The Midas Formula THE MIDAS FORMULA. Een onderzoek naar het Black-Scholes-Merton model in de theorie en de praktijk

The Midas Formula

THE MIDAS FORMULA Een onderzoek naar het Black-Scholes-Merton model in de theorie en de praktijk

1

The Midas Formula

The Midas Formula

Een onderzoek naar het Black-Scholes-Merton model in de theorie en de praktijk. Profielwerkstuk CSW van de Perre 2 februari 2015 Door E. Hoefkens & G.W.M. de Bruin Begeleiders W.J. Nagelkerke & P. de Bruijne

2

The Midas Formula

Voorwoord Het Black-Scholes model is een samensmelting van wiskunde en economie. Dit vakgebied noemen we financiële wiskunde, ook wel quantitative finance of mathematical finance.1 Het is een deelgebied van technische (toegepaste) wiskunde, dat zich bezig houdt met de financiële markten. Financiële wiskunde overlapt veel met "computational finance" (dat zich o.a. bezig houdt met handelsalgoritmes; informatica speelt hierbij dus een belangrijke rol) en "financial engineering" (dat eigenlijk geïnterpreteerd kan worden als een combinatie van financiële wiskunde en computational finance). In het algemeen zijn er twee duidelijke deelgebieden te onderscheiden waar geavanceerde wiskundige (kwantitatieve) technieken worden gebruikt: het waarderen van derivaten aan de ene kant en aan de andere kant het risico en portfolio management. Wij houden ons in dit onderzoek bezig met het waarderen van derivaten. Die van opties om precies te zijn, dit is één van de belangrijkste derivaten. In het deelgebied waar derivaten gewaardeerd worden is het doel om op basis van gegevens verwachtingen uit te spreken over iets waarvan je geen gegevens hebt, ook wel extrapoleren genoemd. De grootste vraag bij derivaten is: hoe waardeer je iets waarvan je de waarde pas in de toekomst kent, maar dat je nu koopt? Hoofd- en Deelvragen

Hoofdvraag:

Hoe komt de Black-Scholes formule tot stand en hoe effectief is deze in de praktijk?

Deelvragen: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Hoe werken aandelen? Hoe werken opties? Hoe kunnen we de waarde van aandelen wiskundig beschrijven? Hoe komen de Black-Scholes vergelijking en de Black-Scholes formule tot stand? Prijst de Black-Scholes formule opties correct? Wat is de rol van het Black-Scholes model in financiële crises?

Opzet van het Onderzoek De basis van het Black-Scholes model en veel andere financiële modellen gaat terug naar Louis Bachelier. Hij suggereerde in 1900 dat de bewegingen op financiële markten, die hij als willekeurig beschouwde, kunnen worden beschreven met een stochastisch (willekeurig) proces uit de natuurkunde, genaamd: de Brownse beweging. Het is alsof je een aandelenkoers bepaalt door het opgooien van een munt: kop betekent een verhoging van de huidige waarde met 10% en munt betekent een daling van 10%. In de hoofdstukken Aandelen I en Aandelen II zullen we naast de economische theorie van aandelen ingaan op de Brownse beweging en de geometrische Brownse beweging. Met Bachlier's visie kan een differentiaalvergelijking afgeleid worden voor de aandelenprijs waarmee op zijn beurt een partiële differentiaalvergelijking wordt geproduceerd voor de optiewaarde. Zo'n vergelijking geeft de mate van verandering in de optieprijs weer t.o.v. de veranderingen in de variabelen. Deze vergelijking, die afgeleid wordt in het hoofdstuk Opties I, is de Black-Scholes vergelijking. In Opties I zullen we tevens de relevante economische theorie bespreken. De oplossing van de Black-Scholes vergelijking is de Black-Scholes formule, die we afleiden in het hoofdstuk Opties II. Nadat we de theoretische achtergrond van het model hebben onderzocht, zullen we over gaan op de praktijk en kijken we hoe het model zich daar heeft ontwikkeld. Dit doen we in de hoofdstukken Black-Scholes in de praktijk I en Black-Scholes in de praktijk II.

De voertaal in de financiële wereld is overwegend Engels en daarom worden in ons onderzoek veel Engelse termen gebruikt. 1

3

The Midas Formula

Inhoudsopgave Voorblad

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

1

Titelpagina

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

2

Voorwoord .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

3

Inhoudsopgave

.

.

.

.

.

.

.

.

.

5

Inleiding

.

.

.

.

.

.

.

.

.

6

.

.

.

.

.

.

.

.

.

7

1. Aandelen I

.

.

.

.

.

.

.

.

.

8

2. Opties I

.

.

.

.

.

.

.

.

.

17

3. Aandelen II .

.

.

.

.

.

.

.

.

30

4. Opties II

.

.

.

.

.

.

.

.

36

5. Black-Scholes in de Praktijk I

.

.

.

.

.

.

58

6. Black-Scholes in de Praktijk II

.

.

.

.

.

.

60

.

Achtergrond

.

Conclusie

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

65

Nawoord

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

69

A. Basis statistiek

.

.

.

.

.

.

.

.

70

B. Benadering 𝑒 𝑎

.

.

.

.

.

.

.

.

72

C. Monte Carlo Simulatie

.

.

.

.

.

.

.

73

D. Fixed-Income Arbitrage

.

.

.

.

.

.

.

74

E. Literatuurlijst

.

.

.

.

.

.

.

76

.

4

The Midas Formula

Inleiding "Derivatives are financial weapons of mass destruction" - Warren Buffet, meester belegger2 Derivaten hebben een grote invloed op nagenoeg iedereen op de wereld, maar gek genoeg heeft het grootste deel van de mensen geen idee van de werking van veel derivaten, laat staan van hun (wiskundige) achtergrond. Het bekendste derivaat is de optie, dat veelal wordt gewaardeerd met het Nobelprijswinnende Black-Scholes model, dat in dit profielwerkstuk centraal staat. Aan de hand van wiskundige en economische theorie van aandelen en opties stellen we de BlackScholes vergelijking op en leiden we de oplossing hiervan af, zijnde: de Black-Scholes formule. Vervolgens beoordelen we de werking van het model in de praktijk. Het model is in de financiële wereld erg bekend, maar veel mensen hebben er nog nooit van gehoord. Ter inleiding onderstrepen we het belang van het model. Het werd beschouwd als de heilige graal van investeerders; de Black-Scholes vergelijking. De bedenkers van de vergelijking leverden een rationele methode om financiële contracten (veelal gebaseerd op aandelen) te waarderen, terwijl de contracten nog een looptijd voor zich hebben, een looptijd die gepaard gaat met veel onzekerheden. De daadwerkelijke waarde kan dan ook pas aan het einde van de looptijd worden vastgesteld. Dit soort contracten, die afhangen van een onderliggend goed, zoals een aandeel, noemen we een derivaat (het komt van het Engelse ‘derivative’ wat ‘afgeleide’ betekent). Hoe waardeer je iets waarvan je de waarde pas in de toekomst kent, maar dat je nu koopt? Op het eerste gezicht lijkt het iets dat alleen te doen is met een glazen bol, waarmee in de toekomst gekeken kan worden, maar drie mannen wisten het tegendeel te bewijzen. De aanpak van bedenkers: Fischer Black, Myron Scholes en Robert Merton voor het waarderen van derivaten opende een hele nieuwe wereld die de mogelijkheid gaf tot het creëren van nog complexere financiële producten dan die al bestonden. Het model veroorzaakte een gigantische impuls voor de wereldeconomie, maar toen de zeepbel van subprime hypotheken klapte in de recente kredietcrisis werd de keerzijde van de derivatenhandel pas goed zichtbaar. Door complexe derivaten ontstond er een onoverzichtelijke vervlechting van financiële organisaties over de hele wereld. Toen het mis ging was de impact op de economie dus ook groot. De Black-Scholes vergelijking werd (in de woorden van Professor Ian Stewart) een 'Black Hole' vergelijking, die al het geld van de wereld weg zoog in een oneindige stroom. De zelfde professor benadrukte de invloed van de vergelijking in zijn boek '17 equations that changed the world'. Ter indicatie kan men de lijst raadplegen op de volgende bladzijde en de Black-Scholes vergelijking vergelijken met andere vergelijkingen. Sinds de financiële crisis zijn er veel meer mensen dan eerst, zich ervan bewust dat de economie niet meer is wat zij 30 jaar geleden was. Een ongekende hoeveelheid aan geld gaat om in de derivatenhandel. Schattingen betreffen bedragen in de orde van quadrillions3, wat grofweg 10 maal de waarde is van de wereldwijde productie over de afgelopen honderd jaar. Dit bedrag is geen geld op zich, noch zijn het goederen; het zijn investeringen op investeringen, weddenschappen op weddenschappen. Naast de economische groei die de derivaten brengen, maken ze de financiële markten ook zeer turbulent en het gebruik ervan is aantoonbaar; de aanleiding tot de bijna-instorting van het bankensysteem tijdens de kredietcrisis. De financiële sector noemde de formule die de derivatenhandel op gang bracht (de Black-Scholes formule) ook wel The Midas Formula, maar blijkbaar vergat men hoe het verhaal van Koning Midas eindigde… Oprichter van beleggingsfonds Berkshire Hathaway. Met voornamelijk 'klassieke' beleggingsstrategieën (lange termijn beleggen) heeft hij een persoonlijk vermogen vergaard van ongeveer $72 miljard dollar. 3 money.cnn.com/2011/02/14/markets/nyse_banks/. Let op: er is een verschil tussen de omzet in de 2

derivatenhandel en de absolute waarde van dat soort producten. De eerste ligt hoger dan de tweede.

5

The Midas Formula Hoe zit dit model in elkaar, dat ons voorziet van een wiskundige vergelijking die het onmogelijke lijkt waar te maken? Is het model goed genoeg om de keiharde werkelijkheid te trotseren? En tot slot: wat is de rol van het model in verscheidene financiële crises? Dit zijn de belangrijkste vragen waarmee we ons bezig zullen houden in dit onderzoek.

De Black-Scholes vergelijking springt er uit in de bovenstaande lijst die voornamelijk bestaat uit natuur- en wiskundige vergelijkingen. Het is de enige economische vergelijking en tevens de meest recente.

6

The Midas Formula

Achtergrond Dit onderzoek gaat over het Nobelprijswinnende Black-Scholes-Merton model. Black en Scholes vonden hun vergelijking in 1973. Robert Merton gaf niet veel hierna nuttige aanvullingen op hun bevindingen, vandaar dat men ook wel spreekt van het Black-Scholes-Merton model. De vergelijking is van toepassing op het basisderivaat: de optie. Er zijn twee belangrijke vormen. Een calloptie geeft de koper het recht, maar niet de verplichting, een bepaald goed voor een bepaalde prijs op een bepaald moment te kopen. Een put optie werkt hetzelfde, alleen hebben we het dan over het recht om te verkopen. We zullen hier later nog verder op ingaan. Het succes van de Black-Scholes vergelijking moedigde anderen in de financiële sector aan om vergelijkbare modellen op te stellen voor andere financiële instrumenten, de optie is immers niet het enige derivaat. Fischer Black en Myron Scholes publiceerden in 1973 hun onderzoek “The Pricing of Options and Corporate Liabilities” in The Journal of Economics. Dit onderzoek leidde niet veel later, na toevoegingen van Robert Merton, tot het Black-Scholes-Merton model. Scholes en Merton ontvingen de Nobelprijs in 1997 ‘voor het ontwikkelen van een nieuwe methode om de waarde van derivaten te bepalen’. Black overleed in 1995 dus hij ontving de prijs niet, maar hij werd wel vermeld door het Nobel comité.

De mannen achter het Black-Scholes-Merton model, van links naar rechts: Fischer Black (11 januari 1938 – 30 augustus 1995) studeerde af van Harvard College in 1959 met een natuurkunde bachelor en ontving in 1964 een Ph.D. in applied mathematics van Harvard University. Hij is het bekendst van het Black-Scholes model. Hij heeft gewerkt aan The Univeristy of Chigago en Massachusetts Institute of Technology (MIT). Van 1984 tot zijn dood was hij partner bij investeringsbank Goldman Sachs. Myron Scholes (geboren op 1 juli 1941) studeerde af van McMaster University met een economie bachelor. Hij zette zijn studie voort op The University of Chicago waar hij zich richtte op informatica en financial economics. Hij promoveerde op het laatste genoemde onderwerp en behaalde tevens zijn MBA in Chicago. Vervolgens ging hij werken bij MIT als assistent professor, waar hij Black en Merton ontmoette en met wie hij het Black-Scholes model ontwikkelde, waarvoor hij de Nobelprijs ontving. Hij was medeoprichter van het beruchte hedge fund LTCM. Na het faillissement daarvan heeft hij o.a. gewerkt bij investeringsbank Salamon Brothers en op The University of Chicago. Momenteel werkt hij bij Janus Capital Group. Robert C. Merton (geboren op 31 juli 1944), is de zoon van beroemd socioloog Robert K. Merton die vooral bekend is voor het creëren van de termen ‘role model’ en ‘self-fulfilling prophecy’. Hij behaalde zijn bachelor in engineering mathematics aan Columbia University, zijn master applied mathematics aan The California Institute of Technology en zijn Ph.D. op het vakgebied economie. Samen met Scholes won hij in 1997 de Nobelprijs voor de economie. Hij was medeoprichter van LTCM. Momenteel zit hij in de raad van bestuur van 7 verscheidene bedrijven en is hij werkzaam op het MIT.

The Midas Formula

Aandelen I “From an early age I was very, very fascinated by uncertainty” – Myron Scholes

Een Korte Geschiedenis De eerste officiële uitgifte van verhandelbare aandelen vond plaats in 1606 in Amsterdam, namens de VOC. Zij gaven aandelen uit om haar veel geld kostende maritieme activiteiten te financieren. Met deze aandelenemissie ontstond de eerste effectenbeurs van de wereld. De eerste aandelen werden in de kantoren van de VOC zelf, verhandeld. Van de allereerste aandelenuitgifte zijn nog maar weinig originele stukken bewaard gebleven. Tot voor kort gold een aandeel van de VOC-kamer Amsterdam van 27 september 1606 als het oudste aandeel ter wereld. Dat document is in handen van een groep Duitse beleggers, die het voor een astronomisch hoog bedrag te koop aanbieden. Hoe dit exemplaar in Duitsland terecht is gekomen, is overigens onduidelijk. Zeker is dat het omstreeks 1980 nog in het Stadsarchief Amsterdam berustte. Onlangs werd in het West-Fries Archief te Hoorn een aandeel ontdekt van 9 september 1606. Dat werd uitgegeven door de VOC-kamer Enkhuizen en staat op naam van ene Pieter Harmensz. Hij kreeg het aandeel als bewijs van zijn laatste termijnbetaling van zijn investering van 150 gulden. Deze betaling werd bijgeschreven in het Grootboek van de VOCkamer Enkhuizen. Deze oudste vorm van verhandelbare aandelen is eigenlijk een soort kwitantie. Dit zijn schriftelijk bewijzen van het in ontvangst nemen van goederen of sommen geld die geleverd of betaald zijn. Kleine aandeelhouders haakten al snel af door de korte duur van het eerste succes van de VOC. Zo kwam de VOC snel in handen van enkele rijke families. Het allereerste dividend werd niet uitgekeerd in geld, maar in natura van de opbrengst. Deze eerste aandelen van de VOC zijn voor historici erg interessant, omdat er relatief veel documentatie beschikbaar is over de regelgeving met betrekking tot onder meer financiële derivaten, short posities en de effectenhandel. De grootste VOC-aandeelhouder van het eerste uur was Pieter Lintgens met een investering van 105.000 gulden.

Eén van de eerste aandelen, uitgegeven door de VOC.

8

The Midas Formula

Financiële Markt

In de economie is de financiële markt het mechanisme dat mensen in staat stelt te handelen in financiële zekerheden, grondstoffen en andere gemakkelijk uitwisselbare zaken van waarde. Het meest gebruikte instrument is het aandeel, ook wel een effect genoemd. Een bedrijf kan aandelen uitgeven. Een aandeel is een waardepapier dat rechten verleent met betrekking tot een onderneming. Beleggers kopen dit aandeel en in ruil daarvoor zijn ze eigenaar van een deel van het bedrijf. Dit kan binnen een bepaalde kring mensen gebeuren of aan een groter publiek op de gereguleerde aandelenmarkt. Een aandeel geeft in sommige gevallen zeggenschap en men kan winstuitkeringen in de vorm van dividend ontvangen. De prijs van een aandeel verandert voortdurend en door van deze veranderingen gebruik te maken is het mogelijk om koerswinst te behalen. De prijs van een aandeel komt tot stand door het marktmechanisme van vraag en aanbod. Het is op twee verschillende manieren mogelijk om winst te maken met het handelen in aandelen. De makkelijkste vorm is het kopen van een aandeel en het na enige tijd weer verkopen voor een hogere prijs. We noemen dit ‘long gaan’. Dit gebeurt doordat het bedrijf bijv. meer waard is geworden en daarmee het aandeel ook. Dit kan bij een stijgende markt. Het is echter ook mogelijk om winst te maken bij een dalende markt. We noemen dit ‘short gaan’. Dit proces bestaat uit meerdere stappen: 1. Je leent een aandeel en verkoopt dit meteen voor prijs 𝑃1 (je ontvangt dan bijv. €100,-). 2. Na enige tijd koop je na een daling van de aandelenkoers precies hetzelfde aandeel terug voor prijs 𝑃2 (bijv. €90,-) en geef je het geleende aandeel terug aan de uitgever. 3. Het verschil tussen 𝑃2 en 𝑃1 is de winst (€10 in dit geval). Ook worden aandelen op de effectenbeurs verhandeld als er snel en goedkoop geld nodig is om een investering te doen of een nieuw bedrijf te starten. Wanneer er ideeën zijn voor (nieuwe) bedrijfsvoering, maar er geen geld is om het idee tot uitvoering te brengen, is het mogelijk dat de eigenaar naar een bank gaat om daar geld te lenen. Voor een zodanige lening wil een bank echter wel garanties. Dit kan bereikt worden door een hogere rente als vergoeding voor het risico. Het alternatief hier is dat het bedrijf aandelen gaat uitgeven om op die manier mensen die enthousiast zijn over het idee mee te laten betalen aan de opstart van het bedrijf. Deze mensen zijn dan bereid om enige tijd te wachten voordat ze een rendement krijgen op hun geïnvesteerde vermogen. Aandelen geven soms recht op een uitkering van de winst van een bedrijf. Dit heet een dividenduitkering. Naast het dividend bestaat het rendement op aandelen uit koersstijgingen. Het dividend is tijdens normale omstandigheden redelijk stabiel, maar niet gegarandeerd als de onderneming in moeilijke tijden terecht komt. De waardestijging van de aandelen door een oplopende aandelenprijs is onzeker en kan ook omslaan in verlies. Om het rendement van de waardestijging van de aandelen te realiseren moet men de aandelen eerst verkopen op de effectenbeurs. Echter dit laatste is zeker interessant: winst (of verlies) behalen door het kopen en verkopen van aandelen. Door deze manier van handelen is het mogelijk om een veel hoger rendement te halen op je geïnvesteerde vermogen dan dat je maandenlang moet wachten op en relatief lage dividend uitkering. Dit is dus ook het onderdeel waar wij ons in dit onderzoek voornamelijk op zullen richten. Door de werking van de markt en de daarbij horende derivaten goed te onderzoeken, is het mogelijk om een hoger rendementspercentage te behalen dan het risicovrije rentepercentage die iedereen bij de bank krijgt.

9

The Midas Formula Een ander belangrijk effect is de obligatie. Een obligatie is een schuldbewijs voor een lening die wordt verstrekt door bijv. een onderneming of de overheid. Als de overheid geld nodig heeft kan ze obligaties uitgeven op de effectenmarkt die hier door beleggers worden gekocht. Obligaties hebben een bepaalde looptijd, aan het eind van de looptijd betaalt de obligatie uitgever de lening terug. Ook wordt er over een obligatie een vaste rente uitgekeerd.

Een Model voor de Aandelenkoers In dit onderzoek willen we de Black-Scholes vergelijking afleiden. Om dit te kunnen, moeten we eerst een model opstellen voor de aandelenkoers waar we de Black-Scholes vergelijking op kunnen baseren. In dit onderdeel zetten we de eerste stappen voor het creëren van het aandelenmodel.

Rendement

Wanneer je in aandelen investeert, hoop je natuurlijk dat ze in waarde toenemen. De extra waarde die je ontvangt bij het verkopen noemen we het rendement of return. Hiermee wordt de procentuele groei van je vermogen bedoeld. 𝑅𝑒𝑛𝑑𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 =

𝑁𝑖𝑒𝑢𝑤𝑒 𝑤𝑎𝑎𝑟𝑑𝑒 − 𝑂𝑟𝑔𝑖𝑛𝑒𝑙𝑒 𝑤𝑎𝑎𝑟𝑑𝑒 𝑂𝑟𝑔𝑖𝑛𝑒𝑙𝑒 𝑤𝑎𝑎𝑟𝑑𝑒

Het is belangrijk om onderscheid te maken tussen procentuele (relatieve) groei en absolute groei. Stel, we kunnen investeren in twee aandelen die beiden met €10 toenemen. Aandeel A heeft een waarde van €100 en aandeel B van €1000. Dan is aandeel A duidelijk een betere investering. Na 1 jaar heeft aandeel A een waarde van €110 en aandeel B van €1010. Beide zijn gestegen met €10, maar aandeel A is 10% in waarde toegenomen en aandeel B slechts 1%. Als je €1000 hebt om te investeren, is het veel winstgevender om 10 aandelen A te komen dan slechts één aandeel B. Dit voorbeeld toont aan dat we ons vooral moeten focussen op de procentuele groei, oftewel het rendement. Als we de prijs van een aandeel op dag 𝑖 noteren met 𝑆𝑖 wordt het rendement tot dag 𝑖 + 1 gegeven door: 𝑆𝑖+1 − 𝑆𝑖 = 𝑅𝑖 𝑆𝑖 Het gemiddelde van die rendementen wordt gegeven door: 𝑚

1 𝑅̅ = ∑ 𝑅𝑖 𝑀 𝑖=1

M is het aantal rendementen. De standaarddeviatie4 wordt gegeven door: 𝑀

1 𝜎 = √ ∑(𝑅𝑖 − 𝑅̅ )2 𝑀

1.1

𝑖=1

De standaarddeviatie bij aandelen noemen we ook wel volatiliteit. De volatiliteit geeft de beweegbaarheid van het aandeel weer: hoe hoger de volatiliteit, hoe bewegelijker het aandeel. In de formule voor de standaarddeviatie is 𝑀 weer het aantal rendementen.

4

In appendix A is er extra uitleg over de standaarddeviatie te vinden.

10

The Midas Formula Rendement is een heel belangrijk onderdeel in het onderzoeken en voorspellen van koersprijzen. Door middel van het rendement is het namelijk mogelijk om aan de hand van het geïnvesteerde vermogen de winst of verlies per transactie uit te rekenen. Door terug te rekenen, is het mogelijk om een koersgrafiek te maken of de prijs te bepalen waarmee je voldoende winst maakt om een bepaald doel te behalen.

Nieuwe Prijs op t = i + 1

Prijs

Oude Prijs op t = i

-100%

0% Rendement -100%

100%

-100%

In de bovenstaande grafiek is te zien hoe het rendement en de prijs samenhangen. Het is mogelijk om het rendement uit te rekenen aan de hand van de nieuwe prijs en andersom. De kans op een bepaald rendement hangt dus samen met de kans op een bepaalde prijs. Dit is een heel belangrijk gegeven. Aangezien de koersprijzen geheel willekeurig bewegen, is de nieuwe prijs niet afhankelijk is van de historische prijzen en elke prijsverandering zijn eigen kans heeft, zullen we ons moeten focussen op het rendement. Als we een model kunnen maken voor de veranderingen in het rendement, zijn die terug te koppelen naar de veranderingen in de prijs.

11

The Midas Formula Het Normale Model In het onderstaande figuur is een overzicht te zien van de behaalde rendementen van een Apple aandeel en een normaal verdeling.5

Distributie van het wekelijks rendement van een Apple aandeel (20-03-2010 tot 20-032014) 14 12 10 8 6 4 2 0

De grafieken zijn niet identiek aan elkaar, maar wanneer wij geloven dat de rendementen goed genoeg lijken op de normale verdeling, hebben we een relatief goede benadering van de te verwachten rendementen met elk hun eigen kans. Als we dan het rendement kunnen schrijven als een combinatie van een gemiddelde, een standaarddeviatie en een willekeurige variabele ф, ontstaat: 𝑅𝑖 =

𝑆𝑖+1 − 𝑆𝑖 = 𝜇+𝜎 × ф 𝑆𝑖

Hierbij is ф een willekeurige variabele, getrokken uit de normale verdeling met 𝜇 = 0 en 𝜎 = 1 (standaardnormale verdeling). Dit vormt de basis van een model voor aandelen waarin we groei over de lange termijn (𝜇) splitsen van de willekeurigheid op korte termijn (𝜎 × ф).

5

In appendix A is er extra uitleg over het normale model te vinden.

