5
TINJAUAN PUSTAKA Gunung Merapi Gunung Merapi merupakan salah satu gunung api yang paling aktif di Indonesia. Merapi mempunyai ciri-ciri sebagai berikut (BPPTK). 1. Tipe : Strato-volcano 2. Petrologi : Magma andesit-basaltik 3. Dimensi : tinggi ±2978 m, diameter 28 km, luas 300-400 km2, volume 150 km3 4. Lokasi geografis : 7°32’ 5’‘ LS ; 110° 26’5’‘ BT 5. Posisi administratif : Propinsi Jawa Tengah & Daerah Istimewa Yogyakarta. Kabupaten : Sleman, Magelang, Klaten, Boyolali 6. Konteks geodinamik : Busur kepulauan, subduksi pertemuan lempeng Indo-australia dengan lempeng Asia 7. Dinamika erupsi : Pertumbuhan kubah lava diikuti guguran awanpanas. Guguran lava pijar dan jatuhan piroklastik 8. Bahaya utama : Pyroclastic Flow (aliran awanpanas), bahaya sekunder lahar 9. Interval erupsi : Beberapa tahun (dalam 100 tahun terakhir rata-rata 2-5 tahun) 10. Penduduk terancam di Kawasan Rawan Bencana III : ±40.000 jiwa
Gambar 1. Peta Lokasi Administratif Merapi
6
Sejarah letusan Gunung Merapi apabila dilihat berdasarkan tipe letusannya adalah pertumbuhan kubah lava yang gugur dan menghasilkan awan panas, dikenal dengan Tipe Merapi (Merapi Type). Peristiwa yang terjadi adalah kubah lava yang tumbuh di puncak dalam suatu waktu karena posisinya tidak stabil atau terdesak oleh magma dari dalam dan runtuh yang diikuti oleh guguran lava pijar. Dalam volume besar akan berubah menjadi awan panas guguran (rock avalance), atau penduduk sekitar Merapi mengenalnya dengan sebutan wedhus gembel, berupa campuran material berukuran debu hingga blok bersuhu tinggi (>700°C) dalam terjangan turbulensi meluncur dengan kecepatan tinggi (100 km/jam) ke dalam lembah. Puncak letusan umumnya berupa penghancuran kubah yang didahului dengan letusan eksplosif disertai awan panas guguran akibat hancurnya kubah. Pemantauan yang dilakukan oleh Balai Penyelidikan dan Pengembangan Teknologi Kegunungapian (BPPTK) adalah prediksi erupsi artinya bagaimana mengetahui kapan erupsi terjadi, berapa lama erupsi berlangsung, dimana pusat erupsi dan bagaimana karakteristik erupsi. Salah satu pemantauan yang dilakukan oleh BPPTK adalah Pemantauan Deformasi. Pemantauan Deformasi adalah pemantauan untuk mengetahui perubahan bentuk permukaan gunung api sebagai respon terhadap naiknya magma dibawah permukaan menuju kawah puncak (aktivitas magmatik) sebagai faktor internal maupun adanya longsoran tebing, akibat tekanan serta gaya gravitasi sebagai faktor eksternal . Retakan-retakan dengan berbagai ukuran dari beberapa sentimeter sampai beberapa meter dalam jumlah cukup banyak dapat terjadi dalam hitungan hari. Parameter yang diamati dalam pemantauan deformasi yaitu EDM (Electronics Distance Measurement). Pengukuran EDM bertujuan untuk mengetahui perubahan jarak lurus yang terjadi antara titik-titik ukur/reflektor di puncak Merapi terhadap titik referensi di beberapa pos pengamatan. Indikasi yang diperoleh adalah adanya pemendekan atau perpanjangan akibat adanya penggelembungan dan pengempisan tubuh Gunung Merapi. Metode pemantauan berdasarkan cara mendapatkan datanya bisa dibagi atas dua kategori yaitu :
7
Metode pemantauan secara kontinu yang memerlukan sistem pengiriman data melalui transmisi gelombang elektromagnetik. Selain itu, secara episodik data diambil melalui survei lapangan pada waktu yang berlainan langsung di lokasi pengamatan.
