Természeti jelenségek fizikája gyakorlat
Pogány Andrea
[email protected]
Vektorok vektor: a tér egy rendezett pontpárja által kijelölt, az első pontból a másodikba mutató irányított szakasz → nagysággal és iránnyal jellemezhető
a nullvektor: abszolutértéke 0, iránya tetszőleges egységvektor: abszolutértéke 1
szabad vektor: önmagával párhuzamosan eltolható helyvektor: rögzített kezdőpont
P1
P2
Műveletek vektorokkal
a
szorzás skalárral:
a
pl.:
a
2⋅a
p = m⋅v F = m⋅a
− a = −1⋅ a
összeadás, kivonás:
a+b+c a
c b
a+b = b+a
két vektor által bezárt szög:
a − b = a + ( −b )
a
α ⋅ (a + b ) = α ⋅ a + α ⋅ b lineáris kombináció:
α ⋅a + β ⋅b
ϑ
b
Műveletek vektorokkal Skalár szorzat:
pl.:
ab = A A = a ⋅ b ⋅ cos ϕ
W = Fs = F ⋅ s ⋅ cos ϕ
ab = ba a0 = 0 a(bc) ≠ (ab )c (a + b )c = ac + bc
Vektori szorzat:
c = a × b = [ab ]
c = c = a ⋅ b ⋅ sin ϕ iránya – jobbkézszabály alapján pl.:
FCor = 2m( v × ω) = 2m ⋅ v ⋅ ω ⋅ sin ϕ
a × b = −b × a a×0 = 0 a×b = 0 a × (b × c) ≠ (a × b) × c a × (b + c ) = a × b + a × c
Vonatkoztatási rendszer vonatkoztatási rendszer: rögzített viszonyítási pontok koordináta rendszer: egy rögzített ponton átmenő annyi irányított egyenes, ahány dimenziós a tér gyakorlatban: derékszögű koordináta rendszer x – kelet, y – észak, z - fel egy pont helyének megadása: 1. x,y,z koordinátákkal
2. polárkoordinátákkal
z
z P (r,ν,ϕ)
P (x,y,z) y
P
x
r
ϑ
z x
P
y
ϕ
x
y
Vektorok derékszögű koordináta-rendszerben y
i, j: x, y irányú egységvektorok
b
a
a = axi + a y j
a+b
b = bx i + by j a
j i b
a+b
x
a + b = (a x + bx )i + (a y + by ) j y
a y = a ⋅ sin ϕ
a
ϕ
a x = a ⋅ cos ϕ
x
Példa: anyagi pont helyzete, elmozdulása y P1 r1
d12
r2 r3
P2
helyvektor pálya → megtett út elmozdulás
d23
d13
P3
x Feladat: Határozzuk meg annak az autónak az elmozdulását, amely 8km-t halad északkeleti irányban, majd dél felé 13km-t, végül pedig nyugatra 5km-t!
a = 8 ⋅ cos 45D i + 8 ⋅ sin 45D j b = 0i − 13 j
y - észak
c = − 5i + 0 j
j i
x - kelet
d = a + b + c = (8sin 45D − 5)i + (8 cos 45D − 13) j = 0, 66i − 7, 34 j a + b + c = 0, 66 2 + 7, 34 2 = 7, 37
Házi feladat – szeptember 16.
1. Add meg a szinusz, koszinusz, tangens és kotangens függvény definícióját! Ábrázold a négy függvényt!
2. Adott két vektor: - az a vektor abszolút értéke 7 és a derékszögű koordináta rendszer x tengelyével 30°–os szöget zár be, - a b vektor abszolút értéke 4 és a derékszögű koordináta rendszer x tengelyével 150°–os szöget zár be. Add meg a két vektor összegét, skalár szorzatát és vektori szorzatát!
Sebesség, szögsebesség, gyorsulás, szöggyorsulás Feladat: Mekkora és milyen irányú a Hold Föld körüli keringésének sebessége, szögsebessége, gyorsulása és szöggyorsulása?