12

The Midas Formula Tijdschalen Bij het bepalen van rendementen speelt de tijd een grote rol. Beleggers die per dag duizenden aandelen kopen en verkopen, kijken vaak naar tijdschalen van een uur tot tien minuten of soms zelfs tot op de seconde. Lange termijn beleggers kijken daarentegen naar de rendementen per maand, per jaar of zelfs per 10 jaar. Het verschil tussen de rendementen op korte en lange termijn kan hoog oplopen. Hoe veranderen rendementen als gevolg van tijdsduur? We leggen het uit op basis van Paul Wilmott on Quantitative finance, door Paul Wilmott. We gaan eerst in op de tijdsduur m.b.t. tot het constante deel. We nemen als tijdstap 𝛿𝑡. We gaan ervan uit dat hoe groter de tijd tussen twee meetmomenten is, hoe meer de prijs gemiddeld zal zijn bewogen. Dit gemiddelde zorgt ervoor dat tijdens het meten (𝛿𝑡) niet de laatste koersprijs aan het eind van 𝛿𝑡 wordt weergegeven, maar de gemiddelde prijs over die periode. Het gevolg is dat het rendement dus ook groter (of kleiner) zal zijn bij een grotere tijdstap en dus het gemiddelde rendement evenredig schaalt met de grootte van de tijdstap. We nemen aan dat het gemiddelde jaarlijkse rendement constant blijft en die noemen we 𝜇. We kunnen dus schrijven: 𝑆𝑖+1 − 𝑆𝑖 = 𝜇 𝛿𝑡 𝑆𝑖 Dit herschrijven we tot: 𝑆𝑖+1 − 𝑆𝑖 = 𝑆𝑖 𝜇 𝛿𝑡 𝑆𝑖+1 = 𝑆𝑖 (1 + 𝜇 𝛿𝑡) Wanneer de tijd begint op 𝑡 = 0, dan geldt na één tijdstap 𝛿𝑡 dat 𝑆1 = 𝑆0 (1 + 𝜇 𝛿𝑡) en na twee tijdstappen 𝑡 = 2 𝛿𝑡 dat 𝑆2 = 𝑆1 (1 + 𝜇 𝛿𝑡) = 𝑆0 (1 + 𝜇 𝛿𝑡)2 en na 𝑀 tijdstappen 𝑡 = 𝑀 𝛿𝑡 dat 𝑆𝑀 = 𝑆0 (1 + 𝜇 𝛿𝑡)𝑀 Hierbij moet 𝛿𝑡 wel gelijk blijven. We hebben nu te maken met een discreet model voor de aandelenprijs, er zit namelijk tijd tussen het meetmoment 𝛿𝑡. Als we een model willen waarmee beter te werken is, hebben we een continu model nodig. We moeten er dus voor zorgen dat 𝛿𝑡 naar nul toe gaat, dus 𝛿𝑡 → 0.

Continu Model Het continue model kan het best weergegeven worden door het bekende fenomeen van interest (rente) bij een bank. Bij de bank krijg je eenmaal per jaar de interest over je spaarbedrag op je rekening gestort. Over het algemeen ontvangt men één maal per jaar een bedrag aan interest over het spaarbedrag. Dit is een discreet model, net zoals ons voorlopige aandelenmodel. Stel nu dat we continu interest uitbetaald krijgen. Wat gebeurt er dan? We leggen het uit aan de hand van een voorbeeld. We beginnen vanuit een standaard situatie.

13

The Midas Formula Stel, ik zet €100 op de bank met een interest percentage van 𝑟 per jaar. Na één jaar heb ik dan: €100 (1 + 𝑟) Met een percentage van 10% heb ik na één jaar 110 €. Na twee jaar heb ik: (€100 (1 + 𝑟))(1 + 𝑟) = €100 (1 + 𝑟)2 Na 𝑛 jaren heb ik dan: €100 × (1 + 𝑟)𝑛 met n= 1,2,3,.. Dit is het model van de discrete interest, maar wij willen een continu model. De rente over één jaar (bijv. 3%) willen we niet na een jaar ontvangen, niet over 12 maanden, niet over 365 dagen, maar over elk moment. Stel nu, dat we 𝑚 interest uitbetalingen krijgen met een percentage van 𝑟/𝑚 per periode 𝑚, dan 𝑟 𝑚

heb ik na één jaar:

(1 + 𝑚)

𝑟 𝑚

Om dit vervolgens continu te maken, nemen we de limiet met lim𝑚→∞ (1 + ) Hierdoor krijgen 𝑚 we een continu verloop van het rendement, met als resultaat: lim (1 +

𝑚→∞

𝑟 𝑚 ) = 𝑒𝑟 𝑚

6

Na 𝑡 jaren heb je dan een bedrag van (𝑒 𝑟 )𝑡 = 𝑒 𝑟𝑡 . Nu kunnen we van: 𝑆𝑀 = 𝑆0 (1 + 𝜇 𝛿𝑡)𝑀 een continu model maken door te stellen dat: 𝑆𝑀 = 𝑆0 (1 + 𝜇 𝛿𝑡)𝑀 = 𝑆0 𝑒 𝜇𝑇

met T= 1,2,3… jaar

Tijdschaal Willekeurige deel

We zijn bezig met het model voor een aandeel. Tot nu toe hebben we gekeken naar een constant model, ook wel de drift (µ) van het aandeel genoemd. Als we alleen met een constante stijging (of daling) rekening houden, hebben we geen goed model voor de aandelen. Aandelen kennen namelijk een grillig, willekeurig verloop. Deze moeten we ook toevoegen aan ons model. Nu gaan we in op het willekeurige deel. Wanneer we de functie voor de standaarddeviatie er weer bijhalen: 𝑀

1 𝜎 = √ ∑(𝑅𝑖 − 𝑅̅ )2 𝑀 𝑖=1

en we kijken naar een vast tijdsbestek, dan zien we goed dat onze tijdstappen 𝛿𝑡 worden als we het aantal rendementen (𝑀) omgekeerd evenredig groeit. 6

Zie Appendix B voor het bewijs.

14

The Midas Formula De variantie, (𝑅𝑖 − 𝑅̅ )2, schaalt dus lineair met de tijd en de standaarddeviatie dus met de wortel van de tijd. Dit betekent dat voor periode 𝑇 geldt: 1

standaarddeviatie = 𝜎 𝛿 √𝑡 = 𝜎 𝛿𝑡 2 Als we het niet-willekeurige component samenvoegen met de willekeurige component voor de rendementen kunnen we stellen dat: 𝑅𝑖 =

1 𝑆𝑖−1 − 𝑆𝑖 = 𝜇 + 𝜎 × ф = 𝜇 𝛿𝑡 + 𝜎ф 𝛿𝑡 2 𝑆𝑖

Hieruit volgt: 1

𝑆𝑖+1 − 𝑆𝑖 = 𝜇𝑆𝑖 𝛿𝑡 + 𝜎𝑆𝑖 ф 𝛿𝑡 2 1

∆𝑆 = 𝜇𝑆𝛿𝑡 + 𝜎𝑆ф 𝛿𝑡 2 We hebben nu een model voor de verandering (∆) in de aandelenprijs. De linkerkant van de vergelijking geeft de prijs verandering weer van moment 𝑖 naar 𝑖 + 1. De rechter kant is het model. Het is nu niet zo dat we de aandelenkoers kunnen voorspellen. We hebben alleen een kansverdeling opgesteld voor de toekomstige prijzen. Aangezien ons model op kansberekening gebaseerd is, krijgen we te maken met stochastische calculus. Dit is een deel van de wiskunde dat zich bezig houdt met willekeurige functies en processen.

Stochastische Calculus Stochastische wiskunde is een onderdeel van de wiskunde en natuurkunde en houdt zich bezig met willekeurige processen en functies. Een vaak genoemd fenomeen hiervan is de Brownse beweging en het daarmee verbonden continue Brownse model. Dit model heeft een paar bijzondere eigenschappen: 1. Markov Property Ons model is afhankelijk van de laatste waarde van 𝑆. Alle eerdere waarden zijn niet relevant voor de waarde 𝑆𝑖+1 , alleen𝑆𝑖 is relevant. Het is als of het stochastische proces geen geheugen heeft. Dit komt overeen met het geloof van technische analisten dat alle relevante informatie al in de huidige prijs zit verwerkt en oudere prijzen dus van geen enkel belang zijn. 2. De Martingraal Een Martingaal zegt dat de toekomstige waarde van een stochastisch proces eigenlijk gelijk is aan de huidige waarde, gegeven de informatie van de eerdere gebeurtenissen. Dus als we een bepaalde reeks hebben, betekent dit dat de verwachte waarde van een reeks Si , gewoon de huidige waarde is. Als de verwachte prijs anders zou zijn, dan zou de prijs immers nu al veranderen. 3. Kwadratische Variantie schaalt lineair met de Tijd7 1

Laten we ons willekeurige component ф𝛿𝑡 2 tijdelijk de functie 𝐻(𝑡) noemen. Wanneer we de tijdstap 𝛿𝑡 kleiner maken door een hulpvariabele 𝐻(𝑡) = ф√𝛿𝑡

7

√𝑛 √𝑛

te nemen, krijgen we:

√𝑛 √𝑛

Uitleg komt van Algorithmic Trading & Quantitative Finance (zie literatuurlijst, Appendix E)

15

The Midas Formula

We nemen voor 𝑛 een steeds grotere waarde met de limiet van 𝑛 → . Hierdoor krijgen we: 𝛿𝑡 𝐻(𝑡) = 𝑛ф√ 𝑛 Zo wordt 𝛿𝑡 steeds kleiner en wordt de invloed van ф steeds groter. 𝐻(𝑡) wordt nu als het ware opgebouwd uit de som van een heleboel verschillende kansvariabelen getrokken uit de normale verdeling. Hierdoor ontstaat dat 𝐸[𝐻(𝑡)] = 0, want de 𝜇 van ф is immers 0. Doordat de kwadratische variantie evenredig schaalt met de tijd, kunnen we stellen dat 𝐸[𝐻(𝑡)2 ] = 𝑡 is. Dit heeft als gevolg: als we 𝐻(𝑡) kwadrateren krijgen we 𝐻(𝑡)2 = ф2 𝛿𝑡. De vewachte waarde voor ф2 is dus 1 als we willen voldoen aan 𝐸[𝐻(𝑡)2 ] = 𝑡. 1

Wanneer we 𝛿𝑡 → 0 (en we dus van continuïteit gaan spreken) noemen ф 𝛿𝑡 2 een Wiener 1

proces. Een Wiener proces is dus gewoon onze willekeurige component ф 𝛿𝑡 2 in een omgeving 1

waar 𝛿𝑡 bijna 0 is. We kunnen dan schrijven dat ф 𝛿𝑡 2 = 𝑑𝑊. Er geldt nog steeds dat 𝐸[𝑑𝑊] = 0 en 𝐸[𝑑𝑊 2 ] = 𝑑𝑡. Als we ons model dan herschrijven op een ‘Wiener manier’ in een omgeving waarin de limiet naar nul gaat, krijgen we de volgende differentiaalvergelijking: 𝑑𝑆 = 𝜇𝑆𝑑𝑡 + 𝜎𝑆𝑑𝑊 Het model is nu omgevormd tot een differentiaalvergelijking. Deze vergelijking geeft de verandering weer in de aandelenprijs. Het is tevens één van de belangrijkste vergelijkingen uit de kwantitatieve analyse. Dit model, dat bestaat uit een drift component (𝜇𝑆𝑑𝑡 ) en een willekeurig component dat een Wiener proces volgt (𝜎𝑆𝑑𝑊), noemen we ook wel een Brownse beweging. De vergelijking is tevens de basis voor het prijzen van opties.

16

The Midas Formula

Opties I Optie Theorie In de economie is een optie een contract dat de bezitter ervan het recht geeft, maar niet de verplichting, een onderliggende bezitting te kopen of verkopen tegen een vooraf gespecificeerde uitoefenprijs (strike prijs). Een optie is een zogenaamd derivaat (komt van het Engelse 'derivative' wat ‘afgeleide’ betekent in het Nederlands). Als je een optie neemt die als onderliggend goed een aandeel heeft dan heb je het recht om het aandeel tegen een bepaalde prijs te kopen. De optie kan dus gebruikt worden als een soort van verzekering. Stel: het aandeel is nu €12,-. Je kunt het kopen en hopen dat het omhoog gaat, zodat je het met winst kan verkopen. Echter weet je dit niet zeker. Een alternatief is het nemen van een optie op het aandeel. Dit betekent dat je het recht hebt om het aandeel in de toekomst voor €12,- te kopen, maar dit is niet verplicht. Stel dat je het aandeel wel koopt en er geen optie op neemt. Als het aandeel nu €2,- daalt dan verlies je €2,-, als het aandeel €2,- stijgt maak je €2,- winst. Nemen we een optie op het aandeel dan krijgen we het volgende: als het aandeel nu stijgt naar €14,- dan gebruik je je optie en maak je €2,- winst (de optie gaf immers het recht het aandeel voor €12,- te kopen), dus eigenlijk is dit hetzelfde als dat je het aandeel had gekocht zonder optie. Zou het aandeel echter zakken (naar bijv. €10), dan maak je uiteraard geen gebruik van je recht het aandeel voor €12 te kopen, maar koop je het gewoon voor €10 (of je koopt het helemaal niet). Conclusie: met een optie kan je dezelfde winsten behalen als de gewone aandelenkoper, maar je genereert niet hetzelfde verlies. Dit klinkt natuurlijk te mooi om waar te zijn: het is altijd óf winst óf je blijft hetzelfde vermogen houden, maar nooit verlies! In werkelijkheid speelt er echter nog iets mee: de premie. We hebben de optie net al vergeleken met een verzekering. Om je risico te beperken sluit men bijv. een brandverzekering af. Als je huis in brand gaat, krijg je het volledige bedrag uitgekeerd en verlies je niet ontzettend veel vermogen. Iedereen weet dat tegenover zo'n verzekering een premie staat. Bij opties wordt er ook een premie betaald voor het recht, de optiepremie. Dit is het bedrag waarvoor je een optiecontract afsluit, ofwel waarvoor je een optie koopt. We komen later terug op de premies.

Europese & Amerikaanse Call- en Putopties

Nu we weten wat opties inhouden gaan we in op de belangrijkste opties8: Europese opties zijn opties die alleen op de expiratie datum kunnen worden uitgeoefend, dus op een vast moment. Dit in tegenstelling tot Amerikaanse opties9 die elk moment van de looptijd kunnen worden uitgeoefend. Dit heeft natuurlijk bepaalde gevolgen: als ik een Europese optie neem op een aandeel met een uitoefenprijs van €50,- en met een looptijd van 12 maanden, dan kan het zo zijn dat na 8 maanden het aandeel op €80 staat, wat ons een mooi bedrag zou opleveren, maar we kunnen pas over 4 maanden de optie uitoefenen. Stel dat het in die tijd ontzettend slecht gaat met het bedrijf en dat de aandelen een ongelofelijke daling doormaken die eindigt bij een bedrag van €40, dan geeft de optie ons een winst van €0,-. De Amerikaanse optie kon wel bij een prijs van €80 worden uitgeoefend. Het hangt er overigens wel van af wat voor een soort optie we hebben. Tot nu toe hebben we in onze voorbeelden gebruik gemaakt van een Europese calloptie: als je een calloptie koopt dan heb je het recht om het aandeel te kopen tegen een vooraf vastgestelde prijs op een vooraf gesteld moment. Het tegenovergestelde daarvan is de Europese putoptie: als je een putoptie koopt dan heb je het recht om het aandeel te verkopen tegen een vooraf vastgestelde prijs op een vooraf gesteld moment. Naast de Amerikaanse en Europese opties zijn er ook exotische opties, zoals de Canarische, Aziatische en Barrier opties. Exotische opties hebben opvallende afwijkingen m.b.t. o.a. tijdstip van uitoefening, het onderliggende goed en de manier van uitbetalen. 9 N.B. hoewel de naam het wellicht impliceert is het zeker niet zo dat Europese opties alleen in Europa bestaan en Amerikaanse opties alleen in Amerika. 8

17

The Midas Formula We bekijken het vorige voorbeeld, maar dan voor een putoptie: we hebben een uitoefenprijs van €50,- en een looptijd van 12 maanden. Na 8 maanden lijkt de putoptie het niet goed te doen: het heeft natuurlijk geen zin om een aandeel dat €80 waard is te verkopen voor €50,-. Op het moment van uitoefening is het aandeel echter €40,- waard, dan is het natuurlijk wel mooi als je het recht hebt om dit aandeel voor €50 te verkopen. In de regel is het zo dat opties op aandelen de Amerikaanse vorm hebben, en opties op indices (AEX, Dow Jones) de Europese vorm hebben. Merk op dat we in de definities van de put- en callopties uitgaan van Europese opties (vooraf vastgesteld gesteld uitoefening moment). In dit onderzoek gaan we ons vooral bezig houden met de Europese Callopties. We nemen Europese opties omdat deze door hun vaste uitoefendatum, wiskundig gezien, simpeler zijn. We nemen callopties omdat deze meer zien is als de basisoptie. De putoptie is niet 'moeilijker' dan de calloptie, het is gewoon het tegenovergestelde. Om te voorkomen dat alles twee kanten op gerekend moet worden, nemen we als uitgangssituatie de calloptie. Nu de hamvraag: wat betaalt men voor een optie, hoe bepalen we de optiepremie? Voor het waarderen van opties is de Black-Scholes benadering de meest gebruikte. Black, Scholes en Merton slaagden erin een partiële differentiaal vergelijking af te leiden voor de prijs van een derivaat die afhankelijk is van een aandeel. De optie is er hier één van, maar zeker niet de enige. De vergelijking die zij opstelden en die wij zullen afleiden, is ook de basis voor de waardering van vele andere derivaten. Het bepalen van de optieprijs is niet iets voor de hand liggends: er is altijd een onzekerheid bij het waarderen van opties. Er worden namelijk variabelen gebruikt die men nooit 100% precies kan bepalen, met als belangrijkste voorbeeld natuurlijk de prijs van een aandeel. Onder meer deze onzekerheid maakt het probleem complex. Om toch een beetje een gevoel te geven over hoe men de optieprijs zou kunnen bepalen, maken we het probleem een stuk minder complex.

Indicatie Voor Calloptie Waarde

We hebben een aandeel Y. Een persoon neemt een optie op dit aandeel met een uitoefenprijs van €250 en een looptijd van 8 maanden. We bekijken nu twee mogelijkheden: 1. Als aandeel Y €270 waard is over 8 maanden, dan oefent de persoon de optie uit en krijgt hij het aandeel en, wanneer hij aandeel Y dan gelijk weer doorverkoopt, ontvangt hij €20. 2. Aan de andere kant kan het mogelijk zijn dat het aandeel daalt naar €230,-, in dat geval wint of verliest de koper niets. We simplificeren het geheel nu erg en stellen dat het aandeel alleen de twee bovenstaande waardes (€270 en €230) kan aannemen op het moment van expiratie, met een 50/50 kans. De verwachte winst is dan: 1 1 × €0 + × €20 = €10 2 2 Als de waarde van de optie €10,- is, wordt hier uiteraard ook €10,- voor betaald. De netto winst voor de optie bij situatie 1 is de opbrengst bij uitoefening (€20,-) minus de kosten van de optie (€10,-), oftewel €10,-. Als we deze netto winst in verhouding zetten tot het bedrag dat we geïnvesteerd hebben in de optie (€10,-), realiseren we een winst van 100%. Dit betekent tevens dat situatie 2 een verlies van 100% zou opleveren. Als we dit vergelijken met de investeerder die het aandeel gewoon had gekocht: deze had ofwel een winst ofwel een verlies van 8% gerealiseerd bij respectievelijk situatie 1 en 2. Blijkbaar reageren opties sterk op een beweging in het onderliggende aandeel. Dit effect noemen we gearing. Een andere conclusie die we kunnen trekken over de optieprijs is dat de opties duurder zijn als we met dure aandelen te maken hebben. Een blik op de financiële pagina leert ons dat een aandeel van €5,- over het algemeen niet met €5,- (100%) stijgt (of daalt).

18

The Midas Formula Een aandeel van €500,- daarentegen stijgt wel eerder met €5,- (dit is maar 1%). De verwachte winst (of verlies) is bij de tweede in absolute zin groter, wat op basis van het voorbeeld dus ook leidt tot een hogere optieprijs. Wat we tot nu toe hebben gezien kunnen we grafisch samenvatten in een grafiek: €5 €4 Netto opbrengst optie

€3 €2 Call

€1 €0 -€ 1

€ 12 € 13 € 14 € 15 € 16 € 17 € 18 € 19 € 20 € 21 € 22 € 23 € 24 € 25 € 26 € 27 € 28 Put

-€ 2 -€ 3 -€ 4 -€ 5

Aandelenprijs

We zien op de x-as de waarde van het aandeel en op de y-as de netto opbrengst van de optie. Dit houdt in dat we de premiekosten meerekenen. We gaan in het voorbeeld uit van een premie van €4,-. Aangezien de netto opbrengst €0,- is bij €24,- kunnen we beredeneren dat de uitoefenprijs €20,- is. Wat we zien in de grafiek is dat de optie ofwel niets waard is, ofwel de waarde gestaag oploopt, recht evenredig met de verandering in de aandelenprijs. Het moet duidelijk zijn dat de informatie die deze grafiek ons geeft over de waarde van de optie, alleen van toepassing is op het moment van expiratie, dan staat de aandelenprijs immers vast en dan kunnen we ook pas de opbrengst bepalen. Een optie wordt echter gekocht op een moment dat men de aandelenprijs op expiratie datum niet weet. Hoe bepalen we de prijs voor zo’n optie? Dat is de vraag waar het om draait in het Black-Scholes model.

Het Schrijven Van Opties

We hebben tot nu toe vooral gekeken vanuit het perspectief van de koper van een optie, maar het is ook belangrijk om te kijken naar de verkoper van de optie; de optie schrijver. Deze optie schrijver heeft de short positie in tegenstelling tot de koper, die de long positie heeft ingenomen. Dit is net zoals dat er short en long posities bestaan voor aandelen, wat we reeds hebben gezien. In de onderstaande grafiek is de opbrengst van een schrijver van een call- en putoptie afgezet tegen de aandelenprijs. De uitoefen- en premieprijs zijn hetzelfde als in het vorige voorbeeld. €5 €4 Netto opbrengst optie

€3 €2 Call

€1 €0 -€ 1

€ 12 € 13 € 14 € 15 € 16 € 17 € 18 € 19 € 20 € 21 € 22 € 23 € 24 € 25 € 26 € 27 € 28 Put

-€ 2 -€ 3 -€ 4 -€ 5

19 Aandelenprijs

The Midas Formula Als we de mogelijke opbrengst van de koper vergelijken met die van de schrijver, zien we iets opvallends: de maximale winst van de schrijver is gelimiteerd tot €4,- voor zowel de call- als de putoptie. De winst van de schrijver is dus gelimiteerd tot de optie premie. Zijn verlies kan echter, theoretisch, oneindig groot worden (als 𝑆 oneindig stijgt) bij een calloptie. Bij een putoptie is deze ook groot, maar niet oneindig: een aandeel kan immers geen negatieve waarden aannemen. Het schrijven van opties brengt dus veel risico’s met zich mee.

Put-Call Pariteit

Het verband tussen put- en callopties is wiskundig eenvoudig weer te geven. Daartoe vatten we eerst samen wat we net hebben gezien van put- en callopties niet grafisch, maar wiskundig samen. De uitbetaling van de Europese calloptie (we laten de premie buiten beschouwing) wordt gegeven door: max(𝑆𝑇 − 𝐾, 0) Dit betekent dat de maximale uitbetaling gelijk is aan de aandelenprijs (S) op het expiratie moment (T) minus de uitoefenprijs (K), maar nooit kleiner dan 0. De ‘max( )’ notatie betekent dus dat we de hoogste waarde kiezen uit de twee waarden, de ‘min( )’ notatie betekent dat de kleinste waarde van de twee tot stand komt. De uitbetaling van een short positie in een Europese calloptie is: − max(𝑆𝑇 − 𝐾, 0) = min(𝐾 − 𝑆𝑇 , 0) De uitbetaling voor een Europese putoptie is: max(𝐾 − 𝑆𝑇 , 0) Als men een putoptie schrijft (short gaan) op een putoptie is de uitbetaling van de optie: − max(𝐾 − 𝑆𝑇 , 0) = min(𝑆𝑇 − 𝐾, 0) De uitbetaling is te zien in de grafieken onderaan deze pagina. Zoals misschien wel opvalt, zijn ze wat verschoven vergeleken met de grafieken die we reeds gezien hebben. Dit komt omdat we in de grafieken die we al gezien hebben de premie ontvangst (betaling), hebben meegeteld. In de grafieken hieronder is dit niet het geval. Net zoals dat we bij de bovenstaande maxima en minima de premie buiten beschouwing hebben gelaten.

20

The Midas Formula Linksboven zien we de uitbetaling voor een calloptie, rechtsboven voor een putoptie. Linksonder zien we de uitbetaling van een uitgeschreven calloptie, rechtsonder de uitbetaling van een uitgeschreven putoptie. Stel, we kopen een Europese calloptie met een uitoefenprijs K en een expiratiemoment T (grafiek linksboven) op aandeel Y en we schrijven (short gaan) op een putoptie met dezelfde eigenschappen (grafiek rechts onder), ook op aandeel Y. Vandaag is de tijd t. De uitbetaling van ons portfolio bij dezen twee opties is bij expiratie: max(𝑆(𝑇) − 𝐾, 0) − max(𝐾 − 𝑆(𝑇), 0) = 𝑆(𝑇) − 𝐾 Hierin is S(T) de aandelenprijs bij expiratie. Is de uitbetaling van dit portfolio op een andere manier te verkrijgen op hetzelfde moment, zonder het gebruik van opties? Ja, een hoeveelheid S(T) is natuurlijk gewoon te verkrijgen door het aandeel te kopen. Als we op tijd T een bedrag K willen hebben, dan maken we de waarde van K contant voor de looptijd (T – t) en de rente (r). Dit wordt 𝐾𝑒 −𝑟(𝑇−𝑡) . We kunnen nu dus schrijven 𝐶 − 𝑃 = 𝑆 − 𝐾𝑒 −𝑟(𝑇−𝑡) Waarin P en C de huidige waarden zijn van de put- en calloptie. Deze relatie tussen een put- en calloptie is handig, want zo kan men van een calloptie snel een putoptie maken en omgekeerd. Verderop in het werkstuk zullen we gebruik maken van deze zogenaamde pariteit. De relatie houdt immers altijd stand. Wanneer dit niet zo zou zijn, dan is er een mogelijkheid tot risicoloze arbitrage. Wat in het kort inhoudt dat men meer rendement zou kunnen realiseren dan de risicovrije rente, zonder dat men risico loopt! Op dit principe gaan we later nog in.

Het Gebruik Van Opties

We hebben al gesteld dat opties zijn te vergelijken met een verzekering, maar er zijn meer doeleinden. In dit onderdeel gaan we in op waarom en hoe men opties in de praktijk gebruikt. We onderscheiden twee hoofd doeleinden: speculeren en hedgen.

