TI 2013 IE-204 Elektronika Industri & Otomasi UKM

TI 2013

IE-204 Elektronika Industri & Otomasi

UKM

Lampiran B B.1. Transformasi Laplace Metode transformasi Laplace adalah suatu metoda operasional, yang dapat digunakan secara mudah untuk menyelesaikan “Persamaan Deferential Linear” Maka dengan mengunakan Transformasi Laplace kita dapat mengubah beberapa fungsi umum : 1. Fungsi sinusoidal 2. Fungsi sinusoidal teredam 3. Fungsi Exponensial menjadi aljabar variable kompleks Sedangkan untuk operasi-operasi seperti deferential dan integral dapat diganti dengan, operasi aljabar bidang komplek dan selanjutnya dapat diselesaikan dengan menggunakan table transformasi Laplace

L f t   F s    f t  e  st dt 

Defenisi transformasi Laplace :

0

f(t) = fungsi waktu, adalah nol (0) untuk t< 0 F(s) = fungsi komplek (TL dari f(t) L = simbul operasional yang menunjukkan bahwa besaran yang dikehendakinya ditransformasikan dengan integral laplace. Keuntungannya menggunakan Transformasi Laplace: 1. Kondisi awal akan tercakup secara otomatis mis: S

+ Vi

i

C

Pada saat t = 0, lihat rangkaian listrik tersebut disini capasitor sudah dianggap bermuatan hal, semacam ini disebut kondisi awal.

-

2. 3. 4. 5.

Dapat menyelesaikan persamaan aljabar biasa Lebih sistematis Sudah tersedianya table Semua macam input mudah untuk diselesaikan

Lampiran bab 3 Sistem Pengaturan Otomatis

Halaman B .1

TI 2013


UKM

Dalil- dalil Transformasi Laplace : 1. Dalil Lenearity : f(t)



F(s)

af(t)



a F(s)

Laf t   aF s 

2. Dalil Superposisi : f1(t) f2(t)

 

F1(s) f1(t) F2(s)

L [f1(t)

± ±

f2(t) f2(t) ]

= =

F1(s) ± F2(s) F1(s) ± F2(s)

3. Deferensiasi :  df t  L  S  F s   f 0     Kondisi awal dimana harga f(0), harga awal f(t)  dt  pada saat t = 0

 d 2 f t  df 2 L   S  F s   Sf 0    (t  0) 2 dt  dt   d n f t  d n1 f n n 1 n  2 df     L  S  F s  S f 0  S           (t  0)   n dt dt n1  dt  4. Dalil Integrasi

t



f

t dt



0

t

 0

f t dt 

1 F s  S

1 1 F s   S S

0

 f t dt




t 0

Halaman B .2

TI 2013


TABEL ANALOGI BESARAN SEKIAS DARI MEKANIS No

Sistem Mekanis Model Sistem

1

Simbol

Gaya ( P ), ( F ) Torsi ( T ) Kecepatan ( X ) Kecepatan sudut ( θ ) Massa ( M ) atau Momen Inersia ( J ) Koefisien Gesek viskos ( f/D) Konstanta Pegas ( k )

2 3 4 5 6

F V F mv  



F

f ,D

LISTRIK Sistem Listrik Analogi Gaya ke Arus I(t)

Analogi Gaya ke Teganga V (t)

V (t )

I (t )

C

L

G

v

v      

F

mua tan  q

Perpindahan (x) Perpindahan (θ )

Contoh :

UKM

1 R

1 L Ψ

R 1 C q

Persamaan ..geraknya : dx d 2x F (t )  f  KX  M dt dt 2 D/f

K

d 2x dx F (t )  M  f Kx 2 dt dt

X(t

M

F(t)

Jika dibawa ke rangkaian listrik :  GAYA..  .. ARUS F (t )..  i (t )

Maka.. persamaan..geraknya..adalah. : C

i(t)

