1. Val´ os sz´ amok (ism´ etl´ es) Term´eszetes sz´ amok: a legegyszer˝ ubb halmazok elemeinek megsz´aml´ al´ as´ara haszn´ aljuk o˝ket: N := {1, 2, 3, . . . , n, . . .} P´eld´ aul, egy zs´ak bab felhaszn´ al´ as´aval babszemekb˝ol halmazokat alkothatunk, ezek elemsz´amai term´eszetes sz´amok. M˝ uveletek: o¨sszead´as, szorz´as 3+2=5
Eg´esz sz´ amok Z := {. . . , −n, . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . , n, . . .} M˝ uveletek: o¨sszead´as, kivon´ as, szorz´as Racion´ alis sz´ amok (t¨ ortek) p : p, q ∈ Z, q = 0 Q := q 1
2 3 P´eld´ aul, 12 , 23 , −2 = − 3 3 , −1 = −3
M˝ uveletek: o¨sszead´as, kivon´ as, szorz´as, oszt´as Sz´ amegyenes: egy geometriai egyenes, kijel¨olve rajta k´et pont (a 0 ´es 1), ´es egy ir´ any:
Racion´ alis sz´ amok a´br´azol´asa
A racion´ alis sz´amok nem t¨oltik ki a sz´ amegyenest:
√ 2: az egys´egn´egyzet ´atl´ o j´ anak hossza nem racion´ alis – irracion´ alis A sz´amegyenes minden pontj´ahoz egy sz´amot rendel¨ unk: 2
Ha a pont a 0-t´ ol jobbra van, akkor a pontnak a 0-t´ ol val´ o t´ avols´ag´at rendelj¨ uk a ponthoz, ha a 0-t´ ol balra van, akkor a t´ avols´ag´anak az ellentettj´et. M˝ uveletek: • ¨osszead´as
• szorz´ as 3
A p´ arhuzamos szel˝ok t´etele szerint: a:1=x:b x=a·b Val´ os sz´ amok: a racion´ alis ´es irracion´ alis sz´amok egy¨ utt. Jele: R (Megjegyz´es: t¨obb irracion´ alis sz´am van, mint racion´ alis; s˝ot, racion´ alis sz´amok csak “kiv´etelesen” fordulnak el˝ o a sz´amegyenesen!)
4
Abszol´ ut ´ert´ek: a ∈ R, |a| :=
a, −a,
ha a pozit´ıv ha a negat´ıv
annak a pontnak a t´ avols´aga a 0-t´ol a sz´amegyenesen, amelyhez a-t rendelt¨ uk.
K´et pont t´ avols´aga a sz´amegyenesen: a, b ∈ R, t´ avols´aguk: |a − b|
Egyenl˝ otlens´eg: ha a, b ∈ R (a = b), akkor a < b azt jelenti, hogy a sz´ amegyenesen a b sz´am az a-t´ol a kijel¨ olt ir´anyba (jobbra) esik.
5
Intervallum: ha a, b ∈ R (a < b), akkor (a, b) := {x ∈ R : a < x < b} (nyitott i.)
[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} (z´art i.)
6
F¨ uggv´ enyek P´elda. Ad´ obev´etel
Probl´ema: Hat´ arozzuk meg azt az a ad´ okulcsot, amely mellett az ´allamnak maxim´alis bev´etele van. Minden k ∈ [0, 100] ad´ okulcshoz egy´ertelm˝ uen tartozik egy A(k), k-t´ol f¨ ugg˝o ad´ obev´etel: k → A(k) Az A ad´ obev´etel a k ad´ okulcs f¨ uggv´enye, A = A(k) ´ Ertelmez´ esi tartom´any: a [0, 100] intervallum ´ ekk´eszlete: az ¨osszes lehets´eges ad´ Ert´ obev´etel, vagyis a [0, Amax ] intervallum. A: [0, 100] −→ [0, ∞) ´ert. tart. ´erkez´esi halmaz ´ ´ DA EH ET, ´ert´ekk´eszlet: [0, Amax ] = Rf Jel¨ol´es: D ⊂ R – a D halmaz r´eszhalmaza R-nek, teh´ at D minden elem´et tartalmazza R (ford´ıtva nem felt´etlen¨ ul igaz). P´eld´ aul, [0, 100] ⊂ R. x ∈ D : x eleme D-nek. P´eld´ aul, 38 ∈ [0, 100] 7
