B2.14 en B2.15.

h2

395 ,7 kJ / kgK en s 2

1,74 kJ / K .

Toestand in punt 3 De entropie in punt 3 is bij een isentropische compressie gelijk aan de entropie in punt 2. Doordat we ook de (condensor)druk in punt 3 weten, ligt de toestand van punt 3 vast.

p3

10 ,16 MPa en s 3

s2 .

Uit tabel B2.15 kan met behulp van de druk via de specifieke entropie de temperatuur bepaald worden. Vervolgens kan in tabel B2.14 de enthalpie bepaald worden.

h3

430 ,2 kJ / kgK .

Koudefactor De benodigde specifieke compressorarbeid kunnen we bepalen met

wcompr

h3

h2

430 ,2 395 ,7

34 ,5 kJ / kg

en de via de verdamper toegevoerde warmte uit

qtoe

h2

h1

395 ,7 256 ,2 139 ,5 kJ / kg

Voor de koudefactor volgt dan

qtoe wcompr

139,5 34,5

4,04 [ ]

Massastroom De benodigde massastroom volgt uit: m

Ptoe qtoe

600 139 ,5

4,30 kg / s

Opgave 16 In een compressiekoelmachine met een koudevermogen van 600 kW is de verdampertemperatuur –40 °C en de condensortemperatuur 40 °C. het koudemiddel is NH3. De oververhitting van het door de compressor aangezogen gas is 5 K. De compressie vindt tweetraps plaats. a. Wat is de massastroom van het koudemiddel in de verdamper?


b. Wat is de massastroom van het koudemiddel in de condensor? c. Wat is de koudefactor?

a. De verdamperdruk is 0,717 bar en de condensordruk 15,549 bar. De tussendruk volgt uit

15,549 0,717

4,66

pmiddendruk

4,66.0,717 3,34 bar

De via de verdamper toegevoerde specifieke warmte is gelijk aan qtoe = h2 – h1 = 1418,4 –170,2 = 1248,2 kJ/kg De massastroom door de verdamper volgt uit: w, toe m,ld

qtoe

600 1248,2

0,48 kg / s

b. De massastroom door de condensor volgt uit de warmtebalans:

65


m,ld

(h3

h4 )

m, hd

(h5

66

m,ld

h8 )

m, hd

(h3

h5

h4 ) h8

0,48.(1629,3 170,2) (1453,4 386,4)

c. De koudefactor wordt dan: w, toe

Ptoe

w,toe

Ptoe ,ld

Ptoe ,hd

.(h2 h2 ) m.ld

m ,ld

(h3

0,48.(1418,4 170,2) 0,48(1629,3 1418,4) 0,66(1678,4 1453,4)

h1 ) md , hd

2,4

(h6

h5 )

0,66


67

Hoofdstuk 10 Wrijvingsloze onsamendrukbare stroming Opgave 1 In een verticale buis van 8 m met een binnendiameter van 20 mm stroomt water met een snelheid van 3 m/s. Bovenin de buis is de statische druk 1,5 bar. Wat is de statische druk onderin de buis? Uit de wet van Bernoulli

1 2

puit

vuit

2

gz uit

pin

1 2

vin

2

gz in

[10.6]

is de statische druk onderin te bepalen:

puit

puit

1 1 2 2 vin gzin vuit gzuit 2 2 1 1 1,5.105 1000.32 1000.9,81.8 1000.32 1000.9,81.0 2 2 pin

228480 Pa

2,28 bar

Opgave 2 Door een kanaal met een diameter van 400 mm stroomt lucht met een snelheid van 6 m/s. Stroomafwaarts wordt de kanaaldoortocht verandert in 200 mm hoog en 500 mm breed. Wat is de luchtsnelheid in dit rechthoekige kanaal? Uit de continuïteitsvergelijking

vuit Auit

vin Ain

[10.3]

is de snelheid in het rechthoekige kanaal te bepalen:

vuit

d in

A vin in Auit

2

0,4 2

vin . 4 huit .buit

6. 4 0,2.0,5

7,54 m / s

Opgave 3 Door een horizontaal kanaal met een diameter van 400 mm stroomt lucht met een snelheid van 6 m/s. De statische druk is 1,1 bar. Stroomafwaarts neemt de kanaaldiameter toe tot 500 m. Wat is de statische druk in dit kanaaldeel? Uit de wet van Bernoulli

1 2

puit

vuit

2

gz uit

pin

1 2

vin

2

gz in

[10.6]

is de statische druk in het rechthoekige kanaaldeel te bepalen:

puit

pin

1 2 2 (vin vuit ) 2

g ( z in

z uit )

De benodigde uittredesnelheid vuit is te bepalen uit de continuïteitsvergelijking

vuit Auit

vuit

vin Ain

A vin in Auit

[10.3]

vin . 4 4

d in

2

.d uit

6. 4 2

Hiermee wordt de statische druk

4

0,4 2 3,84 m / s .0,5

2


1 1,2.(6 2 3,84 2 ) 1,2.9,81.0 1,10013.105 Pa 2

1,1.105

puit

68

Dus het verschil is 13 Pa

Opgave 4 In een bak met water met inhoud van 1000 l met niveauhoogte van 50 cm, stroomt door een gat in de onderzijde met een diameter van 20 mm water weg. Bovenin het vat wordt net zoveel water toe- als afgevoerd. Wat is de toegevoerde volumestroom? Er geldt een stationaire situatie waardoor uit [10.3a] volgt: V ,in

[10.3a]

V ,uit

met

vuit . Auit

V ,uit

De uitrede snelheid kunnen we bepalen met [10.10]:

vuit

2gH

2.9,81.0,5

3,13 m / s

Hiermee wordt de toegevoerde volumestroom: V ,in

vuit . Auit

V ,uit

3,13. .0,02 2 4

9,83.10

4

m3 / s

0,983 l / s

Opgave 5 Een vliegtuig vliegt met een snelheid van 900 km/h en ondervindt daarbij een luchtweerstand van 50 kN. Gegeven is dat het voortstuwingsrendement 75 % moet zijn. a. Wat is het stuwkrachtvermogen? b. Wat is de benodigde massastroom van de lucht door de straalmotor? a. Het stuwkrachtvermogen is te bepalen met [10.13]:

Pstuw

Fstuw .vvliegtuig

50.

900.1000 12500 kW 3600

12,5 MW

b. De massastroom volgt uit [10.13]:

Pstuw

m

(vuit

vin ).vin 

m

Pstuw (vuit vin ).vin

Hierin geldt vin = vvliegtuig De uittredesnelheid van de straalmotor is te bepalen met behulp van het voortstuwingsrendement [10.14]:

stuw

vin

2.vin vuit vin 900.1000 3600

vuit

vin

2.vin

vuit

stuw

2.vin

2. vin

stuw

250 m / s

Dit levert voor de massastroom door de straalmotor op: m

Pstuw (vuit vin ).vin

12,5.106 (416,7 250).250

300 kg / s

900 .1000 3600 0,75

900 .1000 3600

416 ,7 m / s


69

Opgave 6 Uit een buis met een diameter van 3 mm stroomt 1 kg/s water. Dit water stroomt uit op een plaat. Welke kracht wordt op de plaat uitgeoefend? Zowel de statische druk in de buis als de omgevingsdruk is 1 bar. systeemgrenzen

vin d x Met behulp van [10.11] is de kracht te bepalen die de plaat uitoefent op de vloeistofstroming.

F

m

(vuit

vin )

We beschouwen alleen de kracht in x-richting:

Fx

pin A

p omg . A

m

(vuit , x

vin , x )

Fx

m

(vuit , x

vin , x )

De snelheid vin volgt uit V

vin . Ain

vin

V

m

Ain

/

water

1 / 1000

2

141 m / s 2

d .0,003 4 4 1.( 0 vin ) vin 141 m / s

Hiermee wordt met vuit,x = 0 Fx

Vanwege reactie = –actie volgt dat de kracht op de plaat omgekeerd gericht is aan Fx: Fop plaat = –Fx = 141 N naar rechts.

Opgave 7 Gegeven is een leidingsysteem met een diameter d van 125 mm waardoor water stroomt met een snelheid v van 2 m/s. In dit leidingsysteem is een bocht van 90 ° aanwezig. De statische druk bij bochtintrede bedraagt 1,5 bar. Welke kracht wordt op het bochtstuk uitgeoefend door het water?

y

v

d

x v De dat het bochtstuk uitoefent op de vloeistof volgt uit:

Fbocht

pin Ain

puit Auit

m

(vuit

vin )

De massastroom volgt uit: m

. A.v

.

d 2 .v 1000. 0,1252.2 4 4

24,5 kg / s

Voor de x-richting geldt dan:

F bocht, x

puit . Auit , x

pin . Ain , x

F bocht, x

puit .0 1,5.105. .0,1252 4

m

(vuit , x

vin , x )

24,5(0 2)

1890 N


70

Dus de bocht oefent een kracht naar links uit op het water. Het water oefent daardoor een kracht 1890 N naar rechts! Voor de y-richting geldt:

F bocht, y

puit . Auit , y

pin . Ain , y

m

(vuit , y

vin , y )

1,5.105. .0,1252 1,5.105.0 24,5( 2 0) 4

F bocht, y

1890 N

Dus de bocht oefent een kracht naar beneden uit op het water. Het water oefent daardoor een kracht 1890 N naar boven! Hieruit volgt

Fop bocht

Fopbocht, x

2

Fopbocht, y

2

1890 2 1890 2

2673 N =2,67 kN naar rechtsboven

Opgave 8 Van een centrifugaalpomp met een buitendiameter van de waaier van 60 mm is de opvoerdruk bij een toerental van 2000 omw/min gelijk aan 100 kPa. Wat wordt de opvoerdruk wanneer het toerental met 20 % vergroot wordt? We maken gebruik van de modelregel [10.20] voor centrifugaalpompen:

p pomp

C.n 2 p pomp, 2

Dus: C

n2

2

p pomp,1 n1

p pomp, 2

2

p pomp, 2 .

n2

2

n1

2

100.

