Gymnázium, Boskovice Palackého náměstí 1, 680 11 Boskovice
TEORIE – ZÁVISLOSTI, VZTAHY, PRÁCE S DATY ČTENÍ A INTERPRETACE DAT - TŘÍDĚNÍ A EVIDENCE
Musíš zvolit vhodnou formu evidence a údaje přenést do tabulky. V některých úlohách eviduješ pouze objekty, v jiných kromě objektů i jejich vlastnosti.
2
4
celkem nohou
2
Běla - kočka
2
syn
0
syn
4
Klára
4
rybička – 10x
4
želva
2
papoušek – 2x
2
Adina - pes
2
babička
nohy
maminka
Jitka
Příklad 1 Jitka bydlí jenom s maminkou a babičkou. Ale má ještě fenku Adinu, dva papoušky, želvu a deset rybiček. Když přijde na návštěvu teta Klára se svými dvěma syny a kočkou Bělou, je u nich hodně veselo. Kolik mají všichni dohromady nohou? obyvatel
28
Příklad 2 Ve 4.B probíhala recitační soutěž. Každý napsal na lísteček jméno žáka, jehož přednes se mu nejvíce líbil. a) Kolik kdo získal hlasů? Doplň tabulku. b) Kdo vyhrál? Vybarvi červeně.
žák
Anna
hlasů
hlasování
/
Jan
////
Míša
1
4
0
Eva
/
Gita
/
Jana
Dana
1
1
2
0
//
Zuza
//// // 6
Kuba
/// 3
Bára
//// / 5
Filip
Dan
Miloš
1
2
0
/
//
Navrhovaný postup: Navrhni vhodnou tabulku – viz výše. Škrtni hlasovací lístek a do kolonky „hlasování“ zaznamenej svislou čárku. Až budeš mít přeškrtnuté všechny hlasovací lístky, sečti čárky u jednotlivých žáků a zaznamenej do kolonky „hlasů“. Příklad 3 Do 4. třídy chodí 9 dívek (EVA, IVA, NINA, EMA,ELA,LEA,INA,HANA a ANNA). O přestávce si z krátkých a dlouhých dřívek sestavovaly svá jména. Kolik dřívek každá dívka potřebovala? Doplň tabulku a odpovědi na nésledující otázky: a) Která z dívek potřebuje nejméně dřívek? b) Která z dívek potřebuje tři krátká dřívka? c) Která z dívek potřebuje šest dlouhých dřívek? d) Kolik dřívek potřebují dohromady Ina, Eva a Nina. e) Která dívka potřebuje třikrát více dlouhých dřívek nežli krátkých? Navrhovaný postup: Navrhni vhodnou tabulku – viz obr. Zaznamenej počet dlouhých a počet krátkých dřívek a tyto sečti. V tabulce vyhledej odpovědi na otázky.
Gymnázium, Boskovice Palackého náměstí 1, 680 11 Boskovice
INTERPRETACE DAT
Úlohám je potřeba dobře porozumět, při řešení lze využít tabulku, ve které budeš údaje vhodně evidovat. Řešení úloh si obvykle výrazně zjednodušíš. Příklad 1 Martin si zaznamenával do tabulky, jaké známky během týdne dostal. V pondělí dostal dvě jedničky, dvě dvojky a pětku z matematiky. V úterý trojku z českého jazyka, ve středu jedničku z tělocviku a dvě dvojky. Ve čtvrtek tři jedničky a jednu čtyřku a v pátek jednu dvojku a jednu trojku. a) Který den dostal nejvíce známek? b) Kolik známek dostal za celý týden? c) Dostal za týden více jedniček nebo dvojek? d) Kolikrát více dostal jedniček než trojek? Den/Známka Pondělí Úterý Středa Čtvrtek Pátek Celkem
1 //
2 //
/ ///
//
6
/ 5
3
4
/ / 2
5 /
/ 1
1
Celkem 5 1 3 4 2 15
Příklad 2 Bára si hrozně moc přeje psa. Všichni tři její sousedé nějakého mají a Bára zná všechna tři jejich jména i rasy. Pan Malý má jezevčíka. Havelkův pes se jmenuje Rony a Růžičkův dalmatin Alex. Čí pes se jmenuje César? Kdo má ovčáka? Soused Malý Havelka Růžička Druh psa jezevčík ovčák dalmatin Jméno psa César Rony Alex Z tabulky je hned zřejmé: druh psa neznáme u pana Havelky – musí t o tedy býz ovčák, a jméno neznáme u psa pana Malého – bude se tedy jmenovat César. Příklad 3 Do basketbalového oddílu, kam chodí 11 chlapců a 6 dívek, stále přijímají nové členy. Každý týden se přihlásí 3 chlapci a 4 dívky. a) Po kolika týdnech bude mít oddíl stejně chlapců jako dívek? b) Po kolika týdnech bude počet členů přesně 80? Týden 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Chlapci 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 Dívky 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 Celkem 17 24 31 38 45 52 59 66 73 80
Gymnázium, Boskovice Palackého náměstí 1, 680 11 Boskovice Ze zadání a z tabulky je zřejmé: Na počátku je v basketbalovém oddíle o 5 chlapců více. Každý týden se přihlásí o jednu dívku víc – po prvním týdnu budou tedy chybět čtyři dívky, po druhém 3 dívky, po třetím týdnu 2 dívky – celkově tedy 5 dívek – 5 týdnů (viz řešen í pomocí tabulky). Na počátku je v basketbalovém oddíle 17 basketbalistů. Každý týden se jejich počet zvýší o 7 (3 chlapci a 4 dívky). 63 nových basketbalistů (80 – 17 = 63) bude mít oddíl za 9 týdnů (7 . 9 = 63). Příklad 4 Na horách půjčují vybavení pro lyžaře za následující ceny: lyže běžecké: první hodina 80 Kč a každá další 20 Kč, lyže sjezdové: první hodina 140 Kč a každá další 80 Kč, snowboard: první hodina 240 Kč a každá další 10 Kč, přilba: 25 Kč a brýle: 50 Kč. Co bude stát méně – vypůjčení sjezdových lyží na 3 hodiny, nebo vypůjčení snowboardu na 5 hodin? Řešení pomocí tabulky: Hodin 1 Lyže - sjezd 140 Snowboard 240
2 80 10
3 80 10
4 10
5 10
Celkem 300 280
GRAFY, TVORBA GRAFU Musíš se zorientovat ve velkém množství dat a správně je interpretovat. Na vodorovné ose vyhledáš příslušnou kategorii a na svislé ose odečteš počet sportovců – mužů a žen. Vše je vhodné zaznamenat do tabulky. Data porovnáváš (a, b), pracuješ se zlomky (c, d), musíš využít skrytou informaci (e, f). Příklad 1 Na zimní olympijské hry 2010 do Kanady odjelo celkem 93 českých sportovců.
Zjisti z grafu následující informace: a) kolik více odjelo celkem mužů než žen? b) Ve kterém sportu reprezentovalo více žen než mužů? c) Ve kterém sportu tvořily čtvrtinu z počtu sportovců ženy? d) Ve kterém sportu byly 3/5 z počtu sportovců muži? e) Kolik sportovců potřebovalo brusle? f) Kolik sportovců potřebovalo lyže?
5 0 5 0 5
3 2 5 0 0
Celkem
4 0 4 0 4
Snowboar ding
4 0 4 0 0
Skoky
0 3 3 3 0
Severská kombinac
23 0 23 23 0
Saně
3 1 4 4 0
Rychrobr uslení
9 0 9 0 0
Hokej
5 5 10 0 10
Krasobrus ení
7 4 11 0 11
Boby
5 3 8 0 8
Biatlon
3 4 7 0 7
Běh na kyžích
Muži Ženy Celkem Brusle Lyže
Alpské lyžování
Sport
Akrobatic ké
Gymnázium, Boskovice Palackého náměstí 1, 680 11 Boskovice
71 22 93 30 45
A spávné výsledky? a) o 49; b) akrob. lyžování, rychlobruslení; c) v krasobruslení; d) ve snowboardingu; e) 30; f) 45; g) V každé skupině musí být 31 sportovců (stačí vybrat jedno z 25 řešení). Příklad 2 Pět žáků z 5. třídy postoupilo do obvodního kola matematické soutěže. Graf udává, kolik bodů získali. Každý z nich měl jiné bodové ohodnocení. Na prvním místě skončila Anežka, Jakub obsadil místo třetí. Nakresli sloupec, který udává, kolik bodů Jakub získal.
Musíš prokázat schopnost číst a zobrazit data ve sloupcovém diagramu a schopnost logického uvažování. Jakub na třetím místě musel získat méně bodů než Anežka, ale také méně bodů než ten, kdo se umístil na místě druhém, tedy Věra a víc než Filip (protože Jakub skončil na třetím místě, nikdo nezískal stejný počet bodů a Filip musí mít tudíž míň bodů). Jakub tedy získal 6 bodů. Příklad 3 Tabulka ukazuje počty, kolikrát padlo při 32 hodech kostkou určité číslo.
a) Dokonči sloupcový graf podle tabulky. Na vodorovné ose jsou znázorněny čísla, která padla na kostce, na svislé ose je zobrazeno, kolikrát určitá hodnota padla (této hodnotě odpovídá výška příslušného sloupce).
b) V kruhovém grafu vybarvi pole vyjadřující, kolikrát padla jednička žlutě, dvojka modře, trojka černě, čtyřka zeleně, pětka hnědě a šestka červeně.
Gymnázium, Boskovice Palackého náměstí 1, 680 11 Boskovice Musíš data zaznamenaná tabulkou převést do sloupcového grafu a znázornit je v grafu kruhovém. Protože jednička a pětka padly shodně dvakrát, graf má dvě řešení. Větší ploše v grafu odpovídá větší zjištěná hodnota (tj. největší plocha bude zelená).
ZÁVISLOSTI
Příklad 1 Adam, Bedřich a Čeněk chodí do školy společně. Adam vyjde první a jde 10 minut k Bedřichovi. Pak společně za 10 minut dojdou k Čeňkovi. Dále jdou společně ještě 20 minut do školy. V kolik hodin musí Adam vyjít z domu, aby byl ve škole v 7:50 hodin? Úlohu je dobré řešit pomocí grafického znázornění závislost Adam
Bedřich
10 min
7:10
10 min
7:20
škola
Čeněk 20 min
7:30
7:50
Řešení je pak jednoduché (Adam vyjde v 7:10) Příklad 2 Zuzana bydlí ve druhém patře, my bydlíme o osm pater výše. Jana bydlí mezi námi a Zuzkou. Ve kterém patře bydlí Jana? Při řešení využíváme schéma (graf): 10. patro
Zde bydlíme my – o 8 pater výš
Zde bydlí Jana (umíš najít střed?)
2. patro 1. patro
Zde bydlí Zuzana – 2. patro
Gymnázium, Boskovice Palackého náměstí 1, 680 11 Boskovice
Součtové trojúhelníky - platí základní pravidlo: každé číslo je součtem dvou čísel, ležících nad ním. Slouží k procvičení sčítání a odčítání. Ukázka: (řešení: zleva 38, 62, 39)
Příklad 3 Součtové trojúhelníky doplň tak, aby součet tmavých polí byl 12.
Násobilkové obdélníky mají 4 políčka v rozích a 4 ve středech stran. Do políček se doplňují čísla tak, aby číslo ve středu strany (ve "středovém poli") bylo vždy součinem dvou čísel v rozích, mezi nimiž leží. Slouží k procvičování násobení a dělení. Součet čtyř čísel ve středových polích někdy značíme s a píšeme ho dovnitř obdélníku. Ukázka: (řešení: vlevo nahoře je 7 atd.)
„Podílový trojúhelník“ - slouží k procvičování násobení a dělení 10 = 5 . 2 ; 5 = 10 : 2; 2 = 10 : 5
10 5
2
Gymnázium, Boskovice Palackého náměstí 1, 680 11 Boskovice "Sousedé" se říká úlohám následujícího typu: Příklad 4 Doplň tak, aby byl součet tří sousedních čísel 10 a součet všech pěti čísel 15.
Princip řešení: aby byl součet tří sousedních čísel vždy stejný (v tomto případě 10), musí se vlastně stále opakovat stejná trojice čísel. Celkový součet (15) pak způsobí, že úloha má jen jedno řešení. Když totiž kolem čísla 4 doplním dvě čísla do součtu 10, musí součet zbylých dvou prázdných políček být 15-10=5. V posledním políčku přitom bude určitě číslo 4 (opakuje se po 3 polích), tedy vlevo od něj musím doplnit číslo 1. Doprostřed pak musí přijít jedině číslo 5 (4+1+5=10). Celé řešení tedy je: 1,4,5,1,4.
4 10
10
10
Příklad 5 Katka má několoik dvoukorunových a několik pětikorunových mincí. Celkem má 50 Kč. Jiné mince nemá. Kolik má dvoukorunových a kolik má pětikorunových mincí?
2 Kč 5 Kč Celkem Kč
0
10 50
5
8
50
10
6
50
15
20
25
50
50
50
4
2
0
Z dvoukorun musí být sestavena částka 10 Kč. Úvaha – sestavíš částku 50 Kč pouze z pětikorun. Odebereš jednu pětikorunu – tu ale dvoukorunovými mincemi nenahradíš (buď 4 Kč nebo 6 Kč). Odebereš druhou pětikorunovou minci. Tyto dvě pětikorunové mince nahradíš pěti dvoukorunovými mincemi. Takto pokračuješ dokud nenahradíš všechny pětikoruny dvoukorunami. Můžeš vyzkoušet i nahrazováním dvoukorun pětikorunami. Dotazy k teorii si nachystejte na 19. 3. 2015