Speculeren

Als iemand een aandeel X koopt omdat hij verwacht dat dit in waarde omhoog gaat, speculeert hij. Met opties is het in principe hetzelfde, maar opties staan ons toe een hoger rendement te maken. Opties reageren immers sterk op bewegingen in het onderliggende, dit effect noemen we gearing, we zijn hier reeds op in gegaan. Tegenover deze kans op een hoog rendement staat een hoger risico. Men kan immers in één klap de inzet verdubbelen, maar ook volledig kwijtraken. Het is zo dat de belegger een koersstijging verwacht als hij een calloptie neemt, als hij denkt dat de koers zal dalen, koopt hij een putoptie.

Hedgen ‘Hedgen’ is het geheel of gedeeltelijk afdekken van het risico van een bepaalde investering d.m.v.

een andere investering. Door te hedgen verminder je dus je risico. Stel een belegger wil één aandeel kopen en is van plan om het aandeel 2 jaar vast te houden. De belegger is echter bang voor een zware daling van de koers en een van zijn eisen is dat hij het aandeel minstens kan verkopen voor de prijs waarvoor hij het gekocht heeft. In dat geval neemt hij tegelijk met de aankoop van het aandeel een putoptie op dit aandeel met een uitoefenprijs van de aankoopwaarde van het aandeel en een looptijd van 2 jaar. Nu is hij ingedekt tegen het koersrisico in ruil voor de putoptie premie. Op dezelfde manier kan een short positie in een aandeel afgedekt worden met een calloptie. We zullen zien dat het afdekken van het risico van een investering door een investering ‘in de tegenovergestelde richting’ een belangrijk element in het Black-Scholes model is.

21

The Midas Formula Waarom Schrijft Men Opties? We hebben al gezien dat het schrijven van opties niet heel voordelig is: er is een kans op grote verliezen en de maximale winst is gelimiteerd tot de premie. Wat is het nut van het schrijven van opties? Om de markten in beweging te houden zijn er bedrijven, waaronder banken, die zich bezig houden met ‘market making’. Dit is erg belangrijk: een markt heeft immers kopers en verkopers nodig. Als je 10 aandelen wilt kopen moet er ook iemand zijn die 10 dezelfde aandelen wil verkopen, anders is er geen markt. Om te voorkomen dat de mark stil komt te liggen doordat de vraag niet voldoet aan het aanbod of andersom, handelen de market makers zodat anderen kunnen handelen. Ze verdienen geld door het hanteren van een spread, wat tot uiting komt in een bied en laat prijs. De biedprijs is de prijs waarvoor men een aandeel kan kopen bij de market maker, de laat prijs is de prijs waarvoor men een aandeel aan de market maker kan verkopen. Door de biedprijs hoger te maken dan de laatprijs verdient de market maker geld door effecten snel te kopen en verkopen: hij koopt het aandeel immers voor iets minder dan dat hij het verkoopt. Het moet wel snel, want anders kan het zijn dat men door een koersdaling de aandelen voor minder moet verkopen dan de laatprijs, waardoor er dus verlies gemaakt wordt. Door o.a. het instellen van commissies en andere transactiekosten wordt dit risico gedekt, maar ook hedgen speelt een belangrijke rol bij het indekken van het koersrisico. Op de Nederlandse markt worden met de market makers vooral de bedrijven bedoeld die de optie markt creëren; de zogenaamde optiehuizen. Een van Nederlands bekendste en grootste optiehuizen is Optiver10. Door middel van het hanteren van een spread, door commissiekosten in rekening te brengen én door hedge methodes te gebruiken, verdienen zij genoeg om het hoge risico dat het schrijven van opties met zich meebrengt, te nemen.

Afleiden Van De Black-Scholes Vergelijking In dit onderdeel zullen we de Black-Scholes vergelijking voor de optieprijzen afleiden. We focussen ons op de optieprijzen voor aandelen. Het Black-Scholes model gaat ervan uit dat aandelen een geometrische Brownse beweging volgen. Deze kunnen we afleiden m.b.v. de differentiaalvergelijking voor aandelen die we af hebben geleid in het hoofdstuk Aandelen I. De geometrische Brownse beweging leiden we af in Aandelen II. De differentiaalvergelijking uit aandelen I zullen we ook voor de Black-Scholes vergelijking gebruiken. De differentiaalvergelijking voor de aandelenprijs is 𝑑𝑆(𝑡) = 𝜇𝑆𝑑𝑡 + 𝜎𝑆𝑑𝑊

2.1

Hoe kunnen we hiermee een vergelijking voor de optieprijzen maken? Het hangt er van af welke aannames je doet over de factoren die invloed hebben op de optieprijs. Black en Scholes gaan uit van een optiewaarde (value, 𝑉) die afhankelijk is van twee variabelen. De variabelen zijn de huidige aandelenprijs (𝑆) en de tijd tot expiratie (𝑡). We krijgen dus de functie 𝑉(𝑆, 𝑡). Met een hulpmiddel in de stochastische calculus, Itô’s Lemma, kunnen we het wiskundige verband tussen aan de ene kant de aandelenprijs en de tijd tot expiratie en aan de andere kant de optieprijs vaststellen. Allereerst zullen we Itô’s lemma afleiden.

Optiver heeft voor het jaar 2013 een netto winst van €174,6 miljoen gerealiseerd en is daarmee een grote speler in Nederland. 10

22

The Midas Formula

De Taylor Reeks Itô's lemma is gebaseerd op een Taylor reeks, daarom zal eerst het idee hierachter uitgelegd worden. Naast dat we de reeks gebruiken om het lemma af te leiden, geeft het ons ook een beter beeld van het verband tussen een derivaat (zoals een optie) en zijn onderliggende goed.

Differentiëren

We beginnen met wat basis calculus: als we een functie hebben 𝑓(𝑥), dan is de helling, ofwel de afgeleide, van de functie in punt 𝑥:

De exacte wiskundige definitie hiervan is:

𝑑𝑓 𝑑𝑥

𝑑𝑓 𝑓(𝑥 + 𝛿𝑥) − 𝑓(𝑥) = lim 𝛿𝑥→0 𝑑𝑥 𝛿𝑥 Iets dat vooral in het Engels verwarrend is, is het onderscheid tussen de afgeleide en een derivaat (zoals een optie). In het Engels schrijven we deze namelijk beide als ‘derivative’. Het is belangrijk dat we de wiskundige en financiële betekenis hiervan niet verwarren. Een helling kan op zichzelf ook weer afgeleid worden, dit betekent dat we van de functie 𝑓(𝑥) de de afgeleide van de afgeleide nemen, ook wel tweede afgeleide genoemd. Dit noteren we als:

Toepassing van Differentiëren

𝑑2 𝑓 𝑑𝑥 2

Zie het figuur. We hebben te maken met een functie 𝑓(𝑥) over een klein domein. We zijn er als het ware heel erg op ingezoomd. Wat aangegeven is als ‘de curve’ is onze oorspronkelijke functie. We hebben een punt gemarkeerd op de horizontale as dat een waarde heeft van 𝑥 en op de verticale as een waarde heeft van 𝑓(𝑥). De coördinaten zijn dus (𝑥, 𝑓(𝑥)) en het punt is aangegeven met een zwart ingekleurd rondje. Het tweede punt op de curve heeft coördinaten ( 𝑥 + 𝛿𝑥, 𝑓(𝑥 + 𝛿𝑥)). Ook dit punt is aangegeven met een zwart ingekleurd rondje. 𝛿𝑥 is een heel klein getal, maar niet nul. Wat kunnen we nu zeggen over de verticale afstand tussen de twee stippen in termen van de horizontale afstand?

23

The Midas Formula De rechte raaklijn van de curve (de lineaire benadering van de curve) heeft helling 𝑑𝑓/𝑑𝑥 in punt 𝑥. Merk op dat de niet ingekleurde cirkel aan de rechter kant vrij dicht bij de curve zit. Dit betekent dus dat de volgende vergelijking tamelijk goed klopt: 𝑓(𝑥 + 𝛿𝑥) ≈ 𝑓(𝑥) + 𝛿𝑥

𝑑𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥

Er bestaat dus een lineaire relatie tussen 𝑓(𝑥 + 𝛿𝑥) − 𝑓(𝑥) en 𝛿𝑥. Dit is logisch want als we in de bovenstaande formule de waardes wat verschuiven dan krijgen we: 𝑑𝑓 𝑓(𝑥 + 𝛿𝑥) − 𝑓(𝑥) ≈ 𝑑𝑥 𝛿𝑥 Als 𝛿𝑥 naar nul gaat dan is dit gelijk aan de eerdere definitie van de helling (afgeleide)11. De lege cirkel ligt wel dichtbij, maar hij ligt er nog niet op. Een kwadratische relatie tussen 𝑓(𝑥 + 𝛿𝑥) − 𝑓(𝑥) en 𝛿𝑥 geeft ons een preciezere benadering: 𝑑𝑓 1 2 𝑑2 𝑓 (𝑥) 𝑓(𝑥 + 𝛿𝑥) ≈ 𝑓(𝑥) + 𝛿𝑥 + 𝛿𝑥 (𝑥) 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 2 In de figuur zien we dat deze stip dichterbij de curve ligt (grijs ingekleurde cirkel). We kunnen de benadering ook tot de 3e, 4e, enz. macht nemen om hem preciezer te maken: 𝑓(𝑥 + 𝛿𝑥) ≈ 𝑓(𝑥) + 𝛿𝑥

𝑑𝑓 1 𝑑2 𝑓 1 𝑑3 𝑓 (𝑥) + 𝛿𝑥 2 2 (𝑥) + 𝛿𝑥 3 3 (𝑥) + ⋯ 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 6 𝑑𝑥

In dit geval spreken we van een oneindige Taylor reeks van 𝑓(𝑥 + 𝛿𝑥). Deze definiëren we als: ∞ 1 𝑑𝑖 𝑓 𝑓(𝑥 + 𝛿𝑥) ≈ 𝑓(𝑥) + ∑ 𝛿𝑥 𝑖 𝑖 (𝑥) 𝑖! 𝑑𝑥 of als we alleen de verandering in 𝑓 willen:

𝑖=1

∞

1 𝑑𝑖 𝑓 𝛥𝑓(𝑥) ≈ ∑ 𝛿𝑥 𝑖 𝑖 (𝑥) 𝑖! 𝑑𝑥 𝑖−1

In de theorie van financiële derivaten is de Taylor reeks zeer handig. Zo kunnen we, als we geïnteresseerd zijn in de functie 𝑉 voor de waarde van een optie, de functie 𝑓 vervangen door de functie 𝑉. De onafhankelijke variabele is dan niet meer 𝑥 maar 𝑆, van stock price. Van dag tot dag verandert de prijs met 𝛿𝑥. De eerste afgeleide van de optie in verhouding tot het aandeel noemen we ‘delta’, hier zullen we later nog op terugkomen. De waarde van een optie is echter ook afhankelijk van de tijd 𝑡, dus 𝑉(𝑆, 𝑡). Een plot van een functie met 2 variabelen is dan ook drie dimensionaal. Dit brengt ons in de wereld van partieel differentiëren, ook hier gaan we nog verder op in. De Taylor reeks voor een functie 𝑓(𝑥, 𝑦) met twee variabelen is: 𝛥𝑓(𝑥, 𝑦) =

𝑑𝑓 𝑑𝑓 1 𝑑2 𝑓 2 𝑑2 𝑓 1 𝑑2 𝑓 2 𝛿𝑥 + 𝛿𝑦 + 𝛿𝑥 + 𝛿𝑥 𝛿𝑦 + 𝛿𝑦 + ⋯ 𝑑𝑥 𝑑𝑦 2 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝑦 2 𝑑𝑦 2

Deze vergelijking staat overigens op nummer 3 in de lijst van meest invloedrijke formules die we hebben gezien in de inleiding. 11

24

The Midas Formula

Itô En Taylor

Stel, we hebben een Wiener proces 𝑋(𝑡) en de functie 𝐹(𝑋) = 𝑋 2 . In dat geval is 𝐹(𝑋) een Wiener proces in het kwadraat. De Brownse beweging X is willekeurig en daarmee is 𝐹(𝑋) dat dus ook. In de standaard calculus zouden we zeggen dat als 𝐹 = 𝑋 2 dan is de differentiaalvergelijking van deze functie 𝑑𝐹 = 2𝑋 𝑑𝑋. Voldoet dit ook in de stochastische calculus? Nee, de regels van reguliere calculus kloppen niet altijd in de stochastische wereld. In dit deel zullen we Itô's Lemma afleiden voor de differentiaal van de optiewaarde. Een Itô proces bestaat uit een functie 𝑎 en 𝑏 welke afhangen van (𝑥, 𝑡). 𝑑𝑥 = 𝑎(𝑥, 𝑡)𝑑𝑡 + 𝑏(𝑥, 𝑡)𝑑𝑊

2.2

Hierin is W de stochastische component, het Wiener process. We hebben voor deze functie de volgende taylorreeks: 𝜕𝑓 𝜕𝑓 1 𝜕2𝑓 2 𝜕2𝑓 1 𝜕2𝑓 2 𝛥𝑓(𝑥, 𝑡) = 𝑑𝑓 = 𝑑𝑥 + 𝑑𝑡 + 𝑑𝑥 + 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 𝑑𝑡 + ⋯ 𝜕𝑥 𝜕𝑡 2 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 𝜕𝑡 2 𝜕𝑡 2 Om duidelijk te maken dat we het hebben over afgeleiden t.o.v. één van de twee (of meerdere) variabelen gebruiken we de notatie voor de partiële afgeleide, 𝜕. Het invullen van de taylorreeks voor het Itô process 𝑑𝑥 (vergelijking 2.2) geeft: 𝑑𝑓 =

𝜕𝑓 𝜕𝑓 1 𝜕2𝑓 2 2 𝜕2𝑓 2 2 (𝑎 𝑑𝑡 + 𝑏 𝑑𝑊) + 𝑑𝑡 + (𝑎 𝑑𝑡 + 𝑎𝑏 𝑑𝑊 𝑑𝑡 + 𝑏 𝑑𝑊 ) + (𝑎 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑡 2 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 𝜕𝑡 1 𝜕2𝑓 2 + 𝑏 𝑑𝑊) 𝑑𝑡 + 𝑑𝑡 + ⋯ 2 𝜕𝑡 2

Itô gaat uit van een aantal eigenschappen. Deze eigenschappen hebben we al gezien in het hoofdstuk Aandelen I. We herhalen ze hier kort.12  De kwadratische variantie schaalt lineair met de tijd. Er geldt dat 𝐸[𝑑𝑊 2 ] = 𝑑𝑡. Volgens Itô geldt, rekening houdend met de limiet naar 0, 𝑑𝑊 2 → 𝑑𝑡.  Omdat 𝐸[𝑑𝑊] = 0 geldt ook dat 𝐸[𝑑𝑊𝑑𝑡] = 0  De variantie van 𝑑𝑊𝑑𝑡 is 𝐸[𝑑𝑊 2 𝑑𝑡 2 ] = 𝐸[𝑑𝑡 𝑑𝑡 2 ] = 𝐸[𝑑𝑡 3 ]. Aangezien het limiet 𝑑𝑡 → 0 gaat, wordt 𝑑𝑡 3 → 0 dus 𝑑𝑊𝑑𝑡 → 0. Om dezelfde reden geldt 𝑑𝑡 2 → 0. De boven genoemde eigenschappen ingevuld in de vergelijking geeft: 𝜕𝑓 𝜕𝑓 1 𝜕2𝑓 2 𝑑𝑓 = (𝑎 𝑑𝑡 + 𝑏 𝑑𝑊) + 𝑑𝑡 + (𝑏 𝑑𝑡) 𝜕𝑥 𝜕𝑡 2 𝜕𝑥 2 Deze vergelijking is gemakkelijk om te vormen tot de algemene definitie voor Itô's lemma: 𝑑𝑓 = (

12

𝜕𝑓 𝜕𝑓 1 𝜕2𝑓 2 𝜕𝑓 + 𝑎+ 𝑏 ) 𝑑𝑡 + 𝑏 𝑑𝑊 2 𝜕𝑡 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 𝜕𝑥

2.3

Het overzicht komt uit Options, Futures and other derivatives door John C. Hull (zie Appendix E)

25

The Midas Formula

Een Bijzonder Portfolio We hebben het lemma afgeleid en zijn nu al een stap dichter bij het bepalen van de optie prijs. De optieprijs is een functie. Veranderingen in een functie zijn afhankelijk van zijn variabelen. Met een Taylor reeks kan men de verandering van een functie bij een kleine verandering van een van haar variabelen benaderen. We hebben gesteld dat de aandelenprijs een stochastisch proces volgt. De optie is een functie, afhankelijk van de stochastische aandelenprijs en de tijd. Dit zijn de variabelen van de optieprijs. We hebben Itô's lemma afgeleid. Met dit lemma kunnen we de differentiaal vinden van een functie met twee variabelen, waarvan er één stochastisch is. De functie is in dit geval 𝑉 voor de optiewaarde en de variabelen zijn 𝑆 en 𝑡. In dit onderdeel gaan we aan de hand van een theoretische portfolio een vergelijking voor de optieprijs opstellen. De verandering in de functie 𝑉(𝑆, 𝑡) is 𝑑𝑉. Deze verandering kunnen we opstellen met Itô’s lemma. De vergelijking voor 𝑑𝑉 is makkelijk te verkrijgen. We nemen de standaard definitie (vergelijking 2.3) van het lemma en vullen deze in voor 𝑓 = 𝑉, 𝑎 = 𝜇𝑆, 𝑏 = 𝜎𝑆 𝑒𝑛 𝑡 = 𝑡. Dit volgt direct uit de gelijkenis tussen de differentiaalvergelijking (2.1) en het Itô proces (2.2). 𝑑𝑉 = (

𝜕𝑉 𝜕𝑉 1 𝜕2𝑉 2 2 𝜕𝑉 + 𝜇𝑆 + 𝜎 𝑆 ) 𝑑𝑡 + 𝜎𝑆 𝑑𝑊 2 𝜕𝑡 𝜕𝑆 2 𝜕𝑆 𝜕𝑆

Dit is de partiële differentiaalvergelijking van de optiewaarde V. Een differentiaalvergelijking is een vergelijking die de verandering in de functie relateert aan haar afgeleide t.o.v. haar variabele. Omdat we met meerdere variabelen hebben te maken hebben we ook meerdere afgeleide in de differentiaalvergelijking. We spreken over partiële afgeleiden, die we noteren met 𝜕. De grote boosdoener van het geheel is 𝑑𝑊, een willekeurig proces en tevens het meest onvoorspelbare onderdeel van de vergelijking. Eigenlijk heeft het geen zin de vergelijking op te lossen met 𝑑𝑊 er in, omdat de oplossing, door de willekeurigheid, bij wijze van spreke de ene keer wel en de andere keer niet klopt. Dit zou resulteren in een zeer onbetrouwbare manier om opties te waarderen. Hoe komen we hier van af? Black en Scholes namen een laterale benadering van het probleem en deden wat tot dan toe, niemand had gedaan.

Black-Scholes En Delta Hedging

We zijn nu beland bij een van de kern inzichten van Fischer Black en Myron Scholes, namelijk door het gebruik van delta hedging het willekeurige component (𝑑𝑊) uit de vergelijking te halen en daarmee het risico te elimineren. We stellen ons een portfolio voor dat we weergeven met Π (de hoofdletter π). Het portfolio bestaat uit een optie op aandeel X en een short op een bepaalde kwantiteit van X13. Deze kwantiteit wordt weergegeven door 𝛥 (delta). Als we 𝛥 = 3 hebben, dan gaan we we dus short op 3 aandelen. Om ervoor te zorgen dat hun aanpak werkt, namen Black en Scholes aan dat we niet alleen een geheel aantal aandelen kunnen bezitten, maar bijvoorbeeld ook een half aandeel. Het portofolio wordt: Π = 𝑉(𝑆, 𝑡) − 𝛥𝑆

2.4

We nemen dus aan, net zoals eerst, dat het aandeel een willekeurige loop heeft gegeven door: 𝑑𝑆(𝑡) = 𝜇𝑆𝑑𝑡 + 𝜎𝑆𝑑𝑊 De verandering in het portfolio van 𝑡 tot 𝑡 + 𝑑𝑡 wordt gegeven door: dΠ = 𝑑𝑉 − 𝛥𝑑𝑆

We hebben reeds onderzocht wat ‘short gaan’ inhoudt. We verkopen een aandeel. In de wiskundige vergelijking staat er voor ‘short gaan’ daarom ook een minteken (zie de vergelijking van het portfolio). 13

26

The Midas Formula Merk op dat de Δ niet verandert (de ‘𝑑’ komt erachter te staan). Als we het bovenstaande invullen voor 𝑑𝑉 en ook 𝑑𝑆 uitschrijven krijgen we voor het portfolio: dΠ = (

𝜕𝑉 𝜕𝑉 1 𝜕2𝑉 𝜕𝑉 + 𝜇𝑆 + 𝜎 2 𝑆 2 𝜎𝑆 𝑑𝑊 − 𝛥 𝜇𝑆𝑑𝑡 − 𝛥𝜎𝑆𝑑𝑊 ) 𝑑𝑡 + 𝜕𝑡 𝜕𝑆 2 𝜕𝑆 2 𝜕𝑆

Herleiden geeft: 𝜕𝑉 𝜕𝑉 1 2 2 𝜕2𝑉 𝜕𝑉 dΠ = ( + 𝜇𝑆 + 𝜎 𝑆 − 𝛥𝜇𝑆) 𝑑𝑡 + ( 𝜎𝑆 − 𝛥𝜎𝑆) 𝑑𝑊 𝜕𝑡 𝜕𝑆 2 𝜕𝑆 2 𝜕𝑆 Waarom hebben we dit portfolio nu zo opgesteld? We zitten nog steeds met het willekeurige component, 𝑑𝑊, die staat voor de willekeurige beweging van het aandeel. Daarmee is het de grote onbekende van het geheel. Om die reden is het model waardeloos als we deze component er in laten zitten. Nu is het zo dat het portfolio slim opgezet is, zodat we het risico kunnen elimineren. Dit doen we door de waarde voor Δ zorgvuldig te kiezen zodat: 𝛥= We krijgen: dΠ = (

𝜕𝑉 𝜕𝑆

𝜕𝑉 1 2 2 𝜕 2 𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑉 + 𝜎 𝑆 + 𝜇𝑆 − 𝜇𝑆) 𝑑𝑡 + ( 𝜎𝑆 − 𝜎𝑆) 𝑑𝑊 2 𝜕𝑡 2 𝜕𝑆 𝜕𝑆 𝜕𝑆 𝜕𝑆 𝜕𝑆

wat we herleiden tot: dΠ = (

𝜕𝑉 1 2 2 𝜕 2 𝑉 + 𝜎 𝑆 ) 𝑑𝑡 𝜕𝑡 2 𝜕𝑆 2

2.5

Nu is 𝑑𝑊 verdwenen! We elimineren dus het risico door een hoeveelheid ‘∆’ aandelen te shorten! De perfecte eliminatie van het risico door het verband tussen twee instrumenten (in ons geval de optie en haar onderliggende goed: het aandeel), noemen we delta hedging. De strategie van delta hedging noemen we een dynamische hedge strategie. Van de ene tijdstap tot 𝜕𝑉 de andere verandert de hoeveelheid 𝜕𝑆 omdat het een functie is van de steeds veranderende variabelen 𝑆 en 𝑡 . De delta moeten we continu uitbalanceren zodat het risico continu geëlimineerd blijft. Het uitbalanceren is in theorie mogelijk, omdat we aannemen dat de optieprijs perfect is gecorreleerd met de prijs van het aandeel.

27

The Midas Formula De No-Arbitrage Aanname Nadat we de delta hebben gekozen zoals hiervoor aangegeven krijgen we de volgende vergelijking voor de verandering in het portofolio: dΠ = (

𝜕𝑉 1 2 2 𝜕 2 𝑉 + 𝜎 𝑆 ) 𝑑𝑡 𝜕𝑡 2 𝜕𝑆 2

Er zit geen risicofactor meer in het portofolio, deze hebben we immers geëlimineerd. Wat betekent dit voor de verandering van de portfolio waarde? Volgens Black en Scholes stijgt het portofolio met de risicovrije rente14, dit als gevolg van de no-arbitrage aanname. Het noarbitrage principe wordt in de beleggingswereld vaak aangeduid met de uitspraak: “there ain’t no such thing as a free lunch.” Om dit te begrijpen kunnen we de volgende situatie inbeelden: als het delta hedged portofolio een hoger rendement gaf dan de risicovrije rente dan zou ik naar de bank kunnen gaan, hier geld lenen en vervolgens het risicovrije portfolio Π opzetten. Op deze manier verdienen we geld zonder risico te lopen. Aan de andere kant, als het portofolio minder opleverde dan de risicovrije rente, dan zouden we op het portofolio short kunnen gaan, wat dezelfde situatie oplevert. Kortom: het moet (theoretisch) niet zo zijn dat we geld van de bank kunnen lenen om hier vervolgens een risicovrije winst mee te behalen. Het portfolio moet dus toenemen met de risicovrije rente, 𝑟. Als het portofolio toeneemt met de risicovrije rente zouden we logischerwijs stellen dat: 𝑑Π = 𝑟Π𝑑𝑡

De Black-Scholes Vergelijking

Als we de formules (vergelijking 2.4 en 2.5) substitueren in de bovenstaande vergelijking krijgen we: (

𝜕𝑉 1 2 2 𝜕 2 𝑉 𝜕𝑉 + 𝜎 𝑆 ) 𝑑𝑡 = 𝑟 (𝑉 − 𝑆 ) 𝑑𝑡 𝜕𝑡 2 𝜕𝑆 2 𝜕𝑆

Het laatste wat we nu moeten doen om tot de Black-Scholes vergelijking te komen, is delen door 𝑑𝑡 en we ordenen de formule op zo’n manier dat we krijgen: 𝜕𝑉 1 2 2 𝜕 2 𝑉 𝜕𝑉 + 𝜎 𝑆 + 𝑟𝑆 − 𝑟𝑉 = 0 2 𝜕𝑡 2 𝜕𝑆 𝜕𝑆 Dit is de Black-Scholes vergelijking! Het is een tweede orde lineaire parabolische partiële differentiaal vergelijking. Zeer veel vergelijkingen achter financiële derivaten hebben een vergelijkbare vorm. De tweede orde betekent dat de hoogste afgeleide in de vergelijking, de 2e afgeleide is. Bijna alle financiële vergelijkingen zijn lineair, wat betekent dat je twee oplossingen hebt voor de vergelijking als de som van deze twee ook een oplossing is. Vele financiële vergelijkingen zijn ook parabolisch, wat betekent dat ze in verband kunnen worden gebracht met de hitte, ofwel diffusie vergelijkingen uit de thermodynamica (natuurkunde).

