Földméréstan gyakorlat

Csepcsényi Lajosné – Ratkay Zoltán

Földméréstan gyakorlat

Tankönyvmester Kiadó, Budapest

Lektor: Tóth László

© Csepcsényi Lajosné, Ratkay Zoltán, 2012 © Tankönyvmester Kiadó, 2012

Felelős szerkesztő: Krauter Tamás Borítóterv: Dörnyei Péter

Felelős kiadó: a Tankönyvmester Kiadó ügyvezetője

ISBN 978 963 275 101 6

A tankönyv megrendelhető: Tankönyvmester Kiadó 1143 Budapest, Szobránc u. 6-8. Tel.: (1) 880-4986 Fax: (1) 880-4987 On-line: www.tankonyvmester.hu E-mail: [email protected]

A könyv formátuma: B/5 Terjedelme: 28,9 (A/5) ív Azonossági szám: TM-71201 Készült az MSZ 5601:1983 és 5602:1983 szerint Szedés, nyomdai előkészítés: LURWIG Bt. Nyomta és kötötte: Regiszter Kiadó és Nyomda Kft., Budapest

Tartalom ELŐSZÓ .................................................................................................................. 7 1.

FÖLDMÉRÉSTANI ALAPFOGALMAK ....................................................... 9 1.1. Alapfeladatok ............................................................................................. 9 1.2. Terület-mértékegységek átváltása ........................................................... 10 1.3. Hosszmértékegységek átváltása .............................................................. 12 1.4. Szögmértékegységek ............................................................................... 13 1.5. Összetett feladat ...................................................................................... 17 1.6. Megoldások .............................................................................................. 19

2. VÍZSZINTES MÉRÉS ...................................................................................... 21 2.1. Pontok jelölése ......................................................................................... 21 2.2. Libella és használata ................................................................................ 21 2.3. Pontok távolságának meghatározása méréssel ........................................ 22 2.3.1. Mérőszalag hosszának megállapítása .......................................... 22 2.3.2. Hosszmérés vízszintes terepen .................................................... 25 2.3.3. Hosszmérés ferde terepen ............................................................ 26 2.4. Megoldások .............................................................................................. 28 3.

KITŰZÉSEK .................................................................................................. 31 3.1. Egyenesek metszéspontjának kitűzése .................................................... 31 3.2. Pontok megjelölése mérési vonalon ......................................................... 32 3.3. Párhuzamos egyenesek kitűzése ............................................................. 33 3.4. Egyenesbe állás szögmérő műszerrel ...................................................... 36 3.4. Közvetett távolságmérés ......................................................................... 44 3.5. Összetett közvetett távmérési feladat ...................................................... 52 3.6. Megoldások .............................................................................................. 54

4.

SZÖGM ÉR ÉS ................................................................... 61 4.1. Szögek meghatározása leolvasó berendezésen ........................................ 61 4.2. Vízszintes szögmérés .............................................................................. 65 4.3. Magassági szögmérés .............................................................................. 69 4.4. Iránymérés tájékozása ............................................................................. 71 4.4.1. Tájékozás egy ismert irány esetén .............................................. 71 4.4.2. Tájékozás több ismert irány esetén ............................................. 73 4.5. Megoldások .............................................................................................. 77

5.

MAGASSÁGMÉRÉS ..................................................................................... 79 5.1. Vonalszintezés ......................................................................................... 79 5.2. Hossz- és keresztszelvény-szintezés ........................................................ 90 5.3. Területszintezés ..................................................................................... 106 5.4. Trigonometriai magasságmérés ............................................................ 118 5.4.1. Pontok magasságának mérése .................................................... 118 5.4.2. Épületmagasság-mérés ............................................................... 123 5.5. Megoldások ............................................................................................ 128

6.

KÖRÍVEK KITŰZÉSE ............................................................................... 149 6.1. Körívek középponti szögének meghatározása ....................................... 149 6.2. Átmeneti ív nélküli körív főpontjainak kitűzése .................................. 154 6.3. Átmeneti ív nélküli körív részletpontjainak kitűzése ........................... 157 6.4. Átmeneti íves körív főpontjainak kitűzése ........................................... 167 6.5. Átmeneti íves körív részletpontjainak kitűzése .......................... 171 6.6. Körív főpontjainak kitűzése hozzáférhetetlen sarokpont esetén ........... 189 6.7. Inflexiós ívek ........................................................................................ 191 6.8. Megoldások ............................................................................................ 195

7.

KOORDINÁTA-RENDSZEREK, VETÜLETI RENDSZEREK, TÉRKÉPEK ................................................................................................. 205 7.1. Derékszögű és poláris koordináta számítása ........................................ 205 7.2. Geodéziai főfeladatok ............................................................................ 208 7.3. Megoldások ............................................................................................ 216

8.

VIZSZINTES ALAPPONTOK MEGHATÁROZÁSA ............................... 219 8.1. Előmetszés ............................................................................................. 219 8.2. Oldalmetszés ......................................................................................... 229 8.3. Ívmetszés ............................................................................................... 233 8.4. Kettősen tájékozott sokszögvonal ......................................................... 235 8.5. Egyszeresen tájékozott sokszögvonal .................................................... 241 8.6. Beillesztett sokszögvonal ...................................................................... 245 8.7. Sokszögvonal számítása sokszögszámítási nyomtatványban ............... 249 8.8. Megoldások ............................................................................................ 253

9.

VÍZSZINTES RÉSZLETMÉRÉS ................................................................ 257 9.1. Kisalappontok (mérési vonalpontok) koordinátáinak meghatározása ....................................................................................... 257 9.2. Derékszögű koordinátaméréssel bemért pontok koordinátáinak számítása ..................................................................... 261 9.3. Poláris koordinátaméréssel bemért pontok koordinátáinak számítása ...................................................................... 265 9.4. Területszámítás ...................................................................................... 268 9.4.1. Grafikus terület-meghatározás ................................................... 268 9.4.2. Numerikus terület-meghatározás ............................................... 280 9.5. Megoldások ............................................................................................ 285

10. VÍZSZINTES ÉS MAGASSÁGI RÉSZLETMÉRÉS .................................. 293 10.1. Egyszerű, állandó száltávolságú tahiméter .......................................... 293 10.2. Redukáló tahiméter .............................................................................. 298 10.3. Összeadóállandó meghatározása .......................................................... 304 10.4. Megoldások .......................................................................................... 306 11. KÖZLEKEDÉSI LÉTESÍTMÉNYEK ÉPÍTÉSÉNEK FÖLDMÉRÉSI MUNKÁI ........................................................................... 309 11.1. Derékszögű kitűzés ............................................................................... 309 11.2. Poláris kitűzés ...................................................................................... 312 11.3. Kitűzési koordináták számítása ........................................................... 320 11.4. Megoldások .......................................................................................... 324

7

ELŐSZÓ

A Földméréstan gyakorlat c. könyv, amit kezében tart a kedves Olvasó, a Tankönyvmester Kiadó építőipari szakmacsoport számára készített tankönyvcsaládjának egyik alapozó tankönyve. Jelen feladatgyűjtemény a kiadó Földméréstan (TM-71003) és Földméréstan 2 (TM-71010) című tankönyvével alkot egységet. A feladatgyűjtemény felépítése követi a tankönyvek témasorrendjét (az első öt fejezet a Földméréstan, a továbbiak a Földméréstan 2 címűét), életszerű példákkal segítve az elméleti tudás gyakorlati hasznosítását. A feladatok könnyebb megoldását segítik a könyvben található mintapéldák, s a fejezetek végén megadott megoldások az azonnali ellenőrzés lehetőségét nyújtják. Ahol szükséges, ott a végeredményen kívül részeredményeket is közöl a feladatgyűjtemény. Reméljük, hogy feladatgyűjteményünk elnyeri a pedagógusok és a tanulók tetszését. Ezután is várjuk a szakmabeliek értékes észrevételeit. Eredményes tanulást és szakmai sikereket kíván minden kedves olvasójának a Tankönyvmester Kiadó

9

1. FÖLDMÉRÉSTANI ALAPFOGALMAK

1.1. Alapfeladatok 1. feladat Állapítsa meg az alábbi állításokról, hogy igazak vagy hamisak! a) Az alsógeodézia a Föld alakjának meghatározásával foglalkozik.  I H b) A pontok helye abszolút vagy relatív módon határozható meg.

 I H

c) A geoid csak fizikailag határozható meg, matematikai egyenletekkel nem írható le.

 I H

d) A méréseinket közvetett és közvetlen módszerekkel végezhetjük el.

 I H

e) A vízszintes szög két, térbeli irány által bezárt szög.

 I H

f) A ferde távolság a terepen mért tényleges távolság két pont között.  I H

2. feladat Egészítse ki a mondatokat az odaillő szakszavakkal! A Föld alakja – Listing javaslatára – a ………(a) elnevezést kapta, amely egy fizikailag meghatározható felület, matematikailag nem leírható. A méréseinket, illetve számításainkat pedig csakis olyan felületeken tudjuk elvégezni amelyeket matematikai függvénnyel meghatározhatunk. Ezek a Földalakot helyettesítő ………(b) felületek. A helyettesítő felületek típusa függ a felmérendő terület ………(c). A mérnöki gyakorlatban a következő felületeket alkalmazhatjuk: ………(d) ………(e) ………( f ). A földmérés során a ………(g) pontokat úgy kell meghatározni, hogy az síkban vagy térben egyértelmű legyen. Az egyértelmű meghatározás ………(h) megadásával történik. Ehhez a térbeli pontot ………(i) az alapfelületre vetítjük, és megálla-

FÖLDMÉRÉSTANI ALAPFOGALMAK

10

pítjuk a pont vetületének helyét a választott ………( j). A ………(k) a nyugalomban lévő folyadék felszíne, ha arra csak a ………(l) erő hat. A szintfelületek a pólusoknál ………(m), az egyenlítőnél ………(n) helyezkednek el egymáshoz képest. A függővonal a valóságban egy kettős csavarodású ………(o) -vonal, amelyet alsógeodéziában az egy pontjához húzott ………(p), a helyi függőlegessel helyettesítünk. A szintfelület egy pontjához húzott érintő a ………(q). A helyi függőleges és a helyi vízszintes miden esetben ………(r) egymásra. 3. feladat Az 1.1. ábrán nevezze meg a Föld nevezetes pontjait és vonalait!

P

1.1. ábra. A Földgömb nevezetes vonalai és pontjai

1.2. Terület-mértékegységek átváltása 1. mintapélda: 150 □öl hány m2? Megoldás: 1 öl =1,8964838 m, ezért a 150 □öl = 150 ∙ 1,89648382 = = 150 ∙ 1,8964838 ∙ 1,8964838 = 539,4976 m2. A végleges terület nagyságát 4 tizedes élességgel adjuk meg.

TERÜLET-MÉRTÉKEGYSÉGEK ÁTVÁLTÁSA 2. mintapélda: 23,5 kataszteri hold mekkora terület a ma használatos mértékrendszerben? Megoldás: 1 kataszteri hold = 1600 □öl, ezért 23,5 kataszteri hold = 23,5 ∙ 1600 = = 37 600 □öl = 37 600 ∙ 1,8964838 ∙ 1,8964838 = 135 234,0702 = = 13 ha 5234,0702 m2. 4. feladat Váltsa át az alábbi mérési eredményeket más mértékegységrendszerbe! a) 30 □öl hány m2? b) 100 □öl hány m2? c) 220 □öl hány m2? d) 400 □öl hány m2? e) 18,7 kataszteri hold hány m2? f) 22,5 kataszteri hold hány m2? g) 12,2 kataszteri hold hány m2? h) 16,8 kataszteri hold hány m2?

Mintapélda: 12 800 m2 mekkora a régi területmértékben?

Megoldás: 12 800 m2 = 12 800 / 1,8964838 / 1,8964838 = 3558,8665 □öl. = = 2 kataszteri hold 358,8665 □öl.

11


12 5. feladat

Váltsa át az alábbi mérési eredményeket más mértékegységrendszerbe! a) 3234 m2 hány □öl? b) 23500 m2 hány □öl? c) 2 ha 3423 m2 hány □öl? d) 1 ha 7546 m2 hány □öl?

1.3. Hosszmértékegységek átváltása Mintapélda: 172 öl 4 láb 9 hüvelyk 3 vonás hány m?

Megoldás: 172 öl + 4/6 öl + 9/12/6 öl + 3/12/12/6 öl = 172,7951389 ∙ 1,8964838 = 327,703 m.

Mintapélda: 795,34 m mekkora távolság a régi mértékrendszerben (öl, láb, hüvelyk, vonás)?

Megoldás: 795,34 / 1,8964838 = 419,376 öl 419 öl leírandó, majd a számológép kijelzőjéről levonjuk. Marad: 0,376 öl, amit megszorzunk 6-tal, így a maradék távolságot lábban kapjuk meg: 2,2566 láb. Leírandó a 2 láb, és ezt le is vonjuk, marad 0,2566 láb, amit szorzunk 12-vel: 3,0799 hüvelyk. Leírandó a 3 hüvelyk, és ezt le is vonjuk, marad 0,0799 hüvelyk, amit szorzunk 12-vel: 0,95 vonás. Így az eredmény: 419 öl 2 láb 3 hüvelyk 1 vonás.

SZÖGMÉRTÉKEGYSÉGEK

13

6. feladat Váltsa át az alábbi mérési eredményeket más mértékegységrendszerbe! a) 321 öl 2 láb 5 hüvelyk 7 vonás hány m? b) 222 öl 4 láb 7 hüvelyk 5 vonás hány m? c) 154 öl 4 láb 10 hüvelyk 11 vonás hány m? d) 233 öl 2 láb 3 hüvelyk 10 vonás hány m? e) 342,45 m mekkora távolság a régi mértékrendszerben (öl, láb, hüvelyk, vonás)? f) 646,76 m mekkora távolság a régi mértékrendszerben (öl, láb, hüvelyk, vonás)? g) 768,54 m mekkora távolság a régi mértékrendszerben (öl, láb, hüvelyk, vonás)? h) 945,22 m mekkora távolság a régi mértékrendszerben (öl, láb, hüvelyk, vonás)?

1.4. Szögmértékegységek Mintapélda: 72º 13ʹ 35ʺ mekkora szög radiánban? Megoldás: 72º 13ʹ 35ʺ szöget átváltjuk fokba: 72,2263889º, majd szorozzuk π/180-nal, így eredményül 1,2605883 radiánt kapunk. Mintapélda: 1,3345709 rad mekkora szöget jelent fok-perc-másodperc mértékegységben? Megoldás: 1,3345709 radiánt szorozzuk 180/π-vel, így eredményül: 76,465280º fokot kapunk, ami fok-perc-másodperc formában 76º 27ʹ 55ʺ.


14 7. feladat

Váltsa át az alábbi mérési eredményeket más mértékegységrendszerbe! a) 23º 13ʹ 56ʺ mekkora szög radiánban? b) 132º 08ʹ 45ʺ mekkora szög radiánban? c) 231º 54ʹ 34ʺ mekkora szög radiánban? d) 330º 22ʹ 44ʺ mekkora szög radiánban? e) 1,5436574 radián mekkora szög º – ʹ – ʺ ben? f) 2,4765674 radián mekkora szög º – ʹ – ʺ ben? g) 1,1353453 radián mekkora szög º – ʹ – ʺ ben? h) 1,6987013 radián mekkora szög º – ʹ – ʺ ben? Mintapélda: 36º 13ʹ 55ʺ → gon – c – cc Megoldás: 36º 13ʹ 55ʺ = 36 + 13/60 + 55/3600 = 36,231944º = 36,231944 ∙ 10/9 = = 40,2577 gon = 40g 25c 77cc Mintapélda: 55g 78c 92cc → º – ʹ – ʺ Megoldás: 55g 78c 92cc = 55,7892g = 55,7892 ∙ 9 /10 = 50,21028º = 50º 12ʹ 37ʺ 8. feladat A következő szögeket határozzuk meg más rendszerben! a) 23º 13ʹ 56ʺ → gon – c – cc b) 132º 08ʹ 45ʺ → gon – c – cc

SZÖGMÉRTÉKEGYSÉGEK

15

c) 231º 54ʹ 34ʺ → gon – c – cc d) 330º 22ʹ 44ʺ → gon – c – cc e) 100g 78c 43cc → º – ʹ – ʺ f) 387g 88c 56cc → º – ʹ – ʺ g) 321g 79c 89cc → º – ʹ – ʺ h) 231g 56c 33cc → º – ʹ – ʺ MEGJEGYZÉS: a későbbiekben a fffº pp’ mm” alakban megadott szöget gyakran fogjuk a következőképpen megadni: fff-pp-mm. Mintapéldák: 1)

77 - 35 - 42 + 276 - 18 - 48 353 - 54 - 30

2)

291 - 55 - 03 + 219 - 08 - 55 511 - 03 - 58 151 - 03 - 58

Szögértékek összeadásánál előfordulhat, hogy perc vagy másodpercek esetén az összeadás után 60-nál nagyobb értéket kapunk. Ekkor csak a 60 feletti értéket írjuk le, a többit átváltjuk percre vagy fokra. Pl. az első példában 90 másodpercet kapunk az összeadáskor, de csak a 30-at írjuk le és a perceknél pedig a következőképpen járunk el: 35 + 18 + 1 = 54. Az 1 perc a megmaradt 60 másodpercből származik. Ha a második példánál lévő eset áll fenn akkor matematikailag elfogadható a 360-nál nagyobb összeg. Geodéziai számításoknál azonban csak a 0–360 fok közötti tartományt fogadjuk el. Ezért ha 360-nál nagyobb szöget kapunk eredményül, akkor abból ki kell vonni 360 fokot. 9. feladat Végezze el az alábbi műveleteket! a)

41 - 45 - 47 + 271 - 54 - 43

b)

254 - 30 - 28 + 255 - 16 - 39

c)

302 - 58 - 06 + 141 - 01 - 45


16 d)

297 - 16 - 30 + 315 - 19 - 36

e)

121 - 26 - 51 + 284 24 - 49

g)

337 - 33 - 14 + 281 - 39 - 30

h)

85 - 08 - 09 + 309 - 56 - 14

f)

166 - 23 - 53 + 44 - 42 - 42

Mintapéldák: 1)

178 - 51 - 57 − 113 - 07 - 30 65 44 - 27

2)

107 - 58 - 09 − 245 - 27 - 26 467 - 57 - 69 − 245 - 27 - 26 222 - 30 - 43

Előfordul, hogy a kisebbítendő másodperc, vagy perc értéke kisebb mint a kivonandó, így negatív értéket kapnánk. Ekkor 1 percet 60 másodperccé, illetve ha szükséges, akkor 1 fokot 60 perccé váltunk át. Így a művelet elvégezhető. Ha kisebb fokértékből kell nagyobb értéket kivonni, akkor a kisebbítendőhöz 360 fokot kell hozzáadni. 10. feladat Végezze el az alábbi műveleteket! a)

d)

g)

155 - 51 - 40 − 217 - 46 - 18

b)

333 - 35 - 01 − 344 - 05 - 18

e)

352 - 04 - 07 − 279 - 33 - 49

h)

229 - 32 - 23 − 165 - 36 - 33

c)

340 - 10 - 46 − 346 - 58 - 08

f)

260 - 21 - 07 − 301 - 32 - 11

−

35 - 27 - 09 75 - 37 - 19

−

84 - 34 - 17 26 - 22 - 24

ÖSSZETETT FELADAT

17

Mintapélda: 181° 57′ 43″ ∙ 4 = 724° 228′ 172″ 7° 50′ 52″ A szögek szorzásánál és osztásánál szintén fokok, percek és a másodpercek közötti átváltásokkal kell dolgoznunk.

11. feladat Végezze el az alábbi műveleteket! a) 205° 48′ 39″ ∙ 7 = b) 94° 32′ 1″ ∙ 5 = c) 313° 2′ 29″ ∙ 4 = d) 314° 52′ 18″ ∙ 2 = e) 74° 55′ 32″ ∙ 3 =

f) 84° 4′ 45″ / 3 = g) 356° 32′ 11″ / 5 = h) 339° 25′ 11″ / 2 = i) 13° 26′ 23″ / 4 = j) 229° 18′ 39″ / 6 =

1.5. Összetett feladat 12. feladat Ön az építésügyi hatóság munkatársa. Egy útépítéssel foglalkozó vállalkozás az önkormányzat 123/3 hrsz-ú földrészletének egy részét (az 1.2. ábrán látható vázlaton sraffozott területet) felvonulási területként kívánja igénybe venni. Önnek meg kell határoznia a terület bérleti díját. A feladatot nehezíti, hogy a földrészletről csak öles rendszerű térkép áll rendelkezésére. Mekkora bérleti díjat kell fizetnie a kivitelezőnek, ha az igénybe veendő földrészlet rész bérleti díja 1250 Ft/m2/hó.


18

123/ 3

176,1 öl

14,7 öl

29,1 öl

23,4 öl

123, 4 öl

1.2. ábra. Számítási vázlat terület meghatározásához A megoldás lépései: • a földrészlet oldalhosszainak meghatározása ma használatos mértékegységben, • a bérbe adandó (szabályos paralelogramma alakú) terület meghatározása, • a bérleti díj kiszámítása.

MEGOLDÁSOK

19

1.6. Megoldások 1. feladat a) – hamis,

b) – igaz, c) – igaz, d) – igaz, e) – hamis,

f) – igaz

2. feladat a) – geoid, b) – szabályos, c) – nagyságától, d) – forgási ellipszoid, e) – gömb, f) – sík, g) – térbeli, h) – koordináták, i) – vetítővonallal, j) – szintfelületen, k) – szintfelület, l) – nehézségi, m) – közelebb, n) – távolabb, o) – térbeli görbe, p) – érintőjével, q) – helyi vízszintes, r) – merőlegesek 3. feladat Fentről lefelé: északi póluspont, paralelkör, földrajzi szélesség, egyenlítő, földrajzi hosszúság, meridián (legnagyobb gömbi kör), kezdő meridián, déli póluspont, forgástengely. 4. feladat a) 107,8995 m2

b) 359,6651 m2

c) 791,2632 m2

e) 107 611,7920 m2 f) 129 479,4289 m2 g) 70 206,6237 m2

d) 1438,6603 m2 h) 96 677,9736 m2

5. feladat a) 899,1699 □öl

b) 6533,8564 □öl

c) 6512,4476 □öl

d) 4878,4274 □öl

b) 422,479 m

c) 293,610 m

d) 442,614 m

6. feladat a) 609,551 m

e) 180 öl 3 láb 5 hüvelyk 1 vonás

f) 341 öl 0 láb 2 hüvelyk 3 vonás

g) 405 öl 1 láb 5 hüvelyk 7 vonás

h) 498 öl 2 láb 5 hüvelyk 3 vonás

20


7. feladat a) 0,4054788 rad

b) 2,3063799 rad

c) 4,0475833 rad

d) 5,7661994 rad

e) 88 - 26 - 42

f) 141 - 53 - 49

g) 65 - 03 - 02

h) 97 - 19 - 42

8. feladat a) 25g 81c 35cc

b) 146g 82c 87cc

c) 257g 67c 72cc

d) 367g 08c 77cc

e) 90 - 42 - 21

f) 349 - 05 - 49

g) 289 - 37 - 08

h) 208 - 24 - 25

a) 313 - 40 - 30

b) 149 - 47 - 07

c) 83 - 59 - 51

d) 252 - 36 - 06

e) 45 - 51 - 40

f) 211 - 06 - 35

g) 259 - 12 - 44

h) 35 - 04 - 23

a) 298 - 05 - 22

b) 63 - 55 - 50

c) 319 - 49 - 50

d) 349 - 29 - 43

e) 353 - 12 - 38

f) 58 - 11 - 53

g) 72 - 30 - 18

h) 318 - 48 - 56

a) 0 - 40 - 33

b) 112 - 40 - 05

c) 172 - 09 - 56

d) 269 - 44 - 36

e) 224 - 46 - 36

f) 28 - 01 - 35

g) 71 - 18 - 26

h) 169 - 42 - 36

i) 3 - 21 - 36

j) 38 - 13 - 06

9. feladat

10. feladat

11. feladat

12. feladat A terület bérleti díja 1 923 371 Ft/hó, kerekítve 1 900 000 Ft/hó.

21

2. VÍZSZINTES MÉRÉS

2.1. Pontok jelölése 1. feladat Hogyan csoportosítjuk a pontjeleket, és mi a feladatuk? ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... 2. feladat Hogyan biztosítjuk a végleges pontjeleket, és mi a biztosítás feladata? ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ......................................................................................................................................

2.2. Libella és használata 3. feladat Melyik libella érzékenyebb? Válaszát indokolja! a) szelencés  b) csöves  ......................................................................................................................................

VÍZSZINTES MÉRÉS

22 4. feladat

Mi a csöves libella tengelye? a) a fémfoglalathoz húzott érintő b) az üvegcső tengelye c) a normálponthoz húzott érintő

  

5. feladat Igazítatlan libellával lehet-e dolgozni? Válaszát indokolja! a) nem  b) igen  ......................................................................................................................................

2.3. Pontok távolságának meghatározása méréssel 2.3.1. Mérőszalag hosszának megállapítása Mintapélda: Számítsa ki a 20 m-es kéziszalag valódi hosszát, ha az alapvonal hossza (bázishossz) l0 = 20,002 m! A komparálás során a szalag végvonása és az alapvonal végvonása között Δ1 = +3,5 mm, Δ2 = +2,8 mm eltéréseket olvastunk le. Megoldás: l = l0 +

D1 + D2 0,0035 + 0,0028 = 20,002 + = 20,005 m. 2 2

6. feladat Számítsa ki az 50 m-es kéziszalag valódi hosszát, ha az alapvonal hossza (bázishossz) l0 = 50,005 m! A komparálás során a szalag végvonása és az alapvonal végvonása között Δ1 = −4,1 mm, Δ2 = −3,7 mm eltéréseket olvastunk le.

PONTOK TÁVOLSÁGÁNAK MEGHATÁROZÁSA MÉRÉSSEL

23

Mintapélda: Éppen most komparálunk egy acél mérőszalagot 12 ºC-on. Az alapvonallal összehasonlítva a szalag hossza (12 ºC-on) lkomp. = 50,003 m. Mennyi a szalag hossza 20 ºC-on (mivel ezt írjuk a szalag kartonjára)? Megoldás: Az acél hőtágulási együtthatója különböző táblázatokból kikereshető: 0,0000104 m/ºC. Ez azt jelenti, hogy 1 m acélszalag ennyi métert változik 1 ºC hőmérséklet-változás hatására. A vizsgált acélszalag 50 méteren ötvenszer ennyit változik. A hőmérséklet-különbség (t = 20 ºC – 12 ºC = 8 ºC) hatására még nyolcszor annyit változik a hossz. Az összes hosszváltozás (megnyúlás): Δl = lkomp. ∙ t ∙ 0,0000104 = 50,003 ∙ 8 ∙ 0,0000104 = +0,00416 m, kerekítve: +4 mm. Az acél mérőszalag hossza 20 ºC-on: l = lkomp. + l = 50,003 + 0,004 = 50,007 m. 7. feladat A 20 m-es acél mérőszalagot 7 ºC-on komparáltuk és a mért hossza 19,995 m. Menynyi a szalag hossza 25 ºC-on? Mintapélda: 50 méteres komparált acél mérőszalagot használunk egy hosszméréshez, melynek most a terepen −6 ºC a hőmérséklete. A megmért hossz lAB = 189,56 m. A szalag kartonján a következő olvasható: a szalag hossza 50 N erővel feszítve 20 ºC-on 50,007 m (komparálási dátum stb.). Mekkora az acél mérőszalag hossza −6 ºC-on, illetve mekkora a megmért távolság a javítás után? Megoldás: a) a −6 °C hőmérsékletű mérőszalag hosszának számítása: A hőmérséklet-különbség t = −26 ºC. A hőmérséklet-különbség előjele attól függően változik, hogy a mérőszalag hőmérséklete a komparálási hőmérséklethez képest emelkedett, vagy csökkent. Az acél mérőszalag hossza 20 ºC-on: lkomp. = 50,007 m.

VÍZSZINTES MÉRÉS

24

A hosszváltozás (rövidülés): l = 50,007 ∙ (−26) ∙ 0,0000104 = −0,0135 m. Az acél mérőszalag tényleges hossza −6 ºC-on: l = lkomp. + l = 49,994 m. b) A megmért távolság javított hosszának számítása: • A szalagfektetések számával számolva: A hosszmérés során három teljes (3 ∙ 50,00 m) és egy csonka (39,56 m) leolvasás történt. Az acél mérőszalag fentiekben kiszámolt hossza, a komparálási hossz (50,007 m) és a külső hőmérséklet (−6 ºC) figyelembevételével l = 49,994 m. A három szalagfektetés hossza: l1 = 3 ∙ 49,994 = 149,982 m. 49,994 A résztávolság hossza: l2= ∙ 39,56 = 39,555 m. 50,000 A megmért távolság javított hossza: lAB = l1+ l2= 149,982 + 39,555 = 189,537 m. •

A megmért távolság teljes hosszával számolva: A megmért szakasz hossza 20 ºC-on a komparált szalaggal a külső hőmérséklet figyelmen kívül hagyásával: 50,007 ∙ 189,56 = 189,587 m. l’AB = 50,000 A külső hőmérséklet −6 ºC-ból adódó hosszváltozás (rövidülés): l =189,587 ∙ (−26) ∙ 0,0000104 = −0,051 m. Az alapvonal javított hossza: lAB = l’AB + l = 189,587 − 0,051 = 189,536 m.

A két számítás közötti eltérés a kerekítésekből adódik. A mért távolságunk tehát 189,54 m. 8. feladat A hosszméréshez komparált acél mérőszalagot használunk, melynek hossza 20 ºC-on 50,009 m. A sokszögoldal mért hossza lAB = 210,45 m, hosszméréskor az acél mérőszalag hőmérséklete 38 ºC. Mekkora a sokszögoldal tényleges hossza?


25

2.3.2. Hosszmérés vízszintes terepen Mintapélda: Határozza meg B és D pont közötti távolságot (lBD), ha a hosszmérést 50 m-es mérőszalaggal végeztük! A végméret leolvasásakor a hátul lévő karikán 7, az elöl lévő karikán 4 mérőszeg volt, és a leolvasott maradék távolság 18,36 m. Megoldás: A hátsó karikán lévő 7 mérőszeg alapján 7 szalagfektetés volt, plusz a maradék távolság, így az alapvonal hossza: lBD = 50,00 ∙ 7 + 18,36 = 368,36 m. Mintapélda: Határozza meg B és C pont közötti távolságot (lBC), ha a hosszmérést 20 m-es mérőszalaggal végeztük, és mérés közben egyszer volt szükség szegcserére! A végméret leolvasásakor a hátsó karikán 8, első karikán 3 mérőszeg volt, és a leolvasott maradék távolság 11,04 m. Megoldás: A szegcserénél 10 szeget adunk hátulról előre, ezután még 8 szalagfektetés volt. Összesen 18 szalagfektetés történt a mérés során. lBC = 20,00 ∙ 18 + 11,04 = 371,04 m. 9. feladat Határozza meg C és D pont közötti távolságot (lCD), ha a hosszmérést 20 m-es acél mérőszalaggal végeztük, és mérés közben egyszer volt szükség szegcserére! A végméret leolvasásakor a hátul lévő karika üres, míg az első karikán 10 mérőszeg van, és a leolvasott maradék távolság 6,86 m. A mérőszalag hossza a nyilvántartás szerint 20 ºC-os hőmérsékletnél 20,003 m. Az acél mérőszalag hőmérséklete a méréskor 32 ºC volt.

VÍZSZINTES MÉRÉS

26

2.3.3. Hosszmérés ferde terepen Létesítmények ábrázolásnál a vízszintes távolságokra van szükség. Felmérés során nagy magasságkülönbség esetén – pl. magas töltésnél, mély bevágásnál – a vízszintes távolságot kell meghatározni. A vízszintes távolság meghatározható a ferde távolságból és a magasságkülönbségből, vagy a ferde távolságból és a terep hajlásszögéből. A mérendő pontok magasságkülönbsége meghatározható szintezéssel, vagy tahimetriával. A terep hajlásszögének meghatározása teodolittal történik. A vízszintes távolság meghatározása mérőállomással a legegyszerűbb, mert a műszer sok funkciója mellett e műveletet is el tudja végezni. Mintapélda: Határozza meg a töltés bal oldali rézsűjének vízszintes hosszát, ha a rézsű mentén mért ferde távolság 15,86 m és magasságkülönbség 7,58 m (2.1. ábra)!

tf m tv

2.1. ábra. Vízszintes távolság meghatározása Megoldás: tv =

t f2 - m2 = 15,862 - 7,582 = 13,93 m.

10. feladat Határozza meg a mérési vonal vízszintes hosszát, ha a végpontok terep mentén mért ferde távolsága 158,421 m, és a magasságkülönbség 0,622 m! 11. feladat Határozza meg a mérési vonal vízszintes hosszát, ha a végpontok terep mentén mért ferde távolsága 198,45 m, és a magasságkülönbség 2,25 m!


27

Mintapélda: Határozza meg a bevágás jobb oldali rézsűjének vízszintes hosszát, ha a rézsű mentén mért ferde távolság 21,50 m, és a magassági szög α = 33 52ʹ 24ʺ (2.2. ábra)!

h

tf

α h

tv

2.2. ábra. Vízszintes távolság meghatározása Megoldás: tv = tf ∙ cos α = 21,50 ∙ cos 33 52ʹ 24ʺ = 17,85 m. 12. feladat Határozza meg a töltés rézsűjének vízszintes hosszát, ha a rézsű mentén mért ferde távolság 15,21 m és a magassági szög α = 32 40ʹ 06ʺ (2.2. ábra)! 13. feladat Határozza meg az alapvonal vízszintes távolságát, ha a ferde távolság 318,41 m és a magassági szög α = 2 36ʹ 36ʺ!

28

VÍZSZINTES MÉRÉS

2.4. Megoldások 1. feladat A pontjelek élettartamtól függően lehetnek: • ideiglenesek, feladatuk a rövid távú pontjelölés, • véglegesek, feladatuk a hosszú távú fennmaradás. 2. feladat A végeleges pontok biztosítása felszíni és felszín alatti pontjelekkel történik. A felszíni biztosítás a pontok köré betonlapokból épített gúlával és mellette elhelyezett figyelemfelhívó jellel történik, ami egy fehérre festett betonoszlop a felső részén piros sávozással. A felszín alatti biztosítás a pontjel alatt elhelyezett, keresztvéséssel ellátott tégla. A pontjel megsérülése esetén a helyreállítás a föld alatti jelről történik. 3. feladat A csöves libella érzékenyebb, mert belső felülete íves forgásfelület és a csiszolt ív sugara (R = 10–150 m) nagyobb a szelencés libella gömbsüvegének sugaránál (R = 0,5–7 m). 4. feladat A normálponthoz húzott érintő. 5. feladat Igen, lehet, mert az alhidáde libella buborékja beállítható úgy, hogy a buborék közepéhez húzott érintő párhuzamos a libellával kapcsolatos fekvőtengellyel és így merőleges az állótengelyre. Ez a pont a beálláspont. 6. feladat l = 50,001 m. 7. feladat l = 19,999 m.

MEGOLDÁSOK 8. feladat 50,009 ∙ 210,45 = 210,488 m. 50,000 l =210,488 ∙ 18 ∙ 0,0000104 = +0,039 m. l’AB =

lAB= l’AB + l = 210,488 + 0,039 = 210,527 m. 9. feladat lCD = 206,917 m. 10. feladat tv = 158,420 m. 11. feladat tv = 198,44 m. 12. feladat tv = 12,80 m. 13. feladat tv = 318,08 m.

29

31

3. KITŰZÉSEK

3.1. Egyenesek metszéspontjának kitűzése Mintapélda: Tűzze ki az egyenesek metszéspontjait a 3.1. ábrán látható terepviszonyok mellett! A feladat végrehajtásához csak kitűzőrudak állnak rendelkezésére. Írja le a kitűzés menetét! A

La

áz kóh

B

r Já

D

d

la ko r u ab

t

C

3.1. ábra. Egyenesek metszéspontjának kitűzése Megoldás: Első lépésként vizsgáljuk meg, hogy mely két egyenesről van szó. Az ábrán látható, hogy a B és C illetve a D és A pontok a fák miatt nem láthatók össze. Tehát keressük az AC és a BD egyenesek metszéspontját. A kitűzést beintéssel végezzük, amelynek részletes menete a tankönyvben (Ratkay Zoltán: Földméréstan) megtalálható (3.3. alfejezet). Természetesen a feladatot meg lehet oldani más eszközökkel is, de a feladatok végrehajtásánál figyelembe kell venni a kívánt pontosságot illetve a végrehajtás hatékonyságát is.

KITŰZÉSEK

32 1. feladat

Tűzze ki az egyenesek metszéspontjait a 3.2. ábrán látható terepviszonyok mellett! A feladat végrehajtásához csak kitűzőrudak állnak rendelkezésére. Írja le a kitűzés menetét! P

S

Q Bokorcsoport

L

á óh ak

z

R

3.2. ábra. Egyenesek metszéspontjának kitűzése

3.2. Pontok megjelölése mérési vonalon 2. feladat Jelöljön ki a 3.3. ábra A és Q pontjai által meghatározott mérési vonalon újabb pontokat, ha csak kitűzőrudak állnak rendelkezésére! Írja le a kitűzés menetét! Lakóház A

Q

Lakóház

3.3. ábra. Újabb pontok megjelölése mérési vonalon

PÁRHUZAMOS EGYENESEK KITŰZÉSE

33

3.3. Párhuzamos egyenesek kitűzése 3. feladat Tűzzön ki a 3.4. ábrán adott S ponton keresztül a JH egyenessel párhuzamos egyenest, ha csak mérőszalagok állnak rendelkezésére! Írja le a kitűzés menetét! S

H

J

3.4. ábra. Párhuzamos egyenesek kitűzése

4. feladat Számítsa ki a kitűzési méretet, ha a 3.5. ábrán adott R ponton átmenő, adott BD mérési vonallal párhuzamos egyenest tűzünk ki!

D

P m 9,87

R

m 3,44 9 12,4 m

B


KITŰZÉSEK

34 5. feladat

Számítsa ki a kitűzési méretet, ha a 3.6. ábrán adott F ponton átmenő, adott SC mérési vonallal párhuzamos egyenest tűzünk ki! C

S

12,34 m

m ,67 4 1 3,55 m

F

D

3.6. ábra. Párhuzamos egyenesek kitűzése 6. feladat Tűzzön ki a 3.7. ábrán adott H ponton keresztül az adott PC mérési vonallal párhuzamos egyenest, ha mérőszalagok, kitűzőrudak és szögprizma áll rendelkezésére! Írja le a megoldás menetét! P

H

C

3.7. ábra. Párhuzamos egyenesek kitűzése 7. feladat Tűzzön ki a 3.8. ábrán adott I ponton keresztül az adott AS mérési vonallal párhuzamos egyenest, ha mérőszalagok, kitűzőrudak és szögprizma áll rendelkezésére! Írja le a megoldás menetét, és azt, hogy a megvalósítás során mire kell ügyelni!

PÁRHUZAMOS EGYENESEK KITŰZÉSE

Bokorcsoport

I

35

S

A

3.8. ábra. Párhuzamos egyenesek kitűzése 8. feladat Tűzzön ki a 3.9. ábrán adott H ponton keresztül az adott PC mérési vonallal párhuzamos egyenest, ha teodolit és kitűzőrúd áll rendelkezésére! Írja le a megoldás menetét! P

H

C


KITŰZÉSEK

36

3.4. Egyenesbe állás szögmérő műszerrel Mintapélda: Milyen irányba és milyen mértékkel kell eltolni a teodolitot, hogy az a 3.10. ábra szerinti mérési vonalon legyen? A α 45,12

a

c e

m

δ

β γ

B

31,56 m

3.10. ábra. Egyenesbe állás szögmérő műszerrel Adatok: lA = 1-00-03 lB = 179-59-49 γ = (179-59-46) − (1-00-03) = 178-59-46

Megoldás: Legyen A pontnál α és B pontnál β szög. E két szög összege α + β = 180º − γ = 1-00-14. Rajzoljuk meg az álláspontról az AB egyenesre menő merőleges egyenest (melynek hossza e), így két derékszögű háromszöget kapunk. Írjuk fel ezekre a háromszögekre a szinusz szögfüggvényeket: sin α =

e , 45,12

illetve sin β =

e . 31,56

e = 45,12 ∙ sin α és e = 31.56 ∙ sin β egyenletek jobb oldalai megegyeznek: 45,12 ∙ sin α = 31,56 ∙ sin β Az α + β = 1° 00ʹ 14ʺ egyenletből: β = 1° 00ʹ 14ʺ − α. Ezt behelyettesíthetjük az előző egyenletbe: 45,12 ∙ sin  = 31,56 ∙ sin (1° 00ʹ 14ʺ − α

EGYENESBE ÁLLÁS SZÖGMÉRŐ MŰSZERREL

37

Tekintettel arra, hogy kis szögek esetében a szög szinusza, tangense és maga a szög radiánban megegyezik, ezért a továbbiakban a sin szögfüggvényt elhagyjuk, az 1° 00ʹ 14ʺ értéket pedig radiánban írjuk be: 45,12 ∙ α = 31,56 ∙ 0,017521166 − 31,56 ∙ α. 76,68 ∙ α = 0,552968. α = 0,007211372 (radián) = 0,007211372 ∙ 180/π = 0º 24ʹ 47,5ʺ. β = 1° 00ʹ 14ʺ − α0º 35ʹ 26,5ʺ. Ezen szögekkel e értéke számolható: e = 45,12 ∙ sin 0º 24ʹ 47,5ʺ= 0,325 m és e = 31,56 ∙ sin 0º 35ʹ 26,5ʺ = 0,325 m. Még meg kell határoznunk, milyen irányba kell a teodolit irányvonalának állni a kitűzéshez: δ = 90° − α89º 35ʹ 13ʺ. A bal oldali irányértékhez (1–00–03) a δ szöget hozzáadva kapjuk: 90º 35ʹ 16ʺ. Az e értékének kiszámítása másik módszerrel: Koszinusztétellel kiszámoljuk az AB távolságot, most ezt jelöljük c-vel, c = 45,122 + 31,562 - 2 $ 45,12 $ 31,56 $ cos 178c 59l 46m = 76,677 m . A két derékszögű háromszögben felírjuk a Pitagorasz-tételt: a2 + e2 = 45,122, illetve (76,677 – a)2 + e2 = 31,562. A két egyenletet kivonva egymásból e kiesik, marad ismeretlen csak az a oldal: a2 – (76,677 − a)2 = 45,122 – 31,562. Az egyenletet rendezve a négyzetes tag kiesik, a = 45,1188 m. e értéke Pitagorasz-tétellel számolható: 0,329 m. Ez a módszer csak körültekintéssel, több tizedessel számolva, vagy EXCEL-táblában számolva ad kielégítő pontosságot. A harmadik módszer a legegyszerűbb az E értékének meghatározására, ha van kéznél számítógép (terepen ritka), AutoCAD-ben felszerkesztve a megadott értékekkel a szakaszokat, pillanatok alatt megszerkeszthető az AB egyenesre merőleges egyenes, és könnyen leolvasható ennek hossza és iránya.

KITŰZÉSEK

38 9. feladat

Milyen irányba és milyen mértékkel kell eltolni a teodolitot, hogy az a 3.11. ábrán látható mérési vonalon legyen? A

55,76 m

B

lA = 346-23-45 lB = 166-22-58

44,44 m

3.11. ábra. Egyenesbe állás szögmérő műszerrel 10. feladat Tűzzön ki a 3.12. ábrán adott C ponton keresztül az adott AQ mérési vonallal párhuzamos egyenest! a) Csak mérőszalag és kitűzőrúd áll rendelkezésére. b) Teodolit, kitűzőrúd és mérőszalag áll rendelekezésére. Írja le mindkét kitűzés menetét!

Lakóház

C A

Q

Lakóház

3.12. ábra. Párhuzamos egyenes kitűzése


39

Mintapélda: Tűzzön ki a 3.13.a) ábrán adott S ponton keresztül az adott JH mérési vonallal párhuzamos egyenest, ha teodolit és kitűzőrúd áll rendelkezésére! Megmértük a H pontnál lévő α = 23-34-54 törésszöget, majd a teodolittal átálltunk az S pontra, majd megirányoztuk a H pontot, mely esetben az irányérték lH = 45-34-44. Határozza meg a kitűzési irányértékeket, ha a kitűzendő egyenes P és R pontját kell kitűzni (3.13.b) ábra)! 0

H

lH α

S

J

3.13.a) ábra. Párhuzamos egyenes kitűzése Megoldás: 0

S

α

R

lH

H α

P

J

3.13.b) ábra. Párhuzamos egyenes kitűzése

KITŰZÉSEK

40

Az α szög az S pontnál is megtalálható, mert a 3.13.b) ábrán berajzolt szögek váltószögek. Adott az S-ről a H pontra menő irányérték, ebből a kitűzendő egyenes iránya a két szögérték különbségéből meghatározható. lR = lH – α = (45-34-44) − (23-34-54) = 21-59-50. Ezzel a kitűzendő egyenes irányát már megkaptuk. Az ellenirány kitűzési értéke: lP = (21-59-50) + 180-00-00 = 201-59-50. 11. feladat Tűzzön ki a 3.14. ábrán adott H ponton keresztül az adott PC mérési vonallal párhuzamos egyenest, ha teodolit és kitűzőrúd áll rendelkezésére! Megmértük a C pontnál lévő α = 18-43-55 törésszöget, majd a teodolittal átálltunk a H pontra, megirányoztuk a C pontot, mely esetben az irányérték lC = 61-55-29. Határozza meg a kitűzési irányértékeket! P

0

lC

α

C

H

3.14. ábra. Párhuzamos egyenes kitűzése 12. feladat Tűzzön ki a 3.15. ábrán adott 1001 ponton keresztül az adott 101–203 mérési vonallal párhuzamos egyenest, ha teodolit és kitűzőrúd áll rendelkezésére! A mérési adatok a mellékelt iránymérési jegyzőkönyvben találhatók (3.1. táblázat). Határozza meg a kitűzési irányértéket, ha a kitűzendő egyenes következő pontját a 101 pont felé kell kitűzni!


41

1001 Bokorcsoport 203

101

3.15. ábra: Párhuzamos egyenes kitűzése Mérési jegyzőkönyv. 3.1. táblázat Álláspont: 101 cövek Irányzott pont neve vagy száma 1001 203 Álláspont 1001 101

Műszer: Zeiss Theo 010A Dátum: 2001. 09. 05. I. II. Közp. I. és II. I. távcsőállás közép- II. távcsőállás közép- jav. I. és középértéke a értéke értéke II. k. központban ° ʹ ʺ ʹ ʺ ° ʹ ʺ ʹ ʺ ʹ ʺ ° ʹ ʺ 31 51 148 05 29 328 05 52 07 44 167 39 09 347 39 44

93

23

44 46

273

23

Törésszög °

ʹ

ʺ

56 57

Mintapélda: Tűzzön ki a 3.16.a) ábrán adott QD mérési vonallal párhuzamos egyenest, mely a QD egyenestől 5,00 m távolságra van! A kitűzéshez teodolit, kitűzőrúd és mérőszalag áll rendelkezésére. Határozza meg az adott méretek alapján a kitűzési méreteket! Q

D

3.16.a) ábra. Párhuzamos egyenes kitűzése

KITŰZÉSEK

42 Megoldás:

A kitűzés megkezdése előtt vegyünk fel a terepen egy tetszőleges segédpontot (S), majd álljunk fel a teodolittal a Q ponton. Mérjük meg az ábrán jelölt α törésszöget, amely jelen esetben α = 14-35-42 (3.16.b) ábra). Q

5,0 0

m

α

D

S

3.16.b) ábra. Párhuzamos egyenes kitűzése A kitűzési méret ebben az esetben az ábrán vastag vonallal jelölt derékszögű háromszög átfogója, ennek a hosszát kell meghatározni, majd mérőszalaggal felmérni a QS egyenesre. Ezzel megkaptuk a párhuzamos egyenes egyik pontját. A kitűzési méret meghatározása: sin 14 - 35 - 42 =

5,00 5,00 = 19,84 m . , amiből x = x sin 14 - 35 - 42

A kitűzendő egyenes másik pontját a Földméréstan c. tankönyv 13. fejezetében ismertetett módszerrel tűzzük ki.

13. feladat Tűzzön ki a 3.17. ábrán adott MH mérési vonallal párhuzamos egyenest, mely az MH egyenestől 8,00 m távolságra van a bokor felőli oldalon! A kitűzéshez teodolit, kitűzőrúd és mérőszalag áll rendelkezésére. Határozza meg a kitűzési méretet, ha a HM és a HS irányok által bezárt törésszög α = 34-22-51. Írja le a kitűzés menetét!


43

Lakóház M

Bokorcsoport S

α H

3.17. ábra. Párhuzamos egyenes kitűzése 14. feladat Ön egy útburkolat kivitelezésével foglalkozó vállalkozás munkatársa, amely megbízást kapott a 3.18. ábrán látható járdaburkolat elkészítésére. Ismertesse, hogyan tűzné ki a járdát, ha annak szegélyei párhuzamosak a meglévő útburkolat tengelyével! Rendelkezésre álló eszközök: teodolit, mérőszalag, kitűzőrudak. A mérési jegyzőkönyv a 3.2. táblázatban látható. C

S

Út

Tervezett járda

Parkoló

Lakóház 2,00

5,00

3.18. ábra. Tervezett járda kitűzése szögmérő műszerrel

KITŰZÉSEK

44

Mérési jegyzőkönyv. 3.2. táblázat Álláspont: C Irányzott pont neve vagy száma Tengely S


Törésszög °

ʹ

ʺ

Részfeladatok: • Kitűzés menetének ismertetése • C pontnál lévő törésszög meghatározása a mellékelt mérési jegyzőkönyv alapján • Kitűzési méretek számítása

3.4. Közvetett távolságmérés Mintapélda: Határozza meg a 3.19. ábrán látható FH szakasz hosszát!

4 15,5

F

H

5 26,4

S

6) (39,1

3.19. ábra. A mérendő távolság két végpontja nem összelátható Megoldás: Az ortogonális bemérés eredményeit használjuk fel, a hossz számítása Pitagorasz tétele alapján történik.

KÖZVETETT TÁVOLSÁGMÉRÉS FH =

45

a2 + b2 = 26,452 + 15,542 = 30,68 .

Tehát az FH szakasz hossza 30,68 m.