C

R

L

d 2V (t ) 1 dV (t ) 1 di (t )   V (t )  dt R dt L dt

dV V (t ) 1    V (t )d (t )  i (t ) dt R L Sebab.......V  d dt

C


Halaman B .3

TI 2013


UKM

 GAYA..  ..TEGANGAN F (t )..  V (t ) R

L

Maka.. persamaan..geraknya di (t ) 1  R  i (t )   i (t )  dt  V (t ) dt C dim ana...i (t )  sumber..arus L

+

C

i(t)

Vi(t)

Vo(t)

 v(t )  sumber..tegangan Soal : Sebagaimana diperlihatkan pada gambara rangkain mekanis sebagai berikut :

F(t)

M K

X(t D/f

a. Carilah/tuliskan persamaan gerak dar Sistem. b. Tentukan bentuk transfer fuction G(s) adalah Merupakan fungsi dari output/input

.

ref

Penyelesaian :

L f (t )  F ( s ) 





f (t ) e  st dt

0

a.Maka.. persamaan..geraknya..  F (t )  M

b...Perbanding an..

d 2 X (t ) dX (t ) f  K  X (t ) 2 dt dt

output X ( s)   G( s) inout F ( s)


Halaman B .4

TI 2013


UKM

 d 2 X (t )  dX (t ) L f (t )  L  M  f  K  X (t ) 2 dt dt   L f (t )  F ( s ) 

  d 2 X (t )  2 0 L M  M ( S X ( s )  S ( X )  S X (0 ) ( 0 ) .. dim ana..semua ..sarat..awal  0  dt 2   Maka..nilainya  M  S 2  X ( s )





 dX (t )  L f  f S  X ( s)  S 0 X (0  )  f  S  X ( s)  dt   LK . X (t )  K . X ( s ) Oleh..karena..itu ..F ( s )  MS 2 X ( s )  f .S . X ( s )  K . X ( s ) Watak ..Sistem..  G ( s ) 

X ( s) 1  2 F ( s ) M .S  S . f  K

B2. Laplace transform: Review applikasi Penggunaan: Laplace or s domain

time domain

Persamaan Differential

Solution


L

L

-1

Persamaan Aljabar

Laplace Transform of Solution

Halaman B .5

TI 2013


UKM

Definisi Misalkan F (t ) suatu fungsi t dan t > 0, maka transformasi Laplace dari F(t) dinotasikan dengan L{F(t)} yang didefinisikan oleh: `

L{F (t )}   e st F (t )dt  f ( s) 0

Karena

L{F (t )} adalah

integral tidak wajar dengan batas atas di tak

hingga (  ) maka `

L{F (t )}   e  st F (t )dt  f ( s) 0 p

 Lim  e  st F (t )dt p 

0

Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace beberapa fungsi sederhana. No.

F (t )

L{F (t )}

1.

1

1 ,s  0 s

2.

t

1 ,s  0 s2

3.

t2

2 ,s  0 s3

4.

tn

n!

n = 0,1,2,3,….

s n 1

,s  0

5.

e 6.

at

sin at

1 ,s  0 sa a ,s  0 s  a2 2

7.

cos at

s ,s  0 s  a2 2


Halaman B .6

TI 2013 8.


sinh at

UKM

a ,s  a s  a2 2

9.

cosh at

s ,s  a s  a2 2

10.

t cos at

s2  a (s 2  a 2 ) 2

11.

t sin at 2a

s (s  a 2 ) 2 2

Sebagai pemahaman bagi pembaca, berikut ini diberikan beberapa contoh transformasi Laplace suatu fungsi.

.


Halaman B .7

TI 2013


UKM

B2.1. Sifat-sifat Transformasi Laplace Transformasi Laplace suatu fungsi mempunyai beberapa sifat, sifat-sifat tersebut antara lain: a) Sifat linear Jika c 1 dan c 2 adalah sebarang konstanta, sedangkan F1 (t ) dan F2 (t ) adalah

fungsi-fungsi

dengan

transformasi-transformasi

Laplace

masing-masing f1 ( s) dan f 2 ( s) , maka:

L{c1 F1 (t )  c2 F2 (t )}  c1 f1 (s)  c2 f (s) b) Sifat translasi atau pergeseran pertama Jika L{F (t )}  f (s) maka L{e 2t F (t )}  f (s  a)

c. Sifat translasi atau pergeseran kedua

F (t  a), untuk t  a Jika L{F (t )}  f (s) dan G(t )   0, untuk t  a maka L{G(t )}  e  as f (s)

d. Sifat pengubahan skala Jika L{F (t )}  f (s) maka L{F (at )} 

1 s f  a a

e. Transformasi Laplace dari turunan-turunan Jika L{F (t )}  f (s) maka L{F ' (t )}  sf (s)  F (0) 

Karena Karena L{F (t )}   e  st F (t )dt  f ( s) , maka 0 

L{F ' (t )}   e  st F ' (t )dt 0


Halaman B .8

TI 2013


UKM



  e  st dF (t ) 0 p

     e  st F (t )   F (t )d (e  st )  0  0



  F (0)  s  e  st F (t )dt 0

 sf (s)  F (0) Jika L{F ' (t )}  sf (s)  F (0) maka L{F ' ' (t )}  s 2 f (s)  sF (0)  F ' (s)

f. Tansformasi Laplace dari integral-integral

t  f ( s) Jika L{F (t )}  f (s) maka L F (u )du   s 0 

g. Perkalian dengan t n Jika L{F (t )}  f (s) maka L{t n F (t )  (1) n

dn f ( s)  (1) f ( n ) ( s) n ds

h. Sifat pembagian oleh t 

 F (t )  Jika L{F (t )}  f (s) maka L    f (u )du  t  0


Halaman B .9

TI 2013 B2.2.


UKM

Transformasi Laplace Invers

Definisi Jika transformasi Laplace suatu fungsi F(t) adalah f(s), yaitu jika

L{F (t )}  f (s) maka F(t) disebut suatu transformasi Laplace Invers dari f(s). Secara simbolis ditulis F (t )  L1{ f (s)} . L1 disebut operator transformasi Laplace invers. Contoh. 1  1  2t 2t 1. L1    e karena Le   s2 s  2  s  2. L1  2   cos t 3e karena  s  3





L cos t 3 

s s 3 2

1  1  sinh at  sinh at  3. L1  2 karena L   2 2 2 a s  a   a  s a

Ketunggalan Transformasi Laplace Invers Misal N(t) adalah suatu fungsi dan L{N(t)} = 0 maka L{F(t)+N(t)} = L{F(t)} Dengan demikian dapat diperoleh dua fungsi yang berbeda dengan transformasi Laplace yang sama. Contoh

0 untuk t  1 F1 (t )  e 3t dan F2 (t )   3t e untuk t  1 Mengakibatkan L1{F1 (t )}  L1{F2 (t )} 

1 s3

Jika kita menghitung fungsi-fungsi nol, maka terlihat bahwa transformasi Laplace invers tidak tunggal. Akan tetapi apabila kita tidak dapat memperhitungkan fungsi-fungsi nol (yang

tidak muncul dalam kasus-

kasus fisika) maka ia adalah tunggal. Hasilnya dinyatakan oleh teorema berikut. Teorema Lerch Jika membatasi diri pada fungi-fungsi F(t) yang kontinu secara sebagiansebagaian dalam setiap selang berhingga 0  t  N

dan eksponensial

berorde untuk t > N, maka inversi transformasi laplace dari f(s) yaitu


Halaman B .10

TI 2013


UKM

L1  f (s)  F (t ) , adalah tunggal. Jika tidak ada pernyataan lainnya, maka kita selalu menganggap ketunggalan di atas. Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace invers beberapa fungsi sederhana dibawah ini. Nomor

f(s)

L1{ f ( x)}  F (t )

1.

1 s

1

2.

1 s2

t

3.

1 s

n 1

, n  0,1,2,3,...

4.

1 sa

5.

1 s  a2 2

6.

s s  a2 1 2 s  a2

tn n! e at

sin at a

cos at

2

7. 8.

s s  a2 s2  a2 (s 2  a 2 ) 2

sinh at a

cosh at

2

9.


t cos at

Halaman B .11

TI 2013 IE-204 Elektronika Industri & Otomasi UKM

Recommend Documents