Téma 2 Simulační metody typu Monte Carlo

Spolehlivost a bezpečnost staveb, 4.ročník bakalářského studia

Téma 2 Simulační metody typu Monte Carlo • Princip simulačních metod typu Monte Carlo • Metoda Simulation Based Reliability Assessment (SBRA) • Ukázky posudku spolehlivosti na vybraných příkladech Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Historie metody Monte Carlo Jedním z nejstarších popsaných případů využití metody je problém tzv. Buffonovy jehly, nazvaný po francouzském matematikovi Georges-Louis Leclerc Comte de Buffonovi, který se pokoušel odhadnout hodnotu Ludolfova čísla π náhodným vrháním jehly na linkovaný papír. Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon (1707-1788)

Pravděpodobnost jevu, kdy jehla stejné délky, jako je vzdálenost mezi linkami, po dopadu na papír zůstane ležet na papíře tak, že protíná některou z linek, je rovna:

p=

Princip simulačních metod typu Monte Carlo

2

π

2 / 42

Historie metody Monte Carlo Pravděpodobně první systematické využití metody Monte Carlo s reálnými výsledky je datováno až k roku 1930, kdy Nobelovou cenou oceněný italský fyzik Enrico Fermi tento přístup využíval ke generování náhodných čísel k výpočtu vlastností v té době nově objevené částice – neutronu. Enrico Fermi (1901-1954) Dodnes jsou tak počátky rozvoje metody Monte Carlo spojovány se jmény Stanislaw Marcin Ulam, John von Neumann, Nicholas Metropolis nebo již zmíněný Enrico Fermi. Pojmenována podle známého kasina v Monaku (Ulamův strýc zde sázel). Dříve se používala pod označením „statistical sampling“ – statistický výběr. Stanislaw Ulam (1909-1984) Princip simulačních metod typu Monte Carlo

3 / 42

Historie metody Monte Carlo Náhodnost jevů a opakování jejich výskytu jsou identické k činnostem prováděných v kasinech (ruleta je jednoduchý generátor náhodných čísel).

Metoda Monte Carlo hrála klíčovou roli při simulacích, kterými se odhadovala štěpná reakce při vývoji atomové bomby v rámci projektu Manhattan (krycí název pro utajený americký vývoj atomové bomby za 2. světové války).

Metoda je využívána pro výpočet integrálů hustot pravděpodobností spojitých náhodných veličin, zejména vícerozměrných, kde běžné metody nejsou efektivní. Je založena na provádění náhodných experimentů s modelem systému a jejich vyhodnocení. Výsledkem provedení velkého množství experimentů je obvykle pravděpodobnost určitého jevu. Princip simulačních metod typu Monte Carlo

4 / 42

Metoda Monte Carlo Výhodou je jednoduchá implementace, nevýhodou relativně malá přesnost. err =

1 N

kde N je počet náhodných experimentů Pro zvýšení přesnosti výsledku o jeden řád je tedy nutno zvýšit počet simulací alespoň o dva řády. Pro zisk výsledku s přesností na 6 desetinných míst, což odpovídá přesnosti jiných metod, je tedy potřeba zpracovat 1012 historií.


5 / 42

Zákon velkých čísel Při velkém počtu nezávislých pokusů je možné téměř jistě očekávat, že relativní četnost se bude blížit teoretické hodnotě pravděpodobnosti.

Lze popsat s pomocí střední hodnoty náhodné veličiny: XN =

1 ( X 1 + ... + X N ) N

kde X1, X2, ..., XN představuje nekonečnou posloupnost vzájemně nezávislých náhodných čísel s konečnou střední hodnotou μ < ∞ . Se zvyšujícím se počtem historií N → ∞ bude střední hodnota vygenerované posloupnosti konvergovat ke střední hodnotě X n → μ , což lze demonstrovat na jednoduchém příkladu s hrací kostkou. Princip simulačních metod typu Monte Carlo

6 / 42

Zákon velkých čísel V případě hrací kostky o šesti stranách je aritmetický průměr součtu čísel na jednotlivých stranách roven:

μ=

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 21 = = 3,5 6 6

Střední hodnota vržených čísel 5,0

4,5

Střední hodnota

4,0

3,5

3,0

2,5

2,0 0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

Počet hodů


16000

18000

20000

Vývoj vypočtené střední hodnoty 20000 vržených čísel 7 / 42

Zákon velkých čísel Počty zastoupení jednotlivých čísel v 50000 hodech kostkou 10000

8206

8385

8223

8383

8458

8345

2

3

4

5

6

8000

6000

4000

2000

0 1

Počty zastoupení vržených čísel v 50000 hodech kostkou Princip simulačních metod typu Monte Carlo

8 / 42

Zákon velkých čísel

25,00%

20,00%

15,00%

Procentuální zastoupení

30,00%

10,00% 1

5,00%

2 3 sl o Čí

4

0,00% 5 6 10

100

1000

10000

50000

vý Celko

65528

hodů počet

Procentuální zastoupení jednotlivých čísel

Procentuální zastoupení vržených čísel (celkové maximum počtu hodů 65528 je limitováno kapacitními možnostmi tabulkového procesoru Excel)


