Latihan 1 1.
PT. Semen Cibinong mempunyai 9 orang tenaga kerja pemasaran yang memiliki 3 daerah pemasaran terpisah. Keuntungan untuk tiap tenaga pemasaran di ketiga daerah tersebut adalah sebagai berikut : Jumlah tenaga pemasaran
Daerah 1 0 Daerah 2 9 Daerah 3 0
1 8 1
2 7 2
3 6 3
Keuntungan (dlm juta rupiah) Daerah 1 20 32 47 Daerah 2 135 125 115 Daerah 3 50 61 72
4 5 4 57 104 84
5 4 5
6 3 6 66 93 97
7 2 7
8 1 8
71 82 82 71 109 120
9 0 9 90 100 110 60 50 40 131 140 150
Tentukan alokasi pemasaran yang optimum supaya diperoleh keuntungan maksimum. 2.
Seorang pelajar harus mengambil 10 paket khusus yang sifatnya selektif (pilihan) dari 4 departemen yang berbeda. Dari masing – masing departemen, pelajar tersebut harus memilih paling sedikit satu paket. Apabila kemampuan untuk menyerap pengetahuan dari kursus – kursus ini dapat diukur sebagai fungsi dari jumlah paket yang diambil pada masing – masing departemen maka datanya adalah sebagai berikut : Departemen 1 2 3 4
1 25 20 40 10
2 50 70 60 20
3 60 90 80 30
4 80 100 100 40
5 100 100 100 50
6 100 100 100 60
7 100 100 100 70
Tentukan alokasi pengambilan 10 paket ini agar di dapat pengetahuan maksimum.
Latihan 2 1.
Suatu perusahaan akan memasarkan produk baru ke pasar yang persaingannya cukup ketat, sehingga perlu perencanaan strategi pemasaran dengan sebaik – baiknya. Maka diputuskan untuk memasarkan produk tersebut dalam tiga tahap. Tahap ke-1 : Memasarkan produk dengan harga diturunkan dengan tujuan untuk menarik pembeli. Tahap ke-2 : Dengan iklan yang intensif dengan tujuan agar pembeli tetap membeli produk tersebut dengan harga normal. Tahap ke-3 : Dengan iklan dan promosi dengan tujuan agar pembeli yang sudah biasa membeli produk tersebut tidak tertarik pada merk lain (dari pabrik lain) mengingat pada tahap ini perusahaan lain menawarkan produknya. Bila m = market share awal yang diperoleh pada tahap ke-1. F2 = bagian market share yang tetap pada tahap ke-2. F3 = bagian market share yang tetap pada tahap ke-3. Tabel berikut memperlihatkan pengaruh biaya pemasaran terhadap market share pada tiap tahap Jumlah biaya pemasaran Pengaruh pada market share Rp. 1.000.000,00 m f2 f3 0 0,3 0,5 1 0,1 0,5 0,7 2 0,15 0,7 0,85 3 0,22 0,8 0,9 4 0,27 0,85 0,93 5 0,3 0,9 0,95 Bila dana yang tersedia adalah Rp. 5.000.000,00, bagaimanakah dana tersebut diatur agar market share akhir dari produk tersebut maksimal ?
8 100 100 100 80
9 100 100 100 90
Latihan 3 1.
Selesaikanlah masalah Linier Programming berikut dengan Dinamik Programming Max : Z = 8X1 + 7X2 Kendala : 2X1 + X2 ≤ 8 5X1 + 2X2 ≤ 15 a. X1 dan X2 non negatif integer. b. X1 dan X2 non negatif real.
2.
Selesaikan masalah non linier berikut dengan Dinamik Programming : Max : Z = 7X12 + 6X1 +5X22 Kendala : X1 + 2X1 ≤ 10 X1 - 3X2 ≤ 9 X1, X2 ≥ 0 Gunakan programma dinamik maju.
3. Seseorang akan menginvestasikan uang sebesar Rp. 10 juta selama 3 tahun. Ada dua alternatif investasi yang bisa dipilih yaitu A dan B. Alternatif A : Bila diinvestasikan Rp. 10 juta pada awal tahun, maka pada akhir tahun mungkin akan rugi Rp. 10 juta atau untung Rp. 10 juta. Alternatif B : Bila diinvestasikan Rp. 10 juta pada awal tahun, maka pada akhir tahun mungkin jumlah uangnya tetap atau mendapat untung Rp. 10 juta. Probabilitas kejadian ini adalah : Alternatif Jumlah uang pada akhir tahun Probabilitas A 0 juta 0.4 20 juta 0.6 B 10 juta 0.9 20 juta 0.1 Tiap tahun hanya boleh 1 kali investasi masing – masing Rp.10 juta. Bagaimanakah kebijakan investasi yang baik agar dalam 3 tahun di dapat jumlah uang maksimal !
Latihan 4 1. Untuk setiap matriks pembayaran berikut, tentukan strategi optimal untuk tiap pemain. Setelah dilakukan aturan dominansi. a. Pemain 2 1 2 3
1 -3 1 1
2 1 2 0 Pemain 1
3 2 1 -2
b.
Pemain 2 1 1 2 0
1 2 3
2 2 -3 3
3 0 -2 --1
Pemain 1 c.
