NÁRODNÉ
FÓRUM ÚDRŽBY 2009
VYSOKÉ TATRY, 26. – 27. 5. 2009
Stanovení parametrů dynamické spolehlivosti vícestavových systémů užitím metody Monte Carlo Evaluation of dynamic dependability parameters of multi-status systems by using Monte Carlo method Josef Chudoba Kľúčové slová: pohotovost zařízení, markovská analýza, metoda Monte Carlo
Anotácia Cílem příspěvku je popsat markovskou analýzu, která je vhodná pro výpočet funkce okamžité pohotovosti vícestavových systémů. U této metody se sestaví přechodový diagram a přechody mezi stavy se ohodnotí intenzitami přechodů. Úloha se řeší pomocí soustavy diferenciálních rovnic. V příspěvku je ukázat postup, který odstraňuje použití soustavy diferenciálních rovnic a její nahrazení pomocí metody Monte Carlo.
Abstract The main aim of this article was to describe markov analysis, which is useful for calculation of multistatus systems instantaneous availability. By using this method is firstly constructed state diagram and than through the transition rate are evaluated transitions. This task is solved by differential equations. Showing a way, which uses Monte Carlo method instead of solving differential equations, is also aim of this article.
1
Úvod
V poslední době lze sledovat trend, při kterém je zřejmý stále se zvyšující zájem o vytváření složitějších modelů spolehlivosti. Zatímco dříve se používal pro popis funkce systému obvykle dvoustavový model, dnes se již často pracuje s modely vícestavovými. Dříve se pravděpodobnost vzniku poruchy komponenty do času t popisovala pomocí exponenciálního rozdělení - F (t ) = 1 − e − λt , při kterém se předpokládá, že komponenta s dobou používání nedegraduje. Dnes se již využívá při popisu pravděpodobnosti vzniku poruchy komponenty do času t i jiných rozdělení. Velmi často například Weibullovo rozdělení - F (t ) = 1 − e
t −( ) β
α
, pomocí kterého
lze popsat degradaci komponenty v čase. Nadto je vhodné uvést, že technologické systémy mají stále sofistikovanější politiku údržby. Při sjednávání obchodních kontraktů je již zcela běžné, že jsou ve smlouvách uváděny i parametry týkající se spolehlivosti systémů.
1
NÁRODNÉ
FÓRUM ÚDRŽBY 2009
VYSOKÉ TATRY, 26. – 27. 5. 2009 Hlavním cílem tohoto příspěvku je vytvořit model spolehlivosti, který umožní modelovat pohotovost vícestavových systémů, u kterého se nepředpokládá asymptotická (ustálená) pohotovost A . Matematickým základem pro výpočet funkce okamžité pohotovosti A(t ) (nepohotovosti U (t ) ) vícestavových systémů je teorie stochastických procesů. Spolehlivostním základem je metoda markovské analýzy. Vytvořený model umožní (na základě znalosti topologie přechodového diagramu) použít k řešení mumerickou metodu Monte Carlo. Pomocí metody bude možné stanovit, na základě vstupních dat, hodnotu funkce okamžité pohotovosti A(t ) systému v čase.
2
Základní metody spolehlivosti vhodné k zjištění pohotovosti
2.1 Základní kvantitativní analýzy spolehlivosti Pro zjištění a ověření funkce okamžité pohotovosti A(t ) systému se dnes v praxi nejčastěji využívá následujících základních metod spolehlivosti. Odkazy na typy softwaru užívaného ve spolehlivosti lze najít v [1]. Mezi základní kvantitativní analýzy spolehlivosti lze zařadit například: •
předpověď intenzity poruch,
•
pravdivostní tabulka - analýza funkční struktury,
•
RBD - analýza blokového diagramu bezporuchovosti,
•
FTA - analýza stromu poruchových stavů,
•
ETA - analýza stromu událostí,
•
MA - markovská analýza, 1
•
PN - analýza Petriho sítí,
Žádná jednotlivá metoda analýzy spolehlivosti není dostatečně vyčerpávající a pružná, aby se vypořádala s možnými složitostmi modelu požadovanými k vyhodnocení význačných rysů praktických systémů. Aby bylo zajištěno řádné zpracování složitých nebo multifunkčních systémů, může být nezbytné uvážit použití několika vzájemně se doplňujících metod analýzy.