Gambar 2. Skema Pemantauan Gunung Merapi Sumber : BPPTK Yogyakarta (2010) Data Sirkular Data sirkular adalah data atau observasi yang diukur berdasarkan dua dimensi arah. Dimensi dua arah ini dapat digambarkan melalui pengukuran sudut atau posisi titik pada keliling lingkaran, dengan memilih arah nol sebagai titik awal dan arah rotasi dimana searah atau berlawanan arah jarum jam. Data sirkular terbagi menjadi dua kategori yang dibedakan berdasarkan pengukurannya, yaitu data sirkular yang diukur dalam arah (sudut/derajat) dan data sirkular yang diukur dalam waktu (jam/hari/bulan). Pengubahan data sirkular yang bersatuan waktu agar dapat direpresentasikan secara grafis, maka dapat dilakukan dengan mengkonversi data sirkular dengan satuan derajat arah dengan memperlakukan skala data sirkular tersebut memiliki sejumlah k satuan waktu dalam satu lingkaran penuh. Pengkonversian dapat dilakukan dengan rumus sebagai berikut :
dengan : α adalah sudut pengamatan x adalah waktu yang telah ditentukan k adalah jumlah interval satuan dalam satu siklus
8
Sebagai contoh apabila skala data sirkular yang diteliti adalah waktu dalam satu hari dalam satuan jam akan menghasilkan bahwa satu jam setara dengan 300 dalam satu lingkaran penuh. Statistika Deskriptif Sirkular Posisi titik terhadap pusat lingkaran diukur dengan menggunakan sifat sistem koordinat kartesius (X, Y) dengan titik pusat (0, 0). Beberapa titik pengamatan P dapat dinyatakan sebagai koordinat kartesius (X, Y) atau dalam koordinat polar (r,α), dimana r merupakan jarak titik pusat ke titik pengamatan dan α merupakan arah perpindahan (Rao & SenGupta 2001). Setiap pengamatan pada data sirkular dapat di representasikan sebagai titik dalam sebuah lingkaran. Oleh karena itu, dalam menganalisis data sirkular yang diperhatikan hanya berdasarkan arah. Titik tersebut dapat dinyatakan dalam koordinat polar dengan r = 1. Titik dalam koordinat polar dapat diubah dalam koordinat kartesius, begitupun sebaliknya, dengan x= cos α, y = sin α Arah rata-rata dari sampel data pada data sirkular diperoleh dengan menghitung resultan vektor dari vektor-vektor unit masing-masing sampel. Arah dari resultan vektor-vektor menyatakan arah rata-rata dari sampel data dan panjang rata-rata dari resultan tiap sampel menyatakan ukuran konsentrasi dari data terhadap arah rata-rata. Dalam Statistika Sirkular dikenal adanya nilai resultant vektor R yaitu panjang dari resultan berdasarkan semua pengamatan. Adapun rumus dari R adalah.
Menghasilkan
Dengan 0 ≤ R ≤ n dan
.
9
R menyatakan panjang dari vektor resultant, sedangkan
menyatakan
panjang rata-rata dari resultan vektor. Dimana α 1 , α 2 ,......,α n adalah satu set observasi sikular yang diukur berdasarkan sudut. Arah dari vektor resultan R yang menjelaskan arah rata-rata sirkular dilambangkan dengan
dimana,
, akan bernilai : 1. Arctan (S/C) jika C>0, S 0 2. π/2, jika C=0, S>0 3. arctan(S/C) + π jika C<0 4. arctan (S/C) + 2π jika C 0, S<0 5. tidak terdefinisi jika C=0 dan S=0 Jika semua titik sudut berada dalam arah yang sama, ini mengindikasikan pemusatan yang besar, nilai R dapat sebesar n. Sebaliknya jka data menyebar merata pada sekeliling lingkaran ini mengindikasikan tidak adanya pemusatan, R dapat mendekati nilai 0 (Rao & SenGupta 2001). Salah satu ukuran yang juga berguna dalam deskripsi statistik data sirkular adalah ukuran sebaran atau ragam.