1,2.2000 20002

2

144 kPa

Opgave 9 Van een pomp met een buitendiameter van de waaier van 60 mm is de opvoerdruk bij een toerental van 2000 omw/min gelijk aan 100 kPa. De fabrikant wil een gelijkvormige pomp op de markt brengen met een opvoerdruk van 200 kPa. Hij brengt het toerental in verband met mechanische belasting terug naar 1500 omw/min. Wat moet de nieuwe buitendiameter worden? We maken gebruik van de modelregels [10.20] en [10.23]:

p pomp

C.n 2 en p pomp

C.D 2

Eerst bepalen we de opvoerdruk door de afname van het toerental bij gelijkblijvende waaierdiameter:

p pomp, 2 n2

2

p pomp,1 n1

2

p pomp, 2

p pomp, 2 .

n2

2

n1

2

100.

15002 20002

56,25 kPa

De benodigde waaierdiameter volgt uit:

p pomp, 2 D2

2

p pomp,1 D1

2

D2

p pomp, 2 p pomp,1

.D1

2

200 .60 2 56 ,25

113 mm

Opgave 10 In een bak met water met diameter van 100 mm en een waterinhoud van 1000 l met niveauhoogte van 50 cm, stroomt door een gat in de onderzijde met een diameter van 2 mm water weg. Wat is de niveauhoogte na 5 minuten? We kunnen dit probleem oplossen door de leeglooptijd teind,1 van de bak te bepalen bij de begin niveauhoogte H1 en daarvan 5 minuten af te trekken. Voor die tijd teind,2 bepalen we dan de gevraagde niveauhoogte H2.


t eind ,1

Abak 2 H 1 . Agat 2g

Dus t eind , 2

t eind ,1

4

.0,12 . 2

2 0,5

71

798,2 s

2.9,81

.0,002 4 60 .5 498 ,2 s en

2

H2

t eind , 2 .

Agat 1 . Abak 2

2

.2 g

498 ,2. 4

0,002 2

4

0,1

2

1 2

.2.9,81

0,195 m


72

Hoofdstuk 11 Wrijvingsloze gasstroming Opgave 1 In een horizontale buis stroomt lucht met een snelheid van 20 m/s. De statische druk is 1 bar. De buisdoortocht wordt verkleind waardoor de snelheid toeneemt naar 50 m/s. Wat wordt de statische druk? We bekijken eerst of we de stroming als onsamendrukbaar mogen op vatten. Voor de geluidsnelheid nemen we 330 m/s aan.

Ma

v a

50 330

0,15 0,25.

We kunnen de statische druk bepalen met behulp van

puit

1 2 .vuit 2

.g.z uit

1 2 .vin 2

pin

.g.z in

waaruit volgt

puit

1 2 .(vin 2

pin

100.000

1 1,2.(20 2 2

2

vuit )

.g.(z uit

z in )

50 2 ) 1,2.9,81.0

98740 Pa

98,74 kPa

Opgave 2 In een verticale buis van 10 m hoogte stroomt lucht van onder naar boven met een snelheid van 20 m/s. De statische druk onderin is 1 bar. De buisdoortocht wordt bovenin verkleind waardoor de snelheid toeneemt naar 200 m/s. Wat is de statische druk bovenin? We bekijken eerst of we de stroming als onsamendrukbaar mogen op vatten. Voor de geluidsnelheid nemen we 330 m/s aan.

Ma

v a

200 330

0,6

0,25.

Wanneer we aannemen dat er geen warmte-uitwisseling met de omgeving is, kunnen we de statische druk bepalen met behulp van

k k 1

puit uit

1 2 vuit 2

gzuit

pin

k k 1

1 2 vin 2

in

gzin

waaruit volgt

k k 1

puit uit

1,4 10 5 1,4 1 1,2 Dus puit

k

pin

k 1

in

1 (20 2 2 271770 .

1 2 (vin 2

2

vuit ) g ( z in

200 2 ) 9,81. 10 k 1 k

uit

271770 .

z uit )

271770

1,4 1 1,4

uit

77694 .

Met de wet van Poisson kunnen we vervolgens puit bepalen:

uit


puit

pin

k

k

uit

(

in

puit

pin

1 puit ) k 77694

in

k

puit

p 1 . ink 77694 in

1 k

puit

0,011041

73

k

1 77694

1, 4

.

100.000 1,21, 4

0,01104

1

1 k

0,011041 1, 4

78087 Pa

78,1 kPa

Opgave 3 Gegeven is een vat met Helium. Het Helium stroomt uit het vat via een nozzle. De omgevingsdruk is 1 bar. Bij welke druk in het vat zal de stroomsnelheid in de nozzle gelijk zijn aan de geluidssnelheid? De uitstroomsnelheid is gelijk aan de geluidsnelheid wanneer de drukverhouding gelijk is aan of kleiner is dan de geluidsnelheid: k k 1

2 kr

k 1

2 1,66 1

p uit volgt dan pin p in

Met

1, 66 1, 66 1

0,49

105 0,49

puit kr

2,04.105 Pa

Opgave 4 Gegeven is een gas met een isentropenexponent gelijk aan 1,3 en een specifieke gasconstante van 270 J/kgK. De temperatuur bedraagt 100 °C. Wat is de geluidssnelheid? De geluidsnelheid is te bepalen met [11.4]:

a

kRsT

1,3.270.373

362 m / s

Opgave 5 In een omkeerbare gasstroming is de intrededruk 2 bar, de intrededichtheid 2,4 kg/m3, de intredetemperatuur 20 °C en de uittrededruk 1,5 bar. De isentropenexponent is 1,4. Hoe groot is de dichtheid bij uittrede?

We bekijken eerst de drukverhouding

drukverhouding

2 kr

k k 1

puit pin

2 1,4 1

k 1

1,5 2 1, 4 1, 4 1

0,75 en vergelijken deze met de kritische

0,528

We zien dat kr . De stroming is dus subsonisch waardoor we met behulp van de wet van Poisson de uittrededichtheid kunnen bepalen. Wanneer we aannemen dat er geen warmte-uitwisseling met de omgeving is, kunnen we de statische druk bepalen met behulp van

puit

pin

k uit

k in

uit

puit in . pin

1/ k

2,4.

1,5 2

1 / 1, 4

1,95 kg / m 3


74

Opgave 6 In een gasstroming is de intrededruk 2 bar, de intrededichtheid 2,4 kg/m3, de intredetemperatuur 20 °C en de uittrededruk 1 bar. De isentropenexponent is 1,4. Hoe groot is de dichtheid bij de uittrede?

We bekijken eerst de drukverhouding

drukverhouding

2 kr

k k 1

p uit p in

2 1,4 1

k 1

1 2 1, 4 1, 4 1

0,5 en vergelijken deze met de kritische

0,528

We zien dat kr . De stroming is dus supersonisch waardoor na de uittrede een schokgolf optreedt. In de uitstroomopening zal de druk gelijk zijn aan de kritische druk:

puit

kr

. pin

0,528 .2.10 5

1,056 .10 5 Pa

Vervolgens kunnen we op de omkeerbare(!) buisstroming de wet van Poisson toepassen:

puit

pin

k uit

k in

uit

puit in . pin

1/ k

1,056 2,4. 2

1 / 1, 4

1,52 kg / m 3


75

Hoofdstuk 12 Stroming met weerstand Opgave 1 In een luchtbehandelingkast wordt lucht gemaakt van 12 °C. In het luchtkanalensysteem is er een drukverlies van 800 Pa. Wat is de temperatuurstijging van de lucht? De lucht die stroomt in een luchtkanaal (1 tot 20 m/s) kunnen we opvatten als onsamendrukbaar. Uit

u en u

pw

cV T volgt T

pw cV

800 1,2.718

0,93 K

Opgave 2 Gegeven is een gesloten cv-systeem waarin water circuleert met een snelheid van 1,5 m/s door een buis met een diameter van 15 mm. De ketel staat op zolder. Het hoogteverschil tussen de ketel en de laagst gelegen radiatoren is 6 m. De totale weerstandcoëfficiënt is gelijk aan 25. Wat is de benodigde opvoerdruk van de cvpomp? We hanteren vergelijking [12.17]:

1 2 2 (vuit vin ) .g.(z uit z in ) ( puit pin ) 2 1 .v 2 volgt met vuit=vin, zuit=zin en puit=pin (gesloten systeem!) 2 1 1 .v 2 25. .1000.1,5 2 28.125 Pa 28,125 kPa 2 2

p pomp Met

pw

pw

p pomp

Opgave 3 In een buis met een lengte van 20 cm en een diameter van 5 mm stroomt water met een snelheid van 5 m/s. De watertemperatuur is 10 °C. Is de stroming laminair of turbulent? We bepalen het kengetal van Reynolds:

Re

.v.D

1000 .5.0,005 101 .10 5

25000

De stroming is turbulent (Re>2300)

Opgave 4 Door een gekoeld waterleiding met een lengte van 12 m stroomt 0,2 kg/s water van 6 °C. De diameter is 12 mm en de relatieve wandruwheid is 0,001. Wat is het drukverlies? We bepalen eerst of de stroming laminair of turbulent is: Voor de stofeigenschappen wordt geïnterpoleerd tussen de waarden in Tabel B2.4 bij 0 en 10 °C: 6o C

6o C

0o C

0o C

6 . 10 6 . 10

10o C

10o C

0o C

0o C

De snelheid kunnen we bepalen uit:

6 . 999 1000 1000 kg / m 3 10 6 179.10 5 . 131.10 5 179.10 5 150.10 10 1000

5

Ns / m 2


m

.v. A

.v.