Defin´ıci´ o. Legyenek adva a D ⊂ R, K ⊂ R halmazok. Ha a D minden elem´ehez valamilyen szab´ aly szerint hozz´ a van egy´ertelm˝ uen rendelve a K halmaz egy eleme, akkor azt mondjuk, hogy a D halmazon ´ertelmezve van egy f¨ uggv´eny. D: ´ertelmez´esi tartom´any (Df ) K: ´erkez´esi halmaz f : a hozz´ arendel´esi szab´aly x ∈ D, x → y = f (x) ∈ K x: f¨ uggetlen v´ altoz´ o y = f (x) f¨ ugg˝o v´ altoz´ o, f¨ uggv´eny´ert´ek R = Rf := {f (x) : x ∈ Df } – ´ert´ekk´eszlet A f¨ uggv´eny jel¨ ol´ese: f : D → R Rf = f (Df ) Mi hat´ aroz meg egy f¨ uggv´enyt? a) ´ertelmez´esi tartom´any (Df ) b) hozz´ arendel´esi szab´aly (f ) (az ´ert´ekk´eszlet ezekb˝ol m´ar meghat´arozhat´ o). f
P´ eld´ ak. 1. D = R; x ∈ R, x → x3 vagy f (x) = x3 K = R, R = R 2. D = R; x ∈ R, x → x2 , vagy f (x) = x2 K = R, R = [0, ∞) 8
√ 3. D = [0, ∞), x ∈ [0, ∞), x → x, vagy f (x) = √ x
K = [0, ∞), R = [0, ∞)
F¨ uggv´eny grafikonja:
Egy s´ıkbeli G halmaz akkor ´es csakis akkor f¨ uggv´enygrafikon, ha b´ armely f¨ ugg˝oleges (az y tengellyel p´ arhuzamos) egyenessel legfeljebb egy k¨oz¨os pontja van. 9
P´elda. 4. Tegy¨ uk fel, hogy egy term´ekfajta x darabj´ anak forintban sz´ am´ıtott el˝ o´all´ıt´ asi k¨olts´ege √ C(x) = 100x x + 500 (termel´esi f¨ uggv´eny). √ C(16) = 100 · 16 · 16 + 500 = 100 · 16 · 4 + 500 = 6900 16 db term´ek gy´ art´ asa eset´en az ¨osszk¨olts´eg √ C(100) = 100 · 100 · 100 + 500 = 100 · 100 · 10 + 500 = 100 500 C(0) = 500(?) 10
DC = [0, ∞), RC = [500, ∞) Konvenci´ o: A hozz´ arendel´esi szab´alyt sokszor formul´ aval adjuk meg. Ha nem mondunk hozz´ a ´ertelmez´esi tartom´anyt, akkor automatikusan arra a f¨ uggv´enyre gondolunk, amelynek hozz´ arendel´esi szab´ alya a formula, ´ertelmez´esi tartom´anya pedig az a legb˝ ovebb halmaz, ahol a formul´anak ´ertelme van. (Ld. a fenti p´eld´ akat.) P´eld´ ak. 5. Hat´ arozzuk meg az 1 a) f (x) = x+3
b) g(x) =
√
2x + 4
f¨ uggv´enyek ´ertelmez´esi tartom´any´ at, grafikonj´ at, ´ert´ekk´eszlet´et. a) x + 3 = 0 ⇔ x = −3 Df = (−∞, −3) ∪ (−3, ∞) = R\{−3} 11
Rf = (−∞, 0) ∪ (0, ∞) = R\{0} (Jel¨ol´esek: Legyen A, B k´et halmaz A ∪ B ( A ´es B egyes´ıt´ese: azon pontok halmaza, amelyek elemei vagy A-nak, vagy B-nek (vagy mindkett˝onek) A ∪ B := {x : x ∈ A vagy x ∈ B} (a “vagy” megenged˝o!!) A ∩ B (A ´es B k¨ oz¨ os r´esze, metszete): azon pontok 12
halmaza, amelyek elemei A-nak is ´es B-nek is A ∩ B := {x : x ∈ A ´es x ∈ B} A\B : A ´es B k¨ ul¨ onbs´ege, amelynek elemei benne vannak A-ban, de nincsenek benne B-ben) A\B := {x : x ∈ A ´es x ∈ / B}
b) g(x) =
√
2x + 4
2x + 4 ≥ 0 ⇔ 2x ≥ −4 ⇔ x ≥ −2
13
Line´ aris f¨ uggv´enyek y = mx + b m: meredeks´eg b: tengelymetszet az y-tengelyen
Egy ponton a´tmen˝ o, adott meredeks´eg˝ u egyenes egyenlete: (x0 , y0 ), m y − y0 = m(x − x0 ) K´et ponton a´tmen˝ o egyenes egyenlete: (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) 14
