Tim Prosiding
Editor Purnami Widyaningsih, Respatiwulan, Sri Kuntari, Nughthoh Arfawi Kurdhi, dan Bowo Winarno Tim Teknis Ika Susanti, Lilik Prasetyo Pratama, Hamdani Citra Pradana, Caesar Adhek Karisma, Aditya Wendha Wijaya, Ibnu Paxibrata,Yeva Fadhila Ashari, dan Sufia Nurjanah
Layout & Cover Aprilia Ayu Widiarti dan Ika Susanti
ii
Tim Reviewer Drs. H. Tri Atmojo Kusmayadi, M.Sc., Ph.D. Dr. Sri Subanti, M.Si. Dr. Dewi Retno Sari Saputro, MKom. Drs. Muslich, M.Si. Dra. Mania Roswitha, M.Si. Dra. Purnami Widyaningsih, M.App.Sc. Drs. Pangadi, M.Si. Drs. Sutrima, M.Si. Drs. Sugiyanto, M.Si. Dra Etik Zukhronah, M.Si. Dra Respatiwulan, M.Si. Dra. Sri Sulistijowati H., M.Si. Irwan Susanto, DEA Winita Wulandari, M.Si. Sri Kuntari, M.Si. Titin Sri Martini, M.Kom. Ira Kurniawati, M.Pd.
iii
Steering Committee
Prof. Ir. Ari Handono Ramelan, M.Sc., (Hons) Ph.D. Dr. Hartono Dr. Suhartono, M.Sc. Dr. Mardiyana, M.Si. Dr. Dewi Retno Sari Saputro, MKom. Dr. Sutanto, DEA
iv
Sambutan Ketua Panitia Assalamu’alaikum Wr.Wb. Seminar Nasional Matematika FMIPA UNS telah dilaksanakan pada tanggal 6 Oktober 2012. Seminar tersebut ditindaklanjuti dengan menerbitkan prosiding sebagai bukti otentik telah berlangsungnya komunikasi dan sharing gagasan ilmiah dari berbagai kalangan yang sifatnya nasional. Prosiding ini diharapkan dapat membantu dan bermanfaat bagi semua insan pendidikan khususnya yang berkiprah dalam pengembangan profesi. Tema ”Matematika dan Pendidikan Matematika Berbasis Riset” sangat tepat dipilih untuk memberikan sumbangan dalam peningkatan kompetensi pada pengembangan profesi sebagai peneliti, dosen, dan guru serta profesi lainnya. Ketua Panitia menyampaikan penghargaan kepada seluruh pembicara utama, pemakalah, peserta, dan panitia Seminar Nasional Matematika 2012 yang telah mendukung penyelenggaraan kegiatan ini. Kegiatan seminar ini sangat penting diadakan selain untuk pengembangan pribadi dan institusi sekaligus juga untuk menjalin komunikasi ilmiah antar peneliti, dosen, guru, dan praktisi pendidikan dalam rangka memperbaiki pendidikan khususnya serta kemajuan bangsa pada umumnya. Bagi Jurusan Matematika kegiatan ini merupakan karya nyata untuk meningkatkan kualitas institusi, penelitian, dan pembelajaran serta mewujudkan jaring-jaring komunikasi ilmiah yang menunjang perkembangan Jurusan Matematika khususnya serta FMIPA dan UNS pada umumnya. Secara khusus Ketua Panitia menyampaikan terima kasih kepada Prof Dr. Rer. nat. Widodo, MS selaku Kepala Pusat Pengembangan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, Dr. Ir. Sasmito Hadiwibowo, M.Sc. selaku Direktur Statistik Harga BPS Pusat, dan Dr. Ir. RM. Agus Sediadi Tamtanus, M.Si. selaku asisten deputi data dan informasi iptek yang telah berkenan menularkan ilmunya dengan menjadi pembicara utama pada Seminar Nasional ini. Ucapan terima kasih juga saya sampaikan kepada semua pihak yang telah mendukung demi suksesnya seminar ini. Akhirnya saya berharap semoga dengan terbitnya prosiding ini dapat bermanfaat dalam rangka membangun insan profesional berkarakter kuat dan cerdas. Amin. Sebagai akhir kata Wabillahi taufiq wal hidayah. Wassalamu’alaikum Wr. Wb.
v
DAFTAR ISI Halaman Halaman Judul …………………………………………………..……….. i Tim Prosiding …………………………………………………..…………. ii Tim Reviewer …………………………………………………..………… iii Steering Committee …………………………………………………..…… iv Sambutan Ketua Panitia …………………………………………………... v Daftar Isi …………………………………………………..………………. vi MAKALAH UTAMA Memilih dan Melakukan Penelitian Matematika/Statistika yang Melibatkan Mahasiswa Widodo …………………………………………………..………………….
1
BIDANG ANALISIS dan ALJABAR Algoritma Eigenmode Tergeneralisasi untuk MatriksTereduksi Reguler di 1 dalam Aljabar Max-Plus Agus Zuliyanto, Siswanto, dan Muslich …………………………………….