9 / 42

Generátory náhodných čísel

U n +1 = ( A × U n + C ) mod M


10 / 42

Kongruenční generátory náhodných čísel Nejpoužívanější generátory náhodných čísel, poprvé zavedené americkým matematikem Lehmerem v roce 1948. Slouží pro generování posloupností náhodných veličin s rovnoměrným rozdělením. Derrick Henry Lehmer (1905-1991)

Generování pseudonáhodných čísel s pomocí rekurentního vztahu: U n +1 = ( A × U n + C ) mod M

kde konstanty A, C, a M určují statistickou kvalitu generátoru (žádoucí nesoudělnost A a M). Princip simulačních metod typu Monte Carlo

11 / 42

Vliv vstupních konstant na vygenerovaná čísla U n +1 = ( A × U n + C ) mod M 7

6

5

4

3

Vstupní údaje

2

1


80

76

72

68

64

60

56

52

48

44

40

36

32

28

24

20

16

12

8

4

0

0

x0

1

A

1

C

3

M

7

12 / 42


20

15

10

Vstupní údaje 5


80

76

72

68

64

60

56

52

48

44

40

36

32

28

24

20

16

12

8

4

0

0

x0

1

A

7

C

3

M

23

13 / 42


1000

800

600

400

Vstupní údaje

200


80

76

72

68

64

60

56

52

48

44

40

36

32

28

24

20

16

12

8

4

0

0

x0

1

A

7

C

10

M

1011

14 / 42

Vliv vstupních konstant na vygenerovaná čísla U n +1 = ( A × U n + C ) mod M

1,00

0,75

Setříděno

0,50

1,00

0,25

0,75

80

76

72

68

64

60

56

52

48

44

40

36

32

28

24

20

16

12

8

4

0

0,00

0,50

Vstupní údaje


80

76

72

68

64

60

56

52

48

44

40

36

32

0,00 28

1

24

M

20

0,333 16

C

12

758

8

A

0,25

4

0,5

0

x0

15 / 42

Integrace metodou Monte Carlo Metoda Monte Carlo se využívá nejčastěji k řešení vícerozměrných integrálů. I=

xh

yh

xd

yd

∫ ∫ f (x, y,...)dxdy... = ∫ f (x, y,...)dxdy... V

Numerické integrování s využitím metody Monte Carlo spočívá ve stanovení hodnoty funkce f v N náhodných bodech, ležících v integrované oblasti V . V N I ( f ; N ) ≈ V . f = .∑ f i N i −1 kde f představuje střední hodnotu funkce f, vypočtenou v N náhodných bodech.


16 / 42

Integrace metodou Monte Carlo 3D Graf vygenerovaných bodů a hodnot funkce f(x,y)

Např. objem polokoule. Ukázkový výpočet byl proveden pro 1000 vygenerovaných pseudonáhodných čísel. Poloměr polokoule r se rovná 1 m Výsledná hodnota odhadu integrálu I=2,17707 (přesná hodnota 2,09440). Směrodatná odchylka odhadu integrálu σ=0,04347. Princip simulačních metod typu Monte Carlo

f ( x, y ) = r 2 − x 2 − y 2 17 / 42

Integrace metodou Monte Carlo Náhodná proměnná 2D 1,20

y

1,00

0,80

0,60

0,40

0,20

0,00 0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

x

1,20

Tisíc vygenerovaných pseudonáhodných dvojic čísel pro výpočet objemu polokoule, zobrazených jako graf 2D náhodné proměnné (vstupní parametry: x0=0,5; A=758; C=0,333 a M=1; y0=0,5; A=239; C=0,666 a M=1) Princip simulačních metod typu Monte Carlo

18 / 42

Princip simulačních metod typu Monte Carlo Generování omezených rozdělení a transformace na požadované rozdělení

U n +1 = ( A × U n + C ) mod M


19 / 42

• Např. Marek a kol. CRC Press, 1995. • Vstupní proměnné charakterizují useknuté neparametrické histogramy. • Analýza funkce spolehlivosti metodou Monte Carlo. • Spolehlivost je vyjádřena jako Pf < Pd, kde Pf je pravděpodobnost poruchy, a Pd je v normová návrhová pravděpodobnost poruchy.