14

Dit kan zijn de rente bij de bank, maar ook de rente op een staatsobligatie.

28

The Midas Formula

Black-Scholes Aannames We zijn in de loop van het onderzoek al verschillende aannames (impliciet) tegengekomen. Hier vatten we kort samen wat de aannames zijn in de Black-Scholes vergelijking:  

    

15

Het aandeel betaalt geen dividend gedurende de levensloop van de optie. Er is echter een vrij makkelijke manier om deze aan het model toe te voegen, maar de afleiding daarvan ligt buiten het doel van ons onderzoek. We hebben te maken met Europese opties. Dit hebben we al een paar keer duidelijk gemaakt. Het model wordt wel beschouwd als een voldoende benadering voor Amerikaanse opties. Het is namelijk nooit optimaal om Amerikaanse calloptie uit te oefenen vóór de expiratiedatum15. Commissies en andere transactiekosten worden buiten beschouwing gelaten. Over het algemeen moet men een vorm van kosten betalen om opties te kopen of te verkopen. In het theoretische portfolio is dit niet het geval. De rente is een constante. In het model wordt de risicovrije rente gebruikt. De volatiliteit is een constante. De volatiliteit, ook wel de mate van beweging in het aandeel of de standaarddeviatie, is constant tijdens de levensloop van de optie. Delta hedging gebeurt continu. Dit is een voorwaarde om tot de Black-Scholes vergelijking te komen. Er zijn geen arbitrage mogelijkheden.

John C. Hull – Options, Futures, and other derivatives, hoofdstuk 9.5

29

The Midas Formula

Aandelen II “Nobody knows if the stock is going to go up, down, sideways or in circles” – Quote uit de film ‘The Wolf of Wall Street’.

Brownse Beweging

Om te kunnen begrijpen hoe aandelen zich bewegen in de loop van de tijd, is het van belang dat hier de Brownse Beweging wordt toegelicht. De Brownse Beweging is een natuurkundig verschijnsel wat zich bezig houdt met ‘het toeval’. Robert Brown onderzocht in 1827 stuifmeelkorrels in een vloeistof onder een microscoop. Hij merkte hierbij op dat de deeltjes een onregelmatige eigen beweging vertoonden en volgens een toevallig patroon in alle richtingen konden wegschieten, terwijl het bestaat uit dode materie. Wanneer we het deeltje een tijdje in de gaten houden zien we een willekeurige loop. De beweging wordt ook wel een dronkemanswandeling (random walk) genoemd. In de figuur onder aan de pagina is een random walk geplot in een 3D-grafiek. De verklaring voor de willekeurige beweging is dat zeer kleine deeltjes onderhevig aan het botsen zijn met de vele moleculen vloeistof waarin ze zweven. Sommige botsingen brengen voldoende energie over om waarneembare bewegingen te veroorzaken en sommige niet. Vanuit dit onderzoek ontstond de wiskundige definitie van het toeval: een stochastisch proces. Dit wordt voorgesteld als een verschijnsel dat zich in de tijd (of ruimte) afspeelt, met als uitkomsten stochastische variabelen. Dit zijn grootheden die van het toeval afhangen en kunnen alleen door computers bepaald worden. In het hoofdstuk Aandelen I hebben we de differentiaalvergelijking van een Brownse beweging afgeleid. Naast de Brownse beweging kennen we de geometrische Brownse beweging. Dit is een tijd-continu stochastisch proces waarin het natuurlijke logaritme van de toevalvariabele een Brownse beweging met een drift volgt. Dit natuurlijke logaritme wordt toegepast om eventuele negatieve waarden te elimineren16. Black en Scholes gebruiken de geometrische Brownse beweging voor aandelen, omdat hiermee geen waarden kleiner dan nul kunnen ontstaan. Dit is bij aandelen ook het geval.

De willekeurige loop van een molecuul in het water weergegeven in een 3D grafiek.

16

Het getal 𝑒 tot de macht 𝑥 (𝑒 𝑥 ) kan geen negatieve waarden aannemen.

30

The Midas Formula

Geometrische Brownse Beweging

De geometrische Brownse beweging (ons model voor de aandelenkoers) is af te leiden met behulp van de eerder gevonden differentiaalvergelijking voor de aandelenprijzen (vergelijking 2.1) (SDE, ‘stochastic differential equation’) en Itô’s Lemma. Op basis van Algorithmic Trading & Quantitative Finance (zie Appendix E) leiden we de geometrische Brownse beweging als volgt af: We hebben in het vorige hoofdstuk de algemene definitie voor Ito’s Lemma afgeleid. Deze luidde: 𝑑𝑓 = (

𝜕𝑓 𝜕𝑓 1 𝜕2𝑓 2 𝜕𝑓 + 𝑎+ 𝑏 ) 𝑑𝑡 + 𝑏 𝑑𝑊 𝜕𝑡 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥

We hebben een functie:

𝐺(𝑆) = ln(𝑆)

met de volgende differentiaalvergelijking: 𝑑𝑆 = 𝜇𝑆𝑑𝑡 + 𝜎𝑆𝑑𝑊 Let op dat de functie 𝐺(𝑆) staat voor het rendement op een aandeel. De natuurlijke logaritme vloeit voort uit de aanname van het continue model waar het getal 𝑒 een kern rol speelt (blz. 14). is de 𝑎 van het Lemma 𝜇𝑆, de 𝑏 is 𝜎𝑆. Het Lemma wordt 𝑑𝐺(𝑆) = (

𝜕𝐺 𝜕𝐺 1 𝜕2𝐺 2 2 𝜕𝑉 + 𝜇𝑆 + 𝜎 𝑆 ) 𝑑𝑡 + 𝜎𝑆 𝑑𝑊 2 𝜕𝑡 𝜕𝑆 2 𝜕𝑆 𝜕𝑆

Dit klopt niet helemaal, want: 

𝜕𝐺 𝜕𝑡

= 0, aangezien de variabele 𝑡 niet in onze formule voorkomt (G is alleen afhankelijk

van S)  

𝜕𝐺 1 1 = 𝑆, aangezien de afgeleide van ln(𝑥) = 𝑥 𝜕𝑆 𝜕2 𝐺 1 = 2 , aangezien de tweede afgeleide van ln(𝑥) 𝜕𝑆 2 𝑆

1

= | 2| 𝑥

Als we al deze kenmerken toepassen, krijgen we: 1 1 1 𝑑𝐺(𝑆) = (0 + 𝜇𝑆 − 2 𝜎 2 𝑆 2 ) 𝑑𝑡 + 𝜎𝑆 𝑑𝑊 𝑆 2𝑆 𝑆 1 𝑑𝐺(𝑆) = (𝜇 − 𝜎 2 ) 𝑑𝑡 + 𝜎 𝑑𝑊 2 Integreren geeft: 1 𝐺(𝑆) = (𝜇 − 𝜎 2 ) 𝑡 + 𝜎(𝑊(𝑡) − 𝑊(0)) 2 Omdat we hebben 𝐺(𝑆) = ln(𝑆) geldt dat de oorspronkelijke functie S(t) gegeven wordt door: 𝑆(𝑡) = 𝑒

1 (𝜇− 𝜎2 )𝑡+𝜎(𝑊(𝑡)−𝑊(0)) 2

3.1

31

The Midas Formula De formule aan het eind van de vorige bladzijde noemen we de geometrische Brownse beweging. Met deze formule kunnen we de aandelenprijs simuleren, zoals reeds is toegelicht. Het Black-Scholes model veronderstelt dat aandelen een geometrische Brownse beweging volgen. We halen het model (vergelijking 3.1) even uit elkaar om de werking ervan beter te begrijpen. 1. Black en Scholes gaan uit van het volgende: wanneer al het risico weg is, beweegt elk aandeel zich met een drift (𝜇) gelijk aan de risicovrije rente (volgt uit de no-arbitrage voorwaarde). De risicovrije rente is bijvoorbeeld de rente op een staatsobligatie. De risicovrije rente samen met de volatiliteit over de tijd is grofweg de drift van de geometrische Brownse beweging. De exacte wiskundige notatie volgt uit Itô’s Lemma. De drift beweging zien we terug in het component: 1 (𝜇 − 𝜎 2 ) 𝑡 2

2. De tweede aanname is dat een aandeel ook een willekeurige (stochastische) component heeft, gegeven door het Wiener process (W(t)). De willekeurige beweging over de tijd is als volgt voor te stellen (let op: deze kan negatief worden).

De willekeurige component zien we in de formule voor de geometrische Brownse beweging terug als: 𝜎(𝑊(𝑡) − 𝑊(0))

3. Combineren we deze twee aannames, dan krijgen we de onderstaande grafiek. Met de stippellijn is de invloed van de drift duidelijk gemaakt.

32

The Midas Formula We kunnen de grafieken op de vorige bladzijde ook interpreteren als een continu veranderende 1 normaalverdeling met een gemiddelde (drift) van (𝜇 − 2 𝜎 2 ) 𝑡 en een standaarddeviatie van 𝜎(𝑊(𝑡) − 𝑊(0)). Dit is als volgt te visualiseren:

De rendemente op een aandeel is volgens het Black-Scholes model normaal verdeeld is. De koers zelf is echter lognormaal verdeeld. We zijn in de vorige voorbeelden namelijk nog over het getal 𝑒 gehad die we terugvinden in de geometrische Brownse beweging en die tevens negatieve waarde voorkomt.

Normaal Versus Lognormaal

Als we het getal 𝑒 incorporeren in onze grafische weergave zien we dat het aandeel geen negatieve waarden meer kan aannemen, omdat machten van 𝑒 nooit negatief zijn. Hoe dit er uit ziet is te zien op de volgende pagina, waar we een geometrische Brownse beweging simuleren. De normale en lognormale verdeling lijken op het eerste gezicht veel op elkaar, maar verschillen toch significant als het gaat om kansberekening. Van de normale verdeling zijn de eigenschappen bekend (appendix A). Het belangrijkste verschil tussen de twee is dat de lognormale verdeling niet symmetrisch is, gezien vanaf de gemiddelde waarde. Doordat de waarden van een lognormale verdeling alleen maar positief kunnen zijn, creëren ze een curve naar rechts. Dit is rechtsonder te zien. Een ander onderscheid is de onderliggende aanname van de waarden die worden gebruikt. Een belegger berekent de toekomstige prijs door de huidige prijs te vermenigvuldigen met verschillende rendementen. Deze rendementen worden verondersteld normaal verdeeld te zijn. Als de belegger continu de verwachte prijs berekent, zal hierdoor een lognormale verdeling ontstaan (dit als gevolg van het continue model, blz. 16). Zelfs wanneer het rendement negatief is (wat als het goed is 50% van de gevallen is), zal de aandelenprijs nooit negatief worden. De toekomstige koers zal altijd positief blijven en dus nooit ≤ 0 zijn.

33

The Midas Formula

Monte Carlo Simulatie

De geometrische Brownse beweging kunnen we simuleren door een Monte Carlo simulatie uit te voeren. Met de Monte Carlo simulatie voert de computer voor een bepaald aantal 𝑡’s de geometrische Brownse beweging uit. Op die manier krijgen we een reeks waarden voor 𝑆, de aandelenprijs. In feite hebben we dus een aandelenkoers gesimuleerd, deze is hieronder te zien. We zien duidelijk het typische grillige verloop van een aandelenkoers terug. De geometrische Brownse beweging is voor meerdere processen in te zetten, maar is altijd afhankelijk van de startwaarde, de standaardafwijking en een bepaalde kans die een computer zelf, geheel willekeurig kiest. Dit kan ook alleen door een computer gedaan worden. In verschillende onderzoeken is aangetoond dat mensen (en dieren) altijd iets doen om een reden en nooit iets geheel willekeurig kunnen doen. Er zit altijd een gedachte achter, hoe klein die ook is. De simulatie hebben we uitgevoerd met het programma MATLAB17. 70.000 60.000 50.000 40.000 30.000 20.000 10.000

1 168 335 502 669 836 1003 1170 1337 1504 1671 1838 2005 2172 2339 2506 2673 2840 3007 3174 3341 3508 3675 3842 4009 4176 4343 4510 4677 4844 5011 5178

0

De bovenste afbeelding geeft een Monte Carlo simulatie van een geometrische Brownse beweging weer. We hebben dus een aandelenkoers gesimuleerd. Daaronder is de koersgrafiek te zien van het Amerikaanse bedrijf Amazon. 17

MATLAB (oorspronkelijk MATrix LABoratory) is een technische softwareomgeving uitgegeven door The Mathworks en wordt gebruikt in zowel de industrie als de academische wereld voor allerhande wiskundige toepassingen zoals het berekenen van functies, bewerken van matrices, schrijven en implementeren van algoritmen en het maken van grafische gebruikersinterfaces. De basis van het programma is de programmeertaal ‘M-code’ of ‘M’. Deze wordt gebruikt voor het invoeren, bewerken en uitvoeren van gegevens. Zo ook voor de geometrische Brownse beweging. De gebruikte code is terug te vinden in Appendix C.

34

The Midas Formula Op de vorige bladzijde is duidelijk te zien hoe de gesimuleerde koers een continu stijgende lijn volgt, ook wel de drift genoemd. Deze is ter indicatie toegevoegd in de figuur op de vorige bladzijde. Verder komt er door middel van de volatiliteit een grillig koersverloop tot stand dat om de drift heen ‘zweeft’. Kortom: we kunnen aannemen dat de geometrische Brownse beweging voldoet aan de eisen van een aandelenkoers. De werkelijke koers verloop van het aandeel Amazon bevestigt dit. We kunnen het idee van de lognormale verdeling, dat we net besproken hebben, ook duidelijk maken met de Amazon koers. In de koersgrafiek hebben we een lognormale verdeling geplaatst. De aandelenkoers op 1 januari 2012 is volgens het BlackScholes model dus verdeeld zoals hier onder.

Links is het casino van Monte Carlo te zien. Monte Carlo is de hoofdstad van het prinsdom Monaco. Hier staat een van de beroemdste casino’s ter wereld. De Monte Carlo simulatie is te vergelijken met een casino, omdat bij beide willekeurigheid en kans een grote rol speelt.

35

The Midas Formula

Opties II “It might have taken us a year, a year and a half to be able to solve and get the simple BlackScholes formula, but we had the actual underlying dynamics way before." - Myron Scholes

Afleiden Van De Nobelprijs-Winnende Formule Het belangrijkste inzicht van Black en Scholes hebben we behandeld en we hebben de partiële differentiaalvergelijking voor de optieprijs afgeleid. Nu moeten we deze alleen nog oplossen. In dit deel komen we net zoals in 'Aandelen I & II' natuurkundige verschijnselen tegen. Het doel van dit onderdeel is het afleiden van de Black-Scholes formule. We hebben de volgende vergelijking reeds afgeleid: 𝜕𝑉 1 2 2 𝜕 2 𝑉 𝜕𝑉 + 𝜎 𝑆 + 𝑟𝑆 − 𝑟𝑉 = 0 2 𝜕𝑡 2 𝜕𝑆 𝜕𝑆 Er zijn meerdere manieren om deze vergelijking op te lossen. Wij gaan de vergelijking oplossen door hem te herleiden tot de vorm van de warmtevergelijking (diffusievergelijking) uit de Natuurkunde. Hiertoe zullen we veel transformaties in de vergelijking moeten toepassen.

Partiële Differentiaalvergelijkingen

Partiële differentiaalvergelijkingen zijn een zeer groot onderwerp, gelukkig zijn bijna alle partiële differentiaalvergelijkingen in de financiële wereld van een relatief simpele vorm: tweede orde lineaire parabolische vergelijkingen. In dit onderdeel trachten we een beter begrip te creëren van partiële differentiaalvergelijkingen aan de hand van de welbekende diffusievergelijking uit de natuurkunde, die tevens de basis is van de oplossing van de BlackScholes partiële differentiaalvergelijking.

De Diffusie Vergelijking De hitte of diffusievergelijking:

𝜕𝑢 𝜕 2 𝑢 = 𝜕𝜏 𝜕𝑥 2

Deze is al lang geleden afgeleid, in 1855. Het fungeert als een model om de stroom (of diffusie) van hitte in een continu voorwerp te beschrijven. We stellen ons een lange (dunne) balk voor die aan de zijkanten perfect geïsoleerd is zodat de temperatuur 𝑢(𝑥, 𝜏) alleen afhangt van de afstand 𝑥 langs de balk en de tijd 𝜏. De diffusievergelijking heeft de volgende eigenschappen:   

Het is een lineaire vergelijking wat als gevolg heeft dat we twee oplossingen 𝑢1 en 𝑢2 hebben als we ook de oplossing 𝑐1 𝑢1 + 𝑐2 𝑢2 voor elke constante 𝑐1 en 𝑐2 hebben. Het is een vergelijking van de tweede orde, want de hoogste 𝜕2 𝑢

afgeleide in de vergelijking is de tweede afgeleide: 𝜕𝑥 2

Het is een parabolische vergelijking wat betekent dat we te maken hebben met een eerste afgeleide t.o.v. de ene variabele en een tweede afgeleide t.o.v. van de andere (net zoals bij de Black-Scholes vergelijking).

36

The Midas Formula Voordat we de oplossing van de warmtevergelijking en daarmee de oplossing van de BlackScholes vergelijking geven illustreren we eerst kort wat er gebeurt bij voorwerpen die afkoelen, waar iedereen zich wel wat bij voor kan stellen. Als een voorwerp afkoelt dan staat het warmte af aan zijn omgeving. Dus terwijl de omgeving wat warmer wordt, wordt het voorwerp zelf kouder. Op de vorige bladzijde is rechtsonder weergeven wat er gebeurt. Het eerste plaatje is wanneer een deel van een metalen plaat net opgewarmd is door bijvoorbeeld een fakkel. Het onderste plaatje is een tijdje daarna. Zowel de kleur als de hoogte geven de temperatuur aan. Je ziet dat de plaats die aanvankelijk verwarmd werd op het tweede plaatje lager wordt en de omgeving die stijgt doordat deze warmte opneemt, wat overeenstemt met onze kennis van warme voorwerpen die hun warmte afstaan.

De Oplossing Van De Warmtevergelijking Als we nu de balk opwarmen in één punt krijgen we (wanneer er geen tijd verstreken is) de volgende waarde voor de temperatuur, 𝑢(𝑥, 𝜏): 𝑢(𝑥, 0) = 𝑢0 (𝑥) = 𝛿(𝑥) We noemen dit ook wel de initiële waarde of startwaarde. We stellen dat de startwaarde gelijk is aan 𝛿(𝑥), dit is de Dirac Delta Functie. Hieronder wordt deze vrij abstracte functie verduidelijkt.

De Dirac Delta Functie

De Dirac Delta Functie, 𝛿(𝑥), wordt gedefinieerd als: ∞

𝜀

0 𝑎𝑙𝑠 𝑥 ≠ 0 𝛿(𝑥) = { 𝑒𝑛 ∫ 𝛿(𝑥)𝑑𝑥 = 1 𝑜𝑓 ∫ 𝛿(𝑥)𝑑𝑥 = 1 𝑚𝑒𝑡 𝜀 > 0 ∞ 𝑎𝑙𝑠 𝑥 = 0 −∞ −𝜀 De bovenstaande eigenschappen kan een reële functie eigenlijk niet bezitten. Het woord ‘functie’ is daarom ook niet zo gunstig gekozen. In de Natuurkunde wordt de ‘functie’ gebruikt om bijv. impulsen of puntvormige elektronen te beschrijven. Dat we een oppervlakte van 1 krijgen als we de functie integreren zoals in de definitie hierboven, is duidelijker te maken als we de Dirac Delta Functie voorstellen als een distributie. In dit geval is het de limiet van een reeks steeds spitsere normaalverdelingen en normaal verdelingen hebben de oppervlakte 1. Grafisch zien we: Weergegeven is de functie: 1 −𝑥 22 𝑓𝑎 (𝑥) = 𝑒 𝑎 𝑎√𝜋 Voor steeds kleiner wordende a’s.

Wanneer 𝑎 → 0 hebben we het over een Dirac Delta functie: 1 −𝑥 22 𝛿𝑎 (𝑥) = 𝑒 𝑎 𝑎√𝜋 Die in de afbeelding hiernaast is weergegeven. De functie heeft een oneindige hoogte.

37

The Midas Formula

Voor integreerbare functie 𝑓(𝑥) hebben we: ∞

𝑓(0) = ∫ 𝑓(𝑥)𝛿(𝑥)𝑑𝑥 −∞

Maar ook

∞

𝑔(0) = ∫ 𝑔(𝜉)𝛿(𝜉)𝑑𝜉 −∞

Als we stellen 𝑔(𝜉) = 𝑓(𝑥 − 𝜉) Kunnen we schrijven

∞

4.1

𝑓(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥 − 𝜉)𝛿(𝜉)𝑑𝜉 −∞

Vergelijking 4.1 is een belangrijke18 vergelijking bij het oplossen van differentiaalvergelijkingen. De initiële waarde van de warmtevergelijking is dus oneindig in een punt. Men gaat er dus vanuit dat in de startsituatie alle hitte is geconcentreerd op een 'hotspot', bijv. 𝑥 = 0. Dit lichten we hieronder verder toe

De Fundamentele Oplossing De fundamentele oplossing van de hitte vergelijking wordt gegeven door19: 𝑢(𝑥, 𝜏) =

1 √4𝜋𝜏

𝑥2

𝑒 −4𝜏

4.2

− ∞ < 𝑥 < ∞, 𝜏 > 0

We zien dat de fundamentele oplossing gelijk is aan een normale distributie curve uit de kansrekening. Het gemiddelde is 0 en de variantie is 2𝜏. De oplossing sluit heel logisch aan bij de start vorm van de functie (de Dirac Delta Functie) én bij de stroom van warmte die we net gevisualiseerd hebben. Voor verschillende 𝜏's krijgen we de figuur hieronder. De figuur begint als een Dirac Delta Functie: alle hitte is op één punt geconcentreerd (de hotspot, zie de pijl). Naarmate de tijd verstrijkt wordt de temperatuur op de plaats waar warmte toegevoerd is lager (de top zakt) en links en rechts van dit punt wordt de temperatuur juist hoger. De temperatuur staat op de y-as, de afstand tot de ‘hotspot’ op de x-as. In de figuur is de warmte weergegeven bij verschillende 𝜏 ′ 𝑠. Bij de laagste curve is dus het meeste tijd verstreken. 𝑢

18 19

http://www.nada.kth.se/~annak/diracdelta.pdf “The Mathematics Of Financial Derivatives” - Wilmott, Howison, Dewynne (1995), pagina 74

𝑥

38

The Midas Formula Afleiden Van De Algemene Oplossing In dit onderdeel gaan we de analytische oplossing bestuderen voor de diffusievergelijking op een vast domein. Wat houdt in dat de afstanden links en rechts van ‘de hotspot’ vooraf bekend zijn. Europese callopties hebben ook een vast domein. De uitoefendatum staat namelijk vast. Problemen waar deze niet bekend zijn, zogenaamde 'free boundary problems', komen we tegen bij Amerikaanse opties die op elk moment kunnen worden uitgeoefend. Met de eigenschap (vergelijking 4.1) van de Dirac delta functie kunnen we de initiële waarde schrijven als: ∞

𝑢0 (𝑥) = ∫ 𝛿(𝑥 − 𝜉)𝑢0 (𝜉)𝑑𝜉 −∞

Met dezelfde eigenschap (vergelijking 4.1) kunnen we schrijven: ∞

𝑢(𝑥, 𝜏) = ∫ 𝑢(𝑥 − 𝜉)𝛿(𝜉)𝑑𝜉 −∞

∞

= ∫ 𝑢(𝑥 − 𝜉)𝑢0 (𝜉)𝑑𝜉 −∞

Gegeven de fundamentele (vergelijking 4.2) oplossing, schrijven we op basis van het bovenstaande: ∞

=∫

1

−∞ √4𝜋𝜏

𝑒−

(𝑥−𝜉)2 4𝜏 𝑢0 (𝜉)𝑑𝜉

4.3

Met nog steeds de initiële waarde: ∞

𝑢0 (𝑥) = ∫ 𝛿(𝑥 − 𝜉)𝑢0 (𝜉)𝑑𝜉 = 𝑢(𝑥, 0) −∞

‘Boundary And Final Conditions For European Options’

Voordat we de vergelijking kunnen oplossen om de Black-Scholes formule te vinden, moeten we de rand- en finale voorwaarden bekijken, omdat we anders geen unieke oplossing hebben voor de differentiaalvergelijking. De Black-Scholes vergelijking is een achterwaartse vergelijking. Dit is omdat we bij opties geen initiële waarde weten, maar juist de (maximale) eindwaarde op de uitoefendatum. Bij een voorwaartse vergelijking zouden we zoeken naar een initiële waarde of startwaarde bij 𝑡 = 0. De finale voorwaarde zijn we al tegen komen, maar we zullen ze hier herhalen. We leiden de oplossing af voor een Europese calloptie dus laten we de putoptie voorwaarden even buiten beschouwing. De finale voorwaarde, die we toepassen als 𝑡 = 𝑇 (Waarbij 𝑇 het moment van expiratie is), wordt weergeven met de volgende notatie: 𝐶(𝑆, 𝑇) = max(𝑆 − 𝐾, 0) De notatie geeft de maximale opbrengst aan bij expiratie. De randvoorwaarden zijn van toepassing bij een aandelenprijs 𝑆 = 0 en 𝑆 → ∞. We weten als 𝑆 gelijk is aan 0 dat 𝑑𝑆 dan ook 0 is, waardoor 𝑆 niet kan veranderen. Volgens onze stochastische differentiaalvergelijking voor de aandelenprijs zal het aandeel niets waard blijven. We schrijven: 𝐶(0, 𝑡) = 0

39

The Midas Formula We kunnen dus elke t invullen die we willen, maar als de aandelenprijs 0 is, dan is de waarde van de calloptie ook 0. In het omgekeerde geval, waarbij de aandelenprijs oneindig stijgt, schrijven we als: 𝐶(𝑆, 𝑡) ≈ 𝑆 𝑤𝑎𝑛𝑛𝑒𝑒𝑟 𝑆 → ∞ Dit ontstaat doordat we het over oneindig grote getallen hebben als de uitoefenprijs eigenlijk verwaarloosbaar klein wordt. In feite is de uitbetaling van de optie dus gelijk aan de aandelenprijs en kunnen we de uitoefenprijs buiten beschouwing laten.