7
2 Aljabar Max-Plus yang Simetri Risdayanti, Sri Mardiyati……………………………………………………
15
3 Fungsi yang Terdefensial Quasi di dalam Ruang Bernorma Quasi Dwi Nur Yunianti …………………………………………………..………. Generalisasi Barisan Selisih dari Klas p-Mean Value Bounded Variation 4 Sequences Moch. Aruman Imron, Ch. Rini Indrati, dan Widodo ……………………... 5
Kekontinuan Operator Superposisi pada Ruang Holder Yundari ……………………………………………………………………..
6 Konstruksi 2-Norma dengan Dual Kothe-nya Sadjidon dan Sunarsini …………………………………………………… 7 Membangun Suatu Relasi Fuzzy pada Semigrup Bentuk Bilinear Karyati, Sri Wahyuni, Budi Surodjo, Setiadji ………………………… 8 Nilai Eigen Matriks Atas Aljabar Maks Plus Tersimetris Gregoria Ariyanti, Ari Suparwanto, dan Budi Surodjo ………………….....
23
29 36 43 48 53
9 Pertidaksamaan Hadamard Suzyanna………….………….………….………….………….……………. 61 10
Sekitar Submodul Prima dan Submodul Maksimal atas Gelanggang Komutatif Sri Efrinita Irwan, Hanni Garminia, dan Pudji Astuti ………….………….. 69
vi
BIDANG KOMPUTER dan MATEMATIKA TERAPAN Algoritma Fuzzy Backpropagation pada Pengklasifikasian Menggunakan Fuzzy Mean Square Error Apriliana Yuliawati, Titin Sri Martini, Sri Subanti ………………………..
73
Analisis Model Epidemi SEIRS dengan Waktu Tundaan dan Laju Insidensi Jenuh Rubono Setiawan …………………………………………………………...
79
3
Aplikasi Persamaan Panas pada Sterilisasi Minuman Kemasan Eminugroho R., Fitriana Yuli S., Dwi Lestari ………………………....
84
4
Digraf Eksentrik dari Graf Flower Tri Atmojo Kusmayadi, Nugroho Ari Sudibyo, Sri Kuntari, Rindang Putuardi …………………………………………………………………….
98
Interpretasi Numerik Model Endemik SIR dengan Imigrasi, Vaksinasi dan Sanitasi Anita Kesuma Arum, Sutanto, dan Purnami Widyaningsih ………………..
105
Interpretasi Numerik Model Susceptible Infected Recovered (SIR) dengan Vaksinasi dan Sanitasi Siti Mushonifah, Purnami Widyaningsih, dan Tri Atmojo Kusmayadi …….
110
1
2
5
6 7
Kekuatan Tak Reguler Sisi Total pada Graf Web dan 2-Copynya Diari Indriati, Widodo, Indah E. Wijayanti, dan Kiki A. Sugeng ………….. 114
8
Metode Utility Additive untuk Mengevaluasi Peringkat Subjektif dalam Pengambilan Keputusan Multikriteria Yuli Astuti, Tri Atmojo Kusmayadi, dan Titin Sri Martini …………………. 122
9
Pemberian Nomor Vertex pada Jaringan Graf n-Barbell Bangkit Joko Widodo dan Tri Atmojo Kusmayadi …………………………
129
10
Pendekatan Probabilitas pada Masalah Program Linear Multi-Objektif dengan Parameter Random Fuzzy Indarsih, Widodo, dan Ch. Rini Indrati ……………………………………
133
Penerapan Algoritma C4.5 pada Program Klasifikasi Mahasiswa Dropout Anik Andriani ………………………………………………………………
139
Pengaruh Indeks Global Terhadap Fluktuasi Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG) Menggunakan Hukum Pendinginan Newton Arief Wahyu Wicaksono, Purnami Widyaningsih, dan Sutanto …………...
148
Simulasi Model Susceptible Infected Recovered (SIR) dengan Imigrasi dan Sanitasi Beserta Intepretasinya Evy Dwi Astuti dan Sri Kuntari ……………………………………………
155
11
12
13
vii
14
15
16
Simulasi Seleksi Mahasiswa Baru Jalur Undangan dengan Menggunakan Metode Simple Additive Weighting Rubiyatun, Bowo Winarno, dan Sri Sulistijowati …………………………
162
Skema Central Upwind Semidiskrit untuk Persamaan Hiperbolik DimensiSatu Noor Hidayat, Suhariningsih, Agus Suryanto …………………………….
168
Titik Kesetimbangan Model Endemik Susceptible Infected Susceptible (SIS) Beserta Kestabilannya Adi Tri Ratmanto, Purnami Widyaningsih, dan Respatiwulan ……………
176
BIDANG STATISTIK 1
Analisa Perhitungan Cadangan Premi Modifikasi Fia Fridayanti Adam, Kahfi Irawan ………………………………………..