4

D2

0,2

m

v .

4

D

76

2

1000. 0,012 4

1,77 m / s 2

Hiermee wordt

Re

.v.D

1000 .1,77 .0,012 150 .10 5

14160

De stroming is turbulent (Re>2300) Met 0,001 kunnen we uit het Moody-diagram de wrijvingscoëfficiënt aflezen:λ ≈ 0,03.

weerstandscoëfficiënt

0,03

1,42.104

Het drukverlies volgt dan uit:

pw pw

l 1 .v 2 met 2 D l 1 12 1 .v 2 0,03 . . .1000 .1,77 2 D2 0,012 2

46994 Pa

0,47 bar

Opgave 5 Door een rechthoekig luchtkanaal van 1200 x 200 mm stroomt met een snelheid van 8 m/s lucht. Wat is het drukverlies per strekkende meter wanneer een gladde buiswand aangenomen mag worden? Doordat er geen informatie aanwezig over de luchttemperatuur nemen we de stofeigenschappen bij 20 °C. Het drukverlies volgt dan uit:

l 1 .v 2 met 2 D l 1 .v 2 . Per strekkende meter is het drukverlies: wordt dat p w D2 pw


pw l

p w, per meter

77

1 1 .v 2 D2

De weerstandscoëfficiënt λ kunnen we bepalen met het Moody-diagram. Daarvoor hebben we het kengetal Re nodig waarin de hydraulische diameter in voor komt die volgt uit.

Dhydr

4

A O

4.

1,2.0,2 2.(1,2 0,2)

0,343 m

Hiermee volgt voor Re

Re

.v.Dh

1,2.8.0,343 1,81 .10 5

1,82 .10 5

De stroming is turbulent (Re>2300) Met

0,001 kunnen we uit het Moody-diagram de weerstandscoëfficiënt λ aflezen:λ ≈ 0,016.


0,016

1,82.105

Het drukverlies per strekkende meter is

pw l

p w, per meter

1 1 .v 2 Dh 2

0,016 .

1 1 . .1,2.8 2 0,343 2

1,79 Pa / m

Opgave 6 Door een leiding met een lengte van 1 m en een diameter van 10 mm stroomt smeerolie met een gemiddelde snelheid van 2 m/s. Wat is het drukverlies? We bepalen eerst met Re of de stroming laminair of turbulent is. De stofeigenschappen van smeerolie halen we uit Tabel B2.2.

Re

.v.D

890 .2.0,01 80 .000 .10 5

22 ,3

De stroming is laminair. Met behulp van de wet van Poiseuille bepalen we het drukverlies: Daarvoor hebben we de volumestroom nodig: V

v. A

v.

4

D2

2. .0,012 4

Hiermee wordt het drukverlies

1,57.10

4

m3 / s


128 . .l .D 4

pw

128 .80 .000 .10 5.1 1,57 .10 .0,01 4

V

78

4

510 .000 Pa

5,1 bar

Opgave 7 Van een cv-pomp is van de karakteristiek het volgende bekend: Volumestroom Opvoerdruk 0 l/s 150 kPa 10 l/s 200 kPa 40 l/s 0 kPa Van de systeemkarakteristiek is bekend Volumestroom Drukverlies 0 l/s 0 kPa 30 l/s 100 kPa Wat is het bedrijfspunt? We benaderen zowel de pomp- als de systeemkarakteristiek door een parabool: Eerst doen we dat voor de pompkarakteristiek:

p pomp

a b.

2

c.

V

V

De coëfficiënten a, b en c kunnen we bepalen uit drie vergelijkingen: 150 a b.0 c.0 ;

200

a b.10 c.10 2 en

a b.40 c.40 2

0

Hieruit volgt a=150, b=7,92 en c=-0,29. Dus

p pomp

De systeemkarakteristiek kunnen we bepalen uit: met

150 7,92.

psyst

d e.

V

2

0,29.

V

2 V

0 = d + e.0; 100 = d + e.302

psyst

volgt d = 0 en e = 0,11 en geldt dus

p pomp

Het bedrijfspunt volgt uit: dus a b.

V

2

c.

Dus 150 7,92.

V V

p syst V

2 V

2 V

2

d e. 0,29.

0,11.

0 0,11.

2 V

150 7,92.

V

0,40.

2 V

0

Met behulp van de abc-formule voor kwadratische vergelijkingen is deze vergelijking op te lossen (NB: dat zijn dus andere a,b en c dan hierboven!):

b V ,1

b 2 4.a.c 2a

7,92

7,92 2 4. 0,4.150 2. 0,4

11,85 m 3 / s

Dit is geen oplossing voor ons probleem maar wel

b V ,2

b 2 4.a.c 2a

7,92

7,92 2 4. 0,4.150 2. 0,4

31,65 m 3 / s


79

Opgave 8 Van een cv-pomp is van de karakteristiek het volgende bekend: Debiet Opvoerdruk 0 l/s 100 kPa 10 l/s 100 kPa 30 l/s 0 kPa Van de systeemkarakteristiek is bekend Debiet Drukverlies 0 l/s 10 kPa 20 l/s 30 kPa We willen dat het bedrijfspunt een debiet oplevert van 20 l/s. Welk drukverschil moet er in een inregelsluiter weg gesmoord worden? We benaderen zowel de pomp- als de systeemkarakteristiek, inclusief de inregelafsluiter, door een parabool. Eerst doen we dat voor de pompkarakteristiek:

p pomp

a b.

V

c.

2 V

De coëfficiënten a, b en c kunnen we bepalen uit drie vergelijkingen: 100 a b.0 c.0 ;

a b.10 c.10 2 en

100 0

a b.30 c.30 2

Hieruit volgt a = 100, b = 1,67 en c = –0,17 Voor een volumestroom van 20 l/s geldt dan

p pomp

a b.

V

c.

2 V

100 1,67.20 0,17.202

65,4 kPa

De systeemkarakteristiek kunnen we bepalen uit:

psyst

d e.

2 V

0 = d + e.0; 30 = d + e.202 Hieruit volgt d = 0 en e = 0,075 Voor een volumestroom van 20 l/s geldt dan

psyst

d e.

2 V

0 0,075 * 202

30 kPa

Het bedrijfspunt moet gelden

p syst

p inregelafsluiter

p pomp

dus in de inregelafsluiter moet nog

pinregelafsluiter

p pomp

p pomp

65,4 30

35,4 kPa weggesmoord worden.

Opgave 9 Een ballon met een diameter van 10 cm stijgt met een snelheid van 0,5 m/s omhoog. Wat is de weerstandskracht die de ballon ondervindt? Het drukverschil over de bol kunnen we bepalen met

pw

Cw

1 .v 2 . De weerstandskracht is gelijk aan 2


Fw

pw .A

Cw .A

80

1 .v 2 2

De weerstandscoëfficiënt Cw is te bepalen uit [12.20]:

Cw

a

b. Re

c

Met voor een bol a = 0,44, b = 24 en c = 1 volgt:

Cw

0,44

1

24 . Re lucht

Hierin is Re

.v.D

1,2.0,5.0,1 1,81 .10 5

lucht

Dus C w

24 3315

0,44

3315

0,45

De weerstandskracht Fw wordt: Fw

1 .v 2 2

Cw .A

1 0,45. 0,12. .1,2.0,5 2 4 2

5,3.10

4

N

Opgave 10 Een ballon met een diameter van 10 cm stijgt met een snelheid van 0,5 m/s omhoog. Wat is het dichtheidsverschil tussen de omgevingslucht en de lucht in de ballon (de massa van de ballonwand mag verwaarloosd worden)? Het benodigde dichtheidsverschil kunnen we bepalen met behulp van de krachtenbalans op de ballon. In onderstaande figuur is een model van de op de ballon werkende krachten gegeven.

Fopwaarts

lucht

.Vballon .g g

ballon

lucht

Fw

Cw .A

1 2

lucht

.vballon

2

G

ballon

.Vballon .g

Wanneer de ballon met constante snelheid stijgt zal de weerstandskracht naar beneden gericht zijn. In evenwicht (er is dan een constante stijgsnelheid) geldt:

G

Fopwaarts

Fw

0 . Dus Fopwaarts

G

Fw

Dit levert op: ballon

lucht

.Vballon .g

Cw .A .

1 2

2

v

lucht lucht

waaruit volgt:

ballon

lucht

.

Cw .A .

1 2

v

2

lucht lucht

Vballon .g

[a]

De weerstandscoëfficiënt Cw is te bepalen uit [12.20]:

Cw

a

b. Re

c

Met voor een bol a = 0,44, b = 24 en c = 1 volgt:

Cw

0,44

24 . Re

1


Hierin is Re

lucht

.v.D

lucht

Dus C w

0,44

24 3315

1,2.0,5.0,1 1,81 .10 5

81

3315

0,45

Het volume van de ballon is gelijk aan

Vdeeltje

4 3 [b] R D 3 5,24.10 4 m 3 3 6 1 1 2 Cw .A . 0,44. 0,12. .1,2.0,5 2 lucht vlucht 2 4 2 Vballon .g 5,24.10 4.9,81

0,103 kg / m 3


82

Hoofdstuk 13 Stationaire warmtetransport Opgave 1 Hoe ziet de differentiële warmtebalans er voor een bol bestaande uit vaste materie eruit wanneer deze aan het oppervlak overal dezelfde temperatuur heeft? In een stationaire situatie geldt [13.7]:

1 r

2

rT r2

1 r sin

T

sin

2

1 2 r sin 2

T

g

2

0

Doordat de temperatuur aan het oppervlak overal dezelfde waarde heeft, is er geen temperatuurgradiënt aanwezig in de hoekrichtingen:

T

0 en

T

0.