15. feladat Határozza meg a szakaszok hosszát! a) KP = ? (3.20.a) ábra)

P

7,59

Bokorcsoport

(23,15)

19,49

K

S

3.20.a) ábra. A mérendő távolság két végpontja nem összelátható

b) PQ = ? (3.20.b) ábra) 11,76

(30,00)

9,19

Bokorcsoport

23,49

P

Ga z épül d. et

13,67

T

Q

3.20.b) ábra. A mérendő távolság két végpontja nem összelátható

S

KITŰZÉSEK

46 Mintapélda:

Határozza meg a 3.21. ábrán látható P pont kitűzési méretét (x), és a PI szakasz hosszát! H

S

I

x

20,20

P

19,25

37,43

(43,19)

3.21. ábra. A mérendő távolság két végpontja nem összelátható Megoldás: Hasonló háromszögek alapján: x=

x = 19,25 , amiből 20,20 37,43

20,20 $ 19,25 = 10,39 m . 37,43

PI = 21,87 m, Pitagorasz tétele alapján. 16. feladat Határozza meg a 3.22. ábrán látható A és B pontok közötti távolságot, valamint a C pont kitűzési méreteit az alábbi adatok alapján: A’B = 45,63 m, AA’ = 19,34 m, BC’ = 33,46 m. A

C B

C’ A’ S

3.22. ábra. A mérendő távolság két végpontja nem összelátható

KÖZVETETT TÁVOLSÁGMÉRÉS

47

17. feladat Határozza meg a kitűzési méreteket és a szakaszok hosszát! a) a P pont hiányzó kitűzési méretét (x) és TP szakasz hosszát (3.23.a) ábra). Q

x

9,17

P

T

15,4 6

11,5 3

S

3.23.a) ábra. A mérendő távolság két végpontja nem összelátható b) a P pont kitűzési méreteit (x1 és x2) és a PJ szakasz hosszát (3.23.b) ábra), ha KP = 2/5 ∙ KJ. K P x1

x2

J

52 41,

36 19,

) ,16 (49

S

3.23.b) ábra. A mérendő távolság két végpontja nem összelátható

KITŰZÉSEK

48

c) a P és az M pont hiányzó kitűzési méreteit (aM, bM, bP) (3.23.c) ábra). M

aM bM

P

A

B

bP

,49 31

,42 83

9 8,4 3 1

MB = 1/5 AB

) ,15 9 (16 S

3.23.c) ábra. A mérendő távolság két végpontja nem összelátható Mintapélda: Határozza meg a 3.24. ábra szerinti SL szakasz hosszát, ha a γ = 37-43-51! L

5 9,6 11

200 ,00

S

γ A

3.24. ábra. A mérendő távolság két végpontja nem összelátható Megoldás: Felhasználjuk a koszinusztételt: SL =

200,002 + 119,652 - 2 $ 200,00 $ 119,65 $ cos 37 - 43 - 51 = 128,31 m.


49

18. feladat Határozza meg a szakaszok hosszát! a) a HQ szakasz hosszát, ha α = 49-16-53 (3.25.a) ábra).

210, 26

H

Q

69 250,

α A

3.25.a) ábra: A mérendő távolság két végpontja nem összelátható b) a KT szakasz hosszát (3.25.b) ábra). A mérési jegyzőkönyv a 3.3. táblázatban látható. A

5 5,9 15

6 115,4

α

T

K

3.25.b) ábra: A mérendő távolság két végpontja nem összelátható Mérési jegyzőkönyv. 3.3. táblázat Álláspont: A Irányzott pont neve vagy száma K T


Törésszög °

ʹ

ʺ

KITŰZÉSEK

50 Mintapélda:

Határozza meg a 3.26. ábrán látható MN szakasz hosszát! N talppontja az MS egyenesen N’, ennek talppontja az MN egyenesen N”. Mértük az a és b távolságokat. N”

M

b

39,42

N

a 63,1 6 N’

a = 63,16 m b = 39,42 m

S

3.26. ábra. A mérendő távolság egyik végpontja nem megközelíthető Megoldás: Hasonló háromszögek alapján:

63,162 MN = a = 101,20 m. , ezért MN = a b 39,42

19. feladat Határozza meg a szakaszok hosszát! a) a KO szakasz hosszát (3.27.a) ábra).

9,9 5

O

K

15,86

(45,19)

S

3.27.a) ábra. A mérendő távolság egyik végpontja nem megközelíthető


51

b) az FH szakasz hosszát (3.27.b) ábra). F

11,5 2

21,86

H

S

3.27.b) ábra. A mérendő távolság egyik végpontja nem megközelíthető

Mintapélda: Határozza meg a 3.28. ábra szerinti RS szakasz hosszát, ha α = 39-18-41 és β = 23-43-52! R

β α

S

1,43 a = 23

P

3.28. ábra. A mérendő távolság egyik végpontja nem megközelíthető

KITŰZÉSEK

52 Megoldás:

Számítsuk ki a háromszög harmadik szögét: γ = 116-57-27. A keresett oldal hosszát szinusztétellel határozzuk meg: RS =

sin a sin 39 -18 - 41 $a = $ 231,43 = 164,49 m. sin c sin 116 - 57 - 27

20. feladat Határozza meg a 3.29. ábrán látható A és B pontok közötti távolságot az alábbi mérési eredmények alapján: a = 67,98 m, γ = 34-54-22, β = 51-36-29. B β A a

γ C

3.29. ábra. A mérendő távolság egyik végpontja nem megközelíthető

3.5. Összetett közvetett távmérési feladat 21. feladat Határozza meg az AC szakasz hosszát a 3.30. ábrán szereplő mérési jegyzet alapján, ha β = 45-13-45, γ = 73-49-52, ε = 91-13-41!

ÖSSZETETT KÖZVETETT TÁVMÉRÉSI FELADAT

53

C

,63 215

A

ε B

a=

31 8,4

6

β

γ D

3.30. ábra. Összetett feladat közvetett távmérések témakörből 22. feladat Határozza meg a 3.31. ábrán látható PS és QS szakaszok hosszát, ha α = 36-13-22, β = 39-46-33, γ = 89-43-36! S

P

α β Q

,28 63 γ

,43 79

C

3.31. ábra. Összetett feladat közvetett távmérések témakörből

KITŰZÉSEK

54 23. feladat

Határozza meg a K pont kitűzési méreteit (a, b) AB szakaszra vonatkozóan, ha a K pont abszcisszája az AB szakasz 1/9-e (3.32. ábra)!

A

b

11,46

C

18,29

−a 13,46

B

,98 26

S

3.32. ábra. Összetett feladat közvetett távmérések témakörből

3.6. Megoldások 1. feladat Meghatározandó az SR és a PQ egyenesek metszéspontja. A kitűzést egy ember hajtja végre a két egyenesbe történő beállással. 2. feladat A kitűzéshez a fokozatos közelítés eljárását kell alkalmazni. Két segédpont és segédegyenesek kitűzésével, beintéssel addig végezzük a műveletet, amíg a két segédpontot az A és Q pontok által meghatározott egyenesben nem látjuk.

MEGOLDÁSOK

55

3. feladat S

P

H

M

J

Fektessünk mérőszalagot a J és S pontokon keresztül, majd egy másikat a H ponton keresztül tetszőleges irányba úgy, hogy keresztezze a másik mérőszalagot. A két mérőszalag metszéspontjától (M) mért távolságokat olvassuk le és írjuk fel az aránypárt: JM = SM . MH MP MP =

MH $ SM . JM

A párhuzamos egyenes másik (P) pontjához úgy jutunk, hogy a HM egyenesre a metszésponton túl felmérjük a számított MP szakaszt. Ezzel kijelöltük a keresett egyenest. 4. feladat Hasonló háromszögek alapján a kitűzési méret 4,35 m. 5. feladat A felmérendő kitűzési méret 4,22 m. 6. feladat A PC egyenesen megkeressük a H pont talppontját, majd megmérjük a H és talppontjának távolságát. A PC egyenesre egy tetszőleges helyen merőleges egyenest

KITŰZÉSEK

56

tűzünk ki és felmérjük a H és talppontjának távolságát. Ezzel kijelöltünk a PC egyenessel párhuzamos egyenest. 7. feladat A megoldás menete megegyezik a 6. feladatban leírtakkal, ügyelve arra, hogy a terepen akadályok is találhatók, amik a merőleges egyenes helyének megválasztását befolyásolják.

8. feladat A teodolittal felállunk a C ponton és megmérjük a HC és PC irányok által bezárt szöget. Ezután átállunk a teodolittal a H pontra, megirányozzuk a C pontot és felmérjük az előbbiekben meghatározott törésszöget.

9. feladat A műszert 5,6 mm-rel kell elmozdítani a műszerállásból az A pont felé nézve jobbra.

10. feladat a) Először beintéssel tűzzünk ki két segédpontot a mérési vonalon (S és P), majd fektessünk le két, egymást metsző mérőszalagot, az egyiket a P pontból az adott C pontig, a másikat az S ponttól kiindulva, tetszőleges irányban. A mérőszalagok metszéspontját jelöljük meg (M). Mérjük meg az MC, MP és MS szakaszokat. A hasonló háromszögekre vonatkozó tétel alapján határozzuk meg a kitűzési méretet (MD). Ezt a méretet mérjük fel a mérőszalaggal az M ponttól az SM szakasz meghosszabbításában, majd az így kapott D pontot karóval jelöljük meg a terepen.

C A M

S

D Q

P

MEGOLDÁSOK

57

b) Teodolittal álljunk az AQ egyenesen lévő – pl. beintéssel meghatározott – M pontra, majd végezzünk iránymérést a mérési vonal távolabbi végpontjára (Q), valamint az adott C pontra. A mérési eredményekből határozzuk meg az α törésszöget. Álljunk fel a teodolittal az adott C pontra, irányozzuk meg az M pontot, majd a teodolitot fordítsuk el α szöggel a kitűzendő irányba. Intsük be a kitűzendő egyenes újabb pontját szimbolizáló kitűzőrudat. A kitűzés végeztével jelöljük meg a terepen karóval a párhuzamos egyenes másik pontját. C

α α M

A

Q

11. feladat A kitűzési irányérték: 80-39-24 és 260-39-24.

12. feladat Álláspont: 101 cövek Irányzott pont neve vagy száma 1001 203 Álláspont 1001 101

Műszer: Zeiss Theo 010A Dátum: 2001. 09. 05. I. II. Közp. I. és II. I. távcsőállás közép- II. távcsőállás közép- jav. I. és középértéke a értéke értéke II. k. központban ° ʹ ʺ ʹ ʺ ° ʹ ʺ ʹ ʺ ʹ ʺ ° ʹ ʺ 31 51 148 05 29 05 30 328 05 52 05 52 148 05 41 07 44 167 39 09 39 08 347 39 44 39 44 167 39 26

93

23

44 46

23

45 273

A kitűzési irányérték: 112-57-35.

23

56 57

23

56

93

23

50

Törésszög °

ʹ

ʺ

19

33

45

KITŰZÉSEK

58 13. feladat

A törésszög ismeretében meghatározható a kitűzési méret, ami 14,17 m. E távolságra a HS egyenesen beintünk egy pontjelet, és a pontot megjelöljük. Teodolittal átállunk a kitűzött pontra, megirányozzuk a H pontot, s a műszert α = 34-22-51 szöggel elfordítva a távcső irányvonala kijelöli a HM egyenestől 8,00 m-re lévő, azzal párhuzamos irányt. 14. feladat A kitűzés menete hasonló az előző feladathoz, azzal a különbséggel, hogy a CS szakaszon most két pontot kell kijelölni, a kiszámított kitűzési méretekkel. Majd ezeken a pontokon felállval a teodolittal, ki kell tűzni a megmért és kiszámított törésszög segítségével a járdaszegély egyeneseinek másik pontjait. A törésszög: 65-29-50. Az úthoz közelebbi járdaszegély kitűzési mérete: 5,49 m, az úttól távolabbi járdaszegély kitűzési mérete: 7,69 m. 15. feladat a) KP = 20,92 m, b) TP = 14,92 m, PQ = 12,25 m. 16. feladat Az AB távolság: 49,56 m, a C pont kitűzési mérete: 14,18 m. 17. feladat a) x = 6,83 m, TP = 7,85 m, b) x1 = 16,61 m, x2 = 7,74 m, PJ = 27,49 m.

MEGOLDÁSOK Részeredmények: KJ = 45,81 m, KP = 18,32 m.

c) aM = 27,70 m, bM = 6,30 m, bP = 18,97 m. 18. feladat a) HQ = 195,66 m, b) KT = 204,98 m.

19. feladat a) KO = 25,28 m, b) FH = 41,48 m.

20. feladat AB = 38,97 m.

21. feladat AC = 414,93 m.

22. feladat PS = 66,81 m, QS = 61,71 m.

23. feladat A kitűzési méretek: a = 6,01 m, b = 3,77 m.

59

61

4. SZÖGMÉRÉS

4.1. Szögek meghatározása leolvasó berendezésen Mintapélda: Határozza meg a szögértéket a beosztásos mikroszkópos leolvasó berendezésen (4.1. ábra)!

60

50

40

30

20

10

0

287

4.1. ábra. Beosztásos mikroszkóp (Zeiss Theo 020) Megoldás: Leolvasóképesség:

a = 1ʹ, n

becslés: 0,1ʹ ∙ 60 = 6ʺ.

A leolvasás lépései: • Főleolvasás: 287°. • Csonka leolvasás: – leolvasás a beosztáson: 31ʹ, – becslés: 0,9 ∙ 60 = 54ʺ. A teljes leolvasás: 287° 31ʹ 54ʺ.

288

SZÖGMÉRÉS

62 1. feladat

Határozza meg a szögértéket a beosztásos mikroszkópos leolvasó berendezésen (4.2. ábra)!

60

50

40

30

20

10

0

14

15

4.2. ábra. Beosztásos mikroszkóp (Zeiss Theo 020)

2. feladat Határozza meg a szögértéket a beosztásos mikroszkópos leolvasó berendezésen (4.3. ábra)!

60

50

40

30

20

10

0

328

4.3. ábra. Beosztásos mikroszkóp (Zeiss Theo 020)

329

SZÖGEK MEGHATÁROZÁSA LEOLVASÓ BERENDEZÉSEN

63

Mintapélda: Határozza meg a szögértéket a koincidenciás leolvasó berendezésen (4.4. ábra)!

4.4. ábra. Koincidenciás leolvasó berendezés (Zeiss Theo 010) Megoldás: A mikrométercsavar segítségével koincidenciába (egybeesésbe) hozzuk a főskála kettősvonásait. a Leolvasóképesség: = 1ʺ, becslés: 0,1ʺ. n A leolvasás lépései: • Főleolvasás: 127°. • Csonka leolvasás: – leolvasás a beosztáson: 43ʹ 57ʺ, – becslés: 0,7ʺ. A teljes leolvasás: 127° 43ʹ 57,7ʺ.

64

SZÖGMÉRÉS

3. feladat Határozza meg a szögértéket a koincidenciás leolvasó berendezésen (4.5. ábra)!

4.5. ábra. Koincidenciás leolvasó berendezés (Zeiss Theo 010) 4. feladat Határozza meg a szögértéket a koincidenciás leolvasó berendezésen (4.6. ábra)!

4.6. ábra. Koincidenciás leolvasó berendezés (Zeiss Theo 010)

VÍZSZINTES SZÖGMÉRÉS

65

4.2. Vízszintes szögmérés Irányértékek számítása általános esetben Az első és a második távcsőállás leolvasási értékei között a különbségnek 180°-nak kell lennie. A gyakorlatban a gondos irányzás és leolvasás ellenére is a két leolvasás között eltérés mutatkozik, ami másodperc értékű. Ez az eltérés azonban befolyásolhatja a perc és a fok értékeket is (pl. lI = 203° 07′ 50″, lII = 23° 08′ 00″, vagy lI = 146° 59′ 56″, lII = 327° 00′ 06″). Ezekben az eseteken könnyebbé tehetjük a számítást, ha a második távcsőállás fokértékét 180°-kal megváltoztatjuk, és szükség lehet a perc és másodperc érték átszámítására is. Az alábbiakban két példán keresztül mutatjuk be a számítási módokat. a) Legyen a két leolvasás értéke: lI = 203° 07ʹ 50ʺ, illetve lII = 23° 08ʹ 00ʺ. lI =203° 07ʹ 50ʺ, lII =23° 08ʹ 00ʺ + 180° = 203° 08ʹ 00ʺ = 203° 07ʹ 60ʺ. A két érték között az eltérés 50ʺ − 60ʺ = 10ʺ, ezt osztjuk kettővel (5ʺ), amit hozzárendelünk a leolvasási értékhez: 50ʺ + 5ʺ = 55ʺ, vagy 60ʺ − 5ʺ = 55ʺ. Tehát az első távcsőállásbeli középérték, az irányérték l = 203° 07ʹ 55ʺ. b) Legyen a két leolvasás értéke: lI = 146° 59ʹ 56ʺ, illetve lII = 327° 00ʹ 06ʺ. lI = 146° 59ʹ 56ʺ, lII = 327° 00ʹ 06ʺ − 180° = 147° 00ʹ 06ʺ = 146° 59ʹ 66ʺ. Számolhatjuk úgy is a középértéket, hogy az eltérő másodperceket összeadjuk, s az összeget elosztjuk kettővel: az alap 146° 59ʹ 00ʺ. 56m + 66m = 122m = m 61 , 2 2 az első távcsőállásbeli irányérték: l =146° 59′ 00″ + 61″ = 146° 60′ 01″ = 147° 00′ 01″.

Δʺ =

Mintapélda: Számítsa ki az egyszerű szögméréssel meghatározott irányok által bezárt szöget (4.1.a) táblázat)! Szögmérési jegyzőkönyv. 4.1.a) táblázat SZÖGMÉRÉSI JEGYZŐKÖNYV Dátum: 2010. 09. 10. Álláspont

10

Irányzott pont

Műszer: Zeiss Theo 010 I. távcsőállás lI °

ʹ

ʺ

8

140

33

9

204

30

II. távcsőállás lII °

ʹ

ʺ

50 320

33

46

54

30

58

24

Irányérték l

Törésszög α

°

°

ʹ

ʺ

ʹ

Jegyzet ʺ

SZÖGMÉRÉS

66 Megoldás: •

Az irányértékek számítása: A fentiek alapján számoljuk a 4.1.a) táblázatban szereplő leolvasási értékekből az irányértékeket, amit a szögmérési jegyzőkönyv megfelelő sorába és oszlopába írunk be (4.1.b) táblázat).

•

A törésszög számítása: A törésszöget jobb sodrású műszerek esetén, úgy számoljuk, hogy a mérendő szög csúcspontján állva a keresett szög terébe nézve, a jobb oldali irányértékből kivonjuk a bal oldali irányértéket. α = ljobb − lbal. α = (204° 30ʹ 56ʺ) − (140° 33ʹ 48ʺ) = (203° 90ʹ 56ʺ) − (140° 33ʹ 48ʺ) = 63° 57ʹ 08ʺ. Amennyiben az ljobb irányérték kisebb mint az lbal irányérték, akkor a szögszámítás szabályainak megfelelően a kisebbítendő irányértéket növeljük 360°-kal, vagy 400g-nal. A törésszöget beírjuk a jegyzőkönyv megfelelő sorába és oszlopába. (4.1.b) táblázat) Szögmérési jegyzőkönyv. 4.1.b) táblázat SZÖGMÉRÉSI JEGYZŐKÖNYV

Dátum: 2010. 09. 10. Álláspont

Irányzott pont

10


ʹ

ʺ

8

140

33

9

204

30


ʹ

ʺ

50 320

33

54

30

24

Irányérték l

Törésszög α

°

°

ʹ

ʺ

63

57

08

ʹ

ʺ

46 140

33

48

58 204

30

56

Jegyzet

Mintapélda: Számítsa ki az egyszerű szögméréssel meghatározott irányok által bezárt szöget (4.2.a) táblázat)! A pontosság fokozása érdekében távcsőállásonként két leolvasást végzünk. Ezt elvégezhetjük úgy, hogy pl. a vízszintes paránycsavar segítségével az alhidádét kis mértékben elmozdítjuk majd az újra irányzás után a leolvasást ismételten elvégezzük, vagy a leolvasó berendezésen a koincidenciát kétszer állítjuk be. Így távcsőállásonként két-két leolvasás áll rendelkezésre.

VÍZSZINTES SZÖGMÉRÉS

67

Szögmérési jegyzőkönyv. 4.2.a) táblázat SZÖGMÉRÉSI JEGYZŐKÖNYV Dátum: 2010. 09. 10. Álláspont

Irányzott pont


ʹ

ʺ

I. középértéke ʹ

ʺ


ʹ

ʺ

9

342 26

12 06

162 26

18 24

10

46 13

48 54

226 13

42 50

5

II. középértéke ʹ

ʺ

Irányérték l

Törésszög α

°

°

ʹ

ʺ

ʹ

Jegyzet

ʺ

Megoldás: A jegyzőkönyv számításakor előbb az első távcsőállás két leolvasásának, majd a második távcsőállás két leolvasásának középértékét számoljuk ki. •

A leolvasási értékek középértékeinek számítása: lI = (342° 26ʹ 12ʺ) és (342° 26ʹ 06ʺ) leolvasások perc, másodperc középértéke 26ʹ 09ʺ, amit beírunk a jegyzőkönyvbe (4.2.b) táblázat), lII =(162° 26ʹ 18ʺ) és (162° 26ʹ 24ʺ) leolvasások perc, másodperc középértéke 26ʹ 21ʺ, amit szintén beírunk a jegyzőkönyvbe (4.2.b) táblázat). Hasonló módon számoljuk a többi leolvasási értékek középértékeit is.

•

Az irányértékek számítása: A számítást az előző mintapéldánál leírtak szerint végezzük el. l5–9 = 342° 26ʹ 15ʺ, l5–10 =46° 13ʹ 48,5ʺ. Az irányérték számításánál gyakran előfordul, hogy a középérték nem egész, hanem 0,5 másodpercre végződik, mint a fenti példánál is. Szakterületünkön elegendő a másodperc pontossággal való számolás, ilyen esetekben kerekíteni kell. Szögek számításánál a kerekítés szabálya, hogy mindig a páros szám felé kerekítünk. Ennek értelmében a fenti példánál a 48,5ʺ kerekítve 48ʺ, viszont a 47,5ʺ is 48ʺ.

•

A törésszög számítása: α = ljobb − lbal = (46° 13ʹ 48ʺ) − (342° 26ʹ 15ʺ). A kisebbítendőt növelni kell 360°-kal: α = ((46° 13ʹ 48ʺ) + 360°) − (342° 26ʹ 15ʺ) = 63° 47ʹ 33ʺ.

A kiszámolt irányértékeket és a törésszöget a szögmérési jegyzőkönyvben rögzítjük (4.2.b) táblázat).

SZÖGMÉRÉS

68

Szögmérési jegyzőkönyv. 4.2.b) táblázat SZÖGMÉRÉSI JEGYZŐKÖNYV Dátum: 2010. 09. 10. Álláspont

I. távcsőállás lI

Irányzott pont 9

5

Műszer: Zeiss Theo 010

°

ʹ

ʺ


ʺ


ʹ

ʺ


ʺ

Irányérték l

Törésszög α

°

°

ʹ

ʺ

12 18 26 09 162 26 26 21 342 26 15 342 26 06 24

10

46 13

48 42 13 51 226 13 13 46 54 50

ʹ

Jegyzet

ʺ

63 47 33

46 13 48

5. feladat Számítsa ki az egyszerű szögméréssel meghatározott irányok által bezárt szöget (4.3. táblázat)! Szögmérési jegyzőkönyv. 4.3. táblázat SZÖGMÉRÉSI JEGYZŐKÖNYV Dátum: 2010. 09. 28. Álláspont

Irányzott pont 4

2 8


ʹ

ʺ

12 38 47 18 301 36

48 54


ʺ


ʹ

ʺ

18 218 47 24 121 36

42 48


ʺ

Irányérték l

Törésszög α

°

°

ʹ

ʺ

ʹ

ʺ

Jegyzet

MAGASSÁGI SZÖGMÉRÉS

69

4.3. Magassági szögmérés Mintapélda: Számítsa ki a magassági szöget a jegyzőkönyvben lévő adatok alapján (4.4.a) táblázat)! Magassági szögmérési jegyzőkönyv. 4.4.a) táblázat MAGASSÁGI SZÖGMÉRÉSI JEGYZŐKÖNYV Dátum: 2010. 09. 28. Műszer: SOKKIA DT610 Leolvasás a magassági körön I. távcsőállás Zenitszög IrányzI Jegyzet ÁllásKözépérz zott pont ték II. távcsőállás pont z II ° ʹ ʺ ʹ ʺ ° ʹ ʺ 00 69 54 Gyárkémény 06 felső éle 1 10 40 290 06 46

Megoldás: A magassági szögméréskor is alkalmazható a távcsőállásonkénti két leolvasás. • Az első távcsőállásban történt leolvasások középértékének számítása:

zI = 69° 54ʹ 00ʺ és 69° 54ʹ 06ʺ leolvasások perc, másodperc középértéke 54ʹ 03ʺ, amit beírunk a jegyzőkönyvbe (4.4.b) táblázat),

zII = 290° 06ʹ 40ʺ és 290° 06ʹ 46ʺ leolvasások perc, másodperc középértéke 06ʹ 43ʺ, amit szintén beírunk a jegyzőkönyvbe (4.4.b) táblázat). • A zenitszög számítása:

^290c 06l 43mh - ^69c 54l 03mh z II - z I = = 69c 53l 40m . 180c 2 2 • Amennyiben szükséges a magassági szög a zenitszögből meghatározható: α = 90° − z = 90° − (69° 53ʹ 40ʺ) = 20° 06ʹ 20ʺ.

z = 180c -

Magassági szögmérési jegyzőkönyv. 4.4.b) táblázat MAGASSÁGI SZÖGMÉRÉSI JEGYZŐKÖNYV Dátum: 2010. 09. 28. Műszer: SOKKIA DT610 Leolvasás a magassági körön I. távcsőállás Zenitszög IrányzI Jegyzet KözépérÁllász zott ték pont II. távcsőállás pont z II ° ʹ ʺ ʹ ʺ ° ʹ ʺ 00 54 03 69 54 Gyárkémény 06 felső éle 1 10 69 53 40 40 06 43 290 06 46

SZÖGMÉRÉS

70 6. feladat

Számítsa ki a magassági szöget a jegyzőkönyvben lévő adatok alapján (4.5. táblázat)! Magassági szögmérési jegyzőkönyv. 4.5. táblázat MAGASSÁGI SZÖGMÉRÉSI JEGYZŐKÖNYV Dátum: 2010. 09. 28.

Műszer: Zeiss Theo 010 Leolvasás a magassági körön

Álláspont

I. távcsőállás zI

Irányzott pont

II. távcsőállás z II °

5

ʹ

ʺ

78

52

00 06

281

08

45 55

102

Zenitszög z

Középérték ʹ

ʺ

°

ʹ

Jegyzet

ʺ Felüljáró alsó éle

7. feladat Számítsa ki a magassági szöget a jegyzőkönyvben lévő adatok alapján (4.6. táblázat)! Magassági szögmérési jegyzőkönyv. 4.6. táblázat MAGASSÁGI SZÖGMÉRÉSI JEGYZŐKÖNYV Dátum: 2010. 09. 28.

Műszer: SOKKIA DT610 Leolvasás a magassági körön

Álláspont

Irányzott pont

I. távcsőállás zI II. távcsőállás z II °

51

ʹ

ʺ

117

12

24 32

242

47

00 06

18

Zenitszög z

Középérték ʹ

ʺ

°

ʹ

Jegyzet

ʺ Elektromos vezeték

IRÁNYMÉRÉS TÁJÉKOZÁSA

71

4.4. Iránymérés tájékozása Az iránymérés tájékozása a poláris felmérés és kitűzés munkafolyamatoknál fontos művelet. Az ismert alappontok koordinátái és az iránymérési eredmények alapján számoljuk a bemért pontok koordinátáit, vagy a fő- és részletpontok kitűzési adatait. Részletpontoknál a tájékozást elegendő egy ismert irányra elvégezni, míg főpontok meghatározásánál két-három ismert irányra végezzünk tájékozást. E művelettel a limbusz 0 kezdővonásának helyzetét határozzuk meg a +x tengelyhez viszonyítva.

4.4.1. Tájékozás egy ismert irány esetén Mintapélda: Számítsa ki a jegyzőkönyv alapján a tájékozott irányértékeket (4.7.a) táblázat)! Iránymérés tájékozása. 4.7.a) táblázat IRÁNYMÉRÉSI JEGYZŐKÖNYV Dátum: 2010. 10. 12.

Álláspont

6

Műszer: Zeiss Theo 020 Irányérték l

Irányzott pont

Irányszög, tájékozott irányérték δ, δ’

Tájékozási szög z

°

ʹ

ʺ

13

176

51

27

14

266

08

20

15

342

59

47

13

176

51

27

°

ʹ

ʺ

Jegyzet

°

ʹ

ʺ

315

00

14

Megoldás: • A tájékozási szög számítása: Az irányszög (δ6–14) és az irányérték (l6–14) ismeretében számoljuk a tájékozási szöget (z) z = δ6–14 − l6–14 = (315° 00ʹ 14ʺ) − (266° 08ʹ 20ʺ) = 48° 51ʹ 54ʺ. • A tájékozott irányértékek számítása: δ’6–13 = l6–13 + z = (176° 51ʹ 27ʺ) + (48° 51ʹ 54ʺ) = 225° 43ʹ 21ʺ, δ’6–15 = l6–15 + z = (346° 59ʹ 47ʺ) + (48° 51ʹ 54ʺ) − 360° = 31° 51ʹ 41ʺ. A kiszámolt értékeket beírjuk a jegyzőkönyv megfelelő oszlopába és sorába (4.7.b) táblázat).

SZÖGMÉRÉS

72

Iránymérés tájékozása. 4.7.b) táblázat IRÁNYMÉRÉSI JEGYZŐKÖNYV Dátum: 2010. 10. 12.

Álláspont

Műszer: Zeiss Theo 020 Irányérték l

Irányzott pont °

6



ʹ

ʺ

13

176

51

27

14

266

08

20

15

342

59

47

13

176

51

27

° 48

ʹ 51

ʺ 54

°

Jegyzet

ʹ

ʺ

225

43

21

315

00

14

31

51

41

225

43

21

8. feladat Számítsa ki a jegyzőkönyv alapján a tájékozott irányértékeket (4.8. táblázat)! Iránymérés tájékozása. 4.8. táblázat IRÁNYMÉRÉSI JEGYZŐKÖNYV Dátum: 2010. 10. 28. Álláspont

31

Műszer: SOKKIA DT610 Irányérték l

Irányzott pont



g

c

23

44

36

cc 12

18

301

16

58

19

356

24

09

23

44

36

12

g

c

cc

g 163

c 97

Jegyzet cc 90


73

9. feladat Számítsa ki a jegyzőkönyv alapján a tájékozott irányértékeket és váltsa át újfokra (4.9. táblázat)! Iránymérés tájékozása. 4.9. táblázat IRÁNYMÉRÉSI JEGYZŐKÖNYV Dátum: 2010. 09. 10. Álláspont

Irányzott pont

Műszer: Zeiss Theo 010

I. távcsőállás lI °

ʹ

ʺ

47

18 106 27 21

48

143

49 47

33


ʺ


ʹ

ʺ

II. I. és II. közép- középértéke értéke Irányérték l ʹ

ʺ

°

ʹ

ʺ



°

°

ʹ

ʺ

ʹ

ʺ

Jegyzet távolság km

24 286 27 26

38 58 39 04

323 39

12 14

203 07

48 52

23 08

00 04

106 27

16 23

286 27

23 27

144 41 23

4.4.2. Tájékozás több ismert irány esetén Ebben az esetben a pontosság fokozása érdekében két-három ismert pontra és az ismeretlen pontokra iránymérést végzünk. Az ismert pontok koordinátái és a mérési eredmények alapján számoljuk a tájékozási szögeket (z), és ezekből a középtájékozási szöget (z k).

SZÖGMÉRÉS

74 Mintapélda:

Számítsa ki a jegyzőkönyv alapján a tájékozott irányértékeket (4.10.a) táblázat)! Iránymérés tájékozása. Mérési jegyzőkönyv. 4.10.a) táblázat IRÁNYMÉRÉSI JEGYZŐKÖNYV Dátum: 2010. 06. 29. Álláspont

Műszer: SOKKIA DT610 Irányérték l

Irányzott pont °

16

Tájékozási szög, középtájékozási szög z, z k

ʹ

ʺ

22

335

01

54

106

6

36

12

34

231

13

59

109

274

51

45

27

294

34

35

118

302

17

38

22

335

01

54

°

ʹ

ʺ

Irányszög, tájékozott irányérték δ, δ’ °

Jegyzet Távolság km

ʹ

ʺ

335

28

02

1,2

231

39

50

2,3

295

00

53

1,5

Megoldás: • A tájékozási szögek számítása: Az ismert pontokra menő irányszögek (δ16–22, δ16–34, δ16–27) és irányértékek (l22, l34, l27,) alapján számoljuk a tájékozási szögeket a z = δ − l összefüggés alapján: z22 = δ16–22 − l16–22 = (335° 28ʹ 02ʺ) − (335° 01ʹ 54ʺ) = 0° 26ʹ 08ʺ, z34 = δ16–34 − l16–34 = (231° 39ʹ 50ʺ) − (231° 13ʹ 59ʺ) = 0° 25ʹ 51ʺ, z27 = δ16–27 − l16–27 = (295° 00ʹ 53ʺ) − (294° 34ʹ 35ʺ) = 0° 26ʹ 18ʺ. Ezeket az értékeket beírjuk a jegyzőkönyv megfelelő oszlopába és sorába. • A középtájékozási szög számítása: A középtájékozási szöget az ismert pontok távolságainak arányában súlyozottan számoljuk. Tekintettel, hogy a példában a tájékozási szögek perc értéke nem egyforma, így egy számolási alapot kell képezni. Számolási alap: 0° 25ʹ 00ʺ Az ettől eltérő másodperc értékekkel számoljuk a tájékozási szögeket: zʺ22 = (0° 26ʹ 08ʺ) − (0° 25ʹ 00ʺ) = 68ʺ, zʺ34 = (0° 25ʹ 51ʺ) − (0° 25ʹ 00ʺ) = 51ʺ, zʺ27 = (0° 26ʹ 18ʺ) − (0° 25ʹ 00ʺ) = 78ʺ.


z kʺ =

75

z"22 $ t22 + z"34 $ t34 + z"27 $ t27 68m $ 1,2 + 51m $ 2,3 + 78m $ 1,5 = = 63,2m = 63m . + + t22 t34 t27 1,2 + 2,3 + 1,5

Ezt a számított értéket hozzáadjuk a számolási alaphoz, így a középtájékozási szög:

zk = (0° 25ʹ 00ʺ) + 63ʺ = 0° 26ʹ 03ʺ. Ezt az értéket beírjuk a jegyzőkönyvbe, és ezzel határozzuk meg a bemért pontok tájékozott irányértékét. • A tájékozott irányértékek számítása: A tájékozott irányértékeket a δ’ = l + z k összefüggés alapján számítjuk: δ’16–106 = l16–106 + z k = (6° 36ʹ 12ʺ) + (0° 26ʹ 03ʺ) = 7° 02ʹ 15ʺ, δ’16–109 = l16–109 + z k = (274° 51ʹ 45ʺ) + (0° 26ʹ 03ʺ) = 275° 17ʹ 48ʺ, δ’16–118 = l16–118 + z k = (302° 17ʹ 38ʺ) + (0° 26ʹ 03ʺ) = 302° 43ʹ 41ʺ. A számított értékeket beírjuk a jegyzőkönyv megfelelő oszlop megfelelő sorába. A kitöltött jegyzőkönyv a 4.10.b) táblázatban látható. Iránymérés tájékozása. A kitöltött jegyzőkönyv. 4.10.b) táblázat IRÁNYMÉRÉSI JEGYZŐKÖNYV Dátum: 2010. 06. 29. Álláspont

Műszer: SOKKIA DT610

°

16


Tájékozási szög, középtájékozási szög z, z k

Irányérték l

Irányzott pont

ʹ

ʺ

22

335

01

54

106

6

36

12

34

231

13

59

109

274

51

45

27

294

34

35

118

302

17

38

22

335

01

54 zk

° 0 0 0

0

ʹ

ʺ

26

08

25 26

26

51 18

03

°

Jegyzet

ʹ

ʺ

335

28

02

7

02

15

231

39

50

275

17

48

295

00

53

302

43

41

Távolság km 1,2 2,3 1,5

SZÖGMÉRÉS

76 10. feladat

Számítsa ki a jegyzőkönyv alapján a tájékozott irányértékeket (4.11. táblázat)! Iránymérés tájékozása. 4.11. táblázat IRÁNYMÉRÉSI JEGYZŐKÖNYV Dátum: 2010. 06. 29. Álláspont

Irányzott pont

7

32 116 118 120 123 19 24 32

Irányérték l ° 329 160 178 180 190 199 252 329

ʹ 14 25 59 25 29 53 05 14

ʺ 00 30 05 02 56 35 26 00

Tájékozási szög, középtájékozási szög z, z k ° ʹ ʺ

Műszer: SOKKIA DT610 Irányszög, Jegyzet tájékozott irányérték Távolság δ, δ’ km ° ʹ ʺ 329 45 57 2,0

200 252

25 37

26 30

3,2 1,8

11. feladat Számítsa ki a jegyzőkönyv alapján a tájékozott irányértékeket (4.12. táblázat). Iránymérés tájékozása. 4.12. táblázat IRÁNYMÉRÉSI JEGYZŐKÖNYV Dátum: 2010. 10. 21. I. II. távcsőII. I. és II. I. távcsőközépállás közép- középértéke állás Ál- Irányértéke lII értéke Irányérték lI lászott l pont pont ° ʹ ʺ ʹ ʺ ° ʹ ʺ ʹ ʺ ° ʹ ʺ 23 04 08 23 340 160 23 22 52 01 43 58 56 21 39 201 39 40 53 56 03 08 3 64 244 56 55 54 02 36 44 14 19 123 41 303 41 32 41 41 51 6 327 13 147 13 35 47 30 40 26 236 36 56 36 24 36 58 05 23 160 23 340 22 57 03

Műszer: Zeiss Theo 010 Tájékozási Irányszög, Jegyszög tájékozott zet z irányérték távolδ, δ’ ság km ° ʹ ʺ ° ʹ ʺ 106 30 55

1,8

249 49 50

2,4

2 44 35

1,3

MEGOLDÁSOK

77

4.5. Megoldások 1. feladat A szögérték: 14° 41ʹ 54ʺ. 2. feladat A szögérték: 328° 39ʹ 30ʺ. 3. feladat A szögérték: 177° 53ʹ 54,9ʺ. 4. feladat A szögérték: 132° 31ʹ 02ʺ. 5. feladat A két irány által bezárt szög: α = 262° 49ʹ 30ʺ. 6. feladat A magassági szög: α = 11° 08ʹ 24ʺ. Részeredmény: a zenitszög: z = 78° 51ʹ 36ʺ. 7. feladat A magassági szög: α = −27° 12ʹ 42ʺ. (Részeredmény: a zenitszög: z = 117° 12ʹ 42ʺ.) Ebben az esetben, a magassági szögnél lévő mínusz előjel azt jelenti, hogy a távcső irányvonala a vízszinteshez képest lefelé mutat.

78

SZÖGMÉRÉS

8. feladat A tájékozott irányértékek: δ’31–18 = 20,7836g, δ’31–19 = 75,8587g. Részeredmény: a tájékozási szög: z = 119,6178g. 9. feladat A tájékozott irányértékek: δ’33–47 = 107° 29ʹ 38ʺ = 119g 43c 77cc, δ’33–49 = 204° 10ʹ 12ʺ = 226,8556g. Részeredmény: a tájékozási szög: z = 1° 02ʹ 16ʺ. 10. feladat A tájékozott irányértékek: δ’7–116 = 160° 57ʹ 26ʺ, δ’7–118 = 179° 31ʹ 01ʺ, δ’7–120 = 180° 56ʹ 58ʺ, δ’7–123 = 191° 01ʹ 52ʺ. Részeredmény: a középtájékozási szög: z k = 0° 31ʹ 56ʺ. 11. feladat A tájékozott irányértékek: δ’14–56 = 147° 47ʹ 53ʺ, δ’14–3 = 191° 04ʹ 06ʺ, δ’14–6 = 273° 21ʹ 48ʺ. Részeredmény: a középtájékozási szög: z k=126° 08ʹ 04ʺ.

79

5. MAGASSÁGMÉRÉS

5.1. Vonalszintezés Mintapélda: Határozza meg az V. rendű vonalszintezés mérési eredményei (5.1. táblázat) alapján a 403-as pont magasságát! V. rendű vonalszintezés mérési adatai. 5.1.a) táblázat V. RENDŰ VONALSZINTEZÉS Kezdőpont: 334

magassága: 127,639 m B.f.

Végpont:


344

Meghatározandó a 403 pont magassága. A szintezési hiba megengedett értéke: 30 $ L mm, ahol L a szintezési vonal hossza km-ben. „oda” szintezés Pont

Távolság, méter

334 1K 1K 2K 2K 3K 3K 4K 4K 5K 5K 403

87 87 34 34 62 62 60 60 89 89 72 72

Leolvasás hátra előre 0777 0440 0884 0596 0882 0585 0631 0302 0845 0538 0589 0718

MAGASSÁGMÉRÉS

80 403 6K 6K 7K 7K 344

51 51 42 42 88 88

1745 0557 1575 0531 1535 0459

Megoldás: A megoldás első lépéseként szakaszonként adjuk össze a hátra és előre leolvasások összegét, majd írjuk be a táblázat szakaszt követő sorába. (Az első szakaszon a hátra leolvasások összege 4608, az előre leolvasások összege 3179, a második szakaszon 4855 illetve 1547.) A hátra és előre leolvasások különbségét képezve megkapjuk előjelhelyesen a szakaszvégpontok közötti magasságkülönbséget, amelyet a következő sorba, az összevont oszlopba kell beírni (+1,429 m, illetve +3,308 m). Ha az így kiszámított magasságkülönbségeket a teljes vonalra összeadjuk, akkor megkapjuk a vonal két végpontja közötti mért magasságkülönbséget (+4,737 m), amely nem azonos a nyilvántartott magasságkülönbséggel (+4,719 m). Ez utóbbi értéket úgy határozzuk meg, hogy az adott pontok közötti magasságkülönbséget képezzük magassági koordinátájukból (132,358 − 127,639). A két érték természetesen kis mértékben eltér egymástól a mérés körülményeiből, illetve a mérés szabályos hibáiból adódóan. Állapítsuk meg a hibát úgy, hogy a nyilvántartott magasságkülönbségből kivonjuk a mért magasságkülönbséget (−0,018 m). A kivonásnál ügyeljünk az előjelre is! Ez a hiba az V. rendű vonalszintezés esetén 30 $ L milliméter lehet, ahol L a szintezési vonal hossza kilométerben. Ehhez ki kell számolni a szakaszok és a teljes vonal hosszát, és ezt is be kell írni a táblázatba (808 m, 362 m, illetve 1170 m). A képletből a hibahatár 32 mm-re adódik, amit szintén fel kell tüntetni a jegyzőkönyvben. A −0,018 m hibát fogjuk a szakaszok hosszának arányában szétosztani a táblázat javítás oszlopában. A javítás az első szakaszon −0,018 m / 1170 m ∙ 808 m = −0,01243 m = −12,43 mm, kerekítve: −12 mm. A javítás a második szakaszon: −0,018 m / 1170 m ∙ 362 m = −0,00557 m = −5,57 mm, kerekítve: −6 mm. Ügyelni kell arra, hogy bár a javításokat mm-re kerekítjük, a kerekítés után az öszszegüknek a szétosztandó hibát kell kiadniuk. A javított magasságkülönbséget megkaphatjuk, ha a magasságkülönbség értékéhez hozzáadjuk a javítást. Ügyelni kell arra, hogy ne keverjük a mértékegységeket (m, illetve mm). A javított magasságkülönbségek: +1,417 m és +3,302 m. A javított magasságkülönbségeket a magassági adatokkal összegezve kapjuk meg az ismeretlen pont magasságát. A kezdőpont (334-es pont) magasságához hozzáadjuk az első szakasz javított magasságkülönbségét: 127,639 + 1,417 = 129,056 m, ez a 403-as számú pont magassága. Ehhez ellenőrzésképpen hozzáadjuk a +3,302 m értéket, és meg kell kapnunk a végpont (344-es pont) magasságát milliméter pontosan.

VONALSZINTEZÉS

81

A számítás nyomon követhető az 5.1.b) táblázatban. Adott pont magasságának számítása szintezésből származó adatok alapján. 5.1.b) táblázat Pont 334 1K 1K 2K 2K 3K 3K 4K 4K 5K 5K 403 t1 = 403 6K 6K 7K 7K 344 t2 = T=

Leolvasás Mag. JavíJavítás kül. tott hátra előre 0777 127,639 m B.f. 0440 0884 0596 0882 0585 0631 0302 0845 0538 0589 0718 4608 3179 808 +1,429 +1,429 −12,43 −12 mm +1,417 129,056 m B.f. 51 1745 51 0557 42 1575 42 0531 88 1535 88 0459 362 4855 1547 1170 +3,308 +3,308 −5,57 −6 mm +3,302 132,358 m B.f. mért: +4,737 +4,737 −18 −18 mm +4,719 valódi: +4,719 +4,719 Távolság, m 87 87 34 34 62 62 60 60 89 89 72 72

hiba: hibahatár:

−0,018

−0,018 0,032

MAGASSÁGMÉRÉS

82 1. feladat

Határozza meg az V. rendű vonalszintezés mérési eredményei (5.2. táblázat) alapján a 451-es pont magasságát! V. rendű vonalszintezés mérési adatai. 5.2. táblázat V. RENDŰ VONALSZINTEZÉS Kezdőpont: 350 magassága: 136,839 m B.f. Végpont: 359 magassága: 137,021 m B.f. Meghatározandó a 451 pont magassága. A szintezési hiba megengedett értéke: 30 $ L mm, ahol L a szintezési vonal hossza km-ben. „oda” szintezés Leolvasás Pont Távolság, méter hátra előre 350 42 0723 1K 42 0571 1K 47 0604 2K 47 0466 2K 86 0530 3K 86 0378 3K 65 0692 4K 65 0549 4K 75 0643 5K 75 0482 5K 68 0648 451 68 0742

451 6K 6K 7K 7K 359

87 87 57 57 79 79

0442 0564 0485 0617 0678 0869

VONALSZINTEZÉS

83

2. feladat Határozza meg az V. rendű vonalszintezés mérési eredményei (5.3. táblázat) alapján a 330-as és 331-es pontok magasságát! V. rendű vonalszintezés mérési adatai. 5.3. táblázat V. RENDŰ VONALSZINTEZÉS Kezdőpont: 265 magassága: 160,451 m B.f. Végpont: 272 magassága: 157,092 m B.f. Meghatározandó a 330 és a 331 pont magassága. A szintezési hiba megengedett értéke: 30 $ L mm, ahol L a szintezési vonal hossza km-ben. „oda” szintezés Leolvasás Pont Távolság, méter hátra előre 265 32 0675 1K 32 0366 1K 50 0785 2K 50 0302 2K 77 0894 330 77 0439

330 3K 3K 331

57 57 89 89

331 4K 4K 5K 5K 272

55 55 54 54 53 53

0463 1269 0564 2733

0436 0826 0423 0843 0464 1302

MAGASSÁGMÉRÉS

84 3. feladat

Határozza meg az V. rendű vonalszintezés mérési eredményei (5.4. táblázat) alapján a 313-as és 314-es pontok magasságát! V. rendű vonalszintezés mérési adatai. 5.4. táblázat V. RENDŰ VONALSZINTEZÉS Kezdőpont: 261 magassága: 146,005 m B.f. Végpont: 262 magassága: 141,132 m B.f. Meghatározandó a 313 és a 314 pont magassága. A szintezési hiba megengedett értéke: 30 $ L mm, ahol L a szintezési vonal hossza km-ben. „oda” szintezés Leolvasás Pont Távolság, méter hátra előre 261 39 0664 1K 39 1808 1K 65 0684 2K 65 1769 2K 35 0565 313 35 1331

313 3K 3K 314

32 32 81 81

314 4K 4K 5K 5K 262

52 52 35 35 41 41

0895 0572 1217 0408

0561 1365 0636 1796 0534 1598

VONALSZINTEZÉS

85

Mintapélda: Határozza meg az IV. rendű vonalszintezés mérési eredményei (5.5.a) táblázat) alapján a 267-es és 268-as pontok magasságát! IV. rendű vonalszintezés mérési adatai. 5.5.a) táblázat IV. RENDŰ VONALSZINTEZÉS Kezdőpont: 205 magassága: 157,747 m B.f. Végpont: 215 magassága: 154,281 m B.f. Meghatározandó a 267 és a 268 pont magassága. A szintezési hiba megengedett értéke: 10 $ L mm, ahol L a szintezési vonal hossza km-ben. „oda” szintezés „vissza” szintezés Leolvasás Leolvasás Pont Távolság, méter Pont hátra előre hárta előre 205 32 0626 215 0721 1K 32 1078 1K 0503 1K 49 0636 1K 0709 2K 49 0954 2K 0389 2K 35 0643 2K 0851 267 35 1351 268 0565

267 3K 3K 268

60 60 59 59

268 4K 4K 5K 5K 215

59 59 81 81 88 88

0464 0753 0431 1285

0597 0919 0434 0768 0675 0855

268 3K 3K 267

0884

267 4K 4K 5K 5K 205

0611

0568 1365 0530

0306 1006 0546 1318 0597

MAGASSÁGMÉRÉS

86 Megoldás:

A feladat megoldásánál szakaszonként, és a teljes vonalra is ki kell számolni a magasságkülönbségeket az 1. feladatnál leírt módon, mind az „oda” mind a „vissza” szintezésnél. Szintén kiszámoljuk az „oda” és a „vissza” szintezésnél is a mérések hibáját, valamint a hibahatárt, ez alapján eldöntjük, hogy a mérések megfelelőek voltak-e. Az „oda” illetve „vissza” szintezések magasságkülönbségeinek szakaszonkénti átlagait a „Közép” oszlopba írjuk (az átlag számításánál a „vissza” szintezés előjelét megfordítjuk, példánk első sorában közepeljük a −1,478 és a −1,486 értékeket), és itt is kiszámoljuk a hibát, amit szét fogunk osztani, mint tettük azt az 1. feladatnál. A további számítás is megegyezik az ott leírtakkal. A számítást el lehet végezni a mérési jegyzőkönyvben is (5.5.b) táblázat a következő oldalon), de ott vigyázni kell arra, hogy a „vissza” szintezésnél a szakaszok sorrendje fordított. Sokkal praktikusabb az 5.5.c) táblázat. Számolótábla IV. rendű vonalszintezéshez. 5.5.c) táblázat Pont Szakasz 205 205–206 267 267–268 268 268–215 215 T=

Táv

„Oda”

„Vissza”

Közép

Javítás

Javított

232 m

−1,478 m +1,486 m −1,482 m −2 mm −1,484 m

238 m

−1,143 m +1,151 m −1,147 m −2 mm −1,149 m

456 m

−0,836 m +0,824 m −0,830 m −3 mm −0,833 m

Magasság 157,747 m 156,263 m 155,114 m 154,281 m

926 m mért: valódi: hiba: hibaMAX: a mérés:

−3,457 m +3,461 m −3,459 m −3,466 m +3,466 m −3,466 m −0,009 m +0,005 m −0,007 m 9,6 mm megfelelő megfelelő

−3,466 m

59 59 81 81 88 88 456 926

268 4K 4K 5K 5K 215 t3 = T=

mért: valódi: hiba:

60 60 59 59 238

Távolság, méter 32 32 49 49 35 35 232

267 3K 3K 268 t2 =

205 1K 1K 2K 2K 267 t1 =

Pont

0753

0768

0919

−3,457 −3,466 −0,009

0855 1706 2542 −0,836

0675

0434

0597

1285 0895 2038 −1,143

0431

0464

Leolvasás hátra előre 0626 1078 0636 0954 0643 1351 1905 3383 −1,478

267 5K 5K 6K 6K 205

268 4K 4K 267

215 1K 1K 2K 2K 268

Pont

0568

0546

0306

+3,461 +3,466 +0,005

0597 2935 1449 +1,486

1318

1006

0611

0530 2249 1098 +1,151

1365

0884

Leolvasás hárta előre 0721 0503 0709 0389 0851 0565 2281 1457 +0,824 Javítás

Javított

−3,459 −7,00 −7 mm −3,466 −3,466 −0,007

−0,830 −3,45 −3 mm −0,833

−1,147 −1,80 −2 mm −1,149

−1,482 −1,75 −2 mm −1,484

Közép

Számítás a mérési jegyzőkönyvben. 5.5.b) táblázat

154,281 m B.f.