2
Analisis Faktor-Faktor yang Mempengaruhi Berat Badan Bayi Saat Lahir di Kota Surakarta Menggunakan Metode Pohon Regresi Nina Haryati, Winita Sulandari, Muslich ………………………………….. 189
3
Analisis Regresi Cox Proportional Hazards pada Ketahanan Hidup Pasien Diabetus Mellitus Ninuk Rahayu, Adi Setiawan, Tundjung Mahatma ………………………… 196
4
Analisis Ruang Runtun Waktu pada Data Kemiskinan Kartini, Irwan Susanto dan Pangadi ……………………………………….
207
5
Analisis Tingkat Kemiskinan Menggunakan Pendekatan Stochastic Dominance Anggita Linggar Pratami, Irwan Susanto, dan Tri Atmojo Kusmayadi ……
215
6
Estimasi Parameter Distribusi COM-Poisson dengan Metode Bayesian Tia Arum Sari, Sri Sulistijowati H., Purnami Widyaningsih ……………….
222
7
Estimasi Parameter Model DTMC SIR Menggunakan Metode Maksimum Likelihood Rizki Wahyu Pramono, Respatiwulan, dan Sri Kuntari ……………………
229
8
Estimasi Parameter Model INAR(1) Menggunakan Metode Bayes Nurmalitasari, Winita Sulandari, dan Supriyadi Wibowo ………………….
181
238
9
Estimasi Parameter Model Regresi Com-Poisson untuk Data Tersensor Kanan Menggunakan Metode Maksimum Likelihood Dian Anggraeni, Sri Sulistijowati H, dan Nughthoh Arfawi Kurdhi ………. 245
10
Estimasi Parameter Model Seemingly Unrelated Regression (SUR) dengan Residu Berpola Autoregressive Orde Satu (AR(1)) dengan Metode Park Khamsatul Faizati, Sri Sulistijowati H., Tri Atmojo Kusmayadi …………... 251 viii
11
12
13
14
15
Estimator Smoothing Spline dalam Model Regresi Nonparametrik Multivariabel Rita Diana, I Nyoman Budiantara, Purhadi dan Satwiko Darmesto ………
258
Forecasting Index of Jakarta Stock Exchange Using Radial Basis Function Network-Self Organizing Map Suryanto Wibowo, Winita Sulandari, and Mania Roswitha ………………..
265
Implikasi Uji Peringkat Baru Terhadap Uji Cramer-Von Mises, Uji Kolmogorov-Smirnov dan Uji Wilcoxon Sugiyanto dan Etik Zukhronah …………………………………………….. Kriteria Penduga Tak Bias Linear Terbaik (Best Linear Unbiased Estimator) pada Metode Ordinary Kriging Dewi Retno Sari Saputro …………………………………………………... Model Nilai Tukar Dolar Kanada terhadap Rupiah menggunakan Markov Switching GARCH Yunita Ekasari, Sugiyanto, dan Pangadi …………………………………...
271 278
283
16
Model Nilai Tukar Dolar Singapura Terhadap Rupiah Menggunakan Markov Switching ARCH Intan Wijayakusuma, Sugiyanto dan Santosa Budiwiyono ………………… 289
17
Optimalisasi Portofolio Saham pada Indeks LQ-45 dengan Pendekatan Bayes melalui Model Black-Litterman Fauzia Widyandari, Sri Subanti, dan Sutrima ……………………………... 296
18
Peluang Kebangkrutan Perusahaan Asuransi dimana Waktu Antar Kedatangan Klaim Menyebar Eksponensial Ali Shodiqin, Achmad Buchori, Najmah Istikaanah ………………………..
302
Pemilihan Portofolio Optimal dengan Menggunakan Bayesian Information Criterion (BIC) Eko Utoro, Sri Subanti dan Santoso Budi Wiyono …………………………
310
Pemodelan Nilai Tukar Dollar Terhadap Rupiah Menggunakan Neural Network Ensembles (NNE) Nariswari Setya Dewi, Winita Sulandari dan Supriyadi Wibowo ………….
317
19
20
21
Pendekatan Probabilistik pada Filogeni Tigor Nauli ………….………….………….………….……………………. 323
22
Penerapan Circular Statistics untuk Pengujian Sampel Tunggal Sebaran Von Mises Menggunakan Simulasi Data Pepi Novianti ……………………………………………………………….
332
Penerapan K-Mean Cluster dalam Penentuan Center RBFN pada Pemodelan Indeks Harga Saham Gabungan Niken Retnowati, Winita Sulandari, dan Sutanto …………………………..
338
23
ix
24
25
Pengelompokan Tingkat Partisipasi Pendidikan di Kabupaten Boyolali dengan Fuzzy Subtractive Clustering Yenny Yuliantini, Etik Zukhronah, Siswanto ……………………………….