Nilai ragam sirkular diukur berdasarkan
ukuran jarak sirkular antara sembarang dua titik data pada keliling lingkaran yang didefinisikan sebagai panjang busur terkecil dari dua panjang busur yang menghubukan titik-titik tersebut. Dengan pendekatan pengukuran “jarak” dalam lingkaran, maka nilai dari keragaman contoh adalah (Rao & SenGupta 2001). Dv = n – R Nilai tersebut adalah ukuran penyebaran contoh , dan pada Statistika Linear sama dengan s2. Mewakili observasi sebagai unit vektor { u i , i=1,..n}, memberikan D v ( u 1 , u 2 ,...u n). Nilai R yang mendekati 0 berarti ukuran penyebaranya besar, sedangkan jika R mendekati n berarti suatu set observasi memiliki ukuran penyebaran kecil atau lebih terkonsentrasi pada titik pusat. Selain ragam sirkular, konsentrasi dapat ditunjukkan pada data sirkular. Nilai konsentrasi menunjukkan seberapa besar data menuju suatu arah tertentu. Nilai konsentrasi dilambangkan dengan к yang ditentukan dengan formula sebagai berikut (Fisher 1993).
10
Persamaan (a) digunakan jika r < 0.53, persamaan (b) jika 0.53 sedangkan persamaan (c) digunakan jika nilai
0.85
0.85. Selain itu untuk mendapatkan
dapat dilakukan dengan melihat tabel konversi panjang vektor rata-rata (r)
kedalam parameter konsentrasi (
(Batschelet 1981).
Analisis ragam Analisis ragam adalah salah satu analisis yang digunakan untuk menilai kesamaan nilai tengah beberapa populasi (Aunuddin 2005). Sampel acak ukuran n diambil dari masing-masing dari k populasi. Ke k populasi yang berbeda ini diklasifikasikan menurut perlakuan atau grup yang berbeda (Walpole & Myers 2002). Secara umum, perlakuan dalam Analisis ragam dapat diartikan sebagai klasifikasi. Ke k populasi tersebut dianggap saling bebas dan berdistribusi normal dengan rataan µ 1 ,µ 2 ,…µ k dan ragam σ2 yang sama. Bentuk umum dari model linier dapat dituliskan sebagai berikut (Walpole & Myers 2002).
dengan : Y ij adalah pengamatan pada kelas ke-i dan ulangan ke-j. µ i adalah rataan umum kelas ke-i. ε ij adalah pengaruh acak pada kelas ke-i dan ulangan ke-j. Bentuk hipotesis yang diuji adalah sebagai berikut : (semua rataan kelas memberikan respon yang sama). H 1 : paling sedikit ada sepasang rataan kelas (i,j) dimana µ i ≠ µ j .
11
Tabel 1. Struktur tabel Analisis ragam Sumber Keragaman
Derajat Bebas (db)
Jumlah Kuadrat (JK)
Kuadrat Tengah (KT)
Kelas
t-1
JK Kelas
KT Kelas = JK Kelas/db
Galat
(n-1)-(t-1)
JKG
KTG = JKG/db
Total
n-1
JKT
F hitung
KT Kelas/KTG
Rumus untuk menghitung jumlah kuadrat dengan ulangan tidak sama dapat dirumuskan sebagai berikut : FK = faktor koreksi
JKT = Jumlah Kuadrat Total
JKP = Jumlah Kuadrat Kelas
JKG = Jumlah Kuadrat Galat = JKT – JK Kelas Pengujian hipotesis : Statistik uji F hitung = KT Kelas/KTG mengikuti sebaran F dengan derajat bebas pembilang sebesar t-1 dan derajat bebas penyebut sebesar (n-1)-(t-1). Dengan demikian, jika nilai F hitung > F(α, db1, db2) maka hipotesis nol ditolak dan berlaku sebaliknya. Penolakan hipotesis nol berimplikasi bahwa minimal paling sedikit dua rataan kelas yang diberikan tidak memberikan respon yang sama. Regresi Sirkular Linear Regresi Sirkular Linear adalah regresi sirkular dimana peubah respon merupakan peubah dengan tipe data linear bergantung pada peubah penjelas dengan tipe data sirkular, sehingga diperoleh data (α i , y i ). Menurut Fisher (1993), Model Regresi Sirkular Linear adalah sebagai berikut.
