TINJAUAN PUSTAKA
Metode Response Surface Menurut Montgomery (2001), Response Surface Methodology (RSM) merupakan himpunan metode-metode matematika dan statistika yang digunakan untuk melihat hubungan antara satu atau lebih variabel perlakuan berbentuk kuantitatif dengan sebuah variable respon yang bertujuan untuk mengoptimalkan respon tersebut dalam suatu percobaan.
Sebagai contoh persamaan 2.1
menunjukkan hubungan antara level dari dosis pupuk nitrogen (x1), dosis pupuk fospor (x2) dan dosis pupuk kalium (x3) dengan jumlah malai (yi) dari sebuah proses pemupukan. yi = fi(x1,x2, x3) + εi , i = 1,2
(2.1)
dimana εi merupakan error pengamatan pada respon yi. Jika kita tuliskan nilai , kemudian η = fi(x1,x2,x3)
harapan respon sebagai
merepresentasikan sebuah permukaan yang disebut response surface. Umumnya response surface ditampilkan secara grafik, seperti yang tampak pada Gambar 1. Untuk membantu visualisasi dari bentuk permukaan plot, sering digunakan contour dari permukaan respon, seperti terlihat dalam Gambar 2. Garis contour yang terbentuk merepresentasi ketinggian permukaan yang terbentuk.
Gambar 1. Ilustrasi plot permukaan respon
3
Contour Plot of Serapan N vs Nitrogen, Kalium 1.0
Serapan N < 18 18 - 20 20 - 22 22 - 24 24 - 26 26 - 28 > 28
0.5
Nitrogen
0.0 -0.5 -1.0 -1.5 -2.0 -1.0
-0.5
0.0 Kalium
0.5
1.0
Gambar 2. Ilustrasi kontur permukaan respon Permasalahan umum pada metode response surface adalah bentuk hubungan yang terjadi antara perlakuan dengan respon tidak diketahui. Jadi langkah pertama yang dilakukan adalah mencari bentuk hubungan antara respon dengan perlakuannya. Bentuk hubungan linier merupakan bentuk hubungan yang pertama kali dicobakan untuk menggambarkan hubungan tersebut. Jika ternyata bentuk hubungan antara respon dengan perlakuan adalah linier maka pendekatan fungsinya disebut first-order model, seperti yang ditunjukkan dalam persamaan 2.2. (2.2) Jika bentuk hubungannya merupakan kuadrat maka pendekatan fungsinya disebut second-order model. Persamaan 2.3 menunjukkan bentuk umum second-order model. (2.3) Setelah bentuk hubungan yang paling fit diperoleh, langkah selanjutnya adalah mengoptimalisasi hubungan tersebut. Secara garis besar langkah-langkah dalam menganalisa response surface yaitu: merancang percobaan, membuat model dan melakukan optimalisasi.
4
Rancangan Percobaan Optimal Menurut Vardeman (1998) ada beberapa hal yang perlu diperhatikan jika melakukan teknik analisa response surface. Hal pertama yang perlu dilihat adalah bentuk persamaannya apakah merupakan fungsi berorde satu atau fungsi berorde dua. Jika ternyata fungsi yang terbentuk berorde dua selanjutnya yang perlu dilihat adalah sifat percobaan yang akan dilakukan apakah sequential atau nonsequential. Kedua hal diatas sangat berpengaruh terhadap prosedur perancangan yang akan dibuat. Untuk fungsi yang berorde satu, rancangan percobaannya cukup dengan menggunakan 2k faktorial dimana setiap perlakuan memiliki dua level perlakuan. Jika dibandingkan dengan rancangan response surface yang berorde dua, maka rancangan response surface yang berorde satu lebih sedikit membutuhkan unit percobaan, yaitu sebanyak 2k unit percobaan dimana k menyatakan banyaknya faktor perlakuan. Untuk response surface yang berorde dua, rancangan percobaannya menggunakan central composite design (CCD) atau box-behnken design yang memerlukan jumlah unit percobaan lebih banyak dari pada rancangan 2k faktorial (response surface berorde satu). Sub-bab berikut akan menjelaskan mengenai rancangan central composite design (CCD) dan box-behnken design dan juga perbedaan dari kedua rancangan tersebut.