344
Penggunaan Model Black-Scholes untuk Menentukan Harga Opsi Beli Tipe Eropa Neva Satyahadewi dan Herman ……………………………………………
351
26
Pengukuran Value at Risk dengan Metode Variance Covariance Ibnuhardi Faizaini Ihsan, Respatiwulan, Pangadi ………………………… 361
27
Peramalan Harga Saham Sharp dengan Menggunakan Model ARIMAGARCH dan Model Generalisasi Proses Wiener Retno Budiarti …………………………………..………………………….. 367
28
Persamaan Simultan untuk Kebijakan Finansial dengan Metode Three Stage Least Square Titik Purwanti, Sri Subanti, Supriyadi Wibowo ……………………………. 376
29
Regresi Robust dengan Generalized S-Estimation (Estimasi-GS) pada Penjualan Tenaga Listrik di Jawa Tengah Tahun 2010 Yurista Wulansari, Yuliana Susanti, dan Mania Roswitha ………………… 382
30
Regresi Semiparametrik untuk Data Longitudinal dengan Pendekatan Spline Truncated Idhia Sriliana …………………………………..…………………………...
389
Simulasi Peramalan Data Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG) dengan Fuzzy Time Series Using Percentage Change Endah Puspitasari, Lilik Linawati, Hanna Arini Parhusip ………………...
394
Uji Koefisien Korelasi Spearman dan Kendall Menggunakan Metode Bootstrap (Studi Kasus: Beberapa Kurs Mata Uang Asing Terhadap Rupiah) Rangga Pradeka, Adi Setiawan, Lilik Linawati ……………………………
403
31
32
33
Uji Nonparametrik Perlakuan Tetap pada Rancangan Persegi Latin Sigit Nugroho ………………………………………………………………. 414 BIDANG PENDIDIKAN
1
2
Analisis Proses Pembelajaran Matematika pada Anak Berkebutuhan Khusus (ABK) Learning Disabilities di Kelas Inklusi Ayu Veranita, Budiyono, dan Suyono ………………………………………
420
Efektivitas Metode Diskusi dengan Alat Bantu Peraga pada Mata Ajar Matematika Bangun dan Ruang di Kelas V Sekolah Dasar Ni Made Asih …………………………………..…………………………...
427
x
3
Efektivitas Pembelajaran Berbasis Masalah dengan Pendekatan Kontekstual pada Siswa Kelas VII SMP Negeri di Kota Madiun untuk Pokok Bahasan Himpunan Vigih Hery Kristanto ……………………………………………………….. 434
4
Eksperimen Model Pembelajaran Kooperatif Tipe Student Teams Achievement Division (STAD) dengan Metode Problem Solving pada Materi Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Ditinjau dari Sikap Peserta Didik terhadap Matematika Kelas VIII SMP Negeri di Kabupaten Tegal Wikan Budi Utami ………………………………………………………….
444
Investigating of The Mathematical Concept In Order To Preparing The Learning Process Toward Improving The Quality of Mathematics Novice Teachers Edy Bambang Irawan ………………………………………………………
448
5
6
Ketrampilan Berpikir Kreatif Matematis dalam Pembelajaran Berbasis Masalah (PBM) pada Siswa SMP Fransiskus Gatot Iman Santoso ……………………………………………. 453
7
Membangun Kreativitas Guru dalam Pembelajaran Matematika melalui Lesson Study Sardulo Gembong …………………………………………………………..
460
8
Pemanfaatan Sumber Belajar Internet Berbasis Edutaintment dalam Pembelajaran Matematika Siswa Sekolah Dasar Kuswari Hernawati ………………………………………………………… 466
9
Pembelajaran Matematika Berbasis Kreatif Mata Kuliah Teori Bilangan dengan Model Reog Ditinjau dari Strategi Kognitif (Studi Eksperimen pada Mahasiswa Pendidikan Matematika Semester II STKIP PGRI Pacitan) Urip Tisngati ………….………….………….………….………………….
474
Penanaman Norma-Norma Sosial Melalui Interaksi Siswa Dalam Pembelajaran Matematika dengan Pendekatan PMRI di Sekolah Dasar Rini Setianingsih ……………………………………………………………
483
Pengenalan Pembelajaran yang Aktif, Kreatif, Efektif dan Menyenangkan (PAKEM) dalam Meningkatkan Pemahaman Konsep Matematika di SMPN 4 Kubutambahan Buleleng Made Susilawati …………………………………..………………………..