∆s 2rπ 2 ⋅ 3,84 ⋅108 m ⋅ 3,14 m = = = 1020 v= ∆t T 27,3 ⋅ 24 ⋅ 60 ⋅ 60 s s ∆ϕ 2π 2 ⋅ 3,14 −6 1 ω= = = = 2,66 ⋅10 ∆t T 27,3 ⋅ 24 ⋅ 60 ⋅ 60 s s v2 −3 m acp = rω = = 2,72 ⋅10 2 r s 2
ω acp
β =0
r=3,84·108m v
Gyorsuló vonatkoztatási rendszerek – Coriolis erő Feladat: Egy ágyú az Északi-sarkon áll és egy tőle 10 km-re lévő célpontra tüzel, de mellétalál. Mennyivel téveszti el a célt? (az ágyúgolyó 10 s múlva csapódik be, és a közegellenállás elhanyagolható)
1. Inerciarendszerben: a Föld elfordul a lövedék alatt → a célpont lövés közben elmozdul
s = 2π d
t 10 s = 2π ⋅10km = 0, 00727 km = 7, 27 m T 86400 s
2. A Földhöz rögzített (forgó) koordináta rendszerben: a lövedékre a sebességére merőleges, vízszintes irányú Coriolis-erő hat s 10 km m = = 1000 t 10 s s 2π 2π 1 ω = = = 7, 27 ⋅ 10 − 5 86400 s T s FC or = 2 m ( v × ω ) = 2 m vω sin 90 D = 2 m vω F m F = m a a = Cor = 2vω = 14,54 ⋅10−2 2 m s a 2 14, 54 m / s 2 s= t = ⋅ (10 s ) 2 = 7, 27 m 2 2 v=
FCor
Gyorsuló vonatkoztatási rendszerek – centrifugális erő Feladat: A Földön hol legnagyobb a centrifugális erő? Az Egyenlítőn:
Fcf = mω 2 r = mω 2 R cos ϕ
R
ϕ
Feladat: Mekkora a centrifugális erő nagysága az Egyenlítőn?
Fcf = mω 2r mω 2 r ω 2 r (7, 27 ⋅10−5 s −1 ) 2 ⋅ 6378km −3 = = = = ⋅ 3, 4 10 mg mg g 9,81m / s 2 Fcf
Házi feladat – szeptember 23.
1. Mekkora a legnagyobb centrifugális erő (a gravitációs erőhöz viszonyítva), ami egy ruhadarabra hat egy mosógépben centrifugálás közben, ha a dob átmérője 50 cm és percenként 1000 fordulatot tesz meg? 2. Mekkora és milyen irányú a Szegedről Budapestre tartó, 80 km/h sebességgel haladó, 400 t tömegű vonatra ható Coriolis-erő?
Coriolis-erő Feladat: Mekkora és milyen irányú a Szegedről Budapestre tartó, 80km/h sebességgel haladó, 400t tömegű vonatra ható Coriolis-erő?
km m = 22, 2 h s ∆ϕ 2π 1 = = 7, 27 ⋅10−5 ω= ∆t 24óra s ϕ = 44D
ϕ
v = 80
v
ϕ: az ábráról látszik, hogy ω és v által bezárt szög nem 90°, hanem a földrajzi szélességgel egyenlő (44°)
FCor = 2 ⋅ m ⋅ v × ω = 2 ⋅ m ⋅ v ⋅ ω ⋅ sin ϕ = = 2 ⋅ 4 ⋅105 kg ⋅ 22, 2
m 1 ⋅ 7, 27 ⋅10−5 ⋅ sin 44D = 898 N s s
A vonatnak jobbra, azaz kelet felé mutat.
ω ϕ
Geosztrófikus szél Feladat: Két pontban mért légnyomás különbsége 23hPa, a pontok távolsága pedig 2100km. Milyen erős geosztrófikus szél alakul ki?