Wanneer er ook geen warmteproductie aanwezig is (g=0) volgt uit [13.7]:

1 d 2 rT r dr 2

0 . Door zowel het rechter- als linkerlid te vermenigvuldigen met r volgt:

d 2 rT dr 2

0.

Opgave 2 Gegeven is een glaswand van 4 mm dikte met oppervlaktetemperaturen van 15 en 13 °C. Wat is de warmtestroomdichtheid door de wand? We hanteren [13.12]:

w

d

Topp ,1 Topp , 2

0,81 (15 13) 0,004

405 W / m 2

Opgave 3 Gegeven is een betonnen vloer van 150 mm dikte met aan de onderzijde een oppervlaktetemperatuur van 5 en aan de bovenzijde van 18 °C. Wat is de temperatuur op 100 mm vanaf de onderzijde? We hanteren [13.11] T

Topp ,1

Topp , 2

Topp ,1 d

x

5

18 5 0,1 13,67 o C 0,15

Opgave 4 Gegeven is een vlakke wand met interne warmteproductie 2000 W/m2 en aan de ene zijde een temperatuur van 10 °C en aan de andere zijde een temperatuur van 20 °C. De wanddikte is 5 cm en de warmtegeleidingcoëfficiënt is 1 W/mK. Wat is de temperatuur in het midden van de wand? We leiden eerst de vergelijking af voor het temperatuurverloop in een vlakke wand met warmteproductie.


83

Temperatuurverloop in een vlakke wand met warmteproductie

De Wandoppervlaktetemperaturen zijn gegeven: x = 0: dan T = Topp,1 [a] x = d: dan T = Topp,2 [b] We hanteren [13.5]: 2

2

T

x1

2

2

T

x2

2

T

x3

g

2

0

We nemen aan dat alleen in x1-richting er een temperatuurverloop is waardoor

d 2T dx 2

g

0

d 2T dx 2

g

Integreren levert op:

dT dx

g

x C1 g 2 x 2

en weer integreren T [a] in [c] geeft: Topp ,1

C2

[d]

g 2 d 2

[b] in [c] geeft: Topp, 2

C1d g 2 d 2

Topp , 2

Met [d] volgt:

C1 x C 2 [c]

C 2 [e] C1 d Topp,1

C1

Topp, 2

Topp ,1 d

g d [f] 2

[f] in [c] geeft ons de vergelijking voor de temperatuurverdeling:

T

Topp , 2

Topp ,1

Topp ,1 d

x

g ( d .x 2

x2 )

De temperatuur in het midden van de wand wordt

T

10

20 10 0,025 0,05

2000 (0,05 .0,025 2.1

0,025 2 ) 15,625 o C

Opgave 5 Gegeven is een betonnen vloer van 150 mm dikte en een oppervlak van 200 m2 met aan de onderzijde een oppervlaktetemperatuur van 5 en aan de bovenzijde van 18 °C. Wat is de warmtestroom door deze vloer? De warmtestroom volgt uit: We hanteren [13.12]:

w

w

.A


w

Dus

1,9 (18 5) 1650 W / m 2 0,15

Topp ,1 Topp , 2

d w

w

84

. A 1650 .200

330000 W

330 kW

Opgave 6 Gegeven is een betonnen vloer van 150 mm dikte en een oppervlak van 200 m2 . De vloer is aan de onderzijde geïsoleerd met 120 mm steenwol. Onder de vloer is lucht aanwezig met een temperatuur van 5 °C en aan de bovenzijde van 22 °C. Voor de convectieve warmteoverdrachtscoëfficiënt aan de onderzijde mag 25 W/m2K gehanteerd worden en aan de bovenzijde 8 W/m2K. Wat is de warmtestroom door deze vloer? De warmtestroom volgt uit:

w

w

.A

De warmtestroomdichtheid volgt uit [13.14]

T fluïdum ,1 T fluïdum , 2 1 d 1

w

1

Dus

2

w

w

.A

5,2.200

22 5 0,15 0,12 1,9 0,04

1 8

1 25

5,2 W / m 2

1040 W

Wat is de temperatuur op het scheidingsvlak van beton en isolatie? Voor de warmtestroomdichtheid van het scheidingsvlak naar onderen geldt:

Tscheiding T fluïdum , 2 d isolatie 1

w

isolatie

2

Tscheiding 5 0,12 1 0,04 25

5,2 W / m 2

20,8 o C.

Tscheiding

Opgave 7 Op een betonnen dak van 150 mm met U = 0,3 W/m2K valt zonnestraling met een warmtestroomdichtheid van 300 W/m2. De buitenluchttemperatuur is 10 °C en de binnentemperatuur 22 °C. Voor de convectieve warmteoverdrachtscoëfficiënt aan de buitenluchtzijde mag 15 W/m2K gehanteerd worden. Wat is warmtestroomdichtheid door het dak? Tip: Stel een warmtebalansvergelijking op voor het buitenoppervlak van het dak. Tu φw,zon Tdak,u

φw,u

φw,i Ti In bovenstaande figuur is een model voor het dak weergegeven. Wanneer we 1 m2 dakoppervlak beschouwen volgt uit de warmtebalans: w , zon

met

w ,i

w ,u

Tdak ,u w,i

Ri

[a]

Ti

en

w ,u

u

Tdak ,u

Tu met Ri

d

1 i


85

De warmteweerstand Ri kunnen we bepalen met U en αi:

U

1 d

1

1 1

1

i

u

u

1 U

Ri Ri

1 u

1 1 0,3 15

3,27 m 2 K / W

Uitwerking van [a] levert op:

300

Tdak ,u

22

15 .(Tdak ,u

3,27

10 )

Tdak ,u

29 ,84 o C

De warmtestroomdichtheid naar binnen wordt dan:

Tdak ,u w, i

Ti

29,84 22 3,27

Ri

2,39 W / m 2

Opgave 8 Gegeven is een ongeïsoleerde buitenwand met U = 1 W/m2K. We willen deze wand isoleren met steenwol waardoor de nieuwe minimaal U =0,25 W/m2K wordt. Wat is de minimaal benodigde isolatiedikte in cm? Voor de ongeïsoleerde buitenwand geldt:

U ongeisoleerd

1 1

d wand

1

u

wand

i

1 W / m2 K

Voor de geïsoleerde wand geldt:

U ongeisoleerd

1 1

d wand

d isolatie

1

u

wand

isolatie

i

0,25 W / m 2 K

Dus:

U ongeisoleerd

1 1 U ongeisoleerd

d isolatie isolatie

1 1

1 d isolatie 0,04

0,25 W / m 2 K

d isolatie

0,12 m 12 cm

Opgave 9 Gegeven is een cv-leidingsysteem met een totale lengte van 100 m. De uitwendige leidingdiameter is 32 mm en de wanddikte is 2 mm. Voor de watertemperatuur mag 80 °C aangehouden worden en voor de luchttemperatuur 20 °C. Het leidingmateriaal is staal. Voor de convectieve warmteoverdrachtscoëfficiënt van het water mag 2000 W/m2K gehanteerd worden. Aan de luchtzijde is deze 8 W/m2K. Wat is de afgegeven warmtestroom van dit leidingsysteem? In onderstaande figuur is de leidingdoorsnede gegeven.


De warmtestroom is gelijk aan

1

met Rtot

1

Rtot Dus

R 1 ln u 2 l Ri

1 2 Ri l

.

1 1 . 2000 2 0,014 .100

T fluïdum ,i W

T fluïdum ,i W

T fluïdum , 2 Rtot

86

T fluïdum , 2 Rtot

1 2

.

1 2 Ru l

1 0,016 ln 2 100 .46 0,014

80 20 0,0125

[13.17a]

[13.23]

1 1 . 8 2 0,016 .100

0,0125 K / W

4800 W

Opgave 10 Gegeven is een cv-leidingsysteem met een totale lengte van 100 m. De uitwendige leidingdiameter is 32 mm en de wanddikte is 2 mm. Voor de watertemperatuur mag 80 °C aangehouden worden en voor de luchttemperatuur 20 °C. Het leidingmateriaal is staal. De buis wordt aan de buitenzijde van isolatiemateriaal voorzien met een dikte van 8 mm en een warmtegeleidingcoëfficiënt van 0,035 W/mK. Voor de convectieve warmteoverdrachtscoëfficiënt van het water mag 2000 W/m2K gehanteerd worden. Aan de luchtzijde is deze 8 W/m2K. Wat is de afgegeven warmtestroom van dit leidingsysteem? In onderstaande figuur is de doorsnede van de geïsoleerde buis gegeven.

Geïsoleerde leiding

De warmtestroom is gelijk aan met Rtot

1 i

.

1 2 R1l

Rj 1 1 ln Rj 1 2 l

j n j

T fluïdum ,i W

T fluïdum ,u Rtot

1 u

.

1 2 Rn 1l

[13.17a] [13.25]


87

waarin n = aantal materiaallagen

1

Dus Rtot

.

i

Rtot

Dus

R 1 ln 2 2 l staal R1

1 2 R1l

1 1 . 2000 2 0,014.100 0,0267 K / W

T fluïdum ,i W

1 2 l

1 0,016 ln 2 100.46 0,014

T fluïdum , 2 Rtot

80 20 0,0267

ln

isolatie

R3 R2

1

.

u

1 2 R3 l

1 0,024 1 1 ln . 2 100.0,035 0,016 8 2 0,024.100

2247 W

Opgave 11 Gegeven is een cv-leiding. De uitwendige leidingdiameter is 80 mm en de wanddikte is 3 mm. Het leidingmateriaal is staal. Voor de convectieve warmteoverdrachtscoëfficiënt van het water mag 2000 W/m2K gehanteerd worden. Aan de luchtzijde is deze 8 W/m2K. Voor de watertemperatuur mag 80 °C aangehouden worden en voor de luchttemperatuur 20 °C. Wat is oppervlaktetemperatuur aan de luchtzijde? Eerst bepalen we de warmtestroom per strekkende meter. In onderstaande figuur is de leidingdoorsnede gegeven.