155,114 m B.f.

156,263 m B.f.

157,747 m B.f.

Magasság

VONALSZINTEZÉS 87

MAGASSÁGMÉRÉS

88 4. feladat

Határozza meg az IV. rendű vonalszintezés mérési eredményei (5.6. táblázat) alapján a 355-ös és 356-os pontok magasságát! IV. rendű vonalszintezés mérési adatai. 5.6. táblázat IV. RENDŰ VONALSZINTEZÉS Kezdőpont: 277 magassága: 109,340 m B.f. Végpont: 287 magassága: 109,045 m B.f. Meghatározandó a 355 és a 356 pont magassága. A szintezési hiba megengedett értéke: 16 $ L mm, ahol L a szintezési vonal hossza km-ben. „oda” szintezés „vissza” szintezés Leolvasás Leolvasás Pont Távolság, méter Pont hátra előre hárta előre 277 55 0682 287 1063 1K 55 0905 1K 0424 1K 33 0553 1K 0936 2K 33 0784 2K 0358 2K 46 0560 2K 0928 355 46 0830 356 0447

355 3K 3K 356

33 33 81 81

356 4K 4K 5K 5K 287

72 72 60 60 32 32

0936 0331 2044 0509

0462 1059 0470 1145 0449 0879

356 3K 3K 355

355 4K 4K 5K 5K 277

0526 1101 0406 1973

0668 0485 0514 0333 0875 0511

VONALSZINTEZÉS

89

5. feladat Határozza meg az IV. rendű vonalszintezés mérési eredményei (5.7. táblázat) alapján a 373-as és 374-es pontok magasságát! IV. rendű vonalszintezés mérési adatai. 5.7. táblázat IV. RENDŰ VONALSZINTEZÉS Kezdőpont: 281 magassága: 168,647 m B.f. Végpont: 290 magassága: 169,017 m B.f. Meghatározandó a 373 és a 374 pont magassága. A szintezési hiba megengedett értéke: 16 $ L mm, ahol L a szintezési vonal hossza km-ben. „oda” szintezés „vissza” szintezés Leolvasás Leolvasás Pont Távolság, méter Pont hátra előre hárta előre 281 68 1297 290 0903 1K 68 0338 1K 0449 1K 89 0872 1K 1129 2K 89 0355 2K 0467 2K 49 1304 2K 1129 373 49 0364 374 0333

373 3K 3K 374

79 79 43 43

0490

374 4K 4K 5K 5K 290

49 49 86 86 45 45

0584

0547 0610 0719

1046 0647 1195 0418 1296

374 3K 3K 373

0649

373 4K 4K 5K 5K 277

0547

0598 0533 0430

1123 0496 1330 0488 1500

MAGASSÁGMÉRÉS

90

5.2. Hossz- és keresztszelvény-szintezés Mintapélda: Földméréssel foglalkozó vállalkozás egy földút mentén keresztszelvény-szintezést hajtott végre. A mérési eredmények (5.8.a) táblázat a túloldalon) alapján számítsa ki a részletpontok Balti feletti magasságát, és rajzolja meg a keresztszelvényeket! Megoldás: Mivel földútról van szó, ezért a szintezést csak centiméter élességgel végeztük el. Ezt jelzi, hogy a táblázatban a középre leolvasást méter mértékegységben adtuk meg, nem a megszokott tizedesvessző nélküli módon (5.8.b) táblázat). A számítás első lépéseként állapítsuk meg a látsík magasságát, amely megegyezik az adott magasságú pont és a rá tett leolvasás összegével (155,609 + 2,661 = 158,270). Ezt az értéket írjuk be a táblázat megfelelő rovatába. Példánkban a terület közelében kötőpontot kellett létesíteni, így ennek a kötőpontnak a látsíkját is meg kell határozni az előbb ismertetett módon (155,609 + 2,661 – 0,621 + 3,218 = 160,867). A részletpontokra tett középre leolvasást és a látsík értékét felhasználva határozzuk meg a részletpontok magasságát úgy, hogy a látsík értékéből kivonjuk a középre leolvasás értékét (az 1. részletpont magassága például 160,867 – 0,86 = 160,01). Az így kapott magasságokat írjuk be a táblázat megfelelő oszlopába az egyes pontokhoz tartozó sorokba. Ha újabb műszerállást kell létesíteni, akkor a kötőpont magasságát valamint a látsíkot arra is meg kell határozni (példánkban a 2K látsíkja: 157,649 + + 3,218 – 1,275 + 1,323 = 160,915). A magasságot a vonalszintezésnél leírtak szerint számítsuk ki. A teljesen kitöltött táblát az 5.8.b) táblázat tartalmazza. A magasságok számítása után rajzoljuk meg a keresztszelvényeket torzított méretaránnyal, feltüntetve a földút tengelyét. A vízszintes tengelyen 1 m, a függőleges tengelyen pedig 10 cm az egység. A magasságokat ebben a koordináta-rendszerben kell elhelyezni. Az 5.1. ábrán a 0+200 m-es keresztszelvény látható, a többi keresztszelvény ennek mintájára szerkeszthető meg. 5.1. ábra. A 0+200-as keresztszelvény

160,00

159,50

20

15

10

5

0+200

5

10

15

20

2,154

1,21 0,57 1,07 0,86 0,93

3 0+300 4 5 6

3K 3K 346

0,83 1,25

1 2

1,323

1,15 1,47 0,58 1,12 0,81

3 0+250 4 5 6

2K 2K

0,53 1,06

1 2

1,035

0,636

1,275

0,621

előre

Látsík Pont magassága

magassága: 155,609 m B.f. magassága: 161,379 m B.f.

Leolvasás közben

0,86 0,60 0,63 0,58 0,54 0,90 1,03

3,218

hátra 2,661

1 2 3 0+200 4 5 6

338 1K 1K

Pont

Kezdőpont: 338 Végpont: 346

−20,00

1

−20,00

−10,00

2

−10,00

2

−10,00

−20,00

1

2

1

−5,00

3

−5,00

3

−5,00

3



0+300



0+250

0+200



Keresztszelvény-szintezés mérési adatai. 5.8.a) ábra

5,00−

4

5,00−

4

5,00−

4

10,00−

5

10,00−

5

10,00−

5

20,00−

6

20,00−

6

20,00−

6

HOSSZ- ÉS KERESZTSZELVÉNY-SZINTEZÉS 91

3K 3K 346

1 2 3 0+300 4 5 6

2K 2K


9,356 5,789

2,154

1,323

5,789 5,770 −0,019

0,83 1,25 1,21 0,57 1,07 0,86 0,93

0,53 1,06 1,15 1,47 0,58 1,12 0,81

1 2 3 0+250 4 5 6

1,035 3,567

0,636

1,275

0,621

előre

162,433

160,915

161,398

160,279

160,09 159,67 159,71 160,35 159,85 160,06 159,99

159,592

160,34 159,81 159,72 159,40 160,29 159,75 160,06

160,01 160,27 160,24 160,29 160,33 159,97 159,84

Látsík Pont magassága 158,270 155,609 157,649 160,867


Leolvasás közben

0,86 0,60 0,63 0,58 0,54 0,90 1,03

3,218

hátra 2,661

1 2 3 0+200 4 5 6

338 1K 1K

Pont


2 −10,00

−20,00

−10,00

−20,00

1

2

−10,00

−20,00

1

2

1

−5,00

3

−5,00

3

−5,00

3

0+300



0+250



0+200



5,00−

4

5,00−

4

5,00−

4

Keresztszelvény-szintezés mérési adatai és a számítások eredményei. 5.8.b) ábra

10,00−

5

10,00−

5

10,00−

5

20,00−

6

20,00−

6

20,00−

6

92 MAGASSÁGMÉRÉS

HOSSZ- ÉS KERESZTSZELVÉNY-SZINTEZÉS

93

6. feladat Földméréssel foglalkozó vállalkozás egy földút mentén keresztszelvény-szintezést hajtott végre. A mérési eredmények (5.9. táblázat) alapján számítsa ki a részletpontok Balti feletti magasságát, és rajzolja meg a keresztszelvényeket!

7. feladat Földméréssel foglalkozó vállalkozás egy földút mentén keresztszelvény-szintezést hajtott végre. A mérési eredmények (5.10. táblázat) alapján számítsa ki a részletpontok Balti feletti magasságát, és rajzolja meg a keresztszelvényeket!

3K 3K 195

1 2 3 0+300 4 5 6

2K 2K

1,669

1,017

0,60 0,63 1,26 0,68 0,81 1,19 1,33

1,39 1,01 1,31 1,40 0,67 1,44 0,86

1 2 3 0+250 4 5 6

3,164

2,000

2,836

2,122

előre



Leolvasás közben

0,71 1,16 0,52 1,14 0,84 0,84 0,87

2,749

hátra 1,937

1 2 3 0+200 4 5 6

190 1K 1K

Pont


2 −10,00

−20,00

−10,00

−20,00

1

2

−10,00

−20,00

1

2

1

−5,00

3

−5,00

3

−5,00

3

Keresztszelvény-szintezés mérési adatai. 5.9. ábra

0+300



0+250



0+200



5,00−

4

5,00−

4

5,00−

4

10,00−

5

10,00−

5

10,00−

5

20,00−

6

20,00−

6

20,00−

6

94 MAGASSÁGMÉRÉS

3K 3K 252

1 2 3 0+300 4 5 6

2K 2K

3,091

2,209

0,83 1,04 0,51 0,54 1,42 0,79 1,43

1,12 0,80 1,41 0,77 0,94 1,37 1,30

1 2 3 0+250 4 5 6

2,553

0,799

1,673

2,340

előre



Leolvasás közben

0,55 1,45 1,05 0,64 0,51 1,19 0,86

2,927

hátra 3,474

1 2 3 0+200 4 5 6

243 1K 1K

Pont


2 −10,00

−20,00

−10,00

−20,00

1

2

−10,00

−20,00

1

2

1

−5,00

3

−5,00

3

−5,00

3

0+300



0+250



0+200



Keresztszelvény-szintezés mérési adatai. 5.10. ábra

5,00−

4

5,00−

4

5,00−

4

10,00−

5

10,00−

5

10,00−

5

20,00−

6

20,00−

6

20,00−

6


MAGASSÁGMÉRÉS

96 Mintapélda:

Földméréssel foglalkozó vállalkozás egy földút mentén hossz- és keresztszelvényszintezést hajtott végre. A mérési eredmények (5.11.a) táblázat) alapján számítsa ki a részletpontok Balti feletti magasságát, és rajzolja meg a hossz- és keresztszelvényeket! A keresztszelvényeknél a tereppontokat a tengelytől – arra merőlegesen – 5 méterenként és a terepalakulat figyelembevételével vettük fel. A keresztszelvényeket (hossz-szelvény pontjait) a tengely mentén 10 m-enként tűztük ki. • 1. keresztszelvény: 51–60 részletpontok, • 2. keresztszelvény: 131–136 részletpontok, • 3. keresztszelvény: 211–219 részletpontok. A további pontok a hossz-szelvény részletpontjai. Megoldás: Mivel földútról van szó, ezért a szintezést csak centiméter élességgel végeztük el. Ezt jelzi, hogy a táblázatban a középre leolvasást méter mértékegységben adtuk meg, nem a megszokott tizedesvessző nélküli módon. A hiba szétosztásánál a kötőpontok közötti méréseket kell szakaszként értelmezni, így a kötőpontok magasságának számításánál kell a javítást elvégezni a vonalszintezésnél leírtak alapján. A teljesen kitöltött tábla az 5.11.b) táblázatban látható. A hossz-szelvényt szintén torzított méretaránnyal kell megrajzolni, a távolságokat és a magasságokat koordináta-párként értelmezve. A megszerkesztett keresztszelvények az 5.2., a hossz-szelvény az 5.3. ábrán látható. 131,50

130,50

131,00

130,00

130,50

129,50

130,00

20 15 10

5

0+060

5

10 15 20 25

129,00

20 15 10

5

0+150

132,00 131,50 131,00 130,50

20 15 10

5

0+240

5

10 15 20 25

5.2. ábra. A megszerkesztett keresztszelvények

5

10 15 20 25

56,000

286 1 2 3 4 5 1. keresztsz. 51 52 53 54 úttengely 56 57 58 59 60 6 7 8 9 10 1K 1K 11 12 13 2. keresztsz. 131 132

56,000 1,700

Távolság

Pontszám

1,383

hátra 2,251

1,21 1,30

1,04 0,91 0,85

1,39 0,83 0,64 0,83 1,17 1,14 0,78 1,47 1,05 1,00 1,10 1,17 1,27 1,40 0,98

0,74 0,88 1,24 1,03 1,16

Leolvasások középre

2,082

előre

Magasságkülönbség Javítás

Javított magasságkülönbség

Hossz- és keresztszelvény-szintezés mérési adatai. 5.11.a) táblázat Látsík 129,733

Magasság


133 134 úttengely 136 14 15 16 17 2K 2K 18 19 20 21 3. keresztsz. 211 212 213 214 úttengely 216 217 218 219 22 23 24 25 389

Pontszám

8,000

1,700 8,000

Távolság

2,461

hátra

1,33 1,24 1,40 1,17 1,27 0,58 1,19 0,94 1,11 0,92 0,85 0,61 1,25

1,32 1,08 0,67 0,93

Leolvasások középre 1,40 0,65 0,88 1,35 1,39 0,96 1,12 0,87

1,108

1,391

előre



Hossz- és keresztszelvény-szintezés mérési adatai. 5.11.a) táblázat ( folytatás) Látsík

131,25

Magasság

98 MAGASSÁGMÉRÉS

286 1 2 3 4 5 1. keresztsz. 51 52 53 54 úttengely 56 57 58 59 60 6 7 8 9 10 1K 1K 11 12 13 2. keresztsz. 131 132

Pontszám

hátra 2,251

1,383

Távolság (m) 56

56 1,7

1,21 1,30

1,04 0,91 0,85

1,39 0,83 0,64 0,83 1,17 1,14 0,78 1,47 1,05 1,00 1,10 1,17 1,27 1,40 0,98

0,74 0,88 1,24 1,03 1,16


2,082

előre

0169

Magasságkülönbség

0004

Javítás

0173


131,289

131,984

Látsík

Hossz- és keresztszelvény-szintezés mérési adatai és a számítások eredményei. 5.11.b) táblázat

130,08 129,99

130,59 131,15 131,34 131,15 130,81 130,84 131,20 130,51 130,93 130,98 130,88 130,81 130,71 130,58 131,00 129,906 129,906 130,25 130,38 130,44

129,733 131,24 131,10 130,74 130,95 130,82

Magasság


133 134 úttengely 136 14 15 16 17 2K 2K 18 19 20 21 3. keresztsz. 211 212 213 214 úttengely 216 217 218 219 22 23 24 25 389

Pontszám

8 131,40

1,7 8

Távolság (m)

6,095 Mért: Valódi: Hiba:

2,461

hátra

+1,514 +1,519 +5 mm

1,33 1,24 1,40 1,17 1,27 0,58 1,19 0,94 1,11 0,92 0,85 0,61 1,25

1,32 1,08 0,67 0,93


1,108 4,581

1,391

előre

1,353 1,514

−0,008


0,001

0,000

Javítás

1,354 1,519

−0,008


132,359

Látsík

131,03 131,12 130,96 131,19 131,09 131,78 131,17 131,42 131,25 131,44 131,51 131,75 131,11 131,252

129,89 130,64 130,41 129,94 129,90 130,33 130,17 130,42 129,898 129,898 131,04 131,28 131,69 131,43

Magasság

Hossz- és keresztszelvény-szintezés mérési adatai és a számítások eredményei. 5.11.b) táblázat ( folytatás)

100 MAGASSÁGMÉRÉS

HOSSZ- ÉS KERESZTSZELVÉNY-SZINTEZÉS

101

131,50 131,00 130,50 130,00 129,50

10

20

30

40

50

100

150 131,50 131,00 130,50 130,00

150

200

250

129,50 270

5.3. ábra. A megszerkesztett hossz-szelvény 8. feladat Földméréssel foglalkozó vállalkozás egy földút mentén hossz- és keresztszelvényszintezést hajtott végre. A mérési eredmények (5.12. táblázat) alapján számítsa ki a részletpontok Balti feletti magasságát, és rajzolja meg a hossz-szelvényt és a keresztszelvényeket! A keresztszelvényeknél a tereppontokat a tengelytől – arra merőlegesen – 5 méterenként és a terepalakulat figyelembevételével vettük fel. A keresztszelvényeket (hossz-szelvény pontjait) a tengely mentén 10 m-enként tűztük ki • 1. keresztszelvény: 51–60 részletpontok, • 2. keresztszelvény: 131–136 részletpontok, • 3. keresztszelvény: 211–219 részletpontok. A további pontok a hossz-szelvény részletpontjai. 9. feladat Földméréssel foglalkozó vállalkozás egy földút mentén hossz- és keresztszelvényszintezést hajtott végre. A mérési eredmények (5.13. táblázat) alapján számítsa ki a részletpontok Balti feletti magasságát, és rajzolja meg a hossz-szelvényt és a keresztszelvényeket! A keresztszelvényeknél a tereppontokat a tengelytől – arra merőlegesen – 5 méterenként és a terepalakulat figyelembevételével vettük fel. A keresztszelvényeket (hossz-szelvény pontjait) a tengely mentén 10 m-enként tűztük ki • 1. keresztszelvény: 51–60 részletpontok • 2. keresztszelvény: 131–136 részletpontok • 3. keresztszelvény: 211–219 részletpontok A további pontok a hossz-szelvény részletpontjai.

25,3

344 1 2 3 4 5 1. keresztsz. 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 6 7 8 9 10 1K 1K 11 12 13 2. keresztsz. 131 132

25,3 23

Távolság

Pontszám

1,442

hátra 1,086

1,41 0,97

0,71 0,68 1,41

0,55 1,20 1,05 0,91 1,08 1,19 1,12 0,51 0,56 1,21 0,88 0,71 1,01 0,85 1,44

0,50 0,59 0,58 0,93 1,46


2,489

előre



Hossz- és keresztszelvény-szintezés mérési adatai. 5.12. táblázat Látsík 154,599

Magasság


133 134 135 136 14 15 16 17 2K 2K 18 19 20 21 3. keresztsz. 211 212 213 214 úttengely 216 217 218 219 22 23 24 25 118

Pontszám

49,7

23 49,7

Távolság

1,557

hátra

0,60 1,08 1,41 1,45 1,02 0,86 1,26 1,14 1,05 1,39 0,92 0,79 1,41

1,12 1,14 1,38 1,47


0,968

1,002

előre



Hossz- és keresztszelvény-szintezés mérési adatai. 5.12. táblázat ( folytatás) Látsík

154,230

Magasság


45,9


45,9 18,9

Távolság

Pontszám

1,843

hátra 1,697

0,77 1,37

1,35 0,65 0,79

0,65 1,12 1,36 1,37 0,64 0,27 1,49 1,21 0,98 0,58 1,43 1,41 0,88 1,22 0,96

0,56 0,55 0,85 0,73 0,68


2,241

előre



Hossz- és keresztszelvény-szintezés mérési adatai. 5.13. táblázat Látsík 119,271

Magasság



Pontszám

17,8

18,9 17,8

Távolság

2,243

hátra

0,95 1,43 0,59 0,82 1,27 1,39 0,51 0,73 0,69 0,50 1,42 0,64 1,38

0,79 1,20 1,46 0,51


1,810

2,264

előre



Hossz- és keresztszelvény-szintezés mérési adatai. 5.13. táblázat ( folytatás) Látsík

118,744

Magasság


106

MAGASSÁGMÉRÉS

5.3. Területszintezés Mintapélda: Földméréssel foglalkozó vállalkozás területszintezéssel mért fel egy adott földrészletet. A mérési eredmények (5.14.a) táblázat) alapján határozza meg a részletpontok Balti feletti magasságát, ha a részletpontokat szabályos négyzet alapú rácsháló mentén vették fel és azokat rendre 5 × 5 m-es hálóban mérték fel egymás után!

Megoldás: A mintapélda esetében a kiinduló adatunk két – a terület közelében lévő – adott magasságú pont. A mérés előkészítéseként mérőszalagok és kitűzőrudak segítésével kijelöltük a rácshálót, és ezzel a mérendő részletpontokat is. A méréskor először az első műszerállásban az adott magasságú pontra mérünk, amely hátra leolvasás lesz, ennek ismeretében számítjuk ki az első műszerálláshoz tartozó látsíkot. A látsíkot az előzőekben ismertetett módon határozzuk meg. Ezt követően méréseket végzünk a részletpontokra, majd a látsík és a középre leolvasás értékeiből számítjuk a magasságukat. Előfordulhat, hogy a terület nagyobb kiterjedésű, és a műszerrel át kell állni egy másik álláspontra. Ekkor kötőpontot kell létesíteni, el kell végezni az előre mérést, majd a műszerrel való átállás után elvégezzük a hátra mérést is. Területszintezés esetében vonalszintezéstől eltérően ki kell számítani a kötőpont magasságát, majd ennek ismeretében a második műszerállás látsíkját is. A további részletpontok magasságát ennek a látsíkértéknek a segítségével határozzuk meg. Ha további műszerállások létesítésére van szükség, akkor minden új műszerállás esetében az előzőek szerint kell eljárni. Mivel két adott magasságú pont is van a terület közelében, lehetőség van az előzőekben már ismertetett hibaszámításra, és a hiba elosztására a műszerállások között. Távolságok hiányában a hibát egyenletesen osztjuk el. A hiba elosztása el is hagyható, ha a feladat jellege erre lehetőséget ad. A számítás eredményéül kapott értékekkel kiegészített jegyzőkönyvet az 5.14.b) táblázat tartalmazza.

261 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1K 1K 11 12 13 14 15 16 17 2K 2K 18 19 20 21 22 23 24 25 343

Pontszám

1,242

2,371

hátra 1,549

0,62 0,64 0,59 0,61 0,64 0,53 0,66 0,69

0,64 0,61 0,64 0,55 0,50 0,54 0,61

0,57 0,63 0,66 0,51 0,68 0,64 0,65 0,63 0,54 0,58


1,333

1,078

1,508

előre



Területszintezés mérési adatai. 5.14.a) táblázat Látsík

131,391

130,143

Magasság

TERÜLETSZINTEZÉS 107

261 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1K 1K 11 12 13 14 15 16 17 2K 2K 18 19 20 21 22 23 24 25 343

Pontszám


1,242

2,371

hátra 1,549

+1,243 +1,248 +0,005 m

0,62 0,64 0,59 0,61 0,64 0,53 0,66 0,69

0,64 0,61 0,64 0,55 0,50 0,54 0,61

0,57 0,63 0,66 0,51 0,68 0,64 0,65 0,63 0,54 0,58


1,333 3,919

1,078

1,508

előre

−0,091 +1,243

+1,293

+0,041


+0,001

+0,002

+0,002

Javítás

−0,090 +1,248

1,295

0,043


132,723

132,557

131,692

Látsík

Területszintezés mérési adatai és a számítások eredményei. 5.14.b) táblázat

130,143 131,12 131,06 131,03 131,18 131,01 131,05 131,04 131,06 131,15 131,11 130,186 130,186 131,92 131,95 131,92 132,01 132,06 132,02 131,95 131,481 131,481 132,10 132,08 132,13 132,11 132,08 132,19 132,06 132,03 131,391

Magasság


TERÜLETSZINTEZÉS

109

10. feladat Földméréssel foglalkozó vállalkozás területszintezéssel mért fel egy adott földrészletet. A mérési eredmények (5.15. táblázat) alapján határozza meg a részletpontok Balti feletti magasságát, ha szabályos négyzet alapú rácsháló mentén vették fel a részletpontokat és azokat rendre 5 × 5 m-es hálóban mérték fel egymás után! Területszintezés mérési adatai. 5.15. táblázat Pontszám 116 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1K 1K 11 12 13 14 15 16 17 2K 2K 18 19 20 21 22 23 24 25 343

Távolság

Leolvasások hátra

középre

előre

2,075


Javítás


Látsík

Magasság 168,630

0,56 0,59 0,55 0,58 0,59 0,57 0,63 0,54 0,66 0,55 2,417 0,628 0,53 0,58 0,62 0,67 0,52 0,63 0,60 2,107 1,176 0,60 0,50 0,63 0,50 0,57 0,56 0,67 0,56 1,303

166,680

MAGASSÁGMÉRÉS

110 Mintapélda:

Ön egy földméréssel foglalkozó vállalkozás munkatársa. Az 5.4.a) ábrán látható földrészletet területszintezéssel mérték fel. A támpontokat 10 × 10 m-es négyzetrácson határozták meg. Készítsen a felmérés alapján a területről szintvonalas térképet! Részfeladatok: • A rácsháló felszerkesztése adott méretarányban, magasságok ráírása. • A szintvonalak és a rácsháló metszéspontjainak meghatározása. • Szintvonalak megrajzolása. A feladatban a jobb értelmezhetőség miatt eltekintünk a területszintezés alkalmazhatóságától, és nagyobb magasságkülönbségeket alkalmaztunk. Az 5.4.a) ábrán a részletpontok mellett már azok Balti feletti magasságát tüntettük fel. 110,72

110,26

109,19

110,37

110,83

110,36

110,37

110,83

110,36

5.4.a) ábra. Területszintezéssel felmért földrészlet Megoldás: Hasonló háromszögek módszerével először határozzuk meg, hogy a szintvonalak a támpontoktól milyen távolságban metszik a rácshálót. A számítás eredményét szerkesszük vissza a rácshálóra, majd az azonos magasságú pontokat kössük össze görbe vonallal. Ezek lesznek a szintvonalak. Az 5.4.a) ábra jobb felső pontjához kapcsolódó egyik számítás, illetve a kész szintvonalas térkép az 5.4.b) ábrán látható. A szintvonalak helyét pontosíthatjuk, ha az egymástól távolabb eső részletpontok

TERÜLETSZINTEZÉS

111

között is elvégezzük a számítást. Ezzel a szintvonalak további pontjait kapjuk meg. A pontsűrítés ezen módja feltételezi, hogy a választott két pont között a terepnek nincs lokális kiemelkedése vagy besüllyedése (azaz a választott két pont egyazon lejtőre esik), és feltételezzük, hogy a terep a két pont között azonos mértékben lejt vagy emelkedik. x2 110,72

110,26

110,37

110,83

x1

109,19

9,5

10

11 0 11 0 109,65

110,36

110,5 0 11 110,04

9,5

10

109,26

110,26

109,19

1,07

0,31

109,50

0,81

110,00 x1 =

0,31 $ 10 = 2,90 1,07

x2 =

0,81 $ 10 = 7,57 1,07

10,00 x1

x2

5.4.b) ábra. A kész szintvonalas térkép, és a szerkesztés menete

MAGASSÁGMÉRÉS

112 11. feladat

Ön egy földméréssel foglalkozó vállalkozás munkatársa. Egy földrészletet területszintezéssel mértek fel. A támpontokat 5 × 5 m-es négyzetrácson határozták meg. Készítsen a felmérés eredményei (5.16. táblázat) alapján a területről szintvonalas térképet! A szintvonalas térképen az alapszintköz 0,5 m legyen! Területszintezés mérési eredményei (lécleolvasások). 5.16. táblázat Kezdőpont: 139


Lécleolvasás a kezdőpontra: 1689 0572

0542

0553

0684

0568

0688

0627

0688

0611

0658

0573

0673

0670

0667

0553

0669

0637

0538

0591

0526

0542

0687

0640

0698

0665

0608

0592

0514

0571

0585

TERÜLETSZINTEZÉS

113

12. feladat Ön egy földméréssel foglalkozó vállalkozás munkatársa. Egy földrészletet területszintezéssel mértek fel. A támpontokat 5 × 5 m-es négyzetrácson határozták meg. Készítsen a felmérés eredményei (5.17. táblázat) alapján a területről szintvonalas térképet, melyen az alapszintköz 0,2 m! Területszintezés mérési eredményei (lécleolvasások). 5.17. táblázat Kezdőpont: 239

magassága

179,045 m B.f.

Lécleolvasás a kezdőpontra: 1381 0739

0786

0525

0579

0805

0885

0502

0780

0555

0668

0880

0584

0628

0861

0792

0807

0559

0687

0760

0792

0886

0718

0879

0760

0525

0691

0609

0549

0818

0860

MAGASSÁGMÉRÉS

114 Mintapélda:

Ön egy földméréssel foglalkozó vállalkozás munkatársa. Egy területet strukturált támpontelhelyezéssel mértek fel. A mérési eredményeket, valamint a vízgyűjtő és vízválasztó vonalakat a részletpontok Balti feletti magasságával együtt az 5.5.a) ábrán látható vázlat tartalmazza. Készítse el a szintvonalas térképet! 113,86

114,26

114,37 114,60 114,07 113,76

114,65 114,65 115,26

114,27

114,76

114,49

113,87 114,16 112,95

113,87

113,76 113,19

5.5.a) ábra. Strukturált támpontelhelyezéssel készült felmérés eredménye

Megoldás: A szintvonalak rajzolásánál feltételezzük, hogy két mért pont között a lejés egyenletes mértékű, így használhajtuk a lineáris interpolálást, amit az előző mintapéldában ismertettünk. A szintvonalakat aszerint kell megrajzoni, hogy az a terep vízgyűjtő vagy vízválasztó vonalán halad-e keresztül. Ezt mutatja be az 5.5.b) ábra is. Az elkészült szintvonalas térkép az 5.5.c) ábrán látható. 115,26 115,26

114,16

114,27

5.5.b) ábra. Vízgyűjtő (balra) és vízválasztó (jobbra) vonal

TERÜLETSZINTEZÉS

113,86

115

114,26

114,37 114,65

114,65 114,60 114,07

114,27

0 4,5 11

114,76

113,76 114,49

114,00 113,87

115,26

113,87

114,16 112,95 113,76

,50 113

113,19

5.5.c) ábra. Az elkészült szintvonalas térkép 13. feladat Ön egy földméréssel foglalkozó vállalkozás munkatársa. Egy területet strukturált támpontelhelyezéssel mértek fel. A mérési eredményeket, valamint a vízgyűjtő és vízválasztó vonalakat a részletpontok Balti feletti magasságával együtt az 5.6. ábrán látható vázlat tartalmazza. Készítse el a szintvonalas térképet! 14. feladat Ön egy földméréssel foglalkozó vállalkozás munkatársa. Egy területet strukturált támpontelhelyezéssel mértek fel. A mérési eredményeket, valamint a vízgyűjtő és vízválasztó vonalakat a részletpontok Balti feletti magasságával együtt az 5.7. ábrán látható vázlat tartalmazza. Készítse el a szintvonalas térképet!

199,91

201,95 201,46

201,87

196,47

198,86

200,46

202,17

202,17

203,85

196,96

198,46

200,15

201,95

202,55

199,49

203,19

204,56

5.6. ábra. Strukturált támpontelhelyezéssel készült felmérés eredménye

196,48

203,26

203,69

204,76

204,76

197,18


TERÜLETSZINTEZÉS

117

197,15 198,76 196,59

197,46

199,45 201,19

195,17

200,15

202,05

196,43 203,75

196,87

201,29

192,46

199,18

197 ,16

195,95

198,26

194,00

196,95

197,45 193,89

196,20 192,46

192,15

195,76 196,15

194,51

194,15 199,71 200,75

192,55 199,16

197,49

201,19 200,19

200,87 199,46

198,73 199,19 198,19

5.7. ábra. Strukturált támpontelhelyezéssel készült felmérés eredménye

MAGASSÁGMÉRÉS

118

5.4. Trigonometriai magasságmérés 5.4.1. Pontok magasságának mérése Mintapélda:

H

Határozza meg a 203-as számú pont Balti feletti magasságát az 5.8. ábrán látható mérési vázlat mérési eredményei alapján! h = 1,59 m, H = 1,62 m, t = 53,19 m.

α h

203 α = 11-12-13, M102 = 215,46 m B.f.

102

t

5.8. ábra. Magasságmérés vázlata Megoldás: M203 = M102 + h + t ∙ tg α – H. M203 = 215,46 + 1,59 + 53,19 ∙ tg (11-12-13) − 1,62 = 225,97 m B.f. 15. feladat

H

Számítsa ki a K pont Balti feletti magasságát, ha a mért magassági szög 17-06-19, a vízszintes távolság 69,71 m, a műszermagasság 1,59 m, a jelmagasság pedig 1,51 m. Az A pont Balti feletti magassága 100,00 m B.f. A mérési vázat az 5.9. ábrán látható.

α h

K

A

tv

5.9. ábra. Magasságmérés vázlata

TRIGONOMETRIAI MAGASSÁGMÉRÉS

119

16. feladat Számítsa ki a P pont Balti feletti magasságát, ha a mért zenitszög 92-13-46, a vízszintes távolság 139,47 m, a műszermagasság 1,57 m, a jelmagasság pedig 1,71 m. Az A pont Balti feletti magassága 211,19 m B.f. A mérési vázat az 5.10. ábrán látható. z

A

P

tv

5.10. ábra. Magasságmérés vázlata Mintapélda: Határozza meg a H pont relatív magasságát az alábbi trigonometriai magasságmérési hálózat mérési eredményei (5.18. táblázat) alapján. MC = 100,00 m rel. Trigonometriai magasságmérési hálózat mérési eredményei. 5.18. táblázat Álláspont C

Irányzott pont D T

h 1,56 1,56

H 3,00 1,59

Magassági szög 27-12-46 19-11-52

D

H

1,59

1,50

15-43-39

T

H

1,60

1,50

21-24-00

Távolságok (5.11. ábra): C–D: 156,76 m, C–T: 203,84 m, D–H: 190,03 m, T–H: 157,44 m.

MAGASSÁGMÉRÉS

120

D

C

H

T

5.11. ábra. A magasságmérési hálózat

Megoldás: C pontról:

MD = 156,76 ∙ tg (27-12-46) + 1,56 − 3,00 + 100,00 = 179,17 m rel. MT = 203,84 ∙ tg (19-11-52) + 1,56 − 1,59 + 100,00 = 170,95 m rel.

D pontról:

MH = 190,03 ∙ tg (15-43-39) + 1,59 − 1,50 + 179,17 = 232,77 m rel.

Ellenőrzés: T pontról:

MH = 157,44 ∙ tg (21-24-00) + 1,60 – 1,50 − 170,95 = 232,75 m rel.

A H pont magassága: 232,76 m rel.

17. feladat Határozza meg az ismeretlen pontok (1, 2 és 3 számú pontok) magasságát, az 5.12. ábrán látható trigonometriai magasságmérési hálózat mérési eredményei (5.19. táblázat) alapján. (Megjegyzés: a szögek áldecimális alakban adottak, vagyis pl. ha az alfa szög 33,1815, az 33° 18ʹ 15ʺ értékként értendő.)

TRIGONOMETRIAI MAGASSÁGMÉRÉS A

121 1

α

2

3 β B

5.12. ábra. Trigonometriai magasságmérési hálózat

C

Trigonometriai magasságmérési hálózat mérési eredményei. 5.19. táblázat Adott pontok magassága

Vízszintes szögek

A 143,64

α 33,1815

B 130,95

β 26,1728

C 126,31 Magasságmérési jegyzőkönyv Álláspont A B C 1 3

Irányzott pont 1 2 2 3 1 3 2 C 2 A

Zenitszög ° ʹ ʺ 93,3056 85,3841 86,5609 87,5614 87,5916 87,1506 76,4437 92,4607 88,0044 90,1134

Távolság 105,48 102,02 380,70 392,85 307,69 392,06 392,06 336,00

Műszermagasság 1,65 1,65 1,55 1,55 1,54 1,54 1,61 1,62 1,62 1,62

Jelmagasság 1,50 1,60 1,40 1,50 1,35 1,55 1,50 1,50 1,45 2,00

MAGASSÁGMÉRÉS

122 18. feladat

Határozza meg az ismeretlen pontok (1, 2 és 3 számú pontok) magasságát, az 5.13. ábrán látható trigonometriai magasságmérési hálózat mérési eredményei (5.20. táblázat) alapján. (Megjegyzés: a szögek áldecimális alakban adottak, vagyis pl. az a szög 107-52-17 értékként értendő.) 1

3 δ

A

α B

C

β

ε

γ

2

5.13. ábra. Trigonometriai magasságmérési hálózat Trigonometriai magasságmérési hálózat mérési eredményei. 5.20. táblázat Adott pontok magassága A 142,88 B 160,63 C 142,44 Álláspont A B

C 1 2

Irányzott pont 1 B 1 C 2 1 3 2 3 3

Vízszintes szögek α 107,5217 δ 124,3324 β 45,5129 ε 102,2617 γ 38,3359 Zenitszög ° ʹ ʺ 90,2414 93,5830 88,1209 90,3042 90,4609 83,0135 90,1411 94,0427

Távolság 180,005 292,135 334,995 241,235 320,985

Műszermagasság 1,60 1,60 1,45 1,45 1,45 1,53 1,53 1,53 1,61 1,59

Jelmagasság 1,60 1,50 1,60 1,50 1,70 1,60 2,00 1,70 2,00 2,00


123

5.4.2. Épületmagasság-mérés 19. feladat Határozza meg az épület homlokzatmagasságát, ha az épülettől 57,19 m-re felállított műszerrel mért zenitszög 82-13-45, és a szintezőlécen történt leolvasás: 1,79 m (5.14. ábra)!

x

z

l

5.14. ábra. Épület homlokzatmagasság-mérésének mérési elrendezése

20. feladat Határozza meg az épület homlokzatmagasságát, ha az épülettől 102,26 m-re felállított műszerrel mért magassági szögek: α1 = 9-12-33, α2 = −23-29-40 (5.15. ábra)! α1 α2

l


MAGASSÁGMÉRÉS

124 21. feladat

Határozza meg az épület homlokzatmagasságát, ha az épülettől 34,29 m-re felállított műszerrel mért zenitszögek: z1 = 82-13-46, z2 = 85-44-52 (5.16. ábra)!

z1

z2

l


22. feladat Határozza meg az épület magasságát, ha a műszerrel az épülettől 33,49 m-re álltunk fel, a mért magassági szög 29-41-17, a lécleolvasás 1,56 m (5.17. ábra)!

x

α

l

5.17. ábra. Épület magasságmérésének mérési elrendezése


125

Mintapélda: Határozza meg az épület magasságát, ha a mérést alapvonalról végeztük el, és az alábbi mérési eredményeket kaptuk: a = 55,00 m, δ = 45-13-49, γ = 61-29-46, αA = 9-10-11, xA = 1,48 m, αB = 11-06-55, xB = 1,62 m. A mérési vázlat az 5.18. ábrán látható.

αB

αA

xB

xA A

B

b

c

δ A

γ a

B

5.18. ábra. Alapvonalról végzett épületmagasság-mérés vázlata Megoldás: Először a vízszintes mérési eredmények alapján szinusztétel segítségével határozzuk meg a két műszerállás épülettől való távolságát. Így b = 50,47 m, c = 40,77 m. Ezek alapján számítsuk ki az épületmagasság-mérés alapképletéből az A pontról az épület magasságát: M = 50,47 ∙ tg (9–10–11) + 1,48 = 9,63 m. Végezzük el az ellenőrzést a B pontról: M = 40,77 ∙ tg (11–06–55) + 1,62 = 9,63 m.

MAGASSÁGMÉRÉS

126 23. feladat

Határozza meg az épület magasságát, ha a mérést alapvonalról végeztük el és az alábbi mérési eredményeket kaptuk: a = 76,00 m, δ = 39-11-25, γ = 42-09-13, αA = 12-43-59, xA = 1,75 m, αB = 13-45-50, xB = 1,51 m. A mérési vázlat az 5.18. ábrán látható. Mintapélda: Határozza meg az épület magasságát, ha a mérést alapvonalról végeztük el (az A, B és P pontok egy függőleges síkon helyezkednek el) és az alábbi mérési eredményeket kaptuk: a = 50,00 m, αA = 3-53-30, xA = 1,62 m, αB = 7-07-14, xB = 1,43 m. A mérési vázlat az 5.19. ábrán látható.

xA

αB

m

αA

P

xB A

B a

t

5.19. ábra. Alapvonalról történő épületmagasság-mérés vázlata Megoldás: Az épület magassága a két álláspontról mérve meg kell, hogy egyezzen, írjuk fel az erre vonatkozó egyenletet: m = (a + t) ∙ tg αA + xA = t ∙ tg αB + xB, behelyettesítve: (50,00 + t) ∙ tg (3-53-30) + 1,62 = t ∙ tg (7-07-14) + 1,43. Az egyenletet átrendezve megkapjuk a két műszerállás épülettől való távolságát. (Itt elkerülhetetlen, hogy a tangens szögfüggvények értékét leírjuk, ezt legalább 7 tizedes élességgel tegyük, különben az eredmény pontatlan lesz!)


127

A számítás eredményéül kapott távolságok: t = 63,10 m, a + t = 113,10 m. A kapott eredményeket visszahelyettesítve az egyenlet bal oldalába az épület magassága: 9,31 m. Ellenőrzésképpen számítsuk ki az épület magasságát az egyenlet jobb oldalából is: eredményül itt is 9,31 m-t kapunk. 24. feladat Határozza meg az épület magasságát, ha a mérést alapvonalról végeztük el és az alábbi mérési eredményeket kaptuk: a = 31,00 m, αA = 6-37-29, xA = 1,49 m, αB = 13-49-51, xB = 1,65 m. A mérési vázlat az 5.20. ábrán látható.

xA

αB

m

αA

P

xB A

B a

t

5.20. ábra. Alapvonalról történő épületmagasság-mérés vázlata

128

MAGASSÁGMÉRÉS

5.5. Megoldások 1. feladat A 451-es pont magassága: 137,475 m B.f. 2. feladat A 330-as pont magassága: 161,704 m B.f., a 331-es pont magassága: 158,734 m B.f. 3. feladat A 313-as pont magassága: 143,017 m B.f., a 314-es pont magassága: 144,154 m B.f. 4. feladat A 355-ös pont magassága: 108,611 m B.f., a 356-os pont magassága: 110,749 m B.f. 5. feladat A 373-as pont magassága: 171,070 m B.f., a 374-es pont magassága: 170,913 m B.f.

3K 3K 195

1 2 3 0+300 4 5 6

2K 2K


7,372

1,669

1,017

−2,750 −2,734 0,016

−2,75

0,60 0,63 1,26 0,68 0,81 1,19 1,33

1,39 1,01 1,31 1,40 0,67 1,44 0,86

1 2 3 0+250 4 5 6

3,164 10,122

2,000

2,836

2,122

előre

114,220

114,551

111,056

112,551

113,95 113,92 113,29 113,87 113,74 113,36 113,22

113,534

114,98 115,36 115,06 114,97 115,70 114,93 115,51

115,66 115,21 115,85 115,23 115,53 115,53 115,50



Leolvasás közben

0,71 1,16 0,52 1,14 0,84 0,84 0,87

2,749

hátra 1,937

1 2 3 0+200 4 5 6

190 1K 1K

Pont

6. feladat Kezdőpont: 190 Végpont: 195

2 −10,00

−20,00

−10,00

−20,00

1

2

−10,00

−20,00

1

2

1

−5,00

3

−5,00

3

−5,00

3

0+300



0+250



0+200



5,00−

4

5,00−

4

5,00−

4

10,00−

5

10,00−

5

10,00−

5

20,00−

6

20,00−

6

20,00−

6

MEGOLDÁSOK 129

MAGASSÁGMÉRÉS

130 A keresztszelvények:

116,50 116,00 115,50 115,00 20

15

10

5

0+200

5

10

15

20

25

20

15

10

5

0+250

5

10

15

20

25

20

15

10

5

0+300

5

10

15

20

25

115,50 115,00 114,50 114,00

114,50 114,00 113,50 113,00

3K 3K 252

1 2 3 0+300 4 5 6

2K 2K


11,701

3,091

2,209

4,336 4,326 −0,010

4,336

0,83 1,04 0,51 0,54 1,42 0,79 1,43

1,12 0,80 1,41 0,77 0,94 1,37 1,30

1 2 3 0+250 4 5 6

2,553 7,365

0,799

1,673

2,340

előre

117,622

115,330

115,069

114,531

114,50 114,29 114,82 114,79 113,91 114,54 113,90

113,121

113,67 113,99 113,38 114,02 113,85 113,42 113,49

114,24 113,34 113,74 114,15 114,28 113,60 113,93



Leolvasás közben

0,55 1,45 1,05 0,64 0,51 1,19 0,86

2,927

hátra 3,474

1 2 3 0+200 4 5 6

243 1K 1K

Pont


7. feladat

2 −10,00

−20,00

−10,00

−20,00

1

2

−10,00

−20,00

1

2

1

−5,00

3

−5,00

3

−5,00

3

0+200



0+200



0+200



5,00−

4

5,00−

4

5,00−

4

10,00−

5

10,00−

5

10,00−

5

20,00−

6

20,00−

6

20,00−

6

MEGOLDÁSOK 131

MAGASSÁGMÉRÉS

132 A keresztszelvények:

114,50 114,00 113,50 113,00 20

15

10

5

0+200

5

10

15

20

25

20

15

10

5

0+250

5

10

15

20

25

20

15

10

5

0+300

5

10

15

20

25

114,50 114,00 113,50 113,00

114,50 114,00 113,50 113,00

25,3


25,3 23

Távolság

Pontszám

8. feladat

1,442

hátra 1,086

1,41 0,97

0,71 0,68 1,41

0,55 1,20 1,05 0,91 1,08 1,19 1,12 0,51 0,56 1,21 0,88 0,71 1,01 0,85 1,44

0,50 0,59 0,58 0,93 1,46


2,489

előre

−1,403


0,001

Javítás

−1,402


154,639

155,685

Látsík

153,23 153,67

155,14 154,49 154,64 154,78 154,61 154,50 154,57 155,18 155,13 154,48 154,81 154,98 154,68 154,84 154,25 153,197 153,197 153,93 153,96 153,23

154,599 155,19 155,10 155,11 154,76 154,23

Magasság

MEGOLDÁSOK 133


Pontszám

49,7 98

23 49,7

Távolság

8. feladat ( folytatás)


1,557

hátra

−0,374 −0,369 +0,005

0,60 1,08 1,41 1,45 1,02 0,86 1,26 1,14 1,05 1,39 0,92 0,79 1,41

1,12 1,14 1,38 1,47


0,968 4,459

1,002

előre

0,589 −0,374

0,440


0,003

0,001

Javítás

0,592 −0,369

0,441


155,195

Látsík

154,60 154,12 153,79 153,75 154,18 154,34 153,94 154,06 154,15 153,81 154,28 154,41 153,79 154,230

153,57 154,13 153,36 153,78 153,79 154,01 153,63 153,81 153,638 153,638 154,08 154,06 153,82 153,73

Magasság


MEGOLDÁSOK

135

A keresztszelvények:

155,50 155,00 154,50 154,00

20

15

10

5

0+200

5

10

15

20

25

20

15

10

5

0+250

5

10

15

20

25

20

15

10

5

0+300

5

10

15

20

25

154,50 154,00 153,50 153,00

154,50 154,00 153,50 153,00

154,10

154,20

154,30

154,40

154,50

10

150

20

30

40

50

200

A hossz-szelvény:

100

250

154,10 270

154,20

154,30

154,40

154,50

150


45,9


45,9 18,9

Távolság

Pontszám

9. feladat

1,843

hátra 1,697

0,77 1,37

1,35 0,65 0,79

0,65 1,12 1,36 1,37 0,64 0,27 1,49 1,21 0,98 0,58 1,43 1,41 0,88 1,22 0,96

0,56 0,55 0,85 0,73 0,68


2,241

előre

−0,544


0,003

Javítás

−0,541


120,573

120,968

Látsík

119,80 119,20

120,32 119,85 119,61 119,60 120,33 119,70 119,48 119,76 119,99 120,39 119,54 119,56 120,09 119,75 120,01 118,730 118,730 119,22 119,92 119,78

119,271 120,41 120,42 120,12 120,24 120,29

Magasság

MEGOLDÁSOK 137


Pontszám

17,8 165,2

18,9 17,8

Távolság

9. feladat ( folytatás)

5,783 Mért: Valós: Hiba:

2,243

hátra

−0,532 −0,527 +0,005

0,95 1,43 0,59 0,82 1,27 1,39 0,51 0,73 0,69 0,50 1,42 0,64 1,38

0,79 1,20 1,46 0,51


1,810 6,315

2,264

előre

0,433 −0,532

−0,421


0,001

0,001

Javítás

0,434 −0,527

−0,420


120,553

Látsík

119,60 119,12 119,96 119,73 119,28 119,16 120,04 119,82 119,86 120,05 119,13 119,91 119,17 118,744

120,02 119,89 119,78 119,70 120,07 119,70 119,69 119,97 118,310 118,310 119,76 119,35 119,09 120,04

Magasság


MEGOLDÁSOK

139

A keresztszelvények:

120,50 120,00 119,50 119,00

20

15

10

5

0+200

5

10

15

20

25

20

15

10

5

0+250

5

10

15

20

25

20

15

10

5

0+300

5

10

15

20

25

120,50 120,00 119,50 119,00

120,50 120,00 119,50 119,00

119,00

119,50

120,00

120,50

121,00

10

150

20

30

40

50

200

A hossz-szelvény:

100

250

119,00 270

119,50

120,00

120,50

121,00

150


MEGOLDÁSOK

141

10. feladat Pontszám 116 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1K 1K 11 12 13 14 15 16 17 2K 2K 18 19 20 21 22 23 24 25 343

Leolvasások Távolság

hátra

középre

előre


Javítás


2,075

Látsík

Magasság

170,705

168,630 170,15 170,12 170,16 170,13 170,12 170,14 170,08 170,17 170,05 170,16 168,287 168,287 168,39 168,34 168,30 168,25 168,40 168,29 168,32 166,807 166,807 167,38 167,48 167,35 167,48 167,41 167,42 167,31 167,42 166,680

0,56 0,59 0,55 0,58 0,59 0,57 0,63 0,54 0,66 0,55 2,417

−0,342

−0,001

−0,341

0,628

168,915 0,53 0,58 0,62 0,67 0,52 0,63 0,60 2,107

−1,479

−0,001

−1,480

1,176

167,983 0,60 0,50 0,63 0,50 0,57 0,56 0,67 0,56


1,303 5,827 −1,948 −1,950 −0,002

−0,127 −1,948

0

−0,127 −1,950

MAGASSÁGMÉRÉS

142 11. feladat

0572 115,53 0542 115,56 0553 115,55 0684 115,42 0568 115,54

115,5 0688 115,42 0627 115,48 0688 115,42 0611 115,49 0658 115,45

115, 5

0573 115,53 0673 115,43 0670 115,43 0667 115,44 0553 115,55

115,5

0669 115,44 0637 115,47 0538 115,57 0591 115,51 0526 115,58

0542 115,56 0687 115,42 0640 115,46 0698 115,41 0665 115,44

115 ,5 0608 115,50 0592 115,51 0514 115,59 0571 115,53 0585 115,52

MEGOLDÁSOK

143

12. feladat Mivel terepről van szó, elegendő a magassági adatokat centiméter élességgel kiszámítani. 9,6 17

0739 179,69 0786 179,64 0525 179,90 0579 179,85 0805 179,62

0885 179,54 0502 179,92 0780 179,65 0555 179,84 0668 179,76

179,8

179,6

0880 179,55 0584 179,84 0628 179,80 0861 179,56 0792 179,63

,6 179 0807 179,62 0559 179,87 0687 179,74 0760 179,67 0792 179,63

0886 179,54 0718 179,71 0879 179,55 0760 179,67 0525 179,90

17 9,6

179,8

061 179,82

055 179,88

,8 179

069 179,73

081 179,61

086 179,57

144

MAGASSÁGMÉRÉS

13. feladat

Az ábra az AutoCAD program Civil kiegészítésének kimenete alapján készült. 14. feladat

Az ábra az AutoCAD program Civil kiegészítésének kimenete alapján készült.