Transformatie Van Black-Scholes Vergelijking In De Warmtevergelijking

Nu we de oplossing van de warmtevergelijking hebben gevonden, kunnen we de Black-Scholes vergelijking transformeren in de warmtevergelijking om de Black-Scholes formule te vinden. Voor een calloptie hebben we de volgende gegevens: 𝜕𝐶 1 2 2 𝜕 2 𝐶 𝜕𝐶 + 𝜎 𝑆 + 𝑟𝑆 − 𝑟𝐶 = 0 𝜕𝑡 2 𝜕𝑆 2 𝜕𝑆 Voor de duidelijkheid hebben we de waarde 𝑉 (value) veranderd in de 𝐶 van (Europese) calloptie, zodat er geen verwarring ontstaat tussen callopties en putopties. In het bovenstaande kader hebben we nog de volgende voorwaarden vastgesteld: 𝐶(0, 𝑡) = 0 𝐶(𝑆, 𝑡) ≈ 𝑆 𝑤𝑎𝑛𝑛𝑒𝑒𝑟 𝑆 → ∞ 𝐶(𝑆, 𝑇) = max(𝑆 − 𝐾, 0), De Black-Scholes partiële differentiaal vergelijking (PDV) lijkt tamelijk veel op de diffusievergelijking. Hij heeft alleen meer termen: afgeleiden van 𝐶 ten opzichte van 𝑆 worden vermenigvuldigd met 𝑆, wat on-constante coëfficiënten geeft en we hebben te maken met een achterwaartse vergelijking, gezien de finale voorwaarde op 𝑡 = 𝑇. De hittevergelijking is voorwaarts en heeft een initiële voorwaarde. De eerste transformaties die we zullen moeten maken zijn: 𝑆 𝑥 = ln ( ) 𝑧𝑜𝑑𝑎𝑡 𝑆 = 𝐾𝑒 𝑥 𝐾 𝜏=

4.4

𝜎2 2𝜏 (𝑇 − 𝑡) 𝑧𝑜𝑑𝑎𝑡 𝑡 = 𝑇 − 2 2 𝜎

𝑈(𝑥, 𝜏) =

1 1 2𝜏 𝐶(𝑆, 𝑡) = 𝐶(𝐾𝑒 𝑥 , 𝑇 − 2 ) 𝐾 𝐾 𝜎

Voor de eerste paar transformaties gebruiken we de kettingregel voor partiële afgeleiden. De ‘standaard’ kettingregel schrijven we als volgt. De functie 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) heeft als afgeleide: 𝐹′(𝑥) = 𝑓′(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥)

40

The Midas Formula Hier is ook een alternatieve notatie voor:

𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑦 Deze afgeleide van 𝑑𝑡 is logisch, want als we 𝑥 in zouden vullen in 𝑦, dan is 𝑦 daadwerkelijk een functie van 𝑡. Nu we kennis hebben gemaakt met deze notatie gaan we kijken naar een functie met twee variabelen, omdat de Black-Scholes vergelijking deze heeft. We nemen de functie 𝑑𝑓 𝑓(𝑥, 𝑦) met 𝑥(𝑡) en 𝑦(𝑠), dus; 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑠)). We berekenen 𝑑𝑠 . Het idee hierachter is hetzelfde als die van de vorige notatie. In dit geval krijgen we voor de kettingregel: 𝐺𝑒𝑔𝑒𝑣𝑒𝑛

𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑒𝑛

𝑥 = 𝑔(𝑡)

𝑑𝑎𝑛

𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝑑𝑦 = 𝜕𝑠 𝜕𝑦 𝑑𝑠 Dit is hetzelfde als voorheen. Omdat de variabelen 𝑥 en 𝑦 afhankelijk zijn van twee verschillende grootheden (respectievelijk 𝑡 en 𝑠) kunnen we het op deze manier doen. Als het was geweest 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) dan moeten we differentiëren t.o.v. beide variabelen. Pas de kettingregel toe op de partiële afgeleiden. Als we 𝑈 noteren als 𝑈(𝑥(𝑆), 𝜏(𝑡)) conform de transformaties dan geeft dit wellicht een beter inzicht. Voor de partiële afgeleiden in de vergelijking krijgen we: 𝜕𝐶 𝜕𝑈 𝑑𝜏 −𝐾𝜎 2 𝜕𝑈 =𝐾 = 𝜕𝑡 𝜕𝜏 𝑑𝑡 2 𝜕𝜏 𝑑𝜏

We berekenen 𝑑𝑡 met behulp van de transformatievergelijking 𝜏 = 𝑑𝜏 𝑑𝑡

𝜎2 − . 2

𝜎2 (𝑇 2

− 𝑡) =

𝜎2 𝑇 2

−

𝜎2 𝑡. 2

De

afgeleide wordt dus = Bij de volgende termen moeten we ook rekening houden met deze transformatievergelijkingen. 𝜕𝐶 𝜕𝑈 𝑑𝑥 𝐾 𝜕𝑈 𝜕𝑈 =𝐾 = = 𝑒 −𝑥 , 𝜕𝑆 𝜕𝑥 𝑑𝑆 𝑆 𝜕𝑥 𝜕𝑥 De laatste term is de afgeleide van de afgeleide van de tweede term, oftewel de tweede afgeleide. Eerst schrijven we: 𝜕2𝐶 𝜕 𝐾 𝜕𝑈 = ( ) 2 𝜕𝑆 𝜕𝑆 𝑆 𝜕𝑥 We hebben te maken met een product dus gebruiken we de productregel voor differentiëren: 𝐾 𝜕𝑈 𝐾 𝜕 𝜕𝑈 + ( ) 𝑆 2 𝜕𝑥 𝑆 𝜕𝑆 𝜕𝑥 𝜕𝑈 𝐾 𝜕𝑈 𝐾 𝜕 ( 𝜕𝑥 ) 𝑑𝑥 =− 2 + 𝑆 𝜕𝑥 𝑆 𝜕𝑥 𝑑𝑆 =−

=−

𝐾 𝜕𝑈 𝐾 𝜕 𝜕𝑈 𝑑𝑥 + ( ) 𝑆 2 𝜕𝑥 𝑆 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝑑𝑆

=−

𝐾 𝜕𝑈 𝐾 𝜕 𝜕𝑈 1 + ( ) 𝑆 2 𝜕𝑥 𝑆 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝑆

=−

𝐾 𝜕𝑈 𝐾 𝜕 2 𝑈 + 𝑆 2 𝜕𝑥 𝑆 2 𝜕𝑥 2

41

The Midas Formula 𝑒 −2𝑥 𝜕 2 𝑈 𝜕𝑈 − ) ( 𝐾 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 Als we de transformaties substitueren in de Black-Scholes PDV krijgen we: =

−𝐾𝜎 2 𝜕𝑈 𝜕𝑈 1 2 2 2𝑥 𝑒 −2𝑥 𝜕 2 𝑈 𝜕𝑈 + 𝑟𝐾𝑒 𝑥 𝑒 −𝑥 + 𝜎 𝐾 𝑒 − ) − 𝑟𝐾𝑈 = 0 ( 2 𝜕𝜏 𝜕𝑥 2 𝐾 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 1

Delen door K en door 2 𝜎 2 geeft het volgende: −

𝜕𝑈 𝜕𝑈 𝜕 2 𝑈 + (𝑘 − 1) + − 𝑘𝑈 = 0 𝜕𝜏 𝜕𝑥 𝜕𝑥 2

4.5

2𝑟

Hierin is 𝑘 = 𝜎2 om de vergelijking overzichtelijker te maken. De PDV bevat geen coëfficiënten van 𝑥 of 𝜏. De finale voorwaarde van 𝐶 was 𝐶(𝑆, 𝑇) = max(𝑆 − 𝐾, 0), ofwel 𝐶(𝑆𝑇 , 𝑇) = max(𝑆𝑇 − 𝐾, 0). We gebruiken de 𝑇 in subscript om duidelijk te maken welke tijd (het huidige moment 𝑡 of het moment van expiratie 𝑇) van toepassing is. Van vergelijking 4.4 hebben we, wanneer 𝑆

𝑆𝑡 = 𝑆𝑇 , dat 𝑥 = ln ( 𝐾𝑇 ). Dit schrijven we als 𝑥𝑇 . Aangezien 𝑡 = 𝑇, resulteert 𝜏 = 𝜏 = 0. De initiële voorwaarde voor U is dus: 𝑈(𝑥𝑇, 0) = 𝑈0 (𝑥𝑇 ) =

𝜎2 (𝑇 2

− 𝑡) in

1 1 (𝑆𝑇 − 𝐾)+ = (𝐾𝑒 𝑥𝑇 − 𝐾)+ = (𝑒 𝑥𝑇 − 1)+ = max(𝑒 𝑥𝑇 − 1, 0) 𝐾 𝐾

Nu is er nog een transformatie nodig om de warmtevergelijking te verkrijgen, namelijk: 2

𝑊(𝑥, 𝜏) = 𝑒 𝛼𝑥+𝛽 𝜏 𝑈(𝑥, 𝜏)

4.6

Hierin zijn 𝛼 en 𝛽 de twee constanten die we zoeken. Voor de partiële afgeleiden van 𝑈 in termen van 𝑊gebruiken we de kettingregel (zoals op de vorige bladzijde) en de productregel. Voor de termen in de functie kunnen we na herleiden het volgende schrijven: 𝜕𝑈 𝜕𝑊 2 = 𝑒 −𝑎𝑥−𝛽 𝜏 ( − 𝑊(𝑥, 𝜏)𝛽 2 ) 𝜕𝜏 𝜕𝜏 𝜕𝑈 𝜕𝑊 2 = 𝑒 −𝛼𝑥−𝛽 𝜏 ( − 𝛼𝑊(𝑥, 𝜏)) 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕2𝑈 𝜕𝑊 𝜕 2 𝑊 −𝑎𝑥−𝛽 2 𝜏 2 = 𝑒 𝑊(𝑥, 𝜏) − 2𝛼 + (𝛼 ) 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 𝜕𝑥 2 Als we deze substitueren in de vergelijking (vergelijking 4.5) en herleiden, krijgen we: 𝛽 2 𝑊(𝑥, 𝜏) −

𝜕𝑊 𝜕𝑊 𝜕𝑊 𝜕 2 𝑊 + (𝑘 − 1) (−𝛼𝑊(𝑥, 𝜏) + ) + 𝛼 2 𝑊(𝑥, 𝜏) − 2𝛼 + − 𝑘𝑊(𝑥, 𝜏) = 0 𝜕𝜏 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 2

De transformaties die we tot nu toe hebben gemaakt zijn niet voor niets geweest, er wordt duidelijk toegewerkt naar een versimpeling van de Black-Scholes vergelijking om de warmtevergelijking te krijgen. We zien dit vooral bij transformatie in vergelijking 4.7: we stoppen als het een 𝛼 en 𝛽 in de formule die waar we zelf een waarde aan kunnen geven. Ook de 𝑒-macht is bewust gekozen omdat deze blijft staan bij het differentiëren. We kunnen deze zo 42

The Midas Formula wegdelen om de Bovenstaande vergelijking te verkrijgen. Nu is de vraag: wat vullen we in voor 𝛼 en 𝛽in de formule? We moeten alle termen die niet in een warmtevergelijking zitten elimineren. De termen die we over willen houden zijn gemarkeerd met een groene kleur in de bovenstaande vergelijking. We schrijven: 𝛽2𝑊 =

𝜕𝑊 𝜕𝑊 𝜕𝑊 𝜕 2 𝑊 + (𝑘 − 1)𝛼𝑊 − (𝑘 − 1) − 𝛼 2 𝑊 + 2𝛼 − + 𝑘𝑊 𝜕𝜏 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 2

De termen die vermenigvuldigd worden door 𝑊 elimineren we door te kiezen

4.7

𝛽 2 = (𝑘 − 1)𝛼 − 𝛼 2 + 𝑘

De overige ‘niet-groene’ termen die overbodig zijn voor de warmtevergelijking elimineren we door te stellen 0 = −(𝑘 − 1) + 2𝛼

Dit geeft:

1 𝛼 = (𝑘 − 1) 2

4.8

Vullen we vergelijking 4.8 in, in de vergelijking 4.7 dan kunnen we ook 𝛽 bepalen. 2

1 1 𝛽 = (𝑘 − 1) (𝑘 − 1) − ( (𝑘 − 1)) + 𝑘 2 2 2

Dit geeft: 1 𝛽 = (𝑘 + 1) 2 1

1

We kiezen dus 𝛼 = 2 (𝑘 − 1) en 𝛽 = 2 (𝑘 + 1). Als we het geheel nu herleiden houden we de vergelijking over waar we naar zochten, de warmtevergelijking: 𝜕𝑊 𝜕 2 𝑊 = 𝜕𝜏 𝜕𝑥 2 De initiële waarde voor 𝑊(𝑥, 𝜏) is: 𝑊0 (𝑥𝑇 ) = 𝑊(𝑥𝑇 , 0) = 𝑒 𝛼𝑥𝑇 𝑈(𝑥𝑇 , 0) = (𝑒 (𝛼+1)𝑥𝑇 − 𝑒 𝛼𝑥𝑇 )+ = (𝑒 𝛽𝑥𝑇 − 𝑒 𝛼𝑥𝑇 )+ = max(𝑒 𝛽𝑥𝑇 − 𝑒 𝛼𝑥𝑇 , 0)

4.9

𝛽 is immers gelijk aan 𝛼 + 1. De transformatie van 𝐶 naar 𝑊 is, als we onze stappen kort achterhalen: 2

𝐶(𝑆, 𝑡) = 𝐾𝑒 −𝛼𝑥−𝛽 𝜏 𝑊(𝑥, 𝜏)

43

The Midas Formula

Het Afleiden Van De Black-Scholes Formule

Nu kunnen we de formule afleiden.20 Omdat 𝑊(𝑥, 𝜏) een warmtevergelijking is, kunnen we de oplossing gebruiken uit vergelijking 4.3 met initiële voorwaarde (vergelijking 4.9). De oplossing is dus: ∞ (𝑥−𝜉)2 1 − 𝑊(𝑥, 𝜏) = ∫ 𝑒 4𝜏 𝑊0 (𝜉)𝑑𝜉 −∞ √4𝜋𝜏 ∞ (𝜉−𝑥)2 1 = ∫ 𝑒 − 4𝜏 (𝑒 𝛽𝜉 − 𝑒 𝛼𝜉 )+ 𝑑𝜉 √4𝜋𝜏 −∞ Maak de verandering in variabele 𝑧 = 𝑊(𝑥, 𝜏) =

1

𝜉−𝑥 , √2𝜏 ∞

zodat 𝜉 = √2𝜏𝑧 + 𝑥 en 𝑑𝜉 = √2𝜏𝑑𝑧: 1 2

∫ 𝑒 −2𝑧 (𝑒 𝛽(√2𝜏𝑧+𝑥) − 𝑒 𝛼(√2𝜏𝑧+𝑥) )+ 𝑑𝑧

√2𝜋 −∞ Merk op dat we niet willen dat het integraal gelijk wordt aan 0 als we moeten voldoen aan de −𝑥 voorwaarde 𝛽(√2𝜏𝑧 + 𝑥) > 𝛼(√2𝜏𝑧 + 𝑥). Wat hetzelfde is als 𝑧 > 2𝜏. We kunnen het integraal √

nu opbreken in twee delen: 𝑊(𝑥, 𝜏) =

1 √2𝜋

∞

∫ −

𝑥 √2𝜏

1

1 2

𝑒 −2𝑧 𝑒 𝛽(√2𝜏𝑧+𝑥) 𝑑𝑧 −

√2𝜋

= 𝐼1 − 𝐼2

∞

∫ −

1 2

𝑥 √2𝜏

𝑒 −2𝑧 𝑒 𝛼(√2𝜏𝑧+𝑥) 𝑑𝑧

Als we de vermenigvuldiging in het eerste integraal uitvoeren, krijgen we: 1 1 − 𝑧 2 + 𝛽√2𝜏𝑧 + 𝛽𝑥 = − (𝑧 − 𝛽√2𝜏)2 + 𝛽𝑥 + 𝛽 2 𝜏 2 2 De eerste integraal wordt dan: 𝐼1 = 𝑒 𝛽𝑥+𝛽

2𝜏

1 √2𝜋

∞

∫ −

𝑥 √2𝜏

1

2

𝑒 −2(𝑧 − 𝛽√2𝜏) 𝑑𝑧

We stellen 𝑦 = 𝑧 − 𝛽√2𝜏 zodat de integraal nu wordt: 𝐼1 = 𝑒 𝛽𝑥+𝛽 =𝑒

2𝜏

𝛽𝑥+𝛽 2 𝜏

1

∞

1 2

𝑒 −2𝑦 𝑑𝑦

∫

√2𝜋 −𝑥/ √2𝜏−𝛽√2𝜏 ∞ 1 2 1 ∫ 𝑒 −2𝑦 𝑑𝑦 √2𝜋 −𝑥/ √2𝜏−𝛽√2𝜏

Op deze manier creëren we een cumulatieve normale distributiefunctie en kunnen we dus schrijven dat: 2

𝐼1 = 𝑒 𝛽𝑥+𝛽 𝜏 (1 − Φ (−

𝑥 √2𝜏

− 𝛽√2𝜏))

𝑥 2 𝐼1 = 𝑒 𝛽𝑥+𝛽 𝜏 Φ ( + 𝛽√2𝜏) √2𝜏 Hiervoor hebben we Four derivations of the Black-Scholes Formula door de Fabrice D. Rouah geraadpleegd. 20

44

The Midas Formula De tweede integraal is gelijk, alleen vervangen we 𝛽 door 𝛼: 𝑥 2 𝐼2 = 𝑒 𝛼𝑥+𝛼 𝜏 Φ ( + 𝛼√2𝜏) √2𝜏 In het proces tot nu toe hebben we veel transformaties gemaakt. Het is de bedoeling dat we deze ongedaan maken zodat we onze originele variabelen terugkrijgen. Opgesomd hebben we de volgende transformaties die we ongedaan moeten maken: 𝑆  𝑥 = ln (𝐾)   

2𝑟 𝜎2 1 𝛼 = 2 (𝑘 − 1 𝛽 = 2 (𝑘 + 1 𝜏 = 2 𝜎 2 (𝑇

𝑘=

1) = 1) =

𝑟−𝜎 2 /2 𝜎2 𝑟+𝜎 2 /2 𝜎2

 − 𝑡) We hebben nu dus: 𝑥 √2𝜏

+ 𝛽√2𝜏 =

𝑆 1 ln (𝐾 ) + (𝑟 + 2 𝜎 2 ) (𝑇 − 𝑡)

+ 𝛼√2𝜏 =

𝑆 1 ln (𝐾 ) + (𝑟 − 2 𝜎 2 ) (𝑇 − 𝑡)

𝜎√𝑇 − 𝑡

= 𝑑1

en 𝑥 √2𝜏

𝜎√𝑇 − 𝑡

= 𝑑2

Maar dat kan ook korter: 𝑥 √2𝜏

+ 𝛼√2𝜏 = 𝑑1 − 𝜎√𝑇 − 𝑡 = 𝑑2

Samengevat hebben we nu: 2

2

𝑊(𝑥, 𝜏) = 𝐼1 − 𝐼2 = 𝑒 𝛽𝑥+𝛽 𝜏 Φ(𝑑1 ) − 𝑒 𝛼𝑥+𝛼 𝜏 Φ(𝑑2 ) Nu zijn we bij de laatste stap aangekomen. Een deel van de variabelen is nog niet terug getransformeerd en dat doen we nu. We moeten van 𝑊(𝑥, 𝜏) naar 𝐶(𝑆, 𝑡). We halen even terug: 2

𝐶(𝑆, 𝑡) = 𝐾𝑒 −𝛼𝑥−𝛽 𝜏 𝑊(𝑥, 𝜏) 2 𝐶(𝑆, 𝑡) = 𝐾𝑒 −𝛼𝑥−𝛽 𝜏 (𝐼1 − 𝐼2 ) Dit betekent dat voor het eerste integraal: 2

2

𝐾𝑒−𝛼𝑥−𝛽 𝜏 𝑒 𝛽𝑥+𝛽 𝜏 Φ(𝑑1 ) = 𝐾𝑒 (𝛽−𝛼)𝑥 Φ(𝑑1 ) = 𝑆Φ(𝑑1 ) 𝛽 − 𝛼 is immers gelijk aan 1. De tweede integraal wordt: 2

2

𝐾𝑒 −𝛼𝑥−𝛽 𝜏 𝑒 𝛼𝑥+𝛼 𝜏 Φ(𝑑2 ) = 𝐾𝑒 (𝛼 2𝑟

2 𝜏−𝛽 2 𝜏)

Φ(𝑑2 ) = 𝐾𝑒 −𝑟(𝑇−𝑡) Φ(𝑑2 )

1

𝛼 2 − 𝛽 2 is immers gelijk aan − 𝜎2 en 𝜏 = 2 𝜎 2 (𝑇 − 𝑡), zoals we gezien hebben in de opsomming van de gemaakte transformaties.

45

The Midas Formula Als we nu de twee integralen combineren krijgen we de Black-Scholes prijs voor een calloptie: 𝐶(𝑆, 𝑡) = 𝑆Φ(𝑑1 ) − 𝐾𝑒 −𝑟(𝑇−𝑡) Φ(𝑑2 ) met:

𝑑1 =

𝑑2 =

𝑆 1 ln (𝐾 ) + (𝑟 + 2 𝜎 2 ) (𝑇 − 𝑡) 𝜎√𝑇 − 𝑡

𝑆 1 ln (𝐾 ) + (𝑟 − 2 𝜎 2 ) (𝑇 − 𝑡) 𝜎√𝑇 − 𝑡

= 𝑑1 − 𝜎√𝑇 − 𝑡

In opties I hebben we kennis gemaakt met het verband tussen Europese call- en putopties. We hadden aangetoond dat de zogenaamde put-call pariteit wordt gegeven door: 𝐶 − 𝑃 = 𝑆 − 𝐾𝑒 −𝑟(𝑇−𝑡) De putwaarde staat dus in het volgende verband tot de callprijs: 𝑃 = 𝐶 − 𝑆 + 𝐾𝑒 −𝑟(𝑇−𝑡) Invullen voor 𝐶 geeft: 𝑃 = 𝑆Φ(𝑑1 ) − 𝐾𝑒 −𝑟(𝑇−𝑡) Φ(𝑑2 ) − 𝑆 + 𝐾𝑒 −𝑟(𝑇−𝑡) Dit kunnen we herleiden door te schrijven: 𝑃 = 𝑆(Φ(𝑑1 ) − 1) − 𝐾𝑒 −𝑟(𝑇−𝑡) (Φ(𝑑2 ) − 1) Door de symmetrische aard van de cumulatieve distributie Φ te gebruiken, komen we ook voor de putoptie uit op een overzichtelijke formule, namelijk: 𝑃 = 𝐾𝑒 −𝑟(𝑇−𝑡) Φ(−𝑑2 ) − 𝑆Φ(−𝑑1 ) We hebben nu een elegante oplossing voor de optieprijzen. Een van de grote pluspunten van de Black-Scholes formule is immers haar eenvoud. De Black-Scholes formule is een zogenaamde ‘closed form solution’ van de Black-Scholes vergelijking. Een belangrijk kenmerk hiervan is dat er geen oneindigheden nodig zijn om een oplossing te bepalen. Dit in tegenstelling tot veel numerieke modellen die veel rekenkracht nodig hebben van een computer. Voordat we verder gaan naar ‘Black-Scholes in de Praktijk’, is het handig om de aannames van het Black-Scholes model nog een keer door te nemen:  Het aandeel betaalt geen dividend uit gedurende de levensloop van de optie. Er is echter een vrij makkelijke manier om deze aan het model toe te voegen, maar de afleiding daarvan ligt buiten het doel van ons onderzoek.  We hebben te maken met Europese opties. Dit hebben we al een paar keer duidelijk gemaakt. Het model wordt wel beschouwd als een voldoende benadering voor Amerikaanse opties. Het is namelijk nooit optimaal om Amerikaanse calloptie uit te oefenen vóór de expiratiedatum21.

21

John C. Hull – ‘Options, Futures, and other derivatives’, hoofdstuk 9.5

46

The Midas Formula     

Commissies en andere transactiekosten worden buiten beschouwing gelaten. Over het algemeen moet men een vorm van kosten betalen om opties te kopen of te verkopen. In het theoretische portfolio is dit niet het geval. De rente is een constante. In het model wordt de risicovrije rente gebruikt. De volatiliteit is een constante. De volatiliteit, ook wel de mate van beweging in het aandeel of de standaarddeviatie, is constant tijdens de levensloop van de optie. Delta hedging gebeurt continu. Dit is een voorwaarde om tot de Black-Scholes vergelijking te komen (zie blz. 27) Er zijn geen arbitrage mogelijkheden. (zie blz. 28)

Indicatoren The Greeks

Uit de Black-Scholes formule kan meer afgeleid worden dan alleen de optieprijs. Uit de BlackScholes vergelijking en de Black-Scholes formule zijn indicatoren af te leiden die veel gebruikt worden door beleggers. Deze indicatoren zijn vernoemd naar letters uit het Griekse alfabet, daarom heten ze ook wel ‘The Greeks’. Ze vormen belangrijke instrumenten in risico management. Elke ‘Griek’ meet een bepaalde gevoeligheid, het zijn namelijk afgeleiden. Door je beleggingen af te stemmen op ‘de Grieken’ kan men de beleggingsportfolio bloot stellen aan een gewenst mate van risico. The Greeks worden daarom ook wel hedge parameters genoemd.