De warmtestroom is gelijk aan

1

met Rtot

.

1

T fluïdum ,i W

R 1 ln u 2 l Ri

1 2 Ri l

T fluïdum ,u Rtot

1 2

.

1 2 Ru l

[13.17a]

[13.23]

met l = 1 m volgt:

Rtot Dus

1 1 . 2000 2 0,037 .1

T fluïdum ,i W

Ook geldt:

Topp ,u

1 0,040 ln 2 .1.46 0,037

T fluïdum ,u Rtot

W

T fluïdum ,u

2

Au (Topp ,u w 2 .2 Ru .l

1 1 . 8 2 0,040 .1

0,5 mK / W

80 20 120 W / m 0,5 T fluïdum ,u )

20

2

.2 Ru .l.(Topp ,u

120 8.2 .0,040 .1

T fluïdum ,u )

79 ,7 o C

Opgave 12 Gegeven is een tegenstroomwarmtewisselaar waarin 2 kg/s koud water opgewarmd wordt van 10 naar 50 °C door cv-water van 80 °C dat daardoor afkoelt naar 60 °C. a. Wat is de uitgewisselde warmtestroom?


c

w

m,k water

. Tk

88

2.4,18.103.(50 10) 334000 W

334 kW

b. Wat is de massastroom van het cv-water?

c

w

m , w water

. Tw

334 4,18 .(80 60 )

w m,w

c water . Tw

4 kg / s

c. Wat is het benodigde warmte-uitwisselend oppervlak wanneer bekend is dat de warmtedoorgangscoëfficiënt gelijk is aan 1000 W/m2K?

A

A

w

U Tgem

met

334 .000 1000 .39 ,2

Tgem

Ta

Tln

Tb

T ln a Tb

(80 50) (60 10) 80 50 ln 60 10

39,2 K volgt:

8,52 m 2

Opgave 13 In een gelijkstroomwarmtewisselaar met een warmte-uitwisselend oppervlak van 100 m2 en een warmtedoorgangscoëfficiënt van 20 W/m2K wordt 10.000 m3/h lucht van 10 °C opgewarmd met 2 kg/s cvwater van 60 °C. Wat is de uitgaande lucht- en watertemperatuur?

We kunnen de uitgaande temperaturen bepalen met temperatuurrendementen. Voor het opwarmende fluïdum geldt:

Tku

Tki

k

(Twi

Tki ) [a]

en voor het afkoelende fluïdum:

Twi

met

Twu

k

waarin x

w

(Twi

1 e x (1 1 y

Tki ) [b] y)

[13.34] en

UA [13.32] en y mk c k

We bepalen eerst x en y:

w

y.

k

[13.31]

c [13.33] mw c w mk k


UA m ,lucht clucht

x

m ,lucht c lucht

en y

m , water

y.

w

k

V ,lucht .

c water

Hiermee wordt en

UA V ,lucht . lucht .clucht

1 e x (1 1 y

k

y)

0,399 .0,406

Uit [a] volgt Tlucht,uit en uit [b] Twater ,uit

c water

10000 .1,2.1 3600 2.4,18

1 e 0, 6 (1 0,399) 1 0,4

0,6

0,399

0,406

0,162

Tlucht,in Twater ,in

20.100 10.000 .1,2.1000 3600

ucht .c lucht

m , water

89

k w

(Twater ,in Tlucht,in ) 10 0,406.(60 10) 30,3 o C

(Twater ,in Tlucht,in )

60 0,162.(60 10) 51,9 o C

Ter controle:

c

w

en

m,k water

w

m ,lucht lucht

UA. Tln

67716 W

67,7 kW

10000 .1,2.103.(30,3 10) 67667 W 67,7 kW 3600 T Tuit 50 21,6 UA. in 20.100. 67673W 67,7 kW Tin 50 ln ln 21,6 Tuit

c

w

2.4,18.103.(60 51,9)

. Tk

. Tlucht

Opgave 14 Stel voor een eendimensionaal model de differentievergelijking op voor een extern knooppunt met een opgelegde warmtestroomdichtheid φw,opp aan de buitenzijde.

Uit de warmtebalans volgt: w , mm 1

Met

w, mm 1

.A .Tm x

0

w , opp

Tm Tm Rm , m 1

.A .Tm x

1

1

Tm

w,opp

Tm x .A

1

volgt


90

Opgave 15 Stel een eendimensionaal model op voor een aan de onderzijde ongeïsoleerde vloerverwarmingssysteem. Bekend zijn de vertreklucht- ,de vloerverwarmingstemperatuur en de grondtemperatuur. De vloer, bestaande uit een materiaal, wordt onderverdeeld in 3 lagen met 3 knooppunten volgens bijgaande figuur. Stel de matrixvergelijking op voor de vloer.

Voor knooppunt 1 geldt:

. A.(T1 Tvertrek )

( .A

x1

x1

x2 / 2

x2 / 2

).T1

x1

(T2

T1 )

x2 / 2

0

T2

. A.Tvertrek

[a]


x1

(T2

x2 / 2 1

x1

x2 / 2

1

.T2

x2

T1 )

x1

x2 / 2

(Tvloerverwar m in g

T2 )

0

1 .Tvloerverwar m in g x2 / 2

T1

[b]


(T3

Tvloerverwar m in g )

Tgrond

Tvloerverwar m in g

x3 / 2 2T3

x3 / 2

(Tgrond

T3 )

0

[c]

De vergelijkingen [a] t/m [c] in matrixvorm geeft:

1

.A

x1 x1

1

0

1 x2 / 2

x2 / 2

x1 x1

1 0

x2 / 2 x2 / 2

0

T1

0 . T2 2 T3

A.Tvertrek 1 Tvloerverwar m in g x2 / 2 Tgrond Tvloerverwar m in g


91

Hoofdstuk 14 Instationaire warmtetransport Opgave 1 Gegeven is een stalen bol met een straal van 25 mm met een temperatuur van 400 °C. Deze bol wordt geplaatst in lucht met een temperatuur van 50 °C en de warmteoverdrachtscoëfficiënt bedraagt 100 W/m2K. Wat is de afkoeltijd om de bol af te koelen tot 250 °C? We onderzoeken eerst of de theorie van de uniforme temperatuur toegepast mag worden. Er moet dan gelden dat Bi<0,1. We bepalen eerst de karakteristieke afmeting Ls

Ls

Bi

100.0,0083 46

0,018

V Ao

1 .D 3 6 .D 2

1 D 6

1 0,05 6

0,0083 m

[14.1]

We mogen dus een uniforme temperatuur aannemen.

T T fluïdum cV ln Ao Tt 0 T fluïdum

t

7840.460 250 50 0,0083. ln 100 400 50

167,5 s

Opgave 2 Gegeven is een aluminium plaat met een dikte van 0,02 m. De lengte en breedte zijn 1 m. De temperatuur is 250 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënt bedraagt 80 W/m2K. De plaat wordt geplaatst in lucht met een omgevingstemperatuur van 20 °C. Wat is de temperatuur van de plaat na 3 minuten? We onderzoeken eerst of de theorie van de uniforme temperatuur toegepast mag worden. Er moet dan gelden dat Bi<0,1. We bepalen eerst de karakteristieke afmeting Ls

Ls

Bi

80.0,01 240

0,0033

V Ao

h.b.d 2.h.b

d 2

0,02 2

0,01 m

[14.1]

We mogen dus een uniforme temperatuur aannemen.

T T fluïdum Tt

0

Dus T

T fluïdum 20

e

Ao t cV

0,55 .( 250

T 20 250 20

e

80 1 3.60 2700.900 0 , 01

0,55

20 ) 146 ,5 o C

Opgave 3 Gegeven is een betonnen wand van 15 cm. Deze wand wordt aan het oppervlak in temperatuur verhoogd. Tot welk tijdstip kan de theorie van het halfoneindige medium gehanteerd worden? Er moet voldaan worden aan de voorwaarde dat d

at


d2 .a beton

Dus t

d2

0,15 2 1,9 2400.880

beton

.

beton .c beton

92

7961 s 132,7 min

Opgave 4 Gegeven is een waterleiding in de grond die op 0,05 m diepte geplaatst is. Er stroomt geen water door deze leiding. De grondtemperatuur bedraagt 5 °C en wordt aan het oppervlak verhoogd door de zon naar 40 °C. Wat is de temperatuur van het water in de cv-leiding na 2 uren? 40 0,05 m

T 5 Cv-leiding in de grond

Uit

T Tt T fluïdum

0

Tt

1 erf 0

x 2 at

kunnen we T bepalen.