12
dengan : A0 = rataan umum, A 1 = Amplitudo dan α 0 = sudut acrophase, yaitu sudut pada saat kurva mencapai titik puncak. Persamaan di atas dapat diuraikan sebagai berikut.
Misalkan
dan
Sehingga, di dapat suatu hubungan
maka dapat ditulis :
dan
Bentuk model regresi ini kembali menjadi model regresi linier biasa dengan dua peubah independen yaitu cos α dan sin α. Bentuk model regresi sirkular linier dapat ditulis,
Dengan : ε adalah komponen random galat. Galat dalam regresi sirkular linier ini terdapat asumsi seperti pada regresi linier biasa, yaitu : 1. Var (ε) = σ2 artinya ragam dari distribusi probabilitas ε konstan untuk setiap peubah independen. 2. Galat berdistribusi normal. 3. Galat yang berasosiasi dengan setiap pasangan dua observasi yang berbeda, saling bebas. Ini berarti galat yang berasosiasi dengan satu nilai x tidak mempunyai pengaruh terhadap galat yang berasosiasi dengan nilai x yang lain. Jika peubah dalam regresi bersifat kualitatif maka peubah tersebut harus dijadikan kuantitatif agar regresi dapat digunakan. Salah satu metode yang bisa digunakan adalah dengan menggunakan peubah boneka (Warti 2010). Secara umum banyaknya peubah boneka yang dibutuhkan adalah banyaknya kategori pada peubah kualitatif dikurangi 1. Cara pemberian kode boneka umumnya menggunakan kategori yang dinyatakan dengan angka 1 dan 0 (Draper & Smith 1981).
13
Bentuk umum model regresi dengan peubah boneka adalah : (4) dengan : adalah peubah respon adalah peubah penjelas adalah peubah boneka adalah koefisien dari peubah regresi adalah galat Jika terdapat beberapa peubah penjelas dan beberapa peubah boneka, maka persamaan (4) menjadi :
Jika terdapat interaksi antara peubah kualitatif dan peubah kuantitatif maka persamaan (4) menjadi :
Pengujian secara simultan pada model dilakukan dengan uji F dan pengujian secara parsial dilakukan dengan uji-t dengan taraf nyata 10%. Penduga Parameter Regresi Sirkular Linier Misalkan terdapat n pengamatan, maka akan terdapat x1 , x 2 , …, x n nilai pengamatan peubah dependen. Untuk masing-masing nilai pengamatan peubah dependen x i terdapat nilai pengamatan α ij dan z ik , dimana α ij merupakan nilai pengamatan ke-i dari peubah independen sirkular α j , sedangkan z ik merupakan nilai pengamatan ke-i dari peubah independen linier z k . Model regresi sirkular linier yang menghubungkan peubah dependen linier X dengan sekumpulan r peubah independen sirkular α dan sekumpulan p peubah independen linier z dapat ditulis (Mardia & Jupp 2000).