491
10
11
12
Perangkat Pembelajaran dengan Model Pembelajaran Matematika Berbasis Pengajuan dan Pemecahan Masalah untuk Meningkatkan Kemampuan Berpikir Kreatif Siswa Sekolah Dasar Kelas IV SDN Jati Sidoarjo Ika Kurniasari …………………………………..………………………….. 500
xi
13
Profil Kemampuan Pemecahan Masalah Mahasiswa yang Mempunyai Gaya Kognitif Field Independen (FI) pada Mata Kuliah Kalkulus Muhtarom …………………………………..………………………………. 513
14
Proses Berpikir Siswa Kelas IX Sekolah Menengah Pertama yang Berkemampuan Matematika Sedang dalam Memecahkan Masalah Matematika Muhtarom …………………………………..………………………………. 519
xii
Estimasi parameter model INAR(1)menggunakanMetodeBayes
ESTIMASI PARAMETER MODEL INAR(1) MENGGUNAKAN METODE BAYES Nurmalitasari, WinitaSulandari, dan Supriyadi Wibowo
Jurusan Pendidikan Matematika Pascasarjana UNS, Jurusan Matematika FMIPA UNS, Jurusan Matematika FMIPA UNS ABSTRAK. Model yang digunakan untuk count data adalah INteger-value AutoRegressive(INAR). Dalam model INAR(1) terdapat parameter yang belum diketahui dan perlu diestimasi yaitu probabilitas survival dalam suatu proses ( ) dan parameter komponen kedatangan ( ). Metode estimasi yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode Bayes. Nilai estimasi parameter diperoleh menggunakan metode Markov Chain Monte Carlo (MCMC) dengan algoritma Gibbs sampling. Pada aplikasi Gibbs sampling jika distribusi posterior dari masing-masing parameter adalah log-konkav maka estimasi parameter menggunakan algoritma Adaptive Rejection Sampling (ARS) dan jika distribusi posterior dari masing-masing parameter adalah log-konveks maka estimasi parameter menggunakan algoritma Adaptive Rejection Metropolis Sampling (ARMS).Berdasarkan penelitian ini diperoleh hasil estimasi parameter model ∑ ∑ INAR(1) adalah ̂ dan ̂ . Nilai dan merupakan rantai Markov yang dibangkitkan dengan algoritma ARS atau ARMS, tergantung distribusi posterior dari masing-masing parameter Kata Kunci: model INAR(1), metode Bayes, MCMC, Gibbs sampling, ARS, ARMS.
1. PENDAHULUAN Silva et al. [6] menyebut count data merupakan data runtun waktu diskrit. Count data adalah data yang dihitung sebagai jumlah kejadian dalam interval waktu atau dalam interval ruang. Count data bernilai bulat positif. Distribusi yang digunakan untuk mewakili distribusi count data adalah Poisson, binomial, dan negative binomial [3]. Model yang digunakan untuk count data adalah INtegervalue AutoRegressive (INAR). Menurut Silva et al. [6] model INAR terdiri dari dua komponen yaitu survivors dalam proses sebelumnya dan kedatangan. Dalam model INAR terdapat parameter yang belum diketahui dan perlu diestimasi yaitu probabilitas survival dalam suatu proses ( ) dan parameter komponen kedatangan ( ). Metode estimasi parameter model INAR ada dua macam, yaitu metode klasik dan metode Bayes. Estimasi parameter model INAR dengan menggunakan metode klasik telah diteliti oleh Brannas [3] dan Silva et al. [6]. Dalam penelitian tersebut metode klasik yang dibahas adalah Yule-Walker, Conditional Least Squares (CLS), Conditional Maximum Likelihood dan Whittle criterion. Selain metode klasik, pada penelitian Silva et al. [6] juga dibahas estimasi parameter model Replicated INAR dengan menggunakan metode Bayes. Pada penelitian ini dibahas estimasi parameter model INAR(1) menggunakan metode Bayes. Dalam estimasi parameter dengan menggunakan metode Bayes terdapat dua komponen yaitu distribusi prior dan distribusi posterior. Distribusi prior digunakan untuk membentuk distribusi posterior. Distribusi posterior diperlukan untuk menentukan 238
Estimasi parameter model INAR(1) menggunakan Metode Bayes
nilai estimasi parameter. Menurut Gilks and Wild [5] nilai estimasi parameter diperoleh dengan simulasi pengambilan sampel parameter dari distribusi posterior kompleks menggunakan metode Markov Chain Monte Carlo (MCMC). Konsep utama dalam MCMC adalah membuat sampel pendekatan dari distribusi posterior parameter, dengan membangkitkan sebuah rantai Markov yang memiliki distribusi limit mendekati distribusi posterior parameter. Gibbs sampling merupakan algoritma yang terdapat dalam metode MCMC yang digunakan untuk pengambilan sampel dari distribusi kompleks berdimensi tinggi. Algoritma Gibbs sampling menggunakan sampel sebelumnya untuk membangkitkan nilai sampel berikutnya secara random sehingga akan didapatkan rantai yang disebut rantai Markov. Konsep utama dalam Gibbs sampling adalah bagaimana menemukan bentuk distribusi bersyarat univariat dimana dalam distribusi tersebut memuat semua variabel-variabel random dengan satu variabel saja yang akan ditentukan nilainya. Distribusi bersyarat univariat tersebut pada umumnya mempunyai bentuk non-familiar dan mempunyai bentuk aljabar yang rumit. Sehingga dibutuhkan komputasi yang sangat rumit untuk mengevaluasi distribusi bersyarat tersebut. Alternatif dari permasalahan tersebut adalah melakukan pengambilan sampel dengan algoritma Adaptive Rejection Sampling (ARS). Algoritma ARS dapat diterapkan jika full conditional distribution functions (fungsi distribusi bersyarat penuh) dari masing-masing parameter adalah logkonkav, jika fungsi densitas bersyarat penuh dari masing-masing parameter adalah log-konveks maka menggunakan algoritma Adaptive Rejection Metropolis Sampling (ARMS) [5]. 2. MODEL INAR(1) Brannas [3] dan Silva et al. [6] menjelaskan jika diberikan X adalah variabel random bilangan bulat positif, adalah probabilitas bertahan dalam suatu proses, dengan , dan , dengan , adalah variabel random berdistribusi Bernoulli, ( binomial ) ( ) thinning operation didefinisikan sebagai jumlahan dari variabel random Bernoulli, ∑