MEGOLDÁSOK

145

15. feladat MK = 121,53 m B.f. 16. feladat MF = 205,62 m B.f. 17. feladat Álláspont

Irányzott pont

Zenitszög ° ʹ ʺ

A

1

93,3056

2 2

B C

Műszermagasság

Jelmagasság


Magasság

105,48

1,65

1,50

−6,33

137,31

85,3841

102,02

1,65

1,60

7,82

151,46

86,5609

380,70

1,55

1,40

20,53

151,48

3

87,5614

392,85

1,55

1,50

14,20

145,15

1

87,5916

307,69

1,54

1,35

11,00

137,31

Távolság

3

87,1506

392,06

1,54

1,55

18,81

145,12

1

2

76,4437

59,55

1,61

1,50

14,14

151,45

3

C

92,4607

392,06

1,62

1,50

−18,84

126,31

2

88,0044

176,32

1,62

1,45

6,29

151,44

A

90,1134

336,00

1,62

2,00

−1,51

143,64

Az 1. pont magassága: 137,31 m B.f. A 2. pont magassága: 151,46 m B.f. A 3. pont magassága: 145,14 m B.f.

MAGASSÁGMÉRÉS

146 18. feladat Álláspont A

Irányzott pont

Zenitszög ° ʹ ʺ

Távolság

Műszermagasság

Jelmagasság


Magasság

1

90,2414

387,324

1,60

1,60

−2,73

140,15

180,005

1,60

1,50

292,135

1,45

1,60

−20,45

140,18

334,995

1,45

1,50

B 1

B

C

93,5830

C 2

88,1209

241,235

1,45

1,70

7,32

167,95

1

90,3042

247,492

1,53

1,60

−2,28

140,16

3

90,4609

320,985

1,53

2,00

−4,78

137,66

2

83,0135

209,866

1,53

1,70

25,50

167,94

1

3

90,1411

504,386

1,61

2,00

−2,47

137,69

2

3

94,0427

419,634

1,59

2,00

−30,30

137,65

Az 1. pont magassága: 140,16 m B.f. A 2. pont magassága: 167,95 m B.f. A 3. pont magassága: 137,66 m B.f. 19. feladat A homlokzatmagasság: 9,59 m. 20. feladat Az épület magassága: 61,03 m. 21. feladat Az épület magassága: 2,13 m. 22. feladat Az épület magassága: 20,65 m.

MEGOLDÁSOK 23. feladat Az épület magassága: 13,41 m. (Részeredmények: b = 51,59 m, c = 48,58 m.) 24. feladat Az épület magassága: 8,16 m. (Részeredmény: t = 26,45 m.)

147

149

6. KÖRÍVEK KITŰZÉSE

6.1. Körívek középponti szögének meghatározása Körívek középponti szögének meghatározása közvetlen módon Mintapélda: Számítsa ki az α középponti szöget a két távcsőállásban meghatározott irányértékekből (6.1. ábra)! lSP3 = 37° 03ʹ 40ʺ; lSP1 = 143° 16’ 24”. S β

α

P2

P4

P1

P3 R

R α

6.1. ábra. Középponti szög meghatározása közvetlen módon Megoldás: α = 180° − β,

β = (143° 16ʹ 24ʺ) − (37° 03ʹ 40ʺ) = 106° 12ʹ 44ʺ.

α = 180° − (106° 12ʹ 44ʺ) = 73° 47ʹ 16ʺ.

KÖRÍVEK KITŰZÉSE

150 1. feladat

Számítsa ki az α középponti szöget a két távcsőállásban meghatározott irányértékekből (6.1. ábra)! lSP3 = 320° 16ʹ 36ʺ; lSP1 = 87° 03ʹ 24ʺ.

Középponti szög meghatározása közvetett módon Mintapélda: Számítsa ki az α középponti szöget, ha a sarokpont hozzáférhetetlen és két távcsőállásban, C és D segédpontokon mértünk szöget (6.2. ábra)! φ1 =135° 43ʹ 12ʺ; φ2 = 146° 15ʹ 52ʺ. S β

α D φ2

C φ1

B

A P2 P1

R

R α O

P4 P3

6.2. ábra. Középponti szög meghatározása, ha a sarokpont hozzáférhetetlen Megoldás: α = 360° − (φ1 + φ2) = 360° − [(135° 43ʹ 12ʺ) + (146° 15ʹ 52ʺ)] = 78° 00ʹ 56ʺ. 2. feladat Számítsa ki az α középponti szöget, ha a sarokpont hozzáférhetetlen és két távcsőállásban, C és D segédpontokon mértünk szöget (6.2. ábra)! φ1 =168° 37ʹ 42ʺ; φ2 = 158° 23ʹ 30ʺ.

KÖRÍVEK KÖZÉPPONTI SZÖGÉNEK MEGHATÁROZÁSA

151

Mintapélda: Számítsa ki az α középponti szöget, ha a sarokpont hozzáférhetetlen, és az 1 és 5 segédpontok között létesített sokszögvonal törésszögeit mértük két távcsőállásban (6.3. ábra)! φ1 = 162° 03ʹ 18ʺ; φ2 = 173° 39ʹ 26ʺ; φ3 = 168° 39ʹ 43ʺ; φ4 = 166° 17ʹ 38ʺ; φ5 = 157° 53ʹ 09ʺ. S

α β

1

2 φ1

φ2

3

φ3

4

φ4

5

φ5

A P1

B R

R α O

P2

6.3. ábra. Középponti szög meghatározása sokszögvonallal Megoldás:

∙ 180° − (φ1 + φ2 + … + φk). α = 5 ∙ 180° − [(162° 03ʹ 18ʺ) + (173° 39ʹ 26ʺ) + (168° 39ʹ 43ʺ) + (166° 17ʹ 38ʺ) + α=k

+ (157° 53ʹ 09ʺ)]. α = 900° − 828° 33ʹ 14ʺ = 71° 26ʹ 46ʺ. 3. feladat Számítsa ki az α középponti szöget, ha a sarokpont hozzáférhetetlen, és az 1 és 5 segédpontok között létesített sokszögvonal törésszögeit mértük két távcsőállásban (6.3. ábra)! φ1 = 143° 27ʹ 36ʺ; φ2 = 161° 13ʹ 42ʺ; φ3 = 168° 34ʹ 12ʺ; φ4 = 147° 46ʹ 24ʺ. 4. feladat Számítsa ki az α középponti szöget, ha a sarokpont hozzáférhetetlen, és az 1 és 5 segédpontok között létesített sokszögvonal törésszögeit mértük két távcsőállásban. Az α középponti szöget számítsa át új fokba is (6.3. ábra)! φ1 = 144° 18ʹ 24ʺ; φ2 = 162° 07ʹ 18ʺ; φ3 = 149° 43ʹ 54ʺ; φ4 = 150° 00ʹ 48ʺ.


152

Középponti szög meghatározása közelítő pontossággal A gyakorlatban előfordul olyan helyzet – pl. tanulmányterv készítésekor –, amikor a középponti szöget kisebb pontossággal is elég meghatározni. Ebben az esetben a középponti szög számításához szükséges adatokat kettős szögprizma és mérőszalag, vagy csak mérőszalag segítségével állapítjuk meg.

Mintapélda: Számolja ki a középponti szöget, ha a szükséges adatokat kettős szögprizmával és mérőszalaggal határoztuk meg (6.4. ábra)! a = 24,15 m; b = 49,35 m. C’ S

a α

b

1

C 2 R

R

α

6.4. ábra. Középponti szög meghatározása közelítő pontossággal Megoldás: α = arc tg

49,35 b = = 63° 55ʹ. arc tg a 24,15

5. feladat Számolja ki a középponti szöget, ha a szükséges adatokat kettős szögprizmával és mérőszalaggal határoztuk meg (6.4. ábra)! Az α középponti szöget számítsa át új fokba is! a = 15,48 m; b = 33,19 m.

KÖRÍVEK KÖZÉPPONTI SZÖGÉNEK MEGHATÁROZÁSA

153

Mintapélda: Számolja ki a középponti szöget, ha a szükséges adatokat mérőszalaggal határoztuk meg (6.5. ábra)! a = 46,25 m; b = 49,70 m. D a S

α/2

b 2 b

G 1 R

R

2

α O

6.5. ábra. Középponti szög meghatározása közelítő pontossággal Megoldás: b 49,70 a = 2 = arc sin b = arc sin = 32° 30ʹ. arc sin 2 a 2$a 2 $ 46,25

α = 65° 00ʹ.

6. feladat Számolja ki a középponti szöget, ha a szükséges adatokat mérőszalaggal határoztuk meg (6.5. ábra)! Az α középponti szöget számítsa át új fokba is! a = 45,00 m; b = 32,45 m.


154

6.2. Átmeneti ív nélküli körív főpontjainak kitűzése Mintapélda: Számítsa ki az átmenti ív nélküli körív főpontjainak kitűzési adatait, ha adott a körív sugara és a középponti szög! Határozza meg a főpontok szelvényeit is (6.6. ábra)! R = 200 m; α = 58° 14ʹ 06ʺ; IE = 2+315,50.

α

S b 2

E G

K

H

IK F

IE

B IV

A

α R

a 2

a

R

4 O

6.6. ábra. Átmeneti ív nélküli körív főpontjainak kitűzése Az ívek számításánál szükség van a Ludolf-féle számra, a π-re. Egyes szakterületeken számolhatunk a két tizedes értékkel (3,14), azonban itt ez nem elegendő. A számítást mindig 6-7 tizedes értékkel végezzük, mint a szögfüggvényekkel, s a végeredményt az igényeknek megfelelően kerekítjük. Megoldás: a = 111,40 m. 2 ! r ∙ α° = 203,28 m. AB = R ∙ arc α° = R ∙ 180c AS = T = R ∙ tg

ÁTMENETI ÍV NÉLKÜLI KÖRÍV FŐPONTJAINAK KITŰZÉSE

155

SK = R ∙ `sec

a- j 1 = 28,93 m. 2 a AE = R ∙ sin = 97,32 m. 2 a EK = R ∙ `1 - cos j = 25,28 m. 2 a AG = GK = KH = HB = R ∙ tg = 51,94 m. 4 a AF = R ∙ sin = 97,32 m. 2 a FK = R ∙ `1 - cos j = 25,28 m. 2 β = 180° − α = 121° 45ʹ 54ʺ. b = 60° 52ʹ 57ʺ. 2 Szelvényezés: IE = ! 203,28 AB IK = IE + = 2315,50 + = 2417,14 2 2 ! IV = IE + AB = 2315,50 + 203,28 = 2518,78

Út szelvény 2+315,50

Vasút szelvény 23+15,50

2+417,14

24+17,14

2+518,78

25+18,78

7. feladat Számítsa ki az átmenti ív nélküli körív főpontjainak kitűzési adatait, ha adott a körív sugara és a középponti szög! Határozza meg a főpontok szelvényeit is (6.6. ábra)! R = 200 m; α = 97° 57ʹ 24ʺ; IE = 5+020,50. 8. feladat Számítsa ki az átmenti ív nélküli körív főpontjainak kitűzési adatait, ha adott a körív sugara és a középponti szög. Határozza meg a főpontok szelvényeit is (6.6. ábra)! R = 400 m; α = 105g 63c 12cc; IE = 1+235,40. Kényszerítő helyzetben (pl. ha a zsebszámológép elromlott) a főpontok a kitűzési adatai a Dr. Nemesdy Ervin: Útívkitűző zsebkönyv 1. és 2. kötete, valamint a Dr. Kerkápoly – Dr. Megyeri: Vasúti ívkitűzési táblázatok segédlet (továbbiakban Körívkitűző kézikönyv) segítségével is meghatározhatók.


156 Mintapélda:

Számítsa ki az átmenti ív nélküli körív főpontjainak kitűzési adatait a Körívkitűző kézikönyv segítségével, ha adott a körív sugara és a középponti szög! Határozza meg a főpontok szelvényeit is (6.6. ábra)! R = 400 m; α = 25° 07ʹ 00ʺ; IE = 3+035,20.

Megoldás: A körívfőpontok kitűzési adatainak meghatározása a Körívkitűző kézikönyv segítségével igen egyszerű, mivel a kitűzési adatok meghatározásakor a középponti szög fokértékéhez (esetünkben 25°) rendelt táblázat (6.1. táblázat) megfelelő sorában szereplő adatokat csupán meg kell szorozni a körív sugarával. Abban az esetben, ha a táblázatból közvetlenül nem állapítható meg a szükséges érték pl. 25° 07ʹ 20ʺ, akkor azokat interpolálással kell meghatározni. Körívfőpontok adatai. 6.1. táblázat (részlet) Körívfőpontok adatai α = 25° Perc

AS tg

a 2

SK sec

a 1 2

AE sin

a 2

!

EK 1 - cos

AB

a 2

Perc

arc a

0

0,221 70

0,024 28

0,216 44

0,023 70

0,436 33

0

1

0,221 85

0,024 31

0,216 58

0,023 74

0,436 62

1

2

0,222 00

0,024 35

0,216 72

0,023 77

0,436 91

2

3

0,222 15

0,024 38

0,216 87

0,023 80

0,437 21

3

4

0,222 31

0,024 41

0,217 01

0,023 83

0,437 50

4

5

0,222 46

0,024 45

0,217 15

0,023 86

0,437 79

5

6

0,222 61

0,024 48

0,217 29

0,023 89

0,438 08

6

7

0,222 76

0,024 51

0,217 43

0,023 93

0,438 37

7

8

0,222 92

0,024 54

0,217 58

0,023 96

0,438 66

8

9

0,223 07

0,024 58

0,217 72

0,023 99

0,438 95

9

10

0,223 22

0,024 61

0,217 86

0,024 02

0,439 24

10

AS = 0,22276 ∙ 400 = 89,10 m. ! AB = 0,43837 ∙ 400 = 175,35 m. SK = 0,02451 ∙ 400 = 9,80 m.

ÁTMENETI ÍV NÉLKÜLI KÖRÍV RÉSZLETPONTJAINAK KITŰZÉSE

157

AE = 0,21743 ∙ 400 = 86,97 m. EK = 0,02393 ∙ 400 = 9,57 m. IE = 3+035,20; IK = 3+122,88; IV = 3+210,55.

6.3. Átmeneti ív nélküli körív részletpontjainak kitűzése Körívrészletpont kitűzése derékszögű koordinátákkal Mintapélda: Határozza meg az átmeneti ív nélküli körív kitűzéséhez szükséges körívrészletpontok adatait kerek ívhosszakkal! Számolja ki az ívet keresztező védőcső kitűzéséhez szükséges adatokat is! Készítsen kitűzési adatokat tartalmazó táblázatot és vázlatot! R = 160 m; α = 29° 25ʹ 10ʺ; IE = 1+211,25; védőcső = 1+234,00. Szabályzat rögzíti a körív sugarának függvényében körívben lévő részletpontok távolságát. A részletpontok közötti ívhossz (l) legfeljebb a sugár (R) 10%-a lehet. Ennek értelmében, ha: R > 200 m, akkor l = 20 m; 100 < R < 200 m, akkor l = 10 m; R < 100 m, akkor l = 5 m, így a feladatban a körívrészletpontok távolsága 10 m.

Megoldás: A körívfőpontok kitűzési adatai a 6.2. pont első mintapéldájában leírt összefüggések alapján: ! AS = 42,00 m; AB = 82,15 m; SK = 5,42 m; AE = 40,63 m; EK = 5,24 m; β = 180° − α = 150° 34ʹ 50ʺ; IV = 1+293,40.

b = 75° 17ʹ 25ʺ; IE = 1+211,25; IK = 1+252,33; 2

158


Az ívben fekvő tetszőleges részletpont kitűzési adatai számításához szükség van a főpontok és a kitűzendő részletpont szelvényére. Az íven mért Δl távolság – ami a kitűzési adatok meghatározásához szükséges – a szelvények különbségéből számolható ki. Amennyiben a kitűzendő pont az IE és IK közé esik, akkor a részletpont szelvényéből vonjuk ki az IE szelvényét. Abban az esetben, ha a kitűzendő pont az IK és az IV közé esik, akkor a Δl távolság az IV és a részletpont szelvényének különbségéből határozható meg. A védőcső kitűzési adatainak számítása: A védőcső és az IE közötti távolság a szelvények különbségéből számolható: Δl = 1234,00 − 1211,25 = 22,75 m. A Δl hosszúságú ívhez tartozó középponti szög számítása: γ° =

180c Dl 180 22,75 = = 8,1467° = 8° 08ʹ 48ʺ. $ $ r R r 160

A védőcső kitűzési adatainak számítása: x = R ∙ sin γ = 160 ∙ sin (8° 08ʹ 48ʺ) = 22,67 m. y = R ∙ (1 − cos γ) = 160 ∙ [1 − cos (8° 08ʹ 48ʺ)] = 1,62 m. Ebben az esetben, a körívrészletpontok kitűzését két ütemben végezzük el, előbb az IE és IK közötti szakaszon, majd ezt követően az IV és az IK főpontok között. A kitűzési adatok táblázatban is rögzíthetők a számítási eredmények (védőcső x, y koordinátái és az IK ponthoz tartozó AE és EK távolságok) és a 6.2. táblázatból kiírt adatok alapján: Körívrészletpontok kitűzési adatai IE és IK = K közötti szakaszon. Szelvény IE = 1+211,25 +221,25 +231,25 Védőcső +234,00 +241,25 IK = 1+252,33

x 0,00 9,99 19,95 22,67

y 0,00 0,31 1,25 1,62

29,82 40,63

2,80 5,24


159

Körívrészletpontok kitűzési adatai IV és IK = K közötti szakaszon. Szelvény IV = 1+293,40 +283,40 +273,40 +263,40 IK = 1+252,33

x 0,00 9,99 19,95 29,82 40,63

y 0,00 0,31 1,25 2,80 5,24

Körívrészletpontok adatai kerek ívhosszakkal. 6.2. táblázat Körívrészletpontok adatai kerek ívhosszakkal R = 160

R = 170

R = 180

Ívhossz, m

x

y

x

y

x

y

Ívhossz, m

5

5,00

0,08

5,00

0,07

5,00

0,07

5

10

9,99

0,31

9,99

0,29

9,99

0,28

10

15

14,98

0,70

14,98

0,66

14,98

0,62

15

20

19,95

1,25

19,95

1,18

19,96

1,11

20

25

24,90

1,95

24,91

1,84

24,92

1,73

25

30

29,82

2,80

29,84

2,64

29,86

2,49

30

35

34,72

3,81

34,75

3,59

34,78

3,39

35

40

39,58

4,97

39,63

4,68

39,67

4,43

40

45

44,41

6,29

44,48

5,92

44,53

5,60

45

50

49,19

7,75

49,28

7,30

49,36

6,90

50

55

53,92

9,36

54,05

8,82

54,15

8,34

55

60

58,60

11,12

58,76

10,48

58,90

9,91

60

65

63,23

13,02

63,43

12,28

63,60

11,61

65

70

67,79

15,07

68,04

14,21

68,25

13,44

70

75

72,28

17,26

72,59

16,28

72,85

15,40

75

80

76,71

19,59

77,08

18,48

77,39

17,49

80

85

81,06

22,05

81,50

20,81

81,88

19,70

85

86,30

22,04

90

90


160

2,80

29,82

5,24 3 +252,3 5,24 IV = 1

+241,25

19,95

Védőcső 1,62 +234,00

0,31

+231,25 1,25

+221,25

IE = 1+211,25 9,99

22,67

75-17-25 40,63 SP (42,00)

6.7. ábra. Körívrészletpontok kitűzési vázlata 9. feladat Határozza meg az átmeneti ív nélküli körív kitűzéséhez szükséges körívrészletpontok adatait Δl = 10 m-es kerek ívhosszakkal! Számolja ki az ívet keresztező védőcső kitűzéséhez szükséges adatokat is! Készítsen kitűzési adatokat tartalmazó táblázatokat! A körívrészletpontok kitűzési adatait kerek ívhosszakkal a 6.2. táblázat tartalmazza. R = 180 m; α = 61g 95c 37cc; IE = 1+751,50; védőcső = 1+776,00.

10. feladat Határozza meg a vasúti pályában lévő átmeneti ív nélküli körív kitűzéséhez szükséges körívrészletpontok adatait Δl = 20 m-es kerek ívhosszakkal! Számolja ki az ívet keresztező védőcső kitűzéséhez szükséges adatokat is! Készítsen kitűzési adatokat tartalmazó táblázatokat! A körívrészletpontok kitűzési adatait kerek ívhosszakkal a 6.3. táblázat tartalmazza. R = 400 m; α = 28° 48ʹ 24ʺ; IE = 25+45,00; védőcső = 26+00,00.


161

Körívrészletpontok kitűzési adatai. 6.3. táblázat Körívrészletpontok koordinátái kerek ívhosszakkal Ívhossz, m

Körívsugár, m 400 x

450 y

x

500 y

x

y

Ívhossz, m

5

5,000

0,031

5,000

0,028

5,000

0,025

5

10

9,999

0,125

9,999

0,111

9,999

0,100

10

15

14,996

0,281

14,997

0,250

14,998

0,225

15

20

19,992

0,500

19,993

0,444

19,995

0,400

20

25

24,984

0,781

24,987

0,694

24,990

0,625

25

30

29,972

1,124

29,978

1,000

29,982

0,900

30

35

34,955

1,530

34,965

1,360

34,971

1,224

35

40

39,933

1,998

39,947

1,777

39,957

1,599

40

45

44,905

2,529

44,925

2,248

44,939

2,024

45

50

49,870

3,121

49,897

2,775

49,917

2,498

50

60

59,775

4,492

59,822

3,994

59,856

3,596

60

70

69,643

6,109

69,718

5,433

69,772

4,892

70

80

79,468

7,973

79,579

7,092

79,659

6,386

80

90

89,243

10,082

89,401

8,970

89,515

8,078

90

100

98,962

12,435

99,179

11,065

99,335

9,967

100

110

108,619

15,030

108,908

13,378

109,115

12,051

110

120

118,208

17,865

118,583

15,905

118,851

14,331

120

130

127,724

20,940

128,199

18,648

128,540

16,805

130

140

137,159

24,251

137,752

21,603

138,178

19,472

140

150

146,509

27,797

147,238

24,769

147,760

22,332

150

160

155,767

31,576

156,650

28,146

157,283

25,382

160

170

164,928

35,585

165,985

31,731

166,744

28,623

170

180

173,986

39,821

175,238

35,523

176,137

32,052

180

190

182,935

44,283

184,405

39,519

185,460

35,668

190

200

191,770

48,967

193,480

43,718

194,709

39,470

200

210

200,485

53,870

202,460

48,117

203,880

43,456

210

220

209,075

58,990

211,340

52,715

212,970

47,624

220

230

217,534

64,323

220,116

57,509

221,974

51,974

230

240

225,857

69,866

228,783

62,497

230,890

56,503

240

250

234,039

75,615

237,337

67,677

239,713

61,209

250


162

Körív részletpontjainak kitűzése kerületi szögekkel Mintapélda: Határozza meg a körív részletpontjainak kerületi szögekkel történő kitűzéséhez szükséges adatokat! A körív részletpontjainak kitűzését az IK = K pont felől az IE, majd az IV pontokon álló műszer felé haladva végezzük. A részletpontokat az IK = K ponttól 20 m-enként kell kitűzni (6.8. ábra). R = 300 m; α = 36° 48ʹ 24ʺ; IE = 2+545,00. S α

K 1

5

6

7

4 IE

8

IV

P1

2

IK

A

3

B P2

R

R α O

6.8. ábra. Körív részletpontjainak kitűzése kerületi szögekkel Megoldás:

! AS = 99,82 m; AB = 192,72 m; SK = 16,17 m; IE = 2+545,00; IK = 2+641,36; IV = 2+737,72. A részletpontok kitűzése a – pl. poláris koordináta-kitűzés módszerrel meghatározott – főpontok helyének ismeretében történik. A részletpontok kitűzését ebben az esetben előbb az IE ponton álló műszerrel, a körív IK = K tetőpontjából kiindulva a műszer felé haladva végezzük el (6.8. ábra 1–4 pontok). Ezt követően a kitűzést hasonló módon, folytatjuk az IV ponton lévő műszerállásból (5–8 pontok). A kitűzési


163

adatok számítása előtt meg kell határozni az IE és IK = K, valamint az IV és IK = K közötti ívhosszakon lévő részletpontok számát. A részletpontokat az előírásoknak megfelelően 20 m-enként tűzzük ki. ! AB = 192,72 = 96,36 m, amiből 20 méteres részletponttávolság esetén a részlet2 2 pontok száma 4-re adódik. (4 ∙ 20,00 + 16,36 = 96,36 m.) A részletpontok távolságának ismeretében a 6.4. táblázat segítségével megállapítható a Δl ívhosszhoz tartozó δ kerületi szög. A táblázat alapján a 20,00 m ívhosszhoz tartozó kerületi szög: δ = 1° 54ʹ 35ʺ. A maradék résztávolság (16,36 m) kerületiszögértéke meghatározható a) összeadással, a 6.4. táblázatból kivett adatok alapján: 10,00 m 0° 57ʹ 18ʺ 6,00 m 0° 34ʹ 23ʺ 0,30 m 0° 01ʹ 43ʺ 0,06 m 0° 00ʹ 20,6ʺ 16,36 m

1° 33ʹ 44,6ʺ = 1° 33ʹ 45ʺ.

b) számítással A kerületi szög számítását Csepcsényi Lajosné: Földméréstan 2 c. tankönyvének 2.4.2. pontjában leírtak szerint végezzük el: δ° =

Dl 180c = Dl 90c = 16,36 $ 90 = 1° 33ʹ 44ʺ. $ $ R 2$r R r 300 $ r

A két számítási mód közötti eltérés a táblázatban lévő értékek kerekítéséből adódik.


164

Kerületi szögek értékei. 6.4. táblázat Kerületi szögek értékei Ívhossz, m 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

° 0

280 ʹ 0

ʺ 3,7 7,3 11,0 14,7 18,4 22,1 25,8 29,4 33,1

° 0

A körívsugár méterben 290 300 ʹ ʺ ° ʹ 0 3,6 0 0 7,1 10,7 14,2 17,8 21,4 25,0 28,5 32,0

ʺ 3,4 6,9 10,3 13,8 17,2 20,6 24,1 27,5 31,0

° 0

310 ʹ 0

ʺ 3,3 6,7 10,0 13,3 16,6 20,0 23,3 26,6 29,9

Ívhossz, m 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90

0

0 1 1 2 3 3 4 4 5

37 14 50 27 4 41 18 55 31

0

0 1 1 2 2 3 4 4 5

36 11 47 22 58 33 9 45 20

0

0 1 1 2 2 3 4 4 5

34 9 43 18 52 26 1 35 9

0

0 1 1 2 2 3 3 4 5

33 6 40 13 46 20 53 26 0

0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90

1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00

0

6 12 18 24 30 36 42 49 55

8 17 25 33 42 50 58 7 15

0

5 11 17 23 29 35 41 47 53

56 51 47 42 38 34 29 25 21

0

5 11 17 22 28 34 40 45 51

44 27 11 55 39 23 6 50 34

0

5 11 16 22 27 33 38 44 49

33 5 38 11 43 16 49 22 54

1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00

10,00 20,00 30,00 40,00 50,00 60,00 70,00 80,00 90,00 100,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 4 5 6 8 9 11 12 13

23 47* 10** 33 57 20 43 6 30 53

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

59 58 57 57 56 55 54 54 53 52

16 33* 49** 5 21 38 54 10 27 43

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

57 54 51 49 46 43 41 38 35 32

18 35* 53** 11 29 46 4 22 40 57

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

55 50 46 41 37 32 28 23 19 14

27 10,00 54* 20,00 21** 30,00 47 40,00 14 50,00 41 60,00 8 70,00 35 80,00 2 90,00 29 100,00


165

A fenti számítások alapján készítjük el a kitűzési adatokat tartalmazó táblázatokat. Körívrészletpontok kitűzési adatai IE és IK = K között: Szelvény

Δs

IE = 2+545,00 Műszerállás

16,36

4

+561,36

3

+581,36

2

+601,36

1

+621,36

20,00 20,00 20,00 20,00

°

δ ʹ

ʺ

1

33

45

1 1 1 1

54 54 54 54

°

l ʹ

ʺ

0

00

00

1

33

45

3

28

20

5

22

55

7

17

30

9

12

05

35 35 35 35

IK = 2+641,36

Kitűzéskor az IE ponton álló műszert úgy állítjuk be a táblázat alapján, hogy a távcső irányvonala az IK = K körív tetőpontján lévő pontjelre mutasson és a leolvasó berendezésen l = 9° 12ʹ 05ʺ szögérték legyen leolvasható. A részletpontok kitűzését a műszer felé haladva, a Földméréstan 2 c. tankönyv 2.4.2. pontjában leírtak szerint végezzük el. A kitűzés pontosságára az ellenőrzés, hogy az utolsó távolság Δs = 16,36 m kell, hogy legyen, és a távcső irányvonala az érintő irányát jelölje ki. Ezt úgy ellenőrizhetjük, hogy az alhidádét ezen irányhoz képest elforgatjuk 180°-kal, akkor a távcső irányvonalának az érintőn hátul lévő P1 ponton lévő pontjelre kell mutatni. Körívrészletpontok kitűzési adatai IV és IK között: °

δ ʹ

ʺ

16,36

1

33

45

20,00

1

54

35

Szelvény

Δs

IV = 2+737,72 Műszerállás 4

+721,36

3

+701,36

2

+681,36

1

20,00

1

54

35

20,00

1

54

35

+661,36 20,00

IK = 2+641,36

1

54

°

l ʹ

ʺ

0

00

00

358

26

15

356

31

40

354

37

05

352

42

30

350

47

55

35

166


A körív első felének kitűzése után a műszerrel átállunk az IV pontra, és megirányozzuk az IK = K főpontot úgy, hogy a leolvasó berendezésen a számított l = 350° 47ʹ 55ʺ szögérték legyen leolvasható. A részletpontok kitűzését a fentiekben leírtak szerint végezzük el. A kitűzés pontosságának ellenőrzése, hogy az utolsó távolság Δs = 16,36 m, és ha a műszert 180°-os szögértékre állítjuk, akkor a távcső irányvonalának az érintőn elöl lévő P2 irányponton lévő pontjelre kell mutatnia.

11. feladat Határozza meg a körívrészletpontok kerületi szögekkel történő kitűzéséhez szükséges adatokat! A körív részletpontjainak kitűzését az IK = K pont felől az IE, majd az IV pontokon álló műszer felé haladva végezzük. A részletpontokat az IK = K ponttól 20 m-enként kell kitűzni (6.8. ábra). R = 280 m; α = 40° 05ʹ 06ʺ; IE = 0+815,30. 12. feladat Határozza meg a körívrészletpontok kerületi szögekkel történő kitűzéséhez szükséges adatokat. A körív részletpontjainak kitűzését az IK = K pont felől az IE, majd az IV pontokon álló műszer felé haladva végezzük. A részletpontokat az IK = K ponttól 20 m-enként kell kitűzni (6.8. ábra). R = 310 m; α = 53,8093g; IE = 8+345,20.

ÁTMENETI ÍVES KÖRÍV FŐPONTJAINAK KITŰZÉSE

167

6.4. Átmeneti íves körív főpontjainak kitűzése Mintapélda: Számítsa ki az átmeneti íves körív főpontjainak kitűzési adatait a 6.9. ábrán látható esetben, az alábbi adatok alapján! R = 200 m; α = 72° 32ʹ 06ʺ; p = 140 m; ÁE = 5+042,30. S

α β/2

E T

T

G

ÁE

R

ΔR

B

τ

α/2 α/2

R

ÁE

τ

xO

ÁV

L

IE

A

ÁV ≡

ΔR

R

L/2

IV ≡

xO

H

O

6.9. ábra. Átmeneti íves körív főpontjainak kitűzése Megoldás: A főpontok kitűzési adatainak számításához szükségesek p = 140 m paraméterű átmeneti ív adatai a 6.5. táblázat alapján: L = 98,00 m; ΔR = 2,00 m; xO = 48,90 m. a + x0 = 197,11 m. 2 ! r ∙ α° + L = 351,19 m. AB = R ∙ arc α° + L = R ∙ 180c AS = T = (R + ΔR) ∙ tg

IR = R ∙ arc (α° − 2 ∙ τ) = R ∙ arc α° − L = 155,19 m. SK = (R + ΔR) ∙ `sec AE = R ∙ sin

a- j 1 + ΔR = 50,54 m. 2

a + xO = 167,21 m. 2


168 EK = R ∙ `1 - cos

aj + ΔR = 40,75 m. 2

AG = HB = AE −

EK = 111,67 m. a tg 2

GK = KH =

EK = 68,88 m. a sin 2 Átmeneti ív adatai. 6.5. táblázat p = 140 paraméterű szabványklotoid Csatlakozó pontok adatai

111,65 102,34

τ ° ʹ ʺ 38−59−35 33−13−29

120 130

47,81 44,36

94,59 87,99

28−38−52 24−57−20

140 150

60,95 57,43

41,41 38,86

82,30 77,33

21−56−01 19−25−44

160 170

10,91 9,29

54,28 51,45

36,62 34,63

72,94 69,04

17−19−49 15−33−14

180 190

97,41 78,21

7,97 4,09

48,90 39,17

32,86 26,20

65,54 52,33

14−02−15 8−59−02

200 250

0,59 0,37

65,26 55,96

2,37 1,49

32,65 27,99

21,80 18,68

43,58 37,35

6−14−20 4−35−01

300 350

0,25 0,18

48,98 43,55

1,00 0,70

24,50 21,78

16,34 14,52

32,67 29,04

3−30−34 2−46−22

400 450

R

L

ΔR

X

Y

xO

Tr

Th

120 130

163,33 150,77

9,11 7,20

155,93 145,78

35,84 28,45

80,42 74,55

56,97 51,92

140 150

140,00 130,67

5,78 4,71

136,54 128,21

22,92 18,72

69,42 64,92

160 170

122,50 115,29

3,89 3,24

120,72 113,98

15,47 12,93

180 190

108,89 103,16

2,74 2,33

107,90 102,40

200 250

98,00 78,40

2,00 1,02

300 350

65,33 56,00

400 450

49,00 43,56

Szelvényezés: ÁE = 5+042,30; ÁV ≡ IE = ÁE + L = 5+140,30; ! AB = 5+217,90; IK = ÁE + 2 ! IV ≡ ÁV = ÁE + AB − L = 5+295,49; ! ÁE = ÁE + AB = 5+393,49.

R

ÁTMENETI ÍVES KÖRÍV FŐPONTJAINAK KITŰZÉSE

169

13. feladat Számítsa ki az átmeneti íves körív főpontjainak kitűzési adatait a 6.9. ábrán látható esetben, az alábbi adatok alapján! R = 300 m; α = 65° 30ʹ 12ʺ; p = 140 m; ÁE = 25+242,80.

Mintapélda: Számítsa ki a vasúti pályában lévő átmeneti íves körív főpontjainak kitűzési adatait a 6.9. ábrán látható esetben, az alábbi adatok alapján! R = 450 m; α = 55° 30ʹ 12ʺ; C = 13 000 m2; ÁE = 27+45,20.

Megoldás: A főpontok kitűzési adatainak számításához szükséges, C = 13 000 m2 állandójú átmeneti ív adatai a 6.6. táblázat alapján: L = 28,889 m; f = 0,077 m; xO = 14,444 m. a + xO = 251,258 m. 2 ! r ∙ α° + L = 464,811 m. AB = R ∙ arc α° + L = R ∙ 180c AS = T = (R + f ) ∙ tg

IR = R ∙ arc (α° − 2 ∙ τ) = R ∙ arc α° − L = 407,033 m. SK = (R + ΔR) ∙ `sec

a- j 1 + ΔR = 58,576 m. 2

a + xO = 223,982 m. 2 a EK = R ∙ `1 - cos j + ΔR = 51,839 m. 2 AE = R ∙ sin

AG = HB = AE − GK = KH =

EK = 125,460 m. a tg 2

EK = 111,328 m. a sin 2


170

Klotoid átmeneti ív adatai. 6.6. táblázat C = 13 000 m2 állandójú klotoid-átmenetiív Alkalmazható: szabványos túlemeléssel 55 km/h sebességnél, Helyszínrajzi nehézségnél szabványos túlemeléssel mint C1 60 km/h sebességnél, csökkentett túlemeléssel mint C 0 60 km/h sebességnél

Az átmenetiív kitűzési adatai τ

σ

R

L

f

xO

X

Y

t

750

17,333

0,017

8,666

17,333

0,067

5,777

0 39 43

0 13 14

750

700

18,571

0,021

9,285

18,571

0,082

6,190

0 45 36

0 15 12

700

650

20,000

0,026

10,000

20,000

0,103

6,666

0 52 53

0 17 38

650

600

21,667

0,033

10,833

21,666

0,130

7,221

1 02 04

0 20 41

600

550

23,636

0,042

11,818

23,635

0,169

7,877

1 13 52

0 24 37

550

500

26,000

0,056

13,000

25,998

0,225

8,664

1 29 23

0 29 48

500

450

28,889

0,077

14,444

28,886

0,309

9,626

1 50 21

0 36 47

450

°

ʹ

ʺ

°

ʹ

ʺ

R

Szelvényezés: ÁE = 27+45,20; ÁV ≡ IE = ÁE + L = 27+74,09; ! AB IK = ÁE + = 29+77,61; 2 ! IV ≡ ÁV = ÁE + AB − L = 31+81,12; ! ÁE = ÁE + AB = 32+10,01.

14. feladat Számítsa ki a vasúti pályában lévő átmeneti íves körív főpontjainak kitűzési adatait a 6.9. ábrán látható esetben, az alábbi adatok alapján! R = 550 m; α = 28° 40ʹ 18ʺ; C = 13 000 m2; ÁE = 45+18,30.

ÁTMENETI ÍVES KÖRÍV RÉSZLETPONTJAINAK KITŰZÉSE

171

6.5. Átmeneti íves körív részletpontjainak kitűzése Körív részletpontjainak kitűzése érintőről, derékszögű koordinátákkal Kitűzés alapérintőről Mintapélda: Számítsa ki az átmeneti íves körív részletpontjainak kitűzési adatait, ha a kitűzést derékszögű koordinátákkal, kerek ívhosszakkal, alapérintőről végezzük (6.10. ábra)! Készítsen táblázatot a kitűzési adatokról! A részletpontok távolsága: Δl = 20 m. R = 400 m; α = 28° 40ʹ 18ʺ; p = 140 m; ÁE = 0+218,30.

IK 7 R

R

ÁE Alapérintő 0 A

l

L/2 2

1 xO

x

6

IE ÁV ≡

τ

3 x’

5 4 y’ ΔR = f

y

6.10. ábra. Átmeneti íves körív részletpont kitűzése Megoldás: A körív főpontjainak kitűzési adatait a korábban megismert összefüggésekkel számoljuk a p = 140 m paraméterű átmeneti ív adatai alapján (6.5. táblázat): L = 49,00 m; xO = 24,50 m; ΔR = 0,25 m. AS = T = (R + ΔR) ∙ tg

a + x0 = 126,79 m. 2

! AB = R ∙ arc α° + L = R ∙

r ∙ α° + L = 249,17 m. 180c


172

a SK = (R + ΔR) ∙ `sec - 1j + ΔR = 13,11 m. 2 a + xO = 123,54 m. AE = R ∙ sin 2 a EK = R ∙ `1 - cos j + ΔR = 12,71 m. 2 Szelvényezés: ÁE = 0+218,30; ÁV ≡ IE = ÁE + L = 0+267,30; ! AB = 0+342,88; IK = ÁE + 2 ! IV ≡ ÁV = ÁE + AB − L = 0+418,47; ! ÁE = ÁE + AB = 0+467,47. A részletpontok kitűzési adatainak meghatározása: Az átmeneti ív részletpontjainak kitűzéséhez szükséges adatok a 6.7. táblázatból határozhatók meg. Az átmeneti ívhez csatlakozó körív részletpontjainak kitűzéséhez szükséges abszcisszák (x) és ordináták (y) számítása az átmeneti ív xO és a köríveltolás (útnál ΔR, vasútnál f ) értékei, valamint az R sugarú körív részletpontjainak adatai (6.8. táblázat) ismeretében végezhető el. A számításnál figyelembe kell venni azt a körülményt, hogy az R sugarú körív L/2 hosszúságú része az átmeneti ívbe esik, tehát ezt a szakaszt figyelmen kívül kell hagyni. Az L/2 hosszúságú szakaszon részletpontokat nem számolunk! E példánál ez a hossz L/2 = 24,50 m, tehát a tiszta körívben lévő, számításba veendő első részletpont az l = 40,00 m ívhosszhoz tartozó érték, a 4-es pont. (6.10. ábra, 6.8. táblázat) Átmeneti ív részletpont kitűzési adatai. 6.7. táblázat p = 140 paraméterű szabványklotoid Részletpont-koordináták 5 m-enként

Részletpont-koordináták 5 m-enként

l

x

y

x

y

5

5,00

0,00

85

l

84,71

5,21

10

10,00

0,01

90

89,62

6,18

15

15,00

0,03

95

94,50

7,26

20

20,00

0,07

100

99,35

8,46

25

25,00

0,13

105

104,17

9,79

30

30,00

0,23

110

108,96

11,24

ÁTMENETI ÍVES KÖRÍV RÉSZLETPONTJAINAK KITŰZÉSE Részletpont-koordináták 5 m-enként

173

Részletpont-koordináták 5 m-enként

l

x

y

l

x

y

35

35,00

0,36

115

113,70

12,83

40

39,99

0,54

120

118,39

14,55

45

44,99

0,77

125

123,03

16,42

50

49,98

1,06

130

127,60

18,44

55

54,97

1,41

135

132,11

20,60

60

59,95

1,84

140

136,54

22,92

65

64,92

2,33

145

140,88

25,40

70

69,89

2,91

150

145,13

28,03

75

74,85

3,58

155

149,28

30,83

80

79,79

4,35

160

153,31

33,78

Körívrészletpontok kitűzési adatai. 6.8. táblázat Körívrészletpontok adatai kerek ívhosszakkal R = 340

R = 350

R = 400

Ívhossz, m

x

y

x

y

x

y

Ívhossz, m

5

5,00

0,04

5,00

0,04

5,00

0,03

5

10

10,00

0,15

10,00

0,14

10,00

0,13

10

15

15,00

0,34

15,00

0,32

15,00

0,28

15

20

19,99

0,59

19,99

0,57

19,99

0,50

20

25

24,98

0,91

24,98

0,89

24,98

0,78

25

30

29,96

1,32

29,96

1,28

29,97

1,12

30

35

34,93

1,84

34,94

1,75

34,96

1,53

35

40

39,91

2,35

39,91

2,28

39,93

2,00

40

45

44,87

2,97

44,88

2,89

44,91

2,53

45

50

49,82

3,67

49,83

3,57

49,87

3,12

50

55

54,76

4,44

54,77

4,31

54,83

3,78

55

60

59,69

5,28

59,71

5,13

59,78

4,49

60

65

64,61

6,20

64,63

6,02

64,71

5,27

65

70

69,51

7,18

69,53

6,98

69,64

6,11

70

75

74,39

8,24

74,43

8,01

74,56

7,01

75


174 R = 340

R = 350

R = 400

Ívhossz, m

x

y

x

y

x

y

Ívhossz, m

80

79,26

9,37

79,31

9,10

79,47

7,97

80

85

84,12

10,81

84,17

10,27

84,36

9,00

85

90

88,95

11,84

89,01

11,51

89,24

10,08

90

95

93,77

13,18

93,84

12,81

94,11

11,20

95

100

98,56

14,60

98,65

14,19

98,96

12,43

100

110

108,09

17,64

108,20

17,14

108,62

15,03

110

120

117,52

20,96

117,66

20,37

118,21

17,87

120

130

126,86

24,55

127,03

23,87

127,72

20,94

130

Az átmeneti ív vége pont kitűzése a 6.5. táblázatban lévő X és Y alapján végezhető el. X = 48,98 m; Y = 1,00 m.

A tiszta körív részletpont-kitűzési adatainak számítása a 6.8. táblázat (x’, y’) és az átmeneti ív adatai 6.5. táblázat (xO, ΔR) alapján történik. Az x’ a 6.8. táblázat x, míg az y’ az ott feltüntetett y értékkel azonos. L = 49,00 m; xO = 24,50 m; ΔR = 0,25 m. Részletpontok szelvényeinek és kitűzési adatainak számítása: Részletpontok szelvényei 20,00 m-enként

Részletpontok kitűzési adatai x

Átmeneti ívben:

y

a 6.5. és a 6.7. táblázat alapján

0

ÁE = 0+218,30

xO = 0,00

yO = 0,00

1 pont

0+238,30

x1 = 20,00

y1 = 0,07

2 pont

0+258,30

x2 = 39,99

y2 = 0,54

3

ÁV ≡ IE = 0+267,30

x3 = 48,98

y3 = 1,00


175

Tiszta körívben: (a 20,00 m-hez tartozó részletpontokat figyelmen kívül hagyjuk) x = x’ + xO y = y’ + ΔR számítással a 6.8. táblázat, és az x0, ΔR alapján L 4 pont ÁE + + 40,00 = 0+282,80 x4 = 39,93 + 24,50 = 64,43 y4 = 2,00+0,25 = 2,25 2 5 pont 0+302,80 x5 = 59,78 + 24,50 = 84,28 y5 = 4,49 + 0,25 = 4,74 6 pont 0+322,80 x6 = 79,47 + 24,50 = 103,97 y6 = 7,97 + 0,25 = 8,22 7 IK = 0+342,88 x7 = AE = 123,54 y7 = EK = 12,71 Részletpontok kitűzését két részletben végezzük el, előbb az ív első felén az ÁE és IK, majd a másik oldalon az ÁE és IK pontok között a Földméréstan 2 c. tankönyvben leírtak szerint (2.4.1. és 2.6.1. pont). A kitűzési adatokat táblázatban rögzítjük (a táblázat az ív első felének kitűzési adatait tartalmazza, a körív másik felének kitűzéséhez szükséges adatok számítása értelemszerűen azonos a fentiekben leírtakkal). Kitűzési adatok 0 1 2 3 4 5 6 7

Szelvény ÁE = 0+218,30 +238,30 +258,30 ÁV ≡ IE = 0+267,30 +282,80 +302,80 +322,80 IK = 0+342,88

x 0,00 20,00 39,99 48,98 64,43 84,28 103,97 123,54

y 0,00 0,07 0,54 1,00 2,25 4,74 8,22 12,71

15. feladat Számítsa ki az átmeneti íves körív részletpontjainak kitűzési adatait, ha a kitűzést derékszögű koordinátákkal, kerek ívhosszakkal, alapérintőről végezzük (6.10. ábra)! Készítsen táblázatot a kitűzési adatokról! A részletpontok távolsága: Δl = 20 m. R = 350 m; α = 32° 30ʹ 18ʺ; p = 140 m; ÁE = 1+618,80.


176 16. feladat

Számítsa ki a vasúti pályában lévő átmeneti íves körív részletpontjainak kitűzési adatait, ha a kitűzést derékszögű koordinátákkal, kerek ívhosszakkal, alapérintőről végezzük (6.10. ábra)! Készítsen táblázatot a kitűzési adatokról! A részletpontok távolsága: Δl = 20 m. R = 450 m; α = 29° 30ʹ 18ʺ; C = 13 000 m2; ÁE = 1+18,80. A feladat megoldása azonos 6.5. alfejezet első mintapéldájának megoldásánál leírtakkal, itt a köríveltolás jele f. A szükséges adatok 6.3., 6.6. és a 6.9. táblázatokból határozhatók meg. Klotoid átmeneti ív részletpontjainak adatai. 6.9. táblázat C = 13 000 m 2 A részletpontok adatai l

x

Δx

y

Δy

σ

Δσ

°

ʹ

ʺ

°

ʹ

ʺ

5,000

5,000

5,000

0,002

0,002

0

01

06

0

01

06

10,000

10,000

5,000

0,013

0,011

0

04

24

0

03

18

15,000

15,000

5,000

0,043

0,030

0

09

55

0

05

31

20,000

20,000

5,000

0,103

0,059

0

17

38

0

07

43

23,636

23,635

3,636

0,169

0,067

0

24

37

0

07

00

25,000

24,999

1,363

0,200

0,031

0

27

33

0

02

55

30,000

29,996

4,998

0,346

0,146

0

39

40

0

12

07

35,000

34,992

4,996

0,550

0,203

0

53

59

0

14

19

40,000

39,985

4,993

0,820

0,271

1

10

31

0

16

32

45,000

44,973

4,988

1,168

0,347

1

29

15

0

18

44

47,273

47,238

2,265

1,354

0,186

1

38

29

0

09

15

Kitűzés végérintőről Hosszú átmeneti íves körívek esetén jól alkalmazható az a módszer, amikor az átmeneti ívet alapérintőről, az ÁE ponttól, míg a csatlakozó körívet az ármeneti ív végérintőjéről az ÁV ≡ IE ponttól kiindulva, derékszögű koordinátákkal tűzzük ki (6.11. ábra).