De temperatuurvereffeningscoëfficiënt voor aarde is gelijk aan a aarde

erf

x 2 a aarde t

erf

0,05 2. 1,83.10 6.2.3600

Met interpolatie: erf (0,128 )

0,1125

T

Tt

0

erf (0,10 )

0,128 0,10 .( 0,2227 0,20 0,10

Topp

Tt

0

1 erf

erf (0,128)

c

2,3 1500 .840

1,83 .10

6

m2 / s

0,144 (exact met Matlab berekend)

0,128 0,10 .( erf (0,20 ) erf (0,10 ) 0,20 0,10

0,1125 )

0,1433

x

0,143

5 (40 5).(1 0,143)

2 a aarde t

35 o C

Opgave 5 Gegeven is een betonnen wand met een dikte van 0,15 m en een temperatuur van 20 °C. Deze wand wordt aan de buitenzijde opgewarmd door lucht van 30 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënt bedraagt 8 W/m2K. De berekening van de opwarming wordt uitgevoerd door een numerieke oplosmethode waarbij de wand onderverdeeld wordt in 10 knooppunten. Welke minimale tijdstap moet gehanteerd worden bij de berekeningen? Voor een intern knooppunt geldt de voorwaarde: Fo En voor een extern knooppunt: Fo(Bi 1)

1 2

1 2


93

x

We bepalen eerst Bi: Bi

beton

Met

x

d wand nknooppunt 1

0,15 9

x

0,0167 m volgt Bi

beton

8.0,0167 1,9

0,07

en met a

1,9 2400 .880

c

Fo ( Bi 1) Met Fo

1 2

Fo

9.10 7 volgt uit:

1 2( Bi 1)

a. t a. t volgt 2 x2 x

0,47

1 2.( 0,07 1) t

0,47

0,47 . x 2 a

0,47 .0,0167 2 9.10 7

146 s

Opgave 6 Gegeven is een wand bestaande uit gevelsteen met een warmtegeleidingcoefficient van 1,1 W/mK en een dikte van 0,08 m en een temperatuur van 20 °C. Deze wand wordt geïsoleerd met 5 cm steenwol. Aan de buitenzijde wordt de wand opgewarmd door lucht van 30 °C. De berekening van de opwarming wordt uitgevoerd door een numerieke oplosmethode waarbij zowel het gevelsteen als de isolatie onderverdeeld wordt in 5 knooppunten. Welke minimale tijdstap moet gehanteerd worden bij de berekeningen?

1 2

Voor een intern knooppunt geldt de voorwaarde: Fo

1 2

En voor een extern knooppunt: Fo(Bi 1) We bekijken eerst de gevelsteen:

x

We bepalen eerst Bi: Bi

gevelsteen

Met

x

d wand 4

en met a

c

Fo ( Bi 1) Met Fo

1 2

0,08 4

8.0,02 1,1

gevelsteen

1,1 2100 .840

Fo

x

0,02 m volgt Bi 6,2.10 7 volgt uit:

1 2( Bi 1)


0,15

0,43

1 2.( 0,15 1) t

0,43

0,43 . x 2 a

0,43 .0,02 2 6,2.10 7

277 s

We bekijken vervolgens de isolatie: We bepalen eerst Bi: Bi

x isolatie

Met

x

en met a

d wand 4 c

0,05 4 0,04 190 .840

0,0125 m volgt Bi

x isolatie

2,5.10 7 volgt uit:

8.0,0125 0,04

2,5


Fo ( Bi 1) Met Fo

1 2

Fo

1 2( Bi 1)


0,14

1 2.( 2,5 1) t

0,14 . x 2 a

94

0,14 0,14 .0,0125 2 2,5.10 7

De isolatie bepaalt dus de tijdstap die kleiner moet zijn dan 88 s.

88 s


95

Hoofdstuk 15 Warmteoverdracht door convectie Opgave 1 Wat is het kengetal van Prandtl voor CO2 van 20 °C?

Pr

.c p

1,47 .10 5.820 0,016

0,75

Opgave 2 Gegeven is een vloeistof waarvan bekend is dat de dichtheid gelijk is aan 600 kg/m3, de soortelijke warmte gelijk is aan 2 kJ/kgK, de warmtegeleidingcoëfficiënt gelijk is aan 0,2 W/mK en de dynamische viscositeit gelijk is aan 0,03 Ns/m2. Wat is het kengetal van Prandtl?

Pr

.c p

0,03 .2000 0,2

300

Opgave 3 Gegeven is een wand met een hoogte van 1,8 m en breedte van 2 m met een oppervlaktetemperatuur van 2 °C. Langs deze wand stroomt lucht met een snelheid van 10 m/s en een temperatuur van 20 °C. Wat is warmtestroom naar deze wand?

We bepalen eerst met behulp van Re of de stroming laminair of turbulent is. De stofeigenschappen zoeken we op bij de filmtemperatuur van 11 °C.

Re

.v.H

1,25 .10 .1,8 1,77 .10 5

1,27 .10 6

We zien dat Re>5.105 dus de stroming is turbulent. Met behulp van [15.8] bepalen we Nu met Pr = 0,71:

Nu

0,037 . Re 4 / 5 871 . Pr 1 / 3

Met Nu Dus

w

c

c

Ls

volgt

. A. T

c

Nu. H

24 ,2.3,6.18

Uitwerking met Matlab:

(0.037 .(1,27 .10 6 ) 4 / 5

1740 .0,025 1,8 1568 W

871).0,711 / 3

24 ,2 W / m 2 K

1,57 kW

1740


96

Opgave 4 Water met een temperatuur van 20 °C stroomt met een snelheid van 1 m/s langs een bol met een diameter van 25 mm en een temperatuur van 140 °C. Wat is de afgegeven warmtestroom door de bol?

Gedwongen convectie bij een bol

Daarvoor kunnen we de volgende vergelijking hanteren: 1/ 4

Nu

2 (0,4 Re

1/ 2

0,06 Re

2/3

) Pr

fluïdum

0, 4

[15.16]

opp

Met Re

fluidum

.v.d

998.1.0,025 101.10 5

fluidum

24700

En Pr=6,99 volgt

Nu

1/ 2

2 (0,4.24703

0,06.24700

2/3

)6,99

0, 4

101.10 5 20.10 5

1/ 4

264


Dus w

Nu. d

c

c

264 .0,06 0,025

. Abol . T

c

97

6360 W / m 2 K

. d 2. T

6360 . .0,025 2.120

1499 W

1,5 kW


Opgave 5 Gegeven is een gladde pijp met een diameter van 80 mm waardoor water stroomt met een snelheid van 2 m/s en een temperatuur van 60 °C. De wandtemperatuur bedraagt 40 °C. Wat is de waarde van de warmteoverdrachtscoëfficiënt?

We bepalen eerst of de stroming laminair of turbulent is. We zoeken de stofeigenschappen van water op bij de fluïdumtemperatuur van 60 °C.

Re

water

.v.d

water

983 .2.0,08 47 ,1.10 5

3,34 .10 5

Het kengetal van Reynolds is groter dan 2300 en de stroming is dus turbulent. Met Pr=3,01 kunnen we met behulp van [15.11] het kengetal van Nusselt bepalen.

Nu

0,023 . Re 0,8 Pr n

0,023 .(3,34 .10 5 ) 0,8 .3,01 0,3

840


Met Nu

c

.d

volgt

c

water

Nu. water d

840 .0,65 0,08

98

6870 W / m 2 K


Opgave 6 Gegeven is een buis met een ruwheid van 0,1 mm met een diameter van 80 mm waardoor water stroomt met een snelheid van 2 m/s en een temperatuur van 110 °C. Wat is de warmteoverdrachtscoefficient?

Doordat we een ruwe buiswand hebben bepalen we Nu met [15.12]

Nu

0,125 . . Re . Pr 1 / 3

De wrijvingscoëfficiënt λ kunnen we bepalen met behulp van het Moodydiagram. De relatieve wandruwheid

e d

0,1 80

En voor het kengetal van Reynolds volgt:

0,00125 Re

water

.v.d

water

Uit het Moody-diagram volgt dan

951 .2.0,08 25,8.10 5

0,022 . Zie onderstaande figuur.

5,90 .10 5


99


0,022

5,9.105

Met Pr=1,59 volgt

Nu

0,125 . . Re . Pr 1 / 3

Met Nu

c

.d

volgt

0,125 .0,022 .5,90 .10 5.1,59 1 / 3 c

water

Nu. water d

1894 .0,68 0,08

1894

16100 W / m 2 K


Opgave 7 Gegeven is een buis met een uitwendige diameter van 120 mm en een temperatuur van 80 °C waar dwars op water stroomt met een snelheid van 2 m/s en een temperatuur van 60 °C.


100

Wat is de afgegeven warmte per strekkende buislengte?

Topp

We bepalen eerst Re bij de filmtemperatuur T film film

Re

.v.d

978.2.0,12 40,7.10 5

film

Twater 2

80 60 2

70 o C :

5,77.105

Met Prfilm=2,57 volgt uit [5.14]:

Nu

0,62. Re1 / 2 Pr1 / 3

0,3

0,4 Pr

1

0,3

0,62. 5,77.10 5 0,4 2,57

1 c

Met Nu

.d

volgt

2/3

1/ 2

1

1/ 4

2,571 / 3

2/3

1/ 4

c

Re 282.000

Nu. d

1

5/8

5,77.10 5 282.000

1284 .0,66 0,12

4/5

5/8

4/5

1284

7060 W / m 2 K

De afgegeven warmtestroom per strekkende meter is gelijk aan w

c

. A.(Topp

Twater )


c

. .d .l.(Topp

Twater )

7060 . .0,12 .1.(80 60 )

53200 W

53,2 kW


101

Opgave 8 Gegeven is een verticale ketelwand van 6x6 m. De oppervlaktetemperatuur is 60 °C. Gegeven is stilstaande lucht met een temperatuur van 20 °C. Wat de warmtestroom?

We bepalen eerst het kengetal Gr. Daarvoor hebben we de luchteigenschappen nodig bij de filmtemperatuur

Tlucht

T film

Topp

20 60 2

2

40 o C :

1,13 kg / m3

film

c p , film

1006 J / kgK 5

Ns / m2

film

1,91.10

film

0,027 W / mK

1 T film Gr

. Topp

3

Tlucht .g.Ls . 2

2

Topp

3

Tlucht .g.Ls . T film .