(1) Solusi dari sistem persamaan di atas adalah taksiran kuadrat terkecil, yaitu . Persamaan (1) bila ditulis dalam bentuk matriks adalah X = Zβ + ε, dengan ;
14
;
dengan : X = (n x 1) vektor pengamatan Z = matriks berukuran (n x [1+2r+p]) β = vektor koefisien regresi berukuran ([1+2r+p]x 1) ε = vektor random galat berukuran (n x 1) Selanjutnya, akan dicari vektor penduga kuadrat terkecil
yang
meminimumkan fungsi kuadrat galat L.
adalah matriks berukuran 1 x 1 dan kebalikannya adalah Sehingga fungsi Vektor penduga kuadrat terkecil
(2) harus memenuhi :
15
Akan disederhanakan menjadi :
(3) Jumlah Kuadrat Terkecil akan diperoleh dengan mensubstitusi persamaan (3) ke persamaan (2) sehingga diperoleh :
Karena
maka dapat ditulis :
Uji Kesesuaian Model Regresi Sirkular Linier Pengujian terhadap model dilakukan untuk mengetahui apakah model yang terbentuk cukup baik, artinya terdapat paling tidak salah satu dari peubah independen yang memberi kontribusi yang cukup untuk memprediksi peubah dependen (Hardi 2005). Hipotesis pengujian model adalah :
Penolakan H 0 berarti minimal terdapat peubah independen sirkular atau peubah independen linier yang memberikan kontribusi yang cukup untuk memprediksi peubah dependen. Struktur tabel sidik ragam untuk pengujian model regresi sirkular linier pada Tabel 2. Tabel 2. Uji kegunaan model regresi sirkular linier Sumber
Jumlah Kuadrat
Keragaman
Derajat
Kuadrat Tengah
Bebas
Regresi
JKR
k
KTR
Galat
JKG
n-k-1
KTG
Total
JKT
n-1
dengan :
F hitung
16
k = 2r + p Aturan Keputusan : H 0 ditolak pada taraf nyata α jika F hitung > F
(α;k;n-k-1) .
Pengujian Koefisien Regresi Sirkular Linier Pengujian untuk masing-masing
koefisien regresi, pada model regresi
sirkular linier secara parsial dilakukan untuk mengetahui peubah-peubah independen yang dapat memberikan kontribusi yang cukup untuk memprediksi peubah dependen. hipotesis untuk menguji koefisien regresi pada peubah independen sirkular dilakukan pada komponen cos α dan sin α (Hardi 2005). Pengujiannya adalah sebagai berikut : •
Untuk komponen cos α H 0 : C j1 = 0 H 1 : C j1 ≠ 0
•
Untuk komponen sin α H 0 : C j2 = 0 H 1 : C j2 ≠ 0
Statistik uji untuk pengujian pada masing-masing komponen adalah sebagai berikut : •
Untuk komponen cos α
•
Untuk komponen sin α
dengan : j = 1, 2,…, r
17
Aturan keputusan : H 0 ditolak pada taraf nyata α jika
. Penolakan H 0 pada
minimal salah satu komponen artinya peubah independen sirkular α j memberikan kontribusi yang cukup untuk memprediksi peubah dependen dalam model. Hipotesis untuk menguji koefisien regresi pada peubah independen linier adalah sebagai berikut (Montgomery et al 2008). H0 : Bj = 0 H1 : Bj ≠ 0 Penolakan pada H 0 artinya peubah independen linier z j memberikan kontribusi yang cukup untuk memprediksi peubah dependen dalam model. Statistik uji untuk pengujian ini adalah sebagai berikut.
Aturan keputusan : H 0 ditolak pada taraf nyata α jika
.