Odolnost R

Posudek spolehlivosti metodou SBRA

Pf = Σ / Σ < Pd Metody pro určení pravděpodobnosti poruchy

R

-S

0 =

Účinek zatížení S 20 / 42

Náhodné veličiny Proměnné hodnoty zatížení, variability průřezu a pevnostní charakteristiky

Stálé ) hD

Dlouhodobé nahodilé ) hL2

Sníh ) hSn

Dlouhodobé nahodilé ) hL1

Krátkodobé nahodilé ) hS

Vítr ) hS

Reprezentace náhodně proměnných veličin neparametrickými omezenými rozděleními Napětí na mezi kluzu ) fy Metoda Simulation Based Reliability Assessment (SBRA)

21 / 42

Výpočet metodou SBRA, program AntHill

Pf = 0,0000039 < Pd = 0,0000080 táhlo vyhoví – úroveň spolehlivosti zvýšená

Metoda Simulation Based Reliability Assessment (SBRA)

22 / 42

Koncepty posudku spolehlivosti Pravděpodobnostní alternativa

Koncept „Design Pointu“ (PFD)

Pf = (modré)/(zelené) body

Rd > Sd R

Rd

Sd Metoda Simulation Based Reliability Assessment (SBRA)

S 23 / 42

Podstata metody, závěry • Vstupní náhodné veličiny jsou vyjádřeny useknutými histogramy (neparametrickými omezenými rozděleními). • Pravděpodobnost poruchy Pf je získána analýzou funkce spolehlivosti RF (Reliability function, Safety function) s využitím simulační techniky Monte Carlo. • Spolehlivost je posouzena na základě nerovnosti Pf < Pd , kde Pd je návrhová pravděpodobnost daná normou, např. ČSN 73 1401 Navrhování ocelových konstrukcí • Výsledek se pokaždé liší, důležité zvolit dostatečný počet simulačních kroků, jejichž počet je závislý zejména na počtu náhodných veličin • Metoda univerzální, pro složitější výpočty málo efektivní Metoda Simulation Based Reliability Assessment (SBRA)

24 / 42

Kombinace zatížení

Ukázky posudku spolehlivosti na vybraných příkladech

25 / 42

Kombinace zatížení


26 / 42

Příklad 1 Funkce spolehlivosti RF = ( R – S )

Ocelový profil IPE

Odolnost konstrukce R = NRd = Anom . Avar . fy Účinek zatížení S = NSd =80.DL + 293,5.LL + + 80.SL + 70.WIN + 40.SN

SN=40kN WIN=70kN S=80kN L=293,5kN D=80kN Statické schéma táhla


27 / 42

Výpočet metodou SBRA, program AntHill

Pf = 0,0000039 < Pd = 0,0000080 táhlo vyhoví – úroveň spolehlivosti zvýšená


28 / 42

Příklad 2 – Mezní stav únosnosti Funkce spolehlivosti : RF = ( R – S ) R ... odolnost konstrukce S ... účinek zatížení (ohybový moment) R = Wnom . Wvar . fy

S = D.DL.L2/8 + L1.LL.L/4 + S1.SL.L/3

L1=75kN S1=45kN S2=45kN D=5kN/m'


29 / 42

Příklad 3 – Mezní stav použitelnosti Funkce spolehlivosti : RF = ( R – S ) R ... odolnost konstrukce R = L / 350

S ... účinek zatížení (průhyb) S = (5.D.DL.L4/384 + L1.LL. L3/48 + + 0.0355.S1.SL.L3)/(210000. Inom.Ivar)

L1=75kN S1=45kN S2=45kN D=5kN/m'


30 / 42

Posouzení spolehlivosti konstrukce

N σ =± A

N Sd ≤ N Rd = f y . A


31 / 42


N My ⎛ Mz ⎞ ⎟⎟ ± ⎜⎜ σ =± ± A W y ⎝ Wz ⎠


32 / 42



33 / 42



34 / 42

Posouzení spolehlivosti konstrukce Funkce spolehlivosti : RF = ( R - S ) S ... účinek zatížení My Mz N S= ± ± A ∗ hAvar W y ∗ hW y , var W z ∗ hW z , var kde N = - ( 1,35.D.hD + 1,5.( L1.hL1 + SN.hSn + WINx.hW + Sx.hS + L2x.hL2 ))

[kN]

My = b . 1,5 . ( Sz.hS - L2z.hL2 + WINz.hW )

[kNm]

Mz = b . 1,5 . ( Sy.hS - L2y.hL2 )

[kNm]


35 / 42

Posouzení životnosti konstrukce Závislost R a S na čase t

R(t)

S(t) čas t


36 / 42

Výpočet doby bezpečného provozu nosníku


37 / 42

Křivky trvání účinků zatížení

RF = {MR(t) – MS(t)}

kde

MS (t) = = 1/8×(DL×DLvar)×L2 + 1/4×(LL×LLvar)×L + 1/3×(SL×SLvar)×L

a MR(t) = (As×As,var) × fy × z [kN.m]: Ukázky posudku spolehlivosti na vybraných příkladech

38 / 42

Účinek zatížení

MS(t) [kN.m] 0 až 50 let


39 / 42

Odolnost konstrukce

MR(t) [kN.m] 0 až 50 let


40 / 42

Funkce spolehlivosti

MR(t) [kN.m] 0 až 50 let

Bezpečné 0,0

Porucha


41 / 42

Funkce spolehlivosti Pravděpodobnost Pf = 0,00005 , t = 30 let

MR


-M

S

=0

42 / 42

Téma 2 Simulační metody typu Monte Carlo

Recommend Documents