2 film

2 film

40 .9,81 .6 3.1,13 2 313 . 1,91 .10

5 2

9,48 .10 11


film

Met Pr

.c p , film

1,91.10 5.1006 0,70 0,027

film

volgt Ra

Gr . Pr

102

9,48 .10 11.0,70

6,64 .10 11

We gebruiken [15.24]:

Nu

0,387.Ra

0,825

Met Nu

c

w

c

2 6

1 (0,492 / Pr)9 / 16

.H

volgt

Nu. c

film

Dus

1

. A. T

H

3,6.36 .40

film

8 / 17

0,825

791 .0,027 6

5184 W

0,387. 6,64.1011

1

2 6

1 (0,492 / 0,70) 9 / 16

8 / 17

791

3,6 W / m 2 K

5,18 kW


Opgave 9 Gegeven is een vertrek met een luchttemperatuur van 22 °C. In het vertrek is plafondverwarming aanwezig met een oppervlak van 200 m2. De oppervlaktetemperatuur aan de vertrekzijde bedraagt 35 °C. Wat de door convectie afgegeven warmtestroom aan het vertrek?


103

We bepalen eerst Gr. Daarvoor hebben we de luchteigenschappen nodig bij de filmtemperatuur

T film

Tlucht

Topp

22 35 2

2

28,5 o C

302 K

We zoeken de luchteigenschappen op bij 30 °C: film

c p , film

1,17 kg / m3 1006 J / kgK 5

Ns / m2

film

1,85.10

film

0,026 W / mK

A O

De karakteristieke afmeting volgt uit Ls

10 .20 2.(10 20 )

3,33 m

1

en

T film

Gr

Pr

. Topp

3

2

Tlucht .g.Ls .

3

Topp

Tlucht .g.Ls .

2

film

.c p , film film

Volgt Ra

Gr . Pr

T film .

2 film

(35 22 ). 9,81 .3,33 3.1,17 2

2

302 . 1,85 .10

film

5

1,85.10 .1006 0,71 0,026 6,25 .10 10.0,71

4,44 .10 10

We zien dat Ra>107 is en gebruiken daardoor [15.28]

Nu

0,27.Ra1 / 4

0,27. 4,44.1010

1/ 4

124

Hieruit is de convectieve warmteoverdrachtscoëfficiënt te bepalen: c

Nu. Ls

124 .0,026 3,33

1 W / m2 K

Hieruit volgt voor de warmtestroom W

c

. A. Topp

Tlucht


1.200 (35

22 )

2600 W

2,6 kW

5 2

6,25 .10 10 Met


104

Opgave 10 Gegeven is een vertrek met een luchttemperatuur van 22 °C. In het vertrek is vloerverwarming aanwezig met een oppervlak van 200 m2. De oppervlaktetemperatuur aan de vertrekzijde bedraagt 26 °C. Wat de door convectie afgegeven warmtestroom aan het vertrek?

Figuur 15.17 Vlakke plaat met warmteafgifte naar boven

We bepalen eerst Gr. Daarvoor hebben we de luchteigenschappen nodig bij de filmtemperatuur

T film

Tlucht

Topp

22

2

26 2

24 o C

297 K

We zoeken de luchteigenschappen op bij 24 °C: film

c p , film

1,19 kg / m3 1006 J / kgK 5

Ns / m2

film

1,83.10

film

0,026 W / mK

De karakteristieke afmeting volgt uit Ls

A O

10 .20 2.(10 20 )

3,33 m


105

1

en

T film

Gr

Pr

. Topp

3

2

Tlucht .g.Ls .

3

Topp

Tlucht .g.Ls .

2

film

.c p , film

(26 22 ). 9,81 .3,33 3.1,19 2

2

297 . 1,83 .10

film

5 2

2,06 .10 10 Met

5

1,83.10 .1005 0,026

film

Volgt Ra

T film .

2 film

0,71

2,06 .10 10.0,71 1,46 .10 10

Gr . Pr

We gebruiken [15.29]

Nu

0,15.Ra1 / 3

0,15. 1,46.1010

1/ 3

367

Hieruit is de convectieve warmteoverdrachtscoëfficiënt te bepalen:

Nu. c

film

Ls

367.0,026 3,33

2,86 W / m 2 K


c

. A. Topp

Tlucht

2,86 .200 (26

22 )

2288 W

2,29 kW


Opgave 11 Gegeven is een vertrek met een luchttemperatuur van 22 °C. In het vertrek is cv-leiding aanwezig met een diameter van 22 mm en een watertemperatuur van 60 °C. Bepaald moet worden wat de afgegeven warmtestroom per strekkende meter leidinglengte is. a. Wat zou je voor de oppervlaktetemperatuur aan vertrekzijde aannemen? De warmteweerstand aan de vloeistofzijde is veel lager dan aan de luchtzijde waardoor de oppervlaktetemperatuur ongeveer gelijk is aan de watertemperatuur: 60 °C.


106

b. Wat is de afgegeven warmtestroom voor een horizontale opgesteld leidingdeel?

De filmtemperatuur is gelijk aan

Tlucht

T film

Topp

22 60 2

2

41 o C

314 K :

Topp

Tlucht .g.Ls .

1,13 kg / m3

film

c p , film

1,006 J / kgK 5

Ns / m2

film

1,91.10

film

0,027 W / mK 3

. Topp

Gr

Tlucht .g.Ls .

2

3

2

film

Met Pr

T film .

.c p , film film

Volgt Ra

(60 22).9,81.0,0223.1,132

2

314. 1,91.10

film

5 2

5

1,91.10 .1,006 0,027 4,42 .10 4.0,7

Gr . Pr

2 film

0,70

3,09 .10 4


Nu

0,6

0,387.Ra1 / 6 (1 (0,559 / Pr)9 / 16 ) 8 / 27

2

1/ 6

0,6

0,387. 3,09.10 4 (1 (0,559 / 0,70) 9 / 16 ) 8 / 27

Hieruit is de warmteoverdrachtscoëfficiënt te bepalen: c

Nu. d

5,74 .0,027 0,022

7,04 W / m 2 K


c

. A. Topp

Tlucht


7. .0,022 .1.( 60

22 )

18,4 W / m

2

5,74

4,42.10 4


107

Opgave 12 Gegeven is een stalen staaf met een lengte van 50 cm en een diameter van 2 cm en een temperatuur van 250 °C. In een waterbad van 10 °C wordt de staaf afgekoeld naar 30 °C. a. Wat is de afgegeven warmtestroom bij het begin van de afkoeling? b. Wat is de afgegeven warmtestroom nadat de staaf afgekoeld is naar 30 °C?

a. Bij het begin van de afkoeling is de filmtemperatuur is gelijk aan

T film film

c p , film film

Twater

Topp

10

2

935 kg / m3 4260 J / kgK

21,2.10

5

Ns / m2

250 2

130 o C :


108

0,685 W / mK

film

999 kg / m3

fluïdum

801 kg / m3

opp

film

Gr

.

fluïdum

opp

.g.D 3

2

21,2.10

film

film

Met Pr

.c p , film film

Volgt Ra

Gr . Pr

801 ). 9,81 .0,02 3

935 .(999

5 2

3,23 .10 8

21,2.10 5.4260 1,32 0,685 3,23 .10 8.1,32

4,26 .10 8


Nu

0,6

0,387.Ra1 / 6 (1 (0,559 / Pr)9 / 16 ) 8 / 27

2

1/ 6

0,6

0,387. 4,34.108 (1 (0,559 / 1,32) 9 / 16 ) 8 / 27

2

96,2


Dus

Nu. d w

96 ,2.0,68 0,022 c

. A. T

3290 W / m 2 K

3290 . 0,02 .0.5.240

24806 W

24 ,8 kW


b. Dezelfde berekening voeren we uit wanneer de staaftemperatuur gedaald is naar 30 °C:

T film

Twater

Topp 2

10 30 2

20 o C :


109

998 kg / m3

film

c p , film

4180 J / kgK 5

Ns / m2

film

101.10

film

0,602 W / mK

999,2 kg / m3

fluïdum

995,5 kg / m3

opp

film

Gr

.

fluïdum

opp

.g.D 3

998 .(999 ,2 995 ,5). 9,81 .0,02 3

2

101 .10

film

film

Met Pr

.c p , film film

Volgt Ra

Gr . Pr

101.10 5.4180 0,60 2,84 .10 5.6,99

5 2

2,84 .10 5

6,99

1,98 .10 6


Nu

0,6

0,387.Ra1 / 6 (1 (0,559 / Pr)9 / 16 ) 8 / 27

2

1/ 6

0,6

0,387. 1,61.10 6 (1 (0,559 / 6,99) 9 / 16 ) 8 / 27

2

21,8


Nu. d

21,8.0,60 0,022


656 W / m 2 K Dus

w

c

. A. T

656 . 0,02 .0.5.20

412 W


110

Opgave 13 Gegeven is een koperen pen met een diameter van 2 mm en een lengte van 10 mm. Deze pen wordt bevestigd op een plaat met een temperatuur van 80 °C een afmeting van 10x10 mm en geplaatst in lucht van 20 °C. De convectieve warmteoverdrachtscoëfficiënt bedraagt 8 W/m2K. a. Wat is de afgegeven warmtestroom aan de lucht door de pen?

M tanh mL [15.43]

w , pen

met M

O A.