Keabsahan sebuah model regresi sirkular linier dalam memprediksi dan mengestimasi tergantung dari komponen galatnya. Komponen galat tersebut harus memenuhi asumsi, antara lain : 1. Asumsi kenormalan galat 2. Asumsi kesamaan ragam galat 3. Asumsi galat tidak berkorelasi Uji Kebaikan Model Regresi adalah suatu alat pengujian yang digunakan untuk melakukan suatu pemodelan baik untuk pendugaan maupun peramalan. Dalam beberapa kasus regresi, terkadang peneliti dapat mengeluarkan peubah dari model bila keadaan menentukan demikian, disamping berusaha mencari persamaan prediksi/pendugaan yang dapat diterima tetapi juga mencari regresi terbaik yang mengandung peubah yang berguna untuk tujuan prediksi. Salah satu patokan yang dapat digunakan untuk melihat apakah suatu model regresi sudah cukup baik atau tidak digunakanlah suatu koefisien determinasi (R2) yaitu
18
Apabila peubah yang diambil lebih dari 1 maka yang digunakan adalah R2 adjusted yaitu
Besaran ini hanya menunjukkan proporsi variasi total dalam respon Y yang diterangkan oleh model yang dicocokkan. Dalam hal ini, hasil yang diperoleh sering ditafsirkan sebagai hasil persentase variasi yang diterangkan oleh model yang dipostulasikan (Walpole & Myers 2002). Geostatistik Geostatistik merupakan satu rangkaian prosedur statistika yang digunakan untuk menganalisis dan memodelkan jenis hubungan spasial yang terjadi di alam (Khoerudin 2010). Menurut Banerjee (2004) metode statistika dapat digunakan, jika data yang digunakan memenuhi asumsi stasioner mean (µ) dan ragam (σ2) yang berarti tidak berubah secara berarti antar lokasi. Jika asumsi tersebut tidak terpenuhi maka metode geostatistika akan menghasilkan nilai dugaan yang kurang akurat. Dalam geostatistika terdapat dua hal penting yaitu semivariogram untuk memodelkan hubungan spasial dan kriging yang menghasilkan nilai dugaan pada lokasi-lokasi yang tidak tersedia datanya. Interpolasi spasial adalah suatu metode atau fungsi matematis untuk menduga nilai pada lokasi-lokasi yang datanya tidak tersedia. Metode ini mengasumsikan bahwa atribut data bersifat kontinu di dalam ruang dan atribut ini saling berhubungan secara spasial (Webster & Oliver 2007). Semivariogram Ukuran keragaman spasial antar titik contoh dapat ditunjukkan oleh semivarian yang besarnya bergantung pada jarak antar titik (Khoerudin 2010). Jarak antar titik contoh yang kecil akan menghasilkan semivarian yang kecil dan semakin besar jarak antar titik contoh akan menghasilkan semivarian yang semakin besar. Konsep jarak yang digunakan adalah jarak euclide. Plot semivarian sebagai fungsi jarak disebut variogram.
19
Semivariogram berfungsi untuk menggambarkan dan memodelkan korelasi spasial antar data. Semivariogram didefinisikan sebagai berikut (Webster & Oliver 2007).
Dengan
adalah nilai semivariogram untuk setiap jarak h, V(x) adalah nilai
pada lokasi x dan V(x+h) adalah nilai pada lokasi yang berjarak sejauh h dari x. Persamaan di atas disebut dengan semivariogram eksperimental. Untuk mendapatkan model semivariogram, plot yang dihasilkan didekatkan dengan model semivariogram teoritis Sebelum menentukan model semivariogram, perlu dilakukan pendugaan terhadap parameter-parameter semivariogram. Parameterparameter tersebut di duga berdasarkan plot semivariogram yang dihasilkan. Secara umum, parameter yang diperlukan untuk mendeskripsikan model semivariogram yaitu (Golden Software Inc 2002). 1. Nugget Effect (C 0 ) Nugget effect terdiri dari dua komponen yaitu ragam galat dan ragam mikro. Ragam galat adalah ragam yang muncul akibat dari pengulangan data. Sedangkan ragam mikro muncul akibat pemisahan jarak yang lebih kecil dari contoh tetangga terdekat yang sejenis. Jika suatu semivariogram tidak berasal dari titik 0 (nol) berarti semivariogram tersebut mengandung nugget effect. 2. Sill (C) Merupakan nilai pada saat semivariogram mencapai titik maksimum kemudian mendatar (plateu). Sill sama dengan nugget effect + skala. Setelah semivariogram mencapai sill, tidak ada lagi korelasi antar sampel. 3. Range (a) Jarak pada saat bertemu sill disebut range. Semivariogram linear tidak mempunyai sill maupun range, tetapi mempunyai slope. Semivariogram teoritis memiliki beberapa model (Creesie 1993 & Banerjee et al 2004) yaitu 1. Model Linear Umum
20
2. Model Spherical
3.
