Nama: Ummi Fadilah NIM: 12/339683/PPA/3995 Teori Resiko Aktuaria PROSES PEMODELAN
PENDAHULUAN Salah satu ciri dari negara maju adalah pemerintah dan masyarakat yang peduli terhadap kesehatan persalinan. Sehingga tak heran jika negara-negara maju di Amerika dan Eropa memberi perhatian khusus bagi ibu hamil. Salah satunya
adalah dengan memberikan fasilitas medis bagi ibu hamil yang akan melakukan proses persalinan. Di Indonesia sendiri kesadaran masyarakat dan perhatian pemerintah akan pentingnya jaminan kesehatan bagi ibu hamil yang akan melakukan proses persalinan masih rendah. Namun usaha-usaha untuk meningkatkannya terus dilakukan oleh pemerintah. Hal ini terbukti dari data persentase persalinan yang ditolong tenaga kesehatan yaitu dokter, bidan atau tenaga medis lainnya dari tahun 1995 sampai tahun 2011 terus meningkat. Berikut ini disajikan tabel data persentase persalinan ditolong tenaga kesehatan (dokter, bidan dan tenaga medis) dari tahun 1995 sampai tahun 2011. tahun
Persentase persalinan
Tahun
Persentase
ditolong tenaga
persalinan ditolong
kesehatan (dokter,
tenaga kesehatan
bidan dan tenaga
(dokter, bidan dan
medis)
tenaga medis)
1995
46.13
2004
71.52
1996
50.01
2005
70.46
1997
53.87
2006
72.41
1998
51.81
2007
72.53
1999
60.17
2008
74.86
2000
63.5
2009
77.34
2001
64.2
2010
79.82
2002
65.6
2011
81.25
2003
67.9
MODEL DISTRIBUSI EMPIRIK Model distribusi empirik adalah suatu distribusi yang berdasarkan pada ukuran sampel/data sebesar n dengan membentuk peluang pada masing-masing data sebesar .
( )
Tabel distribusi frekuensi: Persentase
persalinan
Frekuensi
Peluang
45.00 – 49.99
1
0.058823529
50.00 – 54.99
3
0.176470588
55.00 – 59.99
0
0
60.00 – 64.99
3
0.176470588
65.00 – 69.99
2
0.117647058
70.00 – 74.99
5
0.294117647
75.00 – 79.99
2
0.117647058
80.00 – 84.99
1
0.058823529
ditolong tenaga kesehatan (dokter, bidan dan tenaga medis)
Diperoleh:
( )
{
( )
{ Dengan menggunakan MINITAB kita bisa memperoleh grafik empirical CDF dan probability plot of empiric seperti di bawah ini:
Empirical CDF of C1 Normal
Mean StDev N
100
Percent
80 60 40 20 0 40
50
60
70 C1
80
90
66.08 10.64 17
Probability Plot of C1 Normal - 95% CI
99
Mean StDev N AD P-Value
95 90
66.08 10.64 17 0.332 0.474
Percent
80 70 60 50 40 30 20 10 5
1
30
40
50
60
70 C1
80
90
100
110
Dari kedua grafik di atas dapat diketahui bahwa data Persentase persalinan ditolong tenaga kesehatan (dokter, bidan dan tenaga medis) berdistribusi normal. Hal ini didapat dari garafik kedua yang menyatakan bahwa P-Value > 0.05 yaitu 0.474 > 0.05 dan AD yang relatif kecil yaitu 0.332. DISTRIBUSI NORMAL Distribusi Normal merupakan distribusi yang paling terkenal dan paling umum dipakai. Distribusi normal memiliki fungsi kerapatan probabilitas (probability density function=pdf), seperti terlihat dibawah ini:
( )
(
)(
)
√
Ciri-ciri distribusi normal antara lain adalah: 1. Memiliki parameter nilai rata-rata
dan variansi
2. Kurva pdf-nya simetris 3. Luas area dibawah kurva pdf besarnya adalah 1 Selanjutnya akan dicari model distribusi dan fungsi densitas dari data Persentase persalinan ditolong tenaga kesehatan (dokter, bidan dan tenaga medis) dengan mengikuti langkah-langkah pemodelan di atas. 1.