Response Surface Orde Dua Sebagaimana telah disebutkan sebelumnya, jika fungsi yang terbentuk merupakan fungsi yang berorde dua maka yang perlu dilihat selanjutnya sifat percobaannya, apakah sequential atau non-sequential. Jika sifat percobaannya merupakan percobaan sequential, maka digunakan central composite design (CCD). Namun jika percobaan tersebut bersifat non-sequential maka digunakan box-behnken design (Myers, 1971) .
5
Central composite design Central Composite Design (CCD) adalah sebuah rancangan percobaan yang terdiri dari rancangan 2k faktorial dengan ditambahkan beberapa center runs dan axial run (star runs) (Vardeman, 1998). CDC untuk k=2 dan k=3 secara visual ditunjukkan oleh Gambar 3.
X2 (0,+α) (‐1,+1)
X2
X3
(+1,+1) X1 (+α,0)
(‐α,0)
X1
(0,0) (+1,‐1)
(‐1,‐1) (0,‐α)
a) k = 2
b) k = 3
Gambar 3. Central composite design (CCD) Elemen dari CDC adalah: 1
Rancangan 2k faktorial (Runs/Cube point) = nf, dimana k adalah banyaknya faktor, yaitu percobaan pada titik (±1,±1….,±1)
2
Center Runs ( nc), yaitu percobaan pada titik pusat ( 0,0,..,0)
3
Star runs/Axial runs, yaitu percobaan pada titik-titik (α,0….,0), (-α,0..,0), (0,α,…,0), (0,-α,..,0),…. (0,0….,α) dan (0,0…,-α) dengan menggunakan axial atau star point α yang nilainya ditentukan oleh jumlah variabel faktor dan jenis CCD yang digunakan, dimana nilai
6
Titik-titik pada rancangan 2k
faktorial
digunakan untuk membentuk
model orde satu. Sedang penambahan center runs dan axial runs digunakan untuk membentuk model orde dua. Pada central composite design (CCD), agar kualitas dari prediksi menjadi lebih baik, maka rancangannya selain memiliki sifat ortogonal juga harus rotatable. Suatu rancangan dikatakan rotatabel jika ragam dari variabel respon yang diestimasi, ragam dari , merupakan fungsi dari x1 , x2 , …. xk yang hanya bergantung pada jarak dari pusat rancangan dan tidak bergantung dari arahnya (letak titik percobaan). Dengan kata lain ragam dari variabel respon yang diduga sama untuk semua titik asalkan titik-titik tersebut memiliki jarak yang sama dari pusat rancangan (center runs). Box-behnken design Salah satu perbedaan box-behnken design dengan central composite design adalah pada box-behnken tidak ada axial/star runs pada rancangannya. Tidak adanya axial/star runs ini menyebabkan box-behnken lebih efisien dalam rancangan, karena melibatkan lebih sedikit unit percobaan. Pada dasarnya boxbehnken dibentuk berdasarkan kombinasi rancangan 2k dengan incomplete block design dengan menambahkan center run pada rancangannya (Khuri, 1987). Gambar 4 merupakan visual untuk rancangan box-behnken dengan 3 faktor.