y2 − y1 y − y1 = (x − x1 ) x2 − x1
´ Altal´ anos helyzet˝ u egyenes egyenlete: (p2 + q 2 > 0)
px + qy = r a) q = 0 p r y =− x+ q q
p r m=− , b= q q
15
b) q = 0 px = r ⇔ x =
r p
M´ asodfok´ u f¨ uggv´enyek y = f (x) = ax2 + bx + c
(a = 0; x ∈ R)
c b = f (x) = a x2 + x + a a 2 b2 c b + − 2 = =a x+ 2a a 4a 2 b 4ac − b2 =a x+ + 2a a 16
Polinomok y = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
(an = 0)
Racion´ alis t¨ ortf¨ uggv´eny P (x) y= , Q(x)
P, Q polinomok
Exponenci´ alis f¨ uggv´eny Hatv´ anyoz´ as: ab = c
(a, b, c ∈ R; a > 0, a = 1) 17
a: a hatv´ any alapja b: a hatv´ any kitev˝ oje c: a hatv´ any ´ert´eke Hatv´ anyf¨ uggv´eny: r¨ ogz´ıtett a hatv´ anykitev˝o (α ∈ R), v´ altozik az alap (x ∈ R)
y = xα
f¨ uggetlen v´ altoz´ o: a hatv´ anyalap f¨ ugg˝o v´ altoz´ o: a hatv´ any´ert´ek 18
19
Exponenci´ alis f¨ uggv´eny: r¨ ogz´ıtett az alap (a), v´ altozik a kitev˝o (x)
y = ax
f¨ uggetlen v´ altoz´ o: a kitev˝o f¨ ugg˝o v´ altoz´ o: az ´ert´ek 20
Inverz f¨ uggv´eny. Legyen f : Df ⊂ R → Rf adott f¨ uggv´eny, ´es tegy¨ uk fel, hogy (x1 , x2 ∈ Df , x1 = x2 ) ⇒ f (x1 ) = f (x2 ), ´ k¨ vagyis az ET ul¨ onb¨ oz˝o elemeihez k¨ ul¨ onb¨ oz˝o f¨ uggv´eny´ert´ekek tartoznak. Ekkor ´ertelmezhet˝o az f ovetkez˝o m´odon: f¨ uggv´eny inverz f¨ uggv´enye, f −1 a k¨ ´ ´ az eredeti f¨ uggv´eny EK-e a) f −1 ET-a Df −1 := Rf b) f −1 ´erkez´esi halmaza ´es egyben ´ert´ekk´eszlete az ´ eredeti f¨ uggv´eny ET-a c) hozz´ arendel´esi szab´aly: y ∈ Rf eset´en f −1 (y) a Df -nek az az x eleme, amelyhez az eredeti f f¨ uggv´eny az y ´ert´eket rendelte hozz´ a 21
y ∈ Df −1 = Rf x = f −1 (y) ∈ Df , ha f (x) = y P´elda. uggv´eny (a = y = f (x) = 10x – exponenci´alis f¨ 10) szigor´ uan monoton n¨ ovekv˝o x1 < x2 ⇒ 10x1 < 10x2 Df = R, Rf = (0, ∞) Df −1 = (0, ∞), Rf −1 = R y ∈ (0, ∞) – hatv´ any´ert´ek x = f −1 (y) az a kitev˝o, amelyre 10-et emelve y-t kapunk 10x = y y x
10 1
100 2
1 10
−1
22
f −1 : logaritmus f¨ uggv´eny (10-es alap´ u) ´ Altal´ anosan: adott az alap (a) f¨ uggetlen v´ altoz´ o: hatv´ any´ert´ek f¨ ugg˝o v´ altoz´ o: hatv´ anykitev˝o ax = y, x = loga y
¨ Osszetett f¨ uggv´ eny. Legyen adva k´et f¨ uggv´eny: f : L ⊂ R → M ⊂ R (bels˝o f¨ uggv´eny), g : M ⊂ R → R (k¨ uls˝o f¨ ugv´eny). A g(f ) ¨ osszetett f¨ uggv´eny ´ertelmez´esi tartom´anya L, ´es a hozz´ arendel´esi szab´aly: g(f )
x → g(f (x))
(x ∈ L).
uls˝o P´eld´ aul, ha a bels˝ o f¨ uggv´eny f (x) = x2 , a k¨ 23
f¨ uggv´eny g(y) = cos y, akkor L = M = R, ´es g(f (x)) = cos(x2 ). Form´ alisan, az o¨sszetett f¨ uggv´eny x helyen felvett ´ert´ek´et u ´gy kapjuk, hogy a bels˝ o f¨ uggv´eny x helyen vett ´ert´ek´et be´ırjuk a k¨ uls˝o f¨ uggv´eny f¨ uggetlen v´ altoz´ o ja hely´ere.
24