Model Eksponensial
4. Model Gaussian
Kriging Metode kriging merupakan interpolasi suatu nilai peubah pada suatu titik (lokasi) tertentu yang dilakukan dengan mengamati data yang sejenis di lokasi lainnya. Metode ini menghasilkan dugaan yang bersifat tak bias linear terbaik (Best Linear Unbiased Estimator). Terdapat beberapa jenis metode Kriging, salah satunya (Webster & Oliver 2007) yaitu Ordinary Kriging. Ordinary Kriging yaitu Metode Kriging yang digunakan jika data memenuhi asumsi stasioner intrinsik dan mean dari populasi diasumsikan konstan akan tetapi nilainya tidak diketahui. Ketepatan dugaan kriging sangat bergantung pada model semivariogram yang dipilih yang digunakan untuk menentukan bobot kriging (Cressie 1993). Pertimbangan terpenting dalam kriging adalah metode ini memberikan bobot yang lebih besar pada titik contoh dengan jarak yang lebih dekat dibandingkan dengan titik contoh dengan jarak lebih jauh (Khoerudin 2010). Penjumlahan dari keseluruhan bobot sama dengan satu. Pendugaan data yang tidak diketahui menggunakan persamaan berikut (Cressie 1993 & Wackernagel 2003).
dengan : : nilai dugaan pengamatan pada lokasi ke x0 : nilai pengamatan pada lokasi ke xi : pembobot pada lokasi ke x i
21
Pada titik yang akan diduga nilainya, model merupakan fungsi acak stasioner yang terdiri dari beberapa peubah acak yaitu V(x1 ), V(x2 ), ..., V(xn ), ditambah dengan satu nilai peubah V(x 0 ) yang diinterpolasi nilainya. Masingmasing peubah acak mempunyai peluang yang sama pada semua lokasi dengan nilai tengah E(Z).
Sisaan yang diperoleh sebesar R(
,
R( R( Telah diasumsikan sebelumnya bahwa fungsi acak stasioner dan nilai harapan sisaannya nol sehingga dapat dituliskan sebagai berikut. R(
Agar nilai dugaan yang dihasilkan tidak bias, maka jumlah pembobot masing-masing nilai peubah pada lokasi lainnya adalah sama dengan satu (Isaaks & Srivastava 1989). Semua prosedur pendugaan dalam kasus ini menggunakan kondisi ketidakbiasan. (Isaaks & Srivastava 1989) menerangkan bahwa ragam duga adalah sebagai berikut.
dimana dan
merupakan semivarian antara data pada titik atau lokasi pengamatan
, sedangkan
titik ke-j.
adalah semivarian antara data pada titik ke-i dan data pada
22
Metode interpolasi ordinary kriging adalah metode pendugaan yang menghasilkan ragam minimum dengan menggunakan parameter lagrange (Isaaks & Srivastava 1989).
Dengan menghitung turunan parsial persamaan G terhadap μ dan w i sebagai berikut: dan Maka dalam notasi matriks akan diperoleh:
dengan : C : matriks kovarian antar pasangan lokasi/titik ke-i dan ke-j w : vektor pembobot-i D : vektor kovarian antara lokasi/titik yang diduga dengan lokasi pengamatan yang telah ada Selanjutnya, besarnya bobot masing-masing nilai peubah V(x 1 ), V(x2 ), ..., V(x n) diperoleh sebesar:
Untuk mengetahui apakah metode Ordinary Kriging dapat digunakan untuk menduga data hilang, data harus memenuhi asumsi stasioner intrinsik. Pemeriksaan kestasioneran data secara formal dilakukan dengan menggunakan Uji Dickey Fuller. Hipotesis yang diuji adalah: H 0 : γ = 0 (data tidak stasioner) H 1 : γ < 0 (data stasioner) Jika nilai p < α, atau t hitung < nilai kritisnya maka keputusan yang diambil adalah menolak H 0 yang berarti data bersifat stasioner.