τ

R

P

R ≡ ÁV

ér i y Vég

177

ntő

IE

x ÁE Alapérintő A

180° − τ

Th

T

Tr Y

τ

t

X

6.11. ábra. Részletpont kitűzése végérintőről Ebben az esetben a részletpontok kitűzési adatait nem kell külön számolni, mert azok a táblázatokból egyszerűen kiírhatók. Azonban, a körív tetőpontjának kitűzési adatait (XK, YK) a végérintőre vonatkozólag meg kell határozni. A kitűzést a Földméréstan 2 c. tankönyv 2.6.1. pontjában leírtak szerint végezzük el.

Mintapélda: Számítsa ki az átmeneti íves körív részletpontjainak kitűzési adatait, ha a kitűzést derékszögű koordinátákkal, kerek ívhosszakkal végezzük! Az átmeneti ívet az alapérintőről, míg a csatlakozó körívet a végérintőről tűzzük ki (6.11. ábra). Készítsen táblázatot a kitűzési adatokról! A részletpontok távolsága: Δl = 20 m. R = 800 m; α = 14° 25ʹ 27ʺ; p = 200 m; ÁE = 11+019,50.

Megoldás: A körív főpontjainak kitűzési adatait a korábban megismert összefüggésekkel számoljuk a p = 200 m paraméterű átmeneti ív adatai alapján (6.10. táblázat). L = 50,00 m; ΔR = 0,13 m; X = 50,00 m; Y = 0,52 m; xO = 25,00 m; τ = 1° 47ʹ 26ʺ. a + xO = 126,25 m. 2 ! r ∙ α° + L = 251,40 m. AB = R ∙ arc α° + L = R ∙ 180c a SK = (R + ΔR) ∙ `sec - 1j + ΔR = 6,51 m. 2 AS = T = (R + ΔR) ∙ tg


178

Átmeneti ív adatai. 6.10. táblázat p = 200 paraméterű szabványklotoid Csatlakozó pontok adatai τ

R

L

ΔR

X

Y

xO

Tr

Th

200

200,00

8,26

195,06

32,74

99,17

68,30

135,12

28−38−52

200

250

160,00

4,25

158,37

16,94

79,73

53,86

107,24

18−20−05

250

300

133,33

2,46

132,68

9,84

66,56

44,65

89,12

12−43−57

300

350

114,29

1,55

113,98

6,21

57,09

38,19

76,30

9−21−16

350

400

100,00

1,04

99,84

4,16

49,97

33,38

66,72

7−09−43

400

450

88,89

0,73

88,80

2,92

44,43

29,66

59,29

5−39−32

450

500

80,00

0,53

79,95

2,13

39,99

26,68

53,35

4−35−01

500

550

72,73

0,40

72,70

1,60

36,36

24,25

48,50

3−47−17

550

600

66,67

0,31

66,65

1,23

33,33

22,23

44,45

3−10−59

600

650

61,54

0,24

61,52

0,97

30,77

20,52

41,03

2−42−44

650

700

57,14

0,19

57,13

0,78

28,57

19,05

38,10

2−20−19

700

750

53,33

0,16

53,33

0,63

26,67

17,78

35,56

2−02−14

750

800

50,00

0,13

50,00

0,52

25,00

16,67

33,34

1−47−26

800

° ʹ ʺ

R

Szelvényezés: ÁE = 11+019,50; ÁV ≡ IE = 11+069,50; IK = 11+145,20; IV ≡ ÁV = 11+220,90; ÁE = 11+270,90. A körív tetőpont (IK = K) kitűzési adatainak számítása a végérintőre vonatkozólag: a − τ) = 75,59 m. 2 a YK = R ∙ [1 – cos ( − τ)] = 3,58 m. 2 XK = R ∙ sin (


179

Az átmeneti íves körív részletpontjainak kitűzési adatai a fél ívhosszra vonatkozólag a 6.11. és a 6.12. táblázat alapján határozhatók meg. p = 200 paraméterű átmeneti ív részletpontjainak adatai. 6.11. táblázat p = 200 paraméterű szabványklotoid Részletpont-koordináták 10 m-enként l

x

y

10

10,00

20

20,00

30 40

Részletpont-koordináták 10 m-enként l

x

y

0,00

110

109,75

5,54

0,03

120

119,61

7,18

30,00

0,11

130

129,42

9,12

40,00

0,27

140

139,16

11,38

50

50,00

0,52

150

148,82

13,98

60

59,99

0,90

160

158,37

16,94

70

69,97

1,43

170

167,79

20,28

80

79,95

2,13

180

177,07

24,02

90

89,91

3,04

190

186,17

28,17

100

99,84

4,16

200

195,06

32,74

Körívrészletpontok kitűzési adatai. 6.12. táblázat Körívrészletpontok adatai kerek ívhosszakkal Ívhossz, m

R = 750 x

R = 800 y

x

R = 850 y

x

y

Ívhossz, m

5

5,00

0,02

5,00

0,02

5,00

0,01

5

10

10,00

0,07

10,00

0,06

10,00

0,06

10

15

15,00

0,15

15,00

0,14

15,00

0,13

15

20

20,00

0,27

20,00

0,25

20,00

0,24

20

25

25,00

0,41

25,00

0,39

25,00

0,37

25

30

29,99

0,60

29,99

0,56

29,99

0,53

30

35

34,99

0,81

34,99

0,76

34,99

0,70

35

40

39,98

1,07

39,98

1,00

39,98

0,94

40

45

44,97

1,35

44,97

1,26

44,97

1,19

45

50

49,96

1,67

49,97

1,56

49,97

1,47

50


180 R = 750

R = 800

R = 850

Ívhossz, m

x

y

x

y

x

y

Ívhossz, m

60

59,94

2,40

59,94

2,25

59,95

2,12

60

70

69,90

3,26

69,91

3,06

69,92

2,88

70

80

79,85

4,26

79,87

4,00

79,88

3,76

80

90

89,78

5,39

89,81

5,06

89,83

4,76

90

100

99,70

6,66

99,74

6,24

99,77

5,88

100

110

109,61

8,05

109,65

7,55

109,68

7,11

110

120

119,49

9,58

119,55

8,98

119,60

8,46

120

130

129,35

11,24

129,43

10,54

129,49

9,92

130

140

139,19

13,03

139,29

12,22

139,37

11,50

140

150

149,00

14,95

149,12

14,02

149,22

13,20

150

160

158,79

17,00

158,94

15,95

159,06

15,01

160

170

168,55

19,19

168,72

18,00

168,87

16,94

170

180

178,28

21,50

178,49

20,17

178,66

18,99

180

188,42

21,15

190

190

Kitűzési adatok Szelvény ÁE = 11+019,50 +039,50 +059,50 ÁV ≡ IE = 11+069,50 +089,50 +109,50 +129,50 IK = 11+145,20

x

y

0,00 20,00 40,00 X = 50,00 20,00 39,98 59,94 XK = 75,59

0,00 0,03 0,27 Y = 0,52 0,25 1,00 2,25 YK = 3,58

17. feladat Számítsa ki az átmeneti íves körív részletpontjainak kitűzési adatait, ha a kitűzést derékszögű koordinátákkal, kerek ívhosszakkal végezzük! Az átmeneti ívet alapérintőről, míg a csatlakozó körívet végérintőről tűzzük ki (6.11. ábra). Készítsen táblázatot a kitűzési adatokról! A részletpontok távolsága: Δl = 20 m. R = 600 m; α = 24° 25ʹ 42ʺ; p = 200 m; ÁE = 15+319,20.


181

Körív részletpontok kitűzése kerületi szögekkel Az átmeneti ívek részletpontjainak kerületi szögekkel, polárszögekkel történő kitűzése hatékony és elterjedt módszer. Útépítésnél a kerületi szögeket táblázatok segítségével számolni kell, vasútépítésnél erre nincs szükség, mert körívkitűző kézikönyv megfelelő táblázatai tartalmazzák ezeket az értékeket. A kitűzést az átmeneti ív elején (ÁE) álló műszerállásból, az átmeneti ív vége (ÁV ≡ IE) pontból kiindulva, a műszer felé haladva végezzük. Ebben az esetben az (ÁV ≡ IE) pontot valamilyen más módszerrel – pl. poláris koordinátával, derékszögű koordinátával – ki kell tűzni. Az átmeneti ívhez csatlakozó körív kerületi szögekkel történő kitűzése a 6.3. alfejezetben megismert módon történik az ÁV ≡ IE, vagy a K = IK ponton álló műszerrel, a korábban kitűzött távoli főpontból kiindulva, a műszer felé haladva.

Kerületi szögek meghatározása egységklotoid-táblázat alapján Mintapélda: Számítsa ki a balra görbülő átmeneti íves körív átmeneti ív részletpontjainak kitűzéséhez szükséges kerületi szögeket! A kitűzést az ÁE ponton álló műszerrel, ÁV ≡ IE ponttól a műszer felé haladva végezzük (6.12. ábra). R

Ak

ÁE Alapérintő

l

n l

s ir it űzé

ánya

3 l

4 l σn

ÁV =

IE 1

2 σ4 σ 3

l’

l σ2

σ1

σÁV

6.12. ábra. Átmeneti ív részletpontjainak kitűzése kerületi szögekkel Határozza meg a főpontkitűzési adatokat, készítsen táblázatot az átmeneti ív részletpontjainak kitűzéséhez! A részletpontok távolsága: Δl = 20 m. R = 550 m; α = 32° 25ʹ 42ʺ; p = 200 m; ÁE = 5+520,70; L = 72,73 m; ΔR = 0,40 m; xO = 36,36 m; X = 72,70 m; Y = 1,60 m.

182


Megoldás: Az átmeneti íves körív főpontjainak kitűzéséhez szükséges adatokat a korábban megismert összefüggések szerint számoljuk: a AS = T = (R + ΔR) ∙ tg + xO = 196,41 m. 2 ! r ∙ α° + L = 384,02 m. AB = R ∙ arc α° + L = R ∙ 180c a SK = (R + ΔR) ∙ `sec - 1j + ΔR = 23,20 m. 2 Szelvényezés: ÁE = 5+520,70; ÁV ≡ IE = 5+593,43; IK = 5+712,71; IV ≡ ÁV = 5+831,99; ÁE = 5+904,72. A kerületi szögek, polárszögek értékeit bármely paraméterű átmeneti ívre vonatkozólag egységklotoid-táblázat segítségével is meghatározhatjuk. Az egységklotoidtáblázat a p = 1 paraméternek megfelelő értékeket tartalmazza (6.13. táblázat) A táblázat közvetlenül megadja a jobbra (σ jobb), és balra (σ bal) görbülő íveknél a szükséges irányértékeket. Ha a kitűzendő átmeneti ív paramétere p, és az átmeneti ív valamely részletpontjának az ÁE ponttól mért távolsága l, akkor az ennek megfelelő egységklotoid ívhossza: l le = . p Az le (amit a 6.13. táblázat l1-gyel jelöl) egységklotoid ismeretében a táblázat megfelelő sorából kiolvashatjuk a kerületi szög, polárszög (σ) értékekeit. Abban az esetben, ha az le érték a táblázat két értéke közé esik, akkor a szükséges kerületi szög nagysága interpolálással határozható meg. A kerületi szögek meghatározásához ki kell számolni az egyes részletpontokhoz tartozó le egységklotoid-értékeket. A példa szerint a részletpontok távolsága Δl = 20 m, az átmeneti ív állandója p = 200 m, az átmeneti ív hossza L = 72,73 m. 20,00 40,00 = 0,10 , = 0,20 , l3 = l2 = 200 200 60,00 72,73 = 0,30 , = 0,3637 . l1 = lAÁV-IE = 200 200 Az első három (1–3) ponthoz tartozó kerületi szög értékei a 6.13. táblázatból (a 10., 20., 30. sorból) egyértelműen meghatározhatók. Az ÁV ≡ IE ponthoz tartozó szögérték csak a 36. és a 37. sorban található értékek alapján, interpolálással számolható ki.


183

Az ÁV ≡ IE ponthoz tartozó szögérték számítása: Az lÁV–IE = 0,3637 érték a 6.13. táblázat 36. sora (0,36) és 37. sora (0,37) között van. A táblabeli különbség dʹ = 4,18 és a példabeli különbség Δ = 0,3637 − 0,36 = 0,0037. Ezekkel az értékekkel számoljuk 36. sorban lévő σʹ = 74,25ʹ kerületi szög javítását, mely Δσʹ = Δ ∙ 100 ∙ dʹ = 0,0037 ∙ 100 ∙ 4,18 = 1,5466ʹ, kerekítve Δσʹ = 1,55ʹ. Ezt a javítási értéket hozzáadjuk 36. sor 74,25ʹ szögértékhez: σʹ = 74,25ʹ + 1,55ʹ = 75,80ʹ. Tehát az ÁV ≡ IE ponthoz tartozó kerületi szög, polárszög: σʹ = 75,80ʹ, átalakítva: σjobb = 1° 15ʹ 48ʺ, σ bal = 358° 44ʹ 12ʺ. Az átmeneti ív kerületi szögeinek számításához szükséges adatokat táblázatban tüntettük fel: A kitűzendő pontok sorszáma

A táblázat sorainak száma

σʹ

le = l/p

I

dʹ

Δ

Táblabeli különbség

Példabeli különbség

Δσʹ σʹ 100 ∙ Δ ∙ dʹ σʹ + Δσ II I + II

ÁE

σjobb

σ bal

0-00-00

360-00-00

0-05-44 0-22-55 0-51-34

359-54-16 359-37-05 359-08-26

1-15-48

358-44-12

Műszerállás

3. 2. 1. 0. ÁV ≡ IE

10. 20. 30. 36. 37.

0,10 0,20 0,30 0,36 0,3637 0,37

5,73 22,92 51,56 74,25 4,18

0,0037

1,55

75,80

78,43

A számított értékek alapján a kitűzési adatok a fél átmeneti íves körív átmeneti ívére vonatkozólag Kitűzendő pont Műszerállás

Szelvény ÁE = 5+520,70

3.

+540,70

2.

+560,70

1.

+580,70

0.

ÁV ≡ IE = 5+593,70

Δl

20,00

°

σbal ʹ

ʺ

360

00

00

359

54

16

359

37

05

359

08

26

350

47

55

20,00 20,00 12,73

0,06 0,07 0,08 0,09 0,10

0,11 0,12 0,13 0,14 0,15

0,16 0,17 0,18 0,19 0,20

0,21 0,22 0,23 0,24 0,25

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

l p

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

l1 =

0 1 2 3 4 5

Sorszám

25,27 27,73 30,31 33,00 35,81

14,67 16,56 18,56 20,68 22,92

6,93 8,25 9,68 11,23 12,89

2,06 2,81 3,67 4,64 5,73

0,00 0,06 0,23 0,51 0,91 1,43

σʹ

2,46 2,58 2,69 2,81 2,92

1,89 2,00 2,12 2,24 2,35

1,32 1,43 1,55 1,66 1,78

0,75 0,86 0,97 1,09 1,20

0,06 0,17 0,28 0,40 0,52 0,63

dʹ

0-25-16 0-27-44 0-30-19 0-33-00 0-35-49

0-14-40 0-16-33 0-18-34 0-20-41 0-22-55

0-06-56 0-08-15 0-09-41 0-11-14 0-12-53

0-02-04 0-02-48 0-03-40 0-04-39 0-05-44

0-00-00 0-00-04 0-00-14 0-00-31 0-00-55 0-01-26

σ jobb

359-34-44 359-32-16 359-29-41 359-27-00 359-24-11

359-45-20 359-43-27 359-41-26 359-39-19 359-37-05

359-53-04 359-51-45 359-50-19 359-48-46 359-47-07

359-57-56 359-57-12 359-56-20 359-55-21 359-54-16

360-00-00 359-59-56 359-59-46 359-59-29 359-59-05 359-58-34

σ bal

46 47 48 49 50

41 42 43 44 45

36 37 38 39 40

31 32 33 34 35

26 27 28 29 30

Sorszám

l p

0,46 0,47 0,48 0,49 0,50

0,41 0,42 0,43 0,44 0,45

0,36 0,37 0,38 0,39 0,40

0,31 0,32 0,33 0,34 0,35

0,26 0,27 0,28 0,29 0,30

l1 =

Átmeneti ívek polárszögeinek értékei p = 1 esetén

Egységklotoid-táblázat (részlet). 6.13. táblázat

121,22 126,55 131,99 137,55 143,22

96,31 101,07 105,94 110,92 116,01

74,25 78,43 82,73 87,14 91,67

55,06 58,67 62,39 66,23 70,18

38,73 41,77 44,92 48,18 51,56

σʹ

5,33 5,44 5,56 5,67 5,78

4,76 4,87 4,98 5,09 5,21

4,18 4,30 4,41 4,53 4,64

3,61 3,72 3,84 3,95 4,07

3,04 3,15 3,26 3,38 3,50

dʹ

2-01-13 2-06-33 2-12-00 2-17-33 2-23-13

1-36-19 1-41-04 1-45-56 1-50-55 1-56-01

1-14-15 1-18-26 1-22-44 1-27-08 1-31-40

0-55-04 0-58-40 1-02-23 1-06-14 1-10-11

0-38-44 0-41-46 0-44-55 0-48-11 0-51-34

σ jobb

357-58-47 357-53-27 357-48-00 357-42-27 357-36-47

358-23-41 358-18-56 358-14-04 358-09-05 358-03-59

358-45-45 358-41-34 358-37-16 358-32-52 358-28-20

359-04-56 359-01-20 358-57-37 358-53-46 358-49-49

359-21-16 359-18-14 359-15-05 359-11-49 359-08-26

σ bal

184 KÖRÍVEK KITŰZÉSE


185

18. feladat Számítsa ki a balra görbülő átmeneti íves körív átmeneti ív részletpontjainak kitűzéséhez szükséges kerületi szögeket! A kitűzést az ÁE ponton álló műszerrel, ÁV ≡ IE ponttól a műszer felé haladva végezzük (6.12. ábra). Határozza meg a főpontkitűzési adatokat, készítsen táblázatot az átmeneti ív részletpontjainak kitűzéséhez! A részletpontok távolsága: Δl = 20 m. R = 1100 m; α = 18° 25ʹ 30ʺ; p = 300 m; ÁE = 8+252,10; L = 81,82 m; ΔR = 0,25 m; xO = 40,91 m; X = 81,81 m; Y = 1,01 m.

Kerületi szögek meghatározása közvetlen számítással A σ kerületi szögek értékei táblázat nélkül könnyen meghatározhatók akkor, ha L < 0,4 ∙ R. σʹ = Kʹ ∙ l2, ahol a Kʹ = σʺ = Kʺ ∙ l2, ahol a Kʺ =

572,96 572,96 = (perc), 2 R$L p

34377 = 34377 (másodperc). R$L p2

A Kʹ és a Kʺ értékeket nem kell minden esetben a fenti összefüggésekkel számolni, mert az Útívkitűző zsebkönyv megfelelő táblázata ezeket tartalmazza (6.14. táblázat). A kitűzendő pontok σ kerületiszög-értékeit úgy határozzuk meg, hogy a folyamatos távolság négyzetével (l2) megszorozzuk a táblázat p paraméter sorában található Kʹ vagy Kʺ állandókat. A kapott értékeket értelemszerűen át kell váltani fok, perc, másodperc egységre.

Mintapélda: Számítsa ki a balra görbülő átmeneti íves körív átmeneti ív részletpontjainak kitűzéséhez szükséges kerületi szögeket! A kitűzést az ÁE ponton álló műszerrel, ÁV ≡ IE ponttól a műszer felé haladva végezzük (6.12. ábra). Készítsen táblázatot a kitűzési adatokról! A részletpontok távolsága: Δl = 20 m. R = 800 m; α = 28° 05ʹ 30ʺ; p = 300 m; ÁE = 7+058,00; L = 112,50 m; ΔR = 0,66 m; x0 = 56,24 m; X = 112,44 m; Y = 2,64 m.


186

A K állandók értékei szabványparamétereknél. 6.14. táblázat A Kʹ és Kʺ állandók értékei szabványparamétereknél p

Kʹ

15 17,5 20 22,5 25

2,546 5 1,870 9 1,432 4 1,131 8 0,916 73

27,5 30 32,5 35 37,5

Kʺ

p

Kʹ

Kʺ

152,788 9 112,253 1 85,943 7 67,906 2 55,004 0

225 250 275 300 325

0,011 318 0,009 167 3 0,007 576 3 0,006 366 2 0,005 424 4

0,679 061 0,550 040 0,454 578 0,381 972 0,325 467

0,757 63 0,636 62 0,542 44 0,467 72 0,407 44

45,457 8 38,197 2 32,546 7 28,063 2 24,446 2

350 375 400 425 450

0,004 677 2 0,004 074 4 0,003 581 0 0,003 172 1 0,002 829 4

0,280 632 0,244 462 0,214 859 0,190 325 0,169 765

40 42,5 45 47,5 50

0,358 10 0,317 21 0,282 94 0,253 94 0,229 18

21,485 9 19,032 5 16,976 5 15,236 6 13,751 0

475 500 550 600 650

0,002 539 4 0,002 291 8 0,001 894 1 0,001 591 6 0,001 356 1

0,152 366 0,137 510 0,113 644 0,095 493 0,081 367

55 60 65 70 75

0,189 41 0,159 16 0,135 61 0,116 93 0,101 86

11,364 4 9,549 30 8,136 68 7,015 81 6,111 55

700 750 800 850 900

0,001 169 3 0,001 018 6 0,000 895 25 0,000 793 02 0,000 707 35

0,070 158 0,061 116 0,053 715 0,047 581 0,042 441

80 85 90 95 100

0,089 525 0,079 302 0,070 736 0,063 486 0,057 296

5,371 48 4,758 13 4,244 13 3,809 14 3,437 75

950 1000 1100 1200 1300

0,000 634 85 0,000 572 97 0,000 473 52 0,000 397 88 0,000 339 03

0,038 091 0,034 378 0,028 411 0,023 873 0,020 342

110 120 130 140 150

0,047 352 0,039 789 0,033 903 0,029 233 0,025 465

2,841 11 2,387 32 2,034 17 1,753 95 1,527 89

1400 1500 1600 1700 1800

0,000 292 33 0,000 254 65 0,000 223 82 0,000 198 25 0,000 176 83

0,017 540 0,015 279 0,013 429 0,011 895 0,010 610

160 170 180 190 200

0,022 381 0,019 826 0,017 684 0,015 871 0,014 324

1,342 87 1,189 53 1,061 03 0,952 284 0,859 437

1900 2000

0,000 158 72 0,000 143 23

0,009 523 0,008 594


187

L = 112,50 < 0,4 ∙ 800 = 320 A fenti összefüggés értelmében az átmenetiív kerületi-, polárszögek meghatározásához szükséges K′ és a K″ állandók számítással, vagy a 6.14. táblázatból megállapíthatók. Megoldás: Az átmeneti íves körív főpontjainak kitűzéséhez szükséges adatokat a korábban megismert összefüggések szerint számoljuk: a + xO = 256,55 m. 2 ! r ∙ α° + L = 504,73 m. AB = R ∙ arc α° + L = R ∙ 180c a SK = (R + ΔR) ∙ `sec - 1j + ΔR = 25,34 m. 2 AS = T = (R + ΔR) ∙ tg

Szelvényezés ÁE = 7+058,00; ÁV ≡ IE = 7+170,50; IK = 7+310,37; IV ≡ ÁV = 7+450,23; ÁE = 7+562,73. Az átmeneti ív kerületi szögeinek számítása a σʹ = Kʹ ∙ l2 összefüggés alapján: Az állandó értéke a 6.14. táblázat alapján p = 300 m paraméter esetén Kʹ = 0,0063662. A részletpontok távolsága: 20,00 m, 40,00 m, 60,00 m, 80,00 m, 100,00 m és az ÁV ≡ IE pont távolsága: L = 112,50 m. Ezek alapján a kerületi szögek, polárszögek: σjobb

σ bal

σ5ʹ = Kʹ ∙ l2 = 0,0063662 ∙ 20,002 = 2,54648ʹ

0° 02ʹ 33ʺ

359° 57ʹ 27ʺ

σ4ʹ = Kʹ ∙ l2 = 0,0063662 ∙ 40,002 = 10,18592ʹ

0° 10ʹ 11ʺ

359° 49ʹ 49ʺ

2

2

0° 22ʹ 55ʺ

359° 37ʹ 05ʺ

2

2

σ2ʹ = Kʹ ∙ l = 0,0063662 ∙ 80,00 = 40,74368ʹ

0° 40ʹ 45ʺ

359° 19ʹ 15ʺ

σ1ʹ = Kʹ ∙ l2 = 0,0063662 ∙ 100,002 = 63,662ʹ

1° 03ʹ 40ʺ

358° 56ʹ 20ʺ

1° 20ʹ 34ʺ

358° 39ʹ 26ʺ

σ3ʹ = Kʹ ∙ l = 0,0063662 ∙ 60,00 = 22,91832ʹ

2

2

σÁVʹ = Kʹ ∙ l = 0,0063662 ∙ 112,50 = 80,5722ʹ


188

A számított értékek alapján a kitűzési adatok a fél ármeneti íves körív átmeneti ívére vonatkozólag: Kitűzendő pont MA

Szelvény ÁE = 7+058,00

5.

+078,00

4.

+098,00

3.

+118,00

2.

+138,00

Δl

20,00

°

σbal ʹ

ʺ

360

00

00

359

57

27

359

49

49

359

37

05

359

19

15

358

56

20

358

39

26

20,00 20,00 20,00 20,00 1.

+158,00

0.

ÁV ≡ IE = 7+170,50

12,50

19. feladat Számítsa ki a jobbra görbülő átmeneti íves körív átmeneti ív részletpontjainak kitűzéséhez szükséges kerületi szögeket! A kitűzést az ÁE ponton álló műszerrel, ÁV ≡ IE ponttól a műszer felé haladva végezzük. Készítsen táblázatot a kitűzési adatokról! A részletpontok távolsága: Δl = 20 m. R = 450 m; α = 31° 17ʹ 30ʺ; p = 200 m; ÁE = 9+128,00. A p = 200 m paraméterű szabványklotoid átmeneti ív szükséges adatait a 6.10. táblázat tartalmazza.

KÖRÍV FŐPONTJAINAK KITŰZÉSE HOZZÁFÉRHETETLEN SAROKPONT… 189

6.6. Körív főpontjainak kitűzése hozzáférhetetlen sarokpont esetén Kitűzés egy segédegyenessel Mintapélda: Számítsa ki az átmeneti ív nélküli körív főpontjainak kitűzési adatait, ha a sarokpont hozzáférhetetlen (6.13. ábra)! R = 250 m; CD = 59,63 m; φ1 = 155° 42ʹ 06ʺ; φ2 = 145° 23ʹ 54ʺ; IE = 0+358,20. S

α

C

18

IE

ntő ér i ap Al

R

P2

ő

α

int

P1

pér

R

B

A la

IV

A

φ1

180 °−φ D 2 CD φ2

1 −φ 0°

T

T

β

6.13. ábra. Főpontok kitűzése hozzáférhetetlen sarokpont esetén Megoldás: A kitűzési adatokat a mérési eredmények ismeretében számoljuk, a korábban megismert összefüggések alapján. α = 360° − (φ1 + φ2) = 360° − ( (155° 42ʹ 06ʺ) + (145° 23ʹ 54ʺ) = 58° 54ʹ 00ʺ. β = 180° − α = 180° − (58° 54ʹ 00ʺ) = 121° 06ʹ 00ʺ. AS = T = (R + ΔR) ∙ tg

a = 141,16 m. 2


190 ! AB = R ∙ arc α° = R ∙

r ∙ α° = 257,00 m. 180c

SK = R ∙ `sec

a- j 1 = 37,10 m. 2 a AE = R ∙ sin = 122,92 m. 2 a EK = R ∙ `1 - cos j = 32,30 m. 2 AG = GK = KH = HB = 65,70 m. Az IE és az IV főpontok kitűzési adatainak meghatározásához szükség van az SC és az SD távolságokra, amik az SCD háromszögből határozhatók meg szinusztétel segítségével. Az SCD háromszögben nem szükséges a C és D pontoknál lévő belső szöget kiszámolni, mert sin (180° − φ1) = sin φ1 és sin (180° − φ2) = sin φ2 . SC = CD ∙

sin {2 sin ^145c 23l 54mh = 59,63 ∙ = 39,55 m. sin b sin ^121c 06l 00mh

SD = CD ∙

sin {1 sin ^155c 42l 06mh = 59,63 ∙ = 28,66 m. sin b sin ^121c 06l 00mh

A körív elejének és végének kitűzéséhez szükséges távolságok: AC = T − SC = 141,16 − 39,55 = 101,61 m. BD = T − SD = 141,16 − 28,66 = 112,50 m. IE = 0+358,20; IK = 0+486,70; IV = 0+615,20. Az IE és az IV főpontok kitűzése a Földméréstan 2 c. tankönyv 2.7. alfejezetében leírtak szerint történik. 20. feladat Számítsa ki az átmeneti ív nélküli körív főpontjainak kitűzési adatait, ha a sarokpont hozzáférhetetlen (6.13. ábra)! R = 200 m; CD = 61,29 m; φ1 = 147° 31ʹ 12ʺ; φ2 = 141° 02ʹ 48ʺ; IE = 23+08,50. 21. feladat Számítsa ki az átmeneti ív nélküli körív főpontjainak kitűzési adatait, ha a sarokpont hozzáférhetetlen (6.13. ábra)! R = 300 m; CD = 178,13 m; φ1 = 132° 10ʹ 18ʺ; φ2 = 140° 50ʹ 42ʺ; IE = 2+659,80.

INFLEXIÓS ÍVEK

191

6.7. Inflexiós ívek Inflexiós pontban csatlakozó inflexiós ív Mintapélda: Számítsa ki az azonos sugarú, inf lexiós pontban csatlakozó inf lexiós ív kitűzési adatait (6.14. ábra)! R = 200 m; p = 4,00 m; IE = 3+45,75. O1 α

R T

IV IE

T

A

T S1

T H’

α

R R

P/2

IE

B

P

IV

D P

C

S2

≡

R

H α O2

6.14. ábra. Inf lexiós pontban csatlakozó inf lexiós ív Megoldás: A kitűzési adatokat az α középponti szög ismeretében tudjuk számolni. 4,00 P R200 2 2 = 8° 06ʹ 35ʺ. = arc cos α = arc cos R 200 a = 14,18 m. AS = T = R ∙ tg 2 ! r ∙ α° = 28,31 m. AB = R ∙ arc α° = R ∙ 180c a SK = R ∙ `sec - 1j = 0,50 m. 2

192


a = 14,14 m. 2 a EK = R ∙ `1 - cos j = 0,50 m. 2 H’ = 2 ∙ T ∙ cos α = 2 ∙ 14,18 ∙ cos (8° 06ʹ 35ʺ) = 28,07 m. AE = R ∙ sin

H = H’ + 2 ∙ T = 28,07 + 2 ∙ 14,18 = 56,43 m. ! ! AB IE1 = 3+45,75; IK1 = IE1 + = 3+59,90; IV1 ≡ IE2 = IE1 + AB = 3+74,06; 2 ! ! AB = 3+88,21; IV2 = IE2 + AB = 4+02,37. IK2 = IE2 + 2 22. feladat Számítsa ki az azonos sugarú, inf lexiós pontban csatlakozó inf lexiós ív kitűzési adatait (6.14. ábra)! R = 300 m; p = 25,00 m; IE = 2+15,80. 23. feladat Számítsa ki az azonos sugarú, inf lexiós pontban csatlakozó inf lexiós ív kitűzési adatait (6.14. ábra)! R = 350 m; p = 15,00 m; IE = 4+205,20.

Inflexiós ív közbenső egyenessel Mintapélda: Számítsa ki az azonos sugarú, közbenső egyenessel kialakított inf lexiós ív kitűzési adatait (6.15. ábra)! R = 200 m; p =15,00 m; e = 6,00 m; IE = 2+10,30.

INFLEXIÓS ÍVEK

193

α S2

γ

T C IE

IV

e B

IE

P

A

T

S1

αT

R

R γ

p

R

IV

R

D

T

R−p

N

O1

β

H’ H

α

e

O2

M

6.15. ábra Inf lexiós ív közbenső egyenessel Megoldás: E feladatnál az α középponti szöget az R sugár, az ívek között lévő e egyenes, és a p tengelytávolság ismeretében, az ún. háromszög módszerrel határozhatjuk meg, az alábbiak szerint. Az O1MO2 derékszögű háromszögben meghatározzuk a γ szöget: γ = arc tg

6,00 e = arc tg = 0° 51ʹ 34ʺ. 2$R 2 $ 200

Ennek ismeretében meghatározható az O1O2 oldal: O1O2 =

O1 M 2 $ 200 = 2$R = = 400,045 m. cos c cos c cos ^0c 51l 34mh

Az O1O2N derékszögű háromszögben a β szög: β = arc cos

2$R-p = 2 $ 200 15 = 15° 45ʹ 48ʺ. 400,045 O1 O2

A β és a γ szögek ismeretében számolható az α középpont szög: α = β − γ = (15° 45ʹ 48ʺ) − (0° 51ʹ 34ʺ) = 14° 54ʹ 14ʺ.

194


Az α középponti szög ismeretében számolhatók a körívek főpontjainak kitűzési adatai a korábban megismert összefüggések alapján: a = 26,16 m. 2 ! r ∙ α° = 52,02 m. AB = R ∙ arc α° = R ∙ 180c a SK = R ∙ `sec - 1j = 1,70 m. 2 a = 25,94 m. AE = R ∙ sin 2 a EK = R ∙ `1 - cos j = 1,69 m. 2 ! ! AB = 2+36,31; IV1 = IE1 + AB = 2+62,32; IE1 = 2+10,30; IK1 = IE1 + 2 ! ! AB IE2 = IV1 + e = 2+68,32; IK2 = IE2 + = 2+94,34; IV2 = IE2 + AB = 3+20,35. 2 AS = T = R ∙ tg

Az inflexiós ív kitűzéséhez szükséges további adatok: H’ = (2 ∙ T + e) ∙ cos α = (2 ∙ 26,16 + 6,00) ∙ cos (14° 54ʹ 14ʺ) = 56,36 m. H = H’ + 2 ∙ T = 56,36 + 2 ∙ 26,16 = 108,68 m. A kitűzési adatok ismeretében, az inflexiós ív kitűzése a Földméréstan 2 c. tankönyv 2.8. alfejezetében leírtak szerint történik. 24. feladat Számítsa ki az azonos sugarú, közbenső egyenessel kialakított inf lexiós ív kitűzési adatait (6.15. ábra)! R = 300 m; p = 20,00 m; e = 12,00 m; IE = 0+80,50.

MEGOLDÁSOK

195

6.8. Megoldások 1. feladat α = 53° 13ʹ 12ʺ. 2. feladat α = 32° 58ʹ 48ʺ. 3. feladat α = 98° 58ʹ 06ʺ. 4. feladat α = 113° 49ʹ 36ʺ = 126,4741g = 126g 47c 41cc. 5. feladat α = 64° 59ʹ = 72,22g = 72g 22c. 6. feladat α = 42° 16ʹ = 46,96g = 46g 96c. 7. feladat

! AS = T = 229,90 m; AB = 341,93 m; SK = 104,72 m; AE = 150,89 m; EK = 68,73 m; AF = 150,89 m; FK =68,73 m; AG = HB = 91,10 m; β = 82° 02ʹ 36ʺ, β/2 = 41° 01ʹ 18ʺ; IE = 5+020,50 = 50+20,50; IK = 5+191,47 = 51+91,47; IV = 5+362,43 = 53+62,43. 8. feladat

! AS = T = 437,04 m; AB = 663,70 m; SK = 192,46 m; AE = 295,07 m; EK = 129,94 m; AF = 295,07 m; FK = 129,94 m; AG = HB = 176,15 m; β = 94g 36c 88cc β/2 = 47g 18c 44cc; IE = 1+235,40 = 12+35,40; IK = 1+567,25 = 15+67,25; IV = 1+899,10 = 18+99,10.


196

9. feladat A körív részletpontjainak kitűzési adatai: Szelvény IE = 1+751,50 +761,50 +771,50 Védőcső: +776,00 +781,50 +791,50 +801,50 +811,50 +821,50 +831,50 IK = 1+839,08

x 0,00 9,99 19,96 24,42 29,86 39,67 49,36 58,90 68,25 77,39 84,17

y 0,00 0,28 1,11 1,66 2,49 4,43 6,90 9,91 13,44 17,49 20,89

Szelvény IV = 1+926,67 +916,67 +906,67 +896,67 +886,67 +876,67 +866,67 +856,67 +846,67 IK = 1+839,08

x 0,00 9,99 19,96 29,86 39,67 49,36 58,90 68,25 77,39 84,17

y 0,00 0,28 1,11 2,49 4,43 6,90 9,91 13,44 17,49 20,89

Részeredmények: ! AS = 95,22 m; AB = 175,17 m; SK = 23,63 m; AE = 84,17 m; EK = 20,89 m; β = 138g 04 c 63cc; β/2 = 69g 02 c 32 cc; IE = 1+751,50; IK = 1+839,08; IV = 1+926,67. Védőcső: Δl = 24,50 m; γ = 7° 47ʹ 55ʺ; x = 24,42 m; y = 1,66 m. 10. feladat A körív részletpontjainak kitűzési adatai: Szelvény IE = 25+45,00 +65,00 +85,00 Védőcső: 26+00,00 +05,00 +25,00 IK = 26+45,55

x 0,000 19,992 39,933 54,827 59,775 79,468 99,498

y 0,000 0,500 1,998 3,775 4,492 7,973 12,573

Szelvény IV = 27+46,11 +26,11 +06,11 26+86,11 +66,11 IK = 26+45,55

x 0,000 19,992 39,933 59,775 79,468 99,498

y 0,000 0,500 1,998 4,492 7,973 12,573

Részeredmények: ! AS = 102,727 m; AB = 201,108 m; SK = 12,981 m; AE = 99,498 m; EK = 12,573 m; β = 151° 11ʹ 36ʺ; β/2 = 75° 35ʹ 48ʺ; IE = 25+45,00; IK = 26+45,55; IV = 27+46,11. Védőcső: Δl = 55,00 m; γ = 7° 52ʹ 41ʺ; x = 54,827 m; y = 3,775 m.

MEGOLDÁSOK 11. feladat A körív részletpontjainak kitűzési adatai IE és IK = K között: Szelvény

Δs

IV = 0+815,30 Műszerállás

17,95

°

δ ʹ

ʺ

1

50

10

+833,25 20,00

2

02

20,00

2

02

47

20,00

2

02

47

+873,25 +893,25 2

02

l ʹ

ʺ

0

00

00

1

50

10

3

52

57

5

55

44

7

58

31

10

01

18

47

+853,25

20,00

°

47

IK = 0+913,25

A körív részletpontjainak kitűzési adatai IV és IK között: Szelvény

Δs

IV = 1+011,19 Műszerállás

17,95

°

δ ʹ

ʺ

1

50

10

+993,25 20,00

2

02

2

02

2

02

20,00

2

02

0

00

00

358

09

50

356

07

03

354

04

16

352

01

29

349

58

42

47

+933,25 IK = 0+913,25

ʺ

47

+953,25 20,00

l ʹ

47

+973,25 20,00

°

47

Részeredmények: ! AS = 102,15 m; AB = 195,89 m; SK = 18,05 m; IE = 0+815,30; IK = 0+913,25; IV = 1+011,19.

197


198

12. feladat A körív részletpontjainak kitűzési adatai IE és IK = K között: Szelvény

Δs

IE = 8+345,20 Műszerállás

11,01

g

δ c

cc

1

13

05

+356,21 20,00

2

05

2

05

2

05

2

05

2

05

2

05

00

1

13

05

3

18

41

5

23

77

7

29

14

9

34

50

11

39

86

13

45

22

36

+456,21 20,00

00

36

+436,21 20,00

0

36

+416,21 20,00

cc

36

+396,21 20,00

l c

36

+376,21 20,00

g

36

IK = 8+476,21

A körív részletpontjainak kitűzési adatai IV és IK között: g

δ c

cc

11,01

1

13

05

20,00

2

05

36

20,00

2

05

36

20,00

2

05

36

20,00

2

05

36

20,00

2

05

36

20,00

2

05

36

Szelvény

Δs

IV = 8+607,22 Műszerállás +596,21 +576,21 +556,21 +536,21 +516,21 +496,21 IK = 8+476,21

g

l c

cc

0

00

00

398

86

95

396

81

59

394

76

23

392

70

86

390

65

50

388

60

14

386

54

78

MEGOLDÁSOK

199

Részeredmények: ! AS = 139,41 m; AB = 262,02 m; SK = 29,91 m; IE = 8+345,20; IK = 8+476,21; IV = 8+607,22. 13. feladat

! AS = T = 226,01 m; AB = 408,30 m; SK = 57,41 m; AE = 194,95 m; EK = 48,28 m; AG = HB = 119,89 m; GK = KH = 89,25 m; ÁE = 25+242,80; ÁV ≡ IE = 25+308,13; IK = 25+446,95; IV ≡ ÁV = 25+585,77; ÁE = 25+651,10. 14. feladat

! AS = T = 152,388 m; AB = 298,864 m; SK = 17,720 m; AE = 148,001 m; EK = 17,168 m; AG = HB = 80,822 m; GK = KH = 69,338 m; ÁE = 45+18,30; ÁV ≡ IE = 45+41,94; IK = 46+67,73; IV ≡ ÁV = 47+93,53; ÁE = 48+17,16.

15. feladat Kitűzési adatok Szelvény ÁE = 1+618,80 +638,80 +658,80 ÁV ≡ IE = 1+674,80 +686,80 +706,80 +726,80 IK = 1+746,08 +765,36 +785,36 +805,36 IV ≡ ÁE = 1+817,36 +833,36 +853,36 ÁE = 1+873,36

x 0,00 20,00 39,99 55,96 67,90 87,70 107,30 125,94 107,30 87,70 67,90 55,96 39,99 20,00 0,00

y 0,00 0,07 0,54 1,49 2,65 5,50 9,47 14,36 9,47 5,50 2,65 1,49 0,54 0,07 0,00

200


Részeredmények:

! AS = T = 130,13 m; AB = 254,56 m; SK = 14,95 m; AE = 125,94 m; EK = 14,36 m; ÁE = 1+618,80; ÁV ≡ IE = 1+674,80; IK = 1+746,08; IV ≡ ÁV = 1+817,36; ÁE = 1+873,36. 16. feladat Kitűzési adatok Szelvény ÁE = 1+18,80 +38,80 ÁV ≡ IE = 1+47,69 +53,24 +73,24 +93,24 2+13,24 +33,24 IK = 2+49,11 +64,98 +84,98 3+04,98 +24,98 +44,98 IV ≡ ÁV = 3+50,53 +59,42 ÁE = 3+79,42 Részeredmények:

x 0,000 20,000 28,886 34,437 54,391 74,266 94,023 113,623 129,034 113,623 94,023 74,266 54,391 34,437 28,886 20,000 0,000

y 0,000 0,103 0,309 0,521 1,854 4,071 7,169 11,142 14,911 11,142 7,169 4,071 1,854 0,521 0,309 0,103 0,00

! AS = T = 132,960 m; AB = 260,621 m; SK = 15,420 m; AE = 129,034 m; EK = 14,911 m; ÁE = 1+18,80; ÁV ≡ IE = 1+47,69; IK = 2+49,11; IV ≡ ÁV = 3+50,53; ÁE = 3+79,42.

MEGOLDÁSOK

201

17. feladat Kitűzési adatok Szelvény ÁE = 15+319,20 +339,20 +359,20 +379,20 ÁV ≡ IE = 15+385,87 +405,87 +425,87 +445,87 +465,87 IK = 15+480,44

x 0,00 20,00 40,00 59,99 66,65 20,00 39,97 59,90 79,76 94,18

y 0,00 0,03 0,27 0,90 1,23 0,33 1,33 3,00 5,33 7,44

Részeredmények: ! AS = 163,28 m; AB = 322,48 m; SK = 14,21 m; XK = 94,18 m; YK = 7,44 m; ÁE = 15+319,20; ÁV ≡ IE = 15+385,87; IK = 15+480,44; IV ≡ ÁV = 15+575,01; ÁE = 15+641,68. 18. feladat Az átmeneti ív kerületi szögeinek számításához szükséges adatokat táblázatban tüntettük fel: A kitűzendő pontok sorszáma

A táblázat sorainak száma

le = l/p

σʹ I

dʹ

Δ

Táblabeli különbség

Példabeli különbség

Δσʹ σʹ 100 ∙ Δ ∙ dʹ σʹ + Δσ II I + II

ÁE

σjobb

σ bal

0-00-00

360-00-00

Műszerállás

6. 4. 7. 13. 3. 2.

14. 20. 26.

1.

0. ÁV ≡ IE

27. 27. 28.

0,06 0,0667 0,07 0,13 0,1333 0,14 0,20 0,26 0,2667 0,27 0,27 0,2727 0,28

2,06 0,75

0,0067

0,50

2,56

0-02-33

359-57-27

0,52

10,20

0-10-11

359-49-49

0-22-55

359-37-05

2,81 9,68 1,55 11,23 22,92 38,73 3,04

2,03

40,76

0-40-46

359-19-14

3,15

0,86

42,63

0-42-37

359-17-23

41,77 41,77 44,92


202

A számított értékek alapján a kitűzési adatok a fél ármeneti íves körív átmeneti ívére vonatkozólag: Kitűzendő pont

Szelvény

Műszerállás

ÁE = 8+252,10

4.

Δs

20,00

+272,10

°

l ʹ

ʺ

360

00

00

359

57

27

359

49

49

359

37

05

359

19

14

359

17

23

20,00 3.

+292,10 20,00

2.

+312,10 20,00

1.

+332,10 1,82

0.

ÁV ≡ IE = 8+333,92

Részeredmények: ! AS = 219,36 m; AB = 435,55 m; SK = 14,63 m; ÁE = 8+252,10; ÁV ≡ IE = 8+333,92; IK = 8+469,88; IV ≡ ÁV = 8+605,83; ÁE = 8+687,65. 19. feladat A számított értékek alapján a kitűzési adatok a fél ármeneti íves körív átmeneti ívére vonatkozólag: Kitűzendő pont

Szelvény

Műszerállás

ÁE = 9+128,00

4.

Δs

20,00

+148,00

°

l ʹ

ʺ

0

00

00

0

05

44

0

22

55

0

51

34

1

31

40

1

53

11

20,00 3.

+168,00 20,00

2.

+188,00 20,00

1.

+208,00 8,89

0.

ÁV ≡ IE = 9+216,89

MEGOLDÁSOK

203

Részeredmények: ! AS = 170,66 m; AB = 334,65 m; SK = 18,07 m; ÁE = 9+128,00; ÁV ≡ IE = 9+216,89; IK = 9+295,33; IV ≡ ÁV = 9+373,76; ÁE = 9+462,65. 20. feladat

! α = 71° 26ʹ 00ʺ; β = 108° 34ʹ 00ʺ; AS = 143,80 m; AB = 249,35 m; SK = 46,33 m; AE = 116,76 m; EK = 37,62 m; AG = GK = KH = HB = 64,44 m; SC = 40,65 m; SD = 34,72 m; AC = 103,16 m; BD = 109,08 m; IE = 23+08,50; IK = 24+33,17; IV = 25+57,85. 21. feladat

! α = 86° 59ʹ 00ʺ; β = 93° 01ʹ 00ʺ; AS = 284,61 m; AB = 455,44 m; SK = 113,52 m; AE = 206,47 m; EK = 82,36 m; AG = GK = KH = HB = 119,66 m; SC = 112,63 m; SD = 132,20 m; AC = 171,98 m; BD = 152,40 m; IE = 2+659,80; IK = 2+887,52; IV = 3+115,24. 22. feladat

! α = 16° 35ʹ 52ʺ; AS = 43,76 m; AB = 86,91 m; SK = 3,17 m; H’ = 83,87m; H = 171,39 m; AE = 43,30 m; EK = 3,14 m; IE1 = 2+15,80; IK1 = 2+59,25; IV1 = IE2 = 3+02,71; IK2 = 3+46,16; IV2 = 3+89,61.

23. feladat

! α = 11° 52ʹ 57ʺ; AS = 36,42 m; AB = 72,59 m; SK = 1,89 m; H’ = 71,29 m; H = 144,14 m; AE = 36,23 m; EK = 1,88 m; IE1 = 4+205,20; IK1 = 4+241,49; IV1 = IE2 = 4+277,79; IK2 = 4+314,08; IV2 = 4+350,37. 24. feladat

γ = 1° 08’ 45”; O1O2 = 600,12 m; β = 14° 52’ 42”; α = 13° 43’ 57”; AS = 36,12 m; ! AB = 71,90 m; SK = 2,17 m; AE = 35,87 m; EK = 2,15 m; IE1 = 0+80,50; IK1 = 1+16,45; IV1 = 1+52,40; IE2 = 1+64,40; IK2 = 2+00,35; IV2= 2+36,31; H’ = 81,84 m; H = 154,09 m.

205

7.

KOORDINÁTA-RENDSZEREK, VETÜLETI RENDSZEREK, TÉRKÉPEK

7.1. Derékszögű és poláris koordináta számítása Mintapélda: Számítsa ki a 101-es pont derékszögű koordinátáit, ha adottak az ismert 2001-es számú ponthoz viszonyított poláris koordinátái (7.1. táblázat)! Adott pont derékszögű, és számítandó pontok poláris koordinátái. 7.1. táblázat y2001 = 623 434,34 m; x2001 = 342 453,43 m Pontszám 101 102 103 104 105 106 107 108 109

Távolság, l (m) 232,534 545,345 3542,545 2325,656 4534,556 3423,887 598,798 986,564 846,455

Irányszög, δ ° ′ ″ 12-45-34 331-34-24 54-53-42 42-34-54 110-23-54 333-45-23 278-44-34 223-45-34 197-45-01

206 KOORDINÁTA-RENDSZEREK, VETÜLETI RENDSZEREK, TÉRKÉPEK Megoldás: A 101-es pont koordinátái: y101 = l ∙ sin δ + y2001 = 232,534 ∙ sin (12-45-34) + 623434,34 = 623 485,70 m. x101 = l ∙ cos δ + x2001 = 232,534 ∙ cos (12-45-34) + 324453,43 = 342 680,22 m. 1. feladat Számítsa ki a 102–109-es pontok derékszögű koordinátáit, ha adottak az ismert 2001-es számú ponthoz viszonyított poláris koordinátáik (7.1. táblázat)!