∆p ⋅ V = 2m(v × ω ) = 2 ⋅ ρ ⋅ V ⋅ v ⋅ ω ⋅ sin ϕ ∆y 1 ∆p ∆p 1 v= ⋅ = ⋅ ∆y 2 ⋅ ρ ⋅ ω ⋅ sin ϕ ∆y ρ ⋅ f f: Coriolis-paraméter 1 ∆p ⋅ = v = 2 ⋅ ω ⋅ sin ϕ ⋅ ρ ∆y m 1 2300 Pa = ⋅ = 8,34 6 kg 1 s 2 ⋅ 7, 27 ⋅10−5 ⋅ sin 44D ⋅1,3 3 2,1 ⋅10 km s m
Rugalmassági állandók Feladat: A primer földrengéshullámok átlagos sebessége a földkéregben 5,5km/s, a szekunder hullámoké 3,1km/s. A földrengéshullámok terjedési sebessége alapján becsüld meg a földkérget alkotó kőzetek rugalmassági állandóit! (a kőzetek átlagos sűrűsége 2700kg/m3)
κ + 2µ vP = ρ
ρ a kőzet sűrűsége κ és µ a Lamè-féle rugalmassági állandók
µ vS = ρ µ = vS 2 ⋅ ρ = 2,59 ⋅1010
kg 10 = 2 , 59 ⋅ 10 Pa 2 m⋅s
kg 10 κ = vP ρ − 2µ = 2,98 ⋅10 = 2,98 ⋅ 10 Pa 2 m⋅s 2
10
Földrengéshullámok törése Feladat: Földrengéshullám 40°-os beesési szöggel halad agyagrétegből löszrétegbe. Mekkora az irányváltozás? (ca=1800 m/s, cl=370 m/s)
sin α ca = sin β cl
agyag lösz
ca sin β = sin α ⋅ cl
β = 7,59°
irányváltozás:
α − β = 32, 4°
α
α−β β
Házi feladat – szeptember 30.
1. Kilométerenként mekkora nyomáskülönbség szükséges 10 km/h erősségű geosztrófikus szél kialakulásához? 2. A második feladatban kapott Lamè-állandókból számold ki a földkérget alkotó kőzetekre jellemző Young-modulust, Poisson-féle számot és nyírási modulust!
Földrengés – rugalmassági állandók
κ=
ν E ⋅ 1 − 2ν 1 +ν
1 E µ= ⋅ =G 2 1 +ν
E: Young-modulus
ν: Poisson-féle szám G: nyírási modulus
A koncentráció mértékegységei Feladat: 20 µg/m3 ammónia hány ppb?
% %° ppm ppb ppt
10-2 10-3 10-6 10-9 10-12
mg/m3 µg/m3 ng/m3
10−9 m3 1 ppb = 1m3 µg m3 20 3 = x 3 m m pV = nRT
szobahőmérséklet atmoszférikus nyomás
20 ⋅10−6 g J ⋅ 8,314 ⋅ 298 K g m ⋅ mol K 17 RT nRT M −8 3 mol = = = ⋅ 2,9 10 V= m 5 10 Pa p p
µg
m3 = 29 ppb = 0, 029 ppm = 29000 ppt 20 3 = 2,9 ⋅10 3 m m −8
Barometrikus nyomásformula Feladat: Milyen magas a János-hegy, ha a hegy tetején a légnyomás 950hPa? −
p = p0 ⋅ e
−
zMg RT
= p0 ⋅ e
−
z H
p = 950hPa p0 = 105 Pa pontosabban: 1,013·105Pa g M = 29 mol J R = 8,314 mol ⋅ K T = 25o C = 298 K g = 9,81 H = 8km z =?
m s2
p = p0 ⋅ e
zMg RT
zMg − p = e RT p0
ln
p zMg =− p0 RT
z=−
RT p ⋅ ln = Mg p0
J 8,314 ⋅ 293K 950hPa molK =− ⋅ ln = 541m g m 1013hPa 29 ⋅ 9,81 2 mol s
Házi feladat – október 7.