Gambar 4. Box-Behnken untuk tiga faktor
7
Pada Tabel 1 menunjukkan perbedaan titik perlakuan antara center composite design dengan box-behnken design untuk 3 faktor. Perbedaan yang nampak pada tabel tersebut adalah dari segi titik perlakuan dan juga jumlah perlakuan yang diberikan (Engineering Statistics Handbook, Maret 2004). Tabel 1. Contoh perbedaan center composite design (CCD) dengan box-behnken untuk tiga faktor CCD Box-Behnken Jumlah Jumlah X1 X2 X3 X1 X2 X3 Ulangan Ulangan 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 0 1 +1 -1 -1 1 +1 -1 0 1 -1 +1 -1 1 -1 +1 0 1 +1 +1 -1 1 +1 +1 0 1 -1 -1 +1 1 -1 0 -1 1 +1 -1 +1 1 +1 0 -1 1 -1 +1 +1 1 -1 0 +1 1 +1 +1 +1 1 +1 0 +1 1 -1.682 0 0 1 0 -1 -1 1 1.682 0 0 1 0 +1 -1 1 0 -1.682 0 1 0 -1 +1 1 0 1.682 0 1 0 +1 +1 1 0 0 -1.682 3 0 0 0 1 0 0 1.682 6 0 0 0 TOTAL RUN = 20 TOTAL RUN = 15 Rancangan box-behnken hanya dapat diterapkan pada percobaan yang memiliki minimal 3 faktor, dengan elemen penyusunnya sebagai berikut: 1. Rancangan 2k faktorial incomplete block design, dimana k adalah banyaknya faktor, yaitu percobaan pada titik (0,±1….,±1), (±1,0….,±1), (±1,±1….,0) 2. Center Runs ( nc), yaitu percobaan pada titik pusat ( 0,0,..,0), dimana jumlah Center Runs minimal 3 untuk berbagai jumlah faktor k
8
Fungsi Desirability Menurut
Montgomery (2001), fungsi desirability merupakan suatu
transformasi dari geometri respon ke nilai nol sampai satu. Respon-respon yang berada di dalam batas yang ditentukan bernilai antara nol sampai dengan satu (0 < di ≤1) dan yang berada diluar batas spesifikasi diberi nilai nol (di=0), yang kemudian disebut sebagai fungsi individual desirability (di). Kemudian fungsi individual desirability digabung dengan menggunakan rataan geometri
yang
hasilnya disebut fungsi composite atau overall desirability D (persamaan 2.4). (2.4) dimana k menyatakan banyaknya respon. Jika ada sembarang respon berada diluar batas spesifikasi di=0, maka fungsi overall desirability nilainya nol (D=0). Langkah-langkah optimalisasi dengan fungsi desirability
yang ditulis
dalam Engineering Statistics Handbook (Maret 2004): 1. Merancang dan melakukan percobaan 2. Membuat individual desirability untuk setiap respon yang terbentuk 3. Menggabungkan fungsi individual desirability menjadi fungsi overall desirability kemudian di maksimumkan Pembentukan fungsi individual desirability Misalkan Li, Ui, dan Ti secara berturut-turut adalah batas bawah, batas atas, dan nilai target yang diinginkan, dengan Li ≤ Ti ≤ Ui. Bentuk-bentuk fungsi tranformasi individual desirability : a. Untuk Gambar 5, apabila respon hanya memiliki batas bawah ( Li) dan nilai target (Ti) untuk percobaan yang nilai responnya ingin mencapai nilai maksimum, maka fungsi transformasinya adalah (Montgomery (2001) & Engineering Statistics Handbook (Maret 2004)): 0
, jika , jika L <
d= 1 , jika
≥T
9
d 0 < r < 1 r =1 r > 1
L
T
Gambar 5. Fungsi desirability untuk memaksimumkan respon b. Untuk Gambar 6, apabila respon hanya memiliki batas atas (Ui) dan nilai target (Ti) untuk percobaan yang nilai responnya ingin mencapai nilai minimum, maka fungsi transformasinya adalah (Montgomery (2001) & Engineering Statistics Handbook (Maret 2004)): 1
, jika , jika T <
d= 0 , jika
≥U
d
r =1 r > 1
0 < r < 1
T
U
Gambar 6. Fungsi desirability untuk meminimumkan respon
c. Untuk Gambar 7, apabila respon memiliki batas bawah (Li) dan batas atas (Ui) serta nilai target (Ti) untuk percobaan yang nilai responnya ingin mencapai nilai target, maka fungsi transformasinya adalah (Montgomery (2001) & Engineering Statistics Handbook (Maret 2004)):
10
0
, jika , jika L <
d=
, jika T < 0
, jika
≥U
d 0 < r < 1
0 < r < 1
r =1
r =1 r > 1
r > 1
T
L
U
y
Gambar 7. Fungsi desirability untuk mencapai nilai target
d. Untuk Gambar 8, apabila nilai responnya diharapkan berada pada nilai rentang antara batas bawah (Li) dan batas atas (Ui) maka nilai transformasi sama dengan satu (d=1) (Desing Expert 7, User Guide). 1,L≤
≤U
d= 0,
>U
11
d 1
L U Gambar 8. Fungsi desirability untuk dua nilai batasan Pengaturan bobot fungsi individual desirability Bobot (r) mendefinisikan bentuk dari fungsi desirability untuk setiap respon. Bobot dipilih untuk menekankan atau melonggarkan targetnya (Montgomery, 2001). 1
Untuk 0 < r < 1, memberikan penekanan yang kurang pada targetnya. Semakin besar nilai desirability semakin jauh nilai respon dari target.