Mintapélda: Számítsa ki a 101-es pont poláris koordinátáit a 2001-es ponthoz viszonyítva, ha EOV koordináta-rendszerben dolgozik (7.2. táblázat)! Pontok derékszögű koordinátái. 7.2. táblázat Pontszám 2001 101 102 103 104 105 106 107 108 109

y 653 453,67 634 453,56 646 878,65 687 456,45 699 342,45 634 012,32 602 132,78 634 111,98 645 398,32 644 243,34

x 234 434,56 257 786,76 298 453,67 278 453,76 201 321,45 210 345,56 234 464,76 298 465,77 211 477,70 206 424,01

Megoldás: A távolság számítása: Δy101 = y101 − y2001 = 634453,56 − 653453,67 = −19000,11 m. Δx101 = x101 − x2001 = 257786,76 − 234434,56 = +23352,20 m. t101 =

2 Dy1012 + Dx1012 = ^-19 000,11h + 23 352,202 = 30 105,31 m.

DERÉKSZÖGŰ ÉS POLÁRIS KOORDINÁTA SZÁMÍTÁSA

207

Az irányszög főértéke: a101 = arc tg

Dy101 - 19 000,11 = arc tg = 39° 07ʹ 59ʺ. + 23 352,20 Dx101

A Δy értéke negatív, a Δx értéke pozitív, tehát a tanultak szerint: δ = 360° − α. δ101 = 320º 52ʹ 01ʺ. 2. feladat Számítsa ki a 102–109-es pontok poláris koordinátáit a 2001-es ponthoz viszonyítva, ha észak–keleti tájolású EOV koordináta-rendszerben dolgozik (7.2. táblázat)! 3. feladat Számítsa ki a 201–209-es pontok poláris koordinátáit a 3001-es ponthoz viszonyítva (7.3. táblázat)! Pontok derékszögű koordinátái. 7.3. táblázat Pontszám 3001 201 202 203 204 205 206 207 208 209

y +342,56 +545,65 −342,56 +564,76 −342,45 +1232,56 −786,65 −436,76 +213,01 +588,65

x −2443,65 +4563,54 +2342,45 −456,76 −977,64 −3376,99 −2012,65 +443,98 −3354,87 −487,01

208 KOORDINÁTA-RENDSZEREK, VETÜLETI RENDSZEREK, TÉRKÉPEK

7.2. Geodéziai főfeladatok 4. feladat Számítsa ki a P pont koordinátáit (7.1. ábra)! 1002 y = +160,56 m x = +356,27 m 2001 y = +321,37 m x = +312,35 m 1002 P

55,00

2001

7.1. ábra. Két pontjával adott egyenesen fekvő pont koordinátáinak számítása A megoldás lépései: • 1002-ről a 2001-re menő irány kiszámítása a koordinátákból; • A P pont koordinátáinak számítása a meghatározott irányszög és az adott távolság alapján. 5. feladat Számítsa ki a P pont koordinátáit, ha a P pont a szakaszt 1/3–2/3 arányban osztja fel (7.2. ábra)! 102 y = +333,72 m x = +394,22 m 103 y = +443,92 m x = +461,66 m 103

P

2/3

102 1/3

7.2. ábra. Két pontjával adott egyenesen fekvő pont koordinátáinak számítása

GEODÉZIAI FŐFELADATOK

209

6. feladat Számítsa ki az 501-es számú pont koordinátáit (7.3. ábra)! 203

y = +242,88 m

x = +325,10 m

104

y = +418,26 m

x = +417,44 m

α = 26-37-43 t = 256,21 m 104

203

α

t

501

7.3. ábra. Poláris pont számítása

A megoldás lépései: • 203-ról 104 pontra menő irányszög meghatározása; • 203-ról 501-re menő irányszög meghatározása; • 501. sz. pont koordinátáinak számítása. 7. feladat Számítsa ki az 501-es és az 502-es számú pontok koordinátáit! Az 501-es pont a 101–102 szakasz felezőpontja (7.4. ábra). 101

y = −107,58 m

x = +342,37 m

102

y = +330,84 m

x = +242,18 m

β = 59-58-14 t = 245,07 m

210 KOORDINÁTA-RENDSZEREK, VETÜLETI RENDSZEREK, TÉRKÉPEK 101

1/2

501

1/2

102

β

t 502

7.4. ábra. Poláris pontok számítása (összetett feladat) 8. feladat Számítsa ki az 503-as és az 504-es pontok közötti távolságot a 7.5. ábrán látható irány- és távmérési hálózat mérési adatai alapján! α = 56-34-42

t202–502 = 204,82 m

β = 65-12-51

t502–503 = 316,45 m

δ = 18-05-51

t201–504 = 138,73 m

Pontszám 201 202 203

y +203,39 +544,92 +360,16

x +336,46 +282,39 +198,48

201 202 δ

501

1/2

α

1/2 504 203

503

β

7.5. ábra. Poláris pont számítása (összetett feladat)

502


211

9. feladat Számítsa ki a 7.6. ábrán látható irány- és távmérési hálózat mérési eredményei (7.4. táblázat) alapján az ismeretlen pontok koordinátáit! A pontok koordinátái méter mértékegységben értendők. Irány- és távmérési hálózat mérési eredményei. 7.4. táblázat Pontszám 1 2 3 4

y +1345,80 +786,49 +1402,71 +2057,39

x +934,24 +432,89 +118,44 +223,38

A 7.6. ábrán végezze el az ismeretlen pontok azonosítását és lássa el azokat pontszámokkal!

0 37ʹ 31°

4ʺ


715,98

4

6 0,2 98

09 ʺ 28° 39ʹ

5ʹ 59 ʺ

700,63

ʺ 15 6ʹ 2 ° 35

24° 22ʹ 37ʺ 242,0

0

2

287,96

778,95

73° 41ʹ 53ʺ

ʺ 3ʹ 19 12° 3

688 ,9

0

102° 53ʹ 31ʺ

7.6. ábra. Irány- és távmérési hálózat

1

3

331,54

56 5,4 6

47 5,7 5

41° 2 4ʺ 50° 52ʹ 4


213

Mintapélda: Számítsa ki az M pont koordinátáit (7.7.a) ábra)! 201

y = 722,21 m

x = 473,07 m

221

y = 1197,79 m

x = 665,00 m

δ201–M = 113-47-53 δ221–M = 194-33-58 221

δ221–M

δ201–M 201

M

7.7.a) ábra. Két egyenes metszéspontja koordinátáinak számítása Megoldás:

221 β t

201

a α b

γ M

7.7.b) ábra. A pontok által meghatározott háromszög adatai Koordinátákból: δ201–221 = 68-01-21; δ221–201 = 248-01-21; t201–221 = 512,848 m. α = δ201–M − δ201–221 = (113-47-53) − (68-01-21) = 45-46-32. β = δ221–201 − δ221–M = (248-01-21) − (194-33-58) = 53-27-23.

214 KOORDINÁTA-RENDSZEREK, VETÜLETI RENDSZEREK, TÉRKÉPEK γ = 180 − (α + β) = 80-46-05. Ezen a szögek és a t oldal ismeretében szinusztétel segítségével számítható a háromszög a és b oldala: a = 512, 848 $ b = 512, 848 $

sin ^45-46-32h = 372,34 m. sin ^80-46-05h sin ^53-27-23h = 417,43 m. sin ^80-46-05h

Ezek után poláriskoordináta-számítással kaphatjuk az M pont koordinátáit, a 201-es pont felől, majd ellenőrzésképpen a 221-es pontról: yM = 722,21 + 417,43 ∙ sin (113-47-53) = +1104,15 m. xM = 473,07 + 417,43 ∙ cos (113-47-53) = +304,63 m. yM = 1197,79 + 372,34 ∙ sin (194-33-58) = +1104,15 m. xM = 665,00 + 372,34 ∙ cos (194-33-58) = +304,63 m. 10. feladat Számítsa ki az 1001-es pont koordinátáit (7.8. ábra)! 501 y = +1790,98 m x = +1201,83 m 504 y = +2292,49 m x = +896,04 m δ501–1001 = 173-06-05 δ504–1001 = 251-23-04

501

δ501–1001

504 δ504–1001

1001

7.8. ábra. Két egyenes metszéspontja koordinátáinak számítása


215

11. feladat Számítsa ki az 501–505-ös pontok koordinátáit (7.9. ábra)! A koordináták méter mértékegységben értendőek. δ501–502 = 176-58-57 δ101–502 = 75-30-13 δ503–504 = 52-17-54 δ103–504 = 160-27-20 α = 25-33-25 t101–503 = 1898,11 m Pontszám 101 102 103

y +3389,52 +4012,61 +5745,59 102

x +1766,83 +2856,26 +2583,90 1/3

501

2/3

502

α 101

1/2

103

505

503

7.9. ábra. Koordináták számítása

1/2

504


7.3. Megoldások 1. feladat Pontszám 102 103 104

y 623 174,74 m 626 332,49 m 625 007,97 m

x 342 933,02 m 344 490,66 m 344 165,84 m

Távolság (m) 64 355,86 55 622,65 56 588,50

Irányszög (° ′ ″) 354-08-10 37-41-04 125-48-50

Távolság (m) 7010,13 4834,89 1999,28 1618,15 1289,66 1208,67 2990,94 920,38 1972,05

Irányszög (° ′ ″) 1-39-37 351-51-13 6-22-52 334-57-18 136-21-42 290-53-28 344-53-48 188-05-30 7-10-07

2. feladat Pontszám 102 103 104 3. feladat Pontszám 201 202 203 204 205 206 207 208 209 4. feladat δ1002–2001 = 105-16-33; yP = +213,62 m; xP = +341,78 m.

MEGOLDÁSOK 5. feladat yP = +370,45 m; xP = +416,70 m. 6. feladat y501 = +499,04 m; x501 = +330,19 m. 7. feladat y501 = +111,63 m; x501 = +292.28 m; y502 = +183,92 m; x502 = +58,11 m. 8. feladat t503–504 = 137,32 m. Részeredmények: Pontszám 501 502 503 504

y +452,54 m +512,89 m +197,27 m +273,90 m

x +240,43 m +80,09 m +103,05 m +216,99 m

y +1730,07 m +1308,35 m +1655,37 m +1902,44 m +2379,56 m +1675,52 m +976,25 m +1036,18 m +748,39 m +571,75 m

x +170,91 m +547,62 m +477,78 m +899,22 m +42,91 m −87,27 m −43,52 m +190,94 m +181,07 m +846,94 m

9. feladat Pontszám 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

217

218 KOORDINÁTA-RENDSZEREK, VETÜLETI RENDSZEREK, TÉRKÉPEK 1

21

27

19 20

2

25

18

4

26 3 22 24

23

10. feladat y1001 = +1846,17 m; x1001 = +745,70 m. 11. feladat A koordináták méter mértékegységben értendők. Psz 501 502 503 504 505

y +4590,27 +4626,06 +5252,37 +5968,44 +5297,25

x +2765,47 +2086,54 +1402,68 +1956,15 +2021,35

219

8. VIZSZINTES ALAPPONTOK MEGHATÁROZÁSA

8.1. Előmetszés Előmetszés belső szögekkel Mintapélda: Számítsa ki az előmetszéssel meghatározott P pont koordinátáit az EOV rendszerben lévő koordináták alapján (8.1. ábra). Az A és B pontokon két távcsőállásban szöget mértünk. Koordinátajegyzék y (m) x (m) 641 356,443 249 257,767 641 698,783 249 248,513

Pontszám A B

α = 71° 14′ 05″; β = 56° 43′ 37″ +x

P γ

z +x δʼAP A

α

z +x δAB

δʼBP

β B

δBA +y

8.1. ábra. Előmetszés belső szögekkel

VIZSZINTES ALAPPONTOK MEGHATÁROZÁSA

220 Megoldás: •

Az irányszögek számítása: α = arc tg = arc tg

yB - y A 641 698,783 - 641 356,443 = arc tg = 249 248,513 - 249 257,767 xB x A

+342,340 = 88° 27′ 06″. -9,254

Δy pozitív, Δx negatív előjelű → II. negyed: δ = 180° − α. Tehát δAB = 180° − (88° 27′ 08″) = 91° 32′ 54″; δBA = δAB ± 180° = 271° 32′ 54″. •

Az oldalhosszak számítása: AB =

^ yB - yAh2 + ^ xB - xAh2 =

2 342,3402 + ^-9,254h = 342,465 m.

az α, és a β szögek ismeretében számoljuk a γ szöget: γ = 180° − (α + β) = 180° − [(71° 14′ 05″) + (56° 43′ 37″)] = 52° 02′ 18″. Az AP és a BP oldalak hosszát szinusztétellel számítjuk:

•

AP = AB $

sin b sin 56c 43l 37m = 342,465 ∙ = 363,160 m, sin c sin 52c 02l 18m

BP = AB $

sin a sin 71c 14l 05m = 342,465 ∙ = 411,278 m. sin c sin 52c 02l 18m

A tájékozott irányértékek számítása: A δʼAP, δʼBP tájékozott irányértékeket az irányszögekből (δAB, δBA) és a mért szögekből (α, β) számoljuk P pont helyzetének megfelelően (8.1. ábra). δ’AP = δAB − α = (91° 32′ 54″) − (71° 14′ 05″) = 20° 18′ 49″, δ’BP = δBA + β = (271° 32′ 54″) + (56° 43′ 37″) = 328° 16′ 31″.

•

A bemért P pont koordinátáinak számítása az A pontból: yP = yA + AP ∙ sin δ’AP = 641356,443 + 363,160 ∙ sin (20° 18′ 49″) = 641 482,517 m, xP = xA + AP ∙ cos δ’AP = 249257,767 +363,160 ∙ cos (20° 18′ 49″) = 249 598,340 m.

•

A bemért P pont koordinátáinak számítása a B pontból (ellenőrzés): yP = yB + BP ∙ sin δ’BP = 641698,783 + 411,278 ∙ sin (328° 16′ 31″) = 641 482,517 m, xP = xB + BP ∙ cos δ’BP = 249248,513 + 411,278 ∙ cos (328° 16′ 31″) = 249 598,340 m.

ELŐMETSZÉS

221

1. feladat Számítsa ki az előmetszéssel meghatározott 15-ös jelű pont koordinátáit, a 3, 4 pontok adatai, és az ezeken két távcsőállásban mért szögek alapján, a 8.2. ábra szerint, É–K-i koordináta-rendszerben! Pontszám 3 4

Koordinátajegyzék y (m) x (m) +2942,15 +2862,36 +3041,87 +2893,60

α = 58° 15’ 41″ β = 61° 51’ 38″ +x 4 β 3

α γ 15

−y

+y −x


2. feladat Számítsa ki az előmetszéssel meghatározott 30-as számú pont koordinátáit, a 8, 9 pontok adatai, és az ezeken két távcsőállásban mért szögek alapján, a 8.3. ábra szerint, D–Ny-i koordináta-rendszerben! Pontszám 8 9

Koordinátajegyzék y (m) x (m) +1054,683 +483,662 +1013,703 +529,823

α = 69°57’26″ β = 54°54’37″

222

VIZSZINTES ALAPPONTOK MEGHATÁROZÁSA −x +y

−y

8 α β

9

γ 30 +x


Előmetszés tájékozott irányértékekkel Mintapélda: Számítsa ki az előmetszéssel meghatározott 10-es számú pont koordinátáit az 1, 2, 3, 4, 5, 6 pontok adatai, valamint a 3-as és 4-es pontokon két távcsőállásban mért szögmérési eredmények alapján, EOV rendszerben (8.1. táblázat, 8.4. ábra)! Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) 1 606 352,48 204 650,50 2 606 918,00 204 808,86 3 606 912,55 204 229,03 4 607 409,13 203 998,52 5 607 480,76 204 850,08 6 608 000,17 204 849,60

+x

5 2

6

1 3 4

10 +y

8.4. ábra. Előmetszés tájékozott irányértékekkel

4

3

Álláspont

294

348

328

4

34

201

1

2

2

5

6

10

52

43

45

43

23

48

52

18

30

172

5

11

29

03

58

08

49

58

02

ʺ

ʹ

ʹ

°

ʺ

I. középértéke

I. távcsőállás

10

Irányzott pont

Dátum: 2010. 11. 28.

21

214

184

148

168

114

352

210

°

52

43

44

44

23

48

53

18

ʹ

10

29

55

20

10

54

18

08

ʺ

II. távcsőállás ʹ

ʺ

II. középértéke °

ʹ

ʺ

I. és II. középértéke, Irányérték l

Szögmérési jegyzőkönyv. 8.1. táblázat

°

ʹ

Tájékozási szög z ʺ

°

ʹ

Irányszög, Tájékozott irányérték δ, δʼ ʺ

távolság kilométerben

Jegyzet

Műszer: Zeiss Theo 020 (331)

ELŐMETSZÉS 223


224 Megoldás: •

Az irányértékek számítása: Az irányértékeket a szögmérési jegyzőkönyv alapján számoljuk, a korábban tanultak szerint. Pl. a 3. ponton, mint állásponton az 5. pontra mért leolvasási értékek: lI = 30° 18ʹ 02ʺ és lII = 210° 18ʹ 08ʺ, az irányérték l = 30° 18ʹ 05ʺ. A fenti műveletet minden egyes szögmérésnél elvégezzük, és az eredményeket beírjuk a szögmérési jegyzőkönyvbe (8.1.M táblázat).

•

Az irányszögek és a távolságok számítása: 3–4 irány α = arc tg

y4 - y3 +496,58 = arc tg = 65° 05′ 58″ → II. negyed: δ = 180° − α, -230,51 x4 x3

δ3–4 = 114° 54′ 02″; δ4–3 = δ3–4 ± 180° = 294° 54′ 02″, 34 =

^ y4 - y3h2 + ^ x4 - x3h2 = 547,473 m.

3–5 irány α = arc tg

y5 - y3 +568,21 = arc tg = 42° 27′ 21″ → I. negyed: δ = α, +621,05 x5 - x3

δ3–5 = 42° 27′ 21″, 35 =

^ y5 - y3h2 + ^ x5 - x3h2 = 841,76 m ≈ 0,8 km.


y1 - y3 -560,07 = arc tg = 53° 02′ 15″ → IV. negyed: δ = 360° − α, +421,47 x1 - x3

δ3–1 = 306° 57′ 45″, 31 =

^ y1 - y3h2 + ^ x1 - x3h2 = 700,94 m ≈ 0,7 km.

3–2 irány y2 - y3 +5,45 = arc tg = 0° 32′ 19″ → I. negyed: δ = α, +579,83 x2 - x3 δ3–2 = 0° 32′ 19″,

α = arc tg

32 =

^ y2 - y3h2 + ^ x2 - x3h2 = 579,86 m ≈ 0,6 km.

ELŐMETSZÉS

225


y2 - y4 -491,13 = arc tg = 31° 13′ 09″ → IV. negyed: δ = 360 − α, +810,34 x2 - x4

δ4–2 = 328° 46′ 51″, 42 =

^ y2 - y4h2 + ^ x2 - x4h2 =947,55 m ≈ 0,9 km.



δ4–5 = 4° 48′ 29″, 45 =

^ y5 - y4h2 + ^ x5 - x4h2 = 854,57 m ≈ 0,9 km.



δ4–6 = 34° 46′ 42″, 46 =

^ y6 - y4h2 + ^ x6 - x4h2 = 1036,18 m ≈ 1,0 km.

A kiszámolt irányszögeket és távolságokat (km egységben) írjuk be a jegyzőkönyvbe! •

A tájékozási és középtájékozási szögek számítása a z = δ − l összefüggés alapján – a 3-as alapponton z3–5 = (42° 27ʹ 21ʺ) − (30° 18ʹ 05ʺ) = 12° 09ʹ 16ʺ, z3–1 = (306° 57ʹ 45ʺ) − (249° 48ʹ 52ʺ) = 12° 08ʹ 53ʺ, z3–2 = (0° 32ʹ 19ʺ) − (348° 23ʹ 09ʺ) = 12° 09ʹ 10ʺ. A középtájékozási szög számítása: Alap: 12° 08ʹ 00ʺ, z3–5 = 12° 08ʹ 76ʺ, z3–1 = 12° 08ʹ 53ʺ, z3–2 = 12° 08ʹ 70ʺ. zk3ʺ =

^ z3-5 $ t3-5h + ^ z3-1 $ t3-1h + ^ z3-2 $ t3-2h

t3-5 + t3-1 + t3-2

= 67ʺ = 1ʹ 07ʺ, zk3 = (12° 08ʹ 00ʺ) + (1ʹ 07ʺ) = 12° 09ʹ 07ʺ.

=

76m $ 0,8 + 53m $ 0,7 + 70m $ 0,6 = 0,8 + 0,7 + 0,6

226


– a 4-es alapponton: z4–2 = (328° 46ʹ 51ʺ) − (328° 44ʹ 09ʺ) = 0° 02ʹ 42ʺ, z4–5 = (4° 48ʹ 29ʺ) − (4° 44ʹ 59ʺ) = 0° 03ʹ 30ʺ, z4–6 = (34° 46ʹ 42ʺ) − (34° 43ʹ 29ʺ) = 0° 03ʹ 13ʺ. A középtájékozási szög számítása: Alap: 0° 02ʹ 00ʺ; z3–5 = 0° 02ʹ 42ʺ; z3–1 = 0° 02ʹ 90ʺ; z3–2 = 0° 02ʹ 73ʺ. zk4ʺ =

^ z4-2 $ t4-2h + ^ z4-5 $ t4-5h + ^ z4-6 $ t4-6h

t4-2 + t4-5 + t4-6

=

42m $ 0,9 + 90m $ 0,9 + 73m $ 1,0 = 0,9 + 0,9 + 1,0

= 69ʺ = 1ʹ 09ʺ, zk4 = (0° 02ʹ 00ʺ) + (1ʹ 09ʺ) = 0° 03ʹ 09ʺ. •

A 10-es pontot meghatározó tájékozott irányértékek számítása a δ’ = l + z k öszszefüggés alapján: – a 3-as alappontról: δ’3–10 = l10 + z k3 = (172° 53ʹ 08ʺ) + (12° 09ʹ 07ʺ) = 185° 02ʹ 15ʺ. – a 4-es alappontról: δ’4–10 = l10 + z k4 = (201° 52ʹ 10ʺ) + (0° 03ʹ 09ʺ) = 201° 55ʹ 19ʺ.

•

A háromszög belső szögeinek számítása: α = δ’3–10 − δ3–4 = (185° 02ʹ 15ʺ) − (114° 54′ 02″) = 70° 08ʹ 13ʺ, β = δ4–3 − δ’4–10 = (294° 54′ 02″) − (201° 55ʹ 19ʺ) = 92° 58ʹ 43ʺ, γ = δ’4–10 − δ’3–10 = (201° 55ʹ 19ʺ) − (185° 02ʹ 15ʺ) = 16° 53ʹ 04ʺ. – ellenőrzés: α + β + γ = (70° 08ʹ 13ʺ) + (92° 58ʹ 43ʺ) + (16° 53ʹ 04ʺ) = 180°.

•

A háromszög oldalainak számítása: 3–10 = 3–4 ∙

sin ^92c 58l 43mh sin b = 547,473 ∙ = 1882,415 m, sin c sin ^16c 53l 04mh

4–10 = 3–4 ∙

sin ^70c 08l 13mh sin a = 547,473 ∙ = 1772,821 m. sin c sin ^16c 53l 04mh

4

3

Álláspont

4

34

201

5

10

328

2

6

294

348

1

2

52

43

45

43

23

48

52

18

30

172

5

02

11

29

03

58

08

49

58

ʺ

ʹ

ʹ

°

ʺ

I. középértéke

I. távcsőállás

10

Irányzott pont

Dátum: 2010. 11. 28.

21

214

184

148

168

114

352

210

°

52

43

44

44

23

48

53

18

ʹ

10

29

55

20

10

54

18

08

ʺ

II. távcsőállás ʹ

ʺ

II. középértéke

18

294

201

34

4

328

348

52

43

44

44

23

48

53

30 172

ʹ

°

59

zk

10

29

0

0

0

0

03

03

03

02

09

12

zk 09

09

08

09

ʹ

12

12

12

°

ʺ

09

13

30

42

07

10

53

16


09

52

08

05

ʺ

I. és II. középértéke, Irányérték l

57

46 55

201

48

46

32

34

4

328

0

306

27 02

42

ʹ

185

°

ʺ

19

42

29

51

19

45

15

21

Irányszög, Tájékozott irányérték δ, δʼ

1,0

0,9

0,9

0,6

0,7

0,8

távolság kilométerben

Jegyzet

Műszer: Zeiss Theo 020 (331)

A számított szögértékekkel kiegészített szögmérési jegyzőkönyv. 8.1.M táblázat

ELŐMETSZÉS 227

228 •


A 10-es pont koordinátáinak számítása: – a 3-as alappontról: y10 = y3 + 3–10 ∙ sin δ’3–10 = 606912,55 + 1882,415 ∙ sin (185° 02′ 15″) = = 606 747,26 m, x10 = x3 + 3–10 ∙ cos δ’3–10 = 204229,03 + 1882,415 ∙ cos (185° 02′ 15″) = = 202 353,89 m. – a 4-es alappontról (ellenőrzés): y10 = y4 + 4–10 ∙ sin δ’4–10 = 607409,13 + 1772,821 ∙ sin (201° 55ʹ 19ʺ) = = 606 747,26 m, x10 = x4 + 4–10 ∙ cos δ’4–10 = 203998,52 + 1772,821 ∙ cos (201° 55ʹ 19ʺ) = = 202 353,89 m.

3. feladat Számítsa ki az előmetszéssel meghatározott 12-es jelű pont koordinátáit az 5 és 6 pontok adatai, és az ezeken két távcsőállásban mért irányértékek alapján, É–K-i koordináta-rendszerben (8.5. ábra)! +x

Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) 5 +1093,132 +301,978 6 −933,529 +394,673 Szögmérési adatok Álláspont: 5 Álláspont: 6 Pont- Irányérték (l) Pont- Irányérték (l) szám ° ʹ ʺ szám ° ʹ ʺ 12 284 17 48 5 20 30 00 6 340 42 36 12 67 16 42

6 β

α

5

−y

+y γ 12 −x


OLDALMETSZÉS

229

4. feladat Számítsa ki az előmetszéssel meghatározott 11-es jelű pont koordinátáit a 4, 5, 30, 40 pontok adatai, valamint a 4 és 5 pontokon két távcsőállásban mért irányértékek alapján, D–Ny-i koordináta-rendszerben (8.6. ábra)! Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) 4 −3410,54 +865,82 5 −3063,94 +2433,93 30 −3588,40 +217,35 40 −3826,00 +2640,61

−x −y

+y 30

Szögmérési adatok Álláspont: 4 Álláspont: 5 Pont- Irányérték (l) Pont- Irányérték (l) szám ° ʹ ʺ szám ° ʹ ʺ 5 15 40 42 4 94 22 00 11 94 40 20 40 187 04 54 30 198 32 54 11 49 10 06

11 γ

α

β

4

40

5 +x


8.2. Oldalmetszés Mintapélda: Számítsa ki az oldalmetszéssel meghatározott N pont koordinátáit, az A és B pontok adatai, valamint az A és N pontokon két távcsőállásban mért irányérték alapján, EOV rendszerben (8.7. ábra)! Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) A 640 153,00 161 900,17 B 642 494,13 160 767,87


230

z +x

Szögmérési adatok Álláspont: A Álláspont: N +x Pont- Irányérték (l) Pont- Irányérték (l) szám ° ʹ ʺ szám ° ʹ ʺ z +x δAʼ N 168 26 12 14 37 52 N B 218 57 54 95 38 58 B A

limb 0 vo usz n á sa

A

α

zN N

γ

lNB

δʼNA

lNA

zA

lAN

sz bu l i m on á s a 0v

δʼN B

δAB lAB β B β +y

8.7. ábra. Oldalmetszés Megoldás: •

Az irányszögek számítása: α = arc tg

yB - yA +2341,13 642494,13 - 640153,00 = arc tg = arc tg = -1132,30 xB - xA 160767,87 - 161900,17

= 64° 11′ 20″. Δy pozitív, Δx negatív előjelű, ezért II. negyed → δ = 180° − α°. Tehát δAB = 180° − (64° 11′ 20″) = 115° 48′ 40″; δBA = δAB ± 180° = 295° 48′ 40″. •

Az ismert AB oldal hosszának számítása: AB =

•

^ yB - yAh2 + ^ xB - xAh2 =

2341,132 + 1132,302 = 2600,574 m.

A tájékozási szögek számítása: zA = δAB – lAB = (115° 48′ 40″) – (218° 57′ 54″) = 256° 50′ 46″, δ’AN = zA + lAN = (256° 50′ 46″) + (168° 26′ 12″) = 65° 16′ 58″, δ’NA = δ’AN ± 180° = (65° 16′ 58″) + 180° = 245° 16′ 58″. z N = δ’NA – lNA = (245° 16′ 58″) – (95° 38′ 58″) = 149° 38′ 00″, δ’NB = z N + lNB = (149° 38′ 00″) + (14° 37′ 52″) = 164° 15′ 52″, δ’BN = δ’NB ± 180° = (164° 15′ 52″) + 180° = 344° 15′ 52″.

OLDALMETSZÉS •

231

A háromszög belső szögeinek számítása a 8.7. ábra szerint: α = δAB − δ’AN = (115° 48′ 40″) – (65° 16′ 58″) = 50° 31′ 42″, β = δ’NB − δAB = (164° 15′ 52″) – (115° 48′ 40″) = 48° 27′ 12″, γ = δ’NA − δ’NB = (245° 16′ 58″) – (164° 15′ 52″) = 81° 01′ 06″. – ellenőrzés: α + β + γ = (50° 31′ 42″) + (48° 27′ 12″) + (81° 01′ 06″) = 180°

•

•

A háromszög ismeretlen oldalainak számítása szinusztétellel: AN = AB ∙

sin b sin 48c 27l 12m = 2600,574 ∙ = 1970,472 m, sin c sin 81c 01l 06m

BN = AB ∙

sin a sin 50c 31l 42m = 2600,574 ∙ = 2032,405 m. sin c sin 81c 01l 06m

Az N pont koordinátáinak számítása: – az A pontból yN = yA + AN ∙ sin δ’AN = 640153,00 + 1970,472 ∙ sin (65° 16′ 58″) = 641 942,94 m, xN = xA + AN ∙ cos δ’AN = 161900,17 + 1970,472 ∙ cos (65° 16′ 58″) = 162 724,11 m. – a B pontból (ellenőrzés): yN = yB + BN ∙ sin δ’BN = 642494,13 + 2032,41 ∙ sin (344° 15′ 52″) = 641 942,94 m, xN = xB + BN ∙ cos δ’BN = 160767,87 + 2032,41 ∙ cos (344° 15′ 52″) = 162 724,11 m.

5. feladat Számítsa ki az oldalmetszéssel meghatározott 13 számú pont koordinátáit, a 8 és 9 pontok adatai, valamint a 8 és 13 pontokon két távcsőállásban mért irányértékek alapján, É–K-i koordináta-rendszerben (8.8. ábra)! Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) 8 +1054,683 +483,662 9 +996,705 +473,318

232


Szögmérési adatok Álláspont: 8 Álláspont: 13 Pont- Irányérték (l) Pont- Irányérték (l) szám ° ʹ ʺ szám ° ʹ ʺ 9 35 58 48 8 75 08 58 13 94 29 54 9 133 29 22

+x

13 γ 8

α β 9 −y −x

+y

8.8. ábra. Oldalmetszés

6. feladat Számítsa ki az oldalmetszéssel meghatározott 18-as jelű pont koordinátáit, a 6 és 7 pontok adatai, valamint a 6 és 18 pontokon két távcsőállásban mért irányértékek alapján, D–Ny-i koordináta-rendszerben (8.9. ábra)! Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) 6 −14 305,00 −22 161,63 7 −15 330,07 −22 440,59 Szögmérési adatok Álláspont: 6 Álláspont: 18 Pont- Irányérték (l) Pont- Irányérték (l) szám ° ʹ ʺ szám ° ʹ ʺ 7 135 55 36 6 175 28 18 18 181 10 58 7 241 38 30

−x

7 β 6

α γ 18

+y

+x

8.9. ábra. Oldalmetszés

−y

ÍVMETSZÉS

233

8.3. Ívmetszés Mintapélda: Számítsa ki az ívmetszéssel meghatározott N pont koordinátáit, az A és B pontok adatai és a mérési eredmények alapján, EOV rendszerben (8.10. ábra). +x

Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) 602 006,38 195 001,83 A 602 211,83 195 102,38 B

N

a

b

γ

z +x

z +x δAʼ N δAB

AN = b = 149,83 m,

β

α

BN = a = 151,36 m.

A

δBA

B δʼBN +y

8.10. ábra. Ívmetszés Megoldás: •

Az irányszögek számítása: α = arc tg

yB - yA +205,45 602211,83 - 602006,38 = arc tg = arc tg = +100,55 195102,38 - 195001,83 xB - xA

= 63° 55′ 20″. Δy és Δx pozitív előjelű → I. negyed: δ = α°. Tehát δAB = 63° 55′ 20″; δBA = δAB ± 180° = 243° 55′ 20″. •

Az ismert AB oldal hosszának számítása: AB = tAB =

•

^ yB - yAh2 + ^ xB - xAh2 =

205,452 + 100,552 = 228,74 m.

A háromszög belső szögeinek számítása koszinusztétellel: α = arc cos

2 + b2 - a2 t AB 228,742 + 149,832 - 151,362 = arc cos = 40° 50′ 06″, 2 $ b $ tAB 2 $ 149,83 $ 228,74

β = arc cos

2 + a2 - b2 t AB 228,742 + 151,362 - 149,832 = arc cos = 40° 20′ 11″. 2 $ a $ tAB 2 $ 151,36 $ 228,74

234 •


Az α és a β szögek ismeretében határozzuk meg a γ szöget: γ = 180° − (α + β) = 180° − [(40° 50′ 06″) + (40° 20′ 11″)] = 98° 49′ 43″.

•

A tájékozott irányértékek számítása a 8.10. ábra szerint, értelemszerűen: δ’AN = δAB − α = (65° 55′ 20″) – (40° 50′ 06″) = 23° 05′ 14″, δ’BN = δBA + β = (243° 55′ 20″) + (40° 20′ 11″) = 284° 15′ 31″.

•

Az N pont koordinátáinak számítása: – az A pontból yN = yA + AN ∙ sin δ’AN = 602006,38 + 149,83 ∙ sin (23° 05′ 14″) = 602 065,13 m, x N = xA + AN ∙ cos δ’AN = 195001,83 + 149,83 ∙ cos (23° 05′ 14″) = 195 139,66 m. – a B pontból (ellenőrzés): yN = yB + BN ∙ sin δ’BN = 602211,83 + 151,36 ∙ sin (284° 15′ 31″) = 602 065,13 m, x N = xB + BN ∙ cos δ’BN = 195102,38 + 151,36 ∙ cos (284° 15′ 31″) = 195 139,66 m.

7. feladat Számítsa ki az ívmetszéssel meghatározott 5 számú pont koordinátáit, a 2 és 3 pontok adatai, valamint a mérési eredmények alapján, É–K-i koordináta-rendszerben (8.11. ábra)! Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) 2 −59,13 + 36,27 3 +72,54 +88,98

+x 3 β 2

2–5 = b = 97,44 m,

α

3–5 = a = 113,92 m. −y

γ 5 −x

8.11. ábra. Ívmetszés

+y

KETTŐSEN TÁJÉKOZOTT SOKSZÖGVONAL

235

8. feladat Számítsa ki az ívmetszéssel meghatározott 10-es jelű pont koordinátáit a 7 és 9 pontok adatai, valamint a mérési eredmények alapján, D–Ny-i koordináta-rendszerben (8.12. ábra)! Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) 7 +3163,50 + 3041,71 9 +3115,72 +2958,57

−x +y

−y

9 β

7–10 = b = 49,42 m 9–10 = a = 99,01 m

7

α γ 10

8.12. ábra. Ívmetszés

+x

8.4. Kettősen tájékozott sokszögvonal Mintapélda: Számítsa ki a 8.13. ábrában vázolt kettősen tájékozott sokszögvonal pontjainak koordinátáit EOV koordináta-rendszerben, a megadott adatok alapján. Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) 640 589,498 162 793,619 C 640 201,456 162 305,127 A 640 845,617 162 145,296 B 640 799,813 162 635,990 D

Mérési adatok Pontszám Törésszög (l) ° ʹ ʺ 53 46 47 A 1 205 59 55 2 167 37 49 3 163 55 55 84 50 11 B

t (m)

198,545 211,185 190,415 76,450


236 +x

z +x δA–1 δAC βA tA–1 A

C

β1 1

D

δ1–2

t1–

β2

2

δ2–3

2

δ3–B β3

t2–

3

3

βB

t3–B

B

δBD +y

8.13. ábra. Kettősen tájékozott sokszögvonal Megoldás: •

A tájékozó irányok irányszögeinek számítása: – Kezdő irányszög (δAC) számítása: α = arc tg

yC - yA +388,042 640589,498 - 640201,456 = arc tg = arc tg = +488,492 xC - xA 162793,619 - 162305,127

= 38° 27′ 45″. Δy és Δx is pozitív előjelű, ezért I. negyed: → δ = α°. Tehát δAC = 38° 27′ 45″. – záró irányszög (δBD) számítása: α = arc tg

yD - yB -45,804 640799,813 - 640845,617 = arc tg = arc tg = +490,694 162635,990 - 162145,296 xD - xB

= 5° 19′ 58″. Δy negatív, Δx pozitív előjelű, ezért IV. negyed: → δ = 360° − α°. Tehát δBD = 354° 40′ 02″. •

a tájékozó irányokból és szögmérési eredményekből számoljuk a szögmérésből adódó Δφ szögzáróhibát. – a záró oldal előzetes irányszögének {δBD} meghatározása: {δBD} = δAC + Σβ − (n − 1) ∙ 180º = (38° 27′ 45″) + [(53° 46′ 47″) + (205° 59′ 55″) + + (167° 37′ 49″) + (163° 55′ 55″) + (84° 50′ 11″)] – (4 ∙ 180°) = (38° 27′ 45″) + + [(676° 10′ 37″) + 360°)] − (720°) = 354° 38′ 22″.


237

– a szögzáróhiba: Δφ = δBD – {δBD}= (354° 40′ 02″) – (354° 38′ 22″) = +0° 01′ 40″ = +100″. •

A megengedett szögzáróhiba meghatározása (n a mért szögek száma): Δφm = 90 + 3 ∙ n = 90 + 3 ∙ 5 = 105″ > 100″ tehát a szögmérés jónak tekinthető.

•

A szögzáróhiba elosztása: A jelentkező Δφ szögzáróhibát a mért szögekre egyforma arányban osztjuk el, mert a sokszög oldalai közel egyforma hosszúságúak, így a szögmérés egyenlő súlyúnak tekinthető. D{ A szögzáróhiba elosztásánál ügyelni kell arra, hogy a érték egész másodn perc legyen! D{ = 100 = +20″ Jelen esetben n 5 D{ = (53° 46′ 47″) + 20″ = 53° 47′ 07″, n D{ (β1) = β1 + = (205° 59′ 55″) + 20″ = 206° 00′ 15″, n D{ (β2) = β2 + = (167° 37′ 49″) + 20″ = 167° 38′ 09″, n D{ (β3) = β3 + = (163° 55′ 55″) + 20″ = 163° 56′ 15″, n D{ (βB) = βB + = (84° 50′ 11″) + 20″ = 84° 50′ 31″. n

(βA) = βA +

•

A sokszögoldalak tájékozott irányértékeinek számítása a kiegyenlített (β) szögértékek ismeretében: Az első oldal tájékozott irányértékének számításánál a ±180°-ot figyelmen kívül hagyjuk, mert a kezdő oldal irányszöge (δAC) a haladási iránnyal ellentétes irányú. A továbbiakban a ±180°-kal számolunk a tankönyv 4.3.1. pontjában leírtaknak megfelelően. δ’A–1 = δAC + (βA) = (38° 27′ 45″) + (53° 47′ 07″) = 92° 14′ 52″, δ’1–2 = δ’A–1 + (β1) ± 180° = (92° 14′ 52″) + (206° 00′ 15″) −180° = 118° 15′ 07″, δ’2–3 = δ’1–2 + (β2) ± 180° = (118° 15′ 07″) + (167° 38′ 09″) − 180° = 105° 53′ 16″, δ’3–B = δ’2–3 + (β3) ± 180° = (105° 53′ 16″) + (163° 56′ 15″) − 180° = 89° 49′ 31″, δBD = δ’3–B + (βB) ± 180° = [(89° 49′ 31″) + (84° 50′ 31″) + 360°] − 180° = 354° 40′ 02″.

238 •


Az oldalvetületek számítása a koordinátaszámítás alapképletével: Δy1 = tA–1 ∙ sin δ’A–1 = 198,545 ∙ sin (92° 14′ 52″) = +198,392 m, Δy2 = t1–2 ∙ sin δ’1–2 = 211,185 ∙ sin (118° 15′ 07″) = +186,028 m, Δy3 = t2–3 ∙ sin δ’2–3 = 190,415 ∙ sin (105° 53′ 16″) = +183,141 m, Δy4 = t3–B ∙ sin δ3–B = 76,450 ∙ sin (89° 49′ 31″) = +76,450 m, ΣΔy = (Δy1 + Δy2 + Δy3 + Δy4) = +644,011 m. Δx1 = tA–1 ∙ cos δ’A–1 = 198,545 ∙ cos (92° 14′ 52″) = −7,787 m, Δx2 = t1–2 ∙ cos δ’1–2 = 211,185 ∙ cos (118° 15′ 07″) = −99,964 m, Δx3 = t2–3 ∙ cos δ’2–3 = 190,415 ∙ cos (105° 53′ 16″ = −52,127 m, Δx4 = t3–B ∙ cos δ’3–B = 76,450 ∙ cos (89° 49′ 31″) = +0,233 m, ΣΔx = (Δx1 + Δx2 + Δx3 + Δx4) = −159,645 m.

•

A vonalas záróhiba számítása: dy = (yB – yA) − ΣΔy = [(+640 845,617) – (+640 201,456)] – (+644,011) = +0,150 m, dx = (xB − xA) − ΣΔx = [(+162 145,296) – (+162 305,127)] − (−159,645) = −0,186 m, d=

•

d y2 + d x2 =

2 0,1502 + ^-0,186h = 0,239 m = 23,9 cm.

A megengedett vonalas záróhiba meghatározása: – a sokszögvonal oldalainak összege: Σt = 198,545 + 211,185 +190,415+ 76,450 = 676,595 m. 676,595 Rt = = 6,8 cm. 100 100 dmeg = 14 + 3,5 ∙ T = 14 + 3,5 ∙ 6,8 = 37,8 cm > 23,9 cm, tehát a hosszmérés jónak tekinthető.

T=

A vonalas záróhiba dy és a dx vetületetit a számított oldalvetületek között a sokszögvonal oldalhosszainak arányában osztjuk el, ügyelve arra, hogy a javítási érték egész mm, vagy cm legyen. A vonalas záróhiba elosztása az előzetesen számított oldalvetületek között: dy (Δy1) = Δy1 + ∙ t = (+198,392) + Rt A1 = +198,436 m, dy ∙ t = (+186,028) + (Δy2) = Δy2 + Rt 12 = +186,075 m,

+0,150 ∙ 198,545 = (+198,392) + 0,044 = 676,595 +0,150 ∙ 211,185 = (+186,028) + 0,047 = 676,595


239

dy +0,150 (Δy3) = Δy3 + ∙ t23 = (+183,141) + ∙ 190,415 = (+183,141) + 0,042 = Rt 676,595 = +183,183 m, dy +0,150 (Δy4) = Δy4 + ∙ t = (+76,450) + ∙ 76,450 = (+76,450) + 0,017 = Rt 3B 676,595 = +76,467 m. d -0,186 (Δx1) = Δx1 + x ∙ tA1 = (−7,787) + ∙ 198,545 = (−7,787) + (−0,055) = Rt 676,595 = −7,842 m, d -0,186 ∙ 211,185 = (−99,964) + (−0,058) = (Δx2) = Δx2 + x ∙ t12 = (−99,964) + Rt 676,595 = −100,022 m, d -0,186 (Δx3) = Δx3 + x ∙ t23 = (−52,127) + ∙ 190,415 = (−52,127) + (−0,052) = 676,595 Rt = −52,179 m, d -0,186 (Δx4) = Δx4 + x ∙ t3B = (+0,233) + ∙ 76,450 = (+0,233) + (−0,021) = Rt 676,595 = +0,212 m. •

A sokszögpontok koordinátáinak számítása: y1 = yA + (Δy1) = 640 201,456 +198,436 = 640 399,892 m, y2 = y1 + (Δy2) = 640 399,892 + 186,075 = 640 585,967 m, y3 = y2 + (Δy3) = 640 585,967 + 183,183 = 640 769,150 m, yB = y3 + (Δy4) = 640 769,150 + 76,467 = 640 845,617 m. x1 = xA + (Δx1) = 162 305,127 + (−7,842) = 162 297,285 m, x2 = x1 + (Δx2) = 162 297,285 + (−100,022) = 162 197,263 m, x3 = x2 + (Δx3) = 162 197,263 + (−52,179) = 162 145,084 m, xB = x3 + (Δx4) = 162 145,084 + (+0,212) = 162 145,296 m.

9. feladat Számítsa ki a 8.14. ábrában vázolt kettősen tájékozott sokszögvonal pontjainak koordinátáit É–K-i koordináta-rendszerben, a megadott adatok alapján! Határozza meg a szög-, és vonalas záróhiba értékeit és a hibahatárokat a mintapéldában leírt összefüggések szerint!


240

Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) 10 +2942,452 +3469,187 9 +3015,041 +3397,339 8 +3240,897 +3173,374 7 +3219,413 +3129,599

10

+x

Mérési adatok Pontszám Törésszög (l) ° ʹ ʺ 9 180 19 45 1 179 31 10 2 180 20 38 3 179 33 10 8 251 41 00

t (m)

118,296 94,400 57,133 48,195

β9 β1

9 t9 –

β2

1

1

t1–2

2

β3

t2–

3

3

t3–8

β8 8 7

−y

+y

−x

8.14. ábra. Kettősen tájékozott sokszögvonal 10. feladat Számítsa ki 8.15. ábrában vázolt kettősen tájékozott sokszögvonal pontjainak koordinátáit D–Ny-i koordináta-rendszerben a megadott adatok alapján! Határozza meg a szög-, és vonalas záróhiba értékeit és a hibahatárokat a mintapéldában leírt összefüggések szerint! Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) 10 +13 930,442 +73 638,185 11 +14 477,228 +73 276,455 δ10–9 = 294° 12′ 24″, δ11–12 = 119° 44′ 58″.

Mérési adatok Pontszám Törésszög (l) ° ʹ ʺ 10 190 45 12 1 177 44 39 2 180 06 24 3 180 34 53 11 176 21 56

t (m)

174,042 176,650 163,035 142,095

EGYSZERESEN TÁJÉKOZOTT SOKSZÖGVONAL

241

−x +y 12

−y

11

t3–

11

3

β11

t2–

3

2

β1

t1–

2

β2

1

t1

0– 1

β3

β10

10 9

+x

8.15. ábra. Kettősen tájékozott sokszögvonal

8.5. Egyszeresen tájékozott sokszögvonal Mintapélda: Számítsa ki a 8.16. ábrában vázolt egyszeresen tájékozott sokszögvonal pontjainak koordinátáit EOV rendszerben a megadott adatok alapján! Pontszám C A B

Koordinátajegyzék y (m) x (m) 640 664,38 162 983,18 640 201,32 162 499,51 640 759,58 162 122,91 z +x

+x

δA

δ A1

C

C

1

t1–2

β2 2

t2–3

β3 3

δ 3B

β1

3

–1

δ 2–

2

tA

δ 1–

βA A

Mérési adatok Pontszám Törésszög (l) ° ʹ ʺ 71 12 25 A 1 198 41 52 2 167 17 24 3 183 19 39 – – – B

t3–B

−y −x

B +y

8.16. ábra. Egyszeresen tájékozott sokszögvonal

t (m)

153,43 190,84 162,84 171,38


242 Megoldás: •

Kezdő irányszög (δAC) számítása: y - yA α = arc tg C = 43° 45′ 10″. xC - xA Δy és Δx is pozitív előjelű, ezért I. negyed → δ = α° Tehát δAC = 43° 45′ 10″.

•

A sokszögoldalak tájékozott irányértékeinek számítása: δ’A–1 = δAC + βA = 114° 57′ 35″, δ’1–2 = δ’A–1 + β1 ± 180° = 133° 39′ 27″, δ’2–3 = δ’1–2 + β2 ± 180° = 120° 56′ 51″, δ’3–B = δ’2–3 + β3 ± 180° = 124° 16′ 30″.

•

Az oldalvetületek számítása: Δy1 = tA–1 ∙ sin δ’A–1 = +139,10 m, Δy2 = t1–2 ∙ sin δ’1–2 = +138,07 m, Δy3 = t2–3 ∙ sin δ’2–3 = +139,66 m, Δy4 = t3–B ∙ sin δ3–B = +141,62 m, ΣΔy = (Δy1 + Δy2 + Δy3 + Δy4) = +558,45 m. Δx1 = tA–1 ∙ cos δ’A–1 = −64,74 m, Δx2 = t1–2 ∙ cos δ’1–2 = −131,75 m, Δx3 = t2–3 ∙ cos δ’2–3 = −83,74 m, Δx4 = t3–B ∙ cos δ’3–B = −96,52 m, ΣΔx = (Δx1 + Δx2 + Δx3 + Δx4) = −376,75 m.

•

A vonalas záróhiba számítása: dy = (yB – yA) − ΣΔy = −0,19 m, dx = (xB – xA) − ΣΔx = +0,15 m, d=

•

d y2 + d x2 = 0,24 m = 24,0 cm < dmeg = 14 + 3,5 ∙ T + 20% = 45 cm.

A vonalas záróhiba elosztása: dy ∙ t = +139,06 m, Rt A–1 dy (Δy2) = Δy2 + ∙ t = +138,02 m, Rt 1–2 (Δy1) = Δy1 +

EGYSZERESEN TÁJÉKOZOTT SOKSZÖGVONAL

243

dy ∙ t = +139,61 m, Rt 2–3 dy (Δy4) = Δy4 + ∙ t = +141,57 m. Rt 3–B (Δy3) = Δy3 +

dx Rt d (Δx2) = Δx2 + x Rt d (Δx3) = Δx3 + x Rt d (Δx4) = Δx4 + x Rt (Δx1) = Δx1 +

•

∙ tA–1 = −64,71 m, ∙ t1–2 = −131,71 m, ∙ t2–3 = −83,71 m, ∙ t3–B = −96,48 m.