Delta (𝚫) meet de mate van verandering van de theoretische optie waarde t.o.v. de prijs van het

onderliggende goed. Delta is essentieel gebleken voor het opstellen van de Black-Scholes voor de Black-Scholes vergelijking en wordt gegeven door 𝛥=

𝜕𝑉 𝜕𝑆

Eigenlijk vinden we bij het opstellen van de Black-Scholes vergelijking al het voorbeeld van hoe met de Delta waarde risico geëlimineerd kan worden. Een Delta van 0,6 betekent dat als de aandelenprijs €1,- stijgt, de optieprijs met €0,6 stijgt. Het is dus begrijpbaar dat we met Delta kunnen hedgen. Als we een putoptie nemen, dan betekent een stijging van €1,- in het aandeel, een daling van €0,60 in de optie. Hiermee kunnen we, als we een putoptie en een long positie in een aandeel in ons portfolio hebben, koersschommelingen in het aandeel verkleinen. Naast Delta zijn belangrijke indicatoren: Vega (𝝂)22 meet de gevoeligheid van de optieprijs t.o.v. de volatiliteit en wordt gegeven door 𝜕𝑉 𝜈= 𝜕𝜎 Gamma ( 𝚪 ) meet de verandering in Delta t.o.v. het onderliggende goed. Daarmee is het de tweede afgeleide van de optiewaarde t.o.v. de prijs van het onderliggende goed: Γ=

𝜕𝛥 𝜕2𝑉 = 𝜕𝑆 2 𝜕𝑆 2

Zo zijn er letterlijk nog tientallen andere indicatoren af te leiden van het Black-Scholes model. We zullen hier niet verder op ingaan, omdat we dan te ver uitwijken naar handelsstrategieën. Het is niettemin een goede illustratie van de voordelen die ‘inbegrepen’ zijn bij het Black-Scholes model. Vega is niet de naam van een Griekse letter. Het komt van het feit dat de Griekse letter ‘nu’ wordt geschreven als 𝜈. De v van Vega. 22

47

The Midas Formula

Black-Scholes in de Praktijk I De Callprijs En Volatiliteit

"The wrong number in the wrong formula to get the right price." – Riccardo Rebonato, schrijver van verschillende boeken in het gebied van Mathematical Finance.

Het Bepalen Van De Parameter-Waarden En Variabelen In dit onderdeel beginnen we met de Black-Scholes callprijs berekenen. Hiertoe zullen we allereerst de parameters en hun invloed langs gaan. De invloed van de parameters op de optieprijs is vrij voor de hand liggend. De parameters in de Black-Scholes formule zijn: 









S (in gewenste valuta), dit is de huidige aandelenprijs (ook wel genoteerd als 𝑆0 of 𝑆𝑡 ). Hoge aandelenprijzen maken, in de absolute zin, grote koersschommelingen (een aandeel van €500 stijgt eerder met €5 dan een aandeel van €2). De invloed hiervan is het volgende: als we een aandeel hebben van €500 met een uitoefenprijs van €505 dan betalen we hier meer voor dan een aandeel van €15 met een uitoefenprijs van €20. K (in gewenste valuta), staat voor de uitoefenprijs van de optie. Hebben we bij een calloptie een uitoefenprijs die ver onder de huidige waarde ligt, dan betaalt men hier veel voor. De kans is immers klein dat de waarde van het aandeel heel ver onder de huidige prijs zal eindigen. Als de uitoefenprijs er bijvoorbeeld ver boven ligt, dan betalen we maar weinig voor een calloptie. De kans dat hij uitgeoefend kan worden, is dan immers vrij klein. 𝑻 − 𝒕 (in jaren), dit is eigenlijk één paramater en één variabele. 𝑇 (de parameter) staat voor de dag van uitoefening en 𝑡 (een variabele) staat voor de huidige dag. Als we deze van elkaar aftrekken krijgen we dus de tijd tot de uitoefening van de optie. Ook hier is de invloed logisch: bij een lange tijd tot expiratie van de optie is de kans op koersschommelingen en daarmee de kans dat de optie wat waard is, bij expiratie groter dan bij een korte tijd tot uitoefening. r (in % per jaar), staat voor de risicovrije rente. De invloed hiervan op de optieprijs is het best te beargumenteren vanuit de no-arbitrage voorwaarde en het Brownse model: we nemen aan dat aandelen een drift (zie hoofdstuk Aandelen I en Aandelen II) hebben t.w.v. de risicovrije rente. Als de rente hoog is, nemen we aan dat de aandelen veel stijgen en daardoor is bij een calloptie de kans dat de optie wat waard is bij expiratie groter. We betalen dan dus meer voor de optie. 𝝈 (in % per jaar), staat voor de volatiliteit, ook wel de standaarddeviatie genoemd. Een hoge volatiliteit betekent een hogere optieprijs. De kans dat we de optie uitoefenen is dan immers groter. In het Black-Scholes model gaan we uit van een constante volatiliteit.

Alle bovenstaande waarden die we moeten vinden zijn vrij gemakkelijk te bepalen. Met een blik in de krant op de financiële pagina en op de kalender weten we vaak al genoeg. Alleen de laatste, de volatiliteit, is een geval apart. Deze is namelijk niet met zekerheid te bepalen en is niet constant over de tijd. Toch kiest het Black-Scholes model er een vaste waarde voor. Deze wordt bepaald uit de historische standaarddeviatie. Dit heeft uiteraard belangrijke gevolgen voor de werking van het model in de praktijk. Wat deze gevolgen precies inhouden gaan spoedig zien. Allereerst gaan we de callprijs volgen de Black-Scholes formule berekenen.

48

The Midas Formula

Het Bepalen Van De Black-Scholes Callprice Met Excel Met het programma Excel, van de Microsoft Office series, kunnen we heel gemakkelijk een spreadsheet maken dat ons in één oogopslag de waarden van het Black-Scholes model laat zien. We gaan de optieprijs vaststellen bij verschillende aandelenprijzen. We laten de aandelenprijs oplopen van €70 tot €130. De uitoefenprijs stellen we €100, de volatiliteit stellen we 20%, voor de risicovrije rente kiezen we 3% en de tijd tot uitoefening is 6 maanden, die we dus als 0,5 stellen in de Black-Scholes formule (in de formule gebruikten we de tijd in jaren). Aan de rechterzijde is een screenshot te zien van het spreadsheet voor een aandelenprijs van €100. Nu laten we de aandeelprijs oplopen met stappen van €5,-. Voor de optieprijs krijgen we dan de onderstaande tabel. Als we hier een grafiek van maken krijgen we de callprijs curve. Aandelenprijs € 70,00 € 75,00 € 80,00 € 85,00 € 90,00 € 95,00 € 100,00 € 105,00 € 110,00 € 115,00 € 120,00 € 125,00 € 130,00

Optieprijs € 0,03 € 0,12 € 0,39 € 0,99 € 2,10 € 3,88 € 6,37 € 9,55 € 13,32 € 17,53 € 22,06 € 26,79 € 31,64

35 30

Optieprijs

25 20 15

Calloptie

10 5 0 € 70,0

€ 80,0

€ 90,0

€ 100,0

€ 110,0

€ 120,0

€ 130,0

Aandelenprijs

49

The Midas Formula In-The-Money (ITM) & Out-Of-The-Money (OTM) Opties We zien dat de optieprijs voor een optie met uitoefenprijs €100 heel laag is bij een aandelenprijs van €70. Dit komt omdat de optie '(deep) out-of-the-money' is. We bedoelen hiermee dat de uitoefenprijs een stuk hoger ligt dan de huidige waarde van het aandeel en dat de optie dus geen intrinsieke waarde heeft. Als de uitoefenprijs hetzelfde is als de aandelenprijs zijn we 'at-themoney', wat betekent dat we net geen intrinsieke waarde hebben, maar er is een goede kans dat deze er nog wel komt. Bij een aandelenprijs van €130 zijn we '(deep) in-the-money', wat betekent dat de optie een (hoge) intrinsieke waarde heeft. Hierbij hoort een hogere prijs. Merk op dat er een non-lineair verband bestaat tussen de optieprijs en aandelenprijs. Als de calloptie ver out-of-the-money is, is de curve bijna plat wat betekent dat een verandering in de aandelenprijs (zeg €1,-) zo goed als geen verandering teweeg brengt in de optieprijs. De calloptieprijs voor een ver in-the-money calloptie reageert echter veel sterker op veranderingen in de aandelenprijs. De grafiek is immers veel steiler. We hebben al eerder een soortgelijke grafiek gezien, namelijk in de theorie van Opties I. Hier werd de opbrengst op een optie gegeven aan het einde van de looptijd. Wat resulteerde was een hoek en geen curve. Hieronder hebben we dezelfde grafiek als op de vorige bladzijde, maar dan zetten we ook de uitbetaling van de optie erbij voor verschillende aandelenprijzen op 𝑡 = 𝑇. We krijgen dan het volgende: 35

30

Optiewaarde in euro's

25

20

15

Calloptie

10

Calloptie op t = T

5

0 € 70,0

€ 80,0

€ 90,0

€ 100,0

€ 110,0

€ 120,0

€ 130,0

Aandelenprijs

Neem een calloptie met een uitoefenprijs van €100,-. De huidige koers is €90,-. Dit houdt in dat de optie geen intrinsieke waarde heeft. Dit wordt verduidelijkt door de licht grijze uitbetalingsgrafiek, die bij een aandelenprijs van €90 een waarde van 0 heeft. Toch kunnen we met de Black-Scholes formule een prijs vaststellen!

50

The Midas Formula Hieronder hebben we de optiewaarde uitgezet tegen de aandelenprijs, maar er is nog een variabele, namelijk de tijd tot uitvoer. Als we deze ook in de grafiek opnemen krijgen we een drie-dimensionale grafiek die er als volgt uitziet.

€ 35,00 € 30,00

Optiewaarde

€ 25,00 € 20,00

€ 30,00-€ 35,00

€ 15,00

€ 25,00-€ 30,00

€ 10,00

€ 20,00-€ 25,00 € 15,00-€ 20,00

€ 5,00 € 0,00

€ 10,00-€ 15,00 € 5,00-€ 10,00

9

€ 0,00-€ 5,00

7 Maanden tot 5 uitoefening 3 1

Aandelenprijs

We zien dat de grafiek de curve vorm heeft van de 2D grafiek waarbij de aandelenprijs tegenover de optiewaarde staat, maar dat deze curve licht verandert wanneer we de tijd tot uitoefening variëren: bij de langste tijd tot uitoefening (10 maanden) loopt de grafiek sneller op dan de kortste tijd tot uitoefening (1 maand). Bij een looptijd van 1 maand betaalt men voor de optie bij een koers van €95,- een prijs van €0,62 en bij een looptijd van 10 maanden betaalt men bij dezelfde koers een prijs van €5,81. Dit komt doordat er een grotere kans is dat de optie wat waard is als we nog 10 maanden voor ons hebben dan wanneer de koers nog maar 1 maand heeft om de uitoefenprijs te overstijgen.

51

The Midas Formula

Volatiliteit En Geïmpliceerde volatiliteit Nu zijn we aangekomen bij de parameter volatiliteit, wat de meest moeilijk te bepalen parameter is van de Black-Scholes formule. We hebben in het hoofdstuk Aandelen I al gezien wat volatiliteit is. Het is te beschouwen als de bewegelijkheid van een aandeel. Er zijn meerdere manieren om de volatiliteit te berekenen. Die verschillen van vrij simpele tot zeer gecompliceerde berekeningen. Wij hebben een manier geïntroduceerd waarbij we de volatiliteit hebben gebaseerd op het verleden (hoofdstuk Aandelen I). Een gecompliceerdere variant is het gebruik van een stochastische volatiliteit. We kunnen de volatiliteit bepalen zoals we in aandelen I hebben geïntroduceerd (vergelijking 1.1), maar het feit is dat de volatiliteit geen constante is over de looptijd van een optie (rond de bekendmaking van de jaarcijfers zijn aandelen van bedrijven bijvoorbeeld veel volatieler). De historische volatiliteit zal nooit precies voldoen. Toch worden er zo prijzen voor opties vastgesteld. Dit suggereert dat de markt de volatiliteit wel 'kent'. Deze volatiliteit die de markt lijkt vast te stellen, noemen we geïmpliceerde volatiliteit. De geïmpliceerde volatiliteit is gemakkelijk te bepalen. Neem de S&P 500 index23, zoek hiervan de 'option table' op (zie afbeelding onderaan de pagina) en zoek de prijs van een bepaalde calloptie. Stel deze gelijk aan 𝐶 in de Black-Scholes formule en vul de overige parameters, die bij deze calloptie horen, in (huidige koers, uitoefenprijs, tijd tot expiratie en de risicovrije rente). De enige onbekende in de formule is nu nog de 𝜎, wat betekent dat we deze zonder problemen kunnen achterhalen, hoewel… We kunnen 𝜎 niet schrijven als een functie van de andere waarden in de formule. We zullen dus een iteratieve benadering moeten nemen en steeds veel verschillende sigma’s invullen totdat we bij de callprijs komen die we zoeken24. De geïmpliceerde volatiliteit is tevens een veel gebruikte indicator voor beurshandelaren en is als het ware een 'angstbarometer' voor de beurs. Maar het gaat nog een stap verder: men kan ook handelen in geïmpliceerde volatiliteit. In Chicago op de ‘Chicago Board Option Exchange’ (CBOE) is dit mogelijk voor de geïmpliceerde volatiliteit van S&P 500 opties, welke wordt weergegeven door de VIX index. Op deze index wordt er dus eigenlijk gehandeld in volatiliteit en dit gebeurt met VIX futures en opties.

AEX put- en calloptieprijzen (08-01-2015) bij verschillende uitoefenprijzen voor september 2015

Een index bestaande uit de 500 grootste bedrijven van de VS op basis van beurswaarde, samengesteld door kredietbeoordelaar Standard & Poor's. Opties bestaan niet alleen voor aandelen, maar ook voor indices. 24 Ook wel bekend als de Trial and Error methode. 23

52

The Midas Formula

Volatiliteit van de AEX in 2007 en 2008. Oktober 2008 schijnt een roerige maand geweest te zijn op de AEX, dit is hoogstwaarschijnlijk gerelateerd aan de financiële crisis. In oktober vond o.a. de kapitaalinjectie van de overheid in ING plaats.

De Black-Scholes Test: ‘The Volatility Skew’

Neem een aandeel. Als we het erover eens zijn dat het Black-Scholes formule een goed instrument is om de optieprijs voor dit aandeel te bepalen, dan gebruiken we het voor elke optie bij dit aandeel. Dit betekent dat we de geïmpliceerde volatiliteit voor een optie met een bepaalde uitoefenprijs achterhalen als we dezelfde waarde voor de prijs en/of een andere expiratie datum bepalen. Anders gezegd: het Black-Scholes model gaat uit van een vaste (constante) volatiliteit voor een aandeel, wat betekent dat we op hetzelfde moment opties kopen die verschillen in uitoefenprijs en expiratiedatum als de volatiliteit hetzelfde is gebleven. Best logisch: als we de volatiliteit voor een aandeel vaststellen dan kunnen we ervan uitgaan dat opties die we op hetzelfde moment kopen, maar verschillende uitoefenprijzen en expiratiedata hebben, worden beïnvloedt door dezelfde volatiliteit. We gaan testen of dit zo is. De uitkomst van deze test zegt veel over het Black-Scholes model en haar praktijkgedrag en daarmee ook haar bruikbaarheid in de praktijk. We werken met Europese callopties en deze zijn vooral te verkrijgen op indices. Voor het voorbeeld nemen we de S&P 500. Om precies te zijn de ‘Spider Standard & Poor’s 500 exchange traded fund’ (SPDR S&P 500 ETF). Een ‘exchange traded fund’ is een beleggingsfonds dat op de beurs verhandeld wordt. Het doel van zo’n fonds is het zo nauwkeurig mogelijk volgen van een index. Dankzij ETF’s hoef je niet alle 500 aandelen van de S&P 500 te kopen, maar je hoeft slechts één transactie te maken om in alle aandelen van de index tegelijk te beleggen. Een ‘spider’ is een naam van een aandeel in het fonds. Een spider aandeel bevat één tiende van de waarde van de index. Door het gebruik van een spider kan men ook met minder geld in de S&P 500 beleggen. Momenteel (januari 2015) schommelt de koers rond de $2000, de waarde van één spider is dus $200. De ETF wordt geheerd door ‘State Street Global Advisors’, die nog meerdere ETF’s verzorgen.

53

The Midas Formula

Met Excel kunnen we de impliciete volatiliteit bepalen met de optie ‘doelzoeken’. Het programma voert dan de reeds besproken iteratieve methode uit om de impliciete volatiliteit zo precies mogelijk vast te stellen. Voor een optie op de SPDR S&P 500 met een uitoefenprijs van $200,- en een looptijd van 95 dagen betalen we, volgens Yahoo!Finance bij een koers van $203, een bedrag van $8,34. We gaan uit van een risicovrije rente van 1,39% (huidige rente voor een Amerikaanse obligatie25 met een looptijd van 5 jaar). Met onze spreadsheet bepalen we zo een impliciete volatiliteit van 16,89%. Als het Black-Scholes model klopt met de praktijkprijzen zouden we met alle26 optieprijzen op dit moment een impliciete volatiliteit van 16,89% moeten kunnen bepalen, volgens Black-Scholes is de volatiliteit immers constant. Als Black-Scholes voldoet krijgen we grafisch:

Volatiliteit

40,00% 30,00% 20,00%

€ 245

10,00%

€ 215

0,00%

€ 185 67

95

138

261

341

368

Uitoefenprijs

€ 155 431

Dagen tot Expiratie

De dagen tot expiratie en de uitoefenprijzen zijn niet willekeurig gekozen: het zijn namelijk prijzen en looptijden waarvoor Yahoo!Finance de precieze optie informatie verstrekt. Naast dat we voor deze optie informatie hebben over de uitoefenprijzen en dagen tot expiratie, hebben we van dezelfde bron ook voor elke uitoefening datum en prijs een volatiliteitspercentage. In de volgende tabel hebben we informatie verzameld over de volatiliteit bij verschillende uitoefenprijzen en looptijden. Aantal dagen tot expiratie Uitoefenprijs

€ 155 € 170 € 185 € 200 € 215 € 230 € 245

67 36,23% 29,63% 17,98% 23,44% 12,22% 12,60% 15,43%

95 33,37% 27,49% 22,05% 17,06% 12,52% 11,33% 13,87%

138 27,16% 23,46% 20,15% 16,61% 13,39% 11,34% 11,52%

261 23,34% 21,88% 19,31% 16,55% 14,05% 11,96% 11,30%

341 22,72% 20,82% 18,75% 16,51% 14,40% 12,29% 11,32%

368 21,97% 20,31% 18,54% 16,29% 14,34% 12,54% 11,29%

431 21,61% 20,20% 18,41% 16,65% 14,91% 13,37% 12,09%

We zien dat onze berekening van de impliciete volatiliteit (uitoefenprijs €200 en looptijd 95 dagen) aardig dichtbij komt bij de volatiliteit die berekend is door Yahoo!. Het verschil van 25

Deze obligaties staan bekend als US Treasury Bonds. Uit de put-call pariteit volgt dat de waarden voor de geïmpliceerde volatiliteit hetzelfde zou moeten zijn voor put- en callopties. De grafieken zijn dus ook representatief voor zowel put- als callopties. 26

54

The Midas Formula 0,17% kan verschillende oorzaken hebben: zo kan afronding meespelen en wellicht heeft Yahoo! een licht afwijkende risico vrije rente gebruikt. Wat meteen opvalt in de tabel is dat er niet dezelfde volatiliteit bestaat voor alle opties op dit aandeel. De grafiek op de vorige pagina zal dus niet voldoen, oftewel: de Black-Scholes aanname van constante volatiliteit zal niet voldoen. Er zijn zelfs vrij grote afwijkingen, vooral de opties met een lagere uitoefenprijs hebben een sterk afwijkende volatiliteit over de tijd en ten opzichte van elkaar. We krijgen de volgende grafieken wanneer we de tabel plotten.

Figuur 5.1: De Volatiliteit voor verschillende looptijden als functie van de Uitoefenprijs

40,00% 35,00% 30,00%

67 95

25,00%

138 20,00%

261 341

15,00%

368 10,00%

431

5,00% 0,00% € 150

€ 170

€ 190

In-the-money calls Out-of-the-money puts

€ 210

€ 230

€ 250

Out-of-the-money calls In-the-money puts

Figuur 5.2: De Volatiliteit voor verschillende uitoefenprijzen als functie van de Looptijd

40,00% 35,00%

€ 155

30,00%

€ 170 25,00%

€ 185 € 200

20,00%

€ 215 15,00%

€ 230 € 245

10,00% 5,00% 0,00% 0

100

200

300

400

500

55

The Midas Formula

De gegevens uit de tabel kunnen we met Excel ook weergeven als een ‘3D volatility surface plot’, een drie-dimensionale oppervlakte plot van de volatiliteit. Deze ‘surface’ geeft de twee grafieken van de vorige bladzijde weer in één:

Figuur 5.3: De Volatiliteit als functie van de Uitoefenprijs en de Looptijd 40,00% 35,00%

25,00% 20,00% 15,00% 10,00% 5,00%

€ 155 € 170

670,00% 95

€ 185 138

€ 200 Uitoefenprijs

261

€ 215

341

€ 230

368 € 245

Impliciete volatiliteit

30,00%

35,00%40,00% 30,00%35,00% 25,00%30,00% 20,00%25,00% 15,00%20,00% 10,00%15,00% 5,00%10,00% 0,00%5,00%

Aantal dagen tot expiratie

431

We zien een tamelijk groot groen vlak in figuur 5.3, wat betekent dat er een vrij groot deel van de gevonden volatiliteiten zit tussen de 10% en 15%. Hoewel de afwijking te overzien is, kunnen we niet spreken van één constante (uniforme) volatiliteit voor de optie. De afwijking wordt groter naarmate het aantal dagen tot expiratie korter wordt en de uitoefenprijs lager. In ‘de verre hoek’ is de afwijking van het gemiddelde (zijnde 17,89%) het grootst. De schuin aflopende vorm van de 3 opgestelde grafieken wordt een ‘skew’ genoemd, wat letterlijk vertaalt ‘schuin’ betekent.

De oorzaken en gevolgen van de ‘volatility skew’ Het bestaan van een skew spreekt een belangrijke aanname van het Black-Scholes model tegen, namelijk die van constante volatiliteit. Er is iets mis met het model. De vraag is: wat? Het antwoord is te vinden in een belangrijke Black-Scholes aanname, die van normaal verdeelde rendementen op aandelen. Ook zullen we het gevolg van het bestaan van een volatility skew onder de loep nemen wat ons veel informatie zal verschaffen over de betrouwbaarheid van optieprijzen berekend op basis van het Black-Scholes-Merton model.

Afwijkingen van Normaliteit

Het Black Scholes model gaat er vanuit dat aandelenprijzen een lognormale loop hebben (hoofdstuk Aandelen II) en dat de opbrengst van aandelen normaal verdeeld is (hoofdstuk Aandelen I). In bijna elke financiële markt laten empirische plots van de verdeling van de historische rendementen zien dat dit geen uiterst precieze beschrijving is van de werkelijkheid. 56

The Midas Formula Het belangrijkste verschil is dat extreme gebeurtenissen veel vaker gebeuren dan verwacht wordt op basis van normaliteit. Jackwerth en Rubinstein27 (1996) lieten zien dat op 13 oktober 1989 de S&P 500 bewoog met -5 standaarddeviaties. Een beweging die volgens hen maar één maal in 14.756 jaar voorkomt op basis van een normale verdeling. In hoofdstuk ‘Black-Scholes in de praktijk II’ zullen we zien dat er nog veel extremere voorbeelden zijn en ook zal dan duidelijk worden waarom men zich beter niet kan baseren op de normale verdeling. Wat is er mis met de normale verdeling? De belangrijkste implicatie is ‘tail risk’: uitzonderlijke koersschommelingen komen volgens de normale verdeling veel minder voor dan dat in werkelijkheid het geval is. Dit wordt veroorzaakt door de aanwezigheid van ‘fat-tails’ in de reële kansverdeling (en de afwezigheid hiervan in de normale verdeling). Hieronder is de rendementsdistributie van Apple te zien over een periode van 4 jaar (bron: Yahoo!Finance), we zijn deze ook in het hoofdstuk Aandelen I tegengekomen. Het gemiddelde is 0,4173% en de standaarddeviatie is 4,1549%. We zien dat de normale curve de wat ruwere reële distributiecurve benadert, maar wat opvalt, is dat aan de zijkanten van de normale curve (de ‘tails’) de normale curve grafiek lager ligt dan bij de ruwe data het geval is, deze ligt er boven. Dit zien we vooral aan de linkerkant erg goed. We kunnen concluderen dat er volgens de normale distributie een kleinere kans bestaat op het voorkomen van veel standaarddeviaties (grote koersschommelingen) dan dat in de werkelijkheid het geval is. De werkelijke kansverdeling heeft dus zogenaamde fat-tails: dikke staarten, ook wel leptokurtosis genoemd.28

Figuur 5.4: Distributie van het wekelijks rendement van een Apple aandeel (20-03-2010 tot 20-03-2014) 14 12 10 8 6 4 2

-012% -012% -011% -010% -009% -008% -007% -006% -005% -005% -004% -003% -002% -001% 000% 001% 001% 002% 003% 004% 005% 006% 007% 008% 008% 009% 010% 011% 012%

0

Hoe komt het dat de leptokurtosis van de reële distributie een onregelmatige geïmpliceerde volatiliteit oppervlakte veroorzaakt? Daartoe kijken we eerst naar het gevolg van de leptokurtosis voor de correctheid van de Black-Scholes optieprijs. Het gevolg is niet mis; de Black-Scholes prijs is te laag, voornamelijk bij out-of-the-money putopties en in-the-money callopties. We lichten dit toe met een voorbeeld. Rubinstein is bekend van het Cox-Ross-Rubinstein model, ook wel het binomiale optieprijs model genoemd. Dat model is een van de grote ‘concurrenten’ van het Black-Scholes model. 28 De officiële statistische naam voor de dikte van ‘de staart’ is kurtosis. Het bestaan van een fat-tail noemen we een leptokurtosis. Normale verdelingen hebben altijd een kurtosis van 3, ongeacht hun gemiddelde en standaarddeviatie. Een kurtosis van hoger dan 3 noemen we een leptokurtosis, oftewel: een ‘fat tail’. Reële rendements distributies hebben over het algemeen een kurtosis van hoger dan 3. 27

57

The Midas Formula Stel, we schrijven een putoptie op een Apple aandeel. De aandelenprijs was op dat moment $75,53. We nemen een uitoefenprijs voor de putoptie van 12% lager dan de het huidige aandeel, namelijk: $66,47. Uitgaande van Apple distributiecurve op de vorige bladzijde is een daling van 12% in een week bijna een ‘3 sigma event’, oftewel: het zit 3 standaarddeviaties van het gemiddelde. De vuistregel voor de normaalverdeling zegt dat tussen 3 standaarddeviaties links van het gemiddelde en 3 standaarddeviaties rechts van het gemiddelde ongeveer 99,7% van alle mogelijke waarden ligt. De kans op een daling van 12% is dus maar 0,15%. Wat resulteert, is een minuscule29 optieprijs. De kans dat het aandeel zoveel daalt is zeer klein volgens de lognormale verdeling en dus is de kans dat de putoptie wat waard is ook zeer klein, hierbij past een lage put optie prijs. Moeten we deze optie nu gaan schrijven voor dat kleine bedrag? Natuurlijk niet! 12% mag dan wel veel zijn, maar het is niet ondenkbaar. Normaliteit onderschat de kans op extreme bewegingen, waardoor je ziet dat het Black-Scholes model opties onderwaardeert. Het zit als volgt: we zullen niet het minuscule bedrag vragen voor de optie, maar we zullen de prijs verhogen. Maar als de prijs hoger ligt en we vullen deze in de Black-Scholes formule in, krijgen we een hogere volatiliteit. Deze verhoogde volatiliteit die ontstaat, is de geïmpliceerde volatiliteit. De onder waardering komt vooral voor bij ver out-of-the-money putopties en ver inthe-money callopties. De skew is links van de uitoefenprijs immers het grootst en links van de uitoefenprijs hebben we te maken met OTM putopties en ITM callopties (zie: figuur 5.1 op pagina 57, hier is dit aangegeven). Waarom hebben vooral OTM putopties en ITM callopties een hoge geïmpliceerde volatiliteit, ofwel: waarom worden deze te laag geprijsd door de BlackScholes formule? Dit komt voort uit het feit dat bij aandelen over het algemeen de staarten links dikker zijn dan rechts30 (dit zien we ook terug in het figuur met het wekelijkse rendement van Apple op de vorige bladzijde). In de reële distributie van aandelen is hierdoor de statistische kans op een grote daling groter dan op een grote stijging. We kunnen dus zeggen dat vooral grote dalingen verkeerd worden geschat door de normale verdeling, vooral OTM putopties en ITM callopties worden te laag gewaardeerd: voor OTM putopties is de kans dat ze wel uitgeoefend worden (dus de kans op een koersdaling), door de leptokurtosis aan de afname zijde van de curve, in de echte wereld groter dan in de Black-Scholes wereld. De werkelijke prijs is dus hoger dan de Black-Scholes prijs, hier stijgt de volatiliteit dus. Bij ITM callopties is er ook een hoge volatiliteit (figuur 5.1 pagina 57), deze worden dus hoger geprijsd dan Black-Scholes suggereert. Dit lijkt echter niet logisch, want volgens de reële distributie van de aandelen is de kans op een scherpe daling groot, waardoor de calloptie een minder grote kans op uitoefening heeft en dus minder waard zou moeten worden. De kans zorgt echter voor hogere prijzen. De oorzaak zou het volgende kunnen zijn: de kans op een grote daling is in de reële distributie groot, vragers zullen dus kiezen voor een (ver) in-the-money calloptie, omdat deze na een crash nog steeds wat waard kan zijn. Kortom, de wet van vraag- en aanbod stuwt de prijs voor in-themoney callopties omhoog, wat tot uitdrukking komt in een hogere geïmpliceerde volatiliteit.