O

.0,002

.D

en A

4

.D 2

volgt M

4

x 0

.0,0022

m

3,14.10

M tanh mL

w, pen

m2

0,477

6,32 e mL e mL

sinh(mL ) cosh(mL )

en geldt tanh(mL )

6

8.6,28.10 3.400.3,14.10 6 .60

x 0

8.6,28.10 3 400.3,14.10 6

O A

waardoor

3

6,28 .10

O A.

en m

O A

en m

e e

mL mL

0,477 . tanh(6,32 .0,01)

0,0301 W

b. Wat is de afgegeven warmtestroom door de plaat en pen? De plaat heeft een oppervlak van

Aplaat

l.b

4

D2

10.10

4

.2 2

96,9 mm 2

9,69.10

5

m2

De warmteafgifte van de plaat zonder de pen bedraagt dan:

.A.(Tplaat

w, plaat

Tomg ) 8.9,69.10 5 (80 20)

0,0465 W

De totale warmteafgifte is dan: w,tot

w, pen

0,0301

w, plaat

0,0465

0,0746 W

Opgave 14 Gegeven is een aluminium strip met een dikte van 2 mm en een breedte van 10 mm. Deze strip wordt bevestigd op een plaat met een temperatuur van 80 °C een afmeting van 10x10 mm en geplaatst in lucht van 30 °C. De convectieve warmteoverdrachtscoëfficiënt bedraagt 8 W/m2K. a. Wat is het vinrendement van de strip wanneer deze 10 mm lang is? vin

tanh mL c mL c O A

met m en O

2.(t b)

en A

t.b

2.10 3.10 .10

O A

8.0,024 240 .2.10

m

2.(0,002 0,01) 3

2.10

6,32

0,024 m 5

m2


en Lc volgt

d 0,01 0,001 0,011 m 2 tanh mL c tanh(6,32 .0,011 ) mL c 6,32 .0,011

L vin

111

0,998

b. Wat is het vinrendement van de strip wanneer deze 100 mm lang is? Nu geldt: Lc en volgt

vin

d 0,1 0,001 0,101 2 tanh mL c tanh(6,32 .0,101 ) mL c 6,32 .0,101

L

0,883


112

Hoofdstuk 16 Warmteoverdracht door straling Opgave 1 Van een beglazing met een oppervlak van 5 m2 is bekend dat de absorptiecoëfficiënt 10 % is en de reflectiecoëfficiënt 8 %. Loodrecht op de beglazing valt zonnestraling met een intensiteit van 600 W/m2. Wat is de doorgelaten warmtestroom? De straling die op een lichaam valt zal geabsorbeerd, gereflecteerd en/of doorgelaten worden. Er moet gelden: 1 t

r a

Figuur 16.5 a+r+t=1

a+r+t=1 [16.3] De doorgelaten warmtestroom is gelijk aan w, doorgelaten

t.

w, zon

. Abeglazing

(1 r

a).

w , zon

. Abeglazing

(1 0,1 0,08 ). 600 .5

2460 W

Opgave 2 Twee ondoorlatende oppervlakken 1 en 2 hebben een oppervlak van 4 m2. De reflectiecoëfficiënten zijn 0,2 resp. 0,4. Gegeven is dat oppervlak 1 een temperatuur heeft van 200 °C en oppervlak 2 van 40 °C. Wat is de netto warmtestroom tussen deze oppervlakken? Voor twee grote oppervlakken A die alleen naar elkaar stralen, volgt uit [16.13]: 4

w12, netto

4

. A.(T1 T2 ) 1 1 1 1

2

4

4

. A.(T1 T2 ) 1 1 1 1 r1 1 r2

5,67.10 8.4.(4734 3134 ) 1 1 1 0,8 0,6

4804 W

4,8 kW

Opgave 3 Twee ondoorlatende oppervlakken 1 en 2 hebben een oppervlak van 4 m2. De reflectiecoëfficiënten zijn 0,2 resp. 0,2. Gegeven is dat oppervlak 1 een temperatuur heeft van 600 °C en oppervlak 2 van 20 °C. Tussen beide oppervlakken wordt een stralingsscherm aangebracht met een reflectiecoëfficiënt aan beide zijden van 0,2. Wat is de temperatuur van het stralingsscherm?


A1

Aa

T1

Ta

113

A2 T2

w12, netto

w1a , netto

wa 2, netto

In een stationaire toestand geldt w12, netto

w1a , netto

[a]

wa 2 , netto

Voor de warmtestroom naar en van het scherm kunnen we schrijven: 4

4

w1a , netto

1

wa 2, netto

4

4

. A.(Ta T2 ) 1 1 1 a

4

4

. A.(T1 Ta ) 1 1 1 0,8 0,8

a 4

en

4

. A.(T1 Ta ) 1 1 1

4

4

. A.(Ta T2 ) 1 1 1 0,8 0,8

2

4

. A.(T1 Ta ) 1,5

[b]

4

. A.(Ta T2 ) 1,5

[c]

Door [b] en [c] gelijk te stellen volgt

(T1

4

4

Ta ) (Ta

4

4

T2 )

Ta

4

T1

2

T2

4

2

Dit ingevuld in [c] levert met [a] op: 4

w12, netto

4

. A.(Ta T2 ) 1,5

5,67.10 8.4.(8734 3

2934 )

. A.(

T1

4

T2 2 1,5

43354 W

4 4

T2 )

43,4 kW

4

4

. A.(T1 T2 ) 3


114

Opgave 4 In figuur 16.32 is een vertrek gegeven. Wat zijn de zichtfactoren van oppervlak 2 naar oppervlak 1 en 3?

A1

A3 1

3

4m 2

A2 6m

5m Figuur 16.32 Vertrek

Van oppervlak 2 naar 1 maken we gebruik van onderstaande figuur met b = 4 m, c = 5 m en a = 6 m waardoor B = 2/3 = 0,67 en C = 5/6 = 0,83

Dus F12 = 0,25. We kunnen nu F21 bepalen uit:

F12 . A1

F21 . A2

F21

F12 .

A1 A2

0,25 .

4.6 5.6

0,2

Van oppervlak 2 naar 3 maken we gebruik van onderstaande figuur met b = 5 m, c = 6 m en a = 4 m waardoor B = 5/4 =1,25 en C = 6/4 = 1,5. We zien dat F23 ≈ 0,28.


115

Opgave 5 In onderstaande is een vertrek gegeven. Wat zijn de zichtfactoren van oppervlak 1 naar de oppervlakken 2,3 en 4?

A1

A3 1

3

4m

A4

2 5m

A2 6m

Van 1 naar 2 geldt dat a = 6 m, b = 4 m en c = 5 m waardoor B = 2/3 = 0,667 en C = 5/6 = 0,833


Dus F12 ≈ 0,25. En voor 1 naar 3 geldt: a = 4 m, b = 6 m en c = 5 m waardoor B = 1,5 en C = 1,25 m.

Dus F13 ≈ 0,16 Van 1 naar 4 geldt dat a = 5 m, b= 4 m en c = 6 m waardoor B = 0,8 en C = 1,2

116


117

Dus F14 ≈ 0,18.

Controle Er moet gelden

2.F12

2.F13

2.0,25

2.0,16

F14

1

0,18

1

Dit is het geval!

Opgave 6 Twee ondoorlatende oppervlakken 1 en 2 hebben een oppervlak van 4 m2. De reflectiecoëfficiënten zijn 0,1 resp. 0,2. Gegeven is dat oppervlak 1 een temperatuur heeft van 600 °C en oppervlak 2 van 20 °C. Tussen beide oppervlakken wordt een stralingsscherm aangebracht met een reflectiecoëfficiënt aan beide zijden van 0,2. Wat is de warmtestroom van oppervlak 1 naar oppervlak 2?

Het elektrisch analogon is in bovenstaande figuur weergegeven. We zien dat de weerstanden in serie geschakeld zijn en kunnen daardoor de warmtestroom bepalen met behulp van een elektrisch analogon. w12 , netto

E z1 E z 2 Rtot


met Rtot

R1

R13

R3a

R3b

R32

R2

1

118

1

1

1 F13 A1

1

A1

3a 3a

A3

1

1 F32 A3

3b 3b

A3

1

2 2

A2

Aangezien F13 = F32 = 1 volgt voor de Rtot:

Rtot Dus

1 0,9 0,9.4

1 1.4

1 0,8 1 0,8 1 0,8.4 0,8.4 1.4

w12, netto

E z1 E z 2 Rtot

4

4

(T1 T2 ) Rtot

1 0,8 0,8.4

0,715 SI

5,67.10 8 (8734 0,715

2934 )

45477 W

45,5 kW

Opgave 7 Twee ondoorlatende oppervlakken 1 en 2 hebben een oppervlak van 4 m2. De reflectiecoëfficiënten zijn 0,8 resp. 0,8. Gegeven is dat oppervlak 1 een temperatuur heeft van 600 °C en oppervlak 2 van 20 °C. Tussen beide oppervlakken worden twee stralingsschermen aangebracht met een reflectiecoëfficiënt aan beide zijden van 0,2. Wat is de warmtestroom van oppervlak 1 naar oppervlak 2?

Het elektrisch analogon is in bovenstaande figuur weergegeven. We zien dat de weerstanden in serie geschakeld zijn en kunnen daardoor de warmtestroom bepalen met behulp van een elektrisch analogon.

E z1 E z 2 Rtot

w12 , netto

Rtot met 1

R1 1

1

A1

R13

1 F13 A1

R3a

R3b

1

3a 3a

A3

R34

1

R4 a 1 F34 A4

3b 3b

R4b

A3

R42

1

4a 4a

R2 1

A4

4b 4b

A4

1 F42 A4

1

2 2

A2

Aangezien F13=F34=F42=1 volgt voor de Rtot:

Rtot Dus

1 0,2 0,2.4

1 1.4

1 0,8 1 0,8 1 0,8.4 0,8.4 1.4

w12, netto

E z1 E z 2 Rtot

4

4

(T1 T2 ) Rtot

1 0,8 1 0,8 1 0,8.4 0,8.4 1.4

5,67.10 8 (8734 3

2934 )

1 0,2 0,2.4

3 SI

10839 W

10,8 kW

Toegepaste energieleer

Recommend Documents