A sokszögpontok koordinátáinak számítása: y1 = yA + (Δy1) = 640 340,38 m, y2 = y1 + (Δy2) = 640 478,39 m, y3 = y2 + (Δy3) = 640 618,01 m, yB = y3 + (Δy4) = 640 759,58 m. x1 = xA + (Δx1) = 162 434,80 m, x2 = x1 + (Δx2) = 162 303,09 m, x3 = x2 + (Δx3) = 162 219,39 m, xB = x3 + (Δx4) = 162 122,91 m.

11. feladat Számítsa ki a 8.17. ábrában vázolt egyszeresen tájékozott sokszögvonal pontjainak koordinátáit É–K-i koordináta-rendszerben a megadott adatok alapján! Határozza meg a vonalas záróhiba értékét és a hibahatárt a mintapéldában leírt összefüggések szerint! Pontszám 9 10 11

Koordinátajegyzék y (m) x (m) +842,456 +792,362 +952,456 +198,948 +684,747 +298,133

Mérési adatok Pontszám Törésszög (l) ° ʹ ʺ 10 270 02 00 1 219 37 25 2 191 44 20 11 – – –

t (m)

100,743 106,183 100,293


244

9

+x t2–

11

11

2 β2

t1–2

t 10 –1

1

10 β10

β1 −y

+y

−x

8.17. ábra. Egyszeresen tájékozott sokszögvonal 12. feladat Számítsa ki a 8.18. ábrában vázolt egyszeresen tájékozott sokszögvonal pontjainak koordinátáit D–Ny-i koordináta-rendszerben a megadott adatok alapján! Határozza meg a vonalas záróhiba értékét és a hibahatárt a mintapéldában leírt összefüggések szerint! Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) 11 −640,093 −383,782 13 −745,168 −328,152 14 −1089,115 −246,952

Mérési adatok Pontszám Törésszög (l) ° ʹ ʺ 13 155 13 28 1 185 00 17 2 195 22 43 14 – – –

11

−x

t (m)

94,555 112,310 150,885

β13 13

t13

–1

β1 1

t1–

2

β2 2

t2–

14

14 +y

+x

8.18. ábra. Egyszeresen tájékozott sokszögvonal

−y

BEILLESZTETT SOKSZÖGVONAL

245

8.6. Beillesztett sokszögvonal Mintapélda: Számítsa ki a 8.19. ábrában vázolt beillesztett sokszögvonal pontjainak koordinátáit É–K-i koordináta-rendszerben a megadott adatok alapján. Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) +2766,255 −4815,993 A +3178,362 −4757,729 B δ’A–1 = 90° 40′ 00″. +x

Mérési adatok Pontszám Törésszög (l) ° ʹ ʺ – – – A 1 179 51 04 2 163 23 01 – – – B

t (m)

186,861 140,108 92,279

B β1 δA–1ʼ δA–1 A

t A–1

1ω

t 2–

β2

t1–2

B

Bʼ

2

1ʼ 2ʼ

8.19. ábra. Beillesztett sokszögvonal

+y

Megoldás: Ebben az esetben a sokszögvonal ismert alappontból indul, és ismert alappontban végződik, azonban a tájékozó szöget nem tudjuk meghatározni. A sokszögpontok koordinátáinak meghatározásához a kezdő sokszögoldal (A–1’) irányszögét (δA–1’) meghatározhatjuk grafikusan, vagy felvehetünk egy tetszőleges (akár 0° 00′ 00″) értéket is. E feladatnál az első oldal irányszöge legyen δ’A–1’ = 90° 40′ 00″ (8.19. ábra). •

Az ω elcsavarodási szög számítása: – előzetes tájékozott irányértékek számítása: δA–1’ = 90° 40′ 00″, δ’1’–2’ = δ’A–1’ + (β1) ± 180° = (90° 40′ 00″) + (179° 51′ 04″) − 180° = 90° 31′ 04″, δ’2’–B’ = δ’1’–2’ + (β2) ± 180° = (90° 31′ 04″) + (163° 23′ 01″) − 180° = 73° 54′ 05″.


246

– előzetes oldalvetületek számítása: Δ’y1 = tA–1 ∙ sin δ’A–1’ = 186,861 ∙ sin (90° 40′ 00″) = +186,848 m, Δ’y2 = t1–2 ∙ sin δ’1’–2’ = 140,108 ∙ sin (90° 31′ 04″) = +140,102 m, Δ’y3 = t2–B ∙ sin δ’2’–B’ = 92,279 ∙ sin (73° 54′ 05″) = +88,660 m, ΣΔ’y = (Δ’y1 + Δ’y2 + Δ’y3) = +415,611 m. Δx1 = tA–1 ∙ cos δ’A–1’ = 186,861 ∙ cos (90° 40′ 00″) = −2,174 Δx2 = t1–2 ∙ cos δ’1’–2’ = 140,108 ∙ cos (90° 31′ 04″) = −1,266 Δx3 = t2–B ∙ cos δ’2’–B’ = 92,279 ∙ cos (73° 54′ 05″) = +25,588 ΣΔ’x = (Δ’x1 + Δ’x2 + Δ’x3) = +22,148 m – a kezdő-, és a végpont által meghatározott egyenes irányszögének számítása: a) a tényleges irányszög (δA–B) számítása: α = arc tg

yB - yA +412,107 = arc tg = 81° 57′ 10″. +58,264 xB - xA

Δy és Δx is pozitív előjelű, ezért I. negyed → δ = α° Tehát δA–B = 81° 57′ 10″. b) előzetes irányszög (δA–.B’) számítása: Az irányszöget az előzetes oldalvetületek összegének (ΣΔ’y, ΣΔ’x) ismeretében számoljuk. +415,611 RD\y = arc tg = 86° 56′ 58″. α = arc tg +22,148 RD\x Δy és Δx is pozitív előjelű, ezért I. negyed → δ = α°. Tehát δ’A–B’ = 86° 56′ 58″. – elcsavarodási szög számítása: ω = δA–B − δ’A–B’ = (81° 57′ 10″) – (86° 56′ 58″) = −4° 59′ 48″. Az előzetesen felvett kezdő irányszöget javítani kell (−4° 59′ 48″) szögértékkel. •

A végleges kezdő irányszög számítása: δA1 = δ’A1’ + ω = (90° 40′ 00″) + (−4° 59′ 48″) = 85° 40′ 12″.

BEILLESZTETT SOKSZÖGVONAL

247

A továbbiakban a beillesztett sokszögvonal számítása megegyezik az egyszeresen tájékozott sokszögvonal számításának menetével. •

A sokszögoldalak tájékozott irányértékeinek számítása: δA–1 = 85° 40′ 12″, δ’1–2 = δA–1 + β1 ± 180° = 85° 31′ 16″, δ’2–B = δ’1–2 + β2 ± 180° = 68° 54′ 17″.

•

Az oldalvetületek számítása: Δy1 = tA–1 ∙ sin δA–1 = +186,328 m, Δy2 = t1–2 ∙ sin δ’1–2 = +139,680 m, Δy3 = t2–B ∙ sin δ’2–B = +86,095 m, ΣΔy = (Δy1 + Δy2 + Δy3) = +412,103 m. Δx1 = tA–1 ∙ cos δA–1 = +14,108 m, Δx2 = t1–2 ∙ cos δ’1–2 = +10,941 m, Δx3 = t2–B ∙ cos δ’2–B = 33,213 m, ΣΔx = (Δx1 + Δx2 + Δx3) = +58,262 m.

•

A vonalas záróhiba számítása: dy = (yB – yA) − ΣΔy = +0,004 m, dx = (xB – xA) − ΣΔx = +0,002 m, d = d y2 + d x2 = 0,005 m = 0,5 cm < dmeg = 14 + 3,5 ∙ T + 20% = 34 cm.

•

A vonalas záróhiba elosztása: dy ∙ t = +186,330 m, Rt A–1 dy ∙ t = +139,682 m, (Δy2) = Δy2 + Rt 1–2 dy ∙ t = +86,096 m. (Δy3) = Δy3 + Rt 2–B (Δy1) = Δy1 +

dx ∙ t = +14,109 m, Rt A–1 d (Δx2) = Δx2 + x ∙ t1–2 = +10,942 m, Rt d (Δx3) = Δx3 + x ∙ t2–B = +33,213 m. Rt

(Δx1) = Δx1 +


248 •

A sokszögpontok koordinátáinak számítása: y1 = yA + (Δy1) = +2952,585 m, y2 = y1 + (Δy2) = +3092,266 m, yB = y2 + (Δy3) = +3178,362 m. x1 = xA + (Δx1) = −4801,884 m, x2 = x1 + (Δx2) = −4790,942 m, xB = x2 + (Δx3) = −4757,729 m.

13. feladat Számítsa ki a 8.20. ábrában vázolt beillesztett sokszögvonal pontjainak koordinátáit EOV koordináta-rendszerben a megadott adatok alapján! Határozza meg a vonalas záróhiba értékét és a hibahatárt a mintapéldában leírt összefüggések szerint! Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) 16 641 258,64 164 523,62 17 641 500,68 164 870,00

Mérési adatok Pontszám Törésszög (l) ° ʹ ʺ 16 – – – 1 135 00 00 2 225 00 00 17 – – –

δ16–1’ = 60° 00′ 00″.

t (m)

148,34 160,00 145,66

+x 17 t2

β2

–17

2

t1–

2

z +x β1 δ16–1

t 16 –1

1

16 −y

+y −x

8.20. ábra. Beillesztett sokszögvonal

SOKSZÖGVONAL SZÁMÍTÁSA … NYOMTATVÁNYBAN

249

8.7. Sokszögvonal számítása sokszögszámítási nyomtatványban A sokszögszámítási nyomtatvány használata egyszerűbbé és átláthatóbbá teszi a pontok koordinátáinak számítását. A 8.21. ábrán vázolt kettősen tájékozott sokszögvonal pontjainak koordinátáit É–K-i koordináta-rendszerben az alábbi adatok alapján a 8.2. táblázat segítségével számoljuk ki. Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) +2766,26 −4815,99 A +3304,16 −4710,12 B +2607,06 −6026,35 C +6947,66 −5200,64 D

Mérési adatok Pontszám Törésszög (l) ° ʹ ʺ 258 10 39 βA 179 51 10 β1 163 23 07 β2 180 22 07 β3 208 23 53 βB

+x −y

+y

β3 β1

βA A

t A–1 1

t1–2

β2

t 2–3

3 t3–B B

βB

2 D

C −x

8.21. ábra. Kettősen tájékozott sokszögvonal

t (m)

186,85 140,11 92,23 134,48

Törésszög, β A pontok száma Irányszög, δ ° ʹ ʺ 187 29 35 A δAC −5ʺ 258 10 39 1 βA 09 δʼA–1 85 40 −6ʺ 179 51 10 2 β1 13 85 31 δʼ1–2 −6ʺ 163 23 07 3 β2 14 δʼ2–3 68 54 −5ʺ 180 22 07 B β3 16 δʼ3–B 69 16 −6ʺ 208 23 53 βB 03 δʼBD 97 40 990 10 56 Σβ Σβ − (n − 1) ∙ 180 270 10 56 31 {δBD} = δAC + Σβ − 97 40 − (n − 1) ∙ 180 Δφ = −28ʺ +0,01 +10,94

+33,20

+47,60

+0,02 +139,68 +0,01 +86,05 +0,02 +125,77

140,11

92,23

134,48

+10,95 −4790,92 +33,20

+139,70 +3092,31 +86,06

+3304,16

d = +0,08 m

(xB − xA) = 105,87

−4710,12

47,60

−4801,87

+2952,61

125,79

+14,12

+186,35

−4757,72

X −4815,99

Y +2766,26

+3178,37

(Δx)

(Δy)

ΣΔy = 537,82 ΣΔx = 105,85 (yB − yA) = 537,90 dy = +0,08 m dx = +0,02 m

+0,01 +14,11

+0,03 +186,32

186,85

Σt = 553,67

t ∙ cos δ Δx

t ∙ sin δ Δy

távolság, t

Javítás

Sokszögszámítási nyomtatvány. 8.2. táblázat

250 VIZSZINTES ALAPPONTOK MEGHATÁROZÁSA

SOKSZÖGVONAL SZÁMÍTÁSA … NYOMTATVÁNYBAN

251

A számítás menete a sokszögszámítási nyomtatványban: 1. A kezdő-, és a végpont számának (jelének pl. A, B), koordinátáinak, valamint a sokszögpontok számának pl. 1, 2, 3 stb. (jelének) és a mérési eredmények (szögek, távolságok) beírása a nyomtatványba (dőltbetűs adatok, pl. 186,85). 2. Számoljuk a feladat megoldásához szükséges adatokat: •

A kezdő irányszög (δAC) számítása: α = arc tg

yC - yA = 7° 29′ 35″. xC - xA

δAC = 187° 29′ 35″. •

A záró irányszög (δBD) számítása: α = arc tg

yD - yB = 82° 19′ 57″. xD - xB

ΔδS6–S7 = 97° 40′ 03″. Ezeket az értékeket beírjuk a megfelelő sorba és oszlopba. •

A szögzáróhiba számítása: A táblázatban összegezzük a mért szögeket: Σβ Számoljuk az előzetes záró irányszöget: {δBD} = δAC + Σβ − (n − 1) ∙ 180º = 97° 40′ 31″. Ennek ismeretében meghatározzuk a szögzáróhibát (Δφ), majd összehasonlítjuk a megengedett értékkel (Δφmeg). Δφ = δBD – {δBD } = −0° 0′ 28″ = −28″, Δφmeg = 90 + 3 ∙ n = 90 + 3 ∙ 5 = 105″ > 28″, tehát a szögmérés jónak tekinthető.

•

A szögzáróhiba elosztása: D{ = 28 = −5,6″. n 5 Az elosztásnál ügyelni kell arra, hogy a javítási érték egész másodperc legyen! Ebben az esetben a javítási értékek: (−5″ ∙ 2) + (−6″ ∙ 3) = −28″. A javítási értéket a táblázatban lévő mért szögek fölé írjuk előjelhelyesen.

252 •

VIZSZINTES ALAPPONTOK MEGHATÁROZÁSA A tájékozott irányértékek számítása: A javított törésszöggel számoljuk a tájékozott irányértékeket. δ’A–1 = (187° 29′ 35″) + [(258° 10′ 39″) − 5″] − 360° = 85° 40ʹ 09ʺ. Az első tájékozott irányérték számításánál figyelmen kívül hagyjuk a ±180°-ot, mert a δAC irányszög a haladási iránnyal ellentétes irányú. A többinél már számításba vesszük a ±180°-ot. Pl. δ’1–2 = (85° 40ʹ 09ʺ) + [(179° 51ʹ 10ʺ) − 6″)] − 180° = 85° 31′ 13″. Amennyiben az előző oldal tájékozott irányértéke és a javított törésszög öszszege kisebb, mint 180°, akkor hozzáadunk 180°-ot. Ugyanis, ha az előző oldal tájékozott irányértéke és a törésszög összege kisebb, mint 180°, akkor előbb a két szög összegéhez hozzáadunk 360°-ot, majd utána vonjuk le a 180°-ot. Viszont, 360° − 180° = +180°, tehát a tájékozott irányérték és a törésszög összegéhez hozzáadjuk a 180°-ot. Pl. δ = (38° 27′ 45″) + (122° 14ʹ 02ʺ) − 180° = (38° 27′ 45″) + (122° 14ʹ 02ʺ) + + 360° − 180° = (38° 27′ 45″) + (122° 14ʹ 02ʺ) + 180° = 340° 41ʹ 47ʺ. A pontos számítás ellenőrzése, hogy a számítás végén a záróirány irányszögét kell kapnunk eredményül: (δBD) = 97° 40ʹ 03ʺ.

3. A tájékozott irányértékek és a távolságok ismeretében számoljuk Δy és Δx előzetes oldalvetületeket a koordinátaszámítás alapképletével, amiket a megfelelő a sorba és oszlopba előjelhelyesen (előjelekkel együtt) írunk be. Pl. Δy1 = tA–1 ∙ sin δA–1 = +186,32, Δx1 = tA–1 ∙ cos δA–1 = +14,11. 4. Ezt követően számoljuk a Σt, ΣΔy, ΣΔx, (yB – yA), (xB – xA) értékeket, amiket a nyomtatvány utolsó sorába írunk be. 5. Számoljuk a vonalas záróhibát: dy = (yB – yA) − ΣΔy = +0,08 m, dx = (xB – xA) − ΣΔx = +0,02 m, d = = +0,08 m = +8 cm. T=

Rt = 553,67 = 5,5 cm. 100 100

dmeg = 14 + 3,5 ∙ T = 14 + 3,5 ∙ 5,5 = 33,2 cm > 8 cm, tehát a hosszmérés jónak tekinthető.

MEGOLDÁSOK

253

6. Vonalas záróhiba elosztása: A vonalas záróhibát a sokszögoldal hosszainak arányában osszuk el, ügyelve arra, hogy a kapott javítások – a számítási pontosságtól függően – egész mm, vagy cm értékek legyenek. dy +0, 08 Pl. ddy = ∙t = ∙ 186,85 = +0,03 m, Rt A–1 553,67 dx +0, 02 ∙t = ∙ 186,85 = +0,01 m. Rt S5–1 553,67 A kapott javításokat előjelhelyesen a Δy és a Δx előzetes oldalvetületek fölé írjuk és a matematika szabályainak megfelelően összevonjuk, az eredményt a megfelelő sorba és oszlopba írjuk. ddx =

7. A javított oldalvetületekkel számoljuk a sokszögpontok koordinátáit. Ha jól számoltunk, akkor végezetül a végpont (B) megadott koordinátáit kapjuk eredményül. Megjegyzés: A szög-, és a vonalas záróhiba elosztásánál gondosan ügyelni kell arra, hogy a részhibák (javítások) összege egyenlő legyen a számolt hibával pl. Δy esetében (+0,03 + 0,02 + 0,01 + 0,02) = +0,08m. A hiba előjeles mennyiség, ezért az összevonást azok figyelembevételével kell elvégezni.

8.8. Megoldások 1. feladat Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) 15 (3-ból) +3022,71 +2792,65 15 (4-ből) +3022,71 +2792,65 γ = 59° 52ʹ 41ʺ; 3–15 = 106,53 m.

254


2. feladat Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) 30 (8-ból) +1083,924 +537,833 30 (9-ből) +1083,924 +537,833 γ = 55° 07ʹ 57ʺ; 8–30 = 61,560 m.

3. feladat Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) 12 (5-ből) +196,205 −923,274 12 (6-ból) +196,205 −923,274 z5 = 291° 54ʹ 32ʺ; z6 = 72° 07ʹ 08ʺ.

4. feladat Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) 11 (4-ből) −2033,29 +830,74 11 (5-ből) −2033,29 +830,74 z k4 = 356° 47ʹ 12ʺ; z k5 = 98° 05ʹ 44ʺ.

5. feladat Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) 13 (8-ból) +1013,703 +529,823 13 (9-ből) +1013,703 +529,823 z13 = 63° 15ʹ 11ʺ; γ = 58° 20ʹ 24ʺ.

MEGOLDÁSOK 6. feladat Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) 18 (6-ból) −15 240,95 −21 620,55 18 (7-ből) −15 240,95 −21 620,55 z18 = 304° 33ʹ 39ʺ; γ = 66° 10ʹ 12ʺ. 7. feladat Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) 5 (2-ből) +24,23 −14,19 5 (3-ból) +24,23 −14,19 γ = 83° 54ʹ 20ʺ. 8. feladat Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) 10 (7-ből) +3116,70 +3057,58 10 (9-ből) +3116,70 +3057,58 γ = 71°50’23″ 9. feladat Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) 1 +3098,683 +3313,658 2 +3165,986 +3247,441 3 +3206,477 +3207,120 δ9–10 = 314° 42ʹ 22ʺ; δ8–7 = 206° 08ʹ 28ʺ, Δφ = +23ʺ; d = 0,139 m.

255

256


10. feladat Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) 1 +14 073,032 +73 538,449 2 +14 221,634 +73 443,000 3 +14 358,621 +73 354,656 Δφ = −30ʺ; d = 0,19 m. 11. feladat Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) 1 +853,357 +180,677 2 +760,593 +232,442 δ10–9 = 349° 29ʹ 54ʺ; d = 0,142 m. 12. feladat Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) 1 −839,579 −323,003 2 −950,757 −307,128 δ13–11 = 117° 53ʹ 53ʺ; d = 0,016 m. 13. feladat Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) 1 641 373,06 164 618,03 2 641 388,33 164 777,30 δ = −9° 31ʹ 32ʺ; d = 0,002 m.

257

9. VÍZSZINTES RÉSZLETMÉRÉS

9.1. Kisalappontok (mérési vonalpontok) koordinátáinak meghatározása Mintapélda: Számítsa ki a kisalappontok (mérési vonalpontok) koordinátáit D–Ny-i koordinátarendszerben a mérési eredmények alapján (9.1. ábra)! Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) +418,158 +1093,483 A +1067,217 +815,314 B tA–A/1 = 131,49 m; tA/1–A/2 = 143,85 m; tA/2–A/3 = 146,30 m; tA/3–A/4 = 150,17 m; tA/4–B = 134,49 m. −x +y

−y B

tA /4 –

A/4 B

tA /3–

A/3 A /4

tA /2–

A/2 A /3

tA /1–

A/1 A /2

tA–A

/1

A

+x

9.1. ábra. Kisalappontok (mérési vonalpontok) számítása

VÍZSZINTES RÉSZLETMÉRÉS

258 Megoldás:

A kisalappontok létesítésekor az A–B alapvonal hossza (Tm) kis mértékben eltér a koordinátákból számított alapvonalhossztól (Tsz). Amennyiben az eltérés a megengedett értéknél kisebb, akkor a mérés jónak tekinthető. A hibát a kisalappontok távolságainak arányában úgy osztjuk el, hogy a koordinátákat az alapvonal mért hoszszának (Tm) figyelembevételével számoljuk. A kisalappontok koordinátáit a távolság pontosságának megfelelő élességgel határozzuk meg. •

A hosszmérésben elkövetett hiba számítása: Tsz =

^ yB - yAh2 + ^ xB - xAh2 =

2 649,0592 + ^-278,169h =706,155 m.

Tm = tA–A/1 + tA/1–A/2 + tA/2–A/3 + tA/3–A/4 + tA/4–B = 706,30 m. T d = Tsz − Tm = −14,5 cm < dmeg = 10 + 2,5 ∙ m = 28 cm, tehát a mérés jónak 100 tekinthető. •

A kisalappontok koordinátáinak számítása y - yA 1067,217 - 418,158 = +418,158 + 131,49 ∙ = yA/1 = yA + tA–A/1 ∙ B Tm 706,30 = +538,99 m, y - yA 1067,217 - 418,158 yA/2 = yA/1 + tA/1–A/2 ∙ B = +538,99 + 143,85 ∙ = Tm 706,30 = +671,18 m, y - yA 1067,217 - 418,158 yA/3 = yA/2 + tA/2–A/3 ∙ B = +671,18 + 146,30 ∙ = Tm 706,30 = +805,62 m, y - yA 1067,217 - 418,158 yA/4 = yA/3 + tA/3–A/4 ∙ B = +805,62 + 150,17 ∙ = Tm 706,30 = +943,62 m, y - yA 1067,217 - 418,158 = +943,62 + 134,49 ∙ = yB = yA/4 + tA/4–B ∙ B Tm 706,30 = +1067,21 m. xA/1 = xA + tA–A/1 ∙ = +1041,70 m,

xB - xA 815,314 - 1093,483 = +1093,483 + 131,49 ∙ = Tm 706,30

xA/2 = xA/1 + tA/1–A/2 ∙ = +985,05 m, xA/3 = xA/2 + tA/2–A/3 ∙ = +927,43 m,

xB - xA 815,314 - 1093,483 = +1041,70 + 143,85 ∙ = Tm 706,30 xB - xA 815,314 - 1093,483 = +985,05 + 146,30 ∙ = Tm 706,30

KISALAPPONTOK KOORDINÁTÁINAK MEGHATÁROZÁSA

259

x - xA 815,314 - 1093,483 xA/4 = xA/3 + tA/3–A/4 ∙ B = +927,43 + 150,17 ∙ = Tm 706,30 = +868,29 m, x - xA 815,314 - 1093,483 = +868,29 + 134,49 ∙ = xB = xA/4 + tA/4–B ∙ B Tm 706,30 = +815,32 m. A B végpont koordinátáinak számított és megadott értékei közötti eltérés a számítás közbeni kerekítésekből adódik. 1. feladat Számítsa ki a kisalappontok (mérési vonalpontok) koordinátáit az EOV koordinátarendszerében a mérési eredmények alapján (9.2. ábra)! Határozza meg a hosszmérésben elkövetett hiba mértékét és a hibahatárt a mintapéldában megadott összefüggések alapján! Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) 5 557 582,11 162 399,62 6 558 400,65 162 999,02 t5–5/1 = 251,93 m; t5/1–5/2 = 255,92 m; t5/2–5/3 = 247,99 m; t5/3–6 = 258,93 m. +x

5 t5

–5 /1

5/1

t5

/1– 5/2

5/2

t5

/2

–5 /3

5/3

t5

/3

–6

6 −y

−x


+y


260 2. feladat

Számítsa ki a kisalappontok (mérési vonalpontok) koordinátáit helyi koordinátarendszerben a mérési eredmények alapján (9.3. ábra)! Határozza meg a hosszmérésben elkövetett hiba mértékét és a hibahatárt a mintapéldában megadott összefüggések alapján! Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) 3 +325,816 +300,619 4 +831,472 −105,819 t3–3/1 = 160,310 m, t3/1–3/2 = 166,835 m, t3/2–3/3 = 163,415 m, t3/3–4 = 158,325 m. +x

3

t3–

3/1

3/1 −y

t3/1

–3/2

3/2

t3/2

–3/3

3/3

t3/3

+y

–4

4 −x


DERÉKSZÖGŰ KOORDINÁTAMÉRÉSSEL BEMÉRT PONTOK…

261

9.2. Derékszögű koordinátaméréssel bemért pontok koordinátáinak számítása Mintapélda: Számítsa ki a derékszögű koordinátaméréssel bemért pontok koordinátáit D–Ny-i koordináta-rendszerben (9.4. ábra)! Mérési adatok Pontszám a (m) b (m) 1 10,00 32,60 2 25,34 −54,00 3 44,16 −10,13 (100,04) – B

Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) +1000,53 −5000,02 A +1087,13 −5050,01 B

−x

54,00

2

−b 25,34

32,60

44,16

A 10,00

+b

(100,04) B

10,13

3

+a

1 +y

+x

9.4. ábra. Derékszögű koordinátaméréssel bemért pontok koordinátáinak számítása

−y


262 Megoldás:

A derékszögű koordinátamérésnél is az alapvonal számított (Tsz) és mért (Tm) hossza között eltérés lehet. Ezt az eltérést itt is, a kisalappontok koordinátáinak számításánál megismert módon vesszük számításba. A koordinátákat az alapvonal mért hosszának (Tm) figyelembevételével számoljuk. A derékszögű koordinátaméréssel bemért pontok abszcisszái és az ordinátái előjeles mennyiségek, attól függően, hogy a felmérési vonalon kezdőponttól melyik irányba mérünk (±a), és a pontok az alapvonal bal vagy jobb oldalán helyezkednek el (±b) (9.4. ábra). •

A hosszmérésben elkövetett hiba számítása: Tsz =

^ yB - yAh2 + ^ xB - xAh2 = 99,99 m.

Tm = 100,04 m. d = Tsz − Tm = −5 cm < dmeg = 14 + 3,5 ∙ •

Tm = 17 cm, tehát a mérés megfelelő volt. 100

A bemért pontok koordinátáinak számítása: y1 = yA + a ∙

yB - yA x - xA x - xA y - yA −b∙ B ; x 1 = xA + a ∙ B +b∙ B . Tm Tm Tm Tm

Vezessük be az r=

yB - yA x - xA , illetve m = B Tm Tm

összefüggéseket, mivel ezek az értékek minden egyes bemért pont koordinátáinak meghatározásánál szükségesek, így elegendő ezeket egyszer kiszámolni. Ha nem a számológép memóriájában tároljuk, akkor legalább 7 tizedes élességgel kell leírni és felhasználni őket. Behelyettesítve: y1 = yA + a ∙ r − b ∙ m; x1 = xA + a ∙ m + b ∙ r. r= m=

yB - yA 1087,13 - 1000,53 = = 0,8656537, Tm 100,04 xB - xA ^-5050,01h - ^-5000,02h = = −0,4997001. Tm 100,04

DERÉKSZÖGŰ KOORDINÁTAMÉRÉSSEL BEMÉRT PONTOK…

263

y 1 = 1000,53 + 10,00 ∙ 0,8656537 − 32,60 ∙ (−0,4997001) = +1025,48 m, y 2 = 1000,53 + 25,35 ∙ 0,8656537 − (−54,00) ∙ (−0,4997001) = +995,48 m, y 3 = 1000,53 + 44,16 ∙ 0,8656537 − (−10,13) ∙ (−0,4997001) = +1033,70 m, y B = 1000,53 + 100,04 ∙ 0,8656537 − 0,00 ∙ (−0,4997001) = +1087,13 m. x 1 = −5000,02+10,00 ∙ (−0,4997001) + 32,60 ∙ 0,8656537 = −4976,80 m, x 2 = −5000,02+25,35 ∙ (−0,4997001) + (−54,00) ∙ 0,8656537 = −5059,43 m, x 3 = −5000,02+44,16 ∙ (−0,4997001) + (−10,13) ∙ 0,8656537 = −5030,86 m, x B = −5000,02+100,04 ∙ (−0,4997001) + 0,00 ∙ 0,8656537 = −5050,01 m. 3. feladat Számítsa ki a derékszögű koordinátaméréssel bemért pontok koordinátáit az EOV koordináta-rendszerében (9.5. ábra)! Határozza meg a hosszmérésben elkövetett hiba mértékét és a hibahatárt a mintapéldában megadott összefüggések alapján! Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) 12 557 723,13 162 516,12 17 557 796,12 162 548,19

Mérési adatok Pontszám a (m) 1 13,21 2 20,19 3 31,16 4 34,87 17 (79,75) 4

8 16,4

+x

7 34,8 6 31,1

8,96

113,2

9 20,1

9,23

1

7,16

+b

12

−b

−y

b (m) 7,16 −9,23 −8,96 16,48 –

3

17

+a

75) (79,

2

−x


+y


264 4. feladat

Számítsa ki a derékszögű koordinátaméréssel bemért pontok koordinátáit É–K-i koordináta-rendszerben (9.6. ábra)! Határozza meg a hosszmérésben elkövetett hiba mértékét és a hibahatárt a mintapéldában megadott összefüggések alapján! Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) 12 +977,283 +328,442 15 +1023,897 +353,695

b (m) 10,28 15,12 15,30 14,55 −14,25 −14,48 −14,78 −14,38 –

12

2

15,50 18,93

8,65 8,50

14,55

15,30

1

15,12

10,28

+b

+x

Mérési adatok Pontszám a (m) 1 8,65 2 15,50 3 28,42 4 40,60 5 8,50 6 18,93 7 33,66 8 43,86 15 (53,06)

3

28,42

4

Kerítés

15

40,60 33,66

43,86

+a

(53,06)

14,38

6

14,78

−b

−y

5

14,48

14,25

Járda széle 8

Kerítés

7

+y

−x


POLÁRIS KOORDINÁTAMÉRÉSSEL BEMÉRT PONTOK…

265

9.3. Poláris koordinátaméréssel bemért pontok koordinátáinak számítása Mintapélda: Számítsa ki a poláris koordinátaméréssel bemért nagyfeszültségű oszlopok koordinátáit EOV koordináta-rendszerben (9.7. ábra)! Mérési adatok Álláspont: A Pontszám Irányérték (l) ° ʹ ʺ 52 26 18 B 1 291 16 58 2 330 43 02 3 26 00 20

Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) 557 124,67 162 066,99 A 557 101,51 162 812,06 B

+x

t (m) – 126,35 158,31 152,08

B 3

2 A 1 −y

−x

+y

9.7. ábra. Poláris koordinátaméréssel bemért pontok koordinátáinak számítása Megoldás: •

A tájékozó irány irányszögének számítása: y - yA -23,16 α = arc tg B = arc tg = 1° 46ʹ 50ʺ. 745,07 xB - xA Δy negatív, Δx pozitív előjelű, ezért IV. negyed, → δAB = 360° − α = 358° 13′ 10″.


266 •

A tájékozási szög számítása: z = δAB − lAB = 305° 46′ 52″.

•

A bemért pontok tájékozott irányértékeinek számítása: δʼA–1 = lA–1 + z = 237° 03′ 50″, δʼA–2 = lA–2 + z = 276° 29′ 54″, δʼA–3 = lA–3 + z = 331° 47′ 12″.

•

A bemért pontok koordinátáinak számítása: y1 = yA + tA–1 ∙ sin δʼA–1 = 557 018,63 m; x1 = xA + tA–1 ∙ cos δʼA–1 = 161 998,29 m, y2 = yA + tA–2 ∙ sin δʼA–2 = 556 967,38 m; x2 = xA + tA–2 ∙ cos δʼA–2 = 162 084,91 m, y3 = yA + tA–3 ∙ sin δʼA–3 = 557 052,77 m; x3 = xA + tA–3 ∙ cos δʼA–3 = 162 201,00 m.

5. feladat Számítsa ki a poláris koordinátaméréssel bemért kisfeszültségű oszlopok koordinátáit D–Ny-i koordináta-rendszerben (9.8. ábra)! Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) 10 −2780,625 −2840,533 11 −2942,151 −2862,358

Mérési adatok Álláspont: 10 Pontszám Irányérték (l) ° ʹ ʺ 11 101 25 45 1 25 49 22 2 89 37 18 3 148 27 10

t (m) – 85,34 105,38 125,46

−x 1 2

11

10 3 +y

+x

−y

9.8. ábra. Poláris koordinátaméréssel bemért pontok koordinátáinak számítása

POLÁRIS KOORDINÁTAMÉRÉSSEL BEMÉRT PONTOK…

267

6. feladat Számítsa ki a poláris koordinátaméréssel bemért ingatlan töréspontjainak koordinátáit É–K-i koordináta-rendszerben (9.9. ábra)! Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) 44 +1054,73 +502,41 45 +1009,72 +547,34

Mérési adatok Álláspont: 44 Pontszám Irányérték (l) ° ʹ ʺ 45 354 11 50 1 15 47 50 2 314 38 40 3 312 40 40 4 335 19 40 5 349 30 10

t (m) – 23,54 21,36 44,43 58,16 37,47

45 +x 4 5 1

3

−y

−x

2 44

+y

9.9. ábra. Poláris koordinátaméréssel bemért pontok koordinátáinak számítása


268

9.4. Területszámítás 9.4.1. Grafikus terület-meghatározás A feladatokban megadott koordináták méter mértékegységben értendőek. Mintapélda:

604400

Határozza meg a 9.10.a) ábrán látható idom területét a háromszögekre bontás módszerével!

604300

192500

M = 1:100

9.10.a) ábra. Ötszög alakú idom területének meghatározása

192600

TERÜLETSZÁMÍTÁS

269

Első megoldás: Első lépésként határozzuk meg a papír méretváltozását (ami a száraz helyen tartott térképek esetében rendszerint „papírbeszáradást” jelent). A térkép a megrajzolásakor 10 cm-es hálózatot tartalmazott, most egy ilyen négyzetet látunk a teljes térképből. Mérjük le a négyzet oldalát vonalzóval (a tizedmillimétereket becsüljük). Ha pontos vonalzóval mérünk, 97,5 mm-t kapunk. (Ha valaki nem pontos vonalzóval mért, akkor az ott leolvasott eredménnyel számoljon tovább!) Most már ismerjük a papírtérkép méretváltozásának arányát (97,5/100).

604400

Bontsuk fel az alakzatot háromszögekre (9.10.b) ábra). Mérjük meg a berajzolt magasságokat és a háromszögek alapjait ugyanazzal a vonalzóval, majd számoljuk ki, mekkorák lennének ezek a szakaszok, ha a papír mérete nem változott volna.

T3

a3

a1 = a 2

m1

T2

m3

T1

m2

604300

192500

M = 1:100

9.10.b) ábra. Az első megoldás szerint mérendő méretek a háromszögekre bontás után

192600


270

Vonalzóval mért: a1 = a2 = 67,3 mm; a3 = 68,0 mm; m1 = 26,7 mm; m2 = 42,2 mm; m3 = 21,3 mm (0,1 mm, esetleg 0,2 mm eltérés megengedett). A papír méretváltozásának figyelembevétele (h’ = h ∙ 100/97,5) után: a1’ = a2’ = 69,03 mm; a3’ = 69,74 mm; m1’ = 27,38 mm; m2’ = 43,28 mm; m3’ = 21,85 mm. Ezeknek az értékeknek már – bármilyen vonalzóval is dolgoztunk – az első tizedesig illik egyezni (illetve az 1–2 tized eltérés még megengedett). Számoljuk ki a térképen mért távolságok terepi hosszát (az eddigi értékeket szorozni kell a méretarány-számmal, ami most 100): a1 = a2 = 6,90 m; a3 = 6,97 m; m1 = 2,74 m; m2 = 4,33 m; m3 = 2,18 m. A háromszögek területeit összeadva kapjuk az ötszög területét: T=

6,90 $ 2,74 6,90 $ 4,33 6,97 $ 2,18 + + = 9,4530 + 14,9385 + 7,5973 = 31,99 m2. 2 2 2

Második megoldás: A papír méretváltozásának figyelembevétele ugyanúgy történik, mint az előző megoldásnál. Itt a háromszögekre bontás után csak a háromszögek oldalait mérjük meg (9.10.c) ábra), és ebből számítjuk a háromszögek területeit. Vonalzóval mért: a = 48,6 mm; b = 37,9 mm; c = 67,3 mm; d = 44,5 mm; e = 68,0 mm; f = 58,5 mm; g = 25,2 mm (0,1 mm, esetleg 0,2 mm eltérés megengedett). A papír méretváltozásának figyelembevétele után (h’= h ∙ 100/97,5): a’ = 49,85 mm, b’ = 38,87 mm, c’ = 69,03 mm, d’ = 45,64 mm, e’ = 69,74 mm, f’ = 60 mm, g’ = 25,85 mm. Terepi távolságok: a = 4,985 m; b = 3,887 m; c = 6,903 m; d = 4,564 m; e = 6,974 m; f = 6,000 m; g = 2,585 m. A háromszögek területét a Héron-képlettel számoljuk: T=

s $ ^ s - ah $ ^ s - bh $ ^ s - ch , ahol s a fél kerület: s =

a+b+c . 2

T1 = 9,5009 m2; T2 = 14,9510 m2; T3 = 7,6108 m2. A teljes terület: T = 32,06 m2. (A kétféle megoldás eltéréséből következtethetünk is a grafikus területmeghatározás pontosságára, korlátaira.)

TERÜLETSZÁMÍTÁS 604400

271

f

b

T3 e

T1 c

g

T2

a d

604300

192500

M = 1:100

9.10.c) ábra. A második megoldás szerint mérendő méretek a háromszögekre bontás után

192600


272 7. feladat

602200

Határozza meg az 9.11. ábrán látható idom területét a háromszögekre bontás módszerével!

205000

602100

204900

M = 1:100

9.11. ábra. Hatszög alakú idom

TERÜLETSZÁMÍTÁS

273

8. feladat

+14600

Határozza meg a 9.12. ábrán látható idom területét a háromszögekre bontás módszerével!

+8800

+14400

+8600 M = 1:2000

9.12. ábra. Hatszög alakú idom


274 Mintapélda:

+14600

Határozza meg a 8. feladatban szereplő objektum területét a trapézokra bontás módszerével (9.13. ábra)! Megoldás:

+8800

m3 m2

a3

a2

a1

T1

T2

T3

a4

m1

T4

m4

+14400

+8600 M = 1:2000

9.13. ábra.Területszámítás trapézokra bontás módszerével

Határozzuk meg az őrkeresztek segítségével a papír méretarány-változását (eredetileg az őrkeresztek egymástól 50 mm-re voltak). Most vonalzóval lemérve azt kapjuk, hogy ezek távolsága 49 mm. Bontsuk fel az idomot az egyik oldalával (a1) párhuzamos trapézokra úgy, hogy az osztóvonalak a sokszög sarokpontjain menjenek keresztül. Határozzuk meg az így keletkező trapézok és a maradék háromszög alapjait, illetve magasságait méréssel. Számítsuk ki ezek eredeti térképi, illetve terepi hosszát!

TERÜLETSZÁMÍTÁS Számítsuk ki a részterületeket, amelyeket végül összegezzünk! Vonalzóval mért: a1 = 57,9 mm; a2 = 81,1 mm; a3 = 79,1 mm; a4 = 56,8 mm; m1 = 18,0 mm; m2 = 28,3 mm; m3 = 17,7 mm; m4 = 10,6 mm (0,1 mm, esetleg 0,2 mm eltérés megengedett). A papír méretváltozásának figyelembevétele után (h’ = h ∙ 50/49,0): a1’ = 59,082 mm; a2’ = 82,755 mm; a3’ = 80,714 mm; a4’ = 57,959 mm; m1’ = 18,367 mm; m2’ = 28,878 mm; m3’ = 18,061 mm; m4’ = 10,816 mm. Terepi távolságok (M = 1:2000): a1 = 118,16 m; a2 = 165,51 m; a3 = 161,43 m; a4 = 115,92 m; m1 = 36,73 m; m2 = 57,76 m; m3 = 36,12 m; m4 = 21,63 m. Részterületek: T1 = (a1 + a2) ∙ m1/2 = 5209,5996 m2; T2 = (a2 + a3) ∙ m2/2 = 9442,0272 m2; T3 = (a3 + a4) ∙ m3/2 = 5008,9410 m2; T4 = a4 ∙ m4/2 = 1253,6748 m2. A teljes terület: T = 20 914 m2.

275


276 9. feladat

602400

Határozza meg a 9.14. számú ábrán látható 113 helyrajzi számú erdő területét a trapézokra bontás módszerével!

204400

104

102

103

út

114

113 E

130 114/1 114/2 1115

602000

204000

M = 1:4000

9.14. ábra. Erdő területének meghatározása trapézokra bontás módszerével

TERÜLETSZÁMÍTÁS

277

10. feladat

602400

Határozza meg a 9.15. számú ábrán látható 1024 helyrajzi számú telek (kőbánya) területét a trapézokra bontás módszerével!

204400

1056

105 7

1023

E

102 4 kőbánya 1211/12

1211/13

út

1025

1211/11 1308

602300

204300 M = 1:1000

9.15. ábra. Kőbánya területének meghatározása trapézokra bontás módszerével

278


11. feladat Ön az építésügyi hatóság munkatársa. Egy útépítéssel foglalkozó vállalkozás az önkormányzat 123/3 hrsz-ú földrészletének egy részét (a 9.16. számú ábrán sraffozott területet) felvonulási területként kívánja igénybe venni. Az osztóvonal párhuzamos a telek egyik oldalával, és átmegy a telek egyik töréspontján (a térképrészlet szerint). Önnek meg kell határoznia a terület bérleti díját. A feladatot nehezíti, hogy a földrészletről csak öles rendszerű térkép áll rendelkezésére. Mekkora bérleti díjat kell fizetnie a kivitelezőnek, ha az igénybe vett földrészlet rész bérleti díja 1250 Ft/m2/hó? Az M=1:2880 méretarányú térképen a négyzet oldala a koordináták alapján 200 öl.

14400

14200

8800

M = 1:2880 9000

9.16. ábra. Felvonulási terület nagyságának meghatározása trapézokra bontás módszerével

TERÜLETSZÁMÍTÁS

279

12. feladat Ön egy úttervezéssel foglalkozó vállalkozás munkatársa. A 9.17. ábrán látható sraffozott területre az adott méretekkel parkolót terveztek. Állapítsa meg, hogy megfelel-e a hatályos építési előírásoknak a terület beépítettsége, ha a területnek legfeljebb 30%-át szabad beépítésre felhasználni.

22, 48

R4,50

12, 0

0

9,0 0

4,5 0

21,0 0

R4,50

10, 48

M = 1:500

9.17. ábra. Tervezett parkoló


280

9.4.2. Numerikus terület-meghatározás A feladatokban a méretek és koordináták méter mértékegységben adottak.

Mintapélda:

10,2013,45

7,18

A

6,95

Határozza meg a 9.18. ábrán látható földrészlet területét az ortogonális mérési eredmények alapján!

15,19 30,71-

8,95

102

21,36 23,15

(36,19 )

9,43

B

9.18. ábra. Földrészlet ortogonális felmérésének eredményei Megoldás: 4,99 $ 6,95 ^6,95 + 7,18h $ 6,17 7,18 $ 9,35 7,56 $ 9,43 + + + + 2 2 2 2 ^9,43 + 8,95h $ 9,70 3,25 $ 8,95 + + = 17,3403 + 43,5911 + 33,5665 + 2 2 + 35,6454 + 89,1430 + 14,5438 = 233,8300 m2.

T=

TERÜLETSZÁMÍTÁS

281

13. feladat

7,00

6,53

11,27

Határozza meg az 9.19. ábrán látható földrészlet területét az ortogonális mérési eredmények alapján!

0) 102 (30,0

210/2

9,46

21,00 15,95

025,0

9,40 101 5,20-

9.19. ábra. Földrészlet ortogonális felmérésének eredményei

14. feladat

5,00

5,00 14,36

16,49 302/15

23,19 26,65-

29,07-

(35,00)

7,00

7,00

210

10,00

9,00

Határozza meg az 9.20. ábrán látható földrészlet területét az ortogonális mérési eredmények alapján!

9.20. ábra. Földrészlet ortogonális felmérésének eredményei

501


282

Mintapélda: Határozza meg a 9.21. ábrán látható földrészlet területét a koordináták alapján! Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) 1 752,58 519,56 2 764,88 530,09 3 791,89 520,65 4 779,81 497,18 5 761,37 497,18

2 3

1

5

4

9.21. ábra. Sarokpont-koordinátákkal adott földrészlet Megoldás: n

2$T =

/ x $ ^y i

i+1

- yi - 1h képlet alapján, a számozás sorrendjében felvett körül-

i=1

járási sorrenddel: 2 ∙ T = 519,56 ∙ (764,88 − 761,37) + 530,09 ∙ (791,89 − 752,58) + 520,65 ∙ (779,81 − − 764,88) + 497,18 ∙ (761,37 − 791,89) + 497,18 ∙ (752,58 − 779,81) = 1823,6556 + + 20837,8379 + 7773,3045 − 15173,9336 − 13538,2114 = 1722,6530 m2. T = 861,3265 m2. 15. feladat Határozza meg a 9.22. ábrán látható földrészlet területét a koordináták alapján! Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) 7 821,54 551,59 8 815,39 528,99 9 845,99 520,66 10 859,74 530,74 11 849,80 544,30 12 865,89 544,30 13 852,28 571,55

13

7 11

12 10

8 9

9.22. ábra. Sarokpont-koordinátákkal adott földrészlet

TERÜLETSZÁMÍTÁS

283

16. feladat Határozza meg a 9.23. ábrán látható földrészlet területét a koordináták alapján! Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) 14 892,86 467,20 15 865,45 474,83 16 870,07 489,50 17 874,46 509,46 18 897,08 509,46 19 906,52 487,52

17

18

16

19

15 14

9.23. ábra. Sarokpont-koordinátákkal adott földrészlet

17. feladat Összetett feladat Ön egy földméréssel foglalkozó vállalkozás munkatársa. A feladatuk a 2001–2007 sz. töréspontok által határolt földrészlet felosztása. Határozza meg a 9.24. ábrán feltüntetett mérési eredmények alapján az új földrészletek sarokpontjainak koordinátáit, valamint az új földrészletek területeit! A területszámítást ellenőrizze! Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) 2001 655 389,15 215 738,48 2002 656 152,76 217 797,81 2003 657 743,60 218 471,55 2004 660 365,31 217 467,30 2005 660 365,31 215 827,46 2006 658 990,82 215 344,41 2007 657 934,50 216 081,70

2001

86 0.000

3

977 ,60

87 0.000

102

93 0.000

2

94 0.000

103

104

4 2007

5

3,41 136

92 0.000

108

322 ,67

1017 ,80

99 0.000

98 0.000

107

106 97 0.000

7

105

96 0.000

8

2″ 61° 58′ 3 91 0.000

118 1,04

2006

1428 ,52

9.24. ábra. Földrészlet felosztása

1460,93

95 0.000

1464,96

1

″ 44° 23′ 02

1107,45

101

2002

1 0 10 ,32

88 0.000

6

100 0.000

110

109

9

,15 941

72° 56′ 54″

101 0.000

178 9,65

834,09

2003

797 ,44

32° 45′ 01″

9″

0 2′ 0

90°

951, 77

734 ,89

44″ 54′ ° 3 4

7′ 0

631, 17

0 50°

97 2,7 9

90 0.000

89 0.000

2005

2004

284 VÍZSZINTES RÉSZLETMÉRÉS

4″

39° 2 ″ 3′ 04

MEGOLDÁSOK

9.5. Megoldások 1. feladat Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) 5/1 557 785,32 162 548,43 5/2 557 991,76 162 699,59 5/3 558 191,79 162 846,08 d = −0,232 m. 2. feladat Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) 3/1 +450,741 +200,207 3/2 +580,750 +95,707 3/3 +708,094 −6,650 d = −0,132 m. 3. feladat Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) 1 557 732,34 162 527,99 2 557 745,32 162 515,79 3 557 755,25 162 520,45 4 557 748,42 162 545,23 d = −0,03 m. A hibahatár: 16 cm (0,16 m).