2
Untuk r = 1, memberikan nilai kepentingan yang sama pada target dan nilai batas-batasnya. Nilai desirability dari suatu respon bertambah secara linier.
3
Untuk r > 1, memberikan penekanan yang lebih pada targetnya. Suatu respon harus sangat dekat dengan target agar memiliki nilai desirability yang tinggi.
Teknik Optimalisasi Fungsi Nonlinier Dalam proses melakukan optimalisasi
seperti memaksimumkan atau
meminimumkan sebuah kontur yang tidak linier ada beberapa teknik yang dapat digunakan. Salah satu teknik optimalisasi fungsi nonlinier yang dapat digunakan adalah algoritma reduce gradient. Menurut Shetty (1993) pada awalnya algoritma reduce gradient digunakan untuk melakukan optimalisasi pada masalah pemograman
nonlinier
dengan
kendala-kendala
linier.
Algoritma
ini
diperkenalkan oleh Wolfe pada tahun 1963, kemudian pada tahun 1969 algoritma ini dikembangkan oleh Badie dan Carpentier nonlinier dengan kendala-kendala nonlinier juga.
12
untuk menyelesaikan program
Unsur Hara Yang Penting Bagi Tanaman Menurut Sutedjo (1987) secara umum terdapat 16 unsur hara essensial yang dibutuhkan oleh tenaman yang dapat dibagi menjadi unsur hara mikro dan unsur hara makro. Tidak lengkapnya unsur hara makro dan mikro, dapat menjadi hambatan bagi pertumbuhan/perkembangan tanaman dan produktivitasnya. Kekurangan salah satu atau beberapa unsur hara makro dan mikro dapat dikoreksi atau diperbaiki dengan pemupukan tertentu pada tanaman. Unsur hara makro Carbon, Oksigen dan Hidrogen, merupakan bahan baku bagi jaringan tubuh tanaman. Berada dalam bentuk
(air),
( Asam Arang) dan
dalam udara. Nitrogen, merupakan unsur hara utama bagi pertumbuhan tanaman, yang pada umumnya sangat diperlukan untuk pembentukan atau pertumbuhan bagianbagian vegetatif tanaman, seperti daun, batang dan akar. Selain itu Nitrogen berfungsi dalam peningkatan kadar protein dalam tubuh tanaman dan meningkatkan perkembangan mikro-organisme di dalam tanah. Unsur Nitrogen yang terlalu banyak akan menghambatan pembungaan dan pembuahan pada tanaman. Fosfor, merupakan bagian dari protoplasma dan inti sel. Bentuk dari fosfor adalah phitin, nuklein dan fosfatide. Fosfor diambil oleh tanaman dalam bentuk
dan
. Secara umum, fungsi dari P (fosfat) dalam tanaman :
9 Mempercepat pertumbuhan akar semai 9 Mempercepat serta memperkuat pertumbuhan tanaman muda menjadi tanaman dewasa 9 Mempercepat pembungaan dan pemasakan buah, biji atau gabah 9 Dapat meningkatkan produksi biji-bijian Kalium, merupakan unsur hara esensial yang yang berfungsi dalam keseimbangan muatan listrik. Penyerapan K dilakukan secara aktif dalam bentuk ion K+ dan translokasinya berlawanan dengan gradient listrik dan konsentrasi kimia. Kalium banyak dijumpai dalam bagian tanaman yang muda dan sedang
13