2.2 Základní kvantitativní ukazatele spolehlivosti Metody analýzy spolehlivosti se používají k stanovení ukazatelů bezporuchovosti, pohotovosti, udržovatelnosti a bezpečnosti systému. Analýzy spolehlivosti se provádějí ve všech etapách života objektu. Aplikují se na různých úrovních a stupních rozčlenění systému pro vyhodnocení a stanovení ukazatelů spolehlivosti systému nebo investičního celku. Používají se též pro porovnání výsledků analýzy se specifikovanými požadavky. Analytické metody umožňují vyhodnotit kvalitativní a kvantitativní ukazatele spolehlivosti a činitelů, které ji ovlivňují. Lze odhadnout hodnoty ukazatelů, které jsou definovány v [2]: •
1
ukazatele pohotovosti v kapitole 11,
Základy metody jsou vysvětleny v kapitole 3, kde jsou uvedeny i odkazy na literaturu 2
NÁRODNÉ
FÓRUM ÚDRŽBY 2009
VYSOKÉ TATRY, 26. – 27. 5. 2009 •
ukazatele bezporuchovosti v kapitole 12,
•
ukazatele udržovatelnosti a zajištěnosti údržby v kapitole 13.
3
Markovská analýza ve spolehlivosti
[3], [4], [5], [6], [7], [8] Markovské modely ve spolehlivosti představují metodu, která umožňuje řešit dynamickou závislost charakteristik poruchy či obnovy jednotlivých součástek a přizpůsobit je stavům přechodového diagramu systému. Markovskými modely lze zachytit vlivy jak poruch komponent závislých na pořadí, tak změny intenzit přechodů vyplývající z namáhání či jiných faktorů. Z tohoto důvodu je markovská analýza vhodná metoda pro hodnocení spolehlivosti funkčně složitých konstrukcí systému a složitých strategií oprav a údržby. Markovská metoda je založena na teorii markovských procesů, kde argument je obvykle čas. Pro výpočet ukazatelů spolehlivosti jsou obvykle v současnosti využívány homogenní markovské procesy, které vyžadují, aby byly intenzity přechodů mezi stavy konstantní. K reprezentaci chování systému pomocí markovské analýzy je nutné stanovit všechny možné stavy systému, znázorněné graficky v přechodovém diagramu. Každému stavu je určeno, zda se jedná o provoz, částečně poruchový stav nebo poruchový stav. Provozních, částečně poruchových i poruchových stavů může být více. Pokud u některé jednotky systému dojde k poruše, nebo na některé jednotce dojde k obnově, „přechází“ systém v přechodovém diagramu z jednoho stavu do následujícího stavu. Přechody mezi stavy v přechodovém diagramu jsou ohodnoceny intenzitami poruch/oprav. Každý přechod mezi stavy se ohodnotí intenzitami přechodů. Z intenzit přechodů se sestaví matice intenzit přechodů h . Matice je základem pro matematický model. Následně se pro zjištění výsledné hodnoty parametrů pohotovosti nebo bezporuchovosti převede přechodový diagram na matematický model. Vyhodnocují se pravděpodobnosti, kdy systém je v čase t v jednotlivých stavech přechodového diagramu. Při modelování je nutné splnit podmínku, že namodelovaný systém je bez paměti. Tato podmínka znamená, že budoucí chování systému závisí pouze na přítomném stavu, a ne na minulosti. Tato podmínka je splněna, jestliže: •
intenzity přechodů mezi stavy jsou časově konstantní - homogenní markovský proces,
•
intenzity přechodů mezi stavy nejsou časově konstantní. Platí však, že intenzity přechodů v čase tn jsou spjaty k pevnému časovému okamžiku tn −1 ( tn > tn −1 ) a nikoliv k časovým okamžikům předcházejícím
tn− 2 ,...,t0 ( t0 < t1 < ... < tn − 3 < tn − 2 < tn −1 ) - nehomogenní
markovský proces. Pomocí matice intenzit přechodů h lze řešit soustavu diferenciálních rovnic představující matematický popis přechodového diagramu
dp(t ) = p(t )h(t ) . Diferenciální rovnice se obvykle řeší dt
pomocí numerických metod, mezi kterými lze vyzdvihnout metody Runge-Kutta [9], [10] a metodu Monte Carlo [7], [8], [11], [12] .
3
NÁRODNÉ
FÓRUM ÚDRŽBY 2009
VYSOKÉ TATRY, 26. – 27. 5. 2009 Typickými výstupy markovského modelu jsou pravděpodobnosti, s jakými se systém nachází v daném čase a v daném stavu. Příkladem zpracovaného výsledku pravděpodobností stavů je ukazatel funkce okamžité pohotovosti A(t ) . Z použití této metodiky plynou následující výhody. Metoda poskytuje pružný pravděpodobnostní model pro analýzu chování systému. Je možné ji přizpůsobit pro složité redundantní konfigurace, pro složitou koncepci údržby, složité modely ošetření poruchových stavů, degradované režimy provozu a poruchy se společnou příčinou. Metoda poskytuje pravděpodobnostní řešení pro moduly, které se mají vložit do jiných modelů, jako jsou blokové diagramy bezporuchovosti - RBD a stromy poruchových stavů - FTA. Metoda umožňuje přesné modelování posloupností událostí se specifickým typem nebo pořadím výskytu. Metoda však má i jistá omezení. Zvyšujícím se počtem komponent systému exponenciálně roste počet stavů, což vede ke zvýšení pracnosti analýzy. Pro uživatele může být obtížné model sestavit a ověřit jeho správnost.
3.1 Metoda Monte Carlo V tomto příspěvku bude pro řešení soustavy obyčejných diferenciálních rovnic navržena metoda Monte Carlo. Metoda Monte Carlo je založena na mnohonásobném opakování simulačních realizací. Každá simulační realizace se sestává z generování náhodného pokusu, který popisuje chování systému v čase. Ve výsledku se sleduje rozložení stochastického procesu . Každá realizace startuje z předem daného stavu, který je dán počátečními podmínkami simulace. Posléze se pomocí vygenerování náhodných čísel z příslušné předepsané distribuční funkce určí doba do přechodu ze stavu i do jednoho z dalších stavů, kam umožňuje přejít systému přechodový diagram. Toto se opakuje pro všechny možné přechody ze stavu i . Časový okamžik přechodu a stav do kterého systém přejde ze stavu i , je dán minimalizací časových okamžiků přes všechny možné přechody ze stavu i . Prvním krokem analýzy je tvorba vstupních souborů a řídícího programu na základě generování události podle požadované distribuční funkce. Tato funkce může být stanovena postupem nezávislým na výpočetním programu nebo je někdy součástí komplexnějších modelových nástrojů. Dalším krokem je aplikování takto získaných parametrů na celkový systémový model včetně uvažovaných podprogramů. Tento cyklus se opakuje tak dlouho, až je vyplněno kritérium maximálního počtu událostí, eventuelně kritérium přesnosti statistického výběru, které je průběžně kontrolováno řídícím programem. Posledním krokem pravděpodobnostní analýzy je statistické vyhodnocení výsledků. K řešení analýz pomocí metody Monte Carlo lze využít matematického softwaru například MATLAB® - http://www.mathworks.com/, nebo Goldsim - http://www.goldsim.com/.
4
Způsob řešení pomocí softwaru Matlab
Řešení úlohy pomocí metody Monte Carlo bylo naprogramováno v softwarovém prostředí Matlab. Obdobné řešení je i například pomocí Goldsimu. Na analyzovaný systém se vytvoří přechodový diagram. Každému přechodu se definují podmínky intenzitami přechodů pro změny do dalších stavů. Pomocí vkládání jednotlivých procedur, 4
NÁRODNÉ
FÓRUM ÚDRŽBY 2009
VYSOKÉ TATRY, 26. – 27. 5. 2009 charakterizující jeden přechod mezi stavy se určí, kdy dojde k jednotlivým přechodům v systému a jaká je nová konfigurace dosažená tímto přechodem. Každý přechod, který je popsán v přechodovém diagramu má ve zdrojovém textu programu vlastní proceduru. Jestliže se do přechodového diagramu přidá/odebere některý přechod ze stavu i do stavu j , vloží/odstraní se i v zdrojovém textu řešícího programu příslušná procedura. V každé realizaci metody Monte Carlo dochází k náhodnému procházení jednotlivými stavy přechodového diagramu systému. Nechť je systém v čase t ve stavu i . Pro všechny možné přechody vycházející ze stavu i se vypočte doba do přechodu podle pravidel daných přechodem. Výsledný stav j (z množiny stavů vycházejících ze stavu i ) je dán přechodem, reprezentujícím minimální okamžik přechodu, z množiny přechodů vycházejících ze stavu i . Fyzický čas, kdy dojde k přechodu ze stavu i , je dán součtem minimální doby do přechodu ze stavu i a časem, kdy došlo k přechodu do stavu i . Čas do přechodu ze stavu i do dalšího stavu se zjistí pomocí vygenerovaného náhodného čísla, které reprezentuje pravděpodobnost v distribuční funkci. Distribuční funkce je funkcí parametrů statistického rozdělení a času F (t ) = f ( parametry, t ) . Řeší se inverzní úloha, kdy jsou známy parametry rozdělení, a náhodným číslem je vygenerována F (t ) . Není znám čas do přechodu t . Tedy
t = f ( F (t ), parametry) . Do zdrojového textu se přidá procedura pro generování časů do přechodu. Každá procedura představuje jeden přechod ze stavu i do stavu j . Procedura má následující základní strukturu t2=t+inten1; if (t2<=t1) t1=t2; state=j; end
Tato procedura volá funkci, která je v tomto případě nazvána inten1. Pokud je funkce nazvána jiným názvem, bude použito i jiného názvu v příkazu. function t3=inten1 definování jména funkce inten1 a výstupní proměnné t3 t3=exprnd(10000); zjištění, za jakou dobu by došlo k přechodu
(generátor z exponenciálního rozdělení) end
4.1 Řešený příklad [3], [13], [14] Mějme systém, který je tvořen čtyřmi identickými komponentami. Komponenty jsou
β t β −1 . Parametry αβ rozdělení jsou: λ = 0,0001 , α = 10000 , β = 1,5 . Komponenty mají intenzitu oprav µ = 0,01 .
v pohotovostní záloze. Intenzita poruch každé komponenty je ve tvaru h(t ) = λ +
Komponenty jsou provozovány shodnou dobu. Cílem příkladu je porovnat nepohotovost systému U (t ) , jestliže komponenty jsou po poruše buď stejně spolehlivé jako staré nebo stejně spolehlivé jako nové. Přechodový diagram je zobrazen na obr. 1.
5
NÁRODNÉ
FÓRUM ÚDRŽBY 2009
VYSOKÉ TATRY, 26. – 27. 5. 2009
1
µ
λ
2
µ
λ
3
µ
λ
4
Obr. 1 Přechodový diagram řešeného systému
Obr. 2 Graf nepohotovosti systému, doba simulace 1000 h (vlevo) a doba simulace 10 000 h (vpravo)
5
Závěr
Příspěvek si kladl dva základní cíle. Za prvé ukázat použitelnost markovské analýzy, která ze všech kvantifikujících metod spolehlivosti dává nejpřesnější výsledky. Avšak pro její obtížné matematické vyhodnocení je v současné době pouze málo využívána. Za druhé pro matematické vyhodnocení popsat numerickou metodu Monte Carlo. Tato metoda má výhodu především v tom, že je intuitivní, lehce aplikovatelná a numericky stabilní. Její nevýhoda spočívá v tom, že je nutné velké množství náhodných realizací, pro vyhodnocení analýzy spolehlivosti a tím může být v závislosti na vstupních datech časově náročnější. Pomocí markovské analýzy lze řešit analýzu spolehlivosti mnoha komplexních technologických celků. Například v [3], [13] a [14] autor řešil analýzu kompresní stanice tranzitního plynovodu. Poděkování: Tato práce byla vytvořena s finanční podporou Ministerstva školství, mládeže a tělovýchovy ČR, projekt číslo 1M4674788502 - Pokročilé sanační technologie a procesy. Použitá literatúra: [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]
Vališ D., Software pro podporu spolehlivosti, materiály Odborné skupiny pro spolehlivost 27. setkání, ČSJ Praha, 2007 ČSN IEC 50(191) (01 0102), Mezinárodní elektrotechnický slovník, kapitola 191: Spolehlivost a jakost služeb, Federální úřad pro normalizaci a měření, 1993 Chudoba J., Modelování dynamické spolehlivosti užitím markovské analýzy, disertační práce, TUL Liberec, 2009 Barlow R.E., Proschan F., Statistical Theory of Reliability and Life Testing. Probabilistic Models, New York, Holt, Rinehart and Winston, 1975 Billinton R., Allan R.N., Reliability Evaluation of Engineering Systems. Concepts and Techniques. Second Edition, New York, Plenum Press, 1992 Birolini A., Quality and Reliability of Technical Systems. Theory - Practise - Management, Berlin, Springer Verlag, 1994 Lisnianski A., Levitin G., Multi-state system reliability, World Scientic Publishing Co., 2003, ISBN 981 238-306-9 6
NÁRODNÉ
FÓRUM ÚDRŽBY 2009
VYSOKÉ TATRY, 26. – 27. 5. 2009 [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14]
Levitin G., The Universal Generating Function in Reliability Analysis and Optimalization, Springer, ISBN 185 233-927-6 Rektorys K., Přehled užité matematiky, Prométheus, Praha 1995, ISBN 80-7196-1795 Vitásek E., Numerické metody, SNTL 1987 `Fishman G. S., Monte Carlo: Concepts, Algorithms and Applications, Volume 1 od Springer Series in Operations Research, Springer-Verlag, New York, 1996 Virius M., Aplikace matematické statistiky: metoda Monte Carlo, ČVUT Praha 1998 Chudoba J., Dynamický model spolehlivosti kompresorové stanice tranzitního plynovodu, zpráva Technické univerzity v Liberci, 2007 Chudoba J., Modelování dynamické spolehlivosti užitím stochastických procesů, disertační teze, Technická univerzita v Liberci, 2008
Autor: Ing. Josef Chudoba Technická univerzita v Liberci Fakulta mechatroniky, Studentská 2 461 17 Liberec 1 Česká republika Tel. +420 48535 3763 E-mail:
[email protected]
7