Variabel random diskrit yang bernilai bilangan bulat positif, dan berdistribusi Poisson, , dikatakan model INAR(1) jika memenuhi persamaan dengan merupakan binomial thinning operation dan { } adalah barisan variabel independen yang berdistribusi Poisson dengan parameter . Fungsi densitas dari distribusi bersyarat yang diberikan oleh , dinotasikan ( | ), adalah hasil konvolusi dari distribusi binomial hasil binomial thinning operation dan distribusi Poisson yang merupakan distribusi dari sehingga diperoleh ( |
)
(
)∑
(
Seminar Nasional Matematika 2012
)
(
)
)(
(
239
)
(
)
Prosiding
Estimasi parameter model INAR(1) menggunakan Metode Bayes
3. ESTIMASI PARAMETER Metode Bayesian merupakan salah satu metode estimasi dan inferensi dalam statistika yang berbasis pada aturan Bayes yaitu dengan menggabungkan informasi dari data observasi baru dan informasi yang telah diperoleh sebelumnya. Pada estimasi parameter Model INAR(1) dengan menggunakan metode Bayes terdapat dua komponen yang harus diketahui yaitu distribusi prior dan distribusi posterior. 3.1 Distribusi prior parameter model INAR(1). Menurut Berger [2] distribusi posterior lebih mudah diprediksi dengan distribusi prior sekawan. Menurut Fink [4], prior sekawan untuk distribusi binomial adalah distribusi beta. Sehingga dapat ditentukan asumsi probabilitas berdistribusi beta dengan parameter a dan b, dan dinotasikan ( ). Prior sekawan untuk distribusi Poisson adalah distribusi gamma. Dalam penelitian ini parameter komponen kedatangan ( ) diasumsikan berdistribusi gamma dengan parameter c dan d, dan dinotasikan ( ). Distribusi prior parameter model INAR(1) adalah (
)
(
)
(
)
(
)
dengan a, b, c, dan d adalah parameter yang tidak diketahui.
3.2 Distribusi posterior parameter model INAR(1).Distribusi posterior parameter model dapat ditentukan dengan mengalikan distribusi prior dengan fungsi likelihood. Fungsi likelihood model INAR(1) dapat dihitung dari persamaan (2.1) dan diperoleh (
|
)
∏
( |
( (
)
) )∏
∑
(
)
(
)
(
)(
)
(
)
Distribusi posterior parameter model INAR(1) dapat ditentukan dari persamaan (3.1) dan (3.2) dan diperoleh (
| )
(
|
) (
) ) )
( ( ∏ ∑(
(
(
) )(
) )
)(
(
)
(
)
3.3 Algoritma Gibbs samplingDistribusi posterior parameter model INAR(1) tidak dapat diketahui, maka selanjutnya ditentukan distribusi posterior bersyarat ( ) penuh dari masing-masing parameter. Jika diketahui ( | ) maka distribusi posterior bersyarat penuh dari dapat dihitung dari persamaan (3.3) dan diperoleh ( |
)
( ( ∏∑
(
) ) )
(
Distribusi bersyarat penuh dari gamma.
Seminar Nasional Matematika 2012
)
(
)(
)
(
)
merupakan kombinasi linier dari fungsi densitas
240
Prosiding
Estimasi parameter model INAR(1) menggunakan Metode Bayes ( ( ) ) Jika diketahui ( | ) , maka distribusi posterior bersyarat penuh dari dapat dihitung dari persamaan (3.3) dan diperoleh ( |
)
( ∏
∑
) (
(
)
)(
(
)
)
(
)
Distribusi bersyarat penuh dari tersebut merupakan kombinasi linier dari fungsi densitas beta. Distribusi posterior bersyarat penuh dari masing-masing parameter model INAR(1) mempunyai bentuk distribusi yang tidak umum dan mempunyai bentuk aljabar yang rumit, sehingga Gibbs sampling tidak efektif digunakan. 3.4 Algoritma ARS dan ARMS Distribusi posterior bersyarat penuh untuk dan adalah log-konkav [1], jika memenuhi: ( | ) ( | )adalah monoton turun pada (0, 1). 1. ( ) ( ) 2. | | adalah monoton turun pada (0, ∞). ( | )) ( | ) 3. ( dan . Algoritma ARS untuk parameter adalah sebagai berikut. 1. Langkah Inisialisasi ) kontinu dan terdiferensiasi dalam domain D Diasumsikan ( | ) dan h( | yaitu (0, 1). Didefinisikan h( | )=ln ( | ) konkav disetiap D. Sebelum menerapkan algoritma ARS, terlebih dahulu dilakukan adalah evaluasi h( | ) dan h’( | ) pada 1 ≤ 2 ≤…≤ k D. Selanjutnya dilakukan analisis absis dalam Tk, dengan Tk = { 1, 2, …, k}, kemudian mendefinisikan fungsi envelope, ( | ), yang merupakan batas atas dari garis singgung h( | ) dan mendefinisikan fungsi squeezing, ( | ), yang merupakan batas bawah dari garis singgung h( | ), dan dapat digambarkan dalam Gambar 3.1. : h(α) : batas atas : batas bawah α1
α2
α3
Gambar 3.1. Fungsi densitas log-konkav, dengan batas atas dan batas bawah yang didasarkan pada tiga titik absis ( )
Garis singgung pada (
j
|
dan
berpotongan di titik
j+1
( |
)
)
( |
|
( )
(
|
( |
)
)
)
dengan j = 1, . . . ., k-1 dan adalah batas bawah dari D, adalah batas atas dari D. Fungsi batas atas dapat didefinisikan sebagai berikut. ( |
dengan
)
( |
)
(
) ( |
)
. Fungsi batas bawah dapat didefinisikan sebagai berikut.