aktif tumbuh seperti: tunas, daun muda, dan ujung akar. Fungsi dari Kalium dalam tanaman : 9 Pembentukan protein dan karbohidrat 9 Mengeraskan jerami dan bagian kayu tanaman 9 Meningkatkan kualitas biji/buah Kalsium, merupakan unsur hara yang diserap dalam bentuk Ca2+. Sebagian besar terdapat dalam daun dalam bentuk kalsium pektat yaitu dalam lamella pada dinding sel. Beberapa hal mengenai Kalsium: 9 Ca terdapat pada tanaman yang banyak mengandung protein 9 Ca berhubungan juga dengan pembentukan protein atau bagian yang aktif dari tanaman 9 Ca dapat menetralkan asam-asam organik yang dihasilkan pada metabolisme 9 Kekurangan Ca gejalanya pada pucuk tanaman 9 Ca penting bagi pertumbuhan akar 9 Dapat menetralkan tanah asam Magnesium, terserap dalam bentuk Mg2+, merupakan bagian dari Khlorofil. Kekurangan zat ini menimbulkan khlorosis, dengan gejala akan tampak pada permukaan daun bagian bawah. Disamping terdapat dalam klorofil, Mg juga bergabung dengan ATP dan menjadikan ATP berfungsi dalam berbagai reaksi, mengaktifkan beberapa enzim yang diperlukan dalam fotosintesis, respirasi dan pembentukan DNA serta RNA. Sulfur, merupakan bagian dari protein yang terdapat dalam bentuk: cystein, methionin serta thiamine. Sulfur diperlukan oleh tanaman muda untuk pertumbuhan pemula dan perkembangannya. Pada kenyataannnya Sulfur banyak terkandung dalam tanah, jadi sangat jarang tanah kekurangan Sulfur. Unsur hara mikro Unsur hara mikro merupakan unsur-unsur hara yang sama pentingnya dengan unsur hara makro bagi tanaman, walaupun dalam hal ini kebutuhannya hanya sedikit. Unsur hara mikro sering juga disebut unsur hara minor atau trace element. Beberapa unsur hara mikro adalah sebagai berikut:
14
Besi, zat besi penting bagi pembentukan hijau daun (khlorofil), pembentukan zat karbohidrat, lemak, protein dan enzim. Jadi jika terjadi kekurangan zat besi akan menghambat pertumbuhan khlorofil. Kebanyakan zat besi, dapat menyebabkan keracunan pada tanaman. Borium, diserap oleh tanaman dalam bentuk BO32- dan berperan dalam pembentukan/pembiakan sel terutama dalam titik tumbuh pucuk, juga dalam pertumbuhan tepung sari, bunga dan akar. Borium berhubungan erat dengan metabolisme K dan Ca. Unsur ini dapat memperbanyak cabang-cabang nodule untuk memberikan banyak bakteri dan mencegah bakteri parasit. Kekurangan unsur ini dapat berpengaruh pada kuncup-kuncup dan pucuk-pucuk yang tumbuh dan akibatnya dapat mematikan. Juga pertumbuhan dalam meristem akan terganggu, dapat menyebabkan terjadinya kelainan-kelainan dalam pembentukan berkas pembuluh. Pengangkutan makananpun akan terganggu pula. Selain itu pembentukan tepung sarinya akan jelek. Mangan, diserap tanaman dalam bentuk Mn2+. Mangan diperlukan oleh tanaman untuk pembentukan zat protein dan vitamin terutama vitamin C. Selain itu, Mn penting untuk dapat mempertahankan kondisi hijau daun pada daun yang tua. Fungsi Mn yaitu sebagai enzim feroksidase dan juga sebagai aktifator macam-macam enzim. Tembaga, sangat diperlukan dalam pembentukan macam-macam enzim seperti : Ascorbic Acid Oxydase, Lacosa dan Bitirid Coenzim A. Dehidrosenam. Umumnya tanah jarang sekali yang menderita kekurangan Cu, akan tetapi apabila kekurangan Cu maka akan berpengaruh pada daun menjadi belang, ujung daun memutih, keadaan demikian lazim disebut penyakit reklamasi.
15