Pemilihan Model Berdasarkan grafik di atas diketahui bahwa data Persentase persalinan
ditolong tenaga kesehatan (dokter, bidan dan tenaga medis) berdistribusi normal. Dengan fungsi kepadatan peluang (pdf) sebagai berikut: (
( ) 2.
)(
)
√
Kalibrasi Model Pada tahap ini akan ditentukan parameter
dan
dari data di atas dengan
menggunakan metode Maximum Likelihood Estimation (MLE). Langkahlangkahnya adalah sebagai berikut: Diketahui pdf dari data di atas adalah (
)
(
Langkah pertama akan ditentukan estimator dari
∑
(
(
)
)
Logaritma fungsi likelihoodnya adalah:
( )
( ( ))
∑
(
)
. Fungsi likelihoodnya
adalah: ( )
)(
√
)
Persamaan maksimum likelihoodnya adalah: ( )
∑(
∑(
̂)
∑(
̂)
∑
̂
̂
)
∑
∑
adalah ̂
Jadi MLE dari
Selanjutnya ditentukan estimator dari
(
∑
)
(
(
. Fungsi likelihoodnya adalah:
)
)
Persamaan maksimum likelihoodnya adalah: (
̂
)
∑(
̂
∑(
̂)
)
̂
̂)
∑(
∑
adalah ̂
Jadi MLE dari
(
̂)
Dari kedua rumus di atas diperoleh ̂ √
dan ̂
. Jadi nilai
.
Sehingga diperoleh probability density function (pdf) dari data di atas adalah:
(
( ) 3.
)
Validasi Model Pada tahap ini bertujuan untuk mengetahui apakah model yang diperoleh
valid atau tidak. Validasi model pada tahap ini adalah dengan menggunakan uji Kolmogorov-smirnov.
Dengan
menggunakan
SPSS
diperoleh
Kolmogorov-smirnov sebagai berikut:
One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test persalinan_ditolo ng_tenaga_kese hatan N Normal Parameters
17 a
Mean Std. Deviation
Most Extreme Differences
66.0811765 10.63857361
Absolute
.130
Positive
.110
Negative
-.130
Kolmogorov-Smirnov Z
.537
Asymp. Sig. (2-tailed)
.935
a. Test distribution is Normal.
hasil
uji
Dari hasil di atas diketahui nilai Asymp. Sig. dari data adalah 0.935 > 0.005. Sehingga dapat disimpulkan secara valid, data berdistribusi normal. Selain itu kenormalan data juga dapat diuji dengan test Anderson Darling pada MINITAB. Hasil dari test Anderson Darling data di atas dengan menggunakan MINITAB adalah seperti di bawah ini. Persentase persalinan ditolong tenaga kesehatan Normal
99
Mean StDev N AD P-Value
95 90
66.08 10.64 17 0.332 0.474
Percent
80 70 60 50 40 30 20 10 5
1
40
50
60
70
80
90
C1
Dari hasil test Andeson Darling di atas diketahui nilai Anderson Darling (AD) relatif kecil, yaitu 0.332. Dan nilai p-value dari data di atas adalah 0.474 > 0.05. Sehingga dapat disimpulkan secara valid bahwa data Persentase persalinan ditolong tenaga kesehatan, menyebar secara normal atau berdistribusi normal.
Model Lain 1.
Pemilihan Model Selain berdistribusi normal, data juga diasumsikan berdistribusi Gamma.
Dengan probability density function (pdf) sebagai berikut:
( )
2.
{
( )
Klaribasi Model Dengan menggunakan metode moment diperoleh estimator
adalah
̅
̂
(∑
(
̅) )
Sedangkan estimator untuk parameter ̅ ̂
̂
(∑
(
adalah
̅) )
Dengan menggunakan rumus estimasi di atas, diperoleh ̂ sedangkan ̂ Sehingga diperoleh pdf dari data Persentase persalinan ditolong tenaga kesehatan adalah
( )
3.