Seminar Nasional Matematika 2012
241
Prosiding
Estimasi parameter model INAR(1) menggunakan Metode Bayes ( |
) ( |
(
)
dengan . 2. Langkah Penyampelan Mengambil sampel
*
)
dari sk( |
( |
)
(
) (
), dengan
∫
( |
)
( |
)
|
)
dan mengambil sampel u dari distribusi uniform (0,1). a) Uji squeezing { ( | ) ( | )}, maka Jika diterima, jika tidak maka ditolak, langkah selanjutnya mengevaluasi ( | ) dan ( | ) kemudian dilakukan uji rejection. b) Uji rejection ( | )}, maka diterima, jika tidak maka Jika { ( | ) ditolak ( rejection terhadap ). 3. Langkah Pembaruan ( | ) dievaluasi dalam setiap langkah Jika ( | ) dan penyampelan dan diterima maka nilai dimasukkan ke dalam Tk untuk membentuk Tk+1, dan selanjutnya digunakan untuk merekonstruksikan fungsi ( | ) ( | ), dan ( | ) dari Tk+1 yang digunakan untuk iterasi selanjutnya. Langkah-langkah dalam algoritma ARS tersebut diulang sampai n iterasi hingga diperoleh rata-rata yang konvergen. Algoritma yang sama digunakan dalam penentuan dengan mengganti unsur dengan . 3.5 Algoritma ARMS dalam Gibbs sampling. Algoritma ARMS hanya bisa digunakan jika fungsi densitas bersyarat dari distribusi posteriornya mengacu pada distribusi kontinu. Berikut algoritma ARMS dalam Gibbs sampling. Algoritma ARMS model INAR(1) untuk parameter dapat ditulis sebagai berikut. 1. Menginisialisasikan Tk independen terhadap , dengan merupakan hasil Gibbs sampling. ( ) dan membangkitkan sampel dari 2. Mengambil sampel dari ( ) ( | ) maka { } dan kembali ke 3. Jika ( | ) langkah 2. Jika tidak maka ( ) 4. Membangkitkan sampel dari 5. Jika
[
(
|
)
{ (
|
)
(
|
)}
(
|
)
{ (
|
)
(
|
)}
] maka
.
Jika tidak maka melabeli . Langkah-langkah dalam algoritma ARMS tersebut diulang sampai n iterasi hingga diperoleh rata-rata yang konvergen. Algoritma yang sama digunakan dalam penentuan dengan mengganti unsur dengan .