285

286


4. feladat Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) 1 +979,99 +341,59 2 +983,70 +349,10 3 +994,97 +355,41 4 +1006,03 +360,55 5 +991,53 +319,97 6 +1000,80 +324,73 7 +1013,89 +331,48 8 +1022,66 +336,68 d = −0,05 m. A hibahatár: 15 cm (0,15 m). 5. feladat Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) 1 −2790,58 −2925,29 2 −2879,96 −2875,71 3 −2877,67 −2761,02 6. feladat Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) 1 +1045,37 +524,01 2 +1033,47 +504,43 3 +1010,38 +505,08 4 +1002,50 +528,00 5 +1026,14 +526,63

MEGOLDÁSOK

287

7. feladat: A mérés (pl. a = 40,5 mm), a papírbeszáradás miatti javítás ( ∙ 100/98,2), a méretarány figyelembevétele után ( ∙ 100) az oldalak terepi hossza: a = 4,12 m;

f = 4,06 m;

b = 4,19 m;

g = 4,91 m;

c = 4,98 m;

h = 3,42 m;

d = 2,49 m;

i = 3,01 m.

b

d c

h

e

a

g

e = 5,67 m;

i

f

(A keret és az oldalak lemérése 0,1 mm pontosan történhet, ezért az oldalak terepi távolságában megengedett 1–2 cm hiba!) Az előző oldalakkal számolva a háromszögek területe: 8,28 m2

6,21 m2

9,75 m2

5,09 m2

A teljes hatszög területe 29,3 m2. 8. feladat: A mérés (pl. a = 57,9 mm), a papírbeszáradás miatti javítás ( ∙ 50,0/49,0), a méretarány figyelembe vétele után ( ∙ 2000) az oldalak terepi hossza: a = 118,16 m;

f = 100,20 m;

b = 50,41 m;

g = 130,61 m;

c = 101,84 m;

h = 172,65 m;

b

c g d h i

a

d = 100,20 m; i = 150,41 m.

e

e = 75,10 m;

f

(A keret és az oldalak lemérése 0,1 mm pontosan történhet, ezért az oldalak terepi távolságában megengedett 1–2 dm hiba!) Az előző oldalakkal számolva a háromszögek területe: 2347 m2

7712 m2

7502 m2

A teljes hatszög területe kb. 20 900 m2.

3339 m2.

288


9. feladat: A mérés (pl. a1 = 69,9 mm), a papírbeszáradás miatti javítás ( ∙ 100,0/98,8), a méretarány figyelembevétele után ( ∙ 4000) az oldalak terepi hossza:

m3 = 66,80 m;

a4 = 191,90 m;

m4 = 69,23 m.

m2

m1

T2

a1

a3 = 178,14 m;

m3 T4 m4 T3

a2

m2 = 105,26 m;

a3

a2 = 275,30 m;

a4

m1 = 103,24 m; a5

a1 = 283,00 m;

T1

a5 = 217,81 m; (A keret és az oldalak lemérése 0,1 mm pontosan történhet, ezért az oldalak terepi távolságában megengedett több dm hiba!) Az előző oldalakkal számolva a háromszög és a trapézok területe: T1 = 28810 m2 T2 = 23870 m2 T3 = 12360 m2 T4 = 7540 m2 A teljes terület kb. 72 500 m2

10. feladat

m2 = 31,69 m;

a3 = 40,44 m;

m3 = 11,27 m;

a4 = 23,24 m;

m4 = 19,42 m;

m2 T2

T3

m3

m5 = 6,24 m.

T4 m4 T5 m5

a4

a2 = 45,77 m;

m1 T1

a3

m1 = 17,51 m;

a2

a1 = 24,04 m;

a1

A mérés (pl. a1 = 23,9 mm), a papírbeszáradás miatti javítás ( ∙ 100,0/99,4), a méretarány figyelembe vétele után ( ∙ 1000) az oldalak terepi hossza:

(A keret és az oldalak lemérése 0,1 mm pontosan történhet, ezért az oldalak terepi távolságában megengedett 1–2 dm hiba!) Az előző oldalakkal számolva a háromszögek és a trapézok területe: T1 = 1106 m2

T2 = 484 m2

A teljes terület kb. 2490 m2

T3 = 618 m2

T4 = 211 m2

T5 = 72 m2

MEGOLDÁSOK

289

11. feladat Az M = 1:2880 méretarányú térképen az őrkeresztek távolsága (a koordináták alapján) 200 öl. 200 öl = 200 ∙ 1,8964838 m = 379,29676 m. Ez M = 1:2880 méretarányban 379,29676/2880 = 0,1317 m = 131,7 mm. Ezt az őrkeresztek közötti távolságot a papír méretváltozása miatt most 130,2 mm-nek mérhetjük. A mérés (pl. a1 = 31,8 mm), a papírbeszáradás miatti javítás ( ∙ 131,7/130,2), a méretarány figyelembevétele után ( ∙ 2880) az oldalak terepi hossza: a1 = 92,6 m; m1 a1

m1 = 81,9 m

a2

a2 = 73,1 m; (1–2 dm hiba megengedett!) A trapéz területe ezekkel az adatokkal számolva kb. 6785 m2. 12. feladat Először a teljes telek területét kell meghatározni grafikusan.

A mérés (pl. a = 60,3 mm), a papírbeszáradás miatti javítás (most: · 1), a méretarány figyelembevétele után ( ∙ 500) az oldalak terepi hossza: a = 30,15 m;

e = 19,35 m;

b = 26,20 m;

f = 33,40 m;

c = 22,48 m;

g = 36,80 m.

b

T1

f

T3

a

d = 29,15 m; 2

c

2

g T2

2

T1 = 376,30 m ; T2 = 321,36 m ; T3 = 327,65 m . A teljes terület kb. 1025,31 m2

e

d

290


A parkoló területét numerikusan határozzuk meg a méretei alapján:

0

4,5 0 h

12, 0

4,5 0

4,5 0

9,0 0

4,5 0

21,0 0

22, 48 4,5 0

10, 48

k

A befoglaló téglalap területe: 472,0800 m2. A rajzról hiányzó méretek számolhatók: h =3,00 m és k = 5,98 m. A kisebbik levonandó terület: 42,8143 m2. A nagyobbik levonandó terület: 74,2543 m2. A parkoló területe: 355,0114 m2. A parkoló területe 34,6 %-a a teljes területnek, ezért a terv nem felel meg a hatályos építési előírásoknak. 13. feladat T = 174,5873 m2.

14. feladat T = 315,2400 m2.

15. feladat T = 1475,9464 m2.

MEGOLDÁSOK

291

16. feladat T = 1218,7916 m2. 17. feladat A meghatározandó pontok koordinátái Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) 101 655 901,18 217 119,33 102 656 486,67 215 886,47 103 656 817,58 216 778,87 104 657 438,61 217 575,78 105 658 694,06 218 107,47 106 658 436,06 217 419,36 107 658 269,37 216 974,82 108 658 156,09 216 672,69 109 659 495,50 216 176,04 110 659 543,42 217 008,75

Területek: Azonosító 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Összes:

Terület (m2) 1 090 988,5488 935 003,0066 1 185 096,0754 1 229 223,2402 1 115 723,4464 1 080 211,9392 1 040 467,5503 1 076 096,7541 1 494 026,4905 10 246 837,0515

Ellenőrzés: 2001–2002–2003–2004–2005–2006–2007 koordinátáiból: T = 10 246 845,1142 m2. 2001–101–2002–2003–105–2004–2005–2006–2007–102 koordinátáiból: T = 10 246 837,0515 m2.

293

10. VÍZSZINTES ÉS MAGASSÁGI RÉSZLETMÉRÉS

10.1. Egyszerű, állandó száltávolságú tahiméter Egyszerű, állandó száltávolságú tahiméterként felhasználhatunk bármilyen korszerű teodolitot. A mérés előtt meg kell győződni a magassági kör számozásáról, ami lehet magassági szög, vagy zenitszög (zenittávolság) szerinti. A magassági szög szerinti mérés hátránya, hogy a leolvasott szöget a vízszinteshez való elhelyezkedése szerint meg kell különböztetni. Abban az esetben, ha a távcső irányvonal a vízszinteshez képest lefelé mutat a leolvasott szög elé negatív (–) jelet teszünk. A szögek leolvasásakor és az értékek jegyzőkönyvbe írásakor körültekintően kell eljárni. A negatív jel mindig a megfelelő helyre kerüljön, mert ellenkező esetben rossz eredményeket kapunk. A hibák elkerülhetők, ha zenitszög számozású teodolitot használunk, ugyanis itt a számozás a függőleges iránytól folyamatos, és nem kell figyelni a távcső állására, vagyis az előjelre. Felméréskor műszerállásonként, a mérés megkezdése előtt meg kell határozni az álláspont és a fekvőtengely távolságát (h). A bemérendő pontra helyezett szintezőléc megirányzása után lécleolvasást végzünk a felső-, (l2), középső-, (l0), majd az alsó szálnál (l1) (10.1. ábra), végül a magassági és a vízszintes körön meghatározzuk a szögértékeket, ügyelve a távcső irányára (lefelé, vagy felfelé áll). A leolvasott értékeket a jegyzőkönyvben rögzítjük. E felmérési módszer tömeges mennyiségű pont bemérésére nem hatékony, egyrészt a leolvasások, másrészt a távolság és a magasság mérési eredményekből való körülményes számítása miatt.

VÍZSZINTES ÉS MAGASSÁGI RÉSZLETMÉRÉS

294 Mintapélda

Számítsa ki az állandó száltávolságú tahiméterrel (teodolittal) bemért pontok távolságát és magasságát mérési jegyzőkönyv (10.1. táblázat) alapján! (A 10.1. ábrán az 1-es ponton tett leolvasások láthatók.)

10.1. ábra. Egyszerű, állandó száltávolságú tahiméter látómezeje Tahimetrikus jegyzőkönyv (irányszálas) Álláspont: 5 kő Fekvőtengely magassága: h = 1,56 m Műszer: SOKKIA DT610 Álláspont magassága: 151,45 m B.f.

Irányzott pont

Tahimetrikus jegyzőkönyv (irányszálas). 10.1. táblázat Lécleolvasás Δl2 Δl0 Δl1

Magassági szög (α)

Vízszintes szög

°

°

′

″

12 kő 1

2

′

″

312 15 05 1,466 1,400 1,333 1,369 1,285 1,200

12 06 25

318 48 10

−10 25 30

322 50 25

A pont távolsága, m

A pont magassága, m

EGYSZERŰ, ÁLLANDÓ SZÁLTÁVOLSÁGÚ TAHIMÉTER

295

Megoldás: •

vízszintes távolság számítása magassági szöggel (α): A tv = k ∙ (l2 − l1) ∙ cos2 α összefüggés alapján, ahol a k = 100, a műszer szorzóállandója, l1 és l2 a lécleolvasás: t5–1 = 100 ∙ (1,466 − 1,333) ∙ cos2 (12° 06′ 25″) = 12,71 m, t5–2 = 100 ∙ (1,369 − 1,200) ∙ cos2 (10° 25′ 30″) = 16,35 m.

•

magasság számítása magassági szöggel (α): Az MP = MA + h − l0 + k ∙ (l2 − l1) ∙ cos α ∙ sin α összefüggés alapján: M1 = 151,45 + 1,56 − 1,400 + 100 ∙ (1,466 − 1,333) ∙ cos (12° 06′ 25″) ∙ ∙ sin (12° 06′ 25″) = 154,34 m, M2 = 151,45 + 1,56 − 1,285 + 100 ∙ (1,369 − 1,200) ∙ cos (−10° 25′ 30″) ∙ ∙ sin (−10° 25′ 30″) = 148,72 m. Ebben az esetben a 100 ∙ (1,369 − 1,200) ∙ cos (−10° 25′ 30″) ∙ sin (−10° 25′ 30″) kifejezés előjele negatív, mert a negatív szög szinusza 0° és −90° között negatív, a koszinusza pedig pozitív. A számítási művelet elvégzése után az eredményt le kell vonni a (154,45 + 1,56 − 1,285) értékből. A nem kellően körültekintő számolás könnyen hibaforrás lehet! A számításnál előforduló hiba kiküszöbölhető, ha zenitszöggel dolgozunk, mert ez a szög előjelhelyesen adja a pontos értékeket.

A fenti példa zenitszöggel számolva: •

zenitszög számítása z1 = 90° − l1 = 90° − (12° 06′ 25″) = 77° 53′ 35″, z2 = 90° − l2 = 90° − (−10° 25′ 30″) = 100° 25′ 30″.

•

vízszintes távolság számítása zenitszöggel (z): z1 = 77° 53′ 35″, z2 = 100° 25′ 30″. A tv = k ∙ (l2 − l1) ∙ sin2 z összefüggéssel számolva: t5–1 = 100 ∙ (1,466 − 1,333) ∙ sin2 (77° 53′ 35″) = 12,71 m, t5–2 = 100 ∙ (1,369 − 1,200) ∙ sin2 (100° 25′ 30″) = 16,35 m.

296 •


magasság számítása zenitszöggel (z): Az MP = MA + h − l0 + k ∙ (l2 − l1) ∙ sin z ∙ cos z összefüggés alapján: M1 = 151,45 + 1,56 − 1,400 + 100 ∙ (1,466 − 1,333) ∙ sin (77° 53′ 35″) ∙ ∙ cos (77° 53′ 35″) = 154,34 m, M2 = 151,45 + 1,56 − 1,285 + 100 ∙ (1,369 − 1,200) ∙ sin (100° 25′ 30″) ∙ ∙ cos (100° 25′ 30″) = 148,72 m.

A kiszámolt eredményeket beírjuk a jegyzőkönyvbe. Tahimetrikus jegyzőkönyv (irányszálas)

Irányzott pont

Álláspont: 5 kő Fekvőtengely magassága: h = 1,56 m Műszer: SOKKIA DT610 Álláspont magassága: 151,45 m B.f. Lécleolvasás Δl2 Δl0 Δl1

Magassági szög (α)

Vízszintes szög

°

°

′

″

12 kő 1

2

′

″



312 15 05 1,466 1,400 1,333 1,369 1,285 1,200

12 06 25

318 48 10

12,71

154,34

−10 25 30

322 50 25

16,35

148,72

EGYSZERŰ, ÁLLANDÓ SZÁLTÁVOLSÁGÚ TAHIMÉTER

297

1. feladat Számítsa ki az állandó száltávolságú tahiméterrel (teodolittal) bemért pontok távolságát és magasságát mérési jegyzőkönyv (10.2. táblázat) alapján! Tahimetrikus jegyzőkönyv (irányszálas) Álláspont: 32 kő Fekvőtengely magassága: h = 1,48 m Műszer: SOKKIA DT610 Álláspont magassága: 107,15 m B.f.

Irányzott pont

Tahimetrikus jegyzőkönyv (irányszálas). 10.2. táblázat Lécleolvasás Δl2 Δl0 Δl1

Zenitszög (z) °

′

Vízszintes szög ″

40 kő 12

13

14

15

16

°

′

″

45 05 15 1,095 1,000 0,905 1,272 1,200 1,128 1,516 1,258 1,000 1,504 1,352 1,200 0,898 0,800 0,702

89 31 45

52 28 15

95 05 15

100 50 35

81 47 30

105 52 00

92 10 45

120 48 20

80 22 00

120 48 20



298


10.2. Redukáló tahiméter A redukáló, vagy diagramtahiméter használatával egyszerűbb a felmérés és a bemért pontok távolságainak és magasságainak számítása. A látómezőben az alapgörbén kívül két távolsági szál (kt = 100 és 200 szorzójú), valamint négy, előjellel ellátott magassági szál található. A Zeiss Dahlta 010A típusú műszerben (10.2. ábra) a magassági szorzó k m = ±10, ±20, ±50, ±100, a MOM gyártmányú Ta-D típusú Bezzegh–Gyimóthy-féle kördiagram-tahiméterben pedig km = ±20, ±50. Felméréskor műszerállásonként, a mérés megkezdése előtt meg kell határozni az álláspont és a fekvőtengely távolságát (h). A bemérendő pontra helyezett szintezőléc megirányzása után lécleolvasást végzünk. Meghatározzuk az alapgörbe (l0), a távolsági (lt) és a magassági görbe (lm) metszékét a szorzószámmal együtt. Ezt követően a vízszintes körön is leolvasást végzünk. A leolvasott értékeket jegyzőkönyvben rögzítjük. Amennyiben a látási viszonyok (növényzet, tereptárgyak, épületek stb.) lehetővé teszik, célszerű az lt = 100 távolsági szálnál leolvasni, egyrészt a pontosság, másrészt a gyorsabb számítás miatt.

Mintapélda: Számítsa ki a redukáló tahiméterrel bemért pontok távolságát és magasságát mérési jegyzőkönyv (10.3. táblázat) alapján! (A felmérésnél szintezőlécet használtunk.) (A 10.2. ábrán az 1-es ponton tett leolvasások láthatók.)

10.2. ábra. Redukáló tahiméter (Dahlta 010A) látómezeje

REDUKÁLÓ TAHIMÉTER

299

Tahimetrikus jegyzőkönyv (redukáló) Álláspont: 23 kő Fekvőtengely magassága: h = 1,52 m Álláspont magassága: 128,25 m B.f.

Műszer: Dahlta 010A

lt

lm

1,300 1,415 1,380 1,200 1,573 1,233 1,000 0,821 1,152

°

100 100 200

−20 −10 +20

52 28 105 141

′

″

45 15 28 32

24 54 06 12

A pont távolsága, m A pont magasága, m

l0

Vízszintes szög

Magassági szorzó (km) ±10, ±20, ±50, ±100

5 kő 1 2 3

Lécleolvasás

Távolsági szorzó (kt) 100, 200

Irányzott pont

Tahimetrikus jegyzőkönyv (redukáló). 10.3. táblázat

Megoldás: •

vízszintes távolság számítása a tv = kt ∙ (lt − l0) összefüggés alapján: t5–1 = 100 ∙ (1,415 − 1,300) = 11,50 m, t5–2 = 100 ∙ (1,573 − 1,200) = 37,30 m, t5–3 = 200 ∙ (1,000 − 0,821) = 35,80 m.

•

magasság számítása az MP = MA + h − l0 ± km ∙ (lm − l0) összefüggés alapján: M1 = 128,25 + 1,52 − 1,300 + [−20 ∙ (1,380 − 1,300)] = 126,87 m, M2 = 128,25 + 1,52 − 1,200 + [−10 ∙ (1,233 − 1,200)] = 128,24 m, M3 = 128,25 + 1,52 − 1,000 + [20 ∙ (1,152 − 1,000)] = 131,81 m.

A kiszámolt eredményeket beírjuk a jegyzőkönyvbe. Tahimetrikus jegyzőkönyv (redukáló)

lt

lm

1,300 1,415 1,380 1,200 1,573 1,233 1,000 0,821 1,152

100 100 200

Vízszintes szög °

′

″

−20 −10 +20

52 28 105 141

45 15 28 32

24 54 06 12


l0



5 kő 1 2 3

Lécleolvasás


Irányzott pont

Álláspont: 23 kő Fekvőtengely magassága: h = 1,52 m Álláspont magassága: 128,25 m B.f.

11,50 37,30 35,80

126,87 128,24 131,81


300 2. feladat

Számítsa ki a redukáló tahiméterrel (Zeiss Dahlta 010A) bemért pontok távolságát és magasságát mérési jegyzőkönyv (10.4. táblázat) alapján. (A felmérésnél szintezőlécet használtunk.) Tahimetrikus jegyzőkönyv (redukáló) Álláspont: 112 kő Fekvőtengely magassága: h = 1,49 m Álláspont magassága: 112,15 m B.f.


1,200 1,100 0,800 1,300 0,500

lt 1,348 1,472 0,598 1,485 0,785

lm 1,285 1,202 0,958 1,389 0,626

100 100 200 100 100

°

′

″

+10 +10 +20 −10 +10

65 78 85 100 110 120

40 52 25 12 52 23

30 06 12 48 06 30


l0

Vízszintes szög


15 kő 1 2 3 4 5

Lécleolvasás


Irányzott pont


A korszerű műszerek – mérőállomás, GPS – megjelenése előtt a redukáló tahiméterrel történő terepfelmérés hatékony volt. A távolságok és a magasságok számítása egyszerűbb az irányszálas tahiméterhez képest. A számítást még egyszerűbbé tette a speciálisan kialakított tahimetrikus léc (10.3. ábra) használata. Ez a beosztásos léc annyiban különbözik a szintezőléctől, hogy a nulla (0) kezdővonása az átlagos fekvőtengely-magasságnak megfelelően 1,40 m magasságban van. Ilyen tahimetrikus lécet használunk a Zeiss Dahlta 010A típusú műszernél.

10.3. ábra. Zeiss tahimetrikus léc


301

Abban az esetben, ha a fekvőtengely magassága 1,40 m, és ilyen lécet használunk, akkor az alapszálat a nullavonásra állítjuk, majd ezt követően meghatározzuk a távolsági szál (lt) és a magassági szál (lm) metszékét a magassági szorzóval együtt. A vízszintes távolság: tAP = kt ∙ lt. A pont magassága: MP = MA ± km ∙ lm. A felmérés során nem mindig biztosítható a műszer fekvőtengelyének 1,40 m magassága. Ebben az esetben a magasság számításánál a fekvőtengely és a nullavonás magasságkülönbségét (h) számításba kell venni. A pont magassága ekkor: MP = MA + (h − 1,40) ± km ∙ lm. A korábban említett MOM típusú Ta-D tahiméterhez olyan lécet készítettek, melynél a nulla kezdővonás 1,00 m magasan van, de egy kihúzható, rögzíthető toldalékkal a fekvőtengely magassága pontosan beállítható. Így a pont magassága: MP = MA ± km ∙ lm. Mintapélda: Számítsa ki a redukáló tahiméterrel bemért pontok távolságát és magasságát mérési jegyzőkönyv (10.5. táblázat) alapján! (A felmérésnél Zeiss tahimetrikus lécet használtunk.) Tahimetrikus jegyzőkönyv (redukáló) Álláspont: 45 kő Fekvőtengely magassága: h = 1,40 m Álláspont magassága: 103,09 m B.f.


lt

lm

0,659 0,455 0,568 0,253 0,221 0,325

100 100 200

°

′

″

+20 −10 +20

152 48 75 81

45 15 28 32

24 54 06 12


l0

Vízszintes szög


8 kő 11 12 13

Lécleolvasás


Irányzott pont



302 Megoldás:

A műszer fekvőtengely-magassága azonos a tahimetrikus léc kezdővonásának magasságával. •

vízszintes távolság számítása a tv = kt ∙ lt összefüggés alapján: t8–11 = 100 ∙ 0,659 = 65,90 m, t8–12 = 100 ∙ 0,568 = 56,80 m, t8–13 = 200 ∙ 0,221 = 44,20 m.

•

magasság számítása az MP = MA ± km ∙ lm összefüggés alapján: M11 = 103,09 + 20 ∙ 0,455 = 112,19 m, M12 = 103,09 + (−10) ∙ 0,253 = 100,56 m, M13 = 103,09 + 20 ∙ 0,325 = 109,59 m.

A kiszámolt eredményeket beírjuk a jegyzőkönyvbe. Tahimetrikus jegyzőkönyv (redukáló)

lt

lm

0,659 0,455 0,568 0,253 0,221 0,325

100 100 200


′

″

+20 −10 +20

152 48 75 81

45 15 28 32

24 54 06 12


l0



8 kő 11 12 13

Lécleolvasás


Irányzott pont


65,90 56,80 44,20

112,19 100,56 109,59


303

3. feladat Számítsa ki a redukáló tahiméterrel bemért pontok távolságát és magasságát mérési jegyzőkönyv (10.6. táblázat) alapján! (A felmérésnél Zeiss tahimetrikus lécet használtunk.) Tahimetrikus jegyzőkönyv (redukáló) Álláspont: 12 kő Fekvőtengely magassága: h = 1,40 m Álláspont magassága: 103,09 m B.f.


8 kő 1 2 3 4 5

lt 0,359 0,451 0,225 0,625 0,715

lm 0,354 0,315 0,325 0,349 0,365

100 100 200 100 100

−20 −10 −10 −20 +20


′

″

85 56 65 70 75 80

40 40 32 42 48 53

30 06 24 30 06 54


l0


Lécleolvasás


Irányzott pont



304 4. feladat

Számítsa ki a redukáló tahiméterrel bemért pontok távolságát és magasságát mérési jegyzőkönyv (10.7. táblázat) alapján! (A felmérésnél Zeiss tahimetrikus lécet használtunk.) Tahimetrikus jegyzőkönyv (redukáló) Álláspont: 10 kő Fekvőtengely magassága: h = 1,56 m Álláspont magassága: 102,20 m B.f.


lt

8 kő 1 2 3 4 5

0,512 0,218 0,425 0,492 0,365

lm 0,125 0,135 0,156 0,022 0,054

100 200 100 100 100

+10 +10 +10 +20 +20

°

′

″

55 45 48 53 60 65

40 56 23 44 03 34

30 30 06 12 18 30


l0

Vízszintes szög


Lécleolvasás


Irányzott pont


10.3. Összeadóállandó meghatározása Mintapélda: Határozza meg a mérőfelszerelés (fénytávmérő – mérőállomás, prizma) összeadóállandóját (c), ha az alábbi mérési eredmények állnak rendelkezésre a mérési vonal (10.4. ábra) egyes szakaszain! t13 + c

t12 + c

t23 + c

10.4. ábra. Mérési vonal összeadóállandó meghatározásához t1–2 = 10,239 m, t2–3 = 20,471 m, t1–3 = 30,723 m.

ÖSSZEADÓÁLLANDÓ MEGHATÁROZÁSA

305

Megoldás: Írjuk fel az összeadóállandó számításának alapképletét: (t1–2 + c) + (t2–3 + c) = t1–3 + c. Az egyenlet átrendezése után: c = t1–3 − t1–2 − t2–3. c = 30,723 m – 10,239 m – 20,471 m = 0,013 m. A felszerelés összeadóállandója tehát +13 mm. 5. feladat Határozza meg a mérőfelszerelés összeadóállandóját, ha az alábbi mérési eredmények születtek a mérési vonal (10.4. ábra) egyes szakaszain! t1–2 = 6,457 m, t2–3 = 13,464 m, t1–3 = 19,900 m. 6. feladat Határozza meg a mérőfelszerelés összeadóállandóját, ha az alábbi eredményeket mértek a mérési vonal (10.4. ábra) egyes szakaszain! t1–2 = 11,246 m, t2–3 = 23,856 m, t1–3 = 35,132 m.

306


10.4. Megoldások 1. feladat Tahimetrikus jegyzőkönyv (irányszálas)

Irányzott pont

Álláspont: 32 kő Fekvőtengely magassága: h = 1,48 m Műszer: SOKKIA DT610 Álláspont magassága: 107,15 m B.f. Lécleolvasás Δl2 Δl0 Δl1

Zenitszög (z) °

′

Vízszintes szög ″

40 kő 12

13

14

15

16

°

′

″



45 05 15 1,095 1,000 0,905 1,272 1,200 1,128 1,516 1,258 1,000 1,504 1,352 1,200 0,898 0,800 0,702

89 31 45

52 28 15

19,00

107,79

95 05 15

100 50 35

14,29

106,16

81 47 30

105 52 00

50,55

114,66

92 10 45

120 48 20

30,36

106,12

80 22 00

120 48 20

19,05

111,06

MEGOLDÁSOK

307

2. feladat Tahimetrikus jegyzőkönyv (redukáló)

15 kő 1 2 3 4 5

lt

1,200 1,100 0,800 1,300 0,500

1,348 1,472 0,598 1,485 0,785

lm 1,285 1,202 0,958 1,389 0,626

100 100 200 100 100


′

″

+10 +10 +20 −10 +10

65 78 85 100 110 120

40 52 25 12 52 23

30 06 12 48 06 30


l0



Irányzott pont

Lécleolvasás



14,80 37,20 40,40 18,50 28,50

113,29 113,56 116,00 111,45 114,40

3. feladat Tahimetrikus jegyzőkönyv (redukáló)

0,359 0,451 0,225 0,625 0,715

0,354 0,315 0,325 0,349 0,365

100 100 200 100 100

−20 −10 −10 −20 +20

Lécleolvasás l0



′

″

85 56 65 70 75 80

40 40 32 42 48 53

30 06 24 30 06 54


lm


8 kő 1 2 3 4 5

lt


Irányzott pont


35,90 45,10 45,00 62,50 71,50

96,01 99,94 99,84 96,11 110,39


308 4. feladat

Tahimetrikus jegyzőkönyv (redukáló)

8 kő 1 2 3 4 5

lt 0,512 0,218 0,425 0,492 0,365

lm 0,125 0,135 0,156 0,022 0,054

5. feladat Az összeadóállandó: −21 mm. 6. feladat Az összeadóállandó: +30 mm.

100 200 100 100 100

+10 +10 +10 +20 +20



′

″

55 45 48 53 60 65

40 56 23 44 03 34

30 30 06 12 18 30


l0


Lécleolvasás


Irányzott pont


51,20 43,60 42,50 49,20 36,50

103,61 103,71 103,92 102,80 103,44

309

11. KÖZLEKEDÉSI LÉTESÍTMÉNYEK ÉPÍTÉSÉNEK FÖLDMÉRÉSI MUNKÁI

11.1. Derékszögű kitűzés Mintapélda: Számítsa ki a megadott koordináták alapján a derékszögű koordinátákkal való kitűzéséhez szükséges adatokat D–Ny-i koordináta-rendszerben (11.1. ábra)! Írja le röviden a kitűzés végrehajtását és eszközeit! Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) A −203,426 −299,318 B −746,855 −553,651 1 −300,738 −383,552 2 −642,348 −473,593 3 −700,846 −313,676 −x +a

1

+b

δAB

z +x +y

a1

b1

a3

a2 b2 2

B

b3

A −b

3 −y

+x

11.1. ábra. Kitűzés derékszögű koordinátákkal

310

KÖZLEKEDÉSI LÉTESÍTMÉNYEK ÉPÍTÉSÉNEK FÖLDMÉRÉSI MUNKÁI

Megoldás: •

irányszög számítása: α = arc tg

yB - yA -543,429 = arc tg = 64° 55′ 11″ -254,333 xB - xA

Δy és Δx is negatív előjelű, ezért III. negyed → δ = 180° + α. Tehát δAB = 180° + (64° 55′ 11″) = 244° 55′ 11″. •

kitűzési adatok számítása: a1 = Δy1 ∙ sin δAB + Δx1 ∙ cos δAB = (y1 − yA) ∙ sin δAB + (x1 − xA) ∙ cos δAB = = +123,84 m, a2 = Δy2 ∙ sin δAB + Δx2 ∙ cos δAB = (y2 − yA) ∙ sin δAB + (x2 − xA) ∙ cos δAB = = +471,41 m, a3 = Δy3 ∙ sin δAB + Δx3 ∙ cos δAB = (y3 − yA) ∙ sin δAB + (x3 − xA) ∙ cos δAB = = +456,61 m. b1 = Δx1 ∙ sin δAB − Δy1 ∙ cos δAB = (x1 − xA) ∙ sin δAB − (y1 − yA) ∙ cos δAB = = +35,04 m, b2 = Δx2 ∙ sin δAB − Δy2 ∙ cos δAB = (x2 − xA) ∙ sin δAB − (y2 − yA) ∙ cos δAB = = −28,21 m, b3 = Δx3 ∙ sin δAB − Δy3 ∙ cos δAB = (x3 − xA) ∙ sin δAB − (y3 − yA) ∙ cos δAB = = −197,85 m.

Eredmények: Kitűzési adatok Pontszám a (m) b (m) 1 123,84 35,04 2 471,41 −28,21 3 456,61 −195,85 A pontok kitűzése a nagy abszcissza- (a2 = 471,41 m) és ordináta- (b3 = 197,85 m) értékekre való tekintettel, teodolittal és mérőszalaggal, vagy mérőállomással végezhető el. Az alapvonal kezdőpontján (A) álló műszerrel a1, a2, a3 távolságra egy-egy segédpontot intünk be az AB egyenesbe, amiket ideiglenesen – pl. facövekkel – megjelölünk. Ezeken a pontokon a műszerrel rendre pontraállunk, megirányozzuk az A pontot, és ehhez az irányhoz képest értelemszerűen mérőlegest tűzünk ki, majd a távcső irányvonalába, adott b távolságra beintünk egy pontjelet és pontot megjelöljük.

DERÉKSZÖGŰ KITŰZÉS

311

1. feladat Számítsa ki a megadott koordináták alapján a kerítés (1, 4) és az épület (2, 3) derékszögű koordinátákkal való kitűzéséhez szükséges adatokat EOV rendszerben (11.2. ábra)! Írja le röviden a kitűzés végrehajtását és eszközeit!

Pontszám y (m) 20 602 523,14 21 602 596,12 1 602 532,34

Koordinátajegyzék Pontszám x (m) 199 316,13 2 199 348,18 3 199 327,99 4

+x

x (m) 199 315,79 199 320,45 199 345,23

y (m) 602 545,33 602 555,26 602 548,42

4 +a

s ríté Ke

21

1

+b

20

2

É

le pü

t

3

−b

−y

+y −x


2. feladat Számítsa ki a megadott koordináták alapján a vágányszakasz derékszögű koordinátákkal történő kitűzéséhez szükséges adatokat É–K-i koordináta-rendszerben (11.3. ábra)!

Pontszám 20 13 1 2

y (m) 1055,286 1026,132 1047,95 1045,16

Koordinátajegyzék Pontszám x (m) 522,646 3 526,618 4 528,90 5 529,57

y (m) 1040,91 1038,05 1035,63

x (m) 530,49 531,13 531,67

312

KÖZLEKEDÉSI LÉTESÍTMÉNYEK ÉPÍTÉSÉNEK FÖLDMÉRÉSI MUNKÁI +x 5

4

3

13

2

1 20 +y


11.2. Poláris kitűzés Kitűzés tetszőleges limbuszállással Ebben az esetben a helyszínen kell kiszámolni a kitűzéshez szükséges irányértékeket a pontok irányszögeinek és a kezdőirányok irányértékeinek ismeretében.

Mintapélda: Számítsa ki egy acélszerkezeti létesítményt rögzítő csavarok (1, 2, 3, 4) kitűzési adatait a megadott koordináták alapján, É–K-i koordináta-rendszerben. A kitűzést poláris koordinátákkal, tetszőleges limbuszállással végezzük az A műszerálláspontról a B és a C pontok irányzása után (11.4. ábra). Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) A +1045,377 +523,996 B +985,505 +417,217 C +975,559 +628,037 1 +1063,686 +501,136 2 +1063,900 +507,046 3 +1069,620 +500,928 4 +1070,073 +507,116

Szögmérési adatok Álláspont: A Pontszám Irányérték (l) ° ʹ ʺ B 101 25 42 C 218 16 54

POLÁRIS KITŰZÉS

313

C

+x

A

B −y

2

3

1

4 +y

−x

11.4. ábra. Poláris kitűzés tetszőleges limbuszállással Megoldás: •

Irányszögek, távolságok számítása: –

δAB, és TAB számítása: y - yA -59,872 α = arc tg B = arc tg = 29° 16′ 47″. -106,779 xB - xA Δy és Δx is negatív előjelű, ezért III. negyed → δ = 180° + α. Tehát δAB = 209° 16′ 47″. TAB =

–

^ yB - yAh2 + ^ xB - xAh2 =

^-59,872h2 + ^-106,779h2 = 122,419 m.

δAC, és TAC számítása: y - yA -69,818 = arc tg = 33° 51′ 51″. α = arc tg C + xC xA 104,041 Δy negatív, Δx pozitív előjelű, ezért IV. negyed → δ = 360° − α. Tehát δAC = 326° 08′ 09″. TAC =

•

^ yC - yAh2 + ^ xC - xAh2 =

^-69,818h2 + 104,0412 = 125,296 m.

tájékozási és középtájékozási szög számítása: zAB = δAB − lAB = (209° 16′ 47″) − (101° 25′ 42″) = 107° 51′ 05″, zAC = δAC − lAC = (326° 08′ 09″) − (218° 16′ 54″) = 107° 51′ 15″. Alap: 107° 51′ 00″

314


z k″ =

zB $ TAB + zC $ TAC 5 $ 122,419 + 15 $ 125,296 = = 10″. TAB + TAC 122,419 + 125,296

z k = 107° 51′ 00″ + 10″ = 107° 51′ 10″. Közel egyforma távolságok esetén, mint e példánál is, nem követünk el hibát, ha a két tájékozási szög középértékével számolunk, ami ugyanezt az eredményt adja. •

kitűzendő pontok irányszögeinek és távolságainak számítása: –

1 pont: α = arc tg

y1 - yA 18,309 = arc tg = 38° 41′ 31″. -22,860 x1 - xA

Δy pozitív, Δx negatív előjelű, ezért II. negyed → δ = 180° − α. Tehát δA–1 = 141° 18′ 29″. TA–1 = –

^ y1 - yS26h2 + ^ x1 - xS26h2 =

18,3092 + ^-22,860h = 29,288 m. 2

2 pont: α = arc tg

y2 - yA 18,523 = arc tg = 47° 32′ 21″. -16,950 x2 - xA

Δy pozitív, Δx negatív előjelű, ezért II. negyed → δ = 180° − α. Tehát δA–2 = 132° 27′ 39″. TA–2 = –

^ y2 - yAh2 + ^ x2 - xAh2 =

2 18,5232 + ^-16,950h = 25,108 m.

3 pont: α = arc tg

y3 - yA 24,243 = arc tg = 46° 25′ 22″. -23,068 x3 - xA

Δy pozitív, Δx negatív előjelű, ezért II. negyed → δ = 180° − α. Tehát δA–3 = 133° 34′ 38″. TA–3 =

^ y3 - yAh2 + ^ x3 - xAh2 =

2 24,2432 + ^-23,068h = 33,464 m.

POLÁRIS KITŰZÉS –

4 pont: α = arc tg

y4 - yA 24,696 = arc tg = 55° 38′ 49″. x4 xA 16,880

Δy pozitív, Δx negatív előjelű, ezért II. negyed → δ = 180° − α. Tehát δA–4 = 124° 21′ 11″. TA–4 = •

^ y4 - yAh2 + ^ x4 - xAh2 =

2 24,6962 + ^-16,880h = 29,914 m.

kitűzendő pontok irányértékének számítása: –

1 pont: lA–1 = δA–1 − z k = (141° 18′ 29″) − (107° 51′ 10″) = 33° 27′ 19″.

–

2 pont: lA–2 = δA–2 − z k = (132° 27′ 39″) − (107° 51′ 10″) = 24° 36′ 29″.

–

3 pont: lA–3 = δA–3 − z k = (133° 34′ 38″) − (107° 51′ 10″) = 25° 43′ 28″.

–

4 pont: lA–4 = δA–4 − z k = (124° 21′ 11″) − (107° 51′ 10″) = 16° 30′ 01″.

Eredmények: Kitűzési adatok Álláspont: A Pontszám Irányérték (l) ° ʹ ʺ B 101 25 42 1 33 27 19 2 24 36 29 3 25 43 28 4 16 30 01

t (m) – 29,288 25,108 33,464 29,914

315

316


3. feladat Számítsa ki a járda kitűzési adatait poláris koordinátákkal, tetszőleges limbuszállással történő kitűzéshez a megadott koordináták alapján, É–K-i koordináta-rendszerben. A kitűzést a 40-es számú műszerálláspontról végezzük a 41-es és a 42-es pont irányzása után (11.5. ábra). Szögmérési adatok Álláspont: A Pontszám Irányérték (l) ° ʹ ʺ 41 132 40 06 42 181 33 16

Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) 40 +315,189 +1114,219 41 +417,388 +1062,500 42 +343,355 +1003,508 2 +319,086 +1098,789 3 +317,753 +1100,593 4 +326,782 +1104,652 5 +325,472 +1106,458 8 +333,158 +1109,505 9 +331,885 +1111,334 +x 40

9 5 3

8 4

41

2 42 −y

−x

+y

11.5. ábra. Poláris kitűzés tetszőleges limbuszállással

POLÁRIS KITŰZÉS

317

Kitűzés tájékozott főirányról E kitűzési módnál a műszer nulla vonását tájékozzuk, vagyis beállítjuk a +x tengelylyel párhuzamos irányba. Mintapélda: Számítsa ki a körív részletpontok kitűzési adatait poláris koordinátákkal tájékozott főirányról történő kitűzéshez a megadott koordináták alapján EOV rendszerben. A kitűzést az A műszerálláspontról végezzük a B pont irányzása után (11.6. ábra) Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) A 642 198,43 161 398,51 B 641 717,18 161 238,47 1 642 078,84 161 358,74 2 642 174,61 161 349,98 3 642 233,19 161 273,70 A

+x 1 2

B

IE

3

IV −y −x

+y

11.6. ábra. Kitűzés poláris koordinátákkal tájékozott főirányról Megoldás: •

alappontok (δAB) irányszögének számítása yB - yA -481,250 = arc tg = 71° 36′ 20″. -160,040 xB - xA Δy és Δx is negatív előjelű, ezért III. negyed, → δ = 180° + α.

α = arc tg Tehát

δAB = 251° 36′ 20″.

318 •


részletpontok irányszögeinek, távolságainak számítása –

1 pont: α = arc tg

y1 - yA -119,590 = arc tg = 71° 36′ 19″. -39,770 x1 - xA

Δy és a Δx negatív előjelű, ezért III. negyed, → δ = 180° + α.

–

Tehát

δA–1 = 251° 36′ 19″.

TA–1 =

^ y1 - yAh2 + ^ x1 - xAh2 =

^-119,590h2 + ^-39,770h2 = 126,03 m.

2 pont: α = arc tg

y2 - yA -23,820 = arc tg = 26° 08′ 36″. -48,530 x2 - xA

Δy és Δx is negatív előjelű, ezért III. negyed, → δ = 180° + α.

–

Tehát

δA–2 = 206° 08′ 36″.

TA–2 =

^ y2 - yAh2 + ^ x2 - xAh2 =

^-23,820h2 + ^-48,530h2 = 54,06 m.

3 pont: α = arc tg

y3 - yA 34,760 = arc tg = 15° 33′ 46″. -124,810 x3 - xA

Δy és Δx is negatív előjelű, ezért III. negyed, → δ = 180° + α. Tehát TA–3 =

δA–3 = 164° 26′ 14″. ^ y3 - yAh2 + ^ x3 - xAh2 =

Eredmények: Kitűzési adatok Pontszám Irányszög (δ) t (m) ° ʹ ʺ B 251 36 20 Irányzott p. 1 251 36 19 126,03 2 206 08 36 54,06 3 164 26 14 129,56

2 34,7602 + ^-124,810h = 129,56 m.

POLÁRIS KITŰZÉS

319

4. feladat Számítsa ki a kitérő kitűzési adatait poláris koordinátákkal, tájékozott főirányról történő kitűzéshez, a megadott koordináták alapján, É–K-i koordináta rendszerben. A kitűzést a 16 műszerálláspontról végezzük a 14 pont irányzása után (11.7. ábra). Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) 16 +1045,377 +523,996 14 +1034,414 +504,442 1 +1045,665 +512,187 KE +1034,572 +512,612 KFP +1020,509 +513,153 KV1 +1006,657 +513,693 KV2 +1006,657 +515,658 2 +1000,599 +513,918 +x 16 2

KV2 KV1

KFP

1 KE 14

−y

−x

+y

11.7. ábra Kitűzés poláris koordinátákkal, tájékozott főirányról

320 KÖZLEKEDÉSI LÉTESÍTMÉNYEK ÉPÍTÉSÉNEK FÖLDMÉRÉSI MUNKÁI

11.3. Kitűzési koordináták számítása Mintapélda: Számítsa ki a 11.8. ábrán látható útszakasz tengelyének kitűzési koordinátáit! Határozza meg az 50 m-enkénti szelvények kitűzési koordinátáit! Az A pont szelvényszáma 0+000. S

z +x

β

IV

IE

A

α

B

O

11.8. ábra. Útszakasz Adott: Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) A 824,35 490,14 S 1047,71 719,29 B 1326,97 491,33 R = 200,00 m. Megoldás: Határozzuk meg a koordinátákból számított irányszögek különbségeként a sarokpontnál lévő β törésszöget: β = δSA − δSB = (224-16-01) − (129-13-29) = 95-02-32. Ebből a középponti szög: α = 84-57-28. Következő lépésként határozzuk meg a tangenshosszt, majd annak ismeretében az ív eleje és ív vége pontok koordinátáit. T = 183,13 m.

KITŰZÉSI KOORDINÁTÁK SZÁMÍTÁSA Pontszám IE IV

y (m) 919,88 1189,57

321

x (m) 588,15 603,49

IE pontból a δSA − 90°-os irányszöggel számolhatók a középpont (O) koordinátái. Ellenőrzésképpen a koordinátákat az IV pontról is ki lehet számolni δSB + 90°-os irányszöggel. A középpont koordinátái: yO = 1063,10; xO = 448,55. A sarokpont (S) és a középpont (O) koordinátáiból számítjuk az SO irányt, majd az SK szakasz meghatározásával kiszámítjuk a K pont koordinátáit. SK = 71,18 m. A K pont koordinátái: yK = 1051,75; xK = 648,22. Az egyenes szakaszokon a szelvénypontok koordinátái a már meghatározott irányszögek és távolságok ismeretében számíthatók. Az A ponttól az IE pont felé δAS irányszöggel számolhatók a részletpontok koordinátái, utolsó pont az IE pont. Mivel tA–IE távolság a végpontok koordinátáiból számolható: 136,87 m, most a 0+050 és a 0+100 szelvények tengelypontjainak koordinátáit tudjuk kiszámolni. IE szelvényszáma: 0+136,87. Az ívhossz a tanult képletekkel: 296,56 m, így az IV szelvényszáma: 0+433,43. A köríven az első távolság az IE ponttól: 150 m − 136,87 m = 13,13 m. Ezt követi 5 db pont 50 méterenként, majd 33,43 méteres ívszakasz után elérjük az IV pontot. Ellenőrzés: 13,13 + 5 ∙ 50 + 33,43 = 296,56 = ívhossz. A köríven fekvő részletpontok koordinátáit az O pontból számoljuk. A távolság minden pontnál a sugár (R = 200 m), az irányszög viszont pontonként változik. Az első irány az O–IE ennek irányszöge δO–IE = 314-16-01. A köríven fekvő első részletpont 13,13 m-re van az IE ponttól, a 13,13 m-hez tartozó középponti szög számolható: 13,13 / 200 ∙ 180 / π = 3-45-41, az irányszög: 318-01-42. A többi (5 db) pont 50 méterenként jön, az 50 méterhez tartozó középponti szög: 14-19-26,2. A kapott irányszögek rendre: 332-21-08, 346-40-34, 1-00-01, 15-19-27, 29-38-53. Ellenőrzésképpen kiszámoljuk az O–IV irányszöget is: a maradék 33,43 m-hez tartozó középponti szög 9-34-37, így δO–IV = 39-13-30 (ezt már ismerjük).

322 KÖZLEKEDÉSI LÉTESÍTMÉNYEK ÉPÍTÉSÉNEK FÖLDMÉRÉSI MUNKÁI A kapott irányszögekkel és az R távolsággal a részletpontok koordinátái számolhatók. Az utolsó, egyenes szakaszon számolhatunk az IV pont felől a B pont felé. Az érintő irányszöge ismert (δSB).Az IV és az azt követő első részletpont távolsága számolható a szelvényszámokból: (0+450) − (0+433,43) = 16,57 m, a többi pont 50 méterenként (tehát 66,57; 116,57 stb.) egészen a B pontig, ami koordinátákból 177,36 m. A szelvények koordinátái: 0+000 0+050 0+100 0+136,87 0+150 0+200 0+250 0+285,15 0+300 0+350 0+400 0+433,43 0+450 0+500 0+550 0+600 0+610,79

A

IE

IK

IV

B

y (m) 824,35 859,25 894,15 919,88 929,35 970,30 1017,02 1051,75 1066,60 1115,96 1162,04 1189,57 1202,42 1241,15 1279,88 1318,62 1326,97

x (m) 490,14 525,94 561,75 588,15 597,25 625,72 643,17 648,22 648,52 641,44 622,37 603,49 593,01 561,39 529,77 498,15 491,33

5. feladat Határozza meg a 11.9. ábrán látható körív fő- és részletpontjainak kitűzési koordinátáit 20 m-enként! Adott: Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) A 1669,11 1011,96 S 1929,55 780,35 B 2132,03 877,57 R=250,00 m

KITŰZÉSI KOORDINÁTÁK SZÁMÍTÁSA

323

A

B

S

11.9. ábra. Körív kitűzési koordinátái 6. feladat Határozza meg a 11.10. ábrán látható, R = 180 m sugarú körív főpontjainak kitűzési koordinátáit! B

Adott D

Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) B 1226,00 1616,16 D 1065,19 1473,61 C 1035,83 1337,37 A 1187,88 1233,06

C

A

11.10. ábra. Körív

324 KÖZLEKEDÉSI LÉTESÍTMÉNYEK ÉPÍTÉSÉNEK FÖLDMÉRÉSI MUNKÁI

11.4. Megoldások 1. feladat Kitűzési adatok Pontszám a (m) b (m) 1 13,20 7,16 2 20,18 −9,23 3 31,15 −8,96 4 34,85 16,48 A kitűzési adatok ismeretében a kitűzés kettős szögprizma és mérőszalag segítségével könnyen és gyorsan elvégezhető. (A kitűzés végrehajtása a Földméréstan 2 c. tankönyv 7.1.1. Derékszögű kitűzés pontjában leírtak szerint történik.) 2. feladat Kitűzési adatok Pontszám a (m) 1 8,11 2 10,97 3 15,30 4 18,22 5 20,69

b (m) −5,21 −5,49 −5,83 −6,08 −6,29

A kitűzési adatok ismeretében a kitűzés kettős szögprizma és mérőszalag segítségével könnyen és gyorsan elvégezhető. (A kitűzés végrehajtása a Földméréstan 2 c. tankönyv 7.1.1. Derékszögű kitűzés pontjában leírtak szerint történik.)

MEGOLDÁSOK 3. feladat Kitűzési adatok Álláspont: 40 Pontszám Irányérték (l) ° ʹ ʺ 41 132 40 06 2 181 39 11 3 185 10 14 4 145 21 29 5 142 52 14 8 120 31 37 9 115 37 51

t (m) – 15,91 13,87 15,03 12,88 18,58 16,94

4. feladat Kitűzési adatok Pontszám Irányszög (δ) ° ʹ ʺ 14 209 16 38 1 178 36 11 KE 223 30 19 KFP 246 26 30 KV1 255 05 58 KV2 257 50 51 2 257 18 58

t (m) – 11,813 15,695 27,129 40,067 39,608 45,898

325

326 KÖZLEKEDÉSI LÉTESÍTMÉNYEK ÉPÍTÉSÉNEK FÖLDMÉRÉSI MUNKÁI 5. feladat Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) IE 1805,21 890,93 2 1820,67 878,25 3 1837,09 866,85 4 1854,37 856,80 5 1872,40 848,15 6 1891,07 840,98 7 1910,25 835,33 8 1929,81 831,22 K 1936,55 830,17 9 1949,65 828,69 10 1969,62 827,75 11 1989,60 828,41 12 2009,47 830,67 13 2029,09 834,51 14 2048,35 839,90 15 2067,11 846,82 IV 2079,55 852,38 Részeredmények: Középponti szög: 67-17-40. Tangenshossz: 166,40 m. SK szakasz: 50,31 m. Középpont koordinátái: yO = 1971,34; xO = 1077,75.

MEGOLDÁSOK

327

6. feladat Koordinátajegyzék Pontszám y (m) x (m) IE 1155,70 1255,14 K 1077,87 1392,42 IV 1138,13 1538,27 Részeredmények: Középponti szög: 103-59-36. C–IE hossz: 145,36 m. D–IV hossz: 97,47 m. Körív középpontjának koordinátái: yO = 1257,53;

xO = 1403,57.

Földméréstan gyakorlat

Recommend Documents