(0. Múlt heti földrengéses feladat) 1. Mekkora a légnyomás a Mount Everest tetején? 2. Add meg a levegő főbb összetevőinek (nitrogén, oxigén, argon) koncentrációját g/m3 mértékegységben!
Szónikus anemométer működése - szélsebesség Feladat: Egy szónikus anemométer két ultrahang adó-vevője közötti távolság 20 cm. Az ultrahang impulzus terjedési ideje az egyik irányban 5,84·10-4 s, a másik irányban 5,98·10-4 s. Mekkora a szélsebességnek az adó-vevőket összekötő szakasz irányába eső komponense? Közelítőleg mennyi a levegő hőmérséklete, ha a hang terjedési sebessége 0°C-os levegőben 331 m/s?
d=20cm t1=5,84·10-4s t2=5,98·10-4s
c: hangsebesség szélcsendben v: szélsebesség
d =c+v t1 d = c−v t2 d d − = c + v − c − v = 2v t1 t2 v=
1 1 d ⎛ 1 1 ⎞ 0, 2m ⎛ m ⎞ 4 − = − = ⎜ ⎟ 2 ⎝ t1 t2 ⎠ 2 ⎜⎝ 5,84 ⋅10−4 s 5,98 ⋅10−4 s ⎟⎠ s
Szónikus anemométer működése - hőmérséklet
d=20cm t1=5,84·10-4s t2=5,98·10-4s
c: hangsebesség szélcsendben v: szélsebesség d =c+v t1 d = c−v t2 c=
c T = c0 T0
c0=331m/s T0=0°C=273K 2
d 0, 2m m m 4 338 −v = − = t1 5,84 ⋅10−4 s s s
(0°C-on mért hangsebesség)
m⎞ ⎛ 2 331 ⎜ ⎛c⎞ s ⎟ ⋅ 273K = 284,5K = 11,50 C T = ⎜ ⎟ ⋅ T0 = ⎜ m⎟ ⎝ c0 ⎠ ⎜ 338 ⎟ s ⎠ ⎝
A talaj metánkibocsátása Feladat: Talaj metánkibocsátását a talajra helyezett, henger alakú, 50 cm átmérőjű kamrával mérjük. A kamrán folyamatosan levegőt áramoltatunk át 200 cm3/min cCH4=2 ppm= 1,3mg/m3 cCH4=19 ppm=12,3mg/m3 sebességgel és mérjük a metán koncentrációját a kamrába belépő és a kamrából kilépő levegőben. A két koncentráció érték 2 ppm és 19 ppm. Add meg a talaj metán kibocsátását g/m2s Q=200 cm3/min mértékegységben!
d=50 cm → A=r2π=0,196m2
A kamrából 1 perc alatt kilépő levegőben a metán mennyisége:
m2 = c2 ⋅ V = 12,3
mg ⋅ 2 ⋅10−4 m3 = 2, 46 ⋅10−6 g 3 m
A kamrába 1 perc alatt belépő levegőben a metán mennyisége:
m1 = c1 ⋅ V = 1,3
mg −4 3 −7 ⋅ 2 ⋅ 10 m = 2, 6 ⋅ 10 g m3
A talaj által kibocsátott metán mennyisége:
∆m = m2 − m1 = 2, 46 ⋅10−6 g − 2, 6 ⋅10−7 g = 2,2 ⋅10−6 g
A talaj metánkibocsátása A talaj által kibocsátott metán mennyisége:
∆m = m2 − m1 = 2, 46 ⋅10−6 g − 2, 6 ⋅10−7 g = 2,2 ⋅10−6 g
cCH4=1,3mg/m3
cCH4=12,3mg/m3
egy perc alatt, 0,196m2 területen
2, 2 ⋅10−6 g g µg −6 F= = 0,18 ⋅10 = 0,18 2 m2 ⋅ s m ⋅s 60 s ⋅ 0,196m 2
Q=200 cm3/min d=50 cm → A=r2π=0,196m2
Házi feladat – október 14.