(
)
Validasi Model Dengan menggunakan test Anderson Darling pada MINITAB diperoleh hasil
sebagai berikut:
Probability Plot for C1 G oodness of F it Test
Gamma - 95% CI
G amma A D = 0.459 P -V alue > 0.250
99 95
Percent
80
50
20
5
1
30
40
50
60
70
80
90
100 110
C1
Dari hasil test di atas diketahui nilai Anderson Darling, AD = 0.459. Nilai tersebut relatif kecil. Sedangkan p-value yang didapat adalah > 0.250 > 0.05. Artinya bahwa data menyebar Gama atau data berdistribusi Gama.
4.
Seleksi Model Setelah di dapat dua model tersebut maka dicari model mana yang paling
sesuai dengan data Persentase persalinan ditolong tenaga kesehatan. Dengan menggunakan test Anderson Darling pada MINITAB diperoleh hasil seperti di bawah ini:
Probability Plot for C1 Normal - 95% CI 99
99
95
95
Percent
Percent
N ormal A D = 0.332 P -V alue = 0.474 G amma A D = 0.459 P -V alue > 0.250
80
80
50
50
20
20
5
5
1
G oodness of F it Test
Gamma - 95% CI
40
60 C1
80
1
100
40
60 C1
80
100
Dari grafik di atas diketahui nilai Anderson Darling (AD) pada distribusi normal adalah 0.332 sedangkan pada distribusi Gamma adalah 0.459. Semakin kecil nilai AD pada suatu distribusi maka semakin sesuai juga distribusi itu berlaku pada data. Dari hasil uji di atas menunjukkan nilai AD pada distribusi normal lebih kecil dari nilai AD pada distribusi Gama. Hal ini berarti distribusi Normal lebih sesuai dari distribusi Gama pada data Persentase persalinan ditolong tenaga kesehatan. Sehingga dapat diambil kesimpulan bahwa data Persentase persalinan ditolong tenaga kesehatan berdistribusi normal, dengan pdf: ( )
5.
(
)
Peramalan (Forecast) Dari hasil perhitungan di atas, data yang berdistribusi normal dapat diketahui
persentase persalinan ditolong tenaga kesehatan setiap tahunnya adalah 66.08118. Dari hasil pemodelan yang sudah di dapat kita juga dapat mengetahui momen, variansi, kurtosis dan skewness data.
( ) (
) ( )
(
)
( ( ))
Dengan menggunakan SPSS diperoleh skewness dan kurtosis sebagai berikut:
Descriptive Statistics N
Mean
Std. Deviation
Statistic
Statistic
Statistic
Skewness Statistic
Kurtosis
Std. Error
Statistic Std. Error
persalinan_dit olong_tenaga_
17
66.0812
10.63857
-.476
.550
-.776
1.063
kesehatan Valid N (listwise)
6.
17
Exess Loss Variable Pada tahap ini akan dilakukan pemotongan data. Data yang akan dipotong
adalah data persentase yang kurang dari 50. Setelah dilakukan pemotongan data, lalu diuji apakah data masih berdistribusi normal atau tidak. Berikut adalah data yang sudah mengalami pemotongan.
tahun
Persentase persalinan
Tahun
Persentase persalinan
ditolong tenaga kesehatan
ditolong tenaga kesehatan
(dokter, bidan dan tenaga
(dokter, bidan dan tenaga
medis)
medis)
1996
50.01
2004
71.52
1997
53.87
2005
70.46
1998
51.81
2006
72.41
1999
60.17
2007
72.53
2000
63.5
2008
74.86
2001
64.2
2009
77.34
2002
65.6
2010
79.82
2003
67.9
2011
81.25
Dengan menggunakan SPSS diperoleh
One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test persentase_pers alinan_ditolong_t enaga_kesehata n N
16
Normal Parameters
a
Most Extreme Differences
Mean
67.3281
Std. Deviation
9.61922
Absolute
.128
Positive
.107
Negative
-.128
Kolmogorov-Smirnov Z
.511
Asymp. Sig. (2-tailed)
.957
a. Test distribution is Normal.
Dari hasil uji Kolmogorov-Smirnov pada SPSS diperoleh nilai Asymp. Sig. 0.957. Ini berarti data masih berdistribusi normal, karena nilai Asymp. Sig. > 0.05.