29

Het Excel spreadsheet (aangepast voor putopties) geeft €0,00000071874.

30

John C. Hull – Options, Futures, and other derivatives, hoofdstuk 18

58

The Midas Formula Bij opties op valuta spreken we van een volatility smile,31 waar naast ver out-of-the-money putopties en in-the-money callopties ook ver in-the-money putopties en out-of-the-money callopties een hoge geïmpliceerde volatiliteit hebben doordat ze te laag geprijsd zijn. Logischerwijs is deze volatility smile te vinden bij aandelen/valuta die fat tails aan beide kanten hebben. In de regel zijn het de opties op indices en aandelen die een skew vertonen, omdat er hier sprake is van een grotere ‘downside risk’: de tail is aan de negatieve kant van de verdeling dikker dan aan de positieve kant. Hieronder is het verschil in een schets aangegeven.

Wat betreft de looptijd (figuur 5.2, blz. 55): ook hier zien we een lichte skew, maar die loopt snel af. Het onderlinge verschil in geïmpliceerde volatiliteit voor looptijden van ongeveer 150 tot 430 dagen tot uitoefening is vrij klein en klopt dus redelijk met de aanname van het Black-Scholes model. De rede voor de skew op korte termijn heeft te maken met de verwachting van de markt: men kan ervan uitgaan dat op korte termijn grote veranderingen plaatsvinden (zowel omhoog als omlaag), maar op lange termijn zijn deze tegen elkaar weg te strepen en is er een constantere trend. Het feit dat de lijnen (bijna) keurig op elkaar gestapeld zijn met de lage uitoefenprijs met hoge volatiliteiten (bovenaan) en de hoge uitoefenprijs met lage volatiliteiten onderaan volgt figuur 5.1: opties met een lage uitoefenprijs (OTM putopties en ITM callopties) hebben een hogere volatiliteit door de leptokurtosis die vooral aan de linker kant aanwezig is. Het is dus weer een gevolg van downside risk.

31

John C. Hull – Options, Futures, and other derivatives, hoofdstuk 18

59

The Midas Formula

Black-Scholes in de Praktijk II Long-Term Capital Management En De Kredietcrisis “There are always events that you cannot anticipate” – Robert Merton In onderdeel II van ‘Black-Scholes in de Praktijk’ gaan we kijken naar meer indirecte voorbeelden van het model in de praktijk, vooral gericht op de derivatenhandel die het model op gang bracht. Iets dat zonder meer interessant is, als we Black-Scholes beoordelen in de praktijk, is het hedge fund Long Term Capital Management (LTCM). Uit de levensloop van het fonds en de manier waarop het aan zijn einde kwam, zijn veel lessen te trekken. Het fonds is bijzonder direct verbonden aan het BlackScholes model Men handelde hier namelijk erg veel op basis van het Black-Scholes model en haar aannames. Dat men handelde op basis van ‘the Black-Scholes framework’ zal ongetwijfeld te maken hebben met het feit dat o.a. de BlackScholes bedenkers en Nobelprijswinnaars Myron Scholes en Robert Merton aan het roer stonden. Van het LTCM dêbacle heeft men schijnbaar weinig geleerd, want zo’n 10 jaar nadat het bedrijf in zware problemen kwam maakte men dezelfde fouten die LTCM de das om deden. Het gevolg van deze fouten leidde tot een kredietcrisis. De rol van het Black-Scholes model in de twee gebeurtenissen en het onderlinge verband tussen de twee gebeurtenissen wordt onderzocht in dit hoofdstuk. Het fonds LTCM werd opgezet in 1994 door John Meriwether; de manager van een zeer winstgevende obligatie-arbitrage Het hoofdkantoor van LTCM lag niet op divisie bij de gerenommeerde investeringsbank Salomon Wall Street, maar buiten New York, in Brothers. Meriwether slaagde er in een bestuur op te zetten Greenwich. Hier werd in uiterste discretie bestaande uit vooraanstaande academici: ‘Wall Street gehandeld; zelfs hun eigen investeerders veteranen’ en natuurlijk de Nobelprijswinnaars. LTCM werd kenden vaak niet de strategieën van het een hedge fund. Het feit dat het een hedge fund is, impliceert bedrijf. al een van hun belegginsstrategieën; namelijk hedgen 32 . Hedge Funds staan er bekend om dat er weinig regulatie en controle is van buiten af. Dit heeft ermee te maken dat hedge funds alleen beschikbaar zijn voor grote investeerders, denk aan pensioenfondsen en zeer vermogende individuen van wie verondersteld wordt dat ze zelf genoeg verstand hebben van de markt om te beslissen wat wel en geen verstandige belegging is en dat ze genoeg vermogen hebben om grote klappen op te vangen. Daarom is het zo dat de waakhond voor de beleggersbelangen in de VS, the Securities and Exchange commission (SEC), hedge funds in een veel mindere mate controleert.

32

Een van de strategieën en hoe dit samen hangt met hedgen wordt toegelicht in appendix D.

60

The Midas Formula LTCM realiseerde extreem hoge bedragen bij de fondswerving, mede door de aanwezigheid van notabele academici in het bedrijf. De dag dat het bedrijf begon te handelen (24 februari 1994) hadden ze een bedrag van $1,3 miljard geworven. In 1997 bedroeg het eigen vermogen $7 miljard en aan het begin van 1998 $4,8 miljard, 2,2$ miljard ging namelijk terug naar investeerders om een grotere hefboom (leverage) te creëren. Met een hefboom kunnen opbrengsten vergroot worden. Dit is voordelig, want bij bijvoorbeeld fixed-income arbitrage33 zijn de prijsverschillen in de obligaties klein waardoor er steeds slechts kleine winsten werden gemaakt. Er was een hefboom nodig om de investeerders te voorzien van hoge winsten. Een hefboom werkt als volgt: stel, je hebt zelf €1000,- om mee te beleggen. Nu benader je een ander persoon die jou €14000 wil lenen. Voor het gemak stellen we dat deze persoon gul is en geen rente vraagt over het uitgeleende bedrag. Nu kan je met €15000 handelen. Stel dat er nu 1% winst wordt gemaakt, dan betekent dit dat je €150 erbij krijgt op je handelsrekening. Je hebt in totaal dus €15.150. Nu wil de persoon van wie je het geld hebt geleend zijn geld wel weer terug, dit haal je van de rekening af waardoor je €1150 over hebt. Door geld bij te lenen heb je nu een rendement behaald op het eigen vermogen van

€150

€1000

× 100% = 15%. Als men alleen de

€1000,- had geïnvesteerd dan had men maar een rendement van 1% behaald op het eigen vermogen, wat gelijk is aan €10. Het eigen vermogen is €1000 en het totaal vermogen is €15000. We spreken van een leverage ratio van 15:1. De winsten op het eigen vermogen worden €150

dus vervijftienvoudigd (

€10

= 15). Het mooie van de techniek is dat men bij een kleine

beweging van de markt (een stijging van bijv. 1% in een dag is heel gewoon voor een AEX genoteerd aandeel) een hoog rendement krijgt (een stijging van 15% op een AEX genoteerd aandeel is opvallend hoog). Er zit natuurlijk wel een keerzijde aan: ook de verliezen worden vergroot door een hoog leverage ratio. Doordat LTCM 2,2$ miljard teruggaf aan zijn investeerders en doordat het geleende bedrag hetzelfde bleef, vond er een vergroting van de leverage ratio plaats. In totaal handelde LTCM met $125 miljard, wat een leverage ratio creëerde van grofweg 25:1, elke dollar eigen vermogen stond tot 25 dollars van het totaal vermogen. Maar er komt nog veel meer bij, we hebben het nu alleen over ‘on-balance’ posities (eigen en vreemd vermogen), maar LTCM had op de off-balance sheet (opties, swaps en andere derivaten, die niet op de balans worden opgenomen) een bedrag dat over de $1 biljoen heen ging. Dit bedrag is echter wel te relativeren, want veel van deze off-balance posities worden gebruikt om te hedgen en zijn als het ware tegen elkaar weg te strepen, we noemen dit ‘offsetting trades’. Het gaat natuurlijk mis als deze handelsposities niet doen wat er wordt verwacht, waardoor ze niet meer tegen elkaar weg te strepen zijn. Een paar jaar lang had LTCM hoge rendementen: 20% in 1994, 43% in 1995, 41% in 1996 en 17% in 1997 (deze gingen overigens wel gepaard met hoge administratie en management kosten). Het gemiddelde rendement van 1994 tot 1997 was 30,25%,34 de belangrijkste index van de VS, de S&P 500, steeg in dezelfde periode gemiddeld 23,8%. De relatief lage 17% in 1997 was het gevolg van de Aziatische crisis in dat zelfde jaar, maar een echt verlies kwam pas toen Rusland besloot zijn staatsleningen niet af te lossen (‘The Russian Default’). Ten tijde van deze financiële crisis in Rusland daalde het eigen vermogen naar $2,3 miljard en een maand later was er nog maar $600 miljoen over, wat stond tegenover ontzettend veel geleend geld. Wat resulteerde was een leverage ratio van 250:1. En daar komt nog de off-balance waarde bij van meer dan $1 biljoen. De Russian default veroorzaakte bijv. divergentie in plaats van convergentie waardoor de strategie van convergentie arbitrage faalde. De grote positie van LTCM bracht het financiële systeem in gevaar. De banken, die ontzettend veel geleend hadden aan LTCM, besloten over te gaan op een bail-out: men stopte geld in het bedrijf om een faillissement te voorkomen. Ironisch genoeg heeft LTCM na de redding een winst van $ 700 miljoen gerealiseerd en de partners van het bedrijf zouden beloningen van $50 miljoen hebben ontvangen.

Voor meer informatie over deze hedge techniek: zie appendix D. Als er geen gebruik zou worden gemaakt van een hefboom zou er maar een rendement van 2,45% zijn gerealiseerd (Lowenstein, 2001, p. 78). 33 34

61

The Midas Formula Hoe komt het Black-Scholes model terug in de mislukking van LTCM die we kort geschetst hebben? We weten dat LTCM werkte35 in het ‘Black-Scholes framework’. Door te kijken naar de problemen die er ontstonden bij LTCM kunnen we een beter oordeel vellen over het BlackScholes model in de praktijk.

Implicaties Van De Brownse Beweging

De handelsstrategieën bij LTCM werden gestuurd door computers. Niet voor niets heeft het bedrijf in zijn logo ‘The financial technology company’ opgenomen. De ‘quants’ bij LTCM gebruikten sterke computers om statistische modellen te vormen met historische data waarmee men de meest winstgevende beleggingen kon bepalen en de mate van risico kon schatten. Of tenminste, dat dachten ze. De statistische modellen waren, conform Black-Scholes, op basis van de Brownse beweging, die op zijn beurt sterk afhangt van de normale verdeling. Het feit dat het model sterk gebaseerd is op de normale verdeling zorgde ervoor dat grote prijsveranderingen op korte termijn haast per definitie niet voorkwamen. Zo rapporteerde het fonds op basis van de normale verdeling dat er een kans was van 12% dat het fonds in een jaar 5% in waarde zou dalen. Verliezen van 10%, 15% enz. gingen gepaard met een kleinere kans, conform de naar links en rechts aflopende vorm van de normaalverdeling. De kans dat het fonds 85% daalt is, hoewel deze kans niet werd doorgegeven door LTCM, te achterhalen met de functies die werden gebruikt in het financiële model. Het komt erop neer dat zo’n daling één keer in het leven van enkele universums voorkomt. Daarbij is het Brownse model een continu model, dat gaat ervanuit dat de prijzen continu veranderen met kleine toe- of afnames. De aanname van continue verandering is een verkeerde: aandelen veranderen niet continu maar met sprongen, ook wel ‘jumps’ genoemd. Beide implicaties van het Brownse model zorgen ervoor dat de kans op een crash heel klein is en als deze dan al tot stand komt, dan kan men het er vanaf brengen met weinig verlies. Zie het volgende voorbeeld:

Figuur 6.1: Een continue aandelenkoers vs. een 'jump' aandelenkoers 60 58 Reeks1

56

Reeks2 54 52 50 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Hierboven is een visualisatie van het probleem. We zien hier een scherpe daling van een aandeel (zo’ n €10) wat in het voorbeeld een crash representeert. We zien de koers op 10 momenten. Reeks 1 is de koers volgens de geometrische Brownse beweging. Reeks 2 is de officiële koers. Het valt wellicht op dat de de Brownse beweging een lijn is en dat de aandelenkoers wordt weergegeven door stipjes per tijdsstip. Ze hebben hetzelfde patroon dus ze leggen dezelfde koers af. Het op Black-Scholes gebaseerde LTCM ging uit van de continue koers van reeks 1. Volgens de continue koers komt er een prijs tot stand van ongeveer €55,- tussen tijdstip 9 en 10. 35

N. Dunbar, Inventing Money

62

The Midas Formula Voor het tijdstip 9,5 is er immers een waarde op de blauwe lijn (zie de stippellijnen in figuur 6.1), maar er is geen vierkantje op dat moment. Je zou dus kunnen stellen dat LTCM een crash kan zien aankomen op tijdstip 9,5 om vervolgens de positie te sluiten tegen een koers van €55,-. In werkelijkheid komt deze koers van €55 helemaal niet tot stand, maar springt de koers in één keer van €59,60 naar €50. De marktinformatie (koop en verkoop orders) moet door een computer heen die vervolgens de koers weergeeft, dit gebeurt echter niet continu. Het zal altijd even duren voordat de nieuwe prijs wordt berekend en wordt doorgegeven. Hierbij komt dus nog het feit dat de verdelingen geen stand houden in de effecten wereld: uitzonderlijke koersschommelingen komen volgens de normale verdeling veel minder voor dan dat in werkelijkheid het geval is. We hebben gezien dat in de reële kansverdeling van de aandelenprijzen ‘fat-tails’ aanwezig zijn, in tegenstelling tot de normale benadering. Hieronder nog een keer het verschil tussen normale verdeling en de reële verdeling. Door de uitvergroting zien we aan de linkerkant (de downside) duidelijk de aanwezigheid van leptokurtosis (we spreken dus van een downside leptokurtosis). De leptokurtosis is met pijlen aangegeven.

Figuur 6.2: Distributie van het wekelijks rendement van een Apple aandeel (20-03-2010 tot 20-03-2014) 14

12

10

8

6

4

2

012%

011%

010%

009%

008%

008%

007%

006%

005%

004%

003%

002%

001%

001%

000%

-001%

-002%

-003%

-004%

-005%

-005%

-006%

-007%

-008%

-009%

-010%

-011%

-012%

-012%

0

63

The Midas Formula

Black-Scholes En De Kredietcrisis

Tot slot nemen we de kredietcrisis onder de loep, voordat we onze conclusie trekken. Dat de onnauwkeurige Black-Scholes aannames, ondanks het praktijk voorbeeld dat ze niet deugde (het faillissement van LTCM), toch gebruikt bleven zien we als we ons richten op de Subprime crisis die uitliep tot de recente kredietcrisis. Naast dat er op basis van verkeerde aannames beslissingen werden genomen speelde er nog iets anders mee bij het ontstaan van de kredietcrisis: de vervlechting van financiële instanties. Deze grote onderlinge verstrengeling was het gevolg van het in omloop zijn van vele derivaten, veelal op basis van Black-Scholes. Financiële instellingen waren hard bezig zich in te dekken tegen risico’s, maar wilden tegelijk uiteraard winst maken. Dit deden ze met derivaten. Namen die je vaak terug ziet komen als men kijkt naar derivaten die meespeelden in de kredietcrisis zijn ‘collateralized debt obligations’, ‘credit default swaps’ en ‘mortage backed securities’. Het zijn variaties op de basisderivaten, zoals opties, forwards, futures en swaps. Er zijn echter nog véél meer derivaten, sommige zo complex dat maar een kleine groep mensen écht weet wat ze inhouden. Toch werd hier op grote schaal mee gehandeld, met de nodige gevolgen. In essentie was de ineenstorting van LTCM een voorloper op de kredietcrisis. Een belangrijke oorzaak bij beide ineenstortingen was het wiskundig modelleren van risico (namelijk op basis van de normale verdeling). Ondanks dat de ineenstorting van LTCM geleid heeft tot meer nadruk op risicomanagement, ging het juist mis op het gebied van risicomanagement. Deze paradox wordt veroorzaakt door het feit dat het bepalen van risico werd gedaan via VaR (value at risk). Dit was niet meer dan het uitdrukken van het risico in een kans op een bepaald verlies over een bepaalde tijd. Als we het hebben over een 5% per maand VaR van €100 miljoen is er een kans van 5% dat een portfolio €100 miljoen verliest, oftewel één maal in 20 maanden. De kansen waren gebaseerd op een quasi-normale curve die ‘dikkere staarten’ heeft, maar dit bleek nog niet genoeg. Zoals Taleb36 zegt: ‘Kennis neemt heel snel af in de staarten van distributies, dus zijn tail-risks niet te bepalen’. Daar komt nog boven op dat banken risicovolle portfolio’s aanvulde met producten die weinig risico’s met zich meebrachten, zoals een CDS om hun risicoprofiel te beïnvloeden. Bankiers werden immers beloond als ze veel verdienden zonder veel risico’s te nemen. Een CDS (Credit Default Swap) is een verzekering op een lening. Als men bang is dat een uitgegeven lening niet terug betaalt wordt sluit men een CDS af. Namelijk, in het geval dat de lening niet wordt terug betaalt (dit noemen we een default), keert de verstrekker van de CDS het uitgeleende bedrag aan je uit. In ruil hiervoor betaalt men een bedrag aan de CDS verstrekker. De prijs van zo’n CDS is onderbouwd met complexe wiskunde en modellen. De kans op een default is over het algemeen niet heel groot, wat de CDS een niet zo risicovol product maakt. Totdat er echter een hele stroom aan defaults plaats vindt. Dit gebeurde in de VS als gevolg van de ineenstorting van de huizenmarkt. Van hypotheken werden derivaten gemaakt, Mortage Backed Securities (MBS), die bestonden uit stukjes van veel verschillende hypotheken. Een MBS kon op zijn beurt weer onderdeel zijn van een Collatorized Debt Obligation (CDO) die naast hypotheken ook uit stukjes van andere soorten leningen bestond. De (hypotheek) obligaties werden over heel de wereld verkocht en vaak waren ze verzekerd met een CDS. Toen het bleek dat de huizenmarkt in de Verenigde Staten een zeepbel was, waren in de eerste instantie de bezitters van CDO’s de dupe, maar omdat veel CDO-bezitters zichzelf hadden verzekerd met een CDS kregen de CDS verstrekkers ook een harde klap. Aangezien veel banken Credit Default Swaps verstrekten, verloren zij veel geld. Wat volgde was de bijna-ineenstorting van het financiële systeem en een sterke daling van de kredietverstrekking. De kredietcrisis was geboren.

36

Taleb, N.N. - Why Did the Crisis of 2008 Happen?

64

The Midas Formula

Discussie & Conclusie De komst van de Black-Scholes formule voor het waarderen van optieprijzen gooide het financiële systeem om. Voorheen werden derivaten zoals opties gewaardeerd op basis van vermoedens en vuistregels. Maar gegeven de aanname dat aandelen willekeurig bewegen volgens een geometrische Brownse beweging, kunnen opties worden gewaardeerd. Dit klinkt paradoxaal, aangezien de toekomstige aandelenkoers uiteindelijk bepaalt wat een optie waard is. Black, Scholes en Merton slaagden er in om op basis van de huidige aandelenprijs, de volatiliteit, de tijd tot uitoefening en de risicovrije rente een formule voor de optieprijzen af te leiden. De derivatenhandel was geboren en de financiële markt groeide ontzettend. In onze conclusie gaan we de gegevens uit ons onderzoek gebruiken om te kijken of het BlackScholes model nou wel echt doet wat ze zegt te doen en of er nog verbeterpunten zijn. Hoewel we al gezien hebben dat er punten zijn die eigenlijk wel beter kunnen in het model, kunnen we gerust zeggen dat er aan het commerciële succes van de Black-Scholes-Merton vergelijking moeilijk te tippen valt. We kunnen conclusies trekken uit zowel de wiskundige theorie als de verzamelde praktijkinformatie. We beginnen met een aanval op het model en sommen haar fouten op. Daarna zullen we laten zien dat het geheel ook te relativeren is.

Continuïteit

Het Black-Scholes model gaat uit van continuïteit op verschillende onderdelen. Deze aanname heeft de nodige gevolgen voor de betrouwbaarheid van het model, want de aandelenmarkten kennen geen continue beweging. Het eerst zien we de continuïteit terug in het afleiden van de differentiaalvergelijking voor de aandelenmarkt en de geometrische Brownse beweging. De laatste is gebaseerd op het tijd-continue lemma van Itô. De Black-Scholes vergelijking zelf is ook hierop gebaseerd. Een onderdeel dat sterk afhankelijk is van de continuïteit is delta hedging. De Black-Scholes vergelijking houdt alleen stand als het portfolio constant wordt uitgebalanceerd door de delta. Daarbij mogen er ook geen transactiekosten zijn. In de praktijk kunnen we het portfolio alleen maar over discrete tijdsintervallen herbalanceren, want we kunnen niet continu aandelen kopen en verkopen. Misschien nog wel belangrijker, als we het portfolio continu zouden balanceren (lees: oneindig vaak over een bepaald tijdsinterval) worden de transactiekosten oneindig groot. Ook hebben we gezien hoe de aanname van continuïteit meespeelde bij het faillissement van LTCM capital. De continue modellen gaven een zekerheid die er niet was, namelijk midden in een crash kunnen verkopen. Alternatieven zijn zogenaamde ‘jump-diffusion modellen’ die rekening houden met het nietcontinue aandelenverloop.

Constantheid

Black-Scholes gaat uit van een constante waarde voor o.a. de volatiliteit (𝜎) en de rente (r). We hebben gezien dat de eerste niet constant is. We hebben immers het bestaan van onregelmatige geïmpliceerde volatiliteit bewezen: de volatiliteit verandert met de huidige aandelenprijs en de tijd tot uitoefening en is daarmee niet constant (zie 3D grafiek op blz. 56). Dit heeft de nodige invloed op de juistheid van de Black-Scholes vergelijking. Het feit dat de aanname van constante volatiliteit vervalt, kunnen we extrapoleren om een conclusie te trekken over een andere aanname, namelijk die van de normaal verdeelde rendementen. Dit is ook een verkeerde aanname. Als de aanname juist was geweest was de volatiliteit wél constant geweest. Er kloppen dus twee aannames niet. Een praktischer gevolg hiervan is dat opties verkeerd gewaardeerd worden.