1. Egy szónikus anemométer két adó-vevő párból áll. Az egyik adó-vevő pár északi-déli irányban áll, és azt tapasztaltuk, hogy a kibocsátott ultrahang impulzus északról dél felé 5,988·10-4 s alatt, délről észak felé haladva pedig 5,6497·10-4 s alatt éri el a vevőt. A másik adó-vevő párt kelet-nyugat irányban helyeztük el és közük az ultrahang impulzus keletről nyugat felé haladva 5,899·10-4 s alatt, nyugatról kelet felé haladva pedig 5,731·10-4 s alatt éri el a vevőt. Az adó-vevő párok távolsága mindkét esetben 20 cm. Milyen erős és milyen irányú szél fúj? Közelítőleg mennyi a levegő hőmérséklete, ha a hang terjedési sebessége levegőben 0°C-on 331 m/s?
Venturi-cső Feladat: Mekkora sebességgel áramlik a Venturi-csőben egy 1,962kg/m3 sűrűségű gáz, ha a Venturi cső 0,3 és 0,2m átmérőjű szakaszai között 590Pa nyomáskülönbséget mérünk? Bernoulli-egyenlet
kontinuitási egyenlet
1 1 p1 + ρ v12 + ρ gh1 = p2 + ρ v22 + ρ gh2 2 2 1 ⎛ r14 2 2 ⎞ p1 − p2 = ∆p = ρ ⎜ 4 v1 − v1 ⎟ 2 ⎝ r2 ⎠ v1 =
h1 = h2
m 2 ⋅ ∆p 2 ⋅ 590 Pa = = 12,15 s ⎛ r14 ⎞ kg ⎛ (0,15m) 4 ⎞ ρ ⋅ ⎜ 4 − 1⎟ − 1,962 3 ⋅ ⎜ 1 ⎟ 4 r m m (0,1 ) ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠
m m3 Q = A1 ⋅ v1 = r π ⋅ v1 = (0,15m) ⋅ π ⋅12,15 = 0,85 s s 2 1
2
A1 ⋅ v1 = A2 ⋅ v2 A1 r12π r12 v2 = v1 = 2 v1 = 2 v1 A2 r2 π r2
Pitot-cső Feladat: Szélsebességet mérünk Pitot-csővel. Mekkora a szélsebesség, ha a vízszintek különbsége a csőben 8cm?
1 1 p A + ρ v A2 + ρ ghA = pB + ρ vB2 + ρ ghB 2 2 v = vB =
=
2( p A − pB )
2 ⋅1000
ρl
=
2( ρv hg )
ρl
=
kg m 0, 08 9,81 ⋅ m ⋅ m3 s 2 = 34, 75 m kg s 1, 2 3 m
B
hA = hB vA = 0
A
Házi feladat – október 21.
1. Mekkora nyomáskülönbséget mérünk egy vízszintes Venturi-cső 10 és 18 cm átmérőjű szakaszai között, ha a csőben levegő áramlik 1000 m3/h sebességgel? És ha víz áramlik ugyanekkora sebességgel? 2. Egy folyó sebességét mérjük Pitot-csővel, a manométer 3 kPa nyomáskülönbséget mutat. Mekkora a folyó sebessége?
Reynolds-szám Feladat: Egy 5 mm átmérőjű csőben levegő áramlik 5 l/perc sebességgel. Lamináris vagy turbulens az áramlás?
η = 1,88 ⋅10−5 Pa ⋅ s 3 l −5 m = 8,3 ⋅10 Q=5 perc s
m3 8,3 ⋅10 Q m s v= 2 = = 4, 24 r π (2,5 ⋅10−3 m) 2 ⋅ 3,14 s −5
r = 2,5 ⋅10−3 m
kg m 1,3 3 ⋅ 4, 24 ⋅ 2,5 ⋅10−3 m ρ ⋅v⋅ L ρ ⋅v⋅r m s Re = = = = 734 −5 η η 1,88 ⋅10 Pa ⋅ s Az áramlás lamináris.