Pemain 2 1 -3 1 1
1 2 3
2 1 2 0
3 2 1 -2
4 1 2 3
Pemain 1
2. Tentukan titik sadel dari permainan yang memiliki matriks pembayaran sebagai berikut : a. Pemain 2 1 2 3
1 1 -2 3
2 -1 -0 1
3 1 3 2
2 -3 -2 -1
3 -2 -1 2
Pemain 1 b.
Pemain 2 1 2 3
1 3 -4 1
4 -4 1 0
Pemain 1 3. Dua buah tim renang kota bebek dan kota angsa akan mengadakan pertandingan. Tiap tim punya perenang andalan (Donald untuk kota Bebek dan Gus untuk kota Angsa) yang dapat berenang dengan sangat baik untuk 100 yard gaya kupu – kupu, gaya punggung dan gaya dada. Tetapi terdapat peraturan yang melarang menurunkan mereka dalam pertandingan untuk lebih dari 2 gaya. Karena itu pelatih perlu mengatur strategi untuk menggunakan mereka secara maksimum. Pada tiap gaya, tiap tim akan turun dengan 3 perenang. Diberikan tabel waktu terbaik yang dicapai oleh para perenang ini pada pertandingan yang lalu sebagai berikut : Kota Bebek Gaya 1 2 Donald Kupu – kupu 1:01.6 59.1 57.5 Punggung 1:06.8 1:05.6 1:03.3 Dada 1:13.9 1:12.5 1:04.7
Kota Angsa Gus 1 57.5 1:03.2 1:02.6 1:04.9 1:06.1 1:15.3
2 59.8 1:04.1 1:11.8
Jika Donald/Gus tidak diturunkan pada gaya tertentu, maka penggantinya (perenang 3) memiliki waktu tempuh yang lebih lambat dari perenang 1 dan 2 di atas. Juara I mendapat poin 5 Juara II mendapat poin 3 Juara III mendapat poin 1 Tidak juara mendapat poin 0 Tentukan matriks permainannya !!!!!
Latihan 5 1. Untuk tiap matriks pembayaran berikut jelaskan dengan metode grafik/simplex dan tentukkan nilai optimumnya : a. 1 2 3 1 4 3 1 2 0 1 2 b. 1 2 3 4
1 1 0 3 -3
2 -1 4 -2 6
3 3 1 5 -2
2. Terdapat sebuah permainan yang dimainkan oleh dua orang. Tiap – tiap pemain mula – mula punya 3 koin : 1 berwarna merah 1 berwarna putih 1 berwarna biru Tiap koin hanya dapat digunakan 1 kali. Permainan dimulai dengan : Tiap pemain meletakkan 1 koin di atas meja. Kedua pemain ini lalu membuka koinnya dan menentukan pembayaran untuk pemenang. Jika kedua pemain menaruh koin dengan warna sama maka permainan dianggap imbang, lainnya mengikuti tabel sebagai berikut : Koin yang menang Merah > putih Putih > biru Biru > merah Kedua warna sama
Pembayaran 50 40 30 0
Selanjutnya tiap pemain memilih lagi 1 dari 2 koinnya yang tersisa dan mengulangi prosedur permainan hingga koin terakhir dimainkan. Formulasikan masalah ini dalam permainan berjumlah 2 orang dengan total nilai permainan nol.
Latihan 6 1. Dua orang mahasiswa, kontrak rumah di Siwalankerto dan hendak membagi pekerjaan rumah yang terdiri dari ke pasar, memasak, mencuci dan menyetrika secara efisien, sehingga waktu yang dibutuhkan minimum. Efisiensi dari pekerjaab mereka masing – masing adalah : Jam / minggu Ke pasarmemasak mencuci menyetrika A 4.5 7.8 3.6 2.9 B 4.9 7.2 4.3 3.1 Buatlah model BIP dari masalah ini.
2. Formulasikan masalah ini ke dalam MIP Min Z = f1(X1) + f2(X2) Kendala : 1. salah satu dari X1 ≥ 3 atau X2 ≥ 3. 2. sekurang-kurangnya salah satu dari kendala – kendala ini terpenuhi : 2X1 + X2 ≥ 7 X 1 + X2 ≥ 5 X1 + 2X2 ≥ 7 3. X1 – X2 = 0 atau 3 atau 6. 4. X1 ≥ 0, X2 ≥ 0 Dimana f1(X1) = 7 + 5X1 jika X1 > 0 0 jika X1 = 0 f2(X2) = 5 + 6X2 jika X2 > 0 0 jika X2 = 0 3. Sebuah kotamadya dengan 6 kecamatan bermaksud mendirikan pusat pemadam kebakaran (PPK) untuk melindungi masyarakatnya. Walikota yang bersangkutan menghendaki agar jumlah PPK yang dibangun adalah seminimum mungkin, tetapi sedikitnya harus ada 1 PPK dalam jarak tempuh 15 menit dari satu kecamatan ke kecamatan lainnya. Data waktu tempuh (dalam menit ). Ke
1
2
3
4
5
6
10 0 25 35 20 10
20 25 0 15 30 20
30 35 15 0 15 25
30 20 30 15 0 14
20 10 20 25 14 0
Dari 1 2 3 4 5 6
0 10 10 30 30 20
4. (Pilihan) Buatlah program AMPL untuk masalah TSP berikut B
6
3
D
5
3
A
F 4 C
Petunjuk : 1. 2.
2 3
E
Buat order set : set vertex ordered; Buat pairwise set : set edge within vertex cross vertex;