65

The Midas Formula Kort samengevat hadden we op basis van ons onderzoek het volgende probleem gevonden in de Black-Scholes aanname van de normale verdeling: de normaalverdeling gaat uit van minder grote schommelingen dan die we in het echt waarnemen. Vooral bij de staarten van de verdeling is het verschil tussen de werkelijke en normale verdeling groot: de normaalverdeling houdt geen rekening met de leptokurtosis (fat tails, zie figuur 6.2 op pagina 65). De kans op extreme gebeurtenissen volgens het normale model (en daarmee volgens het Black-Scholes model) is kleiner dan in werkelijkheid het geval is. In ons onderzoek hebben we gekeken wat de invloed hiervan was op de volatiliteit van S&P 500 SPDF ETF. We hebben gezien dat als gevolg van downside leptokurtosis (fat tails aan de negatieve zijde van de verdeling) er een onregelmatige volatility surface tot stand kwam, ook wel bekend als de volatility skew. Dit kwam doordat de markt wél rekening houdt met het fenomeen ‘dowinside leptokurtosis’, hierdoor gaan de optieprijzen omhoog voor in-the-money callopties en out-of-the-money putopties wat dus resulteert in een hogere volatiliteit bij deze opties. De optieprijzen gaan omhoog bij ITM callopties en OTM putopties, of anders gezegd: het Black-Scholes model onderwaardeert ITM callopties en OTM putopties. Het zat zo: de ITM callopties gingen omhoog omdat de markt aanneemt dat een kans op een crash (veel negatieve standaarddeviaties) groot is. Om te voorkomen dat de aandelenkoers na de crash daalt onder de uitoefenprijs van de callopties, kopen investeerders callopties die deep (ver) in-the money zijn. De vraag naar de callopties is hierdoor groot, de prijs stijgt als gevolg hiervan. Door de prijsstijging stijgt de volatiliteit. De OTM putopties gingen omhoog, omdat de schrijvers van opties aannemen dat de kans op een crash redelijk groot is. De kans dat de putopties die zij schrijven uitgeoefend wordt, is dus ook groot. Daarom verhogen ze de prijzen, wat zorgt voor een hogere volatiliteit. Het probleem van de onjuiste optiewaarden kan uiteraard opgelost worden door in de BlackScholes berekeningen de geïmpliceerde volatiliteit in te vullen i.p.v. een constante volatiliteit te gebruiken. De quote aan het begin van het onderdeel over geïmpliceerde volatiliteit sluit hier goed bij aan: "the wrong number in the wrong formula to get the right price." Beter is echter “the wrong number in the wrong formula to get approximately the right price”. Want de exact de juiste prijs bestaat niet: er spelen nog altijd onzekerheden mee. De belangrijkste hiervan is en blijft de volatiliteit. Ondanks dat het Black-Scholes model vaak wordt geprijsd om het feit dat ze het ‘risico elimineert’ door delta hedging, zit er nog een zekere mate van risico in het feit dat volatiliteit niet exact te bepalen is. Het blijft allemaal gebaseerd op kansrekening. Een andere in essentie niet te bepalen parameter is de risicovrije rente. In de wetenschappelijke literatuur wordt hier duidelijk minder aandacht aan gegeven dan aan de volatiliteit. De rente heeft misschien wel een kleinere impact op de optieprijs dan de volatiliteit, maar de rente speelt wel mee. Een te hoge rente betekent een te hoge call- en te lage putprijs, een te lage rente betekent een te lage call- en te hoge putprijs. Een hoge rentestand drijft immers de aandelenprijzen op (zie hoofdstuk Aandelen II, de rente is de drift). Het is eigenlijk aan de investeerder om te bepalen welke constante rente hij gebruikt (gebruiken we bijvoorbeeld de rente op een US Treasury bond of de rente bij de bank?). Feit is, dat de rente niet constant is. Er zijn daarom ook modellen die de rente beschouwen als een stochastisch proces. Voor de volatiliteit zijn er overigens ook stochastische modellen.

66

The Midas Formula LTCM En De Kredietcrisis De werking van het Black-Scholes model kan naast de empirische testen ook beoordeeld worden door een kijkje in de geschiedenis. Het model heeft voor de nodige problemen gezorgd bij LTCM en de op Black-Scholes gebaseerde derivaten hebben voor de bijna-ineenstorting van de banken gezorgd. LTCM kwam erachter dat door hedgen en leverage de winsten op je eigen vermogen relatief gemakkelijk vergroot kunnen worden zonder veel risico te lopen. Door dit goed uit te voeren behaalden ze rendementen waarvan de meeste beleggers alleen maar zouden kunnen dromen. Echter bleek ook voor LTCM dit een droom: na een paar jaar van bizar hoge rendementen, leden ook zij verlies door de Aziatische crisis en werd de situatie verslechterd toen Rusland besloot zijn staatsleningen niet meer af te lossen. De verkeerde aanname van het Black-Scholes model die een belangrijke rol speelde in het faillissement van LTCM, is er eentje die we al besproken hebben, namelijk die van het negeren van de fat tails in de reële distributie én de aanname van continuïteit. We kunnen concluderen dat de belangrijkste fout in het Black-Scholes model is, op basis van ons onderzoek, het negeren van (downside) leptokurtosis. De aanname dat de rendementen op aandelen normaal verdeeld zijn, is pertinent onjuist. Het negeren van de leptokurtosis zorgt voor foute optieprijzen en het maakt het Black-Scholes model een onbetrouwbaar model om handelsstrategieën op te baseren. Dit hebben we gezien bij het faillissement van LTCM capital. Bij de laatste is het echter wel de vraag in hoeverre men aan het model de schuld kan geven. Dit brengt ons bij de pluspunten van het model in de praktijk. Zoals aan het begin van de conclusie is gesteld: men kan moeilijk op tegen het commerciële succes van Black-Scholes. Waarom is dit succes zo groot? In de praktijk wordt het veel gebruikt om verschillende redenen.

Eenvoud

Men kan gemakkelijk rekenen met het Black-Scholes model. Eenvoud is de kracht van het BlackScholes model. Zo is er een ‘closed form solution’ af te leiden waarmee goed te werken is. We hebben al een paar aanpassingen gegeven die het model zouden verbeteren (jump model, stochastische volatiliteit en rente), maar ondanks dat het waarderen van opties met deze wijzigingen beter zou gaan, maakt dit het geheel wel complexer en is er meer tijd nodig voor de berekeningen. Het Black-Scholes model is omkeerbaar en we kunnen gegeven de prijs van een optie één van de parameters bepalen. In ons onderzoek hebben we op deze manier de geïmpliceerde volatiliteit vastgesteld. Dat dit zo relatief gemakkelijk te doen is, brengt ons bij het feit dat gebreken van het model gemakkelijk zijn te achterhalen en te begrijpen; zo zal men minder snel door de bomen het bos niet meer zien. Nu dit vastgesteld is, is het nog maar de vraag in hoeverre het de ‘schuld’ van het Black-Scholes model was dat LTCM omviel: ook bij LTCM wisten ze van de gebreken af, de bedenkers zelf waren hier immers werkzaam. Het is door de onverschilligheid en de simplistische opstelling van de mensen die ermee werken dat er foute dingen mee gebeuren. Een voorbeeld hiervan is het antwoord van Robert Merton op een vraag die werd gesteld in een interview met het Financieel Dagblad. De vraag luidde: “U was zelf berokken bij een marktschok: de ondergang van het hedge fund LTCM. Heeft u daar iets uit geleerd?” Het antwoord was: “ik heb niets nieuws geleerd op financieel-theoretisch vlak [wat suggereert dat hij de gebreken kent]. De mensen die

de operationele leiding over het fonds hadden, waren heel ervaren. Maar er zijn altijd dingen waarop je niet kunt anticiperen [een simplistische gedachte].” De rol van het Black-Scholes model in de kredietcrisis en de rol van derivaten modellen hierin in het algemeen is van eenzelfde strekking. Neem bijvoorbeeld de onverantwoordelijke houding van de banken bij het gebruiken van VaR (Value at Risk).

67

The Midas Formula Het ontstaan van financiële problemen door het model zegt, in zekere zin, dus meer over haar gebruikers dan over het model zelf. Dankzij haar eenvoudigheid zal het Black-Scholes model (zeker bij de particuliere investeerders) zeker de komende tijd een grote rol blijven spelen.

Robuuste Basis Voor Andere Modellen

Het model is een goede basis voor andere (en betere) modellen. Dit geldt voor zowel alternatieve optiemodellen als modellen voor andere derivaten.

Het Model Geeft Goede Indicatoren

Met het model is veel marktinformatie af te leiden. Ook zijn er handelsstrategieën op te baseren (mits je er verantwoordelijk mee omgaat). Hiermee bedoelen we vooral the Greeks, waar we kort op in zijn gegaan, die belangrijke indicatoren vormen voor bijvoorbeeld de beweging van prijzen. De van Black-Scholes afgeleide Greeks spelen in de professionele wereld een essentiële rol bij bijvoorbeeld het hedgen van portfolio’s. Ook de geïmpliceerde volatiliteit die we kunnen afleiden met de Black-Scholes formule is van groot belang in de beleggingswereld.

Conclusie

Het Black-Scholes model is een relatief eenvoudig model dat goed te begrijpen is. Zo zijn ook de zwakke punten er gemakkelijk uit te halen. Met de zwakke punten dient men zeker rekening te houden, maar zoals de praktijk leert, wordt dit zelden gedaan. Het belangrijkste defect in het model is op basis van ons onderzoek het negeren van de ‘leptokurtosis’, ook wel de ‘fat tail´ genoemd. Het gevolg hiervan is dat (vooral ver in-to-the-money en ver out-of-the-money, we hadden vooral met downside risk te maken) (index)opties verkeerd gewaardeerd worden. Tevens zorgt dit ervoor dat men risico management niet kan baseren op dit model. Hoe men het ook wend of keert, het Black-Scholes model is een zeer invloedrijk en belangrijk model en dit zal het ook blijven door de goede indicatoren die af te leiden zijn uit het Black-Scholes model. Het model kan prima gebruikt worden, zolang men maar onthoudt dat investeerders een geheugen hebben dat de aandelenprijs beïnvloedt, in tegenstelling tot moleculen.

In tegenstelling tot moleculen hebben investeerders een geheugen dat de aandelenprijs beïnvloedt. Vergeet men dit, dan verandert de Black-Scholes formule in ‘The Midas Formula’.

68

The Midas Formula

Nawoord Voor ons was dit profielwerkstuk een reis. Een reis door de wereld van de financiële wiskunde. We kwamen terecht in een wereld waar we nog bijna niets van wisten. Niets meer dan de basis van de wiskunde, bedrijfskunde en economie. Het belangrijkste gevolg hiervan was dat het moeilijk was het overzicht te houden: in de Engelse literatuur die we gebruikt hebben, kwamen we ontzettend veel termen tegen die niet toegelicht waren, waardoor we veel extra onderzoek moesten verrichten. Hetzelfde geldt voor de wiskunde. Toch wordt het steeds bekender terrein als je veel leest over verschillende aspecten van ‘quantitative finance’. Het was de tijdsinvestering volledig waard en we zijn tevreden met het resultaat. We blijven het bijzonder vinden dat je een relatief37 complex model kunt beoordelen met niet meer dan data van Yahoo!Finance en Excel. We zijn in ieder geval veel meer te weten gekomen over de zeer invloedrijke en (voorheen) mysterieuze derivaten. Gedurende ons onderzoek zijn we tegen verschillende zaken aangelopen waarin wij ons in een later stadium nog op willen richten, bijvoorbeeld tijdens onze vervolgstudie. We zijn beiden erg gefascineerd geraakt door de complexiteit en tegelijkertijd de eenvoud van de financiële wiskunde. Ook zijn we erachter gekomen dat er nog veel meer mogelijkheden zijn om ons in te verdiepen. Door dit profielwerkstuk hebben we ons in iets heel anders verdiept, iets veel interessanter, dan dat we op school tegen komen. Een van de leukste dingen is het daadwerkelijk in de praktijk brengen van de Wiskunde. Het feit dat het iets heel anders is dan dat we op school tegen komen, maakt het tegelijkertijd interessant en ingewikkeld. Uiteraard is er wel een basis die steeds weer terug komt, maar er worden ook steeds nieuwe onderwerpen geïntroduceerd met betrekking tot het Black-Scholes model. Echter, als je je er goed in verdiept en zorgvuldig te werk gaat, is het mogelijk om relatief veel kennis te verwerven van zaken die je normaliter aan de universiteit pas zou leren en is het mogelijk om het Black-Scholes-Merton model te onderzoeken.

We zijn er wel achter gekomen dat er nog véél geavanceerdere modellen bestaan voor het prijzen van derivaten 37

69

The Midas Formula

APPENDICES A. Basis Statistiek Statistiek is de wetenschap van het verzamelen, bewerken, interpreteren en presenteren van gegevens. Het is een onderdeel van de wiskunde. Om dit goed te kunnen doen zijn hier verschillende methodes en technieken voor. Statistici trachten informatie over een populatie te krijgen uit de waarneming van een aantal elementen van die populatie, de steekproef. De verkregen informatie is dus bijna altijd onvolledig en daardoor onnauwkeurig. Een goede beheersing van deze onnauwkeurigheid is dan ook een essentieel onderdeel van de statistiek. Een heel kenmerkend onderdeel van de statistiek is kansberekening. Dit is een tak van de wiskunde die zich bezighoudt met situaties waarin het toeval een grote rol speelt. Dit heeft als gevolg dat er geen zekerheid is over allerlei uitkomsten. Kansrekening is ontstaan vanuit de maatschappelijke behoefte om zo effectief mogelijk om te gaan met onzekerheden. De kansrekening tracht wiskundige hulpmiddelen aan te reiken aan een zeer groot aantal maatschappelijke activiteiten en wetenschappen, om binnen een omgeving met onzekerheden toch keuzes te kunnen maken of conclusies te kunnen trekken die gegrond zijn op goed onderbouwde berekeningen. Vooral dit laatste komt heel vaak terug; het kunnen trekken van een goed gegronde conclusie, en zeker op de beursvloer. Beleggers willen altijd weten wat de beste kans is op zo veel mogelijk winst. Daarom zal dit onderdeel van essentieel belang zijn in ons profielwerkstuk en nemen we een klein kijkje in de wereld van de statistiek.

Normaalverdeling De normale verdeling, ook wel gaussverdeling, is een continue kansverdeling met twee parameters, de verwachtingswaarde µ en de standaardafwijking σ, ook wel de variantie genoemd. De kansdichtheid is symmetrisch rond µ, hoog in het midden, en wordt naar lage en hoge waarden steeds kleiner zonder ooit echt nul te worden. De normale verdeling wordt wel genoteerd als X ~ N( 𝜇, 𝜎 2 ) -verdeling. Zoals voor elke kansdichtheid is de integraal over het hele definitiegebied precies gelijk aan 1. De algebraïsche formule voor de grafiek van een normaal verdeling is: 2 1 𝑥−𝜇 1 − ( ) 𝑓(𝑥) = 𝑒 2 𝜎 𝜎√2𝜋 Zoals elke kansdichtheid is de integraal over het hele definitiegebied gelijk aan 1:

70

The Midas Formula ∞

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1 −∞

Een normale verdeling met verwachtingswaarde 0 en variantie 1, de X ~ N( 0,1) -verdeling, is een veelgebruikte functie en wordt een standaardnormale verdeling genoemd. De bijbehorende formule is: 𝜑(𝑥) =

1 √2𝜋

1 2

𝑒 −2𝑥

Variantie De variantie is in de statistiek een maat voor de spreiding van een reeks waarden. Ook wel benoemt als de mate waarin de waarden onderling verschillen. Hoe groter de variantie, hoe meer de afzonderlijke waarden onderling verschillen, dus hoe meer de waarden van het "gemiddelde" afwijken. De variantie meet het gemiddelde van het kwadraat van deze afwijkingen. Is er een betrokken verdeling in de kansverdeling van een stochastische variabele X, dan spreekt men over de variantie van X. De wortel uit de variantie wordt de standaardafwijking genoemd. Als de verdeling gegeven is als een kansverdeling van een stochastische variabele X, is de variantie gedefinieerd als de verwachtingswaarde van de kwadratische afwijkingen van de verwachtingswaarde van X: 𝑣𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑥 − 𝐸𝑋)2 = 𝐸𝑋 2 − (𝐸𝑋)2 = 𝜎 2 Dit kan ook genoteerd worden als: 𝑁

1 𝜎 = ∑(𝑋𝑖 − 𝜇)2 𝑁 2

𝑖=1

71

The Midas Formula

B. Benadering 𝐞𝐚 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 → 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑒 𝑥 𝐵𝑖𝑗 𝑥 = 0 → 𝑓′(0) = 𝑒 0 = 1 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) 𝑒 𝑥+ℎ − 𝑒 𝑥 𝑒ℎ − 1 = lim 𝑚𝑒𝑡 𝑥 = 0 → lim ℎ→0 ℎ→0 ℎ→0 ℎ ℎ ℎ

𝑀𝑎𝑎𝑟 𝑜𝑜𝑘 𝑓 ′ (𝑥) = lim

𝑒ℎ − 1 =1 ℎ→0 ℎ

𝐻𝑖𝑒𝑟𝑢𝑖𝑡 𝑣𝑜𝑙𝑔𝑡 𝑑𝑎𝑡 lim

1 𝑒ℎ − 1 ≈ 1 → 𝑒 ℎ − 1 ≈ ℎ → 𝑒 ℎ ≈ 1 + ℎ → 𝑒 ≈ (1 + ℎ)ℎ ℎ

𝑆𝑡𝑒𝑙 ℎ =

𝑎 𝑚𝑒𝑡 ℎ ↓ 0 𝑒𝑛 𝑥 → ∞ 𝑥 𝑥

𝑎 𝑎 𝑎 𝑥 𝐷𝑖𝑡 𝑔𝑒𝑒𝑓𝑡 lim (1 + ) = 𝑒 → lim (1 + ) = 𝑒 𝑎 𝑥→∞ 𝑥→∞ 𝑥 𝑥

72

The Midas Formula

C. Monte Carlo Simulatie Algoritme van http://www-math.bgsu.edu/~zirbel/sde/matlab/ % GBM(mean,sigma,n,T) simulates a geometric Brownian motion % on [0,T] using n normally distributed steps and parameters mean and % sigma; function [X] = GBM(mu,sigma,n,T) t = (0:1:n-1)'/n; t = t*T; % ensure N(0,1) distribution RNraw = randn(n-1,1); M = mean(RNraw); S = cov(RNraw); RNcorr = (RNraw-M)*inv(chol(S)); W = [0; cumsum(RNcorr)]/sqrt(n-1); W = W*sqrt(T); % analytical solution to GBM X = exp((mu-(sigma^2)/2).*t + sigma * W); plot(t,X); % plot the path hold on plot(t,exp(r*t),':'); axis([0 T 0 max(1,exp((r-(alpha^2)/2)*T+2*alpha))]) title([int2str(N) '-step geometric Brownian motion and its mean']) xlabel(['r = ' num2str(r) ' and alpha = ' num2str(alpha)]) hold off

73

The Midas Formula

D. Fixed-Income Arbitrage LTCM werd opgericht door een groot obligatiehandelaar van Salomon Brothers. Ook bij LTCM was obligatiehandel een hele belangrijke bron van inkomsten. De strategie ‘fixed income arbitrage’ is een vorm van ‘relative value arbitrage’. Relative value arbitrage is iets waar zeer veel hedge funds mee werken. In deze Appendix lichten we een van LTCM’s belangrijkste handels strategieën toe. Fixed-Income arbitrage kan geïnterpreteerd worden als relative value arbitrage bij obligaties. We spreken van fixed income, omdat obligaties elke termijn een vaste (fixed) rente uitbetalen. LTCM maakte gebruik van het verschil in opbrengst van ‘on-the-run’ en ‘of-the-run’ obligaties van de Amerikaanse regering (US treasury bonds). Een recent uitgegeven obligatie noemen we een ‘on-the-run’ obligatie, een iets eerder uitgegeven obligatie noemen we ‘off-the-run’. Het zou logisch zijn dat een 30 year US treasury eenzelfde opbrengst heeft als een 29,5 year US treasury bond. Echter heeft de net uitgeven on-the-run obligatie een hogere koers dan de iets eerder uitgegeven off-the-run obligatie. Dit komt doordat er meer wordt gehandeld in de meest recent uitgegeven obligatie. De later uitgeven obligatie heeft een lagere koers, omdat daar minder in gehandeld is. Aangezien de obligaties erg veel op elkaar lijken, verwacht LTCM dat over de tijd de on-the-run obligatie in waarde zal afnemen en dat de off-the-run obligatie in waarde zal toenemen. Men kan hier als volgt geld mee verdienen: Neem twee obligaties van Amerikaanse regering (US treasury bond) die een prijs hebben van 𝑃𝐴0 (off-the-run)en 𝑃0𝐵 (on-the-run). Men verwacht dat obligatie A gaat stijgen en dus gaan we long op deze obligatie. Op tijd 0 koopt men de obligatie voor 𝑃𝐴0 en op tijd t verkoopt men hem voor 𝑃𝐴𝑡 . Men verwacht echter dat prijs van obligatie B zal dalen, dus gaan we hierop short. Men verkoopt de obligatie op moment 𝑃𝐵0 en op het moment dat de obligatie weer wordt teruggekocht en wordt geleverd aan de partij die de obligatie aanvankelijk bezat is de prijs 𝑃𝐵𝑡 . Men maakt winst zo lang aan de volgende voorwaarde wordt voldaan 𝑃𝐴0 − 𝑃𝐵0 > 𝑃𝐴𝑡 − 𝑃𝐵𝑡 Het verschil tussen de long en short moet kleiner als men winst wil maken, wat betekent dat de short moet dalen of dat de long moet stijgen of het gebeurt allebei. Op basis van het bovenstaande kan men de conclusie trekken dat er een vorm van hedgen heeft plaats gevonden die ervoor zorgt dat er winst gemaakt kan worden bij zowel dalende als stijgende prijzen. Het is namelijk een strategie op basis van relatieve waarde, ook wel relative value. Het werkt als volgt: in principe betekent een stijging in de obligatiewaarde van de ene, een stijging van de obligatiewaarde van de andere, hetzelfde geldt voor een daling. Dat wil zeggen: als het in zijn algemeenheid slecht gaat op de obligatiemarkt van de VS dan zullen zowel de 30-jaar als de 29,5 jaar obligatie in waarde verminderen. Als obligatie A met 20% stijgt dan is er een verlies van 20%, omdat we short zijn gegaan op de obligatie. Dit verlies wordt echter gecompenseerd door obligatie B die ook 20% stijgt en waarin we een long positie hebben. Voor een dalende markt geldt hetzelfde: een daling van 20% betekent een winst van 20% op A en een verlies van 20% op B. Ervan uitgaande dat A en B inderdaad erg hetzelfde bewegen, hebben we te maken met een gehedgede positie.

74

The Midas Formula Op het moment dat de obligatieprijzen beginnen te convergeren, maken we winst. In de onderstaande grafiek zien we even af van het grillige koersverloop van een financieel product. Bij een dalende markt kan de strategie dus winstgevend zijn, mits de prijzen convergeren. Dit gebruik van een inefficiënt38 gedrag van de markt noemt men arbitrage. 4,5 4 3,5 3 2,5

Reeks1

2

Reeks2

1,5 1 0,5 0 1

2

3

4

5

6

7

8

Reeks 1 kan in het voorbeeld gezien worden als obligatie A, reeks 2 is obligatie B. In het voorbeeld is te zien dat er geen verlies wordt gemaakt in de dalende markt. Doordat de obligaties met dezelfde mate dalen zijn de long en de short tegen elkaar weg te strepen.

38

Op een volledig efficiënte markt is immers alle informatie doorgevoerd in de prijs zodat er geen mogelijkheid zou zijn voor arbitrage.

75

The Midas Formula

E. Literatuurlijst Literatuur      

Bratley Fox Schrage, A Guide to Simulation (1983) Sheldon M. Ross, Introduction to probability Models (2009), Academic Press Haim Levy, Captial Investment and Financial Decisions (1978) Numerical Mathematics and Computing, Cheney Kingaid (1980) Paul Wilmott, Quantitative Finance, (2006) Paul Wilmott & Sam Howison & Jeff Dewynne, The Mathematics of Financial Derivatives

(1995)      

John Hull, Options Futures and Other Derivatives (2005) John C. Cox & Mark Rubinstein, Options Markets (1985) Taleb, N.N. (2011), Why Did the Crisis of 2008 Happen?, New Political Economy Allington & McCombie & Pike, Lessons not learnt: from the collapse of LTCM tot the subprime crisis (2012) R. Lowenstein, When Genius Failed (2000) N. Dunbar, Inventing Money (2000)

Papers    

F. Black, M. Scholes – The Pricing of Options and Corporate Liabilities E. Korn, R. Korn – Modelling Stock Prices A. Dmouj - Stock Price Modelling: Theory and Practice: James D. MacBeth & Larry J. Merville, An Empirical Examination of the Black-Scholes Call

  

Option Pricing Model (1979) S.C. Slot, S.R. Snijders – Algorithmic Trading & Quantitative Finance Fabrice D. Rouah – Four derivations of the Black-Scholes Formula Emilia Vasile & Dan Armeanu, Empirical Study on the Performances of Black-Scholes Model for Evaluating European Options (2009)

Wikipedia (Engelstalig)   

Black-Scholes Model: http://en.wikipedia.org/wiki/Black%E2%80%93Scholes_model Brownian Motion: http://en.wikipedia.org/wiki/Brownian_motion Geometric Brownian Motion: http://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_Brownian_motion  Normal Distribution: http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution  Ito’s Lemma: http://en.wikipedia.org/wiki/It%C5%8D%27s_lemma  Stochastic Calculus: http://en.wikipedia.org/wiki/Stochastic_calculus  Stock: http://en.wikipedia.org/wiki/Stock  Fischer Black: http://en.wikipedia.org/wiki/Fischer_Black  Myron Scholes: http://en.wikipedia.org/wiki/Myron_Scholes  Robert C. Merton: http://en.wikipedia.org/wiki/Robert_C._Merton Kranten  Veilig met opties - Financiële Dagblad (15 mei 2007) [interview met R. Merton]

76