23
Pendugaan dengan Metode Jackknife Diberikan suatu contoh acak sembarang
. Dari contoh
tersebut dilakukan resampel (penarikan ulang contoh) sebanyak n kali dimana tiap resampel terdiri dari n-1 pengamatan (terhapus 1 pengamatan secara berturutturut). Misalkan V (i) adalah himpunan data resampel ke-i,
Untuk i=1,2,…,n maka X (i) disebut sebagai contoh Jackknife. Nilai galat (bias) dari suatu data didefinisikan sebagai :
dengan : adalah galat data ke-i adalah dugaan ke-i adalah data ke-i Untuk menentukan suatu teknik pendugaan akurat atau tidak, dapat diamati dari nilai-nilai galat yang dihasilkan oleh pendugaan tersebut. Jika nilainilai galat tersebut masih terletak dalam selang toleransi tertentu, maka dugaan yang dihasilkan cukup dapat diterima (Hardiansyah 2001). Inferensi Koefisien Garis Regresi Misalkan v adalah vektor yang berukuran k x 1,
adalah vektor nilai
dugaan berukuran k x 1, a dan b adalah parameter-parameter model linier yang akan diuji nilainya. Sehingga dapat dibangun suatu model regresi : (Wu 1986) Dari model tersebut dapat dilakukan hipotesis terhadap parameter a dan b untuk menentukan keputusan yang terbaik. Pada suatu garis regresi
, a dan b hanya merupakan nilai
dugaan bagi parameter yang sesungguhnya α dan β yang didasarkan pada n pengamatan yang diperoleh. Hipotesis yang digunakan pada pengujian parsial adalah sebagai berikut :
24
•
Pengujian parsial α : Hipotesis : H0 : α = 0 H1 : α ≠ 0 Aturan keputusan yang diambil adalah apabila nilai p < taraf nyata 5 % atau nilai t hitung > t tabel, maka kesimpulan yang diambil adalah tolak H 0 .
•
Pengujian parsial β : Hipotesis : H 0 : β = 0 (tidak ada hubungan linier antara peubah independen dan peubah dependen). H 1 : β ≠ 0 (ada hubungan linier antara peubah independen dan peubah dependen). Aturan keputusan yang diambil adalah apabila nilai p < taraf nyata 5 % atau nilai t hitung > t tabel, maka kesimpulan yang diambil adalah tolak H 0 . Nilai-nilai dugaan lain bagi α dan β yang dapat diperoleh melalui
pengambilan contoh berukuran n beberapa kali yang dapat dipandang sebagai nilai-nilai peubah acak A dan B. Karena nilai-nilai v bersifat tetap, maka nilai A dan B bergantung pada keragaman nilai-nilai
. Sehingga dapat dirumuskan
sebagai berikut.
Pengujian yang dilakukan untuk menguji hipotesis nol (H 0 ) bahwa α = α 0 lawan H 1 yang dikehendaki, maka dapat menggunakan sebaran t dengan derajat bebas n-2 untuk menentukan wilayah kritiknya dan kemudian mendasarkan keputusan pada nilai sebagai berikut (Walpole & Myers 2002).
25
Sedangkan pengujian untuk menguji hipotesis nol (H 0 ) bahwa β = β 0 lawan H 1 yang dikehendaki, maka keputusannya didasarkan pada nilai sebagai berikut (Walpole & Myers 2002).
Kemudian dengan menggunakan taraf nyata (α) tertentu dan menggunakan wilayah kritik dari sebaran t untuk memperoleh nilai
, maka keputusan
terhadap hipotesis dapat diambil melalui selang kepercayaan :
Jika t berada dalam selang tersebut maka tidak cukup alasan untuk menolak H 0 dan tolak H 0 jika t berada diluar selang.