Seminar Nasional Matematika 2012
242
Prosiding
Estimasi parameter model INAR(1) menggunakan Metode Bayes
3.6 Estimator Bayes untuk parameter model INAR(1). Informasi pada distribusi posterior bersyarat penuh dari masing-masing parameter dapat { } digunakan untuk menentukan estimator untuk parameter. Jika merupakan himpunan nilai parameter model INAR(1) yang belum diketahui, maka ̂ { ̂ ̂ } adalah estimator untuk { } Misalkan ( ) merupakan fungsi { }, jika diambil ( ) maka ̂ merupakan estimator dari parameter dari ( ). Estimator Bayes merupakan estimator yang meminimumkan fungsi resiko ̂ ( ), dengan ̂ ( ) merupakan harga harapan dari fungsi kerugian, ( ) ( ̂| ). Estimasi Bayes dapat ditentukan sebagai berikut. ̂ | ) ( | ) ( ) ( ) ̂ ∫ ( ) ( | ∫ | ) ( | ) ( ) ∫ ( ) ( | ∫ Perhitungan integrasi pada persamaan (3.6) dan (3.7) sangat sulit dilakukan, sehingga digunakan konsep integrasi Monte Carlo. Konsep integrasi Monte Carlo adalah dengan membangkitkan sampel random dari distribusi ) dan ( | ) kemudian menghitung rata-rata dari bersyarat penuh ( | sampel yang telah dibangkitkan dari masing-masing fungsi tersebut. Perhitungan untuk harga harapan estimator parameter model dapat dituliskan sebagai berikut. ( | ) ∑ ̂ ∫ ̂ ∫ ( | ) ∑ ) dan ( | ) dapat Penyampelan dari distribusi probabilitas ( | dilakukan dengan proses Markov. Proses Markov dilakukan dengan membuat rantai Markov dengan distribusi stasionernya mendekati distribusi probabilitas ( | ) dan ( | ). Pembuatan rantai Markov tersebut dapat dilakukan dengan menggunakan algoritma ARS jika fungsi densitas bersyarat penuh dari masing-masing parameter adalah log-konkav dan menggunakan algoritma ARMS jika fungsi densitas bersyarat penuh dari masing-masing parameter adalah logkonveks. Estimasi Bayes untuk parameter dapat diperoleh dengan menghitung rata-rata barisan ̂ Estimasi Bayes untuk parameter dapat diperoleh dengan menghitung rata-rata barisan ̂ 4. CONTOH KASUS Sebagai contoh aplikasi estimasi parameter model INAR(1) mengunakan metode Bayes penulis menggunakan data jumlah orang meninggal akibat kecelakaan bunuh diri di wilayah Surakarta dari Januari 2002-Desember 2006 yang diambil dari BPS. Data diasumsikan berdistribusi Poisson karena memiliki mean dan variansi yang hampir sama. Identifikasi model awal adalah model INAR(1). Diasumsikan distribusi prior parameter model adalah sekawan maka dapat ditentukan dengan persamaan (3.1), dengan a=b=c=d= untuk memperoleh distribusi prior Vague. Distribusi posterior bersyarat penuh untuk parameter dan dapat ditentukan dengan persamaan (3.4) dan (3.5). Estimator parameter model INAR(1) dapat ditentukan dengan ( ( | )) menggunakan pendekatan MCMC. Fungsi dan Seminar Nasional Matematika 2012
243
Prosiding
Estimasi parameter model INAR(1) menggunakan Metode Bayes
( | ) , maka dapat disimpulkan fungsi densitas bersyarat penuh dari masing-masing parameter adalah log-konkav. Oleh karena itu dalam penyampelan digunakan algoritma ARS menggunakan bantuan Software R.2.11.1. Nilai awal parameter yang digunakan adalah hasil estimasi parameter menggunakan metode Conditional Least Square (CLS) hasil penelitian Brannas [3]. Nilai-nilai estimasi parameter ̂ dan ̂ adalah sebagai berikut. Tabel 4.1. Hasil estimasi parameter model INAR(1) untuk data jumlah orang meninggal akibat kecelakan bunuh diri di wilayah Surakarta. N ̂ Var( ̂) ̂ Var( ̂ )
100 0.253174 0.009237554 0.3478246 0.007144554
250 0.2374823 0.007994338 0.3636025 0.00652917
500 0.2551190 0.00791093 0.3665941 0.006624199
750 0.2453593 0.007418821 0.3626544 0.006087363
1000 0.2457684 0.007775721 0.3626545 0.005894286
Dari Tabel 4.1 dapat diperoleh nilai ̂=0.2474 dan ̂ =0.30607, yang artinya bahwa setiap individu pada bulan sebelumnya memiliki probabilitas bertahan hidup sampai bulan berikutnya sebesar 0.2474, dan rata-rata banyaknya orang yang meninggal dalam waktu tiga bulan adalah satu orang. 5. KESIMPULAN Berdasar hasil pembahasan diperoleh kesimpulan bahwa estimasi Bayes untuk parameter model Poisson INAR(1) adalah ( ) ) ( | ) ̂ ∫ ( ) ( | ∫ | ̂ ( ) ) ( | ) ∫ ( ) ( | ∫ | Integrasi tersebut diselesaikan mengggunakan metode MCMC dan diperoleh ∑ ∑ ̂ dan ̂ . Nilai dan merupakan rantai Markov yang dibangkitkan dari algoritma ARS atau ARMS. 6. DAFTAR PUSTAKA [1] Bagnoli, M. and T. Bergstrom, Log-Concave Probability and Its Aplications, University of Michigan. http://citeseerx.its.psu.edu. (Diakses pada tanggal 27-4-2010, jam 11.30), 1989. [2] Berger, J. O, Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis, 2 ed., Springer- Verlag, Inc., New York, 1980. [3] Brannas, K, Estimation and Testing in integer-valued AR (1) models. Umea Economic Studies 335. Umea University, Sweden, 1994. [4] Fink, D, A Compendium of Conjugate Priors. Department of Biology. Montana State University, Bozeman, 1997. [5] Gilks, W. R. and Wild, P, Adaptive Rejection Sampling for Gibbs Sampling, Appl. Statist., 41, 337-348, 1992. [6] Silva, I., M.E. Silva, I. Pereira and N. Silva, Replicated INAR(1) processes. Methodology and Computing in applied Probability, Vol.7,pp.517-542, 2005. Email:
[email protected],
[email protected]
Seminar Nasional Matematika 2012
244
Prosiding