Reynolds-szám Feladat: Egy 5 mm átmérőjű golyó halad 4,24 m/s sebességgel. Lamináris vagy turbulens az áramlás?
η = 1,88 ⋅10−5 Pa ⋅ s m s r = 2,5 ⋅10−3 m
v = 4, 24
ρ ⋅v⋅ L ρ ⋅v⋅r Re = = = η η
1,3
kg m −3 ⋅ 4, 24 ⋅ 2,5 ⋅ 10 m 3 m s = 734 −5 1,88 ⋅10 Pa ⋅ s
Az áramlás lamináris.
Közegellenállás Feladat: Mekkora közegellenállási erő hat az előző feladatban szereplő golyóra?
FK = 6π ⋅η ⋅ r ⋅ v 1 FK = ce ⋅ ρl ⋅ A ⋅ v 2 2
Stokes törvény (Re<1000) négyzetes közegellenállási törvény (Re>2000)
m FK = 6πη rv = 6 ⋅ 3,14 ⋅1,88 ⋅10 Pa ⋅ s ⋅ 2,5 ⋅10 m ⋅ 4, 24 = 3, 75 N s −5
−3
Közegellenállás Feladat: Mekkora sebességre gyorsul fel esés közben egy 1cm sugarú jégdarab?
Fk = 6πη Rv Fk = ce
Fk G
Stokes-törvény
1 ρl Av 2 2
négyzetes ellenállási törvény
Fk nő a sebességgel → addig gyorsul a jégdarab, amíg egyenlő nem lesz a közegellenállási erő a gravitációs erővel
G = Fk 1 m ⋅ g = ce ⋅ ⋅ ρl ⋅ A ⋅ v 2 2 1 m ⋅ g = ce ⋅ ⋅ ρl ⋅ r 2π ⋅ v 2 2 3 4r π 1 ρ j ⋅ g = ce ⋅ ⋅ ρl ⋅ r 2π ⋅ v 2 3 2 4r 2 ⋅ρj ⋅g ⋅ = v= 3 ce ⋅ ρl =
4 ⋅ 0, 01m 2 kg m m ⋅ 900 3 ⋅ 9,81 2 ⋅ = 19, 6 3 m s 0, 47 ⋅1, 2 kg s 3 m
Csak akkor használhatjuk a négyzetes ellenállási törvényt, ha turbulens az áramlás
Re =
ρl vr = η
1,2
kg m ⋅ 19,6 ⋅ 0,01m m3 s = 13553 −5 1,88⋅10 Pa ⋅ s
Re>2000 – turbulens áramlás, tehát jó a megoldásunk
Aeroszolok ülepedési sebessége Feladat: Mekkora egy 10µm sugarú jégrészecske ülepedési sebessége?
Fk = 6πη Rv Fk = ce
Fk G
Stokes-törvény
1 ρl Av 2 2
négyzetes ellenállási törvény
Fk nő a sebességgel → addig gyorsul a jégdarab, amíg egyenlő nem lesz a közegellenállási erő a gravitációs erővel Csak akkor használhatjuk a Stokestörvényt, ha lamináris az áramlás
G = Fk m ⋅ g = 6 ⋅ π ⋅η ⋅ r ⋅ v 4r 3π ρ j ⋅ g = 6 ⋅ π ⋅η ⋅ r ⋅ v 3 2⋅ r2 ⋅ ρ j ⋅ g m v= = 0, 01 s 9 ⋅η
Re =
ρl vr = η
1,3
kg m ⋅ 0, 01 ⋅10 ⋅10−6 m 3 m s = 0, 0069 −5 1,88 ⋅10 Pa ⋅ s Re<1000 – lamináris áramlás, tehát jó a megoldásunk
Házi feladat – november 4.
Mekkora sebességgel ülepszik egy 5 µm átmérőjű, 2 g/cm3 sűrűségű porszemcse? Lamináris vagy turbulens az áramlás a porszem körül?
Házi feladat – november 11.
Szabadon választott feladatok a gyakorló feladatsorból. 1 feladat = ½ házi